Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[samuel]

... Haha,

Tem um detalhe sutil aí na prova que o Petrúcio apresentou,

Apesar de ser "raciocínio calculacional", pra provar o que ela quer provar, 
digamos assim, precisa do Axioma da Escolha,

No sentido de que o argumento essencialmente diz que:

"Dada uma funcao de X em Partes de X, ela nao tem inversa à direita"

Só que a implicacao

"não ter inversa à direita" --> "não é sobrejetora"

é equivalente a

"a função é sobrejetora" > "tem inversa à direita"

e esta última é uma equivalência do Axioma da Escolha 

Gostei hehe...

Atés, bom final de semana, 

[]s  Samuel



Em sexta-feira, 5 de março de 2021 às 17:29:22 UTC-4, Petrucio Viana 
escreveu:

> Oi João,
> acredito que o artigo ao qual ele está se referindo seja este aqui:
>
> On calculational proofs 
> 
>
>1. Vladimir Lifschitz
>
> Annals of Pure and Applied Logic 
> 
> Volume 113, Issues 1–3 
> , 27 
> December 2001, Pages 207-224
>
>
> Em sex., 5 de mar. de 2021 às 17:04, Joao Marcos  
> escreveu:
>
>> Belo exemplo do "raciocínio calculacional" de Dijkstra, Petrucio!
>>
>> Em um post recente na FOM (do qual eu tirei o link que enviei aqui na
>> lista esta semana para o arquivo do Dijkstra) o Vladik Kreinovich
>> escreveu:
>> "Examples of calculational proofs in Edsger’s writings were so
>> impressive that I even asked myself whether every possible use of
>> natural deduction in classical logic can be replaced, in principle, by
>> calculational reasoning. The answer turned out to be yes (published in
>> the Annals of Pure and Applied Logic in 2002)."
>> https://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2021-March/022524.html
>>
>> Você saberia dizer a qual paper no APAL ele se refere?
>>
>> Abraços,
>> Joao Marcos
>>
>> On Fri, Mar 5, 2021 at 3:16 PM Petrucio Viana  
>> wrote:
>> >
>> > Boa tarde,
>> > segue uma maneira "intuitiva" (construtiva?), devida a Dijkstra e 
>> Misra, de provar o teorema de Cantor.
>> > Ela condensa a ideia usada na prova que o Samuel apresentou, exibindo 
>> de maneira natural o conjunto que "estraga" a bijeção.
>> >
>> > Teorema: Para todas as funções F de X em P(X) e g de P(X) em X, Fog =/= 
>> Id.
>> >
>> > Prova:
>> > Sejam F e g tais funções.
>> >
>> > Temos que:
>> >
>> > Fog =/= Id
>> >
>> > é equivalente a
>> >
>> > existe Y em P(X) tal que Y =/= F(g(Y))
>> >
>> > é consequência de
>> >
>> > existe Y em P(X) tal que [g(Y) pertence a Y não é equivalente a g(Y) 
>> pertence a F(g(Y)]
>> >
>> > é consequência de
>> >
>> > existe Y em P(X) tal que para todo x {[x pertence a Y] é equivalente a 
>> [x não pertence a F(x)]}
>> >
>> > tomando (o candidato natural exposto pela passagem acima) Y = { x : x 
>> não pertence a F(x) } isto é equivalente a
>> >
>> > verdadeiro.
>> > QED
>> >
>> > Em qui., 4 de mar. de 2021 às 17:52, Joao Marcos  
>> escreveu:
>> >>
>> >> > Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído", 
>> concordo...)
>> >>
>> >> E por falar em Terceiro Excluído, Samuel, você saberia explicar em
>> >> termos pedestres até onde conseguiríamos levar o argumento da
>> >> diagonalização, digamos, em *CZF*, se assumirmos o axioma segundo
>> >> o qual todo conjunto é subcontável?
>> >>
>> >> []s, Joao Marcos
>> >>
>> >>
>> >> --
>> >> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>> >>
>> >> --
>> >> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo 
>> "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
>> >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, 
>> envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
>> >> Para ver esta discussão na web, acesse 
>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghbEJLz_key_MLrks16WSXx%3D4NeYsj%3D08d2NO44HQKdA%40mail.gmail.com
>> .
>>
>>
>>
>> -- 
>> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>>
>> -- 
>> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" 
>> dos Grupos do Google.
>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, 
>> envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
>>
> Para ver esta discussão na web, acesse 
>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LigzB4LaC3G8h_HtijEHP2-3%3D-wfO03tjETohpEnUir4g%40mail.gmail.com
>> .
>>
>

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/4f1998a2-2bcf-40ee-9114-976144297ccan%40dimap.ufrn.br.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Petrucio Viana]

Oi João,
acredito que o artigo ao qual ele está se referindo seja este aqui:

On calculational proofs


   1. Vladimir Lifschitz

Annals of Pure and Applied Logic

Volume 113, Issues 1–3
, 27 December
2001, Pages 207-224


Em sex., 5 de mar. de 2021 às 17:04, Joao Marcos 
escreveu:

> Belo exemplo do "raciocínio calculacional" de Dijkstra, Petrucio!
>
> Em um post recente na FOM (do qual eu tirei o link que enviei aqui na
> lista esta semana para o arquivo do Dijkstra) o Vladik Kreinovich
> escreveu:
> "Examples of calculational proofs in Edsger’s writings were so
> impressive that I even asked myself whether every possible use of
> natural deduction in classical logic can be replaced, in principle, by
> calculational reasoning. The answer turned out to be yes (published in
> the Annals of Pure and Applied Logic in 2002)."
> https://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2021-March/022524.html
>
> Você saberia dizer a qual paper no APAL ele se refere?
>
> Abraços,
> Joao Marcos
>
> On Fri, Mar 5, 2021 at 3:16 PM Petrucio Viana 
> wrote:
> >
> > Boa tarde,
> > segue uma maneira "intuitiva" (construtiva?), devida a Dijkstra e Misra,
> de provar o teorema de Cantor.
> > Ela condensa a ideia usada na prova que o Samuel apresentou, exibindo de
> maneira natural o conjunto que "estraga" a bijeção.
> >
> > Teorema: Para todas as funções F de X em P(X) e g de P(X) em X, Fog =/=
> Id.
> >
> > Prova:
> > Sejam F e g tais funções.
> >
> > Temos que:
> >
> > Fog =/= Id
> >
> > é equivalente a
> >
> > existe Y em P(X) tal que Y =/= F(g(Y))
> >
> > é consequência de
> >
> > existe Y em P(X) tal que [g(Y) pertence a Y não é equivalente a g(Y)
> pertence a F(g(Y)]
> >
> > é consequência de
> >
> > existe Y em P(X) tal que para todo x {[x pertence a Y] é equivalente a
> [x não pertence a F(x)]}
> >
> > tomando (o candidato natural exposto pela passagem acima) Y = { x : x
> não pertence a F(x) } isto é equivalente a
> >
> > verdadeiro.
> > QED
> >
> > Em qui., 4 de mar. de 2021 às 17:52, Joao Marcos 
> escreveu:
> >>
> >> > Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído",
> concordo...)
> >>
> >> E por falar em Terceiro Excluído, Samuel, você saberia explicar em
> >> termos pedestres até onde conseguiríamos levar o argumento da
> >> diagonalização, digamos, em *CZF*, se assumirmos o axioma segundo
> >> o qual todo conjunto é subcontável?
> >>
> >> []s, Joao Marcos
> >>
> >>
> >> --
> >> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
> >>
> >> --
> >> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo
> "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
> >> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele,
> envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> >> Para ver esta discussão na web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghbEJLz_key_MLrks16WSXx%3D4NeYsj%3D08d2NO44HQKdA%40mail.gmail.com
> .
>
>
>
> --
> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>
> --
> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L"
> dos Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para ver esta discussão na web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LigzB4LaC3G8h_HtijEHP2-3%3D-wfO03tjETohpEnUir4g%40mail.gmail.com
> .
>

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CACRvmVTPUvRWCjLJL52%3D4dQSpMroxys7HfcXXCiJAjziEgT16Q%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Valeria de Paiva]

pra logicos brasileiros que gostam de  brincadeiras de matematicos franceses
http://www.neverendingbooks.org/wheres-bourbakis-tomb
boa sexta!
Valeria

On Thu, Mar 4, 2021 at 1:09 PM samuel  wrote:

> ... Humm... Nâo tenho muita experiência com Teoria dos Conjuntos
> construtiva "pra valer" (ir lá dentro e mexer mesmo nesses sistemas, pro
> tipo
> de coisa que eu faço o "construtivo" é simplesmente ZF mas aí eu mantenho
> o Terceiro Excluído ainda), mas se assumimos que todo subconjunto infinito
> tem um subconjunto enumerável infinito a idéia seria fazer o argumento de
> Cantor dentro desse subconjunto enumerável e obter aí o subconjunto que não
> pertence à imagem da função fixada de X em Partes de X;  agora como
> eliminar a análise de casos ou a prova
> por contradição eu teria que pensar um momento, não vejo como agora.
>
> Até
>
> []s  Samuel
>
> Em quinta-feira, 4 de março de 2021 às 16:52:52 UTC-4, Joao Marcos
> escreveu:
>
>> > Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído",
>> concordo...)
>>
>> E por falar em Terceiro Excluído, Samuel, você saberia explicar em
>> termos pedestres até onde conseguiríamos levar o argumento da
>> diagonalização, digamos, em *CZF*, se assumirmos o axioma segundo
>> o qual todo conjunto é subcontável?
>>
>> []s, Joao Marcos
>>
>>
>> --
>> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/3439ca50-4be9-49ad-b22b-86f5cea76976n%40dimap.ufrn.br
> 
> .
>


-- 
Valeria de Paiva
http://vcvpaiva.github.io/
http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXsASgYWH34AHvXzAPfikQ_XtZsfPLDgJu5Ci2npbCzLTw%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Petrucio Viana]

Boa tarde,
segue uma maneira "intuitiva" (construtiva?), devida a Dijkstra e Misra, de
provar o teorema de Cantor.
Ela condensa a ideia usada na prova que o Samuel apresentou, exibindo de
maneira natural o conjunto que "estraga" a bijeção.

Teorema: Para todas as funções F de X em P(X) e g de P(X) em X, Fog =/= Id.

Prova:
Sejam F e g tais funções.

Temos que:

Fog =/= Id

é equivalente a

existe Y em P(X) tal que Y =/= F(g(Y))

é consequência de

existe Y em P(X) tal que [g(Y) pertence a Y não é equivalente a g(Y)
pertence a F(g(Y)]

é consequência de

existe Y em P(X) tal que para todo x {[x pertence a Y] é equivalente a [x
não pertence a F(x)]}

tomando (o candidato natural exposto pela passagem acima) Y = { x : x não
pertence a F(x) } isto é equivalente a

verdadeiro.
QED

Em qui., 4 de mar. de 2021 às 17:52, Joao Marcos 
escreveu:

> > Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído",
> concordo...)
>
> E por falar em Terceiro Excluído, Samuel, você saberia explicar em
> termos pedestres até onde conseguiríamos levar o argumento da
> diagonalização, digamos, em *CZF*, se assumirmos o axioma segundo
> o qual todo conjunto é subcontável?
>
> []s, Joao Marcos
>
>
> --
> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>
> --
> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L"
> dos Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para ver esta discussão na web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghbEJLz_key_MLrks16WSXx%3D4NeYsj%3D08d2NO44HQKdA%40mail.gmail.com
> .
>

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e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Joao Marcos]

> Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído", concordo...)

E por falar em Terceiro Excluído, Samuel, você saberia explicar em
termos pedestres até onde conseguiríamos levar o argumento da
diagonalização, digamos, em *CZF*, se assumirmos o axioma segundo
o qual todo conjunto é subcontável?

[]s, Joao Marcos


--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LghbEJLz_key_MLrks16WSXx%3D4NeYsj%3D08d2NO44HQKdA%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[samuel]

Oi gente,

Só pra dar um "pitaco",

A prova do Teorema de Cantor não precisa ser por contradição, na verdade 
quando escolhemos o contradomínio como {0,1} acredito que já estamos 
embutindo aí possivelmente o Terceiro Excluído quase todo e dá pra fazer 
uma prova "quase direta", vai ter só uma análise de casos. 

Ou seja, depois de muitos anos fazendo isso com alunos eu não começo com

"Suponha por absurdo que eu tenha uma enumeração de todas as sequências 
binárias infinitas"

e sim com

"Considere qualquer funcao fixada dos naturais nas sequências binárias 
infinitas, eu vou mostrar que essa função não é sobrejetora"

pois se não existir funcao sobrejetora, em particular nao vai existir 
bijecao...

(Aliás, aqui que é o ponto que eu acho que é o mais problemático de "querer 
prever quem está na diagonal fazendo uma enumeração
esperta", o teorema não fala de enumerações espertas, o teorema fala de 
TODAS AS ENUMERAÇÕES POSSÍVEIS, ou seja, para
qualquer enumeração que você faça tem uma sequência que não aparece na 
lista. Eu particularmente não vejo interesse
em ver o que ocorre com uma enumeração fixada, eu quero saber o que ocorre 
para qualquer uma arbitrária)

Ao invés de fazer a tal prova (que eu acho um pouco mais construtiva) para 
sequências infinitas de zeros e uns, vou fazer a prova para X e Partes de 
(X), para qualquer conjunto X (que não precisa ser enumerável, nao precisa 
ser N, nao preciso pensar em números reais...). Claro que se você pega 
X = N aqui você identifica Partes de N com as sequencias infinitas de zeros 
e uns e cai no caso anterior, mas isso é outra história...

Teorema: Dado um conjunto X e uma funcao qualquer de X em Partes de X, essa 
funcao nao é sobrejetora.

dem.  Seja f: X --> Partes de X uma funcao qualquer.

Afirmo que Y = {x em X: x não pertence a f(x)} não está na imagem da função.

Aqui não vou supor por absurdo que Y é f de alguém e chegar numa 
contradição, o que eu faço é afirmar:

*Dado qualquer x em X, f(x) é diferente de Y.*

Aí que vem a única análise de casos ("uso do Terceiro Excluído", 
concordo...)

Se x pertence a f(x),  entao x não pertence a Y.

Se x não pertence a f(x), entao x pertence a Y.

Logo, para todo x, eu uso ele mesmo para mostrar que f(x) e Y são 
diferentes (de um jeito ou de outro, conforme o caso).

Atés,

[]s  Samuel






Em quinta-feira, 4 de março de 2021 às 16:00:40 UTC-4, Joao Marcos escreveu:

> > Meu ponto (ao menos um deles) é que ao escolhermos uma enumeração 
> específica podemos determinar a sequência que não faz parte da enumeração.
> > Isso ainda me parece ser verdadeiro. Mas isso não me leva a nenhuma 
> outra conclusão.
>
> Bem, para avaliar tal asserção seria necessário determinar o
> significado do verbo "determinar". Dependendo do que você quer dizer
> com isso, a sua primeira sentença acima pode ser verdadeira... ou,
> mais provavelmente, falsa! (Note, por exemplo, que o _complemento_ do
> conjunto que contém os números da sua sequência não é um conjunto
> enumerável.)
>
> JM
>
> --
> http://sequiturquodlibet.googlepages.com/
>

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
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e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/221276d7-a418-4b74-be95-b20c2af6c965n%40dimap.ufrn.br.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Joao Marcos]

> Meu ponto (ao menos um deles) é que ao escolhermos uma enumeração específica 
> podemos determinar a sequência que não faz parte da enumeração.
> Isso ainda me parece ser verdadeiro. Mas isso não me leva a nenhuma outra 
> conclusão.

Bem, para avaliar tal asserção seria necessário determinar o
significado do verbo "determinar".  Dependendo do que você quer dizer
com isso, a sua primeira sentença acima pode ser verdadeira... ou,
mais provavelmente, falsa!  (Note, por exemplo, que o _complemento_ do
conjunto que contém os números da sua sequência não é um conjunto
enumerável.)

JM

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

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https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LiD7Xjv15oSz01_mWw-ep82FLr34rn%2BF26O36349U9eCg%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Rodrigo Pinto]

Obrigado a todos pelas observações.

Meu ponto (ao menos um deles) é que ao escolhermos uma enumeração 
específica podemos determinar a sequência que não faz parte da enumeração.
Isso ainda me parece ser verdadeiro. Mas isso não me leva a nenhuma outra 
conclusão.

Um outro ponto que me parece ser interessante e me parece ser verdadeiro 
(talvez eu esteja equivocado). É o seguinte:
Isso não está diretamente relacionada à questão (diagonalização).
Se estamos usando o sistema binário para representar os números naturais me 
parece possível dizer que o maior número (o infinito) será representado por 
uma sequência infinita de dígitos 1. Vocês consideram essa afirmação 
verdadeira?

Obrigado novamente.

Rodrigo


On Thursday, March 4, 2021 at 1:08:20 PM UTC-3 Joao Marcos wrote:

> > Talvez não contribua para uma "solução para esta discussão",
> > mas esta nota (Leron e Moran) diz respeito a um "aspecto positivo" do 
> Método da Diagonal
> > que, me parece, é algo que o Rodrigo está querendo enfocar...
> >
> > 
> https://www.jstor.org/stable/27963787?refreqid=excelsior%3A361824b6beb9d2cd2a4ef5c98450f0fd=1#metadata_info_tab_contents
>
> O aspecto positivo é relevante para a discussão, sim, Petrúcio: toda
> lista desses transeuntes deixa algum deles de fora!
>
> JM
>
>
> PS: Também isto é relevante, para o lado do humor:
> https://xkcd.com/468/
>

-- 
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https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/1a6e7ca4-05df-49a5-a758-8e17bcbe4ca7n%40dimap.ufrn.br.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Joao Marcos]

> Talvez não contribua para uma "solução para esta discussão",
> mas esta nota (Leron e Moran) diz respeito a um "aspecto positivo" do Método 
> da Diagonal
> que, me parece, é algo que o Rodrigo está querendo enfocar...
>
> https://www.jstor.org/stable/27963787?refreqid=excelsior%3A361824b6beb9d2cd2a4ef5c98450f0fd=1#metadata_info_tab_contents

O aspecto positivo é relevante para a discussão, sim, Petrúcio: toda
lista desses transeuntes deixa algum deles de fora!

JM


PS: Também isto é relevante, para o lado do humor:
https://xkcd.com/468/

-- 
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Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um 
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Para ver esta discussão na web, acesse 
https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lgckj1nZKr23XjVMG%2BzvKL5D4_yDjZH6wxfRPZpZF7X4g%40mail.gmail.com.

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Petrucio Viana]

Boa tarde!

Talvez não contribua para uma "solução para esta discussão",
mas esta nota (Leron e Moran) diz respeito a um "aspecto positivo" do
Método da Diagonal
que, me parece, é algo que o Rodrigo está querendo enfocar...

https://www.jstor.org/stable/27963787?refreqid=excelsior%3A361824b6beb9d2cd2a4ef5c98450f0fd=1#metadata_info_tab_contents

abraços
P

Em qua., 3 de mar. de 2021 às 23:20, Alfredo Roque Freire <
alfrfre...@gmail.com> escreveu:

> Olá Rodrigo,
>
> Você diz que "Em nenhum momento é dito nada sobre real, racional ou
> irracional". Porém, afirma na sua primeira mensagem que
> "mas me parece que construído dessa maneira, acaba derrubando o ponto
> central da argumentação do Cantor".
> O que seria, nesse caso, esse ponto central da argumentação de Cantor? Ao
> que parece, o ponto central do argumento da diagonal é
> determinar se *"os reais têm ou não o 'mesmo tamanho' dos naturais"*
> (sendo 'mesmo tamanho' a existência de uma bijeção entre os dois conjuntos).
> Quando elabora uma L que lista reais a partir de números naturais, é
> preciso que essa lista seja exaustiva. Caso contrário, qual é o
> significado de dizer que existe um real fora da lista? A sequência
> (1,2,3,4,...) lista números reais -- e sabemos que 1,5 não foi listado.
> Isso parece equivalente
> à construção que tentou fazer.
>
> Abs,
> Alfredo.
>
> --
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> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
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> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAHk6N6b0rzkCrt9Jdpw3eLXLe3mRz5WTwJSMxsc6OVD5cAbPqg%40mail.gmail.com
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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Alfredo Roque Freire]

Olá Rodrigo,

Você diz que "Em nenhum momento é dito nada sobre real, racional ou
irracional". Porém, afirma na sua primeira mensagem que
"mas me parece que construído dessa maneira, acaba derrubando o ponto
central da argumentação do Cantor".
O que seria, nesse caso, esse ponto central da argumentação de Cantor? Ao
que parece, o ponto central do argumento da diagonal é
determinar se *"os reais têm ou não o 'mesmo tamanho' dos naturais"* (sendo
'mesmo tamanho' a existência de uma bijeção entre os dois conjuntos).
Quando elabora uma L que lista reais a partir de números naturais, é
preciso que essa lista seja exaustiva. Caso contrário, qual é o
significado de dizer que existe um real fora da lista? A sequência
(1,2,3,4,...) lista números reais -- e sabemos que 1,5 não foi listado.
Isso parece equivalente
à construção que tentou fazer.

Abs,
Alfredo.

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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Joao Marcos]

> T é descrita somente como "Seja T o conjunto T de todas as sequências 
> infinitas de dígitos binários."

Corrigindo: "Seja T o conjunto de todas as sequências infinitas de
dígitos binários."

> e depois desenvolve o argumento como "Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é qualquer 
> enumeração dos elementos de T,

Esta é a suposição que inicia o raciocínio por contradição (já
apontado pelo Alfredo).
Sua forma lógica é: suponha que existe uma sobrejeção dos naturais em T.

> então existe sempre um elemento s de T que não corresponde a nenhum s_n na 
> enumeração."

Exato.  A alegada sobrejeção deixou alguém de fora.  O sonho acabou.

> O problema me parece ser que ao criar uma regra para enumerar T eu acabo 
> limitando a possibilidade de determinadas sequências aparecerem.

A alegada sobrejeção, de fato, poderia ter sido descrita por uma
"regra" criada por alguém...  Ou não.

JM

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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Rodrigo Pinto]

quando eu disse "Em nenhum momento é dito nada sobre real, racional ou 
imaginário ", eu quis dizer "Em nenhum momento é dito nada sobre real, 
racional ou irracional"

On Wednesday, March 3, 2021 at 10:21:31 PM UTC-3 Rodrigo Pinto wrote:

> Creio entender as argumentações e percebo que minha linha argumentativa se 
> dirige a um precipício, mas gostaria de fazer uma observação.
> Em nenhum momento é dito nada sobre real, racional ou imaginário (sim, eu 
> sei que é isso que está por trás). 
> T é descrita somente como "Seja T o conjunto T de todas as sequências 
> infinitas de dígitos binários."
> e depois desenvolve o argumento como "Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é 
> qualquer enumeração dos elementos de T, então existe sempre um elemento s 
> de T que não corresponde a nenhum s_n na enumeração."
> O problema me parece ser que ao criar uma regra para enumerar T eu acabo 
> limitando a possibilidade de determinadas sequências aparecerem.
>
> Obrigado
>
> Rodrigo
>
>
> On Wednesday, March 3, 2021 at 10:07:29 PM UTC-3 Joao Marcos wrote:
>
>> > é verdade, endosso o argumento do Alfredo: sua lista não tem nenhum 
>> número irracional :-) 
>> > 
>> > E mais ainda : que número 'natural" infinito seria essa "sequência 
>> infinita de dígitos 1"? 
>> > 
>> > Se entendi bem é 0,111...111..? 
>> > 
>> > Mas esse é um racional... 
>>
>> Daí já dá para ver também que há um montão de racionais (e inclusive 
>> _números_ racionais, haha) que ficaram de fora. 
>>
>> JM 
>>
>

-- 
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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Rodrigo Pinto]

Creio entender as argumentações e percebo que minha linha argumentativa se 
dirige a um precipício, mas gostaria de fazer uma observação.
Em nenhum momento é dito nada sobre real, racional ou imaginário (sim, eu 
sei que é isso que está por trás). 
T é descrita somente como "Seja T o conjunto T de todas as sequências 
infinitas de dígitos binários."
e depois desenvolve o argumento como "Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é 
qualquer enumeração dos elementos de T, então existe sempre um elemento s 
de T que não corresponde a nenhum s_n na enumeração."
O problema me parece ser que ao criar uma regra para enumerar T eu acabo 
limitando a possibilidade de determinadas sequências aparecerem.

Obrigado

Rodrigo


On Wednesday, March 3, 2021 at 10:07:29 PM UTC-3 Joao Marcos wrote:

> > é verdade, endosso o argumento do Alfredo: sua lista não tem nenhum 
> número irracional :-)
> >
> > E mais ainda : que número 'natural" infinito seria essa "sequência 
> infinita de dígitos 1"?
> >
> > Se entendi bem é 0,111...111..?
> >
> > Mas esse é um racional...
>
> Daí já dá para ver também que há um montão de racionais (e inclusive
> _números_ racionais, haha) que ficaram de fora.
>
> JM
>

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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Joao Marcos]

>  é verdade,  endosso o argumento do Alfredo:  sua lista não tem nenhum número 
> irracional :-)
>
> E mais ainda : que número 'natural" infinito seria essa "sequência infinita 
> de dígitos 1"?
>
> Se entendi bem é 0,111...111..?
>
> Mas esse é um racional...

Daí já dá para ver também que há um montão de racionais (e inclusive
_números_ racionais, haha) que ficaram de fora.

JM

-- 
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Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Walter Alexandre Carnielli]

Olá Rodrigo,

 é verdade,  endosso o argumento do Alfredo:  sua lista não tem nenhum
número irracional :-)


E mais ainda : que número 'natural" infinito seria essa "sequência infinita
de dígitos 1"?

Se entendi bem é 0,111...111..?

Mas esse é um racional...

Abraços,

Walter



Em qua, 3 de mar de 2021 20:17, Alfredo Roque Freire 
escreveu:

> Olá Rodrigo.
>
> O problema no argumento que fez é que o modo como enumerou números reais
> não captura todos os números reais. No argumento de Cantor, supomos *(por
> contradição) *que a *lista de todos os reais* é contável.
> O que você fez não foi isso. Você mostrou um modo de listar números reais.
> Mas note que a sequência 010101010 não será listada. Mais ainda, note
> que todos os números listados pelo seu procedimento são racionais, afinal,
> a partir de um determinado dígito, todos os demais são zero.
> De fato, a sequência 111... não será listada no processo que definiu. Mas
> isso não tem relação com o propósito do argumento: a suposição de que a
> lista de *todos* os reais é contável.
>
> Espero ter ajudado,
> Alfredo
>
>
> On Wed, Mar 3, 2021 at 7:24 PM Rodrigo Pinto  wrote:
>
>> Boa noite, sou engenheiro eletrônico (computação) mas gosto muito de
>> algumas áreas da matemática e da lógica (Godel, Cantor entre outros).
>> Acredito que minhas reflexões a respeito do argumento de diagonalização
>> de Cantor não sejam off-topic numa lista de lógica, e espero que meu meu
>> texto atraia um pouco de atenção e receba comentários dos professor e
>> alunos (e outros) da lista.
>> Por não ser matemático (nem  lógico) talvez o vocabulário que eu utilize
>> não seja o de uso corrente na área. Espero que me perdoem.
>>
>> Usando a definição da wikipedia (
>> https://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento_de_diagonaliza%C3%A7%C3%A3o_de_Cantor
>> ) apenas para introduzir a questão:
>>
>> Seja T o conjunto T de todas as sequências infinitas de dígitos binários.
>> Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é qualquer enumeração dos elementos de T,
>> então existe sempre um elemento s de T que não corresponde a nenhum s_n na
>> enumeração.
>>
>> Minha ideia é escolher uma sequência específica s_1, s_2, ... , s_n ...
>> de tal maneira que o elemento s que não corresponde a nenhum s_n na
>> enumeração seja um elemento específico (previsível).
>> Não sei se quebrei alguma regra do jogo no meio do caminho, mas a ideia é
>> bem simples e de fácil exposição.
>>
>> Digamos que a sequência s_1, s_2, ... , s_n ...  seja construída da
>> seguinte maneira.
>> Imaginemos a sequência de números naturais quando representada em
>> binário, entre parênteses o natural em decimal correspondente:
>> 0(0), 1(1), 10(2), 11(3), etc. Vamos escrever os dígitos binários desses
>> números de trás pra frente e complementamos essa sequência de dígitos com
>> uma sequência infinita de zeros.
>> Ou seja,
>>
>> s_1  = 00...
>> s_2  = 10...
>> s_3  = 01...
>> s_4  = 11...
>> s_5  = 001000...
>> s_6  = 101000...
>> s_7  = 011000...
>> s_8  = 111000...
>> s_9  = 000100...
>> s_10 = 100100...
>> s_11 = 010100...
>> s_12 = 110100...
>> s_13 = 001100...
>> s_14 = 101100...
>> s_15 = 011100...
>> s_16 = 00...
>> (...)
>>
>> Agora contruímos uma sequência s da maneira que Cantor faz, ele constrói
>> a sequência s escolhendo seu n-ésimo dígito como um complemento para o
>> n-ésimo dígito de s_n, para cada n. No exemplo, isso resulta em:
>>
>> s = 11...
>>
>> Ou seja, o número que não aparece na enumeração é a sequência infinita de
>> dígitos 1.
>>
>> Por outro lado, dada a regra de formação da sequência podemos estabelecer
>> uma relação direta entre um número natural n e uma sequência s_n. Nesse
>> caso, o número n -> s_m  (onde m=n+1) e a sequência s que não aparece na
>> enumeração é exatamente a sequência que corresponde ao número 'natural"
>> infinito (uma sequência infinita de dígitos 1).
>>
>> Não sei se estou errando na interpretação, mas me parece que construído
>> dessa maneira, acaba derrubando o ponto central da argumentação do Cantor.
>>
>> Comentários/correções são benvindos.
>>
>> Rodrigo
>>
>> --
>> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
>> Grupos do Google.
>> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele,
>> envie um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
>> Para ver essa discussão na Web, acesse
>> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/bb09a1fe-cea3-416e-91ce-fc9cf3e2e375n%40dimap.ufrn.br
>> 
>> .
>>
>
>
> --
> Alfredo Roque Freire
>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> 

Re: [Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Alfredo Roque Freire]

Olá Rodrigo.

O problema no argumento que fez é que o modo como enumerou números reais
não captura todos os números reais. No argumento de Cantor, supomos *(por
contradição) *que a *lista de todos os reais* é contável.
O que você fez não foi isso. Você mostrou um modo de listar números reais.
Mas note que a sequência 010101010 não será listada. Mais ainda, note
que todos os números listados pelo seu procedimento são racionais, afinal,
a partir de um determinado dígito, todos os demais são zero.
De fato, a sequência 111... não será listada no processo que definiu. Mas
isso não tem relação com o propósito do argumento: a suposição de que a
lista de *todos* os reais é contável.

Espero ter ajudado,
Alfredo


On Wed, Mar 3, 2021 at 7:24 PM Rodrigo Pinto  wrote:

> Boa noite, sou engenheiro eletrônico (computação) mas gosto muito de
> algumas áreas da matemática e da lógica (Godel, Cantor entre outros).
> Acredito que minhas reflexões a respeito do argumento de diagonalização de
> Cantor não sejam off-topic numa lista de lógica, e espero que meu meu texto
> atraia um pouco de atenção e receba comentários dos professor e alunos (e
> outros) da lista.
> Por não ser matemático (nem  lógico) talvez o vocabulário que eu utilize
> não seja o de uso corrente na área. Espero que me perdoem.
>
> Usando a definição da wikipedia (
> https://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento_de_diagonaliza%C3%A7%C3%A3o_de_Cantor
> ) apenas para introduzir a questão:
>
> Seja T o conjunto T de todas as sequências infinitas de dígitos binários.
> Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é qualquer enumeração dos elementos de T,
> então existe sempre um elemento s de T que não corresponde a nenhum s_n na
> enumeração.
>
> Minha ideia é escolher uma sequência específica s_1, s_2, ... , s_n ... de
> tal maneira que o elemento s que não corresponde a nenhum s_n na enumeração
> seja um elemento específico (previsível).
> Não sei se quebrei alguma regra do jogo no meio do caminho, mas a ideia é
> bem simples e de fácil exposição.
>
> Digamos que a sequência s_1, s_2, ... , s_n ...  seja construída da
> seguinte maneira.
> Imaginemos a sequência de números naturais quando representada em binário,
> entre parênteses o natural em decimal correspondente:
> 0(0), 1(1), 10(2), 11(3), etc. Vamos escrever os dígitos binários desses
> números de trás pra frente e complementamos essa sequência de dígitos com
> uma sequência infinita de zeros.
> Ou seja,
>
> s_1  = 00...
> s_2  = 10...
> s_3  = 01...
> s_4  = 11...
> s_5  = 001000...
> s_6  = 101000...
> s_7  = 011000...
> s_8  = 111000...
> s_9  = 000100...
> s_10 = 100100...
> s_11 = 010100...
> s_12 = 110100...
> s_13 = 001100...
> s_14 = 101100...
> s_15 = 011100...
> s_16 = 00...
> (...)
>
> Agora contruímos uma sequência s da maneira que Cantor faz, ele constrói a
> sequência s escolhendo seu n-ésimo dígito como um complemento para o
> n-ésimo dígito de s_n, para cada n. No exemplo, isso resulta em:
>
> s = 11...
>
> Ou seja, o número que não aparece na enumeração é a sequência infinita de
> dígitos 1.
>
> Por outro lado, dada a regra de formação da sequência podemos estabelecer
> uma relação direta entre um número natural n e uma sequência s_n. Nesse
> caso, o número n -> s_m  (onde m=n+1) e a sequência s que não aparece na
> enumeração é exatamente a sequência que corresponde ao número 'natural"
> infinito (uma sequência infinita de dígitos 1).
>
> Não sei se estou errando na interpretação, mas me parece que construído
> dessa maneira, acaba derrubando o ponto central da argumentação do Cantor.
>
> Comentários/correções são benvindos.
>
> Rodrigo
>
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+unsubscr...@dimap.ufrn.br.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/bb09a1fe-cea3-416e-91ce-fc9cf3e2e375n%40dimap.ufrn.br
> 
> .
>


-- 
Alfredo Roque Freire

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[Logica-l] Reflexões acerca do argumento de diagonalização de Cantor.

[Rodrigo Pinto]

Boa noite, sou engenheiro eletrônico (computação) mas gosto muito de 
algumas áreas da matemática e da lógica (Godel, Cantor entre outros).
Acredito que minhas reflexões a respeito do argumento de diagonalização de 
Cantor não sejam off-topic numa lista de lógica, e espero que meu meu texto 
atraia um pouco de atenção e receba comentários dos professor e alunos (e 
outros) da lista. 
Por não ser matemático (nem  lógico) talvez o vocabulário que eu utilize 
não seja o de uso corrente na área. Espero que me perdoem. 

Usando a definição da wikipedia 
(https://pt.wikipedia.org/wiki/Argumento_de_diagonaliza%C3%A7%C3%A3o_de_Cantor 
) apenas para introduzir a questão:

Seja T o conjunto T de todas as sequências infinitas de dígitos binários.
Se s_1, s_2, ... , s_n, ... é qualquer enumeração dos elementos de T, então 
existe sempre um elemento s de T que não corresponde a nenhum s_n na 
enumeração.

Minha ideia é escolher uma sequência específica s_1, s_2, ... , s_n ... de 
tal maneira que o elemento s que não corresponde a nenhum s_n na enumeração 
seja um elemento específico (previsível).
Não sei se quebrei alguma regra do jogo no meio do caminho, mas a ideia é 
bem simples e de fácil exposição.

Digamos que a sequência s_1, s_2, ... , s_n ...  seja construída da 
seguinte maneira. 
Imaginemos a sequência de números naturais quando representada em binário, 
entre parênteses o natural em decimal correspondente:
0(0), 1(1), 10(2), 11(3), etc. Vamos escrever os dígitos binários desses 
números de trás pra frente e complementamos essa sequência de dígitos com 
uma sequência infinita de zeros. 
Ou seja,

s_1  = 00...
s_2  = 10...
s_3  = 01...
s_4  = 11...
s_5  = 001000...
s_6  = 101000...
s_7  = 011000...
s_8  = 111000...
s_9  = 000100...
s_10 = 100100...
s_11 = 010100...
s_12 = 110100...
s_13 = 001100...
s_14 = 101100...
s_15 = 011100...
s_16 = 00...
(...)

Agora contruímos uma sequência s da maneira que Cantor faz, ele constrói a 
sequência s escolhendo seu n-ésimo dígito como um complemento para o 
n-ésimo dígito de s_n, para cada n. No exemplo, isso resulta em:

s = 11...

Ou seja, o número que não aparece na enumeração é a sequência infinita de 
dígitos 1. 

Por outro lado, dada a regra de formação da sequência podemos estabelecer 
uma relação direta entre um número natural n e uma sequência s_n. Nesse 
caso, o número n -> s_m  (onde m=n+1) e a sequência s que não aparece na 
enumeração é exatamente a sequência que corresponde ao número 'natural" 
infinito (uma sequência infinita de dígitos 1).

Não sei se estou errando na interpretação, mas me parece que construído 
dessa maneira, acaba derrubando o ponto central da argumentação do Cantor.

Comentários/correções são benvindos.

Rodrigo

-- 
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos 
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