[obm-l] Sair
Por favor exclua-me a lista Obrigado. _ Messenger 2009: Instale já! http://download.live.com
[obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Olá Vanderlei , Seja n =ab , já que n não é primo.Tente observar que os fatores a e b aparecem em (n-1)! , ok ? Pacini 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei
Re: [obm-l] produtos notaveis
Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por produtos notáveis, mas por números complexos. LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Ao Leandro, que está além de Einstein...
Celso Souza escreveu: Na minha modesta opinião, ele foi o cara nos últimos 200 anos em termos de física. E quanto a Stephen Hawking? []s -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) [http://counter.li.org] Ubuntu User# 342751 `-'(. .)`-' ftp://ftp.rfc-editor.org/in-notes/rfc1855.txt \_/ Mostre-me teu bookmark e te direi quem es = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm -l] [obm-l] Questões de Mat. Bás ica
Olá Bruno, Paulo e demais colegas desta Lista, Muito oportunas as mensagens do Bruno [*] e do Paulo. Neste sentido, além de compartilhar da mesma opinião, acredito que a solução proposta pelo Paulo seja mesmo a mais adequada: é preciso deixar de lado, ao relento, esses problemas típicos de exames para a admissão em alguma instituição. Os objetivos - é claro! - são: resguardar o propósito desta Lista; não torná-la enfadonha para aqueles que, de fato, devem participar deste fórum; evitar que os problemas pertinentes sejam poluídos pela mistura com outros mais simples, o que acabaria por jogar todas as questões numa vala comum que não despertaria o interesse de ninguém, ou quase ninguém etc. Entretanto, o mais importante é o seguinte: vejo que o Bruno mantém o número 666, o número da Besta do Apocalipse, no seu endereço de e-mail. Daí, vou perguntar ao Bruno: [*] Na minha modestíssima opinião, já que não sou especialista na interpretação de textos bíblicos judaico-cristãos (embora já os tenha lido até que detidamente), e, além disto, desconheço como foram criados os números cabalísticos, os demônios e as coisas (coisas?) afins, acho que o número da Besta deveria ser primo. Explico-me: quando João escreveu o Livro do Apocalipse e nele fixou o número da Besta, fixou, na mesma passagem, o número do Senhor, 7. Veja que o número do Senhor é primo, i.e., indivisível. É, também, o maior número primo de um único algarismo - João chega a afirmar que se trata de um número perfeito (e João estava iluminado pelo Espírito Santo quando estabeleceu esta numerologia toda!). Mas e o 666? 666 pode ser decomposto em 3 fatores primos (2, 3 e 37) e tem 10 divisores diferentes (e diferentes de 1 e dele próprio). Dá ou não dá o que pensar? Uma curiosidade bem legal: durante a 2ª Guerra Mundial, os Aliados descobriram que se as letras do alfabeto (k incluído) fossem numeradas a partir de 100 (a=100, b=101, c=102...), a soma correspondente ao nome de Hitler daria 666 (=107+108+119+111+104+117). Deve ser por causa daquele bigodinho pra lá de ridículo que o cara usava. Saudações a todos, Albert Bouskela bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com -Original Message- From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Paulo Santa Rita Sent: Wednesday, April 29, 2009 8:53 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questões de Mat. Básica Ola Bruno e demais colegas desta lista ... OBM-L, A mensagem do Bruno e muito boa. Este espaco e uma LISTA DE DISCUSSAO DE PROBLEMAS DE MATEMATICA OLIMPICA, nao e lugar para se propor problemas de vestibulares ou concursos publicos. Digo isso, em primeiro lugar, porque esse era o objetivo original deste ambiente, conforme pode se ver na pagina da OBM. Se o Prof Nicolau nao alterou este objetivo, ele continua o mesmo ... Alem disso, estudantes de concursos e vestibulares tem inumeros outros espacos na Internet para colocarem e discutirem seus problemas especificos, ao contrario dos estudantes que se preparam para Olimpiadas, com muito poucas opcoes. Ha alguns anos, estudantes de olimpiadas de diversas partes do Mundo assistiam as nossas discussoes. Eu receibia mensagens de alunos de paises da America do Sul, dos EUA e da Europa interessados nos nossos problemas, discussoes e solucoes. Me lembro que na traducao dos problemas russos : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr/ Eu precisei disponibilizar a traducao na pagina do Prof Nicolau, tantos e tao diversificados eram os pedidos. E o que estamos vendo agora ? A nossa tao estimada lista cheia de problemas triviais, altamente distantes do ideal olimpico e verdadeira fonte de solucoes para alunos preguicosos que nao querem pensar. Isso afugenta os alunos serios, os Prof's competentes e muitas outras pessoas que poderiam estar colocando aqui belas questoes e belas solucoes, ajudando assim aquele nosso amigo de um estado distante, que gostaria de se preparar para as Olimpiadas de Matematica e que nao dispoe de locais de treinamento proximo as suas casas. A maneira mais sabia de combater estas coisas, eu penso, e nao responder a estas questoes, desestimulando assim aqueles que estao, conscientes ou nao, desvirtuando este espaco de seu belo ideal original. Um abraco a Todos PSR, 42904090841 EM TEMPO : O Euler nos ensinou a calcular a soma dos inversos dos quadrados dos numeros naturais. Nomeadamente ele mostrou que : 1 + (1/2)^2 + (1/3)^2 + ... = (pi)^2 /6 Mas tambem e verdade que ele tentou somar os inversos dos cubos dos numeros naturais sem sucesso. Parece mesmo que esta soma ainda hoje e um problema em aberto. Pois bem. Expresse T = 1 + (1/2)^3 + (1/3)^3 + ... Como uma soma de numeros binomiais na qual NENHUM dos numeros binomias aparece em denominador ou elevado a potencias diferentes de 1. 2009/4/29 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com: Luciano, teoricamente esta lista tem
[obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA !
Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei
Re: FW: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] [obm-l] Questões de Mat. Básica
(por um mistério postei 3 vezes hoje de madrugada esta mensagem e nada; mais uma tentativa por outra máquina e outro software de email) Caros colegas da Lista, Escrevi este email por me sentir extremamente desconfortável com o email do Bouskela, sempre tão erudito... e como não gosto do quem cala consente, eis algumas ponderações. Já vi muita coisa em minha atividade de magistério (mais de 40 anos; o que fazer, tenho 63 !...), sempre atuando em Matemáticas nas engenharias (graduação os pós) ou em Métodos Matemáticos na área de Logística, ou sendo vedete vestibulina na preparação de alunos ao IME/ITA, etc. Embora exerça outras atividades na área de consultoria não é o caso de explicitá-las neste espaço. Já tive o privilégio de ter alunos excepcionais ao longo da vida, muitos deles militantes desta lista (sem dúvida MUITOS e muitos com mais de 40... de idade...). Tais alunos/ex-alunos, indiscutivelmente, eram e são muito, mas MUITO mais inteligentes do que eu. Genialidade é genialidade e pronto: benção do papai do céu, sem nenhum mérito para quem foi abençoado. Eu me lembro que inúmeras vezes, depois de ralar horas e horas em um problema mais enrolado via, feliz da vida e extasiado, tais alunos apresentarem solução melhor do que a minha em ...15 segundos. Mas eu tinha uma claríssima consciência do meu papel: apenas um facilitador do aprendizado alheio e eles possivelmente não sabem até hoje o quanto me ensinaram a ter humildade e a saber dizer não sei. Agradeço a eles. Mas agradeço mais a outro tipo de aluno: alunos com graves deficiências na formação básica de Matemática, sem a bênção de uma formação com Currículo adequado, bons professores e sem a inteligência privilegiada dos gênios. Eu via/vejo muitos caminharem lentamente, mas firmemente em busca de uma formação séria onde quer que a pudessem/possam buscar. Até aqui... Exigem/exigiam muito, mas MUITO mais de mim e colaboraram MUITO mais para o meu aperfeiçoamento. Sem dúvida esta lista nos últimos 2 anos passou a exibir muitos problemas aparentemente banais e dúvidas bobas, que supostamente não agregam valor técnico à mesma, principalmente para quem deseja uma Lista Senior. Mas lembro carinhosamente que a OBM do título da lista (que o Bruno oportunamente mencionou e o Santa Rita reforçou) inclui já há muito tempo as olimpíadas para sexta/sétima, oitava/nona, ensino médio (o velho segundo grau) e as olimpíadas universitárias. E hoje a olimpíada brasileira, possivelmente maior inclusive que a da Russia (talvez Santa Rita saiba mais sobre isto), conta com a participação de quase 2 dezenas de milhões de candidatos. Isto mesmo. Não é bárbaro? Por isto, paradoxalmente, a Lista desperta hoje muito mais interesse do que há 10 anos atrás..., mas não da turma Senior, é claro. Espero que você, Luciano, rale muito para suprir suas deficiências atuais e faça um belo curso de Engenharia. Vá fundo. Você corre até o grave risco de ser meu aluno ou estagiário do Bouskela... (ai que maldade, mas não resisti... :-) ). Concluo sugerindo aos colegas sedentos de uma Lista mais Senior (fato absolutamente defensável) que intermediem esta proposta ao Nicolau (eu já o fiz em privado há poucos anos) mas é possível que ele diga a mesma coisa que àquela época: não funciona... De qualquer forma, não custa lembrar que nós, vós e eles, os matemáticos de egos eventualmente super-inflados (êta coisinha habitual na nossa tribo) mas com o domínio de outros idiomas, podemos participar de outras dezenas de listas seniors disponíveis no espaço sideral, para nosso deleite puramente intelectual... Ossos (também) da democratização e universalização da olimpíada matemática brasileira... Outra possibilidade é que um grupo de interessados mais Senior atue para criar outra Lista. Por que não? É tão simples! Abraços, Nehab PS: Quanto a origem do 666, Bouskela, a única coisa que eu me lembro vagamente é que havia 36 deuses não lembro onde e a soma de seus números (1 a 36) dá o maldito 666; daí ser obviamente igual a 36x37/2 e, então, ser divisível por 37. Albert Bouskela escreveu: Olá Bruno, Paulo e demais colegas desta Lista, Muito oportunas as mensagens do Bruno [*] e do Paulo. Neste sentido, além de compartilhar da mesma opinião, acredito que a solução proposta pelo Paulo seja mesmo a mais adequada: é preciso deixar de lado, ao relento, esses problemas típicos de exames para a admissão em alguma instituição. Os objetivos - é claro! - são: resguardar o propósito desta Lista; não torná-la enfadonha para aqueles que, de fato, devem participar deste fórum; evitar que os problemas pertinentes sejam poluídos pela mistura com outros mais simples, o que acabaria por jogar todas as questões numa vala comum que não despertaria o interesse de ninguém, ou quase ninguém etc. Entretanto, o mais importante é o seguinte: vejo que o Bruno mantém o número 666, o número da
RES: [obm-l] produtos notaveis
X elevado a menos 1 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de luiz silva Enviada em: quinta-feira, 30 de abril de 2009 07:51 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] produtos notaveis O que --- Em qua, 29/4/09, Marcus marcusaureli...@globo.com escreveu: De: Marcus marcusaureli...@globo.com Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? _ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ Top 10 - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ celebridades/ Celebridades - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ m%C3%BAsica/ Música - http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http:/br.maisbuscados.yahoo.com/ esportes/ Esportes
[obm-l] Fatoração Básica
Algumas vezes temos necessidade de fatorar uma expressão para resolver um problema maior. Seja por exemplo as seguintes: 1) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) 2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Usando a propriedade distributiva você pode facilmente expandir a expressão do lado direito e chegar à do lado esquerdo. Mas quando necessitamos sair da experessão do lado esquerdo para chegar na expressão fatorado do lado direito fica mais complicado. Essas são fórmulas básicas da diferença de quadrados e diferença de cubos respectivamente. Elas podem ajudar a simplificar outras expressões. Entretando, devido elas não serem usadas sempre em determinados problemas acabamos por esquecê-las. Então, como deduzi-las na hora sem a necessidade de decorá-las? -- -hUgLeO-♑
Re: [obm-l] problema interessante!!!
Ola Marcio, Um outro caminho é escrever as relações dos lados : a^2+b^2 =c^2 e b^2+c^2=d^2 (onde d é o segmento que vai do vértice do angulo reto até o vértice do angulo oposto, de 60o.). Desta relação, teremos que encontrar u,v e r,s (ternos pitagórico primitivo) tais que: c= u^2+v^2 = r^2-s^2 e b= 2uv=2rs o que é impossível (já foi demonstrado, depois envio esta demonstração) Ps: b deverá ser par, pois da sequações acima, teremos que a^2+2b^2=d^2, onde a solução geral é : a = m^2-2n^2 b= 2mn d=m2+2n^2 com mdc (m, 2n)=1. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br escreveu: De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 8:39 A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha. 1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the segments AB, AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Show de bola, Paulinho. Benedito - Original Message - From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz Ola Pessoal, O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio. Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui nesta. Um aspecto curioso deste tema e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta, numa ordem implicita. Assim : (a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de (2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao. E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE, uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais algumas informacoes. Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o triangulo de Pascal ... Bi(0,0) Bi(1,0),Bi(1,1) Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2) ... Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) ) Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2 + + Xm)^N ? Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da suporte ... Entao : como e a parte imersa do iceberg ? Um Abraco a Todos ! PSR, 42904091050 = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] problema interessante!!!
De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha. 1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the segments AB, AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RES: [obm-l] Fatoração Básica
Caro Hugleo é claro que podemos deduzir essas fórmulas com pequenos truques de álgebra básica ( aliás é um bom exercício ), todavia essas expressões são utilizadas tantas vezes na matemática ( elementar ou não ) que sabe-las de cor é uma necessidade! No caso 1 experimente somar e subtrair ab da diferença de quadrados. Um abraço. Jayro Bedoff _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de HugLeo Enviada em: sábado, 2 de maio de 2009 01:32 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fatoração Básica Algumas vezes temos necessidade de fatorar uma expressão para resolver um problema maior. Seja por exemplo as seguintes: 1) a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) 2) a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) Usando a propriedade distributiva você pode facilmente expandir a expressão do lado direito e chegar à do lado esquerdo. Mas quando necessitamos sair da experessão do lado esquerdo para chegar na expressão fatorado do lado direito fica mais complicado. Essas são fórmulas básicas da diferença de quadrados e diferença de cubos respectivamente. Elas podem ajudar a simplificar outras expressões. Entretando, devido elas não serem usadas sempre em determinados problemas acabamos por esquecê-las. Então, como deduzi-las na hora sem a necessidade de decorá-las? -- -hUgLeO-♑
[obm-l] Problemas olímpicos novamente
Olá a todos os colegas da lista OBM. Muito bom que voltemos a priorizar as discussões de problemas olímpicos nessa lista.Uma prática que tínhamos era a discussão quase que imediata dos problemas da terceira fase da OBM, infelizmente essa prática feneceu nos últimos anos. Talvez este seja o momento de retomá-la. Acho que todos por aqui já trabalharam nos problemas dessa prova de 2008, particularmente o problema 01 [ Vamos chamar de garboso o número que possui um múltiplo cujas quatro primeiras casas de sua representação decimal são 2008. Por exemplo, 7 é garboso pois 200858 é múltiplo de 7 e começa com 2008.Observe que 200858=28694x7. Mostre que todos os inteiros positivos são garbosos.] Considerei essa uma excelente questão para abrir a prova da terceira fase. É claro que os alunos que recebem treinamento sofisticado conheciam um problema muito semelhante que propicia solução imediata ( problema proposto em 1991 ). Felizmente esse problema proporciona uma oportunidade àqueles que não tem acesso a esses treinamentos sofisticados e são bastante inteligentes para encontrar uma solução no momento da prova. Além dessa virtude esse lindo problema permite uma abordagem suficientemente simples que pode ser levada para a maioria dos alunos que gostam de matemática. Bem a primeira pergunta é: como o exemplo foi descoberto? Acho que tenho uma resposta. Um fato simples e acessível a todos os alunos é o seguinte: dados dois inteiros e consecutivos, um deles é par; dados três inteiros e consecutivos um deles (exatamente um deles ) é divisível por três. É claro que podemos provar essa afirmação para quaisquer k inteiros e consecutivos ( e não precisa falar nada de sistema completo de resíduos modk ! ). Pois essa é a chave do problema. Qual é o menor número natural que começa com 2008 e é divisível por 7? Basta escrever 7 inteiros consecutivos começando com 2008 assim: 20081, 20082, 20083, 20084,20085, 20086,20087 e verificar qual deles é divisível por 7. É mais fácil tomar 20081, dividir por 7 e olhar para o resto, o resto é 5, 5 para 7 faltam 2, o número é 20083=2869x7. Aí está. No caso proposto seja N o número ( no lugar do 7 ), basta escrever a seqüência: 2008000...1, ., 2008N. Aqui estão N inteiros e consecutivos, um deles é divisível por N. Bem vejam se concordam com o argumento acima. Seria excelente que todos os problemas fossem aqui discutidos. Um abraço do colega Jayro Bedoff.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei
Enc: Re: [obm-l] problema interessante!!!
Ola Marcio, Me confundi..na realidade o que foi provado é que u^2+v^2 = r^2-s^2 e uv=2rs Vou continuar com essa abordagem, e depois te envio uma resposta. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:42 Ola Marcio, Um outro caminho é escrever as relações dos lados : a^2+b^2 =c^2 e b^2+c^2=d^2 (onde d é o segmento que vai do vértice do angulo reto até o vértice do angulo oposto, de 60o.). Desta relação, teremos que encontrar u,v e r,s (ternos pitagórico primitivo) tais que: c= u^2+v^2 = r^2-s^2 e b= 2uv=2rs o que é impossível (já foi demonstrado, depois envio esta demonstração) Ps: b deverá ser par, pois da sequações acima, teremos que a^2+2b^2=d^2, onde a solução geral é : a = m^2-2n^2 b= 2mn d=m2+2n^2 com mdc (m, 2n)=1. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br escreveu: De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 8:39 A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha. 1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC construct in the exterior the equilateral triangle BCD. Prove that the lengths of the segments AB, AC, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re : [obm-l] Re: Ao Leandro, que está além de E instein...
Caro Alessandro, Me desculpe, mas Stephen William Hawking não chega nem aos pés de Albert Einstein. Hawking escreve sobre cosmologia, usando grande parte da teoria ditada por Einstein, e certamente desenvolvendo-a mais ainda. Einstein escreveu praticamente sobre todos os ramos da física, onde podemos citar por exemplo: 1) Termodinâmica - Sólido de Einstein 2) Física Estatística - Modelo de condensação de Bose-Einstein, Movimento Browniano 3) Física do estado sólido - Efeito fotoelétrico 4) Espectroscopia - Coeficiente de Einstein para transições entre estados 5) Relatividade - Quase toda ela Além disso ele impulsionou a mecânica quântica à medida que duvidava de Bohr e propunha novas barreiras para Bohr derrubar, como o famoso paradoxo EPR (Einstein - Podolsky - Rosen). Sem querer desmerecer Hawking, mas acho que ele não está nem perto de Einstein, mas não deixa de ser grande ! Hawking figura entre os grandes ao lado de Poincaré, Gell-Mann, Feynman, Fermi, Rubia, Landau, etc., mas penso que até hoje, ao lado de Einstein apenas Newton e Arquimedes (minha modesta opinião). Abraços ! Celso --- Em ter, 28/4/09, Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br escreveu: De: Alessandro Madruga Correia amcorr...@viaconnect.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: Ao Leandro, que está além de Einstein... Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 28 de Abril de 2009, 10:06 Celso Souza escreveu: Na minha modesta opinião, ele foi o cara nos últimos 200 anos em termos de física. E quanto a Stephen Hawking? []s -- ,= ,-_-. =. [o] Alessandro Madruga Correia ((_/)o o(\_)) [http://counter.li.org] Ubuntu User# 342751 `-'(. .)`-' ftp://ftp.rfc-editor.org/in-notes/rfc1855.txt \_/ Mostre-me teu bookmark e te direi quem es = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Ola Benedito e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
( escreverei sem acentos )
From: benedito bened...@ufrnet.br
para paulo.santar...@gmail.com
data 2 de maio de 2009 09:16
assuntoRe: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz
Paulo,
Desculpe-me a intimidade explícita na mensagem.
Na verdade, estava passando esta beleza de raciocíonio para um Amigo, também
Professor de Matemática na minha cidade, que também se chama Paulo, para os
íntimos Paulinho.
Por engano, repassei a mensagem para obm-lista.
Desculpe-me.
Benedito
Tudo bem, nao fiquei chateado.
Voce gostou ? Vou supor que sim. Aperte os cintos porque vamos
decolar. Vamos ver os elementos iniciais de um sonho de uma noite de
verao.
Eu estava em casa. Eram cerca de duas horas da madrugada. Nao sei
exatamente o dia, mas sei que estava feliz, trabalhando no Maxima (
http://maxima.sourceforge.net/ ) sobre o glorioso Debian/GNU Linux (
http://www.br.debian.org/ ). Havia descoberto um fato interessante
sobre sequencias de inteiros que sao expressas por duas ou mais
sentencas, tais como a famosa sequencia de Lucas ( Aqui conhecido como
Problema 2N+1 ).
Eu fazia algumas simulacoes no Maxima, quando entao devo ter dormido
sobre o teclado.
Sonhei entao que os numeros binomiais Bi(N,P) que constituem o
triangulo de Pascal eram interpretados e representados de outra
forma... Ao inves de interpretar Bi(N,P) como o numero de combinacoes
de P elementos que se pode fazer com N elementos, interpretava-se
Bi(N,P) como o numero de permutacoes de N elementos, N-P de um tipo,
iguais entre si e indistinguiveis; P de outro tipo, iguais entre si e
indistinguiveis.
No sonho, Bi(N,P), com esta nova interpretacao, era representado assim : [N-P,P]
Eu fiquei curioso com esta ligeira modificacao na interpretacao e
queria saber o motivo. Foi entao quando escutei uma voz distante dizer
: E para que voce, ao ver as faces ocultas do triangulo de Pascal,
continue podendo dar uma unica e uniforme interpretacao combinatoria.
Na hora nao entendi direito, pois, afinal, o que seriam estas faces
ocultas do traingulo de Pascal ? Mas deduzi imediatamente que :
[m,n] = (m+n) ! / ( m! * n! ) =Bi(m+n,n)
Foi logo apos esta simples deducao que surgiu na minha frente um
triangulo de Pascal com os numeros binomiais na sua nova
representacao. Ele apareceu assim :
...
[0,4] ...
[0,3], [1,3] ...
[0,2], [1,2], [2,2] ...
[0,1], [1,1], [2,1], [3,1] ...
[0,0], [1,0], [2,0], [3,0], [4,0] ...
Quando olhei esse triangulo, ficou claro para mim que a notacao entre
colchetes, [m,n], era para diferenciar as coordenadas (m,n) de um
ponto do valor [m,n]=(m+n)! / (m! * n!) ATRIBUIDO ao ponto (m,n).
Assim, entendi logo que [m,n] era o valor ( ou imagem) de uma funcao
no ponto (m,n). Assim, com a notacao [m,n] voce representava tanto o
valor como o lugar no plano cartesiano XoY onde o valor deveria ser
colocado.
O triangulo de Pascal era portanto apenas uma particular funcao de N x
N em N ( aqui, devemos supor N={0,1,2,3, ...}, isto e, com o zero ).
Mas o que me causou surpresa, mesmo, foi ver como eram representados
os coeficientes numericos ( coeficientes trinomiais ) da expansao de
(a+b+c)^N. Naquele estranho lugar que eu estava, eles simplesmente
representavam o triangulo de Pascal na forma como descrevi acima nos
tres pares de eixos coordenados, acrescentando simplesmente um zero de
forma conveniente. Assim :
Triangulo no plano XoY ( acrescente um zero no fim )
...
[0,4,0] ...
[0,3,0], [1,3,0] ...
[0,2,0], [1,2,0], [2,2,0] ...
[0,1,0], [1,1,0], [2,1,0], [3,1,0] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano XoZ ( acrescente um zero no meio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [1,0,3] ...
[0,0,2], [1,0,2], [2,0,2] ...
[0,0,1], [1,0,1], [2,0,1], [3,0,1] ...
[0,0,0], [1,0,0], [2,0,0], [3,0,0], [4,0,0] ...
Triangulo no plano YoZ ( acrescente um zero no inicio )
...
[0,0,4] ...
[0,0,3], [0,1,3] ...
[0,0,2], [0,1,2], [0,2,2] ...
[0,0,1], [0,1,1], [0,2,1], [0,3,1] ...
[0,0,0], [0,1,0], [0,2,0], [0,3,0], [0,4,0] ...
Eu logo entendi porque se procedia assim, pois, dado a uniformidade de
interpretacao e de calculo, um trio [m,n,p] so podia ser interpretado
como o numero de permutacoes de m+n+p objetos dos quais m sao de um
tipo, indistinguiveis entre si; n sao de outro tipo, indistinguiveis
entre si e, finalmente, p, sao de um terceiro tipo, tambem
indistinguiveis entre si. Portanto :
[m,n,p]=(m+n+p) ! / (m! * n! * p! )
como, obviamente, [m,n,p]=[m,p,n]=[n,m,p]=[n,p,m]=[p,n,m]=[p,m,n],
acrescentar um zero em qualquer posicao de [m,n] e equivalente ao
numero [0,m,p] e teremos :
[0,m,n]= (0+m+n)! / (0! m! p!) = (m+n)! /(m! * p!) = [m,n]
E aqui eu finalmente entendi porque usar a interpretacao com base em
permutacoes, pois, caso em parmanecesse com a interpretacao de
combinacoes nao seria capaz de expandir a representacao com a mesma
facilidade e uniformidade.
Com esta representacao, que no meu sonho era chamada de PIRAMIDE DE
Res: Res: [obm-l] problema interessante!!!
Então, vamos lá: Fazendo o desenho e que te disse e a construção auxiliar do triangulo equilátero ACE. Vamos usar um colorário. COLORÁRIO: BE=AD DEMONSTRAÇÃO: Sendo P a intersecção da circunferência circunscrita aos respectivos triangulos ACE e BCD. Logo D^PC=pi/3 e A^MC=2pi/3. Então P está em AD, e de forma análoga P está em BE. Finalmente aplicando Ptolomeu!!!quadriláteros BPCD e APCE temos as relações PE=AP +PC, PD=PB+PC. Logo AD=PM+PB+PC=BE cqd. Em ABE aplica-se lei dos cossenos BE^2= AB^2+AE^2 +AE*AB*3^1/2. No entanto, BE=AD, AE=AC. Então: AD^2=AB^2+AC^2+AB.AC*3^1/2 cqd. Bom cheguei no mesmo resultado que vc obteve praticament. É um bom problema, enfim!!! De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47 Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!! De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado De: Márcio Pinheiro profmar...@yahoo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas de cabeça :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com.br escreveu: De: Cleuber Eduardo cleubersa...@yahoo.com..br Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n. Obrigado Vanderlei _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Olá Marcone, utilize indução finita. Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial) abraços, Salhab 2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ? -- Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração From: msbro...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá Vanderlei, eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)! [ta certo que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra continuar a solucao ;)] abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem: mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n Obrigado, Vanderlei 2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com Fala Vanderlei, como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então: n = p1^a1 . p2^a2 pk^(a_k) vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores primos. entao: p1^a1 n, p2^a2 n, ..., pk^(a_k) n e todos distintos.. logo, todos eles estão em (n-1)! desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um múltiplo de n. falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor primo.. neste caso, p^(a-1) n, logo, ele está em (n-1)! e também temos p n, logo, ele tbem está em (n-1)! mas eles tem que ser distintos... logo a != 2... entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2) n = p^2... vamos ver: p n ... então p está em (n-1)! mas veja que 2p p^2 para p2, logo: 2p n, logo 2p também está em (n-1)! logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4) espero ter ajudado, abraços, Salhab 2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa? ** *Seja n um número inteiro e não primo. Se n 4, prove que (n-1)! é múltiplo de n.* ** Obrigado Vanderlei -- Conheça os novos produtos Windows Live. Clique aqui!http://www.windowslive.com.br
[obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Olá! Apesar da minha cegueira fracionária, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis Sent: Friday, May 01, 2009 10:37 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! _ Turbine seu Messenger com emoticons! Clique http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx já, é GRÁTIS!
Re: [obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Oi, Jorge (e Bouskela), Acho que você, Jorge, deu um enunciado incompleto prá galera. Acho que você quis dizer 1 + 1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + ... + 1/16 + ... 1 + (1/2 + 1/2) +(1/4 +1/4 +1/4 +1/4 ) + (1/8 +...+1/8) + (1/16+...) +... pois este é o caminho para mostrar que a série hamônica vai pro beleléu... Nehab Albert Bouskela escreveu: Olá! Apesar da minha cegueira fracionária, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo -- veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., /AB/ bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis *Sent:* Friday, May 01, 2009 10:37 PM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA!
Olá Bouskela, não olhei suas contas... mas veja isso: 1 1/2 1/2 + 1/3 1/2 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 8 * 1/16 = 1/2 somando tudo, temos 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 1/2 + 1/2 + 1/2 + ... alias, na minha opiniao, esta é uma das demonstracoes mais simples de que a serie harmonica diverge... abraços, Salhab 2009/5/2 Albert Bouskela bousk...@msn.com Olá! Apesar da minha “cegueira fracionária”, coloquei meus pesados óculos e me ocupei da última desigualdade: 1+1/2+1/3+1/4+... 1+1/2+1/2+1/2+... Com a qual discordo – veja o porquê: O 1º termo é a Série Harmônica, a qual, sabidamente, diverge. O 2º termo, obviamente, diverge também, já que reflete a soma de uma constante positiva infinitas vezes. Então, procurei calcular o seguinte limite: Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) ] = Limite [n--+oo] [ 2(soma(1/k), k=1...n) / ( n+1 ) ] = = 2 . Limite [n--+oo] [ (soma(1/k), k=1...n) / n ] = 0 Pode-se, também, confirmar este resultado numericamente: (soma(1/k), k=1...n) / ( 1 + (n-1)/2 ) = ... 0.5325396825 para n=10 ; 0.1027203469 para n=100 ; 0.0149559857 para n=1000 ; 0.287854 para n=100 ... Logo: 1+1/2+1/3+1/4+... [ É MENOR DO QUE ] 1+1/2+1/2+1/2+... Sds., *AB* bousk...@msn.com *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On Behalf Of *Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis *Sent:* Friday, May 01, 2009 10:37 PM *To:* obm-l@mat.puc-rio.br *Subject:* [obm-l] CEGUEIRA FRACIONÁRIA! Ok! Paulo e demais colegas! Em breve discutiremos matemática avançada com uma pitada de análise ou teoria da medida, mas vamos devagarinho, pois graças às discussões triviais aprendemos a prova da iguldade 0,999...=1, sem dúvida o tema mais discutido na lista. Afinal! Qual é maior: 1,001 ou 0,900? Há uma coisa que devemos aceitar como certa. Não nos sentimos à vontade lidando com frações. Dificilmente, um candidato olímpico saberia provar a desiguldade 1/2*3/4*5/6...99/100 1/1000? Outro pesadelo fracionário é pedir aos olímpicos para repartirem 9 maçãs entre 12 crianças, de modo que nenhuma maçã seja dividida em mais de 4 partes. Mas se acham que estou blefando, tentem apresentar aos alunos o conceito de fração imprópria: que sentido atribuir, por exemplo, à fração 5/2? Entre as frações 1/5 e 1/3 temos 16 divisões iguais. Em qual das divisões se encontra a fração 1/4? (Campeã Olimpica!) A, B e C dividiram todo o conteúdo de uma garrafa de suco em três copos iguais, enchendo metade do copo de A, um terço do copo de B e um quarto do copo de C. Como cada um queria um copo cheio de suco, eles abriram outras garrafas iguais à primeira até encher completamente os copos. Quantas garrafas a mais eles tiveram que abrir? Se o suco de uma garrafa tivesse sido dividido igualmente entre eles, que fração de cada copo conteria suco? A propósito! Para obtermos 0, no visor da calculadora devemos efetuar 1/3*3 ou 3*1/3? (Essa é do colega Felipe Takiyama) Afinal! Como provar a desiguldade 1+1/2+1/3+1/4+...1+1/2+1/2+1/2+...? Abraços! -- Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS!http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
