[obm-l] Re: [obm-l] Série
Em sex., 29 de abr. de 2022 às 23:09, Israel Meireles Chrisostomo escreveu: > > Alguém aí consegue calcular o limite contida no arquivo desse link logo > abaixo? > https://www.overleaf.com/project/624ee701e9cd2d14986e6f48 > Link indisponível. obrigado... > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série
Alguém aí consegue calcular o limite contida no arquivo desse link logo abaixo? https://www.overleaf.com/project/624ee701e9cd2d14986e6f48 -- Israel Meireles Chrisostomo -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Série convergente / somas parciais
Caros Colegas, Sejam S_n-1, S_n e S_n+1 somas parciais de uma série convergente de números reais, com soma S, isto é: lim S_n = S. Como podemos mostrar que lim S_n-1 = lim S_n+1 = S ? Abraços! Pedro Chaves -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Série de Taylor
Olá pessoal, tenho visto que vcs entendem muito e eu realmente não sei p* nenhuma kkk, mas mesmo assim, venho novamente aqui incomodar vcs e pedir que me ajudem a corrigir uma demonstração que fiz, a proposta da demonstração é provar a série de Taylor do seno(série de Madhava do seno) sem usar derivadas, mas não sei se consegui meu objetivo com essa demonstração, ela está correta?Se puderem ler, por favor, me digam os pontos que devo corrigir, eu agradeço muito, aqui está o link para ela: https://docs.google.com/viewer?a=vpid=sitessrcid=ZGVmYXVsdGRvbWFpbnxpc3JhZWxtY2hyaXNvc3RvbW98Z3g6NTBkMWQzZjYxM2U0NTE2MQ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor
Acho que dá pra provar, usando geometria do círculo, que o sen(x)/x tende a 1 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que sen(x)=0+x+o(x), onde o(x)/x tende a 0 quando x tende a 0, o que é o mesmo que dizer que sen(0)=0 e sen'(0)=1, o que é um bom primeiro passo. Obs: Ok não querer usar derivadas, mas, falando de uma série infinita, acho que você tem que estar disposto no mínimo a usar limites abraços 2015-08-04 20:36 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo israelmchrisost...@gmail.com: Alguém conhece alguma demonstração da série de Taylor do seno sem usar derivadas?Ou conhece algum livro ou competição matemática que pede para se provar a série de Taylor do seno sem usar derivadas?A propósito, quem foi o primeiro matemático a encontrar a série de Taylor do seno, ele usou derivadas? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série de Taylor
Alguém conhece alguma demonstração da série de Taylor do seno sem usar derivadas?Ou conhece algum livro ou competição matemática que pede para se provar a série de Taylor do seno sem usar derivadas?A propósito, quem foi o primeiro matemático a encontrar a série de Taylor do seno, ele usou derivadas? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Série de Taylor
Alguém pode me ajudar na seguinte questão? Ache uma aproximação para Integral (0x1) de sen(x²).dx com erro menor que 10^(-4) Eu achei a expansão de Taylor dessa integral, mas não consegui achar (e provar) um erro que fosse menor que 10^(-4) Tem como alguém me dar uma ajuda? []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Série de Taylor
Alguém pode me ajudar na seguinte questão? Ache uma aproximação para Integral (0x1) de sen(x²).dx com erro menor que 10^(-4) Eu achei a expansão de Taylor dessa integral, mas não consegui achar (e provar) um erro que fosse menor que 10^(-4) Tem como alguém me dar uma ajuda? []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Série de Taylor
Oi, João. Bom, você já deve ter feito: a) sin(x^2)=SUM (-1)^n.x^(4n+2))/(2n+1)! = x^2 -x^6/3! +x^10/5! -x^14/7!... para todo x real (o somatório começa em n=0) b) Podemos integrar séries de Potência termo-a-termo, então Int (0 a x) sin(u^2) du = SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = x^3/3 - x^7/(7.3!) +x^11/(11.5!) - x^15/(15.7!) para todo x real c) Botando x=1, vem que a integral pedida é A= SUM (-1)^n.x^(4n+3)/[(4n+3).(2n+1)!] = 1/3 - 1/(7.3!) +1/(11.5!) -1/(15.7!) +... Agora: d) Isto é uma série alternada! Se os termos da série forem decrescentes em módulo (que é o caso aqui) e forem para 0 (idem), dá para ver que, quando você trunca a série, a diferença entre a série truncada e a série completa é, em módulo, NO MÁXIMO, o primeiro termo descartado! Como 15.7! = 75600 1, você pode parar no terceiro termo. Ou seja, a resposta é 1/3-1/42+1/1320 com erro menor que 1/75600. Abraço, Ralph P.S.: Para provar o que eu falei sobre a série alternada: suponha a série é alternada, com termos decrescentes em módulo indo para 0, (s.p.d.g, suponha que o primeiro termo é positivo). Sendo s1, s2, ... ,sn as somas parciais, e L o limite da série, é fácil ver que 0s2s4s6...s(2n)...L...s(2n+1)...s5s3s1. Então, em particular, |L-s(2n)||s(2n+1)-s(2n)| e |s(2n+1)-L||s(2n+1)-s(2n+2)|, que é o que eu disse ali em cima. Isto é um escólio do Teorema de Leibniz, que prova que essa mesma série converge. 2014-06-25 14:31 GMT-03:00 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Alguém pode me ajudar na seguinte questão? Ache uma aproximação para Integral (0x1) de sen(x²).dx com erro menor que 10^(-4) Eu achei a expansão de Taylor dessa integral, mas não consegui achar (e provar) um erro que fosse menor que 10^(-4) Tem como alguém me dar uma ajuda? []'s Joao -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1
Sabemos que a série geométrica 9/10 + 9/(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para 1. Quando um termo a_n desta série é substituído por outro menor (b_n), a nova série obtida também será convergente, com soma 1 - d, sendo d = a_n - b_n. Assim, a nova série tem soma inferior a 1. Se algum termo desta nova série for diferente de zero, pode-se concluir ainda, que sua soma será maior do que zero. Essas conclusões resultam imediatamente da definição de série convergente. Abraços do Ennius! De: Pedro Chaves brped...@hotmail.com Enviada: Quarta-feira, 4 de Dezembro de 2013 08:23 Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1 Dada a sucessão a_1, a_2, ... , a_n, ... , cujos termos são números inteiros pertencentes ao intervalo [0,9], nem todos iguais a 9, mostrar que a série a_1 / 10 + a_2 /(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para um número real menor do que 1. Abraços do Pedro Chaves. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série convergente, com soma inferior a 1
Dada a sucessão a_1, a_2, ... , a_n, ... , cujos termos são números inteiros pertencentes ao intervalo [0,9], nem todos iguais a 9, mostrar que a série a_1 / 10 + a_2 /(10^2) + ... a_n / (10^n) + ... converge para um número real menor do que 1. Abraços do Pedro Chaves. ___ -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série de Taylor
Com respeito ao prooblema recentemente mandado para a lista sobre o heptágono
regular inscrito, tentei fazer por série de taylor
O incrível é que a expansão te Taylor para dois termos apenas já gera resultado
considerávelcos(Pi/7) ~ 0.900 e pela série de taylor com 2 váriáveis apenas já
temos 0,899
Sum[(-1)^n /(2n)!* ( Pi/7)^(2n), {n, 0, 1}] = 1 - Pi/98 ~ 0.899, que já dá para
ganhar a resposta
A pergunta é: existe algum teorema ou jeito de fechar esse intervalo (não para
o resultado específico de cos(Pi/7), nem para a expansão por Taylor da função
cos de x, mas para quaiquer série de Taylor)?
Ex: provar que neste caso é menor que 0.91 e maior que 0.89 por exemplo.
[]'sJoão
[obm-l] Série numérica
Preciso de uma ajuda: O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a: a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006 b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006 c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007 d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007 e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005
Re: [obm-l] Série numérica
Opa tem um jeito legal, OLha S=1+1/2+1/3+...+1/2006-2(1/2+1/4+1/6+1/8+...+1/2006)=1+1/2+1/3+...+1/2006-1-1/2-1/3-1/4-...-1/1003 s==1/1004+1/1005+...+1/2006 letra b Att Douglas Oliveira On Sun, 4 Mar 2012 06:10:06 -0800 (PST), Fabio Bernardo wrote: Preciso de uma ajuda: O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a: a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006 b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006 c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007 d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007 e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica
Oi Bernardo e Douglas, Muito agradecido. --- Em dom, 4/3/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Série numérica Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 4 de Março de 2012, 14:33 2012/3/4 Fabio Bernardo prof_fabioberna...@yahoo.com.br Preciso de uma ajuda: O valor de 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... + 1/2005 - 1/2006 é igual a: a) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2006 b) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2006 c) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2007 d) 1/1004 + 1/1005 + ... + 1/2007 e) 1/1003 + 1/1004 + ... + 1/2005 Menor idéia... Mas um problema como esse obviamente não tem nada a ver com 2006. Vamos trocar isso por números menores então! 1 - 1/2 = 1/2 (fácil) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/12 (fácil, mas 12 é meio grande) 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 = 1/2 + 1/12 + 1/30 (hum, não vai simplificar) Bom, infelizmente, isso não tem chance de dar muito certo porque os denominadores estão muito maiores. Pensando outra vez. O primeiro deu 1 - 1/2 = 1/2, ou seja, pegamos o último elemento. Será que dá pra melhorar o segundo? Dá sim: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 1/3 + 1/2 - 1/4 = 1/3 + 1/4. Legal, pegamos os dois últimos. E tem de 1 até 2*2 no denominador. Será que dá pra generalisar? Deveria, né? Chame S_n = 1 - 1/2 + ... +1/(2n -1) - 1/(2n). A gente provou que S_1 = 1/2 S_2 = 1/3 + 1/4 e fazendo as contas, S_3 = 1/4 + 1/5 + 1/6 Seja então R_n = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n) Temos S_n = R_n para n = 1, 2, 3. Vejamos a indução: S_(n+1) = S_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = R_n + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) Mas R_n começa com 1/(n+1), que absorve o 1/(2n+2) tornando-o positivo. Assim, S_(n+1) = R_n - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/(2n+2) = R_(n+1) Acabou !! -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série para ln(2)
Muito bem observado, Luís! Quando eu coloquei este resultado, minha intenção era só dar um colorido no pseudo-paradoxo que inventei e, assim, mostrar que a série obtida era, de fato, convergente para um número maior do que 1/2, o ln(2). Agora, vou deixar como desafio: Pede-se mostrar que: Soma [ 1/(2n(2n-1)) , n = 1 ... +oo ] = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2)... Série [1] Dica (já que estamos falando na Série Harmônica, ela “quase” que aparece...): É sabido que: Soma [ ((-1)^(n+1))/n , n = 1 ... +oo ] = ln(2)... Série [2] Ou, se preferir: ln(1+x) = x – (x^2)/2 + (x^3)/3 – (x^4)/4 + ... , para -1 x = 1 Repare que a convergência da Série [1] é bem mais rápida do que a da Série [2] – bonito, não? Sds., AB bousk...@msn.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Luís Lopes Sent: Monday, May 04, 2009 4:15 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] serie para ln(2) Sauda,c~oes, No meio de vários reply ao thread CEGUEIRA FRACIONÁRIA! encontrei a seguinte mensagem: [obm-l] Mais um divertimento: 0 1/2 (???) Albert Bouskela Thu, 18 Dec 2008 10:15:24 -0800 Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [...] E, assim, demonstra-se que 0 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 1/2 [...] Como demonstrar a curiosidade acima? []'s Luís _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
[obm-l] Série
Achar o valor (número fechado?) para o qual converge a série 0^p /0! +1^p/1! +...+n^p/n!+... em função de p um número natural. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Série de Maclaurin
Se eu escrever a função ln(1+y) como uma série de maclaurin e fizer depois y = x^3 eu obtenho uma representação de ln(1+x^3)? Obrigado -- Denisson
Re: [obm-l] Série de Maclaurin
Sim. On Wed, Oct 29, 2008 at 10:59 AM, Denisson [EMAIL PROTECTED] wrote: Se eu escrever a função ln(1+y) como uma série de maclaurin e fizer depois y = x^3 eu obtenho uma representação de ln(1+x^3)? Obrigado -- Denisson
Re: [obm-l] Série de Maclaurin
Obrigado Ralph, Na verdade eu verifiquei isso na mão por isso perguntei se estaria correto, mas em geral qualquer tipo de substituição é válida ou algumas condições devem ser satisfeitas? se substituir por x = ln(x) Ou qualquer outra função ainda se tornará válido? 2008/10/29 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] Sim. On Wed, Oct 29, 2008 at 10:59 AM, Denisson [EMAIL PROTECTED] wrote: Se eu escrever a função ln(1+y) como uma série de maclaurin e fizer depois y = x^3 eu obtenho uma representação de ln(1+x^3)? Obrigado -- Denisson -- Denisson
Re: [obm-l] Série de Maclaurin
Desculpa a resposta curta, hoje foi um dia cumprido... :) Mas basicamente, eh isso que voce falou -- eu vi que voce tomou cuidado e disse que, por uma substituicao dessas, voce obtem uma REPRESENTACAO de alguma coisa, nao necessariamente uma outra serie de MacLaurin. Entao tah certo, respeitado o raio de convergencia na expressao nova. Por exemplo: ln(1+x)=1-x+x^2/2-x^3/3+x^4/4... desde que |x|1. Se voce botar KOISA no lugar de x, desde que |KOISA|1, tah valendo! Por exemplo, como voce disse, trocando x por lnx, vem: ln(1+lnx)=1-lnx+(lnx)^2/2-(lnx)^3/3... desde que |lnx|1, ou seja, desde que 1/exe. Abraco, Ralph 2008/10/29 Denisson [EMAIL PROTECTED] Obrigado Ralph, Na verdade eu verifiquei isso na mão por isso perguntei se estaria correto, mas em geral qualquer tipo de substituição é válida ou algumas condições devem ser satisfeitas? se substituir por x = ln(x) Ou qualquer outra função ainda se tornará válido? 2008/10/29 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] Sim. On Wed, Oct 29, 2008 at 10:59 AM, Denisson [EMAIL PROTECTED] wrote: Se eu escrever a função ln(1+y) como uma série de maclaurin e fizer depois y = x^3 eu obtenho uma representação de ln(1+x^3)? Obrigado -- Denisson -- Denisson
[obm-l] Série Condicionalmente Convergente
Gostaria de sugestões para o seguinte problema: Se uma série for condicionalmente convergente então existe um rearranjo de termos tal que a sua soma será r, para qualquer r real dado. obrigado -- Denisson
[obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor?
Determinar a série de Laurent no domínio |z-1| 1 para f(z) = (z-1)/z² Poderia explicar passo a passo a resolução? A resposta é somatório, com n variando de 1 ao infinito, de (-1)^(n+1)*n*(z-1)^(-n) onde a^b significa 'a' elevado a 'b' e * indica multiplicação. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] RE: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor ?
Muito obrigado pela atenção, felizmente eu consegui desenrolar a questão, mas
agora estou com dúvida quanto a outra série f(z) = 1/[z(z²+1)] em torno da
singularidade z= i. A minha dúvida é se eu posso fazer f(z) = 1/(z-i) *
[1/[z*(z+i)], desenrolar a série em potências de (z-i) para a função g(z) =
1/[z*(z+i)] e depois multiplicar o resultado por 1/(z-i). Se for possível eu
terei resolvido a questão, caso contrário...
--- Em dom, 12/10/08, LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: LEANDRO L RECOVA [EMAIL PROTECTED]
Assunto: RE: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor?
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 12 de Outubro de 2008, 17:30
Tente fazer u=z-1. Entao, pela definicao, 1/u 1. Agora, substitua na
serie,
f(z)= 1/z - 1/z^2 = 1/z(1-1/z)
f(u) = (1/u+1)(1-1/(u+1))
Agora, repare que
1/(u+1) = 1/u(1+1/u) = (1/u)[(1-(1/u)+(1/u)^2 + ] =
sum(n=1)(infty)(-1)^(n)* (1/u)^(n).
Substitua isso em f(u) agora,
f(u)= 1(u+1) [1 - sum_{n=0}^{\infty}(-1)^(n)* (1/u)^(n)]
Como estamos tirando 1 da soma, e temos o sinal de (-), todos termos trocam
de sinal, entao (-1)^n becomes (-1)^(n+1) e o somatorio comeca por n=1,
f(u) = 1/(u+1)[ sum _{n=1}^{\infty}(-1)^(n+1)*(1/u)^(n)
f(z)=1/z [ sum_{n=1}^{\infty}(-1)^(n+1)*(z-1)*(-n)]
Encontrei a resposta diferente, mas tente fazer de novo. Eu nao tinha lapis
e caneta aqui. Estou num Starbucks aqui em Irvine, California. Mas, a
solucao e por ai. Sempre que tiver isso, faca uma substituicao do tipo que
eu fiz, pois voce tem que encaixar o resultado da soma geometrica infinita
sempre que a razao q 1.
Leandro.
From: César Santos [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Série de Laurent - Ajuda, por favor?
Date: Sun, 12 Oct 2008 07:19:45 -0700 (PDT)
Determinar a série de Laurent no domínio |z-1| 1
para f(z) = (z-1)/z²
Poderia explicar passo a passo a resolução?
A resposta é somatório, com n variando de 1 ao infinito, de
(-1)^(n+1)*n*(z-1)^(-n)
onde a^b significa 'a' elevado a 'b' e * indica
multiplicação.
Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com
a
sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] Série
Olá, Tentando encontrar a seguinte soma infinita dos inversos de todos os naturais cuja decomposição em fatores primos contém apenas os dígitos 2 e 3: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ... encontrei como resposta o valor 3. Alguém poderia confirmá-lo? []s Eduardo Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Série
Se a decomposição em fatores primos só contiver os fatores 2 e 3, a resposta está correta (basta fazer um somatório duplo em 1/2^m*3^n, jogar um dos termos pra fora do somatório e usar a expressão para soma de uma progressão geométrica duas vezes). Agora, contendo apenas os *dígitos* 2 e 3, o problema parece muito mais complicado (por exemplo, o número primo 23 poderia aparecer na decomposição). Qual das duas versões do problema é a proposta? -- Abraços, Maurício 2008/7/12 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]: Olá, Tentando encontrar a seguinte soma infinita dos inversos de todos os naturais cuja decomposição em fatores primos contém apenas os dígitos 2 e 3: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ... encontrei como resposta o valor 3. Alguém poderia confirmá-lo? []s Eduardo Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Res: [obm-l] Série
É a primeira, Marcelo, obrigado! - Mensagem original De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 12 de Julho de 2008 9:32:55 Assunto: Re: [obm-l] Série Se a decomposição em fatores primos só contiver os fatores 2 e 3, a resposta está correta (basta fazer um somatório duplo em 1/2^m*3^n, jogar um dos termos pra fora do somatório e usar a expressão para soma de uma progressão geométrica duas vezes). Agora, contendo apenas os *dígitos* 2 e 3, o problema parece muito mais complicado (por exemplo, o número primo 23 poderia aparecer na decomposição). Qual das duas versões do problema é a proposta? -- Abraços, Maurício 2008/7/12 Eduardo Estrada [EMAIL PROTECTED]: Olá, Tentando encontrar a seguinte soma infinita dos inversos de todos os naturais cuja decomposição em fatores primos contém apenas os dígitos 2 e 3: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/9 + 1/12 + ... encontrei como resposta o valor 3. Alguém poderia confirmá-lo? []s Eduardo Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] Série
soma[1/(n)(n+k)]=soma[(1/k).(1/n-1/(n+k))]=1/k.(soma[1/n]-soma[1/(n+k)])=Hk/k 2008/3/31, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED]: Mostrar que somatório de n=1 até infinito de 1/(n)(n+k) =Hk/k onde Hk é o k-ésimo número harmônico, k=1, k natural Hk= somatorio de p=1 até k de 1/p = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Série
Para todo real a 0 a e todo real x, temos que a^x = 1 + x ln(a) + x^2/2 (ln(a))^2 + (x^3/3) ln(a)^3... Fazendo x = 1/n, temos, para a 1, que a^(1/n) = 1 + ln(a)/n + ((ln(a)^2)/(2n^2) 1 + ln(a)/n, pois ln(a) 0 e n =1. Logo, para todo n =1, a^(1/n) - 1 ln(a)/n 0. Como Soma ln(a)/n diverge, segue-se que o mesmo vale para Soma ((a^(1/n) -1). No seu caso, a= 2 1, de modo que a série diverge para infinito. E se 0 a 1? O que acontece com a serie? Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Igor Castro Enviada em: quinta-feira, 22 de novembro de 2007 16:55 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Série Alguém pode me ajudar? Mostrar se a série converge ou não; em convergindo encontrar a respectiva soma se possível: Sum( 2^(1/n) -1 ) . n=1 até infinito. abs!
Re: [obm-l] Série
Essa solução é bem curta. Primeiramente, vamos observar que cos(n) é uma sequência pouco amigável. Mas... cos(n) é a parte real de exp(n*i), ou exp(i)^n, que é bem mais tratável. Assim definimos: S1 = Soma(n=1..oo) cos(n)/n = cos(1) + cos(2)/2 +cos(3)/3 +cos(4)/4... S1c = Soma(n=1..oo) exp(n*i)/n = exp(i) + exp(2*i)/2 +exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4...= S1 = Re( S1c ) , onde Re( ) denota parte real. S1c = exp(i) + exp(2*i)/2 +exp(3*i)/3 +exp(4*i)/4... S1c = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3 +exp(i)^4/4... Bem, está quase acabado, porque o que resta agora e perceber a semelhança entre S1c e a expansão de taylor para -ln(-x+1): -ln(-x+1) = x +x^2/2 +x^3/3 +x^4/4 +x^5/5 = -ln(-exp(i)+1) = exp(i) + exp(i)^2/2 +exp(i)^3/3 +exp(i)^4/4... = S1c S1 = Re( S1c ) = Re( -ln(-exp(i)+1) ) Lembrando que a parte real do log de um número complexo é o log de seu módulo: S1c = -ln(-(cos(1)+i*sin(1))+1) = S1 = -1/2*ln( (1-cos(1))^2+sin(1)^2) S1 = -1/2*ln(cos(1)^2-2*cos(1)+1+sin(1)^2) S1 = -1/2*ln(2-2*cos(1)) S1 = -1/2* (ln(2) +ln(1-cos(1))) ~= 0.0420195059 A solução de: S2= Soma(n=1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n = cos(1) - cos(2)/2 +cos(3)/3 -cos(4)/4... é idêntica: S2 = 1/2* (ln(2) +ln(1+cos(1))) ~= .5625629402 Ainda dá pra dizer que, de forma análoga, pode-se obter pelo menos mais duas séries emblemáticas: Soma(n=1..oo) exp(-n)/n = exp(-1) + exp(-2)/2 +exp(-3)/3 +exp(-4)/4... = -ln(-exp(-1) +1) Soma(n=1..oo) exp(-n)/n*(-1)^(n+1) = exp(-1) - exp(-2)/2 +exp(-3)/3 -exp(-4)/4... = ln(exp(-1) +1) []´ Demetrio --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Ronaldo. --- ralonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Você quer o valor da soma das séries? Sim. Segunda-feira eu posto a solução. Se houver alguém interessado no problema, observo que não é a mesma coisa que calcular soma (n=1..oo) sin[n]/n. Eu inclusive não consegui fazer por séries de Fourier []'s Demétrio Demetrio Freitas wrote: Olá, Problemas semelhantes (mas não iguais) ao anterior: Calcule para onde convergem as séries abaixo. 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n []´s Demetrio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
Olá Ronaldo. --- ralonso [EMAIL PROTECTED] escreveu: Você quer o valor da soma das séries? Sim. Segunda-feira eu posto a solução. Se houver alguém interessado no problema, observo que não é a mesma coisa que calcular soma (n=1..oo) sin[n]/n. Eu inclusive não consegui fazer por séries de Fourier []'s Demétrio Demetrio Freitas wrote: Olá, Problemas semelhantes (mas não iguais) ao anterior: Calcule para onde convergem as séries abaixo. 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n []´s Demetrio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
Você quer o valor da soma das séries? Demetrio Freitas wrote: Olá, Problemas semelhantes (mas não iguais) ao anterior: Calcule para onde convergem as séries abaixo. 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n []´s Demetrio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
Olá, Problemas semelhantes (mas não iguais) ao anterior: Calcule para onde convergem as séries abaixo. 1- Soma(n = 1..oo) cos(n)/n 2- Soma(n = 1..oo) (-1)^(n+1) * cos(n)/n []´s Demetrio --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Sun, Apr 15, 2007 at 09:46:51PM -0300, Felipe Diniz wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n A série converge (condicionalmente) para (pi-1)/2 ~= 1.070796327. Para ver isso, considere a função 2pi periódica f que vale f(x) = x para -pi x pi e expanda em série de Fourier: f(x) = 2 ( sen(x) - sen(2x)/2 + sen(3x)/3 - sen(4x)/4 + sen(5x)/5 - ... ) e calcule f(pi-1): pi - 1 = 2 ( sen(1) + sen(2)/2 + sen(3)/3 + sen(4)/4 + sen(5)/5 + ... ) o que dá a série pedida. []s, N. (com a ajuda de meu colega Carlos Tomei) __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
On Sun, Apr 15, 2007 at 09:46:51PM -0300, Felipe Diniz wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n A série converge (condicionalmente) para (pi-1)/2 ~= 1.070796327. Para ver isso, considere a função 2pi periódica f que vale f(x) = x para -pi x pi e expanda em série de Fourier: f(x) = 2 ( sen(x) - sen(2x)/2 + sen(3x)/3 - sen(4x)/4 + sen(5x)/5 - ... ) e calcule f(pi-1): pi - 1 = 2 ( sen(1) + sen(2)/2 + sen(3)/3 + sen(4)/4 + sen(5)/5 + ... ) o que dá a série pedida. []s, N. (com a ajuda de meu colega Carlos Tomei) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
Isso, Marcelo, é a série de Fourier. Quando vc pega uma função definida em (-pi, pi) e vc quer aproximá-la por Fourier, vc pode considerar uma extensão dessa função, cujo período é o tamanho do intervalo no qual vc a tem definida, entende? Assim vc consegue por Fourier uma função que aproxima a sua função original pelo menos no intervalo inicialmente escolhido. Se vc aproximar a identidade por série de fourier em (-pi, pi), vc deve considerar a extensão da função identidade nesse intervalo, que seria uma função que vai de -pi até pi em cada intervalo da forma ((2k - 1)pi, (2k + 1)pi), entende? O gráfico dela seria algo como: /... aí sim vc tem a função periódica. Isso é usado, por exemplo, para vc obter o valor de zeta(2)... vc pode pegar a série de fourier da extensão f(x) = x^2 no intervalo (-pi, pi), e aí sai o valor de zeta(2)! É bem interessante. Espero ter esclarecido um pouco o que eu quis dizer! Abraço Bruno On 4/16/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote: Ola Bruno, qdo vc diz a expansao de Fourier, se refere à serie de Fourier? nao entendi como fazer.. pois no interno (-pi, pi) nao faz valer para qualquer intervalo (nao temos uma funcao periodica).. pode dar mais detalhes? Obrigado, Salhab On 4/16/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Felipe, isso aí converge, vc pode usar o critério de Dirichlet. Vc ainda pode calcular o exato dessa série usando a expansão de Fourier da identidade no intervalo (-pi, pi). Até Bruno On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
[obm-l] Série
Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe.
Re: [obm-l] Série
sen(n)/n converge para 1 (e não para zero), então a série diverge. On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe.
Re: [obm-l] Série
Esse é o limite tendendo a 0... o lim x- infSen[x]/x = 0 pois-1/x =Sen[x]/x = 1/x On 4/15/07, Iuri [EMAIL PROTECTED] wrote: sen(n)/n converge para 1 (e não para zero), então a série diverge. On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe.
Re: [obm-l] Série
Iuri, acredito que seu argumento esta falho... pois vc tem q analisar qdo n-inf e nao qdo n-0... e sen(n)/n - 0 qdo n-inf.. entao, nao podemos afirmar nada sobre a convergencia (ou divergencia) da serie.. abracos, Salhab On 4/15/07, Iuri [EMAIL PROTECTED] wrote: sen(n)/n converge para 1 (e não para zero), então a série diverge. On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
Felipe, isso aí converge, vc pode usar o critério de Dirichlet. Vc ainda pode calcular o exato dessa série usando a expansão de Fourier da identidade no intervalo (-pi, pi). Até Bruno On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Série
Ola Bruno, qdo vc diz a expansao de Fourier, se refere à serie de Fourier? nao entendi como fazer.. pois no interno (-pi, pi) nao faz valer para qualquer intervalo (nao temos uma funcao periodica).. pode dar mais detalhes? Obrigado, Salhab On 4/16/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Felipe, isso aí converge, vc pode usar o critério de Dirichlet. Vc ainda pode calcular o exato dessa série usando a expansão de Fourier da identidade no intervalo (-pi, pi). Até Bruno On 4/15/07, Felipe Diniz [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, estou com problemas no seguinte exercicio: Verifique se converge ou diverge a seguinte série: Sum(n=1 - inf) Sen[n]/n [ ] s , Felipe. -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] série
Olá pessoal,
alguém poderia mostrar que a série
1 -1/2 + 2/3 -1/3 +2/4 -1/4 +2/5 -1/5 +2/6 -1/6 +2/7 -1/7 +2/8 -1/8
diverge.
Tentei encontrar uma forma fechada para seu termo geral, mas não consegui.
Tem como??
Como os termos a_{n} e a_{2n + 1} se anulam, temos as somas parciais
s_{5} = 1 + 1/3
s_{9}= 1 + 2/3 +1/5 -1/4
s_{13}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 -1/6
.
.
.
s_{n}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 + ... + 2/(n+1) - 2/(n-1) , n1
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Re: [obm-l] série
Essa série não é absolutamente convergente, porque seus termos tomados em
módulo
contém a série harmônica. É portanto condicionalmente convergente. E em
uma
série condicionalmente convergente é possível rearranjar os termos para
torná-la
divergente. Note que se você rearranjar os termos 2 a dois você obtem a
série harmoônica,
que sabemos ser divergente.
On 2/14/07, carlos martins martins [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal,
alguém poderia mostrar que a série
1 -1/2 + 2/3 -1/3 +2/4 -1/4 +2/5 -1/5 +2/6 -1/6 +2/7 -1/7 +2/8 -1/8
diverge.
Tentei encontrar uma forma fechada para seu termo geral, mas não consegui.
Tem como??
Como os termos a_{n} e a_{2n + 1} se anulam, temos as somas parciais
s_{5} = 1 + 1/3
s_{9}= 1 + 2/3 +1/5 -1/4
s_{13}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 -1/6
.
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s_{n}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 + ... + 2/(n+1) - 2/(n-1) , n1
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Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.
Re: [obm-l] série
Basta notar que a seqüência das reduzidas desta série contém a
sequência das reduzidas da série harmônica como subsequencia (pois a
soma até cada termo par é igual a soma correspondente na série
harmônica). Como uma série converge, por definição, se e só se a
sequência das reduzidas converge e tal sequencia neste caso possui uma
subsequencia divergente, concluímos que a série diverge.
Em geral, se uma série sem os parênteses converge, a série com os
parênteses também converge. A contrapositiva deste fato é que, se uma
série com os parênteses diverge, a série sem os parênteses também
divergirá, o que, aplicado ao seu caso, resolve a questão.
--
Maurício
On 2/14/07, carlos martins martins [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá pessoal,
alguém poderia mostrar que a série
1 -1/2 + 2/3 -1/3 +2/4 -1/4 +2/5 -1/5 +2/6 -1/6 +2/7 -1/7 +2/8 -1/8
diverge.
Tentei encontrar uma forma fechada para seu termo geral, mas não consegui.
Tem como??
Como os termos a_{n} e a_{2n + 1} se anulam, temos as somas parciais
s_{5} = 1 + 1/3
s_{9}= 1 + 2/3 +1/5 -1/4
s_{13}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 -1/6
.
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s_{n}= 1 + 2/3 +1/5 +1/7 + ... + 2/(n+1) - 2/(n-1) , n1
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[obm-l] Série
Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila: João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , , xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse? É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, mostrar que xn se aproxima sempre de 5. Muito obrigado pela atenção. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série
OláPodemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui).Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), bloge agora com rede social http://spaces.live.com/= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Série
Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série.Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5) Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor | --| 1 | 2.5 | --| 2 | 3.75 | --| 3 | 4.375 | --| 4 | 4.6875 | --A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5. Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:OláPodemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui). Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), bloge agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0 -- Um Grande Abraço,Jonas Renan
Re: [obm-l] Série
Oi, Jonas.Quais passagens você não entendeu? Se eu souber, terei prazer em explicar melhor. Pelo que compreendi, vc não disse as mesmas coisas, deu outra idéia!Quanto à sua solução, só para explicitar o seu k, acho que vc pensou isso: a_(n+1) = a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k)Tomando lim para n -- oo, temos:lim a_(n+1) = lim [ a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) ]Como lim a_1 * 2^(-n) = 0, e lim sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) = sum(k=1..oo) 5 * 2^(-k) = (5/2) / (1 - 1/2) = 5, temos que lim a_(n+1) = 0 + 5 = 5Logo, a seqüência a_n converge para 5. Legal.AbraçoBrunoOn 8/31/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote:Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série. Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5) Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor | --| 1 | 2.5 | --| 2 | 3.75 | --| 3 | 4.375 | --| 4 | 4.6875 | --A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5. Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:Olá Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui). Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que númeroera esse?É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa,mostrar que xn se aproxima sempre de 5.Muito obrigado pela atenção._ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), bloge agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
Re: [obm-l] Série
Olá Bruno.Não entendi muito bem o teorema que você citou na sua 2ª prova. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Abraços2006/9/1, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]: Oi, Jonas.Quais passagens você não entendeu? Se eu souber, terei prazer em explicar melhor. Pelo que compreendi, vc não disse as mesmas coisas, deu outra idéia!Quanto à sua solução, só para explicitar o seu k, acho que vc pensou isso: a_(n+1) = a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k)Tomando lim para n -- oo, temos:lim a_(n+1) = lim [ a_1 * 2^(-n) + sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) ]Como lim a_1 * 2^(-n) = 0, e lim sum(k=1..n) 5 * 2^(-k) = sum(k=1..oo) 5 * 2^(-k) = (5/2) / (1 - 1/2) = 5, temos que lim a_(n+1) = 0 + 5 = 5Logo, a seqüência a_n converge para 5. Legal.AbraçoBruno On 8/31/06, J. Renan [EMAIL PROTECTED] wrote:Não dispondo das ferramentas matemáticas sofisticadas que muitos possuem aqui, acho que existe uma prova mais elementar da convergência dessa série. Aproveitando a definição do Bruno, a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5) Desenvolvendo a recorrência da série temos:a_(n+1) = a1*2(^-n) + kSobre esse número que eu chamei de k, vejamos o valor dele para alguns n's:__| n | valor | --| 1 | 2.5 | --| 2 | 3.75 | --| 3 | 4.375 | --| 4 | 4.6875 | --A prova de que k é realmente essa série é porque ele se constitui de uma soma infinita de frações.Podemos reescreve-lo como uma soma de uma pg infinita, quando ele está no infinito S = 2,5 + 1,25 + 0,625 ... quando n- oo, S - 5Vamos voltar pra nossa sériea_(n+1) = a1*2(^-n) + kQuando n tornasse infinitamente grande, o primeiro termo [a1*2^(-k)] tende a zero e k tende a 5. Espero ter ajudado (e espero também não ter dito as mesmas coisas do e-mail anterior, infelizmente não entendi todas as passagens)2006/8/31, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]:Olá Podemos fazer isso de duas formas (há muitas, mas selecionei duas para discutirmos aqui). Note que a_(n+1) = 1/2 * (a_n + 5). Vamos mostrar que a seqüência converge para 5. Para isso, vamos fazer umas continhas: |a_n - 5| = |a_n - 5| == |a_n + 5 - 10| = |a_n - 5| == |1/2 * (a_n + 5) - 5| = 1/2 * |a_n - 5| == |a_(n+1) - 5| = 1/2 * |a_n - 5|Isto é, cada elemento da seqüência está a metade da distância do 5 que o elemento anterior estava. Temos então que: |a_n - 5| = (1/2)^n * |a_0 - 5|, onde |a_0 - 5| = k é uma constante. Para mostrar que a seq. converge para 5, precisamos mostrar que para cada eps 0, existe um n_0 tal que n n_0 == |a_n - 5| eps (pela definição de convergência). Fácil: vamos escolher um n_0 de forma que (1/2)^(n_0) * k eps == n_0 * ln(1/2) eps / k == n_0 eps / (k*ln(1/2)). Logo, a seqüência converge para 5. A outra maneira é usar um teoreminha que diz que se f é uma função contínua e a seq a_n é definida por a_(n+1) = f(a_n) e é convergente, então ela converge para um ponto fixo de f (um ponto fixo de uma função é um valor x tal que f(x) = x). Isso é fácil de demonstrar (e inclusive já enviei um email aqui para a lista com uma demonstração gigantesca e complicada e depois o Salvador Zanata respondeu com uma demonstração bem mais simples, que infelizmente eu não tinha visto), bastando tomar o limite para n -- oo, dos dois lado da definição da seqüência. Usando o teorema, precisamos demonstrar que a seqüência converge para todo a_0 escolhido (o que é simples: precisa mostrar que ela é monótona e que é limitada), e depois basta dizer que ela converge para um valor a, tal que f(a) = a == 1/2 * (a + 5) = a == a = 5. AbraçoBrunops: aqui vão dois exercícios pra vc brincar, usando o teorema que mencionei:Mostre que as expressões a seguir representam um número real cada e calcule-os.a) sqrt(2 * sqrt(2 * sqrt( 2 * ...))) b) sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ sqrt(2) ^ ...On 8/31/06, Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila:João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações váriasvezes para ver o que acontecia. Umadessas experiências consistia em escolher um número x1qualquer, somar 5 edividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esseprocesso, ele obteve uma seqüência de númerosx1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,…, xnApós repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações,João reparou que o valor xn se aproximava sempre
[obm-l] Re: [obm-l] Série
Use transformada Z para resolver a equação diferença, depois faça n ir ao infinito. - Original Message - From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM Subject: [obm-l] Série Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila: João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse? É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, mostrar que xn se aproxima sempre de 5. Muito obrigado pela atenção. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/435 - Release Date: 31/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Série
Olá, bom, vc esta fazendo o seguinte: criando um sequencia, tal que: x_(n+1) = [ x_n + 5 ] / 2, onde x1 é o numero inicial vamos primeiramente supor que converge.. entao: lim x_n = a logo: lim x_(n+1) = lim [ x_n + 5 ] / 2 = [ lim x_n + 5 ] / 2 ... logo: a = (a + 5) / 2 ... a = 5! legal.. agora só precisamos mostrar que a série converge... se escolhermos um x1 = 5, está obvido que x_n é constante e igual a 5... agora, se x1 5, temos que: 5 x2 = (x1 + 5) / 2 x1 5 x3 = (x2 + 5) / 2 x2 ... assim, x_n é uma sequencia decrescente... logo, monótona... mas... 0 x_n = x1 logo, limitada... portanto: converge! agora, se x1 5, temos que x1 x2 = (x1 + 5) / 2 5 x2 x3 = (x2 + 5) / 2 5 assim, x_n é uma sequencia crescente ... logo, monótona... mas... x1 = x_n 5 . logo, limitada... portanto: converge! bom, nao fui nada formal.. mas acho que isso é uma coisa tranquila de se mostrar... basta saber que a media aritmetica de 2 numeros esta entre estes um abraço, Salhab - Original Message - From: Josh Rodrigues [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, August 31, 2006 7:04 PM Subject: [obm-l] Série Olá, hoje encontrei o seguinte exercício numa apostila: João pegou a calculadora de seu pai e começou a brincar, repetindo uma mesma seqüência de operações várias vezes para ver o que acontecia. Uma dessas experiências consistia em escolher um número x1 qualquer, somar 5 e dividir o resultado por 2, obtendo um novo número x2. A seguir ele somava 5 a x2 e dividia o resultado por 2, obtendo um novo número x3 . Repetindo esse processo, ele obteve uma seqüência de números x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,., xn Após repetir o processo muitas vezes, não importando com qual valor tivesse iniciado a seqüência de operações, João reparou que o valor xn se aproximava sempre do mesmo número. Que número era esse? É bem fácil ver que o número é 5 fazendo algumas contas. Mas eu gostaria de saber como que eu escrevo essa sequência e, de maneira mais rigorosa, mostrar que xn se aproxima sempre de 5. Muito obrigado pela atenção. _ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.7/434 - Release Date: 30/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Série Divergente - retific ando um typo
Retificando um erro de digitacao: "Logo, para n fixo, temos que (s_n)/(s_(n+k))=0 quando k= oo" e nao para infinito como saiu escrito. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 28 de junho de 2005 18:33Para: obm-lAssunto: [obm-l] Série Divergente Oi, pessoal: Achei esse problema interessante: Seja (a_n) uma sequência de termos positivos tal que a série SOMA(n=1) a_n diverge. Seja s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n. Prove que SOMA(n=1) (a_n/s_n) também diverge. Isso prova que, dada uma série SOMA a_ndivergente de termos positivos, sempre existe uma série SOMA b_n, também de termos positivos, que diverge mais lentamente, no sentido de que lim b_n/a_n = 0. Basta tomar b_n = a_n/s_n. []s, Claudio.
[obm-l] RES: [obm-l] Série Divergente
Seja t_n = Soma(n=1) ((a_n)/(s_n)). Para todo k =1 temos que t_(n+k) - t_n = (a_(n+1))/(s_(n+1)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)). Como a_n tem termos positivos, s_n eh monotonicamente crescente e, portanto,t_(n+k) - t_n (a_(n+1))/(s_(n+k)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)) = (a_(n+1) ...+... a_(n+k))/(s_(n+k)) = (s_(n+k) - s_n))/(s_(n+k)) = 1 - (s_n)/(s_(n+k)). Como a_n 0 para todo n e s_n diverge, segue-se que s_n = oo.Logo, para n fixo, temos que (s_n)/(s_(n+k))= oo quano k= oo, o que implica que, quando k = oo, 1 - (s_n)/(s_(n+k)) = 1. Assim,para todo n, escolhendo-se k suficientementegrande, obtemos1 - (s_n)/(s_(n+k)) 1/2e, portanto, t_(n+k) - t_n 1 - (s_n)/(s_(n+k)) 1/2.Observamos, assim,que t_n, a sequencia das somas parciais de (a_n)/(s_n), nao satisfaz ao criterio de Cauchy, sendo portanto divergente para infinito. Um outro problema que me parece interessante, envolvendo sequencias e series, que eu achoque jah circulou aqui (eu andei meio fora do ar) eh o seguinte: Se a_n uma sequecia real,p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n = (Soma(n=1)(p_n*a_n))/(Soma(n=1)a_n) a seq. das medias ponderadas de a_n com relacao a p_n. SeSoma(n=1)a_n divergir, entao liminf a_n = liminf s_n = limsup s_n = limsup a_n. Se Soma(n=1)a_n convergir em Re a_n for limitada, entao s_n converge em R. Como corolarios: SeSoma(n=1)a_n divergir e a_n = a nos reais expandidos, entao s_n = a. Se Soma(n=1)a_n convergir em R e a_n = a em R, entao s_n = s em R, podendo-se ter sa. Abracos Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 28 de junho de 2005 18:33Para: obm-lAssunto: [obm-l] Série Divergente Oi, pessoal: Achei esse problema interessante: Seja (a_n) uma sequência de termos positivos tal que a série SOMA(n=1) a_n diverge. Seja s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n. Prove que SOMA(n=1) (a_n/s_n) também diverge. Isso prova que, dada uma série SOMA a_ndivergente de termos positivos, sempre existe uma série SOMA b_n, também de termos positivos, que diverge mais lentamente, no sentido de que lim b_n/a_n = 0. Basta tomar b_n = a_n/s_n. []s, Claudio.
[obm-l] RES: [obm-l] Série Divergente
Seja t_n = Soma(n=1) ((a_n)/(s_n)). Para todo k =1 temos que t_(n+k) - t_n = (a_(n+1))/(s_(n+1)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)). Como a_n tem termos positivos, s_n eh monotonicamente crescente e, portanto,t_(n+k) - t_n (a_(n+1))/(s_(n+k)) ...+... (a_(n+k))/(s_(n+k)) = (a_(n+1) ...+... a_(n+k))/(s_(n+k)) = (s_(n+k) - s_n))/(s_(n+k)) = 1 - (s_n)/(s_(n+k)). Como a_n 0 para todo n e s_n diverge, segue-se que s_n = oo.Logo, para n fixo, temos que (s_n)/(s_(n+k))=0 quano k= oo, o que implica que, quando k = oo, 1 - (s_n)/(s_(n+k)) = 1. Assim,para todo n, escolhendo-se k suficientementegrande, obtemos1 - (s_n)/(s_(n+k)) 1/2e, portanto, t_(n+k) - t_n 1 - (s_n)/(s_(n+k)) 1/2.Observamos, assim,que t_n, a sequencia das somas parciais de (a_n)/(s_n), nao satisfaz ao criterio de Cauchy, sendo portanto divergente para infinito. Um outro problema que me parece interessante, envolvendo sequencias e series, que eu achoque jah circulou aqui (eu andei meio fora do ar) eh o seguinte: Se a_n uma sequecia real,p_n uma sequencia de pesos positivos e s_n = (Soma(n=1)(p_n*a_n))/(Soma(n=1)a_n) a seq. das medias ponderadas de a_n com relacao a p_n. SeSoma(n=1)a_n divergir, entao liminf a_n = liminf s_n = limsup s_n = limsup a_n. Se Soma(n=1)a_n convergir em Re a_n for limitada, entao s_n converge em R. Como corolarios: SeSoma(n=1)a_n divergir e a_n = a nos reais expandidos, entao s_n = a. Se Soma(n=1)a_n convergir em R e a_n = a em R, entao s_n = s em R, podendo-se ter sa. Abracos Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de claudio.buffaraEnviada em: terça-feira, 28 de junho de 2005 18:33Para: obm-lAssunto: [obm-l] Série Divergente Oi, pessoal: Achei esse problema interessante: Seja (a_n) uma sequência de termos positivos tal que a série SOMA(n=1) a_n diverge. Seja s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n. Prove que SOMA(n=1) (a_n/s_n) também diverge. Isso prova que, dada uma série SOMA a_ndivergente de termos positivos, sempre existe uma série SOMA b_n, também de termos positivos, que diverge mais lentamente, no sentido de que lim b_n/a_n = 0. Basta tomar b_n = a_n/s_n. []s, Claudio.
[obm-l] Série Divergente
Oi, pessoal: Achei esse problema interessante: Seja (a_n) uma sequência de termos positivos tal que a série SOMA(n=1) a_n diverge. Seja s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n. Prove que SOMA(n=1) (a_n/s_n) também diverge. Isso prova que, dada uma série SOMA a_ndivergente de termos positivos, sempre existe uma série SOMA b_n, também de termos positivos, que diverge mais lentamente, no sentido de que lim b_n/a_n = 0. Basta tomar b_n = a_n/s_n. []s, Claudio.
Re: [obm-l] série de inversos curiosa
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Um probleminha para começar o ano:
Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua
nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge.
Oi,
Suponha que n_1, ..., n_r são todos os números com exatamente k dígitos
e sem dígito 9.
Defina T_k = 1/n_1 + ... + 1/n_r. É evidente que a soma que estamos
considerando é S = T_1 + T_2 + ...
Sendo assim, vamos nos preocupar com a razão T_{k+1}/T_k.
Observe que todo número com k+1 dígitos sem que nenhum deles é 9 é
composto de k dígitos iniciais que formam um número de k dígitos sem 9 e
um dígito final que pode ser 0~8. Isso nos diz que T_{k+1} = [1/10n_1 +
... + 1/10n_r] + [1/(10n_1 + 1) + ... + 1/(10n_r + 1)] + ... + [1/(10n_1
+ 8) + ... + 1/(10n_r + 8)] 9 [1/10n_1 + ... + 1/10n_r] = 9/10 T_k.
Observe que S T_1 [1 + 9/10 + (9/10)^2 + ... ] = 10 T_1.
Isso mostra que a série é limitada superiormente. Como a série é
crescente, sabemos que o valor da soma converge.
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] série de inversos curiosa
Um probleminha para começar o ano: Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge. Seja a_n o inverso do n-gesimo inteiro postivo em cuja representacao decimal nao hah 9. Temos entao que as somas parciais de Soma(a_n))formam uma sequencia montonicamente crescente. Assim, se atraves da introducao de parenteses em Soma(a_n) obtivermos uma serie Soma(b_m) que seja convergente, a serie original convergirah para o mesmo limite. Agrupemos em parenteses os termos correspondentes aos numeros inteiros positivos de k=1 algarismos em cuja representacao decimal nao aparece o 9. Seja S_k eh a soma dos inversos destes numeros. Se p eh um destes numeros, entao p dah origem a 9 numeros de k+1 algarismos conforme o desejado, ou seja, p origina, em ordem crescente, 10p+0, 10p+1, ...10p+8. Logo, a soma dos inversos dos numeros originados por p eh 9*(10*p + 0) = (9/10)*p, o que implica automaticamente que S_(k+1) (9/10)*S_k. Eh entao facil concluir por inducao que, se b_m eh soma dos termos do m_gesimo parentesis, entao 0 b_m = (9/10)^(m-1)*S_1, com igualdade apenas para m=1. Como Soma((9/10)^(m-1)*S_1) converge, pois eh uma serie geometrica de razao 9/10 1, concluimos por comparacao que Soma(b_m) converge. E esta convergindo, Soma(a_n) converge para o mesmo limite. O mesmo argumento aplica-se a qualquer inteiro 1,2...9. Para o zero precisamos modificar um pouco o argumento. Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] série de inversos curiosa
Um probleminha para começar o ano: Considere todos os números naturais cuja representação decimal não possua nenhum dígito 9. Prove que a soma dos inversos desses números converge. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série Infinita
Vou denotar por S(n,0)[f_i] = somatório de f_i com i variando de 0 até n e por I(a,b)[f] = integral de f(x) de a até b. Assim, Sn = S(n,0)[1/n+i] = (1/n)*S(n,1)[n/n+i] = = [(2 - 1)/n]*S(1,n)[1/(1 + i/n)], que é uma soma de Riemann para I(1,2)[1/x] = log 2. []s, Daniel Flávio Ávila ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Submeto o seguinte problema: Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1(2*n). Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2). Abraços, Flávio Ávila ICQ: 23647671 MSN: [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Série Infinita
Submeto o seguinte problema: Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1(2*n). Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2). Abraços, Flávio Ávila ICQ: 23647671 MSN: [EMAIL PROTECTED] _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série Infinita
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Flávio Ávila [EMAIL PROTECTED] said: Submeto o seguinte problema: Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1(2*n). Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2). [...] Como, essencialmente, 1/1 + 1/2 + ... + 1/n = ln n + c + O(1/n), onde c é uma constante positiva, temos que S_n = ln 2n + c + O(1/n) - ln n-1 - c - O(1/n) = ln[2n/(n-1)] + O(1/n), que obviamente tende a ln 2. []s, - -- Fábio Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.3 (GNU/Linux) iD8DBQFBAd93alOQFrvzGQoRAkeYAJ9v2UrI4YLsAiwqU+EJTFwjpEsPAQCgyPnQ PGDJgOwNuvZP2haL4NOOgLM= =Mu7n -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Série Infinita
Usa a definição de ln, ln(b)=integral de "1" a"b" de (1/x)dx. Faz umas aproximações superiores e inferiores com retângulos que sai fácil. Se quiser uma resposta mais precisa é só falar. até mais, ÍtaloFlávio Ávila [EMAIL PROTECTED] wrote: Submeto o seguinte problema:Calcule o limite da seqüência, quando n tende a infinito: Sn = 1/n + 1/(n+1) + ... + 1(2*n).Eu acho que já consegui resolver este problema, mas foi há muito e tempo atrás, e não me lembro como o fiz. Se não me engano o resultado é ln(2).Abraços,Flávio ÁvilaICQ: 23647671MSN: [EMAIL PROTECTED]_MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Mail agora ainda melhor: 100MB, anti-spam e antivírus grátis!
