Observe que, pelas rela��es entre coef. e ra�zes, a soma das ra�zes vale 10 e o produto vale 1. Por hip�tese e pelo Teor . Fund. da �lgebra, temos 10 ra�zes reais e positivas. Decoorre que a m�dia aritm�tica das ra�zes ( MA ) � 1 e a m�dia geom�trica ( MG ) tb vale 1. Ora, como sabemos
MG <= MA e vale a igualdade se, e s� se, todas as ra�zes s�o iguais. Portanto ~x=1 � uma raiz de multiplicidade 10.
Um abra�o, Frederico.
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re: [obm-l] Equacao polinomial Date: Sat, 7 Feb 2004 05:08:22 -0200
Cl�udio,
A equa��o proposta por voc� � interessant�ssima.
Pela regra de sinais de Descartes e do enunciado, sabemos que, se h� dez ra�zes reais e positivas, todos os coeficientes de �ndice par s�o positivos e todos os de �ndice �mpar, negativos, admitindo-se que haja termos em x cujo exponte varia de 2 a 6. Assim:
a_10 = 1 > 0, a_8 > 0, a_6 > 0, a_4 > 0, a_2 > 0, a_0 = 1 > 0
a_9 = -10 < 0, a_7 < 0, a_5 < 0, a_3 < 0, a_1 < 0
Como nada se diz quanto a serem ra�zes distintas, temos que (x-1)^10 = x^10 - 10x^9 + 45x^8 - 120x^7 + 210x^6 - 252x^5 + 210x^4 - 120x^3 + 45x^2 - 10x + 1. Logo, x = 1 � solu��o �nica, cuja multiplicidade � 10.
Espero que esteja correto.
Abra�os,
Rafael de A. Sampaio
----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Saturday, February 07, 2004 1:43 AM Subject: [obm-l] Equacao polinomial
> Jah que problemas envolvendo raizes de polinomios estao entre os mais
> populares da lista, aqui vai um:
>
> Determine as raizes de:
> x^10 - 10*x^9 + a_8*x^8 + a_7*x^7 + ... + a_1*x + 1 = 0, sabendo que todas
> elas sao reais e positivas.
>
> Um abraco,
> Claudio.
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