[obm-l] Lament�vel mal entendido
Oi, Aline, Peço desculpas se minha brincadeira não foi clara o suficiente e a induziu a pensar em algo inadequado. Sou um antigo participante da Lista da OBM (e retornei há pouco tempo) e certamente tenho idade de ser, possivelmente, quase seu avô. Na verdade comentários como o que fiz só poderiam ser entendidos por quem efetivamente acompanha a lista há mais tempo e, portanto, foi inadequado para uma Lista (qualquer que fosse). Mas gostaria de esclarecer o contexto de minha brincadeira...: há uma colega sua que brincou uma vez na Lista nos chamando de meninos (pois a maioria dos participantes é de jovens, efetivamente) e isto rendeu uma deliciosa brincadeira, pois muitos participantes da lista tem mais do que 50 anos (eu por exemplo tenho 61) e há até participantes com quase 80 anos! Assim, meu comentário (infeliz, repito) foi no sentido de que eu deixaria o prazer de responder a sua pergunta aos meninos (propriamente ditos - ou seja, os jovens) uma vez que de fato é raro (infelizmente) meninas na Lista. Espero que este esclarecimento encerre este lamentável mal entendido causado, sem dúvida, pela inadequação de minha brincadeira. Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] 1 Equa�ao 2 incognitas - o menor n�o existe...
Bem,... Se realmente o enunciado não fala em inteiros e a gente quiser ir às últimas conseqüências (ainda com trema), a resposta também não é x=115/43 nem nada... A questão é impossível... :-) pois o 'menor' não existe... Nehab At 02:31 19/9/2007, you wrote: Oi Dirichlet, a questão não diz se x e y são naturais...e que letra você marcaria? :-) -- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet --- Bem, na questão não diz nada sobre x e y serem naturais... A minha resposta seria x=115/43,y=1 por exemplo... ... Dada a igualdade 1935x = 5175y , onde x0 e y0, o menor valor que a variável x pode assumir e o menor valor que a variável y pode assumir, de modo que seja verdadeira a igualdade, têm soma igual a: a) 155 b) 156 c) 157 d) 158 e) 159 -- Ideas are bulletproof. V = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima)
Caramba ! Eu ia responder quando percebi que temos mais uma menina para fazer companhia à Bruna (que anda sumida, né)... Portanto, deixarei este privilégio para os milhões de meninos da lista..., apenas deixando uma pergunta à Aline: você sabe o que é homotetia? Nehab At 11:11 19/9/2007, you wrote: Olá Colegas... Estou com dúvida e agradeceria muito se alguém pudesse me ajudar. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem O, de modo que OZ esteja no interior do ângulo XOY. Por cada ponto P em OZ, sejam Q o pé da perpendicular baixada de P sobre OX e S a interseção com OY da paralela a OX passando por P. Prove que a razão PQ/PS não depende do ponto P tomando OZ. Obrigada pela atenção, abraços a todos... -- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://g.msn.com/8HMBBR/2737??PS=47575Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida e Forma em Geometria (Elon Lages Lima) - ??!!
Delon (e Aline), Eu não devia responder, mas em respeito a você e à Aline... Talvez você não tenha acompanhado em passado recente os comentários divertidos da Bruna, única menina participante da lista até então (a menos de pseudônimos), nos chamando de meninos (e alguns de nós com idade para ser tio ou avô dela - o meu caso, por exemplo).Acabou criando uma bonita cumplicidade com todos nós: moços ou não.. Assim, você interpretou de forma totalmente equivocada a minha brincadeira. Mas me perdoe se deixei margem para esta interpretação boba. Quanto a sua explicação, infelizmente parece conter outro equívoco: apenas triângulos com mesmos ângulos internos são semelhantes. Isto não vale para outros polígonos, como parece ser o argumento que você usou para os retângulos da figura... Atenciosamente, Carlos Nehab At 13:43 19/9/2007, you wrote: Comentário estranho este... eu iria, mas desisti ao ver... sei lá,.. Imagino que não seja o caso, mas deixa margem para um interpretação preconceituosa. Aline, se você fizer a representação das semi-retas e seguir as demais orientações, verá que tomando um determinado ponto P formará um quadrilátero (OSPQ). Se este ponto P for alterado para um P', outro quadrilátero será formado (OS'P'Q'), porém será semelhante ao primeiro, pois todos os ângulos serão mantidos, afinal, PS é paralela a OX, então sempre formará com OY (ou OS) um mesmo ângulo. Da mesma forma, a perpendicular sempre gerará um mesmo ângulo, e o ângulo SOQ (ou YOX) é definido (o quarto ângulo será automaticamente congruente). Então, tente fazer o quadrilátero OSPQ e outro OS'P'Q'. Verá a semelhança, e pelas propriedades já conhecidas de semelhança terá que PQ/PS = P'Q'/P'S', portanto, indiferente do ponto P. Espero que ajude, ... Delon On 9/19/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] wrote: Caramba ! Eu ia responder quando percebi que temos mais uma menina para fazer companhia à Bruna (que anda sumida, né)... Portanto, deixarei este privilégio para os milhões de meninos da lista..., apenas deixando uma pergunta à Aline: você sabe o que é homotetia? Nehab At 11:11 19/9/2007, you wrote: Olá Colegas... Estou com dúvida e agradeceria muito se alguém pudesse me ajudar. Trace no plano as semi-retas OX, OY, OZ com a mesma origem O, de modo que OZ esteja no interior do ângulo XOY. Por cada ponto P em OZ, sejam Q o pé da perpendicular baixada de P sobre OX e S a interseção com OY da paralela a OX passando por P. Prove que a razão PQ/PS não depende do ponto P tomando OZ. Obrigada pela atenção, abraços a todos... -- MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://g.msn.com/8HMBBR/2737??PS=47575Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUA��O
Oi, Arkon
Ou então veja que
3^(x/2) = [2^(x/2) - 1 ] x [2^(x/2) + 1 ]
Como a diferença entre os dois fatores da direita vale 2, um deles
não pode ser divisor de 3 ou seja
2^(x/2) -1 = 1, isto é, x = 2.
Nehab
At 13:47 17/9/2007, you wrote:
Faça um gráfico e note que só há uma solução. E veja que x = 2 é
solução. Logo, o conjunto solução é {2}.
Abraço
Bruno
2007/9/17, arkon mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]:
Alguém pode resolver, por favor, esta:
3x/2 + 1 = 2x
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - http://gmail.comgmail.com
e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Bem, Paulo .a comunidade matemática, inclusive tenho logo que pensar num mestrado. Acho melhor parar de pensar e começar a correr atrás... Palavras de um coroa que sabe que a hora passa muito rápido... Espero um dia poder tomar um café com vocês em algum colóquio no IMPA (se eu tomar vergonha e me inscrever). Francamente, Paulo O dia que você quizer ir ao IMPA me telefone (9949.1442) e eu o cicironeio Vou de vez em quando lá ver livros e matar as saudades (além disso meu filho mais novo é ligado à turma de computaçao gráfica de lá - incluindo um homônimo seu, o PC de lá). Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
de outro craque (que nos deu aula de geometria descritiva): o Frank Schaeffer ! Artista plastico e muito distinto (era um verdadeiro lorde), o Schaeffer foi um dos poucos catedraticos do IME. Na ultima vez em que conversei com ele , frente `a sua lucidez, perguntei-lhe a idade: algo em torno de 90 anos... Sera' que a gente chega la' ? Abracao, Rogerio Ponce Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, Acho que preciso corrigir uma imagem equivocada de minha competência Os craques que eu conheci da geometria (e também de desenho geométrico e de geometria descritiva e projetiva, de meu tempo de aluno) foram Célio Pinto de Almeida, Virgílio de Athayde Pinheiro e Luiz Oswaldo (esqueci o sobrenome - do IME e da UFF) e, 20 anos depois, o colega Wagner desta lista (citado por você). Perdoe minha ignorância (e memória) se não lembro de outros. Embora apaixonadíssimo pela Geometria, ela nunca foi meu forte e talvez por isto mesmo a estude tanto...Mas por favor, fique muito melhor do que eu em Geometria, senão você correrá o risco de entrar pelo cano(êta expressãozinha antiga!). Minha paixão pela Matemática consegue ser menor que minha paixão pelo Ensino da Matemática e talvez por isto você tenha me confundido como geômetra. Quem dera! E com relação a tem professor IME/ITA aposentado nesta lista, infelizmente, ainda trabalho prá caramba e por esta razão minha presença aqui é tão descontínua no tempo (às vezes sobra, quase sempre falta...). Um grande abraço, Nehab PS: Um conselho de um coroa que admira seu tesão pelo estudo: não pendure livros na Internet. Sugira apenas sua compra, caso contrário de que adiantaria (eu, você, etc) escrever o livro que você sugeriu :-) ? Lembre-se que professores, matemáticos e geômetras também vivem de seu trabalho e um direitozinho autoral é uma ajuda fundamental no leite das crianças (mesmo que sejam netos...). Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/Saiba mais.
Re: [obm-l] EQUA��O
Oi,
Obrigado pela correção. Você tem toda razão... Imaginei,
equivocadamente, que x era inteiro.
Tentarei uma solução sem derivadas...
Abraços,
Nehab
At 23:50 17/9/2007, you wrote:
\neste último você está considerando que n é natural, e isto não
está escrito em lugar nenhum...
Se temos 2^x-1=3^(x/2), seria interessante provar que o lado
esquerdo cresce mais rápido que o direito.
Usando algo como derivadas, sairia logo. MAs tem que ver se x0 não
dá outra solução.
Em 17/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab
mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu:
Oi, Arkon
Ou então veja que
3^(x/2) = [2^(x/2) - 1 ] x [2^(x/2) + 1 ]
Como a diferença entre os dois fatores da direita vale 2, um deles
não pode ser divisor de 3 ou seja
2^(x/2) -1 = 1, isto é, x = 2.
Nehab
At 13:47 17/9/2007, you wrote:
Faça um gráfico e note que só há uma solução. E veja que x = 2 é
solução. Logo, o conjunto solução é {2}.
Abraço
Bruno
2007/9/17, arkon mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]
:
Alguém pode resolver, por favor, esta:
3x/2 + 1 = 2x
DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - http://gmail.comgmail.com
e^(pi*i)+1=0
--
Ideas are bulletproof.
V
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - off topic
Oi, Palmerim, Acho que preciso corrigir uma imagem equivocada de minha competência Os craques que eu conheci da geometria (e também de desenho geométrico e de geometria descritiva e projetiva, de meu tempo de aluno) foram Célio Pinto de Almeida, Virgílio de Athayde Pinheiro e Luiz Oswaldo (esqueci o sobrenome - do IME e da UFF) e, 20 anos depois, o colega Wagner desta lista (citado por você). Perdoe minha ignorância (e memória) se não lembro de outros. Embora apaixonadíssimo pela Geometria, ela nunca foi meu forte e talvez por isto mesmo a estude tanto...Mas por favor, fique muito melhor do que eu em Geometria, senão você correrá o risco de entrar pelo cano(êta expressãozinha antiga!). Minha paixão pela Matemática consegue ser menor que minha paixão pelo Ensino da Matemática e talvez por isto você tenha me confundido como geômetra. Quem dera! E com relação a tem professor IME/ITA aposentado nesta lista, infelizmente, ainda trabalho prá caramba e por esta razão minha presença aqui é tão descontínua no tempo (às vezes sobra, quase sempre falta...). Um grande abraço, Nehab PS: Um conselho de um coroa que admira seu tesão pelo estudo: não pendure livros na Internet. Sugira apenas sua compra, caso contrário de que adiantaria (eu, você, etc) escrever o livro que você sugeriu :-) ? Lembre-se que professores, matemáticos e geômetras também vivem de seu trabalho e um direitozinho autoral é uma ajuda fundamental no leite das crianças (mesmo que sejam netos...). At 11:02 14/9/2007, you wrote: Ola Nehab e Paulo, ja comecei a ESTUDAR o trabalho da Silvana (agora vou ficar bom nisso, que nem o Nehab), e tambem vi que ela fala sobre inversão. Conheco tambem um bom artigo sobre inversao para simplificar problemas complexos de geometria, que pode ser baixado no link: http://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.htmlhttp://www.4shared.com/file/24240164/f2daf78/InversaoProblemasGeometricos.html Acho que ja esta na hora de termos em lingua portuguesa um livro do tipo http://www.4shared.com/file/24241815/800655c3/Geometry_Revisited__HSM_Coxeter__SL_Greitzer_1967_.htmlGeometry Revisited com assuntos e problemas mais avancados como o Teorema de Pompeiu e aqueles de que trata a Silvana. O livro dos mestres Wagner e Morgado (tive a honra de ser aluno deles no Colegio Princesa Isabel, em botafogo) deu um bom inicio, mas agora merecemos mais. Tem professor IME/ITA aposentado nesta lista que poderia fazer muito bem esse trabalho. Tenho certesa que o livro seria um verdadeiro sucesso, Nehab... P.S.Tambem sou do Rio, Paulo Cesar. Abracos, Palmerim Em 13/09/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Palmerim, O problema abaixo é exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.htmlhttp://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico - UFA !
Oi, Palmerim, O problema abaixo é exatamente um dos dois problemas que eu mencionei na resposta a você. Portanto, não deixe de ler a tese da Silvana... ... E ja que estamos falando em diversidade de solucoes, existe um problema muito famoso, conhecido de todos aqui da lista, do mesmo tipo do que apresentei aqui, mas que possui oito excelentes solucoes que foram colecionadas pelo professor Tom Rike, que faz parte do Berkeley Math Circle (sei lah o que eh isso), e que vale a pena dar uma boa olhada e estuda-las (pelo menos para mim...). Esta no link abaixo: http://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.htmlhttp://www.4shared.com/file/24161313/99643ed9/An_Intriguing_Geometry_Problem.html Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Paulo Cesar, ... Mas enfim, assim que vi o problema com aquele triângulo 100º, 40º, 40º, desconfiei que fosse alguma variante daquela questão famosa do ângulo adventício de 30º (aprendi esse nome com o Nicolau). Por que será que esses problemas tão interessantes envolvem sempre os mesmos ângulos e triângulos? Conheço duas outras questões famosas (já postadas aqui) onde os mesmos triângulos de 100º, 40º, 40º e 20º, 80º, 80º aparecem, envolvendo congruências e paralelismos. Se você der uma olhada na referência que sugeri da tese Silvana (vai gostar, com certeza) encontrará parte de sua resposta, estudando um pouco sobre Complexidade na Geometria... Uma explicação simplista, mas já uma primeira motivação para você ler algo sobre isto, é que tais ângulos recaem em problemas do terceiro grau, e não como os problemas menos complexos, que admitem solução do segundo grau. A propósito, sou do Rio, e você? Abraços, Nehab
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Palmerim, Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar comigo. Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução geométrica. A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade: 1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde A = 20; traçam-se por B e C cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB; 2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100. marca-se D no prolongamento de AB de tal forma que AD = BC. Pergunta-se o angulo BCD. O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a geometria do polígonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 lados) e suas diagonais. Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo Nicolau) cujo capítuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capítulo é simples. Copie este link e baixe o pdf: http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=2url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdfei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcGusg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Qsig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g Bem, agora vamos à solução do problema que você propôs: Lema (que está demonstrado no texto mencionado): Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu círculo circunscrito. Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que: a) B é o centro do octadecágono e BC o raio; b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC; Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus. Abraços, Nehab PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ... que ela desenvolve de uma forma muito elegante e interessante. Para os interessados neste problema, especialmente, veja o link http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml do maravilho site www.cut-the-knot.com. Nenhum amante da geometria pode desconhecer este site... At 10:20 12/9/2007, you wrote: Maravilha!!! Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao puramente geometrica, agradeço. Abracos, Palmerim Em 12/09/07, Rogerio Ponce mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' Palmerim e colegas da lista, vou dar uma solucao feiosa mesmo, isto e', por trigonometria... Sem perda de generalidade, vamos atribuir um comprimento unitario a cada lado de ABC. Agora, trace a vertical que passa pelo vertice E, encontrando o prolongamento ( 'a esquerda) de BD no ponto F. Vamos usar o triangulo DEF para calcular a tangente do angulo DEF = x +10 graus. Assim, tg (x+10) = FD / EF = (FB + 1 - DC) / EF Como EB=1, e o angulo BEF=10 graus , temos que: EF=cos10 FB=sin10 Aplicando lei dos senos no triangulo ADC, vemos que DC= sin20 / sin100 Substituindo os valores no calculo da tangente, obtemos tg (x+10) = ( sin10 + 1 - sin20 / sin100 ) / cos10 Substituindo sin20 por 2 * sin10 * cos10 , assim como sin100 por cos10, vem: tg (x+10) = ( 1 - sin10 ) / cos10 Entao, lembrando da velha formuleta (1 - sinA) / cosA = tg ( 45 - A/2 ) , finalmente podemos escrever: tg (x+10) = tg ( 45 - 10/2 ) = tg 40 Que nos da' x=30 graus. []'s Rogerio Ponce Palmerim Soares mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao puramente geometrica (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo: http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpghttp://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg Obrigado, Palmerim Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/Saiba mais .
Re: [obm-l] numera�
Oi, Kleber, Se eu entendí o que você perguntou você quer saber a quantidade total de símbolos usados para escrever de 1 até 10^n -1 , é isto? Por exemplo (se eu entendi...), para escrever de 1 a 99 no nosso sistema decimal usual, é necessario usar 9 símbolos para os números de (1 a 9), mais 180 símbolos para escrever de 10 a 99 (que corresponde a 2 simbolos para cada um dos 90 números), etc: Se minha interpretação esta correta, vamos lá: - Decimal usual Qde = (10 - 1) + 2* (100 - 10) + 3 * (1000 - 100) + ... + n [10^n - 10^(n-1) ] Qde = n.10^n - [ 1 + 10 + 100 + 1000 + ...+ 10^(n-1) ](note a PG) Qde = n.10^n - (10^n - 1)/9 Egípcio Suponha, por exemplo, que você escreveu os números de 1 a 99 e que usou até ai X símbolos. Para escrever os números de 101 a 999 precisamos unir as escritas destes 99 números números com: - 1 símbolo de 'centena' para escrever os números de 101 a 199 (falta o 100); - 2 símbolos de 'centena' para escrever os números de 201 a 299 (falta o 200); - 3 símbolos de 'centena' para escrever os números de 301 a 399 (falta o 300)... ... - 9 símbolos de 'centena' para escrever os números de 901 a 999; Mas ficaram faltando o 100, 200, ... e o 900, o que exige um total (1+2+...+9) símbolos de centena, ou seja, 45 símbolos a mais. Então, no total, para escrevermos os números de 100 a 999 usamos 9X + 45 símbolos ! De uma maneira geral (perceba que o raciocínio anterior se mantém), chamando de Q(n) a quantidade de símbolos para escrever os numeros de 1 a 10^n - 1 usaremos 9 vezes esta quantidade para completar a escrita de 10^n até 10^(n+1) -1 acrescidos de 1+2+3+...+9 = 45 símbolos. Assim: Q(n+1) = Q(n) + 9 Q(n) + 45 , ou seja, Q(n+1) = 10.Q(n) + 45 e obviamente Q(1) = 45 (1 pauzinho mais 2 pauzinhos, etc) Esta recorrência é clássica (uma progressão aritmética-geométrica). Logo, Q(n) = 5(10^n - 1) Espero não ter me distraído... Abraços, Nehab PS: Possivelmente para o caso egípcio n é no maximo 6 pois não conheço símbolo maior que 1 milhão neste sistema de numeração. At 12:00 12/9/2007, you wrote: Considere o sistema de numeração por agrupamento aditivo egípicio e o sistema de numeração decimal indo-arábico. Para cada n pertencente aos naturais, determine expressões para as quantidades de símbolos necessários para expressar todos os números naturais menores que 10^n em cada um dos sistemas. -- Kleber B. Bastos
Re: [obm-l] SOMA DAS RA�ZES
Oi, Arkon. Acho que você tá precisando colocar um formulariozinho de trigono em sua mesinha de cabeceira :-) Use: sen3x = 3.sen x - 4.(senx)^3 e sen2x = 2.sen x . cos x (sen x)^2 = 1 - (cos x)^2 e tente fazer o exercício. Abraços, Nehab At 16:14 12/9/2007, you wrote: Alguém pode resolver, por favor, esta:?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office / ?xml:namespace prefix = v ns = urn:schemas-microsoft-com:vml /(AFA-97) A soma das raízes da equação sen 3x + sen 2x = 0 para 0 = x = pi é : a) 6.pi/5. b) 9.pi/5. c) 11.pi/5. d) 13.pi/5. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] Duro de Matar Geometrico
Oi, Paulo Cesar, Gostei muito da solução. Eu bem que tentei mas não havia conseguido uma solução tão geometrica e bonita. Mas quanto a fortalecer simulados, tu é mau pra caramba, hein... :-) Sua solução também inspira outra solução para a propriedade que mencionei das diagonais do octadecágono. E confesso que não conhecia o problema. Será que o Palmerim sabe a origem deste problema ? Não vale dizes que caiu em prova, pois vou achar que foi na sua... Abraços, Nehab At 22:32 12/9/2007, you wrote: Olá Palmerim. Caso ainda reste alguma curiosidade sobre o problema, aí vai mais uma solução. Tal solução, como disse o Nehab, é mesmo referente aos polígonos eneágono e octadecágono, mas a abordagem é um pouco mais independente das construções desses polígonos. Aí vai: Trace o segmento CE, cortando AB em F. Trace agora o segmento DF. O triângulo CBE é isósceles, logo BCE = BEC = 40º. Note que o quadrilátero AFDC será um trapézio isósceles (observe os ângulos de 20º e 40º que as diagonais formam com os lados oblíquos). Logo, temos que FD é paralelo a AC e, portanto, BFD = 60º. Concluímos então que o triângulo BFD é equilátero com BF = FD = BD. Observe agora o triângulo BEF. O mesmo é isósceles (40º, 40º, 100º), daí BF = FE. Finalizando, veja então que o triângulo DEF é isósceles (FD = EF, 10º 10º e 160º). Como BED = x temos x = 40º - 10º = 30º. Espero ter ajudado. Agradeço pela questão. Serviu para fortalecer um dos simulados do curso onde trabalho. []'s PC
[obm-l] R = 2r por geometria...
Ao colega 'perdido', Não consegui localizar quem havia solicitado, há pouco tempo, uma demonstração 'puramente geomérica' que o raio do círculo circunscrito a um triângulo é maior ou igual ao diâmetro do circulo inscrito (na verdade a iguladade só vale no equilátero). Confesso que havia pensado no problema mas, ai vai a historinha...: - Primeiro pensei como seria em um triângulo retângulo: trivial, pois o triângulo retângulo está contido na 'metade' de seu círculo circunscrito e, então, seu círculo inscrito está inteiramente contido no semicírculo circunscrito. Logo, R = 2r e note que o mesmo raciocínio também vale para um triângulo obtusângulo. - Então fiquei ralando' nos triângulos acutângulos... Pensei: uma boa idéia seria tentar dobrar o triângulo original (suponha-o ABC), pois ai eu teria um triângulo com raio inscrito igual a 2r. Traçando paralelas aos lados pelos vértices ABC seria uma boa forma de 'dobrá-lo' (chame tal triângulo de A'B'C').Ai, olhei, olhei e não vi. Faltou o pulo do gato e 'encostei o problema' Esta semana, absolutamente por acaso, folheando o Lidski, lá estava o maldito problema (359) e o pulo do gato também. Para quem não tem Lidski ai vai o pulo do gato (apenas): construa um triângulo paralelo a A'B'C' com lados tangentes ao círculo circunscrito do triângulo original ABC (chame-o de ABC) e olhe, olhe, e olhe, que você vê que o A'B'C' está contido em A'BCe então seu círculo circunscrito é menor ou igual a R, que por sua vez, é menor ou igual a 2r... Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA
Oi, Arkon. Escreva sua expressão assim, dividind os dois polinômios...: (n+31)/(n-4) = 1 - 35/(n-4). Agora continue... Abraços, Nehab At 12:29 31/8/2007, you wrote: Pessoal alguém pode resolver , por favor, esa: ?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office / Existem quatro números naturais que o quociente n + 31/n 4 é um número natural. A soma desses quatro números é igual a: a) 64. b) 68. c) 72. d) 78. e) 89. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] SOMA
Obviamente errei as contas e o Saulo respondeu corretamente, Abraços, Nehab At 18:27 31/8/2007, you wrote: Oi, Arkon. Escreva sua expressão assim, dividind os dois polinômios...: (n+31)/(n-4) = 1 - 35/(n-4). Agora continue... Abraços, Nehab At 12:29 31/8/2007, you wrote: Pessoal alguém pode resolver , por favor, esa: ?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office / Existem quatro números naturais que o quociente n + 31/n 4 é um número natural. A soma desses quatro números é igual a: a) 64. b) 68. c) 72. d) 78. e) 89. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] Ge�metras de Plant
Oi, Geo, Antes de mais nada, não esqueça de assinar algum nome. Para mim, pelo menos, não é instigante escrever sem saber o nome de meu destinatário. Na boa :-) Bem, longe de ser geômetra, apenas uma dica básica para os problemas que você listou... Assim como a razão entre as áreas de duas figuras planas semelhante é o quadrado da razão de semelhança, a razão entre os volumes de duas figuras semelhantes (ou homotéticas se preferir) é o cubo da razão (linear, é claro) de sua semelhança. Exemplos: Se um triângulo é o triplo de um outro (no sentido usual de razão entre segmentos correpondentes), sua área é 3^2 = 9 vezes a área do outro; Da mesma forma se um cubo, uma pirâmide, ou seja lá o que for for o quádruplo de outra figura (no sentido da razão linear usual de semelhança) seu volume é 4^3 = 64 vezes o volume da outra Abraços, Nehab 1-)Um cone tem 6cm de altura. A que distância do vértice deve estar uma seção transversal para que o volume do cone destacado seja 8/27 do volume do cone dado ? 2-)Um tanque cônico de diâmetro de base D, inicialmente cheio, despeja água através de um dreno de diâmetro a dentro de um tanque cilíndrico inicialmente vazio, que também tem diâmetro D. O tanque cilíndrico tem um dreno de diâmetro b em seu fundo. Determine o valor mínimo de b para que o tanque cilíndrico não transborde, sabendo que o volume total do tanque cônico é o dobro do volume do tanque cilíndrico. Considere que o tanque cilíndrico dispõe de uma válvula que permanece fechada até seu nível máximo de água ser atingido, após o que é aberta. Obs.: Existe alguma relação entre o volume e a altura entre o cone e o tronco de cone ? Pessoal muito obrigado, um abraço a todos.
RE: [obm-l] CONE SUL 1996
Oi, José, Caros colegas, se possivel, gostaria que me ajudassem a resolver este problema de matematica! O triangulo ABC, retangulo em Â, e tal que A^BC A^CB. Abissetriz interna de  intercepta o lado BC em D. Seja HD perpendicular a BC (H entre A e C). Nestas condiçoes podemos afirmar que o angulo H^BD mede, em graus: Propriedade: Uma bissetriz divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos dois outros lados. Assim, dividir a proporcionalmente a b e c determina em a os segmentos a x b/(b+c) e a x c/(b+c), ok? Ou seja: BD = ac/(b+c) e DC = ab/(b+c). (1) Mas os triângulos HDB e BAC são ambos retângulos e têm um ângulo em comum (C). Logo, são semelhantes. Então HD/DC = c/b. (2) Logo, substituindo (1) em (2) obtemos HD = ac/(b+c). Logo, HD = BD e seu ângulo HBD vale 45o. Abraços, Nehab
Re: [obm-l] IME - ITA - Provas
Luiz, Acho melhor você ficar antenado nesta lista e dar uma paquerada nos seguintes sites, que já enviei como dica para outro colega. Em primeiro lugar, site da OBM. Artigos da revista Eureka e a revista inteira: http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm O site Majorando, de dois olímpicos, também é muitíssimo interessante. http://majorando.com/ (vá em artigos: http://majorando.com/?page_id=12) No site do grupo Teorema, muito bom: http://www.grupoteorema.mat.br/ O grupo rumoaoita também oferece alguns textos interessantes em seu site (embora seja de uma instituição com fins lucrativos) www.rumoaoita.com/matematica.php Mas vá com calma. A sensação de mula, no fundo no fundo é estimulante para os neurônios... :-) Abraços, Nehab At 12:55 25/8/2007, you wrote: Olá Carlos!!! Tudo bem??? Gostei muito deste link c/ as questões do IME... Mas também acabei me sentindo uma mula... Você, ou alguém do grupo, poderia me indicar uma bibliografia decente para encarar problemas como esses??? Abração para todos. Luiz. On 8/24/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, filhote de Anne Rice (rsrsrs) Beleza Vá em http://www.lps.ufrj.br/profs/sergioln/ccount11/click.php?id=20http://www.lps.ufrj.br/profs/sergioln/ccount11/click.php?id=20 para as provas de matemática do IME. Ug, Nehab At 14:49 24/8/2007, you wrote: Oi Pesssoal... beleza? ... Tipo que eu estava querendo as provas do ime ( se possível com todas as matérias - mais significamente mat, fis e qui de 99 pra cá) resolvidas... Alguém sabe onde posso achar ou pode me passar se tiver? Ah... se tiver as antigonas pode mandar que também quero!!! Até! Desde já agradeço!
Re: [obm-l] Rela�ao Metrica
Oi, Rita: Uma soluçao simples é chamar os catetos de b e c e observar que você recai num sisteminha simples, pois: b^2+c^2 = a^2 = 100 (Pitágoras) bc = ah = 48 (Propriedade simples que se obtém por semelhança) Lembrando que b^2 + c^2 - 2bc = (b - c)^2 e b^2 + c^2 + 2bc = (b + c)^2, fica simples fazer as contas... (b - c)^2 = 100 - 96 = 4 --- b - c = 2 (b + c)^2 = 100 + 96 = 196 --- b + c = 14 Logo os catetos são os manjados 6 e 8 (no sentido que é um triângulo semelhante ao 3, 4, 5) Abraços, Nehab At 13:56 26/8/2007, you wrote: Caros colegas, Nao consegui resolver esta questão, talves eu nao esteja cosegundo observar todos os angulos da questão, quem pode me ajudar. A altura relativa a hipotenusa de um triangulo retangulo mede 4,8 e a hipotenusa 10. Quais os valores dos catetos? Rita Gomes
Re: [obm-l] IME - ITA - Provas
Oi, filhote de Anne Rice (rsrsrs) Beleza Vá em http://www.lps.ufrj.br/profs/sergioln/ccount11/click.php?id=20 para as provas de matemática do IME. Ug, Nehab At 14:49 24/8/2007, you wrote: Oi Pesssoal... beleza? ... Tipo que eu estava querendo as provas do ime ( se possível com todas as matérias - mais significamente mat, fis e qui de 99 pra cá) resolvidas... Alguém sabe onde posso achar ou pode me passar se tiver? Ah... se tiver as antigonas pode mandar que também quero!!! Até! Desde já agradeço!
Re: [obm-l] Desigualdade II
Oi, Bruna, Em geral a gente é tentado a desenvolver (x+y+z)^2 , para resolver esta questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e z^2, possuem coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2. Então temos que encontrar uma forma de empatar os coeficientes, ou seja, gostaríamos de ter 2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação para perceber que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o desenvolvimento de (x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre = 0 Abraços, Nehab At 04:08 23/8/2007, you wrote: Olá meninos voltei. rs Mais uma de desigualdade x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz. -- Bjos, Bruna
Re: [obm-l] RESTO
Oi, Arkon, Note que se você divide um polinômio P(x) por um polinômo de segundo grau, o resto é no máximo do primeiro grau, certo? P(x) = (x^2 - 1).Q(x) + (Ax+B) Faça x = 1 e x = -1 nesta igualdade, pois tais valores anulam x^2 - 1 e pronto, você descobre A e B. Nehab At 13:00 23/8/2007, you wrote: Alguém pode resolver esta: O resto da divisão de 1 + x + x2 + ... + x100 por x2 1 é:?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office / a) 0. b) x + 1. c) 50x + 50. d) 50x + 51.e) 51x + 50. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] Desigualdade II
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (ufa) e Artur e Bruna também... Como não sei qual série a Bruna cursa, minha sugestão foi no sentido de não usar nada além do básico, da mesma forma que sua segunda solução e da solução que o Artur sugeriu. Mas já que o você, Iórran Pêter Lejêne Dirixileti, mencionou a solução de rearranjo, não sei se você conhece um ótimo texto do Marcio Cohen e do Rodrigo Villard sobre desigualdades homogênas (que também é o caso do exercício da Bruna) disponível em http://majorando.com/?page_id=12 na seção artigos avançados (não confundir com o texto em intermediário) sob o título 'Desigualdades. Certamente, se você não conhecer o artigo e/ou o tema, vai adorar. E releve a brincadeira do nome, pois eu nunca sei como chamá-lo... dá um trabalhão... Ainda bem que tem o copiar/colar... Abração Nehab At 16:11 23/8/2007, you wrote: Dá pra usar rearranjo: Se A=B=C e a=b=c Então Aa+Bb+Cc=Ab+Bc+Ca Se fizermos A=a, B=b, C=c, acabou! Outro modo é usar Médias mesmo: x^2+y^2=2xy, escreve para os outros pares de variáveis, soma tudo e fim! Em 23/08/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Bruna, Em geral a gente é tentado a desenvolver (x+y+z)^2 , para resolver esta questão, mas não obtemos sucesso, pois as parcelas x^2, y^2 e z^2, possuem coeficiente 1, e as parcelas xy, xz e yz têm coeficientes 2. Então temos que encontrar uma forma de empatar os coeficientes, ou seja, gostaríamos de ter 2.x^2, 2.y^2 e 2.z^2.Esta é a motivação para perceber que o que deve funcionar (para resolver o problema) é o desenvolvimento de (x - y)^2 + (x - y)^2 + (y - z)^2 que, como é soma de quadrados, é sempre = 0 Abraços, Nehab At 04:08 23/8/2007, you wrote: Olá meninos voltei. rs Mais uma de desigualdade x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz. -- Bjos, Bruna -- Ideas are bulletproof. V
Re: [obm-l] Imagem da uni�o de dois conjuntos
Oi, Renan,
(ia responder em off, mas acho que este assunto é de interesse geral)
Você está certo. Na verdade você provou apenas que f(A inter B) =
f(A) inter f(B) (está contido)
Eis o que você escreveu:
{f(x): x pertence (A inter B)} - {f(x): x pertence A e x pertence B}.
Aqui, você está no contexto do se e somente se. Está
perfeito. Mas quando você coloca se x pertence a A, etc
você não está mais no se e somente se...
Veja seu argumento (recheado com um pouco mais de detalhes):
Quero provar que f(A inter B) = f(A) inter f(B). Então provemos que:
a) f(A inter B) = f(A) inter f(B)
b) f(A) inter f(B) = f(A inter B)
Para provar a) vejamos (foi o que você fez):
Seja y em f(A inter B); então há x em (A inter B) tal que f(x) = y
Mas se x está em (A inter B) podemos afirmar que x está em A e x está em B;
Logo, y = f(x) está em f(A) e y = f(x) está em f(B); logo este
mesmo y está em na interseção, ou seja, f(A) inter f(B). Isto você
provou, como está escrito abaixo (mas acho que começando um pouco
pelo meio, pois se você quer provar que M = N forçosamente comece
assim: seja z em M até chegar a z em N; e você começou assumindo
um x em A, que não está diretamente ligado ao que você quer provar -
deu para entender?):
se x pertence a A, f(x) pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x)
pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) - f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Mas em nenhum momento você provou que dado um y em f(A) inter
f(B) tal y está em f(A inter B), pois, veja (item b) :
Seja y em f(A) inter f(B); logo, y está em f(A) e em f(B) (pois
está na interseção dos conjuntos, logo está em cada um deles); mas
se y está em f(A) há algum sujeito em A, chamemo-lo de x1 tal
que f(x1) = y; e se y está em f(B) há algum cara em B (chamemo-lo
de x2) tal que f(x2) = y.Então você tem um cara x1 em A e um
cara x2 em B e pronto (e mais nada). Mas se x1 e x2 forem o mesmo
cara, então de fato você teria um x=x1=x2 em A inter B e então
haveria um x em A inter B tal que f(x) = y ou seja, tal y estaria
(como desejamos) em f(A inter B).
E é fácil ver que se f for injetora, de fato x1 e x2 seriam iguais e
isto fecharia sua demonstração )ou seja a seginda inclusão para
justificar a igualdade dos conjuntos).
Esta dificuldade que você assinalou, que é comum, me lembrou quando
fui aluno do Prof. Barbosa no IME (ih em 1969 e 70) e ele nos
enlouquecia com milhares de exercícios deste tipo e muitos na época
achavam um saco.Ledo engano. Foram estes exercícios que
certamente nos deram a clareza que hoje minha tchurma tem no que
poderíamos chamar de prática de lógica e de teoria dos conjuntos básicos).
Abração
Nehab
PS: Conseguiu dar uma paquerada nos livros que sugeri ?
At 21:31 23/8/2007, you wrote:
Olá a todos!
Estou iniciando o estudo de análise real pelo livro do A.J. White
(Análise Real, uma introdução) e Kolmogorov Fomin (Introductory Real
Analysis, é a terceira edição da tradução do R. Silverman).
Resolvendo os primeiros exercícios do A.J. White encontrei dificuldade em:
f( A inter B) = f(A) inter f(B) sse f é injetora.
Onde f(X) denota o conjunto dos f(x) tal que x pertence a X.
Parece razoavel a premissa de que f é injetora, mas, na demonstração,
não encontro essa condição. Além disso, na página 6 do Kolmogorov há
uma prova que não necessita que a função seja injetora NO CASO DE f(A
união B).
Procedi da seguinte forma na prova: {f(x): x pertence (A inter B)} -
{f(x): x pertence A e x pertence B}. Mas se x pertence a A, f(x)
pertence a f(A) e se x pertence a B, f(x) pertence a f(B), dessa forma
f(x) pertence a f(A) e a f(B) - f(A inter B) = f(A) inter f(B)
Essa prova não é válida, já que encontrei contra-exemplos, mas não
consigo encontrar o erro (já que existem casos que A inter B = vazio e
f(A) inter f(B) não é vazio, casos em que f não é injetora). Uma coisa
me ocorreu enquanto escrevia, o problema foi não ter provado que f(A)
inter f(B) está contido em f(A inter B) ?
Agradeço qualquer ajuda,
Abraços,
J. Renan
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Integral Gaussiana
Oi, Shine,
Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício
clássico? Já procurei no passado outros caminhos, inclusive
utilizando séries, mas não fui bem sucedido.
Abraços,
Nehab
At 10:56 22/8/2007, you wrote:
Oi Henrique,
Você pode consultar a Wikipedia, em
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral
para uma solução (ligeiramente) mais detalhada.
De qualquer forma, você tem que estudar coordenadas
polares (em especial, por que dx dy = r dr dtheta)
para entender essa solução em particular.
[]'s
Shine
--- Henrique Rennó [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá!
Encontrei em um livro uma integral que o autor chama
de integral Gaussiana.
Não achei a solução muito clara. Alguém poderia me
explicar com ela foi
obtida?
Mostrar que:
int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2]} dx = [(2*pi)/a]^(1/2)
A solução do livro é:
Primeiro ele chama a integral de I e eleva ao
quadrado ambos os lados:
I^2 = int_-inf_inf int_-inf_inf {e^[(-a/2)*x^2 +
(-a/2)*y^2] dx.dy
I^2 = int_-inf_inf int_0_2*pi {e^[(-a/2)*r^2]}
r.dr.dtheta
I^2 = pi * int_0_inf {e^[(-a/2)*u]} du
I^2 = (2*pi)/a
I = [(2*pi)/a]^(1/2)
Ele considera x = r.cos(theta), y = r.sen(theta) e u
= r^2
Em livros de cálculo, qual seria a parte de
integrais que eu deveria estudar
para obter o conhecimento utilizado nessa solução?
Obrigado!
--
Henrique
Park yourself in front of a world of choices in alternative
vehicles. Visit the Yahoo! Auto Green Center.
http://autos.yahoo.com/green_center/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Integral Gaussiana
Oi, Nicolau, Adorei, Obrigado, Nehb At 15:28 22/8/2007, you wrote: On Wed, Aug 22, 2007 at 12:34:39PM -0300, Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote: Oi, Shine, Você conhece alguma demonstração que não utilize este artifício clássico? Já procurei no passado outros caminhos, inclusive utilizando séries, mas não fui bem sucedido. Eu não sou o Shine, mas vou responder. Calcular esta integral é equivalente a calcular (-1/2)! = Gamma(1/2) = sqrt(pi) onde Gamma é a função Gamma de Euler, ou seja, definimos a! = int_0^infty t^a e^(-t) dt De fato, fazendo a substituição s^2 = t temos int_0^infty e^(-s^2) ds = (1/2) int_0^infty t^(-1/2) e^(-t) dt = (1/2)! Para provar que (-1/2)! = sqrt(pi) podemos usar o seguinte limite: a! = lim_(n - infty) n^a * n!/(a+1)(a+2)...(a+n) Este limite é conseqüência da convexidade de log(Gamma(x)). Assim, (-1/2)! = lim_(n - infty) n!/(sqrt(n)*(1/2)*(3/2)*...*((2n-1)/2)) = lim_(n - infty) 2^(2n)*(n!)^2/(sqrt(n)*(2n)!) Agora usamos Stirling: n! ~= n^n e^(-n) sqrt(2 pi n) para obter (-1/2)! = lim_(n - infty) 2^(2n)*n^(2n)*e^(-2n)*2*pi*n/sqrt(n)*(2n)^(2n)*e^(-2n)*sqrt(2*pi*n) = sqrt(pi) Bem, a outra solução ainda é mais simples... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off
Não resisti: Pois então menina :-), sua apostila está errada... Abraços, Nehab, um menino, há muito e muito tempo... At 04:43 21/8/2007, you wrote: Olá meninos, na minha apostila só fala que a e b são reais não nulos. -- Bjos, Bruna
Re: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off
Puxa, Bruna, O que tem menino esperto nesta lista... Você nem imagina! Mas só o oninem espelhado encerrou o assunto... Abraços, Nehab At 14:29 21/8/2007, you wrote: a desigualdade é válida para todo a e b real não nulo desde que tenham o nesmo sinal, podendo portanto serem ambos negativos tambem. os menimos não viram isto ? Ojesed. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Artur Costa Steiner To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, August 21, 2007 11:18 AM Subject: RES: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off Eh, mas se puderem ser negativos a desigualdade nao eh valida. Os meninos aqui, incluinodo este aqui, menino do inicio dos anos 60, viram isso Artur -Mensagem original- De: mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: terça-feira, 21 de agosto de 2007 08:04 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Desigualdade, meninos e meninas... quase-off Não resisti: Pois então menina :-), sua apostila está errada... Abraços, Nehab, um menino, há muito e muito tempo... At 04:43 21/8/2007, you wrote: Olá meninos, na minha apostila só fala que a e b são reais não nulos. -- Bjos, Bruna -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.484 / Virus Database: 269.12.1/963 - Release Date: 20/8/2007 17:44
Re: [obm-l] algebra linear
Oi, Klaus, Pense no plano, por exemplo: X_y = X_0 + y(X_1 - X_0)emas X1 - X_0 é um vetor paralelo à reta que une os pontos X_0 e X_1. Este X_y é a equação da reta que une os pontos X_0 e X_1. Ou seja, variando y em Reais você cobre a reta... Se y estiver entre 0 e 1, o X_y é a expressão de qualquer ponto interno ao segmento que une os dois pontos. Por exemplo, se y = 1/2 que você tera o ponto médio, certo? Esta é a motivação de escolher tal X_y: a reta Abraços, Nehab At 09:27 20/8/2007, you wrote: Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz mx1. Se o sistema linear AX = B possui duas soluções distintas X_0 X_1, então ele tem infinitas soluções. Esse é um teorema que tem em qualquer livro de álgebra linear. Tenho um livro aqui que a demonstração é a seguinte: Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 , vamos mostrar que X_y é solução do sistema AX=B para qualquer y pertencente a R. Para isto vamos mostrar que AX_y=B. Minha dúvida é de onde saiu Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 ? Grato. Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/Saiba mais.
Re: [obm-l] ajuda em complexo
Oi, Rivaldo. Agora que pude ler o enunciado... De fato; mas o Saulo não disse que serve qualquer alfa 3/4 (pois aí estaria de fato errado). Mas a questão é de múltipla escolha e então, veja o que o Saulo na verdade disse: se o enunciado do problema vale ENTÃO, dentre as opções de resposta, EU (ele) JURO que MEU alfa satisfaz a opção A), pois MEUS alfas valem +0,707 ou - 0,707... Tenho duas observações: 1) de fato fato faltou explicitar que para os alfa encontrados há realmente 4 soluções para z; 2) a opção C também é válida e ai eu acho que a questão melou... Abraços, Nehab At 16:58 20/8/2007, you wrote: Se fosse alfa 3/4 , então poderiamos tomar alfa = 0 por exemplo, mas para alfa = 0 a equação não admite 4 raizes distintas, tem alguma coisa errada. Abs. Rivaldo sabendo que zb=conjugado de z z*zb=modz^2 entao temos (z/modz)^2=a*(1+i) z/modz=cosc+isenc cos2c+isen2c=a(1+i) cos2c=sen2 c=a -1=a=1 c=pí/8+npi a=+-rq2/2 a melhor resposta e a letra a, a3/4 e diferente de 1/2. On 8/16/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe prof Nehab e galera.Quem puder ajudar eu agradeço, Considere Z^2 = alfa* Z(1+i)* z(conjugado de z),onde alfa eh um numero real.Determine alfa de modo que a equacao tenha 4 raizes distintas. alternativas a)alfa 3/4,alfa diferente 1/2 b) alfa 4/5 c) alfa diferente 1/2 d) alfa = -1,5 ou alfa =1,5 e) ALFA =2 galera não tenho gabarito,o q vcs puderem ajudar eu agradeco Atenciosamente Wellington Silva -- *Check Out the new free AIM(R) Mail*http://pr.atwola.com/promoclk/100122638x1081283466x1074645346/aol?redir=http%3A%2F%2Fwww%2Eaim%2Ecom%2Ffun%2Fmail%2F-- Unlimited storage and industry-leading spam and email virus protection. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinat�ria e Probabilidade
Oi, Pedro e Salhab, Para minimizar f(n), Pedro, basta olhar o valor de f(n+1)/f(n) e ver quando esta joça é maior que 1. Ai você vê o crescimento de f(n): f(n+1) / f(n) = 3n/(60-n) 1 --- n 15 que é o que você queria, eu acho. Mas eu não entendi o problema ou o que vocês estão falando é simplesmente a distribuição (de probabilidade) chamada de binomial. O valor esperado da distribuição binomial é np, ou seja, 60 . 1/4 = 15. Vejamos: a probabilidade de você acertar k questões é, como Pedro já escreveu, P(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k). Desejamos então a média desta distribuição, ou seja, o somatório [ k . P(k) ], k de 0 a n Mas este somatório é simples (veja em http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution): usa apenas macetezinho bobo de combinações... para se provar que vale np. Abraços, Nehab At 02:22 18/8/2007, you wrote: Salhab, primeiro obrigado por tentar resolver o problema. Segundo, vou procurar te mostrar até onde cheguei, para ver se você consegue, porque conhece muito mais do que eu, solucionar de vez a questão. A chance de se acertar n questões - P(n) - é igual a (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n). Esse fator C(60,n) entra porque não foi estabelecida nenhuma ordem de acerto. Reescrevendo, separando o que varia do que é constante, temos: P(n) = (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * 3^n * n! * (60-n)!] Veja que, dessa forma, o numerador é constante e somente uma parte do denominador é variável. P(n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * f(n)], onde f(n) = 3^n * n! * (60-n)! O problema passa a ser minimizar f(n), n variando de 0 a 60. Para a+b = 60, ab, C(60,a) = C(60,b), mas 3^a 3^b. Fica bem óbvio, então (embora isso já fosse algo intuitivo), que só temos de testar os valores até n = 30. Para n = 31, por exemplo, f(29) f(31) = P(29)P(31). Sobre intuitivmente acertarmos 1 questão a cada quatro... Vamos supor uma prova composta de 4 questões, cada uma com quatro alternativas. Nesse caso, f(n) = 3^n * n! * (4-n)!, e só precisamos testar até n = 2. Testando n=1... f(1) = (3 * 1! * 3!) = 18 Testando n=2... f(2) = (3^2 * 2! * 2!) = 36. De fato, acertar uma questão é o mais provável. Acertar 15 de 60 também seria portanto o resultado mais provável para a UERJ. Acho, aliás, que eu poderia supor ser essa prova de 60 questões a junção de 15 provas de 4 questões. E, testando alguns valores, lembrando que f(n) tem de ser minimizado, temos: f(14) = 3^14 * 14! * 46! f(15) = 3^15 * 15! * 45! = f(14)*45/46 f(16) = 3^16 * 16! * 44! = f(14)*48/46 f(15)f(14)f(16), o que faz sentido. A chance deve crescer de 1 até 15 e descrescer de 15 até 60. Mas eu ainda queria saber como minimizar f(n) = 3^n * n! * (60-n)! Grato, Pedro Lazéra Cardoso _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinat�ria e Probabilidade
Oi, Corrigindo (me atrapalhei nas contas - fui fazer mentalmente e errei): f(n+1) / f(n) = 3(n+1)/(60-n) 1 --- n 14,25 --- n = 15 Nehab At 08:33 18/8/2007, you wrote: Oi, Pedro e Salhab, Para minimizar f(n), Pedro, basta olhar o valor de f(n+1)/f(n) e ver quando esta joça é maior que 1. Ai você vê o crescimento de f(n): f(n+1) / f(n) = 3n/(60-n) 1 --- n 15 que é o que você queria, eu acho. Mas eu não entendi o problema ou o que você estão falando é simplesmente a distribuição (de probabilidade) chamada de binomial. O valor esperado da distribuição binomial é np, ou seja, 60 . 1/4 = 15. Vejamos: a probabilidade de você acertar k questões é, como Pedro já escreveu, P(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k). Desejamos então a média desta distribuição, ou seja, o somatório [ k . P(k) ], k de 0 a n Mas este somatório é simples (veja em http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution): usa apenas macetezinho bobo de combinações... para se provar que vale np. Abraços, Nehab At 02:22 18/8/2007, you wrote: Salhab, primeiro obrigado por tentar resolver o problema. Segundo, vou procurar te mostrar até onde cheguei, para ver se você consegue, porque conhece muito mais do que eu, solucionar de vez a questão. A chance de se acertar n questões - P(n) - é igual a (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n). Esse fator C(60,n) entra porque não foi estabelecida nenhuma ordem de acerto. Reescrevendo, separando o que varia do que é constante, temos: P(n) = (1/4)^n * (3/4)^(60-n) * C(60,n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * 3^n * n! * (60-n)!] Veja que, dessa forma, o numerador é constante e somente uma parte do denominador é variável. P(n) = (1* 3^60 * 60!) / [4^60 * f(n)], onde f(n) = 3^n * n! * (60-n)! O problema passa a ser minimizar f(n), n variando de 0 a 60. Para a+b = 60, ab, C(60,a) = C(60,b), mas 3^a 3^b. Fica bem óbvio, então (embora isso já fosse algo intuitivo), que só temos de testar os valores até n = 30. Para n = 31, por exemplo, f(29) f(31) = P(29)P(31). Sobre intuitivmente acertarmos 1 questão a cada quatro... Vamos supor uma prova composta de 4 questões, cada uma com quatro alternativas. Nesse caso, f(n) = 3^n * n! * (4-n)!, e só precisamos testar até n = 2. Testando n=1... f(1) = (3 * 1! * 3!) = 18 Testando n=2... f(2) = (3^2 * 2! * 2!) = 36. De fato, acertar uma questão é o mais provável. Acertar 15 de 60 também seria portanto o resultado mais provável para a UERJ. Acho, aliás, que eu poderia supor ser essa prova de 60 questões a junção de 15 provas de 4 questões. E, testando alguns valores, lembrando que f(n) tem de ser minimizado, temos: f(14) = 3^14 * 14! * 46! f(15) = 3^15 * 15! * 45! = f(14)*45/46 f(16) = 3^16 * 16! * 44! = f(14)*48/46 f(15)f(14)f(16), o que faz sentido. A chance deve crescer de 1 até 15 e descrescer de 15 até 60. Mas eu ainda queria saber como minimizar f(n) = 3^n * n! * (60-n)! Grato, Pedro Lazéra Cardoso _ Mande torpedos SMS do seu messenger para o celular dos seus amigos http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] revistas e publica��es on line - onde encontrar
Oi, Johnson Há varios sites onde você encontrará bons textos e/ou dicas em português. Divirta-se: Em primeiro lugar, no site da OBM. Artigos da revista Eureka e a revista inteira: http://www.obm.org.br/frameset-eureka.htm O site Majorando, de dois olímpicos, também é muito interessante. http://majorando.com/ (vá em artigos: http://majorando.com/?page_id=12) No site do grupo Teorema, muito bom: http://www.grupoteorema.mat.br/ Um site que admiro mas que não conheço pessoalmente o autor, embora quase que só com coisas muito básicas (um trabalho sério, honesto e legal) - mas aparentemente pararam de atualizar. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ O grupo rumoaoita também oferece alguns textos interessantes em seu site (embora seja de uma instituição com fins lucrativos) www.rumoaoita.com/matematica.php Bem, certamente estou esquecendo outras iniciativas importantes, mas os demais colegas poderão completar minha pequena lista. Abraços, Nehab At 11:26 18/8/2007, you wrote: Ola amigos ! Gostaria de pedir informações de voçes onde encontrar revistas e blublicações de artigos on line de matematica. de preferencia em portugues por favor sou pessimo em ingles, mais se nao tiver jeito que seja em ingles mesmo. Eu vi o pessoal falando de publicações dos responsaveis da lista so que nao sei onde encontra- las então gostaria do auxilio de voçes. muito obrigado ;)
Re: [obm-l] ajuda em complexo
OI, Edite sua pergunta de outra forma. Olhe o que eu recebi... Nehab At 17:14 15/8/2007, you wrote: ei galera quem puder ajudar eu agradeço, Considere a equação Z^2 = alfa*Z(1+i)*z(lê-se (conjugado de zê),onde alfa é um número real.Determine alfa de modo que a equação tenha 4 raÃzes distintas. alternativas a)alfa 3/4,alfa diferente 1/2 b) alfa 4/5 c) alfa diferente 1/2 d) alfa = -1,5 ou alfa =1,5 e) ALFA =2 galera não tenho gabarito,o q vcs puderem ajudar eu agradeço Atenciosamente Wellington Silva -- http://pr.atwola.com/promoclk/100122638x1081283466x1074645346/aol?redir=http%3A%2F%2Fwww%2Eaim%2Ecom%2Ffun%2Fmail%2FCheck Out the new free AIM(R) Mail -- Unlimited storage and industry-leading spam and email virus protection.
Re: RES: [obm-l] divisibilidade II
Oi, Artur Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1)...+ a_0. Temos, entao, que N = P(10). Ok Sendo 0 k 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k). Você se refere à série de Taylor? Não entendi o porque da série de Taylor justificar k | N sss k | P(10-k) (se for óbvio, não tô vendo...:-) Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e P(10-k) é uma combinação linear inteira de expressões 10^p - (10-k)^p que obviamente são divisíveis por k, pois a^p - b^p tem fator a-b = k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ... Você quis dizer 10^100 - 4, certamente. que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6 = (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal. Também achei legal. Apenas realmente não entendi como você enxergou sua afirmativa pensando na série de Taylor. Obrigado pelas dicas Abração, Nehab Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II Oi, Arthur, De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? Pode me explicar melhor ? Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando aritmética modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... Abração, Nehab PS: O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) --- 3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7). At 18:03 15/8/2007, you wrote: E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade Oi, Francisco, O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6. Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando módulo. Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente... Solução 1) Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto? Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428. Solução 2) Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante): Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r. Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7. Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente). Abraços, Nehab PS: Deixo a solução por módulo para os demais colegas. Abraços, Nehab At 15:39 15/8/2007, you wrote: Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ? Grato. -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-brCadastre-se já!
Re: [obm-l] ajuda em complexo
Oi, Jones, Ainda não entendi sua expressão, pois acho que é z^2 = alfa. z'.(1+i), onde z'é o conjugado de z, mas neste caso não há reposta certa... Seja o que for sua expressão ai vai o caminho das pedras... (se você conhecer o tal do cis teta = cos teta + i sen teta...) 1) Seja z = r cis teta; 2) Então é imediato que z^2 = r^2 cis (2.teta), z'= r cis (-teta); 3) Como 1+ i = raiz(2) cis pi/4, substituindo e simplificando, temos: r^2 cis(3teta-pi/4) = r. raiz(2) .alfa. Como alfa é real, é necessário que cis (3teta-pi/4) seja real (ou r = 0), ou seja: sen (3teta - pi/4) =0. Ai, seu z = 0 ou z = r cos (3teta-pi/4) para sen (3teta-pi/4) = 0 seriam as possíveis raízes. Como você deseja 4 soluções ao todo, seria necessário que houvesse 3 valores diferentes de cos (3teta-pi/4) tal que sen (3teta-pi/4) = 0 o que não dá pois cos teta só pode valer (neste caso) +1 ou -1 Se eu não dei bobeira... Abraços, Nehab At 16:31 16/8/2007, you wrote: Quem é o conjugado de quem? como pode dizer que z é conjugado de z? além disso, se for z* é o conjugado de z, porque ele conjuga alfa* e logo depois diz que ele é um número real? Sugestão: Reedite a sua fórmula. t+ Jones On 8/16/07, mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe prof Nehab e galera.Quem puder ajudar eu agradeço, Considere Z^2 = alfa* Z(1+i)* z(conjugado de z),onde alfa eh um numero real.Determine alfa de modo que a equacao tenha 4 raizes distintas. alternativas a)alfa 3/4,alfa diferente 1/2 b) alfa 4/5 c) alfa diferente 1/2 d) alfa = -1,5 ou alfa =1,5 e) ALFA =2 galera não tenho gabarito,o q vcs puderem ajudar eu agradeco Atenciosamente Wellington Silva -- http://pr.atwola.com/promoclk/100122638x1081283466x1074645346/aol?redir=http%3A%2F%2Fwww%2Eaim%2Ecom%2Ffun%2Fmail%2FCheck Out the new free AIM(R) Mail -- Unlimited storage and industry-leading spam and email virus protection.
Re: [obm-l] ajuda em complexo
Perdão, na última linha, leia-se .. não dá pois cos (3teta-pi/4) .. Nehab At 18:44 16/8/2007, you wrote: Oi, Jones, Ainda não entendi sua expressão, pois acho que é z^2 = alfa. z'.(1+i), onde z'é o conjugado de z, mas neste caso não há reposta certa... Seja o que for sua expressão ai vai o caminho das pedras... (se você conhecer o tal do cis teta = cos teta + i sen teta...) 1) Seja z = r cis teta; 2) Então é imediato que z^2 = r^2 cis (2.teta), z'= r cis (-teta); 3) Como 1+ i = raiz(2) cis pi/4, substituindo e simplificando, temos: r^2 cis(3teta-pi/4) = r. raiz(2) .alfa. Como alfa é real, é necessário que cis (3teta-pi/4) seja real (ou r = 0), ou seja: sen (3teta - pi/4) =0. Ai, seu z = 0 ou z = r cos (3teta-pi/4) para sen (3teta-pi/4) = 0 seriam as possíveis raízes. Como você deseja 4 soluções ao todo, seria necessário que houvesse 3 valores diferentes de cos (3teta-pi/4) tal que sen (3teta-pi/4) = 0 o que não dá pois cos teta só pode valer (neste caso) +1 ou -1 Se eu não dei bobeira... Abraços, Nehab At 16:31 16/8/2007, you wrote: Quem é o conjugado de quem? como pode dizer que z é conjugado de z? além disso, se for z* é o conjugado de z, porque ele conjuga alfa* e logo depois diz que ele é um número real? Sugestão: Reedite a sua fórmula. t+ Jones On 8/16/07, mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe prof Nehab e galera.Quem puder ajudar eu agradeço, Considere Z^2 = alfa* Z(1+i)* z(conjugado de z),onde alfa eh um numero real.Determine alfa de modo que a equacao tenha 4 raizes distintas. alternativas a)alfa 3/4,alfa diferente 1/2 b) alfa 4/5 c) alfa diferente 1/2 d) alfa = -1,5 ou alfa =1,5 e) ALFA =2 galera não tenho gabarito,o q vcs puderem ajudar eu agradeco Atenciosamente Wellington Silva -- http://pr.atwola.com/promoclk/100122638x1081283466x1074645346/aol?redir=http%3A%2F%2Fwww%2Eaim%2Ecom%2Ffun%2Fmail%2FCheck Out the new free AIM(R) Mail -- Unlimited storage and industry-leading spam and email virus protection.
Re: [obm-l] divisibilidade
Oi, Francisco, O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6. Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando módulo. Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente... Solução 1) Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto? Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428. Solução 2) Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante): Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r. Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7. Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente). Abraços, Nehab PS: Deixo a solução por módulo para os demais colegas. Abraços, Nehab At 15:39 15/8/2007, you wrote: Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ? Grato. -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-brCadastre-se já!
Re: [obm-l] divisibilidade II
Oi, Arthur, De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? Pode me explicar melhor ? Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando aritmética modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... Abração, Nehab PS: O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) --- 3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7). At 18:03 15/8/2007, you wrote: E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade Oi, Francisco, O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6. Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando módulo. Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente... Solução 1) Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto? Mas cada grupo de seis noves (99) é divisível por 7 dando 142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428. Solução 2) Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante): Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r. Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7. Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente). Abraços, Nehab PS: Deixo a solução por módulo para os demais colegas. Abraços, Nehab At 15:39 15/8/2007, you wrote: Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ? Grato. -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-brCadastre-se já!
Re: [obm-l] �lgebra Linear
Poxa, André Ninguém deu bola pra você Tentarei o primeiro... Exercício 1 Sejam X e Y espaços vetoriais com a mesma dimensão finita. Suponha que, para as aplicações lineares T:X--Y e S:Y--X, seja verdadeiro ST = I, a identidade em X. Mostre que S = T^-1 . Estratégia: A questão na verdade se resume a provar que T é bijetora, pois se uma função T bijetora (independente de ser função linear ou não) é tal que existe S com ST= I, tal S é necessariamente sua inversa (ou seja, sua inversa à esquerda S é também sua inversa à direita). a) T é injetora: dados x1 e x2 de X, devemos mostrar T(x1) = T(x2) implica x1 = x2. Mas como S é função, S(T(x1)) = S(T(x2)); como a composta é a identidade, S(T(x1)) = x1 e S(T(x2)) = x2; logo, x1 = x2. b) T é sobrejetora Seja u e v vetores linearmente independentes em X. Então, se mostrarmos que T(u) e T(v) são linearmente independentes em Y será imediato que a imagem de uma base em X é uma base em Y (pois T é injetora e as dimensões de X e Y são iguais e finitas). Seja T(u) = u' e T(v) = v'. Para mostrar que u'e v' são linearmente independentes basta mostrar que se a.u'+ b.v'= 0 (onde a e b são escalares e 0 o vetor nulo) necessariamente a=b=0. Mas a.u'+b.v' = aT(u) +b T(v) = T(au+bv) (pois T é linear). Mas se T(au+bv) = 0 = T(0), como T é injetora, au+bv=0 e como u e v são li, a=b=0. Agora imagine u1,u2,...uk uma base de X; como T(uk) é base em Y podemos expressar qualquer y de Y como combinação linear de T(uk): a1T(u1)+a2T(u2)+...+anT(un), por exemplo. Mas é imediato perceber que a imagem do vetor a1.u1+a2.u2+...an.un é exatamente y... . Deixo como exercício para você mostrar a afirmativa contida na estrategia, pois a parte que depende de álgebra linear está feita... Quanto ao exercício 2 mais tarde darei uma pensada, mas espero que alguém poste logo solução ... pois ainda ando enferrujado... Abraços, Nehab PS: espero não haver deslizes no texto acima...:-) At 13:05 11/8/2007, you wrote: Olá pessoal, dêem uma ajuda nesses problemas abaixo. O primeiro parece óbvio demais, mas o que usar para demonstrar este resultado simples? O segundo já é de dificuldade um pouco maior. Abraços, 1 - Sejam X e Y espaços vetoriais com a mesma dimensão finita. Suponha que, para as aplicações lineares T:X--Y e S:Y--X, seja verdadeiro ST = I, a identidade em X. Mostre que S = T^-1 . --- 2 - Sejam X um espaço vetorial real de dimensão finita e B uma base de X. Seja também T:XxX--R uma forma bilinear. Mostre que existe uma matriz A tal que T(h, k) = [k]_B^t A [h]_B Se X for um espaço com produto interno, mostre que existe uma aplicação linear S:X--X tal que A é a representação se S^t na base ortongonal B. Mostre que B é simétrica se, e somente se, A for simétrica. --- -- André Rodrigues da Cruz
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica.... off-topic
Caro Fernando, E eu que achava que tinha alguma chance de deter o título de quase o mais antigo da lista... Nem com o quase. Tola pretensão... Gostaria de fazer apenas um comentário (além de naturalmente ter me sentido lisongeado pela citação à navalha de Occan, esperando que os mais jovens não pensem se tratar de um concorrente da Gillete...). Como esta lista é aberta, é natural que diversos temas mais especializados não possam ser abordados de forma a que todos o comprendam. Eu mesmo, embora tenha tido formação em Matemática (além da Engenharia Elétrica) ando de fato enferrujado. Já houve época (há uns 35/40 anos, quando eu frequentava o IMPA) em que eu dominava para valer assuntos como Análise Real, Topologia, Álgebra Linear (de verdade...), Álgebra (estruturas, não a álgebra colegial), etc. Mas, a verdade é que voltei a estudar, depois do meu último retorno à esta lista e isto foi ótimo.Espero voltar a dominar pelo menos uns 50% do que eu dominava... Mas não tenha dúvidas, esta lista é de longe a melhor lista da qual participo e se você (não vou chamá-lo de senhor!) desejar, poderemos conversar fora da Lista, e não será por falta de problemas que ficará triste... :-) Grande Abraço Nehab PS: Nicolau e Santa Rita já responderam a sua indagação, com enfoques diferentes, enriquecendo a todos. Eu de minha parte, não consegui compreender se você usa o termo aleatório para significar sem lei de formação aparente (e foram por ai as respostas de ambos) ou em algum outro sentido. At 09:53 13/8/2007, you wrote: Caro Ojesed Concordo com você quando diz que Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. De certa maneira esta atitude inibe o debate. A mim parece que a lista engloba o que há de melhor na matemática brasileira. Mas também concordo com o juizo que faz do Nehab, e enfatizo sua capacidade de transmitir conhecimento, de solucionar problemas, com o mínimo de palavras e o máximo de clareza. Como se usasse a navalha de Occan duas vezes, a primeira para barbear e a segunda para escanhoar. Não sou matemático, sou um engenheiro aposentado, tenho 82 anos, mas gosto de garimpar pela lista, procurando problemas que estejam ao meu alcance, que , (devo admitir), são poucos. Uma vez manisfestei estranheza quanto a ausência de qualquer referência aos númeroos aleatários, em clássicos de análise que tratam da teoria do número real. Não obtive resposta. No entanto, aparentemente, esses números são os principais atores que justificam a não enumerabilidade dos números reais. Isso porque os inteiros, os racionais e os algébricos são enumerãveis como também os transcendentes que requerem um algoritmo finito para sua descrição. Pergunto, o que resta são os números aleatórios? Existe uma abordagem para esses números fora do cálculo das probablidades? Sds Fernando A Candeias Em 10/08/07, Ojesed Mirror mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta
Re: [obm-l] EQUA��O POLINOMIAL - AJUDA
Oi, Equações do terceiro grau são em geral cretinas... E em geral (a menos de ter que encarar o caso geral, sem nenhuma posibilidade de usar de malandragem), se a solução for simples, deve ser cretina... E de fato, uma solução cretina é observar, por inspeção, que 2 é raiz... e ai acabou, pois você poderia dividir o polinômo por x - 2 e obteria as duas raízes restantes. Mas admitindo que você não tivesse percebido isto, outro caminho (também cretino) seria perceber que a expressão P(x) = x^3 - 14x^2 + 49x - 50, é curiosa... A parte x^3 - 14x^2 + 49x tá muito de bandeja, pois lembra (x - 7)^2, né... Logo, a equação é x(x-7)^2 = 50... Mais uma vez testando a possibilidade de x ser inteiroobtemos x = 2 ou 5 ou 25 ou 50... e aí, obtemos outra vez o x = 2... e acabou-se. Se definitivamente você acreditar que M+raiz(N) sendo raiz, seria ótimo se M-raiz(N) também fosse... supondo que a terceria raiz é P o produto seria (M^2 - N).P = 50... Mas uma vez tentando valores inteiros... P = 2 é uma... (que eu acho que é o que o examinador deve ter pensado) Finalmente, se nada de bom acontecesse, teríamos que encarar o caso geral que é clássico, irritante mas... para quem adora cúbicas como eu, não perco a oportunidade de sugerir este belo artigo que analisa de forma muito elegante a geometria das cúbicas: http://www.google.com.br/url?sa=tct=rescd=1url=http%3A%2F%2Fwww.m-a.org.uk%2Fdocs%2Flibrary%2F2059.pdfei=Qzq_Rv2xBZ6aeYaM5YkLusg=AFQjCNEQR-gED20XTxcQRKth3xLmjazzSgsig2=w5mVP_Sa2qQAgunsJO_vzQ Abraços, Nehab At 09:28 12/8/2007, you wrote: EXISTE UMA RAIZ DA FORMA: M + RAIZ QUADRADA DE N, ACHE-A. x^3 - 14x^2 + 49x - 50 = 0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica....
Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06 -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
Re: [obm-l] Re: [obm-l] BETONEIRA e a m�dia harm�nica....
Oi, Ojesed Fico muito orgulhoso (de verdade) pelo comentário, pois meu grande barato é de fato a sala de aula e o resolver problemas está em segundo lugar (papai do céu é esperto, pois me deu muito mais aptidão para ensinar do que para resolver problemas). Mas ainda bem que você e outros suprem minhas dificuldades aqui e acolá, pois o que eu não consigo fazer vocês da Lista conseguem. Um grande abraço, Nehab At 17:06 10/8/2007, you wrote: Olá Nehab, você é um educador como poucos pois consegue tratar assuntos desde o mais elementar, como este, até os que estão na fronteira do conhecimento com uma clareza invejável. Muitas vezes eu vejo assuntos sendo tratados aqui, que é uma lista aberta, com uma linguagem despreocupada em atingir o máximo de pessoas possível. Eu fico na dúvida se estou diante de pessoas que estão somente exibindo conhecimento ou se os assuntos estão sendo tratados da forma mais palatável possível e eu é que estou muito defasado da turma. Geralmente fico com a segunda opção. O fato é que uma minoria de pessoas geniais participam ativamente das discussões e a maioria observa. Se isto não fere o objetivo maior da existência desta lista, desculpem minha preocupação. Sds, Ojesed - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, August 10, 2007 9:00 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA e a média harmônica Oi, Ojesed , At 02:04 10/8/2007, you wrote: Seria correto dizer que se as massas não fossem iguais a resposta seria a média harmônica ponderada, com as massas sendo os ponderadores ? Sim, vale... Veja: A média harmônica das densidades, ponderadas pelas massas é, por definição: o inverso da média aritmética ponderada (pesos m1 e m2) dos inversos das densidades d1 e d2. Ou seja: É o inverso de [ m1 x (1/d1) + m2 x (1/d2) ] / (m1 + m2) que vale (m1+m2) / [ (m1/d1 + m2/d2) ] Mas esta expressão é exatamente a densidade média, pois é a massa total (m1+m2) dividida pelo volume total (m1/d1 + m2/d2). Abraços, Nehab - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 09, 2007 2:17 AM Subject: Re: [obm-l] BETONEIRA Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG
Re: [obm-l] Qual a modo correto de lidarmos com conceitos que fazem se ntido mas s�o contradit�rios?
(obs: tive problemas com meu provedor gringo e cadastrei outro email; reenvio esta mensagem com o novo email cadastrado na Lista) Caro Artur, Você aborda uma questão extremamente interessante e que raramente ocorre com a freqüência merecida em nossa Lista. Alguns colegas já deram respostas interessantes, mas acho que posso contribuir também. Há milhões de entradas na Internete livros interesssantes, mas acho que o pequeno texto em http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/ ajuda a dar a partida sobre a turma que se envolveu com estas questões. É bem compacto e mostra o ninho de vespas (maravilhoso) em que você está se metendo... Apenas lembrando que seu ponto de partida intuitivo de que o conjunto de todos os conjuntos faz sentido é o grande bandido da novela que se arrastou por uns 50 anos no minimo (leia o link sugerido). Apenas lembrando outro paradoxo clássico (não semânticos): pense no conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios. Este cara pertence a si próprio? Há poucos dias também outro colega mencionou completude e incompletude e todos estes temas (além de sua observação) são muitos caros aos lógicos, e em passado recente, também se tornaram vitais para a turma de Ciência de Computação (nos quais eu me incluo) como os conceitos de linguagens formais, computabilidade, recursão, máquinas abstratas (a de Turing uma delas) e outros conceitos afins. O que eu modestamente sugeriria é que você trilhasse um dos três seguintes caminhos...: 1) se preferir algo gostoso de ler, que aborda de forma amigável mas genial os sistemas formais, completude e incompletude, e muitos outros temas, leia o livro Goedel, Escher e Bach, uma obra prima escrita por Douglas Hofstadter que ganhou o prêmio Pulizer há sei lá quantos anos (talvez nos anos 80); e se você gostar de toda a trama linguistica e lógica do Alice no País das Maravilhas (que até pode ser relido), vai amar este livro. A propósito (da Alice) saiu uma edição maravilhosa em português em 2002 pela Zahar editores (edição comentada). 2) pegue um bom livro de Lógica (por exemplo o Theory of Sets do Bourbaki) para se aprofundar (com mais de 50 páginas só de notas históricas); no passado (anos 70) cometi a maluquice de adotá-lo no ciclo básico do IME quando dei aula por lá... Os que sobreviveram não se queixam mais... Aprenderam quase tudo que tinham (e que não tinham) que aprender sobre lógica... 3) se preferir caminhar pela Computação, há dezenas de livros interessantes, mas o de Roberto Lins de Carvalho (Máquinas, Programas e Algoritmos) é excelente. Um abraço, Nehab At 18:43 6/8/2007, you wrote: Como, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos. Não deixa de fazer sentido, mas leva a contradição. O conjunto de todos os conjuntos tem como elementos todas as suas partes, logo tem cardinalidade maior do que o conjunto de suas partes. Mas isto contraria o famos teorema de Cantor. Artur
Re: [obm-l] Qual a modo correto de lidarmos com conceitos que fazem se ntido mas s�o contradit�rios?
Cá para nós: minha frasezinha raramente ocorre com freqüência na lista é de completa estupidez, né... Leia-se: pouco aparece na lista, não obstante o tema ser extremamente importante Ufa !!! Nehab At 08:35 8/8/2007, you wrote: (obs: tive problemas com meu provedor gringo e cadastrei outro email; reenvio esta mensagem com o novo email cadastrado na Lista) Caro Artur, Você aborda uma questão extremamente interessante e que raramente ocorre com a freqüência merecida em nossa Lista. Alguns colegas já deram respostas interessantes, mas acho que posso contribuir também. Há milhões de entradas na Internete livros interesssantes, mas acho que o pequeno texto em http://plato.stanford.edu/entries/settheory-early/ ajuda a dar a partida sobre a turma que se envolveu com estas questões. É bem compacto e mostra o ninho de vespas (maravilhoso) em que você está se metendo... Apenas lembrando que seu ponto de partida intuitivo de que o conjunto de todos os conjuntos faz sentido é o grande bandido da novela que se arrastou por uns 50 anos no minimo (leia o link sugerido). Apenas lembrando outro paradoxo clássico (não semânticos): pense no conjunto de todos os conjuntos que não pertencem a si próprios. Este cara pertence a si próprio? Há poucos dias também outro colega mencionou completude e incompletude e todos estes temas (além de sua observação) são muitos caros aos lógicos, e em passado recente, também se tornaram vitais para a turma de Ciência de Computação (nos quais eu me incluo) como os conceitos de linguagens formais, computabilidade, recursão, máquinas abstratas (a de Turing uma delas) e outros conceitos afins. O que eu modestamente sugeriria é que você trilhasse um dos três seguintes caminhos...: 1) se preferir algo gostoso de ler, que aborda de forma amigável mas genial os sistemas formais, completude e incompletude, e muitos outros temas, leia o livro Goedel, Escher e Bach, uma obra prima escrita por Douglas Hofstadter que ganhou o prêmio Pulizer há sei lá quantos anos (talvez nos anos 80); e se você gostar de toda a trama linguistica e lógica do Alice no País das Maravilhas (que até pode ser relido), vai amar este livro. A propósito (da Alice) saiu uma edição maravilhosa em português em 2002 pela Zahar editores (edição comentada). 2) pegue um bom livro de Lógica (por exemplo o Theory of Sets do Bourbaki) para se aprofundar (com mais de 50 páginas só de notas históricas); no passado (anos 70) cometi a maluquice de adotá-lo no ciclo básico do IME quando dei aula por lá... Os que sobreviveram não se queixam mais... Aprenderam quase tudo que tinham (e que não tinham) que aprender sobre lógica... 3) se preferir caminhar pela Computação, há dezenas de livros interessantes, mas o de Roberto Lins de Carvalho (Máquinas, Programas e Algoritmos) é excelente. Um abraço, Nehab At 18:43 6/8/2007, you wrote: Como, por exemplo, o conjunto de todos os conjuntos. Não deixa de fazer sentido, mas leva a contradição. O conjunto de todos os conjuntos tem como elementos todas as suas partes, logo tem cardinalidade maior do que o conjunto de suas partes. Mas isto contraria o famos teorema de Cantor. Artur
Re: [obm-l] BETONEIRA
Oi, Arkon, Ponce e Desejo... Já que o Desejo (Ojesed Mirror) deu esta ótima resposta, fica aqui uma dica, pois problemas desta natureza já apareceram diversas vezes por aqui... Quando se introduz o conceito de médias (mesmo na 6 ou 7 séries) é extremamente oportuno sugerir contextos onde elas ocorrem (para não parecer um negócio artificial) e a resposta do Ojesed mostra que ele já adquiriu a malicia que eu acho legal. Na Física a média harmônica ocorre com freqüência, pois ela é usual em todas as situações onde a grandeza da qual se deseja calcular a média é o quociente entre duas variáveis e vejamos: Velocidade é distância / tempo... Densidade é massa / volume, resistência = voltagem/ corrente ... Logo, se desejamos calcular velocidade média, densidade média, resistência equivalente, fatalmente a média harmônica entra na jogada (caso os valores das distâncias, volumes ou voltagens sejam iguais e isto ocorre na ligação em paralelo - como as voltagens não se somam, a resistência equivalente é o dobro da média harmônica...), posto que velocidade média = dist total / tempo total; densidade final = massa total / volume total... e resistencia = mesma voltagem / corrente total Vejamos um exemplinho clássico (o outro é o do Arkon, posto que se misturam iguais quantidades de MASSA...) Você vai a 60 km por hora num trecho de estrada e no mesmo trecho volta a 90 km/h. Qual sua velocidade média? Ora, você está querendo medir velocidade média, mas a variável chave, que é o tempo, está no denominador das velocidades e as duas distâncias, de ida e de volta são iguais ... Logo a velocidade média (vm) é a média harmônica. Veja: vm = distância total / tempo total = (d1 + d2) / (t1 + t2) (A) Ocorre que t1 = d1 /v1 e t2 = d2/v2 Levando estas expressoes em (A) voce obtem dist total / tempo total = (x + x) / [x/v1 + x/v2] = 2v1.v2 (v1+v2) que é a média harmônica... Abraços, Nehab At 22:39 8/8/2007, you wrote: A densidade total é a média harmônica das densidades parciais. - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]arkon To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l Sent: Wednesday, August 08, 2007 10:49 AM Subject: [obm-l] BETONEIRA Alguém pode resolver esta, por favor: Uma betoneira está sendo preparada para produzir concreto. Receberá iguais quantidades, em massa, de areia, cimento e brita de densidades iguais a 1,5; 1,3 e 2,4, respectivamente. Calcular a densidade do concreto que vai ser produzido pela betoneira. Multiplique o resultado por 10 e despreze a parte fracionária, caso exista. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.476 / Virus Database: 269.11.8/941 - Release Date: 7/8/2007 16:06
Re: [obm-l] (OFF) Nome de Alguns dos Grandes Professores do Pa
I João! Caramba !!! Passo a bola pro Nicolau, pois certamente ele poderá fornecer dicas de Instituições relacionadas à OBM que desenvolvem este tipo de trabalho sem interesse comercial... Sei que há uma série de atividades ligadas à olimpiadas, mas esperemos o Nicolau responder... l Grande abraço, Nehab At 16:21 3/8/2007, you wrote: Nehab, Ponce: Quais são todos professores residentes nos grandes centros que preparam jovens brasileiros para as Olimpíadas de Matemática, e que sejam também partícipes desta bela lista? Desejo-lhes fazer ousada e nobre solicitação. Fraternalmente, João = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um numero N com n algarismos....
Oi, Vitorio, Semelhante a esta (acho que foi a original...) caiu na Olimpíada de Maio de 2001: A solução é armar a conta e fazê-la, mesmo Sara escreveu no quadro negro um número inteiro de menos de 30 algarismos e que termina em 2. Célia apaga o 2 do fim e escreve-o no início. O número que fica é igual ao dobro do número que tinha escrito Sara. Qual o número que Sara escreveu? Solução Do enunciado, temos: ? g f e d c b a 2 x 2 2 ... h g f e d c b a a = 4; colocando o 4 no lugar do a na parcela de cima e continuando a multiplicação, obtemos, b = 8 (2 x 4); assim, continuando o mesmo mecanismo, temos, sucessivamente, c = 6 (2 x 8 = 16, e vai um); d = 3; e = 7; f = 4... Continuando o processo até que ocorra o algarismo 2 pela primeira vez, obtemos o número desejado: 210.526.315.789.473.684 Observe que se não limitarmos o número de algarismos, haverá outras soluções (é só continuar a brincadeira). Abraços, Nehab PS: Onde você viu esta questão? At 15:01 31/7/2007, you wrote: Ola' pessoal, Uma ajuda Considere um número N com n algarismos e na posição das unidades o número 2. Ao invertemos o 2, colocando-o na posição inicial, encontramos um novo número K, onde K=2N. Qual o valor de N? Pensei em congruencia...seria uma boa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros
Desculpe-me: engoli uma palavra no texto: Se você quiser ver... Oi, Klaus, Se você ver a utilidade do referido produto notável (a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues : Simplifique X = P/Q, onde P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) e Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324). Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual. Abraços, Nehab At 10:09 30/7/2007, you wrote: Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/Saiba mais.
Re: Res: [obm-l] Teoria Numeros
Oi, Klaus, Se você ver a utilidade do referido produto notável (a^4 + 4b^4) = (a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4) - 4a^2b^2 = (a2 + 2b^2)^2 - (2ab)^2 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab) dê uma paquerada neste interessante exercício de uma Lista do prof. Felipe Rodrigues : Simplifique X = P/Q, onde P = (10^4 + 324)(22^4 + 324)(34^4 + 324)(46^4 + 324)(58^4 + 324) e Q = (4^4 + 324)(16^4 + 324)(28^4 + 324)(40^4 + 324)(52^4 + 324). Acho que este exercício caiu em alguma olimpíada brasileira, mas não consigo localizar em qual. Abraços, Nehab At 10:09 30/7/2007, you wrote: Valeu Leandro. Eu nunca tinha ouvido falar nessa fatoração de Sophie Germain. - Mensagem original De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 29 de Julho de 2007 17:37:11 Assunto: Re: [obm-l] Teoria Numeros Olá Klaus, Esse problema se resolve com uso da clássica fatoração de Sophie Germain: a^4 + 4*b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab) * (a^2 + 2b^2 - 2ab). Trabalhando com a sua expressão, 545^4 + 4^545 = 545^4 + 4*(4^136)^4, que é da forma acima, ou seja, a^4 + 4*b^4, para a = 545 e b = 4^136. Resta cuidar para que nenhum dos parênteses acima seja 1; mas isso é praticamente trivial, dado que a^2 + b^2 2ab, pois a e b são diferentes de zero, e assim sobra um b^2 dentro de cada um. Abraço, - Leandro A. L. Alertas do Yahoo! Mail em seu celular. http://br.mobile.yahoo.com/mailalertas/Saiba mais.
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Oi, Douglas, Muito legais suas idéias e sua solução. Eu passei perto de sua expressão mas aqui vai uma modesta colaboração para você fechar SUA bonita solução do jeito que você queria... (é só um treinozinho nas nojentas expressões trigonométricas vestibulinas...): Façamos X = (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 Dai, como cos2x = 2(cosx)^2 -1, vem X = (1 + cos2A)/2 + (1+cos2B)/2 + (cosC)^2 X = 1 + [cos(2A) +cos(2B) ]/2 + (cosC)^2 Mas cos(2A) + cos(2B) = 2cos(A+B)cos(A-B) = -2cosC cos(A-B). Substituindo em X: X = 1 - cosC [ cos(A-B) - cosC] = 1 - cosC [ cos(A-B) + cos(A+B) ]. Dai acabou: X= 1 - cosC. [2cosA.cosB] = 1 - 2cosA.cosB.cosC Substituindo este X na expressão que você obteve, você chega na desejada expressão do enunciado que o motivou. 7 - 4 [ (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 ] = 7 - 4 [ 1 - 2cosA.cosB.cosC ] = 3 - 8 cosA.cosB.cosC Um grande abraço, Nehab PS: Nem ouse me incluir na sua linda construção. O mérito é todo seu ! At 22:22 30/7/2007, you wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista
Re: [obm-l] Favor Responder...
Ok, falei, mas não sei se você ouviu... Nehab At 19:14 26/7/2007, you wrote: Obrigado pela atenção... Enviei dois e-mails nessa conta na lista de discussão da obm... Não recebi nenhuma resposta nem vejo meu e-mail na lista... Portanto não sei se estes estão chegando... Caso alguém receba este e-mail favor me responder falando... Arigatô
Re: [obm-l] Uma boa de geometria
Oi, João Carlos, Tive uma idéia que não sei se frutifica, pois não estou muito inspirado, mas veja se ajuda. (é uma solução não geométrica, no sentido usual): Dada uma reta fixa, pense na transformação (não linear, é claro) que associa a cada ponto do plano o seu simétrico com relação a tal reta. 1) Observe agora que dado um triângulo, a transformação T1, digamos, que toma o simétrico de A, B e C com relação à reta suporte de AB deixa A e B no mesmo lugar e coloca o ponto C onde você quer (ou seja, no simétrico C' etc). Como conseqüência, se você pensar nas 3 transformações T1, T2 e T3 (respectivamente que tomam o simétrico com relação às retas suporte de AB, BC e CA), verá que o triângulo que você construiu tomando os três simétricos é a imagem do triângulo original pela composta das 3 transformações T1, T2 e T3 (concorda?). Logo, a questão é saber se a tal composta é fácil de analisar. 2) Vejamos: uma simetria com relação a uma reta pode ser decomposta como soma de uma simetria (transformação linear com determinante -1) e uma translação. Pense na T1, por exemplo, assim: se a reta suporte de AB é a reta y = px + q dá para calcular a imagem de um ponto (x; y) por T1: T1( x, y) = T'(x, y) + 1/(p^2+1) . (2q; -2pq), onde a matriz da transformação T' (simetria) possui linha 1 igual a [2p p^2 -1] e segunda linha [ 1 - p^2 2p], ambas divididas por (p^2 +1). Dica: Imponha que o ponto médio de CC' está nesta reta e que o coeficiente angular da reta CC' vale -1/p (são ortogonais). 3) Agora: será que é fácil analisar a composição de T1, T2 e T3 sem muito trabalho braçal? Não me inpirei, mas fica aí a idéia. Naturalmente que vou tentar uma solução geométrica mais tarde :-). Abraços, Nehab At 08:33 25/7/2007, you wrote: Até o momento, não sei como resolver essa questão não. Seja um triangulo ABC com lados a, b, c. X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Conjectura - Teoria dos N�meros
Oi, Yuri, Cuidado, Yuri, só vale a ida... Se n é primo então a^n = a (mod n)... Por exemplo, 3^91 = 3 (mod 91) mas 91 é composto. Veja que 3^6 = 1 (mod 91), logo, 3^90 =1 (mod 91)... Abraços, Nehab At 15:44 16/7/2007, you wrote: Isso é um teorema do euler: a^n = a (mod n) se e somente se n eh primo. Iuri On 7/16/07, Angelo Schranko mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Saudações Srs. Sou novo na lista. Por favor me ajudam a provar (ou encontrar um contra-exemplo) para a seguinte conjectura : (2^(n - 1) - 1)/n é inteiro = n primo Obrigado, []´s Angelo Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] O sapo e agora, ent�o, o jornaleiro... ( off topic)
Oi, Santa Rita, E eu peço desculpas por colocá-lo ao lado dos coroas..., mas o erro foi a informação de que você é pai de ex-olímpico - alguém comentou isto. Daí, algumas contas de somar malfeitas :-) ... e o absurdo da comparação Mas cá pra nós, você conhece ou não a Gladys e seus bichinhos... Abraços, Nehab At 10:27 16/7/2007, you wrote: Ola Alonso e demais colegas desta lista ... OBM-L, Agradeco a correcao que voce fez a mensagem do Nehab. Eu tambem acho que idade, sexo, origem, formacao academica, titulos etc sao aspectos totalmente irrelevantes no que concerne a real capacidade intelectual das pessoas, nao obstante ja ter observado que muitas pessoas - sobretudo os mais mediocres - viverem bastante atentos a estas coisas acidentais e secundarias ... Eu sei que o EU É ODIAVEL, como dizia o Gide ... Mas eu imagino que quando eu for um quarentao, cinquentao, sessentao e mesmo um setentao estarei com uma capacidade intelectual maior que a atual, pois procuro me fixar nas minhas deficiencias e nao nas minhas qualidades, o que me garante um crescimento constante. Para que a mensagem nao fique totalmente off-topic aqui vai um problema matematico simples , que eu acho bonitinho : PROBLEMA : Prove que em qualquer sequencia de 39 inteiros positivos existe ao menos um numero cuja soma dos algarismos e divisivel por 11. Mais problemas deste nivel veja aqui : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,0A1A,160707 Em 16/07/07, ralonso[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Nehab, Ponce e Demais colegas: Eu conheço o Paulo Santa Rita pessoalmente e ele não é tão velho assim :) Aliás, ele aparenta ter bem menos que 40 anos (eu tenho 32) ele me disse a idade dele, e é bem menos do que a mensagem abaixo sugere :). Brincadeiras a parte acho que o importante não é a idade e sim a potência cerebral. Basta lembrar que Andrew Willes provou o teorema de Fermat quando já tinha 40 anos. Essa história de que a matemática é coisa exclusiva de gente jovem não é muito verdade. O que ocorre é que com a idade as pessoas começam a ganhar mais atribuições e responsabilidades se preocupar mais com outros problemas de ordem prática e menos com problemas de ordem teórica (como a matemática). O brilhante Einstein já havia percebido isso logo com 21 anos quando virou funcionário público. A frase que eu nunca me esqueço de seu livro Como Vejo o Mundo é o homem possui um estômago e precisa de alimento para sustentar seu cérebro. Sem isto não há intelecto que resista. Nos casos mais extremos, o capitalismo chega às vezes a ser mais cruel, sacrificando, às vezes, o próprio intelecto Abraços! Ronaldo. Carlos Eddy Esaguy Nehab wrote: Ponce, Este seu amigo sapo é muito metido e saudosista. Quanto à Tia Glads e... seus bichinhos... francamente, só uns 3 caras aqui da lista sabem do que você está falando. Eu devo ser o segundo e acho que o Santa Rita é o terceiro. Bem, tu tá envelhecendo mesmo, hein. Podia ter perguntado pela Xuxa, já do passado, mas mais moderninha Quanto ao Godofredo, não tenho a menor idéia...!Espero que não seja um sapo... Se você quer lembrar do tempo em que você ainda era bonitinho tá tudo em http://www.infantv.com.br/alfab_prog.htm. Carinhoso abraço, Nehab At 20:54 13/7/2007, you wrote: Oi Nehab, nao consegui vislumbrar uma forma elegante de resolver o problema, embora o sapo tenha me assoprado que o jornaleiro deve comprar 90 jornais para obter um lucro medio de R$361,80 . []'s Rogerio Ponce PS: Voce ainda se lembra da Tia Glads na televisao? E do Godofredo ? :-) Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bem, Depois do sapo e das soluções interessantíssimas do Nicolau e do Ponce, achei que procede colocar na lista um problema clássico (e extremamente interessante para a área de logística - atualmente tenho dado alguns cursos de Metodos Quantitativos aplicados à Logística - daí a motivação. Bem, o problema e o seguinte: Um jornaleiro compra de uma empresa uma certa quantidade de jornais por dia (sua capacidade financeira limita esta quantidade a no máximo 110 jornais), para revendê-los. Ele paga R$ 3 e os vende a R$ 8. Os jornais que ele comprou no dia e não consegue vendê-los são comprados pela empresa (de volta) por R$ 1. O grande problema é que ele nao sabe quantos jornais deve comprar para maximizar seu lucro, uma vez que a demanda diária é desconhecida. No entanto a experiência mostra que a demanda pelos jornais, independente do dia, supera 50 jornais e é distribuida da seguinte maneira: Probabilidade da demanda de jornais ser X jornais (em qualquer dia) vale p%, onde: X p% 50 10% 60 12% 70 15% 80 20% 90 18% 100 15% 110 10% A pergunta é a esperada: quantos jornais o jornaleiro deve comprar para maximizar seu lucro esperado? Abraços, Nehab Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções
Re: [obm-l] O sapo e agora, ent�o, o jornaleiro... (off topic)
Ponce, Este seu amigo sapo é muito metido e saudosista. Quanto à Tia Glads e... seus bichinhos... francamente, só uns 3 caras aqui da lista sabem do que você está falando. Eu devo ser o segundo e acho que o Santa Rita é o terceiro. Bem, tu tá envelhecendo mesmo, hein. Podia ter perguntado pela Xuxa, já do passado, mas mais moderninha Quanto ao Godofredo, não tenho a menor idéia...!Espero que não seja um sapo... Se você quer lembrar do tempo em que você ainda era bonitinho tá tudo em http://www.infantv.com.br/alfab_prog.htm. Carinhoso abraço, Nehab At 20:54 13/7/2007, you wrote: Oi Nehab, nao consegui vislumbrar uma forma elegante de resolver o problema, embora o sapo tenha me assoprado que o jornaleiro deve comprar 90 jornais para obter um lucro medio de R$361,80 . []'s Rogerio Ponce PS: Voce ainda se lembra da Tia Glads na televisao? E do Godofredo ? :-) Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Bem, Depois do sapo e das soluções interessantíssimas do Nicolau e do Ponce, achei que procede colocar na lista um problema clássico (e extremamente interessante para a área de logística - atualmente tenho dado alguns cursos de Metodos Quantitativos aplicados à Logística - daí a motivação. Bem, o problema e o seguinte: Um jornaleiro compra de uma empresa uma certa quantidade de jornais por dia (sua capacidade financeira limita esta quantidade a no máximo 110 jornais), para revendê-los. Ele paga R$ 3 e os vende a R$ 8. Os jornais que ele comprou no dia e não consegue vendê-los são comprados pela empresa (de volta) por R$ 1. O grande problema é que ele nao sabe quantos jornais deve comprar para maximizar seu lucro, uma vez que a demanda diária é desconhecida. No entanto a experiência mostra que a demanda pelos jornais, independente do dia, supera 50 jornais e é distribuida da seguinte maneira: Probabilidade da demanda de jornais ser X jornais (em qualquer dia) vale p%, onde: X p% 50 10% 60 12% 70 15% 80 20% 90 18% 100 15% 110 10% A pergunta é a esperada: quantos jornais o jornaleiro deve comprar para maximizar seu lucro esperado? Abraços, Nehab Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomissoYahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] PRODUTO DA UFPB
Oi, Arkon Multiplique sua expressão por 2.sen pi/65, notando que sucessivamente você poderá aplicar sen 2a = 2.cos a.sen a, ajustando o coeficiente 2... Abraços, Nehab At 11:22 14/7/2007, you wrote: OLÁ PESSOAL, ALGUÉM PODERIA ME PASSAR O MACETE PARA RESOLVER ESSA: ?xml:namespace prefix = v ns = urn:schemas-microsoft-com:vml /?xml:namespace prefix = o ns = urn:schemas-microsoft-com:office:office /(UFPB-90) O produto cospi/65.cos2pi/65.cos4pi/65.cos8pi/65.cos16pi/65.cos32pi/65 é igual a: a) 1/64. b) 1/32. c) 1/2. d) 0. e) 1. O GABARITO É LETRA A DESDE JÁ MUITO OBRIGADO
Re: [obm-l] quest�o 4 de matem�tica - torneira corrupta !
Oi Renan ! Ora esta ! É verdade !!! Só com seu comentáro eu prestei atenção !!! Parece uma torneira corrupta com vazão fácil de calcular ! Em uma hora o estrago que ela causa é (A+B+C+D) - (A+B+C) = 1/12 - 1/10 = -1/60 ávos do orçamento - oppp, desculpe, do tanque, que corresponde a apenas 20% de corrupção com relação à vazão total incluindo a própria corrupta)... Mais barato que outras torneiras que andam pelo noticiário ultimamente... (sorry pelo off topic - mas foi irresistível e incontrolável - é raro, mas às vezes acontece... :-) Abraços humoristicos, que ninguém é de ferro... Nehab At 01:43 13/7/2007, you wrote: Essa torneira D parece mais um ralo, apropósito. A vazão dela é negativa, não é? Em 13/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ai que saudades destes problemas ! Ai vai: Em uma hora, temos: A, B e C enchem 1/10 do tanque B, C e D enchem 1/15 do tanque A, B e D enchem 1/20 do tanque A, C e D enchem 1/30 do tanque. Logo em 1 hora 3 torneiras A, 3 B, 3 C 3 3 D enchem 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/30 = 1/4 do tanque, ou seja as torneiras A, B, C e D (apenas uma de cada tipo) enchem 1/12 do tanque. Ou seja, sua ilógica resposta está lógica e certa :-) Abraços, Nehab PS: só no gostei do segundo artigo indefinido um tanque Ficaria melhor se fosse o tanque... At 14:55 12/7/2007, you wrote: nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai: Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu ilógicas 12 horas) _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6dhttp://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Abraços, J.Renan
[obm-l] O sapo e agora, ent�o, o jornaleiro...
Bem, Depois do sapo e das soluções interessantíssimas do Nicolau e do Ponce, achei que procede colocar na lista um problema clássico (e extremamente interessante para a área de logística - atualmente tenho dado alguns cursos de Metodos Quantitativos aplicados à Logística - daí a motivação. Bem, o problema e o seguinte: Um jornaleiro compra de uma empresa uma certa quantidade de jornais por dia (sua capacidade financeira limita esta quantidade a no máximo 110 jornais), para revendê-los. Ele paga R$ 3 e os vende a R$ 8. Os jornais que ele comprou no dia e não consegue vendê-los são comprados pela empresa (de volta) por R$ 1. O grande problema é que ele nao sabe quantos jornais deve comprar para maximizar seu lucro, uma vez que a demanda diária é desconhecida. No entanto a experiência mostra que a demanda pelos jornais, independente do dia, supera 50 jornais e é distribuida da seguinte maneira: Probabilidade da demanda de jornais ser X jornais (em qualquer dia) vale p%, onde: X p% 50 10% 60 12% 70 15% 80 20% 90 18% 100 15% 110 10% A pergunta é a esperada: quantos jornais o jornaleiro deve comprar para maximizar seu lucro esperado? Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] quest�o 4 de matem�tica (il�gica resposta?)
Ai que saudades destes problemas ! Ai vai: Em uma hora, temos: A, B e C enchem 1/10 do tanque B, C e D enchem 1/15 do tanque A, B e D enchem 1/20 do tanque A, C e D enchem 1/30 do tanque. Logo em 1 hora 3 torneiras A, 3 B, 3 C 3 3 D enchem 1/10 + 1/15 + 1/20 + 1/30 = 1/4 do tanque, ou seja as torneiras A, B, C e D (apenas uma de cada tipo) enchem 1/12 do tanque. Ou seja, sua ilógica resposta está lógica e certa :-) Abraços, Nehab PS: só no gostei do segundo artigo indefinido um tanque Ficaria melhor se fosse o tanque... At 14:55 12/7/2007, you wrote: nao sei se estou mandando a questão para o e-mail certo, mas lá vai: Quatro torneiras A, B, C e D enchem um tanque. Sabendo que: as torneiras A, B e C enchem um tanque em 10 horas; B, C, e D em 15 horas; A, B e D em 20 horas e A, C e D em 30 horas. Estando o tanque vazio, em quantas horas as quatro torneiras encheriam o tanque se funcionassem conjuntamente? (suponho q as os dados da questão estejam errados, pois minhas resposta deu ilógicas 12 horas) _ Seja um dos primeiros a testar o novo Windows Live Mail Beta- grátis. Acesse http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] iberoamericana
Oi, Salhab,
Sua enorme produção na lista e seu jeito alegre de narrar suas
soluções e tentativas de solução são certamente um incentivo a todos
que aqui participam da lista, especialmente os novos... O saldo é
infinitamente favorável a você.
Pode ter certeza de minha admiração pela sua imensa participação
aqui. Também me delicio com seu jeito divertido e leve de
conversar com sua própria solução... Quando você solta um hehe
dou gostosas gargalhadas. É uma delícia lê-lo.
Você faz matemática com um enorme prazer e alegria e é uma das raras
pessoas me dá faz sentir uma saudade danada de quando eu era jovem
... Você nem imagina quanto (talvez alguns coroas da lista que
foram meus alunos identifiquem tal semelhança).Também nunca tive
medo de errar. O importante sempre foi tentar... e preservar a
alegria do embate em busca de soluções...
Você é um professor nato...
Enorme abraço
Nehab
At 00:22 11/7/2007, you wrote:
Olá Nehab,
eita eita.. obrigado novamente pela correcao :)
acho que é a 3a vez q erro seguido aqui na lista.. hehe
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi, Marcelo Salhab,
O centro do círculo circunscrito está no encontro das mediatrizes e não nas
medianas.
Nehab
At 04:23 10/7/2007, you wrote:
Ola novamente,
fiz um programinha em MATLAB pra plotar todos esses pontos..
e adivinha? uma reta mesmo!
segue abaixo o programa, basta colocar num m-file.
function teste()
A = [ 10 10 0 ];
r = 2;
ang = linspace(0, 2*pi, 1000);
k = [ 0 0 1 ];
for i = 1:100
M = [ r*cos(ang(i)) r*sin(ang(i)) 0 ];
s = (dot(A, M) + dot(M, M))/(2*dot(cross(A, k), M));
X = (A+M)/2 + s*cross(M-A, k);
ptos(i) = X(1) + j*X(2);
end
plot(ptos, 'x');
mas ainda nao achei meu erro nos calculos..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja
M um
ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M.
Determinar o
lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e
N
quando M varia.
ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
porém
deu muitas contas e acabou num dando em nada.
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Material sobre �lgebra de proposi�
Oi Rafael, O Leonidas Hegenberg (ITA), possui vários livros sobre o asssunto que são excelentes para os iniciantes (desde 1960...). Veja EPU (Editora Pedagógica e Universitária): Simbolização e Dedução Cálculo Sentencial, Exercícios I (Simbolização), Exercícios II (Dedução), Cálculo de Predicados, Exercícios III (Simbolização), Exercícios IV (Dedução) e Dicionário de Lógica Você pode procurar nos sebos também, edições antigas: Procure Leônidas Hegenberg em http://www.traca.com.br Abraços, Nehab At 21:21 9/7/2007, you wrote: Olá, pessoal ! Acabei de estudar a teoria sobre lógica de proposições, argumentos dedutivos, silogismos e por aí vai ... Gostaria, agora, de algum materia e/ou site com MUITOS exercícios resolvidos para eu fixar os conceitos. Alguém poderia me ajudar ?
Re: [obm-l] iberoamericana
Oi, Marcelo Salhab,
O centro do círculo circunscrito está no encontro das mediatrizes e
não nas medianas.
Nehab
At 04:23 10/7/2007, you wrote:
Ola novamente,
fiz um programinha em MATLAB pra plotar todos esses pontos..
e adivinha? uma reta mesmo!
segue abaixo o programa, basta colocar num m-file.
function teste()
A = [ 10 10 0 ];
r = 2;
ang = linspace(0, 2*pi, 1000);
k = [ 0 0 1 ];
for i = 1:100
M = [ r*cos(ang(i)) r*sin(ang(i)) 0 ];
s = (dot(A, M) + dot(M, M))/(2*dot(cross(A, k), M));
X = (A+M)/2 + s*cross(M-A, k);
ptos(i) = X(1) + j*X(2);
end
plot(ptos, 'x');
mas ainda nao achei meu erro nos calculos..
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
bom...
fazendo as contas, cheguei em:
X(xm-xa) + Y(ym-ya) = [r^2 - ||A||^2]/2
onde o centro da circunferencia pedida esta em (X, Y)
isto é... nada! ehehe
acho que com isso posso dizer que nao será uma reta..
mas tb nao sei o que sera..
[usei o matlab pra fazer o algebrismo por mim.. entao acredito q nao
esta errado]
[agora, ate pensei em pedir pra ele calcular X^2 e Y^2 e ver o que
da... mas ja fechei..]
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá,
pensei em uma abordagem usando vetores..
vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
vetores M e A..
como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
x = produto vetorial
. = produto escalar
V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
(A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
portanto, esta reta já esta determinada..
V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
0.. este é um ponto da demana de MN
portanto, esta reta tambem já esta determinada..
temos que encontrar X, tal que:
X = (A+M)/2 + s*V1
X = t*V2
X é o centro da circunferencia pedida..
(A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
fazendo o produto escalar por M, temos:
[(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
[A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
abracos,
Salhab
On 7/9/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
(Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a
ela. Seja M um
ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M.
Determinar o
lugar geométrico dos centros das circunferências que passam
por A, M e N
quando M varia.
ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei
analiticamente, porém
deu muitas contas e acabou num dando em nada.
Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Probabilidade
Oi, Salhab, Acho que as contas de suas derivadas o enganaram...: Veja na linha onde você afirma que: ... isto é, podemos dizer que, se f(p1, b1), entao: f(x, y) f(x, z) para yz ... Não é verdadeiro não. Fixando p1 = 3, por exemplo, f(x,3) (como função de x) é crescente de x=1 a 17 e descrescente de x =17 a 50. Eu estou tentando uma solução sem análise (só com algebra) e ainda não consegui. Um possível argumento, na sua linha poderia ser o fato que sua função é contínua num fechado (x e y entre 1 e 50) e então haverá máximo e mínimo nem que seja na fronteira..., que é o caso da solução do problema. Note que se você imaginar a sua função como uma função de duas variáveis no R3: z = f(x, y), para cada valor de x fixado, a interseção do gráfico de f (que é uma superfície no R3) com o plano x = cte é uma soma de hipérboles (ou dado que y é restrito, pedaços de hipérboles) ... Idem fixando y. Se você tiver algum software para exibir =gráficos de funções com duas variáveis ficará mais fácil... Abraços, Nehab PS: será que o Arthur Steiner (tão criativo e competente) não se interessa pelo problema e nos ajuda ? At 03:10 5/7/2007, you wrote: Olá Nehab, obrigado pela correcao.. :)) pensei no seguinte: 2P = b1/(p1+b1) + b2/(p2+b2) 2P = b1/(p1+b1) + (50-b1)/(100-b1-p1) vamos analisar como a funcao se comporta com p1... derivando em relacao a p1 (como se a funcao fosse continua), conseguimos mostrar que a funcao é decrescente (com 0 = p1 = 50)... isto é, podemos dizer que, se f(p1, b1), entao: f(x, y) f(x, z) para yz assim, para maximiza-lo, precisamos pegar o menor valor possivel de p1..portanto: p1 = 0... logo: 2P = 1 + (50-b1)/(100-b1) agora, derivando em relacao a b1, vamos que a funcao é decrescente tambem.. isto é, b1 deve ser o menor possivel.. portanto: b1 = 1 (pois nenhuma caixa pode estar vazia).. sera q esta certo? abracos, Salhab On 7/4/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Salhab, Você se distraiu: sua P vale P = 1/2 + 1/2 * 49/99e não P = 1/2 + 1/2 * 49/50 Olha que coincidência. Este problema foi apresentado por um economista no processo de seleção de meu filho há alguns anos e é realmente muito interessante (na verdade ele formulou supondo que eram dois candidatos ao emprego e que meu filho era um deles...- muito divertido e criativo...) A solução é colocar apenas 1 bola branca em uma urna e na outra as 99 bolas restantes...A probabilidade é máxima e igual a 1/2 . 1 + 1/2 . 49/99 = 74,7% que é quase 75% Não tô achando uma solução simples para justificar a resposta. Abraços, Nehab At 10:47 4/7/2007, you wrote: Olá, p1, b1 = quantidade de bolas pretas e brancas (respectivamente) na urna 1 p2, b2 = na urna 2 b1+b2 = 50 p1+p2 = 50 vamos calcular a probabilidade da bola ser branca: P = 1/2 * b1/(p1+b1) + 1/2 * b2/(p2+b2) 2P = b1/(p1+b1) + b2/(p2+b2) agora, temos que maximizar essa funcao.. ainda estou pensando em como fazer isso.. mas veja que: se b1 = 1 e p1 = 0 ... temos: P = 1/2 + 1/2 * 49/50 = 0,99 uma probabilidade um tanto quanto alta :) provavelmente a máxima... abracos, Salhab On 7/3/07, Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] wrote: galera estou com dificuldade em pór no papel os calculos desse exercicio, pois eu imagino a resposta por intuição mas nao consigo chegar nas contas.me ajudem 1) um prisioneiro possui 50 bolas brancas e 50 bolas pretas e duas urnas. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas(nehunma urna pode ficar vazia). As urnas serao embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhas fechados, escolher uma urna e , nesta urna, uma bola. Se a bola for branca, ele será libertado e , caso contrario, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado? desde já agradeço. Abraços Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidade
Oi Salhab, Você se distraiu: sua P vale P = 1/2 + 1/2 * 49/99e não P = 1/2 + 1/2 * 49/50 Olha que coincidência. Este problema foi apresentado por um economista no processo de seleção de meu filho há alguns anos e é realmente muito interessante (na verdade ele formulou supondo que eram dois candidatos ao emprego e que meu filho era um deles...- muito divertido e criativo...) A solução é colocar apenas 1 bola branca em uma urna e na outra as 99 bolas restantes...A probabilidade é máxima e igual a 1/2 . 1 + 1/2 . 49/99 = 74,7% que é quase 75% Não tô achando uma solução simples para justificar a resposta. Abraços, Nehab At 10:47 4/7/2007, you wrote: Olá, p1, b1 = quantidade de bolas pretas e brancas (respectivamente) na urna 1 p2, b2 = na urna 2 b1+b2 = 50 p1+p2 = 50 vamos calcular a probabilidade da bola ser branca: P = 1/2 * b1/(p1+b1) + 1/2 * b2/(p2+b2) 2P = b1/(p1+b1) + b2/(p2+b2) agora, temos que maximizar essa funcao.. ainda estou pensando em como fazer isso.. mas veja que: se b1 = 1 e p1 = 0 ... temos: P = 1/2 + 1/2 * 49/50 = 0,99 uma probabilidade um tanto quanto alta :) provavelmente a máxima... abracos, Salhab On 7/3/07, Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] wrote: galera estou com dificuldade em pór no papel os calculos desse exercicio, pois eu imagino a resposta por intuição mas nao consigo chegar nas contas.me ajudem 1) um prisioneiro possui 50 bolas brancas e 50 bolas pretas e duas urnas. O prisioneiro deve colocar do modo que preferir as bolas nas duas urnas(nehunma urna pode ficar vazia). As urnas serao embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhas fechados, escolher uma urna e , nesta urna, uma bola. Se a bola for branca, ele será libertado e , caso contrario, condenado. Como deve proceder o prisioneiro para maximizar a probabilidade de ser libertado? desde já agradeço. Abraços Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matem�tica
Calma gente, Se a gente levar para o lado da brincadeira, este maluco até fez uma positiva propaganda da Matemática, sugerindo que ela nem é tão difícil assim e, se bem ensinada, qualquer passante na rua pode aprender a fazer contas rapidinho... Bem pior é o que eu vejo no dia a dia escrito em livros adotados por ai... Abraços, Nehab At 11:09 4/7/2007, you wrote: Meu, esse cara é um babaca. Como pode se dizer ser um professor? E acha a raiz das ponta... Quero agora que a fantástica RedeTV, ainda mais fantástica pela publicação desta fabulosa reportagem, desta incrível revolução no ensino da matemática, publique a prisão deste charlatão imbecil. Ou será que a RedeTV pouco se importa com a formação do brasileiro? Querem apenas audiência da grande massa desinformada que admira o sucesso do método, nas palavras da jornalista imbecil. Ele causou uma revolução realmente, querida entrevistadora que não sei o nome, e vai acabar por estragar ainda mais nosso querido ensino. O pior é ver o coitado do sujeito que dizia achar super difícil e agora achar super fácil... E que beleza de coordenadores desta escola estadual que convidaram o Sr. Místico para ensinar seus super métodos para os vestibulandos... será que ninguém se dá conta de que vestibulando já tem muito com o que sofrer? Desculpem a revolta. Bruno 2007/7/4, Marcelo Salhab Brogliato mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]: Realmente, assustador! abracos, Salhab On 7/4/07, Emanuel Valente mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: É incrível como uma emissora possa colocar uma matéria dessas. O cidadão diz que desenvolveu algorítmos para as 4 operações básicas e promete levar ao ensino público. E pasmem, não é piada: http://www.youtube.com/watch?v=7-644rpNVT4http://www.youtube.com/watch?v=7-644rpNVT4 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - http://gmail.comgmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyhttp://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matem�tica
Ora, João, Não quero te amolar, mas... o que você entende por macete? Esta palavra infelizmente tem uma conotação negativa, mas nós não fazemos outra coisa nesta lista que não seja usar procedimentos, regras, memória anterior de solução de outros problemas, analogias etc, etc. Você acha que é feio dizer que usamos macetes? Não acho. Os macetes nada mais são do que experiência acumulada... E quer queiramos ou não, 99% do que fazemos aqui é encontrar pulos do gato para problemas curisos e muitas vezes malucos. Tudo bem, gostamos disto, mas haja macetes! Que o tal professor é um idiota, que a escola que o chamou ridícula, não se discute, mas nós todos podemos odiar a palavra macete, mas não vivemos sem eles... Caramba, não sei onde estava com a cabeça que escrevi tanta inutilidade por causa de um idiota engraçado Abraços, Nehab At 15:15 4/7/2007, you wrote: É, mas ele está também passando a idéia de que a matemática é, na verdade, um conjunto de macetes... - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Carlos Eddy Esaguy Nehab To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, July 04, 2007 2:39 PM Subject: Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matemática Calma gente, Se a gente levar para o lado da brincadeira, este maluco até fez uma positiva propaganda da Matemática, sugerindo que ela nem é tão difícil assim e, se bem ensinada, qualquer passante na rua pode aprender a fazer contas rapidinho... Bem pior é o que eu vejo no dia a dia escrito em livros adotados por ai... Abraços, Nehab At 11:09 4/7/2007, you wrote: Meu, esse cara é um babaca. Como pode se dizer ser um professor? E acha a raiz das ponta... Quero agora que a fantástica RedeTV, ainda mais fantástica pela publicação desta fabulosa reportagem, desta incrível revolução no ensino da matemática, publique a prisão deste charlatão imbecil. Ou será que a RedeTV pouco se importa com a formação do brasileiro? Querem apenas audiência da grande massa desinformada que admira o sucesso do método, nas palavras da jornalista imbecil. Ele causou uma revolução realmente, querida entrevistadora que não sei o nome, e vai acabar por estragar ainda mais nosso querido ensino. O pior é ver o coitado do sujeito que dizia achar super difícil e agora achar super fácil... E que beleza de coordenadores desta escola estadual que convidaram o Sr. Místico para ensinar seus super métodos para os vestibulandos... será que ninguém se dá conta de que vestibulando já tem muito com o que sofrer? Desculpem a revolta. Bruno 2007/7/4, Marcelo Salhab Brogliato mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] : Realmente, assustador! abracos, Salhab On 7/4/07, Emanuel Valente mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: É incrível como uma emissora possa colocar uma matéria dessas. O cidadão diz que desenvolveu algorítmos para as 4 operações básicas e promete levar ao ensino público. E pasmem, não é piada: http://www.youtube.com/watch?v=7-644rpNVT4http://www.youtube.com/watch?v=7-644rpNVT4 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - http://gmail.comgmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyhttp://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matem�tica
Sensato, Avelino Nehab At 20:25 4/7/2007, you wrote: O esquema da raiz quadrada realmente funciona pessoal, mas só para as raízes exatas de três dígitos. Editaram a filmagem e, acredito eu, acabaram cortando a explicação. Também acho que ele exagerou quando disse que é um método revolucionário tendo em vista que a maior parte dos seus algoritmos são extremamentes restritos, de forma que mais se parecem com macetes. Agora, se os métodos não funcionaram em alguns casos, é bom ir com calma antes de chamar ele de babaca. Provavelmente deve estar faltando alguma explicação e/ou restrição que deve ser analisada com um maior rigor antes de fuzilar o pobre coitado. Assim, ao contrário de babaca, o que me parece é que ele tem uma boa intenção na tentativa de levar, ao menos interesse a uma população em que, na minha opinião, 90% não sabem fazer uma operação simples de matemática. Felipe Avelino 2007/7/4, Fellipe Rossi mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]: Lamentável Em 04/07/07, Rogerio Ponce mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola' pessoal, ainda bem que ele nao refinou os macetes: Por exemplo, quanto vale 199 / 995? Ora, basta cortar os 99 de cima e de baixo, de modo que o resultado e' 1/5 ( ( pode conferir ! ). Da mesma forma, calcular 424/742 tambem e' muito facil: basta simplificar o 42 de cima com o 42 de baixo, e o resultado e' 4/7. Simples, nao? []'s Rogerio Ponce João Luís Gomes Guimarães mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Ou então a raiz de 784, por exemplo... é só desprezar o 8, e fazer a raiz de 7 (?) e a raiz de 4... é muito pilantra que há nesse mundo, mesmo... - Original Message - From: Romildo Franco To: Sent: Wednesday, July 04, 2007 12:58 PM Subject: Re: [obm-l] picaretagem no ensino da matemática Manda ele achar a raiz de 962 agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso+Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. -- Fellipe Rossi
Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Faça x = 1 e você verá que de fato, como o Rafael também mostrou, há algum erro no enunciado. Nehab At 02:07 3/7/2007, you wrote: Será que pode fazer isso mesmo sabendo que a função é par ou ímpar, no caso por exemplo p(-2) = p(2) Em 03/07/07, rgc mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Veja se o enunciado está certo porque eu cheguei num absurdo: seja x = -2 -- 2p(-2) - 2p(4) = 16 seja x = 4 -- 2p(4) - 2p(-2) = 34 Somando: 0=50 --absurdo!!! - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Marcelo Costa To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 03, 2007 12:24 AM Subject: [obm-l] Ajuda Alguém poderia me auxiliar nesta??? Dado o polinômio p(x) tal que 2p(x) - 2p(2 - x) = 3x^2 - 3x - 2 para todo x real, o valor de p( - 2) + p(4) é: a) 4 b) 16 c) 34 d) 50 e) 66 Valeu, obrigado -- []'s
Re: [obm-l] Ajuda
Oi, Marcelo Você conseguiu mais uma vacuidade aqui da lista (este negócio andou na moda há algum tempo: rsrsrsr). Conseguiu descobrir um valor sobre um polinômio que não existe... Abraços, Nehab At 18:08 3/7/2007, you wrote: Perdão, parece molecagem, mas acabei de tanto tentar, conseguir resolver. x = - 2, 2p(-2) - p(4) = 16 x = 4, 2p(4) - p(-2) = 34 fazendo p(-2) = x e p(4) = y teremos: 2x - y = 16 - x + 2y = 34, somando as expressões x + y = 50 que é a resposta obrigado e desculpem o incômodo Em 03/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Faça x = 1 e você verá que de fato, como o Rafael também mostrou, há algum erro no enunciado. Nehab At 02:07 3/7/2007, you wrote: Será que pode fazer isso mesmo sabendo que a função é par ou ímpar, no caso por exemplo p(-2) = p(2) Em 03/07/07, rgc mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] escreveu: Veja se o enunciado está certo porque eu cheguei num absurdo: seja x = -2 -- 2p(-2) - 2p(4) = 16 seja x = 4 -- 2p(4) - 2p(-2) = 34 Somando: 0=50 --absurdo!!! - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Marcelo Costa To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, July 03, 2007 12:24 AM Subject: [obm-l] Ajuda Alguém poderia me auxiliar nesta??? Dado o polinômio p(x) tal que 2p(x) - 2p(2 - x) = 3x^2 - 3x - 2 para todo x real, o valor de p( - 2) + p(4) é: a) 4 b) 16 c) 34 d) 50 e) 66 Valeu, obrigado -- []'s
[obm-l] Sugest
A todos, Seria extremamente interessante se pudéssemos, quando fosse o caso, explicitar (com mais freqüência) a origem dos problemas que postamos na nossa lista, especialmente quando é um teorema ou problema clássico. É claro que também é possível que os colegas que ajudam com a solução possam conhecer tal origem e contribuir com esta informação. Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjunto
Não reisti à tentação: Faça um diagrama dos dois conjuntos (C e H) e imagine que na interseção haja X alunos. Então há 4X em C e 3X em H (pense no 20% e no 25%) e a união conterá x +3x +4x = 8x. Logo... x = 6 ... Abraços, Nehab At 12:12 29/6/2007, you wrote: Pessoal peço encarecidamente que me ajudem com essa questão pois estou conseguindo solucioná-la de jeito nenhum. Desde já agradeço! Abraço a todos! Um grupo de alunos de uma escola deveria visitar o Museu de Ciência e o Museu de História da cidade. Quarenta e oito alunos foram visitar pelo menos um desses museus. 20% dos que foram ao de Ciência visitaram o de História e 25% dos que foram ao de História visitaram também o de Ciência. Calcule o número de alunos que visitaram os dois museus. Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomissoYahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: [obm-l] D�vida
Oi, Nicolau (e demais colegas envolvidos com este problema)... Ah se eu tivesse como qualidade uma pequena dose que fosse do seu pragmatismo...!!! Sua primeira solução (que eu havia conseguido fazer) e me lembra um exercício de 2005 do IME (que segue a mesma idéia da recorrência): IME 2005: Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x^3 + r x - t onde r e s são números reais não nulos. a) Determine a^3 + b^3 + c^3 em função de r e s; b) Demostre que S^(n+1) + rS^(n-1) -t S(n-2) = 0 para todo número natural n=2, onde S(k) = a^k + b^k +c^k para qualquer número natural k. Mas quando eu percebi que tinha que fazer aquelas contas desisti deste caminho, pois fui menos pragmático (um dos grandes defeitos que tenho) e pensei: e se o enunciado pedisse a^2001+b^2001+c^2001? O que eu faria? Certamente não seriam contas como aquelas. Pensamento talvez romântico, mas ai fiquei tentando chegar no 21 sem passar pelas contas e confesso que não consegui... Até usei o fato que p_(n+4) - p_(n+3) = p_(n+3) - p_(n) para as contas ficarem mais rápidas (pelas diferenças), mas não me satisfiz... Ah perfeccionismo... Vivendo e aprendendo Um grande abraço, Nehab At 11:15 21/6/2007, you wrote: On Thu, Nov 01, 2001 at 02:02:41AM -0300, Pedro Costa wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se a, b e c são números complexos tais que a+b+c = 1, a^2+b^2+c^2 = 3 e a^3+b^3+c^3 = 7, determine o valor de a^21+b^21+c^21. Sejam X = ab+ac+bc, Y = a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2, Z = abc. Temos (a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc) 1 = 3 + 2X X = -1 (ab+ac+bc)(a+b+c) = (a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 3abc -1 = Y + 3Z (a+b+c)^3 = (a^3+b^3+c^3) + 3(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2) + 6abc -1 = 7 + 3Y + 6Z Y = -4, Z = 1 Assim a, b, c são as raízes de x^3 - x^2 - x - 1 = 0. Podemos observar que a seqüência p_n = a^n+b^n+c^n satisfaz p_(n+3) = p_(n+2) + p_(n+1) + p_n donde obtemos os valores abaixo para p_n: p_1 = 1 p_2 = 3 p_3 = 7 p_4 = 11 p_5 = 21 p_6 = 39 p_7 = 71 p_8 = 131 p_9 = 241 p_10 = 443 p_11 = 815 p_12 = 1499 p_13 = 2757 p_14 = 5071 p_15 = 9327 p_16 = 17155 p_17 = 31553 p_18 = 58035 p_19 = 106743 p_20 = 196331 p_21 = 361109 Assim a^21+b^21+c^21=p_21=361109. Alternativamente, depois de encontrar o polinômio de raízes a,b,c podemos considerar a matriz N = [[0,0,1],[1,0,1],[0,1,1]] cujos autovalores são a,b,c. [001] N = [101] [011] Temos [011] N^2 = [012] [112] [124] N^4 = [236] [247] [24 7] N^5 = [3611] [4713] [44 81149] N^10 = [68125230] [81149274] [1951335890 66012] N^20 = [3012255403101902] [3589066012121415] [35890 66012121415] N^21 = [55403101902187427] [66012121415223317] Observe que cada matriz pode ser calculada como um produto de duas das matrizes anteriores. Finalmente temos a^21+b^21+c^21=traço(N^21)=361109 (e chegamos na mesma resposta). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] D�vida
Oi, gente, Não acho que a solução por complexos dê frutos. Mas a questão é mesmo nojentinha. No sábado terei mais tempo e tentarei fechá-la como o Rennó comentou (ainda não consegui e não foi por preguiça, não). Claro que se algum colega souber o pulo do gato não faça cerimônia... Adorarei não ter que torrar parte dos poucos neurônios que ainda funcionam... Abraços, Nehab At 19:23 20/6/2007, you wrote: Olá Ronaldo, Será que a solução do problema seguiria por esse caminho? Não seria possível utilizar apenas produtos notáveis para resolver? Assim como o Nehab e o Salhab estavam tentando? On 6/20/07, ralonso mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Henrique. Você tem 3 equações e três incógnitas alfa, beta e gamma. Resolva o sistema, ache alfa, beta e gamma. Escreva alfa como: alfa = cos w + i sen w, alfa^21 = cos 21w + i sen 21w fazendo o mesmo para beta e gamma e some os três. []s Ronaldo. Henrique Rennó wrote: Olá Pedro, Você poderia dizer qual a fonte deste problema? De onde ele foi tirado? On 11/1/01, Pedro Costa mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: Se [] e [] são números complexos tais que [] , [] e [] , determine o valor de [] . -- Henrique -- Henrique Content-Type: image/gif; name=clip_image004.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.2 Content-Disposition: inline; filename=clip_image004.gif Content-Type: image/gif; name=clip_image008.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.4 Content-Disposition: inline; filename=clip_image008.gif Content-Type: image/gif; name=clip_image012.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.6 Content-Disposition: inline; filename=clip_image012.gif Content-Type: image/gif; name=clip_image002.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.1 Content-Disposition: inline; filename=clip_image002.gif Content-Type: image/gif; name=clip_image010.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.5 Content-Disposition: inline; filename=clip_image010.gif Content-Type: image/gif; name=clip_image006.gif Content-ID: [EMAIL PROTECTED] X-Attachment-Id: 0.1.3 Content-Disposition: inline; filename=clip_image006.gif inline: e963c.gifinline: e9646.gifinline: e9650.gifinline: e965a.gifinline: e9664.gifinline: e966e.gif
Re: [obm-l] D�vida
Oi, Salhab, Não consegui enxergar o enunciado do problema em meu Eudora, mas... acompanhando sua proposta de solução... Desenvolvendo X = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) , conseguimos o valor de abc que você mencionou: X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(1-c) + bc(1-a) + ac(1-b) X = a^3 +b^3 + c^3 + (ab+bc+ac) - 3abc Logo, temos: 1.3 = 7 + (-1) - 3abc ou seja, abc = 1 Logo, seu polinomio é x3 - x2 -x -1 = 0. Fazendo z = x +1/3 elimina-se o termo em x^2 obtendo-se (se eu na errei nas contas) x^3 - 4/3 x - 38/27 =0 que é uma cubica padrão (modelito Cardano). Abraços, Nehab PS: Eu gosto de apresentar como produtos notáveis as relações que se seguem, muito uteis qdo rola cubo... (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) 3abc (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) At 21:51 17/6/2007, you wrote: Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa mailto:[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown
Re: [obm-l] D�vida
Salhab Você poderia me mandar o enunciado do problema, pois não consegui lê-lo. O que se pede é a^7+b^7+c^7 ? Não vai dar para fazer a forma polar nao, pois não é nada fácil encarar isto no Cardano. De qualquer forma se você puder me mandar o enunciado, tentarei alguma solução mais acessível. Abraços, Nehab At 13:53 18/6/2007, you wrote: Olá Nehab, obrigado por continuar minha solucao.. e gostei dos produtos notaveis.. nao conhecia! mas já estao anotados! :) agora, Pedro, basta encontrar as raizes do polinomio e fazer: a^7 + b^7 + c^7.. hmm uma sugestao eh trabalhar na forma polar :) abraços, Salhab On 6/18/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Salhab, Não consegui enxergar o enunciado do problema em meu Eudora, mas... acompanhando sua proposta de solução... Desenvolvendo X = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2) , conseguimos o valor de abc que você mencionou: X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c) X = a^3 +b^3 + c^3 + ab(1-c) + bc(1-a) + ac(1-b) X = a^3 +b^3 + c^3 + (ab+bc+ac) - 3abc Logo, temos: 1.3 = 7 + (-1) - 3abc ou seja, abc = 1 Logo, seu polinomio é x3 - x2 -x -1 = 0. Fazendo z = x +1/3 elimina-se o termo em x^2 obtendo-se (se eu na errei nas contas) x^3 - 4/3 x - 38/27 =0 que é uma cubica padrão (modelito Cardano). Abraços, Nehab PS: Eu gosto de apresentar como produtos notáveis as relações que se seguem, muito uteis qdo rola cubo... (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) 3abc (a + b + c)3 = a3 +b3 +c3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) At 21:51 17/6/2007, you wrote: Ola, Vamos dizer que alfa = a, beta = b, gamma = c... entao: a + b + c = 1 a^2 + b^2 + c^2 = 3 a^3 + b^3 + c^3 = 7 (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) = 1^2 assim: 3 + 2(ab + bc + ac) = 1 ab + bc + ac = -1 (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1^3 7 + 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = 1 3(a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 6abc = -6 (a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + bc^2) + 2abc = -2 bom, a ideia eh achar o valor de abc.. dai montamos um polinomio do 3o. grau... ja sabemos que ele eh a da forma: x^3 - x^2 - x - (abc)... assim, basta acharmos as raizes.. abraços, Salhab On 11/1/01, Pedro Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigos da lista, me dê uma idéia resolver esta questão: See são números complexos tais que , e , determine o valor de . Internal Virus Database is out-of-date. Checked by AVG Anti-Virus. Version: 7.0.289 / Virus Database: 0.0.0 - Release Date: unknown = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Oi, Ponce, Adorei, mas depois neguinho te chama de velho e você não pode reclamar. Mas que tavam complicando ah... lá isto isto tavam Método de Newton (acho que tinha um tal de Raphson também, ou tô caduco?), ora pipocas, como diria minha velha... Grandes abraços, Nehab At 11:30 16/6/2007, you wrote: Ola' pessoal, queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem computador para calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer calculadora cientifica da' conta do recado, antes que o XP entre no ar...:-) Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho ! Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao bem comportada y=f(x) , a aplicacao sucessiva de x2 = x1 - y1/ f'(x1) a partir de um ponto x1 , que esteja na vizinhanca de uma raiz de f(x) , nos leva 'a propria raiz. Considerando nossa funcao y=2^x - x^2 temos que x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x ) Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1. Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 . Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536 Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.7491 , e na quarta iteracao x2=-0.74696 . Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma calculadora barata... []'s Rogerio Ponce Érica Gualberto Pongelupe [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi Todo mundo use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes. Abração Érica Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 -ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo eque lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , paraa0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexasnao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: http://www.rumoaoita.com/rumoaoita.com Júlio Sousa -- Novo http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomissoYahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca.
Re: RES: [obm-l] 2^x = x^2
Oi, Arthur (e Julio), Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas, faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você verá que obviamente há uma raiz negativa (entre -1 e 0). Abraços, Nehab At 11:08 15/6/2007, you wrote: Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizes desta equacao. Resta agora analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2 se, e somente se, x ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Seja a funcao definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1 - ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A esquerda de e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos mostra que f passa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*) = 1/e. Desta forma, f eh estritamente crecente m (0, e) e estritamente decrescente em (e, oo). Temos ainda que f eh continua, que lim x - 0+ f(x) = -oo e que lim x - oo f(x) = 0. Isso implica que, em (0, e) f assuma uma unica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e que, em (e,oo) , assuma uma unica vez todos os reais em (1/e, 0). Concluimos assim que , para a0, a1/e, a equacao ln(x)/x = a tem exatamente duas raizes em R. Como ln(2)/2 1/e, ha exatamente 2 reais satisfazendo ln(x)/x = ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas unicas raizes reais de 2^x = x^2. Serah que hah outras raizes complexas nao reais? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Julio Sousa Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 2^x = x^2 achar as raízes de 2^x = x^2 -- Atenciosamente Home Page: http://www.rumoaoita.comrumoaoita.com Júlio Sousa
Re: [obm-l] Treinando pra Olimpiada
Oi, Rivaldo, Há alguns dias postei uma mensagem dando a dica de um link sobre cúbicas e raízes de equações do terceiro grau que certamente o interessarão, pois abordam exatamente o que você procura (e de uma forma muito interessante). Para você não ter trabalho, ai vão os links: http://www.m-a.org.uk/docs/library/2059.pdf http://www.m-a.org.uk/docs/library/2060.pdf Abraços, Nehab = At 17:11 20/5/2007, you wrote: Suponha que a equação de coeficientes reais X^3+cx+d=0, admita 3 raizes reais. Mostrar que uma das raizes dessa equação é dada pela formula x= (-3d/2c)-(M)raiz(L)/(6ci), onde: L=12c^3+81d^2 M=senp/(1-cosp) i=raiz(-1) p=(1/3)arccos(H) H=(54d^2+4c^3)/(-4c^3) Obs1_ Na formula acima estamos supondo c e p diferentes de zero. No caso em que c=0 ou p=0, a equação acima tem solução trivial. Obs2_ A hipotese da equação ter 3 raizes reais é equivalente a afirmar que o numero L é menor ou igual a zero. Obs3_ A formula acima não vale quando L 0, isto é , quando a equação não admite 3 raizes reais. Abs. Rivaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Equa��es do terceiro grau e c�bicas
Colegas da Lista Como são recorrentes na Lista as equações do terceiro grau segue a referência a um artigo extremamente criativo sobre cúbicas que, numa abordagem interessantíssima, analisa aspectos (invariantes) de sua geometria. Eu gostei muito. http://www.m-a.org.uk/docs/library/2059.pdf Este artigo gerou dezenas de outros: basta procurar no google por a new approach to solving the cubic para encontrá-los. O próprio autor tem um outro artigo (aplicado a um problema específico) em http://www.m-a.org.uk/docs/library/2060.pdf Abraços, Nehab At 13:58 15/5/2007, you wrote: De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 14 May 2007 19:25:33 -0300 (BRT) Assunto: [obm-l] equação do terceiro grau Resolver a equação 8x^3 - 6x - 1 = 0 Seja f(x) = 8x^3 - 6x - 1 f(-1) = -3 0 f(-1/2) = 1 0 == tem uma raiz entre -1 e -1/2 f(0) = -1 0 == tem uma raiz entre -1/2 e 0 f(1) = 1 0 == tem uma raiz entre 0 e 1 Ou seja, f tem 3 raízes reais, todas de módulo 1. Logo, podemos expressá-las na forma x = cos(t). Sabemos que cos(3t) é um polinômio de 3o. grau em cos(t). Especificamente, cos(3t) = cos(2t+t) = cos(2t)cos(t) - sen(2t)sen(t) = (2*cos^2(t) - 1)*cos(t) - 2*sen^2(t)*cos(t) = 2*cos^3(t) - cos(t) - 2*cos(t) + 2*cos^3(t) = 4*cos^3(t) - 3*cos(t) (que sorte...) x = cos(t) é raiz da equação == 8*cos^3(t) - 6*cos(t) - 1 = 0 == 2*cos(3t) = 1 == cos(3t) = 1/2. Se quisermos t no intervalo [0,2pi), teremos: 3t = pi/3 ou 5pi/3 ou 7pi/3 ou 11pi/3 ou 13pi/3 ou 17pi/3 == t = pi/9 ou 5pi/9 ou 7pi/9 ou 11pi/9 ou 13pi/9 ou 17pi/9 == cos(t) = cos(pi/9) ou cos(5pi/9) ou cos(7pi/9) (pois cos(11pi/9) = cos(7pi/9), cos(13pi/9) = cos(5pi/9) e cos(17pi/9) = cos(pi/9)) Logo, as raízes da equação são: cos(pi/9), cos(5pi/9) e cos(7pi/9). []s, Claudio.
Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11
Oi, Rafael, Você não deveria ter aberto mão de ir da esquerda para a direita para tentar preservar ao máximo os algarismos em ordem decrescente. Note que é possível você ter 98765abcd0 e ajeitar o 4, 3, 2 e 1 para obter o múltiplo de 8 e 11. Assim, se eu também não me distrai, 9.876.513.240 deve ser o maior. Abraços, Nehab PS: Este problema é mais simples que outro que já caiu Olimpíada de Maio de 2003 (e não me engano) e cuja solução também usa uma certa força bruta: qual o menor múltiplo (naturalmente positivo) de 56 cuja soma dos algarismos é 56 e que termina em 56... At 18:44 16/5/2007, you wrote: Oi Não ficou muito formal mas acho que consegui achar o numero. Deem uma confirida pra ver se está tudo certo. Seja n o numero: n deve ser divisivel por 5, 8 e 11. Pra ser por 5 deve acabar em 5 ou 0. Mas pra ser por 8 deve ser par. Logo acaba em 0. Como os algarismos devem ser distintos vamos tentar colocar os menores algarismos perto do 0 pra n ser o maior possivel. Fazendo n terminar em 210 não é divisivel por 8. Invertendo a ordem temos: n termina em 120. Isso faz n ser divisivel por 8. Vamos tentar colocar os outros algarismos: tentando o maior possivel temos n = 9.876.543.120. Mas pra ser divisivel por 11 a soma dos algarismos de ordem impar subtraida da soma dos algarismos de ordem par deve ser divisivel por 11. Nesse caso: 26-19=7 e n não é o procurado. Vamos tentar fazer essa subtração ser divisivel por 11. Veja que o modo mais facil é igualar ao proprio 11. Pra isso precisamos trocar alguns algarismos para mudar suas ordens. Pra achar o maior numero começamos a fazer isso pela direita: invertendo o 4 com o 3. Assim aumentamos pra 9 a diferença. Trocamos mais uma vez, agora 6 com 5. Devemos ter o numero desejado: n = 9.875.634.120 - Original Message - From: mailto:[EMAIL PROTECTED]Artur Costa Steiner To: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, May 16, 2007 2:39 PM Subject: RES: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 Também naop consegui achar o máximo de A -Mensagem original- De: mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Bruno França dos Reis Enviada em: quarta-feira, 16 de maio de 2007 13:39 Para: mailto:obm-l@mat.puc-rio.brobm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Multiplos de 5 , 8 e 11 0 pertence a A, logo A é não vazio 9876543210 é cota superior de A. A é fechado (pois é formado apenas por pontos isolados). Assim temos que A admite máximo. Agora, como achar esse máximo, sem usar força bruta, não estou conseguindo! Podemos determinar o maior múltiplo comum de 5, 8 e 11 menor do que 9876543210 facilmente, chamêmo-lo k. Se k pertence a A, acabou. Senão, queremos então achar n tal que: (5*8*11) * n = 440n = k e 440n possua apenas algarismos distintos Dá pra fazer certas observações (imediatas) que reduzem em muito o número de testes que teríamos que fazer, mas deve ter alguma solução não braçal que nao consigo encontrar! Abraço Bruno 2007/5/16, Artur Costa Steiner mailto:[EMAIL PROTECTED][EMAIL PROTECTED]: Gostaria de uma sugestão neste problema de teoria dos numeros Seja A o conjunto dos multiplos comuns de 5, 8, 11 compostos por algarismos distintos (base 10, conforme usual). A tem um elemento máximo? Se tiver, qual? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - http://gmail.com/gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyhttp://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Garrafa de Klein
Oi, gente, Procurando (para meus alunos) algum mpeg ou java com a geração da garrafa de Klein dei de cara com 3 referências interessantes (dentre as zilhões): http://alem3d.obidos.org/pt/struik/kbottle/mov http://www.mat.ufpb.br/~lenimar/cgraf/inters/2sup13.htmço. e http://www.kleinbottle.com/classicalklein.htm, um fabricante (mesmo) de garrafas de Klein (dica do site http://inexo.com.br/~danton/blog/index.shtml?P=2003-07). Engraçado, não? Se alguém conhecer alguma dica de uma simulação em java agradeço... Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livros d matematica
Oi, Poupando trabalho ao Nicolau... Olha os direitos autorais. Atualmente há edição em português e custa R$ 60,00.Compre-o !!! Veja em http://www.vestseller.com.br/ Nehab At 19:54 4/5/2007, you wrote: alguem tem um link pra baxa o livro lidski to q nem loko atras e alguem pode me indica outros pra olimpiadas talz abraço _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Malba Tahan
Queridos colegas, Não resistí à tentação de falar sobre o problema dos quatro quatros Fui meio que pupilo aluno do Malba Tahan no Pedro II em 1959 (calma, só tenho 61 aninhos) numa época e que a gente também estudava Latim, Grego, Geometria Descritiva, Perspectiva, Francês, etc) e na época sua irmã (que era uma simpática gorducha) era a bibliotecária da unidade do Humaitá. Saudades da inconseqüência daquela época... Então, gostaria de lembrar que este problema era proposto para a garotada de 10 a 12 anos. Logo, sem teorizar, a graça está é em usar as 4 operações e (talvez) o fatorial que era explanado localmente. E se não me falha o raio da memória, havia um ou dois números (entre 1 e 100) que não conseguíamos representar. E ponto final. E conviver com esta impossibilidade era também um aprendizado ! A vida é assim... (desculpem a filosofada...). É claro que se a gente começar a usar um monte de recursos adicionais, o problema perde um pouco a função original (que era desafiar a garotada e motivá-los para as curiosidades da Matemática), a simplicidade e a graça. Carlos Nehab PS: Não sei se vocês sabem mas o Homem que Calculava já existe há algum tempo em Inglês. Tive oportunidade de comprá-lo para filhos de alguns amigos estrangeiros... (vide amazon) At 14:38 25/4/2007, you wrote: Ola' Claudio e colegas da lista, com termiais fica uma covardia: termial(4) * termial(4) - termial(4) / termial(4) = 10*10 - 1 = 99 E se puder usar exponenciacao e raiz quadrada, o ceu e' o limite: termial( termial( raiz(4) )) * 4^raiz(4) + termial(raiz(4)) = 6*16 + 3 = 99 Usando apenas raiz, fatorial e logaritmo, cheguei a pensar em: 4! * [ 4 + log(sqrt(sqrt(sqrt(4 / log(4) ] = 24 * [ 4 + 1/8 ] = 99 Mas confesso que somente com as 4 operacoes basicas, e sem usar dizimas, nao consegui vislumbrar coisa alguma... []'s Rogerio Ponce Re: [obm-l] Malba Tahan claudio\.buffara Wed, 25 Apr 2007 08:58:24 -0700 Nesse caso, Termial(4)^raiz(4) - 4/4 = 99. Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] escreveu: Se me lembroe bem, também é permitido usar termiais (Termial de i = Somatorio de 1 a i de i... É como fatorial, só que usa soma ao invés de produto) -- Abraços, Maurício __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Teoria dos n�meros 56....56 etc
Oi, gente (e Claudio), Eu achei este problema um pouquinho pesado para o Nivel 1 (Olimpíada de Maio de 2003, acho) e até comentei isto com o Nicolau (em off) há algum tempo. Eis uma solução mais com cabeça de Nivel 1 (eu acho) e com um pouquinho de força bruta... Embora eu a tenha feito, o Nicolau a completou. O número termina em 56 e 5+6 = 11; logo, como a soma de seus algarismos é 56 a soma dos demais é 45. Então ele tem que ter no mínimo 5 algarismos (pois 5 x 9 = 45).Além disso é divisível por 8 (e 7 pois é divisível por 56). Então os três últimos algarismos formam um número divisível por 8... Logo, devem ser 256, 456, 656 ou 856. Então nosso N = M56, onde M é tal que: - a soma dos algarismos deve ser 45 (portanto no mínimo 5 algarismos); - o último algarismo deve ser 2, 4, 6 ou 8 (então tem que ter mais do que 5 algarismos) - deve ser divisível por 7 - deve ser o menor possível. Tentemos M's: O menor possível, soma dos algarimos igual a 45, último algarismo 8,6,4,ou 2 e divisível por 7...: 6 algarismos (do menor pro maior) 18 - não é divisível por 7 289998 - não é divisível por 7 298998 - é divisível por 7 (é o cara!) Logo o N procurado é 29899856 Nehab At 16:21 25/4/2007, you wrote: O enunciado implica que: N == 56 (mod 100) == N == 56 (mod 4*25) N == 0 (mod 56) == N == 0 (mod 8*7) N == 56 (mod 9) == N == 2 (mod 9) Ou seja: N == 6 (mod 25) N == 0 (mod 8) N == 0 (mod 7) N == 2 (mod 9) n == 6 (mod 25) == N = 6 + 25*a == 2 (mod 9) == a == 2 (mod 9) == a = 2 + 9*b == N = 56 + 225*b == 0 (mod 8) == b == 0 (mod 8) == b = 8c == N = 56 + 1800*c == 0 (mod 7) == c == 0 (mod 7) == c = 7d == N = 56 + 12600*d Agora, resta achar d de modo que a soma dos algarismos de N seja 56, ou equivalentemente, que a soma dos algarismos de 126*d seja 45. Um pouco de reflexão mostra que d não deve ser muito pequeno, pois se o algarismo médio é 4,5 (=(0+1+2+...+9)/10), então 126*d deve ter cerca de 45/4,5 = 10 algarismos (é claro que tem que ter, no mínimo, 6 algarismos, pois o maior número de 5 (ou menos) algarismos com soma 45 é 99.999, que não é múltiplo de 126). Mas, por sorte, 88.888*126 = 11.199.888, cuja soma dos algarismos é 45. O N correspondente é 1.119.988.856. Falta provar que este é, de fato, o menor N que satisfaz ao enunciado. Por enquanto, estou sem idéias. []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 23 Apr 2007 16:46:56 -0300 Assunto: [obm-l] Teoria dos números Amigos, ajude-me nessas questões: 1) Ache o menor número natural terminado em 56, divisível por 56, e com a soma dos seus algarismos igual a 56. 2) Quantas soluções inteiras tem a equação x^1995 + y^1996 = z^1997
Re: [obm-l] Maximiza�
Oi, Vinícius, Como é meu hábito, ao invés de resolver problema básicos postados, vou dar o caminho das pedras, propondo outro problema simples para você ter uma percepção geométrica dos problemas propostos: Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z = x + 2y, sabendo que: (1) x = 0 (2) y = 0 (3) x + y = 5 (4) 3x + 2y = 6 Note que todas as restrições são lineares e se você pensar no plano xy perceberá que cada restrição define uma região do plano. (1) região do 1 e 4 quadrantes; (2) região do 1 e 2 quadrantes; (3) região abaixo da reta que passa pelos pontos (0;5) e (5;0); (4) região acima da reta que passa pelos pontos (2;0) e (0;3). A interseção destas regiões é um quadrilátero de vértices nos pontos (2;0); (5;0); (0;3) e (0;5). Agora imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você quer maximizar... Veja que as reta 4 = x + 2y e 6 = x + 2y são paralelas e quanto maior o valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou seja, se você vai aumentando z, o gráfico da reta z = x + 2y vai subindo... Ora, desejamos um par (x;y) que esteja na região delimitada pelo quadrilátero e que torne a expressão z = x + 2y máxima, certo? Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a uma reta que encoste na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto possível, você entendeu a interpretação geométrica do problema de programação linear. E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção das retas x + y = 5 e 3x + 2y = 6 (veja as restrições 3 e 4). Daí basta calcular o valor de z para este par. Espero ter ajudado. Abraços, Nehab At 07:25 30/3/2007, you wrote: Bom dia. Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas de maximização: Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para fabricação. As malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por unidade da mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados a seguir: Departamento 1 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 0 (não produz) Departamento 2 Horas / dia: 540 Horas necessárias (mala): 0 (não produz) Horas necessárias (mochila): 3 Departamento 3 Horas / dia: 440 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 2 Departamento 4 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 6/5 Horas necessárias (mochila): 3/2 Maximizar o lucro da empresa. Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os dados abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos três departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada departamento e o lucro unitário de cada placa: Departamento I: Tempo disponível: 900h Departamento II: Tempo disponível: 400h Departamento III: Tempo disponível: 600h Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40): Operações em horas (departamento I): 2h Operações em horas (departamento II): 2h Operações em horas (departamento III): 4h Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30): Operações em horas (departamento I): 5h Operações em horas (departamento II): 5h Operações em horas (departamento III): 2h Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20): Operações em horas (departamento I): 10h Operações em horas (departamento II): 3h Operações em horas (departamento III): 2h Maximizar o lucro da empresa. Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y): Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4) Restrições de cada departamento: 2x1 + 0y1 = 300 3y2 + 0x2 = 540 2x3 + 2y3 = 440 (6/5)x4 + (3/2)y4 = 300 Equação e inequações do segundo problema: Função lucro: 40a + 30b + 20c Restrições de cada departamento: 2a+5b+10c=900 2a+5b+3c=400 4a+2b+2c=600 Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições interdependentes e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro problema) ou três (no segundo problema) inequações? Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser considerada a maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para que as restrições pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes? Obg, Vinícius
Re: [obm-l] o menor valor
Oi, Ronaldo, Complementando a dica do Claudio, veja que a uma interpretação geométrica ajuda... x2 + y2 = 1 é uma circunferência de centro na origem e raio 1. Considere que você deseja minimizar a expressão z = 2y -6x +1 (vide Claudio, abaixo) que, para cada valor de z, corresponde a uma reta paralela à reta y = 3x. Logo, você deseja a reta mais alta que tangencia a circunferência (deu para sacar?). Pense em vários valores de z e no gráfico das retas correspondentes. Com o par (x;y) procurado é esta interseção, por uma simples semelhança de triângulos (imagine que a reta tangente está traçada) , tal par (x; y) é tal que y = -x/3 (pois o ponto está no segundo quadrante) . Logo, substituindo na circunferência, chegamos ao resultado já fornecido pelo Claudio. Obs: enviei estas observações pois hoje mesmo postei um comentário sobre programação linear bem geométrico e acho que a interpretação geométrica é muito útil em problemas simples como os postados para, depois, entendermos os realmente complicados... Abraços, Nehab At 19:11 30/3/2007, you wrote: Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada. Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona. On 3/28/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re:[obm-l] Casais
Oi, Claudio, Você foi mais corajoso do que eu. Ei ia perguntar se o problema era politicamente correto, mas... você comentou... Abraços, Nehab At 09:07 16/3/2007, you wrote: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 15 Mar 2007 15:18:35 -0300 Assunto: [obm-l] Casais Problema No início de uma festa há 6 rapazes desacompanhados e 10 garotas desacompanhadas. Quantos são os estados possíveis no fim da festa? Benedito Voce perguntou o numero de estados possiveis. Supondo que voce se refira ao estado de agregacao no fim da festa (ou seja, quem vai estar com quem num dado instante escolhido arbitrariamente como sendo o fim da festa), eu diria que esse eh igual ao numero de particoes de um conjunto com 16 elementos em subconjuntos nao vazios, ou seja 10480142147 (=Bell(16)). Se a sua resposta foi SOMA(k=0...6) Binom(6,k)*Binom(10,k)*k!, voce eh decididamente careta... []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quest�o de Complexos
Oi, Júlio.
Pense assim: sua expressão é da forma
X = (1+a)(1+a^2)(1+a^4)
concorda? Então multiplique por 1 - a ambos os lados e você chega lá...
Abraços,
Nehab
At 00:16 15/3/2007, you wrote:
Amigos, estou estudando pro ITA e não tô conseguindo resolver essa
questão. Obrigado!
{1 + [(1 + i)/2]}*{1 + [(1 + i)/2]^2}*{1 + [(1 + i)/2]^4}*{1 + [(1 +
i)/2]^8}*...*{1 + [(1 + i)/2]^2^n}
Espero que dê pra entender...
Isso é o produtório de 1 + [(1 + i)]^2^k (Com K variando de 0 a n)
--
Atenciosamente
Júlio Sousa
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Re: [obm-l] Quest�o Trigonom�trica
Oi, Anderson, Um possível pulo do gato é notar que o lado esquerdo da equação é do tipo y + 1/y, logo, seu valor está fora do intervalor (-2; 2). Daí, olhando pro lado direito... dá para seguir em frente. Percebeu? Abraços, Nehab At 13:17 3/3/2007, you wrote: Oi, segue a questão! As soluções da equação: cossec(13x) + sen(13x) = 2cos(3x) Até! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: Res: [obm-l] Trigonometria
Oi, A dica do Danilo que sugere usar a relação tan(60-x)*tanx*tan(60+x)=tan3x (embora meio mágica para o propósito do exercício proposto, simples de demonstrar) me lembrou outra relação semelhante, qual seja, 4.sen(60-x).senx.sen(60+x) = sen 3x utilizada em uma das demonstrações do interessante (e nada simples) teorema de Morley, que se segue: Os três pontos de interseção das trissetrizes adjacentes dos ângulos de um triângulo qualquer formam um triângulo equilátero Vejam uma ótima discussão em http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml Abraços, Nehab At 19:56 19/2/2007, you wrote: Use que tan(60-x)*tanx*tan(60+x)=tan3x. faça x=10 e use que tanx=1/tan(90-x). []'s - Mensagem original De: Graciliano Antonio Damazo [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 19 de Fevereiro de 2007 3:21:37 Assunto: [obm-l] Trigonometria Alguem poderia me ajudar? prove que: tg20º.tg30º.tg40º = tg10º Obrigado por enquanto... __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equa��es ITA
Oi, Bruna, Renan já mandou a solução, mas gostaria de lembrar que já foi abordada nesta lista outra forma de resolver este tipo de questão (em vários emails), que pode ser útil para você: Se dois polinômios possuem raízes em comum, elas coincidem com as raízes de seu mdc. Assim se você souber calcular o mdc entre dois polinômios (que segue a mesma estratégia de mdc entre inteiros)... é um caminho interessante e mais geral. Abraços, Nehab At 20:56 16/2/2007, you wrote: As equações x³ + ax² + 18 = 0 e x³ + nbx + 12 = 0, onde a e b são constantes reais e n um inteiro têm duas raízes comuns. Determine nb. -- Bjos, Bruna = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desenho Geom�trico [Complexos em Geometria e Napoleao]
Oi, Luís Embora sem poder dedicar muito tempo para isto, estou mapeando os exercícios de construções geométricas no triângulo em níveis de aprendizagem (em 3 niveis) pois de fato, uns são imediatos mas outros ainda são problemas em aberto. Minhas referências centrais continuam sendo os artigos publicados no Mathematics Magazin - do William Wernick (1982), que listou 139 problemas e do Leroy F. Meyers (1996), que complementou algumas soluções (não sei quantos dos problemas estão em aberto - parece que são uns 20). Mas meu interesse é desenvolver nos alunos o olhar geométrico, e então prefiro enfatizar os problemas com solução geométrica pura, evitando os que usam soluções por Geometria Analítica ou usando provas indiretas de não construtividade (usando Gauss, ou suas conseqüências) Quanto ao prof Astyages Brasil (acho difícil haver duas pessoas com este nome) não o conheço pessoalmente, mas há pouco tempo dei de cara numa livraria com um livro (possivelmente o que você soube que ele publicou), com no máximo umas 100 páginas em que o referido professor apresenta 3 demonstrações do último teorema de Fermat. Logo... (é raro de acontecer, mas este é um livro que não eu li e não gostei...). Vide http://www.papelvirtual.com.br/sitenovo/detalhes_produto2.asp?IDProduto=1058 Quanto ao problema que você propôs (o problema 25 do Wernick) - que prometeu a solução ... Construir com régua e compasso um triângulo dados o lado a ; a mediana m relativa ao lado a e a bisetriz interna d relativa ao lado não consegui uma solução simples e fui atrás de sua dica (lá vi a solução) e de fato é muito engenhosa e dificilmente eu a encontraria. Abraços, Nehab At 14:30 14/2/2007, you wrote: Sauda,c~oes, Oi Nehab, Este teu email é o gancho pra mandar o problema e a solução abaixo. == rhombus (losange) construction Posted by: Lu?s Lopes [EMAIL PROTECTED] qedtexte Date: Wed Feb 14, 2007 4:03 am ((PST)) Dear Hyacinthists, Construct a rhombus given a line and any four points so that a diagonal is parallel to the line and each side goes through one of those four points. Mr. Smith presented me this problem yesterday and told me it has been given as an assignment in 1963. And that he is still looking for a solution! As his memory may fail and I don't want to lose time in an ill problem I would like to have your opinion about it. Best regards, Luis Dear Luis, Let A,B,C,D be the given points, where A and C are supposed to lie on opposite sides of the rhombus. Reflect the vector BD in the given line to obtain B'D' and draw the latter from A to obtain vec. AM= vec. B'D'. Then point M must lie on the same side line of the rhombus as C. This defines (unless M=C, of course) the side line and hence the directions of all the sides. Best regards, Vladimir O Vladimir é da Rússia e lá eu acho que o DG faz parte do currículo. O professor do teste em 1963 era o Astyages Brasil. Só conheci o Brasil recentemente, mas já ouvi dizer que ele foi um excelente professor de geometria e afins. Talvez você possa falar um pouco a respeito dele. Soube que ele publicou um livro recentemente. Quem me propôs o problema ontem foi o xxx (encontrei-me ontem com ele pela primeira vez). Ele era estudante da PUC e o Brasil passou o problema num teste. Ele viu na tela do meu computador a figura da solução do problema a,h_a,m_b e se deteve perto de mim (assim do nada) pra me dizer que recentemente tinha resolvido um problena de DG. A conversa avançou e ele quer dizer pro Brasil que conseguiu resolvê-lo. Por essas e outras não consigo entender por que o DG foi retirado do currículo. E agora com os programas de desenho deveria voltar. O problema a,h_a,m_b de construir o triângulo com estes dados é fácil. Um outro A,m_a,d_a d_a=bissetriz interna é bem interessante e legal. Conheço umas 4 soluções para ele. A solução sintética que apareceu num periódico é muito elegante. Recai no problema A,a,d_a, um clássico. A solução com GA (do A,m_a,d_a) permite o uso de diversos conceitos, a começar pela dedução do lugar geométrico dos pontos médios dos segmentos determinados pelas interseções das retas que passam pelo pé (D_a) da bissetriz com os lados do triângulo. Num sistema conveniente isto dá uma hipérbole (cônicas, outro assunto que poderia reaparecer num tratamento geométrico como o da apostila do Célio Pinto) de vértices A e D_a e assíntotas paralelas aos lados do ângulo no vértice A. A interseção com o círculo (A,m_a) resolve o problema. Conheço tb a solução sintética de um livro alemão que vou mostrar num livro que estou escrevendo. Podemos pensar no problema com a bissetriz externa também. Outro problema interessante é a,m_a,d_a. Vou colocar a solução sintética (a essência da geometria) do prof. Paul Yiu que apareceu num jornal eletrônico (ForumGeometricorum) recentemente. Caraca, não quero ganhar o concurso de quem faz o mais longo email. []'s Luís From: Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] Reply
Re: [obm-l] Ajuda urgente
Oi, Marcus Aurélio
Calcule a seqüência das diferenças b(n) = a(n+1) - a(n) novamente a
seqüência das diferenças c(n) = b(n+1) - b(n). Você obtém a PG 8, 24, 72, 216.
Abraços,
Nehab
Oi, At 11:57 15/2/2007, you wrote:
Alguem poderia me ajudar nessa questão?
Determine o termo geral da seqüência {3, 0, 5, 34, 135, 452, ...} e calcule
em seguida a soma dos seus n primeiros termos.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] lema de gauss
Oi, Rafaek, Conheço alguns resultados de Gauss mas não consigo perceber a qual o citado participante quis se referir. De qualquer forma, até que algum outro colega consiga esclarecer esta dúvida, vamos a uma dica para seu problema. Um amigo e colega que frequenta esta lista passou para seus alunos um exercício muito semelhante a este, qual seja: sqrt( 1 + sqrt (1 + sqrt (1 + x) ) ) = x A solução que encontrei (que vale para o seu, também, e o deixarei para você, mas apenas dizendo que a solução vale [sqr(21) - 1]/2 ) foi a seguinte: Observe que x é igual ao radical horroroso da esquerda, concorda? Então imagine que você substitua o x do radical pelo próprio radical: Ficaria assim: sqrt( 1 + sqrt (1 + sqrt (1 + [ sqrt( 1 + sqrt (1 + sqrt (1 + x) ) ) ]) ) ) = x Se você fizer isto indefinidamente, obterá o seguinte: x = sqr( 1 + sqr ( 1+ .. + sqr ( 1 + x) .)[com infinitos radicais] Elevando ao quadrado, vem: x^2 = 1 + sqr ( 1+ .. + sqr ( 1 + x) .) ou seja, do lado direito você continua com a mesma infinidade de radicais, ou seja, x: x^2 = 1 + x , cuja solução que convém (0) dá o número áureo [sqr(5) + 1 ] / 2 Há um detalhe nesta demonstração que precisa de um cuidado maior para sua justificativa. Você percebe onde houve um certo abuso? Abraços, Nehab At 18:27 15/2/2007, you wrote: Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos assim: sqrt(5-sqrt(5-x)) = x Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a questao. O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda: Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ??? Obrigado -- Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] sequencias
Oi, Arthur, Acho que analisando as subseqüências de sen(Ln(n)) a seguir dá para provar que sen(Ln(n)) não converge. Chamando log2 de logaritmo na base 2 e fazendo log2(e) = p, temos: x(n) = sen (Ln(n) ) = sen [ log2(n) / p ]. Se n = 2^k , 2^(2k) e 2^(3k), obtemos 3 subseqüências de x(n) que teriam que convergir para L, quais sejam: a_k = sen k/p b_k = sen 2k/p c_k = sen 3k/p = sen(k/p) [ 3 - (4sen(k/p))^2 ] Mas De (sen2k/p) ^2 = 4.(senk/p)^2 . [1 - (senk/p)^2 ] teríamos L = 0, 1/2 ou - 1/2. De sen 3k/p = senk/p [ 3 - (4senk/p)^2] teríamos L = L ( 3 - 4L^2] ou seja, L = 0 ou sqr(3)/2 ou - sqr(3)/2 . Logo se provarmos que x(n) não pode convergir para L = 0, estará provado que x(n) não é convergente. Amanhã vejo como fechar isto (que acho que deve ser fácil) pois já está na hora das corujas... Até amanhã Abraços, Nehab. At 15:11 1/2/2007, you wrote: Outro contra exemplo talvez seja sen(ln(n)), mas embora pareca intuitivo que esta sequencia divirja, ainda nao a consegui uma prova matematicamente valida Artur -Mensagem original- De: Artur Costa Steiner Enviada em: quinta-feira, 1 de fevereiro de 2007 13:56 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: RES: [obm-l] sequencias No caso (i), a seq. não tem que ser convergente. Um contra-exemplo é a seq. cujos termos são 0, 1, 1/2, 0, 1/3, 2/3, 1, 3/4, 2/4, 1/4, 0, 1/5, ... A lei de formação é um vai vem em [0,1] em que vc vai dividindo o intervalo em subintervalos com comprimentos dados pelos inversos dos inteiros positivos. Vamos direto de 0 a 1, depois voltamos a 0 passando pelo 1/2, depois vamos de novo para 1 passando agora por 1/3 e 2/3, aí voltamos para 0 por 3/4/, 2/4, 1/4 e assim sucessivamente. Esta seq. satisfaz aa condicoes dadas mas não converge. Artur -Mensagem original- De: carlos martins martins [mailto:[EMAIL PROTECTED] Enviada em: terça-feira, 30 de janeiro de 2007 22:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] sequencias sou novo na lista e estou com um problema, na verdade dois, com sequências, i) Seja (x_n) uma sequência tq se n tende a oo |x_(n+1) - x_(n)|=0 e que (x_n) é limitada. Mostre ou dê contra-exemplo que (x_n) é convergente. ii) Se (a_n) é uma sequência de números reais definida por a_1 = 1 e a_(n+1)=a_n * (2 - a_(n)/2 ). Mostre que 1 = a_n = 2. Na primeira não tive muito progresso. Na segunda consegui mostrar por indução que 1 = a_n . Que a_n = 2, não consegui, cheguei a_n = 3. _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
