[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Marcos Xavier]

Obrigado Hugo. Excelente. Gostei muito da sua solução.
Abç.

Date: Thu, 18 Feb 2016 13:00:19 -0200
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
From: hfernande...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Seja A = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL começando por PIR, nessa ordem }
e B = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL cujas últimas 4 letras são A, D, I, L, 
não necessariamente nessa ordem }

Queremos calcular n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A interseção B)

Calculando, temos: n(A) = P 6,2 = 6!/2! = 360 (fixo PIR e permuto AMIDAL, com 
repetição dos 2 A's)
n(B) = P4 * P5 = 4! * 5! = 120 * 24 = 2880 ( permuto PIRAM nas cinco primeiras 
posições E permuto IDAL nas 4 últimas)
n(A interseção B) = P2 * P4 = 2! * 4! = 48 ( fixo PIR, permuto AM nas duas 
posições seguintes E IDAL nas 4 últimas)

Logo, n(A U B) = 2880 + 360 - 48 = 3192

Att.
Hugo Fernando Marques FernandesMinistro Leigo da Igreja Episcopal Anglicana do 
Brasil (IEAB)Diocese Anglicana do RJ - DARJCatedral do Redentor


Em 18 de fevereiro de 2016 12:09, Marcos Xavier <mccxav...@hotmail.com> 
escreveu:



Prezados amigos, preciso de ajuda para resolver esse problema.
Quantos são os anagramas da palavra PIRAMIDAL que começam por PIR, nessa ordem, 
ou cujas últimas 4 letras são A, D, I, L, não necessariamente nessa ordem?
Gabarito: 3192.
Obrigado pela ajuda.
Marcos X. 

  

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Seja A = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL começando por PIR, nessa ordem }
e B = { x | x é anagrama de PIRAMIDAL cujas últimas 4 letras são A, D, I,
L, não necessariamente nessa ordem }

Queremos calcular n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A interseção B)

Calculando, temos: n(A) = P 6,2 = 6!/2! = 360 (fixo PIR e permuto AMIDAL,
com repetição dos 2 A's)
n(B) = P4 * P5 = 4! * 5! = 120 * 24 = 2880 ( permuto PIRAM nas cinco
primeiras posições E permuto IDAL nas 4 últimas)
n(A interseção B) = P2 * P4 = 2! * 4! = 48 ( fixo PIR, permuto AM nas duas
posições seguintes E IDAL nas 4 últimas)

Logo, n(A U B) = 2880 + 360 - 48 = 3192

Att.

*Hugo Fernando Marques Fernandes*
Ministro Leigo da Igreja Episcopal Anglicana do Brasil (IEAB)
Diocese Anglicana do RJ - DARJ
Catedral do Redentor


Em 18 de fevereiro de 2016 12:09, Marcos Xavier 
escreveu:

> Prezados amigos, preciso de ajuda para resolver esse problema.
>
> Quantos são os anagramas da palavra PIRAMIDAL que começam por PIR, nessa
> ordem, ou cujas últimas 4 letras são A, D, I, L, não necessariamente nessa
> ordem?
>
> Gabarito: 3192.
>
> Obrigado pela ajuda.
>
> Marcos X.
>

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Vanderlei Nemitz]

Gabriel:
É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é circular,
certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de digitação,
mas isso não é o principal.

Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes 
escreveu:

> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em
> 3 em casos:
> 1-> 15 ocupada
> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
> 3-> 1 e 15 vazias.
>
> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4
> pessoas para distribuir nas 12 cadeiras restantes...
> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra
> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos
> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias,
> mas entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia
> -> 9!/4!x5!=136
> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>
> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz  wrote:
>
> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a resposta
> 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>
> Vanderlei
>
> *Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma
> mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver
> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? *
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gabriel Tostes]

Sim... Dividi em casos pra "tirar" a permutacao circular. O 136 de cada caso 
significa 136 modos de organizar as Cadeiras em "vazias" e "com Pessoas". Temos 
5! Maneiras de distribuir as Pessoas nelas.
> On Dec 10, 2015, at 17:34, Vanderlei Nemitz  wrote:
> 
> Gabriel:
> É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é 
> circular, certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de 
> digitação, mas isso não é o principal. 
> 
> Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes  escreveu:
>> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida em 
>> 3 em casos:Â 
>> 1-> 15 ocupada
>> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
>> 3-> 1 e 15 vazias.
>> 
>> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4 pessoas 
>> para distribuir nas 12 cadeiras restantes... 
>> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra 
>> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos 
>> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
>> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias, mas 
>> entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia -> 
>> 9!/4!x5!=136
>> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>> 
>>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz  wrote:
>>> 
>>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a 
>>> resposta 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>>> 
>>> Vanderlei
>>> 
>>> Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa 
>>> circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver 
>>> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? 
>>> 
>>> -- 
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>> 
>> -- 
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
>> acredita-se estar livre de perigo.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Vanderlei Nemitz]

Mas então é levado em consideração a posição relativa das pessoas e das
cadeiras vazias? Por exemplo, se um pessoa A está nas mesmas posições
relativas em relação às pessoas B, C, D, E, mas ao seu lados estão outras
cadeiras vazias, a distribuição é considerada diferente? Pois caso não
seja, pensei que deveríamos multiplicar por (5 - 1)! = 24. Claro que meu
raciocínio pode estar falho!

Em 10 de dezembro de 2015 17:45, Gabriel Tostes 
escreveu:

> Sim... Dividi em casos pra "tirar" a permutacao circular. O 136 de cada
> caso significa 136 modos de organizar as Cadeiras em "vazias" e "com
> Pessoas". Temos 5! Maneiras de distribuir as Pessoas nelas.
> On Dec 10, 2015, at 17:34, Vanderlei Nemitz  wrote:
>
> Gabriel:
> É justamente esse último 5! que eu tenho dúvidas. A permutação é
> circular, certo? Mesmo assim multiplicamos por 5!? Sim, percebi o erro de
> digitação, mas isso não é o principal.Â
>
> Em 10 de dezembro de 2015 17:23, Gabriel Tostes 
> escreveu:
>
>> A respostas 45360 está correta... Numere as cadeiras de 1 a 15 e dívida
>> em 3 em casos:Â
>> 1-> 15 ocupada
>> 2-> 1 ocupada (análogo ao 1º)
>> 3-> 1 e 15 vazias.
>>
>> No primeiro caso temos que 1 e 14 devem estar vazias, logo, temos 4
>> pessoas para distribuir nas 12 cadeiras restantes...Â
>> Como cada pessoa deve ocupar uma dessas cadeiras restam 8 vazias pra
>> distribuir entre as pessoas, mas entre duas pessoas deve ter ao menos
>> cadeira vazia, então -> 9!/5!x4!=136
>> No terceiro caso temos 13 cadeiras pra colocar 5 pessoas, logo 8 vazias,
>> mas entre duas pessoas devemos ter uma cadeira vazia pelo menos uma vazia
>> -> 9!/4!x5!=136
>> Total-> (2x136+136)x5!=45360
>>
>> On Dec 10, 2015, at 16:45, Vanderlei Nemitz 
>> wrote:
>>
>> Pessoal, gostaria de uma ajuda com essa questão. Vi em um site a
>> resposta 45360, mas não concordo. Encontrei um valor bem menor. Obrigado!
>>
>> Vanderlei
>>
>> *Cinco pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma
>> mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver
>> ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? *
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Carlos Nehab]

K! Esse é o tipo de questão indigna, para o ENEM. Contexto inadequado!
Kkkk.

Abs
Nehab
Em 11/08/2015 10:22, Pedro Costa npc1...@gmail.com escreveu:

 Uma aranha tem uma meia e um sapato paracada um de seus oito pés. De
 quantas maneiras diferentes

 a aranha pode se calçar admitindo que a meia tem que ser colocada antes do
 sapato?


 --
 [image: Avast logo] https://www.avast.com/antivirus

 Este email foi escaneado pelo Avast antivírus.
 www.avast.com https://www.avast.com/antivirus


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Pedro José]

Boa tarde!

Fez-se a restrição de que a meia deva ser calçada antes do sapato, o que é
esperado, porém não se fez a restrição de que os sapatos e meias e são
diferentes.

Use o princípio da multiplicação. Para o primeiro pé 8 escolhas para meia e
8 para sapato para o segundo 7 escolhas para meia e 7 para sapato

8*8*7*7*1*1 = (8!)^2

Saudações,
PJMS.


Em 11 de agosto de 2015 10:16, Pedro Costa npc1...@gmail.com escreveu:

 Uma aranha tem uma meia e um sapato paracada um de seus oito pés. De
 quantas maneiras diferentes

 a aranha pode se calçar admitindo que a meia tem que ser colocada antes do
 sapato?


 --
 [image: Avast logo] https://www.avast.com/antivirus

 Este email foi escaneado pelo Avast antivírus.
 www.avast.com https://www.avast.com/antivirus


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Artur Costa Steiner]

Muito obrigado a todos, excelentes respostas!

Artur Costa Steiner

Em 12/07/2013, às 09:34, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com escreveu:

 Blza. Entendi agora. Obrigado.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:29, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
 Ola' Marcos,
 eu escrevi errado.
 Como os blocos representam 4 elementos, que ocupam 7 casas, e' como se 
 houvesse 93 casas livres e 4 ocupadas, com um total de 100-(2+2+2+1)+4=97 
 casas.
 Ou seja, existem binom(97,4) formas de distribuirmos os 4 blocos dentro de 
 [1,100].
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com
 Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com 
 escreveu:
 Legal.
 
 
 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:
 
 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo 
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento 
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o 
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale binom(97,4)=3464840.
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 
 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um 
 computador.
 
 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos 
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do 
 conjunto seja maior ou igual a 2?
 
 Abraços.
 
 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Lucas Prado Melo]

2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Seja {A_n} a quantidade de seqüências com 4 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=4).

 Seja {B_n} a quantidade de seqüências com 3 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=3).

 Seja {C_n} a quantidade de seqüências com 2 números escolhidos de 1 a n
 tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=2).

 Para sabermos quanto vale A_(n+1), devemos dividir nossa contagem em duas
 partes:

 i) escolher 4 números dentre os que vão de 1 a n tais que a diferença
 positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de A_n maneiras.

 ii) escolher o (n+1) como um número obrigatório a constar no nosso
 conjunto de 4. Após isso, escolher 3 números entre os que vão de 1 a (n-1),
 cuja diferença positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de
 B_(n-1) maneiras.

 Podemos escrever: A_(n+1) = A_n + B_(n-1) (n=4).

 Analogamente teremos: B_(n+1) = B_n + C_(n-1) (n=3).

 Pensando de maneira similar, temos também: C_(n+1) = C_n + (n-1) (n=2).

 Temos três séries telescópicas. Resolvendo e lembrando que a soma das
 colunas do triângulo de Pascal é o número binomial localizado na diagonal à
 direita do último elemento do somatório, obteremos:

 C_n = binomial (n-1,2) = (n-1).(n-2)/2!

 B_n = binomial (n-2,3) = (n-2)(n-3)(n-4)/3!

 A_n = binomial (n-3,4) = (n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/4!


Interessante a solução, ela me faz pensar o seguinte:
há uma bijeção entre uma escolha (x1, x2, x3, x4) em números de 1 a n com a
restrição, e uma escolha (x1, x2-1, x3-2, x4-3) para números de 1 a n-3 sem
a restrição. Como este último pode ser escolhido de binomial(n-3, 4)
formas, então o primeiro também poderia.

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Lucas Prado Melo]

2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Mas vc conseguiu mostrar que existe mesmo a bijeção?


Um representante do primeiro tera um único representante no segundo e
vice-versa pois só é feita uma subtração/soma.

A questão é somente se as restrições são respeitadas.

x2-1  x1 sse x2-x1 = 2
x3-2  x2-1 sse x3-x2 = 2
x4-3  x3-2 sse x4-x3 = 2

x4 = n sse x4-3 = n-3
x1 = 1 sse x1 = 1

-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Marcos Martinelli]

Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.


Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli
mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Legal.


 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com escreveu:

 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale binom(97,4)=3464840.

 []'s
 Rogerio Ponce


 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Rogerio Ponce]

Ola' Marcos,
eu escrevi errado.
Como os blocos representam 4 elementos, que ocupam 7 casas, e' como se
houvesse 93 casas livres e 4 ocupadas, com um total de 100-(2+2+2+1)+4=97
casas.
Ou seja, existem binom(97,4) formas de distribuirmos os 4 blocos dentro de
[1,100].

[]'s
Rogerio Ponce


2013/7/12 Marcos Martinelli mffmartine...@gmail.com

 Só não entendi essa parte: 100-(2+2+2+1)=97.


 Em 12 de julho de 2013 09:08, Marcos Martinelli 
 mffmartine...@gmail.comescreveu:

 Legal.


 Em 12 de julho de 2013 09:02, Rogerio Ponce abrlw...@gmail.comescreveu:

 Ola' Artur,
 como queremos que a distancia minima entre os elementos seja de pelo
 menos 2, podemos imaginar que devemos distribuir , dentro do segmento
 [0,100], 3 blocos com comprimento 2 , e um bloco com comprimento 1 (o
 bloco mais 'a direita).
 Como existem 100-(2+2+2+1)=97 vagas, o resultado vale
 binom(97,4)=3464840.

 []'s
 Rogerio Ponce


 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?

 Abraços.

 Artur Costa Steiner
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.



 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html

 =



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Lucas Prado Melo]

2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?


Utilizando da seguinte identidade:

sum_{0 = k = n}  kCm = (n+1)C(m+1)

, onde xCy é o numero de combinações de x objetos, y a y,

podemos obter uma expressão para o valor procurado.

Em vez de considerar as posições, consideremos a posição inicial x e as
diferenças d1, d2 e d3, de modo que os números selecionados sejam x, x+d1,
x+d1+d2, x+d1+d2+d3.

Se fixarmos k = d1+d2+d3, de quantas formas podemos selecionar uma tripla
(d1, d2, d3)? Basta fazer uma combinação completa de  k-6 em 3 pedaços e
então adicionar a cada um dos 3 pedaços o +2 pra respeitar a restrição de
ser = 2. O número de triplas é portanto (k-6 + 2)C2.

Fixado k, podemos selecionar a posição inicial de 100-k-1 formas.

Assim o número total de formas é
sum_{6 = k = 99} (100 - k - 1) (k-6 +2)C2.

Para nos livrarmos do k no fator podemos fazer o seguinte:

(99 - 3 - (k-3)) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2   -(k-3) (k-4)C2  = 96 (k-4)C2
-   3  (k-3)C3

E assim a expressão pode ser obtida da identidade mostrada no início com
algumas manipulaçõezinhas algébricas.


-- 
[]'s
Lucas

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Marcos Martinelli]

Seja {A_n} a quantidade de seqüências com 4 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=4).

Seja {B_n} a quantidade de seqüências com 3 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=3).

Seja {C_n} a quantidade de seqüências com 2 números escolhidos de 1 a n
tais que a diferença positiva seja maior ou igual a 2 (n=2).

Para sabermos quanto vale A_(n+1), devemos dividir nossa contagem em duas
partes:

i) escolher 4 números dentre os que vão de 1 a n tais que a diferença
positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de A_n maneiras.

ii) escolher o (n+1) como um número obrigatório a constar no nosso conjunto
de 4. Após isso, escolher 3 números entre os que vão de 1 a (n-1), cuja
diferença positiva seja maior ou igual a 2. Isto pode ser feito de B_(n-1)
maneiras.

Podemos escrever: A_(n+1) = A_n + B_(n-1) (n=4).

Analogamente teremos: B_(n+1) = B_n + C_(n-1) (n=3).

Pensando de maneira similar, temos também: C_(n+1) = C_n + (n-1) (n=2).

Temos três séries telescópicas. Resolvendo e lembrando que a soma das
colunas do triângulo de Pascal é o número binomial localizado na diagonal à
direita do último elemento do somatório, obteremos:

C_n = binomial (n-1,2) = (n-1).(n-2)/2!

B_n = binomial (n-2,3) = (n-2)(n-3)(n-4)/3!

A_n = binomial (n-3,4) = (n-3)(n-4)(n-5)(n-6)/4!

Em quinta-feira, 11 de julho de 2013, Lucas Prado Melo escreveu:

 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com javascript:_e({},
 'cvml', 'steinerar...@gmail.com');

 Não consegui achar uma forma de resolver isto sem recorrer a um
 computador.

 Com os inteiros de 1 a 100, quantos conjuntos de 4 elementos podemos
 formar de modo que a diferença positiva entre dois elementos do conjunto
 seja maior ou igual a 2?


 Utilizando da seguinte identidade:

 sum_{0 = k = n}  kCm = (n+1)C(m+1)

 , onde xCy é o numero de combinações de x objetos, y a y,

 podemos obter uma expressão para o valor procurado.

 Em vez de considerar as posições, consideremos a posição inicial x e as
 diferenças d1, d2 e d3, de modo que os números selecionados sejam x, x+d1,
 x+d1+d2, x+d1+d2+d3.

 Se fixarmos k = d1+d2+d3, de quantas formas podemos selecionar uma tripla
 (d1, d2, d3)? Basta fazer uma combinação completa de  k-6 em 3 pedaços e
 então adicionar a cada um dos 3 pedaços o +2 pra respeitar a restrição de
 ser = 2. O número de triplas é portanto (k-6 + 2)C2.

 Fixado k, podemos selecionar a posição inicial de 100-k-1 formas.

 Assim o número total de formas é
 sum_{6 = k = 99} (100 - k - 1) (k-6 +2)C2.

  Para nos livrarmos do k no fator podemos fazer o seguinte:

 (99 - 3 - (k-3)) (k-4)C2 = 96 (k-4)C2   -(k-3) (k-4)C2  = 96 (k-4)C2
 -   3  (k-3)C3

 E assim a expressão pode ser obtida da identidade mostrada no início com
 algumas manipulaçõezinhas algébricas.


 --
 []'s
 Lucas

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[marcone augusto araújo borges]

Onde estou errando?n(intersecção de dois) = ?AA e BB por exemplo.Escolho 4 
posições (para essas 4 letras) entre 10 possíveis:C10,4 = 210Para cada uma 
delas vale AABB ou BBAADepois faço 6!/2^3Dai encontro 210.2.6!/2^3  8!/2^3
  Date: Sun, 24 Feb 2013 17:35:56 -0800
 From: cysh...@yahoo.com
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, 
 Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas 
 n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, 
 n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção 
 dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 
 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no 
 caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão.
 
 []'s
 Shine
 
 
 
 
 
 From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM
 Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória
 
 
 Acho que podemos raciocinar assim:
 
 Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida 
 uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a 
 posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao 
 desejado.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu:
 
 
 
 Boa noite, amigos.
  
 Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE.
 De quantos modos podemos permutá-las, tal que não 
 haja duas letras consecutivas iguais?
  
  
 Um abraço.
  
  
 Anderson
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Carlos Yuzo Shine]

Desculpa, eu não fui muito claro na hora de fazer as contas (eu devia estar com 
pressa na hora que escrevi o outro e-mail). Aí vai:

Para calcular a interseção de dois, ou seja, as sequências com AA e BB, trate 
AA e BB como blocos. Aí precisamos calcular a quantidade de anagramas com 8 
símbolos (dois Cs, dois Ds, dois Es, o bloco AA e o bloco BB). Como três 
símbolos repetem, a quantidade é 8!/2^3. Os outros são parecidos.


O que você fez, escolher 4 posições entre 10, pode fazer com que os As e/ou os 
Bs fiquem separados. Por exemplo, se você escolher as posições 1, 2, 4 e 6 e 
AABB, sua sequência fica, inicialmente, AA_B_B_,_,_,_. Os As ficaram juntos, 
mas os Bs não. Outro exemplo é _B_B_,_A_A_. Por isso o seu resultado é maior: 
você está contando sequências a mais.

[]'s
Shine


From: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, February 25, 2013 11:51 AM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória



Onde estou errando?
n(intersecção de dois) = ?
AA e BB por exemplo.
Escolho 4 posições (para essas 4 letras) entre 10 possíveis:C10,4 = 210
Para cada uma delas vale AABB ou BBAA
Depois faço 6!/2^3
Dai encontro 210.2.6!/2^3  8!/2^3


 Date: Sun, 24 Feb 2013 17:35:56 -0800
 From: cysh...@yahoo.com
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, 
 Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas 
 n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, 
 n(interseção de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção 
 dos cinco) = 5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 
 5.6!/2 - 5!, e aí é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no 
 caso geral, como é de praxe nos problemas de inclusão-exclusão.
 
 []'s
 Shine
 
 
 
 
 
 From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM
 Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória
 
 
 Acho que podemos raciocinar assim:
 
 Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida 
 uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a 
 posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao 
 desejado.
 
 Abraços
 
 Artur Costa Steiner
 
 Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu:
 
 
 
 Boa noite, amigos.
  
 Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE.
 De quantos modos podemos permutá-las, tal que não 
 haja duas letras consecutivas iguais?
  
  
 Um abraço.
  
  
 Anderson
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 = 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Carlos Yuzo Shine]

Inclusão-exclusão. Sendo A, B, C, D, E os conjuntos dos anagramas com As, Bs, 
Cs, Ds, Es seguidos, temos que calcular 10!/2^5 - n(A U B U C U D U E). Mas 
n(A) = n(B) = ... = n(E) = 9!/2^4, n(interseção de dois) = 8!/2^3, n(interseção 
de três) = 7!/2^2, n(interseção de quatro) = 6!/2 e n(interseção dos cinco) = 
5!. Aí o total é 10!/2^5 - 5.9!/2^4 + 10.8!/2^3 - 10.7!/2^2 + 5.6!/2 - 5!, e aí 
é fazer a conta. Não acho que haja uma fórmula bonitinha no caso geral, como é 
de praxe nos problemas de inclusão-exclusão.

[]'s
Shine





From: Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Sunday, February 24, 2013 8:31 PM
Subject: Re: [obm-l] Análise Combinatória


Acho que podemos raciocinar assim:

Para a 1a posição, a partir da esquerda, temos 5 opções de letra. Escolhida 
uma, restam 4 possibilidades para a segunda posição. E assim, até a 10a 
posição. Se não cometi nenhum engano, vai haver 5 x 4^9 modos atendendo ao 
desejado.

Abraços

Artur Costa Steiner

Em 24/02/2013, às 19:27, Anderson Weber anderswe...@bol.com.br escreveu:



Boa noite, amigos.
 
Tem-se 10 letras: AA BB CC DD EE.
De quantos modos podemos permutá-las, tal que não 
haja duas letras consecutivas iguais?
 
 
Um abraço.
 
 
Anderson

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Ralph Teixeira]

Certamente nao eh a segunda resposta... :)

Digo, para arrumar as nacionalidades, voce tem 3 opcoes para o primeiro, 2
para o segundo, etc., para um total de 3.2^8=768 possibilidades.

Mas isto estah errado, eh claro -- muitas dessas escolhas sao impossiveis,
como por exemplo RBRBRBRUR, que teria 5 russos -- nao vale.

Entao estou dizendo que sao MENOS que 768 possibilidades para a ordenacao
das nacionalidades. Portanto, sao menos que 768.3!.3!.3! filas (permutando
os individuos dentro de cada nacionalidade).

Nao estou resolvendo o problema, mas sei que a resposta eh (bem!) menos que
768.6^3=165888. Faltou exclusao na inclusao-exclusao. :) :) :)

Abraco,
   Ralph

P.S.: Vou resolver o problema de um jeito computacional feio. Faco isso
para mostrar que aas vezes vale a pena botar um pouco de algebra, fazer
tudo ficar mecanico, e mandar brasa!
R(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM RUSSO que tem a russos, b
bielorussos e c ucranianos, contando soh nacionalidades, sem ter
nacionalidades consecutivas
B(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM BIELO etc etc
U(a,b,c)=comecando com UCRANIANO
Por outro lado, por simetria,
R(a,b,c)=R(a,c,b)=B(b,a,c)=B(b,c,a)=U(c,a,b)=U(c,b,a), certo?

Entao, uma fila comecando por R tem que continuar com B ou com U, usando um
russo a menos:
R(a,b,c)=B(a-1,b,c)+U(a-1,b,c)=R(b,a-1,c)+R(c,b,a-1)
Esta recorrencia nao eh das piores se os numeros forem pequenos! Com
coragem, isto mata o problema:
R(3,3,3)=R(3,2,3)+R(3,3,2)=2R(3,3,2)=2.(R(3,2,2)+R(2,3,2))=
=2.(2.R(2,2,2)+R(3,1,2)+R(2,3,1))=2.(4.R(2,2,1)+R(1,2,2)+R(2,1,2)+R(3,1,1)+R(1,3,1))=
=2.(R(3,1,1)+5.R(2,2,1)+R(1,3,1)+R(1,2,2))

Agora que soh tem 5 fulanos na fila, acho que jah dah para calcular cada um
pensando direto:
R(3,1,1)=2 porque soh tem 3 lugares para por os russos nas 5 posicoes.
Entao eh RURBR ou RBRUR.
R(2,2,1)=R(2,1,1)+R(1,2,1)=4+1=5 (4=permutacoes de RBU sem comecar por R;
1=RBUB).
R(1,3,1)=0 (haveria dois B consecutivos!)
R(1,2,2)=2 (RBUBU ou RUBUB, soh)
Entao R(3,3,3)=2.(2+25+2)=58

O que queremos eh R(3,3,3)+U(3,3,3)+B(3,3,3)=3.58=174

Minto, o que REALMENTE queremos eh isso vezes 3!.3!.3!. Eh, concordo com
a primeira resposta.

2012/9/16 Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br

  Caros colegas solicito ajuda na resolução do seguinte problema:

 Três russos, três biolerussos e três ucranianos vão ser organizados em uma
 fila.

 Determine quantas filas existem que não contêm dois conterrâneos em
 posição consecutiva.

 Dois colegas apresentaram resolução, um encontrou, para resposta,
 174x3!x3!x3!=37.584,

 outro colega chegou a:283 824 (via o Princípio da Inclusão-Exclusão)

 Qualquer ajuda será muito útil.

 Obrigado.

 Osmundo Bragança

[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Osmundo Bragança]

Muitíssimo obrigado caro Ralph.

Esta lista continua utilíssima para muitos professores.

Um abraço.

Osmundo.

 

  _  

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Ralph Teixeira
Enviada em: domingo, 16 de setembro de 2012 12:22
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

 

Ah, errei uma bobagem. Era:

 

R(a,b,c)=R(a,c,b)=B(b,a,c)=B(c,a,b)=U(b,c,a)=U(c,b,a)

 

a chave eh que o numero a tem que ficar na mesma posicao relativa em cada
funcao. Mas dali para frente, estah correto assim mesmo.

 

Abraco,

  Ralph

2012/9/16 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com

Certamente nao eh a segunda resposta... :)

 

Digo, para arrumar as nacionalidades, voce tem 3 opcoes para o primeiro, 2
para o segundo, etc., para um total de 3.2^8=768 possibilidades.

 

Mas isto estah errado, eh claro -- muitas dessas escolhas sao impossiveis,
como por exemplo RBRBRBRUR, que teria 5 russos -- nao vale.

 

Entao estou dizendo que sao MENOS que 768 possibilidades para a ordenacao
das nacionalidades. Portanto, sao menos que 768.3!.3!.3! filas (permutando
os individuos dentro de cada nacionalidade).

 

Nao estou resolvendo o problema, mas sei que a resposta eh (bem!) menos que
768.6^3=165888. Faltou exclusao na inclusao-exclusao. :) :) :)

 

Abraco,

   Ralph

 

P.S.: Vou resolver o problema de um jeito computacional feio. Faco isso para
mostrar que aas vezes vale a pena botar um pouco de algebra, fazer tudo
ficar mecanico, e mandar brasa!

R(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM RUSSO que tem a russos, b
bielorussos e c ucranianos, contando soh nacionalidades, sem ter
nacionalidades consecutivas

B(a,b,c)=numero de filas COMECANDO COM UM BIELO etc etc

U(a,b,c)=comecando com UCRANIANO

Por outro lado, por simetria,
R(a,b,c)=R(a,c,b)=B(b,a,c)=B(b,c,a)=U(c,a,b)=U(c,b,a), certo?

 

Entao, uma fila comecando por R tem que continuar com B ou com U, usando um
russo a menos:

R(a,b,c)=B(a-1,b,c)+U(a-1,b,c)=R(b,a-1,c)+R(c,b,a-1)

Esta recorrencia nao eh das piores se os numeros forem pequenos! Com
coragem, isto mata o problema:

R(3,3,3)=R(3,2,3)+R(3,3,2)=2R(3,3,2)=2.(R(3,2,2)+R(2,3,2))=

=2.(2.R(2,2,2)+R(3,1,2)+R(2,3,1))=2.(4.R(2,2,1)+R(1,2,2)+R(2,1,2)+R(3,1,1)+R
(1,3,1))=

=2.(R(3,1,1)+5.R(2,2,1)+R(1,3,1)+R(1,2,2))

 

Agora que soh tem 5 fulanos na fila, acho que jah dah para calcular cada um
pensando direto:

R(3,1,1)=2 porque soh tem 3 lugares para por os russos nas 5 posicoes. Entao
eh RURBR ou RBRUR.

R(2,2,1)=R(2,1,1)+R(1,2,1)=4+1=5 (4=permutacoes de RBU sem comecar por R;
1=RBUB).

R(1,3,1)=0 (haveria dois B consecutivos!)

R(1,2,2)=2 (RBUBU ou RUBUB, soh)

Entao R(3,3,3)=2.(2+25+2)=58

 

O que queremos eh R(3,3,3)+U(3,3,3)+B(3,3,3)=3.58=174

 

Minto, o que REALMENTE queremos eh isso vezes 3!.3!.3!. Eh, concordo com a
primeira resposta.

 

2012/9/16 Osmundo Bragança barz...@dglnet.com.br

Caros colegas solicito ajuda na resolução do seguinte problema:

Três russos, três biolerussos e três ucranianos vão ser organizados em uma
fila.

Determine quantas filas existem que não contêm dois conterrâneos em posição
consecutiva.

Dois colegas apresentaram resolução, um encontrou, para resposta,
174x3!x3!x3!=37.584,

outro colega chegou a:283 824 (via o Princípio da Inclusão-Exclusão)

Qualquer ajuda será muito útil.

Obrigado.

Osmundo Bragança

 

 

[obm-l] RE: [obm-l] análise combinatória, problema do elevador

[João Maldonado]

Você sabe calcular a quantidade de soluções positivas de a1 + a2 + a3 + a4 +... 
+ an = k ?
Se não, aqui vai uma breve demonstração.
Faça 1+1+1+1+1+1+1...+1, com k uns, temos que substituir n-1 + por vírgulas, 
de modo que cada vírgula delimita uma variável, ex:
1+1+1+1, 1+1, 1, temos k=7, a1 = 4 , a2=2 e a3=1
Temos C(k-1, n-1) maneiras de fazer isso
No caso de soluções não negativas, 
Seja 
a1 + a2 + a3 + a4 +... + an = k , Faça ci = ai+1, temos  c1 + c2 + c3 + c4 +... 
+ cn = k  +n, que tem C(k+n-1, n-1) soluções positivas

--
Voltando ao problema,  Como elas são indistinguiveis, o problema se dá em 
callcular a quantidade de pessoas que saiu por andar. Seja a a quantidade de 
pessoas que saiu no primeiro9 andar, b a do segundo, etc
Temos a+b+c+d+e+f = 8, com a,b, c, d, e, f inteiros não negativosA quantidade 
de soluções é C(13, 5) = 13.12.11.10.9/5.4.3.2.1 = 1287
Se distinguissemos mulher e homem teríamos, C(10, 5) para homens e C(8, 5) para 
as mlheres
Total = 210*56 = 11760  (se eu não errei as contas)
[]'sJoão


 Date: Mon, 2 Apr 2012 15:27:41 -0300
 Subject: [obm-l] análise combinatória, problema do elevador
 From: claudin...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Prezados, alguém poderia me ajudar neste problema?
 
 Um elevador parte do andar térreo com 8 pessoas (o operador não está
 incluso) as quais saem do elevador através dos andares 1,2,…,6 (último
 andar). Se as pessoas são indistingüíveis de quantas maneiras o
 operador pode observar suas saídas? De quantas maneiras se entre as 8
 pessoas, 3 são mulheres e 5 são homens?
 
 Desde já agradeço,
 
 -- 
 *Claudinei Margarida de Morais*
 
 Engenheiro de Minas
 Pós-Graduação em sistemas Mínero-Metalúrgicos
 mestrando em engenharia de minas (lavra de minas)
 E-mail: claudin...@gmail.com
 Cel: (31) 9339-4977
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[Henrique Rennó]

Acho que a primeira fórmula seria C(u-w, w-1).

2011/9/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:

 Olá,
 Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras positivas
  de um sistema  com w variáveis da forma
 x1 + x2 +...+ xw  = u
 é  C(u-1, w-1)
 E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é
 C(w+u-1, w-1)

 []'s
 João



-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[Henrique Rennó]

Ops, na verdade seria o que você colocou mesmo.

2011/9/13 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com:
 Acho que a primeira fórmula seria C(u-w, w-1).

 2011/9/12 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com:

 Olá,
 Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras positivas
  de um sistema  com w variáveis da forma
 x1 + x2 +...+ xw  = u
 é  C(u-1, w-1)
 E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é
 C(w+u-1, w-1)

 []'s
 João



 --
 Henrique




-- 
Henrique

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw  = u

Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).

Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1
sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima.

Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista como:

1 *+* 1 *+* 1 *+*  ... *+* 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os primeiros
w-1 sinais de mais)

Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas.

Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação.

Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a w

yi = xi-1

Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1  = u
Daí, y1 + y2 + ... + yw = u+w

Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma
solução não negativa da equação original.

Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras
positivas.

Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não
negativas.

Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa maneira
de ver essas fórmulas.

Abraços.

Hugo.

Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:


 Olá,

 Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras
 positivas  de um sistema  com w variáveis da forma
 x1 + x2 +...+ xw  = u
 é  C(u-1, w-1)

 E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é

 C(w+u-1, w-1)


 []'s
 João

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[João Maldonado]

Valeu Hugo, 
Mas só pra ver se eu entendi,  se fossem as  soluções inteiras = -1,  seria 
C(u+ 2w-1, w-1)?
[]'sJoão

Date: Tue, 13 Sep 2011 15:55:09 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
From: hfernande...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw  = u
Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).
Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1 
sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima.

Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista como:
1 + 1 + 1 +  ... + 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os primeiros w-1 sinais 
de mais)

Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas.
Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação.
Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a w

yi = xi-1
Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1  = uDaí, y1 + y2 + ... + yw 
= u+w
Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma solução 
não negativa da equação original.

Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras 
positivas.
Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não negativas.

Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa maneira de 
ver essas fórmulas.
Abraços.
Hugo.
Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com 
escreveu:






 Olá, 
Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras positivas  
de um sistema  com w variáveis da formax1 + x2 +...+ xw  = ué  C(u-1, w-1)

E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é
C(w+u-1, w-1)

[]'sJoão  

  

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

Isso mesmo.
Nesse caso, você aplicaria mudança de variáveis: yi = xi-2

Em geral, para soluções inteiras maiores ou iguais a p, você deve aplicar a
mudança de variável yi=xi+p-1

Abraços.

Hugo

Em 13 de setembro de 2011 19:55, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
 escreveu:




 Valeu Hugo,

 Mas só pra ver se eu entendi,  se fossem as  soluções inteiras = -1,
  seria C(u+ 2w-1, w-1)?

 []'s
 João

 --
 Date: Tue, 13 Sep 2011 15:55:09 -0300
 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória - mais um
 From: hfernande...@gmail.com
 To: obm-l@mat.puc-rio.br


 Seja a equação linear com coeficientes unitários x1 + x2 +...+ xw  = u

 Escrevemos: 1 + 1 + 1 + ... + 1 = u (u parcelas iguais a 1).

 Cada solução inteira e positiva dessa equação corresponde a escolha de w-1
 sinais mais dentre o u-1 existentes na igualdade acima.

 Por exemplo, a solução x1=x2=x3=...=x(w-1)=1 e xw=u-w+1 pode ser vista
 como:

 1 *+* 1 *+* 1 *+*  ... *+* 1 +1 +1... + 1 = u (onde escolhemos os
 primeiros w-1 sinais de mais)

 Ora, podemos fazer isso de C(u-1,w-1) maneiras distintas.

 Logo, existem C(u-1,w-1) soluções inteiras e positivas da equação.

 Para soluções inteiras não negativas, fazemos, para cada i variando de 1 a
 w

 yi = xi-1

 Agora, a equação fica: y1 - 1 + y2 - 1 +...+ yw - 1  = u
 Daí, y1 + y2 + ... + yw = u+w

 Note que cada solução inteira positiva da equação acima corresponde uma
 solução não negativa da equação original.

 Mas já sabemos que a equação acima possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras
 positivas.

 Assim, a equação original possui C(u+w-1, w-1) soluções inteiras não
 negativas.

 Não sei se chega a ser uma demonstração o que escrevi, mas é uma boa
 maneira de ver essas fórmulas.

 Abraços.

 Hugo.

 Em 12 de setembro de 2011 17:11, João Maldonado 
 joao_maldona...@hotmail.com escreveu:


 Olá,

 Queria saber como provar a que  a  quantidade de soluções inteiras
 positivas  de um sistema  com w variáveis da forma
 x1 + x2 +...+ xw  = u
 é  C(u-1, w-1)

 E que a quantidade  de soluções inteiras  não negativas é

 C(w+u-1, w-1)


 []'s
 João

[obm-l] Re: [obm-l] ANÁLISE COMBINATÓRIA

[Johann Dirichlet]

Bem, para o 2, dou uma dica: divida o intervalo [0,1] em n partes, e
pense onde cairiam as partes fracionárias dos Kx.

Em 27/07/11, Marcelo Costamat.mo...@gmail.com escreveu:
 *1 - Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois
 dígitos cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos
 têm a mesma soma.

 2 - Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os
 números x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro
 é, no máximo, 1/n.

 AGRADEÇO DESDE JÁ VOSSA ATENÇÃO
 *



-- 
/**/
神が祝福

Torres

=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade

[marcone augusto araújo borges]

Sobre a questao 1,acho que tenho uma ideia razoavel,mas pensando apenas em 
inteiros POSITIVOS.
Na divisao de um inteiro positivo por 100 ha 100 restos 
possiveis(0,1,2...,98,99)
Se vc subtrai dois numeros com restos iguais, o resultado tem resto zero e é 
divisivel por 100, e a questao esta resolvida
Entao suponha 52 numeros que deixam restos diferentes quando divididos por 100
Acontece que se vc pega numeros que deixam restos com soma 100(43 e 57,por 
exemplo),a soma deses numeros dá um multiplo de 100,ai acaba.Caso contrario, 
veja que o o resto 1 exclui o resto 99,o resto 2 exclui o resto 98...e cada um 
dos restos possiveis exclui um unico resto e dois restos distintos excluem 
restos distintos
Dai,para  escolher 52  restos diferentes vc tem que eliminar outros 52,o que é 
impossivel,ja que so ha 100 restos possiveis.
Se alguem puder esclarecer melhor,agradeço muito
Abraços.
 
 
 
 
 



From: mat.mo...@gmail.com
Date: Thu, 21 Jul 2011 20:51:24 -0300
Subject: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
To: obm-l@mat.puc-rio.br

1) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja 
soma ou diferença é divisível por 100.

2) Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois dígitos 
cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos têm a mesma 
soma.

3) Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números 
x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro é, no 
máximo, 1/n.

4) Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até 
que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos 
exatamente p bolas nas urnas?
  

[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade

[João Maldonado]

Na verdade vale para qualquer número E Z

Um número pode ser da forma 100k, 100k+-1, 100k+-2, ...100k+-48, 100 k+-49, 
100k+50podemos escolher somente 1 número de cada forma 100k +- n, senão a soma  
é divisível por 100. temos 51  maneiras de fazer isso, por isso tempos que com 
52 números pelo menos 1 vai ter soma ou subtração divisível por 100.
Já para a questão 4
A primeira urna não importa.
Para p=2, temos 1.(1/n)Para p = 3, temos 1. (n-1)/n.2/nPara p =  4, temos 
1.(n-1)/n.(n-2)/n.3/nPara p =  p, temos 1.(n-1)/n(n-2)/n...(n-p+2)/n.p/n = 
[(n-1)!/ (n-p+1)!]  (p-1)/n^ (p-1)


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
Date: Sat, 23 Jul 2011 18:21:06 +








Sobre a questao 1,acho que tenho uma ideia razoavel,mas pensando apenas em 
inteiros POSITIVOS.

Na divisao de um inteiro positivo por 100 ha 100 restos 
possiveis(0,1,2...,98,99)
Se vc subtrai dois numeros com restos iguais, o resultado tem resto zero e é 
divisivel por 100, e a questao esta resolvida

Entao suponha 52 numeros que deixam restos diferentes quando divididos por 100

Acontece que se vc pega numeros que deixam restos com soma 100(43 e 57,por 
exemplo),a soma deses numeros dá um multiplo de 100,ai acaba.Caso contrario, 
veja que o o resto 1 exclui o resto 99,o resto 2 exclui o resto 98...e cada um 
dos restos possiveis exclui um unico resto e dois restos distintos excluem 
restos distintos

Dai,para  escolher 52  restos diferentes vc tem que eliminar outros 52,o que é 
impossivel,ja que so ha 100 restos possiveis.

Se alguem puder esclarecer melhor,agradeço muito

Abraços.

 

 

 

 

 




From: mat.mo...@gmail.com
Date: Thu, 21 Jul 2011 20:51:24 -0300
Subject: [obm-l] Análise Combinatória e Probabilidade
To: obm-l@mat.puc-rio.br

1) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja 
soma ou diferença é divisível por 100.

2) Prove que dado qualquer conjunto de dez inteiros positivos de dois dígitos 
cada, é possível obter dois subconjuntos disjuntos cujos elementos têm a mesma 
soma.

3) Sejam x um número real e n um inteiro positivo. Mostre que entre os números 
x, 2x, 3x, . . ., (n – 1)x, existe um cuja distância a algum inteiro é, no 
máximo, 1/n.

4) Tem-se n urnas. Bolas são colocadas ao acaso nas urnas, uma de cada vez, até 
que alguma urna receba duas bolas. Qual é a probabilidade de colocarmos 
exatamente p bolas nas urnas?

  

[obm-l] Re: [obm-l] ANÁLISE COMBINATÓRIA!

[Hugo Fernando Marques Fernandes]

*Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10,
aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos
permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas?
*
É uma aplicação do chamado Princípio da Casa de Pombos. Existem 101 graus
possíveis (incluindo o grau 0) em cada prova.
Logo, existem 101^4 graus possíveis nas quatro provas combinadas. Assim, o
número pedido é 101^4+1.

*Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2
algarismos pares e 2 ímpares significativos?*

Escolher dois algarismos pares significativos distintos: C(4,2)
Escolher dois algarismos ímpares significativos distintos: C(5,2)

Formas de escolher os quatro algarimos: C(4,2)*C(5,2)

Para cada escolha anterior, há 4! formas de montar o milhar (permutações).

Então, a resposta será: 4! * C(4,2) * C(5,2).

Depois faço os outros.

Abraços.

Hugo.

2009/6/29 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com

  Olá, Pessoal!

 Um exame consta de 4 provas. Os graus em cada matéria variam de 0 a 10,
 aproximados até décimos. Qual o número mínimo de candidatos que nos
 permitirá afirmar a existência de dois que tenham obtido notas idênticas?

 Quantos milhares sem algarismos repetidos podem ser formados com 2
 algarismos pares e 2 ímpares significativos?

 Em quantas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 os equidistantes
 dos extremos somam 7?

 Quantos diferentes colares usando 13 pedras distintas podem ser feitos se
 virar o colar ao invés de rodar?

 Qual o número de maneiras que podemos colocar quatro bolas indistingüíveis
 em seis compartimentos separados?

 A propósito, quantos números tem todos os seus dígitos de igual paridade?
 Afinal! Qual o maior número  de interseções de 5 circunferências?


 Abraços!

 --
 Novo Internet Explorer 8: mais rápido e muito mais seguro. Baixe agora, é
 grátis!http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Rauryson Alves]

ENGENHARIA é uma palavra com 10 letras, das quais os E se repete 2 vezes, o 
N se repete 2 vezes e o A se repete 2 vezes, assim teremos a formação de 
10!/2!.2!.2! anagramas.

--- Em dom, 5/10/08, Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Marcelo Costa [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Análise combinatória
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 5 de Outubro de 2008, 11:52

Alguém poderia me dar uma luz  nessa?
Quantos são os anagramas da palavra ENGENHARIA






  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória : dúvida...

[cleber vieira]

Valeu Gustavo pela atenção!

Gustavo Duarte [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Acho que está certo, eu tb 
resolveria assim  !!
- Original Message - 
   From:clebervieira 
   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
   Sent: Wednesday, April 09, 2008 9:53PM
   Subject: [obm-l] Análise Combinatória:dúvida...
   

Amigos gostaria da opinião de vcs sobre a resolução que fiz doseguinte 
problema:

Um dia pode ter uma de sete classificações: MB(muitobom), B(bom), O(ótimo), 
P(péssimo), S(sofrível) e T(terrivel). Os dias de umasemana são: domingo, 
segunda, terça, quarta,quinta, sexta e sábado. Duassemanas se dizem 
distintas se dois dias de mesmo nome  têm classificaçõesdistintas. Quantas 
semanas distintas, segundo o critério dado,existem?

a) 7!b) 7^2c)7*7!d) 7^7e) (7^7)!

Minharesolução foi a seguinte:
segunda = 7 possib.
terça = 7 possib.
quarta =7 possib.
quinta=7 possib.
sexta = 7 possib.
sábado =  7 possib.
domingo =7 possib.
Como cadaclassificação de um dia da semana é independente dos outros dias e 
como cadadia da semana tem 7 possibilidades, teremos 7^7 semanas distintas.
Desde jáagradeço.

  

-
   Abra sua conta no Yahoo!Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!  

   
-
Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! 

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória: dúvida...

[Gustavo Duarte]

Acho que está certo, eu tb resolveria assim !!
  - Original Message - 
  From: cleber vieira 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, April 09, 2008 9:53 PM
  Subject: [obm-l] Análise Combinatória: dúvida...


  Amigos gostaria da opinião de vcs sobre a resolução que fiz do seguinte 
problema:

  Um dia pode ter uma de sete classificações: MB(muito bom), B(bom), O(ótimo), 
P(péssimo), S(sofrível) e T(terrivel). Os dias de uma semana são: domingo, 
segunda, terça, quarta,quinta, sexta e sábado. Duas semanas se dizem distintas 
se dois dias de mesmo nome  têm classificações distintas. Quantas semanas 
distintas, segundo o critério dado, existem?

  a) 7!b) 7^2c) 7*7!d) 7^7e) (7^7)!

  Minha resolução foi a seguinte:
  segunda = 7 possib.
  terça =  7 possib.
  quarta =7 possib.
  quinta =7 possib.
  sexta = 7 possib. 
  sábado =  7 possib.
  domingo =7 possib.
  Como cada classificação de um dia da semana é independente dos outros dias e 
como cada dia da semana tem 7 possibilidades, teremos 7^7 semanas distintas.
  Desde já agradeço.




--
  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Gustavo Duarte]

com 1 porta aberta temos  5 opções
com 2 portas..C5,2 =10 opç
com 3 portas ..C5,3 = 10 opç
com 4 portas...C5,4 = 5 opç
com todas as portas abertas1 opção.logo são 31 opções.

Cx,y é combinação de x elementos agrupados y a y ou que é melhor, o número 
binomial x,y.

Em tempo : leia sobre propriedades do triângulo de pascal , que temos 2^5 -1 = 
31.

Espero ter ajudado !!
  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 16, 2007 8:57 PM
  Subject: [obm-l] Análise combinatória


  Uma sala possui 5 portas. De quantos modos podemos deixar essa sala aberta?

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] Re: [obm-l] Análise combinatória

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

cada porta pode estar aberta ou fechada.. entao temos 2^5 = 32 possibilidades..
em 1 delas, todas estao fechadas... logo, existem 31 maneiras de deixar a sala 
aberta..

abraços,
Salhab

  - Original Message - 
  From: Bruna Carvalho 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 16, 2007 8:57 PM
  Subject: [obm-l] Análise combinatória


  Uma sala possui 5 portas. De quantos modos podemos deixar essa sala aberta?

  -- 
  Bjos, 
  Bruna 

[obm-l] RE: [obm-l] Análise combinatória!

[Paulo Santa Rita]

Ola Vanderlei e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( Escreverei sem acentos )

Vou apenas evidenciar o padrao que voce procura. Os detalhes voce completa.

Para facilitar a compreensao, vamos nos fixar num campeonado de turno único 
com 10 equipes, a saber : A, B, C, ..., J.  Os calculos, entretanto, serao 
feitos supondo um numero  generico e par de equipes, 2N. Alem disso, declaro 
que usarei a notacao BINOM(N,P) para representar o numero de combinacoes de 
P elementos que se pode fazer usando um conjunto com N elementos.


Seja Ri a i-esima rodada.

Voce calculou corretamente o valor de R1. Agora, para prosseguir, 
perguntamos : de quantas maneiras podemos montar a primeira partida da 
segunda rodada ? Claramente : BINOM(2N,2) – N, pois de BINOM(2N,2) 
precisamos retirar as N partidas já realizadas na primeira rodada.


De quantas maneiras podemos montar a segunda partida da segunda rodada ?

Bom, podemos pensar assim : retiramos de 2N as duas equipes usadas na 
primeira partida, o que da 2N-2 e sobre este numero calculamos BINOM(2N-2,2) 
– N. Ocorre que ao retirarmos duas equipes de 2N estamos tambem retirando a 
possibilidade de ocorrer duas partidas da primeira rodada ... Exemplo :


primeira rodada :
(A,B),(C,D),(E,F),(G,H),(I,J)

primeira partida da segunda rodada : (A,C).

As combinacoes de 2 elementos sobre B,D,E,F,G,H,I,J excluem a possibilidade 
das partidas (A,B) e (C,D) da primeira rodada pois A,C já foram usadas na 
primeira partida da segunda rodada.


O calculo correto, portanto, e : BINOM(2N-2,2) – (N-2). Evidentemente que 
para a i-esima partida da segunda rodada sera :


BINOM(2N-2i + 2,2) – (N – 2i + 2)
Para 2N=10, o produtorio sera :

R2=(1/5!)*[(BINOM(10,2)–5)*(BINOM(8,2)–3)*(BINOM(6,2)-1)*BINOM(4,2)*BINOM(2,2)]

Para o calculo da primeira partida da terceira rodada basta fazer 
BINOM(2N,2) – 2N, pois precisamos retirar N partidas da primeira rodada e N 
partidas da segunda rodada. Para a segunda partida da terceira rodada 
BINOM(2N-2,2)-2*(N-2), pois precisamso retirar (N-2) partidas da primeira 
rodada e (N-2) partidas da segunda rodada e assim sucessivamente.



Se Pij e a i-esima partida da j-esima rodada entao podemos monta-la de :

Pij= BINOM(2N-2i+2,2) – (J-1)*(N-2)
O numero de maneiras de montar esta rodada sera entao :
Rj = (1/N!)*[ PRODUTORIO(i variando de 1 a N) Pij ]

E claro que o numero de maneiras de organizar o campeonato, pelo principio 
multiplicativo da Analise Combinatoria,  e o produto : R1*R2*...*R2n-1


E esse o padrao que voce esta procurando.

E interessante perceber que voce SENTE que há um padrao, apenas não esta 
sabendo FALAR sobre ele ( the one that I can feel, I can express ! )


Espero ter sido util.

Um Abraco a todos
Paulo Santa Rita
7,2000,220406


From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Análise combinatória!
Date: Fri, 21 Apr 2006 12:50:21 + (GMT)

Caros colegas, estou com um problema que penso ser difícil. Imagine, para 
ficar mais fácil, um campeonato brasileiro de futebol com 10 equipes por 
exemplo e que jogam em turno único. De quantas maneiras diferentes a tabela 
poderia ser montada??? Eu sei que a primeira rodada poderia ser feita de 
945 maneiras diferentes, pois (C10,2.C8,2.C6,2.C4,2.C2,2)/5! = 945, onde 
Cn,p é o números de combinações simples de n elementos tomados p a p. A 
segunda rodada perderia várias destas possibilidades, pois um mesmo jogo 
não pode ocorrer mais de uma vez, mesmo variando todos os demais. Como são 
9 rodadas, a cada rodada perderíamos várias outras possibilidades também. 
Não estou conseguindo observar o padrão a cada rodada. Eu dei um exemplo 
numérico, mas é claro que se alguém souber um resultado genéniro seria 
legal.

Alguém tem alguma idéia???
Obrigado!

Vanderlei


_
Seja um dos primeiros a testar o  Windows Live Messenger Beta a geração do 
seu MSN Messenger. 
http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[claudio.buffara]

Oi, Carlos:


Eh que o seu enunciado foi um pouco longo, o que pode ter feito com que a maioria das pessoas desistisse de le-lo ateh o fim.

O baralho tem:
4 A: 4 pontos cada
4 K: 3 pontos cada
4 Q: 2 pontos cada
4 J: 1 ponto cada
36 numeros: 0 pontos cada.

Voce quer saber o numero de maos de 13 cartas cuja soma eh 12 pontos.

Isso eh igual ao numero de solucoes do sistema:
4*(a1+a2+a3+a4) + 3*(k1+k2+k3+k4) + 2*(q1+q2+q3+q4) + (j1+j2+j3+j4) = 12;

a1+a2+a3+a4+k1+k2+k3+k4+q1+q2+q3+q4+j1+j2+j3+j4+n1+n2+ ... +n36 = 13,

onde o universo das 52 variaveis eh igual a {0,1}.

Isso eh igual ao coeficiente de x^12*y^13 na expansao de:
(1+4x^4y+6x^8y^2+4x^12y^3)*
(1+4x^3y+6x^6y^2+4x^9y^3+x^12y^4)*
(1+4x^2y+6x^4y^2+4x^6y^3+x^8y^4)*
(1+4xy+6x^2y^2+4x^3y^3+x^4y^4)*(1+y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7+y^8+y^9+y^10)

Repare que x controla a soma dos pontos e y o numero de cartas.

Infelizmente, eu estou de ferias no Rio de Janeiro, sem acesso a qualquer tipo de software matematico, de modo que nao vou conseguir dar a resposta numerica que voce deseja (fazer na mao nem pensar!)

[]s,
Claudio.






De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Mon, 5 Jul 2004 13:31:12 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Análise Combinatória






 ninguém vai me ajudar Carlos Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote:

Me deparei com a questâo abaixo, e só soube respondê-la testando todas as possíveis formas de combinar os valores e somar 12 pontos ...
"Não se assuste: não é preciso saber jogar bridge para entender o argumento que vamos usar. Nesse jogo, um baralho de 52 cartas é dividido, ao acaso, entre 4 jogadores, cada um recebendo uma "mão" de 13 cartas. Há um esquema de contar pontos para as cartas que é o seguinte: um Ás vale 4 pontos, um Rei vale 3 pontos, uma Dama vale 2 pontos e um Valete vale 1 pontos. As demais cartas valem zero pontos. 

Digamos que José recebeu a mão de cima (sortudo!), que vale 37 pontos, e João recebeu a mão de baixo (coitado!), que vale zero pontos. Alguém pode pensar que a mão de José é muito menos provável que a de João, mas não é. Um jogador de bridge pode não concordar, mas, ambas são igualmente prováveis! Há algo, porém, que distingue as duas: o número de pontos. A questão certa, então, não é saber a probabilidade de cada mão. Ambas são igualmente prováveis. A questão é saber qual é a probabilidade de receber uma mão com 37 pontos ou de receber uma mão de zero pontos. Agora, a coisa é diferente. Só existem 4 mãos diferentes que valem 37 pontos. Todas elas são como a mão da figura de cima, apenas trocando o naipe do valete. Já uma mão de zero pontos é qualquer mão sem nenhum ás ou carta de figura. O número de mãos possíveis com zero pontos é da ordem de 2,3 bilhões!
Para fazer uma mão de zero pontos basta tirar os 4 ases e as 12 figuras de um baralho (16 cartas) e separar uma mão de 13 cartas a partir das 36 cartas restantes. O número de mãos distintas será a combinação de 36 cartas, tomadas 13 a 13: 

C3613 = 36! / ((36-13)! 13!) = 2.310.789.600




Para facilitar nossa conversa, vamos usar os termos microestado e macroestado, como Boltzmann fazia. Qualquer uma dessas 2,3 bilhões de mãos será um microestado do macroestado correspondente a zero pontos. Isto é, o macroestado zero pontos tem 2,3 bilhões de microestados, enquanto o macroestado 37 pontos tem apenas 4 microestados. Agora, é fácil entender porque uma mão de zero pontos é mais provável que uma mão de muitos pontos: ela tem muito mais microestados.
Podemos, agora, definir a ENTROPIA de uma pontuação no bridge como sendo o número de mãos diferentes com essa pontuação. Ou, equivalentemente, essa entropia será o número de microestados em um macroestado. A entropia da mão de zero pontos (macroestado) é cerca de 2,3 bilhões (número de microestados), enquanto a entropia da mão de 37 pontos é apenas 4. 




Como exercício, você pode calcular a entropia de uma mão de 12 pontos. "

É isso eu não consegui determinar de quantas formas eu posso ter uma mão (13 cartas) somando-se 12 pontos ?


Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!


Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis! 

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória

[Rafael]

^12+2184*x^13*y^10+2184*x^1
3*y^11+4504*x^21*y^12+1048*x^25*y^9+944*x^23*y^8+1290*x^28*y^13+1304*x^11*y^
9+268*x^7*y^13+96*x^5*y^9+96*x^5*y^10+4*x^32*y^11+16*x^30*y^10+y^6+x^4*y^14+
25*x^4*y^13+327*x^8*y^14+24*x^28*y^9+4*x^36*y^15+64*x^31*y^11+16*x^26*y^8+44
5*x^8*y^11+445*x^8*y^12+112*x^29*y^10+128*x^27*y^9+112*x^25*y^8+24*x^34*y^13
+16*x^35*y^14+64*x^23*y^7+16*x^33*y^12+896*x^29*y^13+51*x^4*y^9+51*x^4*y^11+
47*x^4*y^12+51*x^4*y^10+170*x^6*y^12+148*x^6*y^13+4*x*y^11+170*x^6*y^10+170*
x^6*y^11+4*x*y^8+4*x*y^9+4*x*y^10+10*x^2*y^10+10*x^2*y^11+6*x^2*y^12+4*x*y^6
+4*x*y^7+4*x^3*y^13+10*x^2*y^7+10*x^2*y^8+10*x^2*y^9+24*x^3*y^8+24*x^3*y^9+2
4*x^3*y^10+24*x^3*y^11+20*x^3*y^12+1716*x^12*y^13+1712*x^12*y^14+284*x^7*y^1
0+284*x^7*y^11+284*x^7*y^12+952*x^10*y^13+952*x^10*y^12+1286*x^28*y^12+1648*
x^27*y^11+1616*x^26*y^10+580*x^30*y^13+872*x^29*y^12+344*x^31*y^13+194*x^32*
y^14+3649*x^16*y^12+3649*x^16*y^13+3649*x^16*y^14+1304*x^11*y^12+1304*x^11*y
^13+2680*x^14*y^12+2680*x^14*y^13+2680*x^14*y^14+2680*x^14*y^11+664*x^9*y^12
+664*x^9*y^13+664*x^9*y^10+664*x^9*y^11+4060*x^17*y^14+4060*x^17*y^15+4060*x
^17*y^12+4060*x^17*y^13+4611*x^20*y^14+4611*x^20*y^16+4611*x^20*y^15+3176*x^
15*y^14+4611*x^20*y^13+4370*x^18*y^12+4370*x^18*y^13+4370*x^18*y^14+4370*x^1
8*y^15+4504*x^21*y^14+4504*x^21*y^15+4504*x^21*y^16+3399*x^24*y^15+3399*x^24
*y^16+3399*x^24*y^17+96*x^5*y^11+96*x^5*y^12+3425*x^20*y^18+3413*x^16*y^16+2
161*x^16*y^17+2184*x^13*y^13+2612*x^14*y^7+2184*x^13*y^14+439*x^8*y^13+3649*
x^16*y^15+1868*x^13*y^6+4346*x^18*y^16+3746*x^18*y^17+4*x^10*y^17+64*x^5*y^1
3+16*x^5*y^14+6*x^8*y^16+98*x^8*y^15+28*x^7*y^15+156*x^7*y^14+904*x^10*y^14+
544*x^10*y^15+128*x^10*y^16+1276*x^11*y^6+824*x^10*y^5+56*x^6*y^14+4*x^6*y^1
5+268*x^9*y^15+572*x^9*y^14+4509*x^20*y^17+3972*x^17*y^16+2996*x^17*y^17+262
8*x^14*y^15+100*x^32*y^12+80*x^33*y^13+1984*x^14*y^16+1280*x^11*y^14+2056*x^
13*y^15+2744*x^15*y^16+3160*x^15*y^15+40*x^34*y^14+188*x^32*y^13+224*x^30*y^
11+2948*x^15*y^7+y^7+439*x^8*y^5+256*x^7*y^4+3621*x^16*y^8+1483*x^12*y^15+96
*x^33*y^14+256*x^31*y^12+664*x^9*y^6+976*x^11*y^15

Procurando o coeficiente de x^12*y^13 encontramos 1716.

Boas férias!


[]s,

Rafael



- Original Message -
From: claudio.buffara
To: obm-l
Sent: Monday, July 05, 2004 3:52 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Análise Combinatória


Oi, Carlos:

Eh que o seu enunciado foi um pouco longo, o que pode ter feito com que a
maioria das pessoas desistisse de le-lo ateh o fim.

O baralho tem:
4 A: 4 pontos cada
4 K: 3 pontos cada
4 Q: 2 pontos cada
4 J: 1 ponto cada
36 numeros: 0 pontos cada.

Voce quer saber o numero de maos de 13 cartas cuja soma eh 12 pontos.

Isso eh igual ao numero de solucoes do sistema:
4*(a1+a2+a3+a4) + 3*(k1+k2+k3+k4) + 2*(q1+q2+q3+q4) + (j1+j2+j3+j4) = 12;

a1+a2+a3+a4+k1+k2+k3+k4+q1+q2+q3+q4+j1+j2+j3+j4+n1+n2+ ... +n36 = 13,

onde o universo das 52 variaveis eh igual a {0,1}.

Isso eh igual ao coeficiente de x^12*y^13 na expansao de:
(1+4x^4y+6x^8y^2+4x^12y^3)*
(1+4x^3y+6x^6y^2+4x^9y^3+x^12y^4)*
(1+4x^2y+6x^4y^2+4x^6y^3+x^8y^4)*
(1+4xy+6x^2y^2+4x^3y^3+x^4y^4)*(1+y+y^2+y^3+y^4+y^5+y^6+y^7+y^8+y^9+y^10)

Repare que x controla a soma dos pontos e y o numero de cartas.

Infelizmente, eu estou de ferias no Rio de Janeiro, sem acesso a qualquer
tipo de software matematico, de modo que nao vou conseguir dar a resposta
numerica que voce deseja (fazer na mao nem pensar!)

[]s,
Claudio.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Rafael]

Sejam x, y, z, t as quatro pessoas em questão, teremos:

x + y + z + t = 20


Para contar o número de soluções dessa equação, tais sendo inteiras e
positivas, faz-se:

23!/(3!20!) = 1771 maneiras diferentes

..


Curiosidade: algum país deste mundo (ou de outro) usa notas de R$
333,33. Dá inveja de tanta criatividade...


Abraços,

Rafael de A. Sampaio





- Original Message -
From: seanjr [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 5:59 PM
Subject: [obm-l] análise combinatória


De qts maneiras diferentes é possível distribuir 20 notas de
R$333,33 para 4 pessoas?


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[seanjr]

Obrigado. 

Vc é meu chará e R$ é a moeda imaginária, rafaéis, de uma 
nação insular na costa de Passárgada. Lar do Coelhinho da 
páscoa. =P



  

 
---
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
AntiPop-up UOL - É grátis! 
http://antipopup.uol.com.br


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Rafael]

Contar o número de soluções da equação x + y + z + t = 20, tais sendo
inteiras e *não-negativas*, como muito bem me lembrou o Prof. Morgado,
equivale ao número de combinações completas de 4 elementos escolhidos 20 a
20, sendo que tais elementos (pessoas) podem aparecer repetidamente: uma
mesma pessoa pode receber mais de uma nota, ou mesmo, nenhuma.

Representando as combinações completas (ou, como preferem outros,
combinações com repetição) por *C(n,k), temos que:

*C(n,k) = C(n+k-1,k) = (n+k-1)!/(k!(n-1)!)

Assim: *C(4,20) = 23!/(20!3!) = 1771.


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: Douglas Drumond [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 8:53 PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória


Rafael escreveu:
  Sejam x, y, z, t as quatro pessoas em questão, teremos
  x + y + z + t = 20
 Para contar o número de soluções dessa equação, tais sendo inteiras e
  positivas, faz-se: 23!/(3!20!) = 1771 maneiras diferentes

Por que? Nao consegui entender o porque de 23!/(3!20!)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Rafael]

Ahhh, agora faz sentido lar do Coelhinho da Páscoa, claro...!

Ainda assim, duas pequenas correções sobre o que você escreveu:

- Chará escreve-se com 'x', portanto, você, provavelmente, é meu *xará*;
- Passárgada escreve-se com apenas um 's', veja: Pasárgada.


Sim, não é só de Matemática que gosto na vida, felizmente... ;-)


Abraços,

Rafael de A. Sampaio




- Original Message -
From: seanjr [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, March 27, 2004 10:50 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória


Obrigado.

Vc é meu chará e R$ é a moeda imaginária, rafaéis, de uma
nação insular na costa de Passárgada. Lar do Coelhinho da
páscoa. =P




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Re:[obm-l] análise combinatória

[amurpe]

 Olá pessoal,
 
 Vejam a questão:
 
 (SANTA CASA-
SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro e
ntre as 
 cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para
 fazer as viagens de 
 ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obr
igatoriamente, em 
 qualquer ordem?
 
 Resp: 24
 


Creio que o Principio fundamental da contagem cai bem 
neste problema.

maneiras para ir de A para B de trem 9ferrovia): 4
maneiras para ir de A para B de carro( rodagem)trem : 3

Como é ida e volta - temos : (4.3) . 2= 24.

um abraço.
Amurpe.
 
bs: Eu usei combinação e cheguei  a um resultado muito al
to. Sera que não 
 precisava ter usado combinação simples?
 

 
__
E-mail Premium BOL
Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!
http://email.bol.com.br/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re:[obm-l] análise combinatória

[rafaelc.l]

 Olá pessoal,
 
 Vejam a questão:
 
 (SANTA CASA-
SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3 estradas de ferro en
tre as 
 cidades A e B. Quantos são os diferentes percursos para 
fazer as viagens de 
 ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obri
gatoriamente, em 
 qualquer ordem?
 
 Resp: 24


 Tem-se dois casos: 1)ida de rodovia e volta de ferrovia
 2)ida de ferrovia e volta de rodovia 


  1) 4 rodovias para ida multiplicado por 3 ferrovias 
de volta= 4x3=12

 2) 3 ferrovias de ida multiplicado por 4 rodovias de 
volta= 3x4=12

 somando: 12+12=24

 
__
E-mail Premium BOL
Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já!
http://email.bol.com.br/


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=

[obm-l] Re: [obm-l] análise combinatória

[Marcos Paulo]

Um códogo é determinado pela escolha das cores de 6 
barras a primeira barra pode ser escolhida de 2 cores, a segunda pode ser 
escolhida de 2 cores e assim por diante até a 6a barra que pode ser escolhida de 
2 cores. Como a escolha da cor de uma barra não interfere na escolha da cor das 
outras barras o total de códigos será o produto 2^6 = 64. Porém o enunciado 
descarta a possibilidade de um código conter todas asbarras brancas e 
todas as barras pretas portanto do total devemos descontar estas duas 
possibilidades e a resposta fica então 64 - 2 = 62.
A "fórmula" que vc colocou na mensagem original dá 
o total de maneiras que vc pode escolher p objetos dentre n e nào tem nada a ver 
com o exercício.

[]'s MP

  - Original Message - 
  From: 
  [EMAIL PROTECTED] 
  
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Tuesday, January 14, 2003 9:41 
  PM
  Subject: [obm-l] análise 
  combinatória
  Olá pessoal, 
  Alguém consegue resolver estre problema de análise combinatória: 
  (U.C SALVADOR) Um código para leitura ótica é constituído por 6 barras 
  brancas ou pretas. Nenhum código tem barras de uma só cor. Veja dois exemplos 
  desses códigos: Obs: Vou descrever como são estes exemplos: 
  Imagine dois retângulos, em que cada um é formado por 6 listas 
  verticais, para facilitar a descrição vamos ordenar as listas, ou seja, a 1º 
  (da esquerda para direita), depois 2º...6º lista. Imagine que o primeiro 
  retangulo esta pintado assim: 2º lista e 5º lista (ambas de preto) e o 
  restante de branco. Agora, imagine o segundo retangulo (código de barras) com 
  a 1º, 2º e 5º lista sendo pretas e as restantes brancas. Dúvida: Por 
  quê podem ser formados 62 (segundo meu gabarito) códigos, distintos entre si? 
  Eu tentei aplicar cn,p=n!/(n-p)!p! mas não cheguei no resultado. Será que é 
  arranjo?