[obm-l] Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita
Olá a todos, Eu estou com dificuldade para encontrar bibliografias que falem sobre resultados de álgebra linear de dimensões finitas só que em espaços de dimensão infinita. No livro do Hoffman tem algumas observações de alguns resultados como as formas quadráticas que valem para dimensão infinita mas eu não vi alguma bibliografia. Por exemplo, me corrijam se eu estiver falando alguma besteira, um espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo completo é completo. Em quais condições um espaço de dimensão infinita sobre um corpo completo é completo? (eu quero alguma bibliografia que explorasse resultados assim, resultados de produto interno e fizesse um paralelo com dimensão finita. (Principalmente o espaço das funções mensuráveis ou pelo menos continua com algumas condições para virar um espaço vetorial) A maioria dos livros de analise funcional que eu li só fazem resultados grandes, queria algo com esses resultados menores. Alguem indica algum livro? Grato Felippe [https://ipmcdn.avast.com/images/icons/icon-envelope-tick-green-avg-v1.png]<http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail> Livre de vírus. www.avg.com<http://www.avg.com/email-signature?utm_medium=email&utm_source=link&utm_campaign=sig-email&utm_content=webmail>.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços
Esta questão é interessante. Oficialmente, alguém pode contestar que os reais sejam um subcorpo dos complexos. A definição mais usual atualmente adotada para os complexos toma por base o R^2 e faz dele um corpo definindo-se soma e multiplicação. Neste sentido, a unidade imaginária é o par (0,1). Mas o usual é considerarmos o complexo z de parte real a e imaginária b como z = a + bi, e não como o par (a, b). Mas, através de um isomorfismo, podemos identificar o conjunto dos a + bi com o dos(a, b). Aí os reais passam a ser subconjunto dos complexos. Outro exemplo, o corpo das matrizes quadradas de ordem 1 e termos reais a rigor não é o corpo dos reais. Abraços Artur Costa Steiner Em 19/11/2012, às 21:17, Ralph Teixeira escreveu: > Soh para dar a minha opiniao: > > OFICIALMENTE, R^(n-1) nao eh subespaco de R^n -- o problema eh que R^(n-1) > nao eh nem SUBCONJUNTO de R^n, jah que os elementos de R^(n-1) sao > "completamente" diferentes dos de R^n (acho que foi isso que o Artur falou). > > Isto dito Para mim, existe uma identificacao bem natural, quase > canonica, de R^(n-1) com o espaco dos elementos de R^n cuja ultima coordenada > eh zero, como o Rafael falou. Com esta identificacao, eh natural pensar no > R^(n-1) como subespaco de R^n (COM ESTA IDENTIFICACAO!!!). Assim, se alguem > falar que R^(n-1) eh subespaco de R^n, provavelmente eh isso que estah se > pensando. > > Alias, eh mais que um homeomorfismo, eh um isomorfismo de R^(n-1) com um > subespaco do R^n Tah, isso nao significa nada, afinal quaisquer dois > espacos reais de mesma dimensao finita sao isomorfos... Mas eh MAIS do que um > isomorfismo, porque, repito, a identificacao eh muito natural. > > Abraco, > Ralph > > P.S.: Para quem acha que a identificacao nao eh natural -- eu nao a defini > explicitamente, mas aposto que voce sabe qual eh! :) :) :) > 2012/11/19 Rafael Chavez >> Na realidade R^(n-1) é homeomorfo a um subespaço de R^n que pode ser por >> exemplo o espaço das n-uplas com a última coordenada sendo zero. >> Topologicamente homeomorfo significa ter as mesmas propriedades topológicas, >> i. e., topologicamente eles são iguais, mas só topologicamente. >> >> Rafael >> >> Date: Sun, 18 Nov 2012 12:24:01 -0300 >> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços >> From: steinerar...@gmail.com >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Não. Rn é compisto por n- tuplas. R(n-2) por (n-1)tuplas. Eles tem dimensões >> diferentes >> Artur >> Artur Costa Steiner >> Em 17/11/2012 13:39, "Athos Couto" escreveu: >> Boa tarde pessoal. >> Rn-1 está contido em Rn? >> Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn? >> >> OBS: denotei o conjunto dos números reais por R >> Obrigado pela ajuda. >> Att. >> >> Athos Cotta Couto >> >
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços
Soh para dar a minha opiniao: OFICIALMENTE, R^(n-1) nao eh subespaco de R^n -- o problema eh que R^(n-1) nao eh nem SUBCONJUNTO de R^n, jah que os elementos de R^(n-1) sao "completamente" diferentes dos de R^n (acho que foi isso que o Artur falou). Isto dito Para mim, existe uma identificacao bem natural, quase canonica, de R^(n-1) com o espaco dos elementos de R^n cuja ultima coordenada eh zero, como o Rafael falou. Com esta identificacao, eh natural pensar no R^(n-1) como subespaco de R^n (COM ESTA IDENTIFICACAO!!!). Assim, se alguem falar que R^(n-1) eh subespaco de R^n, provavelmente eh isso que estah se pensando. Alias, eh mais que um homeomorfismo, eh um isomorfismo de R^(n-1) com um subespaco do R^n Tah, isso nao significa nada, afinal quaisquer dois espacos reais de mesma dimensao finita sao isomorfos... Mas eh MAIS do que um isomorfismo, porque, repito, a identificacao eh muito natural. Abraco, Ralph P.S.: Para quem acha que a identificacao nao eh natural -- eu nao a defini explicitamente, mas aposto que voce sabe qual eh! :) :) :) 2012/11/19 Rafael Chavez > Na realidade R^(n-1) é homeomorfo a um subespaço de R^n que pode ser por > exemplo o espaço das n-uplas com a última coordenada sendo zero. > Topologicamente homeomorfo significa ter as mesmas propriedades > topológicas, i. e., topologicamente eles são iguais, mas só topologicamente. > > Rafael > > -- > Date: Sun, 18 Nov 2012 12:24:01 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços > From: steinerar...@gmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Não. Rn é compisto por n- tuplas. R(n-2) por (n-1)tuplas. Eles tem > dimensões diferentes > Artur > Artur Costa Steiner > Em 17/11/2012 13:39, "Athos Couto" escreveu: > > Boa tarde pessoal. > Rn-1 está contido em Rn? > > Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn? > > OBS: denotei o conjunto dos números reais por R > Obrigado pela ajuda. > Att. > > Athos Cotta Couto > >
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços
Na realidade R^(n-1) é homeomorfo a um subespaço de R^n que pode ser por exemplo o espaço das n-uplas com a última coordenada sendo zero. Topologicamente homeomorfo significa ter as mesmas propriedades topológicas, i. e., topologicamente eles são iguais, mas só topologicamente. Rafael Date: Sun, 18 Nov 2012 12:24:01 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços From: steinerar...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Não. Rn é compisto por n- tuplas. R(n-2) por (n-1)tuplas. Eles tem dimensões diferentes Artur Artur Costa Steiner Em 17/11/2012 13:39, "Athos Couto" escreveu: Boa tarde pessoal. Rn-1 está contido em Rn? Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn?OBS: denotei o conjunto dos números reais por R Obrigado pela ajuda. Att.Athos Cotta Couto
[obm-l] Re: [obm-l] Espaços
2012/11/17 Athos Couto : > Boa tarde pessoal. > Rn-1 está contido em Rn? > > Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn? Como você mesmo provou, R^(n-1) não está contido em R^n. O grande problema é que em geral a gente considera que o subespaço (x1, x2, ..., x(n-1), 0) é "igual" a R^(n-1), e com isso diz que R^1 está contido em R^2, etc.. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Espaços
Boa tarde pessoal. Rn-1 está contido em Rn? Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn?OBS: denotei o conjunto dos números reais por R Obrigado pela ajuda. Att.Athos Cotta Couto
[obm-l] Espaços
Boa tarde pessoal. Rn-1 está contido em Rn? Caso a resposta seja sim, por que Rn-1 não é um subespaço de Rn?OBS: denotei o conjunto dos números reais por R Obrigado pela ajuda. Att.Athos Cotta Couto
[obm-l] Espaços normados e diferencibilidade
Como resolvo o seguinte exercício: Defina diferenciabilidade em espaços normados quaisquer. Dados U contido em E aberto e f: U -> F diferenciável no ponto x pertencente a U, mostre que a continuidade de f no ponto x é equivalente a continuidade da aplicação linear f ' (x): E -> F. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] RES: [obm-l] Espaços Métricos
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo compacto K C ou igual
M, então X é fechado do espaço M
(inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual a)
Suponhamos, por contraposicao, que X nao seja fechado. Entao, X possui um
ponto de acumulacao x, em M, que nao pertence a X. Adicionalmente, existe
uma sequencia (x_n) em X que converge para x (propriedade de espacos
metricos).
O conjunto A = (x1, x2x_n} nao eh fechado, pois x eh ponto de
acumulacao de A mas nao pertence a A.
Por outo lado, K = A Uniao {x} = {x, x1, x2x_n...} eh compacto (qualquer
cobertura aberta de K contem um membro que contem x e que, desta forma, com
possivel excecao de um numero finito de elementos de K, cobre a totalidade
dos elementos de K. Isto decorre do fato de que x_n -> x).
Como X inter K = A, deduzimos existir um compacto K tal que X inter K = A
nao eh fechado. Por contaposicao, concluimos que a afirmacao eh verdadeira.
No outro problema, observe que as duas metricas geram exatamente os mesmos
conjuntos abertos, ou seja, geram a mesma toplogia.
Artur
-
Sobre o conjunto não vazio M, considere uma métrica qualquer d e também
a métrica (x,y) ---d'---> d(x,y)/(1+d(x,y)). Mostre que uma sequência em
M é de Cauchy com relação a d se e somente se ela for de Cauchy com
relação a d'.
Obrigado
Maurizio
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Espaços Métricos
Mostre que se X inter K é fechado de K para todo compacto K C ou igual M, então X é fechado do espaço M (inter = intersecção e C ou igual = Contido ou igual a) - Sobre o conjunto não vazio M, considere uma métrica qualquer d e também a métrica (x,y) ---d'---> d(x,y)/(1+d(x,y)). Mostre que uma sequência em M é de Cauchy com relação a d se e somente se ela for de Cauchy com relação a d'. Obrigado Maurizio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urge nte*
Suponha que ele existe, vc vai cair em contradicao.
Suponha que existe um outro ponto, c, na borda de B_r(a), tal que || x - c
|| < || x - b ||
Mas b está alinhado com a e x.. logo, vamos ter um triangulo..
Da desigualdade triangular: d(x, a) <= d(x, c) + d(c, a)
d(c, a) = r, já que c pertence a borda..
d(x, a) = d(x, b) + d(b, a) = d(x, b) + r
Logo:
d(x, b) + r <= d(x, c) + r
d(x, b) <= d(x, c)
Mas supomos que d(x, c) > d(x, b).
Absurdo.
Logo, b é o ponto com menor distancia a x.
Abraços,
Salhab
- Original Message -
From: "Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>
To:
Sent: Thursday, January 26, 2006 6:49 AM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Obrigado,
Foi mais ou menos isso que eu fiz, usando essa ideia ai...
Mas como mostrar que não tem outro ponto na borda de B que tenha
distancia menor até x?
Marcelo Salhab Brogliato escreveu:
Se x não está contido em B_r(a), então:
|| x - a || > r
|| x - a || = d(x,a) > r
Seja o conjunto R = { x / || x - a || = r }, isto é, todos os pontos na
borda de B_r(a).
Então, existe um b pertencente a R, tal que b-a = k (x-a), isto é, está na
direção da linha que liga a com x.
Como b pertence a R, || b - a || = r.
d(x, B_r(a)) + d(B_r(a), a) = d(x, a)
Aqui vc quis dizer
d(x, B_r(a)) + d(a, ???b???) = d(x, a)
Como b esta na borda de B_r(a) e está na direção da linha que liga a com
x, então:
A distancia de d(B_r(a), a) é 0, pq a ta dentro de Br, não é?
Basta dizer q como B_r(a) é centrada em a de raio R, qquer ponto de sua
fronteira dista R do centro. (eu acho)
d(B_r(a), a) = d(b, a) = r
logo:
d(x, B_r(a)) = d(x, a) - r
Acho que deu pra entender.. com imagens fica bem mais facil.
Um abraço,
Salhab
Outro,
Maurizio
- Original Message - From: "Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>
To:
Sent: Wednesday, January 25, 2006 2:54 PM
Subject: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Seja (V,d) um espaço vetorial com a métrica proveniente de uma norma.
Mostre que:
Se B_r(a) é bola aberta e x não contido em B_r(a), então
d(x,B_r(a)) = d(x,a)-r
---
Mostrar que a união finita de conjs. limitados é um conjunto limitado.
Obrigado a tds
[]'s
MauZ
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.
Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 25/01/2006 / Versão:
4.4.00/4682
Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Obrigado,
Foi mais ou menos isso que eu fiz, usando essa ideia ai...
Mas como mostrar que não tem outro ponto na borda de B que tenha
distancia menor até x?
Marcelo Salhab Brogliato escreveu:
Se x não está contido em B_r(a), então:
|| x - a || > r
|| x - a || = d(x,a) > r
Seja o conjunto R = { x / || x - a || = r }, isto é, todos os pontos
na borda de B_r(a).
Então, existe um b pertencente a R, tal que b-a = k (x-a), isto é,
está na direção da linha que liga a com x.
Como b pertence a R, || b - a || = r.
d(x, B_r(a)) + d(B_r(a), a) = d(x, a)
Aqui vc quis dizer
d(x, B_r(a)) + d(a, ???b???) = d(x, a)
Como b esta na borda de B_r(a) e está na direção da linha que liga a
com x, então:
A distancia de d(B_r(a), a) é 0, pq a ta dentro de Br, não é?
Basta dizer q como B_r(a) é centrada em a de raio R, qquer ponto de sua
fronteira dista R do centro. (eu acho)
d(B_r(a), a) = d(b, a) = r
logo:
d(x, B_r(a)) = d(x, a) - r
Acho que deu pra entender.. com imagens fica bem mais facil.
Um abraço,
Salhab
Outro,
Maurizio
- Original Message - From: "Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>
To:
Sent: Wednesday, January 25, 2006 2:54 PM
Subject: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Seja (V,d) um espaço vetorial com a métrica proveniente de uma norma.
Mostre que:
Se B_r(a) é bola aberta e x não contido em B_r(a), então
d(x,B_r(a)) = d(x,a)-r
---
Mostrar que a união finita de conjs. limitados é um conjunto limitado.
Obrigado a tds
[]'s
MauZ
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Se x não está contido em B_r(a), então:
|| x - a || > r
|| x - a || = d(x,a) > r
Seja o conjunto R = { x / || x - a || = r }, isto é, todos os pontos na
borda de B_r(a).
Então, existe um b pertencente a R, tal que b-a = k (x-a), isto é, está na
direção da linha que liga a com x.
Como b pertence a R, || b - a || = r.
d(x, B_r(a)) + d(B_r(a), a) = d(x, a)
Como b esta na borda de B_r(a) e está na direção da linha que liga a com x,
então:
d(B_r(a), a) = d(b, a) = r
logo:
d(x, B_r(a)) = d(x, a) - r
Acho que deu pra entender.. com imagens fica bem mais facil.
Um abraço,
Salhab
- Original Message -
From: "Maurizio" <[EMAIL PROTECTED]>
To:
Sent: Wednesday, January 25, 2006 2:54 PM
Subject: [obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Seja (V,d) um espaço vetorial com a métrica proveniente de uma norma.
Mostre que:
Se B_r(a) é bola aberta e x não contido em B_r(a), então
d(x,B_r(a)) = d(x,a)-r
---
Mostrar que a união finita de conjs. limitados é um conjunto limitado.
Obrigado a tds
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MauZ
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Espaços Métricos *urgente*
Seja (V,d) um espaço vetorial com a métrica proveniente de uma norma. Mostre que: Se B_r(a) é bola aberta e x não contido em B_r(a), então d(x,B_r(a)) = d(x,a)-r --- Mostrar que a união finita de conjs. limitados é um conjunto limitado. Obrigado a tds []'s MauZ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] espaços vetoriais
Esse já foi respondido na lista...
como x=2y, (x,y,z)=(2y,y,z)=y(2,1,0)+z(0,0,1)
Logo qualquer elemento de U é uma combinação linear de (2,1,0) e
(0,0,1), portanto uma possibilidade para S é {(2,1,0), (0,0,1)}
On Sun, 17 Oct 2004 20:01:33 -0300, andrey.bg <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> encontrar um subconjunto S que gera o subespaço abaixo.
>
> U={(x,y,z) / x-2y=0}
>
> __
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
> AntiPop-up UOL - É grátis!
> http://antipopup.uol.com.br/
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
--
Rafael
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] espaços vetoriais
encontrar um subconjunto S que gera o subespaço abaixo.
U={(x,y,z) / x-2y=0}
__
Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] espaços vetoriais
> Mostre que W={(x,y,z)/x^2+y+z=0}"não" é um subespaço
> vetorial do R^3.
>
> se alguém poder me ajudar eu agradeço muito.
>
__
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] espaços vetoriais
(1, 1, -2) e (2, 1, -5) pertencem a W mas a soma (3, 2, -7) não.
==
Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1
CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br
Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978
Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online
-- Original Message ---
From: "andrey.bg" <[EMAIL PROTECTED]>
To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]>
Sent: Sat, 9 Oct 2004 15:54:14 -0300
Subject: [obm-l] espaços vetoriais
> Mostre que W={(x,y,z)/x^2+y+z=0}"não" é um subespaço
> vetorial do R^3.
>
> se alguém poder me ajudar eu agradeço muito.
>
> __
> Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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--- End of Original Message ---
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] espaços vetoriais
Mostre que W={(x,y,z)/x^2+y+z=0}"não" é um subespaço
vetorial do R^3.
se alguém poder me ajudar eu agradeço muito.
__
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[obm-l] Re: [obm-l] espaços vetoriais
> Sendo W e U subespaços do R^4 de diminsão 3, que > dimensão pode ter W+U se(1,2,1,0) , (-1,1,0,1) e > (1,5,2,1) e um sistema de geradores de W(Intersecção) > U? dim(W)+dim(U)-dim(W inter. U) = = dim(U+W) -- [1] seja x = (1,2,1,0) y = (-1,1,0,1) z = (1,5,2,1) pode ser verificado por escalonamento que S(x,y,z) = S(x,y+x,z-x) = S(x,y+x), pois y+x=z-x. Alem disso, x e y+x sao linearmente independentes. Logo: dim(U inter. W) = = dim(S(x,y,z)) = = dim(S(x,y+x)) = 2. Entao, de [1] tem-se: 3 + 3 - 2 = dim (U+W) dim(U+W) = 4 U+W = R^4. Acho que eh isso... Abrac,os! = Eric Campos www.mathfire.pop.com.br Enciclopedia de Matematica Formulas para primos - o livro Grupos de estudo Projeto Matematica para Todos = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] espaços vetoriais
Sendo W e U subespaço do R^4 de diminsão 3, que dimensão pode ter W+U se(1,2,1,0) , (-1,1,0,1) e (1,5,2,1) e um sistema de geradores de W(Intersecção) U? __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire
Oi Ana,
Escreva o que vc fez para que se possa dar uma opiniao.
Deve haver outras provas sem o conceito de oscilacao, mas acredito que sejam
semelhantes. A prova que eu sugeri eh simples, sim. O que se tem basicamente
que fazer eh jogar com infimos eh supremos. Dando um exemplo, vou mostrar
que f eh continua em x de X sse w(x) =0.
Se f eh continua em x, entao para todo eps>0 existe uma vizinhanca V de x
tal que |f(v) - f(x)| < eps para todo v de V. Pela desigualdade do
triangulo, temos entao que |f(v1) - f(v2)| < 2eps para todos v1 e v2 de V.
Logo, 2eps eh limite superior do conjunto {|f(v1) - f(v2)| : v1 e v2 estao
em V}. Isto implica que W(V) = sup {|f(v1) - f(v2)| : v1 e v2 estao em V}
<= 2eps (consequencia da definicao de supremo). Assim, x possui uma
vizinhanca V com oscilacao W(V) <= 2eps. Como a oscilacao de f em x eh W(x)
= inf {W(U) : U estah na colecao das vizinhancas de x}, temos W(x) <= W(V)
<= 2 eps. Como esta desigualdade vale para todo eps>0 arbitrariamente
escolhido e W(x), em virtude de sua definicao, naum eh negativo, temos
necessariamente que W(x) = 0.
Se, por outro lado, W(x) = 0, entao W(x) < eps para todo eps>0. Da definicao
de W(x), segue-se que nenhum eps>0 eh limite inferior do conjunto {W(U) : U
estah na colecao das vizinhancas de x} (consequencia da definicao de
infimo). Logo, para todo eps>0 existe uma vizinhanca V de x tal que 0<= W(V)
< eps. Considerando agora a definicao de W(V), temos que |f(v1) - f(v2)| <=
W(V) < eps para todos v1 e v2 de V. Como x pertence a V, temos |f(v) - f(x)|
< eps para todo v de V. Resumo da opera: para todo eps>0, existe uma
vizinhanca V de x tal que |f(v) - f(x)| < eps para todo v de V ---
justamente a definicao de continuidade de f em x.
As outras demonstracoes sao mais simples que esta. Jogue com infimos e
supremos.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire
Data: 21/07/04 11:05
Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu
umas dicas na seguinte demonstração:
Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X
que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então
não existe nenhuma função f:X->R contínua em D e
descontínua fora de D.
O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que
consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo),
mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de
oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou
sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me
parece um tanto complicada, embora o Artur tenha
assegurado que, na realidade, é até simples:
Obrigada.
Ana
OPEN Internet
@ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: Ajuda sobre espaços de Baire
Oi pessoal da lista, principalmente o Artur que me deu
umas dicas na seguinte demonstração:
Se X é um espaço de Baire e D é um subconjunto de X
que seja de 1a categoria (magro) e denso em X, então
não existe nenhuma função f:X->R contínua em D e
descontínua fora de D.
O Artur deu as seguintes dicas a seguir. Eu acho que
consegui provar a parte (1) (espero que esteja certo),
mas de fato me enrolei na (2), com aquele conceito de
oscilacao. Seria possivel ir um pouco mais longe? Ou
sugerir outra abordagem? Esta prova por oscilacao me
parece um tanto complicada, embora o Artur tenha
assegurado que, na realidade, é até simples:
Obrigada.
Ana
-Dicas do Artur
Mostre que:
1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos
magros (isto eh, de
primeira categoria na classificacao de Baire) que
sejam densos em X naum sao
G-delta.
2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma
funcao de X em R, entao
o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua
eh um G-delta.
(1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.
Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em
espacos de Baire,
conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior
vazio naum sao F-sigma.
Isto prova o desejado porque.
Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado
(pelo menos, ateh onde
eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante
eh considerar o
conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes
definidas em um espaco
topologico X e que tenha valores em R (na realidade,
os valores podem estar
em qualquer espaco metrico).
Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh
W(A) = sup {|f(x1) -
f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o
diametro do conjunto
imagem f(A).
Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por
w(x) = inf {W(V) : V
pertence a U}, sendo U a colecao de todas as
vizinhancas de x. (Na
realidade, podemos nos restringir a vizinhancas
basicas, como bolas abertas
se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos
restringir aa colecao
enumeravel das bolas abertas de centro em x e raio
1/n, n natural.). Um
fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e
eh instrutiva, eh que
f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.
De posse destes conceitos, mostre entao que:
(2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x)
< r} eh aberto em X.
Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh
continua. Considere a
colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}.
Uma certa operacao
realizada nesta colecao dah um resultado que tem a
cara de C (2b). Temos
entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.
__
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire
Eh poosivel que exista, Ana, mas eu naum estou vendo. talvez algum colega da lista sugira uma forma mais pratica de demonstrar o teorema. Mas, na realidade, o caminho que sugeri eh ateh simples.Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED]Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>Assunto: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Ajuda_com_uma_demonstração_sobre_espaços_de_BaireData: 16/07/04 11:37Obrigada. Vou tentar resover com base nas suassugestões. Não parece muito simples, será que nãoexiste uma outra forma?Ana OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire
Oi Ana
Seja bem vinda!
Vou dar algumas dicas. Mostre que:
1) Se X eh um espaco de Baire, entao subconjuntos magros (isto eh, de
primeira categoria na classificacao de Baire) que sejam densos em X naum sao
G-delta.
2) Se X eh um espaco topologico qualquer e f eh uma funcao de X em R, entao
o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua eh um G-delta.
(1) e (2) mostram que a proposicao eh verdadeira.
Para mostrar (1), uma forma facil eh mostrar que, em espacos de Baire,
conjuntos que naum sejam magros mas tenham interior vazio naum sao F-sigma.
Isto prova o desejado porque.
Para provar (2), acho que eh um pouco mais complicado (pelo menos, ateh onde
eu consigo ver). Uma forma que me parece interessante eh considerar o
conceito de oscilacao, o qual se aplica a funcoes definidas em um espaco
topologico X e que tenha valores em R (na realidade, os valores podem estar
em qualquer espaco metrico).
Se A eh um subconjunto de X, a oscilacao de f em A eh W(A) = sup {|f(x1) -
f(x2)| : x1 e x2 estao em A}. Ou seja, W(A) eh o diametro do conjunto
imagem f(A).
Se x estah em X, a oscilacao de f em x eh dada por w(x) = inf {W(V) : V
pertence a U}, sendo U a colecao de todas as vizinhancas de x. (Na
realidade, podemos nos restringir a vizinhancas basicas, como bolas abertas
se X for um R^n. Neste caso, podemos inclusive nos restringir aa colecao
enumeravel das bolas abertas de centro em x e raiod 1/n, n natural.). Um
fato interessante, cuja demonstracao naum eh dificil e eh instrutiva, eh que
f eh continua em x se, e somente se, w(x) = 0.
De posse destes conceitos, mostre entao que:
(2a) - para todo r>0, o conjunto C(r) = {x em X : w(x) < r} eh aberto em X.
Seja C o conjunto dos elementos de X nos quais f eh continua. Considere a
colecao de conjuntos abertos {C(1/n) : n eh natural}. Uma certa operacao
realizada nesta colecao dah um resultado que tem a cara de C (2b). Temos
entao que (2a) e (2b) provam 2, e acabou.
Certamente hah outras formas de se provar a proposicao.
Artur
- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: "[EMAIL PROTECTED]" <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: [obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire
Data: 15/07/04 17:33
Oi pessoal da lista, um abraço, para todos, acabei de
me inscrever!
Eu gostaria de algumas dicas para a seguinte
demonstração:
Sejam X um espaco de Baire e D um subconjunto de X que
seja denso em X e de primeira categoria (isto é, D
está contido na união de uma colecao enumerável de
conjuntos fechados que tenham interior vazio). Não
existe, então, nenhuma funcão de X em R (os reais) que
seja contínua exatamente em D (isto é, contínua em
todo elemento de D e descontínua em todo elemento não
pertencente a D).
Eu estou me confundindo nesta demonstração.
Obrigada.
Ana
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[obm-l] Ajuda com uma demonstração sobre espaços de Baire
Oi pessoal da lista, um abraço, para todos, acabei de me inscrever! Eu gostaria de algumas dicas para a seguinte demonstração: Sejam X um espaco de Baire e D um subconjunto de X que seja denso em X e de primeira categoria (isto é, D está contido na união de uma colecao enumerável de conjuntos fechados que tenham interior vazio). Não existe, então, nenhuma funcão de X em R (os reais) que seja contínua exatamente em D (isto é, contínua em todo elemento de D e descontínua em todo elemento não pertencente a D). Eu estou me confundindo nesta demonstração. Obrigada. Ana __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Nesse problema hah um detalhe que me passou despercebido na primeira leitura. Num eh afirmado que f eh continua em todo o espaco M, mas apenas no ponto a. Mas a conclusao, ainda assim, permanece valida. Consideremos as bolas A1 e A2, jah citadas. Como a unica hipotese eh a continuidade de f apenas em a, naum podemos afirmar que suas imagens inversas sob f sejam abertas. Mas podemos afirmar que existem bolas abertas B1 e B2, centradas em a, tais que f(x) pertence a A1, para x em B1, e f(x) pertence a A2, para x em B2. Tomando-se a bola aberta de centro em a B = B1 inter B2 e prosseguindo-se conforme abaixo, chegamos aa conclusao desejada. Isto eh consequencia de uma conclusao interessante: f eh continua em um ponto a de M se, e somente se, para toda vizinhanca V de f(a), a for ponto interior de f^(-1)(V). Esta conclusao, assim como a do problema, permanecem validas se M for um espaco topologico qualquer e N for um espaco de Hausdorff. Basta substituir o termo bola aberta por vizinhanca. Artur --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > on 01.04.04 20:24, bruno souza at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Demonstrar > > Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no > ponto a pertecente a M. > Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola > aberta B, de centro a, tal > que f(B) e g(B) sejam disjuntos. > > Abraços > > Bruno > > > Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto > aberto de N por f eh um > conjunto aberto de M. Idem para g. > > Seja d a distancia entre f(a) e g(a). > Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e > g(a), respectivamente, > ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao > conjuntos abertos e > disjuntos. > > Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e > g, respectivamente. > Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 > inter B2. > > Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos > abertos. > Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. > Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a > e contida em B1 inter > B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. > > f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. > Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem > serao. > > []s, > Claudio. > > > > __ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Eh o Claudio ainda diz que naum conhece Toplogia Artur --- Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > on 01.04.04 20:24, bruno souza at > [EMAIL PROTECTED] wrote: > > Demonstrar > > Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no > ponto a pertecente a M. > Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola > aberta B, de centro a, tal > que f(B) e g(B) sejam disjuntos. > > Abraços > > Bruno > > > Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto > aberto de N por f eh um > conjunto aberto de M. Idem para g. > > Seja d a distancia entre f(a) e g(a). > Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e > g(a), respectivamente, > ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao > conjuntos abertos e > disjuntos. > > Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e > g, respectivamente. > Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 > inter B2. > > Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos > abertos. > Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. > Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a > e contida em B1 inter > B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. > > f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. > Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem > serao. > > []s, > Claudio. > > > > __ Do you Yahoo!? Yahoo! Small Business $15K Web Design Giveaway http://promotions.yahoo.com/design_giveaway/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] fun ção contínua em espaços métricos
Title: Re: [obm-l] função contínua em espaços métricos on 01.04.04 20:24, bruno souza at [EMAIL PROTECTED] wrote: Demonstrar Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que f(B) e g(B) sejam disjuntos. Abraços Bruno Como f eh continua, a imagem inversa de um conjunto aberto de N por f eh um conjunto aberto de M. Idem para g. Seja d a distancia entre f(a) e g(a). Tome as bolas abertas A1 e A2 de centro em f(a) e g(a), respectivamente, ambas com raio d/2. Isso quer dizer que A1 e A2 sao conjuntos abertos e disjuntos. Sejam B1 e B2 as imagens inversas de A1 e A2 por f e g, respectivamente. Como a pertence a B1 e tambem a B2, a pertence a B1 inter B2. Pela continuidade de f e g, B1 e B2 serao conjuntos abertos. Logo, B1 inter B2 tambem serah aberto. Agora eh soh tomar uma bola aberta B de centro em a e contida em B1 inter B2, que existe porque B1 inter B2 eh aberto. f(B) estah contido em A1 e g(B) estah contido em A2. Como A1 e A2 sao disjuntos, f(B) e g(B) tambem serao. []s, Claudio.
[obm-l] função contínua em espaços métricos
Demonstrar Sejam M,N espaços métricos, f,g:M-->N contínuas no ponto a pertecente a M. Se f(a) diferente de g(a), então existe uma bola aberta B, de centro a, tal que ff(B) e g(B) sejam disjuntos. Abraços BrunoYahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil. Abra sua conta agora!
[obm-l] RE: [obm-l] [u] - Espaços Top.
Oi Duda,
Em espacos topologicos gerais, as duas condicoes nao sao equivalentes.
Eh verdade que, se um espaco topologico tem uma base numeravel, entao
ele eh separavel; a reciproca, porem, nao eh verdadeira.
Em espacos topologicos metrizaveis, entretanto, as duas condicoes sao de
fato equivalentes.
Para vermos que a primeira condicao acarreta a segunda, seja {B_n} uma
base enumeravel de X. Em cada B_n nao vazio, escolhamos um elemento a_n
(recorrendo ao nosso controverso mas bem vindo amigo Axioma da
Escolha!). Sendo A o conjunto dos a_n, temos imediatamente que A eh
numeravel. Para todo x em X, existe uma vizinhanca basica B_n que contem
x. E como B_n contem a_n, segue-se que B_n intersecta A. Logo, o fecho
de A eh o proprio X, o que nos mostra que X contem um subconjunto denso
e numeravel. Concluimos portanto que X eh separavel.
Suponhamos agora que X seja um espaco metrico separavel, com metrica d,
e seja A um subconjunto denso e numeravel do mesmo. Consideremos a
colecao B das bolas abertas de centros nos elementos de A e raios
racionais. Temos entao que B eh numeravel. Se V eh um subconjunto aberto
nao vazio de X e v pertence a V, entao existe uma bola aberta B_v, de
centro em v e raio r, contida em V. Como A eh denso em X, existe um
elemento a em A tal que d(a,v)http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] [u] - Espaços Top.
http://en.wikipedia.org/wiki/Lindel%f6f_space http://en.wikipedia.org/wiki/Separable_(topology) Will - Original Message - From: "Eduardo Casagrande Stabel" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Thursday, November 13, 2003 8:48 PM Subject: [obm-l] [u] - Espaços Top. Olá pessoal! Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma topologia, isto é: 1) vazio e X estão em T 2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T 3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T. Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as unições possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo elemento de T tem interseção não-vazia com D. Minha pergunta. Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B enumerável? Abração a todos! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] [u] - Espaços Top.
Olá pessoal! Seja X um conjunto e T uma coleção de subconjuntos de X que é uma topologia, isto é: 1) vazio e X estão em T 2) a unição de uma coleção de elementos de T ainda está em T 3) a interseção de uma coleção finita de elementos de T está em T. Dizemos que a topologia T tem uma base B se a coleção de todas as unições possíveis em B recupera (é igual a) T. Dizemos que T é uma topologia separável se existe D enumerável, subconjunto de X, tal que todo elemento de T tem interseção não-vazia com D. Minha pergunta. Ser espaço topológico (X,T) separável é equivalente a ter uma base B enumerável? Abração a todos! Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Auto-espaços
Obrigado, Cláudio Pensando um pouco mais, achei uns exemplos "patológicos" com autovetores do tipo (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) que sejam autovetores de x, x, e y respectivamente... talvez uma matriz da forma x 0 0 0 x 0 0 0 y e então a multiplicidade não é necessária... mas quanto à questão de ser auto-adjunta, vou pensar mais um pouco. Até mais, Bernardo -- Mensagem original -- >on 31.10.03 08:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > >> Bom dia, obm-l. >> >> Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer >> dúvida sobre terminologia podem perguntar! >> >> É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços >> pertencentes >> a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a >> intersecção >> de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços >> são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? >> Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 >> dá para garantir, mas pode haver outros casos... >> >> Obrigado pela ajuda, >> Bernardo >> >> Bernardo Freitas Paulo da Costa >> >> >Oi, Bernardo: > >Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y). >O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) ==> os >autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos >associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os >quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual >de >R^2). > >Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos >associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se >Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao: >(k1 - k2)* = - = - = 0, pois >T >eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais). > >Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem >eh necessaria. > >Um abraco, >Claudio. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Auto-espaços
on 31.10.03 08:19, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Bom dia, obm-l. > > Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer > dúvida sobre terminologia podem perguntar! > > É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços > pertencentes > a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a > intersecção > de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços > são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? > Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 > dá para garantir, mas pode haver outros casos... > > Obrigado pela ajuda, > Bernardo > > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > Oi, Bernardo: Considere T:R^2 -> R^2 dada por: T(x,y) = (x+y,2y). O polinomio caracteristico de T eh x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) ==> os autovalores 1 e 2 tem ambos multiplicidade algebrica 1 e os auto-espacos associados sao, respectivamente, aqueles gerados por (1,0) e por (1,1), os quais nao sao ortogonais (pelo menos em relacao ao produto interno usual de R^2). Por outro lado, se T for auto-adjunto, entao acho que auto-espacos associados a autovalores distintos sao ortogonais, pois se Tv1 = k1v1 e Tv2 = k2v2, onde k1 e k2 sao autovalores distintos, entao: (k1 - k2)* = - = - = 0, pois T eh auto-adjunto (um operador auto-adjunto tem autovalores reais). Infelizmente, nao tenho certeza de se a condicao de T ser auto-ajunto tambem eh necessaria. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Auto-espaços
Bom dia, obm-l. Bom, vou falar sobre uns assuntos de matemática universitária, qualquer dúvida sobre terminologia podem perguntar! É um fato conhecido sobre transformações lineares que os auto-espaços pertencentes a auto-valores distintos da transformação são independentes(ou seja, a intersecção de dois quaisquer é o sub-espaço nulo). Em quais casos estes auto-espaços são ortogonais? Existe alguma condição necessária e suficiente para isso? Eu acho que se a multiplicidade algébrica dos auto-valores for sempre 1 dá para garantir, mas pode haver outros casos... Obrigado pela ajuda, Bernardo Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sub Espaços Vetoriais. Duvidas..
Obrigado Felipe,
Quebrou um galhao p/ mim.
Abraços.
>From: Felipe Pina <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: [EMAIL PROTECTED]
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Sub Espaços Vetoriais. Duvidas..
>Date: Tue, 23 Sep 2003 10:28:31 -0300
>
>On Tue, 23 Sep 2003 02:54:13 +, Juliano L.A.
><[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>>Olá pessoal,
>>
>>Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder
>>corrigir oq eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao
>>consegui terminar, agradeceria. Valeu
>>
>>O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo
>>sao sub espacos vetoriais do R3:
>>
>>
>>1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
>>
>>Verificando..
>>
>>i) Para todo u, v E W; u+v E W
>>
>>sejam u = (x1, y1, z1) E W
>>
>>v = (x2, y2, z2) E W
>>
>>u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
>>
>>x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
>>
>>z1+z2 = 0+0=0
>>
>>ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
>>
>>a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
>>
>>[a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
>>
>>Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?
>
> Sim, prova. As propriedades de associatividade, comutatividade e
>distributividade são herdadas de R3, assim como a multiplicação por
>1. O fechamento em relação ao produto por escalar garante que 0 esta
>em W e, para todo v em W, -v está em W. O fechamento em relação à
>soma também está provado, de modo que todas as propriedades estão
>satisfeitas. Resumindo, a fim de provar que um subconjunto W de um
>espaço vetorial V é subespaço vetorial, basta mostrar que é fechado
>em relação à soma e ao produto por escalar.
>
>>
>>e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
>>
>>W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
>>
>>apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
>>
>>faço y = x²
>>
>>entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
>>
>
> Sabemos que
> y1 = x1^2 e y2 = x2^2
> -> y1 + y2 = x1^2 + x2^2 que nem sempre é igual a (x1 + x2)^2
> Logo W não é um subespaco.
>
>>e como ficaria na outra propriedade?
>
> a * (x,y,z) = (a*x,a*y,a*z) = (a*x,a*x^2,a*z) = (x1,y1,z1)
> a fim de que W seja subespaco, teriamos que y1 = x1^2
> como a*x^2 nem sempre é igual a (a*x)^2, W não é subespaço.
>>
>>obrigado.
>>
>
>[]s
>Felipe Pina
>
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[obm-l] Re: [obm-l] Sub Espaços Vetoriais. Duvidas..
On Tue, 23 Sep 2003 02:54:13 +, Juliano L.A. <[EMAIL PROTECTED]>
wrote:
Olá pessoal,
Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder corrigir oq
eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao consegui terminar,
agradeceria. Valeu
O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo sao sub
espacos vetoriais do R3:
1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
Verificando..
i) Para todo u, v E W; u+v E W
sejam u = (x1, y1, z1) E W
v = (x2, y2, z2) E W
u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
z1+z2 = 0+0=0
ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
[a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?
Sim, prova. As propriedades de associatividade, comutatividade e
distributividade são herdadas de R3, assim como a multiplicação por 1. O
fechamento em relação ao produto por escalar garante que 0 esta em W e,
para todo v em W, -v está em W. O fechamento em relação à soma também está
provado, de modo que todas as propriedades estão satisfeitas. Resumindo, a
fim de provar que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço
vetorial, basta mostrar que é fechado em relação à soma e ao produto por
escalar.
e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
faço y = x²
entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
Sabemos que
y1 = x1^2 e y2 = x2^2
-> y1 + y2 = x1^2 + x2^2 que nem sempre é igual a (x1 + x2)^2
Logo W não é um subespaco.
e como ficaria na outra propriedade?
a * (x,y,z) = (a*x,a*y,a*z) = (a*x,a*x^2,a*z) = (x1,y1,z1)
a fim de que W seja subespaco, teriamos que y1 = x1^2
como a*x^2 nem sempre é igual a (a*x)^2, W não é subespaço.
obrigado.
[]s
Felipe Pina
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[obm-l] Sub Espaços Vetoriais. Duvidas..
Olá pessoal,
Estou tendo algumas duvidas com essa materia, se alguem poder corrigir oq eu tentei fazer e me ensinar como faz os que eu nao consegui terminar, agradeceria. Valeu
O exercicio pede para que eu verifique quais dos conjuntos abaixo sao sub espacos vetoriais do R3:
1) W = {(x,y,z) E R3 / x=4y e z = 0}
Verificando..
i) Para todo u, v E W; u+v E W
sejam u = (x1, y1, z1) E W
v = (x2, y2, z2) E W
u+v = (x1+x2, y1+y2, z1+z2) E W ?
x1+x2 = 4y1 + 4y2 = 4.(y1+y2)
z1+z2 = 0+0=0
ii) Para todo a(alfa) E R, a.u E W
a.y = a(x,y,z) = (ax, ay, az)
[a(4y), ay, a.0)] = [ 4(ay), ay, 0 ]
Isto prova que W é sub espaco do R3? Tem algo errado nisso?
e como eu procederia para a verificacao do sub espaco abaixo?
W = {(x,y,z) E R3 / y = x² }
apos efetuar a soma de u+ v = ( x1 + x2, y1+ y2, z1+ z2)
faço y = x²
entao y1+ y2 = (x1 + x2).(x1 + x2)
o qual nao sei como provar mais...
e como ficaria na outra propriedade?
obrigado.MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui.
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Espaços
Estou com problemas para resolver as questões abaixo: 1) Prove que todo espaço vetorial possui uma base. 2) Prove que o espaço das curvas tem dimensão infinita. Sei que este assunto foge um pouco ao interesse desta lista, mas se alguém puder ajudar, eu agradeço. http://www.ieg.com.br
