Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Ralph Teixeira]

P.S.: ah, agora que eu vi, o Anderson jah tinha resolvido essa exatamente
do mesmo jeito que eu.

2017-09-05 19:18 GMT-03:00 Ralph Teixeira :

> Bom, a gente pode olhar a sequencia de Fibonacci modulo n. Daqui para a
> frente, vamos fazer TUDO modulo n.
>
> Agora olhe para todos os pares (F_i,F_{i+1}). Ha apenas n^2 possibilidades
> para tais pares, portanto em algum momento eles tem de repetir. Seja (F_a,
> F_{a+1}) o par com o menor "a" possivel que repete depois na sequencia,
> quer dizer, F_a=F_b e F_{a+1}=F_{b+1} com b>a.
>
> Por "desinducao" finita, eu afirmo que a=1. Afinal caso contrario eu
> poderia olhar para F_{a-1}=F_{a+1}-F_a = F_{b+1}-F_b = F_{b-1}, e portanto
> (F_{a-1},F_a) tambem serviria!
>
> Mas entao F_{b-1}=F_{b+1}-F_b=F_2-F_1=1-1=0 mod n, ou seja, F_{b-1} eh
> divisivel por n.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2017-09-05 16:25 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>>
>> Douglas,
>>
>> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>>
>> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
>> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
>> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
>> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
>> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
>> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
>> falsa.
>>
>> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes
>>> módulo m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 =
>>> 0 módulo m.
>>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como
>>> o primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!

 Nehab,

 não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
 igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
 da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
 que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
 como o primeiro termo da sequencia..
 Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
 princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
 primos entre si.
 Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
 tentando entender o restante.

 Saudações,
 PJMS

 Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
 escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-6736870374412433224_m_-7782833122447588826_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
>> um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
>>
>>
>> >
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> >

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Ralph Teixeira]

Bom, a gente pode olhar a sequencia de Fibonacci modulo n. Daqui para a
frente, vamos fazer TUDO modulo n.

Agora olhe para todos os pares (F_i,F_{i+1}). Ha apenas n^2 possibilidades
para tais pares, portanto em algum momento eles tem de repetir. Seja (F_a,
F_{a+1}) o par com o menor "a" possivel que repete depois na sequencia,
quer dizer, F_a=F_b e F_{a+1}=F_{b+1} com b>a.

Por "desinducao" finita, eu afirmo que a=1. Afinal caso contrario eu
poderia olhar para F_{a-1}=F_{a+1}-F_a = F_{b+1}-F_b = F_{b-1}, e portanto
(F_{a-1},F_a) tambem serviria!

Mas entao F_{b-1}=F_{b+1}-F_b=F_2-F_1=1-1=0 mod n, ou seja, F_{b-1} eh
divisivel por n.

Abraco, Ralph.

2017-09-05 16:25 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Douglas,
>
> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>
> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
> falsa.
>
> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>
> Sds,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
>> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
>> módulo m.
>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
>> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Nehab,
>>>
>>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>>> como o primeiro termo da sequencia..
>>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>>> primos entre si.
>>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
>>> tentando entender o restante.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>>> escreveu:
>>>
 Oi, Douglas.

 Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

 Nehab


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

 <#m_-7782833122447588826_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
 torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
> um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>
>
>
> >
> > Douglas Oliveira.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
> 

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Douglas Oliveira de Lima]

O problema caiu na olimpíada de matemática do Rio de Janeiro se não me
engano em 1999 ou 1998.

Em 5 de set de 2017 17:52, "Pedro José"  escreveu:

> Boa tarde!
>
> O programa comera o F_28830 que é igual a zero.
> Desconsiderar o exposto anteriormente.
>
> Em 5 de setembro de 2017 16:25, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Douglas,
>>
>> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>>
>> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
>> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
>> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
>> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
>> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
>> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
>> falsa.
>>
>> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>>
>> Sds,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes
>>> módulo m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 =
>>> 0 módulo m.
>>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como
>>> o primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!

 Nehab,

 não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
 igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
 da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
 que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
 como o primeiro termo da sequencia..
 Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
 princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
 primos entre si.
 Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
 tentando entender o restante.

 Saudações,
 PJMS

 Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
 escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-2219119211184066607_m_-112899321461919009_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
>> um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
>>
>>
>> >
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> 
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> 
>> 

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Boa tarde!

O programa comera o F_28830 que é igual a zero.
Desconsiderar o exposto anteriormente.

Em 5 de setembro de 2017 16:25, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Douglas,
>
> esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?
>
> Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
> mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
> mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
> dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
> para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
> >= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
> tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
> falsa.
>
> Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.
>
> Sds,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
> Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
>> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
>> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
>> módulo m.
>> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
>> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
>> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
>> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j
>> : F_j = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
>> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3
>> e A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
>> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2,
>> 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Nehab,
>>>
>>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>>> como o primeiro termo da sequencia..
>>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>>> primos entre si.
>>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou
>>> tentando entender o restante.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>>> escreveu:
>>>
 Oi, Douglas.

 Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

 Nehab


 
  Livre
 de vírus. www.avast.com
 .

 <#m_-112899321461919009_m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

 Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
 torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe
> um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>
>
>
> >
> > Douglas Oliveira.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> 
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> 
> =
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Boa tarde!

Douglas,

esse problema você viu em algum local ou foi uma conjectura sua?

Fiz em computador a sequência de Fibonacci mod 29791, o o F_14 = 377
mod29791 e F_15 = 610 mod2971 e F_28844 = 377 mod29791 e F_28845 = 610
mod29791, o que caracteriza que haverá um padrão de repetição na geração
dos números de Fibonacci mod 29791. E como não tem um elemento F_i = 0 mod
para i <28844, não haverá mais nenhum termo F_j = 0. Pois para qualquer j
>= 28844 haverá um i < 28844, onde F_j = F_i <>0 mod 29791, logo 29791, não
tem um único múltiplo na sequência de Fibonacci e portanto, a hipótese é
falsa.

Deve ter um modo mais elegante para mostrar que a proposição é fasla.

Sds,
PJMS






Em 5 de setembro de 2017 10:16, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
> Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
> m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
> módulo m.
> O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
> nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
> primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
> Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j : F_j
> = F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
> Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3 e
> A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
> A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1,
> 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>>
>> Nehab,
>>
>> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de
>> igual para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação
>> da sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite
>> que comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
>> como o primeiro termo da sequencia..
>> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
>> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
>> primos entre si.
>> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
>> entender o restante.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
>> escreveu:
>>
>>> Oi, Douglas.
>>>
>>> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>>>
>>> Nehab
>>>
>>>
>>> 
>>>  Livre
>>> de vírus. www.avast.com
>>> .
>>>
>>> <#m_4365848760417512581_m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>>
>>> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
>>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
  escreveu:
 > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
 > número de Fibonacci que é múltiplo de n?

 Casa dos Pombos! Maybe?

 Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
 (F2, F5),... módulo M.

 Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
 iguais.

 Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).

 Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).

 Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.



 >
 > Douglas Oliveira.
 >
 >
 > --
 > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 > acredita-se estar livre de perigo.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 
 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 
 =

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Bom dia!

Eu pensei que entendera, porém, os números não são sequenciais.
Se nós tivermos dois números consecutivos F_j e F_j+1  congruentes módulo
m, pela lei de geração da sequencia de Fibonacci teremos que F_j-1 = 0
módulo m.
O enunciado deveria ter uma restrição ... existe um número de Fibonacci, não
nulo, que é múltiplo n, para evitar a corrente que considera zero como o
primeiro termo da sequencia, pois, aí ficaria elementar a solução.
Acho que o caminho é provar que como F_1 = F_2  ==> que para algum j : F_j
= F_j+1 módulo m o que leva a F_j-1= 0 módulo m.
Mas por casa de pombo só não daria, por exemplo, se consideramos A_1 = 3 e
A_2 = 7 e Ai = A_i-1 + A_i-2, não haveria um número múltiplo de 8.
A sequência mod 8 ficaria: 3, 7, 2, 1, 3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4, 3, 7, 2, 1,
3, 4, 7, 3, 2, 5, 7, 4...

Saudações,
PJMS


Em 4 de setembro de 2017 16:48, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
>
> Nehab,
>
> não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de igual
> para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação da
> sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite que
> comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
> como o primeiro termo da sequencia..
> Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
> princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
> primos entre si.
> Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
> entender o restante.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
> escreveu:
>
>> Oi, Douglas.
>>
>> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>>
>> Nehab
>>
>>
>> 
>>  Livre
>> de vírus. www.avast.com
>> .
>>
>> <#m_408333944165922029_m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>>
>> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
>> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>>  escreveu:
>>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>>
>>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>>
>>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>>> (F2, F5),... módulo M.
>>>
>>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>>> iguais.
>>>
>>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>>
>>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>>
>>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>>
>>>
>>>
>>> >
>>> > Douglas Oliveira.
>>> >
>>> >
>>> > --
>>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> 
>>> =
>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>>> 
>>> =
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Boa tarde!

Nehab,

não consegui entender o restante da solução, mas ele usou o sinal de igual
para congruência por comodidade de edição, e até pela lei de formação da
sequência, só o segundo e terceiro termos são iguais, quando se admite que
comece de zero, ou os dois primeiros, para a corrente que não considera
como o primeiro termo da sequencia..
Por exemplo, 13 = 23 mod 10 mas (13, 23) = 1. Portanto, não fere o
princípio de que dois números consecutivos na sequência de Fibonacci sejam
primos entre si.
Até aí captei e entendi, pelo princípio da casa de pombos. Estou tentando
entender o restante.

Saudações,
PJMS

Em 4 de setembro de 2017 14:53, Carlos Nehab 
escreveu:

> Oi, Douglas.
>
> Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...
>
> Nehab
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_4928629599140568768_m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>>  escreveu:
>> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Casa dos Pombos! Maybe?
>>
>> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
>> (F2, F5),... módulo M.
>>
>> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
>> iguais.
>>
>> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>>
>> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>>
>> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>>
>>
>>
>> >
>> > Douglas Oliveira.
>> >
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Carlos Nehab]

Oi, Douglas.

Acho que o mdc entre Fibbonaccis consecutivos é sempre 1...

Nehab


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#m_2006884623661450834_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em 4 de setembro de 2017 07:24, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
>  escreveu:
> > Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> > número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Casa dos Pombos! Maybe?
>
> Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
> (F2, F5),... módulo M.
>
> Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão
> iguais.
>
> Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).
>
> Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).
>
> Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.
>
>
>
> >
> > Douglas Oliveira.
> >
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Anderson Torres]

Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima
 escreveu:
> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> número de Fibonacci que é múltiplo de n?

Casa dos Pombos! Maybe?

Bem, pegue os pares de Fibonaccis consecutivos, (F0, F1), (F1, F2),
(F2, F5),... módulo M.

Por PCP, dois deles , digamos (Fk, F(k+1)) e (F(k+j),F(k+j+1)) serão iguais.

Assim, Fk=F(k+j) e F(k+1)=F(k+j+1).

Mas aí, F(k+1)-F(k)=F(k+j+1)-F(k+j) e portanto F(k-1) = F(k+j-1).

Prosseguindo dessa forma, chegaremos em F(j)=F(0)=0.



>
> Douglas Oliveira.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Bom dia!

Desculpem-me, mas fiz lambança, a fatoração pode ter primos repetidos, ou
seja elevados a algum expoente diferente de 1.
Destarte, a solução acima não atende. Tenho que se procurar mais.

Em 31 de agosto de 2017 20:29, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Desculpe-me, mas não entendi.
> Para usar a propriedade acima, teria que provar que o número natural w (no
> proposto pelo Douglas era n, mudei para não confundir) divide f_{(m,n)}, o
> que dá mesmo.
> Por exemplo se fizer m= 278 e n = 2085, (m,n) = 139 então f_139 =
> (f_278,f_2085). Todavia como provar que existe um múltiplo de Fibonacci que
> é múltiplo de 139, usando a propriedade acima?
>
> Creio que você pode pegar a demonstração que para todo número p primo,
> p<>5 ; p | F_p^2-1, no livro *Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e
> Outros Números Familiares Pelo Mundo Inteiro* cap. 6, exemplo 6.2.2.
> Utilizar a propriedade que se a | b ==> F_a | F_b e por conseguinte se x |
> F_a ==> x | F_ka, a,b,k e x naturais.
>
> Como F_5 = 5, existe um número de Fibonacci que é múltiplo de 5.
>
> Agora se fatora n= p1 p2 p3 ...pj
> e para cada pi,  1<= i <= j calcula-se ai = pi^2-1 se p<>5 e ai = pi se
> p=5. e acha-se o k= mmc(a1, a2, a3,..., aj-1, aj) e n| F_k.
>
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 31 de agosto de 2017 18:26, Esdras Muniz 
> escreveu:
>
>> Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
>> Onde (a,b)=mdc(a,b).
>>
>> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>>> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Pedro José]

Boa noite!

Desculpe-me, mas não entendi.
Para usar a propriedade acima, teria que provar que o número natural w (no
proposto pelo Douglas era n, mudei para não confundir) divide f_{(m,n)}, o
que dá mesmo.
Por exemplo se fizer m= 278 e n = 2085, (m,n) = 139 então f_139 =
(f_278,f_2085). Todavia como provar que existe um múltiplo de Fibonacci que
é múltiplo de 139, usando a propriedade acima?

Creio que você pode pegar a demonstração que para todo número p primo, p<>5
; p | F_p^2-1, no livro *Teoria dos Números: Um Passeio com Primos e Outros
Números Familiares Pelo Mundo Inteiro* cap. 6, exemplo 6.2.2.
Utilizar a propriedade que se a | b ==> F_a | F_b e por conseguinte se x |
F_a ==> x | F_ka, a,b,k e x naturais.

Como F_5 = 5, existe um número de Fibonacci que é múltiplo de 5.

Agora se fatora n= p1 p2 p3 ...pj
e para cada pi,  1<= i <= j calcula-se ai = pi^2-1 se p<>5 e ai = pi se
p=5. e acha-se o k= mmc(a1, a2, a3,..., aj-1, aj) e n| F_k.


Saudações,
PJMS.

Em 31 de agosto de 2017 18:26, Esdras Muniz 
escreveu:

> Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
> Onde (a,b)=mdc(a,b).
>
> Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
>> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Esdras Muniz]

Usa que f_{(m,n)}=(f_m, f_n)
Onde (a,b)=mdc(a,b).

Em 31 de agosto de 2017 16:30, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
> número de Fibonacci que é múltiplo de n?
>
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Fibonacci teoria dos numeros

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá, como posso mostrar que para algum inteiro e positivo n, existe um
número de Fibonacci que é múltiplo de n?

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.