Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971
Opa!! Vamos lá então, você pode usar analítica se quiser, fica bem fácil, mas não vamos usar, vamos pelo método mais antigo, considere um cubo apoiado na base ABCD, e com base superior EFGH, com as verticais AE, BF, CG, DH, chamando o centro da esfera de raio R de O. Como ela tangência as faces do triedro teremos um alinhamento dos pontos A, O, G, assim a.sqrt(3)=R+R.sqrt(3), sendo O' o centro do círculo contido na face EFGH(interceção da esfera com a face), OO'=a-R, GO'=r, e OG=R, e o triângulo GOO' é retângulo, assim R^2=r^2+(a-R)^2. Logo a resposta será letra C. Douglas Oliveira. Em 10 de outubro de 2014 23:45, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu: Caros amigos, alguém pode ajudar? (IME-1971) Uma esfera de raio 'R' é tangente às faces de um dos triedros de um cubo de aresta 'a'. Um vértice do cubo pertence à superfície esférica. Calcule o raio 'r' da interseção da esfera com o plano de uma das faces do cubo que cortam a esfera, em função apenas da aresta 'a' do cubo. a) a . sqrt(2)/2 b) a . (sqrt(2) - 1) c) a . [(sqrt(3) -1)(sqrt(2)]/2 d) a . (1 - sqrt(3)) e) a . (sqrt(3) -1)/2 Abraços. Martins Rama. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971
Valeu, Douglas. Já vi o meu erro. Havia feito do mesmo jeito, mas não chegava à resposta. Parava num radical duplo e nem pensei em simplificá-lo. Agora, não havia pensado em fazer por Analítica. Como ficaria essa solução? Mais simples? Se puder compartilhar, seria ótimo. Grande abraço e obrigado pela pronta ajuda. Martins Rama. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial - IME 1971
Por analítica pularia a etapa do alinhamento dos pontos A, O, G, escrevemos a equação da esfera de raio R, fica (x-R)^2+(y-R)^2+(z-R)^2=R^2, e o ponto P=(a,a,a) pertence à ela, logo 3(a-R)^2=R^2, e a equação do plano EFGH será 0x+0y+z=a, substituindo z=a na equação fica, (x-R)^2+(y-R)^2+(a-R)^2=R^2, logo (x-R)^2+(y-R)^2=-(a-R)^2+R^2=r^2 . ai pronto. Em 11 de outubro de 2014 10:12, Martins Rama martin...@pop.com.br escreveu: Valeu, Douglas. Já vi o meu erro. Havia feito do mesmo jeito, mas não chegava à resposta. Parava num radical duplo e nem pensei em simplificá-lo. Agora, não havia pensado em fazer por Analítica. Como ficaria essa solução? Mais simples? Se puder compartilhar, seria ótimo. Grande abraço e obrigado pela pronta ajuda. Martins Rama. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: RE: [obm-l] Geometria espacial
Acho que estamos falando aqui sobre o caso em que o raio das esferaas eh máximo, i.e., cada face do tetraedro tangencia tres das esferas. Assim, Maldonado, seu tetraedro estah muito subdimensionado; vc. soma um r ah altura do tetraedro interno na base, OK, mas um r no vertice(?) não estah OK. Acho mais facil considerar que a aresta eh proporcional ao inraio , um quarto da altura, e levar em conta que o inraio do externo eh igual ao do interno mais um raio das esferinhas, chegando sem problemas ah a = 2r(1+sqrt6). Que tal considerar o outro extremo; esferas com o minimo raio, i.e. , cada face do tetraedro tangenciando apenas uma das esferas? [ ]'s
Re: Re: [obm-l] Geometria Espacial PIRAMIDE
Não, você tem razão. Minha dúvida era mesmo que a reta passasse por O, o ponto K estaria indeterminado. Mas agora vejo que se ela passa por O e deve ser perpendicular a face, o ponto K fica determinado. Desculpe o engano. Abço. Em 26 de julho de 2012 11:43, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.brescreveu: É verdade; eu assumí a reta r passando pelo ponto O... [ ]'s
Re: [obm-l] Geometria Espacial PIRAMIDE
Parece estar faltando alguma coisa. O ponto K de intersecção da reta r com o apótema poderia ser qualquer ponto sobre o apótema, o que daria diferentes comprimentos para o segmento OK. Em 21 de julho de 2012 20:06, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.brescreveu: Parece haver algum engano, ou eu não entendí o enunciado Podemos construir um corte vertical da pirâmide como um triângulo retângulo com um cateto sendo a metade da aresta, a/2, a hipotenusa como a altura do triângulo equilátero, da face lateral, (a/2) 3^(1/2), portanto o outro cateto, altura da pirâmide, (a/2)2^(1/2). Assim, a distância pedida é a altura, d , desse triângulo d = (a/2)(a/2)2^(1/2)/[(a/2)3^(1/2) = (a/6)6^(1/2) [ ]'s
RE: [obm-l] Geometria espacial
Como o tetraedro é perfeitamente simétrico, temos que o centro do tetraedro formado pelos centros das esferas é obviamente o centro do tetraedro maior, mas a altura de um tetraedro de lado l é l(2/3)^0.5, logo: a(2/3)^0.5 = 2r + 2r(2/3)^0.5 []`sJoao From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Geometria espacial Date: Thu, 26 Jul 2012 21:46:50 + Dado um tetraedro de areata a,dentro dele são colocadas 4 esferas iguais tangentes entre si e tangentes às faces do tetraedro Qual o raio das esferas?
Re: [obm-l] Geometria Espacial PIRAMIDE
Parece haver algum engano, ou eu não entendí o enunciado Podemos construir um corte vertical da pirâmide como um triângulo retângulo com um cateto sendo a metade da aresta, a/2, a hipotenusa como a altura do triângulo equilátero, da face lateral, (a/2) 3^(1/2), portanto o outro cateto, altura da pirâmide, (a/2)2^(1/2). Assim, a distância pedida é a altura, d , desse triângulo d = (a/2)(a/2)2^(1/2)/[(a/2)3^(1/2) = (a/6)6^(1/2) [ ]'s
Re: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL
Bom existe um livro de poliedros escrito por um professor do colégio pedro segundo no Rio de Janeiro, livro antigo, foi em dedicatória aos desenhos muito bons que ele fazia no quadro acho que la tem a demosntracao!! vou ver depois em casa que eu tenho ele, e ja te mando!! a tarde On Sat, 12 Nov 2011 08:31:33 -0200, Marcelo Costa wrote: GOSTARIA DE SABER SE ALGUÉM POSSUI ALGUM ARTIGO QUE TENHA AS DEMONSTRAÇÕES: TODO POLIEDRO REGULAR É INSCRITÍVEL E CIRCUNSCRITÍVEL A UMA ESFERA. TODO POLIEDRO REGULAR PODE SER DECOMPOSTO EM UM NÚMERO DE PIRÂMIDES IGUAL AO SEU NÚMERO DE FAZES, ONDE O VÉRTICE DE CADA PIRÂMIDE É COINSCIDENTE COM O CENTRO DA ESFERA INSCRITA E SUA ALTURA COM O RAIO DA ESFERA E O SEU VOLUME PODE SER DETERMINADO PELA SOMA DOS VOLUMES DAS PIRÂMIDES. AGRADEÇO DESDE JÁ. OBRIGADO
Re: [obm-l] geometria espacial
Boa tarde, gostaria de uma ajuda para o problema. Abase de cilindro reto é uma elipse de eixo maior 3,5 cm e eixo menor 2 cm.Se a altura mede 10 cm, calcular: a) área da base. S=pi*a*b a = semieixo maior b = semieixo menor S = 3,5 * 2 * pi = 7*pi b) área lateral. Vc precisa saber o comprimento da elipse para calcular a área lateral. Supondo que o comprimento da elipse é L então a área lateral será: A = L*10 O problem maior está em calcular L !!! Isso envolve uma integral elíptica. Mas deve ter um jeito mais fácil que não estou ainda visualizando. c) volume. V = S*h = 7*pi*10 = 70*pi. grato Aron.
Re: [obm-l] Geometria espacial
Ponciano, sua solução está completa e elegante. - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 4:54 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Tudo bem... Mas precisa justificar ... Será que esse arranjo de pontos maximiza o número de pontos que podem ser colocados dentro do cubo? H não tenho tanta certeza... - Original Message - From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:59 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria espacial Estava pensando numa forma mais simples... Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5 Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria espacial
Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Geometria espacial
Estava pensando numa forma mais simples... Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5 Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria espacial
Tudo bem... Mas precisa justificar ... Será que esse arranjo de pontos maximiza o número de pontos que podem ser colocados dentro do cubo? H não tenho tanta certeza... - Original Message - From: João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:59 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria espacial Estava pensando numa forma mais simples... Dividir o cubo unitário em 125 cubinhos de lado 1/5 Por casa dos pombos, ao menos um desses cubinhos possui 4 pontos em seu interior. E como uma esfera de raio 1/5 contém um cubo de raio 1/5 -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Ronaldo Luiz Alonso Sent: Tuesday, March 21, 2006 3:22 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Geometria espacial Esse problema foi resolvido em uma revista do professor de matemática. Vou apenas esboçar como faz ... Parece que não mas esse é um problema de química. Troque cubo unitário por célula unitária e pontos por átomos Quem não sober o que é cela unitária digite célula unitária no Google. Eu acredito que a melhor situação seria aquela em que os pontos estão em em um reticulado (lattice em inglês) uniformemente espaçado. Neste caso temos que colocar o maior número de pontos possíveis dentro deste reticulado. O reticulado então tem que ser um reticulado de Bravais. Existem 7 reticulados de Bravais que preenchem o espaço. http://pt.wikipedia.org/wiki/Rede_de_Bravais Para todos esses 7 reticulados, no caso do problema existem pelo menos 4 pontos dentre os 400 que fazem pate dos vértices que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Quem não concordar com isso, diga agora ou cale-se para sempre :) - Original Message - From: Dymitri Cardoso Leão [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 21, 2006 2:25 PM Subject: [obm-l] Geometria espacial * Colocamos 400 pontos, distintos dois a dois, no interior de um cubo unitário. Prove que, entre os 400 pontos, existem pelo menos 4 que estão no interior de uma esfera de raio 1/5. Não tenho a menor noçao de como fazer isto, alguém poderia por favor resolver? _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] said: Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] [...] Não existe uma solução plausível porquê a resposta é essa mesmo (3*pi/2*R^2). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAuiG2alOQFrvzGQoRAm7CAKCRL5VaxCHUdfUlFEw+3qT5Qy/MkACg33ud exZ0MGN20tppz698Epo1yUE= =hdQJ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Contreiras, que prova foi essa? == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 2:23 PM Subject: [obm-l] Geometria Espacial Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] obrigado! --- End of Original Message ---
Re:[obm-l] Geometria Espacial
Sejam: a o comprimento do raio da base do cone, O o centro da base do cone, A o vértice do cone e D um ponto sobre a fronteira do circulo da base. I) Como o cone é equilatero, temos AD=2a II) Pode se verificar que a situação envolvida (cone eq. inscrito numa esfera) é gerada a partir da revolução de um triangulo equilatero e um circulo em torno de um eixo que passa por uma das alturas do triangulo, no qual o triang. esta inscrito no circulo. Considerando a fronteira deste circulo e o triangulo eq. envolvido e utilizando areas temos que: Area do triangulo eq.=(2a)^2.sqrt(3)/4 = (2a)^3/4.R logo R=8a^3/4a^2.sqrt(3)=2a/sqrt(3) ou a=R.sqrt(3)/2 III) Logo: Se 'abrirmos' o cone, temos que o angulo central será de 2pia/2a=pi rad, logo a area lateral é metade da area de um circulo de raio 2a, ou seja, Area lateral=pi.(2a) ^2/2=2pi.a^2=2pi.R^2.3/4=3pi.R^2/2 que é exatamente o que vc colocou. Bom, nao sei se ta certo, mas creio que so virando politico para dar esse resultado :-) ... Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] obrigado! Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
valeu , fiz o caminho igual ao seu... É essa a resposta mesma.! - Original Message - From: Fellipe Rossi To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 3:29 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria Espacial Eu também achei 3*pi*R^2 / 2 Achei q o lado da seção do cone é L=R*sqrt(3) (analisando a seçao meridional que será um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência). Então como a área lateral do cone será pi*L^2 / 2, cheguei a esse resultado. Creio que se a resposta for mesmo ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 eu também erraria. Abraços - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 2:23 PM Subject: [obm-l] Geometria Espacial Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] obrigado!
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Valeu, então o gabarito saiu errado mesmo. Obrigado - Original Message - From: Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 3:02 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria Espacial -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] said: Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] [...] Não existe uma solução plausível porquê a resposta é essa mesmo (3*pi/2*R^2). []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAuiG2alOQFrvzGQoRAm7CAKCRL5VaxCHUdfUlFEw+3qT5Qy/MkACg33ud exZ0MGN20tppz698Epo1yUE= =hdQJ -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Oi Morgado! Foi de um simulado pre-militar que fiz hoje! abraços! - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 4:44 PM Subject: Re: [obm-l] Geometria Espacial Contreiras, que prova foi essa? == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, May 30, 2004 2:23 PM Subject: [obm-l] Geometria Espacial Acabei de sair de uma prova no qual me deparei com a questão : A área da superfície lateral de um cone equilátero inscrito numa esfera de raio R é ? Gostaria de uma solução plausível para que o resultado dê [ ( pi R.R sqrt(3) ) / 2 ] ! ps. achei [ ( pi . 3.R.R ) / 2 ] obrigado!--- End of Original Message ---
Re: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL
Sejam A e B os vértices, P e Q os centros das bases dos cones maior e menor, respectivamente. As retas AB e PQ se encontram no ponto M que, de acordo com o enunciado, estará sobre a borda da base do cone mais baixo, uma vez que a reta BM, suporte da geratriz do cone menor, passa por A. Teremos que: AP = h = altura do cone mais alto; BQ = k = altura do cone mais baixo; PM = r + 2s; QM = s. Os triângulos APM e BQM são semelhantes. Logo: AP/PM = BQ/QM == h/(r+2s) = k/s == h/k = (r+2s)/s = r/s + 2 (1). Mas também sabemos que os volumes dos dois cones são iguais, de forma que: (1/3)*Pi*r^2*h = (1/3)*Pi*s^2*k == s^2/r^2 = h/k (2) (1) e (2) == s^2/r^2 = r/s + 2. Fazendo a = r/s, obtemos: 1/a^2 = a + 2 == a^3 + 2a^2 - 1 = 0 == (a + 1)*(a^2 + a - 1) = 0 == a única raiz positiva é (raiz(5)-1)/2, que é o valor desejado de r/s (a menos que eu tenha errado alguma conta). []s, Claudio. - Original Message - From: Márcio Barbado Jr. [EMAIL PROTECTED] To: Lista da OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 19, 2004 12:30 PM Subject: [obm-l] GEOMETRIA ESPACIAL Senhores (as) Vejam se podem me ajudar com o problema abaixo. Embora possua a resposta, não vejo como chegar a ela. A resposta segue após o enunciado. Um abraço e obrigado pela atenção Dois cones tem suas bases se tangenciando e ambas contidas no mesmo plano. O cone de maior altura possui raio r e o outro possui raio s. Encontrar o valor da relação r/s sabendo-se que os cones possuem mesmo volume e ainda, a reta suporte da geratriz do cone menor passa pelo vértice do maior. RESP.: -2 + 2 . [5^(1/2)] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Bom, eu acho que cheguei na resposta. É difícilexplicar sem o desenho, se tiver alguma dúvida,me fala. O volume de água total é 640sqrt(3)/3. Quando inclinamos o bloco, podemos dividir a área frontal em um retângulo e um triângulo (traçando uma reta paralela a base no nível mais baixo da água). Chamei de y o lado do retângulo e de x o lado do triângulo. O lado do triângulo descobri usando tg de 30º: - lado do triângulo: tg 30º = sqrt(3)/3 = x/4--- x = 4sqrt(3)/3 O lado do retângulo descobri somandodois volumes (do prisma triângular e do cubo)e igualando ao volume total: - volume do triângulo:4*4*4sqrt(3)/2 = 32sqrt(3)/3 - volume do retângulo:4*4*y = 16y - volume total: 640sqrt(3)/3 = 16y + 32sqrt(3)/3 ---y = 38sqrt(3)/3 x + y = 14sqrt(3) que é a hipotenusa do triângulo retângulo formado quando traçamos a altura h. O ângulo oposto ao de 30º é 60º, formado do outro lado da inclinação do bloco. Usando a hipotenusa e o sen60º encontramos a altura h. - sen60º = sqrt(3)/2 = h/14sqrt(3) --- h = 21 - Original Message - From: Fábio Bernardo To: OBM Sent: Saturday, October 25, 2003 8:49 PM Subject: [obm-l] Geometria Espacial Amigos, preciso de ajuda novamente. Não consegui resolver este. Desde já agradeço. Desculpem, mas o outro e-mail seguiu sem o enunciado. Aí vai: Um bloco retangular(isto é, um paralelepípedo reto retângulo) de base quadrada de lado 4cm e altura 20.sqrt(3), com 2/3 de seu volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de 30º com o solo. Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Se vc conseguir visualizar o desenho fica mais fácil. Não sei se é esse problema que vc está falando. Mas vou tentar explicar. A aresta do octaedro é igual ao lado do cubo. A diagonal do cubo é igual ao diâmetro da esfera. O diâmetro da esfera é igual à metade da altura do tetraedro. É só fazer as contas. Se precisar de ajuda é só pedir. - Original Message - From: Fábio Bernardo To: OBM Sent: Saturday, October 25, 2003 8:39 PM Subject: [obm-l] Geometria Espacial Amigos, preciso de ajuda novamente. Não consegui resolver este. Desde já agradeço.
Re: [obm-l] Geometria Espacial - Pirâmides (Mr. Crowley)
Caro amigo, Desenhe sua pirâmide. Trace por A reta paralela a BD. Não é necessário dizer que tal reta está contida no plano da base, mas pode haver quem disso não saiba. Seja B´e C´a interseção dessa reta com BC e DC, respectivamente. Ora, por Menelaus no triângulo VBC, secante B´QM, em que M é o médio de VC e Q, a intersecção de B´M com VB, ver-se-á que QB é metade de VQ. Por simetria, ND é metade de NV, em que N é a intersecção de D´M com VD. Logo, NQ, paralela a BD, tem por medida 2/3 de BD, ou seja, (2/3) *L*(sqrt2)). O triângulo AVC é eqüilátero. Logo, AM é altura de tal triângulo, e, portanto, mede L*sqrt(6)/2. Como AM é altura do triângulo isósceles B´D´M e NQ é paralela a B´D´, então AM é perpendicular a NQ. Logo, a área desejada é ½*NQ*AM, ou seja, sqrt(3)/3* L*L. Salvo correções necessárias de professores ou outros, que são sempre bem-vindas, esta é a resposta. Um abraço, João Carlos. paraisodovestibulando paraisodovestibulando@Para: obm-l [EMAIL PROTECTED] bol.com.brcc: Enviado Por: Assunto: [obm-l] Geometria Espacial - Pirâmides (Mr. [EMAIL PROTECTED] Crowley) puc-rio.br 01/10/2003 00:22 Favor responder a obm-l Olá Pessoal da Lista, Gostaria de deixar meus agradecimentos ao Cláudio e ao Leandro pelas ajudas (valew mesmo). Me ajudem neste exercício: Seja uma pirâmide regular de vértice V e base quadrangular ABCD. O lado da base da pirâmide mede L e a aresta lateral L.sqrt(2). Corta-se a essa pirâmide por um plano que contém o vértice A, é paralelo à reta BD, e contém o ponto médio da aresta VC. Calcule a área da seção determinada pela interseção do plano com a pirâmide. Grato Mr. Crowley __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote: OLá pessoal. Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, há alguma fórmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao. Estudar os ângulos entre faces de um poliedro é algo bem mais sutil de que os ângulos entre lados de um polígono. Você pode calcular os ângulos entre as faces dos poliedros regulares mas não são múltiplos racionais de pi, são arcos cujo seno ou cosseno é um número algébrico de grau baixo. Um resultado fácil é o seguinte. Considere um poliedro convexo. A partir de cada vértice e para cada face adjacente ao vértice, trace uma semireta exterior ao sólido e perpendicular à face. Temos assim um ângulo sólido em cada vértice: chamemos este ângulo sólido de externo. A soma dos ângulos sólidos externos é 4pi. Uma versão deste teorema que esteve no banco da IMO1981 (mas não na prova) é o seguinte problema. Em uma região do espaço há n planetas esféricos de mesmo raio. Prove que a área total em todos os planetas a partir da qual não se vê nenhum dos outros planetas no céu é igual à área de um dos planetas. Isto é uma versão discreta do teorema de Gauss-Bonnet. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Voce ainda acredita em formulas!Na maioria das vezes nao e nem um pouco importante ce decorar ou mesmo saber,e bem mais divertido deduzir... --- Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED] escreveu: OLá pessoal. Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, há alguma fórmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao. Desde ja agradeco. Um abraco a todos. Frederico. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Espacial
Quale o teorema de Gauss-Bonet? --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote: OLá pessoal. Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, há alguma fórmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao. Estudar os ângulos entre faces de um poliedro é algo bem mais sutil de que os ângulos entre lados de um polígono. Você pode calcular os ângulos entre as faces dos poliedros regulares mas não são múltiplos racionais de pi, são arcos cujo seno ou cosseno é um número algébrico de grau baixo. Um resultado fácil é o seguinte. Considere um poliedro convexo. A partir de cada vértice e para cada face adjacente ao vértice, trace uma semireta exterior ao sólido e perpendicular à face. Temos assim um ângulo sólido em cada vértice: chamemos este ângulo sólido de externo. A soma dos ângulos sólidos externos é 4pi. Uma versão deste teorema que esteve no banco da IMO1981 (mas não na prova) é o seguinte problema. Em uma região do espaço há n planetas esféricos de mesmo raio. Prove que a área total em todos os planetas a partir da qual não se vê nenhum dos outros planetas no céu é igual à área de um dos planetas. Isto é uma versão discreta do teorema de Gauss-Bonnet. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Geometria Espacial
Teorema de Gauss-Bonnet e um teorema classico da geometria diferencial e abaixo tem uma explicacao dele. Voce pode ve-lo nos livros da Keti Tenenblat (Introducao a Geometria Diferencial) e no do Manfredo. O Manfredo apresenta a prova desse teorema para o caso de variedades riemanianas no seu livro Differential Forms publicado pela Springer. E um livrinho fino, mas muito bem escrito e bonito. Tem na www.amazon.com . O teorema e apresentado em versoes locais e globais. De uma olhada nesses livros e no enunciado abaixo. A prova do teorema pode ser vista tambem em http://hilbert.dartmouth.edu/~leibon/gbt/ Regards Leandro. Gauss-Bonnet theorem From Wikipedia, the free encyclopedia. The Gauss-Bonnet theorem in differential geometry is an important statement about surfaces which connects their geometry (in the sense of curvature) to their topology (in the sense of the Euler characteristic). Suppose M is a compact two-dimensional orientable Riemannian manifold with boundary M. Denote by K the Gaussian curvature at points of M, and by kg the geodesic curvature at points of M. Then M K dA + M kg ds = 2 (M) where (M) is the Euler characteristic of M. The theorem applies in particular if the manifold does not have a boundary, in which case the integral M kg ds can be omitted. If one bends and deforms the manifold M, its Euler characteristic will not change, while the curvatures at given points will. The theorem requires, somewhat surprisingly, that the total integral of all curvatures will remain the same. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Thursday, August 28, 2003 10:17 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Geometria Espacial Quale o teorema de Gauss-Bonet? --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Aug 28, 2003 at 07:19:16AM -0300, Frederico Reis Marques de Brito wrote: OL pessoal. Confesso que nunca tive interesse por geometria espacial. Mas outro dia parei a perguntar-me se, similarmente ao que ocorre na geom. plana, h alguma frmula para o angulo interno formado pelas faces de um poliedro regular e, neste caso, uma fonte para a demonstracao. Estudar os ngulos entre faces de um poliedro algo bem mais sutil de que os ngulos entre lados de um polgono. Voc pode calcular os ngulos entre as faces dos poliedros regulares mas no so mltiplos racionais de pi, so arcos cujo seno ou cosseno um nmero algbrico de grau baixo. Um resultado fcil o seguinte. Considere um poliedro convexo. A partir de cada vrtice e para cada face adjacente ao vrtice, trace uma semireta exterior ao slido e perpendicular face. Temos assim um ngulo slido em cada vrtice: chamemos este ngulo slido de externo. A soma dos ngulos slidos externos 4pi. Uma verso deste teorema que esteve no banco da IMO1981 (mas no na prova) o seguinte problema. Em uma regio do espao h n planetas esfricos de mesmo raio. Prove que a rea total em todos os planetas a partir da qual no se v nenhum dos outros planetas no cu igual rea de um dos planetas. Isto uma verso discreta do teorema de Gauss-Bonnet. []s, N. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = ___ Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar um Renault Clio, computadores, cmeras digitais, videogames e muito mais! www.cade.com.br/antizona = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] geometria espacial
On Wed, Feb 05, 2003 at 10:25:56AM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Oá pessoal, Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente iguais. A área da superfície total de cada gomo é dada por: resp: (4*pi*R^2)/3 Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente? Você precisa contar também a área dos dois semicírculos onde um gomo encosta em outro e com isso você chega na resposta do gabarito. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] geometria espacial
Área do Gomo = 1/12 da Área da Esfera +2 * Área do Semicírculo = 1/12 * 4*Pi*R^2 + 2 * Pi*R^2/2 = 4/3 * Pi*R^2 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 05, 2003 1:25 PM Subject: [obm-l] geometria espacial Oá pessoal, Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R, composta de 12 gomos exatamente "iguais". A área da superfície total de cada gomo é dada por: resp: (4*pi*R^2)/3 Obs: A resposta não seria (pi*R^2)/3 ? Pois se há 12 gomos então a área superficial de casa gomo é igual a (área superficial total da esfera)/(12). Será que o gabarito está errado novamente?
Re: [obm-l] geometria espacial
Quando seccionamos um cone por um plano podemos observar dois cones semelhantes (o cone original e o cone que é retirado para gerar o tronco). A razão de semelhança é igual a razão entre as alturas e a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança. No seu exercício o cone menor tem 1/8 do volume (1 - 7/8) do cone maior e portanto a razão entre os cubos das alturas deve ser 1/8, ou seja, (h/H)^3 = 1/8 = h/H = 1/2 como H = 12 h = 6. []'s MP - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 9:42 PM Subject: [obm-l] geometria espacial Olá pessoal, Alguém consegue me auxiliar nesta questão de geometria espacial? Seccionando-se um cone reto por u plano paralelo à sua base obtém-se um tronco de cone cujo volume é igual a 7/8 do volume do cone original. Se a altura do cone original é de 12 cm, a que distância do vértice está a secção? Resp: 6cm
Re: [obm-l] geometria espacial
Oi para todos ! Não consegui entender também o que foi feito nessa passagem, mas parece com um teorema que relaciona a altura do triângulo equilátero com o raio da circunferência circunscrita nele. Tente aplicar a lei dos cossenos no triângulo ABH, levando em conta que AB = 6 cm e AH = BH. Você chega a mesma conclusão. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 01, 2003 4:02 PM Subject: [obm-l] geometria espacial Alguém poderia me explicar uma passagem na correção da prova da unicamp de 2001 (2ª fase) disponível no endereço eletrônico: http://www.cursoanglo.com.br/vestibular/resolve/2001/unicamp2/mat_ing/Q12.pdf Não entendi quando foi feito que AH = é igual a 2/3 de 3sqrt3. Porque 2/3?
Re: [obm-l] Geometria espacial
On Thu, Apr 25, 2002 at 12:21:42AM -0300, Daniel wrote: Olá a todos Problema: Qual o raio da esfera inscrita em um dodecaedro regular? Daniel Você não deu nenhum dado sobre o dodecaedro. Um sistema de coordenadas para o dodecaedro regular é (+-1,+-1,+-1), (+-a,+-b,0), (0,+-a,+-b), (+-b,0,+-a) onde a = (1+sqrt(5))/2 ~= 1,6 e b = a^(-2) ~= 0,4. A aresta deste dodecaedro é 2b. O raio da esfera circunscrita é sqrt(3). Um exemplo de face é (a,+-b,0), (1,+-1,1) e (b,0,a) cujo centro é (1/5)(2a+1+b,0,a+2). Daí é fácil encontrar o que você quer. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Geometria espacial (Oops)
On Thu, Apr 25, 2002 at 01:42:52PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote: On Thu, Apr 25, 2002 at 12:21:42AM -0300, Daniel wrote: Olá a todos Problema: Qual o raio da esfera inscrita em um dodecaedro regular? Daniel Você não deu nenhum dado sobre o dodecaedro. Um sistema de coordenadas para o dodecaedro regular é (+-1,+-1,+-1), (+-a,+-b,0), (0,+-a,+-b), (+-b,0,+-a) onde a = (1+sqrt(5))/2 ~= 1,6 e b = a^(-2) ~= 0,4. Corrigindo, b = a^(-1) ~= 0.6. A aresta deste dodecaedro é 2b. O raio da esfera circunscrita é sqrt(3). Um exemplo de face é (a,+-b,0), (1,+-1,1) e (b,0,a) cujo centro é (1/5)(2a+1+b,0,a+2). Daí é fácil encontrar o que você quer. Veja também meu artigo 'Coordenadas para o icosaedro' na RPM ou na minha home page: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau Apesar do título, o dodecaedro também é tratado. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
