Prezado Nicolau, Gostei muito de suas observa��es sobre as quest�es, especialmente aquelas, esclarecedoras, sobre o questionamento de que probabilidade est� associada ao problema etc. � pena que eu n�o consegui abrir o segundo arquivo que voc� enviou. Quanto a resposta ao problema que voc� acha que est� errada, ela � dada no artigo citado, e que pode ser vista como uma conseq��ncia do que o autor l� desenvolveu. Obrigado Benedito Freire "Nicolau C. Saldanha" wrote: > On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote: > > > On Sun, 14 May 2000, [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > > > Curiosidades: > > > > > > 1) No plano, existem 3 vezes mais tri�ngulos obtusos do que tri�ngulos > > > acut�ngulo!! > > > > > > O matem�tico canadense, Richard K. Guy (j� falecido, se n�o me > > > engano) provou este fato em 1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175). > > > > > > Algu�m conhece uma outra demonstra��o? > > > > > > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante > > > colocado em 1893 por Lewis Carroll (pseud�nimo do pastor ingl�s Charles > > > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de "Alice no Pa�s das Maravilhas"): > > > "Se tr�s pontos s�o escolhidos aleatoriamente, qual � a probabilidade > > > desses pontos serem v�rtices de um tri�ngulo obtus�ngulo?" > > > Algu�m se habilita? Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2 > > > > Acho que estes dois problemas est�o formulados de forma incompleta. > > O que significa tomar tr�s pontos "aleatoriamente" no plano? > > Para dar sentido a esta express�o, � preciso dizer que probabilidade > > � associada aos eventos fundamentais: isto � o que se chama > > dar a medida de probabilidade do problema. > > Qual �, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido > > ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]? > > Depois de responder, notei que n�o apenas o enunciado � incompleto > mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1), > a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e n�o a express�o complicada, > ali�s com par�ntesis descasados, que aparece no item (2). > > De qualquer forma, encontrei uma interpreta��o que me pareceu satisfat�ria > para obter a resposta do item (a). Se tomamos tr�s pontos ao acaso > no c�rculo unit�rio (a curva apenas, n�o o disco) ent�o a probabilidade > de obtermos um tri�ngulo acut�ngulo � realmente 1/4. > A demonstra��o n�o � dif�cil. > > Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros > pontos A e B sim�tricos em rela��o ao eixo horizontal, como indicado. > Se o �ngulo entre o eixo horizontal e o raio OA � alfa, > ent�o o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa) > (marcado em vermelho na figura) para que o tri�ngulo ABC seja acut�ngulo. > Como alfa assume um valor aleat�rio entre 0 e (pi/2), > n�o � dif�cil concluir que a probabilidade de que ABC seja acut�ngulo > � 1/4. > > Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido > (por exemplo, pontos aleat�rios em um disco) > a resposta provavelmente ser� outra. > > []s, N. > > ------------------------------------------------------------------------ > Name: agudo.gif > agudo.gif Type: GIF Image (IMAGE/gif) > Encoding: BASE64
begin:vcard n:Freire;Benedito Tadeu tel;fax:55 84 211 92 19 tel;work:55 84 215 38 20 x-mozilla-html:TRUE org:Chefe do Departamento de Matem�tica;UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte adr:;;Caixa Postal 1214;Natal;Rio Grande do Norte;59075-970;Brasil version:2.1 email;internet:[EMAIL PROTECTED] title:Benedito Tadeu Vasconcelos Freire end:vcard
