=?iso-8859-1?Q?Mais_Quest=F5es_de_Teoria_dos_N=FAmeros!?=

[Sistema ELITE de Ensino - Unidade Bel�m]

Valeu Ralph pelas resolu��es, a um certo tempo estava "engatado" nestas
quest�es. Tenho mais algumas quest�es de Teoria dos N�meros que ainda n�o
consegui fazer. As que estou mandando agora s�o do banco de quest�es da IMO
de 1990. Acredito que sejam bastante interessantes.

1) Para um inteiro positivo k, seja f[1](k) a soma dos quadrados dos d�gitos
de k, e seja f[n + 1](k) = f[1](f[n](k) ). Determine o valor de
f[1991](2^1990).
Obs: f[i] significa f �ndice i

2) Prove que todo inteiro k >1 possui um m�ltiplo positivo que � menor que
k^4 e que pode ser escrito em sua representa��o decimal com no m�ximo 4
d�gitos distintos.

3) Determine todos os n�meros naturais n para os quais todo n�mero natural
cuja representa��o decimal possui n - 1 d�gitos 1 e um d�gito 7 � primo.
Obs: Eu procurei traduzir do ingl�s esta quest�o fielmente como estava
escrito, note que o enunciado fala em possuir n - 1 d�gitos 1, e n�o
"exatamente" n - 1 d�gitos 1. Ser� que d� para considerar que s�o "pelo
menos" n - 1 d�gitos 1?

4) Seja  f(0) = f(1) = 0  e  f(n + 2) = (4^(n+2)).f(n+1) - (16^(n+1)).f(n) +
n.2^(n^2), n = 0, 1, 2, 3, ... . Mostre que os n�meros  f(1989), f(1990),
f(1991) s�o divis�veis por 13.

Esta �ltima parece ser mais de seq��ncias do que de Teoria dos N�meros, mas
parece que � muito interessante e envolve divisibilidade por 13.

At� mais e boa sorte.