[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Fiz lambança.
a>b ==> Existe x>0 : a=b+x
Sej k>0 : ka=k(b+x)=kb+kx>kb
a>b, multiplicando-se ambos os lados por 1/b : a/b>1.
Saudações,
PJMS

Em Sex, 7 de set de 2018 13:15, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
> a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
> seja k >0
> a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
> a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
> Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
> propriedade distributiva.
> Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>>  wrote:
>> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>>
>> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
>> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
>> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
>> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
>> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
>> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>  acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!
Realmente é difícil limitar qual o ferramental que pode ser usado.
a>b ==> Existe x>0: a=×+r(i)
seja k >0
a*k= k*(x+r)=k*x+kr>k*x
a>b, multiplicando-se ambis os lados por 1/b temos: a/b>1.
Mas mesmo assim, podia se questionar a demonstração de (i) e também a da
propriedade distributiva.
Aí, não tenho a menor ideia de como fazê-las.
Saudações,
PJMS

Em Qui, 6 de set de 2018 01:06, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> On Wed, Sep 5, 2018 at 7:17 PM Israel Meireles Chrisostomo
>  wrote:
> > Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
> c>d então ac>bd
>
> Oi Israel, Pedro, Luciano, e demais colegas da lista,
>
> quais são os resultados que você pode usar para demonstrar isso?
> Positivos quer dizer reais, eu imagino, mas dependendo de como você
> define / constrói os reais, a forma de responder (e entender) esta
> questão é diferente.  Por exemplo, todas as manipulações "algébricas"
> (do tipo "a > b => a/b > 1") já podem pedir uma demonstração das
> mesmas... Tudo depende do que você assume / admite como conhecido.
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Israel Meireles Chrisostomo]

muito obrigado pedro

Em qua, 5 de set de 2018 às 19:31, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
>
> a/b>1 e 0 a/b >d/c (i)
> Como bc>0, multiplicando-se ambos os lados de (i) por bc temos ac>bd.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qua, 5 de set de 2018 às 19:17, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal, como posso provar que se a,b,c,d, são positivos e se a>b,
>> c>d então ac>bd
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Otávio Araújo]

Essa da ordem foi desleixo meu mesmo k

Em dom, 20 de mai de 2018 15:12, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> O jeito de resolver é esse mesmo.
> A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
> Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
> 3^4=1 mod 10
> 3^4=8*10+1.
> 3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
> (3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
> são:
> Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
> No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
> garante que o anterior também será.
> Portanto o menor x é 25.
> Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
> Saudações,
> PJMS
>
> Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
>> 1000 logo de cara 
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer
>>> forma está aí uma solução
>>>
>>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <
>>> otavio17.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular
 e não tem sinal de congruência kkk).
 Analisemos 16^n módulo 400:
 16^1 =16
 16^2 = 256
 16^3= 4096 = 96 mód 400
 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
 16^6 = 16 x 176 mód 400=
 2816 mód400 = 16 mód 400
 Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
 2x16^500= 352 mód 400

 E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
 2003^400= 1 mód 1000.

 Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
 Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
  3^5 =243
 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
 Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000

 Mas

 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
 E daí
 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000

 Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
 são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!

>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética dos restos

[Pedro José]

Boa tarde!
O jeito de resolver é esse mesmo.
A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000.
Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base.
3^4=1 mod 10
3^4=8*10+1.
3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a.
(3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000
são:
Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1
No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois,
garante que o anterior também será.
Portanto o menor x é 25.
Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100.
Saudações,
PJMS

Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo 
escreveu:

> Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo
> 1000 logo de cara 
>
> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo 
> escreveu:
>
>> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma
>> está aí uma solução
>>
>> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo 
>> escreveu:
>>
>>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e
>>> não tem sinal de congruência kkk).
>>> Analisemos 16^n módulo 400:
>>> 16^1 =16
>>> 16^2 = 256
>>> 16^3= 4096 = 96 mód 400
>>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400
>>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400
>>> 16^6 = 16 x 176 mód 400=
>>> 2816 mód400 = 16 mód 400
>>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400,  daí temos 16^500 =176 mód 400 ->
>>> 2x16^500= 352 mód 400
>>>
>>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 ->
>>> 2003^400= 1 mód 1000.
>>>
>>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400
>>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000
>>>  3^5 =243
>>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000
>>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000
>>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000
>>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000
>>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000
>>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000
>>>
>>> Mas
>>>
>>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000
>>> E daí
>>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000
>>>
>>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001)
>>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa!
>>>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Realmente, só se n for primo.
É mais complicado do que o previsto.

Saudações,
PJMS

Em 13 de outubro de 2016 21:12, Ralph Teixeira  escreveu:

> Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.
>
> Abraco, Ralph.
>
> 2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>>
>> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>>
>> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>>
>> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==>
>> p = 0 ou p = n.
>>
>> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>>
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>>
>>> --
>>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome
>>> de Esdras Muniz 
>>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>>
>>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>>> Então fica:
>>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>>
>>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esdras Muniz Mota
>>> Mestrando em Matemática
>>> Universidade Federal do Ceará
>>>
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Ralph Teixeira]

Hm, devagar -- por exemplo (4,2)=6 nao eh multiplo de 4.

Abraco, Ralph.

2016-10-13 17:25 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.
>
> (n,p) = n! / (p!. (n-p)!),
>
> Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
> = 0 ou p = n.
>
> Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>>
>> --
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
>> Esdras Muniz 
>> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
>> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
>> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>>
>> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
>> 13²)  (usando binômio de Newton).
>> Então fica:
>> E congruente a 39 (mod 13²).
>>
>> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esdras Muniz Mota
>> Mestrando em Matemática
>> Universidade Federal do Ceará
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro José]

Boa tarde!

Basta que p seja diferente de 0 ou n, para n<>0.

(n,p) = n! / (p!. (n-p)!),

Portanto, só há como tirar o fator n do n! se p! = n! ou (n-p)! = n! ==> p
= 0 ou p = n.

Se n=0 (0,0) =1 que também não é múltiplo de zero.

Saudações,
PJMS.

Em 13 de outubro de 2016 10:27, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Obrigado. Em que condições, o binomial (n,p)  é múltiplo de n?
>
> --
> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br  em nome de
> Esdras Muniz 
> *Enviado:* quinta-feira, 13 de outubro de 2016 02:31
> *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
> *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
>
> E = (13-1)^99 + (13+1)^99 congruente a {(99)x13 - 1} + {(99)x13 + 1}(mod
> 13²)  (usando binômio de Newton).
> Então fica:
> E congruente a 39 (mod 13²).
>
> Em 12 de outubro de 2016 23:10, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Determine o resto da divisão de 12^99 + 14^99 por 169
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

Obrigado vinícius!

Em 3 de agosto de 2016 17:44, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ah sim entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> ainda não entendi
>>
>> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
>> escreveu:
>>
>>> Acho que a idéia é a seguinte
>>>
>>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>>> Logo:
>>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>>
>>> end
>>>
>>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
 em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
 explicar o pq da congruência abaixo?

 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)

 Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ainda não entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
escreveu:

> Acho que a idéia é a seguinte
>
> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
> Logo:
> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>
> end
>
> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem em
>> como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>
>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>
>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética modular

[Israel Meireles Chrisostomo]

ah sim entendi

Em 3 de agosto de 2016 17:43, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> ainda não entendi
>
> Em 3 de agosto de 2016 17:35, vinicius raimundo 
> escreveu:
>
>> Acho que a idéia é a seguinte
>>
>> 6/2=1/2 . 6 ≡ 1/2 . 1 ≡ 1/2 (mod 5)
>> Logo:
>> 1/2≡6/2≡3 (mod 5)
>>
>> end
>>
>> Em quarta-feira, 3 de agosto de 2016, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá pessoal já estudei um pouco de congruências, mas não sei muito bem
>>> em como lidar com congruências fracionárias.Por exemplo, alguém poderia me
>>> explicar o pq da congruência abaixo?
>>>
>>> 1/2≡6/2 ≡3(mod 5)
>>>
>>> Para falar a verdade não entendi absolutamente nada disso.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui algo que não fosse braçal. Porém com direcionamento.

Supondo o número como 10*A + B, temos que 0<= r < (A+B). Logo vamos começar
com as somas de A+ B em ordem decrescente pois apresentam maior
possibilidade de ter um resto elevado.

(i) A+B = 18 ==> r = 9, então já não é necessário procurar os números em
que A + B <=10. (aqui se elimina 63 números, e com 1 que já foi feito só
restam 34 números para análise)

(ii) A+B = 17 ==> A = 8 e B =9 ou A= 9 e B = 8 ==> r = 4 ou r = 13.. Logo
não precisamos procurar em números com
A + B  <= 14. (aqui eliminamos 89 números com o analisado em (i) e para os
dois analisados aqui só restam 7 números a serem analisados.)

A+ B = 16 ==> A=B= 8 ou A=7 e B= 9 ou A= 9 e B = 7, que darão r = 8 ou r =
15 0u r = 1. Portanto eliminamos todos os números que tenham A + B < 16.
Estão eliminados os restantes dos múmeros.

r = 15 e o número é 79.

Se conseguir uma solução mais elegante, vos envio.

Saudações,
PJMS





Em 30 de março de 2016 23:10, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2016-03-30 16:55 GMT-03:00 Pedro Júnior :
> > Qual o maior resto possível da divisão de um número de dois algarismos
> pela
> > soma de seus algarismos?
> 15.
>
> > Caso saibam de alguma fórmula ou teoria gostaria do link ou referência.
>
> Eu sei do meu computador. Segue uma lista dos pares (n, resto), cada
> vez que o resto fica maior do que os restos anteriores
>
> 11 1
> 14 4
> 19 9
> 49 10
> 68 12
> 79 15
> 299 19
> 689 22
> 799 24
> 3889 25
> 4898 26
> 5599 27
> 6698 28
> 7996 29
> 8798 30
> 9599 31
> 16999 33
> 18899 34
> 39899 37
> 4 39
> 89789 40
> 89998 42
> 98999 43
>
> Curiosamente, começa com os quadrados (1,4,9), depois tem uma
> "carreirinha" de 24-31, pula 32 = 2^5, 35, 36, 38 que são compostos,
> mas logo pula 41 que é primo. (já tinha pulado outros, mas você
> poderia imaginar que era um "defeito" de ter "muito poucos dígitos")
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/12/4 Cassio Anderson Feitosa cassiofeito...@gmail.com:
 Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.
É. Quando p é um número primo, uma equação do segundo grau n^2 = x
(mod p) ou tem duas raízes, ou não tem nenhuma (o único caso de raiz
única é n^2 = 0, mas isso é uma raiz dupla). No seu caso, para
mostrar que n^2 = x (mod p*q), você tem que mostrar que cada uma das
equações tem raiz, logo terá duas, e portanto ao fazer as combinações,
você obtém 4 raízes ao todo (mod p*q). Basta que haja uma para que
haja infinitas, mas se houver uma raíz mod (p*q) então você terá 4
(com multiplicidades, se for o caso). É um exercício legal calcular
quantas dessas equações n^2 == x (mod p*q) tem 4 soluções diferentes,
2 soluções duplas, 1 solução quádrupla (x = 0 apenas) e deduzir
quantas delas não têm !

 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
 8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11
Aqui teve um errinho (e também mais embaixo) que me comeu um tempo...
de 8n^2 + 5 == 0, você esquece o sinal e faz 8n^2 == 5, (em vez de ==
-5) e depois você inverte o sinal 8n^2 == 6 e acerta de novo.

Fora isso, certíssimo. Você poderia ter invertido 8 módulo 11 (8*7 =
56 == 1) e obter um pouco mais rápido 0 = 7*8n^2 + 7*5 == 56 n^2 + 35
== n^2 + 2 = n^2 == -2 == 9 mod 11. (O mesmo vale embaixo, onde 8 ==
1 mod 7 direto, 0 == 8n^2 + 5 == n^2 + 5 = n^2 == -5 == 2 == 9 mod 7)

 == 4n² == 3 mod
 11 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3
 mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.

 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Pedro Júnior]

Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
mim!)
Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
Abç
Pedro Jr


Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e8n^2+5==
 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7 ==
 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod 11,
 ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo Teorema
 chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 

Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

Professor de Matemática

Geo João Pessoa – PB

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

Mas acredito que o outro raciocínio levou a todas as soluções.

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 14:14, Cassio Anderson Feitosa 
cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n² == 72 mod 77 === n² == 9 mod 77

 n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas

 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB


 Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior 
 pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
 mim!)
 Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
 Abç
 Pedro Jr


 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
  8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod
 11 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3
 mod 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[Cassio Anderson Feitosa]

8n² == 72 mod 77 === n² == 9 mod 77

n == +- 3 mod 77 gera duas da soluções encontradas

Cássio Anderson
Graduando em Matemática - UFPB


Em 4 de dezembro de 2013 13:59, Pedro Júnior
pedromatematic...@gmail.comescreveu:

 Obrigado Cássio, mas não pensei que fosse tão complicado! (pelo menos pra
 mim!)
 Caso alguém consiga de uma forma diferente favor encaminhar.
 Abç
 Pedro Jr


 Em 4 de dezembro de 2013 13:50, Cassio Anderson Feitosa 
 cassiofeito...@gmail.com escreveu:

 8n^2+5\equiv 0\pmod 77  é equivalente a 8n^2+5 == 0 mod 7e
  8n^2+5== 0 mod 11.

 Primeira parte: 8n² == 5 mod 11  == 8n^2 == 6mod 11 == 4n² == 3 mod 11
 == 3(4n²) == 9 mod 11 ==  12n²==n²==9 mod 11 ===n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 8 mod 11.

  Segunda parte: 8n² == 5 mod 7 == 8n^2 == 2mod 7 == 4n² == 1 mod 7
 == 2(4n²) == 2 mod 7 ==  8n²==n²==2 mod 7. =   n==3 ou n== -3 mod
 11, ou seja, n==3 ou n== 4 mod 7.

  Então, o sistema n == 3 mod 11 e n == 3 mod 7 gera uma solução.
  o sistema  n == 3 mod 11 e n == 4 mod 7 gera outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 3 mod 7 outra solução
 n == 8 mod 11 e n == 4 mod 7 outra solução.


  Daí basta pegar cada sistema de duas congruências e resolver pelo
 Teorema chinês de Resto.

  Por exemplo, a solução pro primeiro sistema é n=77q + 3, q inteiro.




 --
 Cássio Anderson
 Graduando em Matemática - UFPB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --

 Pedro Jerônimo S. de O. Júnior

 Professor de Matemática

 Geo João Pessoa – PB

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Perdão, mas não conseguir entender pq os números têm que ser quadrados 
perfeitos ou ter expoente maior que 2?
Vc poderia explicar melhor?
Obrigado
Jefferson



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Muito obrigado Saulo.
Jefferson



Em Quarta-feira, 27 de Novembro de 2013 12:01, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
 
Para o segundo,eu achei p = 31
p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)
Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei que
k = (p6 + 2)/(p+2) = Q(p) + 66/(p+2)
como k é inteiro e Q(p)  também,temos que
(p+2) divide 66,então p = 31



Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br


Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[marcone augusto araújo borges]

Para o segundo,eu achei p = 31p6  + 2 = 0(mod(p+2))
p6 + 2 = k(p+2)Dividindo p6 + 2 por p+2, verifiquei quek = (p6 + 2)/(p+2) = 
Q(p) + 66/(p+2)como k é inteiro e Q(p)  também,temos que(p+2) divide 66,então p 
= 31
Date: Tue, 26 Nov 2013 19:53:35 -0800
From: jeffma...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Obrigado Saulo 
 
 Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 
2.p+a^2=x^2np=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo
2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br
Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 
=(côngruo)1 (mod p+2).
AttJefferson--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.


  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética não tão básica!

[Jefferson Franca]

Obrigado Saulo



Em Terça-feira, 26 de Novembro de 2013 19:07, saulo nilson 
saulo.nil...@gmail.com escreveu:
 
p+a^2= x^2 numeros da forma quadratica ou cujo expoente e par maior que 2.
p+a^2=x^2n
p=(x^n-a)(x^n+a) absurdo pois p e primo



2013/11/25 Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br

Estudando surgiram algumas dúvidas. Diante disso, peço humildemente vossa 
ajuda. Eis as dúvidas:
01. Mostre que para um determinado tipo de números a conjectura não é 
verdadeira:'' Todo inteiro positivo pode ser escrito da forma p + a^2 , onde p 
é um número primo ou 1 e a = 0.
02. Ache o número primo p que satisfaz p^6 + 3 =(côngruo)1 (mod p+2).
Att
Jefferson
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética

[marcone augusto araújo borges]

Valeu,Esdras!

From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 19 Sep 2013 11:38:20 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Aritmética
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Use o seguinte fato:se a,b pertencem aos inteiros positivos, 
|a²-b²|=2*min{a,b}+1.A²=y²+4xB²=x²+y+24x=A²-y²=2y+1y+2=B²-x²=2x+1então

y=2x-1/2y=2x-1então 2x-1=y=2x-1/2  elevando ao quadrado 
fica:4x²-4x+1=y²=4x²-2y+1/4  somando 4x:(2x)²+1=A²=(2x+1)²-2x+1/4

isto nos dá um absurdo, pois o roximo quadrado depois de(2x)² é (2x+1)².

Em 17 de setembro de 2013 15:33, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:





Prove que não existem inteiros positivos x,y tais que x^2 + y + 2 e 4x + y^2são 
ambos quadrados perfeitos
Eu peço uma dica para essa. 



 
 



  


  


  


  


 
 



  


  


  


  

  
--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.




-- 
Esdras Muniz Mota
Graduando em Matemática Bacharelado
Universidade Federal do Ceará

Se algum dia ele recuou, foi para dar um grande salto


--

Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 

 acredita-se estar livre de perigo.   
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

A idéia seria repetir para a base r2 e eliminar X+Y (ou f1+f2 como no original) 
entre as duas equações, ficando com a diofantina  em r1 e r2...

[  ]'s

--- Em seg, 16/4/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com 
escreveu:

De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012, 3:20

2012/4/16 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com:
 2) Solução
 X = 0,3737...  Y = 0,7373...
 Na primeira base r1:
 (r1^2-1).X = 3r1+7
 (r1^2-1).Y = 7r1+3
 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja,
 (r1-1)(X+Y)=10    (A)
 Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1  7, logo r1 = 11 e X + Y =
 1
Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja
inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso
até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria
talvez que mudar a expressão na base r2)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Eduardo Wilner]

Acho que houve algum engano pois encontrei 

10*r2 - 7*r1 = 3  --  r2 =(7*r1 + 3)/10  --  r1=11 , r2=8   --  r1+r2=19.

[ ]'s

--- Em dom, 15/4/12, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu:

De: Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 15 de Abril de 2012, 19:26


Passando pra base decimal temos:
(I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...
(II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

(III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...
(IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...
Somando as equacoes (I) e (II) :
(f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

Somando (III) e (IV):
(f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...
Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

(f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)
(f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)
Igualando:
10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)10*r2 - 20 =7*r1 - 7

10*r2 - 7*r1 = 13
Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :
r2=7*n + 2r1=10*n + 1
Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a 
base R2 ser maior q 5, logo n=1.

Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20
Acho q eh isso...Abracos, Pedro.

Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br 
escreveu:

Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma 
aula semana passada e tentei, tentei e nada!
Será que alguém pode dar um ajuda aí?
















Em
uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma
fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 
0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de
numeração decimal é:

a)
24   b)
22  c) 21   d)
20   
e) 19

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética

[Pedro Nascimento]

Eh , acabei escrevendo certo em cima, na hora de copiar pra baixo saiu
7/(r2 -2) ao inves de 7/(r2 -1).

Em 15 de abril de 2012 22:45, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu:

  Abordei o problema com o mesmo método que você Pedro, mas encontrei uma
 divergência quando chegamos nesta expressão:

 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 1) == 10*r2 - 10 =7*r1 - 7 == 10*r2 - 7*r1 = 3

 O que leva o resultado para r1 = 11 e r2 = 8, logo r1 + r2 = 19
 (alternativa E)

 [ ]'s

  *J. R. Smolka*

 P.S.: No primeiro passo, quando você usou a expressão passando pra base
 decimal, o correto seria dizer que você está expandindo f1 e f2 nos seus
 polinômios equivalentes nas bases r1 e r2.

 *Em 15/04/2012 19:26, Pedro Nascimento escreveu:*

 Passando pra base decimal temos:

  (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+...

  (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+...

  (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+...

  (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+...

  Somando as equacoes (I) e (II) :

  (f2+f1)/10=  r1^-1   +r1^-2  +r1^-3  +r1^-4+...

  Somando (III) e (IV):

  (f2+f1)/7=r2^-1  +r2^-2  +r2^-3  +r2^-4+...

  Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos:

  (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1)

  (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1)

  Igualando:

  10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)
 10*r2 - 20 =7*r1 - 7

  10*r2 - 7*r1 = 13

  Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina :

  r2=7*n + 2
 r1=10*n + 1

  Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7)
 e a base R2 ser maior q 5, logo n=1.

  Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20

  Acho q eh isso...
 Abracos,
  Pedro.


  Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca 
 jeffma...@yahoo.com.brescreveu:

  Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante
 uma aula semana passada e tentei, tentei e nada!
 Será que alguém pode dar um ajuda aí?
  Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que
 uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é
 escrita como 0,252525...  e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no
 sistema de numeração decimal é:
 a) 24   b) 22  c) 21   d) 20e) 19