Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores do Pa
I João! Caramba !!! Passo a bola pro Nicolau, pois certamente ele poderá fornecer dicas de Instituições relacionadas à OBM que desenvolvem este tipo de trabalho sem interesse comercial... Sei que há uma série de atividades ligadas à olimpiadas, mas esperemos o Nicolau responder... l Grande abraço, Nehab At 16:21 3/8/2007, you wrote: Nehab, Ponce: Quais são todos professores residentes nos grandes centros que preparam jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam também partícipes desta bela lista? Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação. Fraternalmente, João = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
O grau algébrico de um número (algébrico) N é o grau do polinômio mônico irredutível de coeficientes racionais onde N aparece como raiz. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumberMinimalPolynomial.html http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number Perguntas: 1- É adequado pensar em um número transcendente como um algébrico de grau infinito? 2- Em caso de resposta afirmativa para a primeira pergunta (eu acho que sim), alguém conhece alguma prova de transcendência baseada nesta idéia? []´s Demetrio --- ralonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: É verdade me enganei. Bem lembrado: A soma de um algebrico com um transcendente é transcendente e o produto de um algebrico não nulo por um transcendente é transcendente. Na verdade o que eu enunciei é apenas uma conjectura. Acho que é possível demostrá-la, usando as idéias de Liouville para provar a transcendência de pi e e. Vou ver se encontro algum tempo para discutir e expor a prova de Liouvile e fazer comentários aqui na lista. Se alguém demonstrar vai ficar famoso. Abraços Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Nao, a soma e o produto de de dois transcendentes nao tem que ser transcendente. por exemplo, pi e 1 - pi sao transcendentes mas a soma eh 1, inteiro. pi e 1/pi sao transcendentes, mas o prduto eh 1. A soma de um transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendenteArtur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: sexta-feira, 3 de agosto de 2007 09:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional Ora pi + e é irracional, pois ambos são transcendentes. Se eu não me engano a soma e o produto de dois transcendentes é transcendente, logo são irracionais. Bruno França dos Reis wrote: Eu aposto, com probabilidade de acerto igual a 1, que pi + e é irracional! Truco! 2007/8/2, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: De fato, o Bruno tem razão, e existem exemplos ainda menos artificiais. Se x e y são dois números irracionais, não há como decidir, a priori, se x + y, x/y ou xy são ou não irracionais, casos simples à parte. Não se sabe nem mesmo se 'pi + e' é irracional, segundo o mathworld: http://mathworld.wolfram.com/Pi.html. Abraço, - Leandro. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Dúvida na interpretação
Comecei a estudar um livro sobre Teoria dos Números e logo no inicio o autor faz a seguinte definição: Se a e b são inteiros dizemos que a divide b, denotado por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c. Em seguida há um teorema que na verdade são as propriedades da divisão. A divisão tem as seguintes propriedades: (i) n|n (ii) d|n - ad|an ... E a demonstração, o que eu não consigo entender é a forma dele demonstrar (i). Como n = 1*n segue da definição que n|n, *inclusive para n = 0* Isso me deixou meio confuso, pelo o que entendi implica em 0 divide 0, mas pelos mandamentos divinos da matemática 0 não divide nada. Por outro lado 0 = 1*0. Mas 0 = k*0 para qualquer k. Eu estou interpretando errado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Favor Responder...
vlw pessoal... vi que a minha voz ressoa por estes cantos daí! Até!
Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores doPaís
Eu tinha escrito um e-mail enorme citando um monte de gente que participa aqui, mas o descartei pois pois achei também melhor deixar para o professor Nicolau responder -- Ele tem a lista completa, eu corria o risco de citar alguém de forma indevida (muitos participam anonimamente para resguardar a privacidade) ou poderia esquecer de algum nome e a pessoa se sentir esquecida. Procurar as essas pessoas é um passo importante para crescer na matemática e tb no nível pessoal pois elas já buscaram esse crescimento e o estão conseguindo dia após dia. Elas certamente devem ser a inspiração de todos. Grande abraço! Ronaldo Luiz Alonso Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote: I João! Caramba !!! Passo a bola pro Nicolau, pois certamente ele poderá fornecer dicas de Instituições relacionadas à OBM que desenvolvem este tipo de trabalho sem interesse comercial... Sei que há uma série de atividades ligadas à olimpiadas, mas esperemos o Nicolau responder... l Grande abraço, Nehab At 16:21 3/8/2007, you wrote: Nehab, Ponce: Quais são todos professores residentes nos grandes centros que preparam jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam também partícipes desta bela lista? Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação. Fraternalmente, João = === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Dúvida na interpretação
Interpretou quase tudo certo. (*) 0=k*0, ou seja, qualquer inteiro (incluindo o caso no qual k=0) é divisor de zero. Vc não deve confundir a operação de divisão com a definição de divisor. Além do mais, o autor está se restringindo aos inteiros no qual a operação de divisão não é fechada (um inteiro dividido por um inteiro nem sempre é um inteiro). Se vc quiser entender o mandamento divino da matemática pelo qual não se pode dividir por 0 vc tem que estudar teoria dos corpos (dê uma olhada no wikipedia: field(inglês)=corpo(português)). OK? On 8/6/07, Igor Battazza [EMAIL PROTECTED] wrote: Comecei a estudar um livro sobre Teoria dos Números e logo no inicio o autor faz a seguinte definição: Se a e b são inteiros dizemos que a divide b, denotado por a|b, se existir um inteiro c tal que b = a*c. Em seguida há um teorema que na verdade são as propriedades da divisão. A divisão tem as seguintes propriedades: (i) n|n (ii) d|n - ad|an ... E a demonstração, o que eu não consigo entender é a forma dele demonstrar (i). Como n = 1*n segue da definição que n|n, *inclusive para n = 0* Isso me deixou meio confuso, pelo o que entendi implica em 0 divide 0, mas pelos mandamentos divinos da matemática 0 não divide nada. Por outro lado 0 = 1*0. Mas 0 = k*0 para qualquer k. Eu estou interpretando errado? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Julio Cesar Conegundes da Silva
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Olá Demetrio! Perguntas: 1- É adequado pensar em um número transcendente como um algébrico de grau infinito? Olá Demetrio! Quase isso. As idéias a que me refiro abaixo para provar que e+pi é transcendente e portanto irracional fariam uso disso. Por exemplo pi/4 seria a solução da equação de grau infinito tg (x) = 1 (enxergando tg (x) como uma série de potências). Mas isso requereria mais rigor matemático. O que seria solução de uma equação de grau infinito ??? 2- Em caso de resposta afirmativa para a primeira pergunta (eu acho que sim), alguém conhece alguma prova de transcendência baseada nesta idéia? Sim, a prova de Liouville. Ronaldo Luiz Alonso Demetrio Freitas wrote: O grau algébrico de um número (algébrico) N é o grau do polinômio mônico irredutível de coeficientes racionais onde N aparece como raiz. http://mathworld.wolfram.com/AlgebraicNumberMinimalPolynomial.html http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_number []´s Demetrio --- ralonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: É verdade me enganei. Bem lembrado: A soma de um algebrico com um transcendente é transcendente e o produto de um algebrico não nulo por um transcendente é transcendente. Na verdade o que eu enunciei é apenas uma conjectura. Acho que é possível demostrá-la, usando as idéias de Liouville para provar a transcendência de pi e e. Vou ver se encontro algum tempo para discutir e expor a prova de Liouvile e fazer comentários aqui na lista. Se alguém demonstrar vai ficar famoso. Abraços Ronaldo. Artur Costa Steiner wrote: Nao, a soma e o produto de de dois transcendentes nao tem que ser transcendente. por exemplo, pi e 1 - pi sao transcendentes mas a soma eh 1, inteiro. pi e 1/pi sao transcendentes, mas o prduto eh 1. A soma de um transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendenteArtur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de ralonso Enviada em: sexta-feira, 3 de agosto de 2007 09:15 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional Ora pi + e é irracional, pois ambos são transcendentes. Se eu não me engano a soma e o produto de dois transcendentes é transcendente, logo são irracionais. Bruno França dos Reis wrote: Eu aposto, com probabilidade de acerto igual a 1, que pi + e é irracional! Truco! 2007/8/2, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]: De fato, o Bruno tem razão, e existem exemplos ainda menos artificiais. Se x e y são dois números irracionais, não há como decidir, a priori, se x + y, x/y ou xy são ou não irracionais, casos simples à parte. Não se sabe nem mesmo se 'pi + e' é irracional, segundo o mathworld: http://mathworld.wolfram.com/Pi.html. Abraço, - Leandro. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Dúvida na interpretação
Em 06/08/07, Julio Cesar Conegundes da Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Interpretou quase tudo certo. (*) 0=k*0, ou seja, qualquer inteiro (incluindo o caso no qual k=0) é divisor de zero. Vc não deve confundir a operação de divisão com a definição de divisor. Além do mais, o autor está se restringindo aos inteiros no qual a operação de divisão não é fechada (um inteiro dividido por um inteiro nem sempre é um inteiro). Se vc quiser entender o mandamento divino da matemática pelo qual não se pode dividir por 0 vc tem que estudar teoria dos corpos (dê uma olhada no wikipedia: field(inglês)=corpo(português)). OK? -- Julio Cesar Conegundes da Silva Muito obrigado Julio, conseguiu acender a luz. ;) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] caminhos em um quadrado
em um quadrado de 3 por 3 preciso sair de um vertice e chegar ao vertice oposto sair do vertice a leste em cima e chegar no vertice a oeste e a sul entao posso percorre 6 arestas pq so posso andar pra oeste e pra sul quantos caminhos posso fazer? Obrigado a todos, Abraços
[obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional
Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar. Seja k = 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau = 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional. Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Indica��o de livros
Olá pessoal da lista boa tarde. Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ? Obrigado, um abraço, Marcelo.
[obm-l] Indica��o de livros
Olá pessoal da lista boa tarde. Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ? Obrigado, um abraço, Marcelo.
Re: [obm-l] caminhos em um quadrado
Bem, por favor escreva de uma maneira mais clara. Creio que seja algo como isto aqui: 000 000 000 Basta calcular o total de permutações da sequencia (FFFBBB), em que F é um comando para frente e B é um comando para baixo. Em 04/08/07, Jhonjhon [EMAIL PROTECTED] escreveu: em um quadrado de 3 por 3 preciso sair de um vertice e chegar ao vertice oposto sair do vertice a leste em cima e chegar no vertice a oeste e a sul entao posso percorre 6 arestas pq so posso andar pra oeste e pra sul quantos caminhos posso fazer? Obrigado a todos, Abraços -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional
Só para constar: isto me lembra Liouville...
Pensando um pouco, isto é equivalente a
\sum {n =1} (k^{-p(n)}), que é um número composto somente de zeros e unzes
na representação k-ária.
Para que um tal número fosse racional, os espaçamentos entre unzes teriam
que ser constantes,
mas não são quando o grau de P é maior que 1.
É claro que tem que formalizar, mas esta é a idéia...
Em 06/08/07, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por
aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas
apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar.
Seja k = 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau = 2, com
coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo.
Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número
irracional.
Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar
que o limite eh irracional.
Abracos
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
--
Ideas are bulletproof.
V
Re: [obm-l] TITU
Este caiu numa IMO, se nao me engano. Como to com preguiça, vai uma referencia: http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln776.html Em 02/08/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu: (Titu98) Seja f: N-N tal que f(n+1) f(f(n)) para n natural. Mostre que f(n)=n para todo n natural. Grato. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/. -- Ideas are bulletproof. V
[obm-l] RELÓGIO
Pessoal, alguém pode resolver essa por favor: Após 13h, os ponteiros de um relógio formarão, pela primeira vez, um ângulo de 45º, às: a) 13 h 13 min 38 2/11 seg; b) 13 h 12 min 30 seg; c) 13 h 12 min 29 2/7 seg; d) 13 h 12 min 28 4/11 seg; e) 13 h 11 min 52 5/7 seg. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] Indicação de livros
Marcelo, existem várias indicações dependendo dos seus objetivos, interesses e conhecimentos. Você se interessa por EDOs ? EDPs ? EIDs ? Você se interessa por Teoria Qualitativa e Sistemas Dinâmicos ? Ou está mais interessado em métodos de resolução (e no caso, métodos analíticos ou numéricos) ? []´s Angelo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá pessoal da lista boa tarde. Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ? Obrigado, um abraço, Marcelo. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
Bem, eu conheço pouco sobre esta área mais nebulosa, mas o que Godel quis dizer é que, se a matemática é consistente, é necessário algo mais poderoso que a matemática para provar tal consistência. Eu costumo pensar no postulado de Euclides-Playfair , o das paralelas. Este postulado é indecidível, ou seja, é necessário um raciocínio superior a ele para provar que ele é ou não verdadeiro. Bem, este negócio de como algo pode ter consistencia se nos nao podemos prova-lo, é como (paralelo meio tosco, é verdade) soltar um suspeito de um crime por falta de provas. Em 02/08/07, johnson nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola amigos ! Eu depois de me desenpenhar muito em matematica aplicada a 1 ano atras venho me intenressando por fundamentação matematica. Compreendi perfeitamente o programa de Hilbert mais nao compreendi o teorema de Godel. O que realmente Godel quer diser com; Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro da própria matemática Entao ela sera provada onde? Se a matemática é consistente ela é incompleta Ou seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a intuição? Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo. Por favor eu gostaria de um exemplo dentro das teorias formalizadas existentes pra poder compreender esse tipo de conceito. Muito Obrigado menbros da lista e felicidades a todos ;) Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/. -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional
Oi Artur, Isso não é exatamente uma demonstração, mas é o que me ocorre no momento: 1- Primeiramente vamos levar em consideração uma propriedade dos números racionais, que diz que a sua representação decimal (ou em qualquer base) é finita ou periódica. 2- Agora vamos observar X=Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] expresso na base k. Claramente esta expansão k-zimal de X é não-finita e não-periódica, portanto não pode ser racional. Você teve outra idéia? []´s Demétrio --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar. Seja k = 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau = 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional. Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional
Não acho que seja tão difícil ver que a séries com números arbitrariamente grandes no denominador convergem para irracionais. A idéia que segue se aplica a qualquer série convergente com a seguinte propriedade: Se no denominador teremos termos arbitrariamente grandes, com fatores primos arbitrariamente grandes então a fração resultante da soma até N_0, não conseguirá se estabilizar pois existirá um NN_0 com um primo no denominador maior do que o maior primo no denominador existente para N_0. Sendo matemáticamente mais preciso, seja S_0 o maior número primo no denominador para soma até N_0. Então haverá NN_0 para o qual existirá SS_0. O caso em questão é um pouco mais complexo porque k é um inteiro, o que significa que o número de fatores primos é constante. Soma (n= 1, N ) 1/[k^(p(n)] Agora vamos observar o seguinte a respeito de p(n), que parece ser apenas um complicador para o problema. Temos a hipótese do termo líder ser positivo. Isso é só para garantir a convergência. Note também que o grau é maior que 2. Como n 1 e p(n) é avaliado para números inteiros, é claro que a série vai convergir porque 1/[k^p(n)] 1/[k^2] para k2 (desprezando o primeiro termo). Para ver que o número é irracional consideramos o último termo da soma. Ele será da forma: 1/ (p_1)^a (p_2)^b ... (p_t)^z onde p_1,p_2,p_3 ... são primos da decomposição de k. Supomos então que exista uma fração R/S que seja a soma da série. Note que as potências a, b,..., z aumentam conforme aumentamos n. S, o denominador então deverá ter a maior de todas as potências de cada um dos fatores. Ora isso não é possível pois para n+1 obteremos valores maiores para alguma das potências a,b,...,z. Donde concluímos que o resultado deve ser irracional. Essa é uma prova *qualitativa* precisa de mais rigor, eu reconheço. Ronaldo Luiz Alonso Artur Costa Steiner wrote: Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar. Seja k = 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau = 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional. Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Indicação de livros
Boyce-Diprima pra começar. Muito legal. Depois o livro do Arnold. geo3d wrote: Olá pessoal da lista boa tarde. Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ? Obrigado, um abraço, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equipe que representará o Brasil na XXI I Ibero-americana de Matemática
Caros(as) Amigos(as) da OBM, Envio a seguir os nomes dos integrantes da equipe que representará o Brasil na XXII Olimpíada Ibero-americana de Matemática que será realizada na cidade de Coimbra - Portugal entre os dias 6 a 16 de setembro de 2007. Líder da Equipe: Prof. Edmilson Luis Rodrigues Motta (São Paulo - SP) Vice-Líder da Equipe: Prof. Eduardo Wagner (Rio de Janeiro - RJ) Equipe: BRA1: Guilherme Rodrigues Nogueira de Souza (São Paulo - SP) BRA2: Henrique Pondé de Oliveira Pinto (Salvador - BA) BRA3: Ramon Moreira Nunes (Fortaleza - CE) BRA4: Régis Barbosa Nunes (Fortaleza - CE) Abraços, Nelly = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Olá, É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência. Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio. Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau infinito. Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se referindo à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente.. No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1. Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função. Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está se referindo. O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou polinômios infinitos. Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais. Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma tarefa trivial.. especialmente a primeira. Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente por Schneider, que diz o seguinte: TEOREMA (Gelfond Schneider): * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não é racional, então X^Y é transcendente. Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente, bem como 2^sqrt(2). Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil. Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, Irrational Numbers. Abraço, - Leandro.
RES: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional
A minha ideia foi exatamente esta. E eh demonstracao sim, matematicamente perfeita. Na bse k, a expansão de 1/p(n) eh composta por varios zeros e 1. Para n grande p(n+1) - p(n) eh estritamente crescente, alem de crescer arbitraiamente. Assim, na base k, o limite nao pode ter expansao finita ou infinita periodica, sendo assim irracional. O Ronaldo também deu uma prova interessante Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Demetrio Freitas Enviada em: segunda-feira, 6 de agosto de 2007 14:08 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional Oi Artur, Isso não é exatamente uma demonstração, mas é o que me ocorre no momento: 1- Primeiramente vamos levar em consideração uma propriedade dos números racionais, que diz que a sua representação decimal (ou em qualquer base) é finita ou periódica. 2- Agora vamos observar X=Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] expresso na base k. Claramente esta expansão k-zimal de X é não-finita e não-periódica, portanto não pode ser racional. Você teve outra idéia? []´s Demétrio --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar. Seja k = 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau = 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional. Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional. Abracos Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Desculpem o erro ao enunciar o Teorema. Não é ..B não é racional.. e sim Y não é racional. - Leandro.
RES: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Nao hah um engano no enunciado deste teorema? O numero B nem aparece na expressao. Se X e Y sao algebricos, X^Y pode ser algebrico mesmo que Y nao seja 0 nem 1. [Artur Costa Steiner] Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma tarefa trivial.. especialmente a primeira. Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente por Schneider, que diz o seguinte: TEOREMA (Gelfond Schneider): * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não é racional, então X^Y é transcendente. Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente, bem como 2^sqrt(2). Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil. Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, Irrational Numbers. Abraço, - Leandro.
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
eu também errei. A prova de que pi é transcendente, a que me refiro, é devida à Lindemann, não a Liouville! Foi mal :) [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpem o erro ao enunciar o Teorema. Não é ..B não é racional.. e sim Y não é racional. - Leandro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Aí vai o link. http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~freitas/pi.pdf Só precisa saber alemão Eu não sei .. Só entendo a matemática ... e bem pouco ... []s [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpem o erro ao enunciar o Teorema. Não é ..B não é racional.. e sim Y não é racional. - Leandro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional
Pelo que me lembro a prova de Liouville (sobre a transcendência de pi) constrói inicialmente uma equação polinomial com grau n que teria como solução pi. Ele então prova que tal equação não existiria pois n deveria ser infinito. Isso como vc está dizendo parece ser diferente de considerar uma série de potências. Como você mesmo disse: Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função. Podemos dizer que existem infinitos x para os quais sen(x) = 0, ou seja isso não define um número transcendente, mas um conjunto de números da forma 2*k*pi com k em Z, dos quais com exceção de um todos são transcendentes. O problema parece ser decidir quando a solução de uma equação de grau infinito oferece um número transcendente. É essa tarefa, que eu concordo, não é trivial. Provavelmente teremos que construir grupos associados, como fez Galois para o caso finito. Neste caso daria para provar que e+pi é transcendente. Bastaria construir uma equação de grau infinito que oferecesse e+pi como solução e ter um teorema de apoio que mostrasse que essa solução é transcendente. Ronaldo Luiz Alonso. [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, É preciso ser um pouco cuidadoso com essa questão de transcendência. Eu responderia não à primeira pergunta do Demétrio. Várias questões precisam ser respondidas quando você fala em grau infinito. Eu entendo que com grau infinito você estaria provavelmente se referindo à uma série. Mas isso está longe de ser suficiente.. No exemplo do Ronaldo, pi/4 é solução de tg (x) = 1. Mas x = 0 é solução de sen(x) = 0. Posso expressar sen(x) igualmente bem em série de potência, e no entanto 0 está longe de ser transcendente. Isto mostra que qualquer número a princípio pode ser solução de uma equação que envolva uma série, ou a expansão em séries de uma função. Quanto à segunda pergunta, não sei à qual prova o Ronaldo está se referindo. O que eu sei que Liouville fez foi dar uma caracterização dos números transcendentes à partir do que ele chamou de aproximações racionais, o que é diferente de pensar em séries, ou polinômios infinitos. Trata-se de aproximar números com SEQUÊNCIAS de racionais. Provar a transcendentalidade, ou mesmo irracionalidade, não é uma tarefa trivial.. especialmente a primeira. Existe um Teorema famoso que foi provado Gelfond, e independentemente por Schneider, que diz o seguinte: TEOREMA (Gelfond Schneider): * Se X e Y são números algébricos, X é diferente de zero e um, e B não é racional, então X^Y é transcendente. Como exemplo, temos que e^(pi) (mas não e + pi) é transcendente, bem como 2^sqrt(2). Contudo, a demonstração de tal teorema não é fácil. Eu citaria como referência o livro do Ivan Niven, Irrational Numbers. Abraço, - Leandro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
Há várias mensagens do professor Nicolau na lista explicando com detalhes o que significa incompletude e inconsistência. Se eu tentar explicar detalhadamente acho que vou confundir mais do que explicar como já tentei fazer outras vezes, mesmo porque não tenho a profundidade que acho necessária no assunto (que requer um estudo minuncioso e longo).Vc deve fazer uma pesquisa no Google e nos arquivos da lista. Basicamente o que Göedel quis dizer é que não podemos ter em matemática um sistema de axiomas completo (com todos os axiomas para decidir a veracidade e a falsidade de qualquer proposição ou teorema). Se um tal sistema de axiomas existisse (um sistema de axiomas dito completo) ele necessáriamente seria inconsistente (chegaríamos a veracidade de um teorema por um caminho e a falsidade do mesmo teorema por outro). Se o sistema for incompleto (não tiver todos os axiomas) ele poderá ser consistente (não apresentar por diferentes caminhos a afirmação e a negação de um mesmo teorema). Ora, sabemos que na matemática não temos a prova de veracidade de um teorema por um caminho e aprova da falsidade do mesmo por outro :) Assim a matemática é consistente, MAS incompleta ! E sempre será! Veja, isso não é ruim, e não é a derrota da matemática. Isso é bom, porque mudando um axioma, desde que é claro ele seja independente dos demais, (como o quinto axioma de Euclides é dos demais axiomas da geometria plana), podemos construir diferentes lógicas, todas elas rigorosas, que se adequam a diferentes tipos de problemas ou a um mesmo problema em específico. O teorema de Göedel é, dessa forma talvez, a maior demonstração de poder de fogo da matemática. E é também o maior desafio dos físicos achar os melhores axiomas e sistemas que descrevem o mundo em que vivemos. Vejamos um exemplo: A física newtoniana é baseada na geometria plana de Euclides e o grupo de transformações do espaço e do tempo é o grupo de Galileu. A física relativística é baseada na geometria hiperbólica e o grupo de transformações do espaço e do tempo é o grupo de Poincaré. Por que a segunda lógica foi preferida à primeira? Físicos dizem que é porque Deus quis. Segundo eles, se a lógica não não fosse essa, muitos fenômenos que observamos no dia a dia, como um simples acender de fósforo não aconteceriam da forma que acontecem. Einstein acreditava que fazer essas perguntas era como conversar com o Criador, pois apenas a experiência é capaz de revelar a lógica correta (pois existem muitas lógicas e todas rigorosas). Assim, sendo pode ser que a física relativística não contenha todos os axiomas necessários à real compreensão do mundo e que alguns deles precisam ser identificados mudados para que ganhemos uma compreensão completa de como o universo é como ele é. Ronaldo Luiz Alonso Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: Bem, eu conheço pouco sobre esta área mais nebulosa, mas o que Godel quis dizer é que,se a matemática é consistente, é necessário algo mais poderoso que a matemática para provartal consistência.Eu costumo pensar no postulado de Euclides-Playfair , o das paralelas.Este postulado é indecidível, ou seja, é necessário um raciocínio superiora ele para provar que ele é ou não verdadeiro.Bem, este negócio de como algo pode ter consistencia se nos nao podemos prova-lo,é como (paralelo meio tosco, é verdade) soltar um suspeito de um crime por falta de provas.Em 02/08/07, johnson nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola amigos !Eu depois de me desenpenhar muito em matematica aplicada a 1 ano atras venho me intenressando por fundamentação matematica. Compreendi perfeitamente o programa de Hilbert mais nao compreendi o teorema de Godel. O que realmente Godel quer diser com; Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro da própria matemática Entao ela sera provada onde? Se a matemática é consistente ela é incompleta Ou seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a intuição? Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo. Por favor eu gostaria de um exemplo dentro das teorias formalizadas existentes pra poder compreender esse tipo de conceito. Muito Obrigado menbros da lista e felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais. -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Incompletude dos Sistemas Formais
Olá Johnson, só respondendo suas perguntas: johnson nascimento wrote: 1) Se a matemática é consistente, sua consistência não pode ser provada dentro da própria matemática Entao ela sera provada onde? Resposta: A consistência da matemática com um todo não pode ser provada.2) Se a matemática é consistente ela é incompleta Ou seja, nao podemos decidir entre sua afirmação ou negação qual é verdadeira, isso significa que devemos recorrer a intuição? Resposta: Depende do problema, como tentei explicar no e-mail anterior. Einstein fazia, como Galileu os gedankenexperimenten 3) Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo. Resposta: A aritmética é *consistente* e incompleta e vc consegue provar. Consistente porque não existe contradição dentro dela. É incompleta porque a consistência da aritmética não pode ser provada dentro da *própria* aritmética, isto é, usando tão somente os axiomas da aritmética para provar a consistência deles. Isso, segundo Göedel é impossível. É preciso uma teoria MAIS ABRANGENTE que englobe a artimética, o que implica que temos que acrescentar mais axiomas à aritmética para que possamos provar a consistência dos axiomas dela. Eu tinha um exemplo concreto mas não me lembro agora. Mas, note bem: Não adianta acrescentar mais axiomas. Quando você acrescentou novos axiomas à aritmética criou, digamos, a teoria X que não é mais a aritmética, e sim uma extensão dela: a aritmética mais os axiomas que vc acrescentou Fazendo isso vc conseguiu provar a consistência dos axiomas da aritmética (e como consequência a consistência da aritmética) usando para isso sua teoria X, mas a teoria X que você usou para provar a consistência da aritmética, apesar de ser consistente (!), continua sendo incompleta !!! E não adianta colocar mais axiomas na teoria X, cirando a teoria Y para provar a consistência de X, vc sempre cai no mesmo problema, a teoria Y pode até ser consistente, mas continua incompleta e assim por diante é a matemática Espero ter jogado alguma luz nesta questão... ou ... deixado ela mais obscura??? Bem... mesmo tendo escrito algo errado, alguém vai corrigir. Minha intenção tentou ser boa... Abraços!Ronaldo Luiz Alonso Eu vou ser sincero amigos eu nao consigo entender como algo pode nao ter consistencia se nos nao podemos prova-lo. Muito Obrigado menbros da lista e felicidades a todos ;)Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
[obm-l] Qual a modo correto de lidarmos com conceitos que fazem se ntido mas são contraditórios?
Como, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos. Não deixa de fazer sentido, mas leva a contradição. O conjunto de todos os conjuntos tem como elementos todas as suas partes, logo tem cardinalidade maior do que o conjunto de suas partes. Mas isto contraria o famos teorema de Cantor. Artur
RE: [obm-l] off topic: algebra linear
Tente um livro da Colecao Schaum do Lipchultz. Tem muito exercicio resolvido. From: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] off topic: algebra linear Date: Wed, 1 Aug 2007 15:40:26 -0300 Senhores boa tarde, preciso de uma LUZ ou melhor uma grande luz. Precisei reestudar (se é que um dia eu já aprendi!?) álgebra linear e me deparei com dois problemas: i) cada livro possui um sumário diferente com ordens bem disdintas um do outro. Confunde. ii) os famosos 'se vire nos exercícios sem respostas para complementar o entendimento do capítulo' deixando aqueles que estão estudando sozinhos completamente frustrados. Uma grande amiga que frequenta a lista me arrumou uns exercícios do CEDERJ. Peço a gentileza de me indicarem um livro que possua mais exercícios resolvidos ou se possível algum material com problemas e respostas. Obrigado Atenciosamente, Tio Cabri [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual a modo correto de lidarmos com conceitos que fazem sentido mas são contraditórios?
Bem, enquanto permanecermos dentro dos axiomas da teoria dos
conjuntos mais aceita, ZFC, esse conjunto não existe.. logo não
temos que lidar com ele.
Você não pode simplesmente chegar e dizer: Ah, considere o conjunto
tal dado por tal propriedade...
É necessário mostrar, axiomaticamente, que tal conjunto pode ser
construído.
ZFC aceita a existência do conjunto vazio.
Daí por diante, tudo tem que ser construído a partir dele, mediante
certas regras. Por exemplo, existe um axioma garantindo que dado
um conjunto X, existe o unitário contendo ele, ou seja, existe {X}.
Com isto você já tem: 0, {0}, {{0}}, etc.. ( 0 = vazio ).
Também vale que dados dois conjuntos X e Y, existe a União de
X e Y.. entre outros.
Tudo isso, incluindo a construção dos números naturais, que é uma
parte fascinante da matemática, na minha opinião, você pode encontrar
no livro TEORIA INGÊNUA DOS CONJUNTOS, do Paul Halmos.
Abraço,
- Leandro.
[obm-l] Análise Combinatória
Caros colegas, alguém poderia me ajudar no seguinte problema: de quantas formas posso montar grupos de cinco cartas consecutivas, não importando o naipe, de um baralho? André Araújo.
Re: [obm-l] Indicação de livros
Olá Ângelo, boa noite, perdoe-me pela demora em responder-te, houve um problema com meu e-mail. Mas gostaria de receber indicações sobre todos os tipos que você mencionou. Tanto ordinárias, parciais como também as EIDs. Também sobre Teoria qualitativa e sistema dinâmicos (possibilidade de fazer mestrado) e também sobre os métodos. Por favor pode me enviar os que você achar melhor sobre istoDesde já agardeço muito o apoio. Agradeço também ao Ralonso pela sugestão do Boyce-Diprima. Valeu muito obrigado a vocês. Agora não conheço o livro do Arnold. Tem o título dele, ou o nome todo do autor ou a editora ? Em 06/08/07, Angelo Schranko [EMAIL PROTECTED] escreveu: Marcelo, existem várias indicações dependendo dos seus objetivos, interesses e conhecimentos. Você se interessa por EDOs ? EDPs ? EIDs ? Você se interessa por Teoria Qualitativa e Sistemas Dinâmicos ? Ou está mais interessado em métodos de resolução (e no caso, métodos analíticos ou numéricos) ? []´s Angelo [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá pessoal da lista boa tarde. Gostaria de receber algumas indicações de livros sobre equações diferenciais, em qualquer língua. Qual ou quais vocês indicariam ? Obrigado, um abraço, Marcelo. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba maishttp://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/.
Re: [obm-l] RELÓGIO
o ponteiro das horas anda 6graus/min e o dos minutos anda 1/2 grau/min entao temos que a funçao dos ponteiros em relaçºao ao tempo sera dada por horas, ele começa com 30 graus iniciais w= 30+0.5*t e dos minutos sera dada por w=6t w e a posiçºao em graus sendo assim cv quer 6t-30-0.5t=45 5.5t=75 t=13.63=13min38 2/11s On 8/6/07, arkon [EMAIL PROTECTED] wrote: *Pessoal, alguém pode resolver essa por favor:* * * *Após 13h, os ponteiros de um relógio formarão, pela primeira vez, um ângulo de 45º, às:* * * *a) 13 h 13 min 38 2/11 seg; b) 13 h 12 min 30 seg; c) 13 h 12 min 29 2/7 seg; * *d) 13 h 12 min 28 4/11 seg; e) 13 h 11 min 52 5/7 seg.* * * *DESDE JÁ MUITO OBRIGADO*
Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores do País
Ola' Joao! O Nehab, que ja' deu aula para muitos de nos (eu mesmo tive a felicidade de ser aluno dele em 2 ocasioes diferentes), deve estar mais apto a responder sua pergunta. De minha parte, o que posso dizer e' que embora goste muito de frequentar esta lista, estou afastado do meio academico ha' varios anos, e nao sei precisar todos os bambas que frequentam nossa lista. Mas o Nicolau deve saber...:-) Grande abraco, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] escreveu: Nehab, Ponce: Quais são todos professores residentes nos grandes centros que preparam jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam também partícipes desta bela lista? Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação. Fraternalmente, João Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais.
[obm-l] Livros de Recorrencia
Alguém tem uma boa indicação online de preferencia ou um bom livro que trate sobre equações de recorrencia? A única fonte que encontrei foi um artigo publicado na Eureka: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.pdf Qualquer ajuda eu agradeço. Abraços! Douglas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
