[obm-l] Fwd: Por favor me ajudem nessa
Honestamente, já tentei de tudo, acredito que haja algum teorema do baú da vovó, por favor me ajudem!E se ouver esse teorema, me digam qual é. Obrigado! Seja o ângulo AOB formado por duas semi-retas, tal que AOB é agudo. Traça-se uma reta r que intercepte o ângulo AOB nos pontos C e D respectivamente sobre as semi-retas AO e AB, de tal forma que 0 AOB ACD. Traça-se as bissetrizes de AOB e de ACD que se interceptarão num ponto E, e traça-se outro segmento, DE. O ângulo CDE será denominado Beta, e o seu adjacente, BDE, de Alfa. Pode-se afirmar que a relação entre Alfa e Beta é: Resposta: São iguais. -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
Re: [obm-l] Fwd: Por favor me ajudem nessa
2009/4/15 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com: Honestamente, já tentei de tudo, acredito que haja algum teorema do baú da vovó, por favor me ajudem!E se ouver esse teorema, me digam qual é. Obrigado! Seja o ângulo AOB formado por duas semi-retas, tal que AOB é agudo. Traça-se uma reta r que intercepte o ângulo AOB nos pontos C e D respectivamente sobre as semi-retas AO e AB, Hum, aqui eu fiquei em duvida : não deveriam ser OA e OB as semi-retas em questão ? Em geral, quando a gente fala de ângulos, a escolha dos pontos extremos (neste caso, A e B) não deveria influenciar o resto do problema, e se você quer alguma coisa na semi-reta AB isso obriga a fixar A e B... O resto do problema muda muito, e fica meio estranho se você obrigar a escolher um A, enquanto o resto ficaria ótimo se fosse D na semi-reta OB ! de tal forma que 0 AOB ACD. Traça-se as bissetrizes de AOB e de ACD que se interceptarão num ponto E, e traça-se outro segmento, DE. O ângulo CDE será denominado Beta, e o seu adjacente, BDE, de Alfa. Pode-se afirmar que a relação entre Alfa e Beta é: Supondo que houve apenas um errinho de datilografia, faça a figura com cuidado, e perceba que você esta trabalhando com um treco que parece o incentro exceto que ele esta do lado de fora do triângulo OCD. A gente chama esse cara de ex-incentro, assim como os outros três. E da mesma forma que você demonstrou que o incentro existe (ou seja, que as três bissetrizes internas se encontram *todas* no mesmo ponto), usando perpendiculares, e o caso especial de congruência LLA com A = 90° (os resto não existe !!!), você vera que este é um ex-incentro também. Ah, se for pra chutar, acho que o errinho faz que o problema fique errado ! Resposta: São iguais. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] demonstraçõs matematica
Denisson, ficou claro como agua Essa sua demonstração me fez entender tudo. Agora essa sua demonstração foi perfeita de demonstrar que um era oum axioma e invertendo o outro vira teorema eu não tinha pensado nisso. Mais a forma de como essas verdades são obtidas me parece que existe uma certa hipocresia da partes dos matematicos. Por exemplo, os axiomas do mundo fisico sabemos que são obtidos atraves da experiencia e na tentativa de induzir uma lei geral que explique tal classe de fenomenos. E quanto mais geral for a lei mais ela ira prever mais fenomenos. E na matematica? como são obtidas essas leis gerais que podemos chamar ou não de axiomas. Atraves da experiancia como os fisicos fazem? Tipo, eu vejo um certo numero de propriedades de um ente matematico e nele tento achar os axiomas que posam prova-los ou uma lei geral. Fica mais esse questão Obrigado Denisson!! --- Em ter, 14/4/09, Denisson denisso...@gmail.com escreveu: De: Denisson denisso...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] demonstraçõs matematica Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 23:50 Johnson, antes de tudo um axioma não é uma verdade evidente como alguns livros falam. Axioma é uma afirmação tomada como verdadeira. Por exemplo, na geometria euclidiana dada uma reta e um ponto fora da reta existe exatamente uma reta paralela passando por este ponto. Não cabe discutir se isso é verdade ou mentira. O que interessa é que assumindo isso como verdadeiro e somando-se com outras definições e axiomas podemos conceber uma teoria matemática. No caso da geometria euclidiana por exemplo nós encontramos uma aplicação no mundo fisico palpável (ou pelo menos nossa percepção dele), mas isso não a torna mais correta do que outro axioma. Por exemplo, se eu defino uma geometria em que ao invés de uma existem no mínimo 2 retas paralelas a uma reta dada passando por um ponto fora da reta então eu desenvolvo um conjunto de teoremas totalmente diferente. Isso acontece na geometria hiperbolica por exemplo; O que é importante perceber é que nenhuma afirmação é intrinsecamente um axioma. Uma afirmação pode ser um axioma uma hora e um teorema em outra. Pode ter uma aplicação no mundo físico como o conhecemos ou não. O importante é que numa mesma APLICAÇÃO mantenha-se a coerencia. Começou axioma termina axioma e ele deve ser capaz de te levar a novos resultados e não deve contradizer outros axiomas, definições ou teoremas. E é nesse ponto que pode surgir a chamada equivalencia. Isto é, dadas duas afirmações é indiferente vc assumir uma ou outra como axioma. Te dou um exemplo: 1- Boa Ordenação - Todo conjunto não-vazio de inteiros positivos contém um elemento mínimo. 2- Indução - Seja Z é um conjunto que contém inteiros positivos. Se (i) 1 pertence a Z e (ii) k+1 pertence a Z sempre que k pertence a Z então Z contém todos os inteiros positivos. Suponha que 1 seja um axioma, provemos 2 Vamos supor que Z satisfaz (i) e (ii) mas não contém todos os inteiros positivos então considere o conjunto M formado por todos os inteiros positivos que não pertencem a Z e seja k o seu elemento mínimo (ele existe pelo principio da boa ordenação e é diferente de 1 pois Z satisfaz (i) ). Mas como k é o mínimo de M então k-1 pertence a Z mas como este satisfaz (ii) então k pertence a Z o que é uma contradição. Logo o conjunto é vazio e então Z contém todos os inteiros positivos. Ok, ele é um teorema agora. Mas supondo que o principio da boa ordem é valido. Suponhamos porém que 2 seja um axioma. Provemos 1 Seja D um conjunto não vazio de inteiros positivos e suponhamos por contradição que D não possua elemento mínimo. Considere a afirmação An = D não possui elemento mínimo. Logo A1 é verdadeiro pois 1 é o menor inteiro positivo por definição e não pode pertencer a D. Agora suponha que Ak é verdadeiro para 1,2,3,... k Logo pelo principio da indução (agora um axioma) a sentença é valida para Bk+1. Mas não existe inteiro positivo entre k e k+1, qualquer que seja k inteiro positivo. Logo D é um conjunto vazio, contrário à nossa hipótese (por hipotese ele era nao vazio :P) Portanto a afirmação é falsa e a boa ordenação está provada. Isso é similar com o fato do 0 ser um número natural ou não. Essa pergunta é irrelevante. Dependendo da minha necessidade eu posso tratar o zero como natural ou não. O importante é ele não ter uma vida dual (ser e não ser :P) dentro de uma mesma demonstração ou em demonstrações de teoremas dependentes. Não sei se isso te ajuda a entender. Quanto aquela pergunta sobre a axiomatização da teoria dos conjuntos não posso responder pois não tenho muito conhecimento sobre isso. Abraços, Denisson 2009/4/14 johnson nascimento johnson_h...@yahoo.com.br Olá rapaziada Gostaria de pedir uma ajuda sobre o assunto que esta me atormentando a algum tempo. Eu ate hoje não entendi o por que esse assunto é tão complicado. Seria sobre o tão complicado e
[obm-l] Re: Análise Numérica - Teoria dos Erros
Ninguém se habilita? Atenciosamente, Daniel S. Braz Samuel Goldwynhttp://www.brainyquote.com/quotes/authors/s/samuel_goldwyn.html - A wide screen just makes a bad film twice as bad. 2009/4/9 Daniel S. Braz dsb...@gmail.com Corrigindo: No problema, o valor da soma W com duas casa decimais é W = 671.38 Atenciosamente, Daniel S. Braz Andy Warhol http://www.brainyquote.com/quotes/authors/a/andy_warhol.html - I am a deeply superficial person. 2009/4/9 Daniel S. Braz dsb...@gmail.com Pessoal, Por favor, alguém pode dar uma ajuda com esse problema aqui? Seja W = sqrt(1) + sqrt(2) + sqrt(3) + ... sqrt(100). Sabendo que W foi calculado utilizando dois dígitos exatos obtemos W = 671.46, quantos dígitos exatos possuí este resultado? Eu sei resolver por força bruta, calculando o valor de W com uma precisão maior e utilizando a relação abs(x - ~x) 0.5x10^-d. Mas acredito que deve haver uma forma mais elegante de fazer isso. Obrigado. Daniel S. Braz Norman Mailerhttp://www.brainyquote.com/quotes/authors/n/norman_mailer.html - Writing books is the closest men ever come to childbearing.
[obm-l] Uma demostracao interessante - equacao do 3o grau e o úl timo teorema de fermat.
Preciso de ajuda para resolver um problema do sigma test. Tenho que provar que nao há solução inteira para a equacao x³ + y³ = z³, para x,y,z diferentes de 0. Sem que Andrew Wiles já fez muito mais provanto o último teorema (ou conjectura) de Fermat provando que não há solução inteira para a equação x^n + y^n = z^n, mas não achei nenhuma demonstração e pelo que pesquisei ela tem mais de 200 páginas. Algém conseguiria me provar, de uma forma simples, esse problema? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5 ^1985 - 1.
Olá , Esta questão realmente não é fácil , como de repente pode parecer . Ela foi proposta numa Olimpíada Internacional e não usada e, foi também proposta na RPM - 18 . A solução do Vidal teve um brilhantismo , pois explicou em detalhes os passos . Abraços Carlos Victor 2009/4/6 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Vidal (e Fabricio), Já que meu neto não está aqui em casa... :-) e como gostei tanto de suas continhas de cabeça, fucei um site que tenho certeza que vocês vão gostar Tem coisas surreais http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/main.htm Abraços, Nehab ( *Vidal escreveu: Caro Fabrício, Eu também passei por esta etapa (produto de dois polinômios de grau 2) durante o pequeno tempo que pensei na solução, depois de provocado pelo Nehab. Mas infelizmente os fatores não eram inteiros. Abraços, Vidal. :: vi...@mail.com 2009/4/6 fabrici...@usp.br fabrici...@usp.br Vidal, muito boa a sacada. Eu tinha tentado escrever como o produto de dois polinômios de grau 2, sem sucesso. Parabéns pela solução. Um abraço. . On Apr 6, 2009, at 03:21 , *Vidal wrote: Caros Fabrício e Nehab, Achar um fator foi fácil, o problema foi quebrar o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Então queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores é 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Após um tempinho (pouca coisa, até no Fla x Flu no Maracanã estava rabiscando...), tive a idéia de tentar escrever a expressão como uma adequada diferença de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferença. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que já geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expressões (e rezando para encontrar valores de a e b compatíveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da onça beber água: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferença de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferença pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os três fatores são claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Então: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como já são três da manhã e já perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas continhas de cabeça, tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn são números compostos de n algarismos). A fatoração de C258, C542 e C549 fica como exercício ... :) Abraços, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de não nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informática da Carioca ! Abraços ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ninguém deu muita bola, talvez achando que é óbvio. Não achei óbvio não. Quem resolveu? Abraços, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exercícios, um me chamou muito a atenção. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de três inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possível avanço, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
[obm-l] Re: Método De Newton
ok ok descobri :) Se f(x) = ax^2 +bx + c então df(x)/dx = 2ax + b, mas se x1 e x2 são raizes então x1 + x2 = -b/a logo df((x1 + x2)/2)dx = 0 e daí o método de newton geraria uma divisão por zero. Ainda resta a resposta dos colegas para as outras perguntas Obrigado, Denisson 2009/4/4 Denisson denisso...@gmail.com Estava relendo sobre o método de newton e a demonstração fala que numa vizinhança suficientemente próxima da raiz o método converge. Implementei o algoritmo em um computador e o polinômio x^2 + 3x + 2 por exemplo de raizes -1 e -2 ao tomar uma aproximação inicial de valor 10 ele encontra a raiz -1. Pergunto o que caracteriza exatamente esse intervalo suficientemente próximo. O segundo ponto, o que acontece no método quando você toma como aproximação inicial exatamente a média entre duas raizes? Ele vai convergir pra algum valor? No computador deu erro mas não tenho certeza ainda se foi erro de programação :P Obrigado -- Denisson -- Denisson
Re: [obm-l] Pontos Fixos
Eu também não sei explicar como, mas o professor meu, calcado no teorema SVD
disse que há como sair. Aliás, essa é prova do doutorado. Vou transcrevê-la
aqui:
Considere uma matriz quadrada n x n, A. Considere que você consiga
decompô-la, através do método de Gauss, em uma matriz UU (ou LL). Provar que
através do cálculo dos autovalores e autovetores de UU (ou LL) é possível
encontrar os autovalores e autovetores de A.
Meu esboço:
A = LL.UU
UU - decomposição em Gauss
A - dado do problema
LL calculável
autovalor de UU - linha diagonal
autovalor de LL - linha diagonal
Relação entre os autovetores de LL e UU (não sei ainda como estabelecer)
Bem, a prova parece ser tão fácil que ele deu uma semana para a gente
fazer, podendo consultar o que fosse. O prazo termina amanhã e ninguém ainda
conseguiu. Por isso joguei o problema na lista.
Abraços,
Fernando
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, não entendi direito ainda. Eu peguei a matriz que eu mandei no
exemplo anterior, que tinha autovalores 1 2 e 3, e fiz a decomposição LU, e
no final das contas U tem autovalores 1, 1 e 1, ao passo que L tem
autovalores 4, 3 e 0.5, ou seja, não são os mesmos que da matriz A. Vc falou
que a partir daí sai os autovalores de A, eu não consegui ver como :/
Vc poderia explicar?
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/12 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com
O teorema da decomposição SVD, garante que os autovalores são os mesmos.
SVD é a sigla do termo em inglês Singular Value Decomposition, decomposição
em valores singulares, no caso, autovalores. Pode ser visto em Matrix
Computation de Loan Golub, Numerical Analisys de R. L. Burden and J. D.
Faires.
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, poderia explicar melhor seu método? Não entendi como funciona.
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
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tel: +33 (0)6 28 43 42 16
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GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/12 Fernando Lima Gama Júnior fgam...@gmail.com
À despeito do que o Bruno pensa, é possível sim usar Gauss para
calcular autovalores. Só não consegui ainda achar os autovetores.
A = LL X UU
UU - gauss
LL=A*UU^(-1)
Descobre-se os autovalores LL e UU e daí sai os autovalores de A.
O problema é com os autovetores...
Well, quem não acredita é só tentar em casa...
Fernando
silverra...@gmail.com escreveu:
Caros colegas,
Como posso usar o método de Gauss pra calcular autovalores?
(...)
Ok, brincadeirinhas à parte.. gostaria de outras opiniões sobre a
minha resolução
do seguinte problema.
* Problema: Seja X um subconjunto não-vazio, limitado e fechado da
reta.
Considere uma função F: X - X contínua, não-decrescente.
Prove que existe p pertencente a X tal que F( p ) = p, ou seja, F tem
um ponto fixo.
* Demonstração: Escolha y0 em X. Construa a sequência:
y1 = f( y0 ), y2 = f( y1 ), ..., yn = f( y(n-1) ),...
Como X é limitado, a sequência {yn} é limitada. Além disso, sendo F
não-decrescente,
a sequência {yn} é monótona. Logo {yn} é convergente.
Como X é fechado, lim (yn) pertence a X.
F contínua = F( lim (yn) ) = lim (F(yn)) = lim (y(n+1)) = lim (yn).
Ou seja, lim (yn) é um ponto fixo para F.
Cometi algum erro Crasso, ou é isso mesmo?
Obrigado! :)
- Leandro.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] ajuda
Na verdade isso é mais uma definição que uma prova: Se u, v são vetores num espaço vetorial V e u.v é um produto interno definido em V então pela desigualdade de schwarz |u.v| = ||u||*||v|| isto é |u.v|/(||u||*||v||) = 1, Então -1= u.v/(||u||*||v||) =1 isto quer dizer que existe um ângulo B entre 0 e pi radianos tal que cosB = u.v/(||u||*||v||). Chamamos então esse ângulo B de ângulo entre o vetor v e o w. Munido dessa definição e sabendo que u.v = 0 então cos B = 0 daí B = pi/2 (note que eu limitei o intervalo de 0 a pi apenas). Além disso se dois vetores são ortogonais e não nulos então o denominador é maior do que 0 mas cos 90 = 0 logo u.v = 0. O interessante é que essa forma de encarar o angulo entre vetores é equivalente à forma geométrica. 2009/4/11 RitaGomes rcggo...@terra.com.br ola colegas. Estou com umas resoluções a serem feitas gostaria da aujda de voces. Prove que se u e v são vetora nao simultaneamente nulos, diremos que o vetor u é perpendicular ao vetor v quando u . v =0. -- Denisson
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fatoração de 5^ 1985 - 1.
Oi, Vidal, Muito legal a sacao bem sucedida de forar a diferena entre quadrados, e com muita criatividade ... Eu no tinha conseguido matar o problema. Quanto ao Manuel somos amigos h 30 anos e j percorremos muito cho juntos. Nos conhecemos no SERPRO, quando ramos funcionrios de uma rea maluca de Estatstica, Modelagem , etc (era onde eles colocavam os caras que, alm de programar, como todo mundo de l programava, sabiam tambm fazer umas continhas mgicas como a que voc fez no problema abaixo..). E nesta poca eu ainda dava aula no IME, de Lgica, Anlise Linear, Clculo ,1,2..., N..., etc). Pr voc ter uma idia meu cargo era de Matemgico Ahhh , que emoo quando penso nas pessoas bacanas com quem convivi naquela poca. Todas geniais... Gostosas saudades... Mas no sei se voc sabe, eu fui coordenador de Cursos de Computao da Carioca e Gerente de Tecnologia durante uns 2 anos, h uns 10 anos ... E l estava o Manuel que foi quem me seduziu a trabalhar l... Um grande abrao, Nehab PS: De onde voc conhece o Manuel? Da night? Dos botequins e rodadas de violo? Ou foi aluno dele? *Vidal escreveu: Caros Fabrcio e Nehab, Achar um fator foi fcil, o problema foi "quebrar" o quociente nos outros dois. Fiz assim: 5^1985 - 1 = (5^397)^5 - 1 Seja x = 5^397. Ento queremos fatorar x^5 - 1 que, de imediato, resulta em (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1), ou seja, um dos fatores 5^397 - 1. Falta fatorar x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 de uma forma conveniente. Aps um tempinho (pouca coisa, at no Fla x Flu no Maracan estava rabiscando...), tive a idia de tentar escrever a expresso como uma adequada diferena de dois quadrados. Caso conseguisse, o problema estaria resolvido, pois um fator seria a soma e outro, a diferena. Arbitrei o primeiro quadrado como (x^2 + ax + 1)^2, que j geraria o termo de quarto grau e o termo independente corretos. E coloquei o segundo quadrado como 5x(x+b)^2, pois como x = 5^397, 5x = 5^398 seria um quadrado perfeito. Igualando as expresses (e rezando para encontrar valores de a e b compatveis), veio: (x^2 + ax + 1)^2 - 5x(x+b)^2 = x^4 + (2a -5)x^3 + (a^2 - 10b + 2)x^2 + (2a - 5b^2)x + 1 = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Assim: 2a -5 = 1 = a = 3 a^2 - 10b + 2 = 1 = b = 1 Agora era hora da ona beber gua: 2a - 5b^2 = 1 Mas a = 3 e b = 1 satisfazem ! Eureka ! x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 3x + 1)^2 - 5x(x+1)^2 Substituindo x por 5^397: ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5*5^397*(5^397 + 1)^2 = = ((5^397)^2 + 3*5^397 +1)^2 - 5^398*(5^397 + 1)^2 (diferena de quadrados) = = (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) - 5^199*(5^397 + 1)) * (((5^397)^2 + 3*5^397 +1) + 5^199*(5^397 + 1)) (produto da diferena pela soma) = = (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Os trs fatores so claramente maiores que 5^100, conforme solicitado. Ento: 5^1985 -1 = (5^397 - 1) * (5^794 - 5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1) * (5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1) Como j so trs da manh e j perdi o sono mesmo, resolvi fazer umas "continhas de cabea", tal como o Ralph fez outro dia desses... 5^397-1 = 2 x 2 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x C258 5^794 -5^596 + 3*5^397 - 5^199 + 1 = 71 x 399.091.951.801 x C542 5^794 + 5^596 + 3*5^397 + 5^199 + 1 = 11 x 146.891 x C549 Logo: 5^1985 -1 = 2 x 2 x 11 x 71 x 146.891 x 1.043.801.929 x 7.768.438.039 x 399.091.951.801 x C258 x C542 x C549 (onde Cn so nmeros compostos de n algarismos). A fatorao de C258, C542 e C549 fica como exerccio ... :) Abraos, Vidal. P.S. Nehab: Apesar de no nos conhecermos pessoalmente, temos um grande amigo em comum: o Manuel Martins Filho, professor de Informtica da Carioca ! Abraos ! :: vi...@mail.com *** 2009/4/5 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, gente, Fabricio postou este interessante problema e aparentemente ningum deu muita bola, talvez achando que bvio. No achei bvio no. Quem resolveu? Abraos, Nehab fabrici...@usp.br escreveu: Caros colegas, mexendo em algumas listas antigas de exerccios, um me chamou muito a ateno. Pede pra fatorar 5^1985 - 1 num produto de trs inteiros maiores que 5^100. Pra facilitar um possvel avano, 1985 pode ser escrito como 5 x 397 (ambos primos). . = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a
RE: [obm-l] Vetores
Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x 3y 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 5*12*cos(B) ; CA.CB = 5*12*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) É só resolver... Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcio aparecido Sent: Tuesday, April 14, 2009 1:56 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vetores 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Números ( em especial para o Ralph)
Me sinto no dever de informar aos que desconhecem a beleza da Teoria dos Números, que um ótimo ponto de partida é o livro Números: Uma introdução à Maatemática, de Francisco César Polcino Milies. Os requisitos para a compreensão do conteúdo do livro são apenas as quatro operações fundamentais, todo o restante é construído. . On Apr 4, 2009, at 13:30 , Albert Bouskela wrote: Olá! O que você quer é – infelizmente – muito difícil e temo que não exista: um bom livro sobre a Teoria dos Números (mesmo em outras línguas, que não o português). O porquê disto deve-se, eu acredito, à uma característica peculiar da Teoria dos Números: não ter um desenvolvimento contínuo e crescente. Veja, p.ex., o Cálculo: funções, daí limites, daí derivadas, daí integrais, daí equações diferenciais e por aí vai... Além disto, a Teoria dos Números não teve um nascedouro como o Cálculo (Newton), como a Geometria (Euclides), como a Teoria dos Conjuntos (Cantor) e, novamente, por aí vai... É certo (será?), entretanto, que o começo da Teoria dos Números esteja no estudo das Equações Diofantinas. Sei lá o porquê, mas nenhum livro sobre a Teoria dos Números aborda, consistentemente, este tema. Lembro, aliás, que o 10º problema proposto por Hilbert, em 1900, procurava obter um algoritmo para resolver uma equação diofantina genérica (ou, pelo menos, determinar se esta equação possuía, ou não, solução) – sugiro que você estude como este problema (não) foi resolvido por Turing e Gödel. Na verdade, a Teoria dos Números passou a permear toda a Matemática. Os avanços desta teoria foram espasmódicos e alguns deles muito recentes, como a demonstração do Último Teorema de Fermat e da Conjectura de Catalan. Por todas estas dificuldades, e pelo seu caráter extremamente teórico (de aplicabilidade longe de ser direta ou imediata em outras ciências) e ainda pouco sistematizado, a Teoria dos Números é considerada por muitos (eu inclusive) a parte mais nobre da Matemática. Outra particularidade desta teoria é que problemas básicos, lá da sua origem, ainda não foram resolvidos, p.ex., o da primalidade (a decomposição de um número em fatores primos através de um algoritmo eficiente, digo, rápido). Então, como fazer? Sugiro a Internet: pesquise, vá garimpando, acompanhe os avanços... é como eu faço. Comece pelo seguinte site http://mathworld.wolfram.com/topics/NumberTheory.html e, logo, logo, você terá uma coleção de endereços que lhe ensinarão como andar pela Teoria dos Números. Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc- rio.br] On Behalf Of marcone augusto araújo borges Sent: Saturday, April 04, 2009 12:44 AM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Números (em especial para o Ralph) Peço ao Albert ou outro interessado em teoria dos numeros para me indicar livros acessíveis a um iniciante,escrito em potugues,sobre o assunto,que me é de grande interesse.Ficarei muito grato a quem praticar tal gentileza.Aguardo.Obrigado. Date: Fri, 3 Apr 2009 16:33:41 -0700 From: bousk...@ymail.com Subject: [obm-l] Números (em especial para o Ralph) To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá a todos! Olá Ralph! Para aqueles (como eu) que se divertem com as curiosidades da Teoria dos Números, sugiro que visitem o seguinte site: http:// www.stumbleupon.com/toolbar/#url=http%253A%252F%252Fwww.stetson.edu% 252F%257Eefriedma%252Fnumbers.html . Ralph, Gostei muito daquele problema da soma, da soma, da soma dos algarismos de 50^50. Repare, entretanto, que o enunciado ficaria bem mais assombroso se fosse assim: Considere “S” como sendo a soma de todos os algarismos de 770^770 . A soma de todos os algarismos de “S” é igual a “T”, e a soma de todos os algarismos de “T” é igual a “U”. Calcule o valor de “U”. A resposta é a mesma: 7 . Obs.: S = 6487 (como já estou velho, não consegui calcular de cabeça - usei uma HP 15C) ; T = 25 ; U = 7 . Saudações, AB bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Turbine seu Messenger com emoticons! Clique já, é GRÁTIS! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Obrigado,Carlos,mas o problema correto é:se x^2 +Y^2 +x*y é divisível por 10 então é divisível por 100.Um abraço. Date: Sat, 11 Apr 2009 20:29:19 -0300 From: ne...@infolink.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Problema OBM 3a fase Oi, Marcone, Acho que este problema tem um quê de pegadinha, pois a menos que eu esteja MUITO distraído, a expressão Z = x^2 + xy + y^2 só será divisível por 5 se x e y também o forem e, neste caso, o problema fica muito simples... A menos que seja exatamente ESTA a sacação que quem propôs o problema deseja que se prove. Então, taí uma possível dica... Abraços, Nehab marcone augusto araújo borges escreveu: alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm divide 100 From: fato...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase Date: Sat, 11 Apr 2009 15:32:31 +0300 Prove que existem infinitos inteiros positivos n tal que: 5^(n-2) -1 --- É um inteiro. n [1] Seja m um primo diferente de 5; [2] 5^(m-1) == 1 mod m (pelo Pequeno Teorema de Fermat) [3] 5^(2m-2) == 1 mod m (quadrando [2]) [4] 5^(2m-2) == 1 mod 2 (pois 5 eh impar) [5] m divide (5^(2m-2) - 1) (de [3]) [6] 2 divide (5^(2m-2) - 1) (de [4]) [7] 2m divide (5^(2m-2) - 1) (de [5] e [6] e porque mdc(m,2) = 1) [8] (5^(2m-2) - 1)/(2m) eh inteiro [9] para todo inteiro n=2m que eh o dobro de algum primo diferente de 5, tem-se que (5^(n-2) - 1)/n eh um inteiro (de [8] e [1]) [ ]'s - [ eric campos bastos guedes - matemático e educador ] [ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ] [ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ] [ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ] [ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ] [ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ] [ http://www.publit.com.br/index.php?author_id=255 ] - _ Descubra seu lado desconhecido com o novo Windows Live! http://www.windowslive.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Imagem de exibição animada? Só com o novo Messenger. Baixe agora!= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = _ Emoticons e Winks super diferentes para o Messenger. Baixe agora, é grátis! http://specials.br.msn.com/ilovemessenger/pacotes.aspx
Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME
Ola Silas e demais colegas desta lista ... OBM-L, O rapaz pode esclarecer as duvidas dele aqui conosco. Basta voce inscrever ele na lista. Quanto ao seu problema, eis aqui um raciocinio valido : OBS : Nao e dito quantas cadeiras ha em uma fila ... vou supor que na fila ha exatamente 7 cadeiras.. Se nao for assim, a solucao deve tomar outro rumo. Vamos IMAGINAR que as cadeiras estao numeradas de 1 ate 7. Quais as posicoes que as mocas podem ocupar ? As seguintes : (1,3, 5), (1,3,6), (1, 3, 7), (1,4,6), (1,4,7), (1,5,7), (2,4,6), (2,,4,7), (2,5,7) e ( 3,5,7). Escolhida uma destas 10 possibilidades, podemos permutar as mocas de 3!=6. As quatro posicoes restantes podem ser ocupadas pelos rapazes de 4!=24 modos. Assim, o total T de maneiras de dispor estas pessoas, atendidas as exigencias do problema, e : T=10* 3! * 4! = 10*6*24 = 1440 Um abraco a todos ! PSR, 21304091802 2009/4/13 Silas Gruta silasgr...@gmail.com: Boa tarde a todos, Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se puderem dar uma ajuda: Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que: a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440 b) ... A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia. Obrigado! -- Silas Gruta = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Vetores - CORREÇÃO
CORREÇÃO! Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x 3y 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of marcio aparecido Sent: Tuesday, April 14, 2009 1:56 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Vetores 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC+BA.BC+CA.CB.
[obm-l] Re: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas
Parafrazeando o Marcelo, também solicito vossas idéias e sugestões para o tema de monografia: Potência, Inversão e Polar de um ponto. Grato desde já. - Original Message - From: Alexandre Azevedo azvd...@terra.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Sugestão de Tema para Monografia - Cônicas Date: Sun, 12 Apr 2009 11:58:55 -0300 Olá Marcelo,tudo bem?Bom,o meu projeto final na uerj também foi sobre cônicas e,por eu anteriormente ter sido aluno de turma ime-ita e também aluno do IME por um tempo,tendo depois feito engenharia química no fundão,que larguei no meio,embora com ótimas notas,nao era pra mim...até finalmente desembocar em matemática e informática,as duas faculdades em que me formei...eu não sei se o que fiz de cônicas é muito abordado,mas eu foquei este assunto juntamente com engenharia,falei sobre o espelho parabólico,o forno solar,sobre aquele museu não sei da onde em que ele possui o formato de uma elipse e se as pessoas estiverem conversando cada uma num dos focos da elipse que a onda sonora bate e reflete para a outra pessoa localizada no outro foco,fazendo com que elas consigam escutar uma a outra mesmo a uma certa distância,etc... Foi esse o enfoque que eu dei... Espero tê-lo ajudado... Abraços, Alexandre Marcelo Gomes escreveu: Olá pessoal da lista, boa tarde a todos. Estou para iniciar os escritos de minha monografia e o tema é cônicas . Gostaria de perguntar também aos senhores, além do que já fiz com meu orientador, se os senhores teriam alguma idéia ainda pouco explorada ou não, sobre cônicas, para o ensino médio ou não. Às vezes existem mestres e doutores que teriam vontade que seus orientandos explorassem alguma área específica dentro deste tema e talvez ainda não tenham tido esta oportunidade. Já pensei vários temas...mas ainda não me resolvi. Se vocês puderem sugerir, irão ampliar meus horizontes ainda mais neste tema. Desde já agradeço muito a todos, Um abração, Marcelo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Bem Marcone estava rabiscando um pouco, perdi uns minutinhos e consegui
demostrar, a explicacao é muito facil, abaixo.
Temos que para x2 + y2 + xy ser divisivel por 10, a expressao é par,
consequentemente x e y sao pares (se os 2 forem impares o resultado é impar, se
um for impar o resultado tbm é impar). Consequentemente x2 = 4a, y2 = 4b e xy =
4c, para a,b,c inteiros. Consequentemente a expressao é multipla de 4.
Para explicar que se ela é multipla de 5 tbm é de 25 é um pouco mais
complicado, vamos ver...
O ultimo digito de um quadrado pode ser: 0,1,4,5,6,9.
Para o quadrado ser 0, o numero acaba com 0
1 - 1,9
4 - 8
5 - 5
6 - 4,6
9 - 7
O 0 e o 5 podem ser claramnete eliminados. Sobraram 1,4,6,9
Ultimo digito das somas possiveis entre os quadrados perfeitos e o produto
entre eles (para ser multiplo de 5:
1+4 - 5 eliminado (1x4 diferente de 0 ou 5)
1+6 - 7 eliminado (1x6 diferente de 3 ou 8)
1+9 = 10 (0)eliminado (1x9 diferente de 0 ou 5)
2+6 = 10 (0) eliminado (2x6 (2) diferente de 0 ou 5)
6,9 = 15 (5) eliminado (6x9 (4) diferente de 0 ou 5)
Ou seja, para quaisquer numeros nao multiplos de 5 nao ha solucao inteira
positiva para a equacao x2 + y2 + xy = 10z
Assim, x e y sao multiplos de 5.
x2 = 25d, y2 = 25f, xy = 25g, para d,f,g inteiros.
Vimos que x2 + y2 + xy é multiplo de 4 e 25, ou seja, tambem é multiplo de 4x25
= 100.
--- Em dom, 12/4/09, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 12 de Abril de 2009, 2:53
#yiv2143077354 .hmmessage P
{
margin:0px;padding:0px;}
#yiv2143077354 {
font-size:10pt;font-family:Verdana;}
Desculpe Eric,mas o problema correto é :se x^2 + x*y +y^2
è divisível por 10 então é divisível por 100.Obrigado pela atenção.Um abraço.
From: fato...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Problema OBM 3a fase
Date: Sun, 12 Apr 2009 02:48:40 +0300
alguem poderia resolver esse:Se x^2 +x*y + y^2 divide 10,então tbm
divide 100
Se xx + xy + yy divide 10, entao dividirah 100 tambem,
pois todo divisor de 10 divide 100
[ ]'s
E.
-
[ eric campos bastos guedes - matemático e educador ]
[ ERIC PRESIDENTE 2010 - Pela Democracia Direta! -- ]
[ O maior especialista do mundo em fórmulas para primos ]
[ sites: http://fomedejustica.blogspot.com/ --- ]
[ http://www.orkut.com.br/Main#Community.aspx?cmm=20551500 ]
[ http://portaldovoluntario.org.br/people/58657-eric-campos-bastos-guedes ]
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Re: [obm-l] Vetores
Bouskela, permita-me discordar mas quando eu estava no inicio do ensino médio eu trazia da escola vários exercícios desse tipo, foi fazendo perguntas numericas sem preocupação com demonstração ou entender a lógica por trás disso que eu comecei a me preocupar com demonstrações. Isso por causa dessa lista e de um professor. Sempre que eu fazia uma pergunta alguém acabava indicando um link, um livro, uma demonstração, um método mais geral, um artigo numa revista e por aí vai :) Abraços, Denisson 2009/4/14 Albert Bouskelantas bousk...@ymail.com Olá! Inicialmente, acho que esses exercícios não deveriam fazer parte desta Lista, mas... a-s Faça assim: [1] V = (x, y, z) V é ortogonal a U, logo o produto escalar é nulo: 2x – 3y – 12z = 0 V é paralelo a W, logo o produto vetorial é nulo. Logo, o determinante [i, j, k / x, y, z / -6, 4, -2] é nulo. Logo a 2ª e a 3ª linha são LD. Logo: x = k(-6) = -6k ; y=k(4) = 4k ; z = k(-2) = -2k É só resolver... [2] O triângulo é reto em A: AB.AC=0 ; BA.BC = 12*13*cos(B) ; CA.CB = 5*13*cos(C) B = arctan(5/12) ; C = arctan(12/5) A hipotenusa (lado oposto ao ângulo A) só pode ser o maior dos 3 lados do triângulo: 13 É só resolver... vai dar um resultado legal... compare-o com (o quadrado da) a hipotenusa... ou com o Teorema de Pitágoras... Sds., *AB* bousk...@gmail.com bousk...@ymail.com --- Em *ter, 14/4/09, marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com*escreveu: De: marcio aparecido marcio.aparec...@gmail.com Assunto: [obm-l] Vetores Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 14 de Abril de 2009, 16:55 1-Determinar o Vetor V, ortogonal ao vetor U = (2,-3,-12), e colinear ao vetor W=(-6,4,-2) 2-Os lados de um triângulo retângulos ABC reto em A medem 5, 12 e 13. Cacular AB.AC http://ab.ac/+BA.BC+CA.CB. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/ -- Denisson
Re: [obm-l] Matrizes
Talvez o dilema seja o seguinte: aplicar o metodo de Gauss EM QUEM? Eh possivel aplicar o metodo de Gauss aa matriz A-lambda.I; acho que era isso que o professor da Unicamp tava pensando... Com isso, voce calcula o determinante de A-lambda.I e, portanto, o polinomio caracteristico, cujas raizes sao os autovalores. Note-se que, como tem uma variavel lambda no meio da matriz, voce tem que tomar cuidado -- antes de dividir por qualquer coisa que tenha lambda no meio, voce frequentemente tem de pensar se essa coisa pode ser zero. Agora, o Bruno tem razao: se voce aplicar o metodo de Gauss direto na matriz A, as operacoes de linha MUDAM os autovalores, entao nao adianta nada, como nos exemplos que ele mostrou. Abraco, Ralph 2009/4/11 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com: Resposta rapida, estou meio sem tempo : Hum, tem uma coisa que o processo de Gauss permite calcular facilmente, que é o modulo do determinante da matriz ! Porque se você disser pro computador nao multiplicar nenhuma linha (sem adicionar a uma outra, isso pode, sem problemas), como operaçoes que levam esta linha em outra conservam o determinante por multilinearidade e anti-simetria (uma matriz com duas linhas iguais é de det = 0, e três matrizes com uma linha de uma que é a soma da mesma linha das outras duas, e o resto igual, tem det = soma dos dois dets) no final do processo você tera o sinal do determinante. Se você prestar atençao nas matrizes de permutaçao que você usar (ou seja, calcular o determinante delas) você pode inclusive descobrir o sinal do determinante. Repare que nessa bagunça toda, você pode ter perdido os autovalores, que eles podem mudar bastante no processo. Mas isso nao importa, o determinante é conservado. E é por isso que é importante de estudar Algebra linear, porque muitas das demonstraçoes vêm junto com duas coisas : 1) Idéias interessantes de invariantes 2) Algoritmos E, se você gosta disso, pode se interessar também pela questao da estabilidade numérica do algoritmo, e é por isso que muitas vezes se faz uma normalizaçao para evitar numeros muito grandes ou muito pequenos. E nisso, você inclui mais uma coisa a prestar atençao na hora de calcular o determinante (tem que pensar nao soh nas matrizes de permutaçao, mas também nas matrizes de normalizaçao). Um grande abraço, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2009/4/11 Albert Bouskela bousk...@ymail.com: Chi! O Bruno ficou zangado... Acho até que podia, mas é 6ª feira santa (se bem que eu não conheço nenhuma 6ª feira pagã), então esta deve ser mais santa do que as outras. Quando você, Bruno, inexoravelmente, chegar à minha idade, vai ver que é sempre melhor manter o bom humor e rir um pouco daqueles e para aqueles que involuntariamente nos irritam. Bem, deixa eu tentar esclarecer algumas coisas: O método de eliminação (ou de triangulação) de Gauss serve, basicamente, para resolver sistemas de equações lineares do tipo Kx = F [1], onde K é uma matriz nxn (quadrada), x é o vetor de incógnitas e F é o vetor independente. Repare que através do método de Gauss chega-se a uma matriz triangular, cuja diagonal principal é igual a 1 ( r(i, i) = 1). Daí: 1*x(n) = F’(n) -- x(n) = F’(n) e por retro-substituição se calcula x(n-1), x(n-2) ... x(1). Vantagens do método de Gauss: É o mais eficiente (seu algoritmo tem o menor números de passos ou linhas); Para matrizes positivo-definidas [2] é numericamente estável (isto é importantíssimo para as aplicações práticas); Caso o sistema seja indeterminado (é o caso da matriz K apresentar 2 ou mais linhas LD), vai aparecer um (ou mais) zero(s) na diagonal principal. Isto é muito útil quando estamos lidando com matrizes muito grandes, p.ex., 1000x1000 e não sabemos se o sistema é LI ou LD. Desvantagens: Não permite o cálculo dos auto-valores da matriz K [3]. Caso seja necessário conhecer os auto-valores e auto-vetores [4], então devemos empregar outros métodos, p.ex., o de Cholesky. A desvantagem do método de Cholesky, em relação ao de Gauss, é que o algoritmo correspondente requer o cálculo de n raízes quadradas a mais em relação ao método de Gauss. Observações: [1] De propósito, coloquei o exemplo da Lei de Hooke generalizada, onde K é a matriz de rigidez, x é vetor de deslocamentos (que se quer encontrar) e F é o vetor das forças atuantes. É assim que na Engenharia Civil é feito o cálculo (dimensionamento) das estruturas (p.ex., edifícios). [2] São matrizes nas quais a diagonal principal é numericamente preponderante: r(i, i)^2 r(i, j)*r(j, i) . Na maioria dos casos práticos, a matriz é simétrica – uma matriz de rigidez é SEMPRE simétrica (o que é facilmente demonstrável pela reciprocidade ação vs. deslocamento). [3] O que disse acima só é válido para estruturas que têm comportamento estático (as forças atuantes pouco variam com o tempo, p.ex., o peso próprio). No caso de estruturas dinâmicas (sujeitas a ações
[obm-l] Re: [obm-l] Um probleminha bem interessante
Esta certo, a velocidade de p1 sempre apontara para a p2, e assim por diante. A velocidade sempre estara mudando de direcao, o que quis dizer eh que em qualquer momento, esse vetor velocidade de p1 estara apontando para p2, o de p2 para p3 e o de p3 para p1. Como foi dito acho que o resultado nao eh t = d/v nao, como a trajetoria eh interna ao triango e vai chegar ao ponto medio, temos que os pontos descreveriam a menor trajetoria possivel com a atracao. Temos que a trajetoria descrita vai ser maior que a distancia inicial de um dos pontos ao centro do triangulo menor que a distancia inicial entre eles. Portanto t d/v. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
Re: [obm-l] Fwd: Por favor me ajudem nessa
Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, Voce deve estar fazendo alguma confusao. O problema ou e impossivel ou e muito simples. Explico. Quando a reta r corta o angulo AOB nos pontos C e D, supondo que OC OA e OD OB teremos que a igualdade entre os angulos ( correspondentes ) AOB e ACD implica que a reta r e paralela a reta que contem OB, nao podendo pois ocorre intersecao entre estas duas retas (na geometria euclidiana) . Logo, o ponto D nao pode existir, ele um absurdo. ... Se voce supor que OC OA e OD OB entao a igualdade entre os angulos AOB e ACD implica que o triangulo OCD e isosceles = DC=DO. Ao tracar as bissetrizes CE e OE teremos que ECO = EOC = o triangulo CEO e isosceles = CE=OE. Por outro lado, os angulos ECD e EOD sao iguais, pois sao metades de angulos iguais. Assim : CE=OE ECD = EOC DC=DO Pelo caso LAL os triangulos CDE e ODE sao iguais ( congruentes ). Logo : CDE=BDE. Um abraco a todos PSR,4150409 2009/4/15 Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com: Honestamente, já tentei de tudo, acredito que haja algum teorema do baú da vovó, por favor me ajudem!E se ouver esse teorema, me digam qual é. Obrigado! Seja o ângulo AOB formado por duas semi-retas, tal que AOB é agudo. Traça-se uma reta r que intercepte o ângulo AOB nos pontos C e D respectivamente sobre as semi-retas AO e AB, de tal forma que 0 AOB ACD. Traça-se as bissetrizes de AOB e de ACD que se interceptarão num ponto E, e traça-se outro segmento, DE. O ângulo CDE será denominado Beta, e o seu adjacente, BDE, de Alfa. Pode-se afirmar que a relação entre Alfa e Beta é: Resposta: São iguais. -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Por favor me ajudem nessa
Honestamente, já tentei de tudo, acredito que haja algum teorema do baú da vovó, por favor me ajudem!E se ouver esse teorema, me digam qual é. Obrigado! Seja o ângulo AOB formado por duas semi-retas, tal que AOB é agudo. Traça-se uma reta r que intercepte o ângulo AOB nos pontos C e D respectivamente sobre as semi-retas AO e AB, de tal forma que 0 AOB ACD. Traça-se as bissetrizes de AOB e de ACD que se interceptarão num ponto E, e traça-se outro segmento, DE. O ângulo CDE será denominado Beta, e o seu adjacente, BDE, de Alfa. Pode-se afirmar que a relação entre Alfa e Beta é: Resposta: São iguais. -- Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o Universo Galileu Galilei
[obm-l] Re: [obm-l] Problema de combinatória
Ola Tadeu e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos ) O problema esta um pouco ambiguo. Vou dizer o motivo mais adiante. Podemos escolher 5 cores de um total de 9 de Binom(9,5) maneiras. Fixadas cinco cores, elas fornecem Binom(5,2) combinacoes de duas cores. Podemos escolher 4 destas combinacoes de Binom(Binom(5,2),4) maneiras. Portanto, a numero de maneiras de pintar o tetraedro sera : R=Binom(9,5)*Binom(Binom(5,2),4) eu acho que o problema esta um tanto ambiguo porque nao sabemos, a priori, se as bolinhas dos vertices sao indistinguiveis. Alem disso, existe uma unica maneira de pintar uma bolinha com 1 cor, mas existem diversas maneiras de pintar um bolinha com duas cores ... Usando duas cores, de quantas maneiras seria possivel colorir uma esfera de maneira que cada cor cor ocupasse CONTINUAMENTE 50% da superficie esferica ? um abraco a todos ! PSR,21304091120 2009/4/9 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Amigos, Uma professora disse que sonhou (veja só!) o seguinte problema. Suponha que nos vértices de um tetraedro haja uma bolinha que tenha que ser pintada de duas cores diferentes. Há 9 cores disponíveis, mas de cada vez são selecionadas cinco cores que tem que ser utilizadas no tetraedro. De quantas formas isso é possível? Que sonho! Abraços e Boa Páscoa! -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Limite
Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique
Re: [obm-l] Limite
Dica: use a identidade Y = exp( ln( Y ) ), onde Y é a função que aparece no seu limite. - Leandro.
Re: [obm-l] Limite
Olá Henrique, x^[1/(1-x)] = exp[ln(x)/(1-x)] aplicando L'Hopital: exp[(1/x)/(-1)] = exp(-1/x) Logo, o limite vale 1/e. abraços, Salhab 2009/4/15 Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Existe uma solução algébrica para o seguinte limite? lim, x-1, x^[1/(1-x)] -- Henrique
Re: [obm-l] Pontos Fixos
Oi, Fernando, parece que deu um pau ou no meu email ou na lista, esta sua
mensagem (da sua prova) só chegou agora há alguns minutos (assim como umas
30 mensagens da OBM-L desta última semana), então acho que já foi o prazo.
E aí, alguém conseguiu resolver o problema? Seu professor comentou?
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/13 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com
Eu também não sei explicar como, mas o professor meu, calcado no teorema
SVD disse que há como sair. Aliás, essa é prova do doutorado. Vou
transcrevê-la aqui:
Considere uma matriz quadrada n x n, A. Considere que você consiga
decompô-la, através do método de Gauss, em uma matriz UU (ou LL). Provar que
através do cálculo dos autovalores e autovetores de UU (ou LL) é possível
encontrar os autovalores e autovetores de A.
Meu esboço:
A = LL.UU
UU - decomposição em Gauss
A - dado do problema
LL calculável
autovalor de UU - linha diagonal
autovalor de LL - linha diagonal
Relação entre os autovetores de LL e UU (não sei ainda como estabelecer)
Bem, a prova parece ser tão fácil que ele deu uma semana para a gente
fazer, podendo consultar o que fosse. O prazo termina amanhã e ninguém ainda
conseguiu. Por isso joguei o problema na lista.
Abraços,
Fernando
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, não entendi direito ainda. Eu peguei a matriz que eu mandei no
exemplo anterior, que tinha autovalores 1 2 e 3, e fiz a decomposição LU, e
no final das contas U tem autovalores 1, 1 e 1, ao passo que L tem
autovalores 4, 3 e 0.5, ou seja, não são os mesmos que da matriz A. Vc falou
que a partir daí sai os autovalores de A, eu não consegui ver como :/
Vc poderia explicar?
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16
http://brunoreis.com
http://blog.brunoreis.com
GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/12 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com
O teorema da decomposição SVD, garante que os autovalores são os mesmos.
SVD é a sigla do termo em inglês Singular Value Decomposition, decomposição
em valores singulares, no caso, autovalores. Pode ser visto em Matrix
Computation de Loan Golub, Numerical Analisys de R. L. Burden and J. D.
Faires.
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, poderia explicar melhor seu método? Não entendi como funciona.
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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e^(pi*i)+1=0
2009/4/12 Fernando Lima Gama Júnior fgam...@gmail.com
À despeito do que o Bruno pensa, é possível sim usar Gauss para
calcular autovalores. Só não consegui ainda achar os autovetores.
A = LL X UU
UU - gauss
LL=A*UU^(-1)
Descobre-se os autovalores LL e UU e daí sai os autovalores de A.
O problema é com os autovetores...
Well, quem não acredita é só tentar em casa...
Fernando
silverra...@gmail.com escreveu:
Caros colegas,
Como posso usar o método de Gauss pra calcular autovalores?
(...)
Ok, brincadeirinhas à parte.. gostaria de outras opiniões sobre a
minha resolução
do seguinte problema.
* Problema: Seja X um subconjunto não-vazio, limitado e fechado da
reta.
Considere uma função F: X - X contínua, não-decrescente.
Prove que existe p pertencente a X tal que F( p ) = p, ou seja, F tem
um ponto fixo.
* Demonstração: Escolha y0 em X. Construa a sequência:
y1 = f( y0 ), y2 = f( y1 ), ..., yn = f( y(n-1) ),...
Como X é limitado, a sequência {yn} é limitada. Além disso, sendo F
não-decrescente,
a sequência {yn} é monótona. Logo {yn} é convergente.
Como X é fechado, lim (yn) pertence a X.
F contínua = F( lim (yn) ) = lim (F(yn)) = lim (y(n+1)) = lim (yn).
Ou seja, lim (yn) é um ponto fixo para F.
Cometi algum erro Crasso, ou é isso mesmo?
Obrigado! :)
- Leandro.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Pontos Fixos
Ainda não. Estou supercurioso, pq cada um achou uma resposta diferente.
Ficou de entregar semana que vem.
Abcs,
Fernando Gama
2009/4/15 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Oi, Fernando, parece que deu um pau ou no meu email ou na lista, esta sua
mensagem (da sua prova) só chegou agora há alguns minutos (assim como umas
30 mensagens da OBM-L desta última semana), então acho que já foi o prazo.
E aí, alguém conseguiu resolver o problema? Seu professor comentou?
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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skype: brunoreis666
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2009/4/13 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com
Eu também não sei explicar como, mas o professor meu, calcado no teorema
SVD disse que há como sair. Aliás, essa é prova do doutorado. Vou
transcrevê-la aqui:
Considere uma matriz quadrada n x n, A. Considere que você consiga
decompô-la, através do método de Gauss, em uma matriz UU (ou LL). Provar que
através do cálculo dos autovalores e autovetores de UU (ou LL) é possível
encontrar os autovalores e autovetores de A.
Meu esboço:
A = LL.UU
UU - decomposição em Gauss
A - dado do problema
LL calculável
autovalor de UU - linha diagonal
autovalor de LL - linha diagonal
Relação entre os autovetores de LL e UU (não sei ainda como estabelecer)
Bem, a prova parece ser tão fácil que ele deu uma semana para a gente
fazer, podendo consultar o que fosse. O prazo termina amanhã e ninguém ainda
conseguiu. Por isso joguei o problema na lista.
Abraços,
Fernando
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, não entendi direito ainda. Eu peguei a matriz que eu mandei no
exemplo anterior, que tinha autovalores 1 2 e 3, e fiz a decomposição LU, e
no final das contas U tem autovalores 1, 1 e 1, ao passo que L tem
autovalores 4, 3 e 0.5, ou seja, não são os mesmos que da matriz A. Vc falou
que a partir daí sai os autovalores de A, eu não consegui ver como :/
Vc poderia explicar?
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
msn: brunoreis...@hotmail.com
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tel: +33 (0)6 28 43 42 16
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2009/4/12 Fernando Lima Gama Junior fgam...@gmail.com
O teorema da decomposição SVD, garante que os autovalores são os mesmos.
SVD é a sigla do termo em inglês Singular Value Decomposition, decomposição
em valores singulares, no caso, autovalores. Pode ser visto em Matrix
Computation de Loan Golub, Numerical Analisys de R. L. Burden and J. D.
Faires.
Fernando Gama
2009/4/12 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com
Fernando, poderia explicar melhor seu método? Não entendi como funciona.
Abraço
Bruno
--
Bruno FRANÇA DOS REIS
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tel: +33 (0)6 28 43 42 16
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GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key
e^(pi*i)+1=0
2009/4/12 Fernando Lima Gama Júnior fgam...@gmail.com
À despeito do que o Bruno pensa, é possível sim usar Gauss para
calcular autovalores. Só não consegui ainda achar os autovetores.
A = LL X UU
UU - gauss
LL=A*UU^(-1)
Descobre-se os autovalores LL e UU e daí sai os autovalores de A.
O problema é com os autovetores...
Well, quem não acredita é só tentar em casa...
Fernando
silverra...@gmail.com escreveu:
Caros colegas,
Como posso usar o método de Gauss pra calcular autovalores?
(...)
Ok, brincadeirinhas à parte.. gostaria de outras opiniões sobre a
minha resolução
do seguinte problema.
* Problema: Seja X um subconjunto não-vazio, limitado e fechado da
reta.
Considere uma função F: X - X contínua, não-decrescente.
Prove que existe p pertencente a X tal que F( p ) = p, ou seja, F tem
um ponto fixo.
* Demonstração: Escolha y0 em X. Construa a sequência:
y1 = f( y0 ), y2 = f( y1 ), ..., yn = f( y(n-1) ),...
Como X é limitado, a sequência {yn} é limitada. Além disso, sendo F
não-decrescente,
a sequência {yn} é monótona. Logo {yn} é convergente.
Como X é fechado, lim (yn) pertence a X.
F contínua = F( lim (yn) ) = lim (F(yn)) = lim (y(n+1)) = lim (yn).
Ou seja, lim (yn) é um ponto fixo para F.
Cometi algum erro Crasso, ou é isso mesmo?
Obrigado! :)
- Leandro.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] sair
Por favor Exclua-me da lista. Â Att, Luciana = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] sair
A saída é por aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html Iuri 2009/4/15 lucianarodrigg...@uol.com.br Por favor Exclua-me da lista. Att, Luciana = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
