[obm-l] RESPOSTAS INSINUANTES!
Ok! Chicão e demais colegas! Apesar da sua resposta estar literalmente correta esqueci de informar que as opções de resposta estavam todas em forma de frações, cuja correta era (2/3 + 1/30)*10. Sua resolução me fez lembrar um belo problema de aritmética em que três pessoas participam de um piquenique respectivamente com 5 pães, 3 pães e nenhum pão e no final do piquenique a pessoa que não contribuiu com pão resolve repartir 8 moedas entre os dois que contribuiram. A surpreendente resposta é uma verdadeira traição à intuição humana... Outra situação bastante peculiar é a impossível divisão de 35 ovos entre três pessoas 1/2, 1/3 , 1/9 de forma que quando se toma 1 ovo emprestado para facilitar a divisão, todo mundo sai ganhando e ainda sobra um ovo após pagar o empréstimo. Simplesmente, Fantástico! Volta e meia vem à tona o sofisma matemático do suposto desaparecimento de 1 real. A chave do enigma está em ignorarmos na conta imediata (9 * 3 = 27 + 2 = 29) os 3 reais de troco divididos entre os três e contar duas vezes os 2 reais que foram dados de gorjeta. Pegadinha Ingênua! Alguém sabe o porquê de vender dois abacaxis por $10 e depois três por $10 não ser o mesmo que vender cinco a $20 entre dois produtores que resolveram vender uma partida de 30 abacaxis cada um...? Quanto ao problema dos CD's, se a possibilidade de acertar três CD's é equivalente a acertar todos nas suas respectivas caixas, porque a resposta não é 4/16 ao invés de 0? Outra situação que nunca consegui entender, apesar do esforço e boa vontade do Prof. Rogério. foi o porquê do C não existir na sua configuração, já que três pares diferentes, satisfaz claramente o ou exclusivo da questão. E por falar em situações insidiosas, fiquei também curioso para descobrir o máximo de cachaça que conseguirei retirar do barril sabendo que cachaça e água misturam-se imediatamente, e de forma homogênea. A propósito, alguma premonição daquele problema dos dados da FUVEST, quanto ao número que está na face oposta à face 1? Vocês sabiam...que ponto racional de uma superfície esférica é um ponto cujas coordenadas são todas números racionais. Trivial! Abraços! _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] lógica_negação e trigonometria
On 4/10/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Como se nega esta proposição : *para todo x*, *existe y*, tal que, *se* x+y=5 *e* xy=6 *então* y0 É relativamente simples. Basta resolver esse sistema de equações ... 2) O dominio de *f(x)= sqrt [ 3 - arctg^2 x ]* ** ** -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
[obm-l] RES: [obm-l] lógica_negação e trigonometria
1) Aqui, você tem o quantificador universal Para todo. Para negar, usamos o
quantificador existencial Para algum para dizer que asgum elemento não
satisfaz a dada propriedade.
Para algum x, nao existe y tal que, se x+y=5 e xy=6 entao y 0.
2) Admitindo-se que f assuma valores reais, o dominio eh D = { x | arctan(x)
esta em [-raiz(3) , raiz(3)] = [-pi/3 , pi/3]
Artur
1 -Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de vitoriogauss
Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 23:20
Para: obm-l
Assunto: [obm-l] lógica_negação e trigonometria
1) Como se nega esta proposição :
para todo x, existe y, tal que, se x+y=5 e xy=6 então y0
2) O dominio de f(x)= sqrt [ 3 - arctg^2 x ]
[obm-l] Equações trigonometricas
Olá pessoal da lista, Alguém pode me ajudar a determinar a solução de algumas equações trigonométricas. Aqui vão elas: 1) tgx + cotgx = 2sen6x 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Obrigado, Felipe Régis.
Re: [obm-l] RESPOSTAS INSINUANTES!
Vocês sabiam...que ponto racional de uma superfície esférica é um ponto cujas coordenadas são todas números racionais. Trivial! Isso é uma definição de ponto racional ou ponto racional tem outra definição e esse seu enunciado é um teorema? Abraços! _ Verificador de Segurança do Windows Live OneCare: combata já vírus e outras ameaças! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
[obm-l] Relacoes Recorrentes
Ola!!! Alguem poderia passar indicacoes de algumas obras que apresentam de forma clara o tema de Relacoes Recorrentes??? Existe algum outro tema que esteja relacionado e que introduz ideias nesse assunto??? Abracos!!! -- Henrique
Re: [obm-l] Equações trigonometricas
On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Essa aqui é bem sacada. Note que senx = 1 resolve a equação. Ok. Bom agora temos que y = senx = 1 é solução de y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 = 5 então divida a equação por y-1 e procure agora soluções entre [-1,1[ ... bom... a fome me chama :) Bom... continuando: y = -1 também é solução então podemos dividir o polinômio y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 - 5 por y^2 - 1 daí resulta: y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 +5 = 0 y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 = -5 Bom... agora esse polinônio não pode ter raízes reais pois a soma de potências pares de números reais é sempre real e positivo. Então y = -1 e y = 1 são as únicas soluções para y = senx e x = +- pi/2 + k*pi, da equação com k inteiro []s []s Obrigado, Felipe Régis. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] Relacoes Recorrentes
Olá Henrique. Essas relações aparecem em dezenas de áreas/problemas. O que você está estudando? Seja mais objetivo ... []s On 4/11/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola!!! Alguem poderia passar indicacoes de algumas obras que apresentam de forma clara o tema de Relacoes Recorrentes??? Existe algum outro tema que esteja relacionado e que introduz ideias nesse assunto??? Abracos!!! -- Henrique -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
[obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria
On 2/25/07, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas da lista, me tire algumas duvidas. 1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar? Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2) = f(x+T) == x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi (k inteiro) x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi 2xT+T^2 + 2k*pi = 0 T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2 = -x +- raiz(x^2 - k^2) Bom... então se T depende de x, é claro que a função não pode ser periódica ... [] 2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar. quem é um racional? 3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ? Neste caso não há notação específica (não que eu conheça). []s -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] Equações trigonometricas
tgx + cotgx = 2sen6x (sen²x+cos²x)/senxcosx = 2sen6x sen6x*2senxcosx=1 sen6x.sen2x=1 sen6x=sen2x=1 ou sen6x=sen2x=-1 2x=pi/2 + kpi x=pi/4 + kpi/2 On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) (senx)^2 + (senx)^4 + (senx)^6 + (senx)^8 + (senx)^10 = 5 Essa aqui é bem sacada. Note que senx = 1 resolve a equação. Ok. Bom agora temos que y = senx = 1 é solução de y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 = 5 então divida a equação por y-1 e procure agora soluções entre [-1,1[ ... bom... a fome me chama :) Bom... continuando: y = -1 também é solução então podemos dividir o polinômio y^2 + y^4 + y^6 + y^8 +y^10 - 5 por y^2 - 1 daí resulta: y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 +5 = 0 y^8 + 2y^6 + 3y^4 + 4 y^2 = -5 Bom... agora esse polinônio não pode ter raízes reais pois a soma de potências pares de números reais é sempre real e positivo. Então y = -1 e y = 1 são as únicas soluções para y = senx e x = +- pi/2 + k*pi, da equação com k inteiro []s []s Obrigado, Felipe Régis. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Re: [obm-l] séries numé ricas
On Sat, Apr 07, 2007 at 01:17:14PM -0300, Claudio Gustavo wrote: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. Já mandaram várias soluções e não vou acrescentar outra. Vou acrescentar dois problemas. O primeiro é bem clássico. O segundo caiu em alguma olimpíada, talvez tenha sido proposto pelo Gugu. (1) Prove que as séries 1/(n*log(n)*log(log(n))) 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*log(log(log(log(n) ... divergem mas que as séries 1/(n*log(n)*(log(log(n)))^r) 1/(n*log(n)*log(log(n))*(log(log(log(n^r) 1/(n*log(n)*log(log(n))*log(log(log(n)))*(log(log(log(log(n)^r) ... convergem para r 1 qualquer que seja a base em que os logaritmos sejam calculados. (2) Vamos denotar log(log(...(log n)...)) com k logs por log^k(n). Assim log^2(n) = log(log(n)), log^3(n) = log(log(log(n))), ... Dado um inteiro positivo n, seja e(n) o maior inteiro tal que log^(e(n))(n) = 1 (com e(n) logs). Defina a_n = 1/(n*log(n)*log^2(n)*...*log^(e(n))(n)). Diga para quais bases a série acima converge/diverge. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: terça-feira, 10 de abril de 2007 22:13 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] séries numéricas Muito legal essa solução! E usa a mesma idéia da demonstração da série harmônica. Obrigado. Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, O carissimo Artur ja resolveu a questao usando o teste da integral. Mas nao ha problema em conhecer uma outra maneira de resolver a mesma questao. Aqui vai uma forma mais elementar : Como 3*log(3) 4*log(4) e 4*log(4) = 4*log(4), podemos inverter as 2 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) 1/(4*log(4)) + 1/(4*log(4)) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 + 1/4) 1/(3*log(3) ) + 1/(4*log(4)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/2) Como 5*log(5) 8*log(8) , 6*log(6) 8*log(8) , 7*log(7) 8*log(8) e 8*log(8) = 8*log(8), podemos inverter as 4 desigualdades e, a seguir, soma-las. Isto dara : 1(5*log(5)) + 1/(6*log(6)) + 1/(7*log(7)) + 1/(8*log(8)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/3) Partindo agora de 9*log(9) 16*log(16), 10*log(10) 16*log(16) ... ate finalizar em 16*log(16) = 16*log(16), invertendo cada uma das 8 desigualdades e somando-as depois, chegaremos facilmente a : 1/(9*log(9)) + 1/(10*log(10)) + ... + 1/(16*log(16)) ( 1/(2*log(2)) )*(1/4 Somando tudo, e facil ver que : 1/2(log(2)) + 1/(3*log(3)) + ... + 1/(N*(log(N)) + ... ( 1/(2*log(2)) )*(1 + 1/2 + 1/3 + ... ) Como a serie da direita consabidamente diverge, pelo criterio de comparacao ( se nao me falha a memoria e o Teste M de Weiertrass ) segue que a serie da esquerda tambem diverge. Generalizano esta tecnica e prove o caso (N*log(N))^r E com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 3,150B,100407 Em 07/04/07, Claudio Gustavo escreveu: Oi. Sou Claudio Gustavo e esta é a primeira vez que escrevo para esta lista. Gostaria de alguma dica para demonstrar que a soma de n=2 até infinito de 1/(n*logn) diverge e a soma 1/(n*(logn)^r), com r mairo que 1, converge. Tem alguma possibilidade de comparar com as somas harmônicas? Pois a soma 1/n diverge e 1/(n^r) converge para r maior que 1. Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
RES: [obm-l] Perguntas de trigonometria
Na realidade, esta conclusao não se limita aa funcao seno, mas vale para qualquer funcao periodica, continua e nao constante. Vamos mostrar a seguinte afirmacao: Se f: R- R eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh uniformemente continua. Seja p0 o periodo fundamental de f. Como f nao eh constante, existem a e b em R tais que f(a) f(b). Sejam a_n e b_n sequencias dadas por a_n = raiz(a + n*p) e b_n = raiz(b + n*p). Entao, lim (a_n - b_n) =0 e lim (g(a_n) - g(b_n)) = lim( f(a + n*p) - f(b + n*p)) = lim (f(a) - f(b)) = f(a) - f(b) 0, pois f(a) f(b). Sabemos que uma funcao h eh uniformemente continua em R se, e somente se, para todas sequencias u_n e v_n em R tais (u_n - v_n) - 0, tenhamos que (h(u_n) - h(v_n)) - 0 . Como isto nao se verifica para o caso de g e das sequencias a_n e b_n, concluimos que g nao eh uniformemente continua. Corolario: Se f: R- R eh periodica, continua e nao constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh periodica. Sabemos que, se uma funcao for periodica e continua em R, entao esta funcao eh uniformemente continua em R. Dado que g eh continua (composicao de duas funcoes continuas) mas, conforme visto, nao eh uniformemente continua, segue-se, por contraposicao, que g nao eh periodica em R. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Ronaldo Alonso Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 12:59 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria On 2/25/07, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Colegas da lista, me tire algumas duvidas. 1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar? Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2) = f(x+T) == x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi (k inteiro) x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi 2xT+T^2 + 2k*pi = 0 T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2 = -x +- raiz(x^2 - k^2) Bom... então se T depende de x, é claro que a função não pode ser periódica ... [] 2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente de um.Se não como faço para demonstrar. quem é um racional? 3. A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso parar diferenciar ? Neste caso não há notação específica (não que eu conheça). []s -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.
Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
eh verdade Claudio, eu só estava me adiantando um pouco. Mas vou ver essa parte
de limites de sequencias nas proximas semanas.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 16:37:13
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural
N tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos
encontrar N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que
para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a
seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima
Re: [obm-l] Relacoes Recorrentes
Na verdade, eh apenas um interesse que surgiu enquanto estava buscando uma solucao para um problema postado alguns dias atras aqui na lista. Fiquei pesquisando sobre o assunto mas vi que ele eh bem complexo e gostaria de algumas fontes que passassem ideias claras de como representar problemas recorrentes e como encontrar solucoes. Seja f:N-N definida por f(1)=1 e f(n)=f(n-1)+f(parte inteira de n/2). Mostre que existem infinitos naturais K tais que f(K) é múltiplo de 7. On 4/11/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Henrique. Essas relações aparecem em dezenas de áreas/problemas. O que você está estudando? Seja mais objetivo ... []s On 4/11/07, Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola!!! Alguem poderia passar indicacoes de algumas obras que apresentam de forma clara o tema de Relacoes Recorrentes??? Existe algum outro tema que esteja relacionado e que introduz ideias nesse assunto??? Abracos!!! -- Henrique -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- Henrique
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas
OK, Bom, o Marcio Cohen sugeriu analisar a convergencia de uma outra serie interessante: Soma (n =2, oo) 1/(l(n)^ln(n)). Pensei em aplicar o fato de que esta serie converge sse Soma k=1, oo) s_k = Soma 2^k a_(2^k) convergir. Para todo n, s_k = 2^k/(ln(2^k)^ln(2^k)). O denominador eh ln(2^k)^ln(2^k) = (k* ln(2))^(k*ln(2)) = [(k*ln(2))^ln(2)]^k . Logo, s_k = [2/[(k*ln(2))^ln(2)]^k. Quando k - oo, (k*ln(2))^ln(2) - oo, pois ln(2) 0. Assim, para k suficientemente grande temos (k*ln(2))^ln(2) 4 e, portanto, 0 s_k (2/4)^k =(1/2)^k. Como a serie geometrica Soma (1/2)^k converge, Soma s_k tambem converge. Logo, Soma (n=2, oo) a_n comverge [Artur Costa Steiner] gem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 14:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da escada que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| = M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 = a_n = b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] arctg^2
Ola, como a funcao eh real, temos que ter: 3 - (arctgx)^2 = 0 |arctgx| = sqrt(3) -sqrt(3) = arctgx = sqrt(3) -pi/3 = x = pi/3 abracos, Salhab On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da prova para professor da marinha: O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x] eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] arctg^2
-pi/3 = x = pi/3 seria se a desigualdade fosse -sqrt(3)=tgx=sqrt(3) Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg entre -pi/2 e pi/2, temos: tg(-sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) -tg(sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) Entao temos |x|=tg(sqrt(3)) On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, como a funcao eh real, temos que ter: 3 - (arctgx)^2 = 0 |arctgx| = sqrt(3) -sqrt(3) = arctgx = sqrt(3) -pi/3 = x = pi/3 abracos, Salhab On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da prova para professor da marinha: O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x] eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] arctg^2
nao pode ser esse o gabarito senao seria valido para x=0 ai teriamos 3-2pi0 On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: O gabarito tá marcando : ]- infinito, +infinito[ -pi/3 = x = pi/3 seria se a desigualdade fosse -sqrt(3)=tgx=sqrt(3) Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg entre -pi/2 e pi/2, temos: tg(-sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) -tg(sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) Entao temos |x|=tg(sqrt(3)) On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, como a funcao eh real, temos que ter: 3 - (arctgx)^2 = 0 |arctgx| = sqrt(3) -sqrt(3) = arctgx = sqrt(3) -pi/3 = x = pi/3 abracos, Salhab On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da prova para professor da marinha: O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x] eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] arctg^2
Para x=0, arctg(x)=0, mas tambem acho que o gabarito tá errado. On 4/11/07, saulo nilson [EMAIL PROTECTED] wrote: nao pode ser esse o gabarito senao seria valido para x=0 ai teriamos 3-2pi0 On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: O gabarito tá marcando : ]- infinito, +infinito[ -pi/3 = x = pi/3 seria se a desigualdade fosse -sqrt(3)=tgx=sqrt(3) Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg entre -pi/2 e pi/2, temos: tg(-sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) -tg(sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) Entao temos |x|=tg(sqrt(3)) On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, como a funcao eh real, temos que ter: 3 - (arctgx)^2 = 0 |arctgx| = sqrt(3) -sqrt(3) = arctgx = sqrt(3) -pi/3 = x = pi/3 abracos, Salhab On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da prova para professor da marinha: O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x] eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] arctg^2
O gabarito está correto. Não confundir arctgx com x... saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu: nao pode ser esse o gabarito senao seria valido para x=0 ai teriamos 3-2pi0 On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: O gabarito tá marcando : ]- infinito, +infinito[ -pi/3 = x = pi/3 seria se a desigualdade fosse -sqrt(3)=tgx=sqrt(3) Aplicando tg() na desigualdade, e considerando a imagem da funcao tg entre -pi/2 e pi/2, temos: tg(-sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) -tg(sqrt(3)) = x = tg(sqrt(3)) Entao temos |x|=tg(sqrt(3)) On 4/11/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola, como a funcao eh real, temos que ter: 3 - (arctgx)^2 = 0 |arctgx| = sqrt(3) -sqrt(3) = arctgx = sqrt(3) -pi/3 = x = pi/3 abracos, Salhab On 4/11/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: Questão da prova para professor da marinha: O dominio da função real f(x) = sqrt[3 - arctg^2 x] eu achei o valor igual ao Steiner :[-pi/3,pi/3] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
