[obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph)
Ola Marcone e demais colegas desta lista ... OBM-L, Para quem quer partir do zero, o livro abaixo e interessante : 1) http://www.impa.br/opencms/pt/publicacoes/colecao_matematica_universitaria/livro_introducao_a_teoria_dos_numeros/index.html Veja tambem : 2) http://www.mat.unb.br/~maierr/tnotas.pdf O livro abaixo seria um curso mais avancado, para voce estudar quando ja tiver aprendido as coisas basicas dos link's 1) ou 2) acima : 3) http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf Um abraco a todos PSR, 51604090944 From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcone augusto araújo borges Sent: Saturday, April 04, 2009 12:44 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph) Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros para me indicar livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre o assunto,que me é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem praticar tal gentileza.Aguardo.Obrigado. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite
Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique
[obm-l] Dúvida no gabarito
Amigos, Essa questão foi da UFRJ. Um sítio da internet gera uma senha de 6 caracteres para cada usuário, alternando letras e algarismos. A senha é gerada de acordo com as seguintes regras: • *não há repetição de caracteres; * • *começa-se sempre por uma letra; * • *o algarismo que segue uma vogal corresponde a um número primo; * • *o algarismo que segue uma consoante corresponde a um número par. ** Quantas senhas podem ser geradas de forma que as três letras sejam A, M e R, em qualquer ordem? * O gabarito divide a solução considerando ora 2 como par, ora como primo. Ok. Mas a conta feita foi: Como o número 2 é par e é primo, temos que considerar as senhas em que a letra A é seguida de 2 e as senhas em que a letra A é seguida de um primo diferente de 2. No primeiro caso temos 3! (permutação das letras) vezes 12(4x3, 4 números pares entre 0,4,6,8 e três números pares entre os restantes), totalizando 72 senhas. No segundo caso temos 3! (permutação das letras) vezes 3 (números primos entre 3, 5 e 7) vezes 20 (5x4, 5 números pares entre 0, 2, 4, 6, 8 vezes 4 números pares entre os restantes), totalizando 360 senhas. Logo, o número de senhas distintas que podemos formas com essas regras é 72+360=432. R: 432 senhas. Mas, desta forma não está considerando somente 5 caracteres? Na minha conta seria: Caso 1: 3! x 4 x 4 x 3 Caso 2: 3! x 5 x 4 x 3 Obrigado pelos esclarecimentos... -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
Re: [obm-l] Limite
Opz, esqueci de falar sobre o L'Hopital.
Tem como resolver lim{x-1} ln(x)/(1-x) sem utilizar L'Hopital, façamos x =
1+y, entao: lim{y-0} -ln(1+y)/y = -1
Ta certo, estou afirmando que lim{y-0} ln(1+y)/y = 1 sem provar.. mas no
meu curso de cálculo 1 esse era considerado um limite fundamental e podia
ser usado sem problemas.
Já vi a demonstração que lim{y-0} ln(1+y)/y = 1 sem utilizar L'Hopital..
mas eu realmente não lembro ;)
Acho que outros aqui podem nos ajudar nesta ;) hehehe
abraços,
Salhab
2009/4/16 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
Olá Henrique,
desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.
x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]
Veja que em lim{x-1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
logo, podemos aplicar L'Hopital.
Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x-1}
ln(x)/(1-x) = lim{x-1} (1/x)/(-1) = lim{x-1} -1/x = -1
Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
Se f(x) é continua, temos que lim{x-a} f(g(x)) = f(lim{x-a} g(x))
No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
Como lim{x-1} g(x) = -1, temos que lim{x-1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
1/e.
Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.
abraços,
Salhab
2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Olá Marcelo,
Desculpe, mas não entendi sua solução.
Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
exp[ln(x)/(1-x)]?
O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
em exp[(1/x)/(-1)].
Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
L'Hôpital.
Obrigado!
Abraços
2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
Olá Henrique,
x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
exp(-1/x)
Logo, o limite vale 1/e.
abraços,
Salhab
2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
lim, x-1, x^[1/(1-x)]
--
Henrique
--
Henrique
Re: [obm-l] Limite
Olá Henrique,
desculpe, realmente pulei diversas etapas na minha solução.
x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x^(1/(1-x))) ]
mas ln[ x^(1/(1-x)) ] = ln(x) / (1-x), pois log(a^b) = b*log(a).
Desta maneira, temos: x^[1/(1-x)] = exp[ ln(x)/(1-x) ]
Veja que em lim{x-1} ln(x)/(1-x) temos uma indeterminação do tipo 0/0,
logo, podemos aplicar L'Hopital.
Usando L'Hopital, derivamos o numerador e o denominador, obtendo: lim{x-1}
ln(x)/(1-x) = lim{x-1} (1/x)/(-1) = lim{x-1} -1/x = -1
Certo, agora vamos usar o seguinte teorema:
Se f(x) é continua, temos que lim{x-a} f(g(x)) = f(lim{x-a} g(x))
No caso, temos f(x) = exp(x) e g(x) = ln(x)/(x-1)
Como lim{x-1} g(x) = -1, temos que lim{x-1} f(g(x)) = f(-1) = exp(-1) =
1/e.
Novamente respondi correndo um pouco, mas acho que fui mais claro.
abraços,
Salhab
2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Olá Marcelo,
Desculpe, mas não entendi sua solução.
Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não
exp[ln(x)/(1-x)]?
O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?)
onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas
vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a
indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou
em exp[(1/x)/(-1)].
Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim,
acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de
L'Hôpital.
Obrigado!
Abraços
2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com
Olá Henrique,
x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] =
exp(-1/x)
Logo, o limite vale 1/e.
abraços,
Salhab
2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com
Existe uma solução algébrica para o seguinte limite?
lim, x-1, x^[1/(1-x)]
--
Henrique
--
Henrique
Re: [obm-l] Limite
O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+ sse y - +Inf. Assim lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y - +Inf) (1+1/y)^y=1/e (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que trabalhar mais) Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me enrolo). Entao x=1-1/z, e: lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) Abraco, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite
Olá Ralph e Marcelo, 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+ sse y - +Inf. Assim lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y - +Inf) (1+1/y)^y=1/e Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a resposta seria e e não 1/e. Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e. (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que trabalhar mais) Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me enrolo). Entao x=1-1/z, e: lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) Abraco, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Henrique
[obm-l] Esfera tocando aresta
Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira
[obm-l] RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Obrigado pela compreensão Marcone, tem uma falha na demonstração sim, obrigado por me mostrar, ainda não tinha percebido. Quando disse que o 0 e o 5 podem ser claramente eliminados é porque se um número acaba com esses dígitos é claro que ele é múltiplo de 5, consequentemente na demonstração queremos achar outros possíveis velores para x e y NÃO multiplos de 5 e que a expressão seja múltipla de 10. Quando fui concluir com Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto entre eles esqueci que no produto nós multiplicamos nos próprios números, e não os seus quadrados, como eu estava fazendo. Mas fazendo mais umas continhas acho que o resultado deve ser o mesmo.. OK, abaixo vou fazer todas elas: 1+4 - 5 eliminado (1x2, 1x8, 9x2, 9x8 diferente de 0 ou 5) 1+6 - 7 eliminado (1x4, 1x6, 9x4, 9x6 diferente de 3 ou 8) 1+9 = 10 (0)eliminado (1x3, 1x7, 9x3, 9x7 diferente de 0 ou 5) 4+6 = 10 (0) eliminado (2x4, 2x6, 8x4, 8x6 diferente de 0 ou 5) 6+9 = 15 (5) eliminado (4x3, 4x7, 6x3, 6x7 diferente de 0 ou 5) Ou seja, todos eliminados. Os únicos que se encaixariam seriam o 0 e o 5 (aqueles que eu disse que foram claramente eliminados). Ou seja, não há valor de x ou y não múltiplo se 5 que satisfaça o enunciado. COnsequentemente para os dois multiplos de 5 temos que a equacao é multipla de 25 e como vimos, também de 4, ou seja, também é múltipla de 100. Desculpe se não ficou claro da última vez. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por que parar aqui? DIMENSÃO n: Cubo=[0,1]^n A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) faces (cada um com dimensão n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas legais. (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) ---///--- Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito tempo atrás. Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a resposta do exercício 1. Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? ... Exercício 9. Num supercubo de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever 2^9=512 superesferazinhas de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras e 9 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 512, né? Ponha uma superesferazinha tangente a todas as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: (raiz(9)-1)/4=1/2 Conclusão: Em dimensão 9, aquele espacinho é tão imenso que a tal da esferinha que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar ainda mais a dimensão, a tal da esferazinha do meio aumenta ainda mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do supercubo! Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) Abraço, Ralph 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Limite
Eu tomara (tomara!) y=1/(x-1), não y=1/(1-x). É um sinalzinho de diferença. O limite era de x^(1/(1-x)), não era? Aposto que você estava colocando x^(1/(x-1)) no Excel -- assim dá e, daquele jeito dá 1/e. Abraço, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Ralph e Marcelo, 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com O que o Marcelo fez funciona (ele tirou a exponencicao do ln, que fica entao multiplicando do lado de fora do ln; depois ele se preocupou soh com o limite dentro de exp, tem que esquecer o exp por um instante -- esse limite de dentro eh que foi feito por L'Hopital) e eu acho que eh o jeito mais rapido. Mas, se ainda nao sabemos L'Hopital, temos a seguinte opcao: vamos fazer os limites laterais trocando variaveis. Pela direita, quando x - 1, vou tomar y=1/(x-1). Note que x - 1+ sse y - +Inf. Assim lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y) = 1 / lim (y - +Inf) (1+1/y)^y=1/e Não sei se estou errado, mas seria lim(x - 1+) x^[1/(1-x)] = lim(y - +Inf) (1+1/y)^(y) e não lim(y - +Inf) (1+1/y)^(-y), já que y = 1/(1-x). Assim, a resposta seria e e não 1/e. Coloquei a fórmula no excel e para x-1, x^[1/(1-x)] tende a e. (imagino que este limite fundamental do denominador tenha sido feito previamente, talvez ateh como a definicao de e, senao temos que trabalhar mais) Para x - 1-, vou tomar z=1/(1-x). Note que, de novo, z - +Inf (eu mudei a variavel porque odeio trabalhar com -Inf, eu sempre me enrolo). Entao x=1-1/z, e: lim(x - 1-) x^[1/(1-x)] = lim(z - +Inf) (1-1/z)^z = 1/e (Este tambem jah deve ter sido feito... senao, faca agora z=h+1 e escreva: lim (h - +inf) (1-1/(h+1))^(h+1) = lim (h/(h+1))^(h+1) = 1/ [lim ((h+1)/h)^h . lim (h+1)/h]= 1/(e.1)=1/e.) Abraco, Ralph 2009/4/16 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com: Olá Marcelo, Desculpe, mas não entendi sua solução. Seria x^[1/(1-x)] = exp(ln x^[1/(1-x)]) como o Leandro citou e não exp[ln(x)/(1-x)]? O teorema de L'Hôpital seria que para derivadas (que são limites, certo?) onde surge uma indeterminação pode-se calcular a derivada da função tantas vezes quanto necessário e quando for possível (não existir mais a indeterminação) calcula-se o valor da função. Não entendi como você chegou em exp[(1/x)/(-1)]. Eu não mencionei, mas o exercício está num capítulo sobre limites. Assim, acredito que a solução não seria através de derivadas ou do Teorema de L'Hôpital. Obrigado! Abraços 2009/4/15 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Henrique = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Valeu! Valeu, mesmo... Estou me recuperando da viagem na dimensão 4. Mas como sempre foi legal... Abraços 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por que parar aqui? DIMENSÃO n: Cubo=[0,1]^n A super-esfera tangente às 2^k.C(n,k) faces (cada um com dimensão n-k) tem diâmetro raiz(k), onde k=1,2,3,...,n. São n super-esferas legais. (Fica de exercício o trabalho de explicar donde veio esse 2^k.C(n,k)...) ---///--- Agora vou contar um exercício cuja resposta, por muito tempo, me deixou pasmado. Acho que foi o Nicolau que me contou isso há muito tempo atrás. Exercício 1. Leia os exercícios a seguir e descubra o enunciado e a resposta do exercício 1. Exercício 2. Num quadrado de lado 1, dá para inscrever 4 circunferenciazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 2 outras e 2 lados, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 4, né? Ponha uma circunferenciazinha tangente às 4 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Exercício 3. Num cubo de lado 1, dá para inscrever 8 esferazinhas de diâmetro 1/2, uma perto de cada vértice, cada uma tocando 3 outras e 3 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 8, né? Ponha uma esferazinha tangente às 8 originais, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? ... Exercício 9. Num supercubo de dimensão 9 e lado 1, dá para inscrever 2^9=512 superesferazinhas de diâmetro 1/2, cada uma tocando 9 outras e 9 faces, do jeito simétrico natural. Bom, sobra um espacinho no meio, entre as 512, né? Ponha uma superesferazinha tangente a todas as 512 outras, naquele espacinho do meio. Qual o raio dela? Respostas: Ex. 2: (raiz(2)-1)/4; Ex. 3: (raiz(3)-1)/4; Ex. 9: (raiz(9)-1)/4=1/2 Conclusão: Em dimensão 9, aquele espacinho é tão imenso que a tal da esferinha que você põe lá dentro TANGENCIA AS FACES DO HIPERCUBO (pois ela tem diâmetro 1!). Que espacinho que nada, em dimensão 9, fica um tremendo rombo lá entre aquelas esferas todas! E se aumentar ainda mais a dimensão, a tal da esferazinha do meio aumenta ainda mais (raio=(raiz(n)-1)/4 em dimensão n) e começa a ter pedaços FORA do supercubo! Ok, isto deve provocar uma discussão legal... :) :) :) Abraço, Ralph 2009/4/16 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos da lista Mais uma vez solicito um esclarecimento. Na inscrição da esfera em um cubo, a aresta do cubo vale o diâmetro da esfera. Logicamente o raio da mesma é a metade da aresta. No caso da esfera circunscrever o cubo, será o diãmetro a diagonal do mesmo. Bom...é possível a esfera tocar as arestas de um cubo uma única vez? Qual seria o raio? Confesso que não idealizei o desenho. Também há dois casos, inscrição e circunscrição? Abraços -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
Re: [obm-l] Esfera tocando aresta
Ralph, muito muito muito muito legal o que você escreveu. E só pra não perder o hábito, aqui vai mais uma legal sobre esferas versus cubos : Problema : Veja os exercícios e adivinhe o que a gente vai fazer ! Exercício 1 : um cubo em dimensão 1 e lado 2 é o segmento [-1,1]. Curiosamente, a bola em dimensão 1 e raio 1 também dá a mesma coisa. Exercício 2 : em dimensão 2, o cubo é ... bom, um quadradinho, [-1,1]x[-1,1]. Mas a bola de raio 1 é um disco, e é menor do que o quadrado. A razão entre as áreas é pi / 4 1, entre os comprimentos do bordo é 2 pi / 2*4 = pi/4 Exercício 3 : em dimensão 3, o cubo é ... o cubo ! A bola (que é uma bola também !) continua sendo menor do que o disco. A razão entre os volumes é 4/3 pi / 8 = pi / 6, entre as superfícies de bordo, 4pi / 4*6 = pi/6 ... Exercício n : em dimensão n, o cubo é um hipercubo. A bola, uma hiperbola, ou bola mesmo (dependendo da escola, preferência, etc e tal, não discriminamos). A razão entre os volumes é (fórmula mágica) / 2^n, entre as superfícies é (outra fórmula mágica) / 2^(n-1) * (2n), o que dá a mesma coisa !! Mas, melhor ainda, vemos que a fórmula mágica dá, para dimensão *par* = 2m, um volume da esfera unitária igual a pi^m / m!. Ou seja, o volume da bola tende a zero. Aliás, o de qualquer bola, uma vez que o volume para um raio = r, teremos (em dim=2m para facilitar, o caso ímpar é intermediário) (pi * r^2)^m / m! que dá aproximadamente ((pi * r^2 * e)/n )^n, e se n é beem grande, é maior do que pi r^2 e, e daí em diante o volume diminui. Não precisa nem dizer que (como parece óbvio) que o volume do cubo de lado 2 tende a mais infinito. Primeira moral : o centro do cubo, formado pelos pontos dentro da esfera, tem volume cada vez menor se comparado com os cantinhos que sobram a cada vez que a gente aumenta a dimensão, pois são eles que fazem o cubo sempre ter um volumão ! Portanto, pode parecer estranho, mas o que a gente acha que é um pouquinho porque estamos muito mais acostumados com os desenhos em dimensão 2, é na verdade bem maior em dimensão maior !! Segunda moral : Comparando essa construção (de uma esfera inscrita) com a do Ralph (de 2^n esferinhas inscritas), temos uma prova que não somente nos cantinhos do cubo tem espaço pra burro, mas ao mesmo tempo, não cabe quase nada em esferinhas, que ficam longe pra dedéu, mesmo que os cantinhos sejam eles adjacentes (pense que são as 2^n partes iguais do cubo determinadas pelos cortes dos planos coordenados, cada esferinha está num cubinho desses). Pois, como o Ralph disse, em dimensão maior do que 9 a esferinha no meio é na verdade maior do que as outras esferas dentro do cubo, e na verdade até sai do dito cujo. Prova que, para tangenciar as esferinhas inscritas, tem que ser beeem grande. Ou seja, os cubinhos tão colados, mas as esferinhas dentro deles, tão cada vez mais longe, e os cubinhos tem um volume cada vez maior, mas as esferinhas cada vez menor. Não é louco ? Exercício bônus : calcular as integrais de (sen x)^2n e (sen x)^(2n+1), usando 1 = sen^2 x + cos^2 x e integração por partes. Exercício bônus bis : calcular o volume da esferinha no meio para todas as dimensões, e ver que ela realmente fica cada vez maior, e em dimensão grande tem um volume maior do que o do cubo inicial ! 2009/4/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com: Reposta curta para o Walter: sim, tem essa esfera tangente às arestas, uma só, com diâmetro a.raiz(2), onde a é a aresta do cubo. ---///--- Resposta comprida: EM DIMENSÃO 1 (na reta) Um cubo de lado 1 é o intervalo [0,1]; só existe uma esfera interessante, que passa pelos 2 vértices -- é a esfera de centro 1/2 e diâmetro 1. Tá, isso foi estranho e sem graça; da fato, em dimensão 1, não há diferença entre cubos e esferas -- ambos são intervalos. EM DIMENSÃO 2 (no plano) Um cub isto é, **quadrado** de lado 1 é [0,1]x[0,1]. Há duas esf... quer dizer, círculos interessantes: -- Tangente aos 4 lados (círculo inscrito): o diâmetro é 1; -- Passando pelos 4 vértices (círculo circunscrito): diâmetro é raiz(2). EM DIMENSÃO 3 (no espaço) O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Esferas, tem 3 interessantes: -- Tangente às 6 faces (inscrita): diâmetro 1; -- Tangente às 12 arestas (nem inscrita nem circunscrita... arestocrita? aristocrata? que eu saiba, não tem nome curto que termine com crita): diâmetro raiz(2) (que é a distância entre arestas paralelas opostas, ou seja, a diagonal da face) -- Tangente aos 8 vértices, quer dizer, passando pelos vértices (curcunscrita): diâmetro raiz(3). Por que parar aqui? EM DIMENSÃO 4 (no... huh... hiperespaço): O cubo é [0,1]x[0,1]x[0,1]x[0,1], aresta 1. Tem 4 esferas legais: -- Tangente às 2.C(4,1)=8 hiperfaces (cada uma é um pedaço de espaço 3D): diâmetro 1; -- Tangente às 4.C(4,2)=24 faces (cada uma 2D): diâmetro raiz(2); -- Tangente às 8.C(4,3)=32 arestas (que são segmentos 1D): diâmetro raiz(3); -- Passando pelos 16.C(4,4)=16 vértices: diâmetro raiz(4)=2. Por
Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Olá Silas e demais amigos da lista, O Pedro já deu uma solução para a parte (b) da questão, mostrando a resolução que era (suponho) a esperada pelo proponente, já que a solução da parte (a) do problema pode ajudar a solução da parte (b). Aquela é, sem dúvida, uma forma bem didática de abordar o problema. Mas, já que o aluno do Silas é extrordinariamente aplicado e sonha em ir para o IME (que seja bem-sucedido!), vale a pena ele conhecer uma outra solução, que, embora não seja a mais didática, tem a vantagem de ser direta: Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, e as moças de M1, M2 e M3. Uma formação possível, mas ainda imcompleta (por estar faltando duas moças que devem ficar juntas) é: --- M1 ---R1 --- R2 --- R3 --- R4 ( i ) Agora, o par de moças que está faltando só pode sentar em 4 posições das seis disponíveis no esquema acima, pois o par não pode ocupar as duas posições ao lado da M1. Permutando os elementos da formação ( i ) acima, constatamos que em qualquer uma das permutações formadas o par M2M3 sempre poderá ocupar somente 4 das seis posições disponíveis. Assim, para daterminar o número de grupamentos nas condições do problema, devemos fazer o seguinte: (1) escolher duas moças que devem se sentar juntas : *A3,2* (a ordem importa) (2) permutar os demais: *5!* - para cada escolha de (1) há 5! permutações de (2) (3) Colocar a moça em umas das 4 posições permitidas (são 4 situações diferentes, logo multiplicamos por 4) Portanto, temos: *A3,2 x **5! x 4 = 6 x 120 x 4 = 2880* Abraços, Palmerim 2009/4/14 Pedro Cardoso pedrolaz...@hotmail.com Olá, silas. São 3 possibilidades: moças separadas[i], duas (e não mais do que duas) moças juntas[ii], tres moças juntas[iii]. Sabemos que : 1) o total = [i] + [ii] + [iii] = 7! 2) [i] = 1440. Ora, [iii] é mole. Junte as moças e as trate como um 'elemento' só; agora são 5 elementos, totalizando 5! arranjos possíveis; permute as moças entre si: 3! (isto é, para cada arranjo acima, existem 3! = 6 maneiras de as moças se sentarem) 3) [iii] = 3! * 5! De '1)', '2)' e '3)', [ii] = total - [i] - [iii] = (7*6)*5! - (12)*5! - (6)*5! = 24*120 = 2880 (o problema é que, usando essa solução, se o cara - ou a moça - erra a primeira, erra também a segunda) Abraços, Pedro Lazéra Cardoso -- Date: Mon, 13 Apr 2009 22:33:40 -0300 Subject: Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME From: silasgr...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Magistral, Benedito! Muito obrigado! Bem, se não for muito inconveniente, vou postar a pergunta (b), que também está me dando uma surra: *Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que:* * a) ...* * b) duas moças (e não mais do que duas moças) estejam sentadas juntas.* *Resp.: 2880* 2009/4/13 Benedito b...@ccet.ufrn.br Silas, Primeiro veja de quantos modos os rapazes podem sentar: 4! = 24. Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, Agora, cada moça só pode sentar entre os rapazes (ou à esquerda do primeiro ou à direita do último). ---R1 --- R2 --- R3 --- R4 Deste modo, há 5 lugares para a primeira moça sentar. Uma vez ocupada esta posição, restam 4 possíveis lugares para a segunda ocupar. Uma vez sentada a segunda moça, resta 3 posições (lugares) nos quais a última moça pode ocupar. Assim, o total de possibilidades é 4! x 5 x 4 x 3 = 24 x 60 = 1440. Benedito - Original Message - *From:* Silas Gruta *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Sent:* Monday, April 13, 2009 3:48 PM *Subject:* [obm-l] Combinatoria Pre-IME Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: *Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que:* * a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440* * b) ... * A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta -- Silas Gruta -- Quer saber qual produto Windows Live combina melhor com o seu perfil? Clique aqui e descubra! http://www.windowslive.com.br/ -- Palmerim
Re: [obm-l] sair
Vlw Iuri Já tentei por aqui, mas não consegui. Gosto muito da lista, mas no momento estou meio sem tempo para ler as mensagens. Abraços Em 16/04/2009 00:14, Iuri iurisil...@gmail.com escreveu: A saÃda é por aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html Iuri 2009/4/15 lucianarodrigg...@uol.com.br Por favor Exclua-me da lista.  Att, Luciana = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Plana
Alguem poderia me ajudar? Em uma coroa circular estão inscritas n circunferências, cada uma tangente às duas vizinhas. Se o raio da circunferência interna da coroa mede 1, então o raio da circunferência externa da coroa mede?
