Obrigado Bernardo e Marcelo pelas explicações Tinha aprendido a definição de PA usando recorrência (como você disse). Essa nova definição não recorrente é nova para mim. Aliás, eu concordo com os dois em dizer que a demonstração estava certa e repito: Só respondi ao email por experiância própria e divulguei o mesmo gabarito da prova na minha escola (embora não concorde com ele) Enfim, desculpe pelos erros aí []'sJoão
> Date: Fri, 6 Apr 2012 21:58:45 +0200 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] insegurança > From: [email protected] > To: [email protected] > > 2012/4/6 João Maldonado <[email protected]>: > > Bernardo, eu disse que faltava rigor justamente por esse MESMO problema > > (idêntico) mas dissertativo ter caído em uma prova minha faz 3 semanas > > (ciclo 0/1 do poliedro), e eu ter ganhado 1 de 5 por ter feito o que Hermann > > falou > Oi João. Relaxa. Claro que é difícil quando se está preparando para um > concurso. > > Mas eu vou vestir a minha armadura de chato, e vamos em frente. > > > Se f(ak) é PA, temos que provar que TODOS os ak satisfazem a condição. > Que condição? > > É claro que aqui temos um problema de definição. Para mim, uma P.A. é > uma seqüência a_n (indexada pelos inteiros começando pelo zero, para > simplificar umas fórmulas) tal que a_{n+1} - a_n = a_{n+2} - a_{n+1} > para todo n. > Muita gente diz isso de outra forma (que é equivalente, e muitas vezes > mais prática, como a gente vai ver): existe um número r (a razão da > PA) tal que a_{n+1} = a_n + r para todo n. > > > Se > > f(ak) e todos os k' maiores que k satisfazem, mas f(ak-1) não satisfaz, > > f(ak) NÃO É PA qualquer que seja k, por isso é preciso instituir um a0 e > > agir a partir daí, coisa que Hermann não fez. > Claro que fez! Ele mostrou a segunda definição: existe um número > (f(r)) tal que b_{n+1} = b_n + esse número (onde b_n = f(a_n)). > > > Outra coisa é que pelo PIF não > > vale apenas dizer que se vale para k vale para k+1, SEMPRE tudo tem que > > satisfazer uma condição inicial, que seria o a1 (a partir do qual provaremos > > que todos os seus sucessores formam uma PA). > Eu acho que os seus professores mostraram que todo mundo da sua sala > era tricolor (ou qualquer outro time pelo qual o professor torce, ou > qualquer adjetivo, ...). > > > Concordo com você em dizer que a prova f(an)=f(an-1+r)=f(an-1)+f(r) não foi > > uma indução (e não foi mesmo), mas leia mais atentamente a minha Tese: > > > > " f(ak) é PA de razao f(r) para k inteiro <=n " > Sendo chato (eu avisei), isso não faz sentido. O que você deve ter > querido dizer é o seguinte: "a seqüência f(a0), f(a1); ... f(an) é uma > P.A. de razão f(r)". Tem dois erros, um de atenção (inteiro, em vez de > inteiro positivo) e outro de posição do quantificador. > > > Como eu disse para ak ser PA > Isso tem o mesmo problema de antes: "ak ser uma P.A." não é normal, o > que você pode dizer é "a0, a1, ..., ak" é uma PA. > > > os antecessores também têm que formar uma PA, e > > a "mini-indução" vem aí, se os antecessores não formarem uma PA, mesmo que > > para k satisfaça, f(ak) não é pa qualquer que seja k, logo estamos criando > > uma hipótese (que é PA para k1<k) para provar uma tese sequencial, o que é > > justamente a definição de indução > Você não *precisa* provar que uma P.A. é uma P.A. "por indução". > Justamente, a definição da P.A. (as duas que eu dei) pode ser > verificada "para todos os n ao mesmo tempo" com o argumento do > Hermann. > > Claro que em alguns casos você vai usar indução para mostrar um monte > de coisas. Mas aqui, não precisa. > > > Aliás eu mesmo não acho que devia-se tirar ponto por causa de uma coisa tão > > boba, mas tiraram de mim, e o gabarito publicado era justamente esse que eu > > coloquei aí. O professor que colocou essa questão na prova é matemático > > puro (fez curso e doutorado em matemática e não engenharia como os outros). > Isso é meio forte demais. Argumento de autoridade é a última coisa que > se aceita em matemática. As armas leais de combate são definições, > teoremas, e lógica. > > > Acho que é por essa questão que o rigor é importante para ele. Ele pega > > muito no pé em relação aos conceitos. Na primeira aula ficou 1 hora > > discutindo a favor da indeterminacao do 0 elevado a 0 > > > > Outro problema nessa mesma prova que me tirou ponto foi provar que > > (1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)...(1-1/n) = 1/n, eu substitui por > > 1/2.2/3.3/4...(n-1/n) e sai cortando, e essa prova "direta" como você disse > > me deu 0 de 5. O problema não pedia indução, mas na outra aula o mesmo > > professor falava que esse "sair cortando" é chamada de indução fraca, e não > > é uma prova concreta para a matemática. > Hum, isso é BEM diferente do caso da P.A. pela razão seguinte (que eu > espero que o seu professor tenha explicado DIREITINHO, se ele é tão > chato com rigor): toda (repito, TODA) vez que aparecem reticências > numa fórmula, você está manipulando um objeto "deixado à compreensão > do leitor", e a primeira tarefa de uma demonstração é dar uma > definição SEM as reticências. A maior parte do tempo, por recorrência. > Mas neste caso, observe que 1/2.2/3.3/4...(n-1/n) está tão > "mal-definido" quanto o original, e para fazer manipulações, você deve > dar uma definição "correta", tipo > a_1 = 1 > a_n = a_{n-1} * (1 - 1/n) > > Dada essa definição (por recorrência), a única coisa que você pode > fazer para sair dela é matar com uma recorrência. Mas a definição de > P.A. (repito) não é recorrente. > > > Aliás, isso é outra coisa que eu não concordo, tirar ponto por causa de uma > > coisa tão boba, mas para ele falta de rigor importa > > Estou dizendo isso por experiência própria, só disse o que disse pois se > > Hermann pegasse um professor rigoroso comoo meu, poderia perder ponto > > Mas se você acha que deveria tirar ponto, faça como quiser, cada um tem a > > sua mentalidade > Cara, se você insistir, eu tiro ponto até do seu professor por ter te > obrigado a botar indução onde ela não foi chamada! > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
