10A + B - 36 = 10B + A
A = 2B == 20B + B - 36 = 10B + 2B == 9B = 36 == B = 4 == A = 8
O número é 84
- Original Message -
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, January 31, 2003 3:01 PM
Subject: [obm-l] dúcida
um número é formado de dois
Caro Cinoto:
Fiz um pouco mais de progresso nesse problema.
Sejam M = {1, 2, ..., 100 } e S = {3, 4, ..., 199 } = conjunto de todas as
somas possíveis de dois elementos de M.
Em linguagem matemática, o que se deseja é o número de partições de M em 3
conjuntos A, B e C (disjuntos dois a dois e
Caro Haroldo.
Concordo com o 4*4*3*5!. Mas por que você dividiu por 2?
Um abraço,
Claudio.
- Original Message -
From:
haroldo
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, January 29, 2003 2:29
PM
Subject: [obm-l] RES: [obm-l]
Combinatória IME
RESPOSTA
Ah, p'ra não perder a viagem, aí vai um problema
bem no estilo dos atuais vestibulares:o primeiro item muito fácil e o
segundo, nem tanto:
Dado um
triângulo isósceles ABC inscrito num círculo, com AB=AC, traça-se a ceviana BH
passando pelo centro do círculo. Se a área do triângulo ABH é 20
Caro Rafael:
A meu ver, o problema é achar o número de partições do conjunto {1, 2, 3,
..., 99, 100}em três subconjuntos V, B e A, tais que exista uma função F:
{ 3, 4, 5, ..., 199 } == { V, B, A } tal que:
F(V+B) = A, F(V+A) = B e F(B+A) = V.
Ou seja, F é uma função do conjunto de todas as
Caro Rafael:
Num triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida a, cuja altura relativa
à hipotenusa tem medida h e que está inscrito num círculo de raio R,
vale sempre o seguinte:
a = 2R
0 h = R == R/h = 1, com igualdade somente quando o triângulo for
isósceles.
Supondo que as projeções dos
Um problema relacionado (e mais fácil do que o
original, mas de forma alguma óbvio) é o seguinte:
De quantas formas podemos dispor 21 dominós sobre
uma mesa (usando as regras normais do jogo) de forma que seja impossível
posicionar qualquer um dos 7 dominós restantes.
Este problema difere
O que você quer dizer com distribuição de balas
dentro de um pacote - é simplesmente o número de balas de cada sabor ou envolve
algum tipo de arranjo geométrico ou ordenaçào das balas (como num pacote de
Halls, por exemplo)?
- Original Message -
From:
Wagner
To: [EMAIL
Caro Faelc:
y = (x^2/t)^(1/8) = x^(1/4) / t^(1/8)
Tomado logaritmos (base 3):
log_3(y) = (1/4)*log_3(x) -
(1/8)*log_3(t) ==
log_3(y) = (1/4)*5 - (1/8)*4 = 5/4 - 4/8 =
3/4
Usando agora que log_y(3) = 1 / log_3(y),
teremos:
log_y(3) = 1/(3/4) = 4/3.
Talvez o ponto mais interessante do
Termo geral: log(2*10^n) = log(2) + n*log(10) =
log(2) + n == PA de razão 1 ==
sua solução está correta (supondo que os logaritmos
são na base 10)
Um abraço,
Claudio.
PS: Se você tiver como entrar em contato com a
pessoa que fez o seu gabarito, por favor diga a ela para procurar uma
1) Supondo que os eixos x e y estejam na mesma
escala (de 1 mm / unidade) e quea lapiseira trace uma faixa de 0,02 mm de
larguraem torno do gráfico da função (isto é 0,01 mm para cima e 0,01 mm
para baixo, de modo que a equação das bordas superior e inferior da faixa sejam,
respectivamente,
A resposta certa é n = k(p-1) + 1 ==
alternativa (d).
Com k(p-1) pessoas, pode ser que cada um dos k
bancos tenha apenas p-1 pessoas sentadas. Com a chegada de mais uma pessoa, um
dos bancos terá necessariamente que ter pelo menos p pessoas, uma vez que se
cada banco tiver p-1 pessoas ou
Sandra viajará para A se chegar entre H:22e
(H+1):10 - intervalo de 48 minutos, e para B se chegar entre H:10 e H:22 -
intervalo de 12 minutos. Assim, P1 = 48/60 e P2 = 12/60 == P1/P2
= 48/12 = 4 == alternativa (d).
- Original Message -
From:
Marcelo
Roseira
To: [EMAIL
Na revista Eureka no. 7 existe um artigo (muito
bom, aliás) sobre Equações Diofantinas escrito pelo Antonio Caminha Muniz Neto,
que trata desta equação além de várias outras.
Você encontrará este número da revista ou o artigo
avulso no site http://www.obm.org.br/eureka.htm
Um abraço,
Caro Eduardo:
Ponha u(x0) = U e v(x0) = V.
Assim, U*V 0 ; f(1/(U*V)) = 2 ; U^2 + V^2 = 1
Usando a relação: f(x + 1/x) = f(x) + 1/f(x) com x = U/V, teremos:
f(U/V + V/U) = f(U/V) + 1/f(U/V)
Mas: f(U/V + V/U) = f[(U^2 + V^2)/(U*V)] = f(1/(U*V)) = 2
Assim: f(U/V) + 1/f(U/V) = 2 ==
f(U/V)^2 -
Minha interpretação do enunciado é que 2 só remam
na direita, 1 só na esquerda e os 5 restantes nos dois lados.
Chame de D1 e D2 os dois homens que só remam na
direita e de E o que só rema na esquerda.
Escolha da posição na direita para
D1: 4
Escolha da posição na direita para D2, com D1
Escolha de um lugar para o primeiro
idoso: 5
Escolha de um lugar para o segundo idoso, com o
primeiro já sentado: 4
Escolha dos 3 que irão ocupar os lugares vagos
restantes: C(5,3) = 10
Permutação dos 3 nestes 3 lugares: 3! =
6
Total = 5 * 4 * 10 * 6 = 1200
Um abraço,
Claudio.
-
Caros Rafael e Profs. Thyago e
Morgado:
Realmente, sou forçado a concordar com vocês que a
resposta certa é 3348. Na minha solução eu cometi um erro ao calcular o número
de configurações com apenas um par de letras iguais na mesma
coluna.
Segue a solução correta (que, pelo menos, é
1)(HUNGRIA)
Sejam n um número natural e f(n) o número de zeros que
aparece na representação decimal de n. Por exemplo f(23) = 0,
f(100) = 2, f(1989) =
0, f(105) = 1 etc.
Considerando
2^f(i) como sendo "2 elevado a f(i)", Calcule o valor da
expressão
E = 2^f(1) +
2^f(2) + 2^f(3) + ...+
novo resultado. Isso e
interessante simplesmente porque eu tenho certeza que algo misterioso e
profundo esta no fim deste arco-iris ...
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1849,270103
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l
Os dias da semana se repetem com periodicidade = 7.
Assim, começando a contar num domingo (dia 0), teremos que os domingos
subsequentes serão: 7, 14, 21, ; as segundas-feiras: 1, 8, 15,
...
Em geral, teremos (k é inteiro não
negativo):
Domingos: 7k
Segundas: 7k + 1
Terças: 7k + 2
Uma forma de resolver o problema é através do
preenchimento de uma linha de cada vez:
Colocação da primeira peça na primeira
linha:
- Escolha da primeira peça: 4 (existem inicialmente
4 peças disponíveis)
- Escolha da coluna: 4 (todas as colunas estão
disponíveis)
Colocação da segunda peça
Use o seguinte fato:
Para todo inteiro positivo n, vale:
1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... +
n)^2
que pode ser demonstrado sem muito problema por
indução.
Daí:
n^3 = (1^3 + 2^3 + ... + n^3) - [1^3 + 2^3 + ... +
(n-1)^3] =
= (1 + 2 + ... + n)^2 - [1 + 2 + ... +
(n-1)]^2 =
=
(fog)(x) = f(x^2)
(hof)(x) = 81/f(x)
(fog)(x) = (hof)(x) == f(x)*f(x^2) = 81 == F(x) = 0, com F(x) =
f(x^2)*f(x) - 81.
Como f é contínua, F também é.
Também:
f(0,04)*f(0,2) = (3^0,04 + 1/0,04)*(3^0,2 + 1/0,2) 25 * 5 = 125 81
f(0,25)*f(0,5) = (3^0,25 + 1/0,25)*(3^0,5 + 1/0,5) (3 + 4)*(3 +
Caro Paulo Santa Rita:
Bem interessante essa questão da relação entre:
R = SOMA A(n)e S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n).
onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A 0.
Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação deve ser
extremamente não-trivial.
Qual bibliografia você
D são
congruentes.
Saludos.
- Original Message -
From:
Cláudio (Prática)
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 23, 2003 6:18
PM
Subject: [obm-l] Problema de
Geometria
Caro Eder:
Você (ou alguém da lista)fez algum
prog
A resitência de um viga retangular é proporcional a
sua largura (L) e ao quadrado de sua altura (h).
Encontre de que maneira deve-se cortar um tronco
cilíndrico de raio ´a´ para se obter uma viga de maior
resistência possivel.
O problema é achar as dimensões (largura L e altura h) de um retângulo
- Original Message -
From: Marcos Reynaldo [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, January 24, 2003 11:22 AM
Subject: [obm-l] Taxas relacionadas
Olá pessoal !
Estou com dificuldade de montar as funções
relacionadas aos exercicios abaixo. Agradeço se
puderem me ajudar.
(Os
Caro Prof. Morgado (e Amurpe):
Antes de mais nada, obrigado pela correção.
Como o Sr. observou muito bem, ao dizer que haviam apenas k-2 alternativas
para a cor do setor n, eu assumi, implicita, indevida e inconscientemente,
que os setores 1 e n-1 têm cores diferentes. Assim, a minha solução
1º) Efetue explicitamente uma reordenação
dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) -
...
Esse é o exemplo típico de série condicionalmente
convergente. A soma dessa série, com essa ordenação é ln(2). Como a série dos
valores absolutos de seustermos diverge (é a série
Interessante esse problema. Com uma planilha eu achei o seguinte:
A ganha se escolher: 1, 2, 4, 7, 8, 14
B ganha se A escolher: 3, 5, 6, 10, 12
Ninguém ganha se A escolher: 9, 11, 13 ou um número = 15.
Que é o mesmo resultado que você achou só que o vencedor é o que fala o
número repetido
Certamente indução funciona e mata o problema, que é o que interessa.
No entanto, o que eu tinha em mente era algo utilizando o princípio das
gavetas (ou das casas de pombos). Por exemplo, no problema de provar que
qualquer subconjunto de {1, 2, ..., 2n} com n+1 elementos contém dois
números
Caro Rafael:
Também achei que m(APB) = c + d = 360 - (a + b).
Usando esta relação, as alternativas resultam em:
A) c + d = (a - b)/2 == 3a + b = 720
B) c + d = (a + b)/2 == a + b = 240
C) c + d = (c - a) - (d - b) == b - a = 2d
D) c + d = a - b == a = 180
E) c + d = a + b == a + b
Caro Eder:
Você (ou alguém da lista)fez algum progresso
neste problema?
O máximo que eu consegui foi o
seguinte:
Se BC for paralela à tangente por A, o problema
fica fácil, pois nesse caso o triângulo ABC é isósceles e AD é altura (e
portanto bissetriz) do ângulo BAC.
Caso contrário,
Tente entrar no site Cut the Knot através de:
http://www.cut-the-knot.com/
Uma vez lá dentro, clique em Geometry na coluna da esquerda, e você dará
na lista de artigos.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, January 21, 2003 9:45
Eu me lembro de já ter visto outra questão sua
sobre este mesmo tema. Assim, vou tentar generalizar.
Suponha que tg(x) = p/q, onde p e q são
inteiros.
tg(x) = sen(x)/cos(x) = p/q ==
sen(x) = (p/q) * cos(x)
sen^2(x) + cos^2(x) =
1 ==
(p/q)^2 * cos^2(x) + cos^2(x)
= 1 ==
[ 1 + (p/q)^2 ]
A Lei de Newton para o resfriamento diz o
seguinte:
Seja T a temperatura de um corpo no instante t, e
seja A a temperatura ambiente (suposta constante).
Então: dT/dt = - k*(T - A), onde k é constante
(determinada experimentalmente):
Esta é uma equação diferencial linear de primeira
Ok, agora faz sentido! Pra mim, o problema está resolvido.
Eu só acho que, do ponto de vista do encadeamento lógico, a prova de que
m(n) = m(n-1) + k, com k em {0,1} deveria vir antes. Isso porque a inclusão
de M(n-1) em {X(1),...,X(n)} (na minha opinião, a sua grande sacada -
parabéns!), além de
Acho que o segundo problema sai assim:
Numere os setores 1, 2, ..., n de forma que k seja adjacente a k+1 (1 = k
= n-1) e n seja adjacente a 1.
Inicialmente, temos k escolhas para a cor do setor 1.
Após colorido 1, temos k-1 escolhas para a cor do setor 2, que tem de ser
diferente da do setor 1.
Dá pra provar um resultado mais geral que é o seguinte:
Seja X um conjunto qualquer. Então nenhuma função f : X -- P(X) é
sobrejetora.
DEM:
Suponha o contrário. Seja F uma sobrejeção de X em P(X).
(repare que a imagem de cada elemento de X por F é um subconjunto de X)
Seja A = { x pertencentes a
Caro Domingos Jr.
Dei uma primeira lida na sua demonstração e acho que a idéia funciona.
Porém, tem uma passagem que não ficou clara:
X(n) = m(n-1) + k.n para algum k inteiro
Essa linha também nos diz que M(i) = {m(1), m(2), ... m(i)}está contido em
{X(1), X(2),..., X(i+1)}
pois o valor m(n-1)
Na verdade, o Teorema de Ceva dá a condição necessária e suficiente para que
as três cevianas sejam concorrentes.
A página http://www.cut-the-knot.com/Generalization/ceva.shtml dá duas
demonstrações do teorema, além de uma série de corolários envolvendos
cevianas que se encontram em diversos
Eu fiz o seguinte raciocínio:
Sejam:
M = Quantidade de Mato Consumida (em % do Pasto);
N = Número de Vacas;
T = Número de Dias;
a = quantidade de mato consumida por cada vaca num dia;
b = quantidade de mato que surge (cresce) num dia.
Então, supondo que tudo varia linearmente, a equação básica
Vamos por etapas:
Inicialmente, não é muito difícil ver que:
1 plano divide o espaço (R^3) em no máximo 2 regiões;
2 planos em no máximo 4 regiões;
3 planos em no máximo 8 regiões.
Assim, parece que cada novo plano dobra o número máximo de regiões. No
entanto, considere agora 4 planos.
Para
Title: Re: [obm-l] Triângulos Isósceles e Bissetrizes
Caro Eduardo:
Obviamente, esta é a solução que vai para o
"LIVRO".
No entanto, pelo menos para mim, a maior
dificuldade que existe em problemas de geometria é determinar a construção
auxiliar (no caso, o segmento EF e, por conseguinte,
- Original Message -
From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 09, 2003 4:32 AM
Subject: Re:[obm-l] IME 96
É dado um tabuleiro quadrado 4x4. Deseja-
se atingir o quadrado inferior direito a partir do quadrad
o superior esquerdo. Os movimentos
Caro Rafael:
Não apareceram as setas que você mencionou no primeiro problema.
Abraço,
Claudio.
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 09, 2003 12:15 PM
Subject: Re: Re:[obm-l] IME 96
- Original Message
Caro Rafael:
Sobre o segundo problema, seja N(m,n) de funções estritamente crescentes
(f.e.c.'s) de Im em In, com m = n.
Se F é uma tal função, então dados x e y em Im, com 1 = x y = m, teremos
F(x) F(y) == F é injetiva == F(Im) tem m elementos.
Pode-se tomar m elementos de In (que tem n
Uma forma de proceder seria contar o número de caminhos que passam por um
número específico de quadrados.
Assim, o menor caminho passa por três quadrados (excluindo o superior
esquerdo mas incluindo o inferior direito) - é o da diagonal e é o único
caminho desse comprimento.
Chamemos de N(k), o
Uma sugestão: use a fórmula:
(A1 + A2 + ... + Am)^N
=SOMATÓRIO P(k1,k2,...,km) * A1^k1 * A2^k2 *
... * Am^km
k1+...+km = N
ki
= 0
Onde: P(k1,k2,...,km) = N! / ( k1! * k2! *
... * km! )
Justificativa: o coeficiente de A1^k1 * ... * Am^km
é igual ao número de conjuntos de Nobjetos que
O problema é: Prove que se um triângulo tem duas
bissetrizes internas iguais, então ele é isósceles.
Há um tempo atrás o Eder Albuquerque tentou a lei
dos senos neste problema e chegou à expressão:
sen(2a+b)/sen2a = sen(a+2b)/sen2b, com a e b entre
0 e 90 graus (2a e 2b são os ângulos da
Seja y = raiz(x) == x =
y^2.
Então: 3*y + 6/y = 1 == 3*y^2 - y +
6 = 0
D = 1^2 - 4*3*6 = -71
== raiz(D) = i * raiz(71) ( i = raiz(-1)
)
y = ( 1 + i * raiz(71) ) / 6
ou y = ( 1 - i * raiz(71) ) / 6 ==
x = ( -35 + i * raiz(71) ) / 18
ou x = ( -35 - i * raiz(71) ) / 18
- Original
Caro Carlos:
Acho que isso pode ajudar:
Considere a aresta que liga os pontos (a,b) e (c,d) e a aresta que liga os
pontos (e,f) e (g,h).
Pergunta: qual a condição para que as duas arestas se interceptem?
Vamos supor que (a,b) (c,d) e (e,f) (g,h), caso contrário não haveria
uma aresta, mas sim
interessante o
pessoal tentar descobrir a prova simples que ele achou.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
5,0145,271202
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Teorema de Silvester
Date: Thu, 26 Dec 2002 20:30:52 -0200
Caro Domingos Jr.:
Tentei trabalhar com a sua idéia dos subconjuntos de {1,2,...,n} contendo n,
mas não consegui estabelecer uma relação de recorrência usável entre T(n) e
T(n+1).
Dado um subconjunto X de {1,2,..,n} com k elementos e com soma S (portanto,
média = S/k), minha idéia foi passar de
Uma solução para este problema (não deve ser a de Conway, pois é bem mais
longa do que uma linha) usa o conceito de distância de ponto a reta e chega
a uma contradição:
Dado o conjunto C dos N pontos, considere o conjunto de todos os pares ( P
, QR ) de ponto (P) e reta (QR) que não contém o
:59 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios irredutíveis
Gratíssimo por sua ajuda!
Alguma razão especial lhe fez pensar em x^4 + 1 ?
Abraço,
Eduardo.
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
Caro Eduardo:
Acho que o resultado a seguir pode ajudar:
P(x) = x^4 + 1 é
Imagino que a pergunta seja sobre como provar a irracionalidade de p^(1/n).
O mais fácil é usar o teorema sobre as possíveis raízes racionais de um
polinômio:
Se a/b (a e b inteiros, a 0, e - muito importante - mdc(a,b) = 1) é raiz
do polinômio P(x) = C0 + C1*x + ... + Cn*x^n de coeficientes
Caro Eduardo:
Acho que o resultado a seguir pode ajudar:
P(x) = x^4 + 1 é irredutível sobre Z mas é redutível sobre Z/(p) para todo
primo p.
Demonstração:
As raízes de P(x) são exp( i * (2*k+1) * Pi/4 ) k = 0, 1, 2, 3 e a única
fatoração de P(x) em polinômios com coeficientes reais é (x^2 +
A demonstração segue a mesma lógica:
7^(1/3) = m/n com mdc(m,n) = 1
7 = (m^3) / (n^3)
m^3 = 7 * (n^3)
m^3 é múltiplo de 7
m é múltiplo de 7
m^3 é múltiplo de 7^3 = 343
m^3 = 343 * k
Mas, neste caso, 343 * k = 7 * (n^3) (ambos são iguais a m^3), ou seja:
7 * (7*k) = n^3
n^3 é múltiplo de 7
n é
8 escrivaninhas certamente são suficientes.
Se cada professor usar uma escrivaninha 90% do tempo, então o número total
de escrivaninhas-tempo utilizadas será igual a 8 * 0,90 = 7,2. Assim,
supondo que não exista 0,2 escrivaninha, 8 escrivaninhas são também
necessárias.
Um abraço,
Claudio
x^109 + 3 = Q(x) * (x + 1) + R
Substituindo x = -1, teremos: (-1)^109 + 3 = Q(-1) * (1 - 1) + R = 0 + R =
R, ou seja, R = 2.
- Original Message -
From: Juliana Löff [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, December 17, 2002 7:11 PM
Subject: [obm-l] [obm-l] polinômios
Assumindo que o domínio seja um subconjunto de R, teremos:
1.No numerador:
Num(x) = ln( sqrt( f(x) ) ) com f(x) = pi*x^2 - (1+pi^2)*x + pi = pi * ( x -
Pi ) * ( x - 1/Pi )
sqrt( (f(x) ) 0 == f(x) 0 == x 1/Pi ou x Pi.
2. No denominador:
Den(x) = -2*x^2 + 3*x 0 == -2 * x * ( x - 3/2 )
- 1/Pi ) * ( x - Pi ) ] 0 = x 1/Pi ou
x Pi
No denominador, - 2 * x * ( x - 3/2 ) 0 = 0 x 3/2.
Assim, Domínio = ( 0 , 1/Pi ) .
- Original Message -
From: Cláudio (Prática) [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, December 16, 2002 10:33 AM
Subject: Re: [obm-l
Sugestão para o Problema 1:
Calcule a área do trapézio BCEF de duas maneiras
distintas e iguale as expressões obtidas.
PRIMEIRA: use o fato de que Triângulo AFE ~
Triângulo ABC com razão de semelhança = 1/2.
Resultado: A(BCEF) = A(ABC) -
A(AFE) = S - S/4 = 3*S/4
SEGUNDA: use o fato de que
Caros amantes da matematica:
O problema a seguir consta de uma lista de
problemas preparatorios para a IMO:
Prove que existe uma bijecao f: N -- N (N
= conjunto dos numeros inteiros positivos) tal que:
Para todo inteiro positivo n, n divide f(1) + f(2)
+ ... + f(n).
A minha ideia para
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