Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades
At 12:51 PM 1/10/2004, you wrote: Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo: -Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos de C é sempre maior que a cardinalidade de C. PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem cardinalidade 2^n. E 2^nn para todo n=0. Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P. Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M. Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C, logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está associado a nenhum elemento de C. Absurdo! Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de P é maior que a de C. CQD. -A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de que M pertencesse a P antes de começar a construir M? Perdão, não entendi a sua dúvida. M é subconjunto de C P é o conjunto de todos os subconjuntos de C Entao M pertence a P (e é por isso que faz sentido olhar para M como imagem pela suposta bijecao de algum elemento y de C) Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor: The Art of Infinity André T. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Enrolado com cardinalidades
Isso é verdade, mas não vejo a ligação com o teorema pois Z ! = P(N) (ainda mais forte, #(P(N)) != #(Z) ) Alias, nós sabemos que #(P(N)) = #(R) At 02:38 PM 1/10/2004, you wrote: lembre que os naturais estão contidos nos inteiros e nem por isso eles tem cardinalidades diferentes :-) Will - Original Message - From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 10, 2004 11:51 AM Subject: [obm-l] Enrolado com cardinalidades Estou com uma dúvida quanto a prova da afirmação abaixo: -Dado um conjunto C, a cardinalidade do conjunto P de todos os subconjuntos de C é sempre maior que a cardinalidade de C. PROVA: Se C é um conjunto finito de cardinalidade n, então P tem cardinalidade 2^n. E 2^nn para todo n=0. Suponha agora que C seja infinito, C tem a mesma cardinalidade que o subconjunto de P que contém todos os subconjuntos unitários de C e portanto a cardinalidade de C é menor ou igual a cardinalidade de P. Suponha por absurdo que exista uma bijeção entre C e P. Seja M um conjunto com a seguinte propriedade, se x é um elemento de C e a bijeção associa a x um conjunto ao qual x não pertence, então x pertence a M, do contrário, x não pertence a M. Então por essa definição, M é subconjunto de C e essa bijeção deve associar um elemento y de C ao conjunto M. Mas suponha que y pertence a M. Então, por definição, y não pertence a M pois senão y estaria associado a um conjunto ao qual ele pertence e pertenceria a M ao mesmo tempo. Mas se y não pertence a M, ele está associado com um conjunto ao qual ele não pertence e ao mesmo pertence a C, logo por definição deve pertencer a M. Então o fato de M ter algum elemento associado a ele (qualquer elemento) é contraditório e logo M não está associado a nenhum elemento de C. Absurdo! Logo as cardinalidades de C e P são diferentes e portanto a cardinalidade de P é maior que a de C. CQD. -A minha dúvida é a seguinte: Ele não deveria considerar a possibilidade de que M pertencesse a P antes de começar a construir M? Encontrei a prova no livro abaixo e ela era atribuida a Georg Cantor: The Art of Infinity André T. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] característica de um corpo/dúvida
Vou resolver a 1) olhe para os seguintes elementos do corpo 1 1 + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 .. e assim por diante. Afirmo que estes infinitos elementos sao distintos 2 a 2. Chame de n*, a soma de n 1`s. Suponha que 2 sao iguais. Digamos n* = m* Se n != m, existem mais 1`s de um lado da equacao do que de outro. Subtraindo os 1`s em comum dos dois lados, descobrimos que a caracteristica do corpo nao eh zero (contradicao) Portanto estes elementos sao distintos 2 a 2 e o corpo nao pode ser finito. At 12:12 PM 1/6/2004, you wrote: Olá amigos! 1)Como provo que todo corpo de característica zero possui um número infinito de elementos. 2) mostre que se p não é primo, então Zp não é um corpo. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida/grupo
Lagrange = Se H é subgrupo de G, então |H| divide |G| = p
Quem são os divisores de G ?
Como mostro que se (G, *) é um grupo finito e |G| = p, com p primo,
então:
a) os únicos subgrupos de G são G e {e}
b)G é um grupo cíclico
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Felipe Pina
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Re: [obm-l] Analise em R
Esta funcao eh continua em x =0...Para todo eps0, basta fazermos d=eps e, para todo x tal que |x| delta, temos |f(x) - f(0)| = |f(x)| eps. Para x0 a funcao eh de fato descontinua. É verdade, mas a do Cláudio corrige isso. Mas um classico exemplo eh a famosa funcao de Dirichlet: f(x) =1 se x eh racional e f(x) = 0 se x for irracional. Como entre dois reais distintos hah uma infinidade de racionais e de irracionais, torna-se impossivel satisfazer aa condicao eps- delta de continuidade qualquer que seja o real x. Tive esta idéia mas não serve porque não é bijeção. Artur -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise em R
hmm tente o seguinte... f(x) = x se x é racional -x se x é irracional On Fri, 5 Dec 2003 20:00:41 -0200, Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] wrote: Nao estou conseguindo resolvero exercicio 15 da pag 194 do livro Curso de Analise Vol 1 do Elon. Segue o problema: 15. Defina uma bijecao f: R - R que seja descontinua em todos os pontos. Nao visualizei nada. Pensei em construir uma funcao que tivesse em todos os pontos x limites laterais diferentes, mas nao consegui avancar. Alguem tem alguma ideia? - Marcus Alexandre Nunes [EMAIL PROTECTED] http://grandeabobora.blogspot.com UIN 114153703 -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] alg-lin
Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio parece estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio caracteristico tem apenas raizes complexas? Por exemplo, o operador T:R^2 - R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i. 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) de R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. Entao eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor? Um abraco, Claudio. Oi Claudio, Se você considera R^2 como espaço vetorial sobre R, T não tem autovalores. Como você mesmo observou, x^2 - 2x + 2 não possui raízes reais. O único problema é que você roubou ao olhar para o conjunto dos complexos... Autovalores são elementos do corpo que você associou ao espaço vetorial.Tá vendo, quem mandou você escolher um corpo ruim!!! Se você não escolheu um corpo K algebricamente fechado, claramente terá problemas ao considerar as transformações lineares de K^n em K^n ( K^n E.V. sobre K ). Dizer que os autovalores de T não estão associados a nenhum autovetor não faz sentido. V espaço vetorial sobre o corpo K. T : V - V linear Caso exista x em K tal que ( T - xI ) seja não-injetora, dizemos que x é autovalor de T. Sabemos que ( T - xI ) é não-injetora = existe um vetor v não-nulo tal que ( T - xI )v = 0. Daí v é dito autovetor associado a x. Este =, na verdade, é herdado lá dos grupos... G grupo, f : G - G homomorfismo. Então f é injetora = ker(f) é trivial (somente o elemento identidade) Eu sei que você já sabe tudo isso, mas acredito que será útil para alguém ! -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema
Um problema da Olimpíada Espanhola, se não me engano, de 1985: Para cada número natural n, o número (n+1)(n+2)(n+3)...(2n) é divisível por (2 elevado a n). Benedito (n+1)(n+2)(n+3)...(2n) = (2n)! / n! Para n = 1 o produto é 2 que é divisível por 2^1. Hipótese de indução : (2n)! / n! = k * 2^n, k inteiro Caso n+1 : (2(n+1))! / (n+1)! = [ 2*(n+1)*(2n+1) * (2n)! ] / [ (n+1) * n! ] = 2 * (2n+1) * k * 2^n = m * 2^(n+1) -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] BECO SEM SADA!
Chame de s a soma das idades das pessoas da equipe e de n o número de pessoas na equipe. Então o enunciado nos diz que: (s/n) = 14,625 ou ainda, s = n*(14,625) Mas s é um numero inteiro, logo devemos achar o menor inteiro n tal que n*(14,625) seja inteiro. Podemos prosseguir assim.. n*(14,625) = n * (14 + 625/1000) = n*14 + (n*625)/1000 n*14 sempre é inteiro para qualquer n inteiro, o problema é fazer com que (n*625)/1000 sejainteiro. Isto significa que n*625 deve ser um múltiplo de 1000. Fatorando 625 e 100 em primos temos : 625 = 5^4 1000 = 2^3 * 5^3 Para que n*625 seja múltiplo de 1000, n precisa ter um 2^3 em sua fatoração. O 5^3 já vem de brinde com o 625. Como queremos o menor n, n deve ser 2^3=8 pois qualquer outro inteiro quetenha 2^3 em sua fatoraçao será maior ou igual a 2^3. De fato, n*625 = 5000 é o MMC entre 625 e1000. Espero ter ajudado Ok! Daniel, valeu pela atenção de resposta, mas ainda continuo com dúvidas quanto à ampliação que devo considerar: se linear que vale 0,05 nanômetros ou se volumétrica com aproximadamente 2,61 nanômetros. Aproveitando a carona, gostaria da resolução de um probleminha da RPM que me pegou de surpresa! Grato! A média das idades dos elementos de uma equipe de uma feira de ciências é 14,625. Qual é o menor número de elementos que podem constituir a equipe? Resp: 8 elementos -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] BECO SEM SADA!
É claro que você deve supor que as idades são inteiros positivos.. Senão a resposta do problema seria 1 hehe... -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Grupo Abeliano
Ola Claudio, Hmmm, algumas observacoes... Como existem n+1 subgrupos de ordem n com intersecao trivial dois a dois, estes dao conta de exatamente (n+1)*(n-1) + 1 elementos.. ou seja, n^2 - 1 + 1 = n^2 elementos Logo estes sao todos os elementos de G! Acho que isto é o suficiente para dizer que G é produto direto destes (n+1) subgrupos... Se mostrarmos que cada um destes subgrupos é abeliano, o problema esta resolvido.. Infelizmentenao estou tendo nenhuma ideia. Talvez nao exista nenhum novo subgrupo de G estritamente contidoem algum destes subgrupos. Daí eles seríam cíclicos O que vc acha ? []s Felipe -- Using M2, Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/m2/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida!!!
A completude de R é equivalente a dizer que R é arquimediano mas que se R - R1 é uma inclusão não trivial então R1 é não-arquimediano. Além disso, todo corpo arquimediano é isomorfo a um subcorpo de R. Isto equivale a dizer que toda seqüência Cauchy é convergente ? -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Me deu um branco por favor me ajudem!!!
Uma maneira um pouco mais esperta de resolver isto é usando o método da interpolação de Lagrange. Como o seu polinômio é de grau 2, você tem 3 graus de liberdade ( as constantes a, b e c ). Então chute f(x) como sendo a soma de 3 polinômios de segundo grau bem espertos... f(x) = a*(x-2)*(x-1) + b*(x-2)*(x-(-1)) + c*(x-1)*(x-(-1)) Estes 3 polinômios foram escolhidos (a menos das constantes) de tal forma que f avaliada em qualquer um dos 3 pontos do enunciado se reduz a apenas 1 destas parcelas (vai ficar claro nas contas abaixo). Assim conseguiremos calcular a, b e c rapidamente. Por exemplo, 2 = f(1) = a*(1-2)*(1-1) + b*(1-2)(1+1) + c*(1-1)*(1+1) = b*(-1)*(2) = -2b - b = -1 = -3/3 -4 = f(-1) = a*(-1-2)*(-1-1) = a*(-3)*(-2) = 6a - a = -4/6 = -2/3 -1 = f(2) = c*(2-1)*(2+1)=c*1*3 = 3c - c = -1/3 - f(x) = (-2/3)*(x-2)*(x-1) - (3/3)*(x-2)*(x+1) - (1/3)*(x-1)*(x+1) Você poderia parar por aqui, mas se quiser escrever este polinômio no formato usual, basta efetuar os produtos e juntar os termos ... f(x) = (-1/3) * [ 2*(x^2-3x+2) + 3*(x^2-x-2) + 1*(x^2-1) ] f(x) = (-1/3) * [ 6x^2 - 9x - 3 ] f(x) = -2x^2 + 3x + 1 E aí está a resposta que você quer. Mas, caso queria resolver o seu sistema na mão, basta um pouco de manipulação algébrica... (I) a - b + c = -4 (II) a + b + c = 2 (III) 4a + 2b + c = -1 Somando (I) com (II) nós eliminamos b. - 2a + 2c = -2 - a + c = -1 Se obtivermos outra equação que não envolve b, talvez encontremos a e c... Vamos criar uma combinação linear de (II) e (III) de forma que b desapareça... Que tal (-2)*(II) + (III) ? Isto nos diz que: - 2a - 2b - 2c + 4a + 2b + c = (-2)*2 - 1 - 2a - c = -5 Resumindo, descobrimos que a + c = -1 2a - c = -5 Somando estas duas equações eliminamos c... 3a = -6 - a = -2 - -2 + c = - 1 - c = - 1 + 2 = 1 Então a = -2 e c = 1 De (I) extraímos b pois b = 4 + a + c = 4 - 2 + 1 = 3 - a = -2, b = 3, c = 1 Desta forma, o polinômio que você busca é f(x) = -2x^2 + 3x + 1 Note que é exatamente a mesma resposta obtida pelo método anterior (como devia ser). Espero que esteja claro ;) -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Matrizes e seus polinomios caracteristicos
Ola pessoal, Uma certa resolucao de uma questao do ime de matrizes me despertou um interesse pelo polinomio caracteristico de uma matriz jah q ateh entao eu nao tinha ouvido falar, ateh pq eu sei apenas o basico de algebra linear =] Eu gostaria de saber o seguinte: - Para cada matriz eu tenho apenas 1 polinomio caracteristico ou uma matriz pode ter mais de 1? Apenas 1, por isso falamos 'do polinômio característico'. Se A é a sua matriz e ela é nxn, o polinômio característico de A é definido como p(x) = det( A - x*I ) onde I é a matrix identidade nxn. - Que situacoes podem amarrar o grau de um polinomio caracteristico de uma matriz? Se eu disser por exemplo q uma matriz eh idempotente eu jah amarro o grau do polinomio caracteristico dessa matriz? Todas as situações! Se a sua matriz é nxn, o polinômio característico será de grau n. Basicamente oq eu gostaria de saber eh isso, mas se alguem quiser comentar mais alguma coisa saiba que seu comentario sera de grande utilidade =] Um abraço, Leonardo _ -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida!!!
A completude de R significa que não existe um número 'fora' de R que pode ser arbitrariamente aproximado por uma seqüência de numeros reais. Por exemplo, o conjunto dos números racionais nao é completo pois existem seqüêcias de números racionais que 'convergem' para números que não são racionais (por exemplo, para raíz de 2). Em R, isto equivale a : Se (i) X é subconjunto de R (ii) X não é vazio (iii) X é limitado superiormente ( existe um número real k tal que k = x para todo x em X ) Então X possui um supremo em R (o supremo é o menor real k tal que k = x para todo x em X, ou seja, a menor cota superior para X) Ou ainda, somente o conjunto vazio e os que não são limitados superiormente não possuem supremo. Este assunto é tratado no livro de análise real do Elon (Curso de Análise Vol.1) -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sistemas lineares
On Tue, 21 Oct 2003 18:14:48 -0300 (ART), Nelson [EMAIL PROTECTED] wrote: Ol pessoal, gostaria de uma ajuda nessa questo. Discuta o sistema: (1) mx + y = 1 (2) x + y = 2 (3) x - y = m []s Nelson Some (2) e (3) para obter x = (2+m)/2 Substituia este valor de x em (2) para obter y = (2-m)/2 A fim de que (1) seja satisfeita, necessrio que m*(2+m)/2 + (2-m)/2 = 1 - 2m + m^2 + 2 - m = 2 - m^2 + m = 0 - m = 0 ou m = -1 Resumindo: (A) se m = 0 ento y = 1 e x = 1 soluo nica. (B) se m = -1 ento x = 1/2 e y = 3/2 soluo nica. (C) se m outro valor, as 3 equaes nunca sero satisfeitas simultaneamente, portanto o sistema no ter soluo. -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re:[obm-l] sair da lista
Vcs podiam ao menos prestar atencao nas intrucoes! Na propria msg q vc mandou tem um link... On Tue, 21 Oct 2003 01:38:33 +, tarsis19 [EMAIL PROTECTED] wrote: Repito as palavras de meu companheiro: Por favor, ME TIREM DESSA LISTA!!! obrigado... __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas de Teoria dos Grupos
1-Seja G um grupo finito e seja H um subconjunto nao
vazio de G.Mostre que H é subgrupo de G se e somente
se H é fechado na operaçao de G.[Sugestao: Mostre que,
para cada elemento a pertencente a H, existe um
inteiro positivo n tal que a^n = e(elemento neutro)
].Mostre que esta propriedade nao se mantem para G
infinito.
Suponha que é H fechado em relacao à operação de G. Seja a em H.
Então a sequência infinita a, a^2, a^3, ... está em H. Mas H é finito,
logo
existem repetições nesta seqûência. Isto é, existem dois números n e m
inteiros positivos
distintos tais que a^m = a^n. Suponha, sem perda de generalidade, que m
n.
Como G é grupo sabemos que, em G, existe a^(-n), isto é, o inverso de
a^n. Donde a^m * a^(-n) = e = a^(m-n). Mas, como m n, (m-n) é inteiro
positivo, o que nos diz que a^(m-n) = e = a^0, está na seqüência
acima, e, portanto, em H (a^0 está nesta seqüência). Como (m-n-1) =
0, a^(m-n-1) está na seqüência acima, e, portanto, em H. Mas
a^(m-n-1) é o inverso de a.
Mostramos que :
G grupo finito e H subconjunto de G fechado em relação à operação em G
Então
para todo a em H, a^(-1) está em H (*)
E é fácil ver que :
G grupo qualquer e H um subconjunto de G
Então
H é subgrupo de G - (H é fechado em relação à operação em G) e a
condição (*) é satisfeita
O resultado acima nos mostra que, no caso de G finito, a afirmaçao (*) é
automaticamente satisfeita.
2-Sejam G um grupo multiplicativo e seja H um subgrupo
de G.Mostre que se x pertence a G entao xHy(y é o
inverso de x em G) é tambem um subgrupo de G, sendo
xHy = {xhy tal que h pertence a H}.
xy = yx = e
Peguemos 2 elementos em xHy, digamos, xgy e xhy.
xgy * xhy = xghy
Mas H é subgrupo, logo gh está em H - xghy está em xHy - xHy é fechado
em relação ao produto.
Basta mostrar que qq elemento em xHy tem inverso em xHy. Seja xhy um
elemento de xHy.
Como H é subgrupo, existe h^(-1) em H - x*h^(-1)*y está em xHy
Mas xhy * x*h^(-1)*y = x*h*h^(-1)*y = x*e*y = x*y = e. Logo xHy é
subgrupo.
Mais geralmente, H é isomorfo a xHy (um exercício tranqüilo). Daí é
claro que, xHy é um subgrupo (pois H o é).
Recomendo novamente a leitura do livro 'Tópicos de Álgebra' de I. N.
Hernstein para uma excelente introdução aos assuntos de Grupos e Anéis.
--
[]s
Felipe Pina
=
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Interpretaao do corpo R[x]/(x^2 + 1)
x nao foi definido como i, mas x^2 é igual a -1. Logo, x faz o mesmo papel de i. Eu recomendo uma olhada no livro 'Tópicos de Álgebra' por I. N. Hernstein -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] PEQUENA DVIDA?
On Fri, 3 Oct 2003 20:13:23 -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: OK! Nicolau, valeu pela informação das referências e desculpa pelo caso particular, mas é que alguns colegas estão me trucidando via extra-lista. Oi, Pessoal! Gostaria da ajuda de vocês no problema abaixo. Muito Obrigado! Suponha que você tenha (y + 4) grupos de y coisas em cada grupo. Quantas coisas mais você teria que ter antes que você estivesse certo de que poderia arranjar as coisas em tantos grupos quantas as coisas em cada grupo? Bom final de semana para todos! Para tal, a quantidade de coisas deve ser um quadrado perfeito... Como já temos y*(y+4) = y^2 + 4*y coisas, basta ver quantas coisas precisamos adicionar para chegar no próximo quadrado perfeito.. Tentando (y+1)^2, vemos y^2 + 4*y - (y+1)^2 = 2*y - 1 0, logo (y+1)^2 é pouco.. o próximo quadrado perfeito é (y+2)^2 e (y+2)^2 - y*(y+4) = 4. Ou seja, precisamos de apenas 4 coisas. -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sequencias de Cauchy
Poxa Artur, muito obrigado pela sua explicação. Era exatamente isto que eu não conseguia enxergar. -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Sequencias de Cauchy
Gostaria que alguém esclarecesse a segunite dúvida. Seja (X,d) um espaço métrico e x_n uma seqüência satisfazendo d( x_(n+1), x_n ) - 0. Sejam m e n inteiros positivos diferentes... spg, m n - x_m - x_n = x_m - x_(m-1) + x_(m-1) - x_(m-2) + x_(m-2) - + x_(n+1) - x(n) Usando a desigualdade triangular... - 0 = d( x_m, x_n ) = d( x_m, x_(m-1)) + d( x_(m-1), x_(m-2)) + + d( x_(n+1) , x(n) ) Por que não posso concluir que x_n é Cauchy se cada termo do lado direito fica arbitrariamente pequeno ? Se fosse o caso da implicação ser verdadeira, teríamos que a série harmônica seria convergente, mas não estou conseguindo entender onde está a falha no raciocínio... Obrigado, Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] lgebra Linear
Olá a todos, há algum tempo foi proposto o seguinte problema : Seja V um espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K Seja X um subconjunto L.I. de V com n elementos Prove que X é uma base para V E algumas soluções foram oferecidas. Eu gostaria de apresentar uma (pseudo)solução adicional que usa o seguinte teorema : Teorema --- Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K Então V e W são isomorfos = dimensão(V) = dimensão(W) Solução --- Seja E=[X] o espaço vetorial gerado por X (sobre o corpo K). Como X é L.I. e X gera E, X é uma base para E. Ora, dimensão(E) = cardinalidade(X) = n = dimensão(V) Pelo Teorema acima, E é isomorfo a V. Mas sabemos que E V (onde '' significa 'contido'). Então temos um isomorfismo entre um subconjunto de V (a saber, E) e o próprio V. Gostaria de concluir que E = V mas não consigo... Bom, mas isto mostra, entre outras coisas, que a imagem de X pelo isomorfismo acima é uma base de V. Logo, a menos de isomorfismos, X é realmente uma base de V. Obs : De fato, E = V (igualdade de conjuntos), mas com esta trilha não consegui mostrar isto. Talvez alguém possa me ajudar. []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equao
Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas. Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo: XY = X + Y Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação. Teria como ter uma saída algébrica? Agradeço Olá, X(Y-1) = Y Como Y não pode valer 1, (Y-1) nunca vale zero. Então, X = Y/(Y-1) X inteiro = Y/(Y-1) = N/1 para algum N inteiro = mdc(Y,Y-1) = (Y-1) Ou seja, Y deve ser múltiplo de (Y-1). Isto só occorre quando Y é pequeno... Por exemplo, se Y = 0 = (Y-1) = -1 e (-1).0 = 0 Vamos supor Y 0. Para ver que isto não ocorre quando Y fica suficientemente grande, olhe para a diferença entre 2*(Y-1) e Y 2*(Y-1) - Y = 2*Y - 2 - Y = Y - 2 Y - 2 0 = Y 2 Logo, se Y 2, 2*(Y-1) é maior que Y. Também é óbvio que Y-1 Y. Logo Y não é múltiplo de (Y-1) = X não é inteiro. Sabemos que Y não pode ser 1, e que Y = 0 satisfaz a equação. Falta apenas checar os valores negativos de Y. O caso Y = 2 também vale pois 2*1 = 2. Y 0 = (Y-1) 0 = X, caso seja inteiro, é positivo. Logo teríamos uma solução (X,Y) onde X é positivo e Y é negativo. Mas, como a equação é simétrica com relação à troca de X por Y, (Y,X) também seria solução. Mas esta teria o segundo termo positivo, logo deveria aparecer na nossa análise anterior. É uma pena que as únicas soluções encontradas foram (0,0) e (2,2), pois isto significa que não há solução onde os sinais das variáveis sejam diferentes. Se isto não foi satisfatório, suponha Y 0. Então Y-1 -1 = -1*(Y-1) - Y = -Y + 1 - Y = = - 2Y + 1 0 Ou seja, Y-1 Y e -1*(Y-1) Y. Logo X não é inteiro. As únicas soluções inteiras são as que você apresentou :) OBS : Acredito que esta equação é dita de grau 2 devido ao termo XY. -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Equao
Hmmm.. Só um pouco mais econômica que a minha... On Tue, 30 Sep 2003 21:35:17 -0300 (EST), Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED] wrote: Como Y nao pode ser 1, X = Y/(Y-1) = 1 + 1/(Y-1) Para X ser inteiro, Y-1 deve dividir 1. Logo, Y-1 = 1 ou Y-1 = -1. As soluçoes citadas sao as unicas. Em Tue, 30 Sep 2003 20:32:34 -0300, Carlos [EMAIL PROTECTED] disse: Um aluno me passou uma equação de 1. Grau com duas incôgnitas. Quais os numeros inteiros que atendem a equação abaixo: XY = X + Y Por exemplo (0,0) (2,2) atendem a equação. Teria como ter uma saída algébrica? Agradeço __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Re: [obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Muito obrigado. Eu tinha errado nas contas e concluí coisas falsas. Felipe Pina Mensagem Original == De: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] == Data: Wed, 24 Sep 2003 06:58:49 -0300 on 23.09.03 23:55, Felipe Pina at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. Seja (a[n]) a seqüência real definida por : a[0] = 1 a[1] = 1 n=2 - a[n] = sqrt( a[n-1] sqrt(2*a[n-2]) ) Oi, Felipe: Vou provar por inducao que a sequencia eh limitada superiormente por 2 e monotona crescente a partir de a(2). 1) (a(n)) eh limitada superiormente por 2: a(1) = a(2) = 1 2 Se a(k) 2 para 1 = k = n, entao: a(n 1) = sqrt(a(n) sqrt(2*a(n-1)) sqrt(2 sqrt(2*2)) = sqrt(4) = 2 Logo a(n) 2, para todo n. * 2) (a(n)) eh monotona crescente a partir de a(2): a(3) = sqrt(a(2) sqrt(2*a(1))) = sqrt(1 sqrt(2)) 1 = a(2) Se a(k 1) a(k) para 2 = k = n, entao: [a(n 1)/a(n)]^2 = 1/a(n) sqrt(2*a(n-1))/a(n)^2 Mas, por (1) e pela hipotese de inducao, a(n-1) a(n) 2. Logo: 1/a(n) sqrt(2*a(n-1))/a(n) 1/2 sqrt(2*a(n-1))/a(n-1) = 1/2 sqrt(2)/a(n-1)^(3/2) 1/2 sqrt(2)/2^(3/2) 1/2 1/2 = 1. Ou seja, a(n 1)^2 a(n)^2 e, como ambos sao positivos, a(n 1) a(n). Logo, a(n 1) a(n) para n = 2. * 3) (a(n)) eh monotona e limitada == (a(n)) converge para um limite L, tal que L = sqrt(L sqrt(2*L)) == L^2 = L sqrt(2*L) == (L^2 - L)^2 = 2*L == L^4 - 2*L^3 L^2 - 2*L = 0 == L*(L^2 1)*(L - 2) = 0 == L = 2 (as outras raizes: 0, i e -i sao obviamente descartaveis). Assim, lim a(n) = 2. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Sub Espaos Vetoriais. Duvidas..
On Tue, 23 Sep 2003 02:54:13 +, Juliano L.A. [EMAIL PROTECTED]
wrote:
Olá pessoal,
Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder corrigir oq
eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao consegui terminar,
agradeceria. Valeu
O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo sao sub
espacos vetoriais do R3:
1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
Verificando..
i) Para todo u, v E W; u+v E W
sejam u = (x1, y1, z1) E W
v = (x2, y2, z2) E W
u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
z1+z2 = 0+0=0
ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
[a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?
Sim, prova. As propriedades de associatividade, comutatividade e
distributividade são herdadas de R3, assim como a multiplicação por 1. O
fechamento em relação ao produto por escalar garante que 0 esta em W e,
para todo v em W, -v está em W. O fechamento em relação à soma também está
provado, de modo que todas as propriedades estão satisfeitas. Resumindo, a
fim de provar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço
vetorial, basta mostrar que é fechado em relação à soma e ao produto por
escalar.
e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
faço y = x²
entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
Sabemos que
y1 = x1^2 e y2 = x2^2
- y1 + y2 = x1^2 + x2^2 que nem sempre é igual a (x1 + x2)^2
Logo W não é um subespaco.
e como ficaria na outra propriedade?
a * (x,y,z) = (a*x,a*y,a*z) = (a*x,a*x^2,a*z) = (x1,y1,z1)
a fim de que W seja subespaco, teriamos que y1 = x1^2
como a*x^2 nem sempre é igual a (a*x)^2, W não é subespaço.
obrigado.
[]s
Felipe Pina
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[obm-l] Convergencia de uma sequencia real
Olá para todos. Ontem fui apresentado ao problema abaixo e não consegui resolvê-lo. Espero que alguém possa me ajudar. Seja (a[n]) a seqüência real definida por : a[0] = 1 a[1] = 1 n=2 - a[n] = sqrt( a[n-1] + sqrt(2*a[n-2]) ) Suspeito fortemente que esta seqüência é convergente. É facil ver que, para todo n, 1 = a[n] = 2. Também é claro que se (a[n]) converge, então seu limite é 2. O que conseguimos mostrar foi que : (1) a[k+1] = a[k] = a[k-1] - 1 = a[k] = r (2) a[k+1] = a[k] = a[k-1] - r = a[k] = 2 (3) a[k] = a[k-1] = 2 - a[k+1] = 2 (Durh!) Onde r = (1/2) * (1 + sqrt( 1 + 4*sqrt(2) )) ~ 1.7900440156727579846758505438531824526068425193036 [ Maple ;) ] Obs : r é a única raíz real de p(x) = x^4 - 2*x^3 + x^2 - 2 que pertence ao intervalo [1,2] Tomando as contra-positivas das implicações (2) e (3) aprendemos que : (N1) r a[k] = 2 - (a[k+1] a[k]) ou (a[k] a[k-1]) (N2) 1 = a[k] r- (a[k+1] a[k]) ou (a[k] a[k-1]) Ou seja, se estamos em (r,2] no tempo k, acabamos de descer ou vamos descer agora! :) Logo, não podemos subir 2 vezes seguidas. E, se estamos em [1,r], acabamos de subir ou vamos subir agora. Isto mostra que, se a seqüência converge (para 2), ela não é monónota ( por (N1) ), e, portanto, deve convergir dando umasosciladas espertas.. sobe, desce, sobe, desce... esse tipo de coisa Bom, isto foi tudo o que eu e o Will conseguimos descobrir sobre este problema. Aguardo comentários. []s Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, 20 Sep 2003 08:49:39 -0700, niski [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
Bom estou com o seguinte problema
Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
elevado a a indicie n vezes x)
onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
Prove que A é L.I.
Hmmm, acho que indução resolve o problema. Suponha que este conjunto seja
LI quando tem n-1 elementos. Vamos olhar para o caso de n elementos. Se
este conjunto fosse LD, existiriam numeros c_i reais (estou supondo que o
corpo é o corpo dos reais), nem todos nulos, tais que
c_1 * e^(a_1*x) + c_2 * e^(a_2*x) + ... + c_n * e^(a_n*x) = 0
Bom, c_n nao pode ser zero, pois neste caso todos os c_i o seriam (o
conjunto de n-1 elementos é LI por hipotese). Entao podemos isolar a última
parcela desta soma e obter e^(a_n*x) como combinação linear dos outros
vetores. Resumindo, poderíamos escrever e^(a_n*x) como combinação linear
dos outros vetores.
e^(a_n*x) = soma ( -(c_i/c_n) * e^(a_i*x), 1=i=(n-1) )
ou
e^(a_n*x) = soma ( b_i * e^(a_i*x), 1=i=(n-1) ) onde b_i = -(c_i/c_n)
Mas isto é um absurdo porque esta igualdade vale para todo x real. A idéia
é que temos poucos graus de liberdade (os n-1 coeficientes b_i) para
satisfazer muitas igualdades. Escolhendo n valores espertos para x,
descobriremos que não existem os tais coeficientes b_i que satisfaçam todos
os nossos pedidos. Logo, quaisquer que sejam os coeficientes b_i, sempre
existe algum ponto na função e^(a_n*x) que não é atingido pelo lado direito
da igualdade. Então conjunto em questão (de n elementos) deve ser LI.
Resta apenas mostrar que este conjunto é LI para n = 1 (caso base da
indução). Mas
c * e^(a_1*x) = 0 = c = 0 ou e^(a_1*x) = 0 = c = 0.
[]s
Felipe Pina
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Re: [obm-l] Algebra Linera
Prezado felipe, muito obrigado pela sua atenção.
creio que na minha primeira pergunta eu não fui claro.
Sem problemas. Se me permite vou fazer uma tentativa...
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X
linearmente independente com n vetores desse espaço.
é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ?
ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI
com n vetores será uma base desse espaço?
Seja X o conjunto LI de n vetores(x_i, i=1..n). Como dim(V) = n, sabemos
que qualquer conjunto com mais de n elementos será LD. Seja v um elemento
de (V-X) nao nulo e seja Y = X U {v}. Entao Y é LD.
= Existem a_i, i=1..(n+1) no corpo (o coitado nao ganhou nem um nome) nao
todos nulos tais que
soma( a_i*x_i, i=1..n ) + a_(n+1)*v = 0
Suponha a_(n+1) = 0, entao a_i = 0 para 1=i=n pois X é LI.
Isto contradiz o fato de nem todos os a_i serem nulos. Logo a_(n+1) != 0.
Entao v = (1/a_(n+1)) * (-soma(a_i*x_i,i=1..n)) = soma( -(a_i/a_(n+1)) *
x_i, i=1..n ).
Ou seja, v pertence ao conjunto gerado por X. Obviamente qualquer vetor em
X também pode ser gerado por X. Ah, e o vetor nulo também... Então qualquer
elemento de V pode ser gerado por X.
Isto, juntamente com o fato de X ser LI significa que X é uma base. H,
será que isto vale também para espaços de dimensão infinita ?
Espero ter ajudado e nao ter cometido nenhum engano.
[]s
Felipe
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Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Vc tem toda a razao. Meu erro. On Tue, 16 Sep 2003 23:11:36 -0300, Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Felipe, a pergunta é mais geral do que esta: será que para n 1 existe m tal que f(m) = g(n)? Duda. From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -0300, nakamuraj [EMAIL PROTECTED] wrote:
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me
dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
Gostaria de perguntar o seguinte:
Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço?
ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão
n?.
Nao, pode existir algum vetor em V que não é combinação linear dos
vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0)
,(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera R^3 pois não
existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) =
(0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da função abaixo :
f : R^m (m-upla de coeficientes reais )- R^n (espaco vetorial)
f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1=i=m )onde m é a
cardinalidade de X (m=n senao X nao seria LI)
mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL
dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).
X é base = f é bijetora
b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( mn) que gere um espaço
de dimensão n?
Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X
tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai
continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes já geravam V. O
único problema é que X não será mais uma base ( vc perde a injetividade
acima - X passa a ser LD ).
desde agradeço a colaboração de voces.
joão Nakamura
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Felipe Pina
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Re: [obm-l] Somatorio e Triplos Pitagoricos
1) Ache uma formula fechada para somatorio(k^3, k = n até 2n) Sabendo que f(n) := soma(k^2,k=1 ate n) = (1/4)*(n^4 + 2*n^3 + n^2) Obs : Posso dar uma contrução explícita deste expressão, caso queira. e que g(n) := soma(k^3,k=n até 2n) = soma(k^3,k=1 ate 2n) - soma(k^2,k=1 ate n-1) temos que g(n) = f(2n) - f(n-1) = (1/4)*(15*n^4 + 18*n^3 + 3*n^2) -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Oi, pessoal: Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Sim, uma demonstração bem simples. Sejam f(n) := n^2 g(n) := n! = (DELTA(f))(n) = f(n+1) - f(n) = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1 (DELTA(g))(n) = g(n+1) - g(n) = (n + 1)! - n! = (n + 1)*(n!) - n! = n*(n!) Então (DELTA(g))(n) - (DELTA(f))(n) = n*(n! - 2) - 1 n =4 = n! = 24 = n*(n! - 2) = 4*(24 - 2) = 4*22 = 88 Ou seja, para n =4, a função g(n) cresce mais rapidamente que f(n) Ora, g(4) = 4! = 24 e f(4) = 4^2 = 16 g(4) f(4). Logo, de n=4 em diante as funções nao se igualam mais. Resta apenas checar os pontos antes de 4... g(3) = 3! = 6 != 9 = 3^2 = f(3) g(2) = 2! = 2 != 4 = 2^2 = f(2) Então f(n) e g(n) são diferentes para todo n 1. -- Felipe Pina = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] massa e o momento de inércia
O momento de inércia ( para uma distribuicao continua de massa ) é definido por int(r^2*dm) onde r é a distancia de uma parte infinitesimal do corpo ao eixo de rotacao e dm é a sua massa. podemos modelar este problema com o eixo vertical na esquerda e a barra horizontal na direita ( devido aos dados do problema, podemos assumir q a barra é um objeto unidimensional ): | | --- | dividindo a barra em pedacos de comprimento dr e massa dm, e assumindo uma densidade linear de massa constante ( o problema n fala nada ) ... M/L = d ( densidade linear de massa ) dm = d * dr = M/L * dr O momento de inercia sera uma integral desde o inicio da barra ate o final ( r = 0 ate r = L ) I = int( r^2 * dm ) = int ( r^2 * M/L * dr ) = M/L * int( r^2*dr ) = M/L * L^3/3 = (M*L^2)/3 tente fazer o caso em que o eixo de rotacao passa exatamente pelo meio da barra.. acho que a resposta é ML^2/12 | ---|--- | para maiores informacoes sobre o conceito de momento de inercia, recomendo o livro Física 1 - quarta edicao dos autores Resnick/Hallyday/Krane espero ter ajudado. []s Felipe At 12:20 AM 3/16/2002 -0300, you wrote: O problema seguinte deve ser de fácil resolução para os mais experientes na área de engenharia. Contudo, gostaria de tirar uma dúvida chata da minha cabeça. Andei pesquisando em alguns poucos livros de cálculo e mecânica a teoria de momento de inércia, e nenhum citava massa nas fórmulas, apenas raio de giração e área, como se verifica na fórmula J=integ(y^2.dA). Há contudo em alguns (3) execícios que cairam na prova de tranferência da Usp (2002) a relação entre massa e o momento de inércia. Se for possível me ajudar nesse assunto explicando essa relação, ficarei muito grato. Se não for possível, tente então resolver um desses problemas (expondo a resolução) a exemplo do que pedi. Lá vai: (Usp) Uma barra delgada e uniforme de massa M e comprimento L, muito maior que o diâmetro de sua secção transversal, pode girar em torno de um eixo perpendicular ao seu comprimento, que passa por um de sua extremidades. O momento de inércia da barra em relação a este eixo é ... Obrigadão pela ajuda! _ Oi! Você quer um iG-mail gratuito? Então clique aqui: http://registro.ig.com.br/censo/igmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Ajudem-me!
At 10:31 PM 2/28/2002 -0300, you wrote: Olá pessoal!!! Estou com alguns simples problemas que não consigo resolver e sei que vocês da lista conseguem. Pretendo a transferência para a Politécnica de SP para o ano de 2003 e para isso estou estudando desde já. Passei, dentre outras, na UFSCar, onde pretendo cursar e, sendo ela Federal, começará em Maio, havendo um atraso no ano letivo que pode me prejudicar na prova de transferência. Portanto, conto com a ajuda de vocês. 1) Alguém poderia me resumir sucintamente ou passar uma lista de livros que explicam com facilidade os conceitos de Momento de Inércia, Momento Angular, Torque e Rolamento? Eu sei que estes assuntos estao bem explicados no livro do Hallyday voume 1 O nome do livro é Física I e tem uma capa preta. 2) Gostaria de saber porque a equação da reta tangente à curva x^2-xy+y^2=7 no ponto (1,3) é 5y-x-14=0 (m=1/5) e não 6y-x-14=0 (m=1/6) Eu refiz a derivação mas não dá o coeficiente da resposta. Esta n da para eu tentar agora pq estou com pressa hehe.. /6 3)Como se Integra isto aqui : \6x^3 * raiz(x^4+9) * dx /0 essa é direta : int( 6(x^3) * raiz(x^4 + 9) * dx ) vamos por substituicao.. seja u = x^4 + 9, entao du = 4 * x^3 * dx int( 6(x^3) * raiz(x^4 + 9) * dx ) = int( raiz(u) * 6/4 * du ) = 3/2 * int( raiz(u) * du ) = 3/2 * 2/3 * u^(3/2) = u^(3/2) = (x^4 + 9)^3/2 utilizando os limites 0 e 6 temos : (6^4 + 9)^(3/2) - (0^4 + 9)^(3/2) = 1305^(3/2) - 9^(3/2) = 47115.84277597183680470206363393 na minha calculadora.. 4) Se for possível, mandar uma lista dos assuntos vistos em Matemática, Física, etc, durante o primeiro ano Universitário das Engenharias no geral. Que eu me lembre... Matematica : Algebra Linear I, Calculo I e Calculo II Fisica : Fisica I e Fisica II Obrigado pela coopereção. Um abraço!!! abraços, Felipe Pina _ Oi! Você quer um iG-mail gratuito? Então clique aqui: http://registro.ig.com.br/censo/igmail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Philosophical Problems with Calculus
Alguem poderia dar uma olhada nesta pagina http://www.friesian.org/calculus.htm e comentar sobre o assunto ? []s Felipe = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1
Corrijam-me se eu estiver errado, mas 1,0... e 0,99... nao sao duas representacoes decimais para o mesmo numero 1 ? At 10:16 PM 2/26/2002 -0300, you wrote: Eu quase nunca falo nada nesta lista, mas este problema eu gosto :) Uma explicação bem simples: (ou como jogar seu professor pela janela) temos x = 0,999 10x = 9,99 10x - x = 9x = 9 logo x = 1. Uma outra explicação que eu gosto é assim: Desenhe um segmento de reta que significa os reais de 0 a 2, e marque o 1 no meio. Vamos tentar ver a diferença entre 0,99... e 1. Concordamos que 1,00... = 1. Divida o segmento de 0 a 1 em 10 partes, e faça o mesmo com o segmento de 1 a 2. Onde estão os dois números que estamos comparando? 0,99... está no último pedaço do primeiro segmento, ou seja, entre 0,9 e 1. (entre no sentido de 0,9 = x = 1) enquanto que 1,00... está no primeiro pedaço do segundo segmento, ou seja, entre 1 e 1,1. Você continua dividindo estes segmentos em 10 partes, para descobrir a posição do número na reta com precisão de cada vez mais casas decimais. Você chega à conclusão de que 1,0... está tão perto de 1 quanto 0,9..., porque ambos estes números sempre vão ficar no pedacinho que está mais perto do 1! Então se concordamos que 1,00... = 1, não temos porque não concordar que 0,99... = 1. - Original Message - From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, February 24, 2002 11:27 AM Subject: Re: [obm-l] t. fundamental da algebra e 0,999...=1 At 02:03 24/02/02 -0300, you wrote: Olá colegas da lista, venho mais uma vez tentar esclarecer algumas dúvidas: 1) Achei na Internet uma demonstração elementar do teorema fundamental da algébra, q usa cálculo. O problemas é q ela cita tb coisas como anéis, corpos... (o pouco q eu sei sobre isso é q têm a ver com a teoria dos grupos de Galois, ou não), como já vi vários comentários sobre isso e esse parece ser um assunto importantissimo quero estudar algo e gostaria de referências de livros para um iniciante...Eu estava dando uma olhada no arquivo da lista e encontrei uma mensagem dizendo q Gauss chegou a dar 3 provas do teorema fundamental da algébra mas q todas tinham considerações geoméricas e q ele queria obter uma q fosse livre dessas consideraçoes, o q sao essas consideraçoes geometricas q ele utilizou? alguém poderia mostrar mais ou menos o ponto de partida das demontraçoes de gauss? 2) 0,999...=1, essa é uma afirmação q ainda causa certa polêmica entre meus colegas aqui por onde moro. Recentemente um desses colegas perguntou ao seu professor de Cálculo se essa afirmação é verdadeira e ele a negou e disse q se isso fosse verdade se jogava do prédio onde dá aulas. Foi a maior polemica na aula. Esse colega pediu-me q renisse algo sobre tal afirmaçao para q ele levasse ao tal professor. Acabei de enviar para esse meu colega tudo q pude encontrar na lista sobre o assunto, (e-mails do nicolau, ralph e etc.) juntamente com o endereço da lista, para ele entregar ao tal professor e esse entaum tirar suas proprias conclusoes... Eu nao quero retomar esse assunto aqui na lista uma vez q ele já foi muito discutido, o q eu queria era pedir informação sobre q área da matematica devo estudar para poder compreender melhor isso e referencias de livros Alguém na lista (acho que o prof. Eduardo Wagner) mostrou um argumento que convence qualquer um. Se x e y são reais diferentes, existe ao menos um número real entre eles. Tente achar um número real entre 0,999... e 1... Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite 3) qual é a equaçao do lugar geometrico dos pontos cujo produto das distancias a dois outros pontos é uma constante?(como na elipse só q ao inves de se somar se multiplica, se naum fui claro...). Achei uma equação enorme pra se escrever aki... alguém sabe algum programa q eu possa usar para escrever equaçoes e obter graficos... de preferencia gratis (tentei usar algumas simulçaoes em java na internet mas as q achei só escrevem funçoes...)? []´s hugo ps: se alguém aqui cursa ciencia da computaçao na UnB ou pode me dar informaçoes sobre o curso por favor me contatem. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente
desculpe, mas nao estou entendendo o seu raciocinio.. Um corpo caindo em queda livre num campo gravitacional de valor 10 realmente percorre uma distancia d = (10t^2)/2 = 5t^2 num intervalo de tempo t. A sua velocidade em funcao de t eh 10t. isto é uma reta com inclinacao 10, o que implica que sua derivada em relacao a t ( a aceleracao ) vale 10, ou seja, independe de t, exatamente o que foi imposto no campo. A distancia percorrida em funcao de t é uma parábola ( d = 5t^2 ), cuja funcao derivada ( a velocidade ) é 10t, exatamente o que vc obteve atraves das 'equacoes horarias'. Por favor esclareca melhor a sua duvida. []s Felipe At 09:15 AM 2/15/2002 -0300, you wrote: Desculpe-me. E que antes eu tinha feito com numeros (2s), mas agora o certo e 5t Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20! Troque a tangente 10 por 5t e a tangente 20 por 10t - Original Message - From: Felipe Pina [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 14, 2002 11:20 PM Subject: Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente At 09:34 PM 2/14/2002 -0300, you wrote: Numa equacao do tipo y=ax^2, a tangente a parabola no ponto (x,ax^2) e 2ax. Vejo isso quando penso na fisica imaginando um corpo, inicialmente em repouso, que cai em queda livre. A distancia que ele percorre e dada por d=(10t^2)/2. Entao, 10t e sua velocidade (tangete) instantanea. Mas, antes de pensar na fisica, achava que, NA REGIAO de [t,(10t^2)/2], a equacao ficaria parecida com: d = (10t^2)/2 = 5tt = 10t. desculpe, mas por que 5tt = 10t ? Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20! Sei que este modo de pensar esta errado, mas nao sei muito bem o motivo de ele estar errado. Alguem poderia me ajudar? Com a ajuda disso (e outro atalho) da pra fazer a questao 29 de matematica do ITA deste ano sem usar a dita circunferencia e tao rapido quanto multiplicar 33x37. Obrigado, Gustavo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Funcao quadratica e uma tangente
At 09:34 PM 2/14/2002 -0300, you wrote: Numa equacao do tipo y=ax^2, a tangente a parabola no ponto (x,ax^2) e 2ax. Vejo isso quando penso na fisica imaginando um corpo, inicialmente em repouso, que cai em queda livre. A distancia que ele percorre e dada por d=(10t^2)/2. Entao, 10t e sua velocidade (tangete) instantanea. Mas, antes de pensar na fisica, achava que, NA REGIAO de [t,(10t^2)/2], a equacao ficaria parecida com: d = (10t^2)/2 = 5tt = 10t. desculpe, mas por que 5tt = 10t ? Isso parece uma reta de tangente 10. So que sua tangente deveria ser 20! Sei que este modo de pensar esta errado, mas nao sei muito bem o motivo de ele estar errado. Alguem poderia me ajudar? Com a ajuda disso (e outro atalho) da pra fazer a questao 29 de matematica do ITA deste ano sem usar a dita circunferencia e tao rapido quanto multiplicar 33x37. Obrigado, Gustavo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
reslmente este é mais simples...
A, B e C formam um triangulo com AB = 2, AC = 2 e CAB = Pi/3
a coordenada x do ponto C pode ser obtida somando-se cos(Pi/3) a 1 (
coordenada x de A ) dando 3/2
a coordenada y do ponto C pode ser obtida somando-se sin(Pi/3) a 2 (
coordenada y de A ) dando 2+(sqrt(3)/2)
entao
C = ( 3/2, 2 + (sqrt(3)/2) )
[]s
Felipe
At 09:38 PM 2/11/2002 -0300, you wrote:
Ola,
Mandem problemas... mandem, mandem! :)
Este é mais simples.
Sejam A(1,2) e B(3,2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano segAC
é obtido de segAB por uma rotacao de 60o, no sentido anti-hortario. Quais
as coordenadas de C?
Divirtam-se.
Abracos.
ps: Grato pela participacao quanto ao problema da sequencia. Se todos de
fato nos empenharmos, esta lista tende a evoluir numa exponencial ;).
-- Mensagem original --
oi cara, acho que vc quis dizer Recursão ao invés de repercursão =)
abraços
Marcelo
From: René Retz [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Problemas afinal =)
Date: Mon, 11 Feb 2002 00:16:06 -0300
Ae pessoal, acho que eu acabei complicando um pouco, mas para efeito de
conhecimento eu resolvi por repercursao ( acho que é isso )
desculpem-me qualquer erro.
1. Dada a sequencia infinita de inteiros a_1,a_2,..., definida por
a_1 = 1, a_2=0,a_3=-5 e a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)] n=3
ache uma expressão fechada para a_n.
a_n=4[a_(n-1)]-5[a_(n-2)]+2[a_(n-3)]
a_n - a_(n-1) = 3[a_(n-1)] - 3[a_(n-2)] - 2[a_(n-2)] + 2[a_(n-3)]
fazendo {b_n} a diferença de primeira ordem de {a_n}, ( Ex. a_n -
a_(n-1) ) temos:
b_n = 3[b_(n-1)] - 2[b_(n-3)]
b_n - b_(n-1) = 2[b_(n-1)] - 2[b_(n-3)]
fazendo {c_n} a diferença de segunda ordem de {a_n}, ( Ex. b_n -
-1) ) temos:
c_n = 2[c_(n-1)]
concluimos:c_n = c_1 *2^(n-1)
temos que c_1 = b_2 - b_1 = (a_3 - a_2) - (a_2 - a_1) = -4
assim: c_n = -2^2 . 2^(n-1) = -2^(n+1)
logo: b_n = b_1 + S(n-1) c_n
b_n = (-1) + S(n-1) [-2^(n+1)] = (-1) - [2^2(2^(n-1) - 1)] /
[2
-1]
(P.G.)
b_n = - 2^(n+1) + 3 --- o que também é valido para b_1 e b_2
logo: a_n = a_1 + S(n-1) b_n
a_n = (1) + S(n+1) [- 2^(n+1) + 3] = (1) - [2^2(2^(n-1) - 1)]
/
[2 -1] + 3(n-1) (P.G.)
a_n = -2^(n+1) + 3n +2 o que também é valido para a_1,
a_2
e
a_3
sendo assim a resposta: a_n = -2^(n+1) + 3n +2
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problemas afinal!!!! =)
duas peqenas correcoes. leia-se 2 * cos(Pi/3) no lugar de cos(Pi/3) leia-se 2 * sin(Pi/3) no ligar de sin(Pi/3) logo, C = ( 2, 2+ sqrt(3) ) uma outra maneira mais simples de fazer é por Álgebra Linear podemos pensar em AB como um vetor.. x = ( 2, 0 ) seja M a matriz de rotacao de Pi/3 no sentido anti-horario no plano.. M = 1/2 * ( 1-sqrt(3) ) ( sqrt(3)1 ) logo x rotacionado = Mx = ( 1, sqrt(3) ) para chegar ao resultado desejado basta somarmos o deslocamento de a = ( 1, 2 ) entao C = Mx + a = ( 2, 2 + sqrt(3) ) []s Felipe - realmente este é mais simples... A, B e C formam um triangulo com AB = 2, AC = 2 e CAB = Pi/3 a coordenada x do ponto C pode ser obtida somando-se cos(Pi/3) a 1 ( coordenada x de A ) dando 3/2 a coordenada y do ponto C pode ser obtida somando-se sin(Pi/3) a 2 ( coordenada y de A ) dando 2+(sqrt(3)/2) entao C = ( 3/2, 2 + (sqrt(3)/2) ) []s Felipe At 09:38 PM 2/11/2002 -0300, you wrote: Ola, Mandem problemas... mandem, mandem! :) Este é mais simples. Sejam A(1,2) e B(3,2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano segAC é obtido de segAB por uma rotacao de 60o, no sentido anti-hortario. Quais as coordenadas de C? Divirtam-se. Abracos. ps: Grato pela participacao quanto ao problema da sequencia. Se todos de fato nos empenharmos, esta lista tende a evoluir numa exponencial ;). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:
vamos chamar o a sequencia original de (xn) e seu termo geral de xn. como dito no enunciado, o inteiro n ocorre n vezes... a sequencia (an) = (1,2,3,...n) representa quantas vezes o termo an aparecera na sequencia original (xn). prosseguindo, vamos tentar encontrar o termo 1993 de (xn) para que haja 1993 termos em (xn), a soma dos termos de (an) ate o inteiro n deve ser proxima de 1993( provavelmente nao sera 1993 devido à distribuicao dos inteiros na sequencia - inteiros grandes aparecem muitas vezes ) . bom, a soma dos termos de (an) é dada por ( 1 + n ) * n * 1/2 vamos tentar iguala-la a 1993.. e encontrar n. esta mera equacao do segundo grau nos da como resultado positivo aproximadamente n = 62.6 mas nos queremos n inteiro.. logo, vamos assumir n = 62 como uma primeira aproximacao razoavel se n = 62, entao a nossa sequencia (xn) truncada sera ( 1,2,2,3,3,3,..,62,62,,62 ) a sequencia auxiliar truncada (an) sera ( 1,2,...,62 ) avaliando a soma dos termos de an temos (1+62)*62*1/2 = 1953 hmmm.. 1953 termos na sequencia original ainda nao e o suficiente. queremos 1993 mas de 1954 para 1993 temos 40 termos, que eh menor do que o numero de vezes que o proximo termo(63) se repetira portanto o termo de numero 1993 de (xn) eh 63, que tem 3 como resto da divisao por 5. bom, acho que eh so isso abraços, Felipe At 08:38 PM 2/10/2002 -0300, you wrote: Proponho um humilde problema : Considere a sequencia (1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...) cujos termos sao os inteiros consecutivos em ordem crescente e na qual o inteiro n ocorre n vezes. Quanto é o resto da divisao por 5 do 1993o termo desta sequencia? Espero ter sido claro e que ele seja util para todos. Atenciosamente, Asselin. -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Livros de matemática e física
eu tenho esse livro do hawking mas n recomendo nao. Achei q ele passava rapido demais pelas novas ideias e nao ficava nada claro. acho q topicos interessantes quando vc comeca a se interessar por fisica sao quantica e relatividade.. um livro q eu li e achei bom foi : Alice no País do Quantum de Robert Gilmore ( eh bem facil ) um livro excelente (mas bem mais dificil) é : O Quark e o Jaguar de Murray Gell-Mann ( este trata sobre a nocao de simplicidade e complexidade, sistemas adaptativos complexos. eh extremamente interessante ) espero ter ajudado []'s Felipe At 10:45 AM 2/6/2002 -0200, you wrote: Rodrigo ... Vc já leu o novo livro do Hawking ... O universo numa casca de noz? Bom, se puder adquira 100 Grandes Problemas da Matemática Elementar ..., pois apesar de ser um livro raro é ótimo. Já leu algum do Malba Tahan? Abraço, Rogério. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Semana Olímpica
eu vou. Felipe Pina At 06:19 PM 12/23/2001 -0200, you wrote: Olá Pessoal, Gostaria de saber se vai ter muita gente do nível universitário na Semana Olímpica. Receio chegar lá e ser o único universitário... Até mais [ Vinicius José Fortuna ] [ [EMAIL PROTECTED] ] [ Visite www.viniciusf.cjb.net ]
Re: ajuda
seja f a posicao do filho apos t unidades de tempo entao f = 200 + 11 * t ou seja, comeca com 200 passos de vantagem e anda a 11 passos por unidade de tempo. 2 passos do pai equivalem a 9 do filho, logo 3 do pai equivalem a 27/2 do filho. seja p a posicao do pai apos t unidades de tempo entao p = (27/2) * t para igualar as posicoes, f = p 200 + 11 * t = (27/2) * t (5/2) * t = 200 t = 80 logo o filho andou 80 * 11 = 880 passos durante este tempo o pai andou (27/2) * 80 = 1080 passos ( do filho ) durante este mesmo tempo ( 1080 = 880 + 200 ) isto equivale a (27/2) * (2/9) * 80 = 240 passos do pai At 04:57 PM 11/29/2001 -0500, you wrote: Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?
Re: Quantidade de oleo
pequenas correcoes.. O volume total das esferas seria Pi*(h^2)*(r-(h/3)) e nao Pi*(h^2)*(r-h) E o volume no cilindro seria H*(x*(r^2)-(r-h)*r*sen(x)) e nao H*(x*(r^2)-(r-h)*sen(x)) At 06:19 PM 11/27/2001 -0200, you wrote: O volume no cilindro seria H*(x*(r^2)-(r-h)*sen(x)) onde cos(x) = ( 1- h/r ) e sen(x) = (1/r)*sqrt(2*r*h-h^2) O volume total das esferas seria Pi*(h^2)*(r-h) para h r ! Basta somar os dois =] O volume do clindro eu fiz achando por geometria plana ( area de um setor circular menos area de um triangulo ) * H O volume da esfera eu fiz por uma integral simples, somando as areas de discos com raios desde 0 ate h. Caso vc queira os detalhes das contas basta pedir. []s Felipe At 09:37 AM 11/27/2001 -0200, you wrote: Como faço para determinar a quantidade de óleo que há em um caminhão que abastece os postos de gasolinas, dispondo apenas de uma vareta? Essa vareta será usada, para determinar a altura do óleo existente no reservatório do caminhão Sabendo que o reservatório é formado pela união de um cilindro com duas semi-esferas nas extremidades. Vejam um esboco do reservatorio: Quantidade de oleo.jpg Dados: Altura medida pela vareta: h; Raio das semi-esferas: r; Distância entre as extremidades das semi-esferas: H. Ogrigado pela ajuda. Davidson Estanislau
