Re: [obm-l] Como calcular?

[Gabriel Tostes]

Se B2 for maior que 0 aquele limite vai ser sempre maior que uma constante 
qualquer... O problema ta aí, por isso B2 deve ser 0.

Enviado do meu iPad

> Em 1 de mar de 2018, às 22:18, Douglas Oliveira de Lima 
> <profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> 
> Então, esse problema é bem interessante, se eu não me engano,
> ele tem sua origem com o matemático indiano Ramanujam, em um
> de seus escritos.
> 
> Mas tem uma solução legal na dissertação do meu camarada Carlos Victor, 
> do PROFMAT,
> veja: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=27919 , é o 
> problema de número 49.
> 
> Valeu forte abraço do 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em 1 de março de 2018 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> <bernardo...@gmail.com> escreveu:
>> 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>:
>> > Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1)
>> > Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre 
>> > (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1)
>> > vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0.
>> 
>> Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0".  Como
>> você mostra isso?  Além do mais, a sequência de raizes podia
>> (podia...) tender a infinito.  Acho que também tem que mostrar que não
>> é o caso.  Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer
>> outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que
>> você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o
>> limite é zero".
>> 
>> > Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia.
>> 
>> Realmente, essa transformação é mágica.  Eu chutei o limite (usando um
>> computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar
>> que dava.  O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 +
>> n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 +  raiz(1 + m) ... ))).  Claro que
>> T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito).  E para
>> provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) =
>> n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m...
>> 
>> > Então, de 1:
>> > n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao 
>> > simples traz que:
>> > Bn>=2^(n-2).B2
>> > Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh igual 
>> > a B2, ou seja, B2=0 e
>> > X= A2=3
>> 
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Como calcular?

[Gabriel Tostes]

Pronto! A gente quer que o limite seja 1 na verdade, nao 0 hahah tava me 
confundindo todo. Mas é só isso. 

> Em 3 de mar de 2018, às 15:28, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> escreveu:
> 
> Foi um erro, o que eu quis dizer com isso (mas confundi, esse limite 
> claramente nao vai pra 0 pq An eh maior que 1, eh que A raiz 2^(n-2) de An 
> tem que ser "bem comportada". Nao pode acrescentar muito à A2 quando você for 
> realimentando pra parecer cada vez mais com x, pois ai o limite de x - A2 vai 
> ser 0...
> 
> Enviado do meu iPad
> 
>> Em 1 de mar de 2018, às 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
>> <bernardo...@gmail.com> escreveu:
>> 
>> 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>:
>>> Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1)
>>> Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre 
>>> (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1)
>>> vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0.
>> 
>> Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0".  Como
>> você mostra isso?  Além do mais, a sequência de raizes podia
>> (podia...) tender a infinito.  Acho que também tem que mostrar que não
>> é o caso.  Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer
>> outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que
>> você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o
>> limite é zero".
>> 
>>> Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia.
>> 
>> Realmente, essa transformação é mágica.  Eu chutei o limite (usando um
>> computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar
>> que dava.  O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 +
>> n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 +  raiz(1 + m) ... ))).  Claro que
>> T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito).  E para
>> provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) =
>> n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m...
>> 
>>> Então, de 1:
>>> n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao 
>>> simples traz que:
>>> Bn>=2^(n-2).B2
>>> Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh igual 
>>> a B2, ou seja, B2=0 e
>>> X= A2=3
>> 
>> -- 
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Como calcular?

[Gabriel Tostes]

Foi um erro, o que eu quis dizer com isso (mas confundi, esse limite claramente 
nao vai pra 0 pq An eh maior que 1, eh que A raiz 2^(n-2) de An tem que ser 
"bem comportada". Nao pode acrescentar muito à A2 quando você for realimentando 
pra parecer cada vez mais com x, pois ai o limite de x - A2 vai ser 0...

Enviado do meu iPad

> Em 1 de mar de 2018, às 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> <bernardo...@gmail.com> escreveu:
> 
> 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>:
>> Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1)
>> Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre 
>> (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1)
>> vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0.
> 
> Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0".  Como
> você mostra isso?  Além do mais, a sequência de raizes podia
> (podia...) tender a infinito.  Acho que também tem que mostrar que não
> é o caso.  Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer
> outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que
> você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o
> limite é zero".
> 
>> Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia.
> 
> Realmente, essa transformação é mágica.  Eu chutei o limite (usando um
> computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar
> que dava.  O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 +
> n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 +  raiz(1 + m) ... ))).  Claro que
> T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito).  E para
> provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) =
> n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m...
> 
>> Então, de 1:
>> n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao 
>> simples traz que:
>> Bn>=2^(n-2).B2
>> Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh igual a 
>> B2, ou seja, B2=0 e
>> X= A2=3
> 
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Como calcular?

[Gabriel Tostes]

Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1)
Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre 
(substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1)
vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0.
Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia. Então, de 1:
n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao simples 
traz que:
Bn>=2^(n-2).B2
Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh igual a 
B2, ou seja, B2=0 e 
X= A2=3

Enviado do meu iPad

> Em 28 de fev de 2018, às 21:53, Anderson Torres 
>  escreveu:
> 
> Em 24 de novembro de 2017 15:25, Fabrício Filho  escreveu:
>> Raiz quadrada de (1+2.Raiz quadrada de (1 + 3.Raiz quadrada de (1 + 4.Raiz
>> quadrada de (1 + 5. Raiz quadrada de (1 +...
> 
> Não me parece fácil sequer definir essa sequência em termos dos
> anteriores. Afinal, se por exemplo
> 
> x = raiz(1+2 raiz(1+3 raiz(1)))
> 
> x é a raiz de um polinômio chato
> 
> (((x^2-1)/2)^2-1)^2/3=1
> 
> E não consigo pensar em uma forma de analisar isso para o caso geral...
> 
> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Passageiros em fila (probabilidade)

[Gabriel Tostes]

Bernardo, existe a bijeicao sim! O que vc falou ta certo, vc so nao percebeu 
que a primeira cadeira nao tem dono! A primeira pessoa escolhe aleatoriamente 
qual cadeira vai sentar. Se a ultima nao sentar na cadeira dele vai sempre 
sentar na primeira cadeira obrigatoriamente(dps tu prova isso ai), eu so n 
provei essas coisas pra encurtar o texto. A bijeicao eh: pra cada arranjo que a 
ultima pessoa nao senta na cadeira ela, a gente inverte as posicoes da ultima 
pessoa com a pessoa que sentou na cadeira dela, as duas sao possiveis e eh uma 
bijeicao! Faz os casos pequenos pra tu entender melhor como essa bijeicao 
funciona. Se eu tivesse um caderno pra escrever seria mais facil mostrar. So q 
escrevendo assim eh mais dificil.

Sent from my iPad

> On Aug 31, 2017, at 8:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> <bernardo...@gmail.com> wrote:
> 
>> On Wed, Aug 30, 2017 at 2:30 PM, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> wrote:
>> Me mandaram esse problema. Primeiro eu fiz tbm com induçao e etc. Mas como o
>> resultado era mto bonito fui pensar de outra maneira, mais rapida. Vamos la:
>> 
>> No decorrer das pessoas sentando, a ultima nao sentará na cadeira dela
>> somente se uma pessoa ja a tenha ocupado. Porem, para a pessoa que for
>> ocupar a cadeira do ultimo passageiro, damos uma opcao a ela: ou sente na
>> primeira cadeira ou na ultima. No primeiro caso a ultima pessoa sentará na
>> cadeira dela, no segundo nao. Em ambos os casos as cadeiras de todas outras
>> pessoas vao estar definidas e, logo, tem uma bijeicao entre os arranjos em
>> que a ultima pessoa senta na cadeira dela ou nao.  A probabilidade eh,
>> entao, 1/2.
> 
> Ter uma prova bijetiva seria legal.  Mas eu confesso que não entendi o
> seu argumento.  Eu acho que você quis dizer o seguinte:
> - Considere todas as possíveis ocorrências do processo das pessoas
> sentando, chame este conjunto de X.
> - Um elemento x de X é uma correspondência das pessoas com os assentos
> em que elas de fato ficaram.
> - O conjunto X não é equiprovável, pois se por exemplo o "louco" se
> sentar na sua cadeira certa (com probabilidade 1/k, onde k é o número
> de pessoas depois dele na fila), só há UM evento em X que corresponde
> a isso.  Por outro lado, se ele se sentar na cadeira de outra pessoa
> (que não seja a última), a probabilidade dos eventos nestas
> circunstâncias é menor, pois tem que usar um "princípio
> multiplicativo" para cada vez que uma pessoa tiver que escolher uma
> cadeira, se a sua estiver ocupada.
> - Suponha que a última pessoa não se sentou no seu assento marcado.
> Isto define um subconjunto Y de X.  Para cada evento y de Y, existe
> uma pessoa p que se sentou na cadeira do último.  Esta pessoa tem j
> pessoas depois dela.
> - Aqui eu começo a não entender... o que quer dizer a sua "opção" de
> "sentar na primeira cadeira"??? Esta tal primeira cadeira já não está
> ocupada?  Ou você quis dizer "o cara, em vez disso, vai se sentar na
> cadeira que o último se sentou"?
> - De qualquer forma, ao alterar a decisão da pessoa p, vai ocorrer
> também uma mudança das probabilidades dos eventos (pois a "nova"
> cadeira que ele escolheu de fato pertencia a outra pessoa, e esta
> outra pessoa agora vai ter que escolher uma outra cadeira para sentar,
> ...)
> 
> Assim, eu não entendi direito como você constrói a bijeção, e mesmo
> que houvesse uma bijeção, você teria que provar que os eventos postos
> em bijeção tem a mesma probabilidade, o que não é imediato, já que os
> eventos em X não são equiprováveis.
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
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=

Re: [obm-l] Passageiros em fila (probabilidade)

[Gabriel Tostes]

Perdao, talvez a confusao ficou pq eu n explicitei direito oq eh a tal da 
"primeira cadeira". Ela eh a cadeira que pertence a primeira pessoa a sentar, 
mas essa vai sentar aleatoriamente. A gente pode dar a opcao pra pessoa que 
sentaria na cadeira do ultimo pq depois disso a cadeira de todos vao se definir 
a partir dessa opcao, qualquer que seja ela, como eu falei no primeiro email.

Sent from my iPad

> On Aug 31, 2017, at 8:59 PM, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
> <bernardo...@gmail.com> wrote:
> 
>> On Wed, Aug 30, 2017 at 2:30 PM, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> wrote:
>> Me mandaram esse problema. Primeiro eu fiz tbm com induçao e etc. Mas como o
>> resultado era mto bonito fui pensar de outra maneira, mais rapida. Vamos la:
>> 
>> No decorrer das pessoas sentando, a ultima nao sentará na cadeira dela
>> somente se uma pessoa ja a tenha ocupado. Porem, para a pessoa que for
>> ocupar a cadeira do ultimo passageiro, damos uma opcao a ela: ou sente na
>> primeira cadeira ou na ultima. No primeiro caso a ultima pessoa sentará na
>> cadeira dela, no segundo nao. Em ambos os casos as cadeiras de todas outras
>> pessoas vao estar definidas e, logo, tem uma bijeicao entre os arranjos em
>> que a ultima pessoa senta na cadeira dela ou nao.  A probabilidade eh,
>> entao, 1/2.
> 
> Ter uma prova bijetiva seria legal.  Mas eu confesso que não entendi o
> seu argumento.  Eu acho que você quis dizer o seguinte:
> - Considere todas as possíveis ocorrências do processo das pessoas
> sentando, chame este conjunto de X.
> - Um elemento x de X é uma correspondência das pessoas com os assentos
> em que elas de fato ficaram.
> - O conjunto X não é equiprovável, pois se por exemplo o "louco" se
> sentar na sua cadeira certa (com probabilidade 1/k, onde k é o número
> de pessoas depois dele na fila), só há UM evento em X que corresponde
> a isso.  Por outro lado, se ele se sentar na cadeira de outra pessoa
> (que não seja a última), a probabilidade dos eventos nestas
> circunstâncias é menor, pois tem que usar um "princípio
> multiplicativo" para cada vez que uma pessoa tiver que escolher uma
> cadeira, se a sua estiver ocupada.
> - Suponha que a última pessoa não se sentou no seu assento marcado.
> Isto define um subconjunto Y de X.  Para cada evento y de Y, existe
> uma pessoa p que se sentou na cadeira do último.  Esta pessoa tem j
> pessoas depois dela.
> - Aqui eu começo a não entender... o que quer dizer a sua "opção" de
> "sentar na primeira cadeira"??? Esta tal primeira cadeira já não está
> ocupada?  Ou você quis dizer "o cara, em vez disso, vai se sentar na
> cadeira que o último se sentou"?
> - De qualquer forma, ao alterar a decisão da pessoa p, vai ocorrer
> também uma mudança das probabilidades dos eventos (pois a "nova"
> cadeira que ele escolheu de fato pertencia a outra pessoa, e esta
> outra pessoa agora vai ter que escolher uma outra cadeira para sentar,
> ...)
> 
> Assim, eu não entendi direito como você constrói a bijeção, e mesmo
> que houvesse uma bijeção, você teria que provar que os eventos postos
> em bijeção tem a mesma probabilidade, o que não é imediato, já que os
> eventos em X não são equiprováveis.
> 
> Abraços,
> -- 
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Passageiros em fila (probabilidade)

[Gabriel Tostes]

Me mandaram esse problema. Primeiro eu fiz tbm com induçao e etc. Mas como o 
resultado era mto bonito fui pensar de outra maneira, mais rapida. Vamos la:
No decorrer das pessoas sentando, a ultima nao sentará na cadeira dela somente 
se uma pessoa ja a tenha ocupado. Porem, para a pessoa que for ocupar a cadeira 
do ultimo passageiro, damos uma opcao a ela: ou sente na primeira cadeira ou na 
ultima. No primeiro caso a ultima pessoa sentará na cadeira dela, no segundo 
nao. Em ambos os casos as cadeiras de todas outras pessoas vao estar definidas 
e, logo, tem uma bijeicao entre os arranjos em que a ultima pessoa senta na 
cadeira dela ou nao.  A probabilidade eh, entao, 1/2.

> On Aug 30, 2017, at 2:31 AM, Marcelo Salhab Brogliato  
> wrote:
> 
> Eu vi esse problema no Quora e cheguei na resposta de 1/2, para qualquer 
> tamanho de fila com n>=2. Achei muito interessante! Resolvi por recorrência 
> e indução finita.
> 
> 
> There are 100 people waiting in line to board an airliner with 100 seats.
> 
> The seats are numbered from 1 to 100. Each passenger holds a ticket with his 
> seat number.
> 
> You are the last passenger in line.
> 
> One of the passengers ahead of you in line is crazy. We don’t know which 
> one. He will ignore his seat assignment and sit in a random empty seat.
> 
> Every other passenger will sit in their assigned seat — unless it is 
> already taken, in which case they too will sit in a random empty seat.
> 
> Passengers board one by one.
> 
> What is the probability that you will sit in your assigned seat?
> 
> EDIT for clarification: the crazy person might sit in his assigned seat; he 
> is equally likely to sit in any open seat.
> 
> Link: What is your favorite math problem/puzzle? by John Coiner 
> https://www.quora.com/What-is-your-favorite-math-problem-puzzle/answer/John-Coiner?share=9765a714=vb7t
> 
> -- msbrogli
> 
> Enviado do meu iPhone
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão

[Gabriel Tostes]

Faltou so uma coisa, a ordem de 10 mod 23 é 11 nao 22. Entao o k= 2+11k 


> On Aug 25, 2017, at 12:28 AM, Daniel da Silva  
> wrote:
> 
> Obrigado Pedro.
> 
> Daniel Rocha da Silva
> 
> Em 23 de ago de 2017, às 19:31, Pedro José  escreveu:
> 
>> Boa noite!
>> 
>> O difícil é achar o n.
>> 
>> Como o menor inteiro positivo que atende 10^a = 1 mod23 é a=22
>> 
>> E como 10^3 = 11 mod23.
>> 
>> Temos que K + 1 = 3 +22*m com m natural
>> então k = 2 + 22*m.
>> 
>> e n/2 = [10^(k+1) -11]/23 ==> n=2*[10^(k+1)-11]/23.
>> 
>> Portanto as soluções serão (2+ 22*m; 2*[10^(3+22*m)-11]/23; com m= 
>> 0,1, 2, 3, 4
>> 
>> Então há uma infinidade de soluções. você achou a relativa a 
>> m=0.
>> 
>> ou seja, k= 2 e n = 2*[10^3-11]/23=2*43=86
>> 
>> para m =1; k= 24 e n= 869,575.217.391.304.347.826.086
>> 
>> Salvo engano para n pois fiz na marra.
>> 
>> Saudações,
>> PJMS
>> 
>> Em 23 de agosto de 2017 17:19, Daniel da Silva 
>>  escreveu:
>>> Boa tarde,
>>> 
>>> Como saber quantos valores inteiros
>>> de N e K satisfazem a seguinte equação:
>>> 
>>> 10^(K+1)=11+23N/2
>>> 
>>> Encontrei uma solução (N=86, K=2), mas como saber se é 
>>> única?
>>> 
>>> Obrigado,
>>> Daniel Rocha da Silva
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão

[Gabriel Tostes]

Confundi, eh 22 msm. :D

> On Aug 25, 2017, at 12:28 AM, Daniel da Silva  
> wrote:
> 
> Obrigado Pedro.
> 
> Daniel Rocha da Silva
> 
> Em 23 de ago de 2017, às 19:31, Pedro José  escreveu:
> 
>> Boa noite!
>> 
>> O difícil é achar o n.
>> 
>> Como o menor inteiro positivo que atende 10^a = 1 mod23 é a=22
>> 
>> E como 10^3 = 11 mod23.
>> 
>> Temos que K + 1 = 3 +22*m com m natural
>> então k = 2 + 22*m.
>> 
>> e n/2 = [10^(k+1) -11]/23 ==> n=2*[10^(k+1)-11]/23.
>> 
>> Portanto as soluções serão (2+ 22*m; 2*[10^(3+22*m)-11]/23; com m= 
>> 0,1, 2, 3, 4
>> 
>> Então há uma infinidade de soluções. você achou a relativa a 
>> m=0.
>> 
>> ou seja, k= 2 e n = 2*[10^3-11]/23=2*43=86
>> 
>> para m =1; k= 24 e n= 869,575.217.391.304.347.826.086
>> 
>> Salvo engano para n pois fiz na marra.
>> 
>> Saudações,
>> PJMS
>> 
>> Em 23 de agosto de 2017 17:19, Daniel da Silva 
>>  escreveu:
>>> Boa tarde,
>>> 
>>> Como saber quantos valores inteiros
>>> de N e K satisfazem a seguinte equação:
>>> 
>>> 10^(K+1)=11+23N/2
>>> 
>>> Encontrei uma solução (N=86, K=2), mas como saber se é 
>>> única?
>>> 
>>> Obrigado,
>>> Daniel Rocha da Silva
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Algebra (Polinomios)

[Gabriel Tostes]

Substitui x+1 por Y. Fica bem na cara, só abrir (y^2-y+1)^40 e ver o que tem 
grau menor que 3. Que é
1-40y+820y^2. Substitui agora denovo e o resto é 
1-40(x+1)+820(x+1)^2=820x^2+1600x+781



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> On Jul 10, 2017, at 8:37 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Encontrar o resto da divisão do polinomio (x^2+x+1)^40 por (x+1)^3.
> 
> Obs: Sem usar derivadas.
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Desigualdade

[Gabriel Tostes]

Tira ln, esse produto vai ser: 
Sum{n>=1} ln(n+1)/(2^n) = M

Bora escrever M de outro jeito:

M= ln(2) + [ln(3)-ln(2)]/2 + [ln(4)-ln(3)]/2^2 + ...

M= Sum{n>=1} (ln(n+1)-ln(n))/2^(n-1)

Como ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)<1/n

M=2} 1/n.2^(n-1) = L + ln(2)

Para achar L considere:
1/(1-x)= 1+x^2+x^3+...

Integrando essa expressao temos que -(1/x).ln(1-x)= 1+x/2+x^2/3+...
Substituindo x=1/2 achamos que L=2ln(2)-1
E entao
M< 3ln(2)-1 < ln(3)

 E o produto pedido inicialmente eh menor que 3








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> On May 26, 2017, at 9:47 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Como posso fazer essa daqui:
> 
> [2^(1/2)].[3^(1/4)].[4^(1/8)].[5^(1/16)]...<3
> 
> Grande abraço a todos
> 
> DouglasOliveira
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

Nem vi a condição de q era positivo, de fato n vale.

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> On Apr 30, 2017, at 3:53 PM, Douglas Oliveira de Lima 
>  wrote:
> 
> Observe quando x=2, y=3 e z=1 a desigualdade não funciona, logo não basta 
> substituir x+y=a, 
> x+z=b e y+z=c, na verdade acho que  funciona ao "contrário" x/(x+y) + y/ 
> (y+z) + z/(z+x) <= 2.
> A não ser que seja outra questão como por exemplo:
> (x+y)/z +(x+z)/y +(y+z)/x >=6 o que daria certo.
> 
> Grande abraço
> 
> Douglas Oliveira.
> 
> Em 30 de abril de 2017 10:46, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > 
>> = 2
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
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Re: [obm-l] desigualdade

[Gabriel Tostes]

X+y=a x+z=b y+z=c so fazer essa substituicao

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> On Apr 30, 2017, at 10:46 AM, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Se x, y, z são números positivos, prove que x/(x+y) + y/ (y+z) + z/(z+x) > = 2
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
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Re: [obm-l] Menor caminho

[Gabriel Tostes]

Reflete A nas abcissas e B nas ordenadas e traça linha reta entre eles

> On Mar 4, 2017, at 21:39, Guilherme Oliveira 
>  wrote:
> 
> Considere quatro pontos em um plano cartesiano: A (3,13) e B (9,3). Qual é 
> o caminho de menor comprimento que tenha como extremos os pontos A e B e 
> tenha pelo menos um ponto no eixo das abscissas e outro no eixo das 
> ordenadas? Qual é o seu comprimento?
> 
> 
> 
> --Â 
> __
> 
> “A mente que se abre a uma nova ideia jamais voltará ao seu tamanho 
> original.”
> 
> Â 
> 
> Albert Einstein
> 
> 
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Re: [obm-l] infinitas soluções(inteiros)

[Gabriel Tostes]

ISL 1997 NT 6.
Da pra generalizar ainda x^a+y^b=z^c se Mdc(a,c) ou Mdc(b,c) é 1 e mdc(a,b)=1

Sent from my iPad
> On Mar 3, 2017, at 16:22, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Prove que a equação x^1991 + y^1992 = z^1993 tem infinitas soluções x, y, z
> 
> nos inteiros positivos?
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Cálculo de determinante.

[Gabriel Tostes]

Na verdade é um produtorio... Com phi de euler no meio

> On Feb 27, 2017, at 19:54, Anderson Torres  
> wrote:
> 
> Isso já foi respondido em uma Eureka!
> E do que me lembre, não era uma potência de dois não.
> 
> Em 22 de fevereiro de 2017 23:34, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
>> Olá caros amigos não consegui pensar no seguinte problema:
>> 
>> 1) Calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n , onde cada
>> elemento é o MDC entre i e j.
>> 
>> Obs: O resultado é MT bonito, uma potência de 2.
>> 
>> Agradeço a ajuda.
>> 
>> Douglas Oliveira.
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

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Re: [obm-l] Aritmética(divisores)

[Gabriel Tostes]

Se d15<=n/3 chega num absurdo pela primeira condicao. Entao d15=n/2 e tem 16 
divisores.
Se d14<=n/4 chega num absurdo tambem pela primeira e logo d14=n/3.
Substituindo esses valores em n=d13+d14+d15 achamos que d13=n/6
Entao 2||n e 3|n vamos dividir em dois casos. 3||n e 3^b||n, b>1
1°:
3||n
Da segunda condicao > d15=d5(d5^2+3d5+3) como 3|d15 e 3 nao divide d5 chegamos 
a um absurdo.
2°:
Como uma potencia de 3 maior que um divide n e ja vimos que d5 tem que ser 
multiplo de 3 entao d5=9 e logo n=1998. 



> On Jan 12, 2017, at 16:58, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Os divisores de um número inteiro e positivo n estão escritos em ordem 
> crescente a partir
> 
> do número 1 < d1 < d2 < d3 < ... < n.Encontrar o número n sabendo que:
> 
> 
> a) n = d13 + d14 + d15 e
> 
> 
> b) (d5 + 1)^3 = d15 + 1
> 
> 
> Alguém resolveria?
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Combinatoria

[Gabriel Tostes]

Na vdd acho que do jeito que foi feito o andamento da solucao nao precisa 
provar que 31 eh impossivel, ja ta provado.

> On Dec 26, 2016, at 11:04, Bruno Visnadi <brunovisnadida...@gmail.com> wrote:
> 
> Considerando os dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), temos duas possibilidades:
> Ou dois dos cadeados tem algum dos dígitos (0, 1, 2, 3), ou dois deles tem 
> algum dos dígitos (4, 5, 6, 7).
> Vamos supor que ao menos 2 deles tenham dígitos do grupo (0, 1, 2, 3). 
> Então queremos cobrir todas as possibilidades que envolvem estes dígitos. 
> Cada tentativa (A, B, C) elimina 3 possibilidades (A, B, X), (A, X, C) e (X, 
> B, C). Existem, ao todo, 48 possibilidades (16 pares possíveis, e 3 
> posições). Portanto precisamos de 48/3 = 16 tentativas, desde que não se 
> repita nenhum par. E isto é possível:
> (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 3, 3), (1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3), 
> (1, 3, 0), (2, 0, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 0), (2, 3, 1), (3, 0, 3), (3, 1, 0), 
> (3, 2, 1), (3, 3, 2).
> Se nossa suposição estava errada, e na verdade 2 dos cadeados tem dígitos 
> do grupo (4, 5, 6, 7), basta fazer as mesmas tentativas, mas trocando os 
> dígitos (0, 1, 2, 3) por (4, 5, 6, 7). Assim, abriremos o armário em no 
> máximo 32 tentativas.
> 
> Em 26 de dezembro de 2016 08:26, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>> Bom dia!
>> 
>> Fui inocente, fiz uma restrição que não precisava. Não há necessidade 
>> de acaso.
>> Pode haver estratégia.
>> 
>> Saudações,
>> PJMS
>> 
>> Em 25 de dezembro de 2016 12:31, Matheus Herculano 
>> <matheusherculan...@gmail.com> escreveu:
>>> 87
>>> 
>>> Em 23 de dez de 2016 13:07, "Gabriel Tostes" <gtos...@icloud.com> escreveu:
>>>> Um armario de segurança tem 3 cadeados. Cada cadeado tem 8 combinacoes 
>>>> diferentes. O armario abre se quaisquer 2 dos 3 cadeados estao na posicao 
>>>> correta, qual e o numero minimo de tentativas pra abrir o armario?
>>>> 
>>>> 
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>>> 
>>>> 
>>>> =
>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>> =
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Combinatoria

[Gabriel Tostes]

Mto bom! So que tem que provar ainda que 31 nao eh possivel :/ 

> On Dec 26, 2016, at 11:04, Bruno Visnadi <brunovisnadida...@gmail.com> wrote:
> 
> Considerando os dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), temos duas possibilidades:
> Ou dois dos cadeados tem algum dos dígitos (0, 1, 2, 3), ou dois deles tem 
> algum dos dígitos (4, 5, 6, 7).
> Vamos supor que ao menos 2 deles tenham dígitos do grupo (0, 1, 2, 3). 
> Então queremos cobrir todas as possibilidades que envolvem estes dígitos. 
> Cada tentativa (A, B, C) elimina 3 possibilidades (A, B, X), (A, X, C) e (X, 
> B, C). Existem, ao todo, 48 possibilidades (16 pares possíveis, e 3 
> posições). Portanto precisamos de 48/3 = 16 tentativas, desde que não se 
> repita nenhum par. E isto é possível:
> (0, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 2, 2), (0, 3, 3), (1, 0, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 3), 
> (1, 3, 0), (2, 0, 2), (2, 1, 3), (2, 2, 0), (2, 3, 1), (3, 0, 3), (3, 1, 0), 
> (3, 2, 1), (3, 3, 2).
> Se nossa suposição estava errada, e na verdade 2 dos cadeados tem dígitos 
> do grupo (4, 5, 6, 7), basta fazer as mesmas tentativas, mas trocando os 
> dígitos (0, 1, 2, 3) por (4, 5, 6, 7). Assim, abriremos o armário em no 
> máximo 32 tentativas.
> 
> Em 26 de dezembro de 2016 08:26, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
>> Bom dia!
>> 
>> Fui inocente, fiz uma restrição que não precisava. Não há necessidade 
>> de acaso.
>> Pode haver estratégia.
>> 
>> Saudações,
>> PJMS
>> 
>> Em 25 de dezembro de 2016 12:31, Matheus Herculano 
>> <matheusherculan...@gmail.com> escreveu:
>>> 87
>>> 
>>> Em 23 de dez de 2016 13:07, "Gabriel Tostes" <gtos...@icloud.com> escreveu:
>>>> Um armario de segurança tem 3 cadeados. Cada cadeado tem 8 combinacoes 
>>>> diferentes. O armario abre se quaisquer 2 dos 3 cadeados estao na posicao 
>>>> correta, qual e o numero minimo de tentativas pra abrir o armario?
>>>> 
>>>> 
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>>>> 
>>>> 
>>>> =
>>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>>> =
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Combinatoria

[Gabriel Tostes]

24 nao eh possivel... 

> On Dec 23, 2016, at 16:22, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> wrote:
> 
> Hm, acho que dah para fazer com menos tentativas.
> 
> Sejam a, b e c as combinacoes corretas de cada cadeado, onde a,b,c
> estao em {0,1,2,3,4,5,6,7}.
> 
> Tentanto, por exemplo, todas as combinacoes possiveis para a e b
> (mantenha c=0), fazemos 64 tentativas, e com certeza vamos acabar
> acertando a combinacao dos dois primeiros cadeados -- o que eh
> suficiente para abrir o armario!
> 
> Mas eu nao estou dizendo que a resposta eh 64 -- acho que dah para ser
> mais esperto e abrir o armario garantidamente com menos tentativas...
> 
> (24, talvez?)
> 
> Abraco, Ralph.
> 
> P.S.: Pode me chamar de maluco, mas eu estou enxergando um cubo
> dividido em 8x8x8 cubinhos de LED, e a combinacao correta eh um
> cubinho especial desconhecido. Os 512 cubinhos comecam apagados; cada
> vez que voce faz uma tentativa, voce estah escolhendo um cubinho, e
> acendendo nao soh ele, mas todos os cubinhos na mesma linha, coluna
> ou... huh, outra linha. Em outras palavras, se voce escolhe o cubinho
> (A,B,C) (eu imagino voce botando o dedo nele para acende-lo, como se
> fosse uma jogada de um joguinho), voce acende todos os 22 cubinhos da
> forma (A,B,x), (A,x,C) ou (x,B,C) onde 0<=x<=7. Digo isso porque, se a
> combinacao correta dos 3 cadeados fosse um dos que acendeu, voce teria
> acertado pelo menos 2 cadeados, e assim abria o armario; e vice-versa,
> voce soh acerta se o cubinho desconhecido estiver entre esses 22.
> 
> Entao o problema eh o seguinte: qual a maneira mais economica (menos
> jogadas) de acender todos os 512 cubinhos no meu joguinho de LEDs? Eh,
> vai ter que acender **todos**, porque se voce esquecer unzinho, podia
> dar azar e ser aquela a combinacao correta, e entao voce nao garante
> abrir o armario!
> 
> Obviamente, como cada jogada acende 22, e sao 512 cubinhos, vamos
> precisar de no minimo 512/22, huh, arredonda para cima, 24 jogadas.
> Mas dah para fazer com 24? Para tanto, voce teria que ter muito poucas
> intersecoes entre jogadas distintas -- eh possivel?
> 
> 2016-12-23 14:53 GMT-02:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>:
>> Bom dia!
>> 
>> Novamente o problema está mal formulado.
>> Embora possa parecer claro, qual é o número mínimo  de tentativas que
>> garanta abrir o armário.
>> 
>> Dois casos disjuntos atendem.
>> 
>> (i) Dois cadeados corretos e o outro errado.
>> 
>> Há uma chance de cada cadeado estar correto e 7 chances do terceiro estar
>> errado. Há 3 = C(3,2) jeitos de distribuir os dois cadeados corretos e o
>> errado.
>> 
>> Pelo princípio da multiplicação são: 3*7 = 21 eventos.
>> 
>> (ii) os três cadeados estão corretos;
>> 
>> Só há uma possibilidade.
>> 
>> O total de possibilidades para estar correto são 22 eventos.
>> 
>> O universo tem 8^3, logo há 8^3 -22 possibilidades que não abrem o 
>> armário.
>> 
>> Portanto para garantir que abra teremos 8^3 -22 +1 = 8^3 -21 = 491
>> tentativas.
>> 
>> Mas do jeito que o problema está formulado é 1. Se a pessoa der sorte de
>> acertar de primeira.
>> 
>> Saudações,
>> PJMS
>> 
>> 
>> 
>> 
>> 
>> Em 23 de dezembro de 2016 11:53, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>
>> escreveu:
>>> 
>>> Um armario de segurança tem 3 cadeados. Cada cadeado tem 8 combinacoes
>>> diferentes. O armario abre se quaisquer 2 dos 3 cadeados estao na posicao
>>> correta, qual e o numero minimo de tentativas pra abrir o armario?
>>> 
>>> 
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>> 
>>> 
>>> =
>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> =
>> 
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
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=

Re: [obm-l] Combinatoria

[Gabriel Tostes]

Ola. O enunciado fala que se tiver no minimo dois exatos ele abre. Mas 491 nao 
e a resposta. Rapidamente e possível achar um limite bem inferior de 64 (mantem 
um constante e os outros dois usa as 64 possibilidades, uma delas deve abrir o 
armario). Na verdade a resposta e 32.

> On Dec 23, 2016, at 14:53, Pedro José <petroc...@gmail.com> wrote:
> 
> Bom dia!
> 
> Novamente o problema está mal formulado.
> Embora possa parecer claro, qual é o número mínimo  de tentativas que 
> garanta abrir o armário.
> 
> Dois casos disjuntos atendem.
> 
> (i) Dois cadeados corretos e o outro errado.
> 
> Há uma chance de cada cadeado estar correto e 7 chances do terceiro estar 
> errado. Há 3 = C(3,2) jeitos de distribuir os dois cadeados corretos e o 
> errado.u
> 
> Pelo princípio da multiplicação são: 3*7 = 21 eventos.
> 
> (ii) os três cadeados estão corretos;
> 
> Só há uma possibilidade.
> 
> O total de possibilidades para estar correto são 22 eventos.
> 
> O universo tem 8^3, logo há 8^3 -22 possibilidades que não abrem o armário.
> 
> Portanto para garantir que abra teremos 8^3 -22 +1 = 8^3 -21 = 491 tentativas.
> 
> Mas do jeito que o problema está formulado é 1. Se a pessoa der sorte de 
> acertar de primeira.
> 
> Saudações,
> PJMS
> 
> 
> 
> 
> 
> Em 23 de dezembro de 2016 11:53, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> escreveu:
>> Um armario de segurança tem 3 cadeados. Cada cadeado tem 8 combinacoes 
>> diferentes. O armario abre se quaisquer 2 dos 3 cadeados estao na posicao 
>> correta, qual e o numero minimo de tentativas pra abrir o armario?
>> 
>> 
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> Â acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> 
>> =
>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Combinatoria

[Gabriel Tostes]

Um armario de segurança tem 3 cadeados. Cada cadeado tem 8 combinacoes 
diferentes. O armario abre se quaisquer 2 dos 3 cadeados estao na posicao 
correta, qual e o numero minimo de tentativas pra abrir o armario?


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[obm-l] Teoria dos numeros

[Gabriel Tostes]

A,b,c,X,y,z inteiros tais que
a) ax^2+by^2+cz^2=abc +2xyz - 1
B) ab+bc+ca>=x^2+y^2+z^2

Provar que a,b,c são somas de 3 quadrados de inteiros



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[obm-l] Algebra

[Gabriel Tostes]

Alguem pode me explicar essa nota do mavropnevma no post #3 desse topico no 
aops?
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h461255p2587368

Ele escreveu z^6 -z^5+z^4-z^3+z^2-z+1 = b^2 como (16b)^2 = (16z^3-8z^2+6z-5)^2 
+140z^2-196z+231 e mostrou uma maneira de achar o polinomio dentro do ^2 de uma 
maneira rapida pela formula de Newton generalizada, mas eu n entendi.



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Re: [obm-l] Teoria dos Números

[Gabriel Tostes]

O numero formado vai ser congruente a soma da soma dos algarismos desses dois 
numeros mod 3. Mas 2^n= (-1)^n e 2^n+1 = (-1)^n+1 somando os dois da sempre 0. 
Pois n+1 e n tem paridades diferentes. 

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> On Sep 26, 2016, at 16:37, Ricardo Leão  wrote:
> 
> Seja n um inteiro não negativo. Prove que o número formado colocando 2^n e 
> 2^(n+1) lado a lado em qualquer ordem é um múltiplo de 3.
> 
> Eu tentei resolver usando congruência, mas eu travei nessa questão.
> 
> Por favor, algum colega poderia fazer a demonstração?
> 
> -- 
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Ajuda em Aritmética

[Gabriel Tostes]

Um deles ser multiplo de 5 é equivalents a p^2 ser congruente a 1 ou p^2 ser 
congruente a 4, que são os unicos resíduos mod 5 além do 0. Logo P deve ser 
múltiplo de 5 e só testar P=5.

> On Sep 26, 2016, at 06:09, Marcelo de Moura Costa  wrote:
> 
> Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela 
> dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o 
> mesmo, será que alguém poderia me ajudar?
> O problema é:
> Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. 
> (Dica: analise os restos da divisão de p por 5) 
> 
> Agradeço a atenção.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gabriel Tostes]

A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em 3 em 
casos: 
1-> 15 ocupada
2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
3-> 1 e 15 vazias.

No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4 pessoas 
para distribuir nas 12 cadeiras restantes... 
Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra distribuir 
entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos cadeira vazia, então 
-> 9!/5!x4!=136
No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias, mas 
entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia -> 
9!/4!x5!=136
Total-> (2x136+136)x5!=45360

> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz  wrote:
> 
> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a resposta 
> 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
> 
> Vanderlei
> 
> Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa 
> circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação 
> simultânea de duas cadeiras adjacentes? 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gabriel Tostes]

9!/5!x4!=126, errei ali.

> On Dec 10, 2015, at 17:23, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> wrote:
> 
> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em 3 
> em casos: 
> 1-> 15 ocupada
> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
> 3-> 1 e 15 vazias.
> 
> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4 pessoas 
> para distribuir nas 12 cadeiras restantes... 
> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra 
> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos cadeira 
> vazia, então -> 9!/5!x4!=136
> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias, mas 
> entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia -> 
> 9!/4!x5!=136
> Total-> (2x136+136)x5!=45360
> 
>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote:
>> 
>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a resposta 
>> 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>> 
>> Vanderlei
>> 
>> Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa 
>> circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação 
>> simultânea de duas cadeiras adjacentes? 
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gabriel Tostes]

Sim... Dividi em casos pra "tirar" a permutacao circular. O 136 de cada caso 
significa 136 modos de organizar as Cadeiras em "vazias" e "com Pessoas". Temos 
5! Maneiras de distribuir as Pessoas nelas.
> On Dec 10, 2015, at 17:34, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote:
> 
> Gabriel:
> É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é 
> circular, certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de 
> digitação, mas isso não é o principal. 
> 
> Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com> escreveu:
>> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em 
>> 3 em casos:Â 
>> 1-> 15 ocupada
>> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
>> 3-> 1 e 15 vazias.
>> 
>> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4 pessoas 
>> para distribuir nas 12 cadeiras restantes... 
>> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra 
>> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos 
>> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
>> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias, mas 
>> entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia -> 
>> 9!/4!x5!=136
>> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>> 
>>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz <vanderma...@gmail.com> wrote:
>>> 
>>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a 
>>> resposta 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>>> 
>>> Vanderlei
>>> 
>>> Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa 
>>> circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver 
>>> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Probabilidade em urnas

[Gabriel Tostes]

Nao entendi muito bem se eh exatamente 2 ou 2 ou 3. Se for exatamente 2->
Devemos tirar 3 pretas e 2 vermelhas e temos 10 ordens possiveis para fazer 
isso. A probabilidade de qualquer ordem dessa ocorrer eh 6x5x4x3x2/9x8x7x6x5. A 
probabilidade eh 10 vezes a probabilidade de uma ordem certa de tirada das 
bolas ocorrer. 10/21.
Se entrar as possibilidades com 3 bolas fica:
10/21+10x6x5x3x2x1/9x8x7x6x5 = 25/42

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> On Dec 10, 2015, at 00:18, João Sousa  wrote:
> 
> Caso, em uma urna, sejam colocadas 6 bolas pretas e 3 bolas vermelhas e 
> decida-se retirar dessa urna , sem reposição, 5 bolas, guardando-se em um 
> recipiente a parte, qual a probabilidade de, nesse recipiente, haver 2 bolas 
> vermelhas?
> 
> João Sousa
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Função Convexidade

[Gabriel Tostes]

Segunda derivada eh -senx , vai ser negativo pra qualquer valor entre 0 e pi






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> On Dec 7, 2015, at 09:42, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Olá rapazes, será que alguém poderia confirmar para mim que a função 
> √senx é côncova no intervalo (0,pi/2)? 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Ajuda

[Gabriel Tostes]

Pra N tem raizes reais a^2 - 4a^2 + 24 < 0 a>2sqrt2
Podemos admitir a real, caso contrario, a equacao obviamente nao possui raízes 
reais.
Devemos provar que nao existe raiz de a menor que 2sqrt2
Se f(X)=x^3-6x-6
Como f(2sqrt2).f(-oo)>0 f(X) tem um numero par de raizes entre ]-oo,2sqrt2]
Ou seja, 0 ou 2 solucoes.
Agora, como 
f(2sqrt2)f(2.03sqrt2)<0 temos uma ou 3 solucoes nesse intervalo. Obviamente 
temos uma solucao visto que a soma das solucoes e igual a 0.
Chamando essa solucao de x3
X1+x2=-x3
X1.x2=6/x3
Entao para x1 e x2 nao serem reais temos que (x3)^2 -24/x3 < 0 => x3<24^(1/3) 
de fato, pois x3 esta entre 2Sqrt2 e 2.03sqrt2. Temos que x3 é a unica soluçao 
real da equacao e eh maior que 2sqrt2.




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> On Oct 14, 2015, at 07:57, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação
> x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] equação diofantina

[Gabriel Tostes]

(1,0) nao eh solucao tbm?



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> On Oct 14, 2015, at 11:04, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Está aqui no site do professor Diego Marques: 
> http://diego.mat.unb.br/click.html
> Só possui uma solução, que é a solução trivial(x=3 e y=2).Mas  o 
> difícil é provar que a solução é única, veja que raciocínio 
> fantástico!
> 
> Em 14 de outubro de 2015 07:41, marcone augusto araújo borges 
>  escreveu:
>> E a solução da equação 3^x - 5^y = 2 ?
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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Re: [obm-l] Equação diofantina

[Gabriel Tostes]

Usando : pros tres pauzinhos da congruencias.

3^x=2 + 5^y
3^x:2 (mod5)
X=4K+3
3^(4k+3)=2+5^y
5^y:7(mod9)
y=6k+2
5^6k+2:25:4(mod7)
3^x:2+4(mod7)


> On Oct 13, 2015, at 22:00, Israel Meireles Chrisostomo 
>  wrote:
> 
> Não quero que resolvam a equação pois já tenho a solução, só quero 
> entender uma parte da solução...Na equação 3^x-5^y=2, como posso concluir 
> que 3^x é congruente 6 módulo 7?Alguém poderia me explicar como concluir 
> isso?
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Problema 6 da OBM de 2002

[Gabriel Tostes]

Mostre que não podemos formar mais que 4096 sequências binárias de tamanho 24 
tal que quaisquer 2 diferem em ao menos 8 posições.
Não consegui entender a resolução na Eureka. Alguém pode resolvê-lo?


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[obm-l] Funcao Injetora

[Gabriel Tostes]

f(x) + f(f(x)) = 2x implica que f(x) é injetora? Porque? 
Domínio e contra dominio são os reais não negativos sem o zero.
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[obm-l] Polinômios

[Gabriel Tostes]

Ache o resto de x^100 -2.x^51 + 1 na divisao por x^2 - 1.
Eu nao entendo por que o resto eh 4x nao  -2x + 2 
Se fizer x=1 nao fica a + b = 0 ? E x=-1 -a+b=4 r(x) = ax + b
Esse exercicio ta no livro do Engel, problem solving strategies.


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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios

[Gabriel Tostes]

Vlw! Realmente nao tinha nada a ver pensar desse jeito... Resolvi de outro 
jeito aqui... Quando x for 0 esse polinomio tem que ser múltiplo de 9, mas ele 
e igual a 3. 

Enviada do meu iPad

 Em 25/05/2015, às 09:30, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:
 
 2015-05-24 21:51 GMT-03:00 Gabriel Tostes gtos...@icloud.com:
 Esta certo eu provar isso dizendo que, pelo teorema da raiz racional, as 
 unicas solucoes inteiras podem ser -1, 1, 3 e -3 mas que, com essa opcoes, 
 tal polinomio nunca sera igual a 0?
 Não. Pegue dois polinômios irredutíveis em Z[x] sem raízes racionais.
 Tipo P = x^2 + 1 e Q = x^2 + 2. O produto deles também não tem raízes
 racionais, mas é redutível.
 
 Abraços,
 -- 
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória

[Gabriel Tostes]

Se você for escolhendo todos os números, irá ter 9 opções para o primeiro, 10 
pra o segundo, terceiro,,oitavo. Mas somente terá 5 opções para o último 
número. 

Enviada do meu iPad

 Em 24/05/2015, às 15:38, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
 
 A sequencia comeca com um IMPAR e a segunda e' PAR, e vao se alternando 
 sucessivamente...
 
 2015-05-24 15:35 GMT-03:00 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Oi Bernardo, obrigado, engoli a soma.
 Indo de um em um, a soma do primeiro e' par, a proxima e' impar, etc.
 (afinal o Marcone nao queria saber quantos numeros pares existiam na 
 sequencia...)
 :)
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 2015-05-24 12:56 GMT-03:00 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com:
 Ola' Marcone,
 os numeros de 9 algarismos comecam em 1, e terminam em 9.
 Indo de um em um, o primeiro e' par, o proximo e' impar, o seguinte e' par, 
 etc...
 A sequencia comeca com um par e termina com um impar.
 Portanto tem a mesma quantidade de elementos pares e impares.
 Ou seja, 45000 elementos pares e 45000 elementos impares.
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 2015-05-23 21:31 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges 
 marconeborge...@hotmail.com:
 Quantos números de 9 algarismos tem a soma dos seus algarismos par?
 
 Eu achei 45000.Não tenho o gabarito.
 Notei que esse número é a metade do total de números de 9 algarismos
 Seria metade dos números com soma dos seus algarismos par e metade
 com soma dos algarismos ímpar.Se isso for verdade, é mera coincidência
 ou teria como justificar?
 
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[obm-l] Irredutibilidade de polinômios

[Gabriel Tostes]

(IMO) Prove que o polinomio x^n + 5x^(n-1) + 3 é irredutivel em Z[x]

Alguma ideia pra essa questão?
-- 
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[obm-l] Re: Irredutibilidade de polinômios

[Gabriel Tostes]

Esta certo eu provar isso dizendo que, pelo teorema da raiz racional, as unicas 
solucoes inteiras podem ser -1, 1, 3 e -3 mas que, com essa opcoes, tal 
polinomio nunca sera igual a 0?

 Em 24/05/2015, às 21:39, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu:
 
 (IMO) Prove que o polinomio x^n + 5x^(n-1) + 3 é irredutivel em Z[x]
 
 Alguma ideia pra essa questão?

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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Como faz exercícios desse tipo?

[Gabriel Tostes]

Obrigado! Eu n conheço mto bem essa de razões da unidade, pode me indicar algum 
pdf
que explica isso?



 Em 10/05/2015, às 10:53, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com escreveu:
 
 OBs: w^k= cis(2kPi/6)
 
 Em domingo, 10 de maio de 2015, Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com 
 escreveu:
 Raízes da unidade!! ... Pelo algoritmo da divisão temos g(x^12) = g(x)q(x) 
 + r(x) , onde grau(r(x)) 5 agora vc analisa as raízes da unidade de x^6=1 
 : que serão w^k=1 onde k=0,1,2,3,4,5 e monta o sistema sobre r(x) aplicando 
 o valor dessas raízes pois r(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e  elas irão 
 zerar g(x) agora é resolver o sistema utilizando as propriedades das 
 raízes da unidade. 
 
 Em domingo, 10 de maio de 2015, Israel Meireles Chrisostomo 
 israelmchrisost...@gmail.com escreveu:
 Talvez vc poderia observar que -1 é raiz do polinômio,daí vc pode  
 fatorar o polinômio como (x-(-1))Q(x) e talvez procurar outras raízes, pq 
 aí vc pode fazer a divisão por binômios do tipo (x+1) pois assim  vc 
 resolve facilmente pelo algoritmo de briott ruffini, conhece?
 
 Em 9 de maio de 2015 18:42, Gabriel Tostes gtos...@icloud.com escreveu:
 (EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto 
 da divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) 
 
 Dado f(x) =  x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por 
 f(x) é: 
 
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[obm-l] Como faz exercícios desse tipo?

[Gabriel Tostes]

(EUA/83) Sabendo que g(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1. Calcule o resto da 
divisão entre polinômios g(x^12) e g(x) 

Dado f(x) =  x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, o resto da divisão de f(x^5) por f(x) é: 
-- 
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[no subject]

[Gabriel Tostes]

Alguém me ajuda a responder? 
determine as raízes reais da equação:
X^4 + 16x - 12 = 0
-- 
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=
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=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisíbilidade

[Gabriel Tostes]

xyq=x^2+y^2+1 q=x/y + y/x +1/xy. Como q é inteiro positivo. 1/xy também. X=y=1 
q=1+1+1=3 alguém mandou essa? Acho q é o jeito mais fácil

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 Em 16/08/2014, às 16:22, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:
 
 É verdade Bernardo Freitas , da pra ver que funciona com os números de 
 fibonacci, a saber:Â 
 (F2n-1)^2+(F2n+1)^2+1=3(F2n-1)(F2n+1), onde F2n-1 é um número de Fibonacci, 
 por exemplo quando n=3Â 
 teríamos (F5)^2+(F7)^2+1=3(F5)(F7), assim 1,1,2,3,5,8,13,21,34,..., 
 8^2+21^2+1=3.8.21Â 
 ( Que legal!! como se prova isso?)
 
 Douglas Oliveira
 Â Â 
 
 
 Em 15 de agosto de 2014 22:33, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:
 2014-08-15 22:01 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 bernardo...@gmail.com:
  Eu acho que continua errado...
 
  2014-08-15 11:20 GMT-03:00 Pedro José petroc...@gmail.com:
  x, y Ɛ Z+  e  xy | x^2 + y^2 +1 == x | x^2 + y^2 +1 (i)
  x | x^2 e (i) == x | y^2 + 1 (Combinação Z linear de x^2 + y^2 +1 e 
  x^2)
  == Ǝ k Ɛ Z | kx = y^2 + 1 (ii)
  (ii) e por simetria da proposta ==  Ǝ m Ɛ Z | my = x^2 + 1 == y =( 
  x^2 +
  1)/m (iii)
  (ii) e (iii) == kx = (x^4 + 2x^2 +2)/m^2 == m^2k x = x^4 + 2x^2 +2 (iv)
 
  (ii) kx = y^2 + 1
  (iii) y = (x^2 + 1)/m
 
  Donde y^2 = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2
  Donde kx = (x^4 + 2x^2 + 1)/m^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + (1 + m^2))/m^2
  (e não +2)
 
  O resto talvez funcione mais ou menos igual... mas dá mais trabalho...
 
  m^2k Ɛ Z (v), pois +, * e potênciação são fechadas em Z.
  (iv) e (v) == x | x^4 + 2x^2 +2 (vi)
 
  x | x^4 + 2x^2 (vii)
  (vi) e (vii) ==  x | 2 ( Z combinação linear de x^4 + 2x^2 e x^4 + 
  2x^2 +1)
 
  (k*m*m)*x = (x^4 + 2x^2 + (1 + m*m)) = x | 1 + m^2
 
  Com um pouco de trabalho, você acha também a solução x = 2, y = 5:
  10 | 4 + 25 + 1 = 30. E o quociente continua igual a 3 (como
  gostaríamos de demonstrar...)
 
 Bom, com um pouco mais de paciência... você acha a solução x = 5, y =
 13. E daí você chuta que a próxima solução é x = 13, y = 34, porque
 números de Fibonacci são legais... e dá certo: 34*13 = 442, 13*13 +
 34*34 + 1 = 1326 = 3 * 442. Mágica?
 
 Eu acho que há infinitas soluções. Deixo vocês provarem isso. Agora
 resta ver que são apenas estas soluções!
 
 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa
 
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 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 
 
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Re: [obm-l] Somatório

[Gabriel Tostes]

Primeiro você toma 3 somas: 1 - 1 + 1 - 1 ... = s1 1-2+3-4+5-6+... = s2 
1+2+3+4+5...=s3

A primeira vai dar 1/2 pois se parar em um número ímpar dá 1 e se parar em um 
par da 0. A segunda se você somá-la a ela mesma mas com um zero na frente 
(1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) vai dar 1-1+1-1... = s1 = 1/2 = 2s2, 
então s2 = 1/4... Por fim: se subtrair s3 de s2 dará o somatório de todos 
múltiplos de 4 - 4(1+2+3+4...) = s3 -s2 - 4(s3) = s3 - 1/4 - s3 = -1/12 que 
é o somatório de todos naturais.

 Em 12/04/2014, às 12:53, Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com escreveu:
 
 Pessoal, vi em um site a seguinte camiseta:
 
 http://www.zazzle.com.br/teoria_da_corda-235032240070858893
 
 Lembrei que uma vez um aluno meu disse que tinha visto uma prova de que a 
 soma dos infinitos números naturais era negativa. Não consegui encontrar na 
 época e agora vi outra vez vez na camiseta. Alguém sabe como explicar esse 
 absurdo ou então existe alguma explicação física, como diz o site?
 
 Obrigado!
 
 
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