Re: [obm-l] Ajuda com um proble ma sobre fatorização e inteiros
Se x^2 - 5x - 1 é um quadrado perfeito, podemos escreve-lo como (x-a)^2 , onde a também é inteiro. x^2 - 5*x - 1 = (x-a)^2 = x^2 - 2*a*x + a^2 -5*x - 1 = - 2*a*x + a^2 5*x + 1 - 2*a*x + a^2 = 0 x(5-2*a) + a^2 + 1 = 0 -x = (a^2 + 1)/(5 - 2*a) para que x seja inteiro, sendo a inteiro, basta que o denominador seja 1 ou -1, ou seja, a=2 ou a=3 se a =2 x = -5 se a=3 - x = 10 On 7/6/05, Sam Tatao [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom aqui vai um problema que eu não sei resover: Encontrar os valores inteiros de x que fazem que x^2-5x-1 seja um quadrado perfeito. A conclusão que eu cheguei é que não existe nenhum valor. _ Descarga gratis la Barra de Herramientas de MSN http://www.msn.es/usuario/busqueda/barra?XAPID=2031DI=1055SU=http%3A//www.hotmail.comHL=LINKTAG1OPENINGTEXT_MSNBH = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Como resolve?
x^3 + x^2 + x = 1000 Como se faz? E como se resolve equações do tipo ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 onde b0 ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Limite
determine o valor da constante C para que:
f(x) = { (x + sqrt(x) - 2)/(x-1) , se 0x1
{ (Cx+5)/(x^2 + 3) , se x=1
seja contínua em 1
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Re: [obm-l] questao de potência
Oi Brunno. Não entendi exatamente aonde você não entedeu minha explicação. Dá pra ser mais claro? abraços On Tue, 29 Mar 2005 14:17:16 -0300, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi daniel tudo bem? Então se o a for 1, dara zero, e zero é divisivel por qualquer número eu queria uma forma de matar sem ser pelo métotodo da tentaiva mas to vendo que tem que ser assim mesmo Um abraco obrigado pela ajuda Brunno - Original Message - From: Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, March 29, 2005 1:46 PM Subject: Re: [obm-l] questao de potência e se a = 1? a expressao nao sera divisivel por nenhum dos numeros...entao nao eh sempre divisivel por algum deles...certo? []s daniel -- On Mon, 28 Mar 2005 12:39:49 -0300, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Se caísse numa prova multipla escolha, eu te aconselharia a botar a=3 e calcular. Se não, então a^5 - 5a^3 + 4a = a*(a^4 - 5a^2 + 4a) = a*(a^2-4)(a^2-1) = a*(a+2)*(a-2)*(a+1)*(a-1) Repare que isso é o produto de 5 números consecutivos. Ou seja, dentre eles obrigatoriamente haverá algum n== 0 (mod2) n== 0 (mod3) n== 0 (mod4) n== 0 (mod5) Ou seja, é divisivel por 2*3*4*5 = 120 Resposta: 60 On Mon, 28 Mar 2005 11:08:18 -0300, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal como eu mato esse tipo de questão? Se a é um numero natural, então a^5 -5a^3 + 4a, sempre será divisivel por 41 48 50 60 72 Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao de potência
Se caísse numa prova multipla escolha, eu te aconselharia a botar a=3 e calcular. Se não, então a^5 - 5a^3 + 4a = a*(a^4 - 5a^2 + 4a) = a*(a^2-4)(a^2-1) = a*(a+2)*(a-2)*(a+1)*(a-1) Repare que isso é o produto de 5 números consecutivos. Ou seja, dentre eles obrigatoriamente haverá algum n== 0 (mod2) n== 0 (mod3) n== 0 (mod4) n== 0 (mod5) Ou seja, é divisivel por 2*3*4*5 = 120 Resposta: 60 On Mon, 28 Mar 2005 11:08:18 -0300, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal como eu mato esse tipo de questão? Se a é um numero natural, então a^5 -5a^3 + 4a, sempre será divisivel por 41 48 50 60 72 Obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema interessante
Vamos partir do 18. É óbvio que qualquer número do tipo 18+4k não precisa de troco. Então vamos provar que 18+(4k+1), 18+(4k+2) e 18+(4k+3) também não precisam. 18+(4k+1)=19+4k. Ora, 19 = 4+4+4+7, logo não precisam de troco. 18+(4k+2)=20+4k. -- 20 = 4+4+4+4+4 18+(4k+3)=21+4k. -- 21 = 7+7+7 logo, qualquer n=18 nao precisa de troco On Fri, 25 Mar 2005 11:00:25 -0300, Thiago [EMAIL PROTECTED] wrote: Tenho dúvida no seguinte problema: Num país só existem cédulos de 4 e de 7 unidades monetárias. Qual é o menor valor inteiro que a partir dele (inclusive) não é necessário ter troco? Exemplo. 14 = 7 + 7 15 = 4 + 4 + 7 16 = 4 + 4 + 4 + 4 17 = ? 18 = 4 + 7 + 7 e assim por diante. notei que a partir do 18 todos nao deixam troco mas como provar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro (OFF-TOPIC)
Estou entrando pra engenharia na ufrj agora, e preciso do livro Cálculo com Geometria Analitica do Leithold. Quem quiser vender por favor se comuniquem comigo por fora da lista, valeu? Abraços a todos, Bruno = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]
tem certeza que o problema 3 não seria: What is the largest x for which 4^27 + 4^1000 + 4^x equals the square of a whole number? Porque esse problema acho que é da olimpiada soviética de 1972, e a resposta é 1972 On Thu, 10 Mar 2005 11:43:39 -0300, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Alguém poderia me dar uma dica na resolução desses aqui? 1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according to the following rule: (a, b, c, d) (ab, bc, cd, da). Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will never appear again, except when a = b = c = d = 1. 2)Take a series of the numbers 1 and (-1) with a length of 2k (k is natural). The next set is made by multiplying each number by the next one; the last is multiplied by the first. Prove that eventually the set will contain only ones. 3)What is the largest x for which 427 + 41000 + 4x equals the square of a whole number? Obrigado! []s daniel -- A noção de infinito, de que é preciso se fazer um mistério em Matemática, resume-se no seguinte princípio: depois de cada número inteiro existe sempre um outro. (J. Tannery) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos Números [EM INGLÊS]
What is the largest x for which 4^27 + 4^1000 + 4^x equals the square
of a whole number?
4^27 + 4^1000 + 4^x = n^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
temos entao dois quadrados perfeitos, onde 4^x = 2ab e onde 4^x = b^2
como queremos o maior x, 4^x = b^2
a^2 + 2ab + b^2 = 4^27 + 4^1000 + 4^x = (2^27 + 2^x)^2
2ab = 4^1000 = 2^2000 = 2*2^27*2^x = 2^(28+x)
2000 = 28+x - x = 1972
On Thu, 10 Mar 2005 17:13:14 -0300, Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED] wrote:
Daniel S. Braz wrote:
Pessoal,
Alguém poderia me dar uma dica na resolução desses aqui?
1)Sets of 4 positive numbers are made out of each other according
to the following rule: (a, b, c, d) (ab, bc, cd, da).
Prove that in this (infinite) sequence (a, b, c, d) will
never appear again, except when a = b = c = d = 1.
suponha, sem perda de generalidade, que b 1.
temos que ab a e bc b, agora observe que uma coordenada nunca pode
diminuir, pois ela é sempre multiplicada por um termo = 1, então (a, b,
c, d) nunca mais pode aparecer na seqüência.
2)Take a series of the numbers 1 and (-1) with a length
of 2k (k is natural). The next set is made by multiplying
each number by the next one; the last is multiplied by the
first. Prove that eventually the set will contain only ones.
Tenho uma solução legal pra este...
Considere Z_2 = Z / (2Z), ou seja os inteiros módulo 2. Observe que {1,
-1} com a operação de multiplicação é basicamente igual a {0, 1} com a
operação de soma (tecnicamente falando, temos um isomorfismo levando 1
- 0 e -1 - 1). Observe:
1*1 = 1 [0 + 0 = 0]
1*(-1) = -1 [0 + 1 = 1]
(-1)*(-1) = 0 [1 + 1 = 0]
Ok, agora a parte interessante. Seja m = 2^k e considere o anel
R = Z_2[x] / x^m + 1
A aritmetica desse anel é bem favorável ao que pretendemos fazer, basta
observar que dado um polinômio p em R
p(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_{m-1} x^{m-1}, a multiplicação de p por x
resulta em
x p(x) = a_0 x + ... + a_{m-2} x^{m-1} + a_{m-1} (x^m + 1) + a_{m-1},
mas como x^m + 1 = 0 neste anel, temos
x p(x) = a_{m-1} + a_0x + ... + a_{m-2} x^{m-1}
Então, (x + 1)p(x) = (a_0 + a_{m-1}) + (a_1 + a_2)x + ... + (a_{m-2} +
a_{m-1})x^{m-1}
Note que esses coeficientes são definidos de forma isomorfa ao enunciado
do problema! Então, nesse nosso anel, queremos mostrar que repetindo o
processo, chegaremos no polinômio identicamente nulo! Isso quer dizer
que (x+1)^r p(x) = 0 para algum r...
Como os coeficientes estão em Z_2, (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 = x^2 + 1,
sendo assim,
(x+1)^4 = [(x+1)^2]^2 = [x^2 + 1]^2 = x^4 + 2x^2 + 1 = x^4 + 1 e, por
indução, segue
(x+1)^{2^s} = x^{2^s} + 1 para todo s = 0, em particular,
(x+1)^m p(x) = (x^m + 1) p(x) = 0 p(x) = 0.
[ ]'s
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Re: [obm-l] 3 Problemas de Teoria dos N úmeros [EM INGLÊS]
voltando na minha demonstração, vamos considerar que 4^x = 2ab. a=2^27 b^2 = 4^1000 --- b=2^1000 4^x = 2ab = 2*2^27*2^1000 = 2^1028 = 2^2x x=514 Pois bem Claudio, os únicos valores naturais de x que satisfazem ao enunciado são 514 e 1972. A demonstração é bem bonitinha, alguém se habilita? abraços, Bruno On Thu, 10 Mar 2005 18:06:12 -0300, Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: on 10.03.05 18:41, Bruno Bruno at [EMAIL PROTECTED] wrote: What is the largest x for which 4^27 + 4^1000 + 4^x equals the square of a whole number? 4^27 + 4^1000 + 4^x = n^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 temos entao dois quadrados perfeitos, onde 4^x = 2ab e onde 4^x = b^2 como queremos o maior x, 4^x = b^2 a^2 + 2ab + b^2 = 4^27 + 4^1000 + 4^x = (2^27 + 2^x)^2 2ab = 4^1000 = 2^2000 = 2*2^27*2^x = 2^(28+x) 2000 = 28+x - x = 1972 Acho que voce provou apenas que x = 1972. O que impede x de ser maior do que 1972? []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos?
http://www.obm.org.br/eureka/artigos/gavetas.doc On Wed, 09 Mar 2005 23:10:50 +, Raquel Erimil [EMAIL PROTECTED] wrote: A todos da lista, peço auxilio num problema que parece de conjuntos *Mostrar que em qualquer grupo de 6 pessoas existe, necessariamente, um conjunto de 3 pessoas que se conhecem ou que são totalmente estranhos. E num grupo de apenas 5 pessoas? Não faço a menor idéia de como fazer Erimil _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Agradecimentos e Combinatór ia
o 1o é bem mais simples. Se a 1a casa for 100, a 2a 102, a 3a 104, etc, para evitar numeros consecutivos, a n-esima casa seria 98 + 2n, ou seja, a 82a casa seria 98+164 = 262. Logo a 83a casa teria de estar em algum numero impar (ja que todos os pares foram ocupados), o que fara com que haja casas com numeros consecutivos On Tue, 8 Mar 2005 14:44:24 -0300, João Gilberto Ponciano Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Bom... o primeiro sai fácil por casa dos pombos. Mas como eu já não lembro mais disso vou deixar em branco. O segundo, é só entender a natureza do número... 3636...3636 = 36 * 100^n + 36 * 100^(n-1) + ... + 36 * 100^0 36 mod 11 = 3 e como 100 mod 11 = 1, temos que 100^n mod 11 = 1 logo, 3636...3636 mod 11 = 3 + 3 + ... + 3 (o número de vezes que a sequencia se repete). Enfim, se tivermos n*11 repetições de 36, o número resultante será divisível por 11. Esse é besta, mas é engraçado pois vale para outros números além do 36, tipo 69, 25, etc. sds JG -Original Message- From: Rhilbert Rivera [mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 08, 2005 12:02 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Agradecimentos e Combinatória Caros amigos, de vez em quando resolvo enlouquecer e estudar determinados assuntos matemáticos. Já faz algum tempo que venho fazendo isso. Mas, de onde tiro essa coragem? Na realidade ela é fruto dessas pessoas que tanto admiro e que fazem parte dessa lista. Meus amigos virtuais que já me ajudaram de tantas maneiras que não sei como agradecer. Essa lista é minha escola virtual, aqui mato a saudade da sala de aula e,alivio a frustração de, por motivos financeiros, ter abandonado a matemática por um emprego burocrático. Sempre acalento a esperança de voltar e por isso não paro de estudar. Vou terminar com a rasgação por aqui e voltar ao propósito desta lista. Peço ajuda nos seguintes problemas: 1) Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números 100 e 262 inclusive. Mostre que pelo menos 2 casas têm números consecutivos. 2) Mostrar que 11 divide infinitos números da forma 363636...36. Como esses problemas são típicos desta lista, se já foram resolvidos me indiquem aonde estão. Obrigado! (^_^) [ ]'s _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] legal
x + 4y = 13K (*4)(I) 4x + 16y = 13*4K(-13y) (II) 4x + 3y = 13*4K - 13*y = 13(4K - y) (III) De (III), como 4K - y um inteiro, 4x + 3y multiplo de 13 De (I), como K inteiro, x+4y multiplo de 13 On Sun, 6 Mar 2005 21:44:35 -0300 (ART), Robe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Prove que, para x, y, k inteiros, tem se x + 4y = 13K = 4x + 3y = 13(4k y ). Conclua que 4x + 3y e x + 4y so divisiveis por 13 para os mesmos valores inteiros de x e y. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] 2 de Função de 2º Grau
1 - ordenada -6 = x^2 - 6 = - 6 = x = 0 P = (0,-6) d = 4 - 0 = 4 2 - Area = x*(400-x) = -x^2 + 400x Xvert= -b/2a = 200 Dois lados sao 200 e os outros sao 100 Q = 1/2 ou 2/1 Esses nao sao problemas exatamente olimpicos... Essa é uma lista que se dispoe a discutir problemas mais dificeis galera, e a muito que eles nao aparecem. Vamos tentar subir um pouco o nivel das questoes porque assim é desanimador pelo menos eu acho, quem sabe outros integrantes da lista discordem de mim(não quis ser rude, sr SiarJoes, e esse comentario nem é especificamente para voce). On Thu, 3 Mar 2005 21:01:22 EST, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: 1- Uma conta perfurada de um cola é enfiada em um arame fino com o formato da parábola y=x^2-6. Do ponto P de coordenadas (4,10) deixa-se a conta deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada -6 . Qual a é a distância horizontal percorrida pela conta? 2Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um curral retangular. Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a produzir área máxima. Qual é o quociente de um lado pelo outro? Gaba: 1- 4 2- 0,5 ou 2 Abços = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Exercícios *****AJUDA*******
1) C = numero de cãesG = numero de gatos Pensam que sao cães: 0,9C + 0,1G Pensam que sao gatos: 0,9G + 0,1 C = 0,2 G+C = 1= C = 1-G 0,9G + 0,1(1 - G) = 0,2 0,9G + 0,1 - 0,1G = 0,2 0,8G = 0,1 G = 1/8 = 0,125 = 12,5% 3) Pessoas identificadas como infectadas: 0,1*0,9 + 0,2*0,9 = 0,09 + 0,18 = 0,27 P = 0,09/0,27 = 1/3 On Wed, 2 Mar 2005 21:08:01 -0300, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos, preciso novamente da ajuda de vocês. Desde já, agradeço-lhes. 1) Na cidade de Itapipoca, alguns animais são realmente estranhos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães . Todos os outros cães e gatos são perfeitamente normais. Certo dia, todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo verificando-se então 20% deles pensavam que eram gatos. Que percentagem dos animais eram realmente gatos ? R: 12,5% 3) 10% de uma certa população está infectada por um vírus. Um teste para identificar ou não a presença do vírus dá 90% de acertos quando aplicado a uma pessoa infectada e dá 80% de acertos quando aplicado a uma pessoa sadia. Qual a porcentagem de pessoas realmente infectadas entre as pessoas que o teste classificou como infectadas ? Muito obrigado, abraços, Victor. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Listinha boa!!
A minha resolução já mostrava 33 como resposta. Mas a resposta do Saulo nao esta errada, pois como ele falou, o enunciado é ambíguo. Assim, as duas respostas sao aceitaveis. On Thu, 3 Mar 2005 02:29:52 -0300, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Saulo tudo bem? Recentemente tive problemas com essa questao, a de numero 4 e nao consegui resolver e o gabarito indica 33 voltas o que nao corresponde com a sua resolucao Um abraco Do amigo Brunno - Original Message - From: saulo bastos [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, February 22, 2005 6:26 PM Subject: Re: [obm-l] Listinha boa!! 5% mais lento, o tempo tem que ser maior para o carro B, um abraço, saulo. From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Listinha boa!! Date: Tue, 22 Feb 2005 00:13:38 -0300 4)Considere 2 carros que estejam participando de uma corrida.O carro A consegue realizar cada volta em 80s enquanto o carro B é 5% mais lento. O carro A é forçado a parar nos boxes ao completar a volta de numero 06. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro a perde 135s.Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?? v=d/t = t = d/v 80 = d/v t' = d/0,95v = 80/0,95 = 1600/19 segundos. (1600/19) - 80 = (1600 - 1520)/19 = 80/19 segundos Ou seja, a cada volta, o carro A abre 80/19 segundos de vantagem. 135 = 80V/19= V 32,06 = V= 33 Letra C On Mon, 21 Feb 2005 22:53:42 -0300, Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá ser o diametro minimo d do poço? ***2)Numa linha dupla que une duas estações A e B, movimentam-se bondes em ambos os sentidos, com velocidades ctes e iguais em valor absoluto, de forma que, de 15 em 15 minutos, em cada estação, cruzam-se 2 bondes.Um observador passa por uma das estações e assiste ao cruzamento;segue com movimento uniforme uma trajetória paralela aos trilhos e chega à outra estação no instante em que 2 outros bondes se cruzam. Incluídos os 4 vistos nas estações, pelo observador passaram 22 bondes em todo o percurso AB, sendo que 7 movimentando-se no mesmo sentido e 15 no sentido contrario ao observador.Que tempo gasta cada bonde de A a B??? 3) Uma partícula move-se no plano xy.As suas coordenadas são dadas em função do tempo por: x =R cos wty = R sen wt Mostrar que em cada instante a velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor posição. 4)Considere 2 carros que estejam participando de uma corrida.O carro A consegue realizar cada volta em 80s enquanto o carro B é 5% mais lento. O carro A é forçado a parar nos boxes ao completar a volta de numero 06. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro a perde 135s.Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?? A-28 B-29 C-33 D-34 E-NDA Abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: [obm-l] Tangência...
Eu nao gosto dessa definição. Por exemplo, a reta x=0 toca em um so ponto a curva y=x^2 On Tue, 1 Mar 2005 23:14:45 -0300, Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: Eu gostaria de saber qual é o conceito rigoroso de reta tangente a uma curva qualquer (circunferência, elipse, hipérbole, parábola, etc...) A tangente é a linha ou superfície que toca outra linha ou superfície em um só ponto. Cara, acho essa definição bem esclarecedora e concisa.Caso alguém tenha + a dizer... abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Denovo o problema de elipse...
Os angulos BFT' e AFT são complementares, se e somente se o angulo
TFT' for reto. Como FBT' e FAT são retos, concluimos que os triangulos
BFT' e AFT são semelhantes se e somente se o angulo TFT'. Vamos chamas
o angulo BFT' de m e o anfulo AFT de n. T'B será b , FB será a, TA
será d e AF será c.
Assim, sen m = b/a = c/d
Por semelhança de triangulos, d/a = b/c
Formamos entao um sistema:
{b/a = c/d
{d/a = c/b
Tal sistema só será valido, se os triangulos forem semelhantes, o que
ocorrerá somente no caso de TFT' ser reto. Para testar o sistema,
isolamos c na primeira linha e temos:
c = bd/a
d/a = c/b = (bd/a)/b = d/a
Ora, como d/a = d/a se e somente se TFT' for reto, TFT' é reto.
On Fri, 25 Feb 2005 17:55:39 -0300, Bruno Bonagura [EMAIL PROTECTED] wrote:
Estou mandando novamente um problema que mandei para a lista há um tempo
atrás. Imagino que os senhores tiveram dificuldade em acessar a imagem pois
o servidor do uol não permite acesso direto a arquivos de imagem.
Está aqui o link do enunciado.
http://cienciasexatas.sites.uol.com.br/elipse.htm
Gostaria de uma demonstração com uso de geometria plana. Através de
analítica eu ja consegui a prova mas gostaria muito de ter uma demonstração
através de conceitos da geometria euclidiana.
Agradeço respostas!
Bruno Bonagura
http://cienciasexatas.blog.uol.com.br
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Re: [obm-l] QUESTÃO DO IME
Vai nesse endereço. Tem uma soluçao mais interessante, menos braçal e
bem original.
http://www.net-rosas.com.br/~cesario/ita/ime_2002_mat.htm
On Wed, 23 Feb 2005 23:19:09 -0300 (ART), Johann Peter Gustav Lejeune
Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote:
raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
(5-(5-x)^1/2)^1/2 = x
Se x = (5-x)^1/2 entao x e solucao.Ou seja,
x^2 + x - 5 = 0
Tente resolver esta equacao.
Depois disso, abra a expressao original:
x^2 = 5 - (5-x)^1/2
(x^2 - 5)^2 = 5-x
x^4 - 10x^2 + x + 20 =0
Basta escrever x^4 - 10x^2 + x + 20 como o produto de
x^2 + x - 5 com outro polinomio. Voce fica com a parte
bracal e depois confira que solucoes sao validas.
Ha talvez um modo de resolver com trigonometria mas
hoje nao to a fim...
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Qual é a saída?
Resolva:
raiz quadrada de {5 - raiz quadrada de (5-x) }=x,
com x positivo.
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Re: [obm-l] Listinha boa!!
5% mais lento nao significa que a volta de B seja 1,05 a volta de A. Por exemplo, imagine uma volta de 9500 metros. A está a 100 m/s e B a 95m/s A faz a volta em 95 segundos, enquanto B leva 100 segundos. B é 5% mais lento e 100/95 nao é 1,05 On Tue, 22 Feb 2005 20:45:51 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 3) o vetor velocidade da particula e dado por: S=R cos wt *i +R sen wt*j sendo assim, o vetor velocidade e dado por: v=s´=-Rwsenwt*i + Rwcoswt*j fazendo o produto escalar: s.v=(R cos wt )*(-Rwsenwt) + (R sen wt)*(Rwcoswt)=0 o que mostra que os dois vetores sao perpendiculares 4) tempo total que o carro A leva para completar a corrida: 80*n+135 enquanto que o carroB: 80*1,05*n tempo de A tem que ser menor que o tempo de B 80*n+13580*1,05*n 80n*0,05135 n33,75=34voltas From: Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Listinha boa!! Date: Mon, 21 Feb 2005 22:53:42 -0300 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá ser o diametro minimo d do poço? ***2)Numa linha dupla que une duas estações A e B, movimentam-se bondes em ambos os sentidos, com velocidades ctes e iguais em valor absoluto, de forma que, de 15 em 15 minutos, em cada estação, cruzam-se 2 bondes.Um observador passa por uma das estações e assiste ao cruzamento;segue com movimento uniforme uma trajetória paralela aos trilhos e chega à outra estação no instante em que 2 outros bondes se cruzam. Incluídos os 4 vistos nas estações, pelo observador passaram 22 bondes em todo o percurso AB, sendo que 7 movimentando-se no mesmo sentido e 15 no sentido contrario ao observador.Que tempo gasta cada bonde de A a B??? 3) Uma partícula move-se no plano xy.As suas coordenadas são dadas em função do tempo por: x =R cos wty = R sen wt Mostrar que em cada instante a velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor posição. 4)Considere 2 carros que estejam participando de uma corrida.O carro A consegue realizar cada volta em 80s enquanto o carro B é 5% mais lento. O carro A é forçado a parar nos boxes ao completar a volta de numero 06. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro a perde 135s.Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?? A-28 B-29 C-33 D-34 E-NDA Abraços Vinícius Meireles Aleixo _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] média aritmética e geométrica
É, você realmente não comprovou muita coisa. Sendo A a media aritmetica e G a geometrica, temos: A = (x+y)/2 G = sqrt(xy) Vamos provar por absurdo que A=G Suponhamos que AG (x+y)/2 sqrt(xy) (x^2 + 2xy + y^2)/4 xy (x^2 + 2xy + y^2)/4 - xy 0 (x^2 - 2xy + y^2)/4 0 (x-y)^2 /4 0 Absurdo, pois um quadrado é maior ou igual a zero. Logo, A=G On Tue, 22 Feb 2005 19:10:13 -0300, Thiago Addvico [EMAIL PROTECTED] wrote: Sendo x e y números naturais não nulos, a a média aritmética entre eles e g a média geométrica entre eles, prove que a=g eu resolvi assim mas acho q não comprovei nada: para x = y temos: a = x, g = sqrt(x^2) = g = x, logo a = g para x y, por exemplo, y = 9x: a = 5x, g = sqrt(9x^2) = g = 3x, logo a x método análogo para x y é isso? valeu! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Listinha boa!!
4)Considere 2 carros que estejam participando de uma corrida.O carro A consegue realizar cada volta em 80s enquanto o carro B é 5% mais lento. O carro A é forçado a parar nos boxes ao completar a volta de numero 06. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro a perde 135s.Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?? v=d/t = t = d/v 80 = d/v t' = d/0,95v = 80/0,95 = 1600/19 segundos. (1600/19) - 80 = (1600 - 1520)/19 = 80/19 segundos Ou seja, a cada volta, o carro A abre 80/19 segundos de vantagem. 135 = 80V/19= V 32,06 = V= 33 Letra C On Mon, 21 Feb 2005 22:53:42 -0300, Vinícius Meireles Aleixo [EMAIL PROTECTED] wrote: 1)As provas de um detonador de granadas efetuam-se no cemtro do fundo de um poço cilindrico de profundidade H.Os estilhaços da granada, que se produzem depois da explosão e cujas velocidades não ultrapassam Vo, não devem cair na superfície da terra.Qual deverá ser o diametro minimo d do poço? ***2)Numa linha dupla que une duas estações A e B, movimentam-se bondes em ambos os sentidos, com velocidades ctes e iguais em valor absoluto, de forma que, de 15 em 15 minutos, em cada estação, cruzam-se 2 bondes.Um observador passa por uma das estações e assiste ao cruzamento;segue com movimento uniforme uma trajetória paralela aos trilhos e chega à outra estação no instante em que 2 outros bondes se cruzam. Incluídos os 4 vistos nas estações, pelo observador passaram 22 bondes em todo o percurso AB, sendo que 7 movimentando-se no mesmo sentido e 15 no sentido contrario ao observador.Que tempo gasta cada bonde de A a B??? 3) Uma partícula move-se no plano xy.As suas coordenadas são dadas em função do tempo por: x =R cos wty = R sen wt Mostrar que em cada instante a velocidade da partícula é perpendicular ao seu vetor posição. 4)Considere 2 carros que estejam participando de uma corrida.O carro A consegue realizar cada volta em 80s enquanto o carro B é 5% mais lento. O carro A é forçado a parar nos boxes ao completar a volta de numero 06. Incluindo aceleração, desaceleração e reparos, o carro a perde 135s.Qual deve ser o número mínimo de voltas completas da corrida para que o carro A possa vencer?? A-28 B-29 C-33 D-34 E-NDA Abraços Vinícius Meireles Aleixo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Probleminhas facei s que n ão saio..
Mas o raciocínio está certo, só peca no final. sin(90 - x + 20) = SIN(110 - X) = -sin(x-110) = -p On Sun, 20 Feb 2005 15:18:46 EST, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Em um e-mail de 20/2/2005 14:28:02 Hora oficial do Brasil, [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1) Sen(x-110º) = p, o valor de cos (20-x) é: cos(20º-x) = cos(x - 20º) = sin[90º - (x - 20º)] = sin[90º - x + 20º] = sin(x - 110º) = p A resposta é letra b. -p. abços Junior = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual resposta ?
Sabe -se que o resto da divisão de um numero por 6 é 4, ache o resto da divisão de a+1 por 3. Bom, acho que esse a é o numero que dividido por 6 dá 4 (senão nao faria sentido), né ? a = 6k + 4 a+1 = 6k + 5 (a+1)/3 = (6k + 5)/3 = 2k + 5/3 = 2k + 1 + 2/3 - resto = 2 On Sun, 20 Feb 2005 23:14:33 -0300 (ART), Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Sabe -se que o resto da divisão de um n;umero por 6 é 4, ache o resto da divisão de a+1 por 3. Sejam a e b números reais e A a matriz | a b | | - b a | Então, calculando o valor de ( A - aI )^2 + b^2 I, em que I éa matriz identidade de ordem dois, estamos.. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Qual resposta ?
| a b | | a 0 | | 0 b | | 0 b | | -b^2 0 | | -b a | - | 0 a | = | -b 0 | * | -b 0 | = | 0 -b^2 | | -b^2 0 | | -b^2 0 | | 0 0 | | 0 -b^2 | - | 0 -b^2 | = | 0 0 | Então, calculando o valor de ( A - aI )^2 + b^2 I, em que I éa matriz identidade de ordem dois, estamos... perdendo tempo! On Mon, 21 Feb 2005 00:20:46 -0300, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Sabe -se que o resto da divisão de um numero por 6 é 4, ache o resto da divisão de a+1 por 3. Bom, acho que esse a é o numero que dividido por 6 dá 4 (senão nao faria sentido), né ? a = 6k + 4 a+1 = 6k + 5 (a+1)/3 = (6k + 5)/3 = 2k + 5/3 = 2k + 1 + 2/3 - resto = 2 On Sun, 20 Feb 2005 23:14:33 -0300 (ART), Robÿe9rio Alves [EMAIL PROTECTED] wrote: Sabe -se que o resto da divisão de um n;umero por 6 é 4, ache o resto da divisão de a+1 por 3. Sejam a e b números reais e A a matriz | a b | | - b a | Então, calculando o valor de ( A - aI )^2 + b^2 I, em que I éa matriz identidade de ordem dois, estamos.. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 3 problemas
Estou com dificuldades com esses daqui: 1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 + + n^n ? 2) E qual o número final de 1/x (caso seja uma dízima, qual seria o numero final do periodo) ? 3) Demontre que não existe função f: N - N tal que f( f(n)) = n+1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Olha, esse enunciado não é verdade. Podemos dipor as moedas da seguinte maneira: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Essa disposição é perfeitamente viável e não contraria o enuunciado (15 moedas de mesmo diametro formando um triangulo equilatero). Ora, usando essa convençao de X e O, podemos botar as moedas assim: O X X OX X O O X X X O X O O Não formando assim, qualquer triangulo equilatero (não estou querendo ser pentelho, mas é que realmente eu pensei nessa configuraçao antes de pensar naquela onde estao todas amontoadas). On Tue, 15 Feb 2005 21:53:09 -0300, Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: benedito escreveu: Quinze moedas de mesmo diâmetro são dispostas formando um triângulo eqüilátero. As faces de cada uma das moedas são pintadas ou de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um triângulo eqüilátero. [...] Suponha que não há triângulo equilátero e considere o tabuleiro: . . . . a . . a a . . . . . . Os três quadrados marcados com a não podem ser da mesma cor. Suponha s.p.d.g. que eles são pintados da seguinte forma: . . . . O . . X X . . . 1 . . (Eu estou seguindo a convenção do Go -- O é branco, X é preto) O ponto 1 deve ser branco: . . . . O . 2 X X 2 . . O . . Os pontos 2 têm que ser pretos: . . . . O . X X X X . 3 O 3 . Os pontos 3 têm que ser brancos: . . . . * . X X X X . * O * . Mas então acabamos de formar um triângulo equilátero nos três pontos marcados. []s, -- Fábio Dias Moreira = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Moedas em sacos
Claudio, inspirado no seu raciocínio consegui chegar a 883. (Desculpe o plágio, mas gostei da sua idéia) Suponhamos que uma moeda normal pese P e uma moeda mais pesada pese P+Q. 1a pesagem: Colocamos 441 sacos num prato e 441 no outro. Se ficarem iguais obviamente será o outro saco, mas como isso é quase impossivel, a balança indicará em que prato está o saco mais pesado e o também o valor de Q, igual a 1/10 da leitura da balança. 2a pesagem: Numeramos os 441 sacos de 0 a 440 e fazemos o seguinte: Sacos de 0 a 20 --- nao pesamos. Sacos de 21 a 41 --- uma moeda na esquerda Sacos de 42 a 62 --- duas moedas na esquerda ... Sacos de 21k a 21k+20 --- k moedas na esquerda ... Sacos de 210 a 230 --- 10 moedas na esquerda Repetindo o processo com os outros sacos, para o lado direito da balança, chegamos finalmente ate o saco 440. Pesando, já conhecido o valor de Q, chegamos a um grupo final de 21 sacos, dentre os quais estará o mais pesado. Terceira pesagem: Renumerando os sacos de 0 a 20, faremos o seguinte: Não pesaremos o saco 0. Colocaremos K moedas do saco K na esquerda (caso 0K11) e colocaremos K moedas do saco K + 10 na direita (0K11) Assim, concluiremos qual o saco mais pesado. Por que acho (não tenho a menor certeza) que esse é o maior numero possivel: A ultima pesagem pode ter no máximo 21 sacos. A 1a pesagem deve ser usada para descobrirmos o valor de Q, fundamental para as proximas pesagens. Assim, a 2a pesagem deve reduzir de (N-1)/2 para 21. Como são 10 moedas em cada saco, podemos fazer 21 grupos, o que faz com que (N-1)/2max = 21^2 = 441 = N=883 ps.: tentando rapidamente generalizar o problema, caso existam X moedas em cada saco, Nmax = [(2X+1)^2]*2 + 1. Ou caso existam X moedas, e Y pesagens, Nmax = [(2X+1)^(Y-1)]*2+1 Ou ainda no remoto caso de haverem Z pratos (imaginem só, uma balança de prato com 3, 8, 20 pratos... ainda bem que isso é matematica, nao fisica) Nmax = [(ZX+1)^(Y-1)]*Z + 1. Acho q me empolguei, desculpem. On Tue, 15 Feb 2005 15:59:25 -0300, Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Claudio, como sempre a sua engenhosidade é bem vinda. Mas N pode ser ainda maior... Grande abraço, Rogério. From: claudio.buffara Ola' pessoal, Existem N sacos abertos com 10 moedas cada um. Um deles, defeituoso, tem 10 moedas iguais entre si, porem mais pesadas que o padrao. Os outros sacos tem as 10 moedas com o peso padrao (a principio desconhecido). Voce dispoe de uma balanca de 2 pratos, que fornece a diferenca de peso entre os pratos (prato da esquerda menos prato da direita). Qual o maior N que ainda permite a determinacao do saco defeituoso com apenas 3 leituras ? []'s Rogerio Ponce Eu achei N = 242 mas não sei provar que este é o maior N possível. Suponhamos que uma moeda normal pese P e uma moeda mais pesada pese P+Q. PRIMEIRA PESAGEM: Colocamos 121 sacos num prato e 121 no outro. A balança indicará em que prato está o saco mais pesado e o também o valor de Q, igual a 1/10 da leitura da balança. SEGUNDA PESAGEM: Numeramos os 121 sacos que incluem o mais pesado de 0 a 120 e fazemos o seguinte: Sacos 0 a 10: 0 moedas no prato da E e 10 moedas no prato da D; Sacos 11 a 21: 1 moeda no prato da E e 9 moedas no prato da D; ... Sacos 11k a 11k+10: k moedas no prato da E e 10-k moedas no prato da D; ... Sacos 110 a 120: 10 moedas no prato da E e 0 moedas no prato da D. (obs: estou supondo que mesmo após colocar as moedas nos pratos da balança, continuamos a saber de que saco elas vieram. Por exemplo, podemos empilhar as moedas de um mesmo saco e operar a balança com cuidado de forma que as pilhas não desabem) Suponhamos que o número do saco mais pesado seja 11k + r (0 = r = 10). Nesse caso, os pesos em cada prato serão: E = 605P + kQ e D = 605P + (10-k)Q Logo, leitura da balança = E - D = (2k-10)Q. Como já sabemos o valor de Q, ficaremos sabendo o valor de k. Ou seja, após esta segunda pesagem, ficaremos sabendo que o saco mais pesado é um dos 11 seguintes: 11k, 11k+1, ..., 11k+10. TERCEIRA PESAGEM: Re-numeramos os 11 sacos que incluem o mais pesado de 0 a 10 e fazemos o seguinte: Saco 0: 0 moedas no prato da E e 10 moedas no prato da D; Saco 1: 1 moeda no prato da E e 9 moedas no prato da D; ... Saco m: m moedas no prato da E e 10-m moedas no prato da D; ... Saco 10: 10 moedas no prato da E e 0 moedas no prato da D. Suponhamos que o saco mais pesado seja o m-ésimo. Os pesos em cada prato serão: E = 55P + mQ e D = 55P + (10-m)Q. Leitura da balança = E - D = (2m-10)Q. Como conhecemos Q, podemos determinar m e acabou. []s, Claudio. _ Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Exercício sobre Números Primos
acho que consegui, mas nao tenho muita certeza.
Seja P a raiz n-esima de a. E seja K o valor da expressão. Assim P e
K são primos.
a = P^n = a^n = P^(n^2)
K = [P^(n^2) + b]/ [P^(n^2) - b] Multiplicando por P^(n^2) - b
P^(n^2) + b = K*P^(n^2) - K*bIsolando b e P
b*(K+1) = P^(n^2) * (K-1) Dividindo por K-1
P^(n^2) = b*(K+1)/(K-1)
Como b*(K+1)/(K-1) é inteiro, ou (K-1)| b ou (K-1)|(K+1)
Se (K-1)|(K+1), K+1 / K-1 = Z (algum inteiro)
Sendo K-1 = J , temos que J+2 / J = Z = 1 + 2/J
ou seja, K-1 divide 2 = K=2 ou K=3 (ambos sao primos, logo validos)
Se K= 2, P^(n^2) = 3b
Se K= 3, P^(n^2) = 2b
Logo K = 3
P^(n^2) = 2b = P = 2
como b é quadrado perfeito, 2^(n^2) = 2x^2
2^(n^2 -1) = x^2 = x é potencia de 2
Se x = 2, n = raiz3 (nao serve)
Se x = 4, n = raiz5 (nao serve)
Se x = 8, n = raiz7 (nao serve)
Se x = 16, n = raiz 9 = 3.
Assim, n = 3.
Mas se ao invés de dividir K+1 , K-1 dividir b, teremos:
K-1| b = K-1| x
Se queremos n3 (pois já provamos que n=3 é valido), temos que x16.
K-1 é um fator primo menor que 16, logo K-1 E {2,3,5,7,11,13)
ou seja, K E {3,4,6,8,12,14} = menos K possivel é 3, exatamente como
o utilizado na primeira hipotese. Logo, n = 3.
Só conferindo:
P=2 n=3 b= 256 a = 8
8^3 + 256 / 8^3 - 256 = 768/256 = 3 (primo)
Ps.: aproveitando o e-mail, qual programa tipo word se usa pra
escrever caracteres matematicos? eu nao manjo muito de computadores.
=P
On Sun, 13 Feb 2005 17:00:49 -0300 (ART), Alan Pellejero
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Corrigindo: o livro é russo, não alemãodesculpe...
Segue o enunciado!
--- Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED]
escreveu:
Olá amigos!
Um de meus alunos trouxe-me esse exercício que,
segundo ele, foi retirado de um livro alemão.
O exercicío, segundo ele, é para preparação às
Olimpíadas Russas de Ensino Médio.
Gostaria que me ajudassem, pois não estou
conseguindo
resolver!
Seja a um número pertencente ao conjuntos dos
números reais tal que a 1 e a raiz n-ésima de a
seja um número primo.
Pede-se determinar o menor valor de n para que a
expressão:
(a^n + b) / (a^n - b)
seja também um número primo, sabendo-se que b é um
quadrado perfeito.
Um grande abraço!
Alan Pellejero
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Re: [obm-l] Eureka 02: No mínimo 21 númer os
a maior energia potencial ocorre quando temos numeros que podem gerar novos numeros com os mesmos algarismos. Por exemplo 2288 gera 6 (Binomial4,2) numeros diferentes só com 2 e 8. entao podemos partir para 2244, tambem com alta energia potencial. Os com media energia potencial seriam os tipo 4455, que geram tambem 6, mas acabam matando a sequencia. Assim, a maior sequencia que encontrei foi (entre parenteses, os digitos possiveis para o proximo numero): 1199 (1;5;9) 1919 (1;5;9) 1991 (1;5;9) 9911 (1;5;9) 9191 (1;5;9) 9119 (1;5;9) 1195 (1;5;7) 1155 (1;3;5) 1515 (1;3;5) 1551 (1;3;5) 5511 (1;3;5) 5151 (1;3;5) 5115 (1;3;5) 1135 (1;3;4) 1133 (1;2;3) 1313 (1;2;3) 1331 (1;2;3) 3311 (1;2;3) 3131 (1;2;3) 3113 (1;2;3) 3321 (1;2;3) 2233 (2;3) 2323 (2;3) 2332 (2;3) 3322 (2;3) 3232 (2;3) 3223 (2;3) (2) On Sat, 12 Feb 2005 02:54:44 -0200, Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] wrote: -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 [EMAIL PROTECTED] escreveu: | Olá pessoal ! | | Escolha um número de quatro dígitos (nenhum deles zero) e começando com | ele construa uma lista de 21 números distintos, de quatro dígitos cada | um, que satisfaça a seguinte regra: depois de escrever cada novo número | da lista devem-se calcular todas as médias entre dois dígitos desse | número, descartando-se as médias que não dão um número inteiro, e com os | que restam se forma um número de quatro dígitos que ocupará o lugar | seguinte na lista. Por exemplo, se na lista se escreveu o número 2946, o | seguinte pode ser ou 3434 ou 5345 ou qualquer outro número armado | com os dígitos 3, 4 ou 5. | [...] Você já sabe construir uma lista com 6 números? 12 números? 18 números? Não é muito difícil ver que a lista sempre acaba (se você for esperto) em um número de quatro dígitos iguais. Portanto, você quer começar com um número que tenha a maior energia potencial possível. (Eu me lembro de ter feito essa questão da prova -- sim, eu estou ficando velho -- e eu tenho a impressão de que esse 21 pode ser refinado para 29. Eu estou falando besteira?) []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org iD8DBQFCDYwUp7qMXa2oQtsRAsNcAJ9syKfaDU0fPE+l22hjzmwLnkB6xwCdEd7A jQ/8WqObxbp3THbaYbwJuNM= =suNw -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Sobre livros de Cálculo ( OFF - TOPIC)
Acho que eu consegui. Por favor confiram por que eu nao tenho muita certeza se está correto. 10B = A (1) A = B + I = I = 9B (2) Seja X a área do circulo de diametro D. Vcomprimido = XB = 0,5 I De (2) temos que 0,5 l = 4,5 B, logo: X = 4,5 4,5 = 3/4 * D^2 = D=raiz6 3/4 * D^2 * B = 0,5 L = 4,5 B 3/4 * D^2 * A = 5 L= 45 B 9/16 * D^4 * AB = 202,5 B^2 A = 100 B = 10 L = 90 Ora, como queremos raiz6 em funçao de 1 e 10, pelas opçoes vemos que ou é a b ou a e, uma vez que raiz15AB = raiz15000 = 50raiz6 testando, vemos que é a letra B. On Wed, 02 Feb 2005 03:13:01 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi pessoal, eu nao estou conseguindo chegar a nenhuma das respostas, eu achei D=raiz6, nao sei se vc tem que transformar para chegar a alguma das alternativas,la vai: A figura abaixo representa um cilindro de motor de combustão, cujo pistão se desloca entre A e B, comprimindo o ar em seu interior. Se a relação de compressão de ar, entre os volumes máximo e mínimo é de 10:1 e o volume mínimo é de 0,5 l, então o diâmetro do pistão será ( considere pi= 3) ( a ) 6000/AB ( b ) (20raiz(15AB))/AB ( c ) 200raiz(AB) ( d ) 20,8raiz(AB) ( e ) 12,5raiz(15AB) o volume maximo tem altura de 0 a A e o minimo vai de 0 ate B, e a distancia entre A e B e l. Um abraço,saulo. From: Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Sobre livros de Cálculo ( OFF - TOPIC) Date: Mon, 31 Jan 2005 09:31:05 -0300 (ART) Olá a todos os amigos da lista, tenho recebido pedidos de envio dos e-books que possuo. Para facilitar, vou colocar aqui alguns títulos que tenho: Derivadas Parciais e Termodinâmica; Math Calculus Bible; Tom Apostol - Calculus 1 ; Mathematics Classical Geometry - Harvard ; Linear Algebra ; Conjuntos - Universidade de Coimbra; Sobre o Teorema de Green ; Classical Geometriy Construction; About Euler's Theorem; General Encryption; Geometry and Geography; Projective Geometry, Differential Geometry: Analysis and physics; Nuclear Physics; Albert Einstein in Principles Of Theoretical Physics; THE CAMBRIDGE HANDBOOK OF PHYSICS FORMULAS; Mechanical engineering; Physics - Quantum Mechanics Textbook Albert Einstein (E-book) - Relativity; Physics - Quantum Mechanics Textbook; The Physics Behind Flight; The standard model of particle physics; Caso alguém tenha interesse em receber esses arquivos, por favor, adicionem-me no msn, com o e-mail [EMAIL PROTECTED] Um grande abraço a todos, Alan Uchoa Pellejero ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Probleminha
Será que alguem consegue me ajudar nesse aqui? não consigo finalizar. Imagine um circulo de raio 2R com centro na origem. É retirado dele um outro circulo, de raio R, tangente ao eixo Y. Qual a equacao da reta paralela ao eixo Y que divide a nova figura em duas figuras de mesma área? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha
Imagine que as 3 circunferencias estejam do mesmo lado da reta. Sendo x o raio da menor, temos que: - a distancia entre os centros da circunferencia menor e da circunferencia maior (qualquer uma) é 15+x - a distancia entre o centro da circunferencia grande e a reta paralela a reta inicial que passa pelo centro da circunferencia menor é 15-x - como as duas circunferencias maiores tem o mesmo raio, o centro da circunferencia menor está na reta que é tangente as duas maiores em seu ponto de tangencia, logo fechando o triangulo que eu comecei esse cateto mede 15. Aí por pitagoras : (15+x)^2 = (15-x)^2 + 15^2 = x = 3,75 On Thu, 27 Jan 2005 09:27:50 -0300 (ART), elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma reta é tangente a três circunferências, que também se tangenciam mútua e externamente. As duas circunferências maiores têm o mesmo raio, que mede 15 unidades de comprimento. O raio da circunferência menor mede? 5 3,75 2,5 3 7,5 olá pessoal da lista, não sei como armar a questão pois n entendi bem o enunciado. Se for o caso de uma melhor visualização de minha parte diante da resolução de vc's aqui da lista, podem expor a resolução na forma de arquivo (*.doc). Desde já, agradeço! ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de exponenciação...
Não foi só isso, você tambem confundiu os conceitos de elevado a e de exponencial. 2 elevado a 10 é 1024 , não 20. Agora, o que a questao queria era 14^14^14 ou 14*14*14? On Thu, 27 Jan 2005 02:21:04 -0200, Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED] wrote: Opa, temos uma confusão. 4^2 = 16. Vc confudiu com 4*2 = 8. []'s Douglas On Wed, 26 Jan 2005 09:05:29 -0300, Rick [EMAIL PROTECTED] wrote: Bruno, como vc chegou a conclusão de que se o 4 for elevado a um numero par terminará em 6 e se for impar terminará em 4. Até onde eu sei, 4^2 = 8, 4^16 = 54, 4^25 = 100, 4 ^ 33 = 122, como vê nenhum desses serve como exemplo pra sua afrmação. Poderia me explicar como você chegou a essa conclusão? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questão de exponenciação...
basta ver as potencias de 4 (só interessa a unidade) É facil concluir que se o número que 4 estiver elevado for par, terminará em 6 , e se for impar terminara em 4. Assim, é facil concluir que 14^14 = r...6 e 14^r..6 = k6 logo, é 6 On Mon, 24 Jan 2005 16:09:29 -0300, Rick [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, ai vai outra questão que não to conseguindo resolver. Agradeço qualquer ajuda. - O numero 14^14^14 tem como último algarismo (unidade) ? P.s: ^ indica exponenciação. Abraços... Rick __ Yahoo! Mail - agora com 100MB de espaço, anti-spam e antivírus grátis! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 -
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? Seja a = 45 b = 445 c = 20025 45*445 = 20025 e 56*556 = 31136 porque a minha resposta nao esta correta? On Fri, 21 Jan 2005 21:18:54 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Bruno, Relendo teu email, vi que sua resposta para o 2) é 20515 , mas infelizmente a resposta do livro é 19094. On Fri, 21 Jan 2005 20:13:12 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: já havia respondido a essa 2 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Fri, 21 Jan 2005 21:53:25 +, saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: 13- substituindo n+1 na equaçao de F_n, encontramos: F_n+1=F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) substituindo n-1 na equaçao de F_n encontramos: F_n-1=-F_n/2 + (raiz5/2)*(((1+raiz5)/2)^n - ((1-raiz5)/2)^n) logo F_n+1=F_n + F-n-1 15 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= somando-se somente ate os valores negativos n=1 1 - 1/2 = 2/2-1/2=1/2 n=2 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4=1/2+1/3-1/4=1/3+2/4-1/4=1/3+1/4 n=3 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4+1/5-1/6=1/3+1/4+1/5-1/6=1/4+1/5+2/6-1/6=1/4+1/5+1/6 sendo assim, 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n= 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n Estou interessado na resoluçao do problema 2, alguem pode me enviar? Um abraço, saulo. From: Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Date: Wed, 19 Jan 2005 09:59:13 -0200 mas n usei essa identidade pra resolver, usei akela q o menino aí usou e dá certinho, e meu prof disse q é a tal igualdade de sophie-germain, hehehhe. kellem - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, January 17, 2005 5:21 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
eh, foi o que eu pensei. Ele perguntava o numero de ESCORES possiveis, e nao o numero de COMBINAÇOES DOS ATLETAS On Mon, 17 Jan 2005 17:21:23 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: aquela identidade : (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac+bd)^2 + (ad - bc)^2 chama-se Identidade de Bramagupta-Lagrange . a resposta do primeiro exercicio é 13 On Tue, 18 Jan 2005 14:55:42 -0300, Anthony Lee Worley [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto ao problema 1, fiz assim: combinação de 10, 5 a 5 dá=252. Como as chances de um time vencer é igual ao do outro 252 dividido por 2 dá 126 - Original Message - From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 7:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro positivo cujo cubo termina em 888 é : a)10 b)12 c)14 d)16 e)18 *** 6) Se xyz=1 então 1/1+x+xy + 1/1+y+yz + 1/1+z+xz é igual a ? *** 7) Se 2^8 + 2^11 + 2^n é um quadrado perfeito então o valor de n : a)primo b)divisor de 6 c)múltiplo de 3 d)múltiplo de 5 e)ímpar OBS : É possível generalizar este problema ? *** 8) Se S=( 1+2^-1/32 )( 1+2^-1/16 )( 1+2^-1/8 )( 1+2^-1/4 )( 1+2^-1/2 ) então S é igual a : a) 1/2*[( 1 - 2^-1/32 )]^-1 b) ( 1 - 2^-1/32 )^-1 c) 1 - 2^-1/32 d) 1/2*(1 - 2^-1/32 ) e) 1/2 *** 9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 *** 10) (x+y)^7 - x^7 -y^7 quando fatorada completamente em polinômios e monômios com coeficientes inteiros possui um número de fatores igual a: a) 7 b)6 c)5 d)4 e)3 *** 11) Se 10^k é a maior potência de 10 que é um fator de 11^10 -1 , então k vale ? *** 12) Se a,b,c são números reais tais que (bc - a^2)^-1 + (ca -b^2)^-1 + (ab - c^2)^-1 = 0 então a(bc - a^2)^-2 + b(ca -b^2)^-2 + c(ab - c^2)^-2 vale ? *** 13) Se F_n = [(1 + 5^1/2)/2]^n + [(1 - 5^1/2)/2]^n para todos os inteiros n = 0, então, para todos os n= 1, F_n+1 é igual a: a) F_n + F_n-1 b) F_n + 2*F_n-1 c) F_n + 3*F_n-1 d) F_n + 5^1/2*F_n-1 e) F_n + 5*F_n-1 *** 14) Um fator entre 1000 e 5000 do número 2^33 - 2^19 - 2^17 - 1 é : a) 1993 b) 1992 c) 1983 d) 1982 e) 1972 *** 15) O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2n -1 - 1/2n é : a) 1/n+1 b) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n c) 1/n+1 + 1/n+2 + ... + 1/2n d) 1/n + 1/n+1 + ... + 1/2n+1 e) 1/2n *** 16) Sendo x + x^-1 =a, ao escrevermos x^13 + x^-13 como um polinômio em a verificamos que a soma dos coeficientes deste polinômio vale ? *** 17) Se A = (19 + 3*33^1/2)^1/3 + (19 - 3*33^1/2)^1/3 + 1 e B = (17 + 3*33^1/2)^1/3 + (17 + 3*33^1/2)^1/3 -1 , então o produto AB vale ? *** 18) Se R_n = 1/2*(a^n + b^n) onde a=3+2*2^1/12 , b = 3-2*2^1/2 e n = 0,1,2,3,... . Se R_12345 é inteiro, seu algarismo das unidades é ? *** 19) O número [(10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324)]/[(4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324)] vale ? ***
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Sat, 15 Jan 2005 21:56:19 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
9) Demonstre que o produto de quatro números consecutivos somado a uma unidade é um quadrado perfeito. (n*n+1*n+2*n+3) + 1 Seja K tal produto mais unidade efetuando as multiplicacoes, temos: n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1 = (n^2 + an + 1)^2 2a = 6 a=3-K = (n^2 + 3n + 1)^2 On Sat, 15 Jan 2005 22:33:22 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? ab = c (a+11)(b+111) = c+1 ab + 111a + 11b + 1221 = ab + 1 111a + 11b = 9890 como 9890 = 11(mod111) , e 9890/111 = 89, valores possiveis de a sao: 89, 78, 67, 56, 45,... como todos os algarismos sao menores que 9, o valor de a é 45 fazendo contas, b = 445 e c = 20025 a+b+c = 20515 On Sat, 15 Jan 2005 21:56:19 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Quanto a 1, pensei no seguinte, mas nao tenho certeza: existem 10 corredores, logo o total de pontos é (1+10)10/2 = 55 logo, pra vencer um time pode ter 27 pontos no maximo. Como o mínimo é 1+2+3+4+5 = 15, o total de escores é 13 On Sat, 15 Jan 2005 20:22:05 -0200, Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 6) consegui fazer xyz=1 1/(xy+x+1) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/(zyx+x+xy)+ 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = 1/x(yz+1+y) + 1/(1+y+yz) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/x(yz+1+y) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(xyz+x+xy) + 1/(z+zx+1) = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z+xyz+zx = (x+1)/(1+x+xy) + 1/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/z(1+x+xy) = (zx+z+1)/(z+zx+zxy) = (1+zx+z)/(1+zx+z) = 1 On Sat, 15 Jan 2005 20:06:27 -0200, Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] wrote: é mesmo bruno, entendi!!! Valeu, sorry :-) pekeno deslize, heheheh bjinhus] kellem - Original Message - From: Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, January 14, 2005 3:45 PM Subject: Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que: a) existe um elefante que pesa o dobro do elefante à sua direita b) existe um elefante que pesa 3 toneladas c) existe um elefante que pesa 4 toneladas d) existe um elefante que pesa 6 toneladas e) todos os elefantes têm o mesmo peso *** 5) A soma dos algarismos do menor inteiro
Re: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA !
quanto a generalizacao do problema, não consegui. estou curioso pra ver como seria On Fri, 14 Jan 2005 15:45:25 -0200, Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: quanto a 7, acho que o seu raciocinio esta equivocado. So porque a opcao diz multiplo de 3 nao quer dizer que se 3 nao der certo ela estará errada. por outro lado, pensei no seguinte: 2^8 + 2^11 = 256 + 2048 = 2314 = 48^2 ora, se 2^8 + 2^11 é um quadrado perfeito, 2^n é a diferença de x^2 -48^2. ou seja, 97 + 99 + 101 + a_k = 2^n 2^n = (97 + 97 + 2 (k-1) ) k/2 2^(n+1) = (192 + 2k) k 2k = 256 - 192 = 64 k = 32 2^(n+1) = 256*32 = 2^8 * 2^5 = 2^13 n+1 = 13 n = 12 letra c On Fri, 14 Jan 2005 11:22:56 -0300 (ART), Alan Pellejero [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Kellem! Desculpe-me a minha falta de conhecimento no assunto, mas no que consiste a desiguladade de sophie-german? Onde vc encontra essas coisas? Obrigado! Alan --- Kellem :-) 100% SeJ [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Victor Fiz só algumas, pois só dei uma olhadela e já vou mimir...Mas depois eu venho com o resto, se eu conseguir, claro, hehehe. 4) Bem, cada elefante (menos o último) tem q ter um peso ímpar, pois (o tal peso)+ 2vezes (próximo peso) = 15 . Assim, temos, pra o 1º elefante, as seguintes possibilidades de P_1 (peso do primeiro elefante): 1 tonelada == P_2 = 7 == P_3 = 4 (não pode!) 3 tons == P_2 = 6 (não pode!) 5 tons ==P_2 =P_3=...=P_n=5 tons (OK) 7 tons == P_2 = 4(não pode!) 9 tons == P_2 = 3 == P_3=6 (não pode!) 11 tons == P_2=2 (não pode!) 13 tons == P_2=1== P_3 = 7 == P_4 = 4 (não pode!) Logo, só pode ser a letra (e). 5) 1000A + 888 é cubo perfeito Então, 2^3 (125A + 111) é cubo perfeito. Logo, 125A + 111 é cubo perfeito. Mas 125A+111 = 1 ou 6 (mod 10) == 125A+111 é (algo terminado em 1 ou 6 )ao cubo ==, testando 1, 6, 11, 16, 21, 26, ..., 86, 91, 96,... o primiero q serve é o 96. Logo, 125A + 111 = 96^3 == A = 7077 . Assim, 2^3(125A + 111) = (2x96)^3 == o número procurado é 192 == soma dos alfarismos é 12 (letra (b)). Obs: achei bem contarada essa minha solução, deve ter alguma bem mais inteligente e rápida, n tem gente? 7) Tô achando mto estranha, vejam só: o número 3 satisfaz (a), (b), (c) e (e), e 2^8 + 2^11 + 2^3 = 2312, q não é quadrado perfeito . No entanto, p/ a letra (d), pegue n = 10, por exemplo. 2^8 + 2^11 + 2^10 = 3328, q tb não é quadrado perfeito, logo, (?) não tem resposta. Tá certo isso? Me repsondam, ok? 9) (n-2)(n-1)n(n+1) + 1 = (n^2 - 2n)(n^2 - 1) + 1 = n^4 - 2*n^3- n^2 + 2*n + 1 = (n^2 - n - 1)^2, q sorte! :-) 13) F_n+1 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 Por outro lado, F_n + F_n-1 = [[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 + 5^1/2)/2]+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][1+(1 - 5^1/2)/2] =[[(1 + 5^1/2)/2]^n-1][(1 + 5^1/2)/2]^2+ [[(1 - 5^1/2)/2]^n-1][(1 - 5^1/2)/2]^2 = [(1 + 5^1/2)/2]^n+1 + [(1 - 5^1/2)/2]^n+1 = F_n+1. Letra (a). 19) é só usar a desiguladade de sophie-german! Desculpe-me por somente ter feito estas. Bjinhus Kellem eu amo sandy ejr, e vc? Mt lindinhus neh?hehehe, tá bom, vai, vamos a outro assunto, aff. From: Machado [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, January 13, 2005 8:09 AM Subject: [obm-l] Lista de problemas - AJUDA ! Olá amigos, estou precisando de ajuda nos seguintes problemas. Se alguém puder ajudar, agradeço. 1) Um grupo de 10 atletas é dividido em duas equipes , de 5 atletas cada, para disputarem uma corrida rústica. O atleta que terminar a corrida na n-ésima posição contribui com n pontos para a sua equipe. A equipe que tiver o menos número de pontos é a vencedora. Se não existem empates entre os atletas , quantos são os possíveis escores vencedores ? a)10 b)13 c)27 d)120 e)126 *** 2) Os inteiros positivos a,b,c possuem respectivamente 2,3 e 5 algarismos , todos menores do que 9. Sabe-se que todos os algarismos de c são distintos e que ab = c. Além disso, a adição de uma unidade a cada algarismo de a,b e c não altera a veracidade da equação. O valor da soma a + b + c é ? *** 3) A cada um dos vértices de um cubo, é atribuído um dos números +1 ou -1.A seguir, a cada face deste cubo, atribui-se o inteiro resultante do produto dos quatro inteiros que estão nos vértices desta face. Um valor possível para a soma destes 14 números é : a) 12 b)12 c)7 d)4 e)0 *** 4) Quinze elefantes alinhados são tais que os seus pesos são expressos por números inteiros de quilogramas. Se a soma do peso de cada elefante ( exceto o último ) com o dobro do peso do elefante à sua direita, é exatamente 15 toneladas podemos afirmar que
[obm-l] Cônicas
Alguém sabe como determinar, dado 5 pontos no plano, a equação da conica que passa por ele? eu sou novo na lista, e nao sei se isso já foi discutido, mas os livros que eu tenho apenas dizem que 5 pontos definem uma conica... =/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PARADOXO DE LEWIS CARROLL!
Depois de girarmos uma moeda em um semicírculo, a cabeça em uma das faces da moeda, estando para cima no início, deve estar agora, para cima ou para baixo? depende de como você gira. Se você determinar que um ponto e somente ele da moeda esteja tangente ao semicirculo, a cabeça fica para baixo. Agora se você nao se importa com isso, desde que a moeda esteja sempre tangente ao semicirculo, a cara fica para cima. No exato momento em que o trem sai da estação um passageiro começa a caminhar desde o último vagão em direção à locomotiva. Ao chegar dá meia volta e começa a refazer o percurso; ao alcançar o último vagão o trem percorreu seis quilômetros exatamente. Se a velocidade do trem é de 60 Km/h e a do passageiro é de 3 Km/h, quanto mede o trem? Se o trem percorreu 6 km a 60 km/h, passaram-se 1/10 horas. 1/10 horas * 3 km/h = 3/10 km = 300 metros percorridos. Como foi ida e volta, o trem mede 150 metros On Tue, 11 Jan 2005 22:54:51 -0300, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, pessoal! Na minha terra replicou Alice ainda arquejante, quem corre como nós corremos chega sempre a um ponto diferente de onde partiu. Deve ser uma terra muito lenta essa, comentou a Rainha. Aqui é preciso correr como corremos para ficar no mesmo ponto. Para mudarmos de lugar seria preciso que corréssemos o dobro (Lewis Carroll, em Alice no País dos Espelhos - 1872). Essa necessidade de correr para ficar no mesmo lugar me faz lembrar a afirmação de uma famosa modelo brasileira Minha vida deu uma guinada de 360 graus. Depois de girarmos uma moeda em um semicírculo, a cabeça em uma das faces da moeda, estando para cima no início, deve estar agora, para cima ou para baixo? No exato momento em que o trem sai da estação um passageiro começa a caminhar desde o último vagão em direção à locomotiva. Ao chegar dá meia volta e começa a refazer o percurso; ao alcançar o último vagão o trem percorreu seis quilômetros exatamente. Se a velocidade do trem é de 60 Km/h e a do passageiro é de 3 Km/h, quanto mede o trem? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminha
Seja B um inteiro maior que 10 tal que cada um dos seus dígitos
pertence ao conjunto {1, 3, 7, 9}. Demonstre que B tem fator primo
maior ou igual a 11.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] IME X ITA
vocês falam muito do ime e do ita, mas e qto a ufrj? ouvi dizer que eles tem um curso de matematica aplicada muito bom, que oferece um dos maiores leques de possibilidades no mercado de trabalho. Eu nao conheço o curso muito bem, mas se alguem conhece por favor se pronuncie, pode ser que eu esteja enganado e gostaria de ter mais opniões sobre ele On Tue, 11 Jan 2005 20:02:32 -0200, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá thyago, estou começando o IME agora.. estamos no processo de exames médicos, físicos, e etc... e estou gostando muito do clima de la. o pessoal é mto legal, e fora o local do IME que é um dos melhores possíveis. Hj em dia ali na praia vermelha é o melhor local de universidade no Rio de Janeiro (comparando com os locais de campus da UERJ e alguns do Fundão). estou gostando muito, e cada vez mais estou decidindo ficar mais no IME do que ir pro ITA. essas suas informações tb estão me ajudando nessa decisão. abraço Caio ''-- Mensagem Original -- ''Date: Tue, 11 Jan 2005 19:49:41 -0200 ''From: Thyago A. Kufner [EMAIL PROTECTED] ''To: OBM List obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] IME X ITA ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Olah Kellem '' ''Assim como você, deve ter outros que estão com esta mesma dúvida. '' ''Prestei vestibular em dez-2003 e atualmente estou estudando no IME. ''No ano que estudei para o concurso, tambem tive duvidas sobre qual ''instituto escolher. ''Resolvi postar algumas caracteristicas que pesquisei sobre os dois ''institutos que, PARA MIM (eh sempre bom frisar), levaram à decisão ''sobre qual cursar. '' '' ''ITA 1 - Salário só no primeiro ano; ''IME 1 - Salário durante os cinco anos (R$410 atualmente); '' ''ITA 2 - Ensino Militar somente durante o primeiro ano (só na segunda-feira); ''IME 2 - Ensino Militar durante os cinco anos (a cada ano que você ''passa isto diminui, mas não acaba); '' ''ITA 3 - Ótima propaganda profissional entre as empresas (devido ao ''grande recurso humano civil liberado já há vários anos); ''IME 3 - Propaganda crescente, atualmente num nível bom+, entre as ''empresas. Pois faz pouco tempo (se nao me engano três anos) que o IME ''voltou a ter alunos civis se formando (daqui a cinco anos acredito já ''estar num patamar ótimo); '' ''ITA 4 - São José dos Campos; ''IME 4 - Rio de Janeiro; '' ''ITA 5 - Mais perto de São Paulo (melhor centro profissional do Brasil); ''IME 5 - Mais longe de São Paulo. Mas isso não pode ser visto como ''algo ruim. Eu mesmo estou, atualmente, estagiando no Banco Santander ''em São Paulo durante as férias, o que pode vir a ser ruim é não poder ''estagiar em São Paulo durante o curso (No ITA eu sei que só dá pra ''conciliar durante o segundo período do quinto ano um estágio na ''capital); '' ''ITA 6 - Você não tem acesso às provas realizadas durante o curso (ou ''seja, pode não saber o porquê de eventuais notas ruins); ''IME 6 - Antes de os professores entregarem as notas à sessão ''responsável, é feito uma vista de prova para que o aluno veja o porquê ''de sua nota e possa reivindicar possíveis más correções; '' ''ITA 7 - Trote intensivo no primeiro ano; ''IME 7 - Sem trote... mas tem o acampamento no meio do primeiro ano! ''hehehe, mas nada muito absurdo ;-) '' ''ITA 8 - Você só pode pegar segunda época cinco vezes durante o curso ''inteiro (cada vez tem um limite de duas matérias por período); ''IME 8 - Você pode pegar segunda época todos semestres (no limite de ''duas matérias por período); '' ''ITA 9 - Existe dependência (pode reprovar em uma matéria e ''repeti-la no próximo ano); ''IME 9 - Não existe dependência (reprovação implica desligamento); '' ''ITA 10 - Alojamento bom, confortável e com poucas pessoas por quarto; ''IME 10 - Alojamento ruim, dividido entre 12 pessoas (no mesmo quarto, ''mas é espaçoso); '' ''ITA 11 - Não há educação física; ''IME 11 - Há educação física obrigatória três vezes por semana durante ''os cinco anos de curso; '' ''ITA 12 - Desconheço alguma outra escola renomada nos arredores do ITA ''(posso estar enganado); ''IME 12 - Existe a possibilidade de cursar um mestrado simultaneamente ''no IMPA (Instituto de Matemática Pura e Aplicada). Ou fazer cursos ''tanto no IMPA como no CBPF (centro Brasileiro de Pesquisas Físicas), ''ambos no Rio de Janeiro; '' ''ITA 13 - No segundo semestre do quinto ano há uma certa liberdade para ''fazer alguma outra atividade (até em outra cidade) devido ao número ''reduzido de aulas; ''IME 13 - Não há número reduzido de aulas no quinto ano; '' ''ITA 14 - Você escolhe entre 5 especialidades no ato da inscrição para ''o vestibular; ''IME 14 - Você escolhe entre 11 especialidades. Essa escolha ocorre ''somente na passagem do segundo para o terceiro ano (de acordo com a ''classificação), o que dá um tempo maior e melhores critérios para a ''decisão; '' ''ITA 15 - Não há classificação entre os alunos; ''IME 15 - Há
Re: [obm-l] Detran_PE
Cem quilogramas de farelo de milho da para alimentar 5 porcos durante 20 dias. para alimetar 8 porcos, 40 quailogramas de farelo durara? se 100 kg alimentam 5 porcos por 20 dias, alimentam 1 porco por 100 dias, logo 1 kg = 1 porco por dia = 8 porcos = 8 kg por dia 40 / 8 = 5 dias O quadrado de um numeor inteiro somado com seu triplo e igual a metade desse numero mais 3/2. O triplo do quadrado desse numero menos 2 e igual a? x^2 + 3x = x/2 + 3/2 = 2x^2 + 5x - 3 = 0 = x = -3 resp: 25 ps.: nao era necessario fazer contas... o quadrado de um inteiro, tambem é inteiro, logo a unica opçao possivel era essa O valor de m para o qual as raizes da equcao 2x^2 - (m+1)x+(m-1)=0, sao iguais e? delta = 0 - (m+1)^2 - 4*2*(m-1) = 0 - m' = m'' = 3 Dois baldes A e B de volumes iguais, estao cheios de uma tinta formada pela mistura de tintas de duas cores: azul e amarela. No balde A, a proporcao e de uma parte de azul para 3 partes de amarelo, e no balde B a proporcao e de duas partes de azul para 3 partes de amarela. juntando-se os conteudos dos baldes A e B em um terceiro balde C (com capacidade para receber o conteudo dos dois baldes) obtem-se outra tinta cuja proporcao de azul para amarela e? seja z a tinta azul e m a amarela A = z + 3mB = 2z + 3m A+B = 3z + 6m - uma parte de azul para duas de amarelo On Mon, 10 Jan 2005 21:17:35 -0300 (ART), elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: Cem quilogramas de farelo de milho da para alimentar 5 porcos durante 20 dias. para alimetar 8 porcos, 40 quailogramas de farelo durara? 2,5 dias 6 dias 7 dias 5 dias 4,5 dias O quadrado de um numeor inteiro somado com seu triplo e igual a metade desse numero mais 3/2. O triplo do quadrado desse numero menos 2 e igual a? 14 25 21 12 39 O valor de m para o qual as raizes da equcao 2x^2 - (m+1)x+(m-1)=0, sao iguais e? 3 4 -3 1 -5 Dois baldes A e B de volumes iguais, estao cheios de uma tinta formada pela mistura de tintas de duas cores: azul e amarela. No balde A, a proporcao e de uma parte de azul para 3 partes de amarelo, e no balde B a proporcao e de duas partes de azul para 3 partes de amarela. juntando-se os conteudos dos baldes A e B em um terceiro balde C (com capacidade para receber o conteudo dos dois baldes) obtem-se outra tinta cuja proporcao de azul para amarela e? 7 para 10 13 para 27 10 para 17 5 para 8 3 par 7 consegui fazer algunas e em outras estou com duvias! espero q facam! desde ja agradeco Elton ___ Yahoo! Acesso Grátis - Instale o discador do Yahoo! agora. http://br.acesso.yahoo.com/ - Internet rápida e grátis = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] AJUDA!
oi vinicius, fui eu que mandei. Eu queria saber se alguem tinha uma resoluçao baseada em logaritmos, mas até agora nada. A solução que eu tenho é assim: Seja a = kx e b = ky , onde x e y sao primos entre si (kx)^(ky)^2 = (ky)^kx = (kx)^ky^2 = (ky)^x ( I ) 1o caso: Se ky^2 = x , entao x = y , e a=b=1 2o caso: Se ky^2 x , entao de (I ) concluimos que: k^(ky^2 - x) * x^ky^2 = y^x (II) de (II) concluimos que x^ky^2 é divisor de y^x , mas como x e y são primos entre si, e ky^2 0 , logo x = 1 , e : k^(ky^2 - 1) = y se k = 1 =ky^2 = x (não serve) se k =2 = 2^(2y^2 - 1) y(não serve tambem) 3o caso: Se ky^2 x entao de ( I ) concluimos que: x^ky^2 = k^(x - ky^2) * y^x (III) de (III) concluimos quey^x é divisor dex^ky^2, mas como x e y são primos entre si,logoy = 1 , e : x^k = k^(x-k) = sex = Pk, entao: (Pk)^k = k^(Pk - k) = k^k(P - 1) P^k = k^k(P-2) P=k^(P-2) Atribuindo valores a P, temos que: Se P = 3, k=3, x=9, y=1, a=27, b=3 (27;3) Se P = 4, k=2, x=8, y=1, a=16, b=2 (16;2) Se P= 5, entao k^(P-2) P , o que nao serve. Assim, as unicas soluçoes possiveis sao: (1;1) , (16;2) e (27;3) ps: ainda aguardo alguem que apareça com uma resolucao baseada em logaritmos vinicius [EMAIL PROTECTED] wrote: Como q faz esse exercicio da IMO, acho q um cara mostrou ele aqui outro dia... a^(b^2)=b^a Caso alguem possa me ajudar Vinícius Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] logaritmo
como seria essa soluçao "mista" ?Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Depende... Ate onde eu saiba a solucao que eu tenho emarquivo usa MUITA teoria dos numeros. Usando sologaritmos nao parece muito viavel, afinal o fato de ae b serem inteiros e crucial na solucao que eu tenho.Se voce quer uma solucao "mista", talvez haja como...--- Bruno Bruno <[EMAIL PROTECTED]>escreveu: ache os pares de naturais a e b tal que: a^(b^2) = b^a essa questao foi de uma imo recente... indo pela teoria dos numeros, acredito que os integrantes da lista conseguiriam resolve-la sem muito problema... a minha duvida é se é possivel resolver essa questao com o uso de logaritmos... - Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] logaritmo
ache os pares denaturais a e b tal que: a^(b^2) = b^a essa questao foi de uma imo recente... indo pela teoria dos numeros, acredito que os integrantes da lista conseguiriam resolve-la sem muito problema... a minha duvida é se é possivel resolver essa questao com o uso de logaritmos... Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora!
Re: [obm-l] circunferencia
É, foi exatamente esse o raciocinio que eu fiz... aparentemente nao resultou em uma formula muito prática =/Mas gostei da propriedade do determinante, não conhecia Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: De fato, 3 pontos nao colineares definem uma e apenas uma circunferencia. Seestes pontos sao p1, p2 e p3, entao o centro da circunferencia eh ainterseccao das mediatrizes dos segmentos p1p2 e p2p3.Nao me lembro da formula que dah a equacao desta circunferencia em funcaodas coordenadas de p1, p2 e p3, mas provavelmente nao eh mesmo uma expressaomuito bonita.Se vc estah com a equacao correta e ela eh complicada, talvez possasimplifica-la um pouco, mas nao creio que se va chegar a uma formulasimples.Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: [obm-l] circunferenciaData: 10/12/04 20:42ola, sou novo aqui na lista e nao sei se isso ja foi discutidomas um amigo me perguntou se dado 3 pontos nao colineares no plano, se erapo! ssivel determinar a equacao da circunferencia que os contem.considerando p1 = (a ; k) p2 = (b ; m) e p3 = (c ; n) eu consegui chegarnuma solucao que testando pareceu correta, só que muito grande, tanto que sódeu pra testar depois que ele botou em um programa de computador.queria saber se voces conhecem ou conseguiriam deduzir uma formula maissimples... se quiserem depois eu boto a minha aqui, mas nao acho que vai serde grande utilidade.obrigado, Bruno2 (Bruno Bruno)Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! OPEN Internet e Informática@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora!
