[obm-l] Quebra do RSA por solução do problema de fatoração - Eric Campos Bastos Guedes
Proponho um algoritmo para quebrar o RSA. O algoritmo que eu propus antes trabalhava com números muito grandes e por isso podia não funcionar direito. Esse trabalha com números bem menores porque usa módulo N numa etapa. O algoritmo e sua explicação estão no YouTube com o mesmo título desse e-mail. São dois vídeos, o que conta é o mais recente deste ano de 2022. QUEBRA DO RSA - ALGORITMO N.2 PASSO 1: a=3 inicializando o valor de a PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado N é o número usado no RSA. N é o produto de dois números primos grandes não muito próximos. PASSO 3: M=N^512 (N elevado a 512) M é um número grande mas não muito grande. O valor de P não vai ultrapassar muito o valor de M. P é uma variável inteira que acumula fatores primos. Aí você faz MDC(P, N) para tentar fatorar N. PASSO 4: a=a+1 O valor de a é atualizado para a+1, isto é, é acrescentado 1 ao valor de a PASSO 5: P=a O valor de P é inicializado PASSO 6: b = número aleatório entre 0 e 1 PASSO 7: Se b > 1/2 faça c=1 senão faça c=-1 O objetivo dos passos 6 e 7 é atribuir à variável c um valor que pode ser 1 ou -1. Isso nem precisa ser feito de modo aleatório, mas acho que vai funcionar melhor se for aleatório. PASSO 8: P=P(P+c) É uma atribuição de valor. O novo valor de P passa a ser P(P+c). Note que P+c é relativamente primo com P. Na prática são acrescentados novos fatores primos a P que vai acumular fatores primos. PASSO 9: Se P < M vá para o PASSO 6 Esse passo determina um looping para acumular fatores em P. PASSO 10: Se MDC(P, N) for diferente de 1 vá para o PASSO 14 Se MDC(P, N) for diferente de 1 ele pode ser um fator primo de N. Resta verificar se ele não é o próprio N. Isso vai ser feito no PASSO 14. PASSO 11: P = Resto da divisão de P por N Esse passo é para trabalharmos com números menores. PASSO 12: Se P < 4 faça P=4 Talvez esse passo possa ser omitido PASSO 13: vá para o PASSO 6 PASSO 14: Se MDC(P, N)=N vá para o PASSO 4 Se MDC(P, N) = N não foram encontrados fatores primos e algoritmo recomeça do ponto apropriado. PASSO 15: MDC(P, N) é fator (primo) de N FIM Eu fui menção honrosa na Olimpíada Ibero-americana de Matemática Universitária em 2006. Acho que este meu trabalho merece ser avaliado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Solução do problema de fatoração (quebra do RSA)
Estou trabalhando num algoritmo melhor, mas preciso de acesso a um computador com o software de computação algébrica Maple que é o que eu sei usar. Espero ter o retorno de pessoas que sabem mais do que eu. Em dom., 14 de nov. de 2021 12:58, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Por que vc não testa? > > On Sun, Nov 14, 2021 at 9:53 AM Eric Campos Bastos Guedes < > ebastosgue...@gmail.com> wrote: > >> Eu preciso de um retorno sobre o meu algoritmo que quebra o RSA >> resolvendo o problema de fatoracao. >> >> O Passo 8 talvez possa ser substituido por: PASSO 8': P = P(P+C) >> >> Em seg., 6 de set. de 2021 07:47, Eric Campos Bastos Guedes < >> ebastosgue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Aparentemente minha conexão está raqueada por gente do Bolsonaro e eu >>> não estou recebendo respostas para minha postagem e também não estou >>> conseguindo acessar os sites de discussão sobre o RSA. Há pessoas se >>> fazendo passar por mim também. >>> >>> -- Forwarded message - >>> De: Eric Campos Bastos Guedes >>> Date: sáb., 4 de set. de 2021 00:33 >>> Subject: [obm-l] >>> To: >>> >>> >>> Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um >>> algoritmo que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também >>> grandes. Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA >>> >>> O algoritmo é o seguinte: >>> >>> PASSO 1: faça A=3 >>> PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado >>> PASSO 3: M = N**16 (potência) >>> PASSO 4: faça A=A+1 >>> PASSO 5: faça P=A >>> PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 >>> PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 >>> PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 >>> PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 >>> PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 >>> PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO >>> 4 >>> PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N >>> FIM >>> >>> AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) >>> >>> Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso >>> para mim. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Solução do problema de fatoração (quebra do RSA)
Estou trabalhando num algoritmo melhor, mas preciso de acesso a um computador com o software de computação algébrica Maple que é o que eu sei usar. Espero ter o retorno de pessoas que sabem mais do que eu. Em dom., 14 de nov. de 2021 12:58, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Por que vc não testa? > > On Sun, Nov 14, 2021 at 9:53 AM Eric Campos Bastos Guedes < > ebastosgue...@gmail.com> wrote: > >> Eu preciso de um retorno sobre o meu algoritmo que quebra o RSA >> resolvendo o problema de fatoracao. >> >> O Passo 8 talvez possa ser substituido por: PASSO 8': P = P(P+C) >> >> Em seg., 6 de set. de 2021 07:47, Eric Campos Bastos Guedes < >> ebastosgue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Aparentemente minha conexão está raqueada por gente do Bolsonaro e eu >>> não estou recebendo respostas para minha postagem e também não estou >>> conseguindo acessar os sites de discussão sobre o RSA. Há pessoas se >>> fazendo passar por mim também. >>> >>> -- Forwarded message - >>> De: Eric Campos Bastos Guedes >>> Date: sáb., 4 de set. de 2021 00:33 >>> Subject: [obm-l] >>> To: >>> >>> >>> Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um >>> algoritmo que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também >>> grandes. Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA >>> >>> O algoritmo é o seguinte: >>> >>> PASSO 1: faça A=3 >>> PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado >>> PASSO 3: M = N**16 (potência) >>> PASSO 4: faça A=A+1 >>> PASSO 5: faça P=A >>> PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 >>> PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 >>> PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 >>> PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 >>> PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 >>> PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO >>> 4 >>> PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N >>> FIM >>> >>> AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) >>> >>> Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso >>> para mim. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Solução do problema de fatoração (quebra do RSA)
Estou trabalhando num algoritmo melhor, mas preciso de acesso a um computador com o software de computação algébrica Maple que é o que eu sei usar. Espero ter o retorno de pessoas que sabem mais do que eu. Em dom., 14 de nov. de 2021 12:58, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com> escreveu: > Por que vc não testa? > > On Sun, Nov 14, 2021 at 9:53 AM Eric Campos Bastos Guedes < > ebastosgue...@gmail.com> wrote: > >> Eu preciso de um retorno sobre o meu algoritmo que quebra o RSA >> resolvendo o problema de fatoracao. >> >> O Passo 8 talvez possa ser substituido por: PASSO 8': P = P(P+C) >> >> Em seg., 6 de set. de 2021 07:47, Eric Campos Bastos Guedes < >> ebastosgue...@gmail.com> escreveu: >> >>> Aparentemente minha conexão está raqueada por gente do Bolsonaro e eu >>> não estou recebendo respostas para minha postagem e também não estou >>> conseguindo acessar os sites de discussão sobre o RSA. Há pessoas se >>> fazendo passar por mim também. >>> >>> -- Forwarded message - >>> De: Eric Campos Bastos Guedes >>> Date: sáb., 4 de set. de 2021 00:33 >>> Subject: [obm-l] >>> To: >>> >>> >>> Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um >>> algoritmo que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também >>> grandes. Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA >>> >>> O algoritmo é o seguinte: >>> >>> PASSO 1: faça A=3 >>> PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado >>> PASSO 3: M = N**16 (potência) >>> PASSO 4: faça A=A+1 >>> PASSO 5: faça P=A >>> PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 >>> PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 >>> PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 >>> PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 >>> PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 >>> PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO >>> 4 >>> PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N >>> FIM >>> >>> AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) >>> >>> Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso >>> para mim. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l]
Eu preciso de um retorno sobre o meu algoritmo que quebra o RSA resolvendo o problema de fatoracao. O Passo 8 talvez possa ser substituido por: PASSO 8': P = P(P+C) Em seg., 6 de set. de 2021 07:47, Eric Campos Bastos Guedes < ebastosgue...@gmail.com> escreveu: > Aparentemente minha conexão está raqueada por gente do Bolsonaro e eu não > estou recebendo respostas para minha postagem e também não estou > conseguindo acessar os sites de discussão sobre o RSA. Há pessoas se > fazendo passar por mim também. > > -- Forwarded message - > De: Eric Campos Bastos Guedes > Date: sáb., 4 de set. de 2021 00:33 > Subject: [obm-l] > To: > > > Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um algoritmo > que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também grandes. > Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA > > O algoritmo é o seguinte: > > PASSO 1: faça A=3 > PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado > PASSO 3: M = N**16 (potência) > PASSO 4: faça A=A+1 > PASSO 5: faça P=A > PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 > PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 > PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 > PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 > PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 > PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO 4 > PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N > FIM > > AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) > > Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso > para mim. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Fwd: [obm-l]
Aparentemente minha conexão está raqueada por gente do Bolsonaro e eu não estou recebendo respostas para minha postagem e também não estou conseguindo acessar os sites de discussão sobre o RSA. Há pessoas se fazendo passar por mim também. -- Forwarded message - De: Eric Campos Bastos Guedes Date: sáb., 4 de set. de 2021 00:33 Subject: [obm-l] To: Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um algoritmo que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também grandes. Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA O algoritmo é o seguinte: PASSO 1: faça A=3 PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado PASSO 3: M = N**16 (potência) PASSO 4: faça A=A+1 PASSO 5: faça P=A PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO 4 PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N FIM AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso para mim. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l]
Olá a todos. Gostaria de pedir licença para que vocês avaliem um algoritmo que eu fiz para fatorar números grandes com fatores primos também grandes. Eu acredito que esse algoritmo quebre o RSA O algoritmo é o seguinte: PASSO 1: faça A=3 PASSO 2: N é o inteiro a ser fatorado PASSO 3: M = N**16 (potência) PASSO 4: faça A=A+1 PASSO 5: faça P=A PASSO 6: faça B=número aleatório entre 0 e 1 PASSO 7: se B eh maior que 0.5 faça C=1 senão faça C = -1 PASSO 8: faça P=(PP+CP)/2=P(P+C)/2 PASSO 9: se P eh menor que M vá para o PASSO 6 PASSO 10: se mdc(P, N) = 1 faça M=MM e vá para o PASSO 4 PASSO 11: se mdc(P, N) = N faça M = raiz quadrada de M e vá para o PASSO 4 PASSO 12: mdc(P, N) é fator de N FIM AUTOR: ERIC CAMPOS BASTOS GUEDES (DIA 4 DE SETEMBRO) Creio ter resolvido o problema de fatoração. Alguém pode verificar isso para mim. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Formula para primos
Formula para numeros primos Obtenha um real c, com tantas casas decimais quanto for possivel, de modo que o numero [c(n!)^2] (isto eh, a parte inteira do produto do real c pelo quadrado do fatorial de n) seja primo para n=1, 2, 3, 4, 5, ... m. Obtenha c de modo a fazer m o maior possivel dentro de suas capacidades de computacao. Voce consegue um algoritmo que faca isto? Eu consigo! CONJECTURA: existe um real c para o qual [c(n!)^2] eh primo para todo inteiro positivo n. Acrescentando: CONJECTURA 2: existe um real c' tal que [c'(2n)^n] eh sempre um numero primo. Note que eh mais facil calcular (2n)^n do que (n!)^2 [ ]'s [ Eric Campos Bastos Guedes ] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l]
Obtenha um real c, com tantas casas decimais quanto for possivel, de modo que o numero [c(n!)^2] (isto eh, a parte inteira do produto do real c pelo quadrado do fatorial de n) seja primo para n=1, 2, 3, 4, 5, ... m. Obtenha c de modo a fazer m o maior possivel dentro de suas capacidades de computacao. Voce consegue um algoritmo que faca isto? Eu consigo! CONJECTURA: existe um real c para o qual [c(n!)^2] eh primo para todo inteiro positivo n. [ ]'s [ eric campos bastos guedes -- ] [ matemático, escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem várias faces e várias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 22) 8838-8647 ] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [off] Participar sem ser universitario
Saudacoes Gostaria de participar da Olimpiada Brasileira de Matematica (nivel universitario), mas nao estou inscrito em nenhum curso universitario. O motivo eh que venho sofrendo uma serie de problemas de ordem pessoal que me impediram de prosseguir os estudos na faculdade (internacoes de carater politico em clinicas psiquiatricas). Tambem quero muito participar da Iberoamericana Universitaria, e talvez da Internacional. Sou autodidata como Srinivasa Ramanujan (guardadas as devidas proporcoes!!) e fico pensando que devem haver muitas pessoas nessas mesmas condicoes. A participacao em Olimpiadas de Matematica eh para mim um grande incentivo para prosseguir meus estudos nesta area. Gostaria de saber como devo proceder para poder participar das Olimpiadas de Matematica de nivel universitario sem ser estudante universitario. [ ]'s [ eric campos bastos guedes -- ] [ matemático, escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem várias faces e várias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 22) 8838-8647 ] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] 4444^4444
40231.10.1.2.2.1251131505.squir...@webmail.viaconnect.com.br
Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
MIME-Version: 1.0
Confirmado. O numero ^ tem 1605 algarismos '7'.
Basta calcular pelo programinha Maple:
contar_setes :=3D proc(n):
=A0=A0 f :=3D x - x - 10*floor(x/10):
=A0=A0 g :=3D x - piecewise(f(x)=3D7=2C1):
=A0=A0 m :=3D n=3B
=A0=A0 quantos_setes :=3D 0:
=A0=A0 algarismos :=3D floor(log[10](n))+1:
=A0=A0 for i from 1 to algarismos do
=A0=A0=A0=A0 quantos_setes :=3D quantos_setes+g(m):
=A0=A0=A0=A0 m :=3D floor(m/10):
=A0=A0 od:
=A0=A0 print('o_n=FAmero_dado_tem'=2Cquantos_setes=2C'algarismos_sete')=3B
=A0end=3B
A saida eh:
contar_setes(^)=3B
=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0=A0 o_n=FAmero_dado_tem=2C 1605=2C a=
lgarismos_sete
[ eric campos bastos guedes -- ]
[ matem=E1tico=2C escritor e pesquisador - ]
[ A verdade tem v=E1rias faces e v=E1rias fontes ]
[ twitter: mathfighter --- ]
[ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ]
[ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ]
[ cel. (0xx 21) 8721-5420 ]
Date: Mon=2C 24 Aug 2009 13:31:45 -0300
Subject: Re: [obm-l] ^
From: amcorr...@viaconnect.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Boa tarde=2C
J=E1 que =E9 para usar recursos computacionais
amcorr...@chronos:~$ resultado=3D$(calc -- ^ )
amcorr...@chronos:~$ echo -n $resultado | tr -d 0-6 | tr -d 8-9 | wc -c
1605
N=E3o entendi esse teu processo de 'pegar as orelhas dos d=EDgitos'...?
Bom=2C fiz a conta aqui de cabe=E7a=2C deu um numerozinho:
51 036325037 255080482 040250195 524395924 782475482
284514747 828975986 739479076 862531615 833001864 027197875 434172496
782212810 360936998 814871028 023280409 517604289 704232997 250059817
651452033 902564981 053474342 143982434
... [muitas MUITAS linhas deletadas]...
954187355 586887636 003568084 241221478 621695307 152384094 531375297
756356083 583426234 545493926 295612017 618527949 708463952 945505173
247787325 422994467 678743279 370416826 869347245 921635509 244741066
157981696
Deixa eu ver=2C 16211 d=EDgitos. Ah=2C pera a=ED=2C errei a conta l=E1 n=
o meio=2C
ali =E9 8 e n=E3o 9 Mas tudo bem=2C agora =E9 s=F3 contar os 7 (cont=
ei as
orelhas dos d=EDgitos e dividi por 2) s=E3o 1605 d=EDgitos de n=FAme=
ro 7.
=3B) =3B) =3B)
Abra=E7o=2C Ralph.
P.S.: Bom=2C o que eu quero dizer =E9 que n=E3o me parece haver um m=E9t=
odo
ol=EDmpico para resolver este tipo de problema (se algu=E9m descobrir=
=2C
me ensine!)... Mas pior que o que eu fiz acima deve estar certo.
2009/8/24 douglas paula :
ol=E1 amigos da lista=2C
trago um problema que vem me enrolando h=E1 alguns dias e=2C embora j=
=E1 tenha
pedido ajuda em algumas comunidades sobre matem=E1tica no orkut=2C aind=
a n=E3o
tenho uma solu=E7=E3o:
Quantos algarismos 7 existem no resultado de ^ ? (considere a
nota=E7=E3o decimal)
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es para entrar na lista=2C sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=20
_
Voc=EA j=E1 ama o Messenger? Conhe=E7a ainda mais sobre ele no Novo site de=
Windows Live.
http://www.windowslive.com.br/?ocid=3DWindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out=
09=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] RE: [obm-l] TEORIA D OS NÚMEROS Help!!!
01. Mostrar que 11 dividi infinitos números da forma 3636363636.36.
O numero 11 sera divisor de todo inteiro da forma b=36363636..36 que
tenha 22n algarismos, onde n eh inteiro positivo.
02. Existem 83 casas em uma rua. As casas são numeradas com números
entre 100 e 262, inclusive. mostre que pelo menos 2 casas tem numeros
consecutivos.
Considere os conjuntos: A_1 = {100,101}, A_2 = {102,103}, ...
... A_n = {98+2n,98+2n+1} ..., A_81 = {260,261}, A_82 = {262}
Os conjuntos A_i sao dois a dois disjuntos e sua uniao eh o
conjunto de todos os numeros entre 100 e 262 inclusive. Havendo 83
casas na rua, serao escolhidos 83 numeros. Mas há somente 82
conjuntos A_i, donde escolheremos necessariamente pelo menos dois
números num mesmo conjunto A_k; ora, os dois inteiros em A_k são
consecutivos por construcao, logo duas casas terao numeros consecutivos,
necessariamente.
03. Uma escola possui 46 classes com uma
média de 38 alunos por classe. o que se pode dizer a respeito do número
de alunos na maior?
Que ela nao tem menos que 38 alunos? Estou arriscando uma resposta...
Agradeço antecipadamente a quem dispôr de tempo para me ajudar com tais
questões.
Nao disponho de tempo, infelizmente. Se tivesse tempo ja teria feito
um verdadeiro milagre com os parcos recursos de que disponho. E quando
falo em 'milagre' eh isso mesmo que quero dizer. Imagino coisas tao
uteis e beneficas para a humandade que chego a questionar porque elas
simplesmente nao foram feitas antes. Nos ultimos 3 anos tenho estado
ocupadissimo tentando sobreviver, e por esse motivo nao pude desenvolver
essas ideias, que me deixariam proximo de um Einstein em materia de fama.
Estranhamente, a ideia de que eu pudesse ter um tal exito causa ojeriza
no poder historicamente constituido, ainda que toda especie humana fosse
beneficiada.
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[obm-l] Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria - Inscricao
Prezados Gostaria de participar da Olimpiada Iberoamenricana de Matematica Universitaria em 2009. Como devo proceder? [ ]'s E. [ eric campos bastos guedes -- ] [ matemático, escritor e pesquisador - ] [ A verdade tem várias faces e várias fontes ] [ twitter: mathfighter --- ] [ Orkut: Eric Campos Bastos Guedes --- ] [ e-mail/MSN: fato...@hotmail.com ] [ cel. (0xx 21) 8721-5420 ] _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
FW: [obm-l] inscricao na OBM
Ola Gostaria de saber se poderei participar da OBM nivel universitario este ano. Nao possuo titulo universitario e nao estou matriculado em nenhuma faculdade. Em agosto estarei matriculado em uma faculdade, entretanto. Na intencao de planejar minhas acoes, estudos, projetos etc, gostaria de saber qual a possibilidade de eu vir a participar da OBM-U em 2009. Desde ja agradeco a atencao. _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] inscricao na OBM
Ola Gostaria de saber se poderei participar da OBM nivel universitario este ano. Nao possuo titulo universitario e nao estou matriculado em nenhuma faculdade. Em agosto estarei matriculado em uma faculdade, entretanto. Na intencao de planejar minhas acoes, estudos, projetos etc, gostaria de saber qual a possibilidade de eu vir a participar da OBM-U em 2009. Desde ja agradeco a atencao. _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
FW: [obm-l] [off] o perigo da matematica
Caro Luis Jr. Gostaria de enfatizar que eh muito importante que voce me mande o link para o lugar onde voce disse que eu teria sido estuprado. Eh pratica corrente em espionagem espalhar tais mentiras a respeito de opositores politico para assim fazer com que eles nao sejam ouvidos e tenham suas denuncias ignoradas. Mande o link ou se retrate. Caso contrario terei que tomar as providencias legais. Grato. Concordo com vc Eric. Baita injustiça vc sofreu e vem sofrendo. Só não entendi pq não relatar o estupro que vc sofreu pelo agentes da ABIN ávidos por informações. O que vc sofreu ninguém seria capaz de aguentar e continuar lutando. Perseguido, humilhado e estuprado várias vezes sem a esperança de ter justiça. ~Carpe Diem~ Luís Jr. 2009/5/11 Eric Campos Bastos Guedes Quando falei de assassinos pagos pelo governo Lula (Abin) as pessoas acharam que fosse uma brincadeira de extremo mal gosto. Entao escrevi um relato pormenorizado contando toda a historia. Basta procurar no site docstoc ( http://www.docstoc.com/ ) por O Povo Cego e as Farsas do Poder. O link direto para o relato eh: http://www.docstoc.com/docs/5851601/O-Povo-Cego-e-as-Farsas-do-Poder O motivo de estar divulgando isto nesta lista eh que TODA PERSEGUICAO INICIOU APOS MINHA SETIMA COLOCACAO NA OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMATICA UNIVERSITARIA EM 2006. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l]
Caro Luis Jr. Gostaria de enfatizar que eh muito importante que voce me mande o link para o lugar onde voce disse que eu teria sido estuprado. Eh pratica corrente em espionagem espalhar tais mentiras a respeito de opositores politico para assim fazer com que eles nao sejam ouvidos e tenham suas denuncias ignoradas. Mande o link ou se retrate. Caso contrario terei que tomar as providencias legais. Grato. Concordo com vc Eric. Baita injustiça vc sofreu e vem sofrendo. Só não entendi pq não relatar o estupro que vc sofreu pelo agentes da ABIN ávidos por informações. O que vc sofreu ninguém seria capaz de aguentar e continuar lutando. Perseguido, humilhado e estuprado várias vezes sem a esperança de ter justiça. ~Carpe Diem~ Luís Jr. 2009/5/11 Eric Campos Bastos Guedes Quando falei de assassinos pagos pelo governo Lula (Abin) as pessoas acharam que fosse uma brincadeira de extremo mal gosto. Entao escrevi um relato pormenorizado contando toda a historia. Basta procurar no site docstoc ( http://www.docstoc.com/ ) por O Povo Cego e as Farsas do Poder. O link direto para o relato eh: http://www.docstoc.com/docs/5851601/O-Povo-Cego-e-as-Farsas-do-Poder O motivo de estar divulgando isto nesta lista eh que TODA PERSEGUICAO INICIOU APOS MINHA SETIMA COLOCACAO NA OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMATICA UNIVERSITARIA EM 2006. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] formulas para numeros primos
Saudacoes aos colegas da lista Acabo de disponibilizar na internet meu trabalho sobre formulas para numeros primos. O endereco eh: http://www.docstoc.com/docs/5851750/F%C3%B3rmulas-para-N%C3%BAmeros-Primos gostaria da opiniao dos membros da lista a respeito. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, é grátis! http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [off] o perigo da matematica
Quando falei de assassinos pagos pelo governo Lula (Abin) as pessoas acharam que fosse uma brincadeira de extremo mal gosto. Entao escrevi um relato pormenorizado contando toda a historia. Basta procurar no site docstoc ( http://www.docstoc.com/ ) por O Povo Cego e as Farsas do Poder. O link direto para o relato eh: http://www.docstoc.com/docs/5851601/O-Povo-Cego-e-as-Farsas-do-Poder O motivo de estar divulgando isto nesta lista eh que TODA PERSEGUICAO INICIOU APOS MINHA SETIMA COLOCACAO NA OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMATICA UNIVERSITARIA EM 2006. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] [off] o perigo da matematica
Caro Luis Jr. Eu nunca fui estuprado. Gostaria que voce especificasse onde leu tal informacao, porque certamente quem escreveu tal coisa nao fui eu. Eh pratica corrente em espionagem se fazer passar por outras pessoas. Neste caso colocaram informacoes falsas a fim de criar essa confusao. Eles ja fizeram isto antes em outra ocasiao. Por favor, Luis, me manda o link para onde estah essa informacao falsa de que eu teria sido estuprado. Pode ser que assim a pratica da espionagem fique caracterizada. Concordo com vc Eric. Baita injustiça vc sofreu e vem sofrendo. Só não entendi pq não relatar o estupro que vc sofreu pelo agentes da ABIN ávidos por informações. O que vc sofreu ninguém seria capaz de aguentar e continuar lutando. Perseguido, humilhado e estuprado várias vezes sem a esperança de ter justiça. ~Carpe Diem~ Luís Jr. 2009/5/11 Eric Campos Bastos Guedes Quando falei de assassinos pagos pelo governo Lula (Abin) as pessoas acharam que fosse uma brincadeira de extremo mal gosto. Entao escrevi um relato pormenorizado contando toda a historia. Basta procurar no site docstoc ( http://www.docstoc.com/ ) por O Povo Cego e as Farsas do Poder. O link direto para o relato eh: http://www.docstoc.com/docs/5851601/O-Povo-Cego-e-as-Farsas-do-Poder O motivo de estar divulgando isto nesta lista eh que TODA PERSEGUICAO INICIOU APOS MINHA SETIMA COLOCACAO NA OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE MATEMATICA UNIVERSITARIA EM 2006. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Deixe suas conversas mais divertidas. Baixe agora mesmo novos emoticons. É grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Medalhas de Prata e Bronze para o Brasil
Equipe brasileira conquista medalhas de Prata e Bronze na 20a. Olimpíada de Matemática do Cone Sul realizada na Argentina O Brasil teve um excelente resultado na 20a. Olimpíada de Matemática do Cone Sul, conquistando 4 medalhas; duas de Prata e duas de Bronze. Este ano a competição foi realizada na cidade de Mar del Plata – Argentina e contou com a participação de 27 estudantes representando às delegações da Argentina, Bolívia, Brasil, Equador, Paraguai, Peru e Uruguai Afinal, qual a colocação da equipe brasileira entre as 7 participantes? Fomos os primeiros? Porque se nao fomos, este nao eh um resultado tao bom. Principalmente se pensarmos que o Brasil tem uma posicao hegemonica entre os demais participantes da Cone Sul. _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br
RE: [obm-l] surpresa no R4
Questao: Aos amigos da lista, estava resolvendo alguns exercícios de álgebra linear, e me deparei com o seguinte: Quais as possiveis interseções de dois planos no R4? Após os cálculos vi que pode ser até um ponto, refiz os cálculos e não encontrei erro, será realmente isso verdade? aguardo a opinião amigos, grato a todos. Resposta: Parece que sim, a intersecao de dois planos no R4 pode ser um ponto. De fato, dados os planos P e Q no R4 definidos por: P:x=0 e y=0 Q:z=0 e w=0 tem-se que a interseção deles eh o ponto (0,0,0,0) (origem). [ ]'s [ Eric Campos Bastos Guedes ] _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
estou tentando lembrar uma ´´brincadeira´´,q usa uma sequencia:cada numero a partir do terceiro é a soma dos dois anteriores.Salvo engano,o decimo primeiro numero(duvida) é 11 vezes o sexto(duvida).Então agente pede o sexto e determina o decimo primeiro.Devo estar errando por q, chamando os 2 primeiros numeros de x e y,o sexto numero é 3x+5y e o numero a ser ´´descoberto´´deveria ser 33x+55y e é 34x+55y. Resposta: basta ter x=0 e ter-se-a 33x+55y=34x+55y, dai o primeiro e segundo termos da tal sequencia podem ser 0 e y, respectivamente, donde o sexto termo eh 5y e o decimo primeiro eh 55y, satisfazendo as condicoes do problema. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Desculpe Eric,mas o problema correto é :se x^2 + x*y +y^2 è divisível por 10 então é divisível por 100.Obrigado pela atenção.Um abraço. Pode ser verificado que se x e y são inteiros tais que xx + xy + yy eh divisivel por 10 entao x e y sao ambos multiplos de 10, donde xx + xy + yy eh divisivel por 100. Restos na divisao por 2 --- x y xx+xy+yy --- 0 0 0 +0 +0 = 0 1 0 1 +0 +0 = 1 0 1 0 +0 +1 = 1 1 1 1 +1 +1 = 3 ~ 1 --- A tabela acima mostra que para que xx+xy+yy seja par, a unica possibilidade eh x e y serem ambos pares. Uma tabela analoga, mas maior, mostra que para que xx+xy+yy seja divisivel por 5, a unica possibilidade eh que x e y sejam ambos divisiveis por 5 E. [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Novo Windows Live: Messenger 2009 e muito mais. Descubra! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 Se xx + xy + yy divide 10, entao dividirah 100 tambem, pois todo divisor de 10 divide 100 [ ]'s E. - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Faça já uma busa e ganhe um wink do Messenger. Está esperando o que? É grátis! http://www.ibud.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] [OFF] perseguicao
Ola, Venho comunicar que apos eu obter a setima colocacao brasileira na Olimpiada Iberoamericana de Matematica Universitaria em 2006 fui perseguido das mais diversas formas. Fui preso e drogado de forma covarde, tendo serios danos a saude provacados por drogas que me obrigaram a tomar. Hoje tenho dificuldade para manter a atencao, para ler e para estudar. Venho tentando a meses denunciar esta situacao junto as autoridades, mas, ao que parece elas sao coniventes com o que esta ocorrendo. Peco a ajuda de algum membro da lista. A situacao esta insustentavel e suspeito que tentarao me matar, fazendo parecer um problema de saude meu ou um acidente, ou ainda fazendo parecer que o responsavel por minha morte seja eu mesmo. Abracos. Eric Campos = DEUS=MATEMATICA Eric Campos Bastos Guedes - O maior especialista do mundo em Formulas para Numeros Primos. Endereco: RUA DOMINGUES DE SA, 422 ICARAI - NITEROI - RJ - CEP: 24220-091 BRAZIL mathf...@gmail.com mathfire2...@yahoo.com.br MSN: fato...@hotmail.com = Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Matematica aplicada - Estatistica
Ola, Evidentemente, o desvio de dinheiro da Saude Publica a torna ineficiente. Como quantificar essa ineficiencia? Qual a relação entre o número de vidas perdidas e a quantidade de dinheiro desviada da Saude Publica? Como relacionar essas grandezas? Mais especificamente: o desvio de R$1000,00 da Saude Publica acarreta, estatisticamente, a morte de quantas pessoas? [ ]'s Eric Campos Bastos Guedes Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Res: [obm-l] Probabilidade Surreal
Sou matematico membro da SBM e tenho denuncias graves a fazer... Sei que este estah longe de ser o lugar certo para fazer estas denuncias, mas ja fui a todas as policias (federal, civil, militar) ja mandei a denuncia ao ministerio publico (com todos os meus dados - eu existo, nao sou uma ficcao), liguei pro disque denuncia, liguei para a corregedoria da policia (127)... ate agora nada... lhufas... se eu que sou um matematico com trabalhos publicados, premiacoes, etc nao consigo fazer uma denuncia da mais alta gravidade, que dira o resto da populacao. Por favor, gostaria de dicas onde eu possa postar minha denuncia. A situacao estah feia. Sei que vou morrer... mas antes vou mostrar que eles mexeram com o cara errado... falow... meus dados para contato: == Eric Campos Bastos Guedes - matematico, poeta e filosofo http://br.geocities.com/mathfire2001/ e-mail: [EMAIL PROTECTED] / [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] / Y!M: mathfire2001 Cel. 0xx-21-8131-7542 / Skype: eric.campos.bastos.guedes RUA DOMINGUES DE SÁ, 422 - CASA ICARAI - NITEROI - RJ - BRASIL CEP: 24220-091 == Os dados da vitima: NOME: ROBERTO PROFISSAO: ANALISTA DE SISTEMAS COR DA PELE: BRANCA ALTURA: ENTRE 1,74m E 1,84m PESO: EM TORNO DE 80Kg NOME DA FILHA: ALINE ANO DE NASCIMENTO DA FILHA: 1998 ONDE FOI MORTO: NUMA CLINICA PSIQUIATRICA EM SÃO GONÇALO QUANDO MORREU: EM ABRIL DE 2007 QUANDO ROBERTO FOI INTERNADO NA CLÍNICA: EM MARÇO DE 2007 ELE FOI MORTO AO COMPLETAR 30 DIAS DE INTERNADO, JUSTAMENTE O PRAZO COBERTO PELO PLANO DE SAUDE. poderia ter sido eu ou voce... === - Mensagem original De: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 6 de Março de 2008 23:09:22 Assunto: [obm-l] Probabilidade Surreal QUESTAO DESCONCERTANTE: Qual a probabilidade de um analista de sistemas ter sido morto numa clinica psiquiatrica em Sao Goncalo / RJ no ano de 2007 e alguem, de nome Eric Campos Bastos Guedes estar tentando a meses denunciar o fato as autoridades e a midia, sem exito? MINHA RESPOSTA: Essa probabilidade estah bastante proxima de 1. Por favor, ENTREM EM CONTATO. Como matematico e membro da SBM PECO A AJUDA DE VOCES. A midia SABE e IGNORA. = Eric Campos Bastos Guedes Formulas para primos http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 http://br.geocities.com/mathfire2001/ Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] Celular: 0xx-21-8131-7542 = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Probabilidade Surreal
QUESTAO DESCONCERTANTE: Qual a probabilidade de um analista de sistemas ter sido morto numa clinica psiquiatrica em Sao Goncalo / RJ no ano de 2007 e alguem, de nome Eric Campos Bastos Guedes estar tentando a meses denunciar o fato as autoridades e a midia, sem exito? MINHA RESPOSTA: Essa probabilidade estah bastante proxima de 1. Por favor, ENTREM EM CONTATO. Como matematico e membro da SBM PECO A AJUDA DE VOCES. A midia SABE e IGNORA. = Eric Campos Bastos Guedes Formulas para primos http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 http://br.geocities.com/mathfire2001/ Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] Celular: 0xx-21-8131-7542 = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Res: [obm-l] curriculo lates e probleminha sobre primos
Caros, Desculpem-me se pareci rude no ultimo e-mail. Nao foi minha intencao quere ser mais que a Kellen, ate porque quando comecei a publicar ela sequer era nascida (po! tou ficando velho!). De qualquer modo, tomei a Kellen como parametro, porque em 2005 nao imaginava que um dia chegaria a ter resultados tao bons quanto ela na Brasileira Universitaria. Mas acabei tendo. Ou quase. Foi d+! Gostaria de saber se eh mesmo a OEI - Organizacao dos Estados Iberoamericanos para a Educacao Ciência e Cultura - que eh a responsavel pela Ibero Universitaria. Descobri como fazer meu curriculo lattes. Ta dando o maior trabalho - mas vai valer a pena! (Nao sabia como fazer o curriculo lattes, mas um pessoal de outra lista me deu as dicas) [ ]'s Eric. = Eric Campos Bastos Guedes Formulas para primos http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] = - Mensagem original De: Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: Delirio Coletivo lista [EMAIL PROTECTED] Enviadas: Quarta-feira, 27 de Fevereiro de 2008 20:29:08 Assunto: [obm-l] curriculo lates e probleminha sobre primos Prezados amigos, Primeiro, o probleminha sobre primos: Mostre que existe um real minimo c, aproximadamente c = 2,811321611... tal que para todo inteiro positivo n, tem-se que [c(n!)^2] eh um numero primo. (isto nos da a sucessao: 2, 11, 101, 1619, 40483, ...) Sobre o curriculo lates, gostaria muito de ter um, pois ja tenho alguns trabalhos publicados (livros, artigos, premiacoes etc) e percebi que a Kellem Correa Santos tem um Curriculo Lates. Ora, eu ja publiquei mais que ela, acho que muito mais, e tenho tantas premiacoes quanto ela. Por isso gostaria de saber como consigo ter um curriculo lates. [ ]'s. Eric. = http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Formulas para primos Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Olimpiada de treinamento
Saudacoes Ha alguns dias foi levantada a questao sobre uma possivel preparacao para as Olimpiadas de Matematica. Proponho o desenvolvimento de uma pre-olimpiada com o objetivo de proporcionar algum treino para as demais competicoes de Matematica. Esta ideia apareceu recentemente no Orkut e parece promissora, alguns grupos estao se organizando para propor torneios matemáticos de resolucao de problemas e exercicios. Uma iniciativa neste sentido pode ser encontrada em: OLM: (na web) http://br.geocities.com/mathfire2001/olm.htm (no Orkut) http://www.orkut.com/Community.aspx?cmm=20551500 (esta eh mais direcionada para universitarios) e outra em: OOM: (na web) http://www.ultraimports.us/oom/ (na web) http://www.ioom.xpg.com.br/ (no Orkut) http://www.orkut.com/Community.aspx?cmm=21203048 (provas em 4 diferentes niveis, da 5a serie a graduacao) Atenciosamente, Eric. = http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Formulas para primos Aulas de Matematica Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] = ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] anotando estudos
Desde 2002 tenho anotado meu tempo de estudo para automotivacao e para saber meu progreso. Para isto desenvolvi um metodo proprio. Segue link para donwload dos arquivos que permitem fazer isso. http://rapidshare.de/files/32463301/Estudos.zip.html Estudos diarios.doc Estudos diarios.pdf ambos com o mesmo conteudo: uma folha para ser impressa frente e verso e fotocopiada. Nas copias anotar os estudos a lapis. Suas colunas sao: Data (pode ser preencida no formato dd/mm), dia da semana (com o dia da semana abreviado pelas 3 primeiras letras), inicio (horario de inicio do estudo no formato hh:mm), final (horario final de estudo), desconto (tempo total estimado das interupcoes em minutos), tempo (tempo do estudo propriamente dito, isto eh, o tempo decorrido, em minutos, entre o inicio e o final tirando o desconto), pequena descricao do estudo. ...e as planilhas (as originais estao no formatodo OpenOffice, que faz o mesmo que o MS Office, mas e gratuito pedi para salvar tb no formato xls)... estudo mes a mes 2006.ods estudo mes a mes 2006.xls Basta preencher a coluna Total do mes com o número de minutos estudados em cada mes que a planilha faz o resto. Tem tb um grafico no final, ilustrando o rendimento. Estudo dia a dia.ods Estudo dia a dia.xls Aqui preenchemos a coluna Tempo em minutos com o tempo de estudo e a planilha calcula nosso rendimento nas outras colunas. Aguardo feedback! Eric. == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] == ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Calcule f de ...
--- Lucas Molina escreveu: 1) Seja f : R - R uma função tal que f(1) = 1996 . Sendo f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n)=(n^2)f(n) , calcule f(1996) exatamente. [Solucao] Como [1] f(1)+f(2)+...+f(n)=(n^2)f(n) subtraindo f(n) tem-se [2] f(1)+f(2)+...+f(n-1)=(n^2-1)f(n) pondo n-1 no lugar de n em [1] tem-se [3] f(1)+f(2)+...+f(n-1)=((n-1)^2)f(n-1) comparando [2] e [3]... (n^2-1)f(n) = ((n-1)^2)f(n-1) fatorando... (n-1)(n+1)f(n) = (n-1)(n-1)f(n-1) cancelando n-1... (n+1)f(n) = (n-1)f(n-1) dividindo por n+1... [1*] f(n) = ((n-1)/(n+1))f(n-1) pondo n-1 no lugar de n em [1*]... [2*] f(n-1) = ((n-2)/n)f(n-2) pondo n-2 no lugar de n em [1*]... [3*] f(n-2) = ((n-3)/(n-1))f(n-3) . [(n-2)*] f(3) = (2/4)f(2) [(n-1)*] f(2) = (1/3)f(1) multiplicando as igualdades [1*],[2*],[3*],...,[(n-1)*] e cancelando os fatores iguais no numerador e denominador tem-se... f(n)f(n-1)...f(2)=((2)(1)/(n(n+1)))f(n-1)f(f-2)...f(1) cancelando f(n-1),f(n-2),...,f(2) vem f(n) = (2/(n(n+1)))f(1) fazendo n = 1996 e substituindo f(1)=1996 tem-se f(1996) = (2/(1996*1997))*1996 = 2/1997 ... desde que sem contas erradas Eric. == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] == ___ Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En: funçao geradora ordinaria!!!
gostaria que alguem achasse a funcao geradora da sequencia(1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0...). grato Diego Andrés seria (1+x+x^2)/(1-x^6) (?) []'s Eric. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma questão de fatorial
x(x+1)(x+2)(x+3)...(x+2006) = 1 Seja menor raiz positiva dessa equacao. Prove que ela eh menor que 1/2006!. Eh equivalente a [*] x = 1/((x+1)(x+2)...(x+2006)) como x0, tem-se (x+1)(x+2)...(x+2006) 2006! logo, de [*], x 1/2006! Eric. == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] == ___ Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais uma vez Zm
Seja m 1 um inteiro. Para cada a pertencendo a Zm
fixado, temos que
f : Zm -Zm definida por f(x) = x+a (mod m) é
bijetora.
Onde: Zm={0,1,2,...,m-1}
(i) f eh injetora.
De fato:
f(x)=f(y)
x+a = y+a (mod m)
x+a-a = y+a-a (mod m)
x = y (mod m)
x = y (em Zm)
donde f(x)=f(y) acarreta x=y
(ii) f eh sobrejetora
Seja x um elemento quaquer de Zm.
Entao x-a estah em Zm e f(x-a)=x.
(lembre-se que em Zm x-a=x-a+km, para
todo inteiro k)
Logo todo x em Zm eh igual a f(x-a),
donde f eh sobrejetora.
Como f eh injetora e sobrejetora,
f eh bijetiva.
[]'s
Eric.
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[obm-l] valor medio para integrais
Saudacoes! Estou com uma duvida com respeito ao topico propriedade do valor medio para integrais, do livro do Guidorizzi (vol.3, 2.ed). O teorema do livro eh o seguinte: Seja f:B-R, B contido em R^2. Cumprindo-se: (hipotese) 1. f integravel; 2. f eh continua em B; 3. B eh limitado; 4. B eh fechado; 5. para cada par de pontos b_1, b_2 em B, existe uma curva continua (com imagem contida em B) que liga ambos; 6. a fronteira de B tem conteudo nulo (um conjunto D tem conteudo nulo se para cada eps0 existe um numero finito de retangulos A_1, A_2, ... A_n, tais que D esteja contido na uniao dos A_i's e a soma das areas destes A_i's eh menor que eps.) entao (tese) existe pelo menos um ponto P=(r,s) em B tal que integral(f dxdy sobre B) = = f(r,s)*integral(dxdy sobre B) = = f(r,s)*area(B). Gostaria de saber se a tese continua valendo se omitirmos alguma das 6 condicoes da hipotese. Eh claro que a condicao 1 tem que valer, senao a tese nao faria sentido. Tambem sei que a condicao 2 (continuidade) tem que valer. Basta considerar o exemplo: f(x,y) = 1 se x=0 e f(x,y) = x caso contrario, para (x,y) satisfazendo -1=x=1, -1=y=1, isto eh, B eh o quadrado de vertices (-1,-1), (-1,1), (1,1), (1,-1). Neste caso integral(f dxdy sobre B) = 0, mas nao existe (r,s) em B tal que f(r,s)=0. Eh facil ver que a condicao 5 eh necessaria. Tome B = B_1 uniao B_2 onde a distancia entre B_1 e B_2 eh maior que zero; defina f(x) = -1 se x estah em B_1 e f(x)=1 se x esta em B_2 (x eh ponto do plano). Admita ainda que as areas de B_1 e B_2 sejam iguais. Entao a integral de f sobre B eh 0, mas nao existe x em B tal que f(x)*Area(B)=0, pois ou f(x)=1 ou f(x)=-1. Logo a condicao 5 eh necessaria. Entao cada uma das condicoes 1, 2, e 5 eh necessaria, porem nao consegui exemplos que me mostrassem que as condicoes 3, 4 e 6 sao tambem necessarias. Voces poderiam me dar um exemplo para cada um desses 3 casos? Amplexos! Eric. == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] MSN: [EMAIL PROTECTED] == __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Construção com Régua e Compasso
dados dois pontos quaisquer, é possível construir um segmento de reta entre eles usando apenas régua e compasso? Se sim, como? (O ponto eh que o segmento eh beeemmm maior que a regua e o compasso) Vamos la! Sejam A e B os pontos. A ideia eh construir pontos (da reta que liga A ateh B, que nao podemos tracar diretamente) sucessivamente mais proximos de A ate que o comprimento da regua seja suficiente para ligar este ponto a A. 1) Trace uma reta r_a qualquer por A 2) Trace uma reta r_b por B que nao seja paralela a r_a 3) Determine o ponto de encontro C de r_a e r_b 4) Determine os pontos medios P1 e P2 de AC e BC 5) Trace s1 paralela a BC por P1 6) Trace s2 paralela a AC por P2 7) Determine Q1, encontro de s1 e s2 8) Q1 eh ponto medio de AB e esta mais perto de A que B 9) Se nao der para tracar AQ1, repita o procedimento acima (passos de 1 a 8) com Q1 no lugar de B, encontrando Q2, Q3, Q4,... de modo que AQn=AB/(2^n) e para algum ponto AQn, poderemos tracar o segmento AQn. Daih fica facil, tracamos AQn e prolongamos com a regua... eh claro que isto eh soh teorico!, Na teoria funciona, mas se vc experimentar fazer isso na pratica, os erros vao se acumular e a reta AQn vai ser so uma 'boa' aproximacao de AB... Ah! Voce traca as paralelas s1, s2 transportando os angulos com o compasso. valeu! == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] == __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primeira Fase OBM-2005
--- Olimpiada Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED] escreveu: (há alunos que por motivos *religiosos* (grifo meu) estarão realizando a prova em outro(s) horário(s)). Nelly, Sonia, [EMAIL PROTECTED] == http://geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] == __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma
Qual o valor da soma S = 50.51 + 51.52 + ... + 100.101 ? S = 2((50)(51)/2+(51)(52)/2+...+(100)(101)/2) = =2(C(51,2)+C(52,2)+...+C(101,2))= =2((C(2,2)+C(3,2)+...+C(101,2))-(C(2,2)+...+C(50,2))) =2(C(102,3)-C(51,3))= =2((102)(101)(100)/6-(51)(50)(49)/6)= =(102)(101)(100)/3-(51)(50)(49)/3= =(34)(10100)-(17)(2450)= =(17)(20200)-(17)(2450)= =(17)(20200-2450)= =(17)(17750)= =301750 Abrac,os! ===geocities.yahoo.com.br/mathfire2001www.mathfire.pop.com.brEnciclopedia de Matematica - AulasFormulas para primos - Grupos de EstudoProjeto Matematica para [EMAIL PROTECTED] Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] fisica, analise, paradoxo
Ola Tive uma ideia que nao consigo explicar... Pretendo mostrar que existe apenas um numero finito de *posicoes* entre dois pontos. Segue prova: Considere uma particula P com velocidade constante de 1 metro por segundo e movendo-se em linha reta, partindo da posicao A e chegando a posicao B. Seja t o tempo (em segundos) que P permanece em cada posicao entre A e B. Tem-se t *diferente* de zero, pois caso contrario P iria de A ateh B num tempo nulo, o que nao ocorre. Digamos, para fixar ideias, que t=1/10^100 (t eh um numero positivo mas bem proximo de zero). Suponhamos que haja uma infinidade de posicoes entre A e B. Entao existem mais de N=10^101 posicoes entre A e B, de modo que o tempo que P leva para ir de A ateh B eh maior que t+t+...+t=Nt=(10^101)*(1/10^100)=10 segundos Absurdo!, pois P vai de A ateh B em apenas 1 segundo! Mais: se t=1/10^100, existem 10^100 posicoes entre A e B(!) Alguem pode me explicar isto? ===geocities.yahoo.com.br/mathfire2001www.mathfire.pop.com.brEnciclopedia de Matematica - AulasFormulas para primos - Grupos de EstudoProjeto Matematica para [EMAIL PROTECTED] Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numeros binomiais, conjectura
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Nao sei se e uma boa ajuda, mas um pensamento combinatorio no forno: --- Eric Campos [EMAIL PROTECTED] escreveu: Sejam n = n_1 + n_2 +...+ n_t A = A_1 + A_2 +...+ A_t Entao soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) = C(A,n) Alguns casos particulares sao faceis de ver, por exemplo: C(A+B,2)=C(A,2)C(B,0)+C(A,1)C(B,1)+C(A,0)C(B,2) Sugestao de Dirichlet: -- Podemos encarar esta sominha como -- escolher um grupo de N(=A+B) pessoas, de um -- grupo com A homens e B mulheres (agora vamos verificar de quantos modos podemos escolher conjuntos com 2 elementos deste grupo de N pessoas) -- O primeiro lado e obvio (C(A+B,2)). Mas o segundo -- e tao simples quanto: -- escolhemos um grupo de X homens (X=0,1 ou 2), outro -- grupo de N-X mulheres(N-X=2,1 ou 0). Fazendo X variar, fim! (principio multiplicativo) Esta sua sugestao eh otima! Principalmente porque pode ser generalizada. Prova o caso C(A+B,2) para A e B inteiros. Porem isto pode ser feito bracalmente e eh facil ver que a identidade vale para A e B complexos... O interessante eh a generalizacao natural que decorre de sua ideia. Parece natural estender sua sugestao para calcular C(A+B,3)=C(A,3)+C(A,2)C(B,1)+C(A,1)C(B,2)+C(B,3) para A e B inteiros. Esta identidade vale tb para A e B complexos, conforme verifiquei no Maple. Usando Algebra Elementar eh facil mostrar que C(A+B+C,n)=C((A+B)+C,n)= =soma(C(A,i)C(B,j)C(C,k),0=i,j,k=n,i+j+k=n) desde que se admita que: C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=0..n) A prova do caso geral estah em aberto: soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) = = C(A,n) para A_j complexo, j=1,2,...t (o caso A_j inteiro parece sair facil com a sugestao do Dirichlet...) Abrac,os! === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatória
--- [EMAIL PROTECTED] escreveu: (EEM-SP) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de matemática, 3 de português e 4 de física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de física fique, entre si, sempre na mesma ordem? (Resp.: 48) Nunca fui bom nisso. Nao estarei mentindo se disser que nunca tive uma aula sobre combinatoria, por isso desculpem qualquer erro. Como os livros de mesma materia devem ficar juntos, sao 3 *blocos* de livros, sendo 6=3! as possibilidades para ordenar estes blocos. 6 possibilidades -[1] -- Sejam M1 e M2 os livros de Matematica As possibilidades sao duas: (M1,M2) ou (M2,M1) *2 possibilidades [2] -- Sao 3 livros de portugues, logo sao outras 3!=6 possibilidades de ordenacao *6 possibilidades [3] -- O bloco dos livros de Fisica fica sempre na mesma ordem, logo conta com 1 so possibilidade *1 possibilidade -[4] -- Portanto, de [1],[2],[3] e [4] tem-se 6*2*6*1=72 possibilidades. Por favor corrijam-me quaquer erro. Abrac,os! === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] numeros binomiais, conjectura
Sejam n = n_1 + n_2 +...+ n_t A = A_1 + A_2 +...+ A_t Entao soma(produto(C(A_j,n_j),j=1..t),n_1+...+n_t=n) = C(A,n) Alguem pode me dizer se essa conjectura eh verdadeira? Se for, ela jah foi provada? Alguns casos particulares sao faceis de ver, por exemplo: C(A+B,2)=C(A,2)C(A,0)+C(A,1)C(B,1)+C(A,0)C(B,2) Supondo que: C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=1..n) Eh facil mostrar que C(A+B+C,n)=C((A+B)+C,n)= =soma(C(A,i)C(B,j)C(C,k),0=i,j,k=n,i+j+k=n) Ah! O caso C(A+B,n)=soma(C(A,i)C(B,n-i),i=1..n) para n=3 jah verifiquei e estah certo, isto eh: C(A+B,3)=C(A,3)+C(A,2)C(B,1)+C(A,1)C(B,2)+C(B,3) Abra,cos! === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ajuda com proporções
--- marcio aparecido [EMAIL PROTECTED] escreveu: ajuda com proporções: quais são os possiveis valores da seguinte proporção: a/(b+c+d) = b/(a+c+d) = c/(a+b+d) = d/(a+b+c) = = (a+b+c+d)/((b+c+d)+(a+c+d)+(a+b+d)+(a+b+c))= = (a+b+c+d)/(3(a+b+c+d)) = 1/3 []'s Eric. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Primos de Dirichlet da forma an + b...
Teoria Elementar dos Numeros Edmund Landau Colecao Classicos da Matematica Editora Ciencia Moderna --- Jose Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu: Antes de tudo: Ola e muito obrigado a quem porventura der atencao ao email. Estou necessitando da demonstracao do teorema de Dirichlet sobre primos da forma an + b e ficaria agradecido caso alguem indicasse um link ou livro. Caso alguem se arrisque a tentar ai vai o enunciado: Teorema: Sejam a e b inteiros com a0 e mdc(a,b)=1. Entao existem infinitos primos da forma an + b para n natural. Abracos, J ATt. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
--- Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na verdade o polinomio tem que ter coeficientes inteiros, senao dado qualquer numero complexo qualquer a, ele eh raiz de p(x) = x - a. Um numero complexo que eh raiz de um polinomio com coeficientes inteiros eh chamado de numero algebrico. Todos os demais sao transcendentes. Oi Cláudio. Considere a equação x^2 - sqrt(10)x + 2 =0. Delta = 10 - 4.1.2 = 2 x_1 = [sqrt(10) + sqrt(2)]/2 Posso dizer que x_1 é transcendente? Aliás sempre tive essa dúvida. Acho que os seguintes calculos, se estiverem certos, mostram que x_1 eh algebrico por ser raiz da equacao x^4 - 6x^2 + 4 = 0 de fato, tem-se: x_1 = (sqrt(10)+sqrt(2))/2 2x_1 = sqrt(10)+sqrt(2) 2x_1 - sqrt(2) = sqrt(10) (2x_1 - sqrt(2))^2 = 10 4(x_1)^2 - 4(x_1)sqrt(2) + 2 = 10 4(x_1)^2 - 8 = 4(x_1)sqrt(2) (x_1)^2 - 2 = (x_1)sqrt(2) ((x_1)^2 - 2)^2 = 2(x_1)^2 (x_1)^4 - 4(x_1)^2 + 4 = 2(x_1)^2 isto eh, x_1 eh raiz de x^4 - 6x^2 + 4 = 0, (soh troquei x_1 por x) logo x_1 eh algebrico. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes.
Em geral essas provas de transcendencia sao dificeis e usam bastante analise, Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa conhecer a demonstracao) e bem conhecido Cláudio, uma vez eu tentei resolver a equação x^x = 5 Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo Santa Rita escreveu: Teorema de Gelfond : A^B e trancedente se 1) A e algebrico, diferente de zero e um 2) B e irracional suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond 5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x eh irracional, tem que ser transcendente. ...Falei muita bobagem? === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espaço grátis! http://mail.yahoo.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desafio
Dois matemáticos se encontram na rua. Um pergunta para o outro: - Quantos filhos você tem? - Tenho 3. - E qual a idade deles? Sejam a,b,c as idades, com a=b=c - Vou te dar uma dica: o produto da idade deles é igual a 36. As possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 36010138 18020121 12030116 09040114 09020213* 06060113* 06030211 04030310 [tabela] - Assim não dá. Eu quero mais dicas. Ele quer mais dicas porque conforme a tabela acima existem 8 possibilidades diferentes para a,b,c. - Muito bem! A soma da idade deles é igual ao número daquela casa ali. - Nossa! Dê-me só mais uma dica que eu descubro. Agora ele sabe a soma das idades, mas ainda assim nao conhece os valores de a,b,c. Se a soma S das idades fosse 16, elas seriam 12, 3 e 1, conforme a tabela acima, pois essa eh a unica possibilidade para S=16. O mesmo vale para S=11 (neste caso, segundo a tabela, as idades seriam a=6,b=3 e c=2)... Mas ele ainda nao sabe quais sao as idades, mesmo conhecendo S. Entao S=13, pois este eh o unico caso em que conhecemos S e nao conhecemos com certeza os valores de a,b,c. - Tome! O mais velho toca piano. - Pronto, agora sim eu sei a idade de seus filhos. Como S=13 as possibilidades sao: a-b-c-a+b+c=S 09020213* 06060113* Ha um mais velho, isto eh ab, logo as idades sao 9, 2 e 2. O problema nao esta bem formulado, porque os dois filhos mais velhos poderiam ter menos de 12 meses de diferenca de idade. Acho que a ultima dica poderia ser diferente. === geocities.yahoo.com.br/mathfire2001 Enciclopedia de Matematica - Aulas Formulas para primos - Grupos de Estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] === Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral feita em casa
Ola Andre, tudo bem? Eu nao saberia resolver essa integral sem ser desse jeito. Esse problema que voce propos tem o jeito de problema de prova eliminatoria da OBM universitaria. Abrac,os! Eric. === www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos Aulas - Grupos de Estudo === --- André Barreto [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Eric! Cara vc fez bem igual como eu pensei, eu devia ter mexido mais nela para ficar mais dificil. Me diz uma coisa vc sabe como resolver ela sem ser desta forma? Atenciosamente André Sento Sé Barreto Eric Campos [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Andre Da para fazer uma simplificacao, usando que (a+b+c)^2=aa+bb+cc+2ac+2bc+2ab onde a=tan(x)^2 b=cot(x)^2 c=cos(x)^2 assim: (integral) de sqrt [ tg^4(X)+cotg^4(X)+cos^4(X)+ 2sen^2(X) + 2cotg^2(X) cos^2(X) + 2 ] dx = fica = (integral) de (tan(x)^2+cot(x)^2+cos(x)^2) que se resolve pelos meios habituais []'s Eric. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integral feita em casa
Ola Andre Da para fazer uma simplificacao, usando que (a+b+c)^2=aa+bb+cc+2ac+2bc+2ab onde a=tan(x)^2 b=cot(x)^2 c=cos(x)^2 assim: (integral) de sqrt [ tg^4(X)+cotg^4(X)+cos^4(X)+ 2sen^2(X) + 2cotg^2(X) cos^2(X) + 2 ] dx = fica = (integral) de (tan(x)^2+cot(x)^2+cos(x)^2) que se resolve pelos meios habituais []'s Eric. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geom. Analitica
Ola! O Shine publicou a solucao por analitica ne? Mas o que eu queria mesmo era uma geometria com menos contas e saber se da para fazer este problema por projetiva... Alguem me indica um bom site de projetiva para iniciantes? []'s Eric. --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Bem, o Shine deixou uma resposta em seu artigo Geometria com Contas da Eureka! 17. veja: http://www.obm.org.br/eureka/eureka17.pdf --- Eric Campos [EMAIL PROTECTED] wrote: O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao usei geometria analitica, mas tambem nao tive ideia para usar projetiva... Alguem sabe resolver por projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer! No quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BD são perpendiculares e os lados opostos AB e DC não são paralelos. Suponha que o ponto P, onde as mediatrizes de AB e DC se encontram, é interior a ABCD. Mostre que ABCD é um quadrilátero inscritível se, e somente se os triângulos ABP e CDP têm áreas iguais. POSSIVEL SOLUCAO: (Faca uma figura) (=) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem areas iguais. prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto medio de CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro da circunferencia onde se inscreve ABCD e angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB) angulo BPM = alfa (metade do angulo central do arco AB) angulo ADB = alfa (angulo inscrito) angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC) angulo BAC = beta (idem) angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC) angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC) angulo CPN = gama (metade do angulo central do arco DC) Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero. Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos outros angulos sao alfa e gama. Entao: alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC, retangulo em N, tem-se: angulo PCN = alfa e no triangulo PBM, retangulo em M: angulo PBM = gama logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso, PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, logo, os triangulos PNC e BMP sao congruentes e portanto: PN = BM e CN = PM donde BM.PM = PN.CN Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC como queriamos. (=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh circuncritivel. prova. Suponha que ABP e CDP tem areas iguais. Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais e os triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas areas sao iguais, e portanto estes triangulos sao congruentes e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, PB=PC mas como PM eh mediatriz, PB = PA como PN eh mediatriz PC = PD, logo, PA = PB = PC = PD e ABCD eh inscritivel... __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria
--- fgb1 [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, tô enrolado nessa. Acho que faltam dados... Fazendo uma figura pode-se desconfiar que a distancia do ponto A ate a reta BC (isto eh, a altura que se pede) pode ter uma infinidade de valores possiveis. Duas circunferências de raios R e r são tangentes exteriores no ponto A. Uma terceira circunferência é tangente as outras duas nos pontos B e C. Determine a altura do triângulo ABC em relação a base BC em função de R e r. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geom. Analitica
O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao usei geometria analitica, mas tambem nao tive ideia para usar projetiva... Alguem sabe resolver por projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer! No quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BD são perpendiculares e os lados opostos AB e DC não são paralelos. Suponha que o ponto P, onde as mediatrizes de AB e DC se encontram, é interior a ABCD. Mostre que ABCD é um quadrilátero inscritível se, e somente se os triângulos ABP e CDP têm áreas iguais. POSSIVEL SOLUCAO: (Faca uma figura) (=) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem areas iguais. prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto medio de CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro da circunferencia onde se inscreve ABCD e angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB) angulo BPM = alfa (metade do angulo central do arco AB) angulo ADB = alfa (angulo inscrito) angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC) angulo BAC = beta (idem) angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC) angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC) angulo CPN = gama (metade do angulo central do arco DC) Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero. Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos outros angulos sao alfa e gama. Entao: alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC, retangulo em N, tem-se: angulo PCN = alfa e no triangulo PBM, retangulo em M: angulo PBM = gama logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso, PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, logo, os triangulos PNC e BMP sao congruentes e portanto: PN = BM e CN = PM donde BM.PM = PN.CN Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC como queriamos. (=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh circuncritivel. prova. Suponha que ABP e CDP tem areas iguais. Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais e os triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas areas sao iguais, e portanto estes triangulos sao congruentes e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, PB=PC mas como PM eh mediatriz, PB = PA como PN eh mediatriz PC = PD, logo, PA = PB = PC = PD e ABCD eh inscritivel... []'s Eric Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema interessante
Mas se as cedulas fossem de 67 e 89, digamos, como determinar a partir de quem ninguem precisa de troco? Abrac,os! Eric. --- Bruno Bruno [EMAIL PROTECTED] wrote: Vamos partir do 18. É óbvio que qualquer número do tipo 18+4k não precisa de troco. Então vamos provar que 18+(4k+1), 18+(4k+2) e 18+(4k+3) também não precisam. 18+(4k+1)=19+4k. Ora, 19 = 4+4+4+7, logo não precisam de troco. 18+(4k+2)=20+4k. -- 20 = 4+4+4+4+4 18+(4k+3)=21+4k. -- 21 = 7+7+7 logo, qualquer n=18 nao precisa de troco On Fri, 25 Mar 2005 11:00:25 -0300, Thiago [EMAIL PROTECTED] wrote: Tenho dúvida no seguinte problema: Num país só existem cédulos de 4 e de 7 unidades monetárias. Qual é o menor valor inteiro que a partir dele (inclusive) não é necessário ter troco? Exemplo. 14 = 7 + 7 15 = 4 + 4 + 7 16 = 4 + 4 + 4 + 4 17 = ? 18 = 4 + 7 + 7 e assim por diante. notei que a partir do 18 todos nao deixam troco mas como provar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ideais maximais 2
Olah kleinad, revisei o problema com suas observacoes
e acho que consegui uma solucao bem mais sucinta...
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
para algum a em [0,1]
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
Nessa parte vc está escolhendo algum a em [0,1] e
tomando I como o ideal das
funções que se anulam em a, correto?
Sim, e dizendo que M=I=I_a={f em A:f(a)=0} eh ideal
maximal.
A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal, veja
teorema abaixo)
TEOREMA: Se A eh anel comutativo com unidade e I eh
ideal maximal, entao A/I eh corpo.
dem. livro Introducao a Algebra, A.Goncalves.
ou (a) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
ou (b) M C I
Suponha por absurdo M C/ I e tome f em M-I.
Como A/I eh corpo e f nao esta em I, entao f+I (que
eh elemanto de A/I) nao eh o neutro aditivo de A/I,
logo existe g+I tal que (fg+I)=(f+I)(g+I)=(1+I), isto
eh, fg=1_A
0a. fg = 1_A = 1 (funcao constante 1)
1a. fA C M (pois f estah em M e M eh ideal)
2a. fg estah em M (de 1a e porque g estah em A)
3a. 1_A estah em M (de 0a. e 2a.)
4a. (1_A)I C M (de 3a. e porque M eh ideal)
5a. I C M (de 4a.)
6a. M+I=M (de 5a.)
7a. I C M+I C A
8a. M+I=I ou M+I=A
Agora, de (a) M C/ I tem-se M+I # I (# significa
diferente), logo
9a. M+I=A
10a. M = A (de 6a. e 9a.)
11a. M # A (pois M e maximal)
12a. ABSURDO (de 10a. e 11a.)
13a. M C I (de (a) e 12a.)
Ficou provado que M C I = {f em A:f(a)=0}, para algum
a em [0,1].
1. M C I
2. M C I C A (de 1.)
3. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
4. I # A (pois I eh maximal)
(# significa diferente)
5. I = M (de 3. e 4.)
Logo, para todo ideal maximal M, existe algum a em
[0,1] tal que M = {f em A: f(a)=0}
[]'s
Eric.
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[obm-l] Ideais maximais 2
Resolvi esta questao e gostaria de saber se minha
solucao esta certa e se ha uma solucao mais rapida...
Eh uma especie de reciproca da questao que surgiu
recentemente na lista sobre ideais maximais.
QUESTAO:
Seja A=C[0,1] o anel das funcoes reais continuas
definidas em [0,1] com as operacoes
soma +:(f+g)(x)=f(x)+g(x)
produto :(fg)(x)=f(x)g(x)
Prove que se M eh ideal maximal de A entao
existe a em [0,1] tal que
M=I, onde I={f em A:f(a)=0}
SOLUCAO:
1. A=C[0,1]
2. M eh ideal maximal de A
3. I eh ideal maximal de A
(provado recentemente na lista)
4. M+I eh ideal de A
5. I C M+I C A
(C significa esta contido)
6. M C M+I C A
7. ou (a) M+I=I
ou (b) M+I=M
ou (c) M+I=A
(a) M+I=I
1a. M C I C A (de 6. e (a))
2a. I = M ou I = A (pois M eh maximal)
3a. I A (pois I eh maximal)
( significa diferente)
4a. I = M (de 2a. e 3a.)
OK
(b) M+I=M
1b. I C M C A (de 5. e (b))
2b. M = I ou M = A (pois I eh maximal)
3b. M A (pois M eh maximal)
4b. M = I (de 2b. e 3b.)
OK
(c) M+I=A
1c. A/I eh corpo
(pois A eh comutativo com unidade e I eh maximal)
2c. ou (ca) M C I
ou (cb) M C/ I (C/ significa nao esta contido)
(ca) M C I
1ca. M C I C A (de ca.)
2ca. I = M ou I = A
(pois M eh maximal)
3ca. I A (pois I eh maximal)
4ca. I = M (de 2ca. e 3ca.)
OK
(cb) M C/ I
1cb. Tome f em M-I
2cb. Existe g em A-I, fg=gf=1_A (funcao cte. 1)
(pois A/I eh corpo e de 1cb.)
3cb. fA C M (de 1cb e porque M eh ideal)
4cb. fg estah em M (de 3cb.)
5cb. 1_A estah em M (de 4cb. e 2cb.)
6cb. (1_A)I C M (de 5cb. e porque M eh ideal)
7cb. I C M (de 6cb.)
8cb. M+I=M (de 7cb.)
9cb. M+I=A (de (c))
10cb. M = A (de 8cb. e 9 cb.)
11cb. M A (pois M e maximal)
12cb. ABSURDO (de 10cb. e 11cb.)
13cb. M C I (de (cb) e 12cb.)
14cb. M = I (de 13cb., ca. e 4ca.)
Uff...
[]'s
Eric.
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RE: [obm-l] Tres Probleminhas
From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Pra quem nao tah fazendo nada neste fim de semana... 1. Expressar o numero 19 usando uma unica vez cada um dos numeros 1, 2 e 3 e mais as operacoes matematicas usuais (+, -, *, /, raizes, fatoriais, etc.). Nao vale usar ponto decimal nem a funcao maior inteiro. (essa eh pro Qwert!) note que: 1/1=log(raiz(exp(2))) 1/2=log(raiz(raiz(exp(2 1/4=log(raiz(raiz(raiz(exp(2) etc. onde no membro direito usamos apenas o 2. Entao a=1/16=log(raiz(raiz...(raiz(exp(2)...) (5 raizes) e portanto 1/a=16 e 19=3+1/a onde a expressao de a usa apenas o 2. Eric. Yahoo! Mail - Com 250MB de espaço. Abra sua conta! http://mail.yahoo.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra, ideal, anel
A questao eh a seguinte:
Seja A anel e I, J ideais de (A,+,*).
Seja ainda
IJ = {soma(x_i*y_i):x_i em I, y_i em J)}
onde a soma acima eh para i de 1 ate n
prove que IJ eh ideal de A.
Minha dificuldade estah em mostrar que
se x e y estao em IJ entao x-y esta em IJ.
Sei que x-y esta em I inter J. Bastaria provar
que I inter J esta contido em IJ, mas IJ eh
que esta contido em I inter J...
Abrac,os!
Eric.
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[obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos Números - Ensino Médio
Estou precisando encontrar uma bibliografia adequada sobre Teoria dos Números, porém com uma linguagem acessível para alunos do Ensino Médio. Teoria Elementar dos Numeros Autor: Edgard de Alencar Filho Nobel. Nao eh o melhor livro do mundo, mas com certeza eh acessivel a estudantes do ensino medio. Acho que este eh o mais indicado. []'s = Eric Campos www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos - o livro Grupos de estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos Números - Ensino Médio
Estou precisando encontrar uma bibliografia adequada sobre Teoria dos Números, porém com uma linguagem acessível para alunos do Ensino Médio. Teoria Elementar dos Numeros Autor: Edgard de Alencar Filho Nobel. Nao eh o melhor livro do mundo, mas com certeza eh acessivel a estudantes do ensino medio. Acho que este eh o mais indicado. []'s = Eric Campos www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos - o livro Grupos de estudo Projeto Matematica para Todos [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] espaços vetoriais
Sendo W e U subespaços do R^4 de diminsão 3, que dimensão pode ter W+U se(1,2,1,0) , (-1,1,0,1) e (1,5,2,1) e um sistema de geradores de W(Intersecção) U? dim(W)+dim(U)-dim(W inter. U) = = dim(U+W) -- [1] seja x = (1,2,1,0) y = (-1,1,0,1) z = (1,5,2,1) pode ser verificado por escalonamento que S(x,y,z) = S(x,y+x,z-x) = S(x,y+x), pois y+x=z-x. Alem disso, x e y+x sao linearmente independentes. Logo: dim(U inter. W) = = dim(S(x,y,z)) = = dim(S(x,y+x)) = 2. Entao, de [1] tem-se: 3 + 3 - 2 = dim (U+W) dim(U+W) = 4 U+W = R^4. Acho que eh isso... Abrac,os! = Eric Campos www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos - o livro Grupos de estudo Projeto Matematica para Todos = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Provavelmente... ou não?
Com os algarismos A, B, C, D, E e F (em ordem crescente), formar dois números cujo o produto seja o máximo possível. Suponha que todos os algarismos escolhidos tem que ser diferentes. Entao os numeros de produto maximo sao FC e ED, pois o primeiro algarismo tem que ser F em um e E em outro. Alem disso o segundo algarismo tem que ser C em um e D no outro. Bom, entao porque nao FD e EC? ... Eh que FD + EC = FC + ED e os numeros FC e ED estao mais proximos um do outro que os numeros FD e EC (quando a soma de dois numeros positivos eh constante, seu produto aumenta conforme sua diferenca diminui) Abrac,os! = Eric Campos www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos - o livro Grupos de estudo Projeto Matematica para Todos = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] limites iterados
Ola Gostaria de saber como provar com epsilons e deltas o seguinte resultado sobre limites iterados: Se lim f(x,y) = L quando (x,y) - (a,b) e se existem os limites g(y) = lim f(x,y) quando x - a e h(x) = lim f(x,y) quando y - b entao lim ( lim f(x,y)) = L y-b x-a Este eh o exercicio 2 da secao 8.5 do livro de Calculo de Tom Apostol, volume 2. Deve ser facil, mas tentei fazer de varios modos e cada prova que conseguia tinha algum erro que a invalidava. Ninguem da turma fez e a professora falou que realmente nao tinhamos entendido limites. - Uma ideia que tive foi: Como existe o limite bidimensional entao, por definicao, para todo eps0, existe d0 tal que [1] - 0||(x,y)-(a,b)||d implica em [2] - |f(x,y)-L|eps. Suponha que vale [1] entao 'Claramente' lim f(x,y) = g(y) esta no intervalo x-a [L - eps, L + eps] sempre que 0|y-b|d Nao sei provar isto, principalmente a parte do 'sempre que', alguma dica? Fazendo uma figura fica mais ou menos evidente, ateh porque [2] significa que f(x,y) esta no intervalo ]L-eps,L+eps[ sempre que vale [1], daih, g(y) deve estar no intervalo [L-eps,L+eps] Mas dizer que g(y) esta em [L-eps, L+eps] sempre que 0|y-b|d eh afirmar que 0|y-b|d acarreta |g(y)-L|eps, que significa que lim g(y) = L y-b isto eh lim ( lim f(x,y)) = L y-b x-a que eh o que quero mostrar. --- Agradeco qualquer dica, inclusive de onde posso encontrar essa demonstracao na WWW. [ ]'s Eric = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] enciclopedia - off-topic
Hoje botei um material sobre Matematica na rede. Ainda eh pouco para uma enciclopedia (tem cerca de 200 verbetes), mas jah eh alguma coisa. O endereco eh: www.mathfire.pop.com.br depois voce clica no respectivo link. Gostaria de comentarios para: [EMAIL PROTECTED] [ ]'s Eric. vejam o website matematico:www.mathfire.pop.com.brwww.camposguedes.hpg.ig.com.brEnciclopedia de MatematicaFormulas que Geram PrimosProjeto Matematica para TodosGrupos de Estudo, etc.
Re: [obm-l] OPSSS!!!!
Alguem conhece uma tecnica para fatorar expressoes como esta ai abaixo? Para uma variavel so eh facil, basta encontrar as raizes... COLEGIO NAVAL ( 1966) decompor em fatores do 1° grau 4*(A^2)*(B^2)-((A^2) + (B^2) - (C^2))= vejam o website matematico: www.camposguedes.hpg.ig.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas que Geram Primos Projeto Matematica para Todos Grupos de Estudo, etc. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] notacoes
Alguem sabe que notacao eh usada costumeiramente para denotar o expoente inteiro da maior potencia de n que divide N? Existem notacoes para objetos similares? vejam o website matematico: www.camposguedes.hpg.ig.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas que Geram Primos Projeto Matematica para Todos Grupos de Estudo, etc. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] expressao para primos
Seja [x] a parte inteira de x e x^y significando x elevado a y. A expressao b^(b^(b^(b^...^(b^b))...) com m bes sera denotada por b*m. Prove que existe um real b entre 5 e 5+3/4 tal que [b*n] eh um numero primo para todo inteiro positivo n. Resolvi este problema em 2002 e gostaria de saber se ha outras solucoes mais rapidas e elegantes. [ ]'s Eric. vejam o website matematico: www.camposguedes.hpg.ig.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas que Geram Primos Projeto Matematica para Todos Grupos de Estudo, etc. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula para ordenar números primos
Ola De uma olhada tambem em meu site: http://www.camposguedes.hpg.ig.com.br/formulas.htm ou http://www.camposguedes.hpg.ig.com.br/index.htm e clique no link correspondente. [ ]'s Dada a fórmula X. Através dela, podemos ordenar todos os números primos numa sequencia lógica e completamente controlada. Podemos prever e dizer com exatidão, onde se encontram os primos e quantos números naturais pulamos para encontrá-los. Essa dada fórmula tem alguma importância ??? Abraço a todos da lista. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda²
Queria ajuda da turma em algumas questões:2) O polinômio X a quarta + X² - 2x + 6 adimite 1+ i como raiz, onde i² = -1. O número de raízes reais desse polinômio é:a)0 b) 1 c)2 d)3 e)4 [Solucao] (a notacao a^b significa "a elevado a b") A resposta eh a) 0. Veja: como o grau do polinomio eh 4, ele tem no maximo 4 raizes.Ha um teorema que garante que se um polinomio tem coeficientes reais e a+bi eh raiz, entao a-bi tambem eh raiz. Como 1+i eh raiz, entao1-i tambem eh raiz. Comoo polinomio em questao se divide por (X-(1+i)) (porque 1+i eh raiz) e por (X-(1-i)) (porque 1-i tambem eh raiz) entao o polinomio se divide exatamente por (X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X +2. Realizando a divisao obtemos o quociente X^2 + 2X + 3, logo X^4 + X^2 - 2X + 6 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 3) comonem X^2 - 2X + 2nem X^2 + 2X + 3 tem raizes reais, entao X^4 + X^2 -2X + 6 tambem nao tem raizes reais. Resposta: a) 0 vejam o website matematico:www.camposguedes.hpg.ig.com.brEnciclopedia de MatematicaFormulas que Geram PrimosProjeto Matematica para TodosGrupos de Estudo, etc.
[obm-l] conjectura
Gostaria de saber se alguem da lista tem uma ideia para provar a seguinte Conjectura: nao existe x real tal que [x^n] seja primo para todo inteiro positivo n. Alguem sabe dizer se isto ja foi demonstrado? ( [x^n] eh a parte inteira de x elevado a n) [ ]'s Eric. website: www.camposguedes.hpg.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problemas em Aberto
2. Três lados consecutivos de um quadrilátero convexo são a, b e c. Determine o quadrilátero de área máxima . Algumas consideracoes intuitivas (*) me levaram a crer tal quadrilatero eh inscritivel e seu quarto lado eh o diametro do circulo circunscrito a ele. Verifiquei essa conjectura para diversos valores de a,b,c num programa que fiz em MAPLE (**) e o resultado foi sempre confirmado [ ]'s Eric = CONSIDERACOES INTUITIVAS (*) Seja ABCD uma linha poligonal com a = AB, b = BC, c = CD; aumente o angulo B (gerando um novo ponto A' com a = A'B) e desenhe linhas tracejadas ligando AD e A'D; verifique as areas ganhas e perdidas; Note que havera ganho de area para o quadrilatero ABCD quando a area do triangulo DAA' for maior que a area do triangulo BAA' e como estes triangulos tem mesma base AA', o ganho de area so ocorrera quando a altura de DAA' for maior que a de BAA'. Seja agora um aumento muito pequeno do angulo B (aumento infinitesimal) Nao havera nem ganho nem perda de area (infinitesimal) quando as alturas de BAA' e DAA' sao iguais (ponto de extremo relativo), isto eh, quando o angulo ABD = Pi/2. Do mesmo modo prova-se que o angulo ACD = Pi/2. = (**) Programa Maple (10Kb, em caso de interesse mando por e-mail) FIM. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas em Aberto
2. Tres lados consecutivos de um quadrilatero convexo sao a, b e c. Determine o quadrilatero de area maxima . Fiz um programa em Maple que dados os lados a,b,c (em ordem) do quadrilatero, encontra os angulos x e y entre os lados a,b e b,c respectivamente que tornam a area do quadrilatero maxima. Alem disso o programa encontra essa area maxima e faz dois tipos diferentes de testes para verificar o resultado. Um deles comparando a area maxima encontrada com 1000 areas calculadas aleatoriamente para diferentes valores de x e y entre Pi/2 e Pi. Alem desse teste tambem uso o teste da derivada segunda para funcoes de duas variaveis, mas por algum motivo que nao compreendo totalmente este teste nao funciona sempre (por exemplo, nao funciona para (a,b,c)=(1,1,1), onde x=y=2Pi/3, nem para (a,b,c)=(1,1,6)) (pode ser algum erro de programacao minha). Segue abaixo alguns resultados encontrados pelo programina (se alguem achar um erro me comunique para que eu faca as correcoes no programa). Fora o primeiro, os outros valores estao aproximados (os angulos x, y estao em radianos). (a,b,c)(x,y)Area maxima encontrada (1,1,1) (2Pi/3,2Pi/3) 3*(3^(1/2))/4 (1,2,1) (1.94553; 1.94553)2.20183 (1,2,3) (2.38820; 1.81638)4.90482 (2,3,1) (1.81638; 2.07859)4.90482 (1,1,6) (2.82363; 1.72977)6.08065 para (a,b,c) = (1,1,1) ou (1,1,6) o teste fornece valores que nao passam no teste da derivada segunda (usa uma matriz hessiana 2x2 (acho que o nome eh esse)). Minha duvida eh justamente essa: sera que as primeira e ultima areas encontradas sao mesmo maximas? Elas passam no teste de comparacao com 1000 areas calculadas aleatoriamente, mas nao passam no teste da derivada segunda... OBS: teste da derivada segunda para funcoes de duas variaveis: (f_xx)(f_yy) - (f_xy)^2 0 e f_xx 0 == maximo local de f [ ]'s Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas em aberto
2. Tres lados consecutivos de um quadrilatero convexo sao a, b e c. Determine o quadrilatero de area maxima. Suponha que exista tal quadrilatero. Considere a linha poligonal ABCD (com a = AB, b = BC, c = CD) inscrita num circulo de modo que a area do quadrilatero ABCD seja maxima. Suponha por absurdo que ABD Pi/2 (angulo ABD Pi/2) Seja A' tal que BA' = BA com A'BD ABD |ABD - A'BD| infinitesimal. Neste caso podemos dizer que a reta AA' eh perpendicular a AB. Seja du 0 o infinitesimo tal que du = m(AA'). Quando trocamos A por A' a area ganha A_g eh a area do triangulo DAA' e a area perdida A_p eh a area do triangulo BAA'. Assim, dS = A_g - A_p. Mas A_p = (a/2)du ja que AA' eh perpendicular a AB (infinitesimalmente falando) e A_g = (h/2)du, onde h = m(DP) sendo P a projecao de D sobre AA'. Como ABDP eh um trapezio com os angulos BAP = APD = Pi/2 e como ABD Pi/2 entao PD AB, isto eh, h a. Entao: dS = A_g - A_p = (h/2)du - (a/2)du = = (du/2)(h-a) 0, isto eh dS 0 (houve ganho de area), logo ha quadrilateros de area maior (ABSURDO). Logo ABD = Pi/2. De modo analogo prova-se que ABD = Pi/2. Portanto ABD = Pi/2. Por simetria ACD = Pi/2. Logo o quadrilatero procurado eh inscritivel e seu quarto lado eh o diamentro do circulo circunscrito. [ ]'s Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] pequenos desafios
Seja [c] o maior inteiro menor ou igual
a c e seja a^b a elevado a b
Prove que existem infinitos reais x
tais que o conjunto
C(n) = {[x^j] | j = 1, 2, 3, ..., n}
contem apenas numeros primos
(i) para n = 8 (mais facil)
(ii) para n = 9 (mais dificil)
[ ]'s
Eric.
=
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[obm-l] Re: CONSELHOS PEDAGÓGICOS [off-topic]
o ensino lá é precário, os alunos estão vendo trigonometria sem saber dividisão!!! Não sabem tabuada Nada, nada, nada. Tenho um material estilo metodo Kumon que talvez pudesse ser usado, caso os alunos (ou a escola) estivessem dispostos a pagarem as xerox. Estou comecando a usar este sistema com um sobrinho meu. Posso te mandar alguma coisa nos formatos .xls ou .pdf (ou .doc se tiver Word) te mandar alguma [ ]'s Eric. Fiquei extremamente triste com a situação e quero tentar mudá-la. Não sei como devo proceder, pois eles não têm base alguma... Por onde devo começar? Tabuada, soma??? (...) Estou perdido, completamente perdido... Obrigado, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Sugestao para solucao
1) Seja A um anel, tal que x^2 = x para todo x de A. Prove que A eh comutativo. A minha tentativa foi a seguinte: Tomei x e y de A. Assim, (x + y)^2 = x + y. Desenvolvendo, temos: x.x + x.y + y.x + y.y = x + y. x^2 + x.y + y.x + y^2 = x + y. Apos a simplificacoes possiveis, cheguei a xy = -(yx) voce fez tudo certo, se nao me engano agora eleve ao quadrado a ultima igualdade e use que (-z)^2 = z^2 e que z^2 = z para todo z do anel. Nao eh dificil. :) uma critica construtiva: voce acreditou que sua solucao estava errada ao concluir que xy = -yx, quando na verdade isto eh verdade e so faltava um pouquinho para chegar na solucao. Um abrac,o! == Eric Campos Bastos Guedes e-mail: [EMAIL PROTECTED] ICQ nº 166329167 www.camposguedes.hpg.ig.com.br Confira o livro: Formulas que geram numeros primos no site www.primeformulas.hpg.ig.com.br == --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.497 / Virus Database: 296 - Release Date: 04/07/03 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Régua e compasso
-Mensagem Original- Como inscrever um quadrado em um losango, utilizando apenas régua e compasso. Davidson Estanislau -- Resposta -- 1. Trace as diagonais do losango 2. Trace as bissetrizes dos angulos que as diagonais do losango fazem entre si 3. Marque os pontos de intersecao dessas bissetrizes com os lados do losango 4. Esses pontos sao os vertices do quadrado procurado. Eric. --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.491 / Virus Database: 290 - Release Date: 18/06/03 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] treinamento para olimpiadas
Saudacoes Quero saber como devo proceder para participar do treinamento para as olimpiadas universitarias de Matematica. Gostaria tambem de saber se ha algum grupo de estudantes se preparando em conjunto para as proximas olimpiadas. Meu intuito eh preparar-me do melhor modo possivel para as proximas olimpiadas universitarias. Agradeco por qualquer informacao. - Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] Confira o livro: Formulas que geram numeros primos no site www.primeformulas.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l]
Sabendo que para todo x pertencente aos reais tem-se P(x) = P(-x-1). Determine um polinômio f(x) tal que P(f(x)) = P(f(-x)). -- Como P(x) = P(-x-1) entao P(f(x)) = P(-f(x)-1) donde uma solucao eh encontrada fazendo f(x) = -f(x) - 1 e f(x) = -1/2 para todo x. Por outro lado, como P(x) = P(-x-1) eh facil ver que P(a) = P(b) sempre que a+b = -1. Portanto, para que P(f(x)) = P(f(-x)) eh suficiente que f(x) + f(-x) = -1 para todo x. Os polinomios que satisfazem essa condicao sao os que tem termo independente igual a -1/2 e cujos coeficientes de x^(2n) sao todos nulos. Um exemplo desse tipo de polinomio eh f(x) = 2x^3 - 3x -1/2 Note que f(-x) = -2x^3 + 3x -1/2 e que f(x) + f(-x) = -1 Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] dificuldade
Sabendo que para todo x pertencente aos reais tem-se P(x) = P(-x-1). Determineum polinômio f(x) tal que P(f(x)) = P(f(-x)). -- Como P(x) = P(-x-1) entao P(f(x)) = P(-f(x)-1)donde uma solucao eh encontrada fazendo f(x) = -f(x) - 1 e f(x) = -1/2 para todo x. Por outro lado, como P(x) = P(-x-1) eh facil ver que P(a) = P(b) sempre que a+b = -1. Portanto, para que P(f(x)) = P(f(-x)) eh suficiente que f(x) + f(-x) = -1 para todo x. Os polinomios que satisfazem essa condicao sao os que tem termo independente igual a -1/2 e cujos coeficientes de x^(2n) sao todos nulos. Um exemplo desse tipo de polinomio eh f(x) = 2x^3 - 3x -1/2 Note que f(-x) = -2x^3 + 3x -1/2 e que f(x) + f(-x) = -1 Eric.
[obm-l] olimpiada virtual
Ola companheiros da lista Gostaria de fazer uma sugestao. Porque nos nao instituimos uma olimpiada virtual de Matematica, por e-mail. Poderia ser mais ou menos assim: 0-Os parcicipantes se cadastram no inicio do torneio (nome, e-mail, endereco...) 1-Cada participante tem o direito de propor aos demais no maximo 1 questao de Matematica por dia; 2-Cada questao vale 3 pontos e tem 10 dias para ser respondida por quem nao a propos; 3-A primeira solucao correta para um problema da a quem respondeu os 3 pontos da questao; 4-Se faltar um detalhe na questao, quem respondeu primeiro perde 1 ponto (dos 3 que havia ganho) e quem completar a solucao ganha 1 ponto; 5-Se a questao nao for respondida em 10 dias, quem a propos ganha os 3 pontos caso de uma solucao correta para a questao - se precisar de um ajuste quem propos perde um ponto (dos 3 que havia ganho) e quem corrigir ganha 1 ponto; 6-A duracao do torneio pode ser de 1 mes ou 2; So precisamos de 3 coisas: 1-Discutir se as regras vao ser essas mesmas; 2-Professores capazes para julgar as questoes e marcar as pontuacoes; 3-Por a mao na massa - Eric Campos Bastos Guedes [EMAIL PROTECTED] Brasil - RJ - Niteroi Confira o livro: Formulas que geram numeros primos no site www.primeformulas.hpg.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] problema de analise real
Saudacoes aos companheiros da lista
Estou ha muito tempo tentando resolver o seguinte problema:
Problema - Seja f(x) uma funcao real e continua. Se nao existe um intervalo
onde f(x) e uma função afim, demonstre que para quaisquer numeros a e b a
equacao f(x) = ax + b tem nao mais que uma quantidade enumeravel de
solucoes.
Parece que nao estou chegando onde quero, talvez por nao estar sabendo usar
de modo conveniente a hipotese (0) do esboco de solucao abaixo, que supoe
que S e' nao enumeravel. De qualquer modo descobri algumas relacoes
envolvendo o conjunto S. No esboco abaixo, uso 4 lemas que sao exercicios
dos livros de analise real do Elon, com excecao do LEMA 2, que nao foi
dificil provar. Tambem uso varios teoremas dos livros de Analise Real de
Elon. O esboco de solucao esta' abaixo mas esta' incompleto e acredito mesmo
que haja um modo bem mais rapido de resolver esse problema. Por favor, quem
tiver alguma familiaridade com Analise me de uma dica de como posso resolver
o problema. O esboco, ate' onde foi feito, esta' bem estruturado, mas
talvez tenha la' uma ou outra pequena falha.
Um grande abrac,o...
ESBOCO DE SOLUCAO
(0) SUPONHA POR ABSURDO: S e' nao enumeravel
(1) HIPOTESE: Seja f uma funcao real e continua
(2) Sejam a e b certos reais pre'-fixados
(3) Seja g(x) = f(x) - ax - b
(4) Seja S o conjunto de solucoes de g(x) = 0
(5) HIPOTESE: Nao existe um intervalo contido em S
(6) NOTACAO: Seja X contido em R, representemos
a. O interior de X por int(X)
b. A fronteira de X por fr(X)
c. O fecho de X por fecho(X)
d. R o conjunto dos numeros reais
e. { } o conjunto vazio
(7) TEOREMA: R = int(S) uniao fr(S) uniao int(R - S)
(8) int(S) = { } (conforme (5))
(9) SUPONHA POR ABSURDO: S nao e' fechado
(10) Existe p em fecho(S) - S
(11) Existe uma sucessao (x_n) de pontos de S convergindo para p (conforme
(10))
(12) TEOREMA: Seja h uma funcao real e continua e seja (y_n) uma sucessao
que converge para t. Entao a sucessao (h(y_n)) converge para h(t)
(13) A sucessao (g(x_n)) converge para g(p) (conforme (11) e (12))
(14) g(p) e' diferente de 0 (pois p nao pertence a S conforme (10))
(15) Para todo n, g(x_n) = 0 (pois x_n esta' em S, conforme (11))
(16) (g(x_n)) converge para 0 (conforme (15))
(17) g(p) = 0 (conforme (13) e (16))
(18) ABSURDO (conforme (14) e (17))
(19) S e' fechado (conforme (9) e (18))
(20) TEOREMA: Se X esta' contido em R entao X e' fechado se e so se seu
complementar for aberto
(21) R - S e' aberto (conforme (19) e (20))
(22) int(R - S) = R - S (conforme (21))
(23) R = fr(S) uniao (R - S) (conforme (7), (8) e (22))
(24) S esta' contido em fr(S) (conforme (23))
(25) SUPONHA POR ABSURDO: S e' diferente de fr(S)
(26) Existe p em fr(S) - S (conforme (24) e (25))
(27) Existe uma sucessao (x_n) de pontos de S convergindo para p
(28) Para todo n, g(x_n) = 0 (pois x_n pertence a S conforme (27))
(29) A sucessao (g(x_n)) converge para 0 (conforme (28))
(30) A sucessao (g(x_n)) converge para g(p) (conforme (27) e (12))
(31) g(p) e' diferente de 0 (pois p nao pertece a S, conforme (26))
(32) A sucessao ((g(x_n)) converge para um valor diferente de 0 (conforme
(30) e (31))
(33) ABSURDO (conforme (29) e (32))
(34) S = fr(S) (conforme (25) e (33))
(35) LEMA 1: Se X esta' contido em R, entao fecho(X) = X uniao fr(X)
(36) LEMA 2: Todo ponto de R - S e' ponto de acumulacao
(37) LEMA 3: Se X esta' contido em R entao R - fecho(X) = int(R - X)
(38) LEMA 4: Se X esta' contido em R entao X' (o derivado de X) e' fechado
(39) R - S esta' contido em (R - S)' (conforme (36))
(40) SUPONHA POR ABSURDO: R - S = (R - S)'
(41) R - S e' fechado (conforme (38) e (40))
(42) S e' aberto (conforme (20))
(43) S e' aberto e fechado (conforme (19) e (42))
(44) TEOREMA: Os unicos subconjuntos de R simultaneamente abertos e
fechados sao R e { }
(45) Ou S = R ou S = { }
(46) S e diferente de R (conforme (5))
(47) S e diferente de { } (conforme (0))
(48) S e diferente de { } e de R
(49) ABSURDO (conforme (45) e (48))
(50) Existe p em (R - S)' - (R - S) (conforme (39), (40) e (49))
(51) TEOREMA: Se X e' subconjunto de R com interior vazio, entao R - X e'
denso em R
(52) S tem interior vazio (conforme (5))
(53) R - S e' denso em R (conforme (51) e (52))
(54) fecho(R - S) = R (conforme (53))
(55) TEOREMA: Se X e' subconjunto de R entao fecho(X) = X uniao X'
(derivado de X)
(56) (R - S) uniao (R - S)' = fecho(R - S) = R (conforme (54) e (55))
(57) S esta' contido em (R - S)'
(58) (R - S)' = R (conforme (39) e (57))
(59) Todo ponto e' ponto de acumulaçao de R - S (conforme (58))
(60) ()
A partir daqui, basta chegar numa contradicao
-
Eric Campos Bastos Guedes
[EMAIL PROTECTED]
Brasil - RJ - Niteroi
Confira o livro:
Formulas que geram numeros primos no site
www.primeformulas.hpg.com.br
=
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O
Re: [obm-l] Eq. irracional
to com umas dúvidas nessas dae. Se puderem me ajudar. (1+(x)^1/2)^1/3 + (1-(x)^1/2)^1/3 = (5)^1/3 -- Possivel soluc,ao: faca a = 1 + x^(1/2) b = 1 - x^(1/2) assim a+b = 2 ab = 1 - |x| tem-se a^(1/3) + b^(1/3) = 5^(1/3) elevando ao cubo... a + b + 3((ab)^(1/3))(a^(1/3)+b^(1/3)) = 5 que equivale a... 2 + 3(((1 - |x|)^(1/3))(5^(1/3))) = 5 desenvolvendo... 3(((1 - |x|)^(1/3))(5^(1/3))) = 3 (((1 - |x|)^(1/3))(5^(1/3))) = 1 elevando ao cubo... ((1 - |x|)*5) = 1 1 - |x| = 1/5 |x| = 4/5 x = 4/5 ou x = -4/5 x = -4/5 não serve, pois x 0 logo, ou x = 4/5 ou nao ha solucao. Fiz no Maple e deu x = 4/5. Obrigado !! Abraço. Rick. Valeu camarada, espero ter ajudado em alguma coisa... So nao sei ainda como mostrar no brac,o que 4/5 e' realmente solucao... Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Maple, grupo de noticias e geometria espacial
Ola pessoal da lista Vou fazer dois pedidos e propor um problema. Gostaria de saber se alguem da lista conhece outra lista onde se discuta o sistema de computacao algebrica Maple. Tambem gostaria de ter acesso aos Newsgroups de Matematica (grupos de noticias), mas nao sei onde encontra-los. Ate' achei um tal de sci.math, mas nao consegui ter acesso as mensagens. Agora o problema: E' possivel dividir uma esfera por 4 planos em 15 regioes de igual volume? Prove. Acho que resolvi esse problema, mas nao passei a solucao a limpo ainda, esta' uma bagunca o manuscrito. Um grande abrac,o para todos. Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Divisão de polinômios
Ae pessoal, to precisando de uma ajudinha nessa questão: Provar que o polinômio P(x) = x^999 + x^888 + x^777 x^111 + 1 é divisível por x^9 + x^8 + x^7 ... x + 1 Basta provar que todas as (distintas) raizes de Q(x) = x^9 + x^8 + ... + x + 1 sao tambem raizes de P(x). Veja que Q(x)(x-1) = x^10 - 1; logo as raizes de Q(x) sao as raizes decimas da unidade, com excessao da propria unidade. Seja x uma raiz de Q(x); mostrarei que ela eh tambem raiz de P(x); note que x^999 = ((x^10)^99)*x^9 = (1^99)*x^9 = x^9, etc. entao 0=Q(x)=P(x) e toda raiz de Q(x) eh raiz de P(x) Abrac,os, Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Trigonometria
Se a +b = 60º, entao: sen a + sen b / cos a + cos b = ? a+b = Pi/3 rd sen a = sen ((a+b)/2 + (a-b)/2) = sen x cos y + sen y cos x onde x = (a+b)/2 e y = (a-b)/2 sen b = ((a+b)/2 - (a-b)/2) = sen x cos y - sen y cos x logo sen a + sen b = 2*sen x cos y cos a = cos((a+b)/2 + (a-b)/2) = cos x cos y - sen x sen y cos b = cos((a+b)/2 - (a-b)/2) = cos x cos y + sen x sen y logo cos a + cos b = 2*cos x cos y (i) suponha y /= Pi/2 + k*Pi entao cos y /= 0 e tem-se (sen a + sen b)/(cos a + cos b) = = (2*sen x cos y)/(2*cos x cos y) = = tan x = tan((a+b)/2) = tan ((Pi/3)/2) = = tan (Pi/6) = raiz(3)/3 (ii) se y = Pi/2 + k*Pi então (a-b)/2 = Pi/2 + k*Pi a-b = Pi + 2k*Pi a = b + Pi + 2k*Pi e portanto cos a + cos b = = cos (b + Pi) + cos b = = -cos b + cos b = 0 e não se pode falar em (sen a + sen b)/(cos a + cos b) Um abrac,o! Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] 3 circulos!
Os raios dos circulos inscritos num triangulo retangulo ABC e nos dois triangulos ABH e ACH determinados pela altura relativa a hipotenusa BC sao respectivamente r ,r1 e r2. Demonstrar que: r² = r1² + r2² Sejam A, A1, A2 as areas dos circulos inscritos em ABC, ABH, ACH respectivamente. Sejam S, S1, S2 as areas dos triangulos ABC, ABH, ACH respectivamente. Por semelhanca, tem-se A/S = A1/S1 = A2/S2 Como A1/S1 = A2/S2 = A/S entao (A1+A2)/(S1+S2) = A/S, mas S1 + S2 = S, donde (A1+A2)/S = A/S logo A1 + A2 = A ou 2*Pi*r1^2 + 2*Pi*r2^2 = 2*Pi*r^2 cancelando 2*Pi, tem-se r1^2 + r2^2 = r^2 Eric. Valeu! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] abc + p = 0
Oi Pessoal! Sejam a, b, c, p quatro numeros reais dados tais que a, b e c não sejam simultaneamente iguais e: a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a = p Qual o valor de (abc + p)? a + 1/b = b + 1/c acarreta (a - b) = 1/c - 1/b = (b - c)/bc logo [1](a - b) = (b - c)/bc analogamente [2](b - c) = (c - a)/ac [3](c - a) = (a - b)/ab note que se a = b ou b = c ou c = a então a = b = c. Logo a, b, c sao dois a dois distintos. Multiplicando [1], [2] e [3] tem-se (a-b)(b-c)(c-a) = (b-c)(c-a)(a-b)/(abc^2) donde, cancelando 1 = 1/(abc^2) e abc = 1 ou abc = -1 (i)Suponha que abc = -1. Entao p = a + 1/b = a - (abc)/b = a - ac, entao p = a - ac e analogamente p = b - ba p = c - cb logo p + abc = (a-ac) + abc = a(1-c+bc) = a(1 - (c-bc)) = = a(1 - p), isto eh p+abc = a(1-p), entao p + abc = a(1-p) = b(1-p) = c(1-p) como a,b,c sao distintos, p = 1 logo p + abc = 1 - 1 = 0 (ii)Suponha que abc=1 p = a + 1/b = a + abc/b = a + ac, logo p = a + ac e analogamente p = b + ab p = c + bc entao p + abc = (a+ac) + abc = a(1+c+bc) = a(1 + p), isto eh p+abc = a(1 + p), analogamente p+abc = b(1 + p) p+abc = c(1 + p) logo a(1+p)=b(1+p)=c(1+p) como a,b,c sao distintos, entao p = -1 (e abc =1) donde p + abc = -1 + 1 = 0 Abrac,os, Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Iberoamericana Universitária
On Thu, Jun 13, 2002 at 02:31:46PM -0300, Vinicius José Fortuna wrote: Pessoal, Como é que se faz para participar da Olimpíada Iberoamericana de Matemática? Pelo subject, deduzo que você está falando da Iberoamericana *Universitária*. Esta ocorre mais para o fim do ano, depois da 1a fase da OBM nível univ e só é recomendável para quem tem uma certa experiência com olimpíadas de matemática, ou seja, para quem fez pelo menos a 1a fase da OBM e teve um bom resultado. []s, N. Tudo bem, mas como proceder para participar? Abrac,os, Eric. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Fatoração
Alguem sabe algumas formas de fatoração da expressão abaixo a^3 + b^3 + c^3 - 3abc a^3 + b^3 + c^3 -3abc = = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-ac-bc) Eric = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: RES: Equação funcional
A solução do Nicolau satisfaz a sua pergunta?
Satisfaz sim. Ele deu um exemplo de funcao f:R-R tal que f(f(x))=x+1, mas
f(x) nao eh a funcao que leva x em x + 1/2. Gostaria de saber como ele
chegou nesse exemplo, como ele raciocinou ou se ja era resultado conhecido.
A questao era saber se existia alguma outra funcao diferente de f(x)=x+c que
satisfizesse f(f(x))=x+2c (para, digamos, c = 1/2 e todo x em R)
Baseando-me na ideia de Nicolau, obtive outro exemplo:
g(x) = x + 1/4 + 2{x}, se {x} 1/4
g(x) = x + 11/12 - 2{x}/3, se {x} = 1/4
onde {x} = x - [x] eh a parte fracionaria de x, e [x] eh o maior inteiro que
nao supera x.
Pode-se mostrar que g(g(x))=x+1, porem g nao leva x sempre em x+1/2. As
contas nao sao tao dificeis, mas sao meio chatas. Em todo caso estao
abaixo.
g(g(x))=x+1. De fato:
(i) se {x} 1/4 entao
g(x) = x + 1/4 + 2{x} =
= [x] + {x} + 1/4 + 2{x} =
= [x] + 1/4 + 3{x}
como 0 1/4 + 3{x} 1 entao esta eh a parte fracionaria de g(x).
Tem-se que {g(x)} = 1/4 + 3{x} = 1/4, donde
g(g(x)) =
= g(x) + 11/12 - 2{g(x)}/3 =
= (x + 1/4 + 2{x}) + 11/12 - 2(1/4 + 3{x})/3 =
= x + (1/4 + 11/12 - (2/4)/3) + 2{x} - 2{x} =
= x + 1
(ii) se {x} = 1/4
g(x) = x + 11/12 - 2{x}/3 =
= [x] + {x} + 11/12 - 2{x}/3 =
= [x+1] + {x}/3 - 1/12
como 0 = {x}/3 - 1/12 1 entao esta eh a parte fracionaria de g(x).
Tem-se que {g(x)} = {x}/3 - 1/12 1/4, donde
g(g(x)) =
= g(x) + 1/4 + 2{g(x)} =
= (x + 11/12 - 2{x}/3) + 1/4 + 2({x}/3 - 1/12) =
= x + (11/12 + 1/4 - 2/12) - 2{x}/3 + 2{x}/3 =
= x + 1
Portanto, de (i) e (ii) tem-se que g(g(x)) = x + 1, porem g nao eh a funcao
que leva x em x + 1/2.
Eric.
-
Existem outras. Tome c = 1/2 e
f(x) = x + 1/3 + {x}, 0 = {x} 1/3
f(x) = x + 5/6 - {x}/2, 1/3 = {x} 1
onde {x} é a parte fracionária de x, i.e.,
0 = {x} 1, x - {x} inteiro.
[]s, N.
RES: biografia (fwd)
A seguinte biografia de Bhaskara foi retirada do site http://www.somatematica.com.br Abracos, Eric. Biografia: Bhaskara viveu de 1114 a 1185 aproximadamente, na India. Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia. Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época. Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais. Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são: Equações INDETERMINADAS ou diofantinas: chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de: y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1 Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador). Mas, e a fórmula de Bhaskara ? EXEMPLO: para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra: multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso. É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado. Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara. Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau: No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos. Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau: Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis. Bibliografia: Informações do site da UFRGS.
RES: Polinômios/ITA
Gostaria de ajuda para questões de polinômios que estiveram em provas do ITA: 3-) Se p(x) e q(x) são polinômios com coeficientes reais , possuem grau 2 e 4 respectivamente e ainda p(i) = 0 e q(i) = 0; então podemos afirmar que p(x).q(x) é divisível por x^4+2x^2 +1. Prove. Solucao: LEMA: Se f(x) eh um polinomio com coeficientes reais e se f(a+bi)=0, entao f(a-bi)=0. Como p(i) = 0 = q(i) entao i eh raiz p e de q. Logo, segundo o lema, -i tambem eh raiz de p e de q. Como i e -i sao raizes de p, entao [1] p(x) = (x-i)(x+i)u(x)=(x^2+1)u(x) para algum polinomio u(x). Como i e -i sao raizes de q, entao [2] q(x) = (x-i)(x+i)v(x)=(x^2+1)v(x) para algum polinomio v(x). De [1] e [2], p(x)q(x) = (x^2+1)(x^2+1)u(x)v(x) p(x)q(x) = (x^4 + 2x^2 + 1)u(x)v(x) isto eh, p(x)q(x) eh divisivel por x^4+2x^2+1. Abracos, Eric. Obrigado pela atenção, Raul
Equao funcional
Saudacoes a todos tenho uma duvida que eh a seguinte: quais as funcoes f:R-R que satisfazem f(f(x))=x+2c. Eh claro que f(x)=c eh uma dessas funcoes, mas existirao outras? E como fica o problema se supomos f continua ou monotona? Hah alguma diferenca se f estiver definida em apenas um intervalo da reta? Abracos, Eric.
RES: Problema Interessante ...
Esse e bom ... Prove que ( elevado a ) + ( elevado a ) e divisivel por 7. Solucao: Seja ^ = elevado a Eh um problema de congruencia. Escreverei a==b para significar que a e b deixam o mesmo resto na divisao por 7 (nesse caso diz-se que a e b sao congruentes modulo 7). Algumas das propriedades das congruencias sao: (i) se a==b entao a^n == b^n (ii) se a==b e c==d entao a+c==b+d Baseando-nos nestas propriedades temos: ^ == 4^ == (pois == 4, prop(i)) == 4^(3.740+2) == == 4^(3.740).4^2 == == (4^3)^740.4^2 == == 64^740.16 == 1^740.16 == (pois 64 == 1, prop(i)) == 16 == 2 logo ^ == 2 note que a chave aqui foi descobrir a que numero n devemos evevar 4 de modo que 4^n == 1. No caso 4^3 = 64 == 1. por outro lado ^ == 3^ == (pois == 3, prop(i)) == 3^(6.925+5) == == 3^(6.925).3^5 == == (3^6)^925.3^5 == == 729^925.3^5 == == 1^925.3^5 == (pois 729 == 1, prop(i)) == 3^5 == 243 == 5 Como ^ == 2 ^ == 5 podemos somar (prop(ii)) ^ + ^ == 2 + 5 == 7 == 0 logo ^ + ^ eh divisivel por 7. []'s Eric.
RES: ajuda
Estou com 4 problemas que não estou conseguindo resolver, se puderem me ajudar, desde já agradeço 1) Qual o número de soluções (x,y) da equação 2^(2x) - 3^(2y) = 55, em que x e y são números inteiros? Solução: 2^(2x) - 3^(2y) = 55 fatorando como soma de quadrados, tem-se (2^x - 3^y)(2^x + 3^y) = 55 Note que 2^x - 3^y 2^x + 3^y Então são 2 casos a considerar: (i) primeiro caso 2^x - 3^y = 1 + 2^x + 3^y = 55 2(2^x) = 56 2^x = 28 (nao serve) (ii) segundo caso 2^x - 3^y = 5 + 2^x + 3^y = 11 2(2^x)= 16 2^x = 8 x=3 e substituindo chegamos a 3^y = 3, isto é, y=1 logo, a única solução é (x,y) = (3,1) Abraços. Eric.
RES: Exponenciais
2^x + 5^x = 3^x + 4^x (essa eh um pouco mais complicada). Duas solucoes triviais sao x=1 e x=0. Acredito que essas sejam as unicas solucoes reais... O problema eh provar isso. Eric.
RES: Poliômios
Eu nao faria melhor... Mas tem uns erros nas contas que nao invalidam a solucao. O resto certo eh -2x^3-2x^2+x+5 Eric. -MENSAGEM ORIGINAL ABAIXO p(x) = q(x)(x^4 + x^2 + 1) + ax^3 + bx^2 + cx + d (quis com isso dizer que o resto é um polinômio de grau 3) Divido por x^2 + x + 1, e tenho que a primeira parte dá zero pois x^2 + x + 1 divide x^4 + x^2 + 1 e a segunda dá resto (a-c)x + d-b+a = 3x + 5 Divido por x^2 - x + 1, e tenho que a primeira parte dá zero pois x^2 - x + 1 divide x^4 + x^2 + 1 e a segunda dá resto (c-2a-b)x + d-a-b = -x + 9 Assim, é só resolver o sistema a-c = 3 a-b+d = 5 -2a-b+c = -1 -a-b+d = 9 e achar o polinômio -2x^3 - 5x + 7 como resto Acho que é isso salvo erros de conta, já que fiz correndo. Eduardo Grasser Campinas sp -- De: René Retz[SMTP:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: Segunda-feira, 15 de Outubro de 2001 15:54 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto:Poliômios Sabe-se que os restos da divisão de um polinõmio p(x) por x^2 + x + 1 e x^2 - x + 1 são repsctivamente 3x + 5 e -x + 9. Determine o resto de p(x) por x^4 + x^2 + 1.
