No exemplo que vc deu, cortar está absolutamente certo. Para todo inteiro n > 1, 1 - 1/n = (n - 1)/n. Isto nos leva ao que chamamos de produto telescópico. Já vi provas semelhantes em livros de autores rigorosos como Bartle, Rudin e Apostol. Neste caso, não há necessidade de indução.
A questão do 0^0 depende puramente de definição. É usual se definir como 1 porque facilitaera casos como séries de potências. Acho estranho um Dr discutir literalmente zero elevado a zero, algo que não é indeterminação mas sim definição. O que é indeteriminação são limites do tipo u(x)^v(x), onde u e v são funções que tendem a 0 quando x tende a algum valor. Coisa muito diferente. É como discutir porque 0! = 1. Outra convenção muito útil. Ou mesmo porque a^1 = a. Uma definição. A definição que se dá para n inteiro maior que 1 não se aplica ao 1 porque, também por definição, produto é uma operação binária e não existe produto de um fator só. Uma vez ouvi um cara dos Estados Unidos dizer que 0^0 é algo transcendental que os matemáticos não sabem explicar. Assim vamos ao misticismo. O que também já ouvi a respeito da unidade imaginária (nome muito infeliz mas que residtiu aos séculos e é consagrado). Hoje, em vez de instituir algo que parece cabalístico, a maioria dos autores definem os complexos de forma muito clara introduzindo em R2 uma estrutura de corpo. Quanto ao problema original, se algúem provou que a_k = a_(k - 1) + r, automaticamente provou que é uma PA. Da mesma forma que se eu provar que f(x) = x^851, provei que f é um polinômio de grau 851. Eu não sou matemático, mas cito o exemplo de autores de reconhecido saber. Abraços Artur Em 06/04/2012, às 16:17, João Maldonado <[email protected]> escreveu: > Bernardo, eu disse que faltava rigor justamente por esse MESMO problema > (idêntico) mas dissertativo ter caído em uma prova minha faz 3 semanas (ciclo > 0/1 do poliedro), e eu ter ganhado 1 de 5 por ter feito o que Hermann falou > > Se f(ak) é PA, temos que provar que TODOS os ak satisfazem a condição. Se > f(ak) e todos os k' maiores que k satisfazem, mas f(ak-1) não satisfaz, > f(ak) NÃO É PA qualquer que seja k, por isso é preciso instituir um a0 e agir > a partir daí, coisa que Hermann não fez. Outra coisa é que pelo PIF não vale > apenas dizer que se vale para k vale para k+1, SEMPRE tudo tem que satisfazer > uma condição inicial, que seria o a1 (a partir do qual provaremos que todos > os seus sucessores formam uma PA). > > Concordo com você em dizer que a prova f(an)=f(an-1+r)=f(an-1)+f(r) não foi > uma indução (e não foi mesmo), mas leia mais atentamente a minha Tese: > > " f(ak) é PA de razao f(r) para k inteiro <=n " > > Como eu disse para ak ser PA os antecessores também têm que formar uma PA, e > a "mini-indução" vem aí, se os antecessores não formarem uma PA, mesmo que > para k satisfaça, f(ak) não é pa qualquer que seja k, logo estamos criando > uma hipótese (que é PA para k1<k) para provar uma tese sequencial, o que é > justamente a definição de indução > > Aliás eu mesmo não acho que devia-se tirar ponto por causa de uma coisa tão > boba, mas tiraram de mim, e o gabarito publicado era justamente esse que eu > coloquei aí. O professor que colocou essa questão na prova é matemático puro > (fez curso e doutorado em matemática e não engenharia como os outros). Acho > que é por essa questão que o rigor é importante para ele. Ele pega muito no > pé em relação aos conceitos. Na primeira aula ficou 1 hora discutindo a favor > da indeterminacao do 0 elevado a 0 > > Outro problema nessa mesma prova que me tirou ponto foi provar que > (1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)...(1-1/n) = 1/n, eu substitui por 1/2.2/3.3/4...(n-1/n) > e sai cortando, e essa prova "direta" como você disse me deu 0 de 5. O > problema não pedia indução, mas na outra aula o mesmo professor falava que > esse "sair cortando" é chamada de indução fraca, e não é uma prova concreta > para a matemática. > > Aliás, isso é outra coisa que eu não concordo, tirar ponto por causa de uma > coisa tão boba, mas para ele falta de rigor importa > Estou dizendo isso por experiência própria, só disse o que disse pois se > Hermann pegasse um professor rigoroso comoo meu, poderia perder ponto > Mas se você acha que deveria tirar ponto, faça como quiser, cada um tem a sua > mentalidade > > -- > João Maldonado > > > Date: Fri, 6 Apr 2012 20:11:34 +0200 > > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] insegurança > > From: [email protected] > > To: [email protected] > > > > 2012/4/6 João Maldonado <[email protected]>: > > > O principio esta certo, mas se for uma prova dissertativa, talvez eles nao > > > te dessem nota por nao estar tao completa essa inducao > > > > > > Eu escreveria assim > > > > > > Tese f(ak) é PA de razao f(r) para k inteir <=n > > > Condicao inicial f(a1)=f(a)+f(r) > > > Hipotese f(k)=f(k-1)+f(r) qualquer que seja k inteiro menor que n > > > Prova f(an)=f(an-1+r)=f(an-1)+f(r) > > Isso não é uma indução, é uma prova direta (como a original, > > inclusive). Veja que você não usa que f(a_k) = f(a_{k-1}) + f(r) para > > deduzir a mesma coisa para f(a_{k+1}). A única propriedade necessária > > é a linearidade mesmo. Eu prefiro a forma original, inclusive: > > simples, direta, clara. E se eu estivesse num dia ruim, eu tiraria > > pontos da sua, porque ficaria com a impressão que o aluno está > > tentando me enrolar. > > > > -- > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > =========================================================================
