[obm-l] Re: [obm-l] Gabarito da olimpíada carioca.
Ola Marcio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Pela primeira vez eu participei - POR E-MAIL'S - da elaboracao das questoes e das discussoes. Havia quase um consenso de que a prova do ano anterior ( e provavelmente de outros anos ) foi muito facil, assemelhando-se mais a um BOM exame de vestibular, tradicional, que a uma olimpiada. Eu olhei a prova passada e fiquei com a mesma impressao ... Parece que num BOM exame vestibular exige-se a DESENVOLTURA com o conhecimento; numa Olimpiada, pressupondo-se a desenvoltura, exige-se tambem - e sobretudo - a CRIATIVIDADE. Neste sentido, uma olimpiada deve exigir INTELIGENCIA e INOVACAO, nao ATIVIDADE BRACAL e APLICACAO BUROCRATICA. A sua observacao SUGERE que os objetivos da banca foram atingidos ... Eu penso que deve ser assim, doravante. Um abraco Paulo Santa Rita 4,0855,040902 From: Marcio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Gabarito da olimpíada carioca. Date: Tue, 3 Sep 2002 16:56:16 -0300 A proposito, essa prova pareceu bem mais dificil do que a do ano passado.. Como q o pessoal que fez a prova foi? O que acharam? []'s Marcio - Original Message - From: haroldo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, September 03, 2002 3:27 PM Subject: [obm-l] Gabarito da olimpíada carioca. Gostaria de ver o gabarito oficial da olimpíada carioca, realizada na PUC, dia 31/08. Pois tenho dois alunos que participaram da competição. Grato. Haroldo . _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Ola Wagner e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O conceito de simplicidade e subjetivo... mas e bonita a sua solucao !
Todavia, e bom que se diga, e uma demonstracao de existencia, nao exibindo a
cara ou forma da solucoes.
Em verdade, esse jeito foi a primeira coisa que veio a minha cabeca, mas eu
prefiri uma outra via, construtiva, porque assim eu forneceria elementos
para verificacoes posteriores, coisa que uma simples prova de existencia nao
concede ...
A respeito de equacoes nao triviais existe uma questao bonita :
Seja y=f(x) uma equacao do 5 GRAU, INCOMPLETA, isto e, na qual um ou mais
dos coeficientes da equacao geral e(sao) nulo. Em que casos ela admite uma
solucao algebrica, isto e, quando as solucoes podem ser expressas como
operacoes algebricas sobre os seus coeficientes ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1852,040902
From: Wagner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Date: Wed, 4 Sep 2002 15:33:33 -0300
Oi pra todo mundo
Muito bem Paulo você achou a resposta (o conjunto universo da equação é
C). Mas quando eu imaginei o problema eu pensei numa resposta mais
simples:
Imagine uma equação do tipo: x^(a/b)+cx^((a/b)-1)+dx((a/b)-2)+...+n=0. Em
que a e b são números inteiros e a/b é uma fração
irredutível. Se y=x^(1/b). Logo: y^(a)+cy^(a-b)+...+n=0. Logo existem a
valores complexos para y que satisfazem a equação e consequentemente, a
valores para x. Considerando pi/1 como uma fração irredutível e n o nº de
casas decimais de pi. Logo: (pi)(10^n)/(10^n) é uma fração irredutível e
portanto existem (pi)(10^n) valores de x que satisfazem: x^pi - 5^pi + 3 =
0. Como pi é um nº irracional, ele tem infinitas casas decimais e portanto
a
equação do problema possui infinitas soluções complexas.
OBS: Isso acontece com qualquer equação em que o índice a que x esta
elevado
é um nº irracional em pelo menos um de seus termos.
André T.
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, September 04, 2002 9:42 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Ola Wagner e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Eu nao entendi bem a sua questao, pois PARECE-ME que voce esta se
referindo
ao conjunto C - R. Mas nao tenho certeza. Talvez voce esteja pensando
em
X^pi - 5*[X^(pi-1)] + 3 = 0
X^pi - [5*(X^pi)]/X + 3 = 0
X^pi(1 - 5/X) = -3
X^pi = 3X/(5-X) ... (A)
X=a*[e^(Ti)] = X^pi = (a^pi)*{[e^(pi*i)]^T}
X^pi=(a^pi)*{[cos(pi)+i*sen(pi)]^T}
X^pi=(a^pi)*[(-1)^T] ... (B)
(B) em (A) :
(a^pi)*[(-1)^T]=3X/(5-X)
(a^pi)*[i^2T]=3X/(5-X)
X={[5*(a^pi)]*[i^(2T)]}/{3+[(a^pi)*[i^(2T)]]}
Variando a e T convenientemente teremos uma infinidade de numeros
que
satisfazem a equacao proposta.
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,0941,040902
From: Wagner [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] O problema das infinitas soluções
Date: Mon, 2 Sep 2002 16:34:50 -0300
Esse é o meu primeiro problema na lista
Notação:
- a^(b) = a elevado a potência b
- PI = o nº pi
Prove que a equação: x^(PI)-5x^(PI-1)+3=0. Possui infinitas soluções
complexas.
André T.
_
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[obm-l] Algoritmo Indiano
Ola Pessoal colegas desta lista ... OBM-L, Em minha ultima mensagem talvez possa ter suscitado em alguns colegas alguma expectativa - que agora sei ser injustificada - quando mencionei que varias pessoas estavam me perguntando sobre o Algoritmo para teste de primalidade descoberto por tres Matematicos Indianos. Em verdade, nao havia novidade ... apenas uma notificacao tardia por algum veiculo da imprensa que foi consultado por estas pessoas, o que as induziu a formularem as consultas. O que me resta a fazer entao e, por razoes de educacao, pedir desculpas pela eventual expectativa frustrada que eu possa ter causado e, alem disso, por razoes de etica cientifica, dizer que nao ha novidade alguma e que trata-se do mesmo Excelente Algoritmo Nao-Estocastico descoberto pelos tres Matematicos Indianos. Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 5,1845,290802 _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 1 é primo?
Ola Leonardo e demais colegas desta lista, Esta discussao e deveras interessante ... O que caracteriza um numero primo e que ele nao admite fator primo alem dele mesmo, isto e, ele e divisivel somente por si mesmo e pela unidade. Agora, supondo que 1 e primo. Entao, todo numero p, primo, e divisivel por ele mesmo e por outro primo, no caso o 1 que estamos supondo que e primo : segue que, por definicao, tem um fator primo diferente de si mesmo, logo, nao e primo ... A sequencia a, a, a, ... e uma PA ? Alguns dizem que sim, outros, que nao. Isso e importante ? Depende ... Quando introduzimos o conceito de ordem, de forma a podermos tratar outros tipos de sequencias, passamos a diferenciar entre as PA's constantes ( Ex a,a,a,...) e as outras (Ex 1,3,5, ...). Dizemos que as primeiras sao de ordem zero e, as segundas, de ordem 1. Por que fazemos isso ? Nao e essa atribuicao arbitraria ? Nao. Nao neste contexto. Na teoria das sequencias aritmeticas existe um teorema que afirma que se a1, a2, a3, ... e uma sequencia de ordem P entao (a1)^q, (a2)^q,(a3)^q, (a4)^q, ... e uma sequencia de ordem P*Q ( P e Q naturais ). Esse teorema e falso se (a,a,a,...) for uma PA de ordem 1 e verdadeiro se nos atribuirmos a esta PA a ordem zero. Assim, para que possamos voar mais alto e abordar coisas que outrora nao abordavamos, precisamos introduzir inteligentemente modificacoes naquilo que lidamos cotidianamente sem maiores implicacoes. No caso das PA's, se nos limitarmos as de ordem 1 que sao ensinadas no NIvel medio, a distincao que fizemos e irrelevante e desnecessaria. O mesmo se diga dos numeros complexos. Se nos os retirarmos, muitos teorema que apresentam bela simetria ( Ex Teorema fundamental da algebra) ficaram tortos e de enunciado muito complexo. Parece que esse SENTIMENTO DAS NECESSIDADES INTERNAS DE COERENCIA E BELEZA NA MATEMATICA tem levado a belos e importantes desenvolvimentos ... Talvez seja esta a situacao inusitada do 1. POR ENQUANTO, dizer que ele e primo ou nao nao leva a nenhuma complicacao forte e a sua verdadeira natureza e condicao, a funcao que ele deve desempenhar, quando ousarmos e mais, a ponto desta situacao dubia do 1 se tornar insustentavel ... Isso tambem e uma prova indireta de nossa imensa ignorancia acerca da verdadeira natureza dos numeros primos ... Nem falar direito sobre eles nos sabemos ... Outro fato digno de nota e com respeito aos numeros perfeitos. Um numero e perfeito se ele e igual a soma de seu divisores proprios. 6 e perfeito, pois 6=1+2+3. O que ha de especial em todos os numeros perfeitos ? Isso : a razao entre eles e a soma de seus divisores proprios e sempre 1 ( Ex : 6/(1+2+3)=1 ). Se, todavia, incluirmos todos os divisores, incluindo o proprio numero, podemos definir os numeros perfeitos assim: Um numero e perfeito se a razao entre ele e seus divisores e 1/2. Por que vamos privilegiar esta razao ? Por que nao damos um nome bonito, numero superfeito, aqueles numeros em que a razao entre eles e a soma de seus divisores sera 1/4 ? Quais sao esses numeros ?Eles sao em numero finito ? O que falar dos numeros cuja nrazao entre ele e seus divisores e p/q ? Existe uma bijecao entre esses numeros e os racionais ? Sera que com essa caracterizacao nao ficaria mais facil falar dos numeros perfeitos, inclusive ? Vamos, entao, chamar de CARACTERISTICA de um numero a razao entre ele proprio e seus divisores positivos. Os nemeros perfeitos serao aqueles de caracteristica 1/2. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] 1 é primo? Date: Tue, 27 Aug 2002 17:34:15 + From: Marcelo Roseira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] 1 é primo? Date: Tue, 27 Aug 2002 12:03:54 -0300 1 nao é primo.p é primo se divisivel por (+ou-)p sendo p diferente de 1. 1 é primo? Vi num livro uma definição que dizia que um número p é primo se é divisível por (+ou-p) e (+ou-)1. Logo 1 é primo. Correto? Grato. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 1 é primo?
Ola Carissimo Prof Nicolau e demais colegas desta lista ... OBM-L, Esta observacao do Prof Nicolau so reforca a tese de que, em verdade, nos conhecemos muito pouco sobre os numeros primos. Veja que o status do numero 1 e ad hoc, sem nenhum principio maior que nos diga o que ele e e qual a sua natureza autentica. Quando eu comecei a estudar os primos gaussianos fiquei felicissimo. De cara descobri que 5=(2-i)(2+i) e que, portanto, por este angulo, 5 nao e primo. Pensava que a balburdia ia acabar ... Ledo engano ! Afinal, em que sentido os inteiros gaussianos esclarecem melhor a natureza dos numeros primos ? O livro nao dizia ! Ninguem me respondeu ! MUDANCA DE 360 GRAUS ! Agora, neste exato momento, tem um Montao de Gente me enviando e-mail's e me perguntando como e o Algoritmo Genial que um grupo de estudantes indianos descobriram e que pesquisa maravilhosamente os numeros primos ! Parece que e uma revolucao ! Alguem sabe algo a respeito ? Foi disponibilizado algum paper ? Parece que a descoberta foi divulgada ontem. Um abraco (Vou correr atras desta noticia) Paulo Santa Rita 3,1706,270802 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 1 é primo? Date: Tue, 27 Aug 2002 16:32:47 -0300 On Tue, Aug 27, 2002 at 06:47:56PM +, Paulo Santa Rita wrote: Ola Leonardo e demais colegas desta lista, Esta discussao e deveras interessante ... Já falaram muita coisa sobre esta pergunta mas gostaria de acrescentar uma curiosidade histórica. Se você der uma olhada em tabelas de primos impressas no início do século XX o número 1 sistematicamente aparece como primo mas se você olhar em livros de teoria de números do meio para o fim do mesmo século o número 1 sistematicamente aparece como não primo. Ou seja, a definição 'usual' mudou... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Duas questões do IME.
Ola Bruno e demais
colegas desta lista...OBM-L,
1) Seja C = { C1, C2, C3, ..., C12 } uma enumeracao dos cavaleiros.
Precisamos determinar o numero de sub-conjuntos de C que tem 5 elementos e
nos quais nao existam dois elementos consecutivos.
Claramente que aqui devemos considerar C1 como consecutivo de C12.
Estas observacoes deixam evidente que trata-se de uma aplicacao imediata do
segundo lema de Kaplanski. Portanto :
g(12,5) = [12/(12-5)]*BINOM(12-5,5) = 36
2)Ao fim de uma partida e atribuido a cada clube que dela participou uma
pontuacao : 1, se ganhou; 1/2, se empatou e 0 se perdeu. A SOMA DOS PONTOS
ATRIBUIDOS E SEMPRE UM !
Isto significa que a soma dos pontos ganhos de todos os clubes e igual ao
numero de partidas disputadas. Ora, se N for a quantidade de clubes que nao
sao do Rio, N+1 e a quantidade de partidas que cada clube disputou. Como ha
N+2 clubes, o total de partidas e :
[(N+2)*(N+1)/2]
O total de pontos e : 8 + N*K. Portanto :
8+N*K = [(N+2)*(N+1)/2]
16+2N*K = N^2 + 3N + 2 = 2NK=N^2 + 3N - 14
2K = (N+3) - 14/N = 14/N = (N+3) - 2K
Qualquer que seja K ( 5/2, 7, etc ), 2K e um inteiro e (N+3) tambem. Logo,
14/N deve ser inteiro. Assim N deve pertencer ao conjunto :
{-14,-7,-2,-1,1,2,7,14}
A - Os numeros negativos sao absurdos, pois N e o numero de clubes do
campeonato que nao sao do Rio.
B - 1 ou 2 sao absurdos pois 8 foi a soma dos pontos ganhos dos clubes do
Rio.
Precisamos decidir, portanto, entre N=7 ou N=14.
N=7
Consistente ! Por que ? Porque teriamos K = 4 e N+2=9 clubes. Cada clube
jogaria 8 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do
problema no qual todos os jogos terminem empatados ...
N=14
Consistente ! Por que ? Porque teriamos K=8 e N+2=16 clubes. Cada clube
jogaria 15 partidas. IMAGINE um campeonato nos moldes do enunciado do
problema no qual cada clube de fora do Rio ganhou 8 partidas e perdeu 7,
um clube do Rio ganhou 8 partidas e perdeu 7 e o outro clube do Rio perdeu
as 15 partidas.
Segue que participaram do torneio 9 ou 16 clubes.
AFIRMACAO : Se um clube participou de um campeonato no qual jogou com cada
participante uma unica vez e ele teve, neste campeonato, D derrotas e E
empates, entao, a QUANTIDADE MAXIMA DE OUTROS CLUBES que podem ter tido uma
pontuacao igual ou superior a dele, independente da premiacao dada a
Vitorias e empates, e 2D+E, desde que este numero nao entre em conflito
com a quantidade de jogos (D+E+V).
A afirmacao acima e Verdadeira ou Falsa ?
Com os melhores votos
de paz profunda, sou
Paulo Santa Rita
1,1951,250802
Olá pessoal da lista,gostaria de uma ajuda nessas duas questões do IME.
1) 12 cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda .Cada um dos
doze cavaleiros considera seus dois vizinhos como rivais.Deseja-se formar
um grupo de 5 cavaleiros para libertar uma princesa.Nesse grupo não poderá
haver cavaleiros rivais .Determine de quantas maneiras é possível escolher
esse grupo.
2) Dois clubes do Rio de Janeiro participaram de um campeonato nacional de
futebol de salão onde cada vitória valia 1 ponto,cada empate meio ponto e
cada derrota zero ponto.Sabendo que cada participante enfrentou todos os
outros apenas uma vez,que os clubes do Rio de Janeiro totalizaram,em
conjunto, 8 pontos e que cada um dos outros clubes alcançou a mesma
quantidade k de pontos, determine a quantidade de clubes que participou do
torneio.
Um abraço,
Bruno Moss.
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[obm-l] mais que CRUEL
Ola Alexandre e demais
colegas desta lista ... OBM-L
Talvez nao seja exagero dizer que o problema a que se refere a mensagem do
Alexandre, abaixo, é mais que que CRUEL ...
Um dos discipulos de EULER propos ao seu mestre o seguinte problema :
Num poligono convexo de N lados, no qual duas diagonais quaisquer não sao
paralelas, quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de interseccoes
de diagonais se, nesta regiao exterior e tambem no interior do poligono,
nenhum ponto e intersecao de mais de duas diagonais ?
EULER nao resolveu a questao, nao obstante ter lutado durante cerca de tres
meses com ela. O discipulo resolveu, alguns meses apos, mas morreu muito
jovem e nao se tornou o Grande Matematico que todos esperavam.
Eu nao li esta historia. A pessoa que me propos a questao contou. Independe
de tudo isso, a existencia da historia e o fato do problema ser antigo sao
indicativos de sua complexidade.
A ideia que tive e muito parecida com a do Tessarolo, na mensagem abaixo.
Existem D=(N(N-3))/2 diagonais. Duas diagonais quaisquer representam um
ponto, que e a interseccao entre elas. Claramente que em um vertice mais que
uma combinacao esta representando o mesmo ponto ...
As intersecoes podem ser :
1) Um vertice ( total S1)
2) Num ponto no interior do poligono (total S2)
3) Num ponto no exterior do poligono (total S2)
Claramente que :
S1+S2+S3 = total de interseccoes !
Num vertice concorrem N-3 diagonais, isto fornece BINOM(N-3,2). Ha, porem, N
vertices. Segue que :
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2)
O numero BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2) e a soma dos pontos de interseccoes no
interior e no exterior do poligono.
Aqui, agora, entra a ideia do Tessarolo :
Uma diagonal e uma cisao nos vertices. Se { V1, V2, ..., Vn} sao os vertices
do poligono, a diagonal {V1,V5} cinde os vertices em dois subconjuntos :
{V2,V3,V4} e {V6,V7,...,Vn}. Escolhendo um ponto qualquer no primeiro
conjunto e um ponto qualquer no segundo, teremos uma interseccao com a
diagonal {V1,V3}. O total de escolhas possiveis e uma mera aplicacao do
principio multiplicativo da analise combinatoria e entao passa-se ao
somatorio.
Se o poligono tem N lados, basta se computar as diagonais que tem ate [N/2]
lados do poligono, onde [N/2] e o maior inteiro que nao supera [N/2].
Exemplo: Poligono convexo de 9 lados
Vertices : {V1,V2,...,V9}
Diagonais : {V1,V3},{V2,V4},{V3,V5}, ..., {V9,V2}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 2 lados do poligono
Diagonais : {V1,V4},{V2,V5},{V3,V6},...,{V9,V3}
Estas diagonsi tem, ao seu lado, 3 lados do poligono
Diagonais : {V1,V5},{V2,V6},{V3,V7},...,{V9,V4}
Estas diagonais tem, ao seu lado, 4 lados do poligono
como 4=[9/2]. Paramos aqui !
A diagonal {V1,V6} ja foi computada.
O calculo das somas acima e facil. O somatorio fornecera S2. Dai, usando
S2 + S3 = BINOM(D,2) - N*BINOM(N-3,2), calculamos S3. E o tio Euler descansa
em paz !
Todavia, tudo isso e burocracia e malabarismo. A ideia brilhante e genial
cabe ao Tessarolo, com sua visao de cindir os vertices em dois conjuntos. E
sem saber ele resolveu um problema que venceu o Tio Euler...
Claramente que fizemos as restricoes necessarias. Uma abordagem da
existencia de diagonais paralelas talvez fique melhor no ambiente da
Geometri Analitica, mais que no da sintetica.
Seja da um poligono convexo de N lados, com vertices
(X1,Y1),(X2,Y2),...(Xn,Yn). Que condicao(oes) devem satisfazer estes pontos
para que existam ao menos duas diagonais paralelas ? É possivel caracterizar
todos os feixes de paralelas que podem existir ?
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
6,1028,160802
From: Alexandre Tessarollo [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: CRUEL
Date: Fri, 16 Aug 2002 02:56:26 -0300
Estive fazendo umas contas e creio que posso ter chegado a uma resposta
parcial. Por uma questão de praticidade, numerei os vértices de A[0] até
A[n-1], no sentido anti-horário.
Tome o vértice A[0] e vá ligando com os outros vértices (A[1]; A[2];
...; A[n-1]). Note que cada diagonal A[0]A[i] divide o plano em dois
semi-planos. Se o polígono é convexo, podemos determinar exatamente quantos
vértices ficam em cada semi-plano.
Para quem está com a figura, é fácil ver que, dada a diagonal A[0]A[i],
todos os pontos A[j] com 0ji estão em um semi-plano e todos os pontos com
ijn estão em outro semi-plano. Qualquer diagonal com vértices em
semi-planos distintos terá uma intersecção com a diagonal A[0]A[i].
Logo, cada diagonal possui SUM[i=1, n-1]{(i-1)(n-1-i)/2}
Leia-se somatório de (i-1)(n-1-i)/2 quando i varia de 1 até n-1
Como são n diagonais, bastaria calcular n*SUM. Contudo, cada
intersecção está sendo contada duas vezes (uma para cada diagonal que a
produz). Assim, o resultado seria n*Sum/2.
Devo confessar que não terminei as contas do somatório pq estou meio
cansado, mas creio que esse seja o número de intersecções pedido. Aguardo
comentários...
PROBLEMA
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Ola Pessoal,
Eu esbocei uma solucao, que esta correta. Talvea eu tenha sido muito
sucinto. Vou, agora, ser mais prolixo :
1) Para cada coluna i, seja Y(i) a altura da pessoal mais alta que esta na
coluna i. Isto cria o conjunto : { Y(1),Y(2),...,Y(10) }
formado pelas pessoas mais altas em cada coluna.
Por Definiçao :
Y=MIN{ Y(1),Y(2),...,Y(10) }, isto é, Y e a altura do individuo mais baixo
entre os dez mais altos em cada coluna.
2) Igualmente, para cada linha j, seja X(j) a altura da pessoa mais baixa
que esta na linha j. Isto cria o conjunto :
{X(1),X(2),...,X(10)} formado pelas pessoas mais baixas em cada linha.
Por definição :
X=MAX{X(1),X(2),...,X(10)}, isto é, X e a altura do individuo mais alto
entre os dez mais baixos em cada linha.
O enunciado afirma que X é diferente de Y. Então so pode ser X Y
ou Y X. Vamos mostrar que X Y conduz a um absurdo :
3) Se X Y entao, sendo X o mais baixo em sua linha, segue necessariamente
que todos que estao na linha onde X esta sao mais altos que Y. E isto
implica que Y nao esta linha onde X esta. Por que ?
Porque se Y estivesse na linha onde X esta, Y seria o menor da linha, mas,
por definicao, o menor da linha onde X esta e o X, logo, deveriamos ter Y=X,
um absurdo, pois estamos supondo que X Y.
Vemos portanto que supor que Y esta linha que X esta conduz a um absurdo. So
resta uma possibilidade : Y esta em outra linha !
Bom, neste caso, a linha onde X esta tem, evidentemente, uma interseccao com
a coluna onde Y esta. Como, pelo que vimos em 3), todos os elementos da
linha onde X esta sao mais altos que o Y, segue a intersecao abriga uma
pessoa mais alta que Y, e isto entra em contradicao com o fato de Y ser o
mais alto de sua coluna, isto e, chegamos a um novo absurdo.
COMPUTO FINAL : Se supormos que X Y, estando Y na linha onde X esta ou
estando Y em outra linha, chegamos a um absurdo. Logo, a tese de que X Y é
insustentavel e somos obrigados a admitir que Y X.
sobre a solucao acima, o que o Prof Morgado pode dizer e que e uma solucao
correta.
Um abraco a todos
Paulo Santa Rita
4,1706,140802
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Date: Wed, 14 Aug 2002 15:51:12 -0300
Temo estar dizendo tremendas bobagens. Se estiver, sejam discretos ao
apontar meus erros.
JF
PS: O que o Morgado, o Ainda Vivo, que deve conhecer o problema, já que
corrigiu a nacionalidade e idade dele, tem a dizer disso tudo?
-Mensagem Original-
De: Pedro Antonio Santoro Salomão [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quarta-feira, 14 de Agosto de 2002 11:53
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Talvez essa seja uma solução mais rigorosa.
Para i,k no conjunto {1,2,...,10}
Seja a_ik a altura da pessoa na linha i e coluna k do tabuleiro.
Chame de X_k a altura da pessoa mais alta na coluna k.
Chame de Y_i a altura da pessoa mais baixa na linha i.
Agora observe que X_k = a_ik=Y_i para todo i,k em {1,2,...,10}
Logo X=min{X_k}=max{Y_i}=Y.
Como X é diferente de Y, então XY.
Abraço. Pedro.
***
O enunciado do problema nao diz que XY. Ele diz que os indivíduos têm
alturas diferentes. Usando sua notação, não existem duas a_ik iguais.
Por exemplo, na matriz 2x2
5, 20
10, 15
X_k={10,20} logo X=min(X_k)=10
Y_i={5,10} logo Y=max(Y_i)=10
e temos X=Y (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais altos
das
colunas é também o mais alto entre os mais baixos das linhas)
***
- Original Message -
From: Marcos Melo [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, August 14, 2002 9:01 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
JF,
No braço deu para ver um caso.
Na matriz 3 x 3.
9,2,4;
6,8,1;
3,5,7.
X=7 Y=3
Ou seja, se fosse para chutar e sabendo que X é diferente de Y,
chutaria X Y.
SDS,
Marcos Melo.
***
Mas se alterarmos um pouco sua matriz,
19, 2, 4
6, 8, 1
10, 9, 7
teremos X=min{19,9,7} e Y=max{2,1,7}
logo X=Y=7 (leia-se o indivíduo que é o mais baixo entre os mais
altos...)
(é a mesma Síndrome do menor-dos-maiores=maior-dos-menores)
***
-Mensagem Original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Terça-feira, 13 de Agosto de 2002 18:00
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Y é menor que X.
X é o mais baixo entre os 10 mais altos em suas colunas, isto é, em cada
coluna i nos encontramos Ci, o mais alto na coluna i. Isto fornece um
conjunto {C1, C2, ...,C10}. Daqui : X=min{ C1,C2, ...,C10 }
Y é o mais alto entre os 10 mais baixos em suas linhas, isto é, em cada
linha j nos encontramos Lj, o mais baixo na linha j. Isto fornece um
conjunto {L1,L2,...,L10}. Daqui : Y
[obm-l] Re: [obm-l] Tradução de Problema
Ola Duda e demais colegas desta lista ... OBM-L O que precisa ser mostrado é exatamente o que pede o enunciado do problema : as cem cartas sobre a mesa com os numeros de 1 a 100 visiveis, sem faltar nenhum deles ... Em que consiste o problema ? Nao e evidente que - INDEPENDENTE DA MANEIRA COMO OS NUMEROS FORAM GRAFADOS NOS DOIS BARALHOS - seja possivel exibir os 100 numeros, sem que haja omissao de algum numero. A parte matematica ( algoritmica )da questao consiste precisamente em mostrar que uma tal exibicao sempre é possivel. Uma parafrase do problema pode ser : Mostre como isabel pode escolher cada carta, determinando qual numero ficara por cima e qual ficara por baixo, de forma que no final da centesima escolha as faces visiveis exponham os 100 numeros naturais. Uma sintaxe adequada pode ser : Sejam A e B os baralhos. Ao escolher uma carta de um dos baralhos ( digamos, do baralho A ) teremos um par (V,I) em que V e o numero que ficara pra cima ( visicel ) e I o numero que ficara pra baixo ( invisivel ).O Mesmo vale para o baralho B. O inicio de um algoritmo pode ser : 1) Escolha a carta do baralho A onde esta o numero 1. Seja X o numero que acompanha 1 no baralho A. Colocamos a carta na forma (1,X). 2) Procure a carta do baralho B que tem o numero X. Seja Y o numero que acompanha o numero X no baralho B. Colocamos esta carta na forma (X,Y) 3) Y=1 ? Se nao, procure no baralho A ... E assim sucessivamente. Voce deve mostrar que o algoritmo descrito permite - INDEPENDENTE DA MANEIRA COMO OS NUMEROS FORAM GRAFADOS NOS DOIS BARALHOS - exibir as 100 cartas com os 100 numeros visiveis, sem que nenhum seja omitido. Eu nao parei para analisar se o algoritmo acima funciona. Estou apenas explicando o que e problematico e o que o problema requer. Muito provavelmente ha um algoritmo otimo para a questao, que e trivial. Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 4,1958,140802 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Tradução de Problema Date: Wed, 14 Aug 2002 18:15:53 -0300 Olá pessoal da lista, alguém sabe como eu devo interpretar o seguinte problema? Isabel tem dois baralhos, cada um com 50 cartas. Em cada um dos baralhos estão escritos os números de 1 a 100 (em cada carta estão escritos dois números, um em cada face da carta). Por um defeito de fabricação, a distribuição dos números nas cartas não é a mesma nos dois baralhos (por exemplo, em um dos baralhos o 1 aparece na mesma carta do 2; no outro, o 1 aparece com o 76). Mostre como Isabel deve fazer para que, ao colocar as 100 cartas sobre uma mesa, as faces voltadas para cima mostrem todos os números de 1 a 100. Eu não entendi o que precisa ser mostrado, para mim não está nada claro sob que condições ela pode colocar as cartas na mesa, alguém sabe? Valeu! Eduardo. Porto Alegre, RS. PS. caiu na obm de 2000, fase 3, níveis 1 e 2. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Questão interessante.
Y é menor que X.
X é o mais baixo entre os 10 mais altos em suas colunas, isto é, em cada
coluna i nos encontramos Ci, o mais alto na coluna i. Isto fornece um
conjunto {C1, C2, ...,C10}. Daqui : X=min{ C1,C2, ...,C10 }
Y é o mais alto entre os 10 mais baixos em suas linhas, isto é, em cada
linha j nos encontramos Lj, o mais baixo na linha j. Isto fornece um
conjunto {L1,L2,...,L10}. Daqui : Y=max{ L1,L2,...,L10 }
Como, pelo enunciado, nao pode ser Y = X , então só há duas possibilidades.
Vamos supor que :
TESE : Y X
Seja Y=Lj e X=Ci. Agora veja :
Lj Ci = O mais baixo da linha j (Lj) é mais alto que o mais alto da
coluna i = todos da linha j sao mais altos que o mais alto da coluna i =
Ci nao pode estar na linha j, pois entao ele seria o mais baixo, logo,
deveria ser igual a Lj (ABSURDO !) = na intersecao da linha j com a coluna
i ha um cara mais alto que Ci = Ci nao é o mais alto em sua coluna ...
OUTRO ABSURDO !!
A nossa tese e portanto insustentavel e somos obrigados a admitir que
Y X
From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Questão interessante.
Date: Tue, 13 Aug 2002 15:42:25 -0300
Não estou conseguindo partir. Tentando resolver no braço - afinal de
contas,
para que existem computadores? - estou achando que o mais baixo entre os
mais altos das suas colunas é também o mais alto entre os mais baixos das
suas linhas. Dá para fornecer uma um ponto de partida?
JF
-Mensagem Original-
De: Augusto Cesar de Oliveira Morgado [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: Quinta-feira, 8 de Agosto de 2002 11:06
Assunto: Re: [obm-l] Questão interessante.
Na verdade, o problema é russo e de data anterior a 1966. Mas é muito
bonito.
Morgado
Em Wed, 7 Aug 2002 22:13:01 -0300, Eduardo Casagrande Stabel
[EMAIL PROTECTED] disse:
Olá pessoal!
Compartilho com vocês esta questão que, tenho certeza, todos vão
adorar.
(Inglaterra - 1966) Cem pessoas de diferentes alturas são acomodadas
num
grande tabuleiro 10 x 10. O indivíduo X, o mais baixo dentre as 10
pessoas
mais altas em suas colunas, mede uma altura diferente do indivíduo Y,
o
mais
alto dentro as 10 pessoas mais baixas em suas linhas. Quem é mais
baixo:
X
ou Y?
Eduardo.
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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida de Combinatoria e PUTNAM
Ola Leonardo, Tudo Legal ? O problema esta mal formulado... Para ver isso, suponha N=3. Pelo enunciado do problema deveriamos formar N/2=1.5 grupos ! Um absurdo, pois neste contexto nao tem sentido falar em FRACAO DE GRUPO ! Todavia, da sua segunda pergunta ( O que Permutacao Caotica ) e possivel deduzir o que voce quer ... Tendo N-casais ( marido e mulher )de quantas maneiras diferentes pode-se formar N grupos, cada grupo com duas pessoas, de formar que em nenhum dos grupos um marido fique com sua mulher ? A solucao deste problema e uma das aplicacoes das permutacoes caoticas. Considere 3 letras, ABC, e suponha que esta disposicao inicial seja a posicao natural ( ou referencial ) de cada uma das letras : TODA PERMUTACAO DESTAS TRES LETRAS NA QUAL NENHUMA LETRA OCUPA SUA POSICAO NATURAL E DITA UMA PERMUTACAO CAOTICA. Assim, sao exemplos de permutacoes caoticas : BCA, CAB Nao sao exemplos de permutacoes caoticas : ACB ... ( pois a letra A esta na posicao natural ) CBA ... ( pois a letra B esta na posicao natural ) E importante perceber que : O conceito de permutacao caotica depende de uma permutacao considerada natural ou referencial, em relacao a qual decidimos se uma outra permutacao dada e caotica ou nao. Quem primeiro abordou as permutacoes caoticas foi Nicolau Bernoulli, que propos o problema a Euler. Este ultimo se interessou pela questao e a resolveu de uma outra forma, diferente da de Nicolau. Se chamaramos de PC(N) o numero de permutacoes caoticas de N objetos, dois a dois distintos, e possivel provar que : PC(N) = N!(1/2! - 1/3! + ... +- 1/N!) A titulo de exemplo, com 3 letras nos podemos formar : PC(3) = 3!(1/2! - 1/3!) = 3 - 1 = 2 permutacoes caoticas Bom, agora que voce sabe o que e permutacao caotica e conhece a formula com que as calculamos, voce pode resolver a reformulacao do seu problema. Imagine a disposicao : H1,H2,H3,...,Hn M1,M2,M3,...,Mn Ou seja, cada homem sobre a sua mulher, o que vamos considerar a disposicao natural ( e legal ! ). Qualquer permutacao caotica dos homens fara com que nao existe ao menos um grupo onde um homem estara sobre a sua mulher, ou seja, a formulacao correta de seu problema se resolve calculando-se o numero de permutacoes caoticas. Finalmente, e importante registrar que o nosso muito estimado Prof Morgado, membro desta lista, publicou um livro de Analise Combinatoria onde ele aborda este tema e muitos outros mais, tais como os Lemas de Kaplanski. Em minha opiniao, este livro e o que ha de melhor sobre o tema, aqui no Brasil. E acredito que todo estudante que deseja entender corretamente este tema basta estudar por este livro. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1515,010802 Em Tempo : Acabo de receber uma mensagem do Prof Jonh Scholes no qual ele me autoriza traduzir e divulgar todo o material PUTNAM. Vou fazer as traducoes e disponibilizar para todos, como material de treinamento e incentivo para as olimpiadas universitarias. From: leonardo mattos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Dúvida de Combinatoria Date: Thu, 01 Aug 2002 03:42:09 + Tendo n-casais(marido e mulher)de quantas maneiras diferentes pode-se formar n/2 grupos de tal forma q em que cada grupo contenha 2 pessoas,ou seja,não importa a ordem.Uma maneira seria [(H1,M1),(H2,M2),(H3,M3)...,(Hn,Mn)]. O que é permutação caótica? _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida de Combinatoria e PUTNAM
Ola Duda ! Tudo Legal ? Concordo ! A sua interpretacao tambem e verossimil, assim como a minha. Todavia, em Matematica nao ha jurisprudencia, logo, interpretacao e assunto de outro reino, nao do espirito matematico. Fica com Deus ! Paulo Santa Rita 5,1951,010802 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida de Combinatoria e PUTNAM Date: Thu, 1 Aug 2002 18:45:30 -0300 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Ola Leonardo, Tudo Legal ? O problema esta mal formulado... Para ver isso, suponha N=3. Pelo enunciado do problema deveriamos formar N/2=1.5 grupos ! Um absurdo, pois neste contexto nao tem sentido falar em FRACAO DE GRUPO ! Paulo, a correção mais natural é a seguinte: Tendo n-casais (marido e mulher) de quantas maneiras diferentes pode-se formar n grupos de tal forma q em que cada grupo contenha 2 pessoas,ou seja,não importa a ordem.Uma maneira seria [(H1,M1),(H2,M2),(H3,M3)...,(Hn,Mn)]. Acho que esse problema nada tem a ver com permutações caóticas. Um detalhe. Se quisermos separar as pessoas em pares (sem que sejam casais), há 2n!/[n!*2^n]. Se quisermos separar as pessoas em casais, há n! maneiras. Está certo isso? Você concorda? Duda. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] En: [obm-l] Uma questão de física
Oi Duda e demais colegas desta lista OBM-L, Oi Paulo, Não sei se entendi direto. Antes o princípio era: As leis da mecânica são validas em referenciais inerciais uns em relação aos outros. E agora vale uma versão mais forte: As leis da física são válidas em referenciais incerciais uns em relação aos outros? Correto ! Com Einstein nao so os fenomenos mecanicos, mas todos os fenomenos ( da Fisica que Einstein conhecia ! )receberam uma expressao invariante em relacao a referencias inerciais. Perceba aqui que as leis da fisica sao RELACOES ENTRE GRANDEZAS e nao GRANDEZAS. As medidas de uma grandeza pode mudar de um referencia em relacao ao outro, mas a relacao entre elas nao. Dai o enunciado fundamental do Einstein, dai tambem o fato de o calculo tensorial ser o instrumento mais adeguado para expressar as lei fisicas, pois suas expressoes sao invariantes em relacao a mujdancas de sistemas de coordenadas. Qual a diferença entre referenciais inerciais e referenciais não-inerciais? Para um referencial ser não-inercial você deve estar tomando outro ponto como referêncial inicial (e inercial), não estou certo? Correto ! Se o meu sistema inercial detecta um referencial nao-inercial entao os referencias nao podem trocar expressoes corretas sobre os fenomenos fisicos. Novamente a pergunta: qual a diferença básica entre estar fora do carro (por exemplo) que gira em torno de um ponto, e estar dentro do carro? Os dos referenciais são inerciais, se assim os definirmos. No primeiro caso, existirá a força centrípeta atuando no carro; no segundo caso, existirá (sim!) uma força atuando no indivíduo sentado no carro impulsionando-o para fora do carro (a fictícia força centrífuga). Estou precisando de algumas explicações. Nao podemos definir assim ... Se definirmos o terra como referencial inercial, faremos medidas e verificaremos que o carro acelera, retarda, faz curvas, logo, nao e inercial. Logo, nao e um local adequado para descrevermos corretamente os fenomenos que la passam : surgirao forcas ficticias, tal como a forca centrifuga. Em verdade, a terra nao e um referencial inercial, pois o seu movimento interfere nas medidas que fazemos, mas e uma influencia desprezivel para o tipo de fenomeno que estamos discutindo. Portanto, para efeitos praticos, as medidas da terra sao validas para trocarmos com outro referencial que porventura aparece na discussao. E importante fixar o seguinte : nao existe referencial absoluto, em relacao ao qual todas as medidas apresentariam seus verdadeiros valores. Neste sentido, os referencias-inerciais sao objetos indefinidos que nos permitem raciocinar com rigor sobre os demais fenomenos. Para conhecer detalhadamente as forcas ficticias, leia : Mecanica Fisica LPM Maia (Volume 2) Nao me lembro a editora Para um esclarecimento pormenorizado disso, estude por : Teoria da Relatividade Restrita David Resnick Livros Tecnicos e Cientificos OBS : E bom que voce tenha feito antes um bom curso Basico de Fisica Elementar, tipo os 4 volumes do Halliday ou os 3 volumes do Allonso Finn. Eu apenas reproduzi o que aprendi nos livros acima e em muitos outros, mas confesso que esta lei inercial nunca me convenceu deveras ... Eu sinto - mais ainda nao sei exprimir este sentimento em equacoes - que a lei inercial abriga um imenso preconceito milenar, que precisa ser ultrapassada e que o principio da equivalencia foi o primeiro passo neste sentido ... O principio da equivalencia pode ser enunciado assim : O MOVIMENTO GERA A LEI ... Estranho ? Aqui vai uma formulacao precisa : Nos nao podemos fazer nenhuma experiencia que nos permita distinguir se estamos em um campo gravitacional uniforme ou em um referencial com movimento retilineo uniformemente variado. Significa este principio que um referencial em MRUV provoca todos os fenomenos que seriam provocados por um campo gravitacional uniforme. Vale dizer que estamos trazendo para o dominio de nossa consciencia aquilo que ordinariamente atribuimos a uma entidade fisica independente do observador : a forca fisica. Isto e quase a enunciacao de um principio antropico ... Talvez exagerando um pouco, e como se disessemos : Olha, esse mundo ai fora, mundo objetivo e apenas a producao de um estado de ser de nossa consciencia... O que existe realmente somos nos, a nossa consciencia, O nosso interior... Ele e o verdadeiro referencial que pode ser medida para todas as coisas... Nos, seres humanos, somos o ALFA e o OMEGA da criacao ! Bom, eu vou ficando por aqui Um abraco Paulo Santa Rita 5,1142,110702 Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. _ Converse com seus amigos online, faça o download grátis do MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O
Re: [obm-l] Ajuda
Oi Celso, Bom, quando voce exige que seja com o conhecimento tipico de um estudante de nivel medio voce deve estar excluindo a teoria da congruencias, certo ? N = 13a + 6 5N = 7b + 6 6N = 11c + 5 Usando a primeira e segunda equacoes : 13a+6=(7b+6)/5 Usando a primeira e terceira equacoes : 13a+6=(11c+5)/6 Usando a segunda e terceira equacoes : (7b+6)/5=(11c+5)/6 Nos temos agora tres equacoes e tres incognitas : um sistema ! Bom, agora e contigo. Discuta o sistema com o teorema de Rouche. Mexe daqui, mexe dali, que a solucaon sai. Um abraco Paulo Santa Rita 5,1824,110702 From: Celso Figueiredo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Ajuda Date: Thu, 11 Jul 2002 17:38:38 -0300 Posso resolver o problema abaixo usando apenas conteudo do ensino medio? Agradeco a atencao. Determinar o menor número inteiro N positivo, tal que: 1 - quando dividido por 13 deixa resto igual a 6. 2 - 5 vezes N (5.N), quando dividido por 7, deixa resto igual a 6. 3 - 6 vezes N (6.N), quando dividido por 11, deixa resto igual a 5. _ Tenha você também um MSN Hotmail, o maior webmail do mundo: http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] En: [obm-l] Uma questão de física
Ola Carissimos Jose Francisco, Duda e demais colegas desta lista OBM-L, Estou entrando neste papo porque ... 1) E dirigido a lista. Logo, publico. Logo, todos podem opinar. 2) Tem por protagonistas duas pessoas excelentes que eu conheco. 3) Acredito que pode ser de utilidade minha mensagem. As LEIS DA FISICA sao validas em REFERENCIAIS INERCIAIS uns em relacao aos outros. O Principio acima foi estabelecido por Einstein, em sua Teoria da Relatividade. Antes, valia o Principio de Galileu : As LEIS DA MECANICA sao validas em REFERENCIAIS INERCIAIS uns em relacao aos outros. Bom, de que maneira este principio se liga a nossa discussao ? Simples : as forcas centrifugas surgem em REFERENCIAIS NAO-INERCIAIS, dai serem chamadas de FORCAS FICTICIAS ( a forca de coriolis e um outro exemplo bem conhecido ). Nao existe, pois, FORCA CENTRIFUGA. Existe FORCA CENTRIPETA ! Mas esta forca e uma forca de contexto, vale dizer, nao ha um propriedade geral da materia que crie e exerca uma tal forca. E o contexto que vai indicar quais forcas geram a FORCA CENTRIPETA. No caso de uma pedra que gira, amarrada a um barbante, atuam claramente o peso e a tracao do barbante : E O SOMATORIO DESTAS FORCAS QUE, EM CADA INSTANTE, DETERMINA A FORCA CENTRIPETA QUE JUSTIFICA O MOVIMENTO CIRCULAR. Se, de alguma forma, nos pdermos controlar a tracao no barbante de forma que a componente tangencial seja nula, o movimento sera CIRCULAR UNIFORME, isto e, tera uma velocidade vetorial de modulo constante. E meramente uma questao de comodidade quando nos afirmamos que uma forca nos puxa para fora quando estamos num carro fazendo uma curva. Tal forca nao existe. Simplesmente nos estamos num referencial acelerado (ou retardado) que nao e um local adequado para descrever os fenomenos fisicos ( Trata-se de um referencial nao inercial ). Durante muito tempo as pessoas supunham que uma forca dirigida para o centro jamais poderia manter um corpo em orbita de outro, pois, imaginavam, O CORPO DEVE CAMINHAR E SE CHOCAR COM OCENTRO DE ATRACAO ! Newton sabia disso e reiteradamente mostrava como COLOCAR UMA GRANDE PEDRA girando permanentemente em torno da terra. Em verdade, a grande pedra esta sempre caindo, SE DIRIGINDO PARA O CENTRO DE ATRACAO, apenas nunca ACHA O CHAO. Parece que Newton foi muito criticado na epoca pelos HOMENS PRATICOS E DE PODER POLITICO de entao, pois perguntavam-lhe PARA QUE SERVE SABER COMO COLOCAR UMA GRANDE PEDRA GIRANDO EM TORNO DA TERRA. Mas, infelizmente,e sempre assim, existem OS HOMENS QUE DECIDEM e os HOMENS REALMENTE DECISIVOS. E parece que a razao entre suas inteligencias de 1 para o infinito ... A forca peso jamais podera anular a centripeta, pois, neste caso, nao teriamos como justificar o movimento circular. Todavia, o peso pode se tornar a forca centripeta. E ate um problema classico determinara a velocidade minima com que devemos empurrar um carrinho sobre um trilho para que ele faca um loop que esta a sua frente. Simplesmente forcamos que no ponto mais alto do loop tenhamos a forca peso como a forca centripeta. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1201,100702 Existe mesmo essa força centrífuga dirigida para fora? Eu pensei que as únicas forças atuando sob a pedra fossem a Tração da corda e a força Peso. Bom, mas mesmo no caso de existir a força centrífuga (eu ouvi no segundo grau que essa era uma força de expressão, digo, para explicar por que numa curva temos a sensação de estarmos sendo forçados para fora, o que na verdade é só a inércia do movimento) num ponto da trajetória da pedra que não seja o mais alto nem o mais baixo, o peso vai fazer com que reste uma componente perpendicular à força centrípeta ou centrífuga, e essa força vai tender a alterar o módulo da velocidade linear da pedra, não estou certo ? Independente da força de tração na corda, jamais poderemos eliminar essa componente perpendicular, que altera o modulo da velocidade. Não é? Eduardo. _ MSN Photos é a maneira mais fácil e prática de editar e compartilhar sua fotos: http://photos.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Risch algorithm
Ola Pessoal,
Em teoria da computacao se aprende que a integracao e um processo algoritmo,
assim como a diferenciacao.
o ALGORITMO DE RISCH e um desenvolvimento do teorema de um trabalho de
Laplace que permite fazer da integracao analitica um algoritmo assim como
fazemos hoje com a diferenciacao.
Nao e um algoritmo simples, mas, em poucas palavras consiste em exprimir a
integral de uma funcao como um COMBINACAO LINEAR de LOGARITMOS. O algoritmo
propriamente dito e justamente o metodo de calcular os coeficientes desse
desenvolvimento ...
integrla Fdx = A + somatorio (Bi.LOG Ci)
Encontrar A, Bi e Ci e o algoritmo propriamente dito.
Segundo a tese de Church, a todo procedimento efetivo corresponde uma
maquina de turing. Segue que as funcoes algoritmicas sao passiveis de serem
programadas para serem executadas por um computador ( com maior ou menor
complexidade ). Sera que as atividades que nos sao proprias sao justamente
aquelas que nao sao algoritmicas ? Isto e, a nossa humanidade se revela so
em atividades nao algoritmicas ?
Parece trivial que se uma atividade pode ser feita por um homem e por uma
maquina, entao : atribua esta tarefa a maquina, pois e um a tarefa
algoritmica, logo, inferior. Mas, se for assim, o que resta ? Quasi sao os
afazeres tipicos relacionados as atividades nao-algoritmicas ? Que
tecnologia sai dai ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1952,080702
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Risch algorithm
Date: Mon, 8 Jul 2002 18:28:24 -0300
Sauda,c~oes,
Não sabia como obter f(x)=x^{x+1} do email abaixo.
Então escrevi pro prof. Rousseau novamente.
Como havia um engano na resposta dele, mando
este email somente para fazer o registro.
Para os que gostam da transformada de Laplace,
mais um exemplo do uso desta ferramenta.
Lamento a notação exótica.
===
Dear Luis:
It seems that I made a mistake. The result I get now seems
to be slightly different from the one that I quoted. The way that
I took may be the long way around, but this is how I proceeded.
Start with the Laplace transform of t^n:
\int_0^{\infty} t^n e^{-st} dt = n!/s^{n+1}.
Replace n by n-1 and set s = n+1. Thus
\int_0^{\infty} t^{n-1} e^{-(n+1)t} dt = \frac{(n-1)!}{(n+1)^n}.
Thus (formally) the series in question is given by
1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^n}
= 1 + \int_0^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(t e^{-t})^{n-1}}{(n-1)!}
e^{-2t} dt = 1 + \int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-2t} dt.
Now set u = e^{-t} so the integral becomes
\int_0^{\infty} exp(t exp(-t)) e^{-t} dt = \int_1^0 \frac{1}{u^u} u (-du)
= \int_0^1 \frac{u du}{u^{u}}.
Thus the sum of the series is
1 + \int_0^1 \frac{u du}{u^u}.
This checks numerically using Maple. It follows that there is an exact
formula for the sum of the series if and only if there is one for the
integral. I'll stick by my conviction that this is highly unlikely. I
haven't done it, but I believe that the Risch algorithm will show that the
antiderivative of u/u^u is not an elementary function. This doesn't
complete the story since there are definite integrals that one can
evaluate even though you can't express the indefinite integral as
an elementary function (for example \int_0^{\infty} exp(-x^2) dx).
Cheers,
Cecil
===
[]'s
Luis
===
As for the other question, I would be exceedingly surprised if
the series in question has closed form sum. Of course, one can
re-express the series sum as an integral; a quick calculation gives
\int_0^1 x^{x+1} dx,
and I am confident that one prove (using the Risch algorithm) that
x^{x+1} has no antiderivative in elementary terms. While this
doesn't completely settle the issue, it comes close.
===
Para registrar, o problema 2 era
2) Calcule S = 1 / (1+n)^n =
= 1 + 1/2 + 1/3^2 + 1/4^3 +
Agora uma pergunta: alguém conhece esse algoritmo
de Risch? Nunca ouvi falar disso. E então aquela outra
soma que apareceu por aqui - S = \sum 1 / n^n -
recentemente deve ter o mesmo tratamento e conclusão:
nada de forma fechada.
[]'s
Luís
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Re: [obm-l] Um Algoritmo Legal
Ola Duda, Tudo Legal ? A sua solucao e um otimo PRANAYAMA. Todavia, antes do otimo PRANAYAMA e necessario que se faca corretamente o ASANA ... Quero dizer que quanto voce diz : Construa uma outra matriz X NxP com um 1 na mesma posição onde a minhoca está e 0 em todas as outras posições, e uma matriz Y NxP toda zerada. Voce esta implicitamente pressupondo que a posicao da minhoca e um dos dados de entrada, o que nao esta correto. Em verdade, na lista italiana onde o problema foi originalmente proposto, o enfoque era justamente descobrir uma forma diferente e inteligente de encontrar a minhoca, pois partindo-se da posicao dela ha algoritmos inteligentes e otimos de se encontrar o menor caminho de saida. Assim, a parte de maior interesse e justamente o que voce nao fez : Encontre uma forma inteligente - tao rapida quanto possivel - de encontrar a posicao inicial da minhoca. A imensa maioria das solucoes usavam grafos e pesquisa em largura, dando pouca atencao ao problema de se encontrar a posicao da minhoca. Era previsivel. Todavia, o autor do problema escreve claramente : O algoritmo e de IA. Pelo pouco que conheco de IA, nao ha uma unica padronizacao nesta area ... vigoram aqui a criatividade e a imaginacao. Essa area e a Teoria da Computacao sao realmente bonitas e acredito que devem despertar o interesse de qualquer Matematico. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1239,050702 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Um Algoritmo Legal Date: Thu, 4 Jul 2002 19:57:14 -0300 Oi Paulo, talvez não seja o melhor algoritmo, mas uma idéia simples é a seguinte: * Construa uma outra matriz X NxP com um 1 na mesma posição onde a minhoca está e 0 em todas as outras posições, e uma matriz Y NxP toda zerada. INICIO Para cada 1 presente na matriz X verifique na vizinhança dos elementos de LAB onde existe 1 e marque esses elementos na matriz Y (NxP). (A matriz Y marca todos os movimentos possíveis, sem morte, da minhoca nesta rodada) Acrescente à X os elementos de Y que são 1 e que em X eram 0. Se as matrizes X e Y forem iguais o programa terminha e devolve 0. Se a matriz X tiver algum elemento em sua borda igual a 1 então o programa termina e devolve o número de vezes que executou INICIO. Zere a matriz Y e repita o procedimento desde INICIO. * Por que o programa funciona? No caso de Y e X serem iguais, é claro que todo movimento a partir das casas com 1 em X só levam a casas que já eram 1 em X, portanto não se pode fugir das casas de X, e portanto se está preso no labirinto. No caso de haver uma saída do labirinto, na vez K que passamos em INICIO Y mostra todas as possibilidades de a minhoca estar após o K movimentos, TODAS as possibilidades, inclusive os K primeiros movimentos do caminho ideal (que faz sair do labirinto na quantidade mínima de movimentos). Segue que se for possível sair do labirinto em K movimentos, na K-ésima vez que passamos por INICIO a matriz vai incluir um 1 na borda. Está bom? Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Ola Pessoal, Segue abaixo a traducao de um problema de computacao que recebi de outra lista e que achei interessante e digno de figurar nesta nostra lista OBM-L. O Algoritmo e de IA. Uma minhoca esta em uma celula de um labirinto quadriculado NxP ( N linhas, P colunas ). Ela almeja sair do labirinto. Todavia, sabe-se que nalgumas celulas ha brasa, noutras, terra. A minhoca se movimenta como o rei em um tabuleiro de xadrex. Os dados de entrada sao : N ,P e LAB(N,P). LAB(N,P) uma matriz da forma : 0 (zero) - casa com brasa 1 (um) - casa com terra 2 (dois) - a minhoca Exemplo : 101010101010 001100110001 21011011 10011101 1000 O programa ( function ) deve devolver : 1) 0 ( zero ) se nao houver um caminho de saida 2) N ( numero inteiro positivo ) se houver. Neste caso N e o menor numero de passos que a minhoca deve dar para sair do labirinto sem se queimar. O programa pode estar em qualquer linguagem padrao ou em pseudo-codigo. OBS : O tempo de resposta ( inteligencia do algoritmo ) sera o principal fator na classifucacao final dos algoritmos. Um Abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1709,040702 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED
[obm-l] Re: [obm-l] questões básicas
Carissimo Jose Francisco, Tudo Legal ? 1) Nao existe diferencas entre POSTULADO E AXIOMA. Os dois sao fatos que admitimos como evidentes e que, em determinado sistema formal, nao e passivel de demonstracao. E interessante registrar que aquilo que e AXIOMA ou POSTULADO em um sistema pode se tornar um TEOREMA em outro. A titulo de exemplificacao, considere os AXIOMAS de PEANO para a teoria do numeros. Em determinados sistemas eles sao AXIOMAS, em outros, TEOREMAS. Historicamente, Euclides fazia ou ntendia a fazer uma diferenca entre POSTULADO E AXIOMA. Postulado era a verdade matematica evidente que nao precisava de demonstracao ( Ex : Por um ponto fora de uma reta dada so e possivel tracar uma unica reta paralela a reta dada ). Axioma era o PRINCIPIO DE PENSAMENTO evidente que nao precisava de demonstracao ( Ex : o todo e maior que qualquer de suas partes ) A diferenca que Euclides ensaiou adotar nao vingou e, em verdade, era um preludio das ligacoes da Matematica com a logica, coisa que ele nao tinha como abordar. 2) Em essencia nao ha diferenca : ambos sao afirmacoes sobre os objetos do sistema que precisam ser demonstradas. Todavia, na pratica, usa-se lema para designar uma VERDADE MENOR que prepara ou antecede a demonstracao de uma verdade maior ou mais importante. Neste sentido, tomando um TEOREMA PRINCIPAL como origem conceitual, podemos dizer que o LEMA esta para o TEOREMA assim como o TEOREMA esta para o COROLARIO ( Nome bonito, nao ? Ainda vou ter um cachorro com esse nome )Um COROLARIO e uma consequencia direta e imediata do teorema, de demonstracao facil e que, sempre, vem apos o teorema. 3) DEPENDE ... Para a teoria dos numeros e um postulado ou axioma. Para a logica-matematica um teorema, para algumas construcoes um objeto. 4) Todas as quatro sao ramos da matematica. Ramos que se interpenetram e se influenciam. Talvez a topologia seja a mais fundamental de todas... Tao fundamental que so agora a gente comeca a entender como usar os argumentos topologicos de forma produtiva. NAO HA DEFINICAO FORMAL DE QUALQUER RAMO DA MATEMATICA ... Quer saber o que ele e ? Estude-o. Pratique-o. viva-o ! Existe uma enormidade de outros ramos ! 5)Sim, existe. Em Matematica isso sao os objetos indefinidos. Por exemplo : na geometria, ponto, reta e plano. Na teoria dos conjuntos, o conceito de conjunto, na aritmetica, o conceito de numero. Vale destacar o seguinte : Num sistema formal nos temos os objetos indefinidos e as regras de construcao, com as quais podemos construir LEGALMENTE novos objetos. E como os POSTULADOS E AXIOMAS, que precisam ser manipulados PELAS REGRAS DE INFERENCIA para que possamos provar os teoremas. ABRE PARENTESES : Todas as suas interrogacoes se prendem ao ramo da Matematica chamado de Logica-Matematica. Um bom livro sobre este tema e : O Teorema de Godel e a Hipotese do Continuo Fundacao Calouste Gulbekian Compilacao de Manoel Lourenco E interessante ressaltar que a percepcao de um objeto ou de uma propriedade e uma atividade dinamica do intelecto ... A pessoa percebe os objetos e sente as leis, assim como vemos os objetos do mundo fisico e suas leis reciprocas. As provas e formalizacoes sao etapas posteriores do processo criativo. A titulo de exemplificacao, Riemann, na dissertacao que lhe assegurou uma Catedra em Gottingen ( e que tinha Gauss com ouvinte ) enunciou varias leis e definiu vagamente varios objetos, sem apresentar uma unica prova ou definir formalmente qualquer dos objeto... Zero pra ele ? Nao ... Dez ! A conferencia em foco e considerada por muitos como a mais bela e importacao prelecao que ja ocorreu em toda a historia da Matematica. E ele ganhou a catedra em Gotingen ! Imagina se ao inves de ser Gauss ou seus amigos que estavam assistindo a prelecao fossem algum formalista ou Prof Pitonisa que, EM NOME DA MATEMATICA ( Que ironia ... ), so aceita aquilo que esta bonitinho prontinho, de terno e gravata, provado nos minimos detalhes ! Oh ! Sorvei, olhos meus, o que vos der a vida ... A copiosa beleza no Universo Difundida ! FECHA PARENTESES Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1739,070702 From: Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] questões básicas Date: Mon, 1 Jul 2002 15:35:07 -0300 Aproveitando que ontem e hoje foram discutidas questões básicas neste forum, coloco algumas perguntas. 1. Qual a diferença entre um postulado e um axioma? Se esta pergunta equivale a qual a diferença entre um periquito e uma banana, isto é, se são duas coisas totalmente diferentes, então qual a definição de postulado e de axioma? 2. Qual a diferença entre um lema e um teorema? Idem. 3. O que é 1 + 1 = 2? Uma definição, uma propriedade, um axioma? Se a resposta for um axioma, como é que os matemáticos viviam antes de ele ser proposto? 4. Aritmética, álgebra, geometria, topologia são considerados ramos da matemática? Qual a definição formal de cada
Re: [obm-l] Ajuda - Limite....
Oi Fernando e demais colegas desta lista, Voce ja passou pela solucao diversas vezes, apenas nao percebeu isso. Os limites abaixo sao para X tendendo a zero pela direita : y=x^(tg(x^2)) = Ln(y)=tg(x^2)*ln(x) LIM Ln(y)=LIM [tg(x^2)*Ln(x)]=LIM[ Ln(x)/(1/tg(x^2)) ]= LIM Ln(y) = LIM[Ln(x)/cotg(x^2)] indeterminacao da forma INF/INF. Aplicando L'Hopital : LIM Ln(y)=LIM[ (1/x)/(-2x*cosec^2(x^2)) ] LIM Ln(y)=-LIM [(sen^2(x^2))/(2*(x^2)) ] LIM Ln(y)=-(1/2)LIM[(sen^2(x^2))/(x^2) ] indeterminacao da forma 0/0. Aplicando L'Hopital : LIM Ln(y)=-(1/2)LIM[(2*sen(x^2)*cos(x^2).2x)/(2x)] LIM Ln(y)=-LIM[sen(x^2)*cos(x^2)]=-LIM(sen(x^2))*LIM(cos(x^2)) LIM Ln(y) = -0*1 = 0 Ln LIM(y)=0 = LIM(y)= e^0 = LIM(y)=1 Ja que voce gosta de limites, fica a questao : Calcule : LIM [(arcsen(x)/x)^(1/x^2)] quando x - 0 Nota : a resposta nao e raiz quadrada de e. Um abraco Paulo Santa Rita 5,1035,270602 From: Fernando Henrique Ferraz P. da Rosa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Ajuda - Limite Date: Wed, 26 Jun 2002 22:25:58 -0300 Estou tentando resolver esse limite faz tempo mas não está saindo de jeito algum.. É o seguinte: lim [x - 0+] x^(tan(x²)). Meus esboços: x - 0... tan(x²) - 0 temos 0^0... Colocando na forma exponencial: (exp(y) = e^(y)): x^tan(x²) = exp(ln(x^tan(x²)) = exp(tan(x²).ln(x)). Ficamos então com o seguinte limite: lim [x- 0+] tan(x²).ln(x). tan(x²) - 0 ln(x) - -infinito Temos entao 0.-infinito.. indeterminação... 'Transformando' isso numa fração para poder usarmos L'Hospital: a) Fazendo tan(x²).ln(x) = ln(x)/(1/tan(x²)) lim [x- 0+] ln(x)/(1/tan(x²)) ln(x) - -infinito 1/tan(x²)) = cotg(x²) - infinito infinito/infinito outra indeterminacao.. aplicando L'Hospital: lim [x- 0+] ln(x)/cotg(x²) = lim [x-0+] (1/x)/-2x.cossec²(x²) = lim [x- 0+] 1/(-2x²cossec²(x²)) Agora temos -2x² - 0 e cossec²(x²) - infinito... 0.infinito.. mais uma indeterminacao 1/0.infinito.. Nao podemos mais aplicar L'Hospital e sei la como sair daqui... b) Outra opcao serial fazer tan(x²).ln(x) = tan(x²)/(1/ln(x)), dai: lim [x-0+] tan(x²)/(1/ln(x)).. dai temos tan(x²) - 0 1/ln(x) - 0 0/0, indeterminação, aplicamos L'Hospital: lim [x-0+] tan(x²)/(1/ln(x)) = lim [x-0+] 2x.sec²(x²)/(-1/ln²(x).x) = lim [x-0+] 2x².sec²(x²).ln²(x).x 2x² - 0 sec²x² - 1 ln²(x) - infinito x - 0... 0.1.0.infinito.. epa.. outra indeterminação... c)... já esgotei todas as idéias que me vieram e ainda não consegui sair disso.. alguem tem alguma luz? BTW... a resposta é 1.. Então esse limite (lim [x- 0+] tan(x²).ln(x)) tem que dar 0. As long as a branch of science offers an abundance of problems, so long it is alive. David Hilbert. - []'s Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa [EMAIL PROTECTED] Estatística USP [ http://www.linux.ime.usp.br/~feferraz ] --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.371 / Virus Database: 206 - Release Date: 6/13/2002 _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Limites?!?!
Ola Igor e demais colegas desta lista, 1)Voce pode obter como resposta ao calculo de um limite um valor complexo, sem problemas. Basicamente tudo que voce viu valer no dominio real vai valer no dominio dos complexos, com pequenas variacoes. Um bom livro sobre este assunto e : Funcoes de uma variavel complexa Alcides Lins Neto Projeto Euclides - IMPA 2)Voce so pode aplicar a regra de L'Hopital para levantar uma indeterminacao se ela for do tipo 0/0 ou INF/INF. Todavia, muitas outras indeterminacoes que nao se enquadram nesta categoria podem ser reduzidas a elas por uma manipulacam elementar . Exemplo : LIM F(X)*G(X) e tipo 0*INF Voce coloca : LIM [ (1/(1/F(X)))*G(X)] e fica tipo INF/INF Se voce colocar LIM [ F(X)*(1/(1/G(X)))] fica 0/0 Nos dois casos acima, apos a manipulacao elementar, voce pode aplicar a regra de L´Hopital. No livro : Exercicios de Analise Matematica Demidovitch Editora Mir Voce encontra os artificios basicos para lidar com todas as formas basicas de indeterminacao, com exececao do caso : 3) A regra de L´hopital nao e uma panaceia universal ... Ela apenas diz que dois limites tem o mesmo valor, mas pode ser que a razao entre as derivadas seja muito mais complexo e trabalhoso que um artificio inteligente. Exemplo : Calcule : LIM [(A^X - X*Ln(A))/(B^X - X*Ln(B))] Quando X-0. Ln(A) e o logaritmo neperiano de A. Se LIM F(X)/G(X) = 1 e F(X) e G(X) tendem a zero, dizemos que eles sao infesimos equivalentes. Em uma expressao onde ha infinitesimos, eles podem ser trocados que o valor do limite nao se altera. Muitos limites Muito dificeis sao desta natureza : Calcular limites e mais uma arte que uma ciencia. As vezes o caminho mais obvio complica tanto que e mais facil usar um artificio. Exemplo : Calcular o limite : LIM(X-0) [(ARCTG(X)/X)^(1/(X^2))] Para o seu caso talvez seja interessante voce saber que : LIM [((1+X)^A - 1)/X ] = A Quando X tende a zero Alias, os tres exemplos acima sao exercicios interessantes ... Um abraco Paulo Santa Rita 7,1804,010602 From: Igor Castro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Limites?!?! Date: Fri, 31 May 2002 22:59:12 -0300 Olá colegas da lista, estou iniciando ainda neste assunto mas alguém poderia dar uma ajuda neste limite? LIM [sqrt(x+2) + sqrt(x)] / x x- -1 não consigo fugir da indeterminação ou de uma resposta com i(é valido para respostas de limite?) ou talvez o limite nem exista... deixo a analise para vcs.. : ) agradeço desde já... []'s _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais Informacoes sobre o Teorema de Riemann
Carissimo Salomao, Nao, nao conheco o artigo. Mas com certeza vou correndo procura-lo e passar o feriado estudando-o em detalhes. E crucial que eu compile tudo sobre esse tema pois percebi algo maravilhoso que nao consigo mostrar por causa de minhas deficiencias ou porque o que eu preciso ainda nao existe. Muitissimo obrigado ! Que esta luz, Deus lhe retriua em dobro ! Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 4,1616,290502 From: [EMAIL PROTECTED] (Luiz Alberto Duran Salomao) Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Mais Informacoes sobre o Teorema de Riemann Date: Wed, 29 May 2002 15:50:20 -0300 Caro Paulo Santa Rita: No ultimo numero da revista Matematica Universitaria - SBM, saiu um artigo intitulado Series Incondicionalmente Convergentes: de Dirichlet a Dvoretzki-Rogers que talvez lhe interesse. Voce jah o conhece ? Um abraco a todos, Luiz Alberto Paulo Santa Rita wrote: Ola Pessoal, Eu estou precisando de mais informacoes sobre o TEOREMA DE RIEMANN acerca das series condicionalmente convergentes. O que todos os livros de Analise que eu conheco ( e sao muitos ! ) falam e insuficiente para os meus propositos : eles tao somente enunciam o teorema e mostram aplicacoes e exemplos elementares e/ou classicos, deixando em aberto uma enormidade de perguntas consistentes que podem ser feitas. Sera que alguem conhece algum estudo mais aprofundado sobre este Teorema, tal como um artigo ou uma Tese de Mestrado ou de Doutorado ? O Teorema de Riemann ao qual me refiro e aquele que diz que uma serie condicionalmente convergente pode divergir ou assumir um valor qualquer atraves de um rearranjo dos seus termos. Desde ja agradeco qualquer ajuda Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 3,1255,280502 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Analise Combinatoria
Ola Pessoal,
Em muitos problemas de Analise Combinatoria, como no caso abaixo, o
enunciado faz algumas restricoes. Um caminho natural e que, quase sempre,
conduz a uma solucao satisfatoria e considerar as restricoes
e conta-las separadamente ...
O total de comissoes com 3 alunos e : BINOM(N,3).
Desse total temos que retirar as restricoes. Vamos conta-las :
1) tres numeros consecutivos :
{1,2,3},{2,3,4}, ..., {N-2,N-1,N}
Evidentemente, N-2 casos
SUBTOTAL1 : (N-2) casos
2) dois numeros consecutivos :
{1,2) + Um escolhido entre {4,5,...,N} = N-3 casos
{N-1,N} + Um escolhido entre {1,2,...,N-3) = N-3 casos
SUBTOTAL2 : 2(N-3) casos
Pares : {2,3},{3,4},...,{N-2,N-1} - (N-3) pares
Para cada um desses pares podemos escolher um terceiro numero de N-4
maneiras. Logo : (N-3)(N-4) pares
SUBTOTAL3 : (N-3)(N-4)
CALCULO FINAL :
T=BINOM(N,3) - [ SUBTOTAL1 + SUBTOTAL2 + SUBTOTAL3 ]
T=BINOM(N,3) - [(N-2)^2]
T=[N(N-1)(N-2)/6] - [(N-2)^2]=((N-2)(N-3)(N-4))/6
UMA OUTRA FORMA DE FAZER :
Seja a equacao : X+Y+Z=N. Sem duvida que voce sabe calcular o numero de
solucoes inteiras nao negativas desta equacao, pois este problema basico e
abordado em todo livro de Analise Combinatoria.
Para obter as solucoes positivas, faca :
X=X'+1 ; Y=Y'+1 e Z=Z'+1
E resolva : X'+Y'+Z'=N-3. Se voce considerar que uma solucao de uma tal
equacao e apenas uma forma de separa N-3 esferas por duas barras, a cada
colucao inteira positiva corresponde uma forma de escolher duas pessoas nao
consecutivas.
Exemplo ( vou considerar |=Barra, A=unidade e N-3=5 )
A solucao (1,2,2) correspode a A | AA | AA isto significaria escolher a
segundo e o 5 aluno; AA|AA|A=(2,2,1) equivale a escolher o 3 e o 6 aluno;
A|AAA|A=(1,3,1) equivale a escolher o 2 e o 6 aluno e assim sucessivamente.
Ha, portanto, uma funcao entre as solucoes inteiras positivas da equacao e
as escolhas que voce pode fazer. E so pensar com calma que a solucao sai por
aqui facil. Os detalhes voce completa
UMA OUTRA SOLUCAO ? :
Procure se informar sobre os lemas de Kaplanski. No livro de Analise
Combinatoria do Prof Morgado ha tudo isso e muito mais. Este livro, em minha
opiniao, e o que ha de melhor no Brasil nesta area e vai te dar uma base
para voce ser bem sucedido em qualquer vestibular que exija tal tema.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1521,270502
Considere uma turma com n alunos ,numerados de 1 a n.
Deseja-se organizar uma comissao de 3 alunos.De quantas maneiras pode ser
formada esta comissao,de modo que nao facam parte da mesma dois ou tres
alunosdesignados por numeros consecutivos ?
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda, Parece que agora, realmente, estamos fazendo jus ao titulo da lista : lista de DISCUSSAO de problemas de Matematica. Varias inteligencias pensando produzem muito mais que uma. A linguagem e um problema e fica dificil voce exprimir com precisao as coisas. Voce pensa que passou bem uma ideia e ai alguem, com toda justica, entende outra. O ideal seria que as pessoas se comunicassem pelo pensamento. Bom, vamos la. O que voce diz ai embaixo e precisamente o que eu falei ... Quando eu coloquei : RAIZ_N[ (A+B)/2 ] (RAIZ_N(A)+RAIZ_N(B))/2 DISSE ( ou penso que disse ! ) que o lado direito da desigualdade pode ser trabalhado para aparecer a media ponderada que eu havia falado no passo anterior e que dai e que vai surgir a contradicao, pois o fato das tres raizes estarem em PA implica que a raiz do meio deve, obrigatoriamente, ser uma media ponderada das raizes dos extremos. Sejam A e B dois numeros naturais com B A+1. tomando um natural qualquer C tal que A C B e sempre possivel exprimir C como uma media poderada entre A e B. Seja C=A+i [A*(B-A-i)+ B*i]/(B-A)=[(A+i)(B-A)]/(B-A)=A+i=C A primeira razao e uma media ponderada entre A e B. POR ESSA RAZAO EU DISSE QUE ERA POSSIVEL TRABALHAR A DEFINICAO HABITUAL DE CONVEXIDADE DE FORMA A APARECER A MEDIA PONDERADA, ou seja, EU FALEI EXATAMENTE O QUE VOCE OBSERVOU. A ideia imediata de quem olha uma primeira vez e trabalhar com : Existe p e q tais que p+q=T-R e RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) ? Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 07:51:21 -0300 Caro amigo Paulo, Mas repare que nenhum desses tres pontos pertence ao gráfico da função contínua f(x) = R_n(x). Os pontos que pertencem ao gráfico são os seguintes: (a, R_n(a)), (b, R_n(b)) e (c, R_n(c)) Ou ainda (a, X + Y*R), (b, X + Y*S) e (c, X + Y*T) E esses três pontos não precisam estar sobre uma reta. Por que os a, b e c não pertencem a uma mesma progressão aritmética, pelo menos isso você não demonstrou. _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Querido Duda ... Querido nao, que isso e coisa de boiola ! Caro Duda, Mas de forma alguma eu ficaria chateado com voce ou com qualquer outra pessoa que porventura mostrasse uma falha ou varias falhas em meus raciocinios, pois se ate os Grandes Prof's desta lista falham e comentem erros, quanto mais eu, um simples estudante ainda lutando para aprender alguma coisa... Em verdade, so nao cometem erros e nao tem duvidas DEUS E OS IMBECIS. Como nao sou uma coisa e nem outra, eu cometi, cometo e cometerei muitos erros : e gostam de mim aqueles que me alertam para que eu me corrija ! Francamente, nao sou castelinho de areia ou estrelinha de papel que a qualquer toque (critica) se desmancha e fica emburradinho no canto guardando rancor. Sem essas viadagens e frescuras vou procurando ser util ao ideal olimpico. Para que essa mensagem nao fique fora de escopo, apresento um problema bacaninho que vi em um cartaz : NUM TRIANGULO ABC, AB=5 e BC=6. QUAL A AREA DO TRIANGULO ABC SE O ANGULO C E MAXIMO ? OBS : O problema e de nivel medio. Portanto, nao vale usar derivadas ou qualquer outro teorema ou raciocinio do CALCULO. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 5,1425,230502 PS : Po, Duda. Essa de acordar de manha, caminhando pra la e pra ca retorcendo o bigode foi genial. To rindo ate agora ! From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Mas e isso justamente o que estamos pressupondo que acontece e que queremos mostrar que conduz a uma contradicao, respeitadas as condicoes do problema. Entao, vamos admitir isso e trabalhar com as propriedadeS de Y=RAIZ_N(X). Essa foi a proposta de trabalho. Eu vou pensar um pouco mais sobre a questao e depois escrevo. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1156,230502 Caro amigo Paulo, eu nao acordo todas as manhãs, torcendo o meu bigode, e maquinando para tentar destruir as tuas demonstrações. Eu apenas tinha achado, precipitadamente, que voce tinha achado que ja tinha apresentado uma solução completa para a questão. Erro meu. Você estava apresentando uma idéia que poderia levar a uma solução. Mas sei que você deve entender perfeitamente o meu mal entendido. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. PS. eu não possuo bigode. PS2. acho que essa mensagem bate o recorde de Re's concecutivos da lista :) Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] A Intuicao Matematica
idade. E esse emocional que gera a intuicao ! Um abraco Paulo Santa Rita 5,1608,230502 EM TEMPO : Ia esquecendo. O nome do Genial Matematico : Mauricio Matos Peixoto. Pesquisador Emerito do IMPA. From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal) Date: Thu, 23 May 2002 13:16:33 -0300 Só para não ficar completamente sem matemática, vai aí uma questão: como funciona a intuição matemática? Por que a mente de muitas pessoas conseguem enunciar conjecturas complicadas sem saber demonstrá-las? De onde vem essa matemática fantasma ? _ O MSN Photos é o modo mais fácil de compartilhar e imprimir suas fotos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Raizes cubicas em P.A.
Ola Prof Ralph, Que tal? Em minha opiniao, muito bom ! As restricoes em relacao ao problema original que nos estavamos discutindo sao : 1) No problema original as raizes sao N-esimas. O Sr restringiu a raizes cubicas. 2) No problemas original as raizes N-esimas devem ser termos de uma mesma PA. O Sr restringiu a TERMOS CONSECUTIVOS de uma mesma PA. Bom, mas e evidentemente melhor dar pequenos passos viaveis, um por vez, que querer dar um grande passo inviavel de uma vez ... Que tal considerar agora o problema : Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em UMA P.A. Um Abracao Paulo Santa Rita 5,1916,230502 From: Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: '[EMAIL PROTECTED]' [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Raizes cubicas em P.A. Date: Thu, 23 May 2002 18:21:12 -0300 Problema: Mostre que, se a, b e c são primos entre si (não todos cubos perfeitos), então suas raízes cúbicas não estão em P.A. Solução: Suponha que, de fato, que as raizes cubicas (vou chama-las de x, y e z repectivamente) estao em P.A.: 2y=x+z Entao: 8y^3=x^3+z^3+3xz(x+z)=x^3+z^3+3xz(2y) (8b-a-c)/6 = xyz [(8b-a-c)/6]^3=abc Como o lado esquerdo é um racional ao cubo e o lado direito é um inteiro, concluímos que ambos são um cubo perfeito. Como a,b e c são primos entre si e abc é cubo perfeito, cada um deles (a,b e c) tem de ser cubo perfeito, contradizendo o enunciado. Abraço, Ralph Que tal? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Correçao:Apelo: Mais da Iberoamericana(questao pessoal)
Grande Duda ! E ai maluco, tudo blz ? Realmente, eu nao recebi a mensagem do Fabio a que voce se refere. Aqui onde estou ha uma preocupacao muito grande com seguranca, mas o sub-sistema que cuida disso ta meio doido e as vezes passa sistematicamente a bloquear certas mensagens, que ele identifica por letras contidas no nome da pessoa que envia. Ele vai ser trocado, mas, ate la, sou obrigado a conviver com isso. O problema surgiu com o nosso colega Dirichlet, que perguntou : E POSSIVEL QUE AS RAIZES CUBICAS DE TRES NUMEROS PRIMOS, DOIS A DOIS DISTINTOS, SEJAM TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA ? Eu conjecturei algo mais amplo, a saber : SE A, B e C SAO NATURAIS, DOIS A DOIS DISTINTOS, NENHUM DELES POTENCIA N-ESIMA DE OUTRO NATURAL, ENTAO ELES NAO PODEM SER TERMOS DE UMA MESMA PROGRESSAO ARITMETICA. Claramente que a prova do fato acima responde a pergunta do Dirichlet. PRIMEIRO PASSO DA IDEIA Sem perda de generalidade podemos supor A B C. Evidentemente : RAIZ_N(A) RAIZ_N(B) RAIZ_N(C). Dizer que essas raizes sao termos de uma mesma PA significa dizer que existem naturais R, S e T tais que : X + YR = RAIZ_N(A) X + YS = RAIZ_N(B) X + YT = RAIZ_N(C) Para algum par (X,Y) de numeros reais ( que serao, respectivamente : X=primeiro termo da PA, Y=razao da PA ) Veja que eu nao estou impondo que R, S e T estejam em PA. Nao estou impondo tambem uma ordem qualquer sobre eles, isto e, nao estou impondo que, por exemplo, R S T. O certo e que haverao os ponto (R,RAIZ_N(A)) e (T,RAIZ_N(C)). Como a funcao X + Y*N - X e Y reais fixos e N percorrendo os naturais - e linear, se Y o ela sera crescente e, obrigatoriamente, R S T. Se Y 0 ela sera decrescente e R S T. Nos dois casos, a RAIZ_N(B) sera a ordenada de um ponto interior ao intervalo de extremos R e T. Vamos supor doravante, sem perda de generalidade, que R T. Queremos, pois, saber se pode existir um natural Z do conjunto R+1, R+2, ..., T-2,T-1 tal que X + YZ = RAIZ_N(B). SEGUNDO PASSO DA IDEIA. Imagine que voce esta no ponto (R,RAIZ_N(A)). Qual sera a ordenada do ponto que esta sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)) e que tem abscissa R+1 ? sera : RAIZ_N(A) + (RAIZ_N(C)-RAIZ_N(A))/(T-R) = [RAIZ_N(A)*(T-R-1) + RAIZ_N(C)]/(T-R) Se fosse no ponto de abscissa R+2, seria : [RAIZ_N(A)*(T-R-2) + 2RAIZ_N(C)]/(T-R) Os pesos sao sempre da forma : T-R-i e i, isto e, nos estamos diante de uma media ponderada da forma : (p*RAIZ_N(A)+ q*RAIZ_N(C))/(p+q) com p e q naturais e p+q=T-R. Essa e a forma das ordenadas dos pontos sobre a reta que liga (R,RAIZ_N(A)) a (T,RAIZ_N(C)). Ja vimos que a RAIZ_N(B) tem que estar entre estes dois pontos. Logo, devem existir p e q atendendo as condicoes que especificamos acima e tais que : RAIZ_N(B) = (p*RAIZ_N(A) + q*RAIZ_N(C))/(p+q) TERCEIRO PASSO DA IDEIA : A funcao Y=RAIZ_N(X) e CONTINUA, CRESCENTE e CONVEXA. Isto e, para quaisquer naturais A e C vale : RAIZ_N((A+C)/2) (RAIZ_N(A) + RAIZ_N(C))/2 O que me pareceu e que a contradicao vai surgir aqui, pois a expressao de convexidade acima pode ser trabalhada para incluir uma media ponderada tal como a que vimos no segundo passo. Mas, em verdade, EU NAO FIZ UMA DEMONSTRACAO, vale dizer, NAO PROVEI NADA, apenas dei uma sugestao de um caminho que me pareceu viavel. ALERTEI QUE AS RAIZES N-ESIMAS DE PONTENCIAS N-ESIMAS E UMA PA, EVIDENTEMENTE ! Um abraco Paulo Santa Rita 4,1247,220502 Oi Paulo! Não sei se compreendi bem esse seu e-mail. :) O problema é o seguinte: desenhe no plano os pontos (R_N(x), x) para todo x inteiro positivo. Você vai ter destacado alguns pontos da função contínua f(x) = R_N(x) para todo x real. Agora escolha uma PA de 3 termos inteiros positivos, digamos Y_1, Y_2, Y_3. Marque os três pontos no eixo ordenado (0,Y_1), (0, Y_2) e (0, Y_3), para cada um deles trace uma reta horizontal, ou seja, paralela ao eixo das abscissas. Suponhamos que essas três retas passem por três dos pontos do gráfico que você tinha destacado. Esses três pontos chame de (X_1, Y_1) também (X_2, Y_2) e finalmente (X_3, Y_3). O que nós temos, agora, é que os Y_1, Y_2 e Y_3 está em forma de PA, mas isso não precisa acontecer com os X_1, X_2 e X_3. OU SEJA, os pontos (X_n, Y_n) NÃO PRECISAM ESTAR SOBRE UMA RETA. E daí esse seu argumento não prova nada sobre o problema inicial. Em outras palavras, o que você demonstrou pela convexidade da f, a saber, que nenhuma reta corta o gráfico da f em três pontos distintos, não garante que se p, q e r foram primos distintos então f(p), f(q) e f(r) não formam uma PA. Se o seu argumento é só um passo para resolver o problema, perdoe o meu comentário acima: mas eu acredito que esse caminho não vai levar a uma solução. E só para terminar o e-mail: o Fabio Dias Moreira é que ressaltou isso que eu disse aí em cima, e pelo visto, o Paulo não chegou a ler a mensagem dele. Um abraço! Eduardo Casagrande Stabel. PS. eu não descarto a possibilidade de eu não ter compreendido
[obm-l] Re: [obm-l] permutações circulares com repetição
coisas e nao para impor propriedades a elas (NEWTON) Um abraco Paulo Santa Rita 3,1304,210502 From: Rafael WC [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] permutações circulares com repetição Date: Mon, 20 May 2002 14:55:57 -0700 (PDT) Olá Pessoal! Obrigado Morgado e Paulo pela ajuda. Paulo, entrei na página que você indicou. Encontrei a demonstração de um teorema de Moreau que sinceramente não consegui associar nem de longe com permutações circulares com repetição. Como você falou que conhece um caminho alternativo, acho que vou abusar da sua boa vontade e perguntar qual é. Se puder me ajudar, agradeço muito. Hoje fui à biblioteca da faculdade e andei procurando alguns livros, mas todos param nas permutações circulares simples!! Muito obrigado, Rafael. _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, tudo legal ? Nao ha do que agradecer ! Muitas outras pessoas aqui na lista tambem tem SENTIMENTOS EDUCADOS, de forma que nao raro voce as vera sendo uteis respondendo a uma questao simples com a mesma naturalidade com que demonstram brilhantismo intelectual solucionando um problema complicado. Eu li em algum lugar um problema que pode ser resolvido por uma equacao do 2 grau. Talvez voce queira propor a seus alunos de 8 serie : Num tonel ha, a principio, 100 litros de agua. Enche-se um balde de capacidade K ( K litros ) com a agua deste tonel. A agua e jogada fora. O balde e entao cheio com vinho puro e, a seguir, o vinho contido no balde e despejado no tonel. O tonel volta a ter 100 litros, agora de mistura. Repete-se os 4 passos abaixo N vezes : 1) Enche-se o balde com a mistura que ha no tonel 2) O conteudo do balde e, entao, lancado fora. 3) O Balde e cheio com vinho puro 4) O conteudo do balde e despejado no tonel. Terminada as operacoes, um quimico analisa o conteudo do tonel e descobre que ha 36 litros de agua e 64 litros de vinho puro. Qual a capacidade do balde, em funcao de N ? Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1256,170502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 23:11:57 -0400 Caro Paulo, Mais uma vez aqui, tento expressar toda minha gratidão para com todos os amigos aqui da lista, e especialmente.. à você. Paulo, na verdade, a questão era para ser explicada a alunos de 1o. grau mesmo (8a. série). Bem, é o seguinte, sou aluno de uma instituição pública de ensino do Estado do Amazonas (curso agora o 2o. grau)... porem, venho desde o começo do ano ajudando os alunos da 8a. série para se prepararem para as provas de Matemática do Colégio Naval. Nossas condições dentro da escola não são muito boas, e em muitas das vezes... nosso próprio professor desconhece determinado assunto. Por este motivo, tenho aqui na lista, a única saída para o esclarecimento de certas dúvidas. Muitas vezes, eu mesmo, não consigo fazer certos exercícios que venho passando aos alunos... e quando isso ocorre, eu venho até a lista aqui, procurar alguma ajuda. E Paulo, mais uma vez, Obrigado mesmo por tudo. Sua ajuda, assim como a de todos, tem sido de grande importância para nossos alunos aqui do Amazonas. E em nome de todos eles, venho aqui deixar um grande abraço a você, e a todos os demais amigos que dessa lista participam. Obrigado mesmo, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 14:51:09 + Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que
Re: RES: [obm-l] ..........
Ola Raul e demais colegas desta lista, A sua estrategia, neste caso, esta correta, pois ela leva a um resultado correto com passos corretos. Mas me parece que voce nao entendeu em plenitude porque ela funcionou, dai nao ter podido justificar com clareza seus argumentos ... Seja Y(X)= sqrt(5-X). O que sera sqrt(5 - sqrt(5-X)) ? Sera, sem duvida nenhuma, Y(Y(X)). Portanto, resolver a equacao sqrt(5 - sqrt(5-X)) = X Equivale a perguntar : Para quais X, Y(Y(X))=X ? Evidentemente que podemos generalizar este raciocinio... Por exemplo, uma equacao como sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X pode ser parafraseada na pergunta : Para quais X, Y(Y(Y(X)))=X ? O que voce observou e que a solucao de Y(X)=X e a mesma da solucao de Y(X) composta consigo mesma N vezes, certo ? Sera sempre certo isso ? Por que ocorre este fenomeno ? Para que voce possa entender em plenitude o que esta ocorrendo e num estalar de dedos ser capaz de resolver qualquer equacao desta natureza com qualquer quantidade de radicais, faca o seguinte : 1) Observe que a solucao de Y(X)= X e a interseccao do grafico de Y=X com o grafico de Y=sqrt(5 - X) 2) Trace os dois graficos mencionados acima. 3) Interprete geometricamente o processo representado pela equacao. Exemplo. Resolver : sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X Claramente que devemos ter 5 - X = 0 isto e : X = 5. Tomando um X=X1 qualquer no intervalo (0,5) o valor Y1=sqrt(5 - X1) e a ordenada do grafico de Y=sqrt(5-X) no ponto X=X1. Por este ponto trace uma paralela ao eixo OX ate encontrar a reta Y=X. Seja (X2,Y2) este ponto. Trace por este ponto uma vertical ate encontrar o grafico de Y=sqrt(5 - X). Este novo ponto Y3 sera tal que Y3=sqrt(5 - sqrt(5 - X1)). Repita o processo acima. Voce vai encontrar um ponto Y4 em Y=sqrt(5-X) tal que : Y4=sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1))) O que voce procura e ONDE COMECAR, isto e, voce procura o ponto X tal que Y4=X, isto e, a solucao de : X = sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1))) Nas condicoes do seu problema o ponto que satisfaz uma tal exigencia e precisamente o X de X=sqrt(5-X). POR ESTA RAZAO, quando voce passou do processo infinito para o finito as coisas funcionaram. Em Sistemas Dinamicos diriamos que o ponto de X=sqrt(5-X) e o PONTO ESTAVEL da questao. Qualquer outro ponto - NAS CONDICOES DO SEU PROBLEMA - implicaria numa divergencia e fuga, conforme voce pode verificar heuristicamente usando os graficos e as interpretacoes que dei. Observe que aqui tivemos uma motivacao EMINENTEMENTE TOPOLOGICA, mas existem teoremas que normatizam este procedimento, mas que acredito nao seria apropriado falar sobre isso aqui e agora. De qualquer forma, voce vai se sentir mais seguro quando voltar a pensar em questoes semelhantes e nao vai se intimidar com equacoes como esta, mesmo que o numero de radicais seja muito grande. Um problema irmao deste seria : Seja Xn+1= KXn(1-Xn). Discuta a convergencia de Xn, se fixados Xo=R e sendo dado K. Muitos autores chamam esta funcao de FUNCAO LOGISTICA e ela e excelente para se ver com clareza estas coisas. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1925,170502 From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, May 17, 2002 12:17 AM Subject: Re: RES: [obm-l] .. Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ? A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x. Se fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2. Um abraço, Raul _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada.
Ola Felipe, Guilherme e demais colegas desta lista, Bom, isso deve ser um daqueles problemas que precisam ser explicados a alunos do 1 grau, certo ? Dificil ! Vou tentar. Perdao se nao conseguir atingir os objetivos ! Devemos encontrar a e b inteiros nao-negativos. Como (10a + b)*(a+b) = a^3 + b^3 posso FATORAR o segundo membro assim : a^3 + b^3 =(a+b)*(a^2- ab + b^2) colocando essa fatoracao na primeira equacao, fica : (10a + b)*(a+b) = (a+b)*(a^2 -ab + b^2) como a + b 0 (pois 00=0 nao e um numero de dois digitos ) posso dividir tudo por a+b. Vai ficar : 10a + b = a^2 - ab + b^2 reduzindo os termos semelhantes a^2 - (10 - b)*a + b^2 - b=0 E isto e UMA EQUACAO DO 2 GRAU LITERAL em a. O Discriminante e : (10 - b)^2 - 4*(b^2 - b) Simplificando fica : -3b^2 - 16b + 100 = 0 Como b varia de 0 ate 9, posso verificar os casos em que o discriminante e um quadrado perfeito e que implicam num a inteiro positivo. Isso vai me fornecer a quantidade de numeros que satisfazem o problema. E ai Felipe ? Que tal ? Eu acho que so usei coisas que uma aluno serio do 1 grau sabe ... ou nao ? Se errei, foi uma tentativa e a culpa exclusivamente minha. Mas, se acertei, e porque sou um aluno aplicado do Jardim do Tio Ralph. Um abracao Paulo Santa Rita 5,1147,160502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 04:06:43 -0400 Olá Guilherme, Obrigado pela sua ajuda. Resolvendo a questão do modo como você apresentou, a resposta seria 10 números (00,11,22,33,44,55,66,77,88,99). Porem, tal resposta não bate com a resposta do gabarito da prova. O enunciado da questão deve ser entendido como: (10a+b)(a+b) = a³+b³ (Multiplicacao do número formado por a e b pela soma dos dígitos) Na sua resolução você utilizou-se da multiplicação dos dígitos pela soma dos mesmos. [ a.b(a+b)=a³+b³ ]. As opções dadas pelo problema é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Guilherme, e com isso, utilizando-se de seu raciocínio, não obteríamos a resposta do problema. Acho eu, então, que a solução é fazendo (10a+b)(a+b)=a³+b³. Porem, a resposta disto eu não consigo achar. Por isso vim até aqui, vocês, amigos da lista, para me dar uma ajuda... no que for possível, é claro. Agradeço desde já mais uma vez, Abraços Felipe Marinho From: Guilherme Pimentel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RES: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Date: Thu, 16 May 2002 03:53:27 -0300 Para o primeiro note que, sendo ab o numero de dois digitos: a*b*(a + b) = a^3 + b^3 e que a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) logo a*b*(a + b) = (a + b)^3 - 3a*b*(a + b) (a + b)^3 = 4a*b*(a + b) supondo que a ou b sejam diferentes de zero: (a + b)^2 = 4a*b (a - b)^2 = 0 ou seja a = b agora vc conta quantos são... -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de Felipe Marinho Enviada em: quinta-feira, 16 de maio de 2002 02:37 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Exercicios - Olimpiada. Olá pessoal da lista, Venho aqui pedir uma grande ajuda a vocês na resolução destes problemas. Encontrei-os numa lista de preparação para Olimpíadas, porem, estes 2 eu realmente não consegui resolvê-los. Por isso, conto com vocês mais uma vez. 1) Considere os números formados por 2 dígitos tais que a multiplicação deles pela soma do seus dígitos seja igual a soma do cubo dos digitos. Quantos e quais são esses números ? 2) 40 bolas são numeradas de 1 a 40. Elas então são colocadas em caixas. Se uma caixa contem n bolas, então a caixa não poderá conter uma bola numerada com um múltiplo de n. No mínimo quantas caixas serão precisas para guardar as bolas, considerando todas as possibilidades possíveis ? Pessoal, agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. E com um grande abraço a todos, vou fechando mais este e-mail. Felipe Marinho _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http
[obm-l] Re: [obm-l] Boa questão de probabilidade
Ola marcelo e demais colegas desta lista, Se a vaga era a unica e a bicicleta ficou entre nove outras biciletas e porque o estacionamento comporta 10 vagas. Enumerando estas vagas da esquerda para a direita, a partir de 1, a vaga em que o protagonista colocou a bicileta so pode ser uma dentre 2,3,4,5,6,7,8 e 9. Quando ele volta, encontra apenas 5 das 9 outras biciletas que haviam. Portanto, 4 biciletas foram retiradas. De quantas maneiras e possivel retirar 4 de um total de 9 ? Evidentemente : BINOM(9,4). Dentre estas possibilidades, em quais a vaga a direita da vaga ocupada pela bicicleta do protagonista ficou vazia ? Fixando esta vaga, isto e, supondo que a bicicleta que la estava foi retirada, posso retirar 3 outras bicicletas de um total de oito de BINOM(8,3) maneiras. A probabilidade que voce procura e, portanto : P = BINOM(8,3)/BINOM(9,4) = 56/126 Os outros itens podem ser tratados como variacoes ou acrescimos a esta linha de raciocinio. Um abraco Paulo Santa Ritya 5,1904,160502 From: Marcelo Roseira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Boa questão de probabilidade Date: Thu, 16 May 2002 18:10:05 -0300 Aí vai galera... Uma pessoa coloca sua bicicleta na única vaga ainda vazia na grade de um estacionamento de bicicletas de um supermercado. Observa que a sua bicicleta está entre 9 outras e a vaga que ocupa não fica em qualquer das duas extremidades da grade. Depois das compras a pessoa volta e encontra, além da sua, apenas 5 das 9 bicicletas ainda estacionadas na grade. Pede-se: 1. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente à direita da sua bicicleta. 2. A probabilidade de a pessoa encontrar vazias as duas vagas adjacentes à da sua bicicleta. 3. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga adjacente à esquerda da sua bicicleta ou a vaga adjacente à direita da sua bicicleta, admitindo-se que os dois eventos sejam independentes. 4. A probabilidade de a pessoa encontrar vazia a vaga da extremidade esquerda da grade. Grato. Marcelo _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Ola Felipe e demais colegas desta lista, Meu camarada, nao ha do que agradecer e nem do que se desculpar... Nos, estudantes, aprendemos muito aqui. E eu me sinto honrado e feliz em poder estar sendo util, mesmo que infimamente, em uma lista orientada e moderada por Grandes Mestes tais como os Prof's Nicolau, Eduardo Wagner, Morgado, Jose Paulo, Ralph e muitos outros. Infelizmente, confesso que nao sei como explicar a um aluno de 7 ou 8 serie estas coisas... Em verdade, eu acho que sao os caras que conseguem fazer este trabalho - e parece que voce faz - os Profs mais importantes, porque eles pegam o garoto em tenra idade e despertam a inteligencia e interesse deles, fazendo problemas bonitos. Nos aqui temos um colega - o Josimar - que publicou um livro que parece ser a verdadeira solucao para tornar a Matematica atraente. O Livro e E divertido resolver problemas. Nao sei de qual editora. Mas o certo e que ele consegue colocar problemas bonitos, sem a mediocridade que parece ser a regra da imensa maioria dos outros, e mostrar formas criativas e inteligentes de aborda-los. Ele faz a Matematica ser empolgante. E isso : genial, por que e simples, simples porque e genial. Com os melhores votos de Paz Profunda, sou Paulo Santa Rita 3,1248,070502 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 20:32:54 -0400 Caro Paulo, Eu ia fazer um comentário aqui tambem, porem mais uma vez acabei esquecendo. ;) Olha, é o seguinte, essa questão, no caso, teríamos que ab² = a(1-a)², e derivando a função podemos analisar em quais intervalos a função é crescente ou decresente. Porem, eu evitei ao máximo resolver essa questão analisando o gráfico da derivada, pois a mesma é uma questão do nível II da OBM (Nível II - 7a. e 8a séries). E com certeza, os alunos de tais séries ainda não tiveram uma iniciação em assuntos como derivadas, limites, etc. Por isso que vim até aqui a lista, para procurar uma outra solução para o mesmo problema. E mais uma vez, peço a ajuda aqui de vocês. Paulo, obrigado por tudo. Valeu mesmo.. de coração ! :) Um grande abraço Felipe Marinho From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 17:52:56 -0400 Caro amigo Paulo, Desculpe-me por mais este enunciado enviado de maneira errada. A questão fala na verdade que a e b são REAIS POSITIVOS. Peço desculpas aqui. E Obrigado desde já, Felipe Marinho From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo ) Date: Mon, 06 May 2002 19:28:11 + Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Provar desigualdade.
Ola Thiago, Bonita a sua solucao. Acho mesmo a mais bonita. Mas, fica o problema : Voce nao pode ensinar assim pra um aluno de 7 serie ... Como fazer ? Eu, confesso, que nao sei. Um abraco Paulo Santa Rita 3,1303,070502 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Tue, 7 May 2002 00:17:53 -0300 como a + b = 1, usando MA = MG, temos 2a + b + b/3 =(2ab²)^1/3 2/3=(2ab²)^1/3 = 8/27=2ab² = ab²=4/27 um abraço Cicero Thiago Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] conferir....
Ola Pessoal, 1) A primeira Equacao Diofantina que se estuda e : Ax + By = C E existe um teorema que afirma que uma tal equacao so tem solucao se, e somente se, MDC(A,B) divide C. ( MDC(A,B) | C ). No seu problema, abaixo, devemos ter : MDC(1001,770) | 100 + a Como o lado esquerdo e conhecido, fica facil encontrar o a do lado direito. 2) Se A1, A2, A3, ..., An e uma PA entao : 1/A1*A2 = (1/R)*(1/A1 - 1/A2) 1/A2*A3 = (1/R)*(1/A2 - 1/A3) ... 1/An-1*An = (1/R)*(1/An-1 -1/An) somando e simplificando : 1/A1*A2 + 1/A2*A3 + ... + 1/An-1*An = (1/R)*(1/A1 - 1/An) Esta expressao nao so nos permite obter uma formula fechadinha para a soma de N termos como calcular para onde tende a soma quando N - +INF. Em verdade, esta expressao e apenas um caso particular de algo muito mais amplo ... Para ver isso, a titulo de exemplificacao, pergunto : como fariamos para calcular : 1/A1*A2*A3 + 1/A2*A3*A4 + ... + 1/An-2*An-1*An ? Aqui observe que : 1/A1*A2*A3 = (1/(2*(R^2))) * (1/A1 - 2/A2 + 1/A3) 1/A2*A3*A4 = (1/(2*(R^2))) * (1/A2 - 2/A3 + 1/A4) 1/A3*A4*A5 = (1/(2*(R^2))) * (1/A3 - 2/A4 + 1/A5) ... 1/An-2*An-1*An = (1/(2*(R^2))) * (1/An-2 - 2/An-1 + 1/An) Mais uma vez : Esta expressao, nao so permite determinar uma formula fechadinha para a soma de N termos como avaliar para onde tende a soma quando N tende ao infinito. Esta semelhanca sera mera coincidencia ? Nao ! Para 4 termos verifique que : 1/A1*A2*A3*A4 = K*(1/R^3)*(1/A1 - 3/A2 + 3/A3 - 1/A4), K=1/(3!) O que voce vai observar de notavel e o seguinte : O INVERSO DE UM PRODUTO ORDENADO DE n TERMOS TENDE SEMPRE PARA O INVERSO DE UM PRODUTO ORDENADO DE n-1 TERMOS. Prove isso por inducao ! Assim ... 1/AiAi+1 vai convergir para K*(1/A1) 1/A1Ai+1Ai+2 vai convergir para K*(1/A1*A2) e assim sucessivamente. Em verdade tudo isso sao consequencias do TRIANGULO HARMONICO onde ficam os BRACOS NEGATIVOS ( ou Progressoes Aritmeticas de ordem negativa ) do Triangulo de Pascal. As relacoes esporadicas que vimos acima sao meras aplicacoes da generalizacao do teorema das colunas ... Uma Pergunta : Por que nos nao conseguimos uma simplificacao semelhante quando Ai=Ai+1=Ai+2 = Ai^3. Uma resposta a essa pergunta pode levar ao calculo da serie : 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + 1/125 + ... Mas isso era um problema em aberto, onde fracassaram Euler e Gauss e, portanto, muito dificil, sendo assim desonesto propo-lo como uma mera questao olimpica. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1401,060502 1)Determine o menor inteiro positivo a para o qual a equação 1001x+770y=100+a possui solução inteira e mostre que que há 100 soluções inteiras positivas. 2)Calcule o valor de 1/1*2+1/2*3++1/(n-1)*n Valeu = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] === _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar desigualdade.
Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Provar desigualdade.( corrigindo um cochilo )
Ola Pessoal, Agora que fui perceber um detalhe ... sendo a e b INTEIROS POSITIVOS e a + b = 1 segue a=1 e b=1. O SEU PROBLEMA ESTA MAL FORMULADO Uma formulacao consistente seria : Prove que se a e b sao REAIS POSITIVOS e a+b=1 entao a*(b^2) = 4/27. From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 18:55:09 + Ola Felipe e demais colegas desta lista, O problema e que os expoentes que voce usa nao da pra ver legal ... Se for a*(b^2) e sendo a+b=1 tire b em funcao de a ( ou a em funcao de b ). substitua e a expressao sera um trinomio bem conhecido seu. Ele tem um maximo ! Dai ... From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Provar desigualdade. Date: Mon, 06 May 2002 14:33:05 -0400 Olá pessoal da lista, É com imensa esperança que venho aqui pedir ajuda a vocês na resolução deste exercício: 1) Se a e b são números inteiros positivos tais que a + b = 1, prove que ab² = 4/27. (onde = significa menor ou igual.) -- Oque eu devo usar para provar isto ? Já tentei usar MA e MG, Desigualdade de Cauchy-Schwarz, porem não consigo sair do lugar. Conta com a ajuda de vocês e com a resolução do exercício. Obrigado, Abraços _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Equacao do Universo
Ola Ezer e demais colegas desta lista, As ( talvez mais famosas ) Equacoes da Fisica que tratam o Universo como um todo sao as equacoes da Teoria da Relatividade Geral. Esta teoria e uma aplicao da Teoria da Relatividade Restrita a movimentos dotados de aceleracao. Elas modificao os conceitos basicos Newtonianos, em especial o conceito de forca. Nesta teoria um corpo nao se movimenta porque uma forca atuou nele,mas sim em virtude das distorcoes no espaco que sao causadas pela presenca de um corpo dotado de massa ... Uma analogia talvez ajude. Se um corpo desce um plano inclinado, como voce explica tal movimento ? Bom, voce diz que a componente da forca peso paralela ao plano puxa o corpo para baixo. Einstein diria que ele desce porque a presenca de alguma massa curvou o espaco ( no caso, o plano )e corpo naturalmente seguiu o caminho da curvatura. Num espaco curvo os corpos seguem o caminho de menor consumo de energia, o que, geometricamente, equivale a certas curvas numa superficie que chamamos de geodesicas ou geodesias. Um a geodesia e o caminho mais curto entre dois pontos sobre uma superficie. No plano a geodesia e um segmento de reta. Na teoria de Einstein, diz-se que os planetas seguem as linhas geodesicas que existem na superficie do espaco-tempo curvo causado pela imensa massa do sol. Na teoria de Newton, os planetas tracam elipses. com o sol em um dos focos. Qual esta correta ? So a experiencia poderia dizer. E ela disse ... O perielio de Mercurio ( ponto mais proximo do sol ) avanca ( se inclina ) de uma quantidade nao prevista pela teoria Newtoniana, mesmo se considerando a pertubacao que os demais planetas produzem. Tal efeito e previsto pela teoria de Einstein. Assim, tudo leva a crer que as suposicoes de Einstein consistem numa visao mais correta sobre a real natureza do Universo. As Equacoes de Einstein sao Equacoes Diferenciais-Tensoriais, vale dizer, nao sao formulas como as da gravitacao newtoniana. Segue que existem infinitas possibilidades de solucoes. Uma solucao singular pode ser um buraco negro. Em verdade, os buracso negros so existem hoje como singulares das equacoes de Einstein. As singularidades, em geral, levam a implicacoes sensacionais. Voce ja ouviu falar em singularidades de Whitney ? Quantas solucoes tem a equacao z^7 - 5*(conj(z))^4 + z=0 ? Quando da comemoracao de um aniversario de Einstein, o Godel mostrou ( pro Einstein e pro resto do pessoal de Princeton ) uma solucao que incluia o movimento de rotacao dos planetas ( as outras solucoes nao tinham esta propriedade, vale dizer, nelas os planetas so transladam ) e o Einstein ficou, a principio, muito contente. Mas logo depois ficou chateado. Por que ? Porque na solucao mais completas de Godel deveriamos admitir que ha regioes no espaco em que o principio da causalidade e quebrado, isto e, locais onde o efeito ocorre antes da causa ... Ocorre uma coisa e a razao dela ocorrer esta no futuro ! Ora, se ocorrer um tal fenomeno, ele sera simplesmente inexplicavel ... Pois a explicacao de um fenomeno e absolutamente identico a demonstracao de um teorema : e como se existisse um teorema ou proposicao que nos verificamos que ela e correta mas jamais conseguimos demontra-la : VERDADES INDEMONSTRAVEIS. Interessante ( Sera que e so interessante ? ) que tambem foi o Godel que provou a incompletude dos sistemas formais ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1156,020502 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equacao do Universo Date: Wed, 1 May 2002 09:42:40 -0300 i^i=exp(i*logi)=exp(i*(ln|i|+iarg(i))=exp(i*(ln1+i*pi/2))= =exp(i*(i*pi/2))= i^i=exp(-pi/2) se elevarmos a i novamente temos: i^i^i=exp(i*(-pi/2))=cos(pi/2)-i*sen(pi/2)=-i quanto a outra pergunta .. nem imagino .. -- Mensagem original -- Olah a todos, O que eh Equacao do Universo? (se eh que isso existe) Quanto vale i^i? (i = sqrt(-1)) Desde jah agradeco, Ezer F. da Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao
Re: [obm-l] Flanders Olympiad novamente!
Ola Ponce e demais colegas desta lista, E verdade. A Observacao do Colega Ponce e procedente. Olhando agora a mensagem original do Felipe vejo que havia um conjunto de respostas. Do enunciado nao se pode inferir quem e maior, P ou Q : dai as duas possiveis solucoes. Valeu Ponce ! Um abraco Paulo Santa Rita 5,1831,020502 From: Luiz Antonio Ponce Alonso [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Flanders Olympiad novamente! Date: Wed, 01 May 2002 22:17:58 -0300 caros amigos, uma pequena ressalva para o problema e solução dada. O valor (-2(p+q))/pq é uma diferença possível para o problema. Entretanto, 2(p+q))/pq, poderia ser também uma das diferenças entre dois termos consecutivos da sequência, apesar de não constar do enunciado. PONCE Paulo Santa Rita wrote: Ola Felipe e demais colegas desta lista, A questao e muito simples e deve haver um montao de maneiras de faze-la. Tenho certeza que voce encontraria um caminho se pensasse um pouco mais ... Todavia, como voce parece estar aflito, atendendo seu apelo, uma forma talvez razoavel seja a seguinte : Sp=q e Sq=p (p(a1 + ap))/2 = qe(q(a1 + aq))/2 = p a1 + ap = (2q)/p e a1 + aq = (2p)/q subtraindo a segunda equacao da primeira : ap - aq = (2q)/p-(2p)/q mas : ap - aq = (p-q)R. Logo (p-q)R = (2q)/p-(2p)/q (p-q)R = (2(q-p)(q+p))/pq. Supondo p diferende de q R = (-2(p+q))/pq esse deve ser o valor que voce procura. Eu nao conferi. Da uma olhada. Um abraco Paulo Santa Rita 3,1821,300402 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Flanders Olympiad novamente! Date: Tue, 30 Apr 2002 16:24:17 -0400 Caros amigos da lista, Semana passada eu postei um questão aqui... pedindo uma ajuda de vocês em como resolvê-la. Porem, não foi retorno por parte de ninguem e nenhum tipo de comentário tambem foi feito. Por isso, venho aqui mais uma vez pedir a ajuda de vocês na resolução da mesmo. PS: Desculpe a insistência, mas estou realmente precisando de ajuda. Desculpe qualquer coisa, E agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. Segue a questão: 1) A soma dos p primeiros termos de uma sequencia aritmética é igual a q e a soma dos q primeiros termos dessa sequencia é dada por p, onde (p diferente de q). Qual das opções expressa o valor da diferença v entre 2 termos sucessivos dessa sequencia é: a) v= -2/(p-q) b) v= -2(p+q)/pq c) v= 2/(p+q) d) v= 2(p-q)/pq e) v= 2(p+q) -- FIM --- Abraços Felipe Marinho _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = colegas desta lista, _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, conheça o MSN Messenger: http://messenger.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Flanders Olympiad novamente!
Ola Felipe e demais colegas desta lista, A questao e muito simples e deve haver um montao de maneiras de faze-la. Tenho certeza que voce encontraria um caminho se pensasse um pouco mais ... Todavia, como voce parece estar aflito, atendendo seu apelo, uma forma talvez razoavel seja a seguinte : Sp=q e Sq=p (p(a1 + ap))/2 = qe(q(a1 + aq))/2 = p a1 + ap = (2q)/p e a1 + aq = (2p)/q subtraindo a segunda equacao da primeira : ap - aq = (2q)/p-(2p)/q mas : ap - aq = (p-q)R. Logo (p-q)R = (2q)/p-(2p)/q (p-q)R = (2(q-p)(q+p))/pq. Supondo p diferende de q R = (-2(p+q))/pq esse deve ser o valor que voce procura. Eu nao conferi. Da uma olhada. Um abraco Paulo Santa Rita 3,1821,300402 From: Felipe Marinho [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Flanders Olympiad novamente! Date: Tue, 30 Apr 2002 16:24:17 -0400 Caros amigos da lista, Semana passada eu postei um questão aqui... pedindo uma ajuda de vocês em como resolvê-la. Porem, não foi retorno por parte de ninguem e nenhum tipo de comentário tambem foi feito. Por isso, venho aqui mais uma vez pedir a ajuda de vocês na resolução da mesmo. PS: Desculpe a insistência, mas estou realmente precisando de ajuda. Desculpe qualquer coisa, E agradeço desde já qualquer tipo de ajuda. Segue a questão: 1) A soma dos p primeiros termos de uma sequencia aritmética é igual a q e a soma dos q primeiros termos dessa sequencia é dada por p, onde (p diferente de q). Qual das opções expressa o valor da diferença v entre 2 termos sucessivos dessa sequencia é: a) v= -2/(p-q) b) v= -2(p+q)/pq c) v= 2/(p+q) d) v= 2(p-q)/pq e) v= 2(p+q) -- FIM --- Abraços Felipe Marinho _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = colegas desta lista, _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Ola Dirichlet e demais
colegas desta lista,
As hipoteses que voce esta usando
1) TRES PRIMOS dois a dois distintos
2) RAIZES CUBICAS
sao muito restritas ... Voce pode fazer uma afirmacao muito mais geral e que
demanda uma demonstracao igualmente simples. Para que voce possa ver isso
rapidamente perceba que os termos de uma PA sao sempre da forma
Y1 = A + B*N , N = {1,2,...}
Isto e, os termos que uma PA - falando do grafico - estao sobre uma reta. Ja
a curva
Y2 = X^(1/N)
e convexa para X 0. Assim, para X 0, a reta Y1 so podera cortar a curva
Y2 em, no máximo, 2 pontos ... Claramente que isso sugere um enunciado do
tipo :
Sejam A, B e C tres reais quaisquer, positivos. Mostre que as suas raizes
N-esimas jamais poderao ser termos de uma mesma PA.
E claro que uma prova para este fato inclui, como caso particular, o
fenomeno que voce descreveu, vale dizer, o fato de que as raizes cubicas de
tres primos, dois a dois distintos, jamais poderao ser termos de uma mesma
PA.
Cuidado quando for delimitar as hipotese de trabalho ... AS RAIZES N-ESIMAS
DE POTENCIAS N-ESIMAS FORMAM UMA PA !
RESGUARDADAS AS DEVIDAS HIPOTESES, Uma caminho de demonstracao pode ser o
seguinte :
1) Supondo que A B C sao reais distintos e que RAIZ_N(A), RAIZ_N(B) e
RAIZ_N(C) sao PA entao existem naturais D, E e F tais que :
( RAIZ_N(B) - RAIZ_N(A))/(RAIZ_N(C) - RAIZ_N(B)) = (D-E)/(F-E)
2) O fato acima , acrescido de resultados basicos sobre semelhanca de
triangulo, vai implicar que as raizes N-esimas estao alinhadas ... isso vai
entrar em contradicao com o fato de Y2=X^(1/N) ser convexa. Os detalhes
ficam como exercicio.
E interessante registrar que muitas coisas que sao complicadas
analiticamente ficam simples quando olhamos para os graficos, que costumam
nos falar como se pronunciassem milhares de palavras. Para ver isso, respoda
o seguinte :
E verdade que para todo N 1 existem naturais A, B e C com A B C tais
que RAIZ_N(A), RAIZ_N+1(B) E RAIZ_N+2(C) estao em uma PA (reta) ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1304,250402
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Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] PRIMEIRO PROBLEMA PARA TODOS
Date: Tue, 23 Apr 2002 17:22:53 -0300
Prove que nao e possivel que 3 raizes cubicas de primos diferentes possam
ser termos(nao necessariamente consecutivos)de uma mesma PA.
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Re: [obm-l] simetria e desigualdade
Ola Lucelindo e demais colegas desta lista, No arquivo de mensagens desta lista existe mais de uma publicacao abordando este tema. Em particular, existe uma mensagem do Villard (Rodrigo Villard) muito boa, que nao so explica estes conceitos como mostra como usa-los. Garanto que vale a pena procurar esta mensagem, caso o Villard nao nos leia e te auxilie. Uma aplicacao interessante esta em no problema abaixo. Se a, b e c sao os lados de um triangulo qualquer, entao sempre vale : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 Um abraco Paulo Santa Rita 4,1306,170402 From: Lucelindo D. Ferreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] simetria e desigualdade Date: Tue, 16 Apr 2002 22:03:48 -0300 Ola pessoal. Sou novo na lista e gostaria de sugestões para o probleminha: Para x, y,z reais, 4x(x+y)(x+z)(x+y+z) + y^2z^2= 0. Qual a idéia básica para desigualdades simétricas? Alguém poderia dar exemplos pra eu saber como funciona? Valeu _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] continuidade
Ola Duda E demais colegas desta lista, E ai maluco ! Po, voce me propoe o problema e depois publica um outro, modificado !?!?!? Quando eu ia comecar a pensar vi a sua mensagem ... mas, tudo legal. Nos estamos aqui pra somar mesmo, sem frescura ou viadagem. Acrescento que pode ser que o universo de funcoes com que voce esta trabalhando seja muito amplo. No problema original que voce me enviou claramente que para K 1/2 e possivel construir uma funcao continua que nao atende a condicao que voce exige, se e que eu entendi corretamente a questao. Nao seria interessante voce fazer alguma restricao ? Mas o que eu acho importante te dizer e que sinceramente fico feliz em perceber que voce nao precisa de motivacao externa para se interessar pela Matematica. E digo mais. Eu TENHA CERTEZA - por experiencia propria - que, caso voce seja perseverante, esta sua busca nao sera frustrada e que voce vai sentir uma alegria muito grande quando se deparar com algo novo,( mesmo que novo so para voce ) e que estava incognito. O misterio pra descobrir qualquer coisa e precisamente este : pensar, pensar e pensar. E nao desistir ate que a ostra entregue a sua perola... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 2,1554,150402 Ola pessoal! Eu tenho que fazer mais uma correcao. O teorema que eu enunciei, e imaginei que tinha provado, eh falso! Ele vale para os casos k = 1/2, 1/3, 1/4, ... e eu acreditava que tinha conseguido provar para todo o k1/2, contudo cometi um erro desapercebido e agora estou raticando meu erro. Segue em anexo uma figura com uma funcao f continua e crescente tal que f(0) = 0 e f(1) = 1 para a qual nao existe um valor de x tal que f(x) + 2/5 = f(x + 2/5). A funcao (para quem nao receber a figura) eh definida da seguinte maneira: Ela eh linear nos intervalos [0,1/5], [1/5,2/5], [2/5,3/5], [3/5,4/5] e [4/5,1]. E assume os seguinte valores f(0) = 0 f(1/5) = 1/5 - (2c) f(2/5) = 2/5 + c f(3/5) = 3/5 - c f(4/5) = 4/5 + (2c) f(1) = 1 Onde c eh um numero bem pequeno, escolha c=1/100 que serve. Gostaria de pedir minhas sinceras desculpas pelo engano. E prometo ser mais cuidadoso daqui em diante. Um abraco! Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] alguém sabe?
Ola Rui e demais membros desta lista, Para um N natural maior que 1, a sequencia em foco pode ser definida como segue : T(0) = N^(1/N) T(P+1) = [ N^(1/N) ]^T(P) O que voce que saber e o LIM T(P), quando P tende ao infinito. Me parece evidente o seguinte : T(P) N, Para todo natural P T(P+1) T(P), Para todo natural P ABRE PARENTESES : Para voce se convencer rapidamente das duas relacoes acima basta perceber que qualquer N pode ser posto sucessivamente como : N=(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=(N^(1/N))^(N^(1/N))^(N^(1/N))^N=... Como N 1 e o expoente topo de T(P) e N^(1/N) e N^(1/N) N segue que T(P) N e T(P+1) T(P) FECHA PARENTESES. Segue que a sequencia e CRESCENTE E LIMITADA SUPERIORMENTE. Logo, por um conhecido Teorema de Analise, ELA E CONVERGENTE. Mas ... converge pra onde ? Pra que numero ? Agora a heresia ... Suponha que T(P) converge para um numero diferente de N. Seja Q esse numero. Claramente que 1 Q N. Teriamos : LIM T(P)=Q = Q^N=N^Q A equacao da direita e mais tratavel e permite raciocinar em cima de graficos e com raciocinios topologicos. A titulo de exemplificacao : Para N=3, analisar graficamente x^3=3^x Para N=4, analisar graficamente x^4=4^x e assim sucessivamente. Mas, sem duvida, mesmo que pensando assim conseguimos dar uma nova feicao ao problema e torna-lo talvez mais tratavel, havemos de admitir que ha um ar de anormalidade na passagem em que tratamos uma exponenciacao infinita como finita. T(P) e bem comportada e para um numero finito de radicais-expoente a passagem anormal funciona bem. Um justificativa por produtos deve ser muito trabalhosa e seria uma tecnica de justificacao, nao de descoberta : e eu nao acho que esta questao mereca um tal investimento ... Com os melhores votos de paz profunda, sou Paulo Santa Rita 6,1710,120402 From: Rui Viana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] alguém sabe? Date: Fri, 12 Apr 2002 13:49:26 -0300 Olá a todos da lista, Outro dia um amigo meu me apresentou o seguinte problema : Qual a solução para a equação x^x^x^x...=2 ? Bom, a principio x^x^x...=2 = x^2 = 2 = x = 2^(1/2) Mas a equação x^x^x...=4 teria então a solução x = 4^(1/4) = 2^(1/2) ??? Então agente fez um teste e descobriu que (2^(1/2))^(2^(1/2))... converge para 2 e não para 4 (não provamos isso) Daí agente decidiu tentar : Já que seguindo essa linha de raciocinio x^x^x...=n tem solução x=n^(1/n), faça f(n) = n^(1/n). Eu queria saber para que valor g(n) = f(n)^f(n)^f(n)... converge ?? Parece que pra 0n1/e g é uma função concava, 1/ene g(n)=n e depois para ne g(n) é convexa e converge para algum valor. Alguém consegue provar qualquer desses fatos sobre g(n) ? []'s, Rui L Viana F [EMAIL PROTECTED] _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade
Ola Edson e demais colegas desta lista, Muito provavelmente nao responderam porque o problema e facil demais. EU VOU SUPOR QUE A ORDEM E ALGO IRRELEVANTE NO PROBLEMA ! Marcar um numero aleatoriamente e como se ele fosse escolhido aleatoriamente ... A probabilidade de um numero particular ser escolhido (MARCADO) e, evidentemente, 1/N. Tomando-se M numeros, qual sera essa probabilidade ? Evidentemente que isto implica em perguntar : de um total de N elementos, quantos conjuntos de M elementos contem um numero dado previamente ? Nos podemos escolher (marcar) M numeros de um total de N de BIN(N,M) maneiras ( VEJA QUE AQUI ESTOU DESCONSIDERANDO A ORDEM DE MARCACAO ). Esse sera o UNIVERSO ou ESPACO AMOSTRAL onde voce trabalhara. Nalguns representantes deste Universo estara o numero X pre-fixado. Retirando este numero pre-fixado sobrarao N-1 numeros, que darao BIN(N-1,M) sub-conjuntos em que ele nao aparece. Assim, ele ira aparecer em ( BIN(N,M) - BIN(N-1,M)). Isto e, a probalilidade do numero ser marcado sera ( ( BIN(N,M) - BIN(N-1,M)) / BIN(N,M) ). Como voce quer que ocorra no 4 cartoes e sendo a marcacao eventos independentes P=( ( BIN(N,M) - BIN(N-1,M) )/BIN(N,M) )^4 Bom, o segundo problema e uma continuacao deste. Voce faz. OBS : Nos estamos admitindo pressupostos altamente contestaveis, nao obstante a natureza do problema elementar, muito provavelmente, nos permita fazer assim 1) Em primeiro lugar, serao os eventos elementares ( marcar um numero ) realmente equiprovaveis ? POSSIVELMENTE NAO ! Um cartao retangular tem NUMEROS DE CANTO, NUMEROS DE BORDA, e esses numeros, numa marcacao aleatoria levam alguma desvantagem, por infima que seja. 2) O fato dos eventos elementares serem equiprovaveis e que nos permite usar a tradicional expressao : PROBABILIDADE = EVENTOS / UNIVERSO. Em particular, num dado em que as faces nao sejam igualmente provaveis nao valera a formulazinha que usamos tao frequentemente de ser 1/6 a probabilidade de um determinada face surgir. Um abraco Paulo Santa Rita 3,1155,020402 From: Edson Ricardo de Andrade Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Probabilidade Date: Tue, 2 Apr 2002 01:49:30 -0300 (BRT) Desculpem se essa mensagem está chegando duplicada, mas realmente gostaria de saber se minhas mensagens não estão chegando ou se o problema é realmente difícil (ou fácil demais). -- Forwarded message -- Date: Tue, 26 Mar 2002 13:17:54 -0300 (BRT) From: Edson Ricardo de Andrade Silva [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Probabilidade Saudações a todos, estou com um probleminha de probabilidade e gostaria de contar com a ajuda de vcs: Existem 4 cartões, cada um dos quais contendo TODOS os números inteiros de 1 a N (inclusive) numerados. Em cada um dos cartões, marca-se, ao acaso, M números. Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de termos algum número i (1 = i = N) marcado simultaneamente nos 4 cartões? b) Qual a probabilidade de termos exatamente K números (0 = K = M) marcados simultaneamente? abracos, # # Edson Ricardode A. Silva # # MSc Student - Computer Science# # Computer Graphics Group (CRAB)# # Federal University of Ceara (UFC) # # = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade
Ola Andre e demais colegas desta lista : Uma feliz Pascoa para Todos ! A Questao 2 ja foi bem respondida. Resta esclarecer a primeira. Para tanto, considere a permutacao de letras seguinte : ABCD Qualquer outra permutacao na qual nao ha uma letra ocupando a posicao original ( A MESMA POSICAO ) e chamada uma PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO. Sao exemplos de dessaranjos as permutacoes abaixo : BADC, DCBA, CDAB Veja que o conceito de PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO e relativo a alguma disposicao original que tomamos como referencial ou padrao. O total de PERMUTACOES CAOTICAS de N elementos foi originalmente calculado por Nicolau Bernoulli e, independentemente, por Euler. A demonstracao e simples e voce pode encontrar em : *100 Great problems of elementary Mathematics *(Their History and solution ) * *Henrich Dorrie * *Dover Publications INC A formula e : !N = (N!)*( 1/(2!) - 1/(3!) + ... ((-1)^N)*(1/(N!)) ) Ora, se nos sabemos calcular o total de PERMUTACOES CAOTICAS as permutacoes em que ocorrem ao menos um reencontro e precisamente : Ao menos um reencontro = N! - !N. E a probabilidade, evidentemente, sera : P = (N! - !N)/N! Bom. Tudo isso nos ja sabemos e e so pensar em cima do que Bernoulli e seus amigos descobriram pra gente. Talvez mais interessante seja perceber que a cada AGRUPAMENTO LINEAR, tais como permutacoes e arranjos, correspondem outros, TIPO CIRCULAR. Para ver isso, considere a seguinte situacao : Um individuo fara uma reuniao com 12 pessoas. Para enfatizar o carater democratico da reuniao todos sentarao em uma mesa redonda, cada qual em um lugar pre-estabelecido. O anfitriao, porem, e bisonho. E pode suceder que ele conduza cada participante a uma posicao errada na mesa. Qual a probabilidade de isso ocorrer ? Resolver este problema e abordar o correlato circular das PERMUTACOES CAOTICAS. Nem Euler ou Bernoulli abordaram isso.De maneira geral, existe alguma relacao bem estabelecida entre um AGRUPAMENTO LINEAR e o seu correlado circular ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1246,310302 André wrote: Alguem pode me dar uma mao nos problemas: 1) Uma urna contem n bolas numeradas de 1 a n. As bolas sao escolhidas uma a uma, ao acaso, ateh esvaziar a urna. Se a bola r aparece na r-esima extracao, diz-se que ocorre um reencontro. Calcular a probabilidade de q ocorra pelo menos um reecontro. 2) Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um grupo de 2n pessoas, an preferem o sabor A, bn preferem o sabor B e 2n-(a+b) nao tem preferencias. Se os sorvete sao distribuidos ao acaso, qual e a probabilidade de que a preferencia de todas as pessoas seja respeitada. Agradeco. Andre. _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:Veja o que descobri ...
Ola Droind, Tudo Legal ? OBS : Estou escrevendo sem acentos ! Antes de mais nada te informo que nao respondi antes porque as suas perguntas e resultados requerem uma analise mais cuidadosa e, no momento, estou bastante ocupado com outras investigacoes nao menos interessantes para mim ... A sua observacao e muito boa ! Em verdade, e dela que deriva a solucao que a meu ver e a mais elegante e promissora. Acredito que muitas pessoas ja tenham percebido que a involuta do circulo, se for acompanhada em seu extremo por um referencial movel, fornece uma cicloide. Mas penso que poucas viram que isto implica em uma transformacao de uma funcao parametrica em outra e que, atraves desta transformacao, podemos resolver os problemas pertinentes a involuta do circulo fazendo perguntas sobre a cicloide. No seu caso e mais facil trabalhar com a cicloide : Y(t)=1 - cos(t) X(t)=t - sen(t) Que com a involuta do circulo : X(t)=cos(t) - t*sen(t) Y(t)=sen(t) - t*cos(t) EU NAO CONHECO NA LITERATURA MATEMATICA NENHUMA REFERENCIA A ESTE TIPO DE TRANSFORMACAO ! Se voce investigar mais profundamente, vera que o mesmo ocorre com a tratoria ( ou tractriz ) e a catenaria. Ora a catenaria e uma funcao hiperbolica, mole de ser trabalhada. EU ja havia descoberto isto ha uns dois anos atras e estou convencido que e uma transformacao absolutamente geral, nao obstante nao saber ainda como provar e formalizar estes resultado. So a titulo de informacao verifique que a transformacao sobre uma cicloide da outra cicloide, isto e, a cicloide e invariante sobre este grupo de transformacao. Parabens pela sua solucao. Ela e daquelas que se pode chamar de genial, pois, alem de resolver um problema muito dificil ( Na biblioteca mathword, a mais completa, o autor procura um contribuidor para este problema e, portanto, deve ser inedito no mundo ) cria uma tecnica de abordagem que nos permite investir em outros problemas muito dificeis. Se nao me falha a memoria, eu so expliquei a solucao a um colega de uma lista de discussao ( por telefone ) e comentei com um Prof. Mas nao divulguei mais. Pensava em escrever um artigo sobre isso, mas como voce chegou ao mesmo resultado e nao estou com saco pra escrever muito, pode divulgar ou publicar que nao vou me importar. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 7,1748,090302 _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:Veja o que descobri ...
Ola ! Saudacoes a todos desta lista OBM ! A mensagem abaixo foi enviada erroneamente para esta lista. Ele deveria ir para um e-mail particular. Peco desculpas a todos pelo engano ! Um Grande abraco Paulo Santa Rita 7,1957,090302 Em tempo : Para quem quiser saborear algo novo e encarar um problema realmente dificil, a mensagem e uma discussao sobre uma solucao para a pergunta : Seja dado um real R, R 0. Caracterize todos os T tais que sen(T) - T*cos(T) = R Ate mais ! From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re:Veja o que descobri ... Date: Sat, 09 Mar 2002 20:51:19 Ola Droind, Tudo Legal ? OBS : Estou escrevendo sem acentos ! Antes de mais nada te informo que nao respondi antes porque as suas perguntas e resultados requerem uma analise mais cuidadosa e, no momento, estou bastante ocupado com outras investigacoes nao menos interessantes para mim ... A sua observacao e muito boa ! Em verdade, e dela que deriva a solucao que a meu ver e a mais elegante e promissora. Acredito que muitas pessoas ja tenham percebido que a involuta do circulo, se for acompanhada em seu extremo por um referencial movel, fornece uma cicloide. Mas penso que poucas viram que isto implica em uma transformacao de uma funcao parametrica em outra e que, atraves desta transformacao, podemos resolver os problemas pertinentes a involuta do circulo fazendo perguntas sobre a cicloide. No seu caso e mais facil trabalhar com a cicloide : Y(t)=1 - cos(t) X(t)=t - sen(t) Que com a involuta do circulo : X(t)=cos(t) - t*sen(t) Y(t)=sen(t) - t*cos(t) EU NAO CONHECO NA LITERATURA MATEMATICA NENHUMA REFERENCIA A ESTE TIPO DE TRANSFORMACAO ! Se voce investigar mais profundamente, vera que o mesmo ocorre com a tratoria ( ou tractriz ) e a catenaria. Ora a catenaria e uma funcao hiperbolica, mole de ser trabalhada. EU ja havia descoberto isto ha uns dois anos atras e estou convencido que e uma transformacao absolutamente geral, nao obstante nao saber ainda como provar e formalizar estes resultado. So a titulo de informacao verifique que a transformacao sobre uma cicloide da outra cicloide, isto e, a cicloide e invariante sobre este grupo de transformacao. Parabens pela sua solucao. Ela e daquelas que se pode chamar de genial, pois, alem de resolver um problema muito dificil ( Na biblioteca mathword, a mais completa, o autor procura um contribuidor para este problema e, portanto, deve ser inedito no mundo ) cria uma tecnica de abordagem que nos permite investir em outros problemas muito dificeis. Se nao me falha a memoria, eu so expliquei a solucao a um colega de uma lista de discussao ( por telefone ) e comentei com um Prof. Mas nao divulguei mais. Pensava em escrever um artigo sobre isso, mas como voce chegou ao mesmo resultado e nao estou com saco pra escrever muito, pode divulgar ou publicar que nao vou me importar. Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita 7,1748,090302 _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = S _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar, editar e imprimir suas fotos preferidas: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] En: Livros interessantes
Ola Rogerio, Eu ja indiquei aqui na lista uma colecao exatamente assim : A Matematica : Seu Conteudo, Metodos e Significado Kolmogorov, Aleksandrov, Berstein, Liapunov e outros Editora Mir ( Em Russo ) Editora Alianca universitaria ( Em espanhol ) Trata-se de uma colecao de 3 ( grossos ) volumes, abordando toda a base da Matematica Superior ( Comeca com o Calculo ), elaborada ( como se pode ver pelos autores ) pelos melhores Matematicos Russos contemporaneos. Cada autor aborda a sua especialidade. Assim, por exemplo, Kolmogorov trata das Probabilidades. E um livro que se situa na fronteira de tres grandes vertentes : Filosofia da Matematica, Historia da Matematica e Metodos Matematicos. Quer dizer: 1) tem conteudo ( teoremas, axiomas e duas demonstracoes ) 2) tem historia ( como e porque esses teoremas e axiomas vieram a ser propostos ) 3) tem filosofia ( Uma interpretacao da historia, uma razao mais profunda para os teoremas ) E uma colecao muito boa. Logo de cara voce vai ver como os Russos entendem que as relacoes biunivocas geraram o conceito de numero, atraves da teoria dos conjuntos. Da tambem pra perceber que nao obstante o Socialismo tenha, em essencia, acabado, os matematicos de la sao fortemente influenciados pelo Materialismo Dialectico que serve de base ao pensamento comunista. Quem ja leu Karl Marx percebe isso logo. Estudando por esses livros voce vai aprender varios resultados que os livros ocidentais omitem. Mas o mais importante sao as tecnicas de demonstracoes, mesmo que so esbocadas. O calculo deles e muito mais profundo que o que, em geral, nos estudamos como calculo. Basta ver o piskuonov, que e temido aqui e e uma cartilha la. Enfim, e um tesouro pelo qual vale a pena lutar para conquistar. Se voce nao conseguir de forma alguma, me e-escreve que nos descobrimos uma forma de voce ter acesso a obra. Um abraco Paulo Santa Rita 6,0947,080202 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] En: Livros interessantes Date: Fri, 08 Feb 2002 01:28:36 + Olá, colegas Em falar em livros interessantes, eu gostaria de saber se alguém conhecem bons livros de história da matemática. Mas gostaria de livros que não enfatizassem a história, em si, mas a matemática. Explicando melhor: eu queria conhecer melhor a matemática em seu contexto histórico, o que motivou a criação de cada área da mtemática, por que sentiram a necessidade de criar a lógica matemática como fundamento da matemática, por que criaram a topologia, a teoria dos conjuntos, o ZFC, etc. Às vezes sinto falta dessas notas históricas para apreciar e entender melhor os diversos ramos da matemática. Rogério From: Josimar [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] En: Livros interessantes Date: Thu, 7 Feb 2002 00:59:05 -0200 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 06, 2002 4:56 PM Subject: Livros interessantes Olá Josimar, Não consegui ainda me re-inscrever na lista , por isso peço que repasse este e-mail à lista obm-l. Grato !! Gente, Um livro que achei bastante interessante foi Einstein viveu aqui!, uma espécie de relato sobre a vida de Einstein, fala sobre a celebre frase eu vejo isso, mas não posso acreditar que Deus jogue dados com o universo! e também sobre várias faces de Einstein (Sabiam que ele chegou a dar aulas particulares para pagar suas contas??). Pegando carona nessa frase, indicaram-me um outro livro chamado Sútil é o Senhor!, ao que me parece também relacionado à Einstein. Um informação: o título do primeiro livro, assim como a contra-capa, são em função de um charge publicada em um jornal americano após a morte de Einstein. Há também um pequeno livreto que ganhei de um livreiro aqui no rio, dedicado à Leopoldo Nachbin, brilhante matemático brasileiro. Um trabalho bonito, preparado por seu Filho (o pesquisador do IMPA André Nachbin) em memória de seu Pai, um dos fundadores e grandes pesquisadores desta instituição. Neste trabalho há depoimentos e estórias de vários matemáticos e do próprio André Nachbin, à respeito de Leopoldo. Abraços A todos!! PS: Nicolau, seria possível verificar porque não consigo me resgistrar ao mandar e-mail para o majordomo ?? A busca mais veloz e precisa da internet. Acesse agora: http://www.zoom.com.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chat with friends online, try MSN Messenger: http://messenger.msn.com
[obm-l] Idioma e Livros russos
Ola Pessoal ! Quem tem recursos financeiros disponiveis pode adquirir excelentes livros de Fisica e Matematica Russos - traduzidos para o espanhol - em : http://www.urss.ru/ (nao esqueca de ver o maravilhoso MECANICA ANALITICA do GANTMAJER ) Quem quer COMECAR A LER no idioma eslavo. pode ir em : http://www.departments.bucknell.edu/russian/language Para o alemao va em : http://www.dwelle.de Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1013,080202 _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Alem de Erdos
Ola Pessoal, A questao abaixo e uma sofisticacao de um problema proposto por Erdos. O problema foi apresentado aqui nesta lista, mas para resolver a forma como vou propor e necessario que se saiba rsolver o problema original de forma analitica. PROBLEMA ) Inteiramente contidos no interior de um quadrado de lado unitario estao dois outros quadrados de lados A e B, tais que A+B1. 1) Que condicoes devem satisfazer os quadrados de lados A e B para que a regiao de intersecao entre eles tenha area minima ? 2) Que condicoes devem satisfazer os quadrados de lados A e B para que a regiao de intersecao entre eles tenha area K, K 0 ? 3) Se fossem tres quadrados de lados A, B e C inteiramente contidos no quadrado de lado unitario, que relacao necessaria e suficiente deve existir entre A, B e C para exista ao menos um ponto comum aos tres quadrados ? ORIENTACAO : A) Use um vetor unitario U=(cos(TETA),sen(TETA)) para carcterizar a inclinacao de um quadrado (inclinacao de um lado). O vetor V=(-sen(TETA),cos(TETA)) tambem e unitario, perpendicular a U e tem a direcao perpendicular ao lado de direcao U. B) Expresse cada vertice em funcao de um unico vertice. Para cada um destes vertices imponha 0 = VERTICE = 1. Isto vai gerar as CONDICOES DE CONFINAMANETO c) Mostre, usando A+B1 que o conjunto das abscissas dos pontos de um quadrado nao pode ser disjunto do conjunto das abscissas dos pontos do outro quadrado. Isso cria um intervalo de abscissas comum aos dois quadrados. D)Tracando por cada um dos pontos do intervalo descrito em C uma reta vertical, ela devera passar pelo interio dos dois quadrados. Isso implica que surgira dois intervalos que sao os pontos Y interiores aos dois quadrados. Para cada um destes intervalos defina o maximo e o minimo deles. E ) Nao haveria intersecao entre os quadrados se, para todo X do intervalo comum de abscissas, o maximo Y do intervalo de um quadrado fosse sempre estritamente menor que o minimo Y do intervalo do outro quadrado. Mostre que isso conduz a um absurdo. F)Agora, indo alenm de Erdos. Defina uma funcao que para cada X do intervalo comum de abscissas associa o minimo Y e o maximo Y da intersecao das ordenadas. Isso vai permitir a voce TRACAR A FIGURA DE INTERSECAO. Isso resolve todos os problemas acima. A area e a integral desta funcao. O item 3) e uma consequencia disso. Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1100,080202 Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1046,080202 _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Soma de Potências (de novo)
Ola Ghaeser e demais colegas desta lista, Gostei da frase que voce destaca : mathematicus nascitur, non fit. Por esta razao voce ajudar voce a compreender os fenomenos que esta percebendo. O somatorio de i^k, i variando de 1 ate N e K natural, e um polinomio de grau K+1. E verdade. De fato. Isto e uma conjuncao de dois teoremas, geralmente enunciados assim ( ou equivalente ): TEOREMA 1 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica entao (A1^k, A2^k, ..., An^k) e uma Progressao Aritmetica de ordem K. TEOREMA 2 : Se (A1,A2,...,An) e uma Progressao Aritmetica de ordem K entao sua soma e um polinomio de grau K+1. O que talvez nao esteja claro e que o que chamamos comumente de Progressao Aritmetica e, em verdade, uma Progressao Aritmetica de ordem 1 ( uma sucessao constante, tipo 1,1,1,1, e de ordem zero ). Isto permite voce tratar com serenidade de Progressoes de ordens mais avancadas, por exemplo. Seja (A1,A2,...,An) uma progressao de ordem K, entao : B1=A1 Bn=A1+...+An E de ordem K+1. Isto permite voce alcancar todas as progressoes de todas as ordens K, K natural e maior que zero. Agora voce pode provar um resultado muito mais interessante : TEOREMA: Se (A1,A2,...,An) e uma progressao de ordem K e (C1, C2, ..., Cn) e de ordem L entao (A1*C1, A2*C2, ..., An*Cn) e de ordem K+L COROLARIO : ( Nome bonito, nao ? O meu proximo cachorro vou batizar de Corolario )Se (A1,A2,...,An) e uma PA-L ( Progressao Aritmetica de ordem K ) entao (A1^k, A2^k, ..., An^k) e uma PA-L*K, ISTO E, e uma progressao aritmetica de ordem L*K. Agora voce comeca a entender as coisas ? Ainda nao ? Bom, vejamos. Como diria o Prof Ralph, o truque e o seguinte : As progressoes aritmeticas de ordem inteira e positiva podem ser expressam como soma de produtos de numeros binomiais ... Assim. PA-1 Sn =Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2 -A1) PA-2 Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1) PA-3 Sn=Bi(N,1)*A1 + Bi(N,2)*(A2-A1) + Bi(N,3)*(A3-2*A2+A1) + Bi(N,4)*(A4-3*A3+3*A2-A1) e assim sucessivamente. E facil provar estas coisas ( Bom exercicio pra voce ). Quando voce iguala a zero e reduz o termos semelhantes vao surgir os fatos que voce vem percebendo. NOTA: Bi(N,P)=numero binomial de numerador N e denominador P. Se P N entao faca Bi(N,P)=0. Ajudou ? Corolario ! Corolario ! Ih, maluco. Deixa eu ir ficando por aqui porque o corolario fugiu pra rua fantasiado de axioma. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1304,080202 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Soma de Potências (de novo) Date: Fri, 8 Feb 2002 12:11:23 -0200 Olá pessoal, Sabemos que a fórmula para sum(i^k,i=1 até n) é um polinômio de grau k+1. Verifiquei que quando k é par -1, -1/2 e 0 são raizes !! quando k é ímpar e diferente de um, -1 e 0 são raizes duplas. Verifiquei isso até k=~200. tentei descobrir isso por 2 métodos diferentes mas não consegui entender porque! a demonstração da fórmula para os 2 métodos e o algorítmo em Mathematica 4.0 estão em http://www.gabas.cjb.net 1) método: sum(i^k,i=1,n)=sum((i+1)^k,i=1,n)-(n+1)^k+1 ... 2) método: encontrar P(i) tq P(i)-P(i-1)=i^k e somar para i=1 ate n Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Idioma e Livros russos
Ola Pessoal, Nao me surpreende haver uma referencia ao livro do Luis Lopes na Alemanha... Nesta terra de Gauss e Kant, onde a cultura e aciencia tantas vezes ja vicejou e viceja, as boas obras encontram um ambiente mais favoravel para serem apreciadas ... Para voces que estao se preparando para vestibulares onde se exige um pouco mais de Matematica, para voces que desejam ir alem do trivial e ridiculo que, em geral, e o conteudo da maioria dos livros didaticos. Enfim, para voces que querem livros que os coloquem acima do nivel exigido pelos nossos vestibulares mais dificeis, eu recomendo e assino em baixo os livros do Luis Lopes. O Luis lopes a quem me refiro e o mesmo da mensagem abaixo. E portanto um colega nosso desta lista. Os livros dele em geral vem com o titulo Manual de ... e, ai, seguem as varias especificacoes : manual de progressoes, de exponenciais, de inducao matematica etc. Eu afirmo que o estudante que fizer 80% dos exercicios destes livros passa mole na imensa maioria dos vestibulares as nossas escolas superiores. Portanto, nao podem faltar na biblioteca dos estudantes serios. Estou divulgando isso aqui porque sei que muitos de nossos leitores sao estudantes se preparando para os vestibulares onde se exige mais matematica. Se qualquer de voces lerem algum destes livros, vao ver que estou falando a verdade. Um abraco a Todos Um abraco especial ao Luis Lopes Paulo Santa Rita 6,1328,080202 From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Idioma e Livros russos Date: Fri, 8 Feb 2002 13:00:56 -0200 Sauda,c~oes, Para o alemão, sugiro a www que aparece na mensagem abaixo. Pode ser que demore um pouco até terminar o descarrego, mas vale a pena. Entre na letra Y , na seção Y1 Bücher (books) e vc encontrará uma lista enorme de referências. Fazendo esta pesquisa pra minha surpresa acabo de ver lá uma referência Lop96... []´s Luís From: Dr. Eckard Specht [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [EMHL] a problem ... Date: Sat, 17 Nov 2001 12:39:51 +0100 (CET) Dear Arnaud, may be you will find the answer to your question in one of the many formulas/texts at http://www.math4u.de especially in section T.1 Formeln fuer das Dreieck, subsection T.1.6 ;-) Regards from the foggy north! -Eckard -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 8 de fevereiro de 2002 12:18 Assunto: [obm-l] Idioma e Livros russos Ola Pessoal ! Quem tem recursos financeiros disponiveis pode adquirir excelentes livros de Fisica e Matematica Russos - traduzidos para o espanhol - em : http://www.urss.ru/ (nao esqueca de ver o maravilhoso MECANICA ANALITICA do GANTMAJER ) Quem quer COMECAR A LER no idioma eslavo. pode ir em : http://www.departments.bucknell.edu/russian/language Para o alemao va em : http://www.dwelle.de Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1013,080202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] livros do Luis Lopes
Ola Pessoal, Nao me surpreende haver uma referencia ao livro do Luis Lopes na Alemanha... Nesta terra de Gauss e Kant, onde a cultura e aciencia tantas vezes ja vicejou e viceja, as boas obras encontram um ambiente mais favoravel para serem apreciadas ... Para voces que estao se preparando para vestibulares onde se exige um pouco mais de Matematica, para voces que desejam ir alem do trivial e ridiculo que, em geral, e o conteudo da maioria dos livros didaticos. Enfim, para voces que querem livros que os coloquem acima do nivel exigido pelos nossos vestibulares mais dificeis, eu recomendo e assino em baixo os livros do Luis Lopes. O Luis lopes a quem me refiro e o mesmo da mensagem abaixo. E portanto um colega nosso desta lista. Os livros dele em geral vem com o titulo Manual de ... e, ai, seguem as varias especificacoes : manual de progressoes, de exponenciais, de inducao matematica etc. Eu afirmo que o estudante que fizer 80% dos exercicios destes livros passa mole na imensa maioria dos vestibulares as nossas escolas superiores. Portanto, nao podem faltar na biblioteca dos estudantes serios. Estou divulgando isso aqui porque sei que muitos de nossos leitores sao estudantes se preparando para os vestibulares onde se exige mais matematica. Se qualquer de voces lerem algum destes livros, vao ver que estou falando a verdade. Um abraco a Todos Um abraco especial ao Luis Lopes Paulo Santa Rita 6,1328,080202 From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Idioma e Livros russos Date: Fri, 8 Feb 2002 13:00:56 -0200 Sauda,c~oes, Para o alemão, sugiro a www que aparece na mensagem abaixo. Pode ser que demore um pouco até terminar o descarrego, mas vale a pena. Entre na letra Y , na seção Y1 Bücher (books) e vc encontrará uma lista enorme de referências. Fazendo esta pesquisa pra minha surpresa acabo de ver lá uma referência Lop96... []´s Luís From: Dr. Eckard Specht [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [EMHL] a problem ... Date: Sat, 17 Nov 2001 12:39:51 +0100 (CET) Dear Arnaud, may be you will find the answer to your question in one of the many formulas/texts at http://www.math4u.de especially in section T.1 Formeln fuer das Dreieck, subsection T.1.6 ;-) Regards from the foggy north! -Eckard -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 8 de fevereiro de 2002 12:18 Assunto: [obm-l] Idioma e Livros russos Ola Pessoal ! Quem tem recursos financeiros disponiveis pode adquirir excelentes livros de Fisica e Matematica Russos - traduzidos para o espanhol - em : http://www.urss.ru/ (nao esqueca de ver o maravilhoso MECANICA ANALITICA do GANTMAJER ) Quem quer COMECAR A LER no idioma eslavo. pode ir em : http://www.departments.bucknell.edu/russian/language Para o alemao va em : http://www.dwelle.de Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1013,080202 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] russos
Ola Pessoal, A observacao da Prof Iolanda resolve o problema, desde que se entenda que e um argumento que conduz a uma PROVA POR REDUCAO AO ABSURDO ... Pois somente se SUPORMOS que ha uma sequencia de 39 numeros naturais consecutivos na qual nenhum deles tem para a soma de seus algarismos um numero divisivel por 11 podemos dizer, como a catedratica de Moscou implicitamente afirma, na mensagem abaixo, que teremos ao menos tres sequencias de naturais tais que o primeiro termo deixa resta 1 quando dividido por 11. Mas tudo isso e bordado, trico e croche. A inteligencia esta na observacao da Prof Iolandonov. Um abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1641,250102 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] russos Date: Thu, 24 Jan 2002 17:55:54 -0200 Faltam ainda diversos casos a considerar, mas é por aí mesmo... Eu consegui resolver o problema, se ninguem resolver eu mando a resposta... -Mensagem Original- De: Iolanda Brazão [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quinta-feira, 24 de Janeiro de 2002 14:26 Terezan Assunto: Re: [obm-l] russos Oi gente. No problema 1, notar que quando se passa de um natural N para o natural N+1 a soma dos algarismos - de N - passa de A para A+1, desde que N nao tenha 9 para algarismo das unidades. Se 9 for o algarismo das unidades de N entao a soma dos algarismos de N+1 sera A-9K+1, para algum K inteiro. Neste ultimo caso, a soma dos algarismo de N+1 deve deixar resto 1 quando divisivel por 11 e como sao 39 numeros, isso devera acontecer, ao menos, 3 vezes ... Ajudou ? From: gabriel guedes [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] russos Date: Wed, 23 Jan 2002 16:28:27 -0200 Ola amigos da lista, estava resolvendo alguns problemas russos ( aqueles que o Paulo traduziu), mas estou com dificuldades nesse dois: 1)Prove que em qualquer sequencia de 39 numeros naturais consecutivos existe ao menos um numero cuja a soma dos algarismos e divisivel por 11. 2)Dados quaisquer numeros naturais m ,n e k' . prove que nós sempre podemos encontrar dois numeros r e s, primos entre si , tal que r*m + s*n é um multiplo de k. Agradeo desde a QUALQUER colaborao, Gabriel. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br/. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: A+B1
Ola Humberto, Nao e uma solucao, era so uma ideia para ser trabalhada ( e acredito que ruim, pois nao havia pensado bem no problema ). Mas eu tive uma outra ideia... Vou esperar voce publicar a sua solucao, se for diferente da minha, eu publico a minha. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1212,180102 From: Humberto Naves [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: A+B1 Date: Thu, 17 Jan 2002 20:13:28 -0300 (ART) Oi Pessoal, O Problema não supoe que os lados sejam paralelos aos do quadrado de lado 1. Por falar nisso, a desigualdade que lhes falei funciona quando os lados dos quadrados (quadrados de lados a e b) forem paralelos (nao necessariamente paralelos aos lados do quadrado de lado 1 :-). Achei meio estranha a demonstracao do Paulo Santa Rita, ela ta certa??? Estranho!! Acho que acabei o problema, vou mandar para a lista logo logo, so deixa eu verificar e terminar de escrever, mas por favor me mandem uma outra solucao, se possivel. Abracos, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: Probleminha
Ola Humberto, Bem-Vindo ! Se a+b1 entao a1-b. Imagine agora um quadrado de lado b dentro do quadrado de lado 1 ... Qualquer que seja a posicao deste quadrado, o maximo que podera sobrar na direcao vertical bem como na horiontal e 1-b. Mas a 1-b. Logo, nao e possivel colocar um outro quadrado de lado sem que haja superposicao das figuras. Se alguem raciocinasse assim, eu aceitaria, mas suspeito que nao e isso que voce quer ver ... Seja um sistema cartesiano ortogal. Imagine um quadrado no primeiro quadrante com um vertice na posicao (0,0). Escolha um ponto (X,Y) neste quadrado como centro de um quadrado de lado b. Usando os lados do quadrado de lado b como suporte, trace as quatro retas. Isso vai permitir a voce delimitar, no maximo, oito retangulos. Usando o fato de que : 1) a 1-b 2) se c d nao e possivel colocar totalmente dentro de um retangulo de altura d um quadrado de lado c, qualquer que seja a largura do retangulo. Mostre que em nenhumas das regioes ( no maximo oito ) cabera o quadrado de lado a Se mesmo assim voce nao ficar satisfeito, voce deve saber que esta lidando com FORMAS e nao somente com NUMEROS. Ha algum tempo atras eu li um livro sobre FORMAS MODULARES no qual o autor mostrava como representar analiticamente ( por equacoes com diversos niveis de modulos ) as diversas figuras lineares, tais como quadrados, losangos etc. Esta e a maneira mais geral, mas eu nao estou me lembrando agora destas equacoes e li tal livro em uma biblioteca. Bom, eu vou ficando por aqui ... Mesmo porque agora surgiu um problema legal : eu nao me lembro o autor e o titulo do livro acima e gosto de fazer experiencias mentais, trazendo para a memoria com clareza fatos ha muito vividos. Um abraco pra voce ! Paulo Santa Rita 5,1325,170102 From: Humberto Naves [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Probleminha Date: Wed, 16 Jan 2002 21:12:43 -0300 (ART) Oi Pessoal, Sou novo aqui na lista, e estou propondo um probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda, tentei por Geometria Analitica e chegou numa desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como posso mandar uma figura atraves da lista). Problema: Prove que eh impossivel colocar dentro de um quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com a+b1, sem superposicao. Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro matematico que naum me lembro! Obrigado, Humberto Silva Naves ___ Yahoo! GeoCities Tenha seu lugar na Web. Construa hoje mesmo sua home page no Yahoo! GeoCities. É fácil e grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br
Re: Probleminha (ampliacao)
Ola Pessoal,
Um detalhe : O Problema abaixo, apresentado pelo Humberto, nao informa se os
quadrados de lados a e b podem estar com seus lados inclinados em
relacao aos lados do quadrado original ( de lado unitario ). Eu estou
supondo que exige-se que os quadrados de lados a e b mantenham os seus
lados paralelos aos lados do quadrado original.
Se eu entendi mal o problema, vale dizer, se se permite que os quadrados de
lados a e b podem ser inclinados, a solucao fica diferente :
1) Estabeleca um sistema de eixos cartesianos ortogonais. Considere um
quadrado de lado unitario TOTALMENTE DENTRO DO PRIMEIRO QUADRANTE com um
vertice na origem deste sistema de eixos.
Os pares (X,Y) que compoe este quadrado, sao, obviamente , os que satisfazem
as inequacoes : 0 = X = 1 e 0 = Y = 1
2) Um quadradindo de lado a dentro do quadrado acima pode ser
caracterizado univocamente de diversas maneiras. Em particular, pode ser
caracterizado por um par nao-ordenado {(Xa,Ya),M }, onde (Xa,Ya) e o centro
do quadradindo e M a inclinacao de um de seus lados.
3) Os lados do quadradinho estao contidos em equacoes da forma :
Ys=Mx + S, Yi=Mx + I, yi'=(1/M)X + I' e ys'=(1/M)X + S'. Para qualquer
ordenada de um ponto no quadradinho existem duas das retas acima, uma
inferior ( I ou I' ) e outra Superior ( S ou S') tal que
I ( ou I')= y = S ( ou S')
4) As abscissas dos pontos que compoe o quadradinho satisfazem uma inequacao
da forma :
A x B
( A e B saem facilmente em funcao de M, de a e de (Xa,Ya))
Exemplo : a*(sen(M) + cos(M)) e a distancia horizontal entre os vertices
leste e oeste.
5) Os passos acima vao caracterizar um quadrinho como um conjunto de
inequacoes. Montando as inequacoes para o quadradinho de lado b, Centro
(Xb,Yb) e inclinacao N, mostre que se a+b1 e (X,Y) varia no quadradinho de
lado unitario, para qualquer M,N existe ao menos um ponto que satisfaz os
dois sistemas de inequacoes.
6) EstE foi um ESBOCO DE SOLUCAO ... NO BRACO ! E feia mas e um caminho.
Melhor que nao ter ideia alguma de como encarar o problema. Imagino que ha
alguma forma mais elegante de caracterizar os quadradinhos e, portanto, de
mostrar a necessaria intersecao que eles devem ter. Esta caraterizacao
elelgante, inclusive, serviria para tratar muitos outros problemas
semelhantes. Alguem se habilita ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1544,170102
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Probleminha
Date: Thu, 17 Jan 2002 15:28:37
Ola Humberto,
Bem-Vindo !
Se a+b1 entao a1-b. Imagine agora um quadrado de lado b dentro do
quadrado de lado 1 ... Qualquer que seja a posicao deste quadrado, o maximo
que podera sobrar na direcao vertical bem como na horiontal e
1-b. Mas a 1-b. Logo, nao e possivel colocar um outro quadrado de lado
sem que haja superposicao das figuras.
Se alguem raciocinasse assim, eu aceitaria, mas suspeito que nao e isso que
voce quer ver ...
Seja um sistema cartesiano ortogal. Imagine um quadrado no primeiro
quadrante com um vertice na posicao (0,0). Escolha um ponto (X,Y) neste
quadrado como centro de um quadrado de lado b. Usando os lados do
quadrado
de lado b como suporte, trace as quatro retas. Isso vai permitir a voce
delimitar, no maximo, oito retangulos. Usando o fato de que :
1) a 1-b
2) se c d nao e possivel colocar totalmente dentro de um retangulo de
altura d um quadrado de lado c, qualquer que seja a largura do
retangulo.
Mostre que em nenhumas das regioes ( no maximo oito ) cabera o quadrado de
lado a
Se mesmo assim voce nao ficar satisfeito, voce deve saber que esta lidando
com FORMAS e nao somente com NUMEROS. Ha algum tempo atras eu li um livro
sobre FORMAS MODULARES no qual o autor mostrava como representar
analiticamente ( por equacoes com diversos niveis de modulos ) as diversas
figuras lineares, tais como quadrados, losangos etc. Esta e a maneira
mais
geral, mas eu nao estou me lembrando agora destas equacoes e li tal livro
em
uma biblioteca.
Bom, eu vou ficando por aqui ... Mesmo porque agora surgiu um problema
legal
: eu nao me lembro o autor e o titulo do livro acima e gosto de fazer
experiencias mentais, trazendo para a memoria com clareza fatos ha muito
vividos.
Um abraco pra voce !
Paulo Santa Rita
5,1325,170102
From: Humberto Naves [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Probleminha
Date: Wed, 16 Jan 2002 21:12:43 -0300 (ART)
Oi Pessoal,
Sou novo aqui na lista, e estou propondo um
probleminha legal que encontrei. Não o resolvi ainda,
tentei por Geometria Analitica e chegou numa
desigualdade, quando acabar mando a solucao (Como
posso mandar uma figura atraves da lista).
Problema:
Prove que eh impossivel colocar dentro de um
quadrado de lado 1, dois quadrados de lados a e b, com
a+b1, sem superposicao.
Esse problema foi proposto por P. Erdos e outro
matematico que naum me lembro!
Obrigado,
Humberto Silva Naves
Re: Exercícios
Ola Pessoal, Me parece que e claro que um PEQUENO QUADRADO de lado L/2 pode ser inscrito no circulo. Isto implica que o raio do circulo e R*RAIZ_2(2)=L/2 = R=(L*RAIZ_2(2))/4 Usando agora aquele teorema O QUADRADO DA TANGENTE E IGUAL AO PRODUTO DA SECANTE PELA SUA PARTE EXTERNA, FICA x`2=L*RAIZ_2(2)*(L*RAIZ_2(2) - L*RAIZ_2(2)/2) logo X = L Ou seja O COMPRIMENTO E IGUAL AO LADO DO QUADRADO. UM ABRACO Paulo Santa Rita 4,1427,160102 De: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Terça-feira, 15 de Janeiro de 2002 00:14 Assunto: Exercícios 1)Considere o círculo que passa pelo vértice A de um quadrado ABCD e pelos pontos médios dos lados AB e AD. Sendo L a medida do lado do quadrado, o segmento determinado pela tangente a esse círculo traçada por C tem comprimento: _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br
Re: Questão - Seleção 2001
Ola Villard e demais colegas desta lista, Problema Bonito ! Adoro esse tipo de problema que nao requer como solucao uma formula ou numero, mas que apenas deseja que se esclareca um aspecto qualitativo. Eu vou apenas esbocar uma solucao. Voce completa as lacunas e conclui a demonstracao. Vejamos. Bem, vejamos ... Hummm ... Aaai ... Hu ... Barriga infeliz ! Deve ter sido a cuia de feijoada com o copo duplo de suco de mocoto que tomei ontem a noite, antes de me deitar. Bom, mas, vamos ao problema. Sejam N retas, N um numero natural. Podemos sempre considerar dois pontos de intersecao, ja que ha AO MENOS DOIS PONTOS DE INTERSECAO. Sejam A e B estes pontos : 1 CASO ) A e B sao magros : Neste caso as coisas terminam aqui, pois podemos dizer que HA, NO MINIMO, DOIS PONTOS MAGROS. 2 CASO ) A e magro e B e gordo : Sejam R1 e R2 as unicas retas que passam por A. COMO B e GORDO, AO MENOS TRES RETAS PASSAM POR B E, DESSAS TRES, AO MENOS DUAS OUTRAS RETAS, DIFERENTES DE R1 e R2, PASSARAO POR B ... ( Pois R1 ou R2 podem conter B ! ). Sejam S1 e S2 essas duas novas retas. Sobre todas as hipoteses possiveis de se fazer sobre S1 e S2 em relacao a R1 e R2, havera ao menos um novo ponto de intersecao, diferente de A e B. Seja C este ponto. O truque esta aqui : mostrar que sempre surgira um novo ponto de intersecao e que se supor mos que este novo ponto sempre e GORDO implicara numa nova reta e, portanto, absurdamente, um numero infinito de retas. Logo, devera haver, ao menos, um novo ponto X que e MAGRO. Como A e magro e X e magro haverao, ao menos, dois pontos magros 3 CASO )A e B sao gordos : Das, no minimo, 3 retas que passam por A, tome duas. Como B e gordo, recaimos no caso anterior. Um Grande abraco pra voces ! Paulo Santa Rita 3,1421,150102 From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Obm [EMAIL PROTECTED] Subject: Questão - Seleção 2001 Date: Mon, 14 Jan 2002 17:21:12 -0200 Segue um problema de uma lista de seleção pra imo-ibero do ano passado : Considere um número finito de retas coplanares. Um ponto magro de intersecção é um ponto onde concorrem exatamente 2 retas. Supondo que existem pelo menos 2 pontos de intersecção, determine o número mínimo de pontos magros de intersecção. Não sei o nível de dificuldade. aguardo respostas.. Abraços, Villard _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: questão
Ola Luis, Sem duvida nenhuma que voce sabe fazer este problema ... E tao simples e automatico que nao da nem pra pensar. Como sugestao: 1) Escolha Um Sistema de Eixos Cartesianos conveniente, tal como o que tem o vertice B como origem e eixo Ox coincidindo com o lado BC. ( Estou supondo que o vertice B esta a esquerda do vertice C ) 2) Chame BC=a 3) Observe entao que o lado BA e uma reta da forma Y=m*X, com m=Tg(B)e o lado CA e uma reta que passa por (a,0) e tem coeficiente angular -Tg(C). 4) Tg(C)= K/Tg(B) = reta CA : y=(-k/m)*X + a 5) O ponto A e evidentemente a solucao do sistema : m*X - Y = 0 (-k/m)*X - Y = -a 6) Expresse a solucao do sistema acima em funcao de a, K e m e, a segir, discuta em que casos ha solucao. Identifique o lugar geometrico das solucoes possiveis. 7) Muito provavelmente sera uma conica, mas eu nao verifiquei se e ou nao. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1614,140102 From: luis felipe [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: questão Date: Mon, 14 Jan 2002 00:18:38 -0200 alguém sabe resolver esta questão? seja abc um triângulo qualquer, no qual os vértices b e c são fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto a, variável, sabendo que os ângulos B e C satisfazem à relação tgB.tgC = K ( constante real) Discutir a solução para os diversos valores de K luis felipe _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: questão (correcao)
Eu cometi um erro na mensagem abaixo. Correcao : 4) Tg(C)=K/Tg(B) = reta CA: Y=(-k/m)*(X - a) 5) O ponto A e solucao do sistema : m*X - Y = 0 (k/m)*X + Y = (k*a)/m From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: questão Date: Mon, 14 Jan 2002 18:17:20 Ola Luis, Sem duvida nenhuma que voce sabe fazer este problema ... E tao simples e automatico que nao da nem pra pensar. Como sugestao: 1) Escolha Um Sistema de Eixos Cartesianos conveniente, tal como o que tem o vertice B como origem e eixo Ox coincidindo com o lado BC. ( Estou supondo que o vertice B esta a esquerda do vertice C ) 2) Chame BC=a 3) Observe entao que o lado BA e uma reta da forma Y=m*X, com m=Tg(B)e o lado CA e uma reta que passa por (a,0) e tem coeficiente angular -Tg(C). 4) Tg(C)= K/Tg(B) = reta CA : y=(-k/m)*X + a 5) O ponto A e evidentemente a solucao do sistema : m*X - Y = 0 (-k/m)*X - Y = -a 6) Expresse a solucao do sistema acima em funcao de a, K e m e, a segir, discuta em que casos ha solucao. Identifique o lugar geometrico das solucoes possiveis. 7) Muito provavelmente sera uma conica, mas eu nao verifiquei se e ou nao. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1614,140102 From: luis felipe [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: questão Date: Mon, 14 Jan 2002 00:18:38 -0200 alguém sabe resolver esta questão? seja abc um triângulo qualquer, no qual os vértices b e c são fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto a, variável, sabendo que os ângulos B e C satisfazem à relação tgB.tgC = K ( constante real) Discutir a solução para os diversos valores de K luis felipe _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: Historia e Matematica
Ola Pessoal, E verdade, o Prof Jose Paulo esta coberto de razao. Eu errei. Nao ha Teorema Russo : ha TEOREMA, pois a Matematica e Universal e os seus resultados, qualquer que seja a nacionalidade do autor, sao patrimonio de toda a humanidade. Mas e igualmente verdade que se num concurso de beleza nos fixarmos nossa atencao no dedo do pe da miss ele nao sera tao bonito ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1314,100102 From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM-Lista [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Historia e Matematica Date: Wed, 9 Jan 2002 21:34:51 -0200 Achei curiosa esta expressao Teorema Russo. Ja imaginou se a moda pega? Teorema americano, teorema ingles, teorema indiano (olha o Ramanujan ahi), teorema frances, teorema brasileiro (eu tambem tenho um), ... Poupem-me... JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 09, 2002 6:42 PM Subject: Historia e Matematica Ola Pessoal, Ja que falamos anteriormente sobre uma Excelente Antologia de Logica-Matematica, peco licenca para sugerir uma outra Antologia, igualmente excelente e que trata da HISTORIA DOS METODOS MATEMATICOS, isto e, um livro didatico com forte enfoque historico. Ela consiste de trabalhos dos MAIORES MATEMATICOS RUSSOS de todos os tempos. Existe uma traducao para o Espanhol, que e um idioma que todos os brasileiros leem e e a que vou apresentar : SAO TRES VOLUMES: TITULO La Matematica : su contenido, metodos y significado AUTORES Kolmogorov, Aleksandrov, Liapunov, Laurientiev y otros EDITORA Alianza Universidad Editorial Calle Milan, 38 - Madrid ISBN : 84-206-2993-6 So para aticar o interesse de voces : Seja dy=( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C )dx. Que condicao devem satisfazer A, B e C para que possamos exprimir a integral de dy como combinacao de funcoes elementares, sejam elas algebricas ou transcendentes ? Se voce nao conhecer a resposta a esta pergunta ( que e um Teorema Russo ) pode ser que fique tentando, tal como um *Sisifo, encontrar a integral ... E e muito comum cairmos num Binomio Diferencial assim ... Aqui mesmo na Lista ja propuserao problemas que recaem nele. A resposta a pergunta que fiz e o TEOREMA DE CHEBYSHEV : So e possivel encontrar uma funcao cuja derivada seja ( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C se : 1) C e um inteiro 2) (A+1)/B e um inteiro 3) (A+1)/B + C e um inteiro Para cada um dos casos acima Chebyshev mostra como achar a integral atraves de uma substituicao inteligente. Mais ainda, Chebyshev mostra que o binomio acima pode vir de uma tentativa de calculo de area ou de volume por UMA medida e como usar DUAS MEDIDAS para as coisas serem sempre integraveis. Assim, conhecer este teorema pode evitar muito trabalho inutil, ou seja : todo braco tem limites ... Agora eu pergunto : No livro de calculo da sua estante tem esse teorema ? Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1634,090102 * : SISIFO e um ser mitologico que, por castigo, estava obrigado a subir um Monte muito alto empurrando uma imensa pedra em forma de esfera. Quando chegava no topo Monte a pedra se soltava e ele era obrigado a subir novamente, repetindo o sacrificante trabalho ... indefinidamente. Diz-se, portanto, que quando alguem executa repetidamente uma tentativa que com certeza sabemos que nao sera bem sucedida que e UM TRABALHO DE SISIFO Acento agudo no primeiro i ) _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
Ola David,
Voce vem buscando a solucao do 2 problema, mas ela esta claramente no
proprio livro do Prof Elon, e so voce olhar com mais atencao ... Voce deve
saber que os numeros algebricos sao enumeraveis, se os transcendentes fossem
enumerareis, os reais tambem seriam, o que um absurdo.
Um abraco
Paulo Santa Rita
5,1436,100102
From: David Daniel Turchick [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
Date: Thu, 10 Jan 2002 14:28:47 -0200
Bom, o primeiro eu fiz...
Queremos a imagem inversa do ponto 0, pela função f (i.e., o conjunto de
todos os pontos do domínio de f que são levados no 0).
Então (x,y) Î f^(-1) (0) sse f(x,y)=0, i.e, 3x-y=0, i.e., y=3x. Logo f^(-1)
(0) = {(x,y) Î RxR / y=3x} = {(x,3x) Î RxR} = [(1,3)] (o conjunto gerado
pelo vetor (1,3)). Logo, o conjunto pedido é a reta passando pela origem
com inclinação 3.
Analogamente:
g^(-1) (0) = circunferência centrada em (1,1) de raio 3.
w^(-1) (0) = plano xy.
u^(-1) (0) = cone... (acho que não sei descrever com palavras, mas fazendo
a figura fica muito fácil de ver)
-Mensagem original-
De: haroldo [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Quinta-feira, 10 de Janeiro de 2002 13:28
Assunto: En: questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
-Mensagem original-
De: haroldo [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Terça-feira, 8 de Janeiro de 2002 23:22
Assunto: questões do livro Curso de Análise ,vol1 , AJUDA.
Saudações a todos os amigos da lista.
Gostaria de ajuda em 2 exercícios do livro do Elon.
1-Sejam f,g : RxR - R e w,u : RxRxR R as funções definidas
por f(x,y)= 3x-y, g(x,y)=(x-1)^2 + (y-1)^2 -9 , w(x,y,z)= 3z,
u(x,y,z)= x^2 + y^2 - z . interpretando (x,y) como as cooredenadas de
um ponto do plano RxR e (x,y,z) como coordenadas de um ponto do espaço,
descreva geometricamente os conjuntos f^(-1) (0) , g^(-1) (0) , w^(-1) (0)
, z^(-1) (0).
2-Um número real chama-se transcedente quando não é algébrico . prove
que o conjunto dos números transcedentes é não -enumerável e denso em R.
_
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Re: Historia e Matematica
Ola Prof Jose Paulo, Obrigado pelo elogio. Eu ja sou timido por natureza, com as suas palavras to vermelho ate agora ... Mas tambem to imensamente curioso em ler a sua tese. O Sr nao tem uma Home Page onde ela esta publicada para que possamos estuda-la e le-la, assim como faz o Prof Nicolau com alguns trabalhos dele ? Confesso que a cada dia cresce a minha admiracao pelos matematicos Russos. Eles tem uma especie de Realismo Fantastico, buscando na praxis o fundamento dos conceitos mais abstratos. E esse tal de Kolmogorov e bom mesmo. Justamente agora estou estudando a axiomatizacao que ele fez na Teoria das Probabilidades. Um grande abraco pro Sr Paulo Santa Rita 5,1453,100102 From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Historia e Matematica Date: Thu, 10 Jan 2002 14:34:16 -0200 Paulo, a sua resposta so demonstra, mais uma vez, a sua grandeza de carater. Quanto ao dedo do pe da miss, nao se preocupe: Sou fan absoluto do Kolmogorov, que alias esteve no Brasil, na decada de 70 (creio), quando eu era professor da ENCE. Seu livro de Analise (Introducao a Analise Real) eh o meu livro de cabeceira para integracao, e ele eh praticamente o criador do conceito de Probabilidade que se usa ateh hoje, como uma funcao definida num espaco de medida, com certas propriedades, etc. A compactificacao de Alexandroff eh usada na minha tese de doutorado, que generaliza um problema do russo S.Bernstein, usando resultados de Kakutani, Kaplansky, e outros russos (alem de muitos nao russos, como Weierstrass, Dieudonne e o brasileiro Leopoldo Nachbin). Um abraco. JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 10, 2002 3:17 PM Subject: Re: Historia e Matematica Ola Pessoal, E verdade, o Prof Jose Paulo esta coberto de razao. Eu errei. Nao ha Teorema Russo : ha TEOREMA, pois a Matematica e Universal e os seus resultados, qualquer que seja a nacionalidade do autor, sao patrimonio de toda a humanidade. Mas e igualmente verdade que se num concurso de beleza nos fixarmos nossa atencao no dedo do pe da miss ele nao sera tao bonito ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1314,100102 From: Jose Paulo Carneiro [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: OBM-Lista [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Historia e Matematica Date: Wed, 9 Jan 2002 21:34:51 -0200 Achei curiosa esta expressao Teorema Russo. Ja imaginou se a moda pega? Teorema americano, teorema ingles, teorema indiano (olha o Ramanujan ahi), teorema frances, teorema brasileiro (eu tambem tenho um), ... Poupem-me... JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 09, 2002 6:42 PM Subject: Historia e Matematica Ola Pessoal, Ja que falamos anteriormente sobre uma Excelente Antologia de Logica-Matematica, peco licenca para sugerir uma outra Antologia, igualmente excelente e que trata da HISTORIA DOS METODOS MATEMATICOS, isto e, um livro didatico com forte enfoque historico. Ela consiste de trabalhos dos MAIORES MATEMATICOS RUSSOS de todos os tempos. Existe uma traducao para o Espanhol, que e um idioma que todos os brasileiros leem e e a que vou apresentar : SAO TRES VOLUMES: TITULO La Matematica : su contenido, metodos y significado AUTORES Kolmogorov, Aleksandrov, Liapunov, Laurientiev y otros EDITORA Alianza Universidad Editorial Calle Milan, 38 - Madrid ISBN : 84-206-2993-6 So para aticar o interesse de voces : Seja dy=( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C )dx. Que condicao devem satisfazer A, B e C para que possamos exprimir a integral de dy como combinacao de funcoes elementares, sejam elas algebricas ou transcendentes ? Se voce nao conhecer a resposta a esta pergunta ( que e um Teorema Russo ) pode ser que fique tentando, tal como um *Sisifo, encontrar a integral ... E e muito comum cairmos num Binomio Diferencial assim ... Aqui mesmo na Lista ja propuserao problemas que recaem nele. A resposta a pergunta que fiz e o TEOREMA DE CHEBYSHEV : So e possivel encontrar uma funcao cuja derivada seja ( (x^A)*((m + n*(x^B)))^C se : 1) C e um inteiro 2) (A+1)/B e um inteiro 3) (A+1)/B + C e um inteiro Para cada um dos casos acima Chebyshev mostra como achar a integral atraves de uma substituicao inteligente. Mais ainda, Chebyshev mostra que o binomio acima pode vir de uma tentativa de calculo de area ou de volume por UMA medida e como usar DUAS MEDIDAS para as coisas serem sempre integraveis. Assim, conhecer este teorema pode evitar muito trabalho inutil, ou seja : todo braco tem limites ... Agora eu pergunto : No livro de calculo da sua estante tem esse teorema ? Um Grande abraco a todos Paulo Santa Rita 4,1634,090102 * : SISIFO e um ser mitologico que, por castigo, estava obrigado a subir um Monte muito alto empurrando uma imensa pedra em forma de esfera
Re: Livro sobre Godel
Oi Rogerio e demais colegas, O pouco que sei sobre Logica-Matematica aprendi estudando por esta Antologia compilada pelo Prof Manuel Lourenco. Mas estou determinado a aprofundar meus conhecimentos neste ramo. Eu tive a sorte de encontrar este Tesouro num Sebo ( Comercio de Livros Usados ), ha cerca de dois anos atras. Mas ja o vi a venda na livraria Interciencia. E bom frisar que trata-se de uma antologia ... Nao e um livro escrito pelo Prof Manuel Lourenco : É uma colecao de Livros, Artigos e trabalhos publicados por Godel, Paul Cohen, Tarski, Salomom Feffermann e outros expoentes da Logica-Matematica. Mas sempre se aprende muito mais estudando as obras originais dos autores das descobertas que estudando por terceiros que procuram popularizar o conhecimento. Ha sempre uma distorcao, por pequena que seja, neste ultimo caso. A antologia e um Tijolaco com cerca de 20 cm de espessura, boa capa e editado em folhas de otimo material. Ou seja : o livro deve ser caro pra caramba ! A unica contribuicao do Prof Manoel Lourenco inicia a Antologia. E uma exposicao excelente da teoria dos conjuntos, com mais detalhes, demonstracoes e minucias que a obra sobre o mesmo tema do Prof Paul Halmos ( Teoria Ingenua dos Conjuntos ). Esta exposicao e seguida por um curso de Logica-Matematica dado por Paul Cohen, em Harvard no ano de 1965, para matematicos nao-especialistas em logica-matematica. A partir daqui voce passa a ter condicoes de entender e acompanhar os trabalhos de Godel, Tarski, Church e outros. Por que voce nao liga para a fundacao Calouste Gulbekian, que editou a antologia, e usa o servico de reembolso ? Existe tambem um portal desta fundacao na Internet. Aqui no Rio a Livraria Leonardo da Vinci, entre outras, intermedia importacao ... Um Grande abraco pra Voce Paulo Santa Rita 4,1546,090102 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Livro sobre Godel Date: Wed, 09 Jan 2002 16:20:03 + Olá, Paulo e demais colegas, Me interessei demais por esse livro, e gostaria de saber onde encontro esse livro. Vende em livrarias normais, como a Cultura? Se alguém tiver notícias de onde encontro esse livro, favor me informar. Mas tem um problema: moro em São Paulo, e, pelo que percebi, a maioria de vocês são do Rio. Também não costumo fazer compras via internet. Mas qualquer informação eu agradeço. Obrigado, Rogério From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Livro sobre Godel Date: Mon, 07 Jan 2002 15:02:53 Ola Daniel e demais colegas desta, Existem muitos livros sobre o Teorema de Godel. Com Semelhantes ao Ultimo Teorema de Fermat talvez voce queira dizer um livro que nao exija conhecimento previo sobre o assunto. Eu acho que e impossivel entender o Teorema de Godel sem algum conhecimento previo sobre fundamentos da Matematica e logica, desde que voce queira realmente entender a coisas e nao somente saber o que falam sobre ela ... O livro : O Teorema de Godel e a hipotese do continuo Fundacao Calouste Gulbenkian Prof Manuel Lourenco E uma antologia sensacional ... Tem traducao para o Portugues e nela voce vai entender o Teorema de Godel como realmente e, demonstrado de mais de uma maneira e discutido em seus aspectos matematicos e filosoficos pelo proprio Godel. TODOS OS PRE-REQUISITOS PARA ENTENDER A DEMONSTRACAO DE GODEL ESTAO NO PROPRIO LIVRO, atraves de : 1) Exposicao pelo Prof Manuel Lourenco de uma das formalizacoes da teoria dos conjuntos ( Nao a de Zermelo-Frankel, mas a de Von Newmann-Bernays ) 2)Introducao a logica-matematica por Paul Cohen, curso ministrado na Universidade de harvard em 1965. OBS : Paul Cohem diz explicitamente que o curso e para os matematicos nao especialistas em logica-matematica adquirirem a base para o entendimento desta area Na antologia voce tambem vera as provas sobre a independencia da hipotese do continuo e muitos outros resultados fundamentais sobre essa area. O livro termina com um estudo sobre as implicacoes filosoficas que o teorema de godel tem. ABRE PARENTESES OBS : Foi o proprio Paul Cohen, acima mencionado, que provou a independencia da hipotese do continuo ... Dizer que a hipotese e independente significa dizer que tanto a sua afirmacao ( Godel ) quanto a sua negacao ( Cohen ) podem ser colocada ao lado dos demais axiomas da teoria dos conjuntos que nao havera inconsistencia subsequente, isto e, ela e uma afirmacao INDEPENDENTE : nao guarda relacao com os demais axiomas ! Este estado de coisas, evidentemente, nao e satisfatorio e aguarda que alg8m de nos forneca um esclarecimento consistente. FECHA PARENTESES Enfim, esta antologia e um tesouro de valor incalculavel e serve para que possamos realmente entender as coisas e falar e discutir sobre elas sem nos fiarmos em textos meramente de divulgacao, que nao raro costumam explorar aspectos fantasiosos ... Um Grande abraco pra voce Paulo Santa Rita
Re: Uma taxa de crescimento
Ola David e demais colegas, Galileu conhecia a formula da posicao, nao obstante nao saber calcular integrais. Como ele deduziu ? Olhando o grafico V = V0 + aT verifica-se facilmente que um movimento uniforme a velocidade constante de (V0 + V)/2 percorre o mesmo espaco que um MUV com as formulas que ja conhecemos, isto e : S - S0 = ((V + V0)*T)/2 daqui, sabendo que V=V0 + at, sai facilmente S = S0 + V0*T + 1/2*a*(T^2) Um abraco Paulo Santa Rita 2,1753,070102 O meu problema é que, apesar de aquela fórmula (da posição em função do tempo no MUV) ser matéria de colegial, eu não a sei demonstrar sem usar integral... Alguém se habilita?? David _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: Problema: Ponteiros do relógio.
Oi Rene e demais colegas desta lista, Este problema ( ou um muito semelhante ) ja foi debatido aqui na lista, quando entao surgiram muitas solucoes. Se voce pesquisar no Banco de Mensagens que o Prof Nicolau guarda voce vai encontra-las Todos estes problemas se resumem em determinar, a partir da meia-noite, quando os deslocamentos angulares dos ponteiros sao iguais, a menos de 2pi... Supondo T em segundos, as velocidades angulares do ponteiros, em radianos/segundo, sao : SEG : 2pi/60 ; MIN : 2pi/((60)^2) e HOR : 2pi / (24*((60)^2)) E portanto vai ocorrer coincidencia quando : (2pi/60)*T = (2pi/((60)^2))*T + 2*K1*pi (2pi/((60)^2))*T + 2*K1*pi = ( 2pi / (24*((60)^2)) )*T + 2*K2*pi Para algum par (K1,K2) de inteiros nao-negativos. A manipulacao algebrica das equacoes, fornece (se eu nao errei nenhuma conta !) : K2/K1 = 1439/1416 e T = (K1*(60^2))/59 E ai fica mole achar T ( em Segundos ). Transforme agora o T em H:M:S. E digno de nova que estamos supondo que o relogio esta bem ajustado, vale dizer, que a meia-noite todos os ponteiros coincidem e apontam para o 12. A partir dai e que comeca a contagem de T. Veja tambem que este raciocinio pode ser aplicado para um relogio com um numero arbitrario de ponteiros ... Por exemplo, um relogio que tivesse um quarto ponteiro com o qual poderiamos tornar mais preciso o valor dos segundos. Agora, uma questao um pouco mais dificil, que engloba a anterior que voce propos: Imagine um relogio com tres ponteiros ( HOR, MIN e SEG ), todos de mesmo comprimento. Imagine que este relogio esta fixo na parede. A partir da meia-noite, em quais instantes ( H:M:S) os tres extremos dos tres ponteiros estao a uma mesma distancia do chao ? Um abraco Paulo Santa Rita 6,1507,211201 From: renner [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Problema: Ponteiros do relógio. Date: Wed, 19 Dec 2001 14:35:50 -0200 Prezados amigos da lista, Gostaria que alguém me ajudasse na resolução do seguinte problema: Os três ponteiros de um relógio encontram-se sobrepostos em um determinado momento, após quanto tempo(H:M:S) eles se encontraram novamente sobrepostos? Obrigado pela atenção, aguardo resposta. Renê Veras. _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br
Amenidade
Ola Pessoal, Sinceramente desejo que todos os membros desta lista ( e aos respectivos familiares ) tenham um Feliz Natal, um Prospero Ano Novo e que a compreensao que cada um tem dos Objetos Matematicos se torne cada vez melhor. Um Triplice e Fraternal abraco a todos ! Paulo Santa Rita 5,1553,201201 _ Associe-se ao maior serviço de e-mail do mundo através do MSN Hotmail. http://www.hotmail.com/br
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Ola Andre, Bruno e demais colegas desta lista, Os conceitos de COMPLETUDE e CONSISTENCIA nao sao antagonicos em si ... No seculo XIX e anteriores o conceito de SISTEMA FORMAL ainda nao estava suficientemente maduro e as tenues formalizacoes que se conheciam e se tentavam pressupunham a CONSISTENCIA e a COMPLETUDE meramente por um FE mal formulada ... Mas claramente que foi e é um ideal a ser perseguido que todo SISTEMA FORMAL construido seja CONSISTENTE e COMPLETO : 1) Todos querem que as afirmacoes sobre os objetos do sistema sejam demonstraveis com os recursos de inferencia do proprio sistema ( COMPLETUDE ) 2) Todos querem que nao seja possivel provar uma afirmacao e a sua negacao ( CONSISTENCIA ) Ser simultaneamente CONSISTENTE e COMPLETO, mais que um mero desejo ou opcao, e uma necessidade de todo SISTEMA FORMAL : ou ele encerra estas duas qualidades ou ele e inaceitavel. Ve-se portanto que CONSISTENCIA e COMPLETUDO nao sao propriedades a priori antagonicas. Conviverem harmoniosamente e o ideal de Todo Sistema formal ! Nos hoje sabemos que sao propriedades antagonicas em todo sistema formal que possa a ser parafraseado ou reduzido a Aritmetica. Voce entende quando dizemos LIM Xn=A ? Voce dira que SIM ! E vai apresentar a definicao classica ( dada por Cauchy ) : Qualquer que seja epsilon maior que zero, existe N0 tal se N for maior que N0 entao modulo( Xn - a) e menor que epsilon. O que voce fez ? Reduziu ou parafraseou um conceito complicado de analise ( Limite ) atraves de propriedades sobre os numeros : Aritmetizou a Analise. E assim que os Matematicos faziam e se davam por satisfeitos. Bertrand Russel foi mais alem. Ele procurou logicizar a Aritmetica. Na cabeca dele as coisas funcionavam mais ou menos assim : Dado que toda a Matematica pode ser reduzida a Aritmetica, vou reduzir toda a Aritmetica a Logica e, com isso, mostro que toda a Matematica nao passa de um desenvolvimento da Logica. Ele publicou tres famosos livros neste sentido. Os Principia da Logica. Foi em cima deste trabalho de Russel que Godel trabalhou ... Godel tinha bagagem para pareciar o Sentido Cultural de seu trabalho... Godel, Como Penrose e Poincare, alem de Matematico, pertencia tambem ao Circulo de Viena ( Matematicos que se reuniam em Viena e discutiam sobre a Filosofia e Historia da Ciencia. Criaram o Positivismo Logico. Rudolf Carnap, entre outros, era do Grupo. Leia Os Pensadores - Circulo de Viena ) e era amigo de Einstein. Gostava de Fisica e Filosofia. O titulo do trabalho dele foi mais ou menos assim : Sobre os Sistema formais do Principia Matematica e Sistemas Correlatos Godel explicitamente afirma que foi inspirado pelo PARADOXO DE RICHARD. O que ele fez, em sintese, foi mostrar que toda afirmacao sobre os numeros pode ser transfomada em um numero e, a seguir, aplicar uma variante do Paradoxo de Richard. O Livro de james Newman, O teorema de Godel, e muito bom neste sentido. Mas o Livro de Newman e de divulgacao e voce apenas entende as coisas mais ou menos. A melhor referencia (e que te estimulo a consultar ) sobre o teorema de Godel e outros resultados interessantes estao em O teorema de Godel e a Hipotese do Continuo, de uma Fundacao Portuguesa cujo nome nao me ocorre agora ( talvez seja Fundacao karlouse Gurbeijhan ou algo parecido ). Todo os pre-requisitos para entender o Teorema de Godel e os demais resultados estao no proprio livro. Dizem que quando Von Newman soube do resultado de Godel, cancelou tudo que ia fazer so para estudar o teorema e muitos outros Grandes matematicos da epoca proclamaram ( como proclamam ) que o resultado foi revolucionario na mais ampla expressao deste termo. Se voce me permite uma opiniao, o resultado de Godel foi mais importante e revolucionario que a teoria da relatividade e so a Mecanica Quantida pode rivalizar, em importancia, com ele. Mas isto e apenas uma opiniao ... Godel, Einstein, Newton, Descartes, Gauss, Heisemberg, entre uns poucos outros, sao pessoas nas quais muitas de suas investigacoes ( e portanto de suas inquietacoes ) se situam nas fronteiras entre a Ciencia e a Filosofia. Eles sao Matematicos-Filosofos e os seus trabalhos mais importantes Tocam Fundo em nossos valores e pressuposicoes ja arraigadas. O Teorema de Godel nao TOCOU BAGUNCA NA MATEMATICA... Pelo Contrario, quando a maioria queria reduzir esta ciencia a um jogo logico de simbolos sem sentido ( projeto formalista ), ele mostrou que entre o ceu do ideal formalista e a terra da realidade matematica, havia muito mais aspectos a serem considerados do que pressupunha a vao filosofia deles. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1439,171201 From: Bruno F. C. Leite [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Sat, 15 Dec 2001 00:15:02 -0200 At 17:56 14/12/01 -0300, you wrote: vc disse sobre as propriedades do sistema formal e sobre a consistencia e
Re: Completude da Geometria e Teorema de Godel
Ola Rogerio e demais colegas desta lista, E importante que se compreenda corretamente o que e um SISTEMA FORMAL e o que vem a ser COMPLETUDE e CONSISTENCIA num tal sistema. Estes sistemas tem, a grosso modo : 1) Objetos indefinidos ( ou primitivos ) 2) proposicoes primitivas ( ou axiomas, ou postulados ) NAO SE PODE ATRIBUIR AOS OBJETOS PRIMITIVOS NENHUMA PROPRIEDADE DITADA POR UMA EVENTUAL REPRESENTACAO MENTAL E INTUITIVA QUE TENHAMOS DELES. Tudo que se falar sobre os objetos deve ser uma consequencia logica dos axiomas e dos teoremas que ja tenhamos demonstrado. Pode-se construir novos objetos em estrita obediencia as regras de construcao. 1)Um sistema formal e CONSISTENTE se nao for possivel provar uma afirmacao e a sua negacao, isto e, exemplificando, se eu provar que A e B eu nao poderei provar que A e nao B 2)Um sistema formal e COMPLETO se todas as afirmacoes sobre os objetos puder ser provada com os recursos de inferencia do proprio sistema, isto e, nao pode haver uma propriedade usufruida por alguns objetos do sistema que seja indemonstravel com os recursos de inferencia do sistema. Em geral, criar uma sistema formal e, em geral, um dos objetivos perseguidos para qualquer ramo da matematica, sobretudo quando ele ja esta suficientemente maduro e ja deu bons resultados. A grosso modo, o que Godel mostrou e que os dois conceitos acima, de COMPLETUDE e INCONSISTENCIA, sao antagonicos para qualquer sistema formal que use minimos recursos da Aritmetica, isto e : Se o sistema formal for COMPLETO, isto e, toda afirmacao sobre os objetos do sistema puderem ser demonstradas com os recursos de inferencia do sistema, entao ele sera INCONSISTENTE, vale dizer, nos seremos capazes de provar uma teorema e a negacao dele; Se, por outro lado, o sistema formal for CONSISTENTE, isto e, se nunca poder acontecer de provarmos um teorema e a sua negacao, entao ele sera INCOMPLETO, vale dizer, haverao propriedades validas dos objetos do sistema que nos nao seremos capazes de provar com os recursos de inferencia do proprio sistema. Nao existe Teorema da Completude na Geometria Euclidiana. Nao no sentido de COMPLETUDE de um sistema formal. Hilbert mostrou que a geometria euclidiana seria consistente, se a algebra tambem fosse. Mas a consistencia da Algebra depende da Aritmetica e a prova da consistencia desta ultima parece muito dificil de ser conseguida ... Ate parece, numa primeira apreciacao, que o Teorema de Godel e algo ruim e negativo... Ele sulapou o sonho de Hilbert e de todos os Matematicos formalistas, que com seus sistemas formais, tiravam o sentido intuitivo que damos aos objetos matematicos, reduzindo a Matematica a um jogo logico sem graca, sem semantica e sem sentido. Observe que COMPLETUDE e CONSISTENCIA sao propriedade DO SISTEMA FORMAL, nao de um de seus objetos : sao portanto propriedades do TODO. Visto por este angulo, Godel mostrou que o TODO tem propriedades ( consistencia, completude ) que sao inacessiveis ou inesplicaveis pela mera consideracao das partes que o compoe O TODO, isto e, O TODO E MAIS QUE A MERA SOMA DAS PARTES. O cara formalista pressupoe justamente o contrario. Ele pensa que conhecendo bem as partes ( axiomas, teoremas, objetos indefinidos ) vai poder explicar ( demonstrar ) tudo que aparecer ou ocorrer na frente dele. E o SONHO EISNTENIANO de encontrar UM CONJUNTO DE EQUACOES QUE EXPLICAM TODO O UNIVERSO. Godel, nos permitiu comecar a pensar NO SENTIDO, NA SEMANTICA, NO FIM, NA FUNCAO, NO PAPEL, NA INTERPRETACAO TELEOLOGICA, como algo mais que mera filosofia barata. Se se retirar o sentido das coisas, as coisa perdem o sentido. Agora, como articular de forma consistente e seria este sentido ? Todos os danos que estamos causando ao mundo natural, que vem ha anos preocupando ecologistas do mundo inteiro, promanam de nossa ignorancia com respeito ao papel e o sentido dos fenomenos. O ideal seria que nos nos relacionassemos com a natureza respeitando os seus acontecimentos ou o papel que cada coisa tem. Todavia, quem tem que dar esta linguagem, como sempre, e a Matematica, e muito provavelmente foi o Teorema de Godel o primeiro passo neste sentido. Um abraco Paulo Santa Rita 6,1500,141201 From: Rogerio Fajardo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Completude da Geometria e Teorema de Godel Date: Fri, 14 Dec 2001 14:08:24 + Olá, O que diz o teorema da completude da geometria euclideana? Alguns livros chamam de categoricidade, ou coisa parecida, e parece que diz que todos os modelos (para geom. euclideana) são isomorfos entre si. Mas isso não implica que não existe sentenças independentes na geom. euclideana? E isso não contraria o Teorema de Godel (afinal, na geometria eu posso expressar a aritmética)? Rogério _ Join the worlds largest e-mail service with MSN Hotmail. http://www.hotmail.com sta
Re: ajuda
Oi Alexandre e demais colegas da Lista, A sua demonstracao esta correta. Nela voce usa o que comumente se chama de Principio da Inducao. Se voce ler o Livro do Paul Halmos, Teoria Ingenua dos Conjuntos, voce tera uma compreensao mais profunda deste principio e vera como ele pode ser demonstrado, transformando-se assim num Teorema. A bem da verdade e necessario que se destaquer que a sua demonstracao nao pode ser generalizada para todo N real. Para ver isso, suponha N=1/2. Entao : raiz_2(1+x) = 1 + x/2 = 1 + x = 1 + x + (x/2)^2 E verdadeira a conclusao acima ? Um abraco Paulo Santa Rita 4,1254,121101 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: ajuda Date: Tue, 11 Dec 2001 17:32:04 -0200 No embalo do que o JP disse, de que só é bom usar o que demonstramos, e como eu usei a desigualdade de Bernoulli na minha solucao, a demonstracao abaixo está correta? (1+x)^n = 1 + nx, para x real maior que -1, diferente de zero, e n natural maior que 1. Para n = 2 -- (1+x)^2 = 1 + 2x + x^2 1 + 2x (VERDADEIRO) Inducao: Se vale para n, entao (1+x)^n = 1 + nx. Mas (1+x)^(n+1) = (1+x)^n * (1+x) (1+nx)(1+x) = 1 + (n+1)x + nx^2 1 + (n+1)x Ou seja, se vale para n natural maior que 1, vale para (n+1) também Como vale para n = 2, entao vale para todo n natural maior que 1. c.q.d. -Mensagem Original- De: Augusto César Morgado Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 11 de Dezembro de 2001 11:32 Terezan Assunto: Re: ajuda Não há dúvida de que foi linda. Mas, supondo o sabemos que, bastaria fazer n=1. Alexandre F. Terezan wrote: Vou tentar uma sem usar cálculo. Desigualdade de Bernoulli: (1 + a)^n = 1 + an, a -1 e n natural. Sabemos que e^x (1 + x/n)^n, para todo n Seja a = x/n e^x (1 + x/n)^n -- e^x (1 + a)^n -- e^x 1 + an -- e^x 1 + x -Mensagem Original- De:[EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Segunda-feira, 10 de Dezembro de 2001 00:12 Terezan Assunto: ajuda Como se demonstra a desigualdade e ^ x maior ou igual a 1 + x ? _ Converse com amigos on-line, experimente o MSN Messenger: http://messenger.msn.com.br
Re: Axioma da Escolha
Ola Duda e demais Colegas desta Lista, O AXIOMA DA ESCOLHA e um dos axiomas de uma das axiomatizacoes da TEORIA DOS CONJUNTOS. No livro do Prof Paul Halmos, TEORIA INGENUA DOS CONJUNTOS, ele e tratado com mais detalhes. Este livro tem uma traducao para o Portugues. O AXIOMA DA ESCOLHA, a grosso modo, afirma que DE TODA FAMILIA DE CONJUNTOS NAO VAZIOS E POSSIVEL CONSTRUIR UM CONJUNTO QUE CONTENHA UM ELEMENTO DE CADA ELEMENTO DA FAMILIA. Este axioma tem consequencias notaveis, como as duas que voce enunciou - que voce pode ver no livro de Algebra linear do Kunze-Hoffman e no Algebra do Birkhof-Maclane - mas tem tambem implicacoes inverossimeis. Note que no enunciado do axioma nada se fala sobre a FUNCAO DE ECOLHA ... de cada conjunto da familia nos ESCOLHEMOS um elemento e colocamos uma copia dele no conjunto que estamos construindo. A regra para elegermos o elemento a ser copiado e, a principio, livre. E esta liberalidade que permite a imaginacao humana definir estranhas funcoes de escolha que implicam na construcao de estranhos resultados Tarski, por exemplo, mostrou que usando o AXIOMA DA ESCOLHA, em tese e possivel dividir uma esfera macica em ao menos cinco partes de forma que ao unir posteriormente estas partes redundara nao em uma, mas em duas esferas identicas a original ... !!! Inverossimil ? Mas, em tese, e possivel efetuar uma tal operacao ! O que parece pouco crivel no exemplo acima e que uma tal operacao estaria derrogando explicitamente o principio da conservacao massa-energia, pois teriamos uma duplicacao de massa sem o esperado desaparecimento da quantidade de energia de repouso : E=M*(C^2). E digno de nota, todavia, que ja hoje se fala de sistemas abertos ( Equacao de Beluzonov ) nos quais estes principios de simetria nao sao obedecidos e que conduzem os sistemas a outras configuracoes, mais organizadas ... O que e certo e que o AXIOMA DA ESCOLHA, dado as suas implicacoes pouco aceitaveis, sempre foi olhado e tratado com forte suspeicao, muitos matematicos achando que uma demonstracao que nao usasse o dito axioma era melhor que outra que o usasse. Seria este axioma o responsavel pelas inconsistencias da TEORIA DOS CONJUNTOS ? Aqui, mais uma vez, entrou em cena o ALTER-EGO dos Matematicos formalistas do seculo XX : Godel e sua Turma. Se chamarmos de classica a TEORIA DOS CONJUNTOS que aceita e usa o AXIOMA DA ESCOLHA, Godel mostrou que se a Teoria dos Conjuntos Classica for inconsistente, a teoria nao-classica, que nao usa ou aceita o AXIOMA DA ESCOLHA, tambem sera inconsistente. Isto e, Godel mostrou que o axioma da escolha nao pode ser responsabilizado por possiveis inconssitencias que porventura venhamos a descobrir na teoria dos conjuntos. Este resultado de Godel, bem como a sua solucao para as equacoes da teoria da relatividade geral ( que implicam num horizonte de eventos onde se alternam locais nos quais o principio da causalidade ora vale, ora nao vale ), nao e tao famoso quanto os resultados relativos a inconsistencia da Aritmetica, mas nao deixam de ser fundamentais, conforme vimos. Ate parece que Godel veio ao mundo para falar uma unica coisa ... parece que ele veio dizer que em qualquer sistema axiomatico, AS REGRAS sao tao ou mais importantes que os AXIOMAS e os OBJETOS INDEFINDOS, que o TODO E MAIS QUE MERAMENTE A SOMA DAS PARTES,QUE A COMPREENSAO REDUCIONISTA E ANALITICA PRECISA MUDAR ! Um abraco Paulo Santa Rita 2,1644,101101 From: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Axioma da Escolha Date: Fri, 7 Dec 2001 02:52:23 -0200 Ola! Em alguns textos matematicos, eu ja li a sentenca papapá segue do axioma da escolha. O que exatamente isso quer dizer? Que eh uma consequencia imediata? Por exemplo, cito duas frases: 1 - Segue do axioma da escolha que todo espaco vetorial possui uma base 2 - Segue do axioma da escolha que todo conjunto possui uma boa ordem Talvez esse assunto fuja do segundo grau, perdao. Mas alguem poderia me dar uma ideia de o que eu devo entender por essas frases? Obrigado! Eduardo. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Tradução na Home Page
Ola Pessoal, Ja estao disponiveis na Home Page do Prof Nicolau as traducoes dos Problemas Russos. O Prof disponibilizou estas traducoes em diversos outros formatos, alem do Word/Windows. O endereco e : http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/psr Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 5,1223,061101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Traducao dos Problemas Russos na Home-Page
Ola Prof Nicolau e demais membros desta lista, Saudacoes a Todos ! O interesse por essas traducoes e realmente muito grande, muito alem do que eu imaginava. O que mais me surpreendeu, porem, foi receber pedidos de estudantes de varios paises da America do Sul e mesmo da Europa. Isto mostra que : 1) As discussoes que travamos sao acompanhadas em ambito internacional, o que e bom, pois assim deve ser a nossa Matematica. 2) Possiveis adversarios nossos nas Olimpiadas Internacionais estao estudando pra valer, o que nos sugere que devemos estudar, ao menos, com o mesmo afinco. Como esta ficando dificil atender com presteza a todos e como EU AINDA NAO TENHO UMA HOME-PAGE ( Que vergonha, eu trabalho com isso ! ), eu acho a ideia do Prof Nicolau, expressa abaixo, muito boa. Assim : 1) Apos esta mensagem vou remeter uma mensagem particular para o Prof Nicolau com os arquivos de traducoes anexados, podendo doravante serem bauxados da home-page dele. 2) Os pedidos que chegaram antes desta deliberacao ( cerca de 20 ) serao atendidos normalmente. 3) Se por alguma razao alguem prefirir me fazer o pedido pessoalmente, por favor, nao remeta uma mensagem para esta lista, remeta para : [EMAIL PROTECTED] 4) As traducoes estao no formato Word do Windows, porque, infelizmente, este sistema operacional ainda e o principal nos microcomputadores dos estudantes. Um abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1252,051101 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Traducao dos Problemas Russos Date: Tue, 4 Dec 2001 15:12:33 -0200 Como há um interesse claramente grande nesta tradução, não seria interessante colocá-la em uma home page? Eu ofereço a minha, onde já estão os arquivos da lista, se o autor não tiver outra idéia. []s, N. Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re: Traducao dos Problemas Russos
Oi Alexandre e demais colegas desta lista, A sua solucao esta correta. Por ser simples e bonita, e e bonita porque e simples. Este e o primeiro problema russo. A sua solucao e identica a que apresentei em outra lista,aqui do Brasil mas de outro estado. Ela tem os seguintes principios : 1)Se o numero de lados do poligono e impar e o tracado comecar fora do poligono, entao o tracado vai ter que terminar dentro dele. Reciprocamente, se o tracado comecar no interior do poligono, vai ter que terminar fora. 2)Se o numero de lados do poligono e par, as coisas se invertem. E explorando estes dois principios que se prova facilmente que nao e possivel executar um tracado, isto e, o tracado e impossivel. Mas eu apresentei a solucao assim porque queria que o maior numero possivel de pessoas pudessem entender. Numa competicao eu nao faria assim, pois o tempo e um fator importante. Inclusive na outra lista eu mostrei como era possivel fazer de outra forma, a saber : 1) Nomeie cada regiao com uma letra, inclusive a regiao exterior. 2) transforme cada aresta que precisa ser ultrapassada pelo caminho em um arco que liga as duas regioes envolvidas 3) As arestas se transformam em arcos e as regios em pontos ligados por estes arcos : temos um grafo. 4) Determinar se o problema tem solucao equivalem a responder se ha um CAMINHO EULERIANO neste grafo. 5) Ora, um grafo so tem um caminho euleriano se qualquer de seus vertices tem grau par, isto e, se concorre um quantidade par de arcos naquele vertice. 6) O grafo em questao tem vertices de grau impar : logo, nao ha um caminho euleriano nele. Logo, o tracado procurado e impossivel. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1435,051101 From: Alexandre F. Terezan [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Traducao dos Problemas Russos Date: Tue, 4 Dec 2001 15:43:08 -0200 Olá Paulo e demais integrantes da lista. Eu nao sei se alguém já respondeu ao problema antes, mas lá vai uma tentativa. Gostaria que comentassem, minha solucao é tao elementar que acho q está errada, hehehe Imaginemos separadamente cada um dos 5 polígonos delimitados. 2 deles sao verdadeiros retangulos, cada um com 4 arestas. Mas há 3 deles que eu vou encarar como pentágonos pois possuem 5 arestas. Os pentágonos sao: - O polígono superior esquerdo - O polígono superior direito - O polígono inferior central Imaginemos um destes pentágonos. Chamemos de PS o ponto em que comecamos a desenhar a suposta curva e PF o ponto em que terminamos de desenhá-la. Cada vez que a curva cortar uma aresta do pentágono contaremos como 1 CORTE. Vamos imaginar um contra-exemplo para o enunciado, ou seja, ao menos uma curva que não passa por qualquer dos vértices e que cruza todas as arestas APENAS uma vez. Caso nao haja tal contra-exemplo estará demonstrado que: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. Há 2 hipóteses: a) PS é interior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser EXTERIOR ao pentágono; b) PS é exterior ao pentágono -- neste caso, após 5 CORTES em arestas distintas (1 CORTE por aresta), PF tem de ser INTERIOR ao pentágono; Ora, o mesmo raciocíno pode ser aplicado aos 2 outros pentágonos. Agora, verifique que há 2 casos que devemos considerar: I) PS é interior ao pentágono superior direito: Neste caso, é evidente que PS tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. PS ser exterior ao pentágono superior esquerdo (hipótese b) faz com que PF seja interior a ele. Mas PS ser exterior ao pentágono inferior central (hipótese b) faz com que PF seja também interior a ele. Como PF nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. II) PS é exterior ao pentágono superior direito: Neste caso, pela hipótese b, PF deve ser interior a este pentágono. Assim, é evidente que PF tem de ser exterior aos 2 outros pentágonos. Mas PF ser exterior ao pentágono superior esquerdo implica que PS seja interior a ele (pois caso contrário, pela hipótese b, PF seria interior a este pentágono, o que é impossível). Pela mesma razao, PF ser exterior ao pentágono inferior central faz com que PS seja também interior a ele. Como PS nao pode ser interior a 2 pentágonos distintos simultaneamente, chegamos a um ABSURDO. Como nao há contra-exemplo para o enunciado que nao nos leve a um absurdo, CONLUSAO: Qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das arestas mais de uma vez. C.Q.D. [ ]'s Alexandre Terezan -Mensagem Original- De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED]; [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Quarta-feira, 14 de Novembro de 2001 14:52 Terezan Assunto: Traducao dos Problemas Russos Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas
Re: Um tal de Newton...
Ola Ravell, Tudo Legal ? Ja que voce estava estudando Um tal de Newton e se embaralhou um pouco com a questao interessante, entao deveria passar a estudar um tal de Leibniz que desenvolveu uma formula que nao se limita a binomios, trinomios e etc. Muitas pessoas conhecem a formula desta tal de Leibniz aplicada a um trinomio, como segue : (a + b + c)^N = SOMATORIO DE [ N!/(j!*k!*m!) ]*((a^j)*(b^k)*(c^m)) Onde : j + k + m = N No seu caso : a=1, b=3x , c=2*(x^2) e N=10 Aplicando isso ficara : [10!/(j!*k!*m!)]*[((3x)^k)*((2x^2)^m)] = [10!/(j!*k!*m!)]*[(3^k)*(2^m)*(x^(k+2m))] Para que o expoente seja 8, devemos ter : k+2m=8 e j+k+m=10 com qualquer das variaveis (j,k,m) sendo inteiras e indo de 0 ate 10. Encontre agora todas as solucoes inteiras possiveis, substitua na formula que achamos e mostre o que voce pretende. Observe que essa formula desse tal de Leibniz ( conhecida tambem como expansao multinomial ) permite voce atacar este tipo de questao diretamente, sem lancar mao de artificios e pode ser aplicada no caso de um Binomio : e portanto mais geral ! Vale a pena conhece-la. So para complementar, esse tal de Leibniz descobriu o calculo infinitesimal, percebeu o conceito de energia( que o tal de Newton nao percebeu ), anteviu a logica matematica ( atraves do que ele chamava de Caracteristica Universal ), ampliou a calculadora de Pascal para incluir multiplicacoes e divisoes, estudou os numeros binarios e publicou, entre outras coisas, a Monadologia, que e um tratamento axiomatico de temas metafisicos. Tudo feito entre as atividades de Estadista e Filosofo. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1719,211101 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Um tal de Newton... Date: Wed, 21 Nov 2001 02:15:43 -0200 Meus cumprimentos, Estava estudando um tal de Newton e encontrei uma questão interessante, embora eu esteja errando algo simples pra vocês... Questão (FFCLUSP) Mostrar que o coeficiente de x^8 no desenvolvimento de (1 + 3x + 2x^2)^10 é 3780. Meu erro: os coeficientes de x e de x^2 estão fazendo o coeficiente do termo x^8 ficar muito grande ... Caso alguém queira tentar... Muito grato, Héduin Ravell _ Do You Yahoo!? Get your free @yahoo.com address at http://mail.yahoo.com _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Enciclopedia de Matematica
Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! A enciclopedia http://mathworld.wolfram.com; esta de volta ... Ela estava inacessivel em virtude de problemas judiciais. E uma boa encilopedia e merece ser consultada. Nao imaginava que a traducao dos Problemas Russos fosse despertar tanto interesse... Ja respondi a mais de 50 pedidos e, por incrivel que possa parecer, de muitos estudantes de outros paises ( que obviamente dominam o idioma Portugues ). Um grande abraco a todos Paulo Santa Rita 6,1336,161101 Em tempo : Li as diversas ( cerca de 5 : otimas, e naturais ) solucoes da equacao raiz_2(5 - raiz_2(5 - x))=x, mas ninguem lembrou de apresentar uma solucao usando a funcao logistica, que a meu ver seria a solucao mais sintetica e geral. Depois vou falar sobre isso. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Traducao dos Problemas Russos
Ola Pessoal, Tudo Legal ? Talvez interesse a alguns estudantes que se preparam para Olimpiadas a traducao que fiz dos 100 primeiros problemas russos. Coloquei em formato Word para Windows. Como nao podemos remeter para esta lista mensagens com arquivos anexados, quem se interessar em ter estas traducoes basta me enviar um pedido por e-mail que responderei com as traducoes anexadas. Acrescento abaixo o primeiro problema : 1) Dados 12 vértices e 16 arestas dispostos como no diagrama abaixo : X-X-X | | | X--X--X--X--X | | | | X--X-X--X Prove que qualquer curva que não passa por qualquer dos vértices mas que cruza todas as arestas devera cruzar ao menos uma das aresta mais de uma vez. Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1251,141101 _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito! http://explorer.msn.com.br
Re:
Ola Eder, Voce nao precisa fazer restricao alguma ao triangulo ... O que temos abaixo e uma identidade,isto e, uma relacao que e valida em qualquer triangulo, independente de qualquer particularidade que porventura ele possa ter. Para ver isso, note que provar que : sen(A) + sen(B) + sen(C)=4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2) e o mesmo que provar que : sen(A) + sen(B) = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*cos(C/2) - sen(C). A expressao da direita pode ser conduzida a da esquerda como segue : A + B + C = 180 = C=180 - (A+B) sen(C) = sen[180 - (A+B)] = sen(A+B) e cos(C/2)=cos[(180 - (A+B))/2]=cos[90 -((A+B)/2)]=sen((A+B)/2) portanto, substituindo na expressao da esquerda os valores de sen(C) e cos(C/2) por suas expressoes em funcao de (A+B), ficara : E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- sen(A+B) E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- sen(2*((A+B)/2)) E = 4*cos(A/2)*cos(B/2)*sen((A+B)/2)- 2*sen((A+B)/2)*cos((A+B)/2) E = sen((A+B)/2)*[4*cos(A/2)*cos(B/2)- 2*cos((A+B)/2)] E = sen((A+B)/2)*[4*cos(A/2)*cos(B/2)- 2*cos(A/2)*cos(B/2) + 2*sen(A/2)*sen(B/2) E = sen((A+B)/2)*[2*cos(A/2)*cos(B/2) + 2*sen(A/2)*sen(B/2)] E = 2*sen((A+B)/2)*cos((A-B)/2) pelas formulas de transformacao em produto : E = sen(A) + sen(B) Portanto, a espressao da esquerda (E) e absolutamente igual a da direita. Segue que trata-se de uma identidade e nao de uma relacao que so ocorre se o triangulo sofre alguma restricao. Um abraco Paulo Santa Rita 4,1239,25072001 PS: Prove que em qualquer triangulo de lados a, b e c vale : 3/2 = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) 2 From: Eder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Date: Mon, 23 Jul 2001 17:55:50 -0300 Olá a todos, Eu agradeceria se alguém pudesse me ajudar com o seguinte problema: Sabendo que A,B e C são ângulos internos de um triângulo,escreva as restrições que devem ser satisfeitas por esse triângulo para que se verifique a igualdade: senA+senB+senC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(c/2) Há muito estou tentando aqui e ainda não matei essa. _ Seja avisado de novas mensagens do Hotmail e use o comunique-se com seus amigos com o MSN Messenger em http://messenger.msn.com.br
Vacina contra o SIRCAM
Ola Pessoal, Um virus, chamado SIRCAM, esta invadindo os computadores de muitas pessoas em todo o mundo. Invadiu o FBI. A PANDA SOFTWARE (http://www.pandasoftware.com) esta disponibilizando gratuitamente em sua pagina na internet, para download : 1) Informacoes sobre o virus. 2) Procedimento para remover o virus. 3) Um programa (PQREMOVE.COM) que automatiza o procedimento 2) Um abraco Paulo Santa Rita 4,1511,25072001 _ Seja avisado de novas mensagens do Hotmail e use o comunique-se com seus amigos com o MSN Messenger em http://messenger.msn.com.br
Re: Vacina contra o SIRCAM
Ok ! Desculpe pelo off topic. Eu nunca publiquei antes mensagem sobre virus, NAO OBSTANTE JA TER VISTO MAIS DE UMA SER PUBLICADA AQUI ... O que me levou a tanto e o fato do SIRCAM ser uma praga mundial que NAO E FACILMENTE TRATAVEL PELAS VACINAS CONVENCIONAIS e que SE PROPAGA ATRAVES DE E-MAIL´S, podendo portanto vir a causar transtornos aos colegas desta lista que usam ambiente Windows. COMO NAO RARO VEJO MENSAGENS OFF TOPIC, divulgando a solucao, pensei ( e tentei ) ser util, dentro de minhas possibilidades, aqueles que como voce tanto nos tem ensinado. Mas agora vejo que me enganei ... Reitero a voce: Desculpe pelo off topic ! E peco tambem desculpas publicas a todos os demais colegas desta lista por esta inusitada e tao grande transgressao : perdao pelo transtorno que causei. Foi um lapso, que, prometo, JAMAIS vai se repetir. From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Vacina contra o SIRCAM Date: Wed, 25 Jul 2001 16:06:58 -0300 Paulo, por favor, o assunto de que você trata pode ser importante mas não é o assunto desta lista. Existem listas para discutir virus de computador. Use-as. Os outros membros da lista que também estiverem interessados neste assunto devem fazer o mesmo. []s, N. On Wed, Jul 25, 2001 at 06:14:52PM +, Paulo Santa Rita wrote: Um virus, chamado SIRCAM, esta invadindo os computadores de muitas pessoas em todo o mundo. _ Seja avisado de novas mensagens do Hotmail e use o comunique-se com seus amigos com o MSN Messenger em http://messenger.msn.com.br
Re: Movimento de um pendulo
Ola Pessoal, Tambem se pode acrescentar as otimas exposicoes que ja foram apresentadas sobre esse assunto, aquela em que se identifica um MHS com um Movimento Circular Uniforme (MCR). Se tracarmos um plano cartesiano com centro no centro do circulo tracado por um corpo em MCR, a projecao da posicao do corpo no eixo dos x ( enquanto ele executa MCR ) executa um MHS. A vantagem desta apresentacao e que : 1)O periodo do movimento e o periodo do MCR ( deducao obvia !) 2)Constante confusas do MHS obtem uma interpretacao simples em termos de MCR 3)Velocidade e Aceracao do MHS sao projecoes da Velocidade e da Aceleracao do MCR. 4)Voce nao precisa usar calculo ou equacoes diferenciais para deduzir periodo ou qualquer outra caracteristica do MHS. A pessoa, assim, passa a ver um MHS como a projecao de um MCR. Mas, em fisica, eu acho importante que se sinta o conteudo fisico da coisas. Logo, a melhor definicao de MHS me parece ser : Um corpo executa MHS quando sobre ele atua uma forca restauradora proporcional ao deslocamento. O Simples do MHS (Movimento Harmonico Simples ) deriva desta relacao linear. Se a forca nao for proporcional ao deslocamento, o movimento pode continuar a ser harmonico( expresso por senos e cossenos), mas nao sera simples. Seja y=F(x) a equacao de forca um movimento harmonico, nao simples. Tome um pequeno pedado de y=F(x), em torno da posicao de equilibrio. Como : LIMITE ARCO/CORDA = 1, Quando corda tende a zero. Podemos afirmar que EM QUALQUER MOVIMENTO HARMONICO, para pequenos deslocamento da posicao de equilibrio, O MOVIMENTO E HARMONICO SIMPLES e a equacao de forca sera proxima de F=-Kx. Um abraco Paulo Santa Rita 2,1413,23072001 E verdade que para pequenos deslocamentos _ Seja avisado de novas mensagens do Hotmail e use o comunique-se com seus amigos com o MSN Messenger em http://messenger.msn.com.br
Re: sokoban
Ola Pessoal, Para efeitos de contraditorio e para que o colega Niski, que propos a questao, nao se sinta desistimulado em sua louvavel pretensao de formalizar o jogo de sokoban, e importante que se registre que o interesse em encontrar um algoritmo para o jogo nao esta, a principio, preocupado com aspectos operacionais ... Para a Tecnologia e a para a Pratica as questoes de tempo, eficiencia e eficacia sao fundamentais e irremediaveis, isto e, em qualquer projeto e fundamental provar que ele, alem de bom e correto, seja tambem viavel nas dimensoes do tempo ( vamos gastar um tempo bem finito para realiza-lo ? ) e das financas ( Ha dinheiro suficiente pra realiza-lo ? ) Nao me parece que estes aspectos operacionais sejam relevantes em um estudo teorico. Sao, sim, nesta dimensao pura e teorica, aspectos de somenos importancia ... Hoje nos sabemos, pela teoria Teoria da Relatividade Geral, que podemos causar efeitos temporais sensacionais, tais como aqueles expressos no paradoxo do gemeos. Nao ha ainda tecnologia para implementa-los : significa que devemos abandonar tais estudos simplesmente porque eles sao , atualmente, operacionalmente irrealizaveis ? Evidentemente que nao ! E o imaginario dos homens que cria a praxis do futuro, assim dizia Gaston Bachelar ! Se o algoritmo do jogo sokoban que viermos a achar seja de natureza exponencial ( cresce muito rapido ) ou polinomial ( cresce mais lentamente ) e irrelevante, na dimensao de discussao teorica em que nos encontramos. E inclusive irrelevante se vamos ou nao achar um algoritmo ... O investimento da inteligencia em investigar e por si so compensador e louvavel, independente dos resultados praticos que dai promanem ! Por outro lado, e evidentemente falso e TALVEZ uma demonstracao de pura prepotencia avaliarmos que qualquer outra(s) mente(s) diferente da nossa nao possa encontrar algo melhor do que aquilo que conseguimos fazer e que ja conhecemos : Se aquilo que eu conheco e consigo fazer e so forca bruta DEVO CONCLUIR que MUITO PROVAVELMENTE alguma outra inteligencia podera e devera encontrar algo melhor que isso ... Nao o contrario : Pois e isso que a historia da ciencia vem demonstrando acontecer ao longo dos seculos ! Considere o seguinte problema : Existe um algoritmo que recebe uma equacao diofantina generica e devolve sim, caso ela tenha uma solucao no anel dos inteiros, ou nao, no caso contrario ? Um Matematico Russo provou que nao existe um tal algoritmo. Significa, portanto, que jamais existira um programa de computador que implemente este algoritmo, em tempo polinomial ou nao, qualquer que seja a linguagem. Nao devemos, portanto, nunca mais estudar quaisquer equacoes diofantinas ... Ah, eu ia esquecendo ... Nem toda Matematica cabe no copinho da teoria de computacao ... Um abraco Paulo Santa Rita 5,1337,19072001 From: Fábio Dias Moreira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: sokoban Date: Thu, 19 Jul 2001 01:38:23 -0300 -BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Qua 18 Jul 2001 09:40, Paulo Santa Rita escreveu: [snip] DIAGRAMA DE UMA ESTRATEGIA Uma estrategia pode ser descrita assim ( vou imaginar duas caixas e um motor ) [snip] Evidentemente que o problema ainda esta longe de ser resolvido, mas ja temos alguns instrumentos matematicos que podem descreve-los. Nao sei se sao os melhores, mas e um comeco. E entao, eu dei o passe : voce agora faz o gol ? Vou adicionar aqui que, provavelmente, qualquer algoritmo que resolve um jogo de Sokoban não deve ser muito melhor que força bruta. O site [URL: http://web.cs.ualberta.ca/~joe/Preprints/Sokoban/paper.html] prova que é possível simular uma máquina de Turing com o jogo de Sokoban. Em particular, é possível implementar um problema NP-completo. Como os problemas NP-completos levam tempo exponencial (pelo menos com os melhores algoritmos conhecidos), resolver um jogo de Sokoban também deve levar tempo exponencial (a não ser que vcs encontrem um algoritmo esperto o bastante, o que implica num algoritmo melhor para resolver problemas NP-completos). Em particular, se vcs encontrarem um algoritmo que rode em tempo polinomial, vcs podem se considerar donos de um milhão de dólares :) [URL: http://www.claymath.org/prizeproblems/statement.htm] [URL: http://www.claymath.org/prizeproblems/pvsnp.htm]. []s, - - Fabio Dias ([EMAIL PROTECTED], ICQ# 31136103) RPG em Revista: A sua revista virtual de RPG! http://www.rpgemrevista.f2s.com/ -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.0.6 (GNU/Linux) Comment: For info see http://www.gnupg.org iD8DBQE7VmRJW7XDIUgHE2YRAgsMAKCVdHh7zL6x3Sim9BDe3NfSoM77wgCdGrpq 3B/ekH7e1ltTA05a7Ma66nA= =Yz4k -END PGP SIGNATURE- _ Seja avisado de novas mensagens do
Re: Questão fácil ...
Oi Pessoal, Sao judiciosas as observacoes do Prof Ralph. Sera que ha uma maneira de dispor um conjunto de objetos no plano de forma que a relacao reciproca entre seja independente do referencial adotado ? Um abraco Paulo Santa Rita 4,1249,18072001 From: Ralph Costa Teixeira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Questão fácil ... Date: Tue, 17 Jul 2001 22:38:15 -0300 (BRT) Oi gente. Tudo o que todo mundo falou me parece correto. Eu soh queria destacar eh que a confusao nao parece vir da logica nao, mas no uso das palavras antes e depois. Veja bem, nao eh muito claro se depois quer dizer na frente de ou atras de. Tem gente que usa de um jeito, tem gente que usa de outro. Eu prefiro usar que carro A estah depois de carro B como carro A estah atras de carro B, o que dah a interpretacao do pessoal que respondeu a esta mensagem (imaginando que eu vejo a frente do primeiro carro e DEPOIS vejo os outros atras deste). A resposta seria entao Preto, como no gabarito. Mas ha pessoas que pensam em antes como atras e depois como na frente (imagine-se atras do ultimo, vendo a traseira deles, e esta interpretacao passa a ser mais natural!). Acho que o Marcus estah usando esta interpretacao, e entao tudo que ele escreveu passa a fazer sentido. Usando esta segunda interpretacao a unica solucao seria: Preto (atras), DEPOIS Azul, DEPOIS Amarelo e DEPOIS, na frente, Verde. Se voce acha esquisito, imagine-se de novo ATRAS do ultimo carro e tudo fara sentido. Se fosse de Olimpiada, eu votava para anular. Se fosse questao proposta, eu votava por uniformizar e usar soh na frente de e atras de ao inves de antes e depois -- ai diminui a confusao. Abraco, Ralph On Sat, 14 Jul 2001, Odelir Maria Casanova dos Santos wrote: Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul, e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Questão fácil ...
As afirmacoes sao : 1) O carro que esta imediatamente antes do carro azul e menor que o carro que esta imediatamente apos o azul. 2) O carro verde e o menor de todos. 3) O carro verde esta depois do azul 4) O carro amarelo esta depois do preto. Concluimos que o carro verde nao esta imediatamente apos o azul ... se admitissemos isso, pela afirmacao 1, ele serie maior que o carro que esta imediatamente antes do carro azul, UM ABSURDO, pois, pela afirmacao 2, o carro verde e o menor de todos. Portanto, o carro verde esta apos o azul, mas nao imediatamente apos. Deve portanto haver um carro apos o azul e antes do verde. Logo, o carro verde e o quarto carro e o carro azul e o segundo carro. So resta o terceiro carro ser preto ou amarelo. Mas, nao pode ser preto, pois isto implicaria que o primeiro carro seria necessariamente amarelo e, pela afirmacao 4 , estaria depois do preto : UM ABSURDO, pois o primeiro carro, por ser o primeiro, nao pode estar depois de nenhum outro. Assim, o terceiro carro e necessariamente amarelo e o primeiro, preto. From: Odelir Maria Casanova dos Santos [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Questão fácil ... Date: Sat, 14 Jul 2001 11:03:45 -0300 Essa questão é MUITO fácil, mas eu agradeço quem poder me ajudar . Quatro carros, de cores amarelas, verde, azul, e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos, que o carro verde está depois do carro azul, e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro: a) é amarelo b) é azul c) é preto d) é verde e) não pode ser determinado apenas com esses dados. A resposta do gabarito é c) é preto, mas se o carro verde é menor que todos e fica na frente do carro azul, ele deve ficar na do carro que fica na frente do carro azul, e é impossível o carro preto ser o primeiro pois o amarelo fica na sua frente. Não tenho certeza, mas acho que essa questão é de uma olimpíada brasileira antiga, só que eu encontrei isso em um livro antigo. Falou pessoal Marcus Dimitri _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: sokoban
Ola Niski, Bem-Vindo a Lista OBM ! Voce estreiou propondo uma questao muito interessante ... Voce ja conseguiu algum progresso no processo de formalizacao do jogo ? Um abraco Paulo Santa Rita 3,1749,17072001 From: niski [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: sokoban Date: Fri, 13 Jul 2001 21:09:47 -0300 Amigos, está é a minha primeira mensagem no grupo! Bem, creio que muitos de vocês, amantes da logica, já ouviram falar sobre um famoso joguinho japones chamado sokoban. (p/ windows) http://www.sokomind.de/ (p/ linux, vem no pacote games com o kde) Gostaria de saber, se alguem conseguiria matematizar o objetivo do jogo (levar as pedras ao lugares definidos, com o menor numero de passos possiveis), criando assim um algoritmo que mostre o caminho ideal a ser seguido! Essa foi a minha sugestão! Abraços.. Niski _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Olimpíada Internal de Física
Ola Pessoal, Saudacoes a Todos ! Eu estou bastante ocupado atualmente, mas nao poderia deixar de registrar a minha alegria e satisfacao com a mensagem do Prof Ozimar. As Olimpiadas intelectuais, sejam de Matematica, de Fisica, de Informatica ou quaisquer outras, parece que chegaram para tirar o ensino destas maravilhosas ciencias da mediocridade em que, ha anos, se encontram ... As questoes Olimpicas, em geral, exigem criatividade, imaginacao e solida compreensao dos temas e capacidade de se inspirar e concentrar : ora, estas sao, precisamente, as principais faculdades da mente humana e as caracteristicas que todos os estudos serios preveem que serao exigidas dos profissionais do futuro ( num futuro bem proximo, todo profissional que se preza sera um quase-cientista em sua area ). Assim, aqueles que se ocupam destas competicoes, estao criando condicoes para que o Brasil nao seja apenas o pais do samba e do futebol ... e muito menos o pais das belissimas nadegas da Carla Perez ! Infelizmente ha colegios - como nos que eu estudei, publicos - que nao se importam ou mesmo reprovam este tipo de Olimpiada: me parece que a rejeicao ou desatencao promana muito mais de uma compreensao errada do que sao olimpiadas intelectuais do que uma postura baseada em algum principio filosofico ou moral serio. Portanto, mais que divulgar, e importante explicar a imensa importante e os beneficioas que tais competicoes apresentam. Prof Ozimar, de coracao, meus parabens ! Parabens tambem ao Guilherme, que nos representou tao bem ! Um abraco a Todos Paulo Santa Rita 2,1743,16072001 From: Eder [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: Olimpíada Internal de Física Date: Mon, 16 Jul 2001 14:47:34 -0300 Olá Professor Ozimar, Gostei da idéia da criação da EAF.Acho que só assim os estudantes brasileiros terão como se preparar para as olimpíadas,pois a escola brasileira é,no meu modo de ver,muito fraca.Pôxa!O nível é baixo demais!Como o país vai pra frente desse jeito?!O ensino médio é uma eterna preparação para o vestibular,é muita informação,mas nada de formação!Concordo com vc quanto à Carla Perez na capa da Time.É triste termos como destaque esse tipo de coisa... - Original Message - From: titular To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, July 16, 2001 12:05 PM Subject: Re: Olimpíada Internal de Física Oi Daniel Segue um texto com a informacao que queres e outras... Abraco. Teu Xarah O estudante Guilherme Leite Pimentel, cursa a 3a. série do ensino médio no Colégio Olavo Bilac, em São José dos Campos. Ele representou o Brasil na XXXII IPHO - International Physics Olympiad, conceituada competição criada na Polônia, em 1967, e que reúne os estudantes mais brilhantes do mundo. Participaram mais de 60 países, com a participação de mais de 300 estudantes (não disponho dos números exatos). Cada país pode participar com, no máximo, 5 estudantes, que têm que resolver, em dois dias diferentes, duas provas, uma teórica e outra experimental de alto grau de complexidade. Os estudantes não podem estar matriculados no ensino superior e as provas são feitas na língua nativa deles. O Guilherme participou, juntamente, com outros 15 mil estudantes na Olimpíada Brasileira de Física de 1999, que ocorreu em 18 estados do país. Ele foi selecionado, num total de 40 alunos, entre os 5 mil estudantes matriculados na 1a. série do ensino médio. Dos 40, 13 eram de São Paulo. Durante o 2o. semestre de 2000 e 1o. semestre de 2001, recebeu preparação dos prof.s Silvério Germano, Terezinha Lima e Yukio Koishi, do Depto de Física do ITA - Instituto Tecnológico de Aeronáutica / Centro Técnico Aerospacial do Ministério da Defesa, localizado em São José dos Campos. Além de orientações de estudos e de plantão de dúvidas, participaram de aulas teóricas e experimentais junto com os estudantes de 1o. e 2o. ao do curso de engenharia do ITA, fazendo relatórios e provas. No início de 2001, participou das 2 provas seletivas, realizadas em fevereiro e março e organizadas pela Comissão de Preparação para a IPHO, coordenada pelo prof. Dr. José Evangelista Moreira ([EMAIL PROTECTED]), Depto de Física da Universidade Federal do Ceará, nomeado pela Comissão Organizadora da Olimpíada Brasileira de Física / Sociedade Brasileira de Física. Ficou classificado em 4o. lugar, entre os 5 selecionados. A menção honrosa é uma distinção importante, concedida aos estudantes que atingem notas entre 60% e 51% na nota máxima obtida pelos participantes, uma vez que é a 2a. vez que o Brasil participa com estudantes da IPHO. No ano passado, a IPHO ocorreu na Universidade de Leicester, Inglaterra, e não conseguimos nenhuma distinção. Esse resultado mostra que os estudantes brasileiros têm condições de obter bons resultados em competições internacionais de alto nível, necessitando de
Re: problema
Ola marcelo, Ola Henrique e demais colegas da Lista, Saudacoes ! E ... Eu conheco o Site a que o Marcelo se refere. e isso e que e o chato. As questoes da IMO costumam ser interessantes mas existem sites que apresentam as solucoes, privando-nos da alegria de pensar nelas. Eu acho que a IMO de um determinado ano deveria encontrar uma maneira de nao divulgar as solucoes das questoes, pelo menos, ate a IMO do ano seguinte. Sera isso possivel ? Um abraco Paulo Santa Rita From: Marcelo Rufino de Oliveira [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: problema Date: Fri, 6 Jul 2001 01:27:34 -0300 Um comentário com relação as questões propostas das imos pelo Henrique é que, apesar de vários de nossos colegas terem capacidade de resolvê-las e acrescentar bastante à lista, a discussão de problemas antigos das imo perdeu um pouco a graça depois que lançaram um site que contem todas as imo resolvidas, desde a primeira, em 1959, até a última, em 2000. O endereço é http://www.kalva.demon.co.uk/ e é de autoria de um inglês (obviamente a página é toda em inglês), inclusive tem um link no site da obm para este site. Nesta página tem também as Putnam resolvidas desde 1975, certamente para quem nunca viu vale a pena dar uma olhada. A segunda questão proposta é bem famosa e é encarada como uma das mais difíceis que já cairam em imos. Eu já devo ter visto pelo menos umas 5 soluções distintas para esta questão em vários livros de olimpíadas (Winning Solutions, Mathematical Olympiad Challenges, etc.). De toda maneira, soluções distintas das apresentadas no site que eu citei são bem vindas. Falou, Marcelo Rufino - Original Message - From: Henrique Lima Santana [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, July 05, 2001 10:53 PM Subject: Re: problema Valeu Paulo! Essas não eram realmente difíceis, mas esse seu método de ensinar até q é legal hehe :) Agora tem 2 aqui q são bem difíceis(aparentemente), pelo menos eu não consegui sair do lugar: 1. (imo 90) determine todos os n naturais tais q ( 2^n +1 )/n^2 é inteiro 2. (imo 88) prove q se a e b são naturais e (a^2 + b^2)/(ab + 1) é inteiro então (a^2 + b^2)/(ab + 1) é quadrado perfeito Obrigado mais uma vez, []´s Henrique From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: problema Date: Thu, 05 Jul 2001 19:13:04 Ola Henrique, Sem duvida que voce pode fazer as questoes abaixo ... From: Henrique Lima Santana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: problema Date: Thu, 05 Jul 2001 14:18:53 -0300 olah, algumas duhvidas nessas questões de teoria dos nºs... 1.prove q pra todo n natural, 3^2n+1 + 2^n+2 é multiplo de 7 e que 3^2n+2 + 2^6n+1 é multiplo de 11. 3^(2n+1) + 2^(n+2)=3*(9^n) + 4*(2^n) Para n=1 = 3*(9^n) + 4*(2^n)= 35 ( divisivel por 7 ) Ja que 7 | 3*(9^n) + 4*(2^n) entao 7 | 2*( 3*(9^n) + 4*(2^n) ) entao 7 | 6*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 | ( 6*(9^n) + 8*(2^n) ) + 21*9^n entao 7 | 27*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 |3*(9^(n+1)) + 4*(2^(n+1)) Logo, vale para todo n natural. Agora voce faz o caso 11, falou ? 2.mostrar q pra nenhum n natural 2^n + 1 é um cubo. 2^n + 1=a^3 = a^3 e impar = a e impar 2^n = a^3 - 1 = 2^n=(a-1)*(a^2 + a + 1) Nao e essa ultima igualdade um evidente absurdo ? (Por que ?) Entao, 2^n + 1 nao pode ser um cubo perfeito ! 3. mostrar q 3 eh o unico primo p / p, p+2 e p+4 são todos primos. olhe para p,p+1,p+2,p+3,p+4. Dado que p e primo entao ele deixa resto 1 ou 2 ( e congruo a ) quando dividido por 3, certo ? E entao: se o resto for 1 implica o que ? se o resto for 2 implica o que ? qualquer ajuda será bem-vinda! Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Francamente, depois destas posso avaliar como deve se sentir um desses Tios de Jardim de Infancia ... Beeen ! (A mumia paralitica toca o sinete ) Valeu. E isso ai Henrique. Cai dentro que Matematica e como andar de bicicleta : so fazendo muitos exercicios a gente se desenrola e adquire desenvoltura. Um abraco pra voce Paulo Santa Rita 5,1612,05072001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: problema de funçao
Oi Marcelo ! E ai maluco ? Putss ... Que decepcao ... Morri de fome na porta do acougue ... Esse garoto descobriu um problema legal mas ele esta evidentemente incompleto ou mal formulado. Se voce conseguir o enunciado completo me fala, falou ? Um abraco Paulo Santa Rita 5,1227,05072001 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: problema de funçao Date: Thu, 05 Jul 2001 01:21:01 - Fala Paulo, certinho? Poxa, me deram esta questão lah no curso e eu tb achei o enunciado confuso...perguntei pro garoto onde ele tinha visto ele disse que passaram pra elemeio complicado...eu naum sei dar mais detalhes, escrevi tudo o que estava no papel. abraços Marcelo From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: problema de funçao Date: Wed, 04 Jul 2001 17:00:52 Ola Marcelo, Tudo Legal ? Eu devo estar entendo mal a sua questao, pois a faria em 4 passos. Voce pode explicar a questao abaixo com maiores detalhes ? Achei ela legal, pois me lembrou aspectos teoricos em processos de otimizacao de algoritmos. Um grande abraco Paulo Santa Rita 4,1358,04072001 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: problema de funçao Date: Wed, 04 Jul 2001 04:06:52 - alguém poderia mandar a resolução deste problema pra mim? Dadas 1000 funçoes lineares f_k (x) = (p_k).x + q_k , k= 1,2,...,1000, deseja-se obter o valor da composta f(x) = f_1(f_2(f_3.f_1000(x)...) no ponto x_0. Sabendo que em cada passo podemos efetuar simultaneamente qquer numero de operações aritmeticas com pares de numeros obtidos no passo anterior e que no primeiro passo podemos utilizar os numeros p_1, p_2,,p_1000, q_1,q_2,,1_1000, x_0, podemos afirmar que, o numero de passos necessarios para obter o valor da composta no ponto x não excede a: a)10 b)12 c)14 d)16 e) 20 valeu marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: problema
Ola Henrique, Sem duvida que voce pode fazer as questoes abaixo ... From: Henrique Lima Santana [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: problema Date: Thu, 05 Jul 2001 14:18:53 -0300 olah, algumas duhvidas nessas questões de teoria dos nºs... 1.prove q pra todo n natural, 3^2n+1 + 2^n+2 é multiplo de 7 e que 3^2n+2 + 2^6n+1 é multiplo de 11. 3^(2n+1) + 2^(n+2)=3*(9^n) + 4*(2^n) Para n=1 = 3*(9^n) + 4*(2^n)= 35 ( divisivel por 7 ) Ja que 7 | 3*(9^n) + 4*(2^n) entao 7 | 2*( 3*(9^n) + 4*(2^n) ) entao 7 | 6*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 | ( 6*(9^n) + 8*(2^n) ) + 21*9^n entao 7 | 27*(9^n) + 8*(2^n) entao 7 |3*(9^(n+1)) + 4*(2^(n+1)) Logo, vale para todo n natural. Agora voce faz o caso 11, falou ? 2.mostrar q pra nenhum n natural 2^n + 1 é um cubo. 2^n + 1=a^3 = a^3 e impar = a e impar 2^n = a^3 - 1 = 2^n=(a-1)*(a^2 + a + 1) Nao e essa ultima igualdade um evidente absurdo ? (Por que ?) Entao, 2^n + 1 nao pode ser um cubo perfeito ! 3. mostrar q 3 eh o unico primo p / p, p+2 e p+4 são todos primos. olhe para p,p+1,p+2,p+3,p+4. Dado que p e primo entao ele deixa resto 1 ou 2 ( e congruo a ) quando dividido por 3, certo ? E entao: se o resto for 1 implica o que ? se o resto for 2 implica o que ? qualquer ajuda será bem-vinda! Henrique _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. Francamente, depois destas posso avaliar como deve se sentir um desses Tios de Jardim de Infancia ... Beeen ! (A mumia paralitica toca o sinete ) Valeu. E isso ai Henrique. Cai dentro que Matematica e como andar de bicicleta : so fazendo muitos exercicios a gente se desenrola e adquire desenvoltura. Um abraco pra voce Paulo Santa Rita 5,1612,05072001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Problema-Seleção
Ola Pessoal,
A sua linha de raciocinio e boa e ela pode nos conduzir a uma demonstracao
sem maculas, desde que sejam feitos alguns ajustes. O ajuste principal
precisa ser feito na passagem :
Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2
Pode ocorrer que p=2 e q=1. Neste caso a*(a-1) | 2 NAO E UM ABSURDO, pois
a=2 poderia satisfazer licitamente.
Eu disse que :
P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1
E um evidente absurdo para a inteiro, porque :
1) Se a=0 ou a=1 , P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
2) Se a=-1, P(a)=P(a^3) e P(a^2)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^2 * [P(a^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
3) se modulo(a) 1,
O produto P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1 tera :
A) um fator igual a -1 e tres iguais a 1 OU
B) um fator igual a 1 e tres iguais a -1.
Nos dois casos haverao p e q pertencentes a {1,2,3,4} tais
que p=q+2 e :
P(a^p) - P(a^q)= 2 ou P(a^p) - P(a^q)= -2
E, novamente, nos dois casos :
a^q*(a^2 -1) | 2 = a^q*(a+1)*(a-1) | 2
Ou seja : (a+1) e (a-1) dividem exatamente 2 ... Um ABSURDO :
pois sabemos que modulo(a) 1 !
De forma mais prolixa, sabemos que deve ser :
modulo(a) 1.
Se a1 = a+1 =3 = (a+1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Se a1 = a-1 =-3 = (a-1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1227,04072001
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Problema-Seleção
Date: Tue, 3 Jul 2001 12:01:19 -0300
E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
solução que se segue abaixo :
(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo, P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1.
Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal que
P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 = p,q
=
4 e p diferente de q ) ;
(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então
(t-s)
| (m-n) ( Verifique ! ) ;
(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que pq. Logo, a^q *
(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
então |x| = 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
verificável ! ). O caso em que qp é análogo.
.: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
¡ Villard !
-Mensagem original-
De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
Assunto: Re: Problema-Seleção
Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
Assunto: Re: Problema-Seleção
Ola Pessoal !
Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja i esta raiz.
Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
3) Por que nao pode ser modulo(i) 1 ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1607,02072001
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: Obm [EMAIL PROTECTED]
Subject: Problema-Seleção
Date: Sun, 1 Jul 2001 20:53:17 -0300
Seja P(x) um polinômio de coeficientes inteiros e seja Q(x), tal que :
Q(x) = P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4) + 1. Mostre que Q(x) não possui
raízes
inteiras.
Pô, eu consegui mostrar que se Q(x) possuísse raízes inteiras, só
poderiam
ser 2 ou -2, mas não consegui mostrar que essas não podem ser . Se
alguém quiser, mando o que fiz...
¡ Villard !
_
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Re: IMO
Ola Prof Nicolau, Saudacoes ! Atendendo a seu pedido : DESEJO BOA SORTE A EQUIPE BRASILEIRA ! Um grande abraco Paulo Santa Rita 4,1243,04072001 From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED], [EMAIL PROTECTED] Subject: IMO Date: Tue, 3 Jul 2001 20:28:54 -0300 (BRT) A confian,ca 'e grande: estou em plena elabora,c~ao da prova da IMO usando e-mail livremente. N~ao posso comentar nada, claro, mas posso me comunicar sobre outros assuntos. E mandarei a prova assim que ela se tornar p'ublica. Desejem boa sorte a nosso time, []s, N. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: problema de funçao
Ola Marcelo, Tudo Legal ? Eu devo estar entendo mal a sua questao, pois a faria em 4 passos. Voce pode explicar a questao abaixo com maiores detalhes ? Achei ela legal, pois me lembrou aspectos teoricos em processos de otimizacao de algoritmos. Um grande abraco Paulo Santa Rita 4,1358,04072001 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: problema de funçao Date: Wed, 04 Jul 2001 04:06:52 - alguém poderia mandar a resolução deste problema pra mim? Dadas 1000 funçoes lineares f_k (x) = (p_k).x + q_k , k= 1,2,...,1000, deseja-se obter o valor da composta f(x) = f_1(f_2(f_3.f_1000(x)...) no ponto x_0. Sabendo que em cada passo podemos efetuar simultaneamente qquer numero de operações aritmeticas com pares de numeros obtidos no passo anterior e que no primeiro passo podemos utilizar os numeros p_1, p_2,,p_1000, q_1,q_2,,1_1000, x_0, podemos afirmar que, o numero de passos necessarios para obter o valor da composta no ponto x não excede a: a)10 b)12 c)14 d)16 e) 20 valeu marcelo _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com. _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Problema-Seleção
Ola Villard,
Esta foi a primeira ideia que me ocorreu, mas percebi imediatamente o furo
em +-2, o que me obrigaria a seguir um atalho. Resolvi entao proceder como
descrevi.
Uma outra forma de provar e usando as relacoes de Girard, mas implica em
escrever muito e e muito feia.
Bom, ja que o papo aqui e polinomios :
Seja P(x) um polinomio de grau N com N raizes inteiras, nenhuma delas nula.
Seja tambem Q(x)=P(x)*P(x^2)*P(x^3)*P(x^4)*P(x^5) - 1. O que se pode falar
sobre as raizes de Q(x) ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1446,04072001
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
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Subject: Re: Problema-Seleção
Date: Wed, 4 Jul 2001 13:59:22 -0300
Na verdade eu já tinha feito de outra forma, mas só não tinha conseguido
mostrar que +-2 não podia... foi assim :
Seja a raiz inteira de Q(x). Daí, olhe os P`s, mod(a). Como sabemos, no
mínimo um dos P`s é 1 e no mínimo um é -1, logo :
a(n) = 1 mod(a)
a(n) = -1 mod(a) , onde a(n) é o termo independente de P(x). Subtraindo
uma
da outra : 2 = 0 mod(a), logo, temos a = +-1 ou +-2. COmo +-1 não pode,
temos que a = +-2.
Vamos mostrar que não pode p/ a = 2 :
(i) P(16) = 1
Daí, existe um k, tal que P(2^k) = -1 e 0k4. Daí, (16 - 2^k) | 2
(ABSURDO
!)
(ii) P(16) = -1
Daí existe um k, tal que P(2^k) = 1 e 0k4, daí (2^k - 16) | 2 (ABSURDO
!)
O caso em que a = -2 é análogo e não gera soluções !
Logo, Q(x) não tem raízes inteiras.
¡Villard!
-Mensagem original-
De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
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Data: Quarta-feira, 4 de Julho de 2001 13:17
Assunto: Re: Problema-Seleção
Ola Pessoal,
A sua linha de raciocinio e boa e ela pode nos conduzir a uma
demonstracao
sem maculas, desde que sejam feitos alguns ajustes. O ajuste principal
precisa ser feito na passagem :
Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2
Pode ocorrer que p=2 e q=1. Neste caso a*(a-1) | 2 NAO E UM ABSURDO, pois
a=2 poderia satisfazer licitamente.
Eu disse que :
P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1
E um evidente absurdo para a inteiro, porque :
1) Se a=0 ou a=1 , P(a)=P(a^2)=P(a^3)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
2) Se a=-1, P(a)=P(a^3) e P(a^2)=P(a^4)
E teremos [P(a)]^2 * [P(a^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
3) se modulo(a) 1,
O produto P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4) = -1 tera :
A) um fator igual a -1 e tres iguais a 1 OU
B) um fator igual a 1 e tres iguais a -1.
Nos dois casos haverao p e q pertencentes a {1,2,3,4} tais
que p=q+2 e :
P(a^p) - P(a^q)= 2 ou P(a^p) - P(a^q)= -2
E, novamente, nos dois casos :
a^q*(a^2 -1) | 2 = a^q*(a+1)*(a-1) | 2
Ou seja : (a+1) e (a-1) dividem exatamente 2 ... Um ABSURDO :
pois sabemos que modulo(a) 1 !
De forma mais prolixa, sabemos que deve ser :
modulo(a) 1.
Se a1 = a+1 =3 = (a+1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Se a1 = a-1 =-3 = (a-1) divide exatamente 2 ( UM ABSURDO )
Um abraco
Paulo Santa Rita
4,1227,04072001
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Problema-Seleção
Date: Tue, 3 Jul 2001 12:01:19 -0300
E aí pessoal ?? Depois de tentar um pouco ontem o problema, consegui uma
solução que se segue abaixo :
(i) Seja a uma raiz inteira de Q(x). Logo, P(a)*P(a^2)*P(a^3)*P(a^4)
= -1.
Como P(a^k) é inteiro para k inteiro, temos que há pelo menos um p, tal
que
P(a^p) = 1 e pelo menos um q tal que P(a^q) = -1 ( tudo isso com 1 =
p,q
=
4 e p diferente de q ) ;
(ii) Lembremos que, como P(x) é inteiro, se P(t) = m e P(s) = n, então
(t-s)
| (m-n) ( Verifique ! ) ;
(iii) Logo, (a^p - a^q) | 1 - (-1) = 2. Suponha que pq. Logo, a^q *
(a^(p-q) - 1) | 2. Mas como já sabemos que 0 e +-1 não podem ser raízes,
então |x| = 2. Daí não é possível a^q * (a^(p-q) - 1) | 2 ( facilmente
verificável ! ). O caso em que qp é análogo.
.: Logo, Q(x) não possui raízes inteiras !!
¡ Villard !
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De: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 22:37
Assunto: Re: Problema-Seleção
Essa sua pergunta (3) foi exatamente o que eu propus
¡Villard!
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De: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Data: Segunda-feira, 2 de Julho de 2001 17:13
Assunto: Re: Problema-Seleção
Ola Pessoal !
Suponha que Q(x) tenha uma raiz inteira. Seja i esta raiz.
Entao : P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) + 1 = 0. Ou seja,
P(i)*P(i^2)*P(i^3)*P(i^4) = -1
Pode isso ? Ou isso e um evidente absurdo ?
1) Se i=0 ou i=1 , P(i)=P(i^2)=P(i^3)=P(i^4)
E teremos [P(i)]^4 = -1 ( ABSURDO ! )
2) Se i=-1, P(i)=P(i^3) e P(i^2)=P(i^4)
E teremos [P(i)]^2 * [P(i^2)]^2 = -1 ( ABSURDO ! )
3) Por que nao pode ser modulo(i) 1 ?
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1607,02072001
From: Rodrigo Villard Milet [EMAIL PROTECTED]
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Equacoes Diofantinas
Ola Pessoal, Esta mensagem e tambem uma tentativa de restabelecer contato com um colega desta Lista com o qual nos estavamos discutindo em Off sobre problemas ligados a equacoes diofantinas nao-lineares. Por problemas no Hotmail ou no Sistema de Seguranca de Nossa Rede, as mensagens do Estimado Colega - Duda : Eduardo Casagrande Stabel - nao estao chegando a minha caixa de correio, o que esta obstando a continuidade de nossa estimulante correspondencia. A ideia original da discussao era estabelecer um metodo ou contexto no qual inumeros problemas que foram e que sao tratados isoladamente possam ser abordados de maneira uniforme e universal. Seja P(N)=A*(N^2) + B*N + C um polinomio, com N variando nos naturais, isto e : N = 1, 2, 3, ... Podemos coloca-lo em outra roupagem, a saber P(N) = A*(N^2) - A*N + A*N + B*N + C P(N) = A*(N^2 - N) + (A+B)*N + C P(N) = 2*A*[ (N^2 - N)/2 ] + (A+B)*N + C Sendo BINOM(N,P) = Numero Binomial de Numerador N e Denominador P, isto e: BINOM(N,P)= N! / ( P!*(N-P)! ) entao : P(N)=2A*BINOM(N,2) + (A+B)*BINOM(N,1) + C*BINOM(N,0) Se representarmos por A,B,C o vetor de coordenadas A, B e C, teremos : P(N)=2A,A+B,C .BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0) E podemos passar a interpretar os sucessivos valores de P(N) como as projecoes dos vetores G(N) = BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0) Sobre a reta de suporte do vetor 2A, A+B, C multiplicada ( as projecoes ) pelo modulo de 2A, A+B, C. Esta mudanca, a principio, pode parecer pesadona e complicada, mas nao e. Vamos mostrar que ela e proficua e conduz a uma abordagem elegante e geometrica. Sejam P(N) = A*(N^2) + B*N + C e Q(M) = D*(M^2) + E*M + F. Queremos encontrar todos os pares de inteiros (N,M) que satisfazem a equacao : P(N) = Q(M) Pelo que apresentamos acima, esta equacao pode assumir a seguinte configuracao : 2A,A+B,C .BINOM(N,2), BINOM(N,1),BINOM(N,0) = 2D,D+E,F .BINOM(M,2), BINOM(M,1),BINOM(M,0) E agora, ao inves de um problema eminentemente numerico, temos um problema eminentemente geometrico : Ao longo da curva que serve de suporte aos sucessivos pontos ocupados pelas extremidades ( pontas das setas ) dos vetores G(N) devemos encontrar dois pontos de G(N) tais que : modulo(2A,A+B,C)*(Projecao de G(N) na direcao 2A,A+B,C ) = modulo(2D,D+E,F)*(Projecao de G(M) na direcao 2D,D+E,F) Sejam R e S as extremidades dos vetores 2A,A+B,C e 2D,D+E,F respectivamente. Sejam T e U os pes das perpendiculares tracadas, respectivamentes, de G(N) na direcao de 2A,A+B,C e de G(M) na direcao de 2D,D+E,F. Como as projecoes sao inversamente proporcionais aos modulos dos vetores entao, por semelhanca, podemos dizer que : vetor T - U = K*(2D,D+E,F - 2A,A+B,C) para algum K real. NOTA: vetor T - U = origem U e extremidade T A equacao ( Bonita ! ) : vetor T - U = K*(2D,D+E,F - 2A,A+B,C) E fundamental ! O que precisamos doravante e garantir que os pontos T e U provenham de pontos de coordenadas inteiras que atendem a expressao Binomial de G(N). Para ver como isso e possivel, vou falar um pouco sobre um invariante das conicas pouco conhecido : a REFRINGENCIA. Alias, antes de falar sobre isso, alguem faria alguma critica a esta Tentativa de Primeiro Artigo ? Ficou claro ou esta nebuloso ? Se ficou complicado ( eu o achei clarissimo ! ) peco desculpas desde ja : nao e mais e nao e menos que apenas um modesta e despretenciosa Tentativa de Primeiro Artigo. Alo Duda, voce recebeu esta mensagem ? Um Grande abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 4,1624,04072001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Pessoal,
Das duas belas questoes abaixo - aplicacoes de variantes do principio da
casa dos pombos, apresentadas pelo nosso colega Marcelo Rufino - a segunda
ainda nao teve uma solucao apresentada aqui na lista. Talvez a observacao
abaixo possa ajudar ...
Supondo que as linhas estao numeradas de 1 ate 1993 e, as colunas, de 1 ate
1994, sejam L(i) e C(j) as somas respectivas da linha i e da coluna j.
Claramente que, apos o encerramento do jogo :
L(1) + L(2) + ... + L(1993) = C(1)+ C(2) + ... + C(1994)
Portanto, um mesmo numero precisara ser distribuido tanto em 1993 casas ( as
linhas ), quanto em 1994 outras casas ( as colunas ). Evidentemente que se
este numero for multiplo de 1994 e distribuido uniformemente entre as
colunas, pelo principio da casa dos pombos, havera ao menos uma linha que
contera uma ( ou mais ) unidade a mais que a maior quantidade que esta nas
colunas...
A titulo de exemplificacao:
1994 numeros 1´s, distribuidos uniformemente em 1994 casas (colunas),
implica em uma unidade em cada coluna. Todavia, quando distribuirmos os
mesmo 1994 em 1993 casas ( as linhas ), havera ao menos uma casa com mais de
uma unidade.
Os jogadores jogam alternadamente, logo :
1) Pode algum jogador forcar esta distribuicao uniforme ? Como ?
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
5,1302,28062001
From: Marcelo Rufino de Oliveira [EMAIL PROTECTED]
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To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Questões de combinatória/jogos
Date: Thu, 21 Jun 2001 10:03:31 -0300
Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
fazer.
Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém pode me
ajudar.
Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer
algum
dos problemas, pois estes não são elementares.
1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos disjuntos.
Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c tais
que a + b = c.
2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez) escreve os
números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o máximo
valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das colunas.
No
caso em que A B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui uma
estratégia vencedora?
Falou,
Marcelo Rufino
_
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Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Pessoal,
A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de raciocinio
e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico, cujo
enunciado segue abaixo :
Num poligono convexo de N lados,
1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos
2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas
Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de diagonais
?
OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo ponto.
Leia a1 como a indice 1.
Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos
distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto.
Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três
conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1,
b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem.
Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15.
Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk, isto
é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma dos
dois primeiros.
Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y
e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas
diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7
diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças
entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a,
estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X.
Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp, isto
é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar
e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois
primeiros.
Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z.
As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças
entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de
pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro é
a soma dos dois primeiros.
Alexandre Tessarollo wrote:
Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não consegui
fazer.
Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista mas
infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez alguém
pode me
ajudar.
Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem fazer
algum
dos problemas, pois estes não são elementares.
1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos
disjuntos.
Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e c
tais
que a + b = c.
Hum, vamos ver...
1a hipótese: Separamos de acordo com o resto na divisão por 3.
Assim, temos o grupo que resta 1, o que resta 2 e o que não resta nada.
Neste
último, basta pegar números a=3k, b=3j e c=3(k+j). Naturalmente, k e j
são
naturais não-nulos, k é diferente de j e k+j17. (Isto para que a,b e c
estejam
no conjunto original {1,..,49})
Ih, tô vendo que vai dar um certo trabalho e eu tenho aula daqui a
dez
minutos... Bem, veja se consegue mostrar o que o problema pede pensando
nessas
possibilidades. Talvez tenha uma maneira mais direta, não sei. Vou ver
se até
amanhã eu consigo resolver e digitar tudo.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: Sei que não é a resolução completa, mas de repente ajuda... :-)
2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez)
escreve os
números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja A o
máximo
valor das somas das 1993 linhas e B o máximo valor das somas das
colunas. No
caso em que A B o primeiro ganha, no outro caso B ganha. Quem possui
uma
estratégia vencedora?
Falou,
Marcelo Rufino
_
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Re: Questões de combinatória/jogos
Ola Prof Morgado,
1) De forma alguma posso concordar com o adjetivo de idiota... Para ver
isso, suponha que o Prof Morgado e um idiota. Logo, os seus livros seriam,
ao menos, mediocres. Consequentemente, nos, que estudamos por eles, seriamos
todos imbecis ... UM ABSURDO !
Portanto, e insustentavel a nossa tese e somos obrigados a admitir que o
Prof Morgado nao e idiota.
Agora, suponha que o Prof Morgado e genial. Logo, os seus livros sao, ao
menos, excelentes. Nos, que estudamos por eles, teriamos aprendido muitas
coisas. Logo, seriamos ao menos bons alunos... UMA CONCLUSAO QUE NAO ENTRA
EM DESACORDO COM A REALIDADE.
Portanto, existe uma grande probabilidade do Prof Morgado ser genial.
2)Realmente concordo que a forma a+b=c seria mais direta. Eu fiz assim,
partindo de 48=1+47=2+46=3+45=...24=24 e usando o principio da casa dos
pombos, tal como o Prof usou.
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1607,25062001
From: Augusto Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: Questões de combinatória/jogos
Date: Mon, 25 Jun 2001 15:45:02 -0300
É, mas o idiota aqui teria poupado muito esforço e teria sido muito mais
claro se tivesse começado escrevendo a+b=c como a=c-b.
Morgado
Paulo Santa Rita wrote:
Ola Pessoal,
A solucao abaixo - do Prof Morgado - e muito bonita ! A linha de
raciocinio
e muito semelhante a que leva a solucao de um outro problema olimpico,
cujo
enunciado segue abaixo :
Num poligono convexo de N lados,
1)Dois lados quaisquer nao sao paralelos
2)Duas diagonais quaisquer nao sao paralelas
Quantos pontos no exterior do poligono sao pontos de inteseccao de
diagonais
?
OBS : E dado que tres ou mais diagonais nunca se cruzam em um mesmo
ponto.
Leia a1 como a indice 1.
Observe inicialmente que a diferença entre dois elementos
distintos(maior-menor) do conjunto é ainda um relemento do conjunto.
Fixe a1=1. Considere as 48 diferenças a2-a1,..., a48-a1.Algum dos três
conjuntos conterá pelo menos dezesseis dessas 48 diferenças. Sejam b1,
b2,...,b16 essas diferenças e seja X o conjunto ao qual elas pertencem.
Considere as 15 diferenças b2-b1=c1,...,b16-b1=c15.
Se alguma dessa diferenças pertencer a X, X conterá b1, bk-b1 e bk,
isto
é, as-a1, aj-a1-(as-a1)=aj-as e aj-a1; fim, pois o terceiro é a soma
dos
dois primeiros.
Caso contrário as 15 diferenças pertencerao aos outros dois conjuntos Y
e Z, havendo em um dos conjuntos, digamos Y, pelo menos 8 dessas
diferenças.Chamemos essas diferenças de d1,...,d8.Considere as 7
diferenças d2-d1,...,d8-d1.Note que essas diferenças sao diferenças
entre bês e portanto diferenças entre elementos da sequencia dos a,
estando ja excluida a possibilidade de alguma delas pertencer a X.
Se alguma dessa diferenças pertencer a Y, Y conterá d1, dp-d1 e dp,
isto
é, bm-b1=ar-a1-(as-a1)=ar-as, bn-a1-(bm-b1)=bn-bm=(au-a1)-(ar-a1)=au-ar
e bn-b1=(au-a1)-(as-a1)=au-as; fim, pois o terceiro é a soma dos dois
primeiros.
Caso contrário, as 7 diferenças d2-d1=e1,...,d8-d1=e7 pertencerao a Z.
As seis diferenças e2-e1,...,e7-e1 pertencerao a Z pois sao diferenças
entre termos da sequencia dos d, estando ja excluida a possibilidade de
pertencerem a Y. Entao Z contera e1, ef-e1, ef ...fim, pois o terceiro
é
a soma dos dois primeiros.
Alexandre Tessarollo wrote:
Marcelo Rufino de Oliveira wrote:
Abaixo vão 2 problemas de combinatória/jogos que eu ainda não
consegui
fazer.
Já mandei estas mesmas duas questões anteriormente para a lista
mas
infelizmente ninguém se manifestou... vamos ver se desta vez
alguém
pode me
ajudar.
Já agradeço, de antemão, aos participantes da lista que tentarem
fazer
algum
dos problemas, pois estes não são elementares.
1) O conjunto {1, 2, ..., 49} é particionado em 3 subconjuntos
disjuntos.
Mostre que ao menos um dos subconjuntos possui três números a, b e
c
tais
que a + b = c.
Hum, vamos ver...
1a hipótese: Separamos de acordo com o resto na divisão por 3.
Assim, temos o grupo que resta 1, o que resta 2 e o que não resta
nada.
Neste
último, basta pegar números a=3k, b=3j e c=3(k+j). Naturalmente, k e
j
são
naturais não-nulos, k é diferente de j e k+j17. (Isto para que a,b
e c
estejam
no conjunto original {1,..,49})
Ih, tô vendo que vai dar um certo trabalho e eu tenho aula daqui
a
dez
minutos... Bem, veja se consegue mostrar o que o problema pede
pensando
nessas
possibilidades. Talvez tenha uma maneira mais direta, não sei. Vou
ver
se até
amanhã eu consigo resolver e digitar tudo.
[]'s
Alexandre Tessarollo
PS: Sei que não é a resolução completa, mas de repente ajuda... :-)
2) Dado um retângulo 1993x1994, dois jogadores (um de cada vez)
escreve os
números 0 ou 1 nas casas. Quando o tabuleiro está completo seja
O jogo Vida
Ola Pessoal, Saudacoes ! A mensagem que apresentei aqui e na qual propus que desenvolvessemos o jogo vida teve muitas replicas, muitas em off. Recebi e-mail's de muitos colegas, alguns criticando construtivamente, outros apenas comentando e outros abordando temas correlatos pelos mais diversos angulos. Isso demonstra o interesse que o tema desperta; mas, tambem, e um indicativo do grande espirito de cooperacao e solidariedade que parece existir aqui na lista. Isso e muito bom. Eu, de coracao, agradeco a todos voces ! Aproveito a oportunidade para dizer que tenho uma certeza e que talvez seja bom alguns ouvirem : aqui e uma lista de quem gosta de matematica. A pessoa que tem um pendor para esta ciencia e uma certa habilidade com ela, VAI ENCONTRAR MUITA FACILIDADE EM APRENDER QUALQUER LINGUAGEM DE PROGRAMACAO E AS COISAS LIGADAS A INFORMATICA. Essa e a minha certeza ! De forma que quem nao sabe programar pode ter certeza que em poucas semanas pode dominar a linguagem que quiser. O resto e pratica. Quem quiser aprender C++, adquira livros do Kris Jamsa ou do Herber Sclitz. Este ultimo autor tem um livro : Inteligencia Articial com a linguagem C. Muito bom. Alem de lhe introduzir em tecnicas de IA, voce vai lidar com problemas de programacao que se aproximacao mais do jeito matematico de ver as coisas. Finalmente, gostaria de esclarecer AS REGRAS GERAIS a que me referi. Nas regras de Conway existem tres acoes : desocupar a casa, ocupar a casa e nada fazer. Estas tres acoes sao funcao do numero de casas vizinhas ocupadas. Os modulos que apresentei permitem aplicar QUAISQUER REGRAS em que AS TRES ACOES ACIMA SAO FUNCAO DO NUMERO DE CASAS VIZINHAS OCUPADAS ! E indubitavelmente impossivel implementar uma estrutura que implemente qualquer regra imaginavel simplesmente porque nao podemos mapear a imaginacao ! EM PRINCIPIO, um Cray e um PC 386 sao absolutamente iguais e equivalentes : ambos sao maquinas de turing universais ! Eles possuem diferencas meramente operacionais... Portanto, os modulos do jogo vida nao sao para exposicao ou competicao em concurso de beleza : sao apenas modulos simplicissimos, modestissimos, tao somente para investigar a matematica iterativa associada ao jogo de Conway. Finalmente, gostaria de evidenciar um fato que me parece interessante : Considere a configuracao inicial abaixo (1=casa ocupada, 0=casa desocupada ) : 1 00010 00100 01000 1 Apos aplicarmos as regras de Conway, qual sera o estado seguinte ? Muito provavelmente, a resposta sera : 0 0 0 0 0 Isto porque : O EFEITO DA ACAO SOBRE UM CASA (OCUPAR,DESOCUPAR,NADA FAZER) E IMEDIATAMENTE INCORPORAD0 AO TABULEIRO, AINDA NA VIGENCIA DO ESTAGIO DE VARREDURA EM QUE A CASA FOI ANALISADA. Todavia, NAO HA NENHUM NECESSIDADE OU IMPOSICAO DE NATUREZA LOGICA (APODITICA) QUE NOS OBRIGUE A TAL PROCEDIMENTO... Podemos registrar o efeito da acao em uma casa em um segundo tabuleiro- tabuleiro auxiliar - ,a principio com todas as suas casas desocupadas, e so apos o atual estagio de varredura transformar o tabuleiro auxiliar em principal, efetuando entao o novo ciclo de varredura. Portanto, o efeito de uma acao sobre uma casa pode ter, pelo menos, REPERCUSSAO IMEDIATA ou nao. Nao havendo REPERCUSSAO IMEDIATA, a resposta a questao que propomos seria : 0 00010 00100 01000 0 Tal como o exemplo sugere, realmente tudo indica que o universo vida gera formas e efeitos muito mais interessantes em um mundo onde a repercussao nao e imediata. Por outro lado, sera que ja conceituamos o suficiente par tornar univoco os efetos da regras ? Eu acho que nao ... a repercussao e apenas um detalhe ... eu ( que nao sou Hamlet ) acredito que entre esse ceu e essa terra existem muito mais coisas do que supoe nossa apressada filosofia ... Bom, se nos ainda nao entendemos os fenomenos matematicos que se passam no universo vida de forma satisfatoria, como podemos pensar em implementar e divulgar um programa ? Os bons programas nascem de boas solucoes matematicas ... Alguem tem uma ideia de como conceituar com prefeicao esta problematica, de forma que dai possa derivar um tratamento matematico satisfatorio ? Um grande abraco a todos Paulo Santa Rita 3,1501,19062001 _ Get Your Private, Free E-mail from MSN Hotmail at http://www.hotmail.com.
