Re: [obm-l] sequencias
Acho que p_n e q_n podem ser as partes positiva e negativa de a_n (p_n = max(a_n,0) e q_n = -min(a_n,0)), de modo que: a_n = p_n - q_n e |a_n| = p_n + q_n (*). Pelo menos essa é a notação que o Elon usa no Curso de Análise - vol.1 (seção 7 do cap. 4) Mas faltou dizer isso no enunciado!!! Se for isso mesmo, então a implicação é falsa. Tome (a_n) = (1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,-1/6,1/7,...) Então (p_n) = (1,0,1/3,0,1/5,0,1/7,0, ...) e (q_n) = (0,1/2,0,1/4,0,1/6,0,...) Mas Soma(a_n) converge pra log(2) enquanto que Soma(p_n) e Soma(q_n) divergem, por comparação com a série harmônica. A implicação verdadeira é Soma( |a_n| ) converge ==> Soma(p_n) e Soma(q_n) convergem. Esta sai com base na expressão (*) acima e no teste da comparação, já que 0 <= p_n, q_n <= |a_n|. []s, Claudio. On Mon, Sep 10, 2018 at 10:34 PM Artur Steiner < artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n. > > Artur Costa Steiner > > Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira > escreveu: > >> Ajuda nessa questão >> >> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf >> >> >> Grato. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] sequencias
Da forma como está, não é verdade. Se a_n = (-1)^(n + 1) 1/n, então Soma
a_n converge. Mas Soma p_n = 1 + 1/3 + 1/5 ,,, e Soma q_n = 1/2 + 1/4 + 1/6
,,, divergem. Não seria Soma |a_n| < inf ? Aí é verdade.
Artur Costa Steiner
Em seg, 10 de set de 2018 22:45, Emanuel Oliveira
escreveu:
> faltou um detalhe, desculpe.
>
> p_n=max{a_n,0} e q_n=max(-a_n,0).
>
>
> Em seg, 10 de set de 2018 às 22:34, Artur Steiner <
> artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
>
>> Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira
>> escreveu:
>>
>>> Ajuda nessa questão
>>>
>>> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>>>
>>>
>>> Grato.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] sequencias
faltou um detalhe, desculpe.
p_n=max{a_n,0} e q_n=max(-a_n,0).
Em seg, 10 de set de 2018 às 22:34, Artur Steiner <
artur.costa.stei...@gmail.com> escreveu:
> Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n.
>
> Artur Costa Steiner
>
> Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira
> escreveu:
>
>> Ajuda nessa questão
>>
>> Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf
>>
>>
>> Grato.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] sequencias
Não pode ser isso. As sequências p_n e q_n não têm nada a ver com a_n. Artur Costa Steiner Em seg, 10 de set de 2018 20:56, Emanuel Oliveira escreveu: > Ajuda nessa questão > > Se |soma(a_n)| < inf, então soma(p_n), soma(q_n) < inf > > > Grato. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Klaus, isto vem diretamente da definicao de lim b_k = 0 ... vejamos: lim a_k = L qualquer que seja eps>0, existe n tal que k > n implica |a_k - L| < eps basta fazermos L=0, a_k = b_k e, ao inves de eps, vamos colocar eps/2 abracos, Salhab On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Ola Claudio, não entendi "b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2." o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k| Para: obm-l Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k --> L quando k --> o se, para cada eps > 0 existir um
natural N tal que para todo n > N teremos |a_n - L| < eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em
L, com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k --> 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k --> 0, isso quer dizer que para cada eps > 0 podemos
encontrar N natural tal que n > N ==> |b_n - 0| < eps <==> |b_n| < eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo
à distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n --> A
e b_n -> B implica (a_n + b_n) -> (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um
natural n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo
elemento, estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma,
tomamos n_2 para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento,
todo mundo estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o
maior dos dois naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a
partir de N, para qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no
máximo eps/2 do respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n,
a partir desse N estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B.
Assim vemos que para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a
partir dele, a seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de
A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola Claudio,
não entendi *"b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| <
eps/2*."
o que é n_1? pq vc tomou k>n_1? pq |b_k|
Para: obm-l
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
> Suponha que a_n-->a. Mostre que :
> 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a.
>
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0.
Seja eps > 0.
b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k <
eps/2.
Mas entao, tomando k > n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <=
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k <
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a.
> Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule
> lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
>
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias
dos a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==>
a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k.
Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o
limite procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
_
Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II > Suponha que a_n-->a. Mostre que : > 1/n*sum_(k=1, n) a_k-->a. > Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k -> a, b_k -> 0. Seja eps > 0. b_k -> 0 ==> existe n_1 tal que k > n_1 implica |b_k| < eps/2. Fixado n_1, existe n_2 > n_1 tal que k > n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k < eps/2. Mas entao, tomando k > n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k <= |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k < eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k < eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k -> 0 ==> (a_1+...+a_k)/k -> a. > Suponha que 0<=a_1<=a_2<=.<=a_k. Calcule > lim(n->oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. > Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n <= a_1^n + ... + a_k^n <= k*a_k^n ==> a_k <= (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) <= k^(1/n)*a_k. Fazendo n -> infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n -> 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias
Luri, cometi um engano. O valor de n=50 como você escreveu. Em 17/03/07, Iuri <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 -S=(2²-1²) + (4²-3²) + (6²-5²) + ... + (100²-99²) Fazendo diferencas de quadrados, temos: -S= 1.3+1.7+1.11+...+1.199=3+7+11+...+199 que é uma PA. S=-(3+199).50/2=202.25=101*50=-5050 On 3/14/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > 1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an > 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 > > 3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n > > > -- > Atenciosamente > Júlio Sousa > -- Fernando A Candeias
Re: [obm-l] Sequencias
Encontrei para o número de termos n=49 e não 50. Pois o primeiro termo é 3, o último 199 e a razão 4. Então neste caso S=-4949. Em 17/03/07, Iuri <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 -S=(2²-1²) + (4²-3²) + (6²-5²) + ... + (100²-99²) Fazendo diferencas de quadrados, temos: -S= 1.3+1.7+1.11+...+1.199=3+7+11+...+199 que é uma PA. S=-(3+199).50/2=202.25=101*50=-5050 On 3/14/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > 1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an > 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 > > 3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n > > > -- > Atenciosamente > Júlio Sousa > -- Fernando A Candeias
Re: [obm-l] Sequencias
2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 -S=(2²-1²) + (4²-3²) + (6²-5²) + ... + (100²-99²) Fazendo diferencas de quadrados, temos: -S= 1.3+1.7+1.11+...+1.199=3+7+11+...+199 que é uma PA. S=-(3+199).50/2=202.25=101*50=-5050 On 3/14/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] Sequencias
sn=n^2+4n s1=5=a1 n(n+4)=(5+an)*n/2 an=2n+3 s2=12=5+a2 a2=7 razao=r=a2-a1=2 On 3/14/07, Julio Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote: 1 ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n² + 4n. Calcule an 2) Calcule S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - 6^2 + ... + 99^2 - 100^2 3) Calcule a soma dos n primeiros termos da PA 1 ; (n -1)/n ; (n - 2)/n -- Atenciosamente Júlio Sousa
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Ai, essa doeu ate em mim :)
Melhoras
Abracos
Ricardo
- Original Message -
From: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
To:
Sent: Friday, February 16, 2007 2:18 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião
de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
No virus found in this incoming message.
Checked by AVG Free Edition.
Version: 7.1.411 / Virus Database: 268.17.37/682 - Release Date: 12/2/2007
___
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Experimente já e veja as novidades.
http://br.yahoo.com/mailbeta/tudonovo/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Fri, Feb 16, 2007 at 07:58:19AM -0300, Celso Souza wrote:
> Acho que eu não soube me expressar.
>
> Vejamos:
>
> 1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
> números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
> propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
Como já foi dito, não. Uma seqüência pode ser identificada com um conjunto
de pares ordenados mas não com um conjunto de números.
> 2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso
> recai no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo
> montar uma BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por
> exemplo. Assim, posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO
> termo, e assim por diante. Lembre-se que as funções são definidas de
> CONJUNTO para CONJUNTO.
Isto não reflete corretamente o conceito de seqüência.
Uma seqüência pode ter elementos repetidos, como
(1,0,2,0,3,4,0,5,6,0,7,8,9,10,0,11,12,0,13,14,15,16,0,17,18,0,19,20,21,...)
A imagem da seqüência (ou seja, o conjunto dos valores que ela assume)
é {0,1,2,3,4,5,...} mas nenhuma ordem neste conjunto traduz o fato de
que 0 aparece nas posições acima.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
On Thu, Feb 15, 2007 at 08:25:07PM -0300, Celso Souza wrote:
>
>
> "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Comentários
> menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado para uma seqüência,
> chaves para mim são para conjuntos.
>
> Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
> conjuntos ORDENADOS.
Uma seqüência é uma função com domínio N = {0,1,2,3,...}
ou outro conjunto parecido, como Z ou N-{0}.
Uma função pode ser identificada com um conjunto de pares ordenados.
Será que é isso que você quer dizer?
> Tal como ocorre com pares ordenados, que são
> conjuntos ordenados.
Não. Um conjunto ordenado é um conjunto no qual está definida uma relação
de ordem. Um par ordenado não é nada disso. O que se pode fazer é definir
(a,b) = {{a},{a,b}}. A razão para fazer isso é que em teoria dos conjuntos
qualquer coisa é um conjunto. Mas em outras áreas da matemática é melhor
pensar que existem vários tipos de objetos: números, conjuntos,
pares ordenados, funções, ...
> Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
> de ser conjuntos, não ?
Só são conjuntos no sentido técnico acima. O que você certamente não pode
é identificar a seqüência (a_0, a_1, a_2, ...) com o conjunto
{a_0, a_1, a_2, ...} pois o conjunto não "percebe" repetições nem ordem.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Acho que eu não soube me expressar.
Vejamos:
1) Sim, uma sequencia é um conjunto de números. Ou seja, é uma reunião de
números, só que não é APENAS um conjunto. Este conjunto deve ter outras
propriedades, caso contrário não teria um nome diferente de conjunto.
2) Este conjunto possui algumas propriedades. Um delas é a ORDEM. Isso recai
no que disse o Bruno em outro mail. Se existe ORDEM, eu consigo montar uma
BIJEÇAO entre esta sequencia e o conjunto dos naturais, por exemplo. Assim,
posso afirmar que a1 é o PRIMEIRO termo, a2 o SEGUNDO termo, e assim por
diante. Lembre-se que as funções são definidas de CONJUNTO para CONJUNTO.
3) A questão de ordem, como colocou o Marcelo é explicada da seguinte forma:
Para que dois conjuntos sejam iguais, é necessário que todos os elementos de A
estejam em B e que todos os elementos de B estejam em A. Para o caso dos
conjuntos ordenados, além da lei acima, devemos ter que a ordem deve permanecer
a mesma.
4) Eu não quis dizer que está correto escrever sequencias entre chaves. Eu só
perguntei se por acaso, o indivíduo que escreveu o problema original não se
confundiu com este fato, da existencia de conjuntos e conjuntos ordenados.
Assim, claramente teremos:
i) { a , b , c } = { b , a , c } , pois para os conjuntos escrito
entre chaves, a ordem não é importante.
ii) (a , b , c ) <> (b , c , a ), pois apesar de possuírem os
mesmos elementos, a ORDEM não é a mesma.
Bem, eu também não sei muito sobre matemática, inclusive, acho até que
minha interpretação de conjunto possa estar errada. Mas segundo o que eu ví até
hoje sobre conjuntos, acho que seria isso mesmo.
Abraços !
Celso
Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Olá Celso,
vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par
ordenado por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b =
d (usando a igualdade de conjuntos).
uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2,
a3}, ..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!
entendeu?
entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a
notacao de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)
um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: Celso Souza
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Comentários menores: eu
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
A definicao de seqüência não é "um conjunto de números". A definição de
seqüência em um cjto X é uma função f: N -> X, onde N é o conjunto dos
números naturais. (cf http://planetmath.org/encyclopedia/Sequence.html)
Se agora vc quiser entender uma função f: N -> X como sendo um subconjunto
de N x X (N cartesiano X) (definido assim: a1 , a2 elemento N, b1, b2
elemento X; se a1 = a2 entao b1 = b2), aí beleza, a seqüência vc pode chamar
de "conjunto", mas não um "conjunto de números", mas sim um subconjunto de N
x X.
Falei bobagem?
Abraço!
Bruno
ps:
Procurando no google, vemos em diversas fontes (dentre elas o Mathworld do
Wolfram), dizendo que o termo "conjunto ordenado" é um termo ambíguo
querendo se referir ora a "conjunto totalmente ordenado" ora a "conjunto
parcialmente ordenado", que não tem nada a ver com este tema.
Uma ordem parcial em um conjunto X é uma relação <= com as seguintes
propriedades:
1) Reflexividade: a <= a, para todo a em X
2) Transitividade: a <= b, b <= c implica a <= c.
3) Anti-simetria: a <= b e b <= a implica a = b.
Um conjunto parcialmente ordenado é um par ordenado (X, <=).
Um conjunto é dito totalmente ordenado quando podemos comparar quaisquer
seus 2 elementos, isto é: para todo x, y em X, temos que: x <= y ou y <= x.
On 2/15/07, Celso Souza <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
*"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>* escreveu:
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam
de ser conjuntos, não ?
Celso
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Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
Olá Celso,
vejamos por exemplo o conjunto { a, b } e o par ordenado (a, b)
{ a, b } = { b, a }, mas (a, b) != (b, a)
nao conheco conjuntos ordenados... mas, um modo de representar um par ordenado
por conjuntos
seria (a, b) = { a, { a, b } } , neste caso, (a, b) = (c, d) sss a = c e b = d
(usando a igualdade de conjuntos).
uma n-upla ordenada seria: (a1, a2, ... , an) = { a1, { a1, a2 }, {a1, a2, a3},
..., {a1, a2, ... , an } } na notacao
de conjuntos!
entendeu?
entao, a notacao de chaves nao seria correta para sequencias, mas sim a notacao
de n-uplas ordenadas.
(1, 2, 3, ..., n)
um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: Celso Souza
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, February 15, 2007 8:25 PM
Subject: Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Comentários menores: eu não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
Celso
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Re: [obm-l] Sequencias (era: Ajuda urgente)
"Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Comentários menores: eu
não considero o uso de chaves {} adequado
para uma seqüência, chaves para mim são para conjuntos.
Nicolau,
Sempre aprendi que sequências são conjuntos de números, porém, são
conjuntos ORDENADOS. Tal como ocorre com pares ordenados, que são conjuntos
ordenados.
Eu entendo que sequências necessariamente são ordenadas, mas não deixam de
ser conjuntos, não ?
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Re: [obm-l] sequencias
Soh pra complementar: sen(log(n+1)) - sen(log(n)) -> 0 pois log(n+1) - log(n) = log(1+1/n) -> 0 e a funcao seno eh uma contracao fraca (isso quer dizer que |sen(x) - sen(y)| <= |x - y|, quaisquer que sejam x e y em R. Pra ver isso, faca: |sen(x) - sen(y)| = 2*|sen((x-y)/2)|*|cos((x+y)/2)| <= 2*|sen((x-y)/2)| <= 2*|(x-y)/2| = |x-y|. O problema do argumento do Salhab eh que nem sempre eh verdade que x_n divergente implica sen(x_n) divergente. Por exemplo, se a_n -> a entao x_n = a_n + 2*pi*n -> infinito, mas sen(x_n) -> sen(a). O mais provavel eh que o conjunto de valores de aderencia de sen(log(n)) seja o intervalo [-1,1]. Isso eh verdade para sen(n) e, se nao me engano, esse resultado jah foi bem discutido aqui na lista (bons tempos aqueles...). No caso presente, basta mostrar que sen(log(n)) tem mais de um valor de aderencia. Vamos considerar um caso um pouco mais geral: seja (x_n) uma sequencia crescente, ilimitada e tal que (x_(n+1) - x_n) -> 0 (esse eh justamente o caso de log(n)). Como x_n eh crescente e ilimitada, podemos tomar indices n_1, n_2, tais que: n_k = maior indice tal que x_n_k <= k*pi + pi/2 ==> x_n_k <= k*pi + pi/2 < x_(n_k + 1) (**) Mas (x_(n+1) - x_n) -> 0. Em virtude de (**) e do teorema do sanduiche, isso quer dizer que: lim(k -> +inf) (k*pi + pi/2 - x_n_k) = 0. Logo, como seno eh continua: (i) a subsequencia x_n_(2m-1) serah tal que sen(x_n_(2m-1)) -> sen((2m-1)*pi + pi/2) = -1; e (ii) a subsequencia x_n_2m serah tal que sen(x_n_2m) -> sen(2m*pi + pi/2) = 1. Acho que eh isso. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 2 Feb 2007 04:17:47 -0200 Assunto: Re: [obm-l] sequencias > Olá Artur, > > sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf, > entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ... > deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x) diverge > qdo x->inf.. > > bom, qquer erro, por favor, me corrija! > > abraços, > Salhab > > - Original Message - > From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> > To: > Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM > Subject: RES: [obm-l] sequencias > > > Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que > esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente > valida > Artur > > -Mensagem original- > De: Artur Costa Steiner > Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: RES: [obm-l] sequencias > > > No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. > cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... > > A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo > em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros > positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, > depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 > por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes > dadas mas não converge. > > Artur > > > > -Mensagem original- > De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] > Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] sequencias > > > sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, > > i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que > (x_n) é limitada. > Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. > > ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por > a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). > Mostre que 1 <= a_n <= 2. > > Na primeira não tive muito progresso. > > Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não > consegui, cheguei > a_n <= 3. > > _ > Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. > http://get.live.com/messenger/overview > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > >
Re: [obm-l] sequencias
Olá Artur, sabemos que sen(x) diverge qdo x->inf... e que, se g(x) -> inf qdo x->inf, entao: lim (x->inf) f(g(x)) = lim (x->inf) f(x) ... deste modo, sen(ln(n)) diverge, pois ln(n)->inf qdo n->inf e sen(x) diverge qdo x->inf.. bom, qquer erro, por favor, me corrija! abraços, Salhab - Original Message - From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]> To: Sent: Thursday, February 01, 2007 3:11 PM Subject: RES: [obm-l] sequencias Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 <= a_n <= 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 <= a_n . Que a_n <= 2, não consegui, cheguei a_n <= 3. _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
Assim,
Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh infinito, nos naturais.
O teorema de baire garante que para algum desses F[K] tem possui um
subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M] este conjunto.
Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao vazio um intervalo
I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para todo x em I, vale
que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista é do livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles entao vou deixar o
enunciado na forma original.
"Let {f[n]} be a sequence of continuous real functions on the line which
converges at every point. Prove that there is an interval I and a number
M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I and n = 1,2,3,... "
Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem conhece a solucao ou pode
enviar para discutirmos?
Um abraço a todos!
Mouse
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
De fato eu tambem vi este problema mais geral numa
edicao do livro do Rudin. Eh uma edicao de um livro
compado em 2002.
Considerando a reta real, o problema que o Mouse
postou leva a uma conclusao interesante. Existe um
intervalo, logo um intervalo compacto I, no qual
|f[n](x)| < M para todo n e todo x. As funcoes f[n]
sao continuas e, portanto, Lebesgue e Riemann
integraveis em I. As integrais de Riemann e de
Lebesgue, portanto, coincidem. A seq. f[n] eh dominada
em I por M, logo pela funcao constante g(x) = M, que
eh integravel em I. Pelo teorema da convergencia
dominada de Lebesgue, a funcao limite f eh Lebesgue
integravel em I e a seq. das integrais de Lebesgue
(que se igualam aas de Riemann ) das funcoes f[n] em I
converge para a integral de Lebesgue de f. f tambem eh
dominada por M, logo limitada em I. Mas serah que eh
Riemann integravel em I? Se o conjunto das
descontinuidades de f em I tiver medida de Lebesgue
nula, a resposta eh sim, mas nao sei se isso eh
verdade. O conjunto destas descontinuidades eh magro
na classificacao de Baire, mas isto nao implica que
tenha mnedida nula.
Artur
--- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> É engraçado que esse exercicio que o Artur citou
> estava na segunda
> edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o
> Rudin simplificou e
> só deixou a que o Mouse postou.
>
> On 6/29/06, Artur Costa Steiner
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter
> (n=1,
> > oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
> > implica que cada um dos conjuntos desta colecao
> seja
> > fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
> > fechado.
> > Um ponto interessante eh que este teorema nao se
> > limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
> > que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
> > metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
> > continuas de X em Y que convirja em todo o X,
> entao
> > existem um aberto V em X e M>0 tais que
> ||f[n](x|| <
> > M para todo natural n e todo x em V.
> >
> > Artur
> >
> > --- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > > Assim,
> > > Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n
> >0}.
> > > F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> > > Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> > > infinito, nos naturais.
> > > O teorema de baire garante que para algum desses
> > > F[K] tem possui um
> > > subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja
> F[M]
> > > este conjunto.
> > > Extraia do seu subconjunto aberto de interior
> nao
> > > vazio um intervalo
> > > I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao
> para
> > > todo x em I, vale
> > > que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > > > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem
> na
> > > Lista. Sou engenheiro
> > > > de formação mas há algum tempo venho estudando
> > > análise matematica por
> > > > hobby.
> > > > Este problema que estou enviando para a lista
> é do
> > > livro de Walter
> > > > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> > > capitulo 5, acredito que
> > > > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> > > entao vou deixar o
> > > > enunciado na forma original.
> > > >
> > > > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> > > functions on the line which
> > > > converges at every point. Prove that there is
> an
> > > interval I and a number
> > > > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in
> I
> > > and n = 1,2,3,... "
> > > >
> > > >
> > > > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> > > conhece a solucao ou pode
> > > > enviar para discutirmos?
> > > >
> > > > Um abraço a todos!
> > > >
> > > > Mouse
> > > >
> > >
> >
>
=
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista
> e
> > > usar a lista em
> > > >
> > >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >
> > >
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> > > >
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> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> > > usar a lista em
> > >
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> > >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
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> >
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
É engraçado que esse exercicio que o Artur citou estava na segunda
edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o Rudin simplificou e
só deixou a que o Mouse postou.
On 6/29/06, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado.
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
existem um aberto V em X e M>0 tais que ||f[n](x|| <
M para todo natural n e todo x em V.
Artur
--- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Assim,
> Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
> F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> infinito, nos naturais.
> O teorema de baire garante que para algum desses
> F[K] tem possui um
> subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M]
> este conjunto.
> Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
> vazio um intervalo
> I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
> todo x em I, vale
> que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
>
>
>
>
>
>
> On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na
> Lista. Sou engenheiro
> > de formação mas há algum tempo venho estudando
> análise matematica por
> > hobby.
> > Este problema que estou enviando para a lista é do
> livro de Walter
> > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> capitulo 5, acredito que
> > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> entao vou deixar o
> > enunciado na forma original.
> >
> > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> functions on the line which
> > converges at every point. Prove that there is an
> interval I and a number
> > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I
> and n = 1,2,3,... "
> >
> >
> > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> conhece a solucao ou pode
> > enviar para discutirmos?
> >
> > Um abraço a todos!
> >
> > Mouse
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>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter (n=1,
oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n]
implica que cada um dos conjuntos desta colecao seja
fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja
fechado.
Um ponto interessante eh que este teorema nao se
limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra
que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco
metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes
continuas de X em Y que convirja em todo o X, entao
existem um aberto V em X e M>0 tais que ||f[n](x|| <
M para todo natural n e todo x em V.
Artur
--- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Assim,
> Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
> F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
> Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh
> infinito, nos naturais.
> O teorema de baire garante que para algum desses
> F[K] tem possui um
> subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M]
> este conjunto.
> Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao
> vazio um intervalo
> I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para
> todo x em I, vale
> que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
>
>
>
>
>
>
> On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na
> Lista. Sou engenheiro
> > de formação mas há algum tempo venho estudando
> análise matematica por
> > hobby.
> > Este problema que estou enviando para a lista é do
> livro de Walter
> > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do
> capitulo 5, acredito que
> > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles
> entao vou deixar o
> > enunciado na forma original.
> >
> > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real
> functions on the line which
> > converges at every point. Prove that there is an
> interval I and a number
> > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I
> and n = 1,2,3,... "
> >
> >
> > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem
> conhece a solucao ou pode
> > enviar para discutirmos?
> >
> > Um abraço a todos!
> >
> > Mouse
> >
>
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> >
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
>
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> >
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e
> usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
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>
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias de funcoes continuas (Rudin)
Assim,
Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n >0}.
F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso.
Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh infinito, nos naturais.
O teorema de baire garante que para algum desses F[K] tem possui um
subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja F[M] este conjunto.
Extraia do seu subconjunto aberto de interior nao vazio um intervalo
I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao para todo x em I, vale
que |f[n](x) <= M|. Como queriamos.
On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem na Lista. Sou engenheiro
de formação mas há algum tempo venho estudando análise matematica por
hobby.
Este problema que estou enviando para a lista é do livro de Walter
Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do capitulo 5, acredito que
ninguem nesta lista tenha problemas com ingles entao vou deixar o
enunciado na forma original.
"Let {f[n]} be a sequence of continuous real functions on the line which
converges at every point. Prove that there is an interval I and a number
M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in I and n = 1,2,3,... "
Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem conhece a solucao ou pode
enviar para discutirmos?
Um abraço a todos!
Mouse
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias e series
Isso sai devido que aparece auma p.g. de razao p ,entao a soma dos n primeiros termos eh : a1*(q^(n)-1)\(q-1) como no caso a1=1,q=p ai vem Sn = (p^(n)-1)/(p-1).Ricardo Serone <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: To precisando de ajuda nos seguintes exercicios:1 - Seja o termo an=p^(n-1), p E R e n E N . Seja, S o somatório dos termos de an de 1 até + infinito; então demonstre queSn = (p^(n)-1)/(p-1).=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Sequencias e series
Na verdade, S seria o limite de (p^(n)-1)/(p-1). E a sequência {a_n} é na verdade uma P.G.
Re: [obm-l] Sequencias
Este exemplo do Bernardo eh bem legal. Eu dei aqueles outros exemplos porque
me vieram imediatamente aa cabeca.
O exemplo do Bernardo tem uma generalizacao para espacos metricos que
contenham um subconjunto denso e enumeravel. Tais espacos sao conhecidos
pela denominacao (a meu ver, muito infeliz) de espacos separaveis. Os R^n
enquandram-se precisamente neste caso, pois o conjunto dos pontos com
coordenadas racionais eh enumeravel e denso em R^n .
Se S eh um espaco metrico e D eh um subconjunto denso e enumeravel de S,
entao qualquer sequencia que enumere os elementos de D tem como conjunto dos
pontos de aderencia o proprio S. Pelos mesmos motivos que o Bernardo expos.
A respeito do exemplo que dei sobre a funcao |sen(n)| hah uma generalizacao
baseada no seguinte teorema: se f:R_>R eh continua, periodica e
nao-constante em R e seu periodo fundamental p eh irracional, entao a
sequencia f(n) eh densa em f([0,p]).
Abracos
Artur
- Mensagem Original
_
Bom, sem usar um exemplo sofisticado como o do Arthur, um truque bem
legal para este tipo de problema é pensar racionalmente. Ou seja, tome
uma enumeração qualquer dos racionais do intervalo [0,1] = {x_1, x_2,
x_3, ...}. É claro que isto é uma seqüência, e o mais legal é que a
aderência é todo [0,1]. Pense porquê: um número real qualquer possui
vizinhanças arbitrariamente pequenas que contém infinitos números
racionais. Assim, em qualquer ponto da sequüência, como você só
retirou uma quantidade FINITA de termos, ainda restam infinitos,
portanto NENHUMA vizinhança destes números perdeu todos os INFINITOS
racionais que ela continha. Uma das aplicações é generalizar esta
demonstração (faça exatamente o mesmo) para espaços onde os racionais
sejam densos e enumeráveis (isso é para evitar maiores patologias,
tipo dimensão não-enumerável, coisas asssim), e é exatamente igual:
faça uma enumeração dos mesmos.
OPEN Internet e Informática
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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RE: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Nao ha de que! Este eh de fato um ponto um tanto sutil. Abracos Artur > > Poxa Artur, muito obrigado pela sua explicação. Era exatamente isto > que > eu não conseguia enxergar. > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Poxa Artur, muito obrigado pela sua explicação. Era exatamente isto que eu não conseguia enxergar. -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Veja a definicao: (x_n) eh uma sequencia de Cauchy se, para todo eps >0 arbitrariamente escolhido, existir um natural k tal d(x_m, x_n)=k. Logo, k tem que depender exclusivamente de eps. Nao podemos assumir uma relacao entre m e n. No exemplo que vc deu, o que vc efetivamente fez foi o seguinte: Como d(x_n+1,xn) -> 0, para todo eps>o podemos encontrar um k tal que d(x_n+1,x_n)=k. Se m>n, podemos entao encontrar k tal que d(x_n+1,x_n)=k, condicao que, pela desigualdade triangular, implica de fato que que d(x_m,x_n)=k MAS tais que m-n seja CONSTANTE. Voce implicitamente assumiu uma relacao entre m e n, isto eh, estabeleceu que m=n+C, sendo C uma constante. Porque isto nao atende aa condicao de Cauchy? Porque o k que funciona para uma dada constante C1 pode nao funcionar para uma outra constante C2, isto eh o k depende de uma relacao estabelecida entre m e n. Sugestao: Analise a sequencia L(n). Ela atende aa condicao que vc deu. Verifique, com base no que vimos, que esta NAO eh uma sequencia de Cauchy. De fato, esta sequencia vais para o infinito. Artur > Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. > > Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo > d( x_(n+1), x_n ) -> 0. > Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n > > -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - > + x_(n+1) - x(n) > > Usando a desigualdade triangular... > > -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + > + d( x_(n+1) , x(n) ) > > Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado > direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser > verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não > estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... > > Obrigado, > Felipe Pina > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
on 01.10.03 23:32, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. > > Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo > d( x_(n+1), x_n ) -> 0. > Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n > > -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - > + x_(n+1) - x(n) > > Usando a desigualdade triangular... > > -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + > + d( x_(n+1) , x(n) ) > > Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado > direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser > verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não > estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... > Oi, Felipe: Considere a sequencia x_n = log(n). Entao, x_(n+1) - x_n = log(1 + 1/n) --> 0, mas (x_n) nao eh Cauchy pois eh divergente. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Porque o numero de termos eh arbitrariamente grande. - Original Message - From: "Felipe Pina" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, October 01, 2003 11:32 PM Subject: [obm-l] Sequencias de Cauchy > > Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. > > Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo > d( x_(n+1), x_n ) -> 0. > Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m > n > > -> x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - > + x_(n+1) - x(n) > > Usando a desigualdade triangular... > > -> 0 <= d( x_m, x_n ) <= d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + > + d( x_(n+1) , x(n) ) > > Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado > direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser > verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não > estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... > > Obrigado, > Felipe Pina > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Nossa! Eu estava tao fixado em logaritmos, irracionais, fracoes continuas e
casas de pombos que acabei nao vendo o obvio ==> acabei desobedecendo o
axioma numero 2...
Obrigado, Gugu!
Um abraco,
Claudio.
on 16.09.03 20:19, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at [EMAIL PROTECTED]
wrote:
> Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
> converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
> (a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
> devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
> e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
> a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
> e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
> caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
> Abracos,
> Gugu
>
>>
>> Oi, pessoal:
>>
>> Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>> continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>> positivos} eh denso em R.
>>
>> A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>>
>> Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>> inteiros positivos.
>> Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>> a(1) = a; b(1) = b
>> Para n >= 1:
>> a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
>> a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
>> Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>>
>> Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>> e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>> acabou...
>>
>> Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>>
>> Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>> falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>>
>> Qulquer dica serah bem-vinda.
>>
>> Um abraco,
>> Claudio.
>>
>> =
>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> =
>
> =
> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Bem, voce quase ja' provou isso: a monotonicidade mostra que a(n)
converge a a e b(b) a b com a<=1<=b. Para n grande trocamos um par perto de
(a,b) por um par perto de (a.b,b) ou por um par perto de (a,a.b). Assim,
devemos ter a.b=a, donde b=1 ou a.b=b, donde a=1. Assim, a=1 ou b=1. Se a=1
e b>1, para n grande acabamos caindo sempre no segundo caso, mas ai
a(n+1)=a(n), e logo a(n) fica constante e menor que 1 a partir desse ponto,
e logo converge a essa constante menor que 1, contradizendo a=1. O outro
caso (a<1 e b=1) e' analogo, e portanto devemos ter a=b=1.
Abracos,
Gugu
>
>Oi, pessoal:
>
>Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
>continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
>positivos} eh denso em R.
>
>A demonstracao do Marcio pode ser adaptada para se provar o seguinte:
>
>Sejam a, b reais tais que 0 < a < 1 < b e a^m*b^n <> 1, para quaisquer m, n
>inteiros positivos.
>Sejam as sequencias (a(k)) e (b(k)) definidas por:
>a(1) = a; b(1) = b
>Para n >= 1:
>a(n)*b(n) < 1 ==> a(n+1) = a(n)*b(n) e b(n+1) = b(n);
>a(n)*b(n) > 1 ==> a(n+1) = a(n) e b(n+1) = a(n)*b(n).
>Prove que: lim a(n) = lim b(n) = 1.
>
>Levando em conta que a^m*b^n <> 1 para quaisquer inteiros positivos m e n se
>e somente se log_b(a) eh irracional, nos caimos no problema anterior e
>acabou...
>
>Eu gostaria de ver uma demonstracao mais elementar deste resultado.
>
>Por exemplo, eh facil ver que a(n) e b(n) sao monotonas e limitadas. Assim,
>falta provar que sup(a(n)) = inf(b(n)) = 1.
>
>Qulquer dica serah bem-vinda.
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias convergentes
Oi, pessoal:
Noutro dia o Marcio Cohen deu uma bela demonstracao, usando fracoes
continuas, de que o conjunto {n*a - m; a irracional positivo, m,n: inteiros
positivos} eh denso em R.
O problema das sequencias parece muito bonito, vou tentar resolve-lo. Jah
que vc tocou de novo no outro lindo problema da semana passada, vou
apresentar aqui a prova (e espero que seja mesmo uma prova..) que eu
consegui desenvolver usando o principio da casa dos pombos. Eh parecida com
a que eu enviei sabado para a lista, a arespeito do problema original do
livro do Erlon. Sendo entao A o conjunto acima:
(1) Basta demonstrar que A eh denso em [0, infinito). --- Se r<0, escolhamos
um inteiro positivo k tal que k > |r|. Então, r+k>0 e, para todo eps>o,
existem inteiros positivos n e m tais que r+k-eps < a*n m < r+k+eps.
Segue-se então que r-eps0, A intersecta (0,
eps)---Pois, se x estah em A Inter (0,eps), entao, para todo real r>0, os
termos da sequencia x, 2x, 3xestão todos em A e um deles estah em (r,
r+eps).
(3)Para provar (2) basta demonstrar que existem u1 e u2 em A tais que
|u1-u2|=0, definamos frac(x) como a parte fracionaria de x, ou seja,
0<=frac(x) < 1 e x frac(x) eh o maior inteiro <=x (o piso de x).
Definamos ainda S = {n*a, n natural}. Se provarmos a existencia de s1 e s2
em S que satisfacam a |s1-s2|0 e
dividamos [0, 1] em um numero finito de subintervalos fechados de
comprimento < eps (isto eh sempre possível propriedade Arquimediana do
conjunto dos reais). Eh entao imediato que S eh subconjunto de [0,1]. Alem
disto, S eh infinito. Para provar isto, basta provar que, se n<>p, entao
frac(n*a)<>frac(n*p). Suponhamos assim que n<>p e observemos que n*a = In +
frac(n*a) e p*a = Ip + frac(p*a) , sendo In e Ip inteiros.Se frac(n*a) =
frac(n*p), entao n*a n*p = (n-p)* a = In Ip e a =(In-Ip)/(m-n), do que
concluímos que, contrariamente aa hipotese basica, a eh racional.
Como S eh um subconjunto infinito de [0,1] e este foi dividido em um numero
finto de subintervalos de comprimento http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias
Outro contra-exemplo simpatico para o item c) e' x_k=cos(raiz(k)).
Abracos,
Gugu
Quoting Salvador Addas Zanata <[EMAIL PROTECTED]>:
>
> Pessoal,
>
> Disse bobagem no item c).
>
>
> Obrigado pela correcao, Manoel.
>
>
> Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
>
>
>
> Mais uma vez obrigado ao Manoel.
>
>
>
> Um abraco,
>
>
> Salvador
>
>
>
> On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
>
> > Salvador,
> >
> >Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e'
> falso...
> >
> >Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
> >
> >A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
> > depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
> > ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
> >
> > Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
> > intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
> >
> > Valem algumas coisas mais.
> >
> > Abraco,
> >
> > Mane'
> >
> > On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
> >
> > >
> > >
> > > On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
> > >
> > > > Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
> > > >
> > > > lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
> > > >
> > > > para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
> > > >
> > > > a) x_{k} é limitada.
> > >
> > > Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
> > >
> > >
> > > > b) x_{k} é convergente.
> > >
> > >
> > > Nao eh, pelo exemplo acima.
> > >
> > >
> > > > c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
> > > >
> > >
> > > Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria
> 2
> > > pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
> > > hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
> > >
> > >
> > >
> > > Abraco,
> > >
> > > Salvador
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > > agradeço qualquer ajuda !
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > --
> > > > Use o melhor sistema de busca da Internet
> > > > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> =
> > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > >
> =
> > > >
> > >
> > >
> =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > >
> =
> > >
> >
> >
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
-
This mail sent through IMP: http://horde.org/imp/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Sequencias
Pessoal,
Disse bobagem no item c).
Obrigado pela correcao, Manoel.
Segue o e-mail dele abaixo com a correcao.
Mais uma vez obrigado ao Manoel.
Um abraco,
Salvador
On Wed, 16 Jul 2003, Manuel Valentim Pera wrote:
> Salvador,
>
>Mande um email para a lista dizendo que isso foi um engano, e' falso...
>
>Eu procuro voce amanha e mostro um contra-exemplo.
>
>A ideia e' comecar em 1 diminuir de 1/2 em 1/2 ate' ficar negativo
> depois cresca de 1/3 em 1/3 ate' passar 1, depois diminuir de 1/4 em 1/4
> ate' ficar negativo, ai' cresce de 1/5 em 1/5 ate'...
>
> Essa sequencia tem a propriedade desejada, e todos os pontos do
> intervalo [0,1] sao pontos limite da sequencia.
>
> Valem algumas coisas mais.
>
> Abraco,
>
> Mane'
>
> On Wed, 16 Jul 2003, Salvador Addas Zanata wrote:
>
> >
> >
> > On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
> >
> > > Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
> > >
> > > lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
> > >
> > > para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
> > >
> > > a) x_{k} é limitada.
> >
> > Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
> >
> >
> > > b) x_{k} é convergente.
> >
> >
> > Nao eh, pelo exemplo acima.
> >
> >
> > > c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
> > >
> >
> > Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
> > pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
> > hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
> >
> >
> >
> > Abraco,
> >
> > Salvador
> >
> >
> >
> >
> >
> > > agradeço qualquer ajuda !
> > >
> > >
> > >
> > > --
> > > Use o melhor sistema de busca da Internet
> > > Radar UOL - http://www.radaruol.com.br
> > >
> > >
> > >
> > > =
> > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> > > =
> > >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Sequencias
Boa noite,
Sobre seqüências de números reais que tem a propriedade
> > Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
> >
> > lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
> >
há uma coisa a mais que talvez mereça ser citada:
Vale o seguinte resultado:
Suponha que a seqüência (x_k) de reais tem a propriedade acima.
Se a é o limite inferior de (x_k) e b é o limite superior de (x_k) (a ou
b podem ser +- infinito) então para todo ponto z pertencente a [a,b]
existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k) que converge para z.
(Chame-se a esta propriedade P*)
A recíproca disto é falsa, mas vale a seguinte coisa, se (x_k) tem a
propriedade P* existe uma subseqüência (x_(k_j)) de (x_k), tal
que (x_(k_j)) tem
mesmo limite inferior que (x_k), mesmo limite superior que (x_k), e a
seqüência (x_(k_j)) tem a propriedade
lim | x_{k_{j+1}} - x_{k_j} | = 0
As demonstrações disso eu fiz há algum tempo atrás, mas acho mais
divertido deixar para vocês pensarem.
Manuel Garcia
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[obm-l] Re: [obm-l] Sequencias
Se fosse x{k+2}, tome x{k}=(-1)^k ..
x{k+2}-x{k}=0 , é limitada mas não converge.
Obrigado Morgado e Salvador pelas respostas !
Gabriel Haeser
-- Mensagem original --
>x(k) = ln(k) e x(k) = sqrt(k) sao bonitos contra-exemplos para,
>simultaneamente, a e b.
>Para nao desperdiçar o e-mail, aqui vai uma pergunta relativa ao item c.
>
>E se fosse x(k+2) em vez de x(k+1)?
>
>[EMAIL PROTECTED] wrote:
>
>>Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
>>
>>lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
>>
>>para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
>>
>>a) x_{k} é limitada.
>>b) x_{k} é convergente.
>>c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
>>
>>agradeço qualquer ajuda !
>>
>>
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>>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Sequencias
x(k) = ln(k) e x(k) = sqrt(k) sao bonitos contra-exemplos para,
simultaneamente, a e b.
Para nao desperdiçar o e-mail, aqui vai uma pergunta relativa ao item c.
E se fosse x(k+2) em vez de x(k+1)?
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
a) x_{k} é limitada.
b) x_{k} é convergente.
c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
agradeço qualquer ajuda !
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Re: [obm-l] Sequencias
On Wed, 16 Jul 2003 [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Seja x_{k} uma sequencia de numeros reais tal que
>
> lim | x_{k+1} - x_{k} | = 0
>
> para cada item, demonstre ou dê um contra-exemplo:
>
> a) x_{k} é limitada.
Se x_{k}=x_{k-1}+1/k, com x_{0}=0, entao x_{k} nao e limitada.
> b) x_{k} é convergente.
Nao eh, pelo exemplo acima.
> c) se x_{k} é limitada então x_{k} é convergente.
>
Isso eh verdade, e so imaginar que se ela nao fosse convergente, teria 2
pontos de acumulacao pelo menos e isso implica um absurdo com a sua
hipotese. Lembre que num compacto, toda seq. tem pontos de acumulacao.
Abraco,
Salvador
> agradeço qualquer ajuda !
>
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Re: [obm-l] sequencias
Deve haver muitas soluções bem simples e abobadas, mas essa é meio complicada, mas dá certo. 4, 6, 10, 14, 20, ..., a, b... piso de rq(4-2)=1 1.2=2 4+2=6 piso de rq(6-2)=2 2.2=4 6+4=0 piso de rq(10-2)=2 2.2=4 10+4=14 piso de rq(14-2)=3 3.2=6 14+6=20 ... piso de rq(a-2)=x a+2x=b ... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 9:18 PM Subject: [obm-l] sequencias Desculpem não é 2,6,10,14 mas sim 4,6,10,14.
Re: [obm-l] sequencias
Com 4 termos, pode ser um monte de coisas, mas eu chutaria que é a sequencia dos dobros dos números primos. Você já conhece esta aqui? 1 , 11 , 21 , 1211 , 111221 , Pra quem gosta de sequências, aqui tem uma boa que está me dando trabalho. Defina a seguinte seqência: X(1) = 1 Para n > 1: X(n) = menor inteiro positivo tal que: a) X(n) é diferente de todos os termos anteriores; b) X(1) + X(2) + ... + X(n) é múltiplo de n. Assim, X(2) = 3, X(3) = 2, X(4) = 6, etc... Prove que todos os inteiros positivos aparecem exatamente uma vez nesta sequencia. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, December 30, 2002 9:18 PM Subject: [obm-l] sequencias Desculpem não é 2,6,10,14 mas sim 4,6,10,14.
