2012/4/6 João Maldonado <[email protected]>:
> Bernardo, eu disse que faltava rigor justamente por esse MESMO problema
> (idêntico) mas dissertativo ter caído em uma prova minha faz 3 semanas
> (ciclo 0/1 do poliedro), e eu ter ganhado 1 de 5 por ter feito o que Hermann
> falou
Oi João. Relaxa. Claro que é difícil quando se está preparando para um concurso.
Mas eu vou vestir a minha armadura de chato, e vamos em frente.
> Se f(ak) é PA, temos que provar que TODOS os ak satisfazem a condição.
Que condição?
É claro que aqui temos um problema de definição. Para mim, uma P.A. é
uma seqüência a_n (indexada pelos inteiros começando pelo zero, para
simplificar umas fórmulas) tal que a_{n+1} - a_n = a_{n+2} - a_{n+1}
para todo n.
Muita gente diz isso de outra forma (que é equivalente, e muitas vezes
mais prática, como a gente vai ver): existe um número r (a razão da
PA) tal que a_{n+1} = a_n + r para todo n.
> Se
> f(ak) e todos os k' maiores que k satisfazem, mas f(ak-1) não satisfaz,
> f(ak) NÃO É PA qualquer que seja k, por isso é preciso instituir um a0 e
> agir a partir daí, coisa que Hermann não fez.
Claro que fez! Ele mostrou a segunda definição: existe um número
(f(r)) tal que b_{n+1} = b_n + esse número (onde b_n = f(a_n)).
> Outra coisa é que pelo PIF não
> vale apenas dizer que se vale para k vale para k+1, SEMPRE tudo tem que
> satisfazer uma condição inicial, que seria o a1 (a partir do qual provaremos
> que todos os seus sucessores formam uma PA).
Eu acho que os seus professores mostraram que todo mundo da sua sala
era tricolor (ou qualquer outro time pelo qual o professor torce, ou
qualquer adjetivo, ...).
> Concordo com você em dizer que a prova f(an)=f(an-1+r)=f(an-1)+f(r) não foi
> uma indução (e não foi mesmo), mas leia mais atentamente a minha Tese:
>
> " f(ak) é PA de razao f(r) para k inteiro <=n "
Sendo chato (eu avisei), isso não faz sentido. O que você deve ter
querido dizer é o seguinte: "a seqüência f(a0), f(a1); ... f(an) é uma
P.A. de razão f(r)". Tem dois erros, um de atenção (inteiro, em vez de
inteiro positivo) e outro de posição do quantificador.
> Como eu disse para ak ser PA
Isso tem o mesmo problema de antes: "ak ser uma P.A." não é normal, o
que você pode dizer é "a0, a1, ..., ak" é uma PA.
> os antecessores também têm que formar uma PA, e
> a "mini-indução" vem aí, se os antecessores não formarem uma PA, mesmo que
> para k satisfaça, f(ak) não é pa qualquer que seja k, logo estamos criando
> uma hipótese (que é PA para k1<k) para provar uma tese sequencial, o que é
> justamente a definição de indução
Você não *precisa* provar que uma P.A. é uma P.A. "por indução".
Justamente, a definição da P.A. (as duas que eu dei) pode ser
verificada "para todos os n ao mesmo tempo" com o argumento do
Hermann.
Claro que em alguns casos você vai usar indução para mostrar um monte
de coisas. Mas aqui, não precisa.
> Aliás eu mesmo não acho que devia-se tirar ponto por causa de uma coisa tão
> boba, mas tiraram de mim, e o gabarito publicado era justamente esse que eu
> coloquei aí. O professor que colocou essa questão na prova é matemático
> puro (fez curso e doutorado em matemática e não engenharia como os outros).
Isso é meio forte demais. Argumento de autoridade é a última coisa que
se aceita em matemática. As armas leais de combate são definições,
teoremas, e lógica.
> Acho que é por essa questão que o rigor é importante para ele. Ele pega
> muito no pé em relação aos conceitos. Na primeira aula ficou 1 hora
> discutindo a favor da indeterminacao do 0 elevado a 0
>
> Outro problema nessa mesma prova que me tirou ponto foi provar que
> (1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)...(1-1/n) = 1/n, eu substitui por
> 1/2.2/3.3/4...(n-1/n) e sai cortando, e essa prova "direta" como você disse
> me deu 0 de 5. O problema não pedia indução, mas na outra aula o mesmo
> professor falava que esse "sair cortando" é chamada de indução fraca, e não
> é uma prova concreta para a matemática.
Hum, isso é BEM diferente do caso da P.A. pela razão seguinte (que eu
espero que o seu professor tenha explicado DIREITINHO, se ele é tão
chato com rigor): toda (repito, TODA) vez que aparecem reticências
numa fórmula, você está manipulando um objeto "deixado à compreensão
do leitor", e a primeira tarefa de uma demonstração é dar uma
definição SEM as reticências. A maior parte do tempo, por recorrência.
Mas neste caso, observe que 1/2.2/3.3/4...(n-1/n) está tão
"mal-definido" quanto o original, e para fazer manipulações, você deve
dar uma definição "correta", tipo
a_1 = 1
a_n = a_{n-1} * (1 - 1/n)
Dada essa definição (por recorrência), a única coisa que você pode
fazer para sair dela é matar com uma recorrência. Mas a definição de
P.A. (repito) não é recorrente.
> Aliás, isso é outra coisa que eu não concordo, tirar ponto por causa de uma
> coisa tão boba, mas para ele falta de rigor importa
> Estou dizendo isso por experiência própria, só disse o que disse pois se
> Hermann pegasse um professor rigoroso comoo meu, poderia perder ponto
> Mas se você acha que deveria tirar ponto, faça como quiser, cada um tem a
> sua mentalidade
Cara, se você insistir, eu tiro ponto até do seu professor por ter te
obrigado a botar indução onde ela não foi chamada!
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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