Re: [obm-l] Geometria
André, isso é falso. Sejam O o centro e R o raio da semicircunferência e, no sentido anti-horário a partir de O, os vértices do hexágono regular A, B, C, D, E e F. Sabemos que OC = R, que AC = o dobro da altura de um triângulo eqüilátero = L*sqrt(3), sendo L o lado do hexágono regular, e, finalmente, que OA = L/2. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAC: (OC)^2 = (OA)^2 + (AC)^2 == R^2 = (L/2)^2 + (L*sqrt(3))^2 == R = L*sqrt(13)/2 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Andre [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 1:04 AM Subject: Re: [obm-l] Geometria Bem, Como ele diz que o hexágono é equilátero, logo temos 6 triângulos equiláteros que formam o hexágono. O que eu vi foi o seguinte : o triângulo que está com a base no diâmetro tem como altura o próprio raio da semi-circunferência. Então : R = L(3) / 2 , (3) = raiz e L = lado do triângulo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livros da editora MIR - correção
Obrigado. Outra coisa Prof. Morgado: Eu tenho o livro Geometria I , e la ha um exercicio muito interessante e dificil, acho que eu ja pus uma variacao dele... esta na pagina 111, bom, o senhor o desenvolveu ou pegou de algum livro ? se foi de algum livro, qual foi ? muito obrigado, victor. - Original Message - From: Augusto Cesar de Oliveira Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 13, 2004 11:21 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livros da editora MIR - correção Tenho os de numeros 1, 3 e 6. 1 e 3 sao mais dificeis. 6 eh mais facil, embora de materia mais avançada. O do Pogorelov, se for o livro que penso, eh mais facil. Nao conheço os outros dois. Não. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: "Victor Machado" [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sat, 13 Mar 2004 16:23:00 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Livros da editora MIR - correção Obrigado Morgado, mas o senhor tem esses livros ? o grau de dificuldade é grande, ou igual ao o do Geometria II ? Outra coisa, o senhor ou outra pessoa não saberiam um livro da editora MIR que seja de álgebra/aritmética do 1o grau ?muito obrigado victor --- End of Original Message ---
[obm-l] Duvida . analise
Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pela justaposicao de 1,3,5,7,9 em qualquer ordem, sem repeticao. A soma de todos esses numeros esta entre a ) 5 x 10^6 e 6 x 10^6 b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 c ) 7 x 10^6 a 8x 10^6 d ) idem so que de9 a 10 e ) idem so que de 10 a 11 alguem sabe fazer isso?
[obm-l] Re:
Melhorei sim, obrigado pela preocupação! Tenho as provas , mas no momento não posso enviá-las espere até segunda. Um abraçoViviane Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi professor, espero que tenha melhorado. Professor você tem as provas do ime? MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
RE: [obm-l] Duvida . analise
Eu vou arriscar... Cada número formado, pode ser escrito como: A.10^4 + B.10^3 + C.10^2 + D.10 + E Vamos analisar o A.10^4 1 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 3 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 5 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 7 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 9 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) Botando 10^4 em evidencia, temos: 24x(1+3+5+7+9)x10^4 (24x25)x10^4 = 600*(10^4) = 6x10^6 O mesmo raciocinio se aplica para B,C,D e E... onde teriamos respectivamente: 6x10^5, 6x10^4, 6x10^3, 6x10^2 Entao o resultado dessa soma é 600. 6x10^6 6, x 10^6 7x10^6 letra B ? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Fabio Contreiras Sent: domingo, 14 de março de 2004 11:37 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida . analise Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pela justaposicao de 1,3,5,7,9 em qualquer ordem, sem repeticao. A soma de todos esses numeros esta entre a ) 5 x 10^6 e 6 x 10^6 b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 c ) 7 x 10^6 a 8x 10^6 d ) idem so que de 9 a 10 e ) idem so que de 10 a 11 alguem sabe fazer isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida . analise
Title: Re: [obm-l] Duvida . analise
on 14.03.04 11:36, Fabio Contreiras at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pela justaposicao de 1,3,5,7,9 em qualquer ordem, sem repeticao. A soma de todos esses numeros esta entre
a ) 5 x 10^6 e 6 x 10^6
b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6
c ) 7 x 10^6 a 8x 10^6
d ) idem so que de 9 a 10
e ) idem so que de 10 a 11
alguem sabe fazer isso?
Existem 5! = 120 tais numeros e cada um deles serah da forma:
a*10^4 + b*10^3 + c*10^2 + d*10 + e, onde {a,b,c,d,e} = {1,3,5,7,9}.
Por simetria, cada um dos algarismos ocuparah uma dada posicao em 1/5 dos casos, ou seja, a = 1 em 120/5 = 24 numeros, a = 3 em outros 24, etc. e idem para os outros algarismos.
Logo, a soma de todos esses numeros serah igual a:
24*(1+3+5+7+9)*(10^4 + 10^3 + 10^2 + 10 + 1) = 6.666.600 == alternativa (b)
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] Duvida . analise
David, a sua resposta bateu com a minha ... fiz uma solucao que pensei ser maceteada, mas quando saih da prova percebi que acho que esse caso nao dava.. fiz assim : 13579 + 97531 = 10 como sao 120 numeros que sao formados de 5 algarismos com ( 1, 3, 5 ,7,9 ) . entao sao 60 somas. 60 x 10 = 6,66 x 10^6 isso me parece errado... abraçao! - Original Message - From: David M. Cardoso [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 12:14 PM Subject: RE: [obm-l] Duvida . analise Eu vou arriscar... Cada número formado, pode ser escrito como: A.10^4 + B.10^3 + C.10^2 + D.10 + E Vamos analisar o A.10^4 1 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 3 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 5 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 7 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 9 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) Botando 10^4 em evidencia, temos: 24x(1+3+5+7+9)x10^4 (24x25)x10^4 = 600*(10^4) = 6x10^6 O mesmo raciocinio se aplica para B,C,D e E... onde teriamos respectivamente: 6x10^5, 6x10^4, 6x10^3, 6x10^2 Entao o resultado dessa soma é 600. 6x10^6 6, x 10^6 7x10^6 letra B ? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Fabio Contreiras Sent: domingo, 14 de março de 2004 11:37 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida . analise Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pela justaposicao de 1,3,5,7,9 em qualquer ordem, sem repeticao. A soma de todos esses numeros esta entre a ) 5 x 10^6 e 6 x 10^6 b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 c ) 7 x 10^6 a 8x 10^6 d ) idem so que de 9 a 10 e ) idem so que de 10 a 11 alguem sabe fazer isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 13/03/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1079278295.655880.23745.turvo.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Encontrei (EC.TS.TR)/(BC.AE.TC). Confere? Em 12 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda,c~oes, Um de geometria de uma outra lista. []'s Luis -Mensagem Original- De: Ben @hotmail.com Para: Enviada em: segunda-feira, 9 de fevereiro de 2004 17:31 Assunto: Putnam Question This is a problem I found in the 2001 Putnam exam. Anyone want to take a stab at it? Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides BC , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST. And go = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
Res: [obm-l] Pentagono regular
Grande Claudio, eu realmente não tinha pensado em usar Ptolomeu, valeu... ---Mensagem original--- De: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/14/04 02:42:36 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Pentagono regular on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at [EMAIL PROTECTED] wrote: ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+MEEsse sai por aplicacoes sucessivas do teorema de Ptolomeu:no quadrilatero MACD == MC*DA = MA*CD + MD*ACno quadrilatero MBCD == MC*BD = MB*CD + MD*BCno quadrilatero MCDE == MD*CE = ME*CD + MC*DEno quadrilatero ABCD == AC*BD = AB*CD + DA*BCAgora, repare que:AB = BC = CD = DE = a = lado do pentagonoeAC = BD = CE = DA = b = diagonal do pentagono.Logo, teremos:MC*b = MA*a + MD*bMC*b = MB*a + MD*aMD*b = ME*a + MC*ab*b = a*a + b*a == b = a*Phi, onde Phi = (1+raiz(5))/2Substituindo nas tres outras equacoes, teremos:MC*Phi = MA + MD*Phi (1)MC*Phi = MB + MD (2)MD*Phi = ME + MC (3)(3) em (1) == MC*Phi = MA + MC + ME (4)(2) em (4) == MB + MD = MA + MC + ME e acabou...[]s,Claudio. IncrediMail - O mundo do correio eletrônico finalmente desenvolveu-se - Clique aqui
Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
Eu sugeriria os do Feltre com o SETSUO YOSHINAGA. Você só vai encontrar em lojas de livros usados. Em 13 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Apesar dessa não ser a lista ideal para fazer estas perguntas foi a que mais se aproximou, então la vai: Quais são os livros de quimica e fisica mais indicado para quem vai prestar ITA e IME? Atenciosamente, Allan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
[obm-l] Desafio Trigonometria
aih tem uma aki de trigonometria ke parece ser um desafio. UM OBSERVADOR, SITUADO A H METROS ACIMA DO SOLO, VÊ A LINHA DO HORIZONTE SEGUNDO UM ÂNGULO alfa com a horizontal. Supondo a terra esférica, seu raio mede em metros : ps. o gabarito está em função de sen e cos abraços!
[obm-l] Re: your mail
On Sun, Mar 14, 2004 at 12:31:13AM -0300, Viviane Silva wrote: Oi professor, espero que tenha melhorado. Professor você tem as provas do ime? Você mandou esta mensagem para a lista. Quem é este professor com quem você quer falar? Tem um monte de professores que participam da lista. Aliás, prefira mandar as mensagens em texto puro (em vez de html). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
ENTRA NO SITE DO POLIEDRO QUE CONTÉM TUDO DO ITA/IME. www.sistemapoliedro.com.br - Original Message - From: Viviane Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 13, 2004 11:22 PM Subject: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME Olá colega, bom eu também vou prestar ITA e IME, mas posso lhe recomendar para química Tito e Canto, Geraldo Carvalho, Feltre, Setsuo, não estude pelo volume único mas sim pelosvolumes seprados pois são mais completos. Além disto, faça muitos exercícios e não se mate de estudar, procure toda semana fazer as provas do ita e ime assim vc cria habilidade de resolução, pois saber muito é bom mas precisa de treino. Viviane Silva MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria
Há uma grande diferença entre haxágono regular e hexágono equilátero. O hexágono regular tem, obrigatoriamente, os ângulos internos iguais. O haxágono equilátero pode ter somente os lados iguais, mas os ângulos internos podem ser diferentes e nesse caso os triângulos internos formados com as diagonais não são mais equiláteros (é como se achatássemos o hexágono regular, mas mantendo os lados). Um grande abraço, Guilherme. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Andre Enviada em: domingo, 14 de março de 2004 01:04 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Geometria Bem, Como ele diz que o hexágono é equilátero, logo temos 6 triângulos equiláteros que formam o hexágono. O que eu vi foi o seguinte : o triângulo que está com a base no diâmetro tem como altura o próprio raio da semi-circunferência. Então : R = L(3) / 2 , (3) = raiz e L = lado do triângulo. - Original Message - From: Qwert Smith [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 10, 2004 9:57 PM Subject: RE: [obm-l] Geometria r^2 = 3*l^2 + (l^2)/4 From: Fábio Bernardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Geometria Date: Wed, 10 Mar 2004 21:22:19 -0300 Amigos, estou enrolado nesse. Se alguém puder me ajude por favor. Um hexágono equilátero está inscrito em uma semi-circunferência de forma que um dos lados está sobre o diâmetro. Calcule o valor do raio em função do lado do hexágono. _ Frustrated with dial-up? Lightning-fast Internet access for as low as $29.95/month. http://click.atdmt.com/AVE/go/onm00200360ave/direct/01/ == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Nao pois a questao pede valores numericos, independente de lados ou segmentos inerentes ao desenho...Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] wrote: Encontrei (EC.TS.TR)/(BC.AE.TC). Confere? Em 12 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sauda,c~oes, Um de geometria de uma outra lista. []'s Luis -Mensagem Original- De: "Ben" @hotmail.com Para: Enviada em: segunda-feira, 9 de feverreiro de 2004 17:31 Assunto: Putnam Question This is a problem I found in the 2001 Putnam exam. Anyone want to take a stab at it? Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides BC , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST. And go = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _Voce quer um iGMail protegido contra vírus e sspams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] CN_97
Trapeziops tem PELO MENOS dois lados paralelos.Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Elton,Os trapézios são os quadriláteros que possuem *somente dois ladosparalelos*, chamados *bases*. Classificam-se em três tipos:1) Trapézio isósceles: os lados não-paralelos são congruentes e os ângulosdas bases são congruentes.** Para as medidas de segmentos fornecidas, não é possível construirqualquer trapézio isósceles.2) Trapézio retângulo: um de seus lados não-paralelos é perpendicular àsbases.** Teremos C(4,2) = 6 possibilidades, sendo 'B' a base maior e 'b' a basemenor:Se existir triângulo retângulo com um dos catetos B-b e os outros dois ladoscom as medidas diferentes de B e b, existirá trapézio. Assim:B = 2 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 1 e 4 com hipotenusa 5 ou catetos 1 e 5 com hipotenusa 4;B = 4 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 3 e 2 com hipotenusa 5 ou catetos 3 e 5 com hipotenusa 2;B = 4 e b = 2 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 2 e 1 com hipotenusa 5 ou catetos 2 e 5 com hipotenusa 1;B = 5 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 4 e 2 com hipotenusa 4 ou catetos 4 e 4 com hipotenusa 2;B = 5 e b = 2 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 3 e 1 com hipotenusa 4 ou catetos 3 e 4 com hipotenusa 1;B = 5 e b = 4 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 1 e 1 com hipotenusa 2 ou catetos 1 e 2 com hipotenusa 1;3) Trapézio escaleno: os lados não-paralelos não são congruentes e nenhumângulo interno é reto.** Teremos C(4,2) = 6 possibilidades, sendo 'B' a base maior, 'b' a basemenor e T(a,b,c) o triângulo de lados a, b e c:Semelhantemente ao caso anterior, se existir triângulo com um dos lados B-be os outros dois lados com as medidas diferentes de B e b, existirátrapézio.B = 2 e b = 1 == T(1,4,5), que não existe, pois 5 1 + 4 (falso)B = 4 e b = 1 == T(3,2,5), que não existe, pois 5 3 + 2 (falso)B = 4 e b = 2 == T(2,1,5), que não existe, pois 5 2 + 1 (falso)B = 5 e b = 1 == T(4,4,2), que existe, pois 4 4 + 2 (verdadeiro)B = 5 e b = 2 == T(3,1,4), que não existe, pois 4 3 + 1 (falso)B = 5 e b = 4 == T(1,1,2), que não existe, pois 2 1 + 1 (falso)Logo, existe apenas um trapézio, cuja base maior é 5, base menor é 1 e ladosnão-paralelos 2 e 4.Abraços,Rafael de A. Sampaio- Original Message -From: "elton francisco ferreira" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>>Sent: Saturday, March 13, 2004 3:16 PMSubject: [obm-l] CN_97O número de trapézios distintos que se pode obter de4, e apenas 4, segmentos de reta medindo ,respectivamente, 1cm, 2cm, 4cm e 5 cm é:001020304=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] CN_97
Raios!! Sera que na sua perspectiva o mundo muda se um trapezio e girado?Por exemplo, girando-se este trapezio de 365 graus seus angulos internos nao mudam, sua area nao muda, a ordem dos lados nao mudaO que muda entao? Se mudar alguma coisa simplesmente marque a alternativa que diz "infinitos"... Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Faltou ainda um comentário: no enunciado é dito "trapézios distintos", o queconsidero um tanto impreciso. Se isso quiser dizer que o trapézio originadoda rotação de um outro é um "trapézio distinto", então teremos *dois*trapézios distintos, pois podemos permutar os lados não-paralelos (2 e 4).Enfim...- Original Message -From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Saturday, March 113, 2004 10:21 PMSubject: Re: [obm-l] CN_97Elton,Os trapézios são os quadriláteros que possuem *somente dois ladosparalelos*, chamados *bases*. Classificam-se em três tipos:1) Trapézio isósceles: os lados não-paralelos são congruentes e os ângulosdas bases são congruentes.** Para as medidas de segmentos fornecidas, não é possível construirqualquer trapézio isósceles.2) Trapézio retângulo: um de seus lados não-paralelos é perpendicular àsbases.** Teremos C(4,2) = 6 possibilidades, sendo 'B' a base maior e 'b' a basemenor:Se existir triângulo retângulo com um dos catetos B-b e os outros dois ladoscom as medidas diferentes de B e b, existirá trapézio. Assim:B = 2 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 1 e 4 com hipotenusa 5 ou catetos 1 e 5 com hipotenusa 4;B = 4 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 3 e 2 com hipotenusa 5 ou catetos 3 e 5 com hipotenusa 2;B = 4 e b = 2 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 2 e 1 com hipotenusa 5 ou catetos 2 e 5 com hipotenusa 1;B = 5 e b = 1 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 4 e 2 com hipotenusa 4 ou catetos 4 e 4 com hipotenusa 2;B = 5 e b = 2 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 3 e 1 com hipotenusa 4 ou catetos 3 e 4 com hipotenusa 1;B = 5 e b = 4 == não existe trapézio, pois não existe triângulo retângulode catetos 1 e 1 com hipotenusa 2 ou catetos 1 e 2 com hipotenusa 1;3) Trapézio escaleno: os lados não-paralelos não são congruentes e nenhumângulo interno é reto.** Teremos C(4,2) = 6 possibilidades, sendo 'B' a base maior, 'b' a basemenor e T(a,b,c) o triângulo de lados a, b e c:Semelhantemente ao caso anterior, se existir triângulo com um dos lados B-be os outros dois lados com as medidas diferentes de B e b, existirátrapézio.B = 2 e b = 1 == T(1,4,5), que não existe, pois 5 1 + 4 (falso)B = 4 e b = 1 == T(3,2,5), que não existe, pois 5 3 + 2 (falso)B = 4 e b = 2 == T(2,1,5), que não existe, pois 5 2 + 1 (falso)B = 5 e b = 1 == T(4,4,2), que existe, pois 4 4 + 2 (verdadeiro)B = 5 e b = 2 == T(3,1,4), que não existe, pois 4 3 + 1 (falso)B = 5 e b = 4 == T(1,1,2), que não existe, pois 2 1 + 1 (falso)Logo, existe apenas um trapézio, cuja base maior é 5, base menor é 1 e ladosnão-paralelos 2 e 4.Abraços,Rafael de A. Sampaio=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Desafio Trigonometria
Bem, se é um desafio, não é um desafio recente. Se eu entendi bem o problema, trata-se do mesmo que os gregos resolveram para medir o raio da Terra. Eles construíram uma torre, de altura H, nas proximidades do mar. Do alto dessa torre observaram a linha do horizonte e mediram o ângulo alfa que o segmento formado AT formava com a vertical AB. Mais ou menos assim: A |\ | \ |\ | \ | \ B |__\ T Imaginando um plano cortando o globo da Terra ao meio e passando pelos pontos A e T e pelo centro O da Terra, aplicando a definição de seno no triângulo retângulo OAT, obtiveram: sen(alfa) = R/(R+H) (R+H) * sen(alfa) = R R*sen(alfa) + H*sen(alfa) = R H*sen(alfa) = R - R*sen(alfa) H*sen(alfa) = R(1-sen(alfa)) R = H*sen(alfa)/(1-sen(alfa)) Embora o processo tenha sido genial para a época, ele não trouxe bons resultados práticos, pois um pequeno erro cometido na medição de alfa acabou trazendo um grande erro no valor obtido de R. É estranho, no entanto, você dizer que o raio deve estar em função de seno *e* cosseno, a menos que se trabalhe com esse resultado, o que não considero tão necessário. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 2:53 PM Subject: [obm-l] Desafio Trigonometria aih tem uma aki de trigonometria ke parece ser um desafio. UM OBSERVADOR, SITUADO A H METROS ACIMA DO SOLO, VÊ A LINHA DO HORIZONTE SEGUNDO UM ÂNGULO alfa com a horizontal. Supondo a terra esférica, seu raio mede em metros : ps. o gabarito está em função de sen e cos abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida . analise
Esta e a classica ideia de Gauss... Se nao me engano essa foi do CTAFabio Contreiras [EMAIL PROTECTED] wrote: David,a sua resposta bateu com a minha ... fiz uma solucao que pensei sermaceteada, mas quando saih da prova percebi que acho que esse caso naodava..fiz assim : 13579 + 97531 = 10como sao 120 numeros que sao formados de 5 algarismos com ( 1, 3, 5 ,7,9 ) .entao sao 60 somas.60 x 10 = 6,66 x 10^6isso me parece errado...abraçao!- Original Message - From: "David M. Cardoso" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Sundday, March 14, 2004 12:14 PMSubject: RE: [obm-l] Duvida . analise Eu vou arriscar... Cada número formado, pode ser escrito como: A.10^4 + B.10^3 + C.10^2 + D.10 + E Vamos analisar o "A.10^4" 1 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 3 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 5 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 7 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) 9 x 10^4 (aparece 4! = 24 vezes) Botando 10^4 em evidencia, temos: 24x(1+3+5+7+9)x10^4 (24x25)x10^4 = 600*(10^4) = 6x10^6 O mesmo raciocinio se aplica para B,C,D e E... onde teriamos respectivamente: 6x10^5, 6x10^4, 6x10^3, 6x10^2 Entao o resultado dessa soma é 600. 6x10^6 6, x 10^6 7x10^6 letra B ? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On BBehalf Of Fabio Contreiras Sent: domingo, 14 de março de 2004 11:37 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Duvida . analise Considere todos os numeros de cinco algarismos formados pelajustaposicao de 1,3,5,7,9 em qualquer ordem, sem repeticao. A soma de todos esses numeros esta entre a ) 5 x 10^6 e 6 x 10^6 b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 c ) 7 x 10^6 a 8x 10^6 d ) idem so que de 9 a 10 e ) idem so que de 10 a 11 alguem sabe fazer isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 13/03/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visitehttp://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1079278295.655880.23745.turvo.terra.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
QUASE tudo...TSD [EMAIL PROTECTED] wrote: ENTRA NO SITE DO POLIEDRO QUE CONTÉM TUDO DO ITA/IME. www.sistemapoliedro.com.br - Original Message - From: Viviane Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 13, 2004 11:22 PM Subject: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME Olá colega, bom eu também vou prestar ITA e IME, mas posso lhe recomendar para química Tito e Canto, Geraldo Carvalho, Feltre, Setsuo, não estude pelo volume único mas sim pelosvolumes seprados pois são mais completos. Além disto, faça muitos exercícios e não se mate de estudar, procure toda semana fazer as provas do ita e ime assim vc cria habilidade de resolução, pois saber muito é bom mas precisa de treino. Viviane Silva MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: [obm-l] dúvida
O maior inteiro menor que -6/5 e -2, e o maior inteiro menor que 1/3 e 0.Soma e ve no que da...TSD [EMAIL PROTECTED] wrote: 2-Representando por [x] o maior número inteiro menor ou igual a x, pode-se dizer que o resultado da soma [-6/5] + [1/3] é igual a? não entendi dereito essa questão. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
Re: Res: [obm-l] Pentagono regular
Trigonometria para resolver problemas de Geometria? Desconsidere, realmente. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:13 PM Subject: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Veio, sempre que suas ideias geniais acabarem, use trigonometria.Mas ja que ce ta feliz com isso desconsidere meus comentarios... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Pelo visto, hoje alguém estava (des)inspirado para comentar as mensagens... Perdoe-me, em que trecho do enunciado diz-se que há valor numérico para a resposta? Vou ajudá-lo, eis o enunciado: Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides BC , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST. Concordo que a área de ABC é dada, mas a questão não *pede* um valor numérico para o triângulo RST, isso não está escrito em qualquer lugar. A menos que, além de dizer que o exercício está resolvido errado, você possa resolver corretamente, com ou sem valores numéricos - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:12 PM Subject: Re: [obm-l] En: Putnam Question Nao pois a questao pede valores numericos, independente de lados ou segmentos inerentes ao desenho... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CN_97
Sinceramente, o mundo não mudará se um trapézio for girado. O seu bom senso, no entanto, precisaria de bem mais para mudar e estar adequado a uma discussão essencialmente matemática. Primeiramente, entenda o que eu quis dizer com rotação. Pegue um pedaço de papel para ajudá-lo também, sim? É bom para garantir. Agora, com uma régua, lápis e transferidor, caso você queira precisar os ângulos internos, trace as bases de 1cm e 5cm. Após isso, escolha para o lado não-paralelo a oeste 2cm e outro, a leste, 4cm. Conseguiu? Sei que é difícil, mas tente, tente, tente, uma hora você você conseguirá Bom, se eu fizer uma rotação de 180°, considerando o eixo de rotação contido na reta que passa pelos pontos médios das bases, e no sentido anti-horário, você verá que se obteve outro trapézio: agora o lado não-paralelo a oeste tem 4cm e a leste, 2cm. É o mesmo trapézio? Pense em algo concreto, por exemplo. Um iceberg que tivesse essas proporções!!! Se você, com grande força que tem, girasse o iceberg semelhantemente e tomasse a sua planificação, continuaria sendo o mesmo iceberg no espaço, mas, no plano, não. Analiticamente, se cada vértice possuir uma coordenada (x;y), as coordenadas obtidas após a rotação serão diferentes da primeira: ter-se-á um outro trapézio. É verdade que o enunciado não estava claro quanto a trapézios distintos e também é verdade que eu poderia ter dito apenas permutar lados não-paralelos para dizer o que pretendia dizer. Se ainda assim você discordar, considere apenas um trapézio. O que é absurdo é imaginar uma rotação de 365°, em vez de apenas 5°, e ainda mais para um trapézio: o trapézio não estaria contido no mesmo plano de origem após a rotação. O conceito de rotação é de geometria espacial, mas o problema é de geometria plana. Jamais teríamos infinitos trapézios após infinitas rotações: só os lados não-paralelos gerariam um novo trapézio, as bases sempre permitirão distinção. Abraços e acalme-se das próximas vezes, rapaz! Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:20 PM Subject: Re: [obm-l] CN_97 Raios!! Sera que na sua perspectiva o mundo muda se um trapezio e girado? Por exemplo, girando-se este trapezio de 365 graus seus angulos internos nao mudam, sua area nao muda, a ordem dos lados nao mudaO que muda entao? Se mudar alguma coisa simplesmente marque a alternativa que diz infinitos... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CN_97
Não, não e não! Trapézios têm APENAS dois lados paralelos. Se você estiver considerando que todo o retângulo, por exemplo, é um trapézio também, você está cometendo um erro gravíssimo: para que se tenha um retângulo, devemos garantir que as diagonais são congruentes e os quatro ângulos internos são retos. Você pode garantir isso do enunciado? Não, não pode. Todo o paralelogramo, retângulo, losango ou quadrado são trapézios particulares e, assim, devem-se ter garantidas mais condições de existência. Aliás, isso é óbvio: todo o trapézio é quadrilátero, mas nem todos os quadriláteros são trapézios; da mesma forma, os paralelogramos são trapézios, mas nem todos os trapézios são paralelogramos. O que sabemos é que existem trapézios, e nada podemos afirmar além disso. Eu aconselharia a você que lesse com mais atenção os enunciados antes de fazer comentários gritantes. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:17 PM Subject: Re: [obm-l] CN_97 Trapeziops tem PELO MENOS dois lados paralelos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME
Já que lá contém *quase* tudo, aposto como você deve ter ótimas indicações para quem está na lista estudando para o ITA e IME. Essas pessoas ficarão agradecidíssimas quando você disser onde encontrar *tudo*, colaborando com sugestões em vez de críticas irrelevantes. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:40 PM Subject: Re: [obm-l] Livros de quimica e fisica para provas do ITA/IME QUASE tudo... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] CN_97
Nao Rafael, trapezios tem PELO MENOS 2 lados paralelos. Retangulos sao casos particulares de trapezios. Todo retangulo eh um trapezio (embora a reciproca nao seja verdadeira), assim como todo quadrado eh um retangulo. Eh uma simples questao de definicao. Isto acontece com quase todos os conceitos da matematica. O numero 2, por exemplo, eh par, eh natural, eh inteiro, eh racional, eh algebrico e eh complexo (tomando-se para os complexos a definicao com a forma a+ b*i) Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: Sunday, March 14, 2004 3:46 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] CN_97 Não, não e não! Trapézios têm APENAS dois lados paralelos. Se você estiver considerando que todo o retângulo, por exemplo, é um trapézio também, você está cometendo um erro gravíssimo: para que se tenha um retângulo, devemos garantir que as diagonais são congruentes e os quatro ângulos internos são retos. Você pode garantir isso do enunciado? Não, não pode. Todo o paralelogramo, retângulo, losango ou quadrado são trapézios particulares e, assim, devem-se ter garantidas mais condições de existência. Aliás, isso é óbvio: todo o trapézio é quadrilátero, mas nem todos os quadriláteros são trapézios; da mesma forma, os paralelogramos são trapézios, mas nem todos os trapézios são paralelogramos. O que sabemos é que existem trapézios, e nada podemos afirmar além disso. Eu aconselharia a você que lesse com mais atenção os enunciados antes de fazer comentários gritantes. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:17 PM Subject: Re: [obm-l] CN_97 Trapeziops tem PELO MENOS dois lados paralelos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: Res: [obm-l] Pentagono regular
Eu acho perfeitamente valido utilizar conhecimentos de qualquer ramo da matematica para resolver problemas de qualquer outro ramo. Na realidade, a divisao da matematica em compartimentos estanques eh um artificio puramente didatico. A Trigonometria classica basia-se em conceitos geometricos, como circulos e triangulos, e nas suas respectivas propriedades. Numa visao mais geral, as funcoes trigonometricas sao dadas por series de potencias, um conceito da Analise, inclusive da Analise Complexa. A Geometria Euclidiana utiliza muitos conceitos da Topologia, e a Analise tambem. O conceito de tangente a uma curva eh geometrico e, no caso geral, vem da Analise. A funcao Zeta de Riemann, da Analise, aparentemente nada tem a ver com numeros primos, estudados na Teoria dos Numeros e, no entanto, tem tudo a ver. Eh possivel dizer, por exemplo, onde termina a Algebra e comeca a Analise? E onde termina a Analise e comeca a Topologia? Estas linhas limitrofes sao totalmente obscutras. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: Sunday, March 14, 2004 4:13 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Trigonometria para resolver problemas de Geometria? Desconsidere, realmente. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:13 PM Subject: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Veio, sempre que suas ideias geniais acabarem, use trigonometria.Mas ja que ce ta feliz com isso desconsidere meus comentarios... = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] CN_97
Artur, Creio ter entendido o que você quis dizer, mas talvez eu não tenha sido claro o quanto gostaria. Se chamamos de retângulos os trapézios que possuem lados dois a dois paralelos e congruentes, por que os trapézios devem ser todos os que possuem *pelo menos* dois lados paralelos? Refiro-me à nomenclatura. Se quando o trapézio possui mais de dois lados paralelos, recebe uma denominação particular, parece-me natural entender que os chamados de *trapézios* serão aqueles que não atendem a nenhuma condição particular. Não estou dizendo que discordo da definição e de dizer-se *pelo menos* em vez de *apenas*, estou dizendo, sim, que a interpretação para o exercício não parece ser de *pelo menos*, até porque os paralelogramos exigiriam lados congruentes (que não existem para as medidas dadas), retângulos também exigiriam lados congruentes (não existem pelo mesmo motivo), e assim por diante. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 4:53 PM Subject: RE: [obm-l] CN_97 Nao Rafael, trapezios tem PELO MENOS 2 lados paralelos. Retangulos sao casos particulares de trapezios. Todo retangulo eh um trapezio (embora a reciproca nao seja verdadeira), assim como todo quadrado eh um retangulo. Eh uma simples questao de definicao. Isto acontece com quase todos os conceitos da matematica. O numero 2, por exemplo, eh par, eh natural, eh inteiro, eh racional, eh algebrico e eh complexo (tomando-se para os complexos a definicao com a forma a+ b*i) Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Em geral esse tipo de questão pede por uma resposta que envolva apenas os dados do enunciado.. Quando se deseja que a resposta fique em função de BC por exemplo, é comum dizer algo como Conidere BC = a.. Num outro email foi discutida a opcao de se usar trigonometria em problemas de geometria. A sugestao de se usar trigonometria, bem como vetores, numeros complexos e qualquer outra arma eh, no meu ver, excelente. Esse eh um otimo caso para se usar vetores.. Eu escrevi essa solucao com o auxilio de papel e caneta para calcular os 3 determinantes, e portanto sugiro que qualquer um que tente acompanha-la nos detalhes faca o mesmo: Inicialmente note que nao ha perda de generalidade em supor A = (0,0), B = (1,0), C=(0,1) e depois dividir a resposta por 1/2 (*). Seja pois F = (0,t) um pto do lado AC, e G=(k,0) um do lado AB. Do enunciado, R eh medio de BF = R = (1/2, t/2) e portanto como E eh a intersecao da reta AR:y=tx com BC: x+y=1 temos E = (1/(t+1) , t/(t+1) ). S eh medio de CG, logo S = (k/2, 1/2) e como B,S,F estao alinhados, o determinante nos da 2t=kt+1 (i). O ponto medio de AE eh T = ( 1/[2(t+1)], t/[2(t+1)] ), e como C,T,G estao alinhados, o det nos da: 2k=1-kt (ii). De (i) + (ii), t+k = 1 e substituindo em (i), t^2+t-1=0 (iii), donde como 0t1, t = [sqrt(5)-1]/2 (iv). O dobro da area do triangulo RST eh dada (calculando o det com R,S,T) por: t*(1-kt) / [4*(t+1)] que eh igual a t*(1-t)/[2*(t+1)] por (i). Multiplicando em cima e em baixo por 1-t e usando (iii), vem Resp = [t(1-t)^2] / [2*(1-t^2)] = (1-t)^2 / 2 = t^4/2. Usando (iv), concluimos portanto que a area pedida vale [7-3sqrt(5)]/4. (*) Dado um triangulo qualquer, tome um transformacao afim (T(v)= A*v+B, com det(A)!=0) que leve ele no meu triangulo ABC. Não é difícil ver que esse tipo de transformacao preserva incidência, razão entre segmentos paralelos e razão entre áreas, de forma que eh suficiente resolver o caso acima exposto). Marcio. - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 4:11 PM Subject: Re: [obm-l] En: Putnam Question Pelo visto, hoje alguém estava (des)inspirado para comentar as mensagens... Perdoe-me, em que trecho do enunciado diz-se que há valor numérico para a resposta? Vou ajudá-lo, eis o enunciado: Triangle ABC has an area 1. Points E, F, and G,lie respectively on sides BC , CA, and AB, such that AE bisects BF at point R, BF bisects CG at point S, and CG bisects AE at point T, Find the area of triangle RST. Concordo que a área de ABC é dada, mas a questão não *pede* um valor numérico para o triângulo RST, isso não está escrito em qualquer lugar. A menos que, além de dizer que o exercício está resolvido errado, você possa resolver corretamente, com ou sem valores numéricos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Pentagono regular
Concordo em absoluto com tudo o que você expôs, Artur. Discordo veementemente de outra coisa: apelar para a Trigonometria quando não se enxerga algo mais simples em Geometria. Geralmente, as soluções trigonométricas nada têm de elegantes e, para muitos casos, embora resolvam o problema, dão um trabalho muito maior do que se utilizássemos conceitos de Geometria. A verdade é que a Geometria exige uma percepção de construções que a Trigonometria, de certa forma, dispensa. Não disse que não é válido o uso da Trigonometria para problemas de Geometria, assim como o de Números Complexos à Geometria também, só disse que não é o *ideal* em muitas situações, haja vista que se poderia chegar à solução de uma forma bem mais simples. Para o problema que o Cláudio habilmente resolveu com pura Geometria, a solução trigonométria não me parece mais elegante. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 5:13 PM Subject: RE: Res: [obm-l] Pentagono regular Eu acho perfeitamente valido utilizar conhecimentos de qualquer ramo da matematica para resolver problemas de qualquer outro ramo. Na realidade, a divisao da matematica em compartimentos estanques eh um artificio puramente didatico. A Trigonometria classica basia-se em conceitos geometricos, como circulos e triangulos, e nas suas respectivas propriedades. Numa visao mais geral, as funcoes trigonometricas sao dadas por series de potencias, um conceito da Analise, inclusive da Analise Complexa. A Geometria Euclidiana utiliza muitos conceitos da Topologia, e a Analise tambem. O conceito de tangente a uma curva eh geometrico e, no caso geral, vem da Analise. A funcao Zeta de Riemann, da Analise, aparentemente nada tem a ver com numeros primos, estudados na Teoria dos Numeros e, no entanto, tem tudo a ver. Eh possivel dizer, por exemplo, onde termina a Algebra e comeca a Analise? E onde termina a Analise e comeca a Topologia? Estas linhas limitrofes sao totalmente obscutras. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] manual de resolucoes do elon
Alguem sabe se existe algum manual com as solucoes do livro (qualquer um) de analise do Elon? Seria algo que me ajudaria um bocado. Obrigado. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] serie
Ola pessoal, Como calcular: 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ... + 1/(2n + 1)
Re: [obm-l] Duvida . analise
Caro Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED]: A sua resposta nao so esta correta como ha quem a considere muito elegante. Nao sei o que significa maceteada, razao por que me abstenho de opinar se e o caso. A cada um dos 120 numeros faca corresponder outro (dos 120 numeros)que e formado pelos suplementos (10-x) de seus algarimos na mesma ordem. Verifique que e outro. Identifique os peres (a,b) e (b,a). Assim V. obtem 60 pares (com todos os 120 numeros), cada um dos quais soma 10. Logo a soma dos 120 e 60 x 10 = 6, x 10^6. Resposta b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida . analise
Caro Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED]: A sua resposta nao so esta correta como ha quem a considere muito elegante. Nao sei o que significa maceteada, razao por que me abstenho de opinar se e o caso. A cada um dos 120 numeros faca corresponder outro (dos 120 numeros)que e formado pelos suplementos (10-x) de seus algarimos na mesma ordem. Verifique que e outro. Identifique os peres (a,b) e (b,a). Assim V. obtem 60 pares (com todos os 120 numeros), cada um dos quais soma 10. Logo a soma dos 120 e 60 x 10 = 6, x 10^6. Resposta b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desafio Trigonometria
Aih, se liga so nas opcoes.. qual gabarito vc marcaria ? a ) h cos a / (2sen^2 a/2) b) h cos a / 1 + cos a c) h sen a / 1- cos a d ) h sen a / 1 + cos a e) h ( 1+ cos a ) / sen a valeuz - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 3:25 PM Subject: [Spam] Re: [obm-l] Desafio Trigonometria Bem, se é um desafio, não é um desafio recente. Se eu entendi bem o problema, trata-se do mesmo que os gregos resolveram para medir o raio da Terra. Eles construíram uma torre, de altura H, nas proximidades do mar. Do alto dessa torre observaram a linha do horizonte e mediram o ângulo alfa que o segmento formado AT formava com a vertical AB. Mais ou menos assim: A |\ | \ |\ | \ | \ B |__\ T Imaginando um plano cortando o globo da Terra ao meio e passando pelos pontos A e T e pelo centro O da Terra, aplicando a definição de seno no triângulo retângulo OAT, obtiveram: sen(alfa) = R/(R+H) (R+H) * sen(alfa) = R R*sen(alfa) + H*sen(alfa) = R H*sen(alfa) = R - R*sen(alfa) H*sen(alfa) = R(1-sen(alfa)) R = H*sen(alfa)/(1-sen(alfa)) Embora o processo tenha sido genial para a época, ele não trouxe bons resultados práticos, pois um pequeno erro cometido na medição de alfa acabou trazendo um grande erro no valor obtido de R. É estranho, no entanto, você dizer que o raio deve estar em função de seno *e* cosseno, a menos que se trabalhe com esse resultado, o que não considero tão necessário. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Contreiras To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 2:53 PM Subject: [obm-l] Desafio Trigonometria aih tem uma aki de trigonometria ke parece ser um desafio. UM OBSERVADOR, SITUADO A H METROS ACIMA DO SOLO, VÊ A LINHA DO HORIZONTE SEGUNDO UM ÂNGULO alfa com a horizontal. Supondo a terra esférica, seu raio mede em metros : ps. o gabarito está em função de sen e cos abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] serie
Para cada n, sejam S(n) = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ... + 1/(2n + 1) e R(n) = 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 +...1/(2n+2). Para todo n, temos S(n) R(n). Temos ainda que R(n) = (1/2)*(1/2 + 1/3..+1/(n+1)). Conforme sabemos, 1/2 +1/3...+1/(n+1) tende a infinito quando n tende a inf (eh a serie harmonica diminuida de uma unidade). Logo, R(n) - inf, e como S(n) domina R(n), S(n) - inf. Mas, achar uma expressao fechada de S(n) em funcao de n, acho que eh um tanto dificil. Artur Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 6:26 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] serie Ola pessoal, Como calcular: = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: Res: [obm-l] Pentagono regular
De fato, em cada caso cabe analisar para ver qual a solucao mais simples, mais elegante. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: Sunday, March 14, 2004 5:36 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Concordo em absoluto com tudo o que você expôs, Artur. Discordo veementemente de outra coisa: apelar para a Trigonometria quando não se enxerga algo mais simples em Geometria. Geralmente, as soluções trigonométricas nada têm de elegantes e, para muitos casos, embora resolvam o problema, dão um trabalho muito maior do que se utilizássemos conceitos de Geometria. A verdade é que a Geometria exige uma percepção de construções que a Trigonometria, de certa forma, dispensa. Não disse que não é válido o uso da Trigonometria para problemas de Geometria, assim como o de Números Complexos à Geometria também, só disse que não é o *ideal* em muitas situações, haja vista que se poderia chegar à solução de uma forma bem mais simples. Para o problema que o Cláudio habilmente resolveu com pura Geometria, a solução trigonométria não me parece mais elegante. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 5:13 PM Subject: RE: Res: [obm-l] Pentagono regular Eu acho perfeitamente valido utilizar conhecimentos de qualquer ramo da matematica para resolver problemas de qualquer outro ramo. Na realidade, a divisao da matematica em compartimentos estanques eh um artificio puramente didatico. A Trigonometria classica basia-se em conceitos geometricos, como circulos e triangulos, e nas suas respectivas propriedades. Numa visao mais geral, as funcoes trigonometricas sao dadas por series de potencias, um conceito da Analise, inclusive da Analise Complexa. A Geometria Euclidiana utiliza muitos conceitos da Topologia, e a Analise tambem. O conceito de tangente a uma curva eh geometrico e, no caso geral, vem da Analise. A funcao Zeta de Riemann, da Analise, aparentemente nada tem a ver com numeros primos, estudados na Teoria dos Numeros e, no entanto, tem tudo a ver. Eh possivel dizer, por exemplo, onde termina a Algebra e comeca a Analise? E onde termina a Analise e comeca a Topologia? Estas linhas limitrofes sao totalmente obscutras. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Pentagono regular
On Sun, Mar 14, 2004 at 05:35:46PM -0300, Rafael wrote: Concordo em absoluto com tudo o que você expôs, Artur. Discordo veementemente de outra coisa: apelar para a Trigonometria quando não se enxerga algo mais simples em Geometria. Geralmente, as soluções trigonométricas nada têm de elegantes e, para muitos casos, embora resolvam o problema, dão um trabalho muito maior do que se utilizássemos conceitos de Geometria. A verdade é que a Geometria exige uma percepção de construções que a Trigonometria, de certa forma, dispensa. Peço a todos um pouco mais de calma ao discutir algo que é puro gosto: o Dirichlet gosta de soluções trigonométricas e o Rafael não. Tudo bem que cada um queira dar a sua opinião neste debate milenar, mas sem esquentar demais. A minha impressão como professor é que existem claras diferenças entre indivíduos: uns tem mais facilidade para um tipo de solução, outros tem mais facilidade com outro tipo. O bom estudante de olimpíada conhece os seus próprios pontos fortes e fracos e sabe qual a melhor estratégia para ele. Ele também sabe que não deve desprezar os métodos que não são especialmente do gosto dele. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pentagono regular
Title: Re: [obm-l] Pentagono regular on 14.03.04 01:36, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at [EMAIL PROTECTED] wrote: ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME Tambem descobri uma solucao usando complexos. Suponha que o circulo eh unitario e centrado na origem e que os vertices sao: A = 1, B = w^2, C = w^4, D = w^6 e E = w^8, onde w = exp(i*Pi/5). Faca M = z e observe que: (1) z - 1 = (MA/MA)*(z - 1) (2) z - w^2 = (MB/MA)*(z - 1)*w (3) z - w^4 = (MC/MA)*(z - 1)*w^2 (4) z - w^6 = (MD/MA)*(z - 1)*w^3 (5) z - w^8 = (ME/MA)*(z - 1)*w^4 Em seguida, elimine o fator w^k do lado direito de cada equacao, levando em conta que w^10 = 1 == w^(-1) = w^9 == w^(-2) = w^8 == etc. Finalmente, some as equacoes 1, 3 e 5 e subtraia delas as equacoes 2 e 4. Um pouquinho de algebra e voce chega lah... []s, Claudio.
Re: [obm-l] manual de resolucoes do elon
on 14.03.04 18:18, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem sabe se existe algum manual com as solucoes do livro (qualquer um) de analise do Elon? Seria algo que me ajudaria um bocado. Obrigado. Eu acho que nao existe, mas se existisse ia ser um best seller nas faculdades de matematica do pais... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: Putnam Question
Fábio, Dê uma olhada neste link: http://www.math.hawaii.edu/~dale/putnam/2001.pdf O problema está na terceira página, é o A4. A resposta é (7-3*sqrt(5))/4. Vale a pena comparar o seu raciocínio com o que está lá. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 2:14 PM Subject: Re: [obm-l] En: Putnam Question Encontrei (EC.TS.TR)/(BC.AE.TC). Confere? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] manual de resolucoes do elon
Eu generalizo e digo que TODOS OS LIVROS BONS de exatas seriam muito vendidos se houvesse a resolucao de todos os exercicios. Em HUMANAS apenas um gabarito ja eh o suficiente, mas em exatas dizer que uma alternativa eh correta nem sempre eh util, guardada as devidas proporcoes eh claro. [EMAIL PROTECTED] escreveu: on 14.03.04 18:18, niski at [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguem sabe se existe algum manual com as solucoes do livro (qualquer um) de analise do Elon? Seria algo que me ajudaria um bocado. Obrigado. Eu acho que nao existe, mas se existisse ia ser um "best seller" nas faculdades de matematica do pais...
Re: [obm-l] Pentagono regular
Re: [obm-l] Pentagono regularSolução bem criativa, Cláudio! Parabéns! ;-) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 7:25 PM Subject: Re: [obm-l] Pentagono regular on 14.03.04 01:36, Claudio Buffara at [EMAIL PROTECTED] wrote: on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at [EMAIL PROTECTED] wrote: ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+ME Tambem descobri uma solucao usando complexos. Suponha que o circulo eh unitario e centrado na origem e que os vertices sao: A = 1, B = w^2, C = w^4, D = w^6 e E = w^8, onde w = exp(i*Pi/5). Faca M = z e observe que: (1) z - 1 = (MA/MA)*(z - 1) (2) z - w^2 = (MB/MA)*(z - 1)*w (3) z - w^4 = (MC/MA)*(z - 1)*w^2 (4) z - w^6 = (MD/MA)*(z - 1)*w^3 (5) z - w^8 = (ME/MA)*(z - 1)*w^4 Em seguida, elimine o fator w^k do lado direito de cada equacao, levando em conta que w^10 = 1 == w^(-1) = w^9 == w^(-2) = w^8 == etc. Finalmente, some as equacoes 1, 3 e 5 e subtraia delas as equacoes 2 e 4. Um pouquinho de algebra e voce chega lah... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fração
Caro Rafael
Se a , b , c e d forem quatro naturais 0 tais que
a*b = c*d-1
pode-se construir a seguinte tabela
A primeira linha tem so os numeros b/d e c/a.
Cada outra linha e obtida da anterior acrecentando, entre cada dois
de seus membros
consecutivos x/y e z/w o mediante destes numeros (x+z)/(y+w).
Assim, a segunda linha seria b/d (b+c)/(a+d) c/a.
Pode-se provar que todos os racionais entre b/d e c/a aparecem na tabela
e que todos os termos da tabela sao irredutiveis.
Isto mostra que o que tem menor denomimnador e (b+c)/(a+d).
Para uma prova V., por exemplo, o livro Concette Mathematics.
Augurios.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
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Re: Res: [obm-l] Pentagono regular
Concordo com o seu comentário final, Nicolau. Para que não fiquem mal-entendidos, em nenhum momento disse que (des)gosto de soluções trigonométricas. Disse, sim, que muitos dos problemas de Geometria podem ser resolvidos por Trigonometria, mas que tais soluções, muitas vezes, pecam em elegância ou simplicidade. Vou dar um exemplo: a demonstração do teorema de Stewart, por Trigonometria, se eu não me engano, tem duas páginas, enquanto por Geometria, algumas construções são suficientes e poucas linhas de algebrismos. E não é o único exemplo que já vi assim. Desculpo-me por ter comentado tantas mensagens, mas o fiz exatamente por ter visto com bons olhos o raciocínio do Cláudio, e ter achado a crítica desnecessária. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 7:27 PM Subject: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Peço a todos um pouco mais de calma ao discutir algo que é puro gosto: o Dirichlet gosta de soluções trigonométricas e o Rafael não. Tudo bem que cada um queira dar a sua opinião neste debate milenar, mas sem esquentar demais. A minha impressão como professor é que existem claras diferenças entre indivíduos: uns tem mais facilidade para um tipo de solução, outros tem mais facilidade com outro tipo. O bom estudante de olimpíada conhece os seus próprios pontos fortes e fracos e sabe qual a melhor estratégia para ele. Ele também sabe que não deve desprezar os métodos que não são especialmente do gosto dele. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ldps
! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !! 1!!! !!1 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Res: [off-topic] Pentagono regular
Parece-me que a indignação do Rafael dá-se contra os pareceres pouco esclarecedores do Dirichlet. Em 14 Mar 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sun, Mar 14, 2004 at 05:35:46PM -0300, Rafael wrote: Concordo em absoluto com tudo o que você expôs, Artur. Discordo veementemente de outra coisa: apelar para a Trigonometria quando não se enxerga algo mais simples em Geometria. Geralmente, as soluções trigonométricas nada têm de elegantes e, para muitos casos, embora resolvam o problema, dão um trabalho muito maior do que se utilizássemos conceitos de Geometria. A verdade é que a Geometria exige uma percepção de construções que a Trigonometria, de certa forma, dispensa. Peço a todos um pouco mais de calma ao discutir algo que é puro gosto: o Dirichlet gosta de soluções trigonométricas e o Rafael não. Tudo bem que cada um queira dar a sua opinião neste debate milenar, mas sem esquentar demais. A minha impressão como professor é que existem claras diferenças entre indivíduos: uns tem mais facilidade para um tipo de solução, outros tem mais facilidade com outro tipo. O bom estudante de olimpíada conhece os seus próprios pontos fortes e fracos e sabe qual a melhor estratégia para ele. Ele também sabe que não deve desprezar os métodos que não são especialmente do gosto dele. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br
RE: [obm-l] Duvida . analise
Achei muito interessante essa forma de solucionar a questão... mas não entendi porque isso funciona, será que alguém podia explicar isso melhor? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Angelo Barone Netto Sent: domingo, 14 de março de 2004 18:51 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Duvida . analise Caro Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED]: A sua resposta nao so esta correta como ha quem a considere muito elegante. Nao sei o que significa maceteada, razao por que me abstenho de opinar se e o caso. A cada um dos 120 numeros faca corresponder outro (dos 120 numeros)que e formado pelos suplementos (10-x) de seus algarimos na mesma ordem. Verifique que e outro. Identifique os peres (a,b) e (b,a). Assim V. obtem 60 pares (com todos os 120 numeros), cada um dos quais soma 10. Logo a soma dos 120 e 60 x 10 = 6, x 10^6. Resposta b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdades em inteiros
Caro Eduardo.
Claro que ha outros modos de resolver, nao sei se mais inteligentes.
7/10 8/11 11/15.
Se V. olhar m/ mensagem anterior (Subject : Re: [[obm-l]] fracoes)
vera que 8/11 e o unico numero no intervalo com denominador pequeno.
Se V. procurar a referencia nele feita vera de onde veio 8/11.
Augurios.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
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.
On Mon, 21 Jul 2003, Eduardo Botelho wrote:
Há algum tempo circulou pela lista uma questão deste tipo:
se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15, então o
menor valor que q pode ter é:
a)6 b)7 c)25 d)30 e)60
A resposta é b)7
Se p,q são positivos, essas desigualdades são equivalentes a 15p 11q
e 7q 10p = (15/11)p q (10/7)p .
Usei o seguinte: se a diferença entre as pontas for maior ou igual a 1
(10p/7 - 15p/11 = 5p/77 = 1), então existe um inteiro q nesse
intervalo. Daí conseguimos achar uma cota superior para p, pois p =
|77/5| + 1 = 16 (| | é a função piso).
Daí para a frente, eu não pensei em mais nada que resolva o problema
diretamente, a não ser a verificaçao manual para os primeiros valores de
p até conseguir um inteiro q entre 15p/11 e 10p/7.
Claro que, neste caso, a verificação é simples: p=5 já nos mostra um
intervalo que contém um inteiro. Mas existe alguma outra forma de
resolver este problema? De um modo geral, existe um mecanismo mais
inteligente para se tratar deste tipo de desigualdade envolvendo números
inteiros?
Abraço
Eduardo
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Duvida . analise
Obrigado Barone! Eu estava meio inseguro quanto a veracidade da resolucao. Abraços! - Original Message - From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 6:50 PM Subject: Re: [obm-l] Duvida . analise Caro Fabio Contreiras [EMAIL PROTECTED]: A sua resposta nao so esta correta como ha quem a considere muito elegante. Nao sei o que significa maceteada, razao por que me abstenho de opinar se e o caso. A cada um dos 120 numeros faca corresponder outro (dos 120 numeros)que e formado pelos suplementos (10-x) de seus algarimos na mesma ordem. Verifique que e outro. Identifique os peres (a,b) e (b,a). Assim V. obtem 60 pares (com todos os 120 numeros), cada um dos quais soma 10. Logo a soma dos 120 e 60 x 10 = 6, x 10^6. Resposta b) 6 x 10^6 e 7 x 10^6 Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: VirusScan / Atualizado em 13/03/2004 / Versão: 1.4.1 Proteja o seu e-mail Terra: http://www.emailprotegido.terra.com.br/ E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://www.terra.com.br/centralunificada/emailprotegido/imail/imail.cgi?+_u=fabiocontreiras_l=1079302348.633504.18055.larissa.terra.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdades em inteiros 2
Em tempo.
7/10 5/7 8/11 11/15.
Desculpe minha falha.
Mais augurios.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
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[obm-l] Inequação
Sejam p(x) = x^2 - 5x + 6 e q(x) = x^2 + 5x + 6. Se a é um número real e p(a) 0, qual é a condição que deve satisfazer q(a) ?? eu sei que.. raízes -- p: 2 e 3 ; q: -2 e -3, se p(a) 0 -- 2 a 3, então q(a) 0 ai..minha dúvida..o que ele entende por satisfazer q(a)?? a resp. do livro é 20 q(a) 30 Daniel S. Braz __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie
Realmente você tem razão, Artur.
Eis a expressão que o Mathematica retornou:
Sum[1/(2k+1), {k,1,n}] = 1/2 * (EulerGamma + Psi(3/2 + n) + ln(4) - 2)
Nada simples...
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, March 14, 2004 7:13 PM
Subject: RE: [obm-l] serie
Para cada n, sejam S(n) = 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 + ... + 1/(2n + 1) e R(n) =
1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 +...1/(2n+2). Para todo n, temos S(n) R(n). Temos
ainda que R(n) = (1/2)*(1/2 + 1/3..+1/(n+1)). Conforme sabemos, 1/2
+1/3...+1/(n+1) tende a infinito quando n tende a inf (eh a serie harmonica
diminuida de uma unidade). Logo, R(n) - inf, e como S(n) domina R(n), S(n)
- inf.
Mas, achar uma expressao fechada de S(n) em funcao de n, acho que eh um
tanto dificil.
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Divisibilidade
Olá, Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ... Um abraço! _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fração
Quem achou este problema interessante, pode querer dar uma olhada aqui:
http://www.cut-the-knot.org/blue/Farey.shtml
[]s,
Claudio.
on 14.03.04 21:28, Angelo Barone Netto at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Caro Rafael
Se a , b , c e d forem quatro naturais 0 tais que
a*b = c*d-1
pode-se construir a seguinte tabela
A primeira linha tem so os numeros b/d e c/a.
Cada outra linha e obtida da anterior acrecentando, entre cada dois
de seus membros
consecutivos x/y e z/w o mediante destes numeros (x+z)/(y+w).
Assim, a segunda linha seria b/d (b+c)/(a+d) c/a.
Pode-se provar que todos os racionais entre b/d e c/a aparecem na tabela
e que todos os termos da tabela sao irredutiveis.
Isto mostra que o que tem menor denomimnador e (b+c)/(a+d).
Para uma prova V., por exemplo, o livro Concette Mathematics.
Augurios.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
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Re: [obm-l] Divisibilidade
Ola, Eh so pegar o ultimo algarismo de um numero n e multiplicar por 4. Depois faz-se a soma (n-(ultimo algarismo)) + 4*(ultimo algarismo). Se o resultado for um numero divisivel por 13 acabou Senao repete-se o processo. Vou dar um exemplo para clarear: Sera que 3579 eh divisivel por 13 ? 357(9) === 4*9 = 36 357 + 36 = 393 39(3) 4*3 = 12 39 + 12 = 51 Como 51 nao eh divisivel por 13, conclui-se que 3579 tambem nao eh !!! Em uma mensagem de 14/3/2004 23:38:17 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ... Um abraço!
Re: [obm-l] Divisibilidade
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 André Luiz Martins Guimarães Orsi [EMAIL PROTECTED] said: Olá, Alguém conhece um critério de divisibilidade por 13, sem ser por congruência, tipo os critérios que existem para 2, 3, 5 ... [...] http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200306/msg00796.html Se você não estiver interessado na teoria por trás do critério, pule para o final da mensagem. Um outro critério usa o fato de que 13|1001, logo x é divisível por 13 se e somente se a diferença entre os grupos de três algarismos de ordem par e os de prdem ímpar também for divisível por 13. Por exemplo, no problema resolvido mentalmente pelo nosso colega Cláudio, temos que provar que 2^70 + 3^70 = 2503155504994422192936289397389273 é múltiplo de 13. Quebrando o número em grupos de 3, temos que 2^70 + 3^70 = 2.503.155.504.994.422.192.936.289.397.389.273 Esse número é divisível por treze se e somente se a diferença entre a soma das classes de ordem par (273+397+936+422+504+503) e as de ordem ímpar (389+289+192+994+155+2) for divisível por 13. Essa diferença vale |3035-2021| = 1014. Pelo algoritmo do link acima, esse número é divisível por 13 se e somente se 101 + 4*4 = 117 é divisível por 13, o que é verdade se e somente se 11 + 4*7 = 39 = 3*13 é divisível por 13. Ou então, note qe a diferença entre as ordens pares e as ímpares de 1014 é 13 = 13*1. []s, - -- Fábio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFAVSNNalOQFrvzGQoRAs0WAJ9KZpBpyPfhzKjaP72dc0YdsxgNRwCfXcH6 +CQXI/3ZYRff8Ct4WQmteCE= =zGQn -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Inequação
Daniel, Creio que o livro tenha tido a intenção de dizer: Se 'a' é um número real e p(a) 0, necessariamente, o que se pode afirmar de q(a)? p(x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) q(x) = x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3) p(a) = (a-2)(a-3) 0 == 2 a 3 == 20 q(a) 30, pois: q(x) é crescente para x -3 e x -2 q(2) = 4 + 10 + 6 = 20 q(3) = 9 + 15 + 6 = 30 Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 14, 2004 11:25 PM Subject: [obm-l] Inequação Sejam p(x) = x^2 - 5x + 6 e q(x) = x^2 + 5x + 6. Se a é um número real e p(a) 0, qual é a condição que deve satisfazer q(a) ?? eu sei que.. raízes -- p: 2 e 3 ; q: -2 e -3, se p(a) 0 -- 2 a 3, então q(a) 0 ai..minha dúvida..o que ele entende por satisfazer q(a)?? a resp. do livro é 20 q(a) 30 Daniel S. Braz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Res: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular
na verdade eu tinha usadotrigonometria, mas achei que ficou grande e feio. E como faltou inspiração, recorri a lista... ---Mensagem original--- De: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/14/04 15:19:12 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Res: [obm-l] Pentagono regular Veio, sempre que suas ideias geniais acabarem, use trigonometria.Mas ja que ce ta feliz com isso desconsidere meus comentarios...Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] wrote: Grande Claudio, eu realmente não tinha pensado em usar Ptolomeu, valeu... ---Mensagem original--- De: [EMAIL PROTECTED] Data: 03/14/04 02:42:36 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Pentagono regular on 13.03.04 22:30, Guilherme Pimentel at [EMAIL PROTECTED] wrote: ABCDE é um pentágono regular inscrito numa circunferência e M é um ponto qualquer do arco AE. Demonstrar que MB+MD=MA+MC+MEEsse sai por aplicacoes sucessivas do teorema de Ptolomeu:no quadrilatero MACD == MC*DA = MA*CD + MD*ACno quadrilatero MBCD == MC*BD = MB*CD + MD*BCno quadrilatero MCDE == MD*CE = ME*CD + MC*DEno quadrilatero ABCD == AC*BD = AB*CD + DA*BCAgora, repare que:AB = BC = CD = DE = a = lado do pentagonoeAC = BD = CE = DA = b = diagonal do pentagono.Logo, teremos:MC*b = MA*a + MD*bMC*b = MB*a + MD*aMD*b = ME*a + MC*ab*b = a*a + b*a == b = a*Phi, onde Phi = (1+raiz(5))/2Substituindo nas tres outras equacoes, teremos:MC*Phi = MA + MD*Phi (1)MC*Phi = MB + MD (2)MD*Phi = ME + MC (3)(3) em (1) == MC*Phi = MA + MC + ME (4)(2) em (4) == MB + MD = MA + MC + ME e acabou...[]s,Claudio. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQVE POTIRI CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora! IncrediMail - O mundo do correio eletrônico finalmente desenvolveu-se - Clique aqui
