RE: [obm-l] Probabilidade
Vou calcular o número de seqüências de tamanho 10 que acabam em 6. Se a, b, c e
d são números distintos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, temos que os 9 primeiros
números são de uma das formas abaixo:
12345: 5.9!/5! = 15120 possibilidades
12345aaab: 5.4.9!/4!.2! = 151200 possibilidades
123aabb: (5.4/2!).9!/3!.3! = 100800 possibilidades
12345aabc: (5.4.3/2!).9!/3!.2!.2! = 453600 possibilidades
12345abcd: (5.4.3.2/4!).9!/2!.2!.2!.2! = 113400 possibilidades
Total = 834120 possibilidades
Desta maneira, o número de maneiras o jogo terminar na décima jogada é 6.834120
= 5004720.
Assim, a probabilidade associada é de (5004720)/6^10 = 0,0827689...
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Date: Sat, 10 Nov 2007 21:40:20 +0800
Subject: [obm-l] Probabilidade
Um Problema muito bom de Probabilidade:
Um jogo consiste em lançar um dado honesto até sairem todas as faces. Qual é
a probabilidade desse jogo terminar na décima jogada?
Abraços.
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Re: [obm-l] quest�o do col�gio naval
Na verdade a questão pergunta o número de subconjuntos de M, ou seja, o valor de 2^n, onde n é a quantidade de elementos de M. Depois que enviei a mensagem para a lista um colega meu me repassou um teorema que resolve a questão rapidinho. Só achei demais para a cabeça de quem deveria estar na oitava série saber um teorema sobre dízima periódicas cuja demonstração não é nada trivial. From: ralonso [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] questão do colégio naval Date: Wed, 04 Jul 2007 09:43:08 -0300 marcelo oliveira wrote: Esta questão caiu na prova do colégio naval de 1991/1992. Alguma alma bondosa poderia resolver pra mim? Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é uma dizima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é: a) 16c) 1024 e) maior que 3000 b) 256 d) 2048 3 algarismos distintos e primos: 2, 3, 5, 7 existem A(4,3) = 4x3x2 = 24 números que se podem formar nestas condições. Com mais algumas restrições esse número deve diminuir, logo a única alternativa que cabe neste caso é a A. Não é preciso nem examinar a dízima periódica de cada um desses números ... para concluir que a resposta é letra A. Ronaldo Agradeço desde já as tentativas de solução (por mais que frustradas) dos colegas da lista, pois já perdi muito tempo nesta questão e não saiu nada. Até mais, Marcelo Rufino _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] quest�o do col�gio naval
Esta questão caiu na prova do colégio naval de 1991/1992. Alguma alma bondosa poderia resolver pra mim? Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é uma dizima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é: a) 16c) 1024 e) maior que 3000 b) 256 d) 2048 Agradeço desde já as tentativas de solução (por mais que frustradas) dos colegas da lista, pois já perdi muito tempo nesta questão e não saiu nada. Até mais, Marcelo Rufino _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Trigonometria em aberto
Sempre contribuí bastante com a lista até 2003. Depois de mais de 3 anos é a
primeira vez que me animo a resolver uma questão.
Temos 3 em aberto de trigonometria:
1) sen(x)*sen(2x)*sen(4x)*sen(2^(n-1)*x)
2) tg(pi/7)*tg(2*pi/7)*tg(3*pi/7)
(por sinal isso é igual a raiz(7), mas eu achei a resposta com o Excel)
Sabe-se que:
sen 7x = 7[(cos x)^6](sen x) - 35[(cos x)^4][(sen x)^3] + 21[(cos x)^2][(sen
x)^5] - (sen x)^7
Então:
sen 7x = [(cos x)^7][7(tg x) - 35(tg x)^3 + 21(tg x)^5 - (tg x)^7]
Fazendo x = {pi/7, 2.pi/7, 3.pi/7, 4.pi/7, 5.pi/7, 6.pi/7} obtemos sen 7x =
0, ou seja, tg(pi/7), tg(2.pi/7), tg(3.pi/7), tg(4.pi/7), tg(5.pi/7),
tg(6.pi/7) e tg (pi) são as raízes do polinômio
p(x) = - x^7 + 21x^5 - 35x^3 + 7x
Como tg (pi) = 0 então tg(pi/7), tg(2.pi/7), tg(3.pi/7), tg(4.pi/7),
tg(5.pi/7), tg(6.pi/7) são as raízes da equação x^6 - 21x^4 + 35x^2 - 7 = 0.
Logo,
tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7).tg(4.pi/7).tg(5.pi/7).tg(6.pi/7) = - 7 =
tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7).[- tg(3.pi/7)].[- tg(2.pi/7)].[- tg(pi/7)] =
- 7 =
tg(pi/7).tg(2.pi/7).tg(3.pi/7) = raiz(7)
3) cos(a)*cos(a*q)**cos(a*q^(n-1))
(desse, eu conheço apenas a manjadíssima solução para o caso q = 2)
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Fri, 29 Sep 2006 09:53:32 -0300
Assunto:Re: [obm-l] RE: [obm-l] Arcos trigonométricos em PG
Oi, gente,
Se não me distraí, acho que a solução ainda não foi postada!!! Foi?
Nehab
At 16:48 28/9/2006, you wrote:
È pois é, tinha muito tempo q eu naum entrava aqui, ai acabei
postando tópico repetido, putz que coincidencia em vinicius.
vlws entaum
M.A. Kamiroski M.
From: Marinho Kamiroski
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Arcos trigonométricos em PG
Date: Thu, 28 Sep 2006 18:16:46 +
Alguem ae sabe como fazer o produtório de arcos em PG?, tipow
cos(a)*cos(aq)*cos(aq²)*...*cos[aq^(n-1)]
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Re: [obm-l] demonstração
Você tem razão, eu digitei errado. Está faltando um termo r em p - a, p - b e p - c. Veja se com estas equações você consegue chegar a resposta, a equação de segundo grau em r que aparece não é muito amigável... Marcelo Rufino From: Thais Spiegel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] demonstração Date: Sat, 15 Nov 2003 11:32:29 -0600 Marcelo, quanto ao segundo passo, estou achando que p - a = [2(r1.r)^1/2].r/[r - r1] ... não sei no que posso estar errando. Re: [obm-l] demonstração Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande, muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo que eu deixar indicado. 1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2. 2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1), que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de ABC, sobre cado lado, são iguais a: p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = [2(r3.r)^1/2]/[r - r3] 3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2); 4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!) em r. Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: thais [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] demonstração Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600 Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ... - Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos cujos raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação: (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 = r - Email Accounts for Dancers at http://www.danceart.com Dance with us at DanceArt.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] demonstração
Esta questão é simplesmente maravilhosa, mas sua solução é muito grande, muito grande mesmo. Vou fazer um resumo da solução, tente demonstrar tudo que eu deixar indicado. 1) Prove, utilizando Pitágoras, que as distâncias entre os pontos de contatos das circunferências menores e do incírculo de ABC, sobre cada um dos lados do triângulo, são iguais a 2(r1.r)^1/2, 2(r2.r)^1/2 e 2(r3.r)^1/2. 2) Prove, utilizando semelhança de triângulos e os valores calculados em 1), que as distâncias dos pontos de contato do incírculo de ABC aos vértices de ABC, sobre cado lado, são iguais a: p - a = [2(r1.r)^1/2]/[r - r1], p - b = [2(r2.r)^1/2]/[r - r2] e p - c = [2(r3.r)^1/2]/[r - r3] 3) Observe que o semi-perímetro de ABC é igual a soma dos valores de 2); 4) Utilize a expressão da área de ABC por Hieron da forma p^2r^2 = p(p - a)(p - b)(p - c) para determinar uma equação de segundo grau (gigantesca!!!) em r. Uma das soluções é r = (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 Espero ter ajudado. Como disse anteriormente, a solução completa desta questão é imensa. Como curiosidade, esta questão (com valores numéricos para r1, r2 e r3) está na shortlist da IMO de 1984. Você pode conferir em http://www.kalva.demon.co.uk/short/sh84.html, questão 18. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: thais [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] demonstração Date: Fri, 14 Nov 2003 16:32:25 -0600 Não consigo resolver essa questão, se alguem puder me ajudar ... - Em um triângulo ABC, inscreve-se um círculo cujo raio é r. Entre esse círculo e os lados do triângulo, inscrevem-se três outros círculos cujos raios são r1, r2 e r3. Demonstrar a relação: (r1.r2)^1/2 + (r2.r3)^1/2 + (r3.r1)^1/2 = r *** ( )^1/2 = raiz quadrada - Email Accounts for Dancers at http://www.danceart.com Dance with us at DanceArt.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PG (questão sem propósito)
Uma outra solução é a seguinte: Sabemos que a série x + x^2/2 + x^3/4 + x^4/8 + x^5/16 + ... é uma PG de primeiro termo x e razão x/2. Assim: x + x^2/2 + x^3/4 + x^4/8 + x^5/16 + ... = 2x/(2 - x) Derivando os dois lados em x: 1 + 2x/2 + 3x^2/4 + 4x^3/8 + 5x^4/16 + ... = 4/(2 - x)^2 Fazendo x = 1 temos que: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... = 4 Até mais, Marcelo Rufino From: Nelson [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] PG (questão sem propósito) Date: Mon, 3 Nov 2003 18:57:37 -0300 (ART) Olá a todos. Muitas vezes fico frustado com a matemática quando encontro uma questão, fico me matando resolvê-la a partir dos conceitos e definições expostos, e quando vou ver a resolução, ela é resolvida através de pura tentativa e erro. Pois bem, aí vai a questão: Calcule a soma da série 1 + 2/2 + 3/4 + 4/2 + 5/16 + ... Resolução: Decompomos os termos da série e os colocamos na disposição a seguir, onde somamos coluna por coluna. 1 -1 2/2 -1/2 + 1/2 3/4 -1/4 + 1/4 + 1/4 4/8 -1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 5/16 - 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 Somas das colunas: 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ... = 2/(1 - 1/2) = 4 Sei que a própria questão dá uma dica, já que colocou 2/2, e que é uma questão que necessita de perspicácia (é o tipo de questão que você tem que errar uma vez). Mesmo assim, o aluno tem que ficar tentando hipoteses, ao invés de testar seus conhecimentos teóricos. Finalizando, agradeceria qualquer resposta que fosse diferente desta, e, se possível, que valorizasse as definições. Se não existir, agradeço a atenção. []´s Nelson - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial Quadrado
Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial 1 eh quadrado perfeito que nao use o postulado de Bertrand? Bem, não sei se estou falando besteira mas acho que tenho uma demonstração simples para o problema proposto, que até usa números primos, mas não utiliza o Postulado de Bertrand. Seja n! = 1.2.3.4.5...(n - 1).n Agora faça o seguinte: a partir de n, ande da direita para a esquerda na expressão 1.2.3.4...(n - 1).n, analisando se cada número que você está passando é primo ou composto. Uma hora você vai passar pela primeira vez por um número primo p. Claramente este primo p não possui nenhum divisor 1 menor que ele, ou seja, na fatoração de n! o expoente de p é 1, fazendo com que n! nunca seja um quadrado perfeito para n 1. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] quadrado inscrito em um hexágono regular
Preciso de uma ajuda na questão abaixo: (Colégio Naval 93) Sendo x o lado o quadrado inscrito em um hexágono regular convexo de lado 12, tem-se que: a) 12,5 x 13 b) 13 x 13,5 c) 13,5 x 14 d) 14 x 14,5 e) 14,5 x 15 Na verdade, gostaria de saber se existe uma única configuração possível (esquendo as rotações). Marcelo Rufino _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Questão do Colégio Naval 1981
Amigos da OBM lista, gostaria de uma ajuda para resolver uma questão da prova do Colégio Naval de 1980/81: 10) Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N verificamos que o resto era o maior possível e igual a 126. A soma dos algarismos de N é: a) 11 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 Afinal de contas, o que é resto da raiz cúbica de número natural. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/featuredemail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] 0 é imaginário puro?
Esta dúvida surgiu durante a última prova de matemática da AFA. Finalmente, pode-se considerar 0 como imaginário puro? Claramente a primeira idéia é não considerar 0 como imaginário puro, por pensamentos puramente algébricos. Entretanto pense no plano imaginário (plano de Argand-Gauss) e note que 0 (a origem do sistema) pertence ao eixo imaginário (e real também?!). Gostaria também de saber uma justificativa (se houver, caso não seja uma simples convenção) para o fato de 0 ser ou não ser imaginário puro. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ???
Obs: == significa congruente Repare que: 5^3 == 3 (mod. 61) = 5^3k == 3^k (mod. 61) = 5^(3k + 1) == 5.3^k (mod. 61) = 5^(3k + 2) == 25.3^k (mod. 61) 4^3 == 3 (mod. 61) = 4^3k == 3^k (mod. 61) = 4^(3k + 1) == 4.3^k (mod. 61) = 4^(3k + 2) == 16.3^k (mod. 61) Subtraindo as respectivas congruências: 5^3k - 4^3k == 0 (mod. 61) 5^(3k + 1) - 4^(3k + 1) == 3^k (mod. 61) 5^(3k + 2) - 4^(3k + 2) == 3^(k + 2) (mod. 61) Como mdc (3, 61) = 1 então nunca teremos uma potência de 3 que é divisível por 61. Portanto, somente para n = 3k temos que 61 divide 5^n - 4^n. Falou, Marcelo Rufino From: Laurito Alves [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] ??? Date: Wed, 14 Aug 2002 13:17:27 + Eder, 61 divide 5^n-4^n quando n é multiplo de 3 pois, nesse caso, n = 3k e 5^n - 4^n = 5^(3k) - 4^(3k) = (5^3)^k - (4^3)^k = 125^k - 64^k = = (125 - 64)(125^(k-1) + 125^(k-2).64 + 125^(k-3).64^2 + ... + 64^(k-1)) = 61 . ( ) Falta provar que se n não é múltiplo de 3 então 61 não divide 5^n - 4^n. Laurito From: Eder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] ??? Date: Tue, 13 Aug 2002 21:09:40 -0300 Gostaria de ajuda neste problema: Determinar para que valores de n, inteiros e positivos ,tem-se 61|(5^n - 4^n). Obrigado. Eder _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] (sem assunto)
2) se x,y,z são números postivos, mostre que x^2/y^2+y^2/z^2+z^2/x^2=y/x+z/y+x/z. Faça x/y = a, y/z = b e z/x = c = a.b.c = 1 e a desigualdade é equivalente a a^2 + b^2 + c^2 = 1/a + 1/b + 1/c = a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac + bc que é um probleminha bem batido em olimpíada 4)(CMO-1997) Prove que 1/19991/2*3/4*5/6*.*1997/19981/44. Sejam x = (1/2)(3/4)(5/6)...(1997/1998) e y = (2/3)(4/5)(6/7)...(1998/1999) Como cada termo respectivo de y é maior que cada termo de x então x y = x^2 x.y = 1/1999 = x 1/44 Sejam P = 2.4.6...1998 e I = 1.3.5...1997 P = (2^999)(999!) Assim: x = I/P = I.P/P^2 = 1998!/(2^1998)(999!)^2 = x = C(1998,999)/2^1998 Sabemos que: 2^1998 = C(1998,0) + C(1998,1) + ... + C(1998,1998) Como o maior coeficiente binomial de 2^1998 é C(1998,999) então 2^1998 1999.C(1998,999) Portato: x = C(1998,999)/2^1998 C(1998,999)/[(1999).C(1998,999)] = x 1/1999 Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] cone sul
Olá pessoal, gostaria de ajuda nessa questão: 1. De cada nº inteiro positivo n, n =99,subtraimos a soma dos quadrados dos seus algarismos.Para q valores de n essa diferença é a maior possivel? Seja n = [xy] = 10x + y k = 10x + y x^2 y^2 = (10x x^2) + (y y^2) Temos que k é a soma de duas funções inteiras independentes (uma em x e outra em y), portanto o valor máximo de k vai coincidir com o valor máximo das duas funções i) f(x) = 10x x^2 = xmax = 10/2 = xmax = 5 = f(x)max = f(5) = f(x)max = 25 ii) g(x) = y y^2 = y(1 y) = ymax = 0 ou 1 Então n = xy = n = 50 e n = 51 Valeu! Fê _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
1)se x+y+z=1, com x,y,z positivos, prove que o=xy+yz+zx-2xyz=7/27. 2)Seja c comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos são a e b. Prove que a+b=(sqrt2)*c A desigualdade de Cauchy garante que (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2) Como a^2 + b^2 = c^2 temos que (a + b)^2 = 2c^2 = a + b = (sqrt 2).c 3)Mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é divisível por 2000. Note inicialmente que 2000 = 2^4.5^3. i) 1900 == - 4 (mod. 2^4) = 1900^n == (- 4)^n (mod. 2^4) = 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) ii) 121 == 25 (mod. 2^4) = 121^n == 25^n (mod. 2^4) = 121^n - 25^n == 0 (mod. 2^4) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4) (*) iii) 1900 == 25 (mod. 5^3) = 1900^n == 25^n (mod. 5^3) = 1900^n - 25^n == 0 (mod. 5^3) iv) 121 == - 4 (mod. 5^3) = 121^n == (- 4)^n (mod. 5^3) = 121^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) Somando estas congruências: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3) (**) Como mdc (2^4, 5^3) = 1 então podemos transformar as congruências (*) e (**) em: 121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4.5^3) 4) resolva a equação (x-4,5)^4+(x-5,5)^4=1. Não entendi !!!??? x-4,5 significa (2x - 9)/2 ou o número complexo x - 4 + 5.i ??? 5)Seja n um número natural tal que n=2. Mostre que , (1/n+1)*(1+1/3+.+1/(2n-1)(1/n)*(1/2+1/4+...1/2n). Obrigado Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas.....
A não ser que o problema exija (particularmente nunca vi essa exgência), a desigualdade de Cauchy pode ser usada em qualquer problema de olimpíada sem que seja necessária sua demonstração. Aliás, em geral, uma série de teoremas e resultados conhecidos podem ser usados em problemas de olimpíadas de matemática sem a demonstração: - todas as desigualdades elementares (média arit/geom/harm, Cauchy, Tchebychef, Jensen, Holder, etc); - soluções inteiras da equação pitagórica a^2 + b^2 = c^2; - todas aquelas fórmulas para número, soma e produto dos divisores de um inteiro; - forma geral de todo número perfeito par; - forma geral da solução de uma equação diofantina linear; - forma geral da solução (quando existir) de uma equação de Pell; - Teorema de Euler (a^fi(n)) == 1 (mod. n), Teorema Simples de Fermat e Teorema de Wilson; - existência de infinitos primos; - os teoremas sobre raízes inteiras de polinômios; - critérios para verificar se um polinômio é irredutível; - teoremas clássicos de geometria (ceva, menelaus, cálculo das áreas, propriedados dos pontos clássicos de um triângulo, inscrição, circunscrição, potência de ponto, etc). e muitos outros resultados amplamente conhecidos e divulgados na literatura matemática. Deve-se tomar muito cuidado, porém, com geometria plana e grafos, pois existem muitos teoremas (mais avançados) que nem sempre a banca que está corrigindo a prova considera sem a devida demonstração. Tenho inclusive um caso bastante próximo, de um colega meu que participou da IMO de 93, na Turquia, que em uma questão de grafos ele utilizou (corretamente) um teorema que matava a questão rapidinho. Entretanto a banca não considerou que o teorema era um resultado amplamente conhecido, e como estava sem a demonstração, ele acabou ganhando apenas 3 dos 7 pontos da questão. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] treino para olimpíadas. Date: Tue, 23 Apr 2002 17:11:57 EDT Marcelo Rufino...outra pergunta. Vc disse que a desigualdade de cauchy resolve o problema a+b=sqrt2*c( a, b :catetos e c hipotenusa). Essa deiguladade quando usada em problemas de olimpiadas , tem que ser demonstrada como lema??? como funciona a coisa?? Muito grato pela sua ajuda...tem sido de grande valia. Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Casa dos Papagaios
03)Ache todos os p,q,r,s naturais com pr,qs e q+(q+p)^2=s+(s+r)^2. Conheço este problema sem a restrição p r e q s. Com esta restrição fica meio que direto, pois: q s e (p + q)^2 (r + s)^2 = q + (p + q)^2 s + (r + s)^2 não tem solução portanto. Sem a restrição temos que: (p + q)^2 + q = (r + s)^2 + s = q s = (r + s)^2 (p + q)^2 = q s = (r + s + p + q)(r + s p q) Como r + s + p + q = q s então temos somente uma possibilidade: q s = 0 = q = s. Assim: (p + q)^2 + q = (r + s)^2 + s = (p + q)^2 = (r + q)^2 = p + q = r + q = p = r. Assim, sem a restrição temos p = r e q = s como soluções. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Get your FREE download of MSN Explorer at http://explorer.msn.com/intl.asp. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos
Fácil: 23 = 5^3 + (- 4)^3 + (- 4)^3 + 3^3 + (- 1)^3 239 = 41^3 + (- 40)^3 + (- 40)^3 + 39^3 + (- 1)^3 Acredito que você esteja enganado, este teorema dos 5 cubos está demonstrado como eu fiz abaixo em pelo menos 3 livros de olimpíada de matemática que eu possuo. Um deles inclusive é vendido (ou foi?) pela Secretaria da OBM, que é o livro: Problemas de las Olimpíadas Matemáticas del Cono Sur (1a. a 4a.) Eduardo Wagner, Carlos Gustavo T. de A. Moreira, P.Fauring, A. Wykowski, F. Gutierrez, J.C. Pedraza. Red Olímpica - Argentina Leia com mais calma minha demonstração que certamente você vai se convercer que todo inteiro pode ser expresso como a soma de 5 cubos. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: En: [obm-l] Teorema dos 5 cubos Date: Fri, 12 Apr 2002 20:15:40 -0300 Tente representar 23 ou 239 como a soma de menos de 9 cubos. JF -Mensagem Original- De: marcelo oliveira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 20:08 Assunto: Re: [obm-l] Teorema dos 5 cubos Já que ninguém se abilitou, aí vai: Mostre que qualquer número inteiro é a soma de 5 cubos. Demonstração: Observa-se que (k + 1)^3 - 2k^3 + (k - 1)^3 = = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = 6k. Desta forma, todo inteiro múltiplo de 6 pode ser escrito como soma de 4 cubos. Pode-se escrever também todo inteiro n das seguintes formas: i) n = 6q = 6x + 0^3 ii) n = 6q + 1 = 6x + 1^3 iii) n = 6q + 2 = 6(x + 1) + 2 = 6x + 8 = 6x + 2^3 iv) n = 6q + 3 = 6(x + 4) + 3 = 6x + 27 = 6x + 3^3 v) n = 6q + 4 = 6(x - 2) + 4 = 6x - 8 = 6x + (- 2)^3 vi) n = 6q + 5 = 6(x - 1) + 5 = 6x - 1 = 6x + (- 1)^3 Assim, podemos escrever que todo inteiro n é da forma: n = 6k + j^3, onde j = - 2 ou - 1 ou 0 ou 1 ou 2 ou 3. Sendo 6k = n - j^3 = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 = n - j^3 = n = (k + 1)^3 + (- k^3) + (- k^3) + (k - 1)^3 + j^3 From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Teorema dos 5 cubos Date: Fri, 12 Apr 2002 16:48:40 -0300 Teorema dos cinco cubos: Todo número natural pode ser representado como a soma de cinco cubos. JF -Mensagem Original- De: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Sexta-feira, 12 de Abril de 2002 15:34 Assunto: [obm-l] Re: 05)Como se prova o teorema dos 4 Quadrados(qualquer natural e a soma de 4 quadrados perfeitos)e dos 5 Cubos? Que teorema dos 5 cubos é esse? Bruno Leite http://www.ime.usp.br/~brleite = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] questões ajuda importantíssimo
Ae, alguem poderia me ajudar nessas questões, na moral! 1.prove q existem infinitos n naturais tais q n^2+1|n! 2.Temos um tabuleiro 10X10. desejamos colocar n peças em casas do tabuleiro de tal forma que não existam 4 peças formando um retangulo de lados paralelos aos lados do tabuleiro. determine o maior valor de n para o qual eh possivel fzer tal construção...( gostaria de alguma solução diferente da q tem na eureka 7...) 3.determine todos os primos da forma 1010...1010. Acho que devem ser os primos da forma 1010...101, pois 10101...1010 é par, certo?! Suponha que temos n + 1 dígitos 1 e n dígitos 0. Assim: 1010...101 = 10^2n + 10^(2n - 2) + 10^(2n - 4) + ... + 10^2 + 10^0 1010...101 = (100^(n + 1) - 1)/99 = 1010...101 = (10^(n + 1) - 1)(10^(n + 1) + 1)/99 se n for par então 9 | 10^(n + 1) - 1 e 11 | 10^(n + 1) + 1 Temos então duas possibilidades: i) 10^(n + 1) - 1 = 9 e 10^(n + 1) + 1 = 11.p assim: 10^(n + 1) = 10 = n = 0 que não satisfaz ii) 10^(n + 1) - 1 = 9p e 10^(n + 1) + 1 = 11 assim: 10^(n + 1) = 10 = n 0 que não satisfaz se n for ímpar então 99 | 10^(n + 1) - 1 Temos duas possibilidades: i) 10^(n + 1) - 1 = 99 e 10^(n + 1) + 1 = p assim: 10^(n + 1) = 100 = n = 1 = 10^(n + 1) + 1 = 101 que satisfaz o enunciado ii) 10^(n + 1) - 1 = 99p e 10^(n + 1) + 1 = 1 novamente temos n = 0 que não serve portanto o único número primo da forma 1010...101 é 101. valeuzão! H! Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda importante
Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões da
eureka! 12?
1.Determine todos os primos p,q tais que pq divida o nº
(5^p -2^q)(5^q -2^p)
O enunciado que você colocou está errado!!! O certo (e a solução) é:
Determine todos os números primos p e q para os quais
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro.
Solução:
Seja p um número primo e p| (5^p 2^p)
Pelo corolário do Teorema de Fermat temos que
5^p == 5 (mod. p) e 2^p == 2 (mod. p) =
5^p 2^p == 3 (mod. p) = p = 3
Então se p e q são números primos tal que
(5^p 2^p)(5^q 2^q)/pq é um inteiro e se
p | (5^p 2^p), então p = 3.
Como 5^3 2^3 = 3^2.13 e q | (5^q 2^q), então q = 3 ou q = 13
Assim os pares (3, 3), (3, 13), (13, 3) satisfazem o enunciado
Analisemos agora para p diferente de 3 e q diferente de 3.
Agora p | (5^q 2^q) e q | (5^p 2^p)
Assumamos que p q e claramente mdc (p, q 1) = 1.
Assim existem inteiros positivos a e b tais que ap b(q 1) = 1
Desde que mdc (q, 5) = mdc (q, 2) = 1 =
5^(q 1) == 1 (mod. q) e 2^(q 1) == 1 (mod. q) =
5^(q 1) == 2^(q 1) (mod. q)
Como 5^p == 2^p (mod. q) = 5^(ap) == 2^(ap) (mod. q) =
5^(b(q 1) + 1) == 2^(b(q 1) + 1) (mod. q)(1)
5^(q 1) == 1 (mod. q) = 5^(b(q 1)) == 1 (mod. q) =
5^(b(q 1) + 1) == 5 (mod. q)(2)
Do mesmo modo 2^(b(q 1) + 1) == 2 (mod. q)(3)
(1), (2) e (3) = q = 3 que é uma contradição
Então as únicas respostas são (3, 3), (3, 13), (13, 3).
5.Determine n inteiro tal que n^2 +2 divida 2+2001n
Inicialmente calculemos os possíveis valores de d = mdc (n^2 + 2, 2 +
2001.n).
Desde que d | n^2 + 2 e d | 2 + 2001.n
= d | (2 + 2001.n)^2 2001(n^2 + 2) =
d | 4 + 4.2001.n + 2001^2.n^2 2001^2.n^2 2.2001^2 =
d | 4.2001.n 2.2001^2 + 4
Assim: d | 4(2 + 2001.n) (4.2001.n 2.2001^2 + 4) =
d | 2(2001^2 + 2) = d | 2.19.83.2539
Como n^2 + 2 | 2 + 2001.n então
mdc (n^2 + 2, 2 + 2001.n) = n^2 + 2 =
n^2 + 2 | 2.19.83.2539
Por outro lado, devemos ter n^2 + 2 = 2 + 2001.n = n = 2001.
Portanto, temos as seguintes possibilidades para n^2 + 2:
i) n^2 + 2 = 2 = n = 0
ii) n^2 + 2 = 19 = não existe n natural que satisfaz
iii) n^2 + 2 = 83 = n = 9
iv) n^2 + 2 = 2.19 = n = 6
v) n^2 + 2 = 2.83 = não existe n natural que satisfaz
vi) n^2 + 2 = 19.83 = não existe n natural que satisfaz
vii) n^2 + 2 = 19.83.2539 = n = 2001
viii) n^2 + 2 = 2.19.2539 = não existe n natural que satisfaz
ix) n^2 + 2 = 2.83.2539 = não existe n natural que satisfaz
x) n^2 + 2 = 19.2539 = não existe n natural que satisfaz
xi) n^2 + 2 = 83.2539 = não existe n natural que satisfaz
xii) n^2 + 2 = 2.2539 = não existe n natural que satisfaz
Portanto: n = {0, 6, 9, 2001}
Muito Obrigada!
Fê
Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira
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Re: [obm-l] Primos
Oi, Alguem poderia me ajudar a desenvolver? 1) Mostre que se 2^n -1 e' primo, entao n e' primo. Suponha que n é composto então podemos fazer n = a.b, com a = b 1. Assim 2^n - 1 = 2^(a.b) - 1 Uma vez que 2^a - 1 | 2^(a.b) - 1 então 2^n - 1 não pode ser primo, que é uma contradição. Assim, se n não é composto e nem 1, então n é primo. Obrigado, Anderson = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] ajuda
Olá, gostaria de ajuda nestas 2 questões: 1.Prove que existem infinitos nºs da forma 1999...9991 que são múltiplos de 1991. Essa é da OBM de 1991. Notemos que 1999...991 = 2000...00 9 = 2.10^(n + 1) 9 = 2000.10^(n 2) 9 e que 1991 = 11.81 Assim, como 2000 == 9 (mod. 1991) = 1999...991 == 9(10^(n 2) 1) (mod. 1991). Para que 1999...991 seja múltiplo de 1991, devemos ter: 9(10^(n 2) 1) == 0 (mod. 1991) = 10^(n 2) == 1 (mod. 1991), uma vez que 9 e 1991 são primos entre si. Sendo 181 e 10 primos entre si, pelo teorema de Fermat: 10^180 == 1 (mod. 181). Analogamente, para 11 e 10: 10^10 == 1 (mod. 11) = 10^180 == 1 (mod. 11). Assim, temos que 10^180 1 é múltiplo de 181 e 11 e, portanto, múltiplo do mínimo múltiplo comum de 11 e 181, que é 1991. Em outras palavras: 10^180 == 1 (mod. 1991). Desta forma, para n = 182 = 1999...991 == 0 (mod. 1991), onde temos 182 números 9. Como 10^(180k) == 1 (mod. 1991) então basta fazer n 2 = 180k = n = 180k + 2 para que os números da forma 1999...991 (com n 9s) sejam múltiplos de 1991. 2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3. Esse é um problema clássico, tem em vários livros de olimpíadas e caiu na olimpíada da Espanha em 1992. Suponhamos, por absurdo, que exista um número finito de primos da forma pi = 4n 1. Seja o número N = 4p1p2p3 pn 1, onde pi são todos os primos da forma 4n 1. Notemos que N também é da forma 4n 1 e é ímpar. Fatorando em fatores primos N, temos que os primos que dividem N devem ser da forma 4n 1 e 4n + 1. Repare que: (4n1 1)(4n2 1) = 4(4n1n2 n1 n2) + 1 = 4k + 1 (4n1 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 n2) 1 = 4k 1 (4n1 + 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 + n2) + 1 = 4k + 1 Como mdc (N, pi) = 1, então cada pi não divide N Entretanto, na fatoração de N temos que ter fatores primos da forma 4n 1, pois somente multiplicando um termo da forma 4n1 1 com outro da forma 4n2 + 1 conseguimos um número da forma 4k 1, que é a forma de N. Assim, este fator primo de N da forma 4n 1 deve ser distinto dos outros primos pi da forma 4n 1, que é um absurdo, pois todos os primos da forma 4n - 1 estão na expressão de N. Obrigada! Fê Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olimpíadas....
1)Prove que [n/3]+[(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte inteira de x. Existem 6 restos ma divisão de n por 6: i) n = 6k = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k] + [k + 1/3] + [k + 2/3] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k] + [k + 1/2] = 3k + k = 4k ii) n = 6k + 1 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1/6] + [k + 1/2] + [k + 5/6] = 2k + k + k = 4k [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1/2] + [k + 2/3] = 3k + k = 4k iii) n = 6k + 2 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 2/3] + [k + 2/3] + [k + 1] = 2k + k + k + 1 = 4k + 1 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1] + [k + 5/6] = 3k + 1 + k = 4k + 1 iv) n = 6k + 3 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 1] + [k + 5/6] + [k + 7/6] = 2k + 1 + k + k + 1 = 4k + 2 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 3/2] + [k + 1] = 3k + 1 + k + 1 = 4k + 2 v) n = 6k + 4 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 4/3] + [k + 1] + [k + 4/3] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1 = 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 2] + [k + 7/6] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 vi) n = 6k + 5 = [n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] = = [2k + 5/3] + [k + 7/6] + [k + 3/2] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1= 4k + 3 [n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 5/2] + [k + 3/2] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3 Deu trabalho mas acho é isto aí, separando em todos os casos. 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985? Encare esta equação como sendo uma equação de segundo grau em m. Para que esta equação possua uma solução inteira então seu discriminante deve ser um quadrado perfeito: 36n^2 - 4(5.7n^2 - 1985) = k^2 = 36n^2 - 140n^2 + 4.1985 = k^2 = 4.1985 - 104n^2 = k^2 se n = 0 = k^2 = 4.1985 que não possui solução inteira se n = 1 = k^2 = 7836 que não possui solução inteira se n = 2 = k^2 = 7524 que não possui solução inteira se n = 3 = k^2 = 7004 que não possui solução inteira se n = 4 = k^2 = 6276 que não possui solução inteira se n = 5 = k^2 = 5340 que não possui solução inteira se n = 6 = k^2 = 4196 que não possui solução inteira se n = 7 = k^2 = 2844 que não possui solução inteira se n = 8 = k^2 = 1284 que não possui solução inteira se n = 9 = k^2 0 que não possui solução inteira Desta forma a equação proposta não possui soluções inteiras. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira Um abraço = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Equação trigonométrica
Existem outras formas mais rápidas de resolver este problema: 1a. solução: dividindo por 2 os dois lados = (0,5)sen x + (raiz(3)/2)cos x = 0,5 = cos 60.sen x + sen 60.cos x = 0,5 = sen (x + 60) = 0,5 = i) x + 60 = 30 + 2.k.180 = x = 360.k - 30 ii) x + 60 = 150 + 2.k.180 = x = 90 + 360.k 2a. solução: elevando ao quadrado = (sen x)^2 + 3.(cos x)^2 + 2.raiz(3).sen x.cos x = 1 = 1 + 2.(cos x)^2 + 2.raiz(3).sen x.cos x = 1 = cos x(cos x - raiz(3).sen x) = 0 = i) cos x = 0 = x = 90 + 360.k ou x = 270 + 360.k (não serve) ii) cos x = raiz (3)sen x = tg x = (raiz(3))/3 = x = 30 + 360.k (não serve) ou x = - 30 + 360.k Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira From: Caio Voznak [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Equação trigonométrica Date: Mon, 8 Apr 2002 19:14:36 -0300 (ART) Olá amigos, Eu estava vendo uma prova de vestibular do IME quando me deparei coma seguinte questão: IME 1998 - Determine a solução da equação trigonométrica, senx + raiz(3)*cosx = 1, x Real Usei a seguinte estratégia multipliquei ambos os membros por (1 + sen x) obtendo: cos(x)*[raiz(3) * (1+senx) - cosx] = 0 cosx = 0 ignorei (3pi*n/2), sendo n natural, por não validar a equação inicial. Porém não consigo resolver a equação que restou. Gostaria de saber se estratégia que eu usei esta correta e se eu estou só me complicando fazendo isso.Por favor me ajudem. Abraço, Caio Voznak. ___ Yahoo! Empregos O trabalho dos seus sonhos pode estar aqui. Cadastre-se hoje mesmo no Yahoo! Empregos e tenha acesso a milhares de vagas abertas! http://br.empregos.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] treino para olimpiadas...
From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] treino para olimpiadas... Date: Wed, 3 Apr 2002 18:29:03 EST Quem pode dar uma força nessas pelo menos?? 1)para que valores de n, 5^n+n^6 é divisivel por 13? Inicialmente note que: 5^2 == - 1 (mod. 13) = 5^2k == (-1)^k (mod. 13) = 5^4k == 1 (mod. 13)5^(4k + 1) == 5 (mod. 13) 5^(4k + 2) == - 1 (mod. 13)5^(4k + 3) == - 5 (mod. 13) Por 13: se n == 0 (mod. 13) = n^6 == 0 (mod. 13) se n == +/- 1 (mod. 13) = n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 2 (mod. 13) = n^6 == - 1 (mod. 13) se n == +/- 3 (mod. 13) = n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 4 (mod. 13) = n^6 == 1 (mod. 13) se n == +/- 5 (mod. 13) = n^6 == - 1 (mod. 13) se n == +/- 6 (mod. 13) = n^6 == - 1 (mod. 13) Pelos valores encontrados, teremos resto 0 quando tivermos um resto 1 de 5^n com um - 1 de n^6 ou um resto - 1 de 5^n com um 1 de n^6. Vejamos as possibilidades: i) n = 4a e n = 13b +/- 2 = n = 52k + 24 ou n = 52k + 28 ii) n = 4a e n = 13b +/- 5 = n = 52k + 8 ou n = 52k + 44 iii) n = 4a e n = 13b +/- 6 = n = 52k + 20 ou n = 52k + 32 iv) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 1 = n = 52k + 38 ou n = 52k + 14 v) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 3 = n = 52k + 10 ou n = 52k + 42 vi) n = 4a + 2 e n = 13b +/- 4 = n = 52k + 30 ou n = 52k + 22 Salvo algum erro de conta acredito que esteja correto. 2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?? 3)(IMO-1976)Determine, com prova, o maior número queé o produto de inteiros positivos cuja soma é 1976. Como 1976 é par, poderíamos imaginar que a decomposição de 1976 como soma de inteiros positivos que possui o maior produto seja 1976 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2, onde temos 988 2's. Entretanto, notemos que se no lugar da soma de três números dois (2 + 2 + 2 = 6) escrevermos 3 + 3 (= 6), temos que 2.2.2 3.3 (8 9), onde concluímos que devemos substituir cada conjunto de 3 números 2 por 2 números 3 para maximizar o produto. Se fizermos o mesmo para 4, notamos que desta vez não seria melhor substituir 4 números 3 por 3 números 4, pois 3.3.3.3 4.4.4 (81 64), o mesmo raciocínio valendo para 5, uma vez que 3.3.3.3.3 5.5.5 (243 125). Desta forma, concluímos que a decomposição de qualquer inteiro n como soma de inteiros positivos tal que o produto destes inteiros seja o maior possível deve possuir o maior número possível de 3's, completando com 2's (se necessário). Assim, podemos separar em 3 casos: i) se n = 3k: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 = Pn = 3^k ii) se n = 3k + 1: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 + 2 = Pn = 4.3^(k 1) iii) se n = 3k + 2: n = 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 2 = Pn = 2.3^k Como 1976 = 3.658 + 2, a decomposição de 1976 como soma de inteiros positivos que possui maior produto deste inteiros é 1976 = 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 3 + 2, onde temos 658 números 3, e o produto é igual a P1976 = 2.3^658. Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] algumas duvidas
From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] algumas duvidas Date: Thu, 21 Mar 2002 03:47:17 + Olá pessoal, tenho 4 dúvidas e ficaria imensamente grata se alguém pudesse me ajudar : 2) o nº de valoresinteiros de m para os quais as raizes de x^2 -(m+m^2)x + m^3 -1=0 são inteiras é igual a ? delta = m^4 + 2m^3 + m^2 - 4m^3 + 4 = m^4 - 2m^3 + m^2 + 4 = = [m(m - 1)]^2 + 4 Para que a equação possua raiz inteira é necessário que o delta seja um quadrado perfeito: [m(m - 1)]^2 + 4 = k^2 Por outro lado, a distância entre dois quadrados perfeitos é 4 somente para 4^2 - 0^2 = 4. Portanto: m(m - 1) = 0 = m = 0 ou m = 1 Testando: i) m = 0 = x^2 - 1 = 0 = x = +/- 1 ii) m = 1 = x^2 - 2x = 0 = x = 0 ou x = 2 Assim, temos dois valores inteiros que satisfazem. Marcelo Rufino _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Para a segunda questão faça o seguinte: 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Dividamos inicialmente m e n por k: m = x.k + r1 e n = y.k + r2, onde r1 = 0. Notemos que sempre é possível fazer isto, bastando fazer a divisão euclidiana tradicional, com o resto r3 entre 0 e k - 1 (m = z.k + r3), e depois: m = z.k + r3 = (z + 1).k + (r3 - k) = x.k + r1 ou seja, x = z + 1 e r1 = r3 - k Assim: r.m + s.n = r.x.k + r.r1 + s.y.k + s.r2 = k(r.x + s.y) + r.r1 + s.r2 Seja d = mdc (r1, r2) = mdc (r1/d, r2/d) = 1 Fazendo r = r2/d e s = r1/d, temos que r.r1 + s.r2 = 0 = p | am + bn Repare que o cuidado em fazer r1 = 0 é no sentido de forçar que s = 0. Por exemplo, suponha que m = 10 n = 34 k = 7 m = 2.7 - 4 n = 4.7 + 6 mdc (- 4, 6) = 2 Assim: s = 4/2 = 2 e r = 6/2 = 3 Testando: r.m + s.n = 3(10) + 2(34) = 30 + 64 = 84 = 7.12 Até mais, Marcelo Rufino _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Competições
Me desculpe, mas qual cidade você mora? O seu alunos daqui é meio vago para alguns da lista. A propósito, você está falando da Rioplatense ou do Torneio Internacional das Cidades? Falou, Marcelo Rufino From: Eder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Competições Date: Tue, 10 Jul 2001 13:27:14 -0300 Cara, já ouvi falar de alunos daqui participando dessa olimpíada. - Original Message - From: titular To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, July 09, 2001 6:09 PM Subject: Re: Competições Que eu saiba, os alunos do estado de São Paulo participam do Torneio Internacional das Cidades (no site do Etapa tem inclusive o resultado do ano passado). Também ouvi um boato (não tenho certeza) que alguns alunos dos estados de São Paulo e Ceará participam da Olimpíada Rioplatense, que é promovida na Argentina. O pessoal da lista que mora no Ceará pode confirmar melhor esta informação. Note, entretanto, que estas outras olimpíadas são restritas aos estudantes que moram em determinados estados do Brasil, não são abertas a qualquer um. No caso do Torneio Internacional das Cidades se sua cidade se inscrever você pode fazer a prova. Porém não tenho maiores detalhes de como uma cidade faz para inscrever-se. Até mais, Marcelo Rufino - Original Message - From: Jorge Peixoto de Morais Neto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 08, 2001 4:13 PM Subject: Competições Tirando a OBM, as estaduais, a Cone Sul, a Ibero, a de Maio e a IMO (as que eu conheço), quais são as competições oficiais de Matemática para um brasileiro? []s, Jorge _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
