2010/2/3 Francisco Barreto <[email protected]>:
> Creio que sim... Se podemos encontrar sempre um natural maior, pra todo real
> positivo, pegamos o sucessor da parte inteira dele.
Certo, isso funciona. Mas o problema é justamente de provar que a
parte inteira está bem definida. Veja bem (comentários no meio da
prova)
> Dado A > 0, A real, Seja [A] = maior inteiro menor que A.
Pois é, mais ou menos... Como você supõe que A > 0, você tem um
inteiro (0) que é menor do que A. Portanto, o conjunto {n inteiro / n
< A} é não-vazio. Repare que só faz sentido falar do "maior elemento
deste conjunto" se você souber que esse conjunto é limitado a priori.
(Isso porque você já sabe que todo conjunto limitado de números
naturais tem um maior elemento, é claro). E provar que esse conjunto é
limitado é exatamente dizer que, a partir de um certo ponto, todos os
naturais serão maiores do que A. Que é o que a gente quer mostrar. E
como a gente vem falando, não podemos supor a conclusão!!
Ah, e para ser chato, a definição de [A] é o maior inteiro menor ou
igual a A. Mas isso não muda muito o que segue.
> Devemos ter A - [A] < 1
Porque devemos ter isso ? Lembre-se, você não sabe (ainda, enfim, pelo
menos você ainda não tem uma prova) que os números reais se escrevem
como A = [A] + {A} onde {A} < 1. Para ser mais exato, você não sabe
que qualquer número real é da forma 4523452.3452427368367613451...
Podia ter um que fosse "estranho", tipo muito maior do que qualquer
inteiro, que é justamente o que nós estamos tentando provar que não
existe. Só para fixar as idéias, pense num cara que seja "maior do que
todos os inteiros". Alguma coisa do tipo "+ infinito" (não se preocupe
muito em dar uma definição, apenas pense). Qual é a parte inteira dele
???
Ou então, pense na seguinte situação estranha. Imagine que os inteiros
são apenas {-10, -9, -8, ... 0, ... 8, 9, 10}. Ora, da sua definição,
[10*pi] = [31.4159...] = (tarârârârârrrrâââââ) 10 !! (porque afinal de
contas não tem mais nenhum "inteiro" maior do que 10!). Daí, a tal da
A - [A] < 1 fura. (bom, é claro que é forçado, mas a idéia de como
podia furar é mais ou menos por aí).
> => [A] > A - 1 => [A] + 1 > A, o que significa que s([A]) > A. Mas
> s([A]) é um natural, pois é um inteiro maior ou igual a 1. Então s([A]) é um
> natural maior que o real positivo A.
A partir daqui, a lógica está certa. Mas como eu falei, você está num
problema de definições circulares, e portanto é preciso fazer outra
coisa...
> Em 3 de fevereiro de 2010 16:22, Gabriel Haeser <[email protected]>
> escreveu:
>>
>> Se a prova mostra que "o maior natural eh 1 ou nao existe" como o
>> Ralph disse e como 2>1, isso realmente mostra que os naturais são
>> ilimitados?
Isso mostra realmente que os naturais são
1) Infinitos
2) Ilimitados no sentido "se n é um natural, existe um natural maior
do que ele". (afinal de contas, foi exatamente isso que a gente
mostrou). Isso NÃO mostra que eles são ilimitados com relação aos
reais, ou seja "se r é um real, existe um natural maior do que ele".
Ah, e para ser mais chato ainda. A definição (como TODAS as definições
com naturais) usando recorrência (ou indução, ou Peano, é tudo
equivalente) de "maior do que" usa exatamente como base da recorrência
a definição : s(n) > n. (e como "passo" m > n => s(m) > n). Portanto,
a melhor forma, a meu ver, de provar que os naturais são ilimitados
neles mesmos (o 2 ali em cima) é simplesmente voltar à definição! Se n
é um número natural, por definição existe um natural s(n) > n.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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