Ok...
Sistema ELITE de Ensino - Unidade Bel�m wrote:
>
> Pe�o ajuda da lista para resolver estes 5 problemas de Teoria dos N�meros:
>
> 1) Prove que um n�mero de 9 d�gitos, que cont�m todos os 9 d�gitos decimais,
> exceto zero, e que n�o termina em 5, n�o pode ser um quadrado perfeito.
Que n�o termine por 5 eu n�o sei... Eu j� vi esse problema antes com a
condi��o "que *termine* por 5"...
Se fosse o meu enunciado, ent�o:
N=n^2 termina por 5 implica que n termina por 5, digamos, n=10a+5.
Ent�o n^2 = 100a(a+1)+25 termina por 25 e seu antepen�ltimo algarismo �
o �ltimo de a(a+1). Examinando todas as possibilidades para o �ltimo
d�gito:
a 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a(a+1) 0 2 6 2 0 0 2 6 2 0
Como 0 n�o entra e o 2 j� foi usado no 25, N termina por 625. Escreva:
N=1000b+625
Mas ent�o 125|N e, como N � quadrado perfeito, 625|N. Isso implica que
5|b, isto �, b termina por 0 ou 5 e o pr�ximo d�gito de N seria este 0
ou este 5. Ambos n�o servem (0 n�o entra, 5 j� foi).
Assim, tal quadrado perfeito n�o existe.
> 2) Dados os n�meros naturais n, m, k. Sabe-se que m^n � divis�vel por n^m; e
> n^k � divis�vel por k^n. Prove que m^k � divis�vel por k^m.
Note que (m^k/k^m)^n=(m^n/n^m)^k . (n^k/k^n)^m � inteiro. Mas se a^n �
natural e a � racional, ent�o a � natural! Ent�o k^m | m^k.
> 3) Dados os inteiros positivos a, b, c, tais que a^3 � divis�vel por b, b^3
> � divis�vel por c, c^3 � divis�vel por a. Prove que (a + b + c)^13 �
> divis�vel por abc.
Note que c | b^3 | a^9; b | a^3 | c^9 e a | c^3 | b^9.
O desenvolvimento de (a+b+c)^13 tem um bando de termos (todos com
coeficientes naturais) que cont�m abc, exceto por:
Termo a^13 = a^9.a^3.a que � m�ltiplo de c.b.a
Idem para b^13 e c^13
Termos em a^k b^(13-k) com 1<=k<=12
Se 10<=k<=12, separe como a^9 b^(13-k) a^(k-9) que � m�ltiplo de c.b.a
Se 1<=k<=9, separe como a^k b^3 b^(10-k) que � m�ltiplo de a.c.b
Idem para outros termos com apenas (a e c) ou (b e c).
Portanto, todos os termos s�o divis�veis por abc.
>
> 4) x e y s�o n�meros naturais tais que 3x^2 + x = 4y^2 + y. Prove que x -
> y � o quadrado de um n�meros inteiro.
Trabalho:
Escreva x=y+a e substitua na equa��o. Encontre
y^2-6ay-(3a^2+a)=0
Delta da quadr�tica = 4(12a^2+a) = 4K^2 (tem de ser quadrado perfeito
para que a solu��o inteira para y exista)
Ent�o a(12a+1) � quadrado perfeito. Mas a e 12a+1 s�o primos entre si,
ent�o cada um dos dois � quadrado perfeito.
Mesma solu��o, mas parece m�gica:
Note que (x-y)(12(x-y)+1) = 12x^2-24xy+12y^2+x-y=
= (9x^2-24xy+16y^2)+(3x^2-4y^2+x-y) = (4y-3x)^2
(o segundo termo da soma � zero)
Como (x-y) e 12(x-y)+1 s�o primos entre si e seu produto � um
quadrado, ambos s�o quadrados.
> 5) Existem n�meros naturais x, y, z tais que x^2 + y^3 = z^4?
Hmmm... Com a *minha* defini��o de naturais, x=y=z=0 � solu��o. Se voc�
quer n�meros positivos, a resposta ainda � sim. De fato, aqui est� um
grande n�mero de solu��es:
(6000x^6)^2+(400x^4)^3=(100x^3)^4
Por exemplo, x=1 nos d�:
6000^2+400^3=100^4
Eu a encontrei partindo de 3^2+4^2=5^2. Para transformar o termo do
meio num cubo, multiplique por 4 (se 4 n�o fosse quadrado perfeito, eu
multiplicaria por 16).
6^2 + 4^3 = 10^2
Agora basta ajeitar as coisas para que o da direita seja uma quarta
pot�ncia sem estragar o quadrado e o cubo obtidos. N�o estragar o lado
esquerdo quer dizer multiplique tudo por K^6... Como fazer 10^2 K^6 =
(10K^3)^2 ser uma quarta pot�ncia? A maneira mais simples � tomar
K=10... Acabou.
Este m�todo sempre d� certo desde que voc� comece com um tri�ngulo
pitag�rico:
a^2 + b^2 = c^2 (vezes b^4.c^6)
a^2.b^4.c^6 + b^6.c^6 = b^4.c^8
(a.b^2.c^3)^2 + (b^2.c^2)^3 = (b.c^2)^4
Legal agora seria provar que TODAS as solu��es v�m desse m�todo...
Abra�o,
Ralph
