Re: RE: [obm-l]
PRIMEIRA QUESTÃO: Vamos tentar arrumar a expressão x^2+3xy+y^2 dentro de alguma outra que tenha vindo diretamente de 2x+y. 2x+y=1 (2x+y)^2=1 (2x+y)^2=4x^2+4xy+y^2=(x^2+3xy+y^2)+3x^2+xy=1 (2x+y)^2=(x^2+3xy+y^2)+x.(3x+y)=1 (2x+y)^2=(x^2+3xy+y^2)+x.(x+2x+y)=1 (2x+y)^2=(x^2+3xy+y^2)+x.(x+1)=1 (x^2+3xy+y^2)=1-x-x^2 Calcule agora o maior valor de -x^2-x+1 (use -(delta)/4a) 24 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Eu acho que consegui a terceira. (ab)^2 = b^2 + 10ab + 10ab + 100a^2 (I) (ba)^2 = a^2 + 10ab + 10ab + 100b^2 (II) fazendo (I) - (II) - 99a^2 - 99b^2 (cc)^2= c^2 + 20c^2 +100c^2 99a^2 - 99b^2 = 121c^2 - 9a^2-9b^2 = 11c^2 9(a^2-b^2) = 11c^2 - como 11 eh primo, temos c^2 múltiplo de nove, ou c=0,3,6 ou 9 fazendo c=3, 9(a^2-b^2) = 11.9 - a^2-b^2 = 11 por tentativa e erro temos a=6 e b = 5 65^2 - 56^2 = 33^2 OLÁ AMIGOS ESTOU COM MAIS ALGUMAS DÚVIDAS. PODERIAM AJUDAR POR FAVOR. 1) Se 2x + y = 1, com x e y reais, então o maior valor da expressão x² + 3xy + y² é igual a ; A)5/4 B)7/4 C)13/8 D)17/8 E)31/16 2) Se x e y são números inteiros e positivos, representa-se o máximo divisor comum de x e y por mdc (x,y); assim, o número de pares ordenados (x,y) que são soluções do sistema : x + y = 810 mdc(x,y)E A)6 B)8 C)10 D)16 E)18 3) Se a, b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal existe um único número de dois algarismos (ab) tal que (ab)² - (ba)² = (cc)². O valor de (a + b + c) é igual a: A) 11 B)12 C)13 D)14 E)15 _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Re: [obm-l] OCM /2003
Bom dia Guilherme. Essa questão já foi discutida na lista. Veja no link abaixo. As soluções do problema. http://www.mail-archive.com/[EMAIL PROTECTED]/msg17817.html [ ],s Carlos "guilherme S." [EMAIL PROTECTED] wrote: pessoal , podem me ajudar nessa questao da OCM: Um homem acha-se no centro de um circulo. A periferia desse circuloé delimitada por uma cerca, que separa um homem de um cachorro. Admitindo que o cachorro só pode correr ao longo da cerca:- Prove que o homem pode escapar pulando a cerca sem ser mordido pelo cao se as velocidades maximas possiveis de serem desenvolvidas pelo cachorro e pelo homem entiverem entre si na razao 4 : 1.- Determine as relacoes entre as velocidades maximas do cachorro e do homem para os quais o homem pode escapar. valeu []' Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
RE: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Pessoal, O tabuleiro pode ser IMAGINADO como uma matriz quadrada de ordem 10. Adotemos esta imagem com a seguinte modificacao : as linhas e colunas estarao numeradas de 0 a 9. Fixado isso e notando que um movimento nao interfere no outro, e facil perceber que : 1) Se Ci e a Coluna Inicial do objeto ( Ci = 0,1,...,9 ) entao apos N movimentos a Coluna Final Cf sera tal que : Ci + 7*N = 10*q + Cf, para algum inteiro q . 2) Se Li e a Linha Inicial do objeto ( Li = 0,1,...,9 ) entao apos N movimentos a Linha Final Lf sera tal que : Li + 3*N = 10*q' + Lf, para algum inteiro q' . O enunciado informa que N=2004 e que a casa final deve ser um verfice, isto e : Ci + 7*2004 = 10*q + Cf = Ci + 14028 = 10*q + Cf onde Cf=0 ou Cf=9. Claramente que se Ci=2 entao Cf=0 ou se Ci=1 entao Cf = 9. Assim, o objeto devera estar nas colunas 1 ou 2. Mas, em qual linha ? Li + 3*2004=10*q' + Lf = Li + 6012 = 10*q' + Lf onde Lf=0 ou Lf=9. Claramente que se Li=7 entao Lf=9 ou se Li=8 entao Lf=0. Assim, o objeto devera estar nas linhas 7 ou 8. Portanto, as valores validos para (Li,Ci) sao (7,1), (7,2), (8,1) e (8,2). Exemplificando, se ele partir de (7,1) terminara em (9,9). Observe que as equacoes Ci + 7*N=10*q + Cf e Li + 3*N = 10*q' + Lf sao equivalentes a 7*N - 10*q = Cf - Ci e 3*N - 10*q' = Lf - Li. Como MDC(7,10)=MDC(3,10)=1 entao qualquer posicao final e ATINGIVEL seja qual for a posicao inicial de onde partirmos, bastando tomarmos um N ( numero de movimentos ) conveniente, pois, conforme nos sabemos, uma equacao diofantina da forma a*x + b*y = c tem solucao (x,y) no anel dos inteiros se, e somente se, MDC(a,b) divide c. PROBLEMA : Se, no problema do Benedito, os movimentos fossem 5 para a direita e 2 para baixo, partindo de uma posicao inicial (Li,Ci) seriam ATINGIVEIS, apos um numero conveniente de movimentos, qualquer posicao final ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0955,250204 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Tue, 24 Feb 2004 19:38:32 -0300 PROBLEMA 24 Considere um tabuleiro 10 × 10. Um movimento no tabuleiro se faz avançando 7 quadros para a direita e 3 quadros para baixo. No caso de se sair por uma linha se continua pelo começo (à esquerda) da mesma linha e no caso de acabar uma coluna se continua pelo começo da mesma coluna (acima). Onde se deve começar para que depois de 2004 movimentos terminemos num vértice? Benedito _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Matriz inversa
Olá amigos, tudo bem? Será que alguém pode me ajudar com essa: Verifique que se I-AB é invertível ( I é a matriz identidade de ordem n e A e B são matrizes quadradas de ordem n) I-BA também é invertível e além disso (I-BA)^(-1) = I+B.(I-AB)^(-1) . A. Um forte abraço, Cgomes
RE: [obm-l] Outro Problema Legal
Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. Fica entao a pergunta: d e b NAO serem fatores de K e condicao suficiente para que qualquer posicao seja atingivel? From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] [snip] PROBLEMA : Se, no problema do Benedito, os movimentos fossem 5 para a direita e 2 para baixo, partindo de uma posicao inicial (Li,Ci) seriam ATINGIVEIS, apos um numero conveniente de movimentos, qualquer posicao final ? Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,0955,250204 [snip] _ Store more e-mails with MSN Hotmail Extra Storage 4 plans to choose from! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200362ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Número Primo
On Wed, Feb 25, 2004 at 01:34:19AM -0300, David wrote: David wrote: Mas tipo, serah q existe algum algoritmo q mude o passo da iteracao para pular alguns numeros durante os testes? Ou eu vo ter q testar 2,3,4,5,6,7,8,...,sqrt(7919) um-a-um mesmo? Bem, você não precisa testar todos os números... só os primos menores que sqrt(7919) já são suficientes ! Entendi... mas como eu sei que um numero menor que sqrt(7919) eh primo ou nao pra saber se eu devo testar ele ou nao? Desse jeito eu acabo tendo q testar todos os menores q sqrt(7919).. Exemplo: eu tenho q testar se ele eh divisivel por 16, pois eu nao vou saber se 16 eh primo ou nao antes de testar 16 dividindo 1,2,...,sqrt(16).. nesse caso seria melhor testar logo de cara se 7919 eh divisivel por 16.. Bem... em todo caso essa dica do sqrt(7919) ja ajuda *muito*.. Obrigado. ;) Depois de testar que 7919 não é múltiplo de 2 nem de 3 basta testar os números da forma 6n +- 1 (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, ...) pois os outros claramente não são primos. Note que na pequena lista acima o primeiro número *não* primo que aparece é 25: quanto mais você avançar, mais raros vão ficar os primos mas sendo 7919 relativamente pequeno o desperdício de tempo não será tão grande assim. Para um número pequeno como 7919 isto talvez seja a melhor coisa a fazer. Mas dê uma olhada também no meu livro com o Gugu (Primos de Mersenne e..., está na minha home page e você também pode encomendar do Impa; a minha home page aparece no rodapé de todas as mensagens) e no trabalho do Agrawal e os alunos indianos dele que provaram que existe um algoritmo surpreendentemente simples que verifica em tempo polinomial no número de algarismos se um inteiro é primo ou não: procure por Agrawal PRIMES no google para ver um monte de coisa. Alguns links: http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html http://www.cse.iitk.ac.uk/news/primality.html Um assunto importante e simples são os testes de primalidade baseados no pequeno teorema de Fermat. No seu caso você calcularia 2^7918 mod 7919 (esta conta é bem mais fácil de fazer do que pode parecer a primeira vista): se der qualquer coisa diferente de 1 o número é composto (sabemos disso mesmo *sem* sabermos fatorar o número!) e se der 1 o número é *quase* certamente primo. Se der 1 mas você ainda estiver desconfiado você pode tentar 3^7918 mod 7919. Se você precisar ter *certeza* de que o número é primo é que dá um pouco mais de trabalho. Alguém mencionou a função isprime() do matlab. Eu não estou familiarizado com o matlab, mas para números maiores do que 7919 eu recomendaria verificar as instruções com cuidado se você precisar ter certeza se o número é primo. No Maple 9 a função isprime() só diz que o número é quase-certamente-primo: Description - The function isprime is a probabilistic primality testing routine. - It returns false if n is shown to be composite within one strong pseudo-primality test and one Lucas test and returns true otherwise. If isprime returns true, n is ``very probably'' prime - see Knuth ``The art of computer programming'', Vol 2, 2nd edition, Section 4.5.4, Algorithm P for a reference and H. Riesel, ``Prime numbers and computer methods for factorization''. No counter example is known and it has been conjectured that such a counter example must be hundreds of digits long. Provavelmente dentro de pouco tempo estes programas implementarão o algoritmo de Agrawal (ou equivalente) mas parece que ainda não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Mais um Outro Problema Legal
Problema Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentença de morte, mas ele pode ser beneficiado com o perdão na seguinte situação: O Juiz coloca a disposição dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre três caixas, sendo no mínimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem é vendado para então escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (também aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdão se a bola retirada for branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorável, qual é a probabilidade dele receber o perdão? Benedito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matriz inversa
On Wed, Feb 25, 2004 at 09:57:27AM -0300, Carlos Gomes wrote: Verifique que se I-AB é invertível ( I é a matriz identidade de ordem n e A e B são matrizes quadradas de ordem n) I-BA também é invertível e além disso (I-BA)^(-1) = I+B.(I-AB)^(-1) . A. Seja C = (I - AB)^(-1). Temos C(I-AB) = (I-AB)C = I ou C - CAB = C - ABC = I donde CAB = ABC = C - I. Escreva agora (I+BCA)(I-BA) = I+BCA-BA-B(CAB)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I (I-BA)(I+BCA) = I+BCA-BA-B(ABC)A = I+BCA-BA-B(C-I)A = I+BCA-BA-BCA+BA = I []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal
P(p) = 1 - P(m) Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e C3( 16 b, 6 p ) P(m) = 1/3*6/22 = 1/11 P(p) = 1 - 1/11 = 10/11 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 12:36:09 -0300 Problema Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentença de morte, mas ele pode ser beneficiado com o perdão na seguinte situação: O Juiz coloca a disposição dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre três caixas, sendo no mínimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem é vendado para então escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (também aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdão se a bola retirada for branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorável, qual é a probabilidade dele receber o perdão? Benedito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Take off on a romantic weekend or a family adventure to these great U.S. locations. http://special.msn.com/local/hotdestinations.armx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Qwert Smith, Entendi seu raciocinio. Ele esta correto. Como Prof lhe daria 10. Entretanto observo que a sua resposta, abaixo destacada, esta mal redigida e um Prof estilo PICUINHA poderia usar este fato para retirar pontos que voce,por justica, nao merece perder. A titulo de exemplificacao, vou contar um fato que ocorreu comigo. Numa prova havia a seguinte questao : Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Bom, voltando ao Benedito e preservando as definicoes originais que ele deu, fica claro que podemos voltar ao ponto de partida, qualquer que seja as coordenadas iniciais (Li,Ci). Isto seria algo como um ponto fixo. Portanto, tem sentido a pergunta : Seja (Li,Ci) as coordenadas da posicao inicial do objeto. Quais as coordenadas do primeiro ponto fixo ? Isto e, qual as coordenadas que primeiro se repetirao apos um numero inteiro e determinado de movimentos ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1332,250204 From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 08:41:20 -0500 Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RESSACA NEURÓBICA!
isto não seria o PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS??? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 24 de fevereiro de 2004 21:02 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RESSACA NEURÓBICA! Valeu! Pessoal! Se não é o seu forte, Ronaldo, muito menos o meu! Nada melhor que um bom exercício matemático para repor as energias (Aeróbica Mental!) 17 matemáticos de todo o mundo trocam correspondência sobre 3 temas. Cada dupla de matemáticos se corresponde sobre um e apenas um tema. Mostre que existem pelo menos 3 matemáticos que se correspondem sobre o mesmo tema. Um abração e bom descanso! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal
A resposta est correta. Uma parte interessante da questo mostrar que a arrumao ideal justamente a que voc sugeriu. Benedito - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 12:56 PM Subject: RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal P(p) = 1 - P(m) Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e C3( 16 b, 6 p ) P(m) = 1/3*6/22 = 1/11 P(p) = 1 - 1/11 = 10/11 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 12:36:09 -0300 Problema Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentena de morte, mas ele pode ser beneficiado com o perdo na seguinte situao: O Juiz coloca a disposio dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre trs caixas, sendo no mnimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem vendado para ento escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (tambm aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdo se a bola retirada for branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorvel, qual a probabilidade dele receber o perdo? Benedito = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Take off on a romantic weekend or a family adventure to these great U.S. locations. http://special.msn.com/local/hotdestinations.armx = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] dúvidas
Para o primeiro problema: Eu não sei que notaçao é usada para binomiais. Estou usando C(x,y)=x!/y!(x- y)! Para dar mais cara, temos que considerar combinações a partir de C(x,(x/2) +1), se x for par, ou a partir de C(x,(x+1)/2), até C(x,x), e dividir isso pelo número total de eventos, 2^x. Claro, se x for ímpar, a soma S=C(x,(x+1)/2) + C(x,(x+1)/2 + 1) + ... + C (x,x) será S=(2^x)/2. Se x for par, S=[2^x - C(x,x/2)}/2. A) P=2^11/2*2^11 == Pa=50% B) P=[2^12 - C(12,6)]/2*2^12 == Pb=38,72% C) P=2^13/2*2^13 == Pc=50% D) P=[2^14 - C(14,7)]/2*2^14 == Pd=39,52% E) P=2^15/2*2^15 == Pe=50% Assim, Bruno apresenta a menor chance de tirar mais caras do que coroas. O segundo problema já foi respondido. Daniel Nunes == Tarcio Santiago ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: olá amigos poderiAM DAR UMA AJUDA POR FAVOR 1) Antonio, Bruno, César, Dario e Ernesto jogam uma moedaidônea 11, 12, 13, 14 e 15 vezes, respectivamente. Apresenta amenor chance de conseguir mais caras do que coroas: (A) Antonio; (B) Bruno;(C) Cesar;(D) Dario;(E) Ernesto. 2- Dois mísseis são lançados diretamente um contra o outro, oprimeiro a 18.000 km/hora e o segundo a 12.000 km/hora. Sabendoque no instante do lançamento eles se encontravam a 4768quilômetros de distância um do outro, a distância entre eles, a umminuto da colisão é, em kilômetros: (A) 500(B) 750(C) 1000(D) 1500(E) 2384 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Número Primo
Puxa vida! Quanta coisa existe sobre verificação de números primos... Agora é só estudar! Muito obrigado a todos! -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Nicolau C. Saldanha Sent: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 12:21 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Número Primo On Wed, Feb 25, 2004 at 01:34:19AM -0300, David wrote: David wrote: Mas tipo, serah q existe algum algoritmo q mude o passo da iteracao para pular alguns numeros durante os testes? Ou eu vo ter q testar 2,3,4,5,6,7,8,...,sqrt(7919) um-a-um mesmo? Bem, você não precisa testar todos os números... só os primos menores que sqrt(7919) já são suficientes ! Entendi... mas como eu sei que um numero menor que sqrt(7919) eh primo ou nao pra saber se eu devo testar ele ou nao? Desse jeito eu acabo tendo q testar todos os menores q sqrt(7919).. Exemplo: eu tenho q testar se ele eh divisivel por 16, pois eu nao vou saber se 16 eh primo ou nao antes de testar 16 dividindo 1,2,...,sqrt(16).. nesse caso seria melhor testar logo de cara se 7919 eh divisivel por 16.. Bem... em todo caso essa dica do sqrt(7919) ja ajuda *muito*.. Obrigado. ;) Depois de testar que 7919 não é múltiplo de 2 nem de 3 basta testar os números da forma 6n +- 1 (5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, ...) pois os outros claramente não são primos. Note que na pequena lista acima o primeiro número *não* primo que aparece é 25: quanto mais você avançar, mais raros vão ficar os primos mas sendo 7919 relativamente pequeno o desperdício de tempo não será tão grande assim. Para um número pequeno como 7919 isto talvez seja a melhor coisa a fazer. Mas dê uma olhada também no meu livro com o Gugu (Primos de Mersenne e..., está na minha home page e você também pode encomendar do Impa; a minha home page aparece no rodapé de todas as mensagens) e no trabalho do Agrawal e os alunos indianos dele que provaram que existe um algoritmo surpreendentemente simples que verifica em tempo polinomial no número de algarismos se um inteiro é primo ou não: procure por Agrawal PRIMES no google para ver um monte de coisa. Alguns links: http://crypto.cs.mcgill.ca/~stiglic/PRIMES_P_FAQ.html http://www.cse.iitk.ac.uk/news/primality.html Um assunto importante e simples são os testes de primalidade baseados no pequeno teorema de Fermat. No seu caso você calcularia 2^7918 mod 7919 (esta conta é bem mais fácil de fazer do que pode parecer a primeira vista): se der qualquer coisa diferente de 1 o número é composto (sabemos disso mesmo *sem* sabermos fatorar o número!) e se der 1 o número é *quase* certamente primo. Se der 1 mas você ainda estiver desconfiado você pode tentar 3^7918 mod 7919. Se você precisar ter *certeza* de que o número é primo é que dá um pouco mais de trabalho. Alguém mencionou a função isprime() do matlab. Eu não estou familiarizado com o matlab, mas para números maiores do que 7919 eu recomendaria verificar as instruções com cuidado se você precisar ter certeza se o número é primo. No Maple 9 a função isprime() só diz que o número é quase-certamente-primo: Description - The function isprime is a probabilistic primality testing routine. - It returns false if n is shown to be composite within one strong pseudo-primality test and one Lucas test and returns true otherwise. If isprime returns true, n is ``very probably'' prime - see Knuth ``The art of computer programming'', Vol 2, 2nd edition, Section 4.5.4, Algorithm P for a reference and H. Riesel, ``Prime numbers and computer methods for factorization''. No counter example is known and it has been conjectured that such a counter example must be hundreds of digits long. Provavelmente dentro de pouco tempo estes programas implementarão o algoritmo de Agrawal (ou equivalente) mas parece que ainda não. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal
Sei que instinto nao vale, mas acho que essa prova vai muito alem da minha capacidade matematica. Vc tem uma prova facil disso? From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 14:45:44 -0300 A resposta está correta. Uma parte interessante da questão é mostrar que a arrumação ideal é justamente a que você sugeriu. Benedito - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 12:56 PM Subject: RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal P(p) = 1 - P(m) Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e C3( 16 b, 6 p ) P(m) = 1/3*6/22 = 1/11 P(p) = 1 - 1/11 = 10/11 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 12:36:09 -0300 Problema Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentença de morte, mas ele pode ser beneficiado com o perdão na seguinte situação: O Juiz coloca a disposição dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre três caixas, sendo no mínimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem é vendado para então escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (também aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdão se a bola retirada for branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorável, qual é a probabilidade dele receber o perdão? Benedito = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Take off on a romantic weekend or a family adventure to these great U.S. locations. http://special.msn.com/local/hotdestinations.armx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Watch high-quality video with fast playback at MSN Video. Free! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200365ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Outro Problema Legal
Concordo que engoli uns passos, mas achei que foi o suficiente pra mostrar o raciocinio. Nao me importo em dar uma resposta 'perfeita', mas nao gostaria de atrapalhar outros estudantes pulando passos demais de forma que nao de pra acompanhar (de onde saiu isso?'). Acho que nao foi o caso dessa vez, mas vou tomar cuidado. O ponto inicial e sempre o primeiro a ser repetido, ja que so se chega no ponto (Cj,Lj) de um unico ponto(C(j-i),L(j-1)). Seja Nc o numero de movimento ate que (Ci = Cf) Ci = Cf - Ci + 7*Nc = Ci + 10*q - 7*Nc = 0 (mod 10) - Nc = 0 (mod 10) - Nc(min)=10 Seja Nl o numero de movimento ate que (Li = Lf) Li = Lf - Li + 3*Nl = Li + 10*q - 3*Nl = 0 (mod 10) - Nl = 0 (mod 10) - Nl(min)=10 mmc(Nc,Nl) = mmc(10,10) = 10 Generalizando: Nc = mmc(d*K)/d Nl = mmc(b*K)/b N(min) = mmc( Nc,Nl) From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 16:34:22 + Ola Qwert Smith, Entendi seu raciocinio. Ele esta correto. Como Prof lhe daria 10. Entretanto observo que a sua resposta, abaixo destacada, esta mal redigida e um Prof estilo PICUINHA poderia usar este fato para retirar pontos que voce,por justica, nao merece perder. A titulo de exemplificacao, vou contar um fato que ocorreu comigo. Numa prova havia a seguinte questao : Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Bom, voltando ao Benedito e preservando as definicoes originais que ele deu, fica claro que podemos voltar ao ponto de partida, qualquer que seja as coordenadas iniciais (Li,Ci). Isto seria algo como um ponto fixo. Portanto, tem sentido a pergunta : Seja (Li,Ci) as coordenadas da posicao inicial do objeto. Quais as coordenadas do primeiro ponto fixo ? Isto e, qual as coordenadas que primeiro se repetirao apos um numero inteiro e determinado de movimentos ? Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1332,250204 From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 08:41:20 -0500 Nao. Usando a mesmo formato : Apos N movimentos - Ci + 5*N = 10*q + Cf Se N e par: Ci + 5*2m = 10*q + Cf - Ci + 10*m = 10*q + Cf - Ci = Cf ( Ci, Cf 10 ) N impar: Ci + 5*(2m+1) = 10*q + Cf - Ci + 5 + 10*m = 10*q + Cf Ci =5 - Ci - 5 = Cf ( 10) Ci 5 - Ci + 5 = Cf ( 10) Com um raciocinio semelhante se deduz que Lf e sempre impar se Li impar e sempre par se Li par. Generalizando: Em uma matriz quadrada de ordem K e impossivel atingir qualquer posicao final a partir de uma posicao aleatoria (Li,Ci) apenas com movimentos d para a direita e b para baixo se d e/ou b sao fatores de K. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Watch high-quality video with fast playback at MSN Video. Free! http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200365ave/direct/01/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Número Primo
Nicolau C. Saldanha wrote: Alguém mencionou a função isprime() do matlab. Eu não estou familiarizado com o matlab, mas para números maiores do que 7919 eu recomendaria verificar as instruções com cuidado se você precisar ter certeza se o número é primo. Eu chequei o source code, o matlab primeiro gera uma lista com todos os primos menores que sqrt(n), e depois testa a divisibilidade do número por todos os elementos do conjunto. Ou seja, deve ser bem lerdo pra n grande hehehe. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 04:34:22PM +, Paulo Santa Rita wrote: Se f:R-R e periodica de periodo T e integravel em qualquer intervalo, mostre que : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f qualquer que seja a constante A A questao e trivialissima e eu coloquei : Como f e integravel em qualquer intervalo, a funcao F(x)=INTEGRAL(x ate x+T) f esta bem definida. Pelo TEOREMA FUNDAMENTAL DO CALCULO segue que F'(x) = f(x+T) - f(x). Ora, f e periodica de periodo T. Entao F'(x)=0. Isto implica F(x)=constante. Logo, o valor de F(x) nao depende de x. Portanto F(A)=F(0), isto e : INTEGRAL(A ate A+T) f = INTEGRAL(0 ate T) f. A questao valia 3.5 pontos. Eu ganhei 1 ponto nela. Fui ao Prof. ( EU PERGUNTEI ) -- Prof, por que eu perdi ponto nesta questao ? ( RESPOSTA DO PROF ) -- O seu uso do Teorema Fundamental do Calculo nao e usual ... Portanto, e bom ficar atento, porque nao e raro nos depararmos com estas figuras maravilhosas que tem a imensa habilidade de essencializar o trivial e trivializar o essencial. A mediocridade e uma doenca cultural, incuravel, transmissivel por conceitos e procedimentos. Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1718,250204 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 17:48:57 -0200 Eu não resisto à tentação de tumultuar um pouco... Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; você só pode afirmar que F'(x) = 0 para quase todo ponto. E o fato da função F ser contínua e ter derivada zero qtp *não* é suficiente para garantir que F é constante! Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Isto só vale se f for sabidamente contínua em x e x+T (ou algo similar). Note que o enunciado não diz que f é contínua nem nada do gênero apesar de que talvez fosse esta a intenção. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] geometria
Essa eu achei num fórum há uns 5 dias: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 esferas da base quadrática corta da pirâmide e o volume que a esfera do topo corta da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r? @Se do volume da pirâmide quadrática acima for cortado todos os volumes formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um volume central não cortado. Se o volume central fosse necessariamente distribuído para as 5 esferas, como seria feito a distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera corta da pirâmide? QUERO VER! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Nicolau escreveu: Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Neste caso então, a forma de responder a questão teria que embutir na solução a interpretação que o candidato deu à ela? Como examinador vc consideraria uma determinada solução para o problema como válida, devido à particuliaridade da interpretação dada pelo candidato? (sei que no seu caso vc não faria questões com ambiguidade, mas suponha que estivesse corrigindo a prova de outra pessoa). []s -- Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [Re]:Re: [obm-l] Forma canonica...
Artur, agora entendi o que vc quis dizer com o conjunto R^2. Na verdade, esse nao eh um conjunto onde todos os elementos do dominio estariam elevados ao quadrado como eu havia pensado, mas sim um conjunto formado pelos pares x e z, onde x e z representam as variaveis da funcao. Exatamente. Mas, nesse caso, como ficaria o grafico da funcao? seria uma parabola em um plano tridimensional? Nos impusemos a restricao de que x+z =8. O conjunto dos pares (x,z) que satisfazem a esta restricao estao sobre uma reta no plano XZ. O plano eh um subconjunto bidimensional do espaco tridimensional.Assim o grafico da funcao y = f(x) eh de fato uma parabola. Isto eh seccionando-se o plano XZ por um plano vertical que o intercepte na reta x+z =8, temos que, neste plano, a imagem da funcao eh uma parabola com a concavidade voltada para baixo, isto eh, a funcao tem um maximo. Kramba, pode me dar uma maozinha nesse problema. Acho que sua resolucao eh simples, mas por causa da nuvem negra que esta saindo de minha cabeca nao estou conseguindo enxerga-la... :) Sejam x e y os lados de cada um dos retangulos. Entao seu perimetro P eh P =2(x+y). Por hipotese, todos estes retangulos tem uma mesma area S = x*y - supondo-se S0. Entao, temos que y = S/x, para x0. Logo, P = 2(x +1/x). Temos agora que achar qual o valor de x, em funcao de S, que minimiza o valor de P. A forma natural de fazer isto eh derivar P com relacao a x, mas voce ainda nao estudou Calculo, certo? Uma outra forma de resolver eh a seguinte: Temos que P = 2(x +S/x), para x0. Dado que minimizar o perimetro P eh a mesma coisa que minimizar o semiperimetro p =P/2, vamos, para facilitar, abordar este ultimo caso. Entao p = x +S/x, e x^2 - p*x + S =0. A ideia agora eh achar o menor valor que p deve assumir para que esta equacao do segundo grau tenha raizes reais. Para que isto ocorra o discriminante D deve ser =0, o que nos conduz a D = p^2 - 4S =0 e p = 2sqrt(S). Logo o menor valor de p que acarreta D=0 eh p_min = 2sqrt(S). Para p = p_min, temos entao que a unica solucao da equacao do 2o grau eh x = p_min/2 = sqrt(S). Segue-se portanto que y = S/x = S/sqrt(S) = sqrt(S), do que deduzimos que x =y. Concluimos assim que, dentre todos os retangulos de mesma area, o que apresenta menor perimetro eh o quadrado. E serah que existe algum que apresenta perimetro maximo? Temos que P = 2(x + S/x). Eh facil ver, mesmo sem recorrer ao Calculo, que fazendo-se x tener a zero, entao S/x tende a infinito, torna-se tao grande quanto se queira. E mantemos a area constante, pois x. S/x = S. E como S/x vai para infinito, P tambem vai. Nao existe portanto um reytangulo com maximo perimetro, sempre podemos, mantendo a area constante, aumentar indefinidamente o perimetro. Voce vai obtendo um retangulo no qual um dos lados, digamos a altura, fica muito pequena e a base tende a infinito. A soma dos lados vai par o infinito. Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail SpamGuard - Read only the mail you want. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Forma canonica...
--- Rick [EMAIL PROTECTED] wrote: Claudio, se nao for pedir muito, voce pode me esclarecer o que significa essa expressao: ln(y) = x*ln(S) - x*ln(x) esse inquer dizer o que? Nao eh in, eh ln. Significa a funcao logaritmo neperiano. Isto eh, ln(x) eh o log. neperiano de x. Uma outra notacao comum eh L(x). Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail SpamGuard - Read only the mail you want. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Essa eu achei num fórum há uns 5 dias: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? Vou chamar esse problema de P. Esse problema tem um análogo P' bidimensional: Três circulos de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formam um triângulo. O triângulo corta uma certa área de cada círculo. Qual o maior valor desta área em função de r? Haha... Eu acho que as idéias usadas para resolver P' podem ser usadas para resolver P, é claro que fazendo algumas adapatações. Vamos ver. Vou tentar resolvê-lo antes que alguém o faça :) -- Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Olá amigos da OBM-L. Esse exercicio consta no livro "Exercicio de Geometria Plana" - Edgar de Alencar Filho. 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Se eu nao me engano esse é um exercicio parecido com um que ha no livro "Geometria I" - Morgado, Wagner e Jorge. Muito Obrigado. Victor.
Re: [obm-l] Teorema de Baire
Oi Duda, Obrigado pela sua explicacao. De fato, este conceito de medir o espaco topologico eh muito interessante. Gostaria de chamar a atencao para frase (a) não existe função dos reais nos reais contínua exatamente nos irracionais; Acho que vc queria dizer outra coisa, certo? na realidade, existe uma funcao f:R-R continua soh nos irracionais e descontinua nos racionais. Um exemplo eh a funcao de Thomae, dada por f(x) =0 se x for irracional e f(x) = 1/n se x for racional, sendo m e n0 inteiros primos entre si tais que m/n = x. Um abraco Artur --- Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Artur. Lendo sua pergunta, me veio uma idéia à cabeça. Espero que ajude a esclarecer a questão. Uma forma de medir o tamanho de um espaço topológico (espaço + topologia) é verificando se nele, a interseção contável de subconjuntos abertos densos é não-vazia. Neste caso, dizemos que o espaço é de Baire. Existem várias formulações de teoremas de Baire. A mais tradicional que eu costumo ver é que um espaço métrico completo é um espaço de Baire. No meu livro de Topologia Geral, diz que um subconjunto G-delta de um espaço de Hausdorff compacto é um espaço de Baire. Tanto faz, para o meus propósito. O importante é que com este CONCEITO, ou com esta FORMA DE MEDIR O TAMANHO DO ESPAÇO ou com esta PROPRIEDADE DO ESPAÇO TOPOLÓGICO, podemos resolver os seguintes problemas: (a) não existe função dos reais nos reais contínua exatamente nos irracionais; (b) existem funções contínuas não deriváveis em nenhum ponto; (c) o plano de Moore não é normal; (d) sendo f função dos reais nos reais tal que para todo x real existe n natural com f^n(x)=0 então f é polinômio. O que nos convence de que este conceito é natural, pois ele nos possibilita resolver (pelo menos de modo fácil) muitos problemas. Muitas vezes, o modo de resolver um problema é saber olhar para ele de forma correta. O exempo mais marcante que eu lembro são os problemas da quadratura do círculo, da trisecção do ângulo e da duplicação da esfera. O fato de olher para as extensões de corpo, como espaços vetoriais, traz a tona o conceito de dimensão, que resolve facilmente o problema. Abraço, Duda. From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] Boa tarde. Eu sei que este assunto eh um tanto fora do contexto usual desta lista, mas serah que alguem poderia falar um pouco sobre o Teorema de Baire? Eu conheco teorema (ele pode ser encontrado em uma serie de bons livros) mas eu ainda nao consegui ter uma boa percepcao sobre ele, ainda nao entrou na massa do meu sangue. Foi um processo semelhante com o conceito de conjunto compacto. A principio, eu tive alguma dificuldade de assimilar a definicao baseada em cobreturas abertas. Mas com o tempo isto me pareceu natural Obrigado a quem puder colaborar. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail SpamGuard - Read only the mail you want. http://antispam.yahoo.com/tools = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +, Paulo Santa Rita wrote: A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Se f era contínua então você tem razão, o professor é que foi criador de caso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 06:21:18PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Nicolau escreveu: Que tipo de integral é esta? Se for de Lebesgue, então você *não pode* (a primeira vista) afirmar que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x; Mesmo se a integral for de Riemann, você continua sem poder afirmar (a primeira vista) que F'(x) = f(x+T) - f(x) = 0 para todo x. Neste caso então, a forma de responder a questão teria que embutir na solução a interpretação que o candidato deu à ela? Como examinador vc consideraria uma determinada solução para o problema como válida, devido à particuliaridade da interpretação dada pelo candidato? (sei que no seu caso vc não faria questões com ambiguidade, mas suponha que estivesse corrigindo a prova de outra pessoa). Parece que na questão original f era mesmo contínua, então está tudo certo. A diferença entre integral de Riemann e de Lebesgue é basicamente que a de Lebesgue é definida para mais funções então mudar de integral muda a classe de funções sendo discutida. Depende do contexto saber qual suposição é mais razoável e a minha opinião dependeria deste contexto. Num curso de cálculo seria natural supor f contínua mesmo que o enunciado não dissesse; num curso de medida seria uma clara distorção do enunciado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Forma canonica...
On Wed, Feb 25, 2004 at 01:33:48PM -0800, Artur Costa Steiner wrote:
--- Rick [EMAIL PROTECTED] wrote:
Claudio, se nao for pedir muito, voce pode me
esclarecer o que significa
essa expressao: ln(y) = x*ln(S) - x*ln(x)
esse inquer dizer o que?
Nao eh in, eh ln. Significa a funcao logaritmo
neperiano. Isto eh, ln(x) eh o log. neperiano de x.
Uma outra notacao comum eh L(x).
Outra notação comum para o logaritmo natural de x é log(x).
O logaritmo na base 10 é um fóssil, um remanescente da época
em que usavam tábuas de logaritmos para fazer contas.
Fora dos livros de ensino médio, se você encontrar a expressão log(x),
o mais provável é que isto signifique ln(x) e não log_{10}(x).
[]s, N.
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Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste caso. Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. Só acrescentando: Talvez dê pra resolver o caso geral usando força bruta, isto é, com geometria analítica você calcula todos os pontos, todas as retas e os ângulos entre elas ... haja braço... []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal
Bom, voc obteve 10/11 ento, se existe algo melhor deve existir uma caixa com probabilidade acima de 10/11 de se pegar uma bola branca, suponha que a caixa 1 possua probabilidade 10/11 de se pegar uma bola branca, ento: se existem 0 bolas pretas, a probabilidade de se pegar bola branca 1 10/11 e no tem porque deixar mais de uma bola branca na caixa, logo deixamos apenas UMA. no podem existir duas ou mais bolas nessa caixa, pois no h bolas brancas o suficiente para compens-las, pois b/(b+p) 10/11 = 11b 10b + 10p = b 10p, mas b = 16. se existir uma bola preta ento deve haver pelo menos 11 bolas brancas, assim a probabilidade = 11/12 10/11 sobram ento no mximo 7 bolas brancas e 5 bolas pretas para serem arranjadas em duas caixas... uma caixa deve ento conter pelo menos 3 bolas pretas. ento temos que nessa caixa com pelo menos 3 bolas pretas a maior probabilidade possvel para obter uma bola branca 6/(6+3) = 2/3 a probabilidade de pegar uma bola branca entre as trs caixas ento 1/3 * [2/3+1+1] = 8/9 10/11. isso mostra que uma das caixas contm uma nica bola branca. sobram 17 brancas e 6 pretas para duas caixas. na soluo proposta conseguimos obter 1/3[1 + 16/22] nessas caixas. se existe a soluo tima diferente, ento nas duas caixas h pelo menos uma bola preta. existe uma caixa com pelo menos 3 bolas pretas, logo b/(b+3) 8/11 = 11b 8b + 24 = 3b 24 = b = 9 bolas brancas nessa caixa, sobram no mximo 8 bolas para a outra caixa. no podemos ento ter 3 bolas em cada uma das duas caixas, pois no d pra colocar mais que 8 bolas em ambas. resta testar colocar 4 bolas pretas em uma e 2 na outra e 5 bolas pretas e 1 na outra: com 4 bolas devemos ter b/(b+4) 8/11 = 3b 32 = b = 12 sobram no mximo 5 bolas brancas para a outra caixa, ou seja 5/7 de probabilidade, mas 5/7 8/11, logo tb no d com 4 bolas. com 5 bolas devemos ter b/(b+5) 8/11 = 3b 40 = b = 14 sobram no mximo 3 bolas para a outra caixa, ou seja, a probabilidade mxima 3/4, mas nesse caso temos 3/4 + 14/19 1 + 8/11 se colocarmos 2 bolas na outra caixa temos 2/3 8/11 e acabamos com qualquer outra soluo! ufa! esse foi bem braal. - Original Message - From: benedito [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 2:45 PM Subject: Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal A resposta est correta. Uma parte interessante da questo mostrar que a arrumao ideal justamente a que voc sugeriu. Benedito - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 12:56 PM Subject: RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal P(p) = 1 - P(m) Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e C3( 16 b, 6 p ) P(m) = 1/3*6/22 = 1/11 P(p) = 1 - 1/11 = 10/11 = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Ola Pessoal, Eu vou aproveitar este bate-papo com o Prof Nicolau para esclarecer uma confusao que tenho visto ocorrer com muitos estudantes, em relacao a integral de Riemann. Se f:[a,b] - R e integravel entao f:[a,x] - R e integravel para todo x em [a,b]. Este fato e facilmente demonstravel usando os conceitos de soma superior e inferior e fica aqui como exercicio. O que quero fixar neste momento e que este fenomeno nos permite definir uma funcao : G:[a,b] - R dada for G(x)=INTEGRAL(a ATE x) f(x)dx Esta funcao e chamada INTEGRAL INDEFINIDA de f mas ( e este mas e bem grande ) esta definicao NAO GARANTE que a funcao G E DERIVAVEL ... Exemplo 1 : f:[1,3] - R f(x) = 5 se 1 = x 2 e f(x) = 7 se 2 = x = 3 Esta funcao e evidentemente integravel e faz sentido definir uma funcao G como fizemos acima. Todavia, G, nao obstante continua, NAO E DERIVAVEL no ponto x=2, justamente o ponto de descontinuidade de f. O quero dizer e que muitas propriedades interessantes de G dependem de outras propriedades interessantes de f. E o estudo da integral de Riemann tem esta faceta, vale dizer, a partir de uma compreensao de f inferimos propriedades em G. Exemplo 2 : Se f :[a,b]-R integravel for limitada entao G e necessariamente continua ( mais : G sera uniformemente continua ! ) Se f:[a,b]- for continua ( e portanto integravel ) entao G e derivavel. E este ultimo fenomeno, facilmente demonstravel e que fica aqui como exercicio, que permite definir a FUNCAO PRIMITIVA. G sera uma primitiva de f se, alem de ser definida como falamos acima, for derivavel. E MUITO IMPORTANTE PERCEBER ESTA DIFERENCA : Toda primitiva e uma integral indefinida, mas nem toda integral indefinida e uma primitiva. Se G e primitiva de f entao G'(x)=f(x). Claramente que se f for de classe C^1 entao tem derivada e esta derivada e continua. Daqui segue que f e uma primitiva de f'. Claramente que nao estou dizendo que f precisa ser C^1 para ter primitiva. Entao fica claro que PRIMITIVA e INTEGRAL INDEFINIDA sao conceitos diferentes. Eu acho que esta confusao deriva de alguns livros que misturam sutilmente estes conceitos. Mas e certo que nao raro muitos estudantes confundem estas coisas. Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1941,250204 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 19:43:48 -0200 On Wed, Feb 25, 2004 at 08:18:49PM +, Paulo Santa Rita wrote: A integral era de Riemann. Se f e continua entao e integravel e sua integral indefinida e derivavel, logo, e uma primitiva. Portanto, EU PODERIA usar o Teorema Fundamental tal como usei. No enunciado estava claro ( se nao coloquei isso aqui, foi esquecimento ) que f era continua em R (numeros reais) Se f era contínua então você tem razão, o professor é que foi criador de caso. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria
Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço da esfera de raio 1 limitaedo por três segmentos que são pedaços de círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C. A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos em radianos). On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo esférico contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3 disso (pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo A - Pi/3 ~= 0.1837618663. Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3. Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera (que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103. @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 esferas da base quadrática corta da pirâmide e o volume que a esfera do topo corta da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r? Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base. Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0), (0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2) logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é (4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já dissemos, SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~= 0.4531158786. Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor de cada vértice. @Se do volume da pirâmide quadrática acima for cortado todos os volumes formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um volume central não cortado. O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082. Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446. Se o volume central fosse necessariamente distribuído para as 5 esferas, como seria feito a distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera corta da pirâmide? Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e áreas são trivialmente proporcionais, como já vimos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!
- Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 24, 2004 1:00 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE! On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma semicircunferência. Minha interpretação do enunciado é que a medida de probabilidade é a uniforme e que os três pontos são escolhidos independentemente. Podemos supor que o círculo é o círculo unitário em C. Multiplicar os três pontos por um mesmo complexo de módulo 1 não altera a condição (de que os três estejam em uma semicircunferência) assim podemos supor sem perda de generalidade que o primeiro ponto é 1. Conjugar os três pontos também não altera a condição e podemos portanto supor que o segundo é e^(ti), 0 = t = pi; a distribuição de probabilidade de t neste intervalo é uniforme. O terceiro ponto é e^(si), -pi = s = pi: a condição vale desde que t - pi = s = pi. Assim, dado t, a probabilidade de que valha a condição é (2pi - t)/2pi = 1 - t/2pi. A probabilidade que queremos calcular é p = (1/pi) * int_0^pi (1 - t/2pi) dt = 3/4. []s, N. Nicolau e amigos da lista, boa noite!!! Gostaria de solicitar comentários acerca do modo que acredito ter resolvido a questão: Considere A e B dois pontos não diametralmente opostos tomados nessa circunferência (caso fossem diametralmente opostos seria evidente que os três pontos pertenceriam a uma mesma semicircunferência). Considere, ainda, A* e B* pontos diametralmente opostos a A e B, respectivamente. Observe que, dessa forma, divido a circunferência nos arcos AB, BA*, A*B* e B*A. Portanto, o terceiro ponto estaria em uma mesma semicircunferência dos outros dois caso não pertencesse a A*B* (excluindo A* e B*, evidentemente). Logo, a probabilidade pedida seria 3/4. Um grande abraço a todos, Poncio Mineiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal
A probabilidade de se escolher a caixa correta 1/3 . Se a caixa possui o nmero mximo possivel de bolas, a probabilidade de escolher a bola dentro da caixa 1/22. Logo, a probabilidade de se retirar uma determinada bola maior do que ou igual a (1/3).(1/22). Como existem 6 bolas pretas, a probabilidade de se retirar uma bola preta maior do que ou igual a 6. (1/3).(1/22)= 1/11. Por outro lado, na distribuio que voc propos, 1/11 a probabilidade de se retirar uma bola preta. Portanto, para se retirar uma bola branca, essa distribuio a melhor. Benedito - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 4:09 PM Subject: Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Sei que instinto nao vale, mas acho que essa prova vai muito alem da minha capacidade matematica. Vc tem uma prova facil disso? From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 14:45:44 -0300 A resposta est correta. Uma parte interessante da questo mostrar que a arrumao ideal justamente a que voc sugeriu. Benedito - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 25, 2004 12:56 PM Subject: RE: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal P(p) = 1 - P(m) Me parece que a arrumacao ideal e C1( 1 bola branca ), C2( 1 bola Branca) e C3( 16 b, 6 p ) P(m) = 1/3*6/22 = 1/11 P(p) = 1 - 1/11 = 10/11 From: benedito [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Mais um Outro Problema Legal Date: Wed, 25 Feb 2004 12:36:09 -0300 Problema Numa pequena e remota ilha um homem recebeu uma sentena de morte, mas ele pode ser beneficiado com o perdo na seguinte situao: O Juiz coloca a disposio dele 18 bolas brancas e 6 bolas pretas, para que o homem divida-as entre trs caixas, sendo no mnimo uma em cada caixa. Depois disso, o homem vendado para ento escolher, aleatoriamente, uma das caixas e dela retirar (tambm aleatoriamente) uma bola. O homem recebe o perdo se a bola retirada for branca. Supondo que o homem distribuiu as bolas da forma mais favorvel, qual a probabilidade dele receber o perdo? Benedito = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO
Olá a todos! A solução que o Nicolau citou é obtida traçando-se uma paralela QQ´ a AC, onde Q´ pertence ao lado BC. Ligando-se o ponto Q´ ao ponto A, obtemos o ponto D na interseção de AQ´ com CQ. Como o triângulo ACD é equilátero e o triângulo APC é isósceles, verificamos que PC = DC. Logo, o ângulo PDC = 80º e portanto, PDQ´ mede 40º. Do triângulo ACQ´, tiramos que o ângulo AQ´C mede também 40º. Vemos, portanto, que os triângulos DQQ´ e DPQ´ são respectivamente equilátero e isósceles apoiados na mesma base DQ´. Daí tiramos que as alturas são também bissetrizes internas e estão sobre a reta QP. Logo, o ângulo QPD mede 50º pois é a metade de DPQ´ que vale 100º. Como o ângulo APQ é a soma de APD e DPQ, ele mede 30º + 50º = 80º. Eu também estou muito interessado na solução geral para ângulos quaisquer na base, já que esta solução só funciona porque o triângulo APC é isósceles e o triângulo ACD é equilátero. Se mudássemos o ângulo CAP para 45º, por exemplo, já não poderíamos aplicar a mesma solução. Como fazer neste caso? Acredito que seja também uma luz para o problema do Pacini que tinha o título geometria nesta lista. Só consigo resolver utilizando trigonometria e/ou geometria analítica. Um grande abraço, Guilherme Marques. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Exercicio Geometria Plana - ANTIGO Em 25 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Wed, Feb 25, 2004 at 06:45:10PM -0300, Victor Machado wrote: 80. ABC é um triangulo isosceles cujo angulo do vertice ^B = 20o ; P e Q sao pontos respectivamentes dos lados iguais BC e AB tais que o angulo CÂP = 50o e o angulo A^CQ = 60o . Calcular o angulo A^PQ. --- Este problema é um clássico e é bastante difícil. A solução mais tradicional envolve traçar umas retas auxiliares e observar que um monte de triângulos são isósceles e/ou equiláteros. Me deram esse problema quando eu tinha 14 e eu não resolvi, mas fiz o que o professor Nicolau está dizendo, tracei um monte de retas auxiliares e triângulos e fiquei analisando as geometrias das figuras. O que me veio a mente depois de ver a solução, foi se existiria solução no caso geral para ângulos arbitrários e como alguém resolveria isso neste caso. Eu imagino que as técnicas aplicadas para resolver o caso geral não sejam elementares e apelariam para formas modulares ou coisas do gênero. Talvez alguém da lista possa falar a respeito. []s Ronaldo L. Alonso _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Sempre é util caro Paulo. Essa lista, na minha humilde opiniao, já deveria ter mudado seu escopo para MATEMATICA faz tempo. Tem muita gente boa reunida por aqui e acredito que perdemos muitas discussoes interessantes devido ao medo de muitos participantes não opinarem sobre certo assunto ou iniciarem alguma discussao por que o tema da lista é MATEMATICA OLIMPICA e temos um adiministrador bem observador (apesar de eu nao me lembrar de ele ter reprimido alguem por estar discutindo matematica sem ser olimpica). De qualquer forma, fica ai minha sugestão. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outro Problema Legal
On Wed, Feb 25, 2004 at 08:03:48PM -0300, niski wrote: Eu sei que me afastei um pouco do nosso tema, MATEMATICA OLIMPICA, mas penso ser justificavel para que a minha resposta abaixo fique clara. Alem disso, eu acredito que este esclarecimento pode ser util para algumas pessoas. Sempre é util caro Paulo. Essa lista, na minha humilde opiniao, já deveria ter mudado seu escopo para MATEMATICA faz tempo. Tem muita gente boa reunida por aqui e acredito que perdemos muitas discussoes interessantes devido ao medo de muitos participantes não opinarem sobre certo assunto ou iniciarem alguma discussao por que o tema da lista é MATEMATICA OLIMPICA e temos um adiministrador bem observador (apesar de eu nao me lembrar de ele ter reprimido alguem por estar discutindo matematica sem ser olimpica). De qualquer forma, fica ai minha sugestão. De fato não vejo problema nenhum em discutirmos matemática não olímpica, a matemática olímpica é apenas uma referência para que a discussão não fique solta demais. Tem muitos problemas que são enviados para esta lista que, sem querer ser grosseiro, me parecem triviais demais para serem considerados matemática olímpica, mas eu não reclamo disso, não interpreto que isto seja um abuso a ser reprimido. Por outro lado alguns excelentes problemas já foram discutidos aqui que me parecem técnicos demais até para o nível U, e também não reclamo disso. Neste caso quem empurrou o Paulo fui eu mesmo, aliás: não resisti a fazer um comentário que não era propriamente de matemática olímpica. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] COMISSÃO DE FRENTE!
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 ponciomineiro [EMAIL PROTECTED] said: [...] On Mon, Feb 23, 2004 at 10:54:54PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Três pontos são selecionados aleatóriamente numa circunferência de raio unitário. Encontre a probabilidade de esses pontos pertencerem a uma mesma semicircunferência. [...] Nicolau e amigos da lista, boa noite!!! Gostaria de solicitar comentários acerca do modo que acredito ter resolvido a questão: Considere A e B dois pontos não diametralmente opostos tomados nessa circunferência (caso fossem diametralmente opostos seria evidente que os três pontos pertenceriam a uma mesma semicircunferência). Considere, ainda, A* e B* pontos diametralmente opostos a A e B, respectivamente. Observe que, dessa forma, divido a circunferência nos arcos AB, BA*, A*B* e B*A. Portanto, o terceiro ponto estaria em uma mesma semicircunferência dos outros dois caso não pertencesse a A*B* (excluindo A* e B*, evidentemente). Logo, a probabilidade pedida seria 3/4. [...] Isso estaria certo se os quatro arcos sempre tivessem o mesmo comprimento. Como não têm, as probabilidades associadas a cada um deles não é a mesma, logo a probabilidade pedida não é 3/4. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAPUPRalOQFrvzGQoRApHxAKDcGXFkP+7tN/CxGAxiOPxy9GTsvACfWVuD 5wC9pwabmU0D+2VDIIEYHW0= =3kUi -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...
Rafael, obrigado pela resposta, mas eu segui os procedimentos do livro e nao consigo chegar nela. Tipo, ele diz que o conjunto solucao eh a interseccao das condicoes [delta0, a.f(x)0 (onde a eh o coeficiente dominante da funcao), s/2 (media artmetica das raizes) (ou , a depender da posicao em relacao as raizes) o numero natural a ser comparado] Discriminante 0 == (-2(m+1))^2-4m(m+5)0 == == m 1/3 (I) eu nao consegui achar esse resultado, abaixo vai o meu calculo, de uma olhada e tenta descobrir onde errei... mx^2-2(m+1)x+m+5=0 0x_1x_22 Delta0 = [-2(m+1)]^2-4m(m+5) = 4(m^2+2m+1)-4m^2-20 = 4m^2-4m^2+8m+4-20 = 8m-16 0 = 8m16 = m2 -- resposta que encontrei... em seguida temos as respostas que jah escrevi na ultima msg... Thanks!... Abracao, =Rick= - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 24, 2004 10:34 PM Subject: Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes... Ahhh, e faltou uma condição ainda! Devemos ter a soma das raízes positiva: x_1+x_2 0 == 2(m+1)/m 0 == m -1 ou m 0 (IV) Agora, sim, de I, II, III e IV, podemos concluir m -5. - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 24, 2004 10:14 PM Subject: Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes... Rick, O livro do Iezzi raramente tem erros, ao menos, os volumes que já usei e as edições mais recentes estão bem cautelosas quanto às resoluções. Sobre a simbologia, é recomendável que não se usem esses caracteres para escrever mensagens, pois nem todos utilizam gerenciadores de e-mails compatíveis. Para o que você não conseguir utilizar símbolos, utilize as palvras: discriminante 0, por exemplo, A inter B etc. Sobre o seu problema, vamos lá. mx^2-2(m+1)x+m+5=0 , m 0 Discriminante 0 == (-2(m+1))^2-4m(m+5)0 == == m 1/3 (I) Sabemos que o produto das raízes deverá ser positivo, logo: x_1*x_2 0 == (m+5)/m 0 == m -5 ou m 0 (II) Pelo teorema de Bolzano, para que existam um número par de raízes reais no intervalo ]0;2[: f(0)*f(2) 0 == (m+5)(m+1) 0 == m -5 ou m -1 (III) Das condições I, II e III, concluímos que m -5. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rick [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 24, 2001 8:50 PM Subject: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes... Olá pessoal, Como sempre, estava estudando por Iezzi, e surgiu uma duvida sobre a comparacao entre um numero real e as raizes de uma funcao do 2 grau. Foi no exercicio abaixo: 1)Determinar m de modo que a equacao do 2 grau mx^2-2(m+1)x+m+5=0 tenha raizes reais tais que 0x_1x_22. Eu resolvi o problema (seguindo as orientacoes do livro) desta forma: b^2-4ac0 == [-2(m+1)]^2-4m(m+5) = 8m-160 == m2 (I) p/ 0x_1x_2: a.f(0)0 == m(m-5)0 == m0 ou m-5 (II) *s/20 == 2m+2/2m0 == m-1 (III) *(S/2 eh a media artmetica das raizes) p/ x_1x_12: a.f(2)0 == m[4m-4(m+1)+m+5] == m0 ou m-1 (IV) *s/22 == -2(m+1)/2m2 == -6m-20 == m1/3 (V) o conjunto solucao serah a inter das 5 inequacoes, ou seja, I inter II inter III inter IV inter V. Minha resposta foi, m2. Porem, o livro disse que a resposta eh m-5. Em que lugar errei? jah revisei todo o cauculo e nao achei erro, entao, eu peco a ajuda de algum membro para este meu problema. Tambem gostaria de saber se em livros como iezzi (ou outros livros de edicoes antigas) sao frequentes os erros nas respostas (nao que esse seja o caso, pois, em uma questao posterior, fiz da maneira como o livro me ensinou porem a resposta nao batia, por isso acho que o problema eh comigo). P.S: Alguem sabe como coloca (digita) o simbolo do delta e da interseccao? Desde jah, agradeco o tempo depositado na leitura e na assistencia do problema. =Rick= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] APOSTOL - problemas em trans. linear e matrizes
Fala pessoALL,
Alguém ai pode me ajudar nessa ?? Já tentei de tudo
qto é jeito..mas a coisa não anda..
Let V = {0,1}. Describe all functions T: V - V. There
are four altogether. Label them as T1, T2, T3, T4 and
make a multiplication table showing the composition of
each pair. indicate which functions are one-to-one on
V and give their inverses.
__
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RES: [obm-l] geometria
Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz. Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes êxitos. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] geometria Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço da esfera de raio 1 limitaedo por três segmentos que são pedaços de círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C. A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos em radianos). On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo esférico contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3 disso (pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo A - Pi/3 ~= 0.1837618663. Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3. Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera (que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103. @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 esferas da base quadrática corta da pirâmide e o volume que a esfera do topo corta da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r? Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base. Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0), (0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2) logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é (4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já dissemos, SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~= 0.4531158786. Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor de cada vértice. @Se do volume da pirâmide quadrática acima for cortado todos os volumes formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um volume central não cortado. O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082. Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446. Se o volume central fosse necessariamente distribuído para as 5 esferas, como seria feito a distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera corta da pirâmide? Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e áreas são trivialmente proporcionais, como já vimos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes...
Rick, Então, vamos recomeçar a questão só usando essas condições que o livro sugeriu? Deixarei todos os cálculos expostos, dessa forma, é mais fácil de se entender (e mais difícil de se errar). - Determinar m de modo que a equação do 2º. grau mx^2-2(m+1)x+m+5=0 tenha raízes reais tais que 0x_1x_22. Passo 1: Delta 0 == (-2(m+1))^2 - 4m(m+5) 0 == 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20m 0 == -12m -4 0 == m 1/3 (O seu erro está na distributiva de - 4m(m+5) = - 4m^2 - 20, que é, - 4m^2 - 20m). Passo 2: f(0) = m + 5 f(2) = m + 1 Sabemos que f(x_1) = f(x_2) = 0. Se m 0, então: f(0) f(x_1) == f(0) 0 f(2) f(x_2) == f(2) 0 Se m 0, então: f(0) f(x_1) == f(0) 0 f(2) f(x_2) == f(2) 0 Logo, para ambos os casos, teremos: m*f(0) 0 == m(m+5) 0 == m -5 ou m 0 m*f(2) 0 == m(m+1) 0 == m -1 ou m 0 Passo 3: As raízes que estão no intervalo 0 x_1 x_2 2 são positivas. Dizer média aritmética das raízes é o mesmo que se referir ao eixo de simetria da parábola em estudo. Dessa forma: x_1+x_2 = [2(m+1)]/m e 0 (x_1+x_2) 2 (x_1+x_2)/2 0 == (m+1)/m 0 == m(m+1) 0 == m -1 ou m 0 e (x_1+x_2)/2 2 == (m+1)/m 2 == m(m+1) 2m^2 == m(m-1) 0 == m 0 ou m 1 Portanto, (m -1 ou m 0) e (m 0 ou m 1) = m -1 ou m 1 Dos resultados anteriores, concluímos que m -5. (Sugestão: você pode montar o varal (várias retas dos reais) para cada passo e seus resultados. A intersecção, assim, é mais facilmente visualizada.) Qualquer dúvida, não hesite, escreva! ;-) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Rick [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, June 28, 2000 10:27 PM Subject: Re: [obm-l] Iezzi: Comparacao entre numero e raizes... Rafael, obrigado pela resposta, mas eu segui os procedimentos do livro e nao consigo chegar nela. Tipo, ele diz que o conjunto solucao eh a interseccao das condicoes [delta0, a.f(x)0 (onde a eh o coeficiente dominante da funcao), s/2 (media artmetica das raizes) (ou , a depender da posicao em relacao as raizes) o numero natural a ser comparado] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
