[obm-l] OMU - 2005
(OMU-2005) Determine o maior valor possível para o volume de um tetraedro inscrito no elipsóide de equação x^2/9 + y^2/16 + z^2/25=1 No site tem a solução, no entanto nao entendi que transformação linear é aquela que é feita ali.http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm É uma transformação de R^3-R^3 ? Por que tem que multiplicar o volume do tetraedro pelo determinante da transformação? E por que a transformação é linear? Vamos supor que eu estivesse no plano e quisesse calcular a área do maior triangulo inscrito à elipse. Eu faria da mesma forma? Calcularia a area do triangulo inscrito na circunferencia em funcao do raio e depois aplicaria uma transformação linear para achar a area do mesmo na elipse? Grato. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Olimpiada universitaria
(2006) Seja x,y,z E [0, +oo) [x]+[y]+[z]=N [] - parte inteira. http://www.obm.org.br/frameset-nivelu.htm Eu não entendi que solido é esse.N um inteiro positivo. Calcule, em função de N, o volume do sólido definido por: Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Solido
Determine o volume do solido limitado pelas superficies z=1-y^2 , x+z=2 e x=2 e para z=0. v=8/15. Eu só queria que montasse a integral dupla. Porque a que estou achando tah dando errado. Estou achando $_(-1,1)$(-y^2+9,y^2+1)[1-y^2 - (2-x)]dxdy. Não sei qual meu erro. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Marte
A primeira expedicao a Marte encontrou somente as ruinas de uma civilizacao. Os exploradores concluiram dos artefatos e desenhos que as criaturas que produziram esta civilizacao tinham quatro pernas, cada uma terminada em um conjunto de garras parecidas com dedos. Após muito estudo foram capazes de traduzir a matematica marciana. Eles encontraram a seguinte equacao: 5x^2-50x+125=0 Esta era uma matematica estranha. O valor x=5 parecia correto, mas x=8 não. Entao os exploradores lembraram a maneira como o nosso sistema de numeracao foi desenvolvido e encontraram evidencias de que o sistema marciano teve uma historia analoga. Quantos dedos tinham os marcianos? Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] desigualdade
Ache o minimo de x^2+y^2+z^2, onde x,y,z pertence a R e x^3+y^3+z^3-3xyz=1 Alguem conhece alguma desigualdade que encaixa ai? Eu tentei usar os multiplicadores de lagrange mas caiu em um sistema que num consegui resolver não. vlw. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] equacao funcional
Seja f uma funcao real definida por todo x positivo tal que f(x+y)=f(xy) para todo x e y positivos. Mostre que f é uma funcao constante. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] integral simples
Olá alguem sabe como que resolvo a seguinte integral: $e^x / x. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Equacao parametrica
Olá será que alguém poderia me dizer que curva no R^2 tem equações paramétricas assim: x(t) = e^t*cos t e y(t) = e^t*sin t. E tb como que eu deduzo a equação paramétrica de uma espiral? Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
Res: [obm-l] Autovalor
Olá Leandro, não entendi porque vc supôs que P seria a matriz colunas com os autovetores de A e S a matriz diagonal com os autovalores de A. Grato. - Mensagem original De: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 16 de Novembro de 2007 14:54:47 Assunto: RE: [obm-l] Autovalor Klauss, Na ultima pergunta, se voce supor a matriz quadrada, lembre que voce pode decompo-la na forma A=PSP^-1, onde P e a matriz cujas colunas contem os autovetores de A e S e a matriz diagonal com os autovalores de A. Segue imediato que o det(A)=det(S)=produto dos autovalores de A. Agora o traco e facil de calcular e deixo pra voce. Regards, Leandro Los Angeles, CA. From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Autovalor Date: Tue, 13 Nov 2007 17:09:42 -0800 (PST) Dado A E R n x n Se A= A^T então todo autovalor de A é real Se A=-A^T então todo autovalor de é da forma ir, r E R Também como que eu mostro que o produto dos autovalores de uma matriz é igual ao seu determinante e o traço igual a soma dos autovalores. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Autovalor
Dado A E R n x n Se A= A^T então todo autovalor de A é real Se A=-A^T então todo autovalor de é da forma ir, r E R Também como que eu mostro que o produto dos autovalores de uma matriz é igual ao seu determinante e o traço igual a soma dos autovalores. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] omu 2007
Olá na 2º questao na OMU desse ano http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm.
Gostaria de saber por que que se definiu m=mdc{k|a_k0} e também por que que
claramente 2pi/m é um periodo de f:? E que menor período é esse ? No final
está k_p/2pi E Z num seria k*p/2pi E Z?
Também nao entendi equivalentemente, p deve ser um multiplo inteiro de 2pi/m.
Em resumo, num entendi quase nada.
Grato.
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[obm-l] OMU - 2007
Olá na 2º questao na OMU desse ano http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm.
Gostaria de saber por que que se definiu m=mdc{k|a_k0} e também por que que
claramente 2pi/m é um periodo de f:? E que menor período é esse ? No final
está k_p/2pi E Z num seria k*p/2pi E Z?
Também nao entendi equivalentemente, p deve ser um multiplo inteiro de 2pi/m.
Em resumo, num entendi quase nada.
Grato.
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[obm-l] OMU - 2007
Olá na 2º questao na OMU desse ano http://www.obm.org.br/frameset-provas.htm.
Gostaria de saber por que que se definiu m=mdc{k|a_k0} e também por que que
claramente 2pi/m é um periodo de f:? E que menor período é esse ? No final
está k_p/2pi E Z num seria k*p/2pi E Z?
Também nao entendi equivalentemente, p deve ser um multiplo inteiro de 2pi/m.
Em resumo, num entendi quase nada.
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[obm-l] Transfomações Lineares
Encontre numeros a,b,c,d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y)= (ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Transfomações Lineares
Ok! Mas como que eu faço? - Mensagem original De: jones colombo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 10 de Outubro de 2007 11:22:30 Assunto: Re: [obm-l] Transfomações Lineares Esta questão não tem solução única. É possível encontrar infinitas solução, uma delas seria A(x,y)=(x,3x). On 10/10/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Encontre numeros a,b,c,d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y)= (ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/
[obm-l] Algebra Linear
Seja T: R^2-R^2 uma reflexão, através da reta y=3x.
Encontre T(x,y)
b) Encontre a base alpha de R^2, tal que {[T]_a}^a=
1 0
0 -1
Grato.
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[obm-l] Res: [obm-l] Transformações Lineares
Oi Nehab, estudo pelo livro do Boldrini e por dois livros do Liptschutz(um com a edição de 1972 e outro de 1994). - Mensagem original De: Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 23 de Setembro de 2007 14:44:41 Assunto: Re: [obm-l] Transformações Lineares Oi, Klaus, Curiosidade para ficar mais eficaz ajudá-lo: em qual livro você está estudando este assunto, ou dito de outra forma, quais livros de Algebra Linear você possui? Abraços, Nehab Klaus Ferraz escreveu: Encontre números a,b,c e d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y) =(ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. b) tenha como imagem a reta y=2x e núcleo a reta y=x. Prove que as transformações abaixo são sobrejetivas e, determine uma base para a imagem: A: R^3--R^2; A(x,y,z)=(2x+y,z); B: R^2--R^2; B(x,y) = (x+y,x-y); Quais os passos que eu devo adotar para mostrar que uma transformação é sobrejetiva? Para mostrar que é injetiva basta mostrar que ker(A)=0. (?) E sobre as transformações acima o que posso dizer: BA sobrejetiva-- B sobrejetiva ? BA sobrejetiva-- A sobrejetiva ? BA injetiva-- B injetiva ? Ba injetiva -- A injetiva ? Estou com dificuldades nesse assunto. Espero compreensão dos colegas da lista. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Algebra Linear (novo)
1) Encontre um contra-exemplo para a seguinte afirmação: Se w1,...,w4 é uma
base para R^4 e se W é um subespaço, então algum subconjunto dos w's irá formar
uma base para W.
2) Exiba uma base para o subespaço a seguir:
K={(x1,x2,x3,x4) E R^4, x1+x2+x3+x4=0}
Essa 2 aí, para eu achar a base tem que ser por inspeção?
Grato.
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[obm-l] Transformações Lineares
Encontre números a,b,c e d de modo que o operador A: R^2--R^2 dado por A(x,y) =(ax+by,cx+dy) tenha como imagem a reta y=3x. b) tenha como imagem a reta y=2x e núcleo a reta y=x. Prove que as transformações abaixo são sobrejetivas e, determine uma base para a imagem: A: R^3--R^2; A(x,y,z)=(2x+y,z); B: R^2--R^2; B(x,y) = (x+y,x-y); Quais os passos que eu devo adotar para mostrar que uma transformação é sobrejetiva? Para mostrar que é injetiva basta mostrar que ker(A)=0. (?) E sobre as transformações acima o que posso dizer: BA sobrejetiva-- B sobrejetiva ? BA sobrejetiva-- A sobrejetiva ? BA injetiva-- B injetiva ? Ba injetiva -- A injetiva ? Estou com dificuldades nesse assunto. Espero compreensão dos colegas da lista. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
Res: [obm-l] Algebra Linear
Boa Marcelo. Pra mostrar que V C U eu usei que operação com linhas da forma escada é reversível. O restante é inteiramente análogo ao que vc fez. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 20 de Setembro de 2007 17:22:16 Assunto: Re: [obm-l] Algebra Linear Olá Klaus, primeiramente vamos mostar que V=W. como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está contido no outro... todos os somatorios sao de 1 até m v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r) logo, x E V... assim: U C V tente agora mostrar que V C U :) para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primeira linha pode ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas.. tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero. seja u_ij a j-ésima componente do i-ésimo vetor.. seja a_i o i-ésimo componente da combinacao linear.. apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos.. entao, a_1 deve ser nulo... agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo... entao, a_2 deve ser nulo.. e assim segue.. deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que os vetores sao LI.. abracos, Salhab On 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de A e vice-versa. justifique que V=W. Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto. Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Algebra Linear
Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de A e vice-versa. justifique que V=W. Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha reduzida à forma escada são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto. Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Soma vetorial
Mostre que dados u=w1+w2 E W1 + W2 e v=w1'e w2' E W1 + W2 (onde w1, w1' E W1 e w2, w2' E W2) então u+v E W1+W2 e ku E W1+W2 para todo k E R E- pertencente. Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] CONE SUL 1996
Dado um inteiro m1, seja n a soma dos elementos de um subconjunto de
{1,2...m}. Ache todos os pares (m,n) de tais inteiros para os quais.
(m^4+mn)/((m^2)*n + 1) é inteiro.
Grato.
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[obm-l] algebra linear
Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz mx1. Se o sistema linear AX = B possui duas soluções distintas X_0 X_1, então ele tem infinitas soluções. Esse é um teorema que tem em qualquer livro de álgebra linear. Tenho um livro aqui que a demonstração é a seguinte: Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 , vamos mostrar que X_y é solução do sistema AX=B para qualquer y pertencente a R. Para isto vamos mostrar que AX_y=B. Minha dúvida é de onde saiu Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 ? Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Anáise
Se A é um conjunto próprio de I_n, não pode existir uma bijeção f: A-I_n.
Esse é um teorema que tem no livro do Elon Volume I - Análise Real. pag .4
Só que tem uma parte que não entendo. Segue abaixo:
Neste caso, a restrição de g a A - {n_0} é uma bijeção do subconjunto próprio
A - {n_0} sobre I_{n_(0-1)}, o que contraria a minimalidade de n_0.
Grato.
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[obm-l] TITU
(Titu98) Seja f: N-N tal que f(n+1) f(f(n)) para n natural. Mostre que f(n)=n para todo n natural. Grato. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
Res: [obm-l] Teoria Numeros
Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
[obm-l] Teoria Numeros
(Russia - 1989) Mostre que o numero 4^545 + 545^4 é composto. Grato. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. Saiba mais em http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/
Res: [obm-l] Equacao funcional II
Olá Shine, obrigado pelo esclarecimento. Contudo, ainda tenho algumas dúvidas. Como que eu construo f nos inteiros? Como eu acho f(2) , f(3), f(5)... tentei aqui, mas num consegui não. E tb por que definiu-se f(p_n) = p_(n-1) p/ n par ; 1/p_(n+1) p/ n impar? O que lhe chamou a atenção pra provar que f é multiplicativa? Grato. - Mensagem original De: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 25 de Julho de 2007 19:00:30 Assunto: Re: [obm-l] Equacao funcional II Oi Klaus, O fato central que mostra que a função só precisa ser definida nos primos é que a função é multiplicativa, ou seja, que f(xy) = f(x)f(y) (o que foi feito no artigo). Assim, no seu exemplo, f(4) = f(2).f(2), e precisamos só definir f(2), e 2 é primo. Mas permita-me dar um argumento tentativamente mais convincente. Primeiro, vou provar que só precisamos definir f nos inteiros: como f é de Q+ em Q+, então só precisamos definir f(x), com x = m/n, m, n inteiros positivos (note que Q+ é o conjunto dos racionais positivos). Note que nx = m, e como f é multiplicativa f(m) = f(n)f(x) = f(x) = f(m)/f(n). Por exemplo, f(3/7) = f(3)/f(7). Assim, encontrados os valores da função em Z+, encontramos os valores da função em Q+. Agora, os primos. Primeiro, note que f(1) = f(1)f(1) e, sendo f de Q+ em Q+, f(1) = 1 (note que f só assume valores racionais positivos, logo f(x) não pode ser igual a zero). Agora, note que todo inteiro maior do que 1 pode ser escrito como produto de primos. Por exemplo, 6000 = 2^4 . 3 . 5^3. Aí, como f é multiplicativa, f(n) é igual ao produto da f dos primos de sua fatoração. No nosso exemplo, f(6000) = (f(2))^4 . f(3) . (f(5))^3. Observe também que f(mnp) = f(m)f(np) = f(m)f(n)f(p), ou seja, uma função multiplicativa a é para mais de dois fatores também (a demonstração formal disso é por indução sobre a quantidade de fatores, mas tenho certeza de que você consegue enxergá-la). Bom, talvez a sua dúvida seja por que a função é multiplicativa. Para isso, faça x = 1 para ver que f(f(y)) = f(1)/y e, sendo f(1) diferente de zero, f(f(y)) é uma função bijetora e, portanto, f também é bijetora, em particular injetora (a demonstração da injetividade é bem rápida: f(x) = f(y) = f(f(x)) = f(f(y)) = f(1)/x = f(1)/y = x = y). Agora, note que f(f(xy)) = f(1)/xy (é só trocar x por 1 e y por xy) e f(f(x)f(y)) = f(f(x))/y = f(1)/xy (troque x por f(x) e lembre que f(f(x)) = f(1)/x). Logo f(f(xy)) = f(f(x)f(y)) e, sendo f injetora, f(xy) = f(x)f(y). []'s Shine - Original Message From: Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 25, 2007 5:54:36 PM Subject: [obm-l] Equacao funcional II No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Need a vacation? Get great deals to amazing places on Yahoo! Travel. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Res: [obm-l] Equação Funcional
Olá Saulo, não entendi a passagem: segue entao que f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que g(x1)=g(x2) contradição, logo g injetora. Por que vc igualou g(x1)=g(x2)? Vc ainda num provou q f eh injetora. - Mensagem original De: saulo nilson [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 24 de Julho de 2007 18:30:04 Assunto: Re: [obm-l] Equação Funcional se o dominio de f for reais, temos que f e sobrejetora ja que ax+b cobre todo o campo dos reais, ja se g nao for injetora, temos, x1=x2 g(x1) difere de g(x2) entao f(g(x1))=ax1+b f(g(x2))=ax2+b mas x1=x2 segue entao que f(g(x1))=f(g(x2)) como f e função, entao segue que g(x1)=g(x2) contradição, logo g injetora. f(x0)=ax1+b=0 x1=-b/a g(-b/a)=x0 como a difere de 0 e dominio de g e reais, entao existe x0. f e injetora y1=y2 f(y1)=f(y2) ax1+b=ax2+b x1=x2 f(g(x1))=f(g(x2)) g(x1)=g(x2) g e injetora hipotese: se f e sobrejetora tese: g e sobrejetora imagem de f e R, logo g(x) cobre reais, como ax+b e continua, logo , x cobre todo os reais, resultando: g(reais)- reais, f e sobrejetora. On 7/24/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Por que quando tenho f(g(x)) = ax+b , a0 eu posso garantir que f(x) é sobrejetora e g(x) é injetora. E também que existe x0 tal que f(x0)=0? E por que q se f for bijetora g tb é? Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Equacao funcional II
No site da obm. http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm tem um artigo sobre equações funcionais do Eduardo Tengan. Nele tem um problema assim: Seja Q+ o conjunto dos racionais postivos. Construa uma função f: Q+--Q+ tal que f(xf(y))=f(x)/y, para todo x,y E Q+. Tem a solução logo abaixo, só no final ele diz assim Assim, basta construir a função para os inteiros positivos. Mais ainda, basta defini-la para os primos. Por quê? e outra, se eu quisesse saber por exemplo f(4) não daria. Ele só definiu para os primos. Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] Equação Funcional
Por que quando tenho f(g(x)) = ax+b , a0 eu posso garantir que f(x) é sobrejetora e g(x) é injetora. E também que existe x0 tal que f(x0)=0? E por que q se f for bijetora g tb é? Grato. Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. http://www.flickr.com.br/
[obm-l] OBM
Mostre que todo numero primo com 10 tem um multiplo cujo digito das unidades é 7. Preciso usar esse teorema como lema em um problema da OBM de 1998 (OBM-1988) Determine todas as funções f: N*-N tais que : f(xy)=f(x)+f(y) f(30)=0 f(x)=0, sempre que o algarismo das unidades de x é 7. Vlw. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Res: [obm-l] iberoamericana
Boa Marcelo. Até tinha pensado nessa reta perpendicular OA passando por x mas
nem me liguei q poderia fazer as contas e ver que PO e PA eram constantes.
Valeu.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 11 de Julho de 2007 3:15:51
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
Olá novamente Klaus,
acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam
caso esteja errada...:)
Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da
circunferencia pedida.
O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos
segmentos MN e MA.
1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.
2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA.
3) Chame o ponto da interseccao de P.
Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R.
O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i)
O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii)
O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii)
Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv)
Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2.
Mas, sabemos que a + b = k.
Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2 k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2
b = (k^2 - r^2)/(2k)
veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo).
Deste modo, o comprimento b é constante. Consequentemente, a é constante.
Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio r, a reta
que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e
A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos
constantes (isto é, nao variam com a escolha de M).
Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M).
Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada).
Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o
segmento OA em b e a e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos
X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente
em b e a para qualquer posicao de M.
Deste modo, X sempre pertence a esta reta.
Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande
outra mensagem.
abracos,
Salhab
On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Klaus,
ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
se eu conseguir pode deixar que eu mando..
tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Marcelo,
será q vc num consegue algum modo de fazer usando
geometria sintética?
vlw.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
um
ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
o
lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
quando M varia.
ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
porém
deu muitas contas e acabou num dando em nada.
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Res: [obm-l] iberoamericana
Ola Marcelo,
será q vc num consegue algum modo de fazer usando
geometria sintética?
vlw.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um
ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o
lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
quando M varia.
ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, porém
deu muitas contas e acabou num dando em nada.
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[obm-l] iberoamericana
(Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M um ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar o lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N quando M varia. ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, porém deu muitas contas e acabou num dando em nada. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Res: [obm-l] russia 1999
Agora sim. Entendi. Idéia que o Nicolau usou realmente foi bastante artificial! Bom, valeu Mauricio, desculpe o incômodo. Um abraço. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 1 de Julho de 2007 11:14:58 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 Tome inicialmente t = -1/2 e a = 1/2. Temos, pela desigualdade que o Nicolau enunciou, que: c(-1,1/2) c(-1, 0) c(-1/2, 0) A segunda dessas desigualdades vai ser usada. Se colocarmos agora t = -1/4 e a = 1/4: c(-1/2, -1/4) c(-1/2, 0) c(-1/4, 0) ou seja, obtemos c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4, 0) c(-1/8, 0) ..., se continuarmos com valores de t e a apropriados indefinidamente. Por outro lado, colocando t = 1/2 e a = 1/2, temos c(0,1/2) c(0,1) c(1/2, 1) Para t = 1/4 e a = 1/4, temos: c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(1/4, 1/2) Ou seja, conseguimos ... c(0, 1/4) c(0, 1/2) c(0, 1) se continuarmos o procedimento indefinidamente. Mas, colocando t = 0 e a = 1, temos: c(-1, 0) c(-1, 1) c(0, 1) Agora, colocando t = 0 e a = 1/2: c(-1/2, 0) c(-1/2, 1/2) c(0,1/2). Ou seja, se continuarmos indefinidamente, temos que as desigualdades encaixam (c(-1/2,0) c(0,1/2), mas pela desigualdades anteriores, c(-1, 0) c(-1/2, 0) e c(0, 1/2) c(0, 1). Logo c(-1, 0) c(-1/2, 0) c(0, 1/2) c(0,1)). Talvez tenha um jeito mais fácil de visualizar isso, mas foi assim que eu entendi. -- Abraços, Maurício On 7/1/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) c(t-a,t+a)c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Vlw. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Res: [obm-l] russia 1999
Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) c(t-a,t+a)c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Vlw. - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 30 de Junho de 2007 18:03:48 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On 6/30/07, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2f(t). Agora Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Que desigualdade eh essa? Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t)) está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a)) (faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada porque estamos executando uma prova por contradição): (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a = f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau (c(t-a,t) c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço. Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos concluindo que tal quociente é inteiro. -- Abraços, Maurício = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
[obm-l] russia 1999
Ola senhores, (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Minha idéia: Tentei aplicar jensen mas eu num sei se vale. Tomei r e s em um um intervalo (a,b) contido em Q e tomei f côncova nesse intervalo. num sei se tah ok!? Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
Res: [obm-l] russia 1999
Olá prof. Nicolau, poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema. Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale? Grato. - Mensagem original De: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote: (Russia-1999) Suponha f: Q--Z, mostre que existem dois racionais distintos r e s tais que (f(r)+f(s))/2=f((r+s)/2). Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)). Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema. Devemos ter c(t-a,t) c(t-a,t+a) c(t,t+a) se a 0. Assim c(-1,0) c(-1/2,0) c(-1/4,0) c(-1/8,0) ... ... c(0,1/8) c(0,1/4) c(0,1/2) c(0,1). Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
[obm-l] sec^n x
Alguem sabe deduzir a expressao recursiva da int(sec^n x). To fazendo várias integrações por parte mas sempre chega em alguma mais complicada q antes. grato. Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso
[obm-l] integrais
1) Calcule a área limitada pelas curvas y^2=x+2 e x+y=4.
eu fiz mas como to sem gabarito queria v se bate com o d alguem aki. eu fiz
rotacionando os eixos.
2) int{3,+oo}(dx/(x*(16+x^2)^(1/2)).
vlw.
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[obm-l] INTEGRAL
Considere I_n=int{0,pi}sin(nx)/sin(x)dx. Calcule I_(n+2) - I_n e, em seguida,
determine I_1331.
vlw.
__
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Res: [obm-l] PRIMOS
Ola Felipe, legal sua solução. Mas como que se mostra que todo primo maior que 3 deixa resto 1 ou 5 na divisao por 6. Vlw. - Mensagem original De: Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 19 de Maio de 2007 22:35:26 Assunto: Re: [obm-l] PRIMOS todo primo maior que 3 deixa resto 1 ou 5 na divisao por 6, assim: Suponha p3 1° caso: se p=1(mod6) p^2+8=9=3(mod6) absurdo 2° caso: se p=-1 (mod6) p^2+8=9=3 (mod6) absurdo Logo p=2 ou 3 2 nao eh valido pois 2^2+8 nao é primo 3 é valido pois 3^2+8=17 e 3^3+4=31 On 5/19/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: (OCM-2006) Mostre que se p e p^2+8 são numeros primos, então p^3+4 também é um número primo. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] CONTINUIDADE
Seja f:[0,1]-[0,1] crescente (xy = f(x)ou= f(y)), mas não necessariamente contínua. Mostre que existe x em [0,1] tal que f(x)=x. vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] PRIMOS
(OCM-2006) Mostre que se p e p^2+8 são numeros primos, então p^3+4 também é um número primo. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] taxas
Uma lampada está no topo de um poste de 16 pes de altura. Um rapaz de 5 pés de altura afasta-se do poste à razao de 4pes/s. A que taxa se move a ponta da sua sombra quando ele está a 18 pes do poste? 64/11 pes/s. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] funcao continua
Seja f:[0,1] - [0,1] uma função contínua. Provar que existe c E [0,1] tal que f(c)=c. vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] derivada
Olá Marcelo na primeira num seria df(x+h)/dx = df(x)/dx * f(h) + f(x)*df(h)/dx ? tb nao entendi onde vc usou que f(0)=1. a dois tah legal, maneira a demo. vlw. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 4 de Maio de 2007 22:30:31 Assunto: Re: [obm-l] derivada Olá, se x=h, entao: f(2x) = f(x)^2...assim: f(0) = f(0)^2 ... logo: f(0) = 1 derivando, temos: df(x+h)/dx = df(x)/dx * f(h) fazendo x=0, temos: f '(h) = f(h) * f '(0)... f(x) = M vamos mostrar por absurdo: suponhamos que L M... entao existe Z tal que M Z L ... lim [x-c] f(x) = L significa que: para todo eps0, existe delta0, tal que |x-c| delta implica |f(x) - L| eps L - eps f(x) L + eps facamos eps = L - Z... entao: L - (L - Z) f(x) L + (L - Z) ... Z f(x) 2L - Z opaa.. f(x) Z M ... absurdo! Logo: f(x) = M abraços, Salhab On 5/4/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma funcao f, cujo dominio eh o conjunto dos reais, tem a propriedade de que f(x+h)=f(x).f(h) para todo x e todo h e f(0)0. Se f possui derivada no ponto 0, mostre que f possui derivada para todo x real e que: f '(x) = f(x).f '(0). Seja F uma funcao cujos valores sao todos menores do que, ou iguais a uma certa constante M: F(t)=M. Prove que se lim[t--c] F(t)=L, entao L=M. vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] derivada
Uma funcao f, cujo dominio eh o conjunto dos reais, tem a propriedade de que f(x+h)=f(x).f(h) para todo x e todo h e f(0)0. Se f possui derivada no ponto 0, mostre que f possui derivada para todo x real e que: f '(x) = f(x).f '(0). Seja F uma funcao cujos valores sao todos menores do que, ou iguais a uma certa constante M: F(t)=M. Prove que se lim[t--c] F(t)=L, entao L=M. vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] POLINOMIOS
Prove que, para todo inteiro positivo n e para todo inteiro nao nulo a, o polinomio x^n+ax^(n-1)+ax^(n-2)+..+ax-1 é irredutivel, i.e nao pode ser escrito como o produto de dois polinomios nao constantes com coeficientes inteiros. Esse problema tah na eureka 21. pag 46 http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm eu nao entendi o seguinte, por que q ele define Q_a(x)=P_a(x)*(x-1) e por que tambem que ele define R(x)=(Q_a(x))/(x-alpha) de onde veio isso? Mais adiante, ...=R(1)+1/alpha=1/alpha=|1/alpha| ??? , outra ... em particular, alpha é raiz simples de P_a(x), caso contrário alpha pertencente a (0,1) seria raiz de R(x) ??? , Por outro lado podemos supor sem perdas que alpha é raiz de f(x) porque sem perdas??? Agradeço qualquer esclarecimento. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
eh verdade Claudio, eu só estava me adiantando um pouco. Mas vou ver essa parte
de limites de sequencias nas proximas semanas.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 16:37:13
Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Oi, Klaus:
Sem querer ser chato (mas provavelmente sendo...):
Como você pode demonstrar que uma sequência convergente (a_n) e a soma de
Cesaro correspondente ((a_1+...+a_n)/n) têm o mesmo limite se, aparentemente,
você nem sabe a definição precisa de limite de uma sequência?
[]s,
Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Mon, 9 Apr 2007 15:58:35 -0700 (PDT)
Assunto:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua
mente antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural
N tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos
subsequêntes da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso
ocorrer para qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então
diremos que a_k tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de
maneira informal e em texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos
encontrar N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso
pela própria definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de
visualizar), tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à
distância eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um
n_1? Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de
limites, quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A
e b_n - B implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta
mais ou menos assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural
n_1 tal que todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento,
estará à distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2
para a seq. {b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo
estará à dist. max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois
naturais n_1 e n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para
qualquer uma das seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do
respectivo limite. Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N
estaremos à distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que
para qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a
seq. c_n = a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
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Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima
Res: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Vlw Claudio, vou pensar! - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 10 de Abril de 2007 7:50:54 Assunto: Re:Res: [obm-l] SEQUENCIAS II b_k - 0 significa que lim(k - infinito) b_k = 0 Isso quer dizer que, dado eps 0, existe n_1 em N (conjunto dos naturais) tal que: se k n_1 entao |b_k - 0| = |b_k| eps. Em portugues: dizer que b_k tende a 0 significa dizer que, para todos os k suficientemente grandes, b_k estarah tao proximo de zero quanto quisermos. Esta eh simplesmente a definicao de limite de uma sequencia. Que tal entrar no Google e digitar: Cesaro sum? De qualquer forma, a soma de Cesaro de uma sequencia (a_n) eh, por definicao, a sequencia (b_n) dada por: b_n = (a_1+a_2+...+a_n)/n. Eu disse que eh manjadissima porque praticamente todos os livros de analise demonstram ou pedem, como exercicio, a demonstracao do resultado abaixo: se a_n - a, entao b_n - a. Tambem pode acontecer de (a_n) divergir mas (b_n) convergir. Voce consegue dar um exemplo disso? []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 9 Apr 2007 12:17:33 -0700 (PDT) Assunto: Res: [obm-l] SEQUENCIAS II Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Ola Claudio, não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2? Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro. vlw. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28 Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT) Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Essa eh a manjadissima soma de Cesaro. Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0. Seja eps 0. b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2. Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k eps/2. Mas entao, tomando k n_2, teremos: |b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k = |b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps. Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos a_i. Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero. Caso contrario, escreva: a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1). Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n == a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k. Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite procurado eh igual a a_k. (alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k). Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+. O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] SEQUENCIAS II
Valeu Bruno França. Tah meio complicado pra eu entender. Mas de qualquer forma
valeu.
- Mensagem original
De: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 9 de Abril de 2007 18:22:29
Assunto: Re: [obm-l] SEQUENCIAS II
Isso aí vem da definição de limite. Seria bom vc tê-la muito clara em sua mente
antes de tentar tais demonstrações.
Veja só:
Dizemos que a_k -- L quando k -- o se, para cada eps 0 existir um natural N
tal que para todo n N teremos |a_n - L| eps.
Ou seja: escolha uma distância ao ponto L (ie, um intervalinho centrado em L,
com o tamanho que vc quiser); vc então verificará que a partir de certo
instante, para algum N suficientemente grande, todos os elementos subsequêntes
da sua seqüência cairão dentro desse intervalinho. Se isso ocorrer para
qualquer tamanho de intervalinho, por menor que seja, então diremos que a_k
tende a L qd k -- 0 (essa é a definiçãoa de limite de maneira informal e em
texto).
Pois bem, se b_k -- 0, isso quer dizer que para cada eps 0 podemos encontrar
N natural tal que n N == |b_n - 0| eps == |b_n| eps, isso pela própria
definição de limite, concorda?
Muito bem, se podemos garantir que existe esse número N tal que todos os
elementos a partir do N-ésimo caem todos a uma distância de no máximo eps do
pto 0, então podemos dizer o mesmo para uma outra distância, por exemplo,
eps/2. A essa nova distância corresponderá um outro número N', possivelmente
maior que N (isso é MUITO informal, mas só pra ficar mais fácil de visualizar),
tal que a partir do N'-ésimo elemento, todos estarão no máximo à distância
eps/2.
Agora vc pode se perguntar, de onde veio esse eps/2? E pq ele falou de um n_1?
Isso é um artifício muito usado em demonstrações que envolvem uso de limites,
quando há somas, por exemplo. Se vc quiser demonstrar que a_n -- A e b_n - B
implica (a_n + b_n) - (A+B) (o que não é trivial), vc argumenta mais ou menos
assim: para qualquer eps positivo, podemos encontrar um natural n_1 tal que
todo mundo da sequência {a}, a partir desse n_1-ésimo elemento, estará à
distância máxima de eps/2 do número A. Da mesma forma, tomamos n_2 para a seq.
{b} de forma que a partir desse n_2-ésimo elemento, todo mundo estará à dist.
max. de eps/2 do número B. Agora, se vc pegar o maior dos dois naturais n_1 e
n_2 (chamemos de N), então com certeza, a partir de N, para qualquer uma das
seqüências, estaremos a uma dist. de no máximo eps/2 do respectivo limite.
Agora se vc pegar a seq. c_n = a_n + b_n, a partir desse N estaremos à
distância eps/2 + eps/2 = eps do valor A+B. Assim vemos que para
qualquer eps, podemos encontrar um natural N tal que a partir dele, a seq. c_n
= a_n + b_n estará a no máximo uma distância eps de A+B!!!
Entendeu a idéia? Agora consegue entender essa passagem?
Até mais
Bruno França dos Reis
On 4/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
Ola Claudio,
não entendi b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
o que é n_1? pq vc tomou kn_1? pq |b_k|eps/2?
Nao encontrei nada sobre essa soma de Cesaro.
vlw.
- Mensagem original
De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Domingo, 8 de Abril de 2007 13:46:28
Assunto: Re:[obm-l] SEQUENCIAS II
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data: Thu, 5 Apr 2007 10:43:56 -0700 (PDT)
Assunto: [obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que :
1/n*sum_(k=1, n) a_k--a.
Essa eh a manjadissima soma de Cesaro.
Para cada k, seja b_k = a_k - a. Como a_k - a, b_k - 0.
Seja eps 0.
b_k - 0 == existe n_1 tal que k n_1 implica |b_k| eps/2.
Fixado n_1, existe n_2 n_1 tal que k n_2 implica |b_1+...+b_(n_1)|/k
eps/2.
Mas entao, tomando k n_2, teremos:
|b_1 + b_2 + ... + b_(n_1) + b_(n_1+1) + ... + b_k|/k =
|b_1 + ... + b_(n_1)|/k + (|b_(n_1+1)| + ... + |b_k|)/k
eps/2 + (k - n_1)*(eps/2)/k eps/2 + eps/2 = eps.
Ou seja, (b_1+...+b_k)/k - 0 == (a_1+...+a_k)/k - a.
Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule
lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n.
Vou supor que a expressao eh a raiz n-esima da soma das n-esimas potencias dos
a_i.
Se todos os a_k forem 0, entao o limite eh zero.
Caso contrario, escreva:
a_1^n + ... + a_k^n = a_k^n*((a_1/a_k)^n + ... + (a_(k-1)/a_k)^n + 1).
Isso implica que a_k^n = a_1^n + ... + a_k^n = k*a_k^n ==
a_k = (a_1^n + ... + a_k^n)^(1/n) = k^(1/n)*a_k.
Fazendo n - infinito e usando o teorema do sanduiche, concluimos que o limite
procurado eh igual a a_k.
(alias, essa eh a razao pela qual a norma do maximo eh chamada de norma
infinito - repare que se n = 1, teremos a norma da
soma e se n = 2, a norma euclidiana usual do R^k).
Um problema correlato eh encarar n como uma variavel real e fazer n - 0+.
O limite nesse caso eh um pouco mais surpreendente.
[]s,
Claudio.
=
Instruções
Res: [obm-l] Sequencia
Vlw. Marcelo. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 5 de Abril de 2007 0:28:36 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Olá Klaus, sabemos que MA = MG [media aritmetica maior ou igual a media geometrica] assim: (a_n + b_n)/2 = (a_n*b_n)^(1/2) a_(n+1) = b_(n+1), n = 0, 1, 2, 3... ou: b_n = a_n, n = 1, 2, 3... sabemos que a_n = b_n, entao: a_n*b_n = b_n^2 ... (a_n*b_n)^(1/2) = b_n logo: b_(n+1) = b_n ... b_n = b_(n+1) opz, troquei no outro email! b_n é crescente para n=1, 2, 3, ... entao vamos por outro lado: b_n = a_n a_n+b_n = 2a_n (a_n+b_n)/2 = a_n ... a_(n+1) = a_n logo, a_n é decrescente para n=1,2,3,4,...!! assim: 0 a_n = a_1 ... opa! a_n é limitada! logo, a_n converge... mas b_n = a_n ... logo, b_n converge... eu tinha dito que b_n é limitado pois é sempre positivo [maior que 0] e decrescente.. isto é: 0 b_n = b_0, para qualquer n mas isto esta furado, pois b_n nao eh decrescente! po.. no primeiro email eu troquei inclusive a desigualdade das medias.. esquece aquele email! ta todo errado! hehe desculpa ae! espero ter ajudado, abracos, Salhab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] SEQUENCIAS II
Suponha que a_n--a. Mostre que : 1/n*sum_(k=1, n) a_k--a. Suponha que 0=a_1=a_2=.=a_k. Calcule lim(n-oo) (a_1^n+a_2^n+a_3^n+..+a_k^n)1/n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] Sequencia
Olá Marcelo pela desigualdade das medias o a_(n+1)=b_(n+1)? tb nao entendi por que b_n eh uma sequencia decrescente? b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ??? pq isso eh verdade? tb nao entendi como vc concluiu que b_n eh limitado. vlw. - Mensagem original De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 3 de Abril de 2007 19:47:02 Assunto: Re: [obm-l] Sequencia Ola, primeiramente, vamos supor que a_n e b_n convergem.. entao: lim a_(n+1) = lim a_n = m1 lim b_(n+1) = lim b_n = m2 m1 = (m1 + m2)/2 ... 2m1 = m1 + m2 ... m1 = m2 ou m2^2 = m1*m2 m1 = m2 agora temos que mostrar que estas sequencias convergem :) pela desigualdade das medias, temos: a_(n+1) = b_(n+1) opa! basta provarmos que b_n converge... b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 = b_n ... opa! b_n é descrescente! mas b_n tbem é limitado, pois só possui termos positivos! logo, b_n converge e, consequentemente, a_n converge! abracos, Salhab - Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 03, 2007 6:17 PM Subject: [obm-l] Sequencia Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Sequencia
Sejam a_0 e b_0 dados com 0a_0b_0. Sejam a_(n+1) = (a_n + b_n)/2 e b_(n+1) = (a_n*b_n)^1/2 Mostre que que existe m (chamado média aritmético-geometrica de a_0 e b_0) tal que a_n--m --b_n. Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Limites
Os limites são pra n-- infinito 1) a^n / n^k , a1 e k natural 2) a^n / n! a1 3) n! / n^n. outro... Mostrar que 2,71e2,72. Calcular e com cinco decimas exatas. ps.: Eu só sei mostrar que está entre 2 e 3. Vlw. []'s. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] SOMATORIOS
1) Mostre que sum(k=n+1, 2n) 1/k = sum(k=1,2n) (-1)^(k+1) / k. 2)lim(n-inf) sum(k=0, n) k/n^2 3)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/(n+k)^2 4)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n+k) 5)lim(n-inf) sum (k=0,n) 1/sqrt(n^2+k) Agradeço desde já. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Res: [obm-l] Números Inteiros
Olá André
em que parte vc usou que n é impar no primeiro problema?
Grato.
- Mensagem original
De: Andre Araujo [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 8 de Março de 2007 20:56:23
Assunto: Re: [obm-l] Números Inteiros
Em 08/03/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:
1)Mostre que para n 1 natural, 4^n+n^4 não pode ser primo.
Se n for um numero par eh imediato. Se n for um numero impar, entao:
4^n + n^4 = (2^2)^n + n^4 = (2^n)^2 + n^4 = (2^n + n^2)^2 - 2*(2^n)*(n^2) =
(2^n + n^2)^2 - (2^(n+1))*(n^2) =
= {2^n + n^2 + n*2^[(n+1)/2]} {2^n + n^2 - n*2^[(n+1)/2]}.
Assim, 4^n + n^4 naum pode ser primo para n1 natural.
2) Determine todos os n inteiros tais que n^2-8n+1 é um quadrado perfeito.
n^2 - 8n + 1 = k^2 = n^2 - 8n + (1 - k^2) = 0 = n = 4 + (15 + k^2)^(1/2) ou n
= 4 - (15 + k^2)^(1/2)
15 + k^2 = m^2 = (m+k)(m-k) = 15 = m+k = 15 e m-k = 1 = k=7 ( k=-7 da mesmo
valor de n)
ou m+k = 5 e m-k =3 = k = 1.
Assim, n = 0, 8, -4 e 12.
Agradeço desde já.
__
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[obm-l] Números Inteiros
1)Mostre que para n 1 natural, 4^n+n^4 não pode ser primo. 2) Determine todos os n inteiros tais que n^2-8n+1 é um quadrado perfeito. Agradeço desde já. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] POLINÔMIOS
Quantas raízes reais têm os polinômios: a) x^3+3x^2+9x+9 b)x^3-3x^2-6x+2 Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Linha curva
Alguém sabe como faço para calcular o comprimento de uma linha curva? Vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Máximos
1-Mostrar que dentre todos os triangulos isosceles inscritos em um circulo, o triangulo equilatero é o que possui o perimetro maximo. 2- Calcule a altura de um prisma triangular regular de volume máximo inscrito em uma esfera de raio R. Agradeço desde já. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] Inducao
Ola Marcelo
naum entendi pq o n deve ser escrito como sum{a_i*2^}, e q
a_i eh esse? e pq tem q ser 0 ou 1?
vlw.
- Mensagem original
De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 18 de Janeiro de 2007 1:01:58
Assunto: Re: [obm-l] Inducao
Olá,
1) Para n=1, temos 1 = 2^0..
para n=2, temos 2 = 2^1
Vamos supor que n = Sum{a_i 2^i}, somatorio finito, a_i E { 0, 1 }
n+1 = Sum{a_i 2^i} + 2^0
logo, esta provado que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de
2 com expoentes distintos!
É legal provar tbem a unicidade.. tente ai!
abraços,
Salhab
- Original Message -
From: Klaus Ferraz
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, January 16, 2007 6:27 PM
Subject: [obm-l] Inducao
1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com
expoentes distintos
2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6.
3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1)
Grato.
__
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Res: [obm-l] Inducao
Ola Carlos Nao entendi. Porque quando dividimos um quadrado em 4 partes estamos acrescentando 3 quadradinhos ao quadrado original - Mensagem original De: Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br; obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 16 de Janeiro de 2007 19:58:49 Assunto: Re: [obm-l] Inducao Olá Klaus, para o segundo : Observe que quando dividimos um quadrado em 4 partes , na verdade acrescentamos 3 quadradinhos ao quadrado original . Pensando desta forma basta você conseguir dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos, pois a partir desses usa o procedimento inicial . Com um pouco de paciência verifica-se que dividir um quadrado em 6 , 7 e 8 outros quadradinhos não é difícil e , consequentemente teremos as seguintes sequências : 1) 6 ,9 , 12 , ... 2) 7 , 10 , 13 , ... 3) 8 , 11 , 14 , ... Unindo as sequências temos os naturais a partir de 6 , ok ? []´s Carlos Victor At 18:27 16/1/2007, Klaus Ferraz wrote: 1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1) Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Inducao
1)Prove que todo inteiro positivo pode ser escrito como potencias de 2 com expoentes distintos 2)Prove que um quadrado pode ser dividido em n quadrados para n=6. 3)Prove que [1.3.5..(2n-1)]/[2.4.6.8...2n]=1/sqrt(2n+1) Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] olimpiada
(OMERJ-06) Um quadrado 4x4 deve ser preenchido com os algarismos 1,2,3,4, de forma que não haja algarismos iguais em uma mesma linha ou em uma mesma coluna, como no exemplo a seguir. De quantas maneiras distintas é possível preencher o quadrado? 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 vlw. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] IMO
(IMO-89) Mostre que, para cada natural n, existem n inteiros positivos consecutivos tais que nenhum deles é um primo ou potência de primo. (IMO) Mostre que existem n naturais consecutivos tais que nenhum deles possa ser escrito como a soma de dois quadrados. Grato. __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Res: [obm-l] OBM
Legal essa solucao ai. Tava tentando usar que os numeros pitagoricos podem ser escritos como x=2ab, y=a^2-b^2 e z=a^2+b^2. Tem um artigo sobre isso na eureka 7. Mas num consegui nada não. - Mensagem original De: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 15 de Dezembro de 2006 8:22:25 Assunto: Re:[obm-l] OBM -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 14 Dec 2006 15:32:35 -0800 (PST) Assunto: [obm-l] OBM (OBM)Sejam x,y e z inteiros, se x^2+y^2=z^2 entao xy é multiplo de 6. Vlw. x e y nao podem ser ambos impares, caso contrario teriamos z^2 == 2 (mod 4), o que eh impossivel. Logo, xy eh multiplo de 2. Se xy nao for multiplo de 3, entao x^2 == y^2 == 1 (mod 3) == z^2 == 2 (mod 3) == contradicao, pois um quadrado perfeito soh pode ser congruente a 0 ou 1 (mod 3). Logo, xy eh multiplo de 3 == xy eh multiplo de 6. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] OBM
(OBM)Sejam x,y e z inteiros, se x^2+y^2=z^2 entao xy é multiplo de 6. Vlw. ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com
[obm-l] Funcoes
(OBM)Se f:R-R é uma funcao tal que para todo x E R, f(x)(f(x)-x)=0, entao: a)f é uma funcao nula. b)f é a funcao identidade, ou seja, f(x)=x para todo x real. c)f é a funcao nula ou a funcao identidade. d)Há 4 possibilidades para f. e)Há infinitas funcoes f. Meio esquisita essa dai. ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com
[no subject]
Ola Claudio, Nao entendi. Vc fixou a cor do quadrado do meio, e depois escolheu a cor dos 2 quadrados horizontais e verticais a esse. Vc fixou a cor azul para os 4 quadrados(1º caso) eu num teria somente 4 casos já q as cores estão fixas? E mesmo q nao fosse pq q vc diminuiu 1 unidade dos 16, esse 1 num eh da configuracao dos quadrados das pontas? E pq q eu tenho que fazer 2^4 para achar as configuracoes. Eu posso por exemplo depois de fixar a cor azul no meio com as 16 opcoes escolher a cor do lado esquerdo de vermelho a de cima de azul a do lado direito de azul e embaixo de vermelho, seria um dos casos. E tb nao entendo pq vc dividiu o primeiro caso em todas as cores sendo iguais, se eu tenho 2^4 eu tenho configuracoes que nao são iguais? Acho q eu estou meio confuso Agradeço qualquer esclarecimento. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com
[obm-l] QUADRADO COLORIDO
(OBM)Um quadrado de lado 3 é dividido em 9 quadrados de lado unitário, formando um quadriculado.Cada quadrado unitário é pintado de azul ou vermelho.Cada cor tem probabilidade 1/2 de ser escolhida e a cor de cada quadrado é escolhida independentemente das demais. Qual a probabilidade de obtermos, após colorirmos todos os quadrados unitários, um quadrado de lado 2 pintado inteiramente de uma mesma cor? ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com
[obm-l] AGULHAS
Considere-se um chão constituído por ripas de madeira de largura d, paralelas entre si. Deixa-se cair no chão uma agulha com comprimento k d. Qual é a probabilidade de a agulha cair de modo a cruzar uma linha entre duas ripas adjacentes? Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] Função
Encontre toda as funcoes f: R-R tais que para todos os x e y reais, f(x.f(y))=f(xy)+xolha o q eu fiz. x=1-- f(f(y))=f(y)+1,daí fiz f(y)=u entao f(u)=u+1. Logo f(x)=x+1. Dai eh facil ver que jogandona equação original a funcao é satisfeita. No entanto eu acho que tocometendo algum erroou entaocartiando muito. Queria saberdos senhores se está correto a minha analise. Vlw. Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
Re: [obm-l] Alg. Linear
Deve ser isso mesmo. eh q me passaram, ai num sei se eh aquilo msm.Leonnardo Rabello [EMAIL PROTECTED] escreveu: Na verdade não é pra mostrar que dada três retas tangentes a uma parábola, mostrar que o foco dessa parábola está sobre o circulo circunscrito formado pelos 3 pontos de tangência?Essa sim, foi questão do IME.. Em 01/08/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:Mostre que todo ponto pertencente ao circulo circunscrito a um triangulo é foco de uma parabola tangente aos tres lados do triangulo.Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! -- * Leonnado Rabello* linux user #391163* msn: [EMAIL PROTECTED] Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Equacao
Sejam k ,n inteiros positivos com n2. Mostre que a equacao x^n-y^n=2^k. Nao possui solucao inteira positiva (x,y). Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Alg. Linear
Mostre que todo ponto pertencente ao circulo circunscrito a um triangulo é foco de uma parabola tangente aos tres lados do triangulo. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re:[obm-l] Polinomios
Ola mestre, nao entendi pq trocou x por x/3 na expressao do polinomio e como q se obteu o grau do polinomio. Grato."claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] escreveu: 1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. x = 1 == P(1) = 81P(1) == P(1) = 0 == P(x) = (x - 1)Q(x)P(x - 2) = 81P(x/3)Se P(x) = a_0 + a_1x + ... + a_nx^n, entao, comparando os termos de maior grau:a_nx^n = 81a_n(x/3)^n == n = 4Logo, podemos escrever P(x) = (x - 1)(ax^3 + bx^2 + cx + d)P(x-2) = (x - 3)(a(x-2)^3 + b(x-2)^2 + c(x-2) + d) ==P(x-2) = (x - 3)(ax^3 + (-6a+b)x^2 + (12a-4b+c)x + (-8a+4b-2c+d)81P(x/3) = 81(x/3 - 1)(a(x/3)^3 + b(x/3)^2 + c(x/3) + d) ==81P(x/3) = (x - 3)(ax^3 + 3bx^2 + 9cx + 27d)Igualando coeficientes, teremos:-6a+b = 3b12a-4b+c = 9c-8a+4b-2c+d = 27d ==b = -3ac = 3ad = -a ==P(x) = a(x - 1)(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) ==P(x) = a(x - 1)^4onde a = real qualquer nao-nulo.[]s,Claudio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
[obm-l] Desigualdade
Sejam x, y, e z inteiros positivos tal que xyz=32 calcule o menor valor da expressao x^2+4y^2+2z^2+4xy. Alguem tem alguma ideia esperta? Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Polinomios
1) Determine todos os polinomios P nao identicamente nulos tais que P(3x-2)=81P(x) para todo x real. 2)Determine todos os polinomios f tais que f(x^2)+f(x)f(x+1)=0 para todo x real.VLw. Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Calculo I
O valor das constantes reais a e b para as quais a funcao real g(x): ax+b se x=1 e ax^3+x+2b se x1. Seja derivavel para todo x. Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
[obm-l] Matrizes
a)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^3=4A. Mostre que A+I é inversivel. b)Se A é uma matriz de ordem n tal que A^2p - A^(p+1)=3A, onde p é natural. Mostre que A+I é inversivel. Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas!
[obm-l] Algebra Linear
1) A reta s, que passa pela ponto P(1,-2,1), corta a reta r de equacoes x-1=y/2=(z-2)/3 e é perpendicular a r, tem equacoes: (na forma parametrica)2) A reta r é paralela aos planos alpha, de equacao 3x-4y+9z=0 e beta, de equacao 3x+12y-3z=17; corta as retas s e t de equacoes: s: x/2=(4-y)/3=(z+5)/4 e t: x-8=(2-y)/2= -z-3. As coordenadas do ponto de intersecao de r e s é: Grato. Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Matrizes
Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que: (i)M^3=N^3 (ii)MN^2=NM^2 É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível?A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B=0. Prove que AB=BA. Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] Matrizes
Sejam M e N matrizes do tipo n x n distintas tais que: (i)M^3=N^3 (ii)MN^2=NM^2 É possível que X = M^2+ N^2 seja inversível?A e B são matrizes de ordem n tais que AB + A + B=0. Prove que AB=BA. Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
[obm-l] desigualdades
Demonstre as desigualdades: 1)lnx x se x0 2)senx2x/pi , se x E (0,pi/2) __Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
[obm-l] Calculo I
Quantas solucoes possui x^2=2^x. Bom, eu fiz o gráfico e realmente constatei q existem 3 solucoes. Mas como q eu garanto por exemplo q para x4 elas nao se cruzam em nenhum ponto. Grato. Yahoo! Search Música para ver e ouvir: You're Beautiful, do James Blunt
[obm-l] ESTATISTICA
1)Num armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso m pés de sapato desse amario. Calcule a probabilidade de : a)que saia pelo menos um par; b)que saia exatamente um par. 2)Qual a probabilidade de obtermos soma 12 lançando3 dados ? 3)Eduardo e Mônica estão disputando uma serie de partidas de peteca. Em cada partida, a probabilidade de Eduardo vencer é 0,6 e a de Mônica venceré 0,4. Seja P a probabilidade de Eduardo vencer uma quantidade par de partidas nas 10 primeiras partidas. Determinese P 0,5 ou P=0,5 ou P0,5.Grato. K. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] N. binomial
Prove que [(2+sqrt(3))^n] é impar para todo n natural. [] detona a parte inteira. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
[obm-l] somatorio
Calcule : sum(k=0-n)k^2*C(n,k)*5^kgab: 5n(5n+1)6^(n-2). Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
[obm-l] LIMITES
1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n). 2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
Re: [obm-l] LIMITES
Porque -1/x = sen(x^1000)/x = 1/x é verdade??Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá2) -1/x = sen(x^1000)/x = 1/xqdo x - +inf.. -1/x e 1/x tendem para 0.. pelo teorema do confronto (sanduiche), o limite de sen(x^1000)/x - 0 quando x- 0.abraços, Salhab- Original Message - From: Klaus Ferraz To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, May 21, 2006 10:37 AM Subject: [obm-l] LIMITES1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n). 2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
Re: [obm-l] LIMITES
Ola Carlos, A questao 1 estah ok. eh isso mesmo. tem algumas opcoes: a)1/2 b)1 c)3/2 d)2 e)4Carlos Victor [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá ,Para o segundo limite temos :lim(x--+inf) sen(x^1000)/x = lim( 1/x.sen(x^1000) , como sendo uma função infitesima multiplicada por um limitada ; ou seja a resposta é zero .Tem certeza que a questão (1) esta correta ?[]´s Carlos VictorAt 10:37 21/5/2006, Klaus Ferraz wrote: 1)Determine lim(n-+inf) (1+1/2)*(1+1/2^2)*(1+1/2^3)*...*(1+1/2^n).2)Determine lim(x--+inf) sen(x^1000)/xGrato.Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] GEO, ANALITICA
E e F sao pontos do lado AB, do triangulo obtusangulo ABC (C 90º), tais que AE=EF=FB. D é ponto da reta BC tal que BC é perpendicular a ED. AD é perpendicular a CF. Os angulos BDF e CFA medem x e 3x, respectivamente. Calcule DB/DC. Desejaria uma solucao analitica, se possivel. Grato. Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] Euler
Alguem sabe demonstrar a formula de Euler usando algum argumento combinatorio? C(m,0)*C(h,p)+C(m,1)*C(h,p-1)+C(m,2)*C(h,p-2)+..+C(m,p)*C(h,0)=C(m+h,p). Abra sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.
[obm-l] FUNCOES
Considere uma funcao real sobrejetora f tal que f(f(x)+y)=x+f(y) para todo x, y reais. Determine f(0). Navegue com o Yahoo! Acesso Grátis, assista aos jogos do Brasil na Copa e ganhe prêmios de hora em hora.
