Re: [obm-l] Financas
Rafael, Em relação ao seu raciocínio quanto ao primeiro problema, vamos entender o que você está calculando e o que o problema está pedindo. Primeiramente,M = C(1+i)^t, sendo M o montante que obtemos de uma aplicação,na qual dispusemos um capital C a uma taxa i durante um certo período t. Na primeira progressão, A_1 é a aplicação de $ 2000,00pelo período de um mês (t=1), pois 2000*(1,03)^1. Depois, A_2 é a aplicação de $ 2000,00 pelo período de dois meses (t=2), pois 2000*(1,03)^2. E assim sucessivamente até A_6.Mas não é isso que oenunciado diz.Na verdade,$ 2000,00 são aplicados no primeiro mês, depois $ 2000,00 são aplicados no segundo mês (quando também se obtém a primeira remuneração da primeira aplicação)etc.As aplicações continuarão rendendo até o final do décimo oitavo mês, quando então se quer saber o montante obtido. Veja que nada é dito sobre a primeira aplicação, por exemplo,ocorrer por um número determinado de meses,como você supôs que ocorreria. Todas as aplicaçõessão remuneradasao final do mês posterior a que sãofeitas, o que independe do horário que você expôs: suponha que eudisponha deUS$ 1,000.00e faça uma aplicação que renda 10% ao mês (a juros compostos) erealize-a no último dia do mês. Não creio que qualquer banco vá marcar a hora em que fiz a aplicação para determinar a hora em que poderei receber a remuneração no próximo mês. E isso também não faz sentido ou diferença, pois não estamos operando com as remunerações, e sim com as aplicações.O que importa é que, ao final do décimo oitavo mês, teremos feito 17 aplicações e estaremos com $ 6000,00, para a aplicação a ser feita para o décimo nono mês. Ou, o que dá no mesmo, teremos feito 18 aplicações, mas como a última teria seu rendimento somente no décimo nono mês,continuaríamos com o valor de sua aplicação. Basicamente, o erro no seu raciocínio é isolar as operações de $ 2000,00, $ 4000,00 e $ 6000,00.Como diz o enunciado, há um "fluxo de caixa", então, na "fórmula" já citada, t é o período durante o qual o capital C estará rendendo, e não algum tipo de ordem nas aplicações, como você pode ter entendido. Se apliquei $ 2000,00 no primeiro mês e continuarei recebendo o rendimento até o décimo oitavo mês, levando-se em consideração que a aplicação é feita ao final de cada mês, haverá 17 meses em que ocorrerá rendimento, por isso 2000*(1,03)^17, pois $ 2000,00 foi o capital aplicadoà taxa de 3% (3%= 0,03)durante 17 meses. Espero ter esclarecidoo raciocínio do problema. Qualquer dúvida remanescente, escreva! Começarei a pensar no segundo problema sobre o ágio. Obrigado pelo exemplo bastante didático do "agiota". ;-) Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 11, 2004 2:39 AM Subject: Re: [obm-l] Financas Ola Rafael Rafael (xara), quanto a sua definicao de agio acho que vc esta certo. Seria uma especie de juro, remuneracao, pode significar tbem (dependendo do contexto) usura, desconto. Eh so lembram de agiota: *aquele que empresta uma quantia para alguem e depois cobra *juros* exorbitantes* Quanto ao primeiro problema nao seria o que esta abaixo ? Se estiver errado me corrija. P.G (1) A_1 = 2000*1,03 A_2 = 2000*1,03^2 A_3 = 2000*1,03^3 A_4 = 2000*1,03^4 A_5 = 2000*1,03^5 A_6 = 2000*1,03^6 P.G (2) A_7 = 4000*1,03 A_8 = 4000*1,03^2 A_9 = 4000*1,03^3 A_10 = 4000*1,03^4 A_11 = 4000*1,03^5 A_12 = 4000*1,03^6 P.G (3) A_13 = 6000*1,03 A_14 = 6000*1,03^2 A_15 = 6000*1,03^3 A_16 = 6000*1,03^4 A_17 = 6000*1,03^5 A_18 = 6000*1,03^6 Logo o montante seria P.G (1) + P.G (2) + P.G (3) Ps: Vc esta considerando que a aplicacao eh feita no mes m e a remuneracao no mes m+1 (renda postecipada). Por que nao considerar a remuneracao no proprio mes m (renda antecipada) ? O enunciado fala que a aplicacao eh feita ao fim de cada mes. Se levarmos com muito rigor nossa analise considerariamos este *fim de cada mes* como 23:59 horas do dia 31 (de um mes que termine em 31), neste caso a renda seria mesmo postecipada. Caso este *fim de cada mes* seja antes de 23:59 horas entao poderia ocorrer a taxa de remuneracao neste exiguo intervalo de tempo depois da aplicacao, neste caso teriamos um caso de rendas antecipadas. Mas como o enunciado nao fala isso ...
Re: RES: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!
Eu lembro de meu professor de Estatística ter contado sobre esse problema uma vez (e não contou a resposta diretamente)... Deixa eu ver se lembro... a) Probabilidade 1/2: Veja essa figura: http://www.linux.ime.usp.br/~articuno/public/1.png A corda escolhida é sempre perpendicular a um diâmetro. Se ela cai entre o 'pontinho azul' e o 'pontinho vermelho' da figura, como a 'corda verde' q eu desenhei, então ela será maior q o lado do triângulo equilátero inscrito. É fácil ver que esse intervalo é metade do diâmetro, daí a idéia de que a probabilidade de escolher tal corda seja 1/2. b) Probabilidade 1/3: Veja essa figura: http://www.linux.ime.usp.br/~articuno/public/2.png A corda aleatória tb pode ser determinada por um ponto na circunferência (o vermelho) e pelo ângulo entre a corda e a tangente à circ. naquele ponto. Dado o ponto, temos um intervalo angular, do qual apenas um terço (que cai na área pontilhada de amarelo) corresponde a cordas maiores que o lado do triângulo. Daí viria o resultado da probabilidade ser 1/3 (ps: acabei de perceber outra forma equivalente, onde se escolhem 2 pontos na circunferência: ao escolher um ponto (o vermelho), o outro ponto a ser escolhido deve estar no arco da parte pontilhada de amarelo, que mede 1/3 da circunferência) c) Probabilidade 1/4: Acho q foi o prof. que me disse que havia essa, e acho até que eu tinha descoberto como obtê-la, mas agora não lembro como era... Enfim, acho q a moral da história era (acho): não há paradoxo nenhum, todas as respostas estariam certas. Tudo dependeria do MODELO que você usa para representar o problema. []s -- Wendel ps2: espero não ter falado muita besteira ^^; = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funções inversas
on 12.02.04 04:02, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: Aos colegas da lista, Gostaria de comentar uma curiosidade que tive por esses dias. Parece-me que a condição necessária e suficiente para que uma função possua inversa é que tal função seja bijetora. A maneira de se obter a função inversa de y = f(x), por exemplo, consistiria do isolamento da variável x e, posteriormente, a permutação das variáveis, i.e., x por y. Até aqui, nada de novo. Eis, de fato, o que é interessante: para as funções f(x) = x + exp(x) ou f(x) = x + ln(x), ambas bijetoras, não consegui obter as suas inversas, visto que isolar a variável x é a principal dificuldade, e não me parece simples fazê-lo. Agradeço por qualquer comentário ou idéia sobre o assunto. Abraços, Rafael de A. Sampaio Infelizmente nao ha nada a se fazer. Ha certas funcoes que nao podem ser expressas como combinacao de funcoes elementares, mas que no entanto existem e podem ateh ser bijetoras, tais com as inversas das funcoes acima (imagino que voce queira dizer que a segunda eh uma bijecao entre o conjunto dos reais positivos e o conjunto dos reais). A mesma coisa ocorre ateh com algumas funcoes polinomiais. Por exemplo, qual a inversa de h:R - R dada por h(x) = x^5 + 6x + 3? Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Numeros algebricos e transcendentes
Alguem poderia indicar algum material ou algum site sobre numeros algebricos e transcendentes? Especificamente, alguem tem uma demonstracao de que a soma de um transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendente? Obrigado Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l]
No caso de provas mais simples como provar que o quadrado de um número qualquer não pode ser negativo eu posso dizer que simplesmente que se: k^2 = 0 k = 0/k k = 0 Ou eu teria de usar a tabela verdade para esse caso? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
pois é, sua prova simples está bem errada... se a = b NÃO É VERDADE que para todo c, a*c = b*c isso só vale se c = 0, por exemplo se a = b, a(-1) = b(-1) além disso você não pode dividir por 0, e se k = 0, foi o que vc fez. para provar que todo quadrado é não negativo, dê uma olhada nas mensagens da lista, existem demonstrações simples que usam apenas alguns axiomas. [ ]'s - Original Message - From: Victor Luiz [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 11:48 AM Subject: [obm-l] No caso de provas mais simples como provar que o quadrado de um número qualquer não pode ser negativo eu posso dizer que simplesmente que se: k^2 = 0 k = 0/k k = 0 Ou eu teria de usar a tabela verdade para esse caso? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes
Oi Arthur, tudo bem?
Eu vi a demonstracao de que os nrs algebricos sao fechados para soma e
multiplicacao num livro chamado Numeros irracionais e transcedentes, de
Djairo Figueiredo. Eu achei o livro interessante, pois nele eu vi pela
primeira vez a demonstracao de que Pi era transcendente (alem de
demonstracoes para transcedencia de 'e' e irracionalidade de 'Pi' e 'e').
Isso resolve o seu problema, pq se x eh algebrico e y eh transcendente,
entao x+y nao pode ser algebrico (pq se fosse teriamos y = (x+y) + (-x)
algebrico pelo resultado acima). O caso da multiplicacao eh analogo.
Eu fiquei muito chateado de nao ter pensado nisso durante a prova da
OBM-u de 2003, pois a questao 5 da prova usava uma ideia semelhante à ideia
dessas demonstracoes. Inclusive, o que eu estou escrevendo aqui nao foi
retirado diretamente do livro, mas sim do que eu lembro das ideias
principais que o Carlos (Stein) usou para resolver a questao na prova..
Nao sei de um site onde tenha essa demonstracao, mas a ideia eh a
seguinte:
Suponha que x e y sao algebricos. Entao, existem n-uplas
(x_1,x_2,...,x_n) e (y_1, ..., y_n) tais que x_1 + x*x_2 + ... + (x^n-1)*x_n
= 0. Em particular, podemos escrever x^n em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1,
sendo cada coeficiente uma combinacao linear dos racionais (x_1, ..., x_n).
Tambem podemos fazer isso para x^n+1, x^n+2, e assim por diante, e podemos
fazer algo analogo para y.
Olhe agora para os numeros 1, (x+y), (x+y)^2, (x+y)^3, ... .
Pelo que foi visto acima, veja que cada termo x^p * y^q pode ser escrito
como uma combinacao linear dos termos x^i * y^j para i,j em {0,1,...,n-1}
(basta escrevermos x^p em funcao de 1,x,x^2,...,x^n-1 e fazer analogo para
y^q. Portanto cada um dos termos (x+y)^k pode ser escrito como uma
combinacao racional dos mn numeros x^i * y^j acima descritos. Ou seja, a
cada (x+y)^k associamos um vetor de mn componentes racionais (r_ k1, r_k2,
...).
Pegando k=1,2,...,mn+1, obtemos mn+1 vetores do espaco Q^mn (com
escalares em Q), e portanto eles devem ser linearmente dependentes, ou seja,
existem racionais q_1, ... nao todos nulos de modo que q_1*(x+y) +
q_2*(x+y)^2 + ... + q_n*(x+y)^n = 0 (pq cada componente do vetor será zero,
e portanto essa soma sera zero).
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 12, 2004 10:20 AM
Subject: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes
Alguem poderia indicar algum material ou algum site sobre numeros
algebricos
e transcendentes?
Especificamente, alguem tem uma demonstracao de que a soma de um
transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um
transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendente?
Obrigado
Artur
OPEN Internet
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Re: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes
- Original Message - From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 10:20 AM Subject: [obm-l] Numeros algebricos e transcendentes Alguem poderia indicar algum material ou algum site sobre numeros algebricos e transcendentes? Especificamente, alguem tem uma demonstracao de que a soma de um transcendente com um algebrico eh trancendente e o produto de um transcendente por um algebrico nao nulo eh transcendente? Obrigado Artur Oi, Artur: Se a eh algebrico não nulo e t eh transcendente, então a+t e a*t são ambos transcendentes, pois se fossem algébricos, então: t = (a+t)-a = (a*t)*(1/a) também seria algébrico (pois o conjuunto dos algébricos é um corpo) == contradição. De qualquer forma, existem notas de aula on-line sobre o assunto aqui: http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/main785.html E o melhor (do seu ponto de vista) é que o único pré-requisito é análise (além de alguns fatos básicos de álgebra e teoria dos números)! Um abraço, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda
Resolva a inequação abaixo 9^x - 6^x - 4^x 0 eu não consigo desenvolver essa questão... tentei da seguinte maneira. 3^(2x) - 2^(x). 3^(x) - 2^(2x) 0 substituindo 3^x por y 2^x por x terei y^2 - xy - x^2 0 bom não consigo resolver... Alguém pode me ajudar... Desde já agradeço. ObrigadoYahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
[obm-l] Re: [obm-l] Funções inversas
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:54:31AM -0200, Claudio Buffara wrote: Por outro lado, eh possivel achar uma expressao para a inversa de k:R _ R dada por k(x) = x^3 + 3x. Voce consegue? A dica para resolver este problema é ler a minha mensagem de ontem. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda
Resolva a inequação abaixo 9^x - 6^x - 4^x 0 eu não consigo desenvolver essa questão... tentei da seguinte maneira. 3^(2x) - 2^(x). 3^(x) - 2^(2x) 0 substituindo 3^x por y 2^x por x == má escolha de variável. Com tanta letra dando sopa você foi logo escolher a mesma? Pode dar confusão no final. Vou mudar pra z. terei y^2 - zy - z^2 0 Isso é igual a: y^2 - zy + z^2/4 - z^2/4 - z^2 0 == (y - z/2)^2 5z^2/4 == | y - z/2 | |z|*raiz(5)/2 = z*raiz(5)/2, poisz = 2^x 0 == y - z/2 z*raiz(5)/2 ou y - z/2 - z*raiz(5)/2 == y z*(1+raiz(5))/2 ou y z*(1-raiz(5))/2. Mas y = 3^x 0. Logo não pode ser y z*(1-raiz(5))/2 0. Assim, só pode ser: y z*(1+raiz(5))/2 == 3^x 2^x*(1+raiz(5))/2 == (3/2)^x (1+raiz(5))/2 == x log((1+raiz(5)/2)/log(3/2). Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Ajuda
On Thu, Feb 12, 2004 at 12:11:30PM -0300, Carlos Alberto wrote: Resolva a inequação abaixo 9^x - 6^x - 4^x 0 Divida por 9^x para ficar com 1 - (2/3)^x - ((2/3)^x)^2 0 Mas temos 1 - z - z^2 0 se e somente se (-sqrt(5)-1)/2 z (sqrt(5)-1)/2. Mas obviamente (2/3)^x 0. Assim 9^x - 6^x - 4^x 0 se e somente se (2/3)^x (sqrt(5)-1)/2 qye acontece se e x log((sqrt(5)-1)/2)/log(2/3) ~= 1.186814393. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Numero de Napier
o que voce quer dizer com isso?Em primeiro lugar eu precisaria de uma definiçao clara do numero e (que alias nao e numero de Napier).E depois eu te responderia.Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Será q alguém sabe como calcular o valor numérico do número de Napier n, mas sem usar Taylor ? Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Numeros de Lucas
Se nao me engano ja vi isto na Eureka!Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal:Considere a sequencia (L(n)) dada por:L(0) = 2L(1) = 1L(n) = L(n-1) + L(n-2) para n = 2.Prove que existe um inteiro positivo m tal que a soma de quaisquer m termosconsecutivos dessa sequencia eh divisivel por 2004.Prove tambem que se mudarmos as condicoes iniciais para L(0) = 0 e L(1) = 1(de forma que a sequencia passa ser a de Fibonacci), entao para qualquerinteiro positivo m vai existir um termo da sequencia divisivel por m.Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
[obm-l] Produto de comutadores
Title: Help Oi, pessoal: Algum poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores NO necessariamnete um comutador? (dados dois elementos x, y de um grupo, o comutador de x e y , por definio, igual a x*y*x^(-1)*y^(-1) ) Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] Numeros de Lucas
Sua informação é quase inútil se você não especificar pelo menos o número da Eureka (e de preferência a página ou o nome da seção/artigo em que você viu o problema) - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 1:33 PM Subject: Re: [obm-l] Numeros de Lucas Se nao me engano ja vi isto na Eureka!Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, pessoal:Considere a sequencia (L(n)) dada por:L(0) = 2L(1) = 1L(n) = L(n-1) + L(n-2) para n = 2.Prove que existe um inteiro positivo m tal que a soma de quaisquer m termosconsecutivos dessa sequencia eh divisivel por 2004.Prove tambem que se mudarmos as condicoes iniciais para L(0) = 0 e L(1) = 1(de forma que a sequencia passa ser a de Fibonacci), entao para qualquerinteiro positivo m vai existir um termo da sequencia divisivel por m.Um abraco,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Problema Interessante
Existe um modo interessante de obter tal polinomio.cos (n+2)x + cos(n)x=2cos(x)*cos (n+1)x cos (n+2)x=2cos(x)*cos (n+1)x-cos(n)x E ai e facil ver que P_(n+2)(x)=2cos(x)*P_(n+1)-P_(n)x P_0(x)=1, P_1(x)=cos (x) Ai acaba! Usei misso para fechar um problema da Eureka!Alias, sera que o Gugu ja recebeu? Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Artur:Tem também um teorema que diz que se x e cos(pi*x) são ambos racionais,então x = k/2 ou x = k/3 para algum k inteiro, mas não se aplica a esteproblema pois (raiz(5)-1)/2 é irracional.Mesmo não sendo aplicável, acho que é um resultado interessante por si mesmoe cuja demonstração não é difícil.A idéia é mostrar, por indução, que cos(n*pi*x) pode ser expresso como umpolinômio:p(t) = a_0 + a_1*t + ... + a_n*t^n,de grau n, em cos(pi*x) tal que:a_n = 2^(n-1)epara 2 = k = n, 2^(k-1) divide a_k.Isso implica que 2*cos(pi*x) é raiz de um polinômio mônico de grau n ecoeficientes inteiros. Logo, se 2*cos(pi*x) é racional, então 2*cos(pi*x) sópode ser inteiro (pelo bom e velho teorema das raízes racionais) ==cos(pi*x) = -1, -1/2, 0, 1/2 ou 1 == x = k/2 ou x = k/3 com k inteiro.Um corolário que eu acho interessante é que se as medidas dos lados e dosângulos (em graus) de um triângulo são todas racionais, então esse triânguloé equilátero.*De qualquer forma talvez dê pra aproveitar alguma idéia do teorema acima praresolver o problema do Márcio.Um abraço,Claudio.- Original Message -From: "Artur Costa Steiner" <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesdday, February 10, 2004 12:50 PMSubject: Re: [obm-l] Problema Interessante O Marcio Cohen propos, no ultimo domingo, um problema interessante, provar que x = arccos[((sqrt(5)-1)/2]/pi eh irracional. Eu achei que isto poderia ter solucao por fracoes continuas ou com base na divisao aurea. Mas poraih nao cheguei a nada. Depois eu notei que (sqrt(5)-1))/2 eh uma das dua raizes da equacao do segundo grau, de coeficientes inteiros, 2x^2 + x -1 =0, de modo que (sqrt(5)-1))/2 eh algebrico. Observamos ainda que cos(pi*x)=(sqrt(5)-1))/2, o que implica em que a parte real de e^(pi*x) seja Re[^(pi*x)] = sqrt(5)-1))/2. Neste ponto eu me lembrei que parece que hah um teorema(mao estou abolutamente certo) o qual diz que, com excecao de -1, 0 e 1, as partes reais das raizes inteiras da unidade sao transcendentes. Se alguemse lembrar deste teorema, caso efetivamente exista, e puder apresentar oumesmo rascunhar uma prova, eu gostaria. Bom, assumindo-se que o citado teorema efetivamente exista, concluimos que Re[e^(pi*x)] ek algebrico e que, desta forma, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade. Se x for racional, entao existem inteiros p0 e q0 tais que x =p/q. Logo pi*x*i = pi* p/q *i e e^(pi*x*i)= cos(p*pi/q) + i *sen(p*pi/q). Logo, [e^(pi*x*i]*q = cos(p*pi) + i * sen(p*pi). Mas eh sempre possivel escolhermos p/q = x de modo que p seja par e que, consequentemente, cos(p*pi) = 1 e sen(p*pi) =0. Isto nos mostra que existe q inteiro talque [e^(pi*x*i]*q =1 . A conclusao eh que se x eh racional entao e^(pi*x*i)eh raiz da unidade para algum inteiro p. dado que, no caso prooposto, e^(pi*x*i) nao eh raiz da unidade, segue-seque x eh iracional. Supondo-se, eh claro, que o teorema que citei existe...Vou tentar demonstra-lo, se possivel. Artur OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Problema para Artur
Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) quediz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T)também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.
[obm-l] dúvida1
Olá, alguém poderia me provar isso que eu vi no livro Curso de análise do Elon? Seja a seqüência an = 1+1/1!+1/2!+...+1/n! O Elon diz que ela é evidentemente cresente e além disso é limitada, pois an 1+1+1/2+1/2*2+ ...+1/2n-1 3 , para todo n Î N. Gostaria de saber se isso tem a ver com majorar a soma e que alguém me explicasse o que é majorar. Obrigado, Victor.
[obm-l] Re: [obm-l] Problema para Artur
Bem, podemos humilhar falando que (algebrico)^(algebrico nao-racional) e transcedente -- Mensagem original -- Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. - Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI INSIGNIA TRIBVUERE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema para Artur
Oi gente, Que tal considerar a função f:R+ - R+, f(x) = x^x? Esta função é contínua, logo existe um valor de x tal que x^x = 2004, por exemplo. Não é difícil ver que esse x é irracional. x não pode ser algébrico pois x^x seria transcendente. Logo x é transcendente e x^x = 2004 é algébrico. []'s Shine --- Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. __ Do you Yahoo!? Yahoo! Finance: Get your refund fast by filing online. http://taxes.yahoo.com/filing.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
Ola pessoal,
Pegando um gancho no assunto:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ? Pois o que vejo desde alguns anos atras (quando ainda fazia o Ensino Medio) ateh agora foi o que o Nicolau disse abaixo, ou seja:
[... calcular a definicao de soma e produto de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3, aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim...]
Nao quero saber, por enquanto, das aplicacoes. Quero saber MATEMATICAMENTE o significado de determinantes diferentemente do que ensinam 99% dos livros. Nao tenho certeza, mas parece que ele esta relacionado aa area de um paralelogramo em um sistema cartesiano.
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Neste caso eu vi uma vez na internet um paper muito bom fazendo a demonstracao por geometria analitica, mas nao me lembro do endereco.
Em uma mensagem de 11/2/2004 12:20:34 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu:
On Tue, Feb 10, 2004 at 10:56:27PM -0200, Claudio Buffara wrote:
on 10.02.04 21:58, Laurito Alves at [EMAIL PROTECTED] wrote:
São vários os tópicos de matemática que ensinamos no Ensino Básico que têm
aplicação limitadíssima e que passam a impressão de que ensinamos tudo.
Números complexos, matrizes e determinantes são apenas alguns exemplos.
Eu sinto muito, mas sou forcado a discordar da sua mencao de numeros
complexos e matrizes como exemplos de matematica com aplicacoes
limitadissimas. O que pode ocorrer eh um professor do ensino medio nao ter
ideia do quao amplamente utilizados eles sao.
Eu não entendi bem o pensamento do Laurito, mas talvez ele estivesse
tentando dizer algo com que eu concordo. O fato de matrizes ou números
complexos serem importantes para um monte de gente está (espero!)
fora de discussão. Mas veja como o assunto matrizes é tipicamente
dado no ensino médio: o aluno aprende a definição de soma e produto
de matrizes, aprende a calcular inversas de matrizes 2x2 e 3x3,
aprende a calcular determinantes de matrizes 2x2 e 3x3 e aprende
a resolver sistemas lineares 2x2 ou 3x3 por Cramer, e fim.
Este aluno fica sem a menor idéia de que matrizes têm aplicações
em computação gráfica ou engenharia elétrica, sem a menor idéia
de que uma matriz pode representar uma rotação em R^3, sem nenhuma
interpretação geométrica para o determinante, e, é claro, sem
a sombra da sombra de uma idéia de que o determinante pode ter
apicações em combinatória. Este aluno não é capaz de dar nenhuma
aplicação para o produto de matrizes, nem como composição de transformações
lineares, nem como composição de funções de Möbius. Mesmo os alunos
de *olimpíadas* quando aprendem a resolver recorrências como
a_n = 3a_{n-1} - a_{n-2} dificilmente relacionam este tema com matrizes
(eu sei, eu fui um deles). E quanto a resolver sistemas, eliminação gaussiana
manual pode ser ensinada sem chagar perto de matrizes, e é muito melhor
do que Cramer.
Então eu tenho com relação ao ensino de matrizes uma posição até parecida
com a que eu tenho com relação ao ensino de juros: ou você ensina a coisa
direito ou é melhor nem tocar no assunto. Ensinar uma fórmula para calcular
juros que só é usada numa pequena minoria dos casos e parar aí,
sem ensinar a calcular juros compostas (e de preferência sem estas malditas
fórmulas que são decoradas sem ninguém entender nada) me parece uma idéia
muito estranha. Ensinar matrizes da forma como eu descrevi acima também
me parece uma idéia muito estranha.
Sobre números complexos eu não falei pq o exemplo é menos gritante:
o aluno de ensino médio sempre vê um pouquinho de contexto quando
aprende complexos. Deveria ser muito mais, claro.
Re: [obm-l] Financas
Ola, Vou novamente postar o problema aqui, pois esta se estendendo este topico. Calcule o valor mais proximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicacoes realizadas ao fim de cada mes: dos meses 1 a 6, cada aplicacao eh de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicacao eh de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicacao eh de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa deremuneracao das aplicacoes eh de 3% ao mes. a) R$ 94.608,00 b) R$ 88.149,00 c) R$ 82.265,00 d) R$ 72.000,00 e) R$ 58.249,00 Vou delinear as varias interpretacoes que tive deste enunciado: 1) Considerando como renda antecipada (Ex: Ele aplicou 2000 em janeiro e neste mesmo mes houve um aumento de 1,03 sobre 2000) 1a- o montante (valor futuro) sera pago um mes apos o ultimo pagamento 1a- o montante (valor futuro) sera pago *imediatamente* apos o ultimo pagamento 2) Considerando como renda postecipada (Ex: Ele aplicou 2000 em janeiro e no mes de fevereiro eh que houve um aumento de 1,03 sobre 2000) 2a- o montante (valor futuro) sera pago um mes apos o ultimo pagamento 1a- o montante (valor futuro) sera pago *imediatamente* apos o ultimo pagamento Primeiramente diga-me qual destas 4 interpretacoes vc teve. Vamos nos esclarecer por partes: Primeiro a interpretacao do enunciado e depois a solucao.
Re: [obm-l] Problema para Artur
Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans oualgebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia.Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) quediz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T)também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima To: OBM lISTA Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Problema para Artur
Title: Re: [obm-l] Problema para Artur Bem, o Shine jah deu um exemplo (de fato, uma familia infinita de exemplos) de numeros transcendentes x tais que x^x eh algebrico. Me parece claro que ha apenas uma infinidade enumeravel de tais x. on 12.02.04 19:54, Bruno Lima at [EMAIL PROTECTED] wrote: Valeu pela resposta, quanto ao ex raiz de 2, eu queria convencer o Artur de que alg^alg pode ser trans ou algebrico , e assim perguntava no caso tran^tran, mas eu realmente me expressei mal...me desculpe, quanto a resposta eu nao tenho a menos ideia. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Bruno: Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider) que diz que se a e b são algébricos, com a 0, a 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma demonstração disso está contida nas notas de aula que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior. Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral sobre a natureza de a^b quando a e b são transcendentes (o que não quer dizer absolutamente nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você conhece algum?). Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve assumir pelo menos um valor transcendente para algum x transcendente. Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T, onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T = conjunto dos transcendentes no intervalo. Seja F: [1,+inf) -- [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F é claramente uma bijeção. Como A é enumerável, F(A) é enumerável. Se F(T) só contém números algébricos, então F(T) também é enumerável. Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U F(T) é enumerável == contradição == F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma infinidade não-enumerável deles). A questão que permanece é: existe algum transcendente x tal que x^x é algébrico? O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois raiz(2) é algébrico. De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é transcendente. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Bruno Lima mailto:[EMAIL PROTECTED] To: OBM lISTA mailto:[EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM Subject: [obm-l] Problema para Artur Agora que vc esta pensando sobre numeros algebricos e transcendentes uma questao interessante é a seguinte: seja x transcendente, entao x elevado a x é algebrico ou transcendente?? pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2. Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site!
Re: [obm-l] Produto de comutadores
On Thu, Feb 12, 2004 at 02:07:22PM -0300, Cláudio (Prática) wrote: HelpOi, pessoal: Alguém poderia dar um exemplo de um grupo onde o produto de dois comutadores NÃO É necessariamnete um comutador? Um exemplo para o qual esta pergunta é útil: o recobrimento universal de SL(2,R). Todo elemento é um produto de um número suficientemente grande de comutadores mas nem todo elemento é um comutador. Um elemento deste grupo pode ser descrito por um caminho g: [0,1] - SL(2,R) com g(0) = I, onde identificamos dois caminhos quando eles têm o mesmo ponto final e são homotópicos fixando estes pontos. Tome ( cos(4 pi t) -sen(4 pi t) ) g(t) = ( ). ( sen(4 pi t) cos(4 pi t) ) O elemento g não é um produto de dois comutadores. Este fato é usado para provar que um bitoro não admite estrutura afim. Veja http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/publ/papers/workshop.ps.gz Eu sei que existe um grupo finito relativamente pequeno para o qual também vale o que você falou. Tente A5: todo elemento é um produto de comutadores mas eu *acho* que nem todo elemento é um comutador. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
On Thu, Feb 12, 2004 at 03:01:27PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote:
Poderiam me dar uma interpretacao geometrica de determinantes ?
Uma matriz quadrada real define uma transformação linear T de R^n em R^n.
Tome um conjunto X contido em R^n para o qual faça sentido falar de volume.
Então volume(TX) = |det(T)| volume(X).
Outra menos conhecida, para matrizes inteiras: a matriz define uma
transformação de Z^n em Z^n. A densidade da imagem T(Z^n) em Z^n
é 0 se det(T) = 0 e 1/|det(T)| caso contrário. A definição de densidade
de um subconjunto X de Z^n é a seguinte: seja f(r) o número de elementos
de Z^n em uma bola de raio r centrada no origem e g(r) o número de elementos
de X na mesma bola. A densidade é lim_{r - infinito} g(n)/f(n).
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ?
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1
é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido
demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Mais problemas Sobre Grupos
On Thu, Feb 12, 2004 at 10:22:34PM +, Paulo Santa Rita wrote:
(respondendo a se existe um grupo onde o produto de dois comutadores
não é necessariamente um comutador)
1) NAO. Para ver isso claramente, considere o grupo simetrico S(E) onde
E={1,...,8,a,...,h} e seja A 0 subgrupo gerado pelas permutacoes (1 3)(2 4),
(5 7)(6 8), (a b)(8 c), (e g)(f h), (1 3)(5 7)(a c), (1 2)(3 4)(e h),
(5 6)(7 8)(e f)(g h), (a b)(c d).
O elemento (a c)(b d)(e g)(f h) esta em D(A) e nao e um comutador
Legal... Desculpe, mas como você obteve este exemplo? Ele é meio grande...
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Complexos e Matrizes
E para complexos ? Ha alguma demonstracao GEOMETRICA de quei i^2 = -1 ? Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1 é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1. Professor Nicolau talvez algo possa ser tirado dos quaternions do Hamilton (não me aprofundei muito mas quaternions = vetores?) Veja um pedaço da carta de Sir W. R. Hamilton ao seu filho Archibald. But on the 16th day of the same month - which happened to be a Monday, and a Council day of the Royal Irish Academy - I was walking in to attend and preside, and your mother was walking with me, along the Royal Canal, to which she had perhaps driven; and although she talked with me now and then, yet an under-current of thought was going on in my mind, which gave at last a result, whereof it is not too much to say that I felt at once the importance. An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw, immediately) of many long years to come of definitely directed thought and work, by myself if spared, and at all events on the part of others, if I should even be allowed to live long enough distinctly to communicate the discovery. Nor could I resist the impulse - unphilosophical as it may have been - to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely, i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 Hamilton se explica melhor em uma carta ao matematico John T. Graves, a carta pode ser vista em pdf: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.pdf ou html http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Hamilton/QLetter/QLetter.html Acho que disso pode-se tirar algumas informacoes e relacoes entre vetores numeros complexos e geometria, ou estou enganado? Um abraço. -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski When we ask advice, we are usually looking for an accomplice. Joseph Louis LaGrange = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: Complexos e Matrizes
Aqui eu não tenho a menor idéia do que é que você espera: i^2 = -1 é o fato mais básico sobre i, não sei em que contexto faria sentido demonstrar (geometricamente ou de qualquer outra forma) que i^2 = -1. Nicolau, Creio que essa confusão vem das definições da unidade imaginária, que mudam de livro pra livro. Basicamente, já vi duas: uma é a definição de i como sendo o número que tem a propriedade i^2 = -1. Outra definição (creio que mais comum) é que i = sqrt(-1). No meu livro do segundo grau mesmo, Matemática - Contexto Aplicações do Dante, ele define i = sqrt(-1) e identificado esse número como o par ordenado (0,1) (essa idéia parece ser atribuída a Gauss) e mostra, a partir dessa última definição, que i^2 = -1. A demonstração que ele dá é a seguinte: Definindo a multiplicação de complexos representados como um par ordenado (a,b), onde a é a parte real e b, a parte imaginária, como (a,b)*(c,d) = (ac - bd, ad + bc) e considerando i = (0,1), temos: (0,1)*(0,1) = (0*0 - 1*1, 0*1 + 1*0) = (-1,0) = -1 Talvez de i = (0,1) saia o que ele quer. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Re: Complexos e Matrizes
No livro de Analise 2 do Elon, logo no 1o capitulo ele faz uma boa mencao em relacao ao R^2 e aos Complexos. Leandro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ajuda: livros
Olá pessoal, alguem aí poderia me dar um mão para achar os seguintes livros?: Geometría Elemental do Pogorélov A. V. - MIR Solving Problems in Geometry do Mordokovich - MIR Solving Problems in Algebra and Trigonometry do Litvinenko V. - MIR Problems in Elementary Mathematics do V. Lidsky - MIR ValeU!, Daniel
RE: [obm-l] Problema para Artur
Bom, outros jah resolveram o problema proposto para mim... Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda: livros
Title: Re: [obm-l] ajuda: livros on 12.02.04 23:31, Daniel Pini at [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, alguem aí poderia me dar um mão para achar os seguintes livros?: Geometría Elemental do Pogorélov A. V. - MIR Solving Problems in Geometry do Mordokovich - MIR Solving Problems in Algebra and Trigonometry do Litvinenko V. - MIR Problems in Elementary Mathematics do V. Lidsky - MIR ValeU!, Daniel Tente este site: http://www.urss.ru/
[obm-l] Outra sobre álgebra
Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] P.G.
Uma progressão geométrica tem 1° termo igual a 1 e r=2^1/2 . Se o produto dos termos é 2^39 .: o nº de termos é = a ?MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. Oi, Duda: Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma dimensao sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao serah um corpo) Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui: http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] P.G.
Ola zenithzeratul, P_n = [(a_1)^n]*q^(n*(n-1)/2) 2^39 = [1^n]*[(2^(1/2)]^(n*(n-1)/2) 2^39 = 2^(n*(n-1)/4) Aplicando log [2] nos dois membros: n*(n-1)/4 = 39 n^2 - n - 156 = 0 n = 13 ou n = -12 Como n deve ser positivo: n = 13 Ps: Se nao entender alguma passagem pode dizer. Em uma mensagem de 12/2/2004 23:26:57 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma progressão geométrica tem 1° termo igual a 1 e r=2^1/2 . Se o produto dos termos é 2^39 .: o nº de termos é = a ?
[obm-l] Re: [obm-l] Outra sobre álgebra
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] on 12.02.04 23:43, Eduardo Casagrande Stabel at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi colegas da lista. Seja K um corpo, K[t] o anel de polinômios sobre K e dois polinômios P e Q de K[t] ambos irredutíveis de mesmo grau. É verdade que os aneis quocientes (são corpos, na verdade) F = K[t] / (P) e G = K[t] / (Q) são isomorfos? Eu imagino que sim pelo isomorfismo h : F -- G que leva (P) + f em (Q) + f. Não tenho boa visão sobre como se corportam esses aneis quocientes do tipo de F e G. Alguém sabe um bom livro para ler sobre isto, ou artigo na internet? Um abraço e obrigado por qualquer ajuda. Duda. Oi, Duda: Se P pertence a K[t] e grau(P) = n, entao K[t] / (P) eh um espaco vetorial de dimensao n sobre K. Alem disso, dois espacos vetoriais de mesma dimensao sobre um mesmo corpo sao isomorfos. Isso prova o resultado. Acho inclusive que P nao precisa ser irredutivel (mas nesse caso, o anel quociente nao serah um corpo) Uma boa fonte on-line sobre algebra em geral estah aqui: http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/ Um abraco, Claudio. Eu ACHO que você está se confundindo. Pelo que entendo, há dois conceitos de isomorfismo envolvidos neste caso. O primeiro é o conceito de isomorfismo entre espaços vetoriais e o segundo, isomorfismo entre corpos (ou entre anéis). Como os dois espaços vetoriais sobre K tem a mesma dimensão, fica fácil de estabelecer um isomorfismo, mas isto não implica que este isomorfismo preserve a multiplicação. Posso estar dizendo uma grande bobagem, mas o exemplo abaixo me sugere que não: Se P e Q são polinômios em t sobre K, P é irredutível e Q não é então F = K[t] / (P) é um corpo mas G = K[t] / (Q) não é. É impossível que haja um isomorfismo (de anél) entre F e G, pois neste caso ambos seriam corpos. O que me sugere que neste caso eles não são isomorfos. Obrigado pela resposta e pela indicação do site. Você já leu o livro Galois Theory, do Ian Stewart? Estou estudando por ele, e me surgiu esta dúvida em um dos exercícios do livro. Na verdade, esta é a segunda, a outra foi sobre Zn*. Um abraço, Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] P.G.
Pn = (a1^n)*q^(n(n-1)/2) Então: 2^39 = (1^n)*2^[(1/2)*n(n-1)/2] 2^39 = 2^[n(n-1)/4] Logo: 39 = n(n-1)/4 n² -n + 156 = 0 n = 1 +-(25)/2 n=13 Acho que é isso... Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de pedro rajão Enviada em: quinta-feira, 12 de fevereiro de 2004 23:24 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] P.G. Uma progressão geométrica tem 1° termo igual a 1 e r=2^1/2 . Se o produto dos termos é 2^39 .: o nº de termos é = a ? MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] O Perímetro do Triângulo
Olá Renato! O problema da pra sair usando o conceito de base média dos triângulos... Tome o triangulo ADC. O segmento PR é base média desse triangulo, considerando-se AD como base, já que R é ponto médio de DC e P ponto médio de AC. Sendo assim, PR vale 3m. Analogamente, QR é base média de DBC. Valendo também 3m. Agora a importância da soma dos ângulos valerem 120°! PR e QR são paralelos a AD e BC. Então o ângulo PRQ pode ser medido com a soma dos ângulos internos desse triangulo: ^P + ^R + ^Q = 180. Mas ^P + ^Q = 120°. Então ^R = 60° Se ficar difícil visualizar que ^P + ^Q = ^A + ^B, trace uma paralela a AB passando por P ou Q, fica mais fácil de ver isso. Nesse caso temos em PRQ um triangulo isosceles, com os lados iguais medindo 3, e o ângulo entre esses lados medindo 60°. Percebe-se então que este triangulo na verdade é eqüilátero, o que faz o segmento PQ valer 3m também! O perímetro vale 9. Quaisquer problemas nas passagens é só avisar. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Renato de Brito Enviada em: quinta-feira, 12 de fevereiro de 2004 01:20 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] O Perímetro do Triângulo Gostaria da ajuda dos amigos nesta questão. ABCD é um quadrilátero onde AD=BC e os ângulos DAB e ABC somam 120º.Calcule o perímetro do triângulo PQR, sabendo que P é o ponto médio da diagonal AC, Q é o ponto médio da diagonal BD, R é o ponto médio do lado CDe que AD=6m.
