[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Opa mestre Claudio, muito obrigado, gostei da solução. Douglas Oliveira Em qua, 17 de jun de 2020 17:00, Claudio Buffara escreveu: > Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * > x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus > no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. > z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z > Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 > Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes > por -1 não altera as raízes). > f(-1) = 4*raiz(2) > 0 > f(0) = -1 < 0 > f(raiz(2)) = -5 < 0 > f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma > entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. > Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z > < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que > estas são as únicas raízes reais de f. > Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no > sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta > Im(z) = -Re(z). > Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, > isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o > quadrante. > > Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a > segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no > 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. > Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. > > Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. > Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um > ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) > Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo > imaginário negativo > A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números > complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = > -Re(z) (2) > (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R > > (2) também implica que, sobre a e b: > OU ambos pertencem ao 2o quadrante > OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante > OU ambos pertencem ao 4o quadrante. > > De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que > a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. > > Resta eliminar a 1a alternativa. > Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. > > Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > > 2*R^2 > E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 > > Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> > ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> > -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> > 1/q - q + 2p^2 = 0 > 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> > 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem > ao 2o quadrante. > > Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma > pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. > > []s, > Claudio. > > > On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < > profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > >> Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da >> equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e >> percebi que existe uma em cada quadrante. >> >> Mas não consigo achar uma saída. >> >> Obrigado. >> Douglas Oliveira >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos e equações
Aquele 1+i sugere que se forme uma equação em z, onde z = (1+i)/raiz(2) * x, ou seja, cujas raízes sejam as da equação original giradas de 45 graus no sentido anti-horário e sem coeficientes complexos. z = (1+i)/raiz(2) * x ==> x = (1-i)/raiz(2) * z Assim, x^4 + 4(1+i)x + 1 = 0 ==> -z^4 + 4*raiz(2)*z + 1 = 0 Consideremos f(z) = z^4 - 4*raiz(2)*z - 1 (multiplicar os coeficientes por -1 não altera as raízes). f(-1) = 4*raiz(2) > 0 f(0) = -1 < 0 f(raiz(2)) = -5 < 0 f(2) =15 - 8*raiz(2) > 0 ==> f tem (pelo menos) duas raízes reais: uma entre -1 e 0 e outra entre raiz(2) e 2. Mas f'(z) = 4z^3 - 4*raiz(2) ==> f'(z) < 0 para z < 2^(1/6) (logo, para z < 0) e f'(z) > 0 para z > 2^(1/6) (logo, para z > raiz(2)), de modo que estas são as únicas raízes reais de f. Se duas das raízes da equação original, ao serem giradas de 45 graus no sentido anti-horário, se tornam reais, então aquelas raízes estavam na reta Im(z) = -Re(z). Além disso, como, após giradas, uma se tornou negativa e a outra positiva, isso significa que a primeira está no 2o quadrante e a segunda no 4o quadrante. Dadas as magnitudes das raízes giradas (a primeira entre -1 e 0 e a segunda maior do que raiz(2)), também concluímos que a soma delas está no 4o quadrante, ou seja, é da forma p*(1-i), com p > 0. Além disso, o produto delas é da forma (1/q)*i, com q > 0. Chame as outras duas raízes da equação original de a e b. Então, como a soma das raízes é zero, vale a+b = -p(1-i) = p(-1+i): um ponto do 2o quadrante sobre a reta Im(z) = -Re(z) (1) Como o produto das raízes é 1, vale a*b = -q*i, um ponto do eixo imaginário negativo A localização do produto a*b implica que a/|a| e b/|b| são números complexos (de módulo unitário) e simétricos em relação à reta Im(z) = -Re(z) (2) (1) e (2) implicam que a e b têm o mesmo módulo R (2) também implica que, sobre a e b: OU ambos pertencem ao 2o quadrante OU um deles pertence ao 1o e o outro ao 3o quadrante OU ambos pertencem ao 4o quadrante. De cara dá pra eliminar a última alternativa, já que isso implicaria que a+b pertence ao 4o quadrante, o que não é o caso. Resta eliminar a 1a alternativa. Assim, suponhamos que a e b pertencem ao 2o quadrante. Neste caso, a+b = p(-1+i) ==> |a+b| = p*raiz(2) > R*raiz(2) ==> 2*p^2 > 2*R^2 E também, de qualquer jeito, ab = -qi ==> q = R^2 Da equação, também sabemos que ab + ac + ad + bc + bd + cd = 0 ==> ab + cd + (a+b)(c+d) = 0 ==> -q*i + (1/q)*i + p(-1+i)*p*(1-i) = 0 ==> 1/q - q + 2p^2 = 0 1/q - q + 2R^2 < 0 ==> 1/R^2 - R^2 + 2*R^2 < 1/R^2 + < 0 ==> contradição ==> a e b não pertencem ao 2o quadrante. Logo, temos que concluir que, sobre as outras duas raízes, que uma pertence ao 1o e a outra ao 3o quadrante. []s, Claudio. On Wed, Jun 17, 2020 at 9:01 AM Prof. Douglas Oliveira < profdouglaso.del...@gmail.com> wrote: > Olá, gostaria de uma ajuda para localizar as raízes da > equação x^4+4(1+i)x+1=0, saber em qual quadrante estão, joguei no MAPLE e > percebi que existe uma em cada quadrante. > > Mas não consigo achar uma saída. > > Obrigado. > Douglas Oliveira > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Vc quer uma dica ou a solução? Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na igualdade acima, o 1 morre. Se quiser a solução responde. 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, demonstre que * *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde utilizar a identidade sugerida. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para prosseguir. Muito obrigado pela ajuda! Vanderlei Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com escreveu: Vc quer uma dica ou a solução? Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na igualdade acima, o 1 morre. Se quiser a solução responde. 2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos: *No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente, demonstre que * *a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)* *Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.* Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde utilizar a identidade sugerida. Obrigado, Vanderlei -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
A = z1; B = z2; C = z3
(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:
(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z
1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C = |(z1
-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA = c/senC.
cqd
2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
prosseguir.
Muito obrigado pela ajuda!
Vanderlei
Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko
wgapetre...@gmail.com escreveu:
Vc quer uma dica ou a solução?
Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a ver
com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária na
igualdade acima, o 1 morre.
Se quiser a solução responde.
2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro do
Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números complexos:
*No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
C, respectivamente, demonstre que *
*a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*
*Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os vértices
do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 – z3)/(z3 – z1) +
1 = 0.*
Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
utilizar a identidade sugerida.
Obrigado,
Vanderlei
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acredita-se estar livre de perigo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:
Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen Â
= |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?
Obrigado!
Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko
wgapetre...@gmail.com escreveu:
A = z1; B = z2; C = z3
(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um complexo
que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:
(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
= |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
c/senC. cqd
2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado para
prosseguir.
Muito obrigado pela ajuda!
Vanderlei
Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko
wgapetre...@gmail.com escreveu:
Vc quer uma dica ou a solução?
Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
na igualdade acima, o 1 morre.
Se quiser a solução responde.
2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números
complexos:
*No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B e
C, respectivamente, demonstre que *
*a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*
*Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*
Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e onde
utilizar a identidade sugerida.
Obrigado,
Vanderlei
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos
Ah sim, eu fui um pouco descuidado com o sinal _ o que quer dizer que eu
errei :( mas a ideia está certa:)
Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = Im{(z
3-z2)/(z1-z3)}
Aqui só se pode afirmar que Im{(z1-z2)/(z1-z3)} = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
Â, dependendo da orientação do triângulo (ou seja, dependendo se o complexo
z1-z2 tem argumento maior do que o complexo z1-z3). Caso contrário seria
..sen - Â. Mas aí vc repara que independente da orientação, ambos Im{(z1
-z2)/(z1-z3)} e Im{(z3-z2)/(z1-z3)} tem o mesmo sinal. Daí, tendo em vista
que sen (- Â) = - sen Â, segue o raciocínio normalmente.
2014-09-08 22:15 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Valeu, Willy! Só não ficou muito clara a seguinte passagem:
Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen
 = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
Como que a soma nula transformou-se em uma igualdade?
Obrigado!
Em 8 de setembro de 2014 13:07, Willy George Amaral Petrenko
wgapetre...@gmail.com escreveu:
A = z1; B = z2; C = z3
(z1-z2) é o vetor correspondente ao lado c. (z1-z2)/(z1-z3) é um
complexo que tem argumento igual ao ângulo Â. Então pela igualdade:
(z1-z2)/(z1-z3) + (z2-z3)/(z1-z3) + 1 = Im{(z1-z2)/(z1-z3)} + Im{(z2-z3
)/(z1-z3)} = 0 = |(z1-z2)/(z1-z3)| * sen  = |(z2-z3)/(z1-z3)| * sen C
= |(z1-z2)| * sen  = |(z2-z3)| * sen C = c senA = a senC = a/senA =
c/senC. cqd
2014-09-08 12:31 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Willy, se não for incomodar, poste a solução. Preciso desse resultado
para prosseguir.
Muito obrigado pela ajuda!
Vanderlei
Em 8 de setembro de 2014 12:24, Willy George Amaral Petrenko
wgapetre...@gmail.com escreveu:
Vc quer uma dica ou a solução?
Dica: Lembre que pela forma trigonométrica, o seno de um ângulo tem a
ver com a parte imaginária. Observe que se vc calcular a parte imaginária
na igualdade acima, o 1 morre.
Se quiser a solução responde.
2014-09-08 8:05 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com:
Pessoal, estou precisando de uma grande ajuda em um problema do livro
do Manfredo. Pede para mostrar a lei dos senos utilizando números
complexos:
*No triângulo ABC onde a, b e c são os lados opostos aos ângulos A, B
e C, respectivamente, demonstre que *
*a/senA = b/senB = c/senC ( Lei dos senos)*
*Sugestão: Considere complexos z1, z2 e z3 cujas imagens são os
vértices do triângulo e use a identidade (z1 – z2)/(z3 – z1) + (z2 –
z3)/(z3 – z1) + 1 = 0.*
Se alguém puder me dar uma dica, pois não consegui perceber como e
onde utilizar a identidade sugerida.
Obrigado,
Vanderlei
--
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acredita-se estar livre de perigo.
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos-Dúvida
Da equação |z+v|=|z|+|v| podemos dizer |z|=|z+v|-|v|, logo, |z|=2sqrt(2). Uma outra maneira de pensar o problema é considerando que |z+v| representa a distância de z ao ponto -v, logo a equação |z+v|=3sqrt(2) representa uma circunferência de centro em -1-i e raio 3sqrt2, o modulo mínimo de z equivale à distância mínima de um ponto da circunferência à origem do sistema de modo que tal distância vale R-|v|=3sqrt(2)-sqrt(2)=2sqrt(2). From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Números complexos-Dúvida Date: Thu, 14 Oct 2010 01:02:44 + Considere o número complexo v=1+i.Se z é um número complexo tal que o módulo de (z+v) = 3*raiz(2),então qual o menor valor de módulo de z ?
[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... Estou c/ pouco tempo agora. Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa significativa eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
Olá Ronaldo!!! Agradeço deveras sua atenção e de todo pessoal que porventura possa me ajudar. Abraços!!! On 3/13/06, Ronaldo Luiz Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Estou repetindo uma mensagem que havia postado na semana passada, pois não houve respostas: Esse problema é complicado para provar, assim de sopetão ... Estou c/ pouco tempo agora. Mas vou analisar em casa com calma e se conseguir alguma coisa significativa eu coloco aqui (se alguém não o fizer antes). []s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Henrique Não há ninguém que seja tão grande que não possa aprender e nem tão pequeno que não possa ensinar. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Olá Daniele, pense na representação vetorial de z e w: ambos têm módulo 2, com ângulos de 45 e 60 graus respectivamente. Portanto, m vale | [(64) + (-48) + (4i)] / [(4i) + (-8) + (6) - (2i)] | ^ 2 ou seja, | (16+4i) / (-2+2i) | ^ 2 = (256+16)/(4+4) = 34 Assim, letra a é a resposta. []'s Rogério. --- -- Alguém pode me ajudar nessa questão do ITA? Considere os números complexos: z = #8730;2 + i#8730;2 e w = 1 + i#8730;3 Se m = |w^6 + 3z^4 + 4i / z^2 + w^3 + 6 -2i| ^ 2, então m vale: a) 34 b) 26 c) 16 d) 4 e) 1 -- Outra coisa, alguém sabe onde posso encontrar conceitos sobre Princípio da Indução FFinita ? Desde já agradeço, Daniele. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Rogério, muito obrigado por resolvido a questão ! Saudações, Daniele. Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos e outro
Olá Pedro, Os problemas 2 e 3 já foram resolvidos. O problema 1 pode ser resolvido facilmente pela aplicação de dois teoremas, um dos quais foi colocado no enunciado. TEOREMA 1: Se r é o resto da divisão de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b. TEOREMA 2: Se r é o resto da divisão de a por 9, então r é o resto da divisão da soma dos algarismos de a por 9. RESOLUÇÃO POSSÍVEL PARA O PROBLEMA 1: Adote a seguinte notação: r(a, b) - resto da divisão de a por b. Aplicando o teorema 2 sucessivas vezes, teremos: r(5342177,9)= r(5+3+4+2+1+7+7,9)= r(29,9)=r(2+9,9)=r(11,9)=r(1+1,9)=2 Aplicando o teorema 1 e depois o teorema 2 sucessivas vezes: r(5342177^8,9)=r(2^8,9)=r(256,9)=r(2+5+6,9)=r(13,9)=r(1+3,9)=4 Resposta: 4 Abraços, Rogério Moraes de Carvalho -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of pedro rajão Sent: sábado, 29 de maio de 2004 18:09 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Números complexos e outro Olá Eis alguns exercícios : 1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se r é oresto da divisão de a por b então o resto da divisão de a^n por b é igual ao resto da divisão de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o resto da divisão de [5342177]^8 por 9. 2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade imaginária , são [na forma trigonométrica] ? 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente às equções | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
2° ex.
Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim
temos:
z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
Assim as raízes quartas de z são da forma:
z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para
k=0,1,2,3.
Assim as raizes são:
z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))
Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é
fundamental para o estudo de números complexos (no
ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre
passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão
da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do
corpo dos reais, desta maneira separe os termos de
ordem par dos de ordem impar.
falow ai
Olá
Eis alguns exercícios :
1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se
r é oresto da divisão
de a por b então o resto da divisão de a^n por b é
igual ao resto da divisão
de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o
resto da divisão de
[5342177]^8 por 9.
2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número
z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade
imaginária , são [na forma trigonométrica] ?
3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos
que satisfazem,
simultaneamente às equções
| z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
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Osvaldo Mello Sponquiado
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
Um errinho bobo na primeira raiz: onde está pi/2 é pi/8.
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Sent: Sat, 29 May 2004 19:35:33 -0300
Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
2° ex.
Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim
temos:
z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
Assim as raízes quartas de z são da forma:
z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4] para
k=0,1,2,3.
Assim as raizes são:
z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))
Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa é
fundamental para o estudo de números complexos (no
ensino médio não creio que seja dada, eu vi semestre
passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a expansão
da exponencial supondo que esta satisfaça as prop. do
corpo dos reais, desta maneira separe os termos de
ordem par dos de ordem impar.
falow ai
Olá
Eis alguns exercícios :
1 ] Sejam a e b dois números naturais com b # 0 . Se
r é oresto da divisão
de a por b então o resto da divisão de a^n por b é
igual ao resto da divisão
de r ^n por b . Utilizando este teorema , calcular o
resto da divisão de
[5342177]^8 por 9.
2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número
z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade
imaginária , são [na forma trigonométrica] ?
3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos
que satisfazem,
simultaneamente às equções
| z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i |
O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ?
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[obm-l] Re:[obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
Seja z=x+iy pert. a C. (x e y reais) I) | z - 3 i |=| x+iy - 3 i |=sqrt(x^2+(y-3)^2)=3= x^2+(y-3)^2=3 II)| z + i |=| x+iy + i |=sqrt(x^2+(y+1) ^2)=| z - 2 - i |=| x+iy - 2 - i |=sqrt((x-2)^2+(y-1) ^2)=(x-2)^2+(y-1)^2=x^2+(y+1)^2=-4x+4- 4y=0=x+y=1=y=1-x Substituindo o resultado de II em I, vem que: x^2+(1-x-3)^2=3=x^2+(-x-2)^2=3=2x^2+4x+1=0= x_1 = -1+sqrt(2)/2=y_1=2-sqrt(2)/2 x_2 = -1-sqrt(2)/2=y_2=2+sqrt(2)/2 Assim temos dois complexos no conjunto S: z_1=-1+sqrt(2)/2+i.(2-sqrt(2)/2) z_2=-1-sqrt(2)/2+i.(2+sqrt(2)/2) Fazendo o produto destes dois complexos, temos: z_1.z_2=(1/2 - 7/2)+i.[(-1+sqrt(2)/2).(2+sqrt(2)/2)+ (2-sqrt(2)/2).(-1-sqrt(2)/2)]=-3+i.(-2+1/2+sqrt(2)-sqrt (2)/2-2+1/2-sqrt(2)+sqrt(2)/2)=-3-3i Bom, acho que é isso.. falow cara! 3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números complexos que satisfazem, simultaneamente às equções | z - 3 i | = 3 e | z + i | = | z - 2 - i | O produto de todos os elememtos de S é iguaL a ? __ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == Atenciosamente, Engenharia Elétrica - UNESP Ilha Solteira Osvaldo Mello Sponquiado Usuário de GNU/Linux __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
putz, ki vacilo!
na prova eu ja tinha rodado!...
vamo ve se esse ano a prova vai ta mais facinha :-)
Um errinho bobo na primeira raiz: onde está pi/2 é
pi/8.
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Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Números complexos e outro
2° ex.
Usando a def. de exponencial complexa, mesmo assim
temos:
z=e^Pi*i/2 =e^(0+i.pi/2)=e^0.(cos(pi/2)+i.sen
(pi/2))
Assim as raízes quartas de z são da forma:
z_k=1^4.{cos[(pi/2+2kpi)/4]+i.sen[(pi/2+2kpi)/4]
para
k=0,1,2,3.
Assim as raizes são:
z_1=1.(cos(pi/2)+i.sen(pi/2))
z_2=1.(cos(5pi/8)+i.sen(5pi/8))
z_3=1.(cos(9pi/8)+i.sen(9pi/8))
z_4=1.(cos(13pi/8)+i.sen(13pi/8))
Axo que deva ser isto. A definição de exp.complexa
é
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semestre
passado.) A definição é a seguinte: e^(x+i.y)=
e^x.(cosy+i.seny). Para encontrar e^i faça a
expansão
da exponencial supondo que esta satisfaça as prop.
do
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Olá
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1 ] Sejam a e b dois números naturais com b #
0 . Se
r é oresto da divisão
de a por b então o resto da divisão de a^n por b
é
igual ao resto da divisão
de r ^n por b . Utilizando este teorema ,
calcular o
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2 ] ITA - As raízes de ordem 4 do número
z=e^Pi*i/2 , onde i é a unidade
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3 ] ITA - Seja S o conjunto dos números
complexos
que satisfazem,
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[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Claudio, Primeiramente, obrigado pela informações sobre o assunto. Tanto as suas mensagens como a que o Artur escreveu foram muito elucidativas! Perdoe-me não ter respondido antes ao seu problema, estava pensando sobre ele. Aliás, mesmo que eu não tivesse respondido, não faria sentido pensar que não teria sido de meu interesse. O mais provável seria eu não ter encontrado alguma solução razoável... Para ser sincero, o que me ocorre é que o conjunto M terá 1999 elementos, pois: z = A = a -b b a 1 = I = 1 0 0 1 Assim, o problema se reduz a z^1999 = 1999, i.e., determinar as mil novecentas e noventa e nove (!!!) raízes de z, tais que reescritas na forma matricial seriam os elementos do conjunto M, e uma única dessas matrizes possuindo a_12 = a21 = 0, isto é, parte imaginária nula de z. O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a morte Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) Abraços e obrigado! Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: Lista OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:32 PM Subject: Re: [obm-l] Números complexos como matriz Alias, dentro do espirito dessa lista, e pra mostrar a utilidade e o poder desse conceito de isomorfismo, tente resolver este problema que caiu na OMMS em 1999: Seja M o conjunto de todas as matrizes da forma: a -b b a onde a e b sao numeros reais. Determine todas as matrizes A pertencentes a M tais que A^1999 = 1999*I. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
on 18.03.04 20:05, Rafael at [EMAIL PROTECTED] wrote: O raciocínio é esse mesmo? Ou só foi impressão minha que você está pretendendo que eu fique calculando raízes complexas dessa coisa até a morte Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... Ahhh, me ocorreu outra coisa! Também não se poderia, geometricamente, pensar que as 1999 raízes de z, ou ainda, as tais matrizes que você quer, formam um 1999-ágono? Seria uma figura bem interessante... ;-) Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Realmente facilita, Cláudio. Se compararmos a dificuldade, para um computador, de se calcular uma matriz A^1999 com a de se extraírem 1999 raízes, não há o que comparar: o tempo disperdiçado com a primeira forma é gigantesco. Obrigado de novo! Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 18, 2004 11:13 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Números complexoscomo matriz Se voce quiser... Mas admita que o isomorfismo facilita bastante... Isso eh verdade para as raizes n-esimas de qualquer complexo. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos como matriz
Isto me parece mais um caso tipico de isomorfismo, que identifica o conjunto dos complexos - no caso, o corpop dos complexos - com o conjunto das matrizes -tambem um corpo - da forma que vc citou. Um isomorfismo eh uma bijecao entre dois corpos que preserva as operacoes de adicao e de multiplicacao neles definidas. Se A e B sao corpos e f:A- B eh um isomorfismo, entao para todos x e y em A temos f(x+y) = f(x) + f(y) e f(x*y) = f(x)* f(y), onde + e * devem ser entendidas conforme definidas nos corpos A e B. Eh atraves de um isomorfismoque chegamos aa representacao dos complexos na forma a+ b*i, a qual nos permite considerar que numeros reais sao complexos com parte imaginaria nula. Tambem atraves de isomorfismo podemos idenficar o corpo das matrizes quadradas de ordem 1 e termo real com o corpo dos reais. Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Rafael Sent: Wednesday, March 17, 2004 10:12 PM To: OBM-L Subject: [obm-l] Números complexos como matriz Pessoal, Eu estava lendo que existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z = a + bi pode ser tratado como uma matriz quadrada 2x2 da forma: a_11 = a; a_12 = -b; a_21 = b; a_22 = a. Todas as propriedades dos números complexos poderiam ser obtidas através de matrizes, resultando em processos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples. Até agora, notei que a raiz quadrada do determinante da matriz é o módulo de z. Alguém conhece mais sobre o assunto? Como se chama esse estudo? Obrigado, Rafael de A. Sampaio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Números complexos ?
Pedro, A que erro do autor você se refere sobre a questão dos prismas? - Original Message - From: pedro rajão [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 04, 2004 2:32 AM Subject: [obm-l] Números complexos ? Prismas Quanto a essa questão é erro do autor. ALguém sabe me informar sobre algumas aplicações que utilizam números complexos e/ou suas utilidades ? [exemplos, sites ... ] 0.o = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] números complexos
On Thu, Jan 22, 2004 at 12:48:31PM -0300, levi queiroz wrote: Pessoal da lista por favor me tirem uma dúvida: e^(a.b.i)= e^( ( a.i )^b), somente quando a e b forem inteiros? Acho que você cometeu algum erro de digitação, o que você escreveu é falso mesmo para a e b inteiros. Será que você queria escrever isto: e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b Suponho que i = (-1). Isto é verdade para b inteiro, a podendo ser qq número complexo. Para z complexo e w não inteiro a expressão z^w não é bem definida. Gostaríamos de escrever z^w = exp(w log(z)) mas log(z) não está bem definido, depende do corte. A equação e^(a.b.i) = (e^(a.i))^b para b não inteiro é correta para *alguma* interpretação do lado direito, i.e., para *algum* corte. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Números complexos
Pelo que sei, a razão histórica para o a aprecimento dos complexos foi, de fato, a tentativa de resover a equação x^2 = -1, isto é, achar raiz(-1). A existência de tal número, se não estou enganado, tornou-se patente por volta do Século XvII (não estou certo), quando um matemático italiano, Cardano, desenvolveu uma fórmula algebricamente perfeita para calcular as raizes de um caso especial (que não me lembro) de equação polinomial do 3º grau. A fórmula chocou os matemáticos da época, poiis envolvia radicais do segundo grau e, mesmo nos casos em que as raizes eram todas reais, os radicandos frequentemente tornavam-se negativos. A fórmula de Cardano apresenta pouco interesse prático, pois aplica-se a um caso muito particular que quase nunca ocorre na prática. Mas serviu para alertar os matemáticos de que havia algo além do conjunto dos reais , que , na época,provavelmente não tinha tal denominação. Criou-se então a famosa unidade imaginária i, denominação bastante infeliz mas que resistiu através dos séculos, em todas a línguas, creio eu. Na realidade , os números reais são tão imaginários quanto os imaginários. Ou, caso se prefira, podemos dizer que os imaginários são tão reais quanto os reais. Talvez por causa do nome ïmaginário para os complexos tenha-se chegado ao nome , também um tanto infeliz, de conjunto dos reais. Anos depois, Gauss, que estudou muito os complexos, deu aos mesmos a denominação de complexos, que muitos julgam ser infeliz mas que também resistiu ao tempo e é hoje o termo consagrado. Pela época de Gauss, creio eu, passou-se a ver os complexos de forma mais profunda, isto é , como uma estrutura algébrica , como um corpo bi-dimensional que apresenta as mesmas leias algébricas que os reais (não pode, porém , ser ordenado como os reais). Hoje, quase todos os livros apresentam os complexos como um corpo do tipo (a, b) a e b em R. Entretanto, a forma a+ bi ainda é usada, talvez para enfatizar o caráter de número que os complexos apresentam. Através de um isomofismo, podemos identificar o conjunto de pares (a, b) com o conjunto dos números a+bi. Isomorfismo é uma bijeção entre dois conjuntos que preserva características fundamentais, por exemplo f(a+b) = f(a) + f(b) e f(ab) = f(a) f(b), Um detalhe interesante. Existem espaços vetoriias n-dimensionais e até de dimensões infinitas. Seria de se esperar que houvesse corpos algébricos de dimensão superior a 2, mas não é o caso. Entretanto, uma vez li no newsgroup internacional sci.math que há corpos de dimensões infinitas. Espero ter ajudado Um abraço Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of Eduardo Sent: Monday, February 10, 2003 1:02 PM To: Obm-L Subject: [obm-l] Números complexos Galera, estou com uma dúvida relacionada a números complexos, digamos que histórica. A primeira definição é i^2 =-1 ou a definição foi feita primeiramente para (a; b)x(c; d)? Abraços Edu
[obm-l] Re: [obm-l] Números Complexos
- Original Message - From: Tonik [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Números Complexos 1) Obtenha o argumento de sen 40º + i cos 40º obviamente, 40º Não seria 50 graus? Ângulos em graus: sen 40 + i cos 40 = cos(90-40) + i sen(90-40) = cos 50 + i sen 50 Logo, 50 graus. Até mais Vinicius Fortuna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
