>On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:
>
>> On Sun, 14 May 2000, [EMAIL PROTECTED] wrote:
>>
>> > Curiosidades:
>> >
>> > 1) No plano, existem 3 vezes mais tri�ngulos obtusos do que tri�ngulos
>> > acut�ngulo!!
>> >
>> > O matem�tico canadense, Richard K. Guy (j� falecido, se n�o me
>> > engano) provou este fato em 1963 (Ver Mathematics Magazine, junho,
>>pg. 175).
>> >
>> > Algu�m conhece uma outra demonstra��o?
>> >
>> > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
>> > colocado em 1893 por Lewis Carroll (pseud�nimo do pastor ingl�s Charles
>> > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de "Alice no Pa�s das Maravilhas"):
>> > "Se tr�s pontos s�o escolhidos aleatoriamente, qual � a probabilidade
>> > desses pontos serem v�rtices de um tri�ngulo obtus�ngulo?"
>> > Algu�m se habilita? Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
>>
>> Acho que estes dois problemas est�o formulados de forma incompleta.
>> O que significa tomar tr�s pontos "aleatoriamente" no plano?
>> Para dar sentido a esta express�o, � preciso dizer que probabilidade
>> � associada aos eventos fundamentais: isto � o que se chama
>> dar a medida de probabilidade do problema.
>> Qual �, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
>> ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?
>
>Depois de responder, notei que n�o apenas o enunciado � incompleto
>mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
>a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e n�o a express�o complicada,
>ali�s com par�ntesis descasados, que aparece no item (2).
>
>De qualquer forma, encontrei uma interpreta��o que me pareceu satisfat�ria
>para obter a resposta do item (a). Se tomamos tr�s pontos ao acaso
>no c�rculo unit�rio (a curva apenas, n�o o disco) ent�o a probabilidade
>de obtermos um tri�ngulo acut�ngulo � realmente 1/4.
>A demonstra��o n�o � dif�cil.
>
>Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
>pontos A e B sim�tricos em rela��o ao eixo horizontal, como indicado.
>Se o �ngulo entre o eixo horizontal e o raio OA � alfa,
>>ent�o o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
>(marcado em vermelho na figura) para que o tri�ngulo ABC seja acut�ngulo.
>Como alfa assume um valor aleat�rio entre 0 e (pi/2),
>n�o � dif�cil concluir que a probabilidade de que ABC seja acut�ngulo
>� 1/4.
>
>Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
>(por exemplo, pontos aleat�rios em um disco)
>a resposta provavelmente ser� outra.
>
>[]s, N.
>
Aos curiosos, vejam uma outra solucao e um interessante generalizacao
na RPM 42, pagina 57.
W.
