[obm-l] Quadilátero
a) Construir um quadrilátero convexo cujos lados opostos sejam diâmetros de circunferências que se tangenciam, duas à duas, no interior do polígono.b) Calcular a distância entre os pontos de tangencia, em função do perímetro. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Constução geométrica livre
Construir um triangulo isoceles ABC de base AC=2sqrt[6], cuja ceviana AD forma um ângulo de 15° com a base, sendo D um ponto do lado BC com BD=2. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] solução de questões da OBM
Alguém sabe como se pode acessar solução (gabarito...) da 3ª fase (Nivel 2) da OBM, de 2015 por exemplo?Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: Questão de vetores
Não entrou na minha caixa postal (e-mail) e tbm não conseguí responder diretamente da lista. Vejamos se assim "funciona"... Sejam BM=x; MC=y, logo 3x=5y ou y=x*3/5 e BC=x+y=x*8/5 logo x=BM=BC*5/8. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Retângulo com "cúpula".
ABCD é um retângulo tal que BC=AB.cos 45° e P é um ponto da semi-circunferência de diâmetro AB, externo ao retângulo e mais próximo à B; sejam K e L as intersecções de AB com PD e PC, respectivamente. Q é outro ponto da semi-circunferência (vizinho à P) tal que AQ=AL. Se os prolongamentos de QK e QL encontram, respectivamente, CD em G e CB em H, provar que GAQH é um paralelograma. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Pentágono regular
Pentágono ABCDE. Caso I. Todos ângulos congruentes sucessivos (seja A = B = C) AC=AB=DB (*) pois os triângulos ABC, BCD e ABE são congruentes. Assim, são congruentes os ângulos (1) BCA = BEA (= CDB (**)); Portanto, os triângulos BCE e ACE são congruentes, logo (2) ACE = CEB . O triângulo CDE é isoceles, implicando em (3) ECD = DEC . Somando membro a membro (1)+(2)+(3) obtemos C = E. De (*) o triângulo BDE é isoceles logo BDE = DEB que somado membro a membro com CDB = BEA de (*) nos dá D = E Caso II. Ângulos congruentes não todos sucessivos (seja E = A = C). Análogamente ao Caso I EB=AD=BD e(***) EAD = DBC (por congruência dos triângulos isoceles que os tem como base). Triângulo isoceles ABD = BAD = ABD e somando membro a membro com (***) = A = B. Triângulo isoceles EBD = EDB = BED, somado com BDC = BEA dá D = E. [ ]s Em Quinta-feira, 23 de Janeiro de 2014 17:25, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Não seria conveniente especificar que o pentágono é convexo (caso contrário a afirmação não seria válida)? [ ]s Em Quarta-feira, 22 de Janeiro de 2014 9:15, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Sugestão : coloque o pentágono dentro de uma circunferência, e veja o que acontece com os outros ângulos (quadriláteros inscritiveis). Abs Felipe Em Terça-feira, 21 de Janeiro de 2014 23:05, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Eu tentei mais algumas vezes e não consegui.Peço ajuda. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Pentágono regular Date: Sat, 18 Jan 2014 18:58:08 + Prove que um pentágono de lados congruentes e 3 ângulos congruentes é regular -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Pentágono regular
Não seria conveniente especificar que o pentágono é convexo (caso contrário a afirmação não seria válida)? [ ]s Em Quarta-feira, 22 de Janeiro de 2014 9:15, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: Sugestão : coloque o pentágono dentro de uma circunferência, e veja o que acontece com os outros ângulos (quadriláteros inscritiveis). Abs Felipe Em Terça-feira, 21 de Janeiro de 2014 23:05, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Eu tentei mais algumas vezes e não consegui.Peço ajuda. From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Pentágono regular Date: Sat, 18 Jan 2014 18:58:08 + Prove que um pentágono de lados congruentes e 3 ângulos congruentes é regular -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como eu resolvo isso?
Maldonado, poderia nos mostrar o problema original, de cinemática? [ ]'s Em Sábado, 4 de Janeiro de 2014 18:08, saulo nilson saulo.nil...@gmail.com escreveu: essa integral e catalogada caiu em uma prova da obmu. 2014/1/4 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com d2R/R=2d2acosa/sena lnR dR=2(lnsena+V/D)da RlnR-R+D=2aV/D+2Integral (lnsenada) 2014/1/3 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Fala ai galera. Eu tava resolvendo um problema de cinemática (sei que não é o assunto da lista) mas caí numa parte puramente matemática que não estou conseguindo resolver, queria pedir a ajuda de vocês. Se alguém puder me dar uma mão eu agradeço muito d²R/dt² = 2cos(a)/R³ R d²a/dt² = sen(a)/R³ onde: R inicial = D a inicial = 0 dR/dt inicial = 0 da/dt inicial = V/D Quero achar R(t), a(t) e R(a) []'s João -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Coordenadas polares
A secante é negativa no segundo e terceiro quadrante e rhô não pode ser negativo. [ ]'s Em Sábado, 30 de Novembro de 2013 0:06, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Eu nao entendi bem essa variação de teta. Date: Sun, 24 Nov 2013 06:56:28 -0800 From: eduardowil...@yahoo.com.br Subject: Re: [obm-l] Coordenadas polares To: obm-l@mat.puc-rio.br Como rô=0 , -pi/2= teta = pi/2 (à menos de k2pi); Assim rô*cos(teta) = 1, que é a projeção de rô no eixo polar... tá enxergando? [ ]'s Em Domingo, 24 de Novembro de 2013 10:26, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/11/24 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Alguém poderia mostrar como fica o gráfico de rô = sec(teta)? Transforme r e teta em coordenadas cartesianas, r^2 = x^2 + y^2, tan(teta) = y/x, e depois substitua um pouco de trigonometria. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Coordenadas polares
Como rô=0 , -pi/2= teta = pi/2 (à menos de k2pi); Assim rô*cos(teta) = 1, que é a projeção de rô no eixo polar... tá enxergando? [ ]'s Em Domingo, 24 de Novembro de 2013 10:26, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/11/24 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Alguém poderia mostrar como fica o gráfico de rô = sec(teta)? Transforme r e teta em coordenadas cartesianas, r^2 = x^2 + y^2, tan(teta) = y/x, e depois substitua um pouco de trigonometria. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Coordenadas polares
Ninguém achou a minha proposta mais simples? Em Domingo, 24 de Novembro de 2013 22:26, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2013/11/24 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: r = sec(teta) r^2 = [sec(teta)]^2 = 1 + [tg(teta)]^2 x^2 + y^2 = 1 + (y/x)^2 E dai? Daí que x^2 + y^2 = 1 + (y/x)^2 = (x^2 + y^2)/x^2, logo x^2 = 1 (pois r != 0, já que a secante é sempre diferente de zero, logo podemos cortar x^2 + y^2). Daí, x = 1 ou x = -1, e mais um pouco de trigonometria vai mostrar que x = -1 é uma solução espúria, introduzida porque a gente elevou ao quadrado (isso quase sempre acontece, e é sempre bom verificar como... aqui, se fosse r = - sec(teta), teria dado a mesma depois de elevar ao quadrado, portanto claro que uma das soluções tem que ser desprezada). Isso quer dizer que x = 1, ou seja, e é equação de uma reta vertical. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Cônicas
Uma translação dos eixos de forma que a origem coincida com o ponto dado (10;25) deixa o trabalho de encontrar m(1;-29/4) mais agradável. [ ]'s Em Domingo, 24 de Novembro de 2013 8:26, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Determinar as equações das retas tangentes à cônica x^2 + 4y^2 - 180 = 0 que passam pelo ponto (10,25) Eu escrevi y - 25 =m(x - 10) * A ideia era substituir o valor de y em * na equação lá de cima e igualar delta a zero para achar m,mas as contas ficaram enormes -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Diferença de cubos
Quando eu coloquei a errata achei que estivesse claro que eu já tinha entendido... Afinal, para bom entendedor meia palavra besta, ops, basta... O que confundiu foi que como estava o segundo membro da igualdade era maior que o primeiro! E a soma dos quadrados? []'s Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 23:51, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isso mesmo, é só abrir: (b+1)^3 - b^3 =3a^2+3a+1 3a^2+3a+1=b^2 3*(4a^2+4a+1)+1=4b^2 3(2a+1)^2+1=(2b)^2 Eu usei uma técnica de completar quadrados neste parêntese. Eu multipliquei por 4 para deixar tudo par, mas se quiser, eis a forma fácil de entender: 3a^2+3a+1=b^2 a^2+a+1/3=b^2/3 a^2+2*1/2*a+(1/2)^2 - (1/2)^2 + 1/3=b^2/3 (a+1/2)^2 - 1/4 + 1/3=b^2/3 Tira o mínimo e voilà! Em 11 de novembro de 2013 00:22, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: No segundo membro, onde se lê b, leia-se a ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 0:07, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Como se chega à (2b)^2=3(2b+1)^2+1 ? A propósito, a expressão parece estar incorreta. Em Domingo, 10 de Novembro de 2013 19:01, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isto equivale a uma equação de Pell! (a+1)^3-a^3=b^2 acarreta (2b)^2=3(2b+1)^2+1 Talvez usando reciprocidade, fique mais fácil... Em 9 de novembro de 2013 23:20, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que se a diferença de dois cubos consecutivos é um quadrado,então é o quadrado da soma de dois quadrados. 8^3 - 7^3 = (3^2 + 2^2)^2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Diferença de cubos
O que confundiu foi que, como estava, o segundo membro da igualdade era maior que o primeiro! Em Terça-feira, 12 de Novembro de 2013 1:15, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Quando eu coloquei a errata achei que estivesse claro que eu já tinha entendido... Afinal, para bom entendedor meia palavra besta, ops, basta... O que confundiu foi que como estava o segundo membro da igualdade era maior que o primeiro! E a soma dos quadrados? []'s Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 23:51, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isso mesmo, é só abrir: (b+1)^3 - b^3 =3a^2+3a+1 3a^2+3a+1=b^2 3*(4a^2+4a+1)+1=4b^2 3(2a+1)^2+1=(2b)^2 Eu usei uma técnica de completar quadrados neste parêntese. Eu multipliquei por 4 para deixar tudo par, mas se quiser, eis a forma fácil de entender: 3a^2+3a+1=b^2 a^2+a+1/3=b^2/3 a^2+2*1/2*a+(1/2)^2 - (1/2)^2 + 1/3=b^2/3 (a+1/2)^2 - 1/4 + 1/3=b^2/3 Tira o mínimo e voilà! Em 11 de novembro de 2013 00:22, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: No segundo membro, onde se lê b, leia-se a ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 0:07, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Como se chega à (2b)^2=3(2b+1)^2+1 ? A propósito, a expressão parece estar incorreta. Em Domingo, 10 de Novembro de 2013 19:01, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isto equivale a uma equação de Pell! (a+1)^3-a^3=b^2 acarreta (2b)^2=3(2b+1)^2+1 Talvez usando reciprocidade, fique mais fácil... Em 9 de novembro de 2013 23:20, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que se a diferença de dois cubos consecutivos é um quadrado,então é o quadrado da soma de dois quadrados. 8^3 - 7^3 = (3^2 + 2^2)^2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Diferença de cubos
Como se chega à (2b)^2=3(2b+1)^2+1 ? A propósito, a expressão parece estar incorreta. Em Domingo, 10 de Novembro de 2013 19:01, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isto equivale a uma equação de Pell! (a+1)^3-a^3=b^2 acarreta (2b)^2=3(2b+1)^2+1 Talvez usando reciprocidade, fique mais fácil... Em 9 de novembro de 2013 23:20, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que se a diferença de dois cubos consecutivos é um quadrado,então é o quadrado da soma de dois quadrados. 8^3 - 7^3 = (3^2 + 2^2)^2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Diferença de cubos
No segundo membro, onde se lê b, leia-se a ? Em Segunda-feira, 11 de Novembro de 2013 0:07, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Como se chega à (2b)^2=3(2b+1)^2+1 ? A propósito, a expressão parece estar incorreta. Em Domingo, 10 de Novembro de 2013 19:01, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu: Isto equivale a uma equação de Pell! (a+1)^3-a^3=b^2 acarreta (2b)^2=3(2b+1)^2+1 Talvez usando reciprocidade, fique mais fácil... Em 9 de novembro de 2013 23:20, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Mostre que se a diferença de dois cubos consecutivos é um quadrado,então é o quadrado da soma de dois quadrados. 8^3 - 7^3 = (3^2 + 2^2)^2 -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- /**/ 神が祝福 Torres -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] comprimento de corda elicoidal
O comprimento depende do passo da hélice que não foi especificado. Para liberá-lo podemos acrescentar um fator q ao argumento das funções trigonométricas; assim, para q=2pi, p.ex., a hélice daria uma volta completa, [ ]' s Em Quinta-feira, 7 de Novembro de 2013 1:04, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: Parece ser uma hélice conica que pode ser expressa paramétricamente como f(t)=[ t.cos t, t.sen t, e.(t-1)] , supondo que o 2,7 seja o neperiano e. Daí é só integrar |f'(t)|.dt entre t=1 e t=2. [ ]'s Em Quarta-feira, 6 de Novembro de 2013 11:01, claudinei claudin...@gmail.com escreveu: Alguem por favor poderia me ajudar respondendo como calculo o comprimento de uma corda elicoidal de raio variável? Exemplo: uma corda elicoidal de raio da base 1 e raio superior 2 de altura 2,7? Desde ja agradeço -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] comprimento de corda elicoidal
Parece ser uma hélice conica que pode ser expressa paramétricamente como f(t)=[ t.cos t, t.sen t, e.(t-1)] , supondo que o 2,7 seja o neperiano e. Daí é só integrar |f'(t)|.dt entre t=1 e t=2. [ ]'s Em Quarta-feira, 6 de Novembro de 2013 11:01, claudinei claudin...@gmail.com escreveu: Alguem por favor poderia me ajudar respondendo como calculo o comprimento de uma corda elicoidal de raio variável? Exemplo: uma corda elicoidal de raio da base 1 e raio superior 2 de altura 2,7? Desde ja agradeço -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] O regresso da Elipse e círculo
Há alguns dias Douglas Oliveira manifestou sua surpresa quando não conseguiu resolver o problema de tangencia usando geometria analítica e impondo discriminante nulo na equação da intersecção, e na ocasião alertei que o motivo era ter sido escolhido o foco para centro da circunferencia. Na verdade, o foco não é o unico ponto que gera este problema. Me parece interessante propor a questão: que pontos do (eixo maior da elipse) servem como centro, para que o método tentado por Douglas funcione? [ ]'s -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Quadrado perfeito
(3x-4)^2 - 4 = n^2 , se m = 3x -4 = m^2 - n^2 = 4 ou (m/2)^2 - (n/2)^2 =1 Equação de Pell com parâmetro , 1, quadrado perfeito . Assim n=0 e m/2 = + ou - 1 = 3x -4 = + ou - 2 = x = 2 (ou 2/3 que não é inteiro). [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 8 de Outubro de 2013 9:15 Assunto: [obm-l] Quadrado perfeito Determine todos os valores inteiros positivos de x tais que 9x^2 - 24x + 12 é um quadrado perfeito. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Elipse e círculo
É um caso particular pelo fato da circunferência estar centrada no foco. Observe que o ponto de tangência utilizando o raio encontrado com geometria plana é o vértice da elipse, e lembre-se que a normal à elipse é bissetriz do ângulo com vértice no ponto da elise e com lados passando pelos focos. [ ]'s De: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br douglas.olive...@grupoolimpo.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 2 de Outubro de 2013 13:57 Assunto: [obm-l] Elipse e círculo Caros amigos elaborei um exercício em sala de aula, com a intenção de resolver mais um problema de tangencia, peguei uma elipse com eixo maior igual a 10cm e eixo menor igual a 6cm e nesta elipse inscrevi uma circunferência com centro em um dos focos e fui calcular o raio desta circunferência para que ela fosse tangente á elipse (por dentro) escrevi a equação da elipse e a equação da circunferência e usei a condição padrão de tangencia( delta=zero) , mas para minha surpresa não deu muito certo e o raio fico igual a zero, porém em outra solução (por geometria plana) encontrei o raio igual a 1cm , e agora? Seria um caso particular? Alguém já passou por isso? Att: Douglas Oliveira -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios
Oi Maldonado. Gostaria de entender a notação: parece que cp seriam as raizes, mas, em cp=1/ap, ap seriam os coeficientes? Como? [ ]'s De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 23:00 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios Sendo cp = 1/ap a1a2...an = +-1/an a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 x=c1+c2+ ... +cn = -1 y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas []'s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Polinômios Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 + Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + x^2 + x + 1 com coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
Oi Carlos. No item 2) vc. diz que CGE = x+y; isto significaria, CGE = ADE . Vc. poderia explicar? Obrigado [ ]'s De: Carlos Victor victorcar...@globo.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Terça-feira, 24 de Setembro de 2013 19:30 Assunto: Re: [obm-l] Como que faz?? Olá Douglas, Acredito ter conseguido uma resolução para o problema 2 de geometria que vc postou aqui . Vamos lá e acompanhe fazendo a figura , ok ? vamos provar que na verdade o ângulo DEF é o dobro de ADC. Seja o ângulo ADC = x e o ângulo CDE = y . 1) Trace CE e observe que o quadrilátero ACED é inscritível . então AEC = x e EAC = y . 2) seja G a intersecção de CD com a circunferência C´ . Trace EG e observe que o ângulo CGE = x + y . Daí concluímos que o ângulo GED = x . 3) Não é difícil de mostrar que EB é bissetriz de AEG . Seja então os ângulos AEB= DEB = z . 4) Trace agora a perpendicular de B ao segmento ED e seja H o pé desta perpendicular. Observe que o quadrilátero BFHD é inscritível , então BHF = x .Trace FH e observe que EG é perpendicular a FH . Seja J a intersecção de FH com EG . 5) Como o triângulo CEG está inscrito na circunferência C´ e observando que BF é perpendicular ao lado CD , pelo enunciado ; teremos pela reta de SIMSON , que os pés das perpendiculares traçadas de B aos lados CG , EG e EC estão alinhados. Sejam então I o pé da perpendicular traçada de ao lado EG e R o pé da perpendicular traçada de B ao lado CE . 6) observando os quadriláteros inscritíveis : BIER , BIHE , teremos q Em 23 de agosto de 2013 16:03, douglas.olive...@grupoolimpo.com.br escreveu: Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram alguns problemas do site https://brilliant.org/ E não consegui achar solução para dois deles, vou escreve-los abaixo e se alguém puder me ajudar agradeço. PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de f(x). PROBLEMA 2: Seja uma circunferência C' e um ponto externo A , traça-se por A duas tangentes a circunferência que a interceptam nos pontos B e C , marca-se no prolongamento de AB no sentido de A para B um ponto D tal que o ângulo ADC=25 graus, traça-se por B uma perpendicular ao segmento CD que intercepta CD em F . Agora considere um outra circunferência C'' circunscrita ao triângulo ADC que intercepta a primeira circunferência C' no ponto E . Determinar a medida do ângulo DEF. Obs: Fiz a segunda figura no geogebra e encontrei 50 graus como resposta , preciso na verdade de uma resolução. Att, Douglas Oliveira. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)
Não seria n = 5 + 6k ? Apenas para fins de clareza e precisão, pois no caso interessa apenas o mínimo (5)... [ ]'s De: Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 14 de Setembro de 2013 23:34 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo) Ou resolva a equação em N: (10*x+6)*4 = 6*10n + x ⇒ 39*x + 24 = 6*10n ⇒ 13*x = 2*10n - 8 ⇒ 10n = 4 mod 13 ⇒ n = 5 + 12k. Logo o menor n é 5 e o menor número é (2*105 - 8)/13 = 15384 Obviamente vc adiciona o 6 depois: 153846 2013/9/14 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Escreva a multiplicacao que nem a gente fazia lah na 4a serie: _6 x4 6_ Agora vah fazendo a multiplicacao. 6x4=24, entao poe o 4, vai 2. Mas, se eh 4 ali embaixo, eh 4 do lado esquero do 6. Entao fica algo assim: 46 x4 64Agora 4x4=16, mais 2, dah 18. Entao poe o 8 no resultado E TAMBEM DO LADO DO 4 NA PRIMEIRA LINHA (e vai 1). ___846 x4 6___84 4x8=32, +1=33. O proximo eh 3. Continue assim achando os digitos da direita para a esquerda: 5, 1... E entao o proximo eh 6, que PODE ser aquele 6 inicial! Assim, o menor numero inteiro n eh 153846. Abraco, Ralph 2013/9/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades: I. Em sua representação tem o 6 como último dígito II.Se o último dígito(6) é apagado e colocado na frente dos dígitos restantes,o número resultante é quatro vezes maior que o número original n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo)
x tem que ser par: seja x=2y = 10n = 13*y + 4 ... [ ]'s De: Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 15 de Setembro de 2013 11:18 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo) Poderiam me explicar essa passagem 13*x = 2*10n - 8 ⇒ 10n = 4 mod 13 obrigado Hermann - Original Message - From: Willy George Amaral Petrenko To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, September 14, 2013 11:34 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Álgebra(não tá saindo) Ou resolva a equação em N: (10*x+6)*4 = 6*10n + x ⇒ 39*x + 24 = 6*10n ⇒ 13*x = 2*10n - 8 ⇒ 10n = 4 mod 13 ⇒ n = 5 + 12k. Logo o menor n é 5 e o menor número é (2*105 - 8)/13 = 15384 Obviamente vc adiciona o 6 depois: 153846 2013/9/14 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Escreva a multiplicacao que nem a gente fazia lah na 4a serie: _6 x4 6_ Agora vah fazendo a multiplicacao. 6x4=24, entao poe o 4, vai 2. Mas, se eh 4 ali embaixo, eh 4 do lado esquero do 6. Entao fica algo assim: 46 x4 64Agora 4x4=16, mais 2, dah 18. Entao poe o 8 no resultado E TAMBEM DO LADO DO 4 NA PRIMEIRA LINHA (e vai 1). ___846 x4 6___84 4x8=32, +1=33. O proximo eh 3. Continue assim achando os digitos da direita para a esquerda: 5, 1... E entao o proximo eh 6, que PODE ser aquele 6 inicial! Assim, o menor numero inteiro n eh 153846. Abraco, Ralph 2013/9/14 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Encontre o menor inteiro positivo n que possui as seguintes propriedades: I. Em sua representação tem o 6 como último dígito II.Se o último dígito(6) é apagado e colocado na frente dos dígitos restantes,o número resultante é quatro vezes maior que o número original n -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Pode mas não é necessário, Como Maldonado mostrou, ao longo do diâmetro ( de equação y/x=m) y/x é constante, portanto este quociente é o mesmonas extremidades do diâmetro. De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 15:07 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica
Claro que está correto; Seja P1 em uma reta e o pé da perpenciular à outra N1, P2 na outra reta com N2 pé da perpencidular à ptimeira reta. P1 N1 P2 N2 representa um retângulo! []'s De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 12 de Setembro de 2013 19:33 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Eu nao vejo porque isso estaria certo, se tivermos duas retas, com um ponto em cada uma, tal que a distancia de cada um deles à reta oposta é a mesma, não quer dizer que as retas sejam paralelas From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 18:07:49 + Levando em conta que os pontos de intersecção são da forma (x,y) e (-x,-y),poderíamos mostrar,usando a fórmula de distância de um ponto a uma reta,que as distâncias de cada um deles às retas tangentes(opostas)são iguais e dai concluir que essas retas tangentes são paralelas? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 13:18:17 -0300 O y/x é constante para os dois pontos de intersecção. Repare que temos infinitos m que satisfazem y=mx, mas cada diametro da elipse é formado por uma unica reta (um unico m) que gera dois pontos de intereeccao distintos, porem nesses dois pontos o y/x é o mesmo From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 12:07:03 + Desculpe,mas por que x/y é constante? From: joao_maldona...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:22:32 -0300 Seja a elipse centrada na origem x²/a² + y²/b² = 1 Derivando temos 2xdx/a² + 2ydy/b² = 0, dy/dx = (-x/y) (b²/a²) Como a reta diametral é da forma y = mx, x/y é constante - dy/dx = constante - retas paralelas []s João From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda em Geometria analítica Date: Thu, 12 Sep 2013 02:34:54 + Prove que duas retas tangentes a uma elipse pelos pontos extremos de um diâmetro são paralelas. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Verdade! Obrigado! [ ]'s De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 30 de Agosto de 2013 10:34 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números Acho que voce pensou em 7^x como multiplicacao - ele quer potencia...:-( :-( On Aug 29, 2013 9:17 PM, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br wrote: Observe que (1 + 3k , 1 + 7k) , k inteiro, satisfaz a equação diofantina [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 29 de Agosto de 2013 12:18 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números 7^x modulo 9 dá 1,7 e 4 e 3^y dá quase sempre 0 O que interessa para 7^x modulo 9 é 4,o que ocorre apenas quando x é da forma 3.k + 2 Como x tambem é ímpar,só pode ser da forma 6.n + 5,mas... Date: Thu, 29 Aug 2013 09:21:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Tente agora modulo 9. On Aug 28, 2013 9:50 PM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Eu já postei a questão aqui,mas infelizmente não obtive resposta. Sei que vão aparecendo outras questões interessantes e por isso peço licença para reapresentá-la Determine todos os inteiros positivos x,y tais que 7^x - 3^y = 4 Claro que x = 1 e y = 1 satisfaz(desconfio que seja a unica solução) Eu só consegui concluir que x e y são ímpares,analisando módulo 4. Desde já agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Observe que (1 + 3k , 1 + 7k) , k inteiro, satisfaz a equação diofantina [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 29 de Agosto de 2013 12:18 Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números 7^x modulo 9 dá 1,7 e 4 e 3^y dá quase sempre 0 O que interessa para 7^x modulo 9 é 4,o que ocorre apenas quando x é da forma 3.k + 2 Como x tambem é ímpar,só pode ser da forma 6.n + 5,mas... Date: Thu, 29 Aug 2013 09:21:24 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Tente agora modulo 9. On Aug 28, 2013 9:50 PM, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com wrote: Eu já postei a questão aqui,mas infelizmente não obtive resposta. Sei que vão aparecendo outras questões interessantes e por isso peço licença para reapresentá-la Determine todos os inteiros positivos x,y tais que 7^x - 3^y = 4 Claro que x = 1 e y = 1 satisfaz(desconfio que seja a unica solução) Eu só consegui concluir que x e y são ímpares,analisando módulo 4. Desde já agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos números
Observe que (1 + 3k , 1 + 7k) , k inteiro, satisfaz a equação diofantina [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 28 de Agosto de 2013 21:45 Assunto: [obm-l] Teoria dos números Eu já postei a questão aqui,mas infelizmente não obtive resposta. Sei que vão aparecendo outras questões interessantes e por isso peço licença para reapresentá-la Determine todos os inteiros positivos x,y tais que 7^x - 3^y = 4 Claro que x = 1 e y = 1 satisfaz(desconfio que seja a unica solução) Eu só consegui concluir que x e y são ímpares,analisando módulo 4. Desde já agradeço. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Como que faz??
De uma ou de outra forma dá bastante equações mesmo! (seriam quatorze?) [ ]'s De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sexta-feira, 23 de Agosto de 2013 19:45 Assunto: Re: [obm-l] Como que faz?? 2013/8/23 douglas.olive...@grupoolimpo.com.br: Olá , alguns alunos do ensino médio da instituição onde trabalho me deram alguns problemas do site https://brilliant.org/ PROBLEMA 1: Dada uma função f:R-R tal que f(2x^2 -1)=2(f(x))^2 -1 e f(x) é um polinômio de grau 13, sendo assim determine o coeficiente de x^5 de f(x). Bom, f(x) é dada por 14 coeficientes a_i. A equação que você tem dá um monte de condições sobre estes coeficientes: para cada x, tem uma condição. Por exemplo, x = 0 dá f(-1) = 2f(0)^2 - 1, f(-1) é uma soma alternada, f(0)^2 é apenas (a_0)^2. Escolhendo um monte de x's, você obtém bastante equações, e resolve. Dá pra fazer (um pouco) menos grotesco, porque você pode escrever (a_0 + a_1 * x + a_2 * x^2 + + a_13 * x^13)^2, separando por grau. Duas funções polinomiais em R são iguais se e somente se os coeficientes forem iguais. Assim, identifique os coeficientes de ambos os lados, e parta pro abraço. Pra entender porque isso sempre dá certo, vale a pena lembrar de Álgebra Linear (também se ensina um pouco desse tipo de intuição em cursos de Geometria Algébrica classica). Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Problemas interessantes
Um triângulo equilátero de lado nse divide em ntriângulos de lado 1 ???!!! De: Benedito bened...@ufrnet.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 22 de Agosto de 2013 4:39 Assunto: [obm-l] Problemas interessantes Segue dois problemas interessantes. Benedito Problema 1 Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012 triângulos equiláteros menores de lado 1 mediante paralelas ao seus lados. Em cada vértice de um triângulo menor há uma formiga. No mesmo instante, todas as formigas começam a caminhar com a mesma velocidade pelas retas da triangulação. Ao chegar a outro vértice giram 60º ou 120º à esquerda ou à direita e seguem movendo-se. Determinar se é possível que este movimento se desenvolva para sempre sem ter nunca duas formigas em um mesmo vértice de um triângulo menor. Problema 2 Associar aos vértices de um polígono convexo de 33 lados os números inteiros de 1 a 33, sem repetir, e em seguida, associar aos lados do polígono a soma dos números de seus extremos. O objetivo é que os números associados aos lados sejam 33 inteiros consecutivos ordenados. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
Leia a mensagem inicial do Marcone Augusto Araujo Borges. A questão original perdeu-se pelo caminho (parece o jogador que vai driblando e e esquece a bola ou a brincadeira do telefone sem fio, de antigamente, claro...) De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 15:19 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) 2013/7/11 Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br: De: Lucas Prado Melo luca...@dcc.ufba.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 6:43 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência) 2013/7/11 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com O Bernardo já mostrou que m + n é múltiplo de 3. Resta mostrar que é também múltiplo de 8. Pelo mesmo raciocínio, mn = -1 (mod 8). Para que isto seja possível, um dos números m e n tem que ser congruente a 1 módulo 8 e, o outro, congruente a -1. Logo, m + n = 1 + (-1) = 0 (mod 8), ou seja, m + n é múltiplo de 8 m poderia ser 3 e n ser 5. 3*5 = 15 = 16 - 1 = -1 (mod 8) CUIDADO: nem 3*5+1=16, nem 3+5=8 é divisível por 24 Não, mas o princípio é analisar módulo cada uma das potências de primos que dividem 24, e o Artur e o Lucas completaram a solução com a parte mod 8. Aliás, a propriedade vale par qualquer divisor, desde que seja menor que pelo menos um entre m e n . Que propriedade? -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Probabilidade - muito interessante...
Consideremos o embarque dos 136 passageiros, inclusive você, i.e. excluindo o último (consideramos o voo lotado) Assim que alguém (inclusive você) ocupar o seu lugar ou o do último passageiro a embarcar, os passageiros seguintes encontrarão o próprio lugar vago, ocupando-o. Portanto, quando o centésimo trigésimo sétimo passageiro embarcar, encontrará vago ou o próprio lugar ou o seu, com probabilidade meio à meio De: Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 11 de Julho de 2013 10:16 Assunto: [obm-l] Probabilidade - muito interessante... Recentemente, eu peguei um avião que tinha 137 assentos. Eu gosto sempre de ser o primeiro a embarcar e não foi diferente nesta ocasião. Infelizmente, assim que eu entrei no avião, percebi que havia perdido o meu cartão de embarque e não conseguia me lembrar de qual era o meu assento. Sem saber o que fazer, eu escolhi aleatoriamente um assento qualquer e me sentei. Claro que havia a probabilidade de 1/137 de eu ter escolhido o assento correto, ou seja, aquele que estava marcado no meu cartão de embarque. À medida que os demais passageiros embarcavam, cada um se dirigia ao seu assento e sentava-se, a menos que o mesmo estivesse ocupado. Neste caso, o passageiro abria mão de sentar-se no assento que estava originalmente atribuído a ele (conforme o cartão de embarque) e escolhia um outro assento qualquer para se sentar. Percebi que fui o único passageiro que perdeu o cartão de embarque. A questão que se coloca é a seguinte: qual a probabilidade de o último passageiro a embarcar encontrar o seu assento desocupado, ou seja, encontrar o assento que está no seu cartão de embarque disponível para ele se sentar? Este problema está explicado no livro Introduction to counting and probability do David Patrick e tem uma resposta surpreendente: a probabilidade é de 50%... Para sentir a solução, vale a pena pensar no problema para os casos em que o avião tem 2, 3, 4 e 5 assentos... -- Abraços oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ momentos excepcionais pedem ações excepcionais. Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�us e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9 [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência) Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Divisibilidade(congruência)
Desculpem, desconsiderem ; confundí 24 com 14 (deve ser o sono às duas da madruga...) Boa noite A formulação não está correta; contra-exemplo : m=3 e n= 9 [ ]'s De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 10 de Julho de 2013 22:17 Assunto: [obm-l] Divisibilidade(congruência) Sejam m e n dois números naturais tais que mn + 1 é multiplo de 24. Mostre que m + n tambem é múltiplo de 24. Se possivel,gostaria que alguem resolvesse por congruencia.Obrigado. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Ajuda
Faltam condições... De: Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 12 de Maio de 2013 12:11 Assunto: [obm-l] Ajuda Determine as raízes da equação aX² + bX + C = 0 sabendo que 4a - 6b + 9c = 0.
Re: [obm-l] Ajuda
No texto inicial, a gritante interrogação, se refere ao que? Ao lado? [ ] s De: Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Para: Enviadas: Domingo, 5 de Maio de 2013 5:42 Assunto: [obm-l] Ajuda Tenho certeza de que alguém da lista já se deparou com esse problema e sua solução: Um ponto interno de um triângulo equilátero dista 5cm, 7cm e 8cm dos vértices do triângulo.? Solução: 3(p^4 + q^4 + t^4 + a^4) = (p^2 + q^2 + t^2 + a^2)^2. p = 5 q = 7 t = 8 a=lado do triângulo equilátero. Alguém já viu a demonstração ou conhece? Agradeceria a informação. Abraços e boa semana. Marcelo
[obm-l] Re: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados
Deve haver algum engano: sistema de três equações (parecem L.I.) à duas incógnitas? De: terence thirteen peterdirich...@gmail.com Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 21:02 Assunto: [obm-l] Sistema de Três Equações com Quadrados Resolva o sistema abaixo: 3(S-l)^2+D^2=3^2 3S^2+(l-D)^2=4^2 3S^2+(l+D)^2=5^2 (Espero que minha formulação esteja correta...) -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Re: [obm-l] Polígono regular inscrito
Os fantásticos números complxos resolvem.
Vejamos, como ilustração, o triângulo ( e um pouco do quadrado) que vc.
resolveu geométricamente
Sejaz = e^(ib) , 0 =b2pi, representando os pontos da circunferência com
centro na origem do plano complexo(Argand-Gauss) .
As raizes de terceira ordem de 1, i.e., da equação z^3=1, representam os
vértices do triângulo inscrito:
e^(i3b) =1 = 3b=j.2.pi = b=j.2.pi/3 , j= {0,1 ,2}; assim, os vértices do
triângulo localizam-se em
z_0=1, no semi-eixo real positivo, (seja o vértice V_0) , z_1=e^(i2.pi/3) e
z_2=e^(i4.pi/3) .
Poderiamos também partir da equação z^3 - 1 =0 (I) , e sabendo que uma
solução é z=z_0=1, dividi-la por z - 1 obtendo, z^2 + z + 1=0 , que reproduz as
mesmas raizes acima, z_1 e z_2 (z_2 apareceria como e^(-i2.pi/3)=e^(i4.pi/3) ).
Para as cordas, sem perda de generalidade, escolhemos o vértice V_0 como o
comum à elas e definimos como w = z - z_0 =z -1 as cordas vetoriais. Fazendo
a mudança de variável na equação (I),
(w+1)^3 - 1 =0 = w^3 + 3w^2 + 3w = 0 , que dividida por w=w_0= 0 (a
corda V_0V_0, que gracinha...) resultando em w^2 +3w + 3 =0 cujas raizes são as
de z subtraidas de 1. Mas , no caso, o que importa é que o termo indepente
fornece o produto das raizes, 3. ( observe que parao comprimento das cordas
teriamos que trocar w por |w| mas como, no produto há compensação de sinais,
não é necessário.
Para o quadrado mantendo z=z_0=1 e dividindo a equação z^4 - 1= 0 (II)por z-1,
obtemos a equação
z^3+z^2+z+1=0 , cujas raizesrepresentam os outros 3 vértices (os dois do eixo
imaginário e o do semi=eixo real positivo. Fazendo a mudança de variável, z = w
+ 1 em (II),
(w+1)^4 - 1 =0 = w^4 + 4w^3+6w^2+4w=0, que dividida por w fornece
w^3+4w^2+6w+4 = 0, termo independente , produto das raizes, 4.
Genéricamente, para o polígono de n lados, a equação z^n - 1 = 0 (III), em
termos de w,
(w+1)^n - 1 = w^n + n w^(n-1) + ...+ (n , j) w^(n-j) +...n=0 , onde (n , j)
são os coeficientes binomiais, mostra que o termo independente , produto das
raizes, é n.
[ ]'s
De: Martins Rama martin...@pop.com.br
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 1 de Maio de 2013 3:53
Assunto: [obm-l] Polígono regular inscrito
Caros amigos da lista...
A afirmação abaixo é verdadeira? Como prová-la? Indução, talvez?
Para um polígono regular convexo de n vértices V1, V2, ...,Vn, inscrito
num círculo de raio unitário, qual o valor do produto das medidas das
(n-1) cordas traçadas de um vértice, por exemplo, V1?
P = V1V2 x V1V3 x ... x V1Vn = ?
Sei que para o:
- triângulo equilátero, temos: (raiz de 3)x(raiz de 3) = 3
- quadrado, temos: (raiz de 2)x(raiz de 2)x2 = 4
- hexágono regular, temos: 1x(raiz de 3)x2x(raiz de 3)x1 = 6
É possível generalizar a solução e encontrar a resposta n para todos os
polígonos regulares?
Abraços,
Martins Rama.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re:[obm-l]Questoes
Me perdí no novo formato. Existe algum botão para postar resposta? E um novo subject Assim, estou tentando à moda antiga = por e-mail... Fabio Silva pode dividir o quadrilátero em dois triângulos, por exemplo, de mesma base 4 e alturas x.sen 30º=x/2 e (10-x).sen 30º=(10 - x)/2. Assim a àrea será (1/2).4.(x+10-x)/2= 10. [ ]'s
Re: [obm-l] Ajuda em geometria
Podemos considerar um dos quadriláteros como um quadrado de vértices Qi e pontos médios Mi i(1 2 3 4) e o outro convexo qualquer de vértices Gi, que a transitividade garante a generalidade. Devido a convexidade teremos vértices opostos, sejam os de i impar, do quadrado no interior ao genérico, seja i=1, e o de i=3, ao contrário: o vértice do genérico no interior do quadrado. Os outros vértices, de i par são, de cada quadirlátero externo ao outro. Cada triãngulo QiMiGi é congruente ao Q(i+1)MiG(i+1), até i igual a3 (lógico) e completa com Q4M4G4 congruente a Q1M4G1. Assim, a área do triângulo de i=1, excesso do genérico em relação ao quadrado é compensado pelo seu congruente, excesso do quadrado em relação ao gnérico , com exceção de um triângulo (seja Q2G2E2) externo à ambos, mas que compensa na comparação do par seguinte , i.e., de i=2 com seu congruente. E assim repete-se num ciclo, completando as áreas. [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] FW: Tentei e não consegui(geometria)
Pela semelhança dos triangulos ABE (base AB=a, altura h2) e CDE(base CD=b, altura h3) , (a/h2) = (b/h3) = k. Assim, A2 = a*h2/2 = (k/2)(h2)^2 = h2 = \sqrt (2*A2/k) (I) Analogamente A3 = (k/2)(h3)^2 = h3 = \sqrt(2*A3/k) (II) A1 = (h/2)(a+b) = (h/2)k(h2+h3) = (k/2)h^2 (pois (IV) h2+h3=h) = h =\sqrt(2*A1/k) (III) Substituindo (I), (II) e (III) em (IV) e simplificando, obtemos a relaçao proposta. [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] Geometria(Construção(2))
Parece que há uma inversão na posição dos pontos, não? [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Socorro em geometria (construçã o)
Soh para ficar bem claro: eh por C passe uma paralela a AT. [ ]'s --- Em sáb, 8/9/12, Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe escreveu: De: Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Socorro em geometria (construçã o) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 8 de Setembro de 2012, 8:51 Contrói o triângulo ACT com lados AC=p, CT=q e AT=s. Por T passe uma paralela a AT. Com centro em A desenhe um arco de raio a. Esse arco vai cortar à paralela (tem 2 soluções). Chame de D a ese ponto de corte. Por D traçe uma paralea a CT, o ponto de corte entre essa paralea e AT será o ponto B do trapecio ABCD procurado. Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sat, 8 Sep 2012 03:09:59 + Asunto : [obm-l] Socorro em geometria (construçã o) Construir o trapézio ABCD conhecendo a soma das bases AB +CD = s,as diagonais AC = p e BD = q e o lado AD = a.Justifique. __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda e orientações
Por isso o enunciado coloca se duas parábolas,,, Uma maneira de provar, usando GA seria escolher, spg, uma parábola com a diretriz coincidente com Ox, de foco (a,b) e a outra com a diretriz coinicidindo com Oy e foco (c,d), sendo (x,y) qualquer dos quatro pontos de intersecção (claro que os focos são tais que a mencionada condição ocorra). Usando a condição de definição (mesma distância ao foco e à diretriz) para a a primeira parábola, temos y^2 = (x-a)^2+(y-b)^2 = x^2 - 2.a.x - 2.b.y = - b^2 - a^2 (I) e para a segunda x^2= (x-c)^2+(y-d)^2 = y^2 -2.d.y - 2.c.x = - c^2 - d^2 (II) Somando membro a membro, (I) + (II) [x - (a+c)]^2 - (a+c)^2 + [y - (b+d)]^2 - (b+d)^2 = - b^2 - a^2 - c^2 - d^2 ou [x - (a+c)]^2 + [y - (b+d)]^2 = 2(a.c+b.d) que relaciona claramente a posição dos focos com o raio e o centro da circunferencia. --- Em dom, 2/9/12, Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: De: Marcelo de Moura Costa mat.mo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Ajuda e orientações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 2 de Setembro de 2012, 17:27 Foi-me apresentado o seguinte problema: Mostre que se duas parábolas, com retas focais perpendiculares entre si, se intersectam em quatro pontos, então estes pontos pertencem a um círculo. O problema começa em que o fato das retas focais serem perpendiculares não garante que haverá 4 pontos de intersecção entre as parábolas, é necessário pelo menos que os focos de ambas encontrem-se no mesmo quadrante formado pelas perpendiculares e a uma determinada distância. Ou eu estou enganado? Gostaria muito de uma orientação quanto a esse problema.
[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda e orientações
Em tempo...(?não dá para editar...) Estou procurando uma demonstração mais elegante i.e., sem GA. [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Geometria Plana - Triângulo
Carlos Vitor, poderia explicar por que o quadrilatero ACHE eh ciclico? Vc. estah considerando EH paralelo a AC? Por que? [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] problema da divisão
Me parece que estipulando que aquele que divide é o ultimo a pegar sua parte, resolve. Ou não é este o espírito da questão? [ ]'s
Re: RE: [obm-l] Geometria espacial
Acho que estamos falando aqui sobre o caso em que o raio das esferaas eh máximo, i.e., cada face do tetraedro tangencia tres das esferas. Assim, Maldonado, seu tetraedro estah muito subdimensionado; vc. soma um r ah altura do tetraedro interno na base, OK, mas um r no vertice(?) não estah OK. Acho mais facil considerar que a aresta eh proporcional ao inraio , um quarto da altura, e levar em conta que o inraio do externo eh igual ao do interno mais um raio das esferinhas, chegando sem problemas ah a = 2r(1+sqrt6). Que tal considerar o outro extremo; esferas com o minimo raio, i.e. , cada face do tetraedro tangenciando apenas uma das esferas? [ ]'s
Re:Re: [obm-l] Geometria Espacial PIRAMIDE
É verdade; eu assumí a reta r passando pelo ponto O... [ ]'s
Re: [obm-l] Geometria Espacial PIRAMIDE
Parece haver algum engano, ou eu não entendí o enunciado Podemos construir um corte vertical da pirâmide como um triângulo retângulo com um cateto sendo a metade da aresta, a/2, a hipotenusa como a altura do triângulo equilátero, da face lateral, (a/2) 3^(1/2), portanto o outro cateto, altura da pirâmide, (a/2)2^(1/2). Assim, a distância pedida é a altura, d , desse triângulo d = (a/2)(a/2)2^(1/2)/[(a/2)3^(1/2) = (a/6)6^(1/2) [ ]'s
Re:[obm-l] Probleminha
Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca. Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água. Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado (x/X)x de água e reposto x, logo a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = X/2. Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2. Se for dirigir, não beba! [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] A função e^x
No item 1) a e b são reais?
[obm-l] RE:[obm-l] Eu não entendo este problema
Parece que drechum é estrangeiro... de onde ?Neste problema, se bem o entendí ( bem quer dizer médio...) o raio da circunferência é igual aos lados do triângulo e do quadrado, que parece ser 2 (?) [ ]'s drechum Sun, 13 May 2012 14:07:02 -0700 ABC é um triângulo eqüilateral; BCDE é um quadrado 2 lateral construído exteriormente ao triângulo. Os vértices A, D e E que eles pertencem à mesma circunferência. Acha o valor do rádio da circunferência.
Re: [obm-l] Soma
Sn = a1.[1 - r^n] / [1 - r] = 2^n - 1 , já que a1 = 1 e r=2 ! A exclamação é exclamação e não fatorial e perdão pelos colchetes já que meu gerador de caracteres (ou talvez o teclado) se recusa a fazer o parêntesis. [ ]s --- Em ter, 24/4/12, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu: De: J. R. Smolka smo...@terra.com.br Assunto: Re: [obm-l] Soma Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Terça-feira, 24 de Abril de 2012, 8:43 Obrigado Nehab. Você está certo. Mas, corrigindo isso, o resultado vai para (n + 1).2^n - 1, e não para o (n - 1).2^n + 1 que outras pessoas encontraram. Porque? [ ]'s J. R. Smolka Em 23/04/2012 19:21, Carlos Nehab escreveu: Oi, Smolka, Na expressão do X - 2X você se distraiu no sinal do n.2^n que é menos. Abraços Nehab Em 23/04/2012 16:45, J. R. Smolka escreveu: Vejamos... X = 1.2^0 + 2.2^1 + 3.2^2 + ... + n.2^(n - 1) 2X = 1.2^1 + 2.2^2 + 3.2^3 + ... + n.2^n X - 2X = 1 + (2 - 1).2^1 + (3 - 2).2^2 + ... + [(n - 1) - (n - 2)].2^(n - 1) + n.2^n -X = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n - 1) + n.2^n Os n primeiros termos do lado direito da equação formam uma PG com termo inicial a1 = 1 e razão r = 2. A soma destes n primeiros termos da PG é igual a: Sn = a1.(1 - r^n) / (1 - r) = 1 - 2^n então: -X = 1 - 2^n + n.2^n = 1 - (n - 1).2^n == X = (n - 1).2^n - 1 Onde errei, então? [ ]'s J. R. Smolka Em 23/04/2012 13:15, Eduardo Wilner escreveu: Quase Smolka, (n-1)2ˆn +1 . [ ]`s
RE: [obm-l] Soma
Quase Smolka, (n-1)2ˆn +1 . [ ]`s --- Em seg, 23/4/12, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: RE: [obm-l] Soma Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 23 de Abril de 2012, 11:15 Obrigado a todos q responderam Eu tava calculando a soma 1 + (1+2)+ (1 + 2 + 2^2) + ... + ( 1+ ... + 2^(n-1)) Dai veio a dúvida,mas já sei uma maneira mais simples de calcular a soma acima. Date: Sun, 22 Apr 2012 11:42:49 -0300 Subject: Re: [obm-l] Soma From: teixeira.discuss.m...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá, Encontrei o seguinte: 2S= 2+2X2^2+3X2^3+4X2^4++(n-1)X2^(n-1)+nX2^n -- S= 1+2X2+3X2^2+4X2^3+5X2^3++(n-1)X2^(n-1) S= -1-(2+2X2^2+2X2^3+...+2^(n-1))+nX2^n S= -1-2^n+2+nX2^n S= (n-1)x2^n+1. Teixeira. Em 22 de abril de 2012 08:08, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu: Ops... cometi o velho erro de trocar o sinal. resposta final deve ser (n-1).(2^n) - 1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
A idéia seria repetir para a base r2 e eliminar X+Y (ou f1+f2 como no original) entre as duas equações, ficando com a diofantina em r1 e r2... [ ]'s --- Em seg, 16/4/12, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 16 de Abril de 2012, 3:20 2012/4/16 Carlos Nehab carlos.ne...@gmail.com: 2) Solução X = 0,3737... Y = 0,7373... Na primeira base r1: (r1^2-1).X = 3r1+7 (r1^2-1).Y = 7r1+3 Somando, (r1^2-1)(X+Y) = 10(r1+1), ou seja, (r1-1)(X+Y)=10 (A) Dai já sabemos que r1-1 = 1, 2, 5 ou 10. Mas r1 7, logo r1 = 11 e X + Y = 1 Hum, X e Y são frações, certo? Porque então você insiste que X+Y seja inteiro (única razão que eu vi para que r1 - 1 divida 10) ? Nesse caso até que dá certo, mas sei lá, podia ser que X+Y = 1/2 (mas teria talvez que mudar a expressão na base r2) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Desculpem o branco; eh o que acontece quando a gente fica muuito tempo sem usar ou sem ler uma determinada notação... Alias, eh mais comum e conveniente que se use E=exp(i2π/n), pela expressao de Euler (que parecer ser sugerido pela letra E). Aih fica imediato que cada soma parceial representa um vertice do poligono no plano dos complexos, com o primeiro vertice na origem e o último também fechando a poligonal. Digo que a notação de Euler eh mais conveniente jah que, assim, E representa um operador que produz a rotação de um angulo 2π/n em relação ao lado anterior. [ ]'s --- Em sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
Soh para ficar mais explicito, o primeiro lado, portanto o segundo vehrtice estao no eixo dos reais. --- Em sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética
Acho que houve algum engano pois encontrei 10*r2 - 7*r1 = 3 -- r2 =(7*r1 + 3)/10 -- r1=11 , r2=8 -- r1+r2=19. [ ]'s --- Em dom, 15/4/12, Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com escreveu: De: Pedro Nascimento pedromn...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] aritmética Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 15 de Abril de 2012, 19:26 Passando pra base decimal temos: (I) f1=3*r1^(-1)+7*r1^(-2)+3*r1^(-3)+7*r1^(-4)+... (II) f2=7*r1^(-1)+3*r1^(-2)+7*r1^(-3)+3*r1^(-4)+... (III) f1=2*r2^(-1)+5*r2^(-2)+2*r2^(-3)+5*r2^(-4)+... (IV) f2=5*r2^(-1)+2*r2^(-2)+5*r2^(-3)+2*r2^(-4)+... Somando as equacoes (I) e (II) : (f2+f1)/10= r1^-1 +r1^-2 +r1^-3 +r1^-4+... Somando (III) e (IV): (f2+f1)/7=r2^-1 +r2^-2 +r2^-3 +r2^-4+... Assim, como o lado direito das duas equacoes eh uma PG infinita, temos: (f2+f1)/10=r1^(-1)/(1 - r1^(-1))=1/(r1 - 1) (f2+f1)/7=r2^(-1)/(1 - r2^(-1))=1/(r2 - 1) Igualando: 10/( r1 - 1 )=7/(r2 - 2)10*r2 - 20 =7*r1 - 7 10*r2 - 7*r1 = 13 Como r2 e r1 sao inteiros, resolvendo a equacao diofantina : r2=7*n + 2r1=10*n + 1 Tem a restricao de a base R1 ser maior que 7 ( pois aparece o digito 7) e a base R2 ser maior q 5, logo n=1. Pelas opcoes do enunciado fazendo n=1, r2=9 e r1=11 , logo : R1+R2=20 Acho q eh isso...Abracos, Pedro. Em 15 de abril de 2012 18:39, Jefferson Franca jeffma...@yahoo.com.br escreveu: Um aluno muito curioso e estudioso(tomara!) me deu esta questão durante uma aula semana passada e tentei, tentei e nada! Será que alguém pode dar um ajuda aí? Em uma base R1 uma fração F1 se escreve como 0,373737... enquanto que uma fração F2 é escrita como0,737373 . Em outra base R2, a fração F1 é escrita como 0,252525... e a fração F2 como 0,525252...A soma R1 + R2 no sistema de numeração decimal é: a) 24 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
[obm-l] Re: [obm-l] Não consigo provar
O que significa E = cis(2π/n) ? Se for cos(2π/n) ( e o aN for an...), não vale para n maior que 4, não é ? [ ]'s --- Em sáb, 14/4/12, Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com escreveu: De: Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Assunto: [obm-l] Não consigo provar Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 14 de Abril de 2012, 19:18 Não estou conseguindo provar o seguinte: Para todo n-ágono equiângulo de lados a1, a2, ..., aN. Vale a relação: a1 + (a2)E + (a2)E²+... + (an) E^(n-1) = 0. Onde E=cis(2π/n)
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Olá Felipe! Então era isso que vc, queria dizer com Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm? ? Não posicionou muito bem a questão, não é...? e não respondeu a minha estranheza...? Agora não consigo entender desigualdade de lados em um heptágono regular??? [ ]s --- Em dom, 25/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 25 de Março de 2012, 11:18 Bom dia Érica.Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados.Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono.Obrigado. O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16c)16 e 17d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular
Em tempo: estava me referindo à sua mensagem geometria de 22 pp. --- Em dom, 25/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 25 de Março de 2012, 11:18 Bom dia Érica.Obrigado pela solução. Essa ja havia pensado e queria saber se ha uma por desigualdade dos lados.Abraço. Felipe Araujo Costa Cel: 77430066 E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br faco...@metalmat.ufrj.br De: Érica Gualberto Pongelupe Giacoia profer...@ig.com.br Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) Depois, basta multiplicar x por 7. Abração Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: Bom dia. Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por desigualdade entre os lados do heptagono.Obrigado. O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de raio 2,5, é um número real que esta entr a)14 e 15 b)15 e 16c)16 e 17d)17 e 18 e)18 e 19 Felipe Araujo Costa -- Érica G. P. G.
Re: [obm-l] geometria
Não entendí intervalo... O período é 7 X 5 X sen(pi/7) cm, ou não é esse o problema? [ ]'s --- Em qui, 22/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 22 de Março de 2012, 0:45 Preciso de um ajuda. Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm? Desde já agradeço.
Re: [obm-l] geometria
Desculpe; editando: período -- perímetro. --- Em qui, 22/3/12, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 22 de Março de 2012, 15:52 Não entendí intervalo... O período é 7 X 5 X sen(pi/7) cm, ou não é esse o problema? [ ]'s --- Em qui, 22/3/12, felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br escreveu: De: felipe araujo costa faraujoco...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 22 de Março de 2012, 0:45 Preciso de um ajuda. Qual intervalo que o perímetro de um heptágono regular assume estando inscrito numa circunferência de raio 2,5 cm? Desde já agradeço.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
Desculpe, os parêntesis também podem ser ambos negativos, claro, com x-1; mas x=3 não satisfaz a inequação. [ ]'s --- Em seg, 12/3/12, tarsis Esau tarsise...@gmail.com escreveu: De: tarsis Esau tarsise...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 12 de Março de 2012, 18:10 Temos: 1/(x+1) - 2/(3x-1) 0 = (x-3)/[(x+1)(3x-1)] 0 e fazendo-se o estudo na reta, temos as soluções x -1 ou 1/3x=3 On Mon, Mar 12, 2012 at 5:17 PM, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com wrote: Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson
[obm-l] Re: [obm-l] ajuda com inequações
É fácil verificar que as expressões entre parêntesis são ambas positivas, portanto (1/3) x 3. [ ]'s --- Em seg, 12/3/12, Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com escreveu: De: Adilson Francisco da Silva adilson...@gmail.com Assunto: [obm-l] ajuda com inequações Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 12 de Março de 2012, 17:17 Saudações, Preciso de ajuda com a seguinte desigualdade: 1/(x+1) 2/(3x-1) Obrigado Adilson
Re: [obm-l] Problema
A velocidade da nave que viaja pela diagonal eh o triplo da que viaja pela aresta, percorrendo uma diastancia \sqrt3 vezes a percorrida pela segunda, portanto num intervalo de tempo menor. Como elas terminam as viagens no mesmo instante t=0, no instante t=-1 ( no exemplo da resolução ) , quando a nave alfa estah partindo de B, a nave beta ainda não está partindo ou estaria virtualmente num ponto aquem de A, no caso (1-\sqrt3)(1,1,1). Me parece que o problema seria mais Olímpico (e talvez fosse a intenção do autor, que se distraiu) se a nave que viaja pela diagonal tivesse velocidade \srt3 vezes a que viaja pela aresta, (quando sua pergunta teria a ver, como dizem os jovens) e a distancia seria minima no meio do percurso, igual a (sqrt2)/2... [ ]'s --- Em dom, 5/2/12, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Problema Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 5 de Fevereiro de 2012, 12:41 Oi, boa tarde. A solução do problema 1 da primeira fase do nível universitário na eureka 34 página 60 (http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf) apresenta a função de posição considerando tempos inicial -1 e final 0, sendo a função do objeto mais rápido dada por B(t) = (1,1,1) + rq(3)*t*(1,1,1), onde rq é a raíz quadrada. Considerando t = -1 na equação, temos B(-1) = (1-rq(3), 1-rq(3), 1-rq(3)), que é diferente da posição inicial (0,0,0). Outra dúvida é como ficariam as funções se considerarmos como tempo inicial e final os valores 0 e 1, respectivamente. Obrigado -- Henrique
Re: [obm-l] Problema
A velocidade da nave que viaja pela diagonal eh o triplo da que viaja pela aresta, percorrendo uma diastancia \sqrt3 vezes a percorrida pela segunda, portanto num intervalo de tempo menor. Como elas terminam as viagens no mesmo instante t=0, no instante t=-1 ( no exemplo da resolução ) , quando a nave alfa estah partindo de B, a nave beta ainda não está partindo ou estaria virtualmente num ponto aquem de A, no caso (1-\sqrt3)(1,1,1). Me parece que o problema seria mais Olímpico (e talvez fosse a intenção do autor, que se distraiu) se a nave que viaja pela diagonal tivesse velocidade \srt3 vezes a que viaja pela aresta, (quando sua pergunta teria a ver, como dizem os jovens) e a distancia seria minima no meio do percurso, igual a (sqrt2)/2... [ ]'s --- Em dom, 5/2/12, Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com escreveu: De: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com Assunto: [obm-l] Problema Para: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 5 de Fevereiro de 2012, 12:41 Oi, boa tarde. A solução do problema 1 da primeira fase do nível universitário na eureka 34 página 60 (http://www.obm.org.br/export/sites/default/revista_eureka/docs/eureka34.pdf) apresenta a função de posição considerando tempos inicial -1 e final 0, sendo a função do objeto mais rápido dada por B(t) = (1,1,1) + rq(3)*t*(1,1,1), onde rq é a raíz quadrada. Considerando t = -1 na equação, temos B(-1) = (1-rq(3), 1-rq(3), 1-rq(3)), que é diferente da posição inicial (0,0,0). Outra dúvida é como ficariam as funções se considerarmos como tempo inicial e final os valores 0 e 1, respectivamente. Obrigado -- Henrique
Re: [obm-l] Geometria
QH = KP é um postulado? --- Em seg, 26/12/11, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: Re: [obm-l] Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 26 de Dezembro de 2011, 19:47 2011/12/26 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: São escolhidos dois pontos P e Q,um cada cateto de um triângulo retângulo.As medidas dos comprimentos dos catetos são a e b,respectivamente.Sejam K e H as projeções de P e Q,respectivamente,sobre a hipotenusa.Determine o menor valor possível para KP + PQ + QH. Bom, vou dar uma idéia só: Desenhe o seu triângulo com a hipotenusa na horizontal. Daí, marque os valores notáveis dos triângulos retângulos: catetos a, b, hipotenusa c (c^2 = a^2 + b^2) a altura h p + q = c as duas partes da hipotenusa de cada lado da altura. Seja x a distância entre K e o vértice. Ache o valor de KP por semelhança. Note que QH = KP, logo você pode achar y = distância de H até o outro vértice do mesmo jeito. Note que PQ = c - x - y. Juntando tudo, simplificando, usando que cp = a^2 e cq = b^2, você vai chegar numa fórmula quadrática em x, do tipo M - N^2 x, e daí o mínimo ocorre quando x é máximo (ou seja, igual a p). Faça as contas de novo e você deve chegar na sua fórmula. O gabarito dá como resposta 2ab/raiz(a^2+b^2) Pensando um pouco mais, isso é 2*altura (note que ab = ch). Num problema desses, é bem razoável começar com um chute que o mínimo/máximo deve estar numa situação limite (nem que seja pra ter uma idéia) e daí você vê que um caso o valor é esse, no outro é c = raiz(a^2 + b^2). Que é maior do que isso por MA = MG. Olhando o argumento acima, você nota que a transformação depende de forma linear em x (porque tudo é semelhança), logo mínimo e máximo estão nesses dois opostos. Corolário: se o triângulo for, além de retângulo, isósceles (ou seja, 45-45-90) todos os valores são os mesmos. Agradeço a quem puder ajudar. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
O menor n é mesmo 8.
n = 13 não satisfaz. Pode ser verificado, por exemplo, seguindo o raciocínio do
Bernardo Freitas Paulo da Costa (aperfeiçoado pelo João Maldonado), da
condição
n^2 + n - 2.m^2 = 0 ,
onde m natural. Aplicando a dita fórmula de Bhaskara
n = [-1 + sqrt(1+8.m^2)]/2 ,
verificamos que 1 + 8.m^2 (portanto, também sua raiz quadrada) é impar ; assim
é coerente obtermos n natural desta fórmula.
pode-se verificar que o menor natural m que produz um discriminante quadrado
(perfeito; não sei o que vem a ser um quadrado imperfeito???...) é 6,
resultando
n = 8.
Para n= 13, 1 + 8.m^2 teria que ser 729 , logo m^2 = 91... ( talvez tenha
havido confusão com 81...
[ ]s.
--- Em sex, 23/12/11, LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com escreveu:
De: LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com
Assunto: RE: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br, LEANDRO L RECOVA
leandrorec...@msn.com
Data: Sexta-feira, 23 de Dezembro de 2011, 15:38
Eu encontrei 13.
O numero e dado por.
Y=sqrt((n+1)n)*(n-1)!
Sent from my HTC Touch Pro2 on the Now Network from Sprint®.
-Original Message-
From: LEANDRO L RECOVA
Sent: 12/23/2011 4:31:23 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Questão simples
Marcone,
Escreva cada termo usando a fatoracao: (n^2-1)=(n+1)(n-1).
O resultado sai bem rapido.
Saudacoes,
Leandro Recova
Los Angeles, California.
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Questão simples
Date: Fri, 23 Dec 2011 13:39:17 +
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Qual é o menor natural n para o qual (2^2 - 1).(3^2 - 1).(4^2 -1)...(n^2 - 1) é
um quadrado perfeito?
Como se diz aqui,essa eu fiz ??no braço``.Fui calculando cada fator e pareando
os fatores iguais ou seus fatores primos.
Encontrei n=8.Mas deve haver solução mais interessante.Obrigado por qualquer
esclarecimento,abraço.
Re:[obm-l] Divisores equidistantes
Algo está mal colocado; se tomarmos, por exemplo, 1795 = 1 X 3 X 5 X 7 X 17, como é que fica? [ ]s
Re:Re:[obm-l] Divisores equidistantes
Foi o que eu disse: algo está mal colocado; não vale para qualquer natural... [ ]s
Re: [obm-l] Como resolver esta integral?
Se o problema é o cálculo da integral de área da função 1/(x^2+y^2) no setor de coroa circular, o mais fácil é integrar em polares para encontrar (pi/4) ln (sqrt 2). [ ]'s
Re: [obm-l] Problemas de Geometria - Morgado II
113) Os triângulos formados com as bases, as diagonais e a altura, h, são semelhantes, logo b/h = h/a ,ou, h = sqrt (ab). Assim a área vale sqrt(ab)(a+b)/2. Quanto ao 249), não tenho a figura... []'s
Re: [obm-l] Velocidades!!
Enquanto Lucas chegava ao começo da ponte, Pedro chegava à 1/5 do fim, quando o trem estava no começo; se o trem empatou com Pedro no fim, teria que ter uma velocidade cinco vezes a dele , 75 km/h.
Re: [obm-l] A pulga e o elastico
Se realmente os saltos são de 1 cm e a esticadas de 1 metro, nunca... --- Em qui, 6/10/11, J. R. Smolka smo...@terra.com.br escreveu: De: J. R. Smolka smo...@terra.com.br Assunto: Re: [obm-l] A pulga e o elastico Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 6 de Outubro de 2011, 21:28 Depende... para qual lado o elástico estica? No mesmo sentido ou no sentido contrário ao deslocamento da pulga? [ ]'s J. R. Smolka Em 06/10/2011 18:04, Rogerio Ponce escreveu: Ola' pessoal, no instante zero, uma pulga inicia uma viagem sobre um elastico de 1metro, indo de uma extremidade para a outra, dando saltos de 1cm de comprimento a cada segundo. Entretanto, meio segundo apos o inicio da viagem, o elastico comeca a sofrer um puxao a cada segundo, de tal forma que ele estica mais 1 metro a cada puxada. Assim, com saltos e puxoes intercalados, pergunta-se: - Quanto tempo levara' a viagem?
[obm-l] Re: [obm-l] Limite difícil
Podemos até dispensar o clássico senx/x, pois a substituição trigonométrica leva à c^2( sec x -1)/(c^2.tg^2(x)) = (1 - cos x).cos^2x/(1-cos^2(x)) = cos^2(x)/(1+cosx) cujo li9mite, para x -0 é 1/2. --- Em sáb, 10/9/11, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu: De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Assunto: Re: [obm-l] Limite difícil Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 10 de Setembro de 2011, 8:31 Oi, João. Seu limite tem forte apelo geométrico, pois extrair a raiz quadrada de soma de quadradaos remete para triângulos retângulos...(catetos c e v). Assim, uma simples troca de variável resolve o problema sem necessidsde de recursos adicionais além do limite clássico senx/x tende a 1 qdo x tende a zero... Faça v = c.tg(teta) e seu limite se tornará trivial, na variável teta. Nehab Em 7/9/2011 20:22, João Maldonado escreveu: Como posso provar que o limite: c( ( v^2 + c^2) ^(1/2) - c )/v^2 = 1/2, quando v- 0? []s João
[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
O problema de sinal é delicado. Devemos tomar cuidado com a convenção do ângulo alpha, que agora tomo medido da base no sentido anti-horário: - (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w + u.g.cos w + u.v^2/R , que se parece mais com a (sua?) versão do jaumzaum indicada no link doSammyS. Digo parece pois há a diferença, p.ex., do sinal negativo no primeiro membro. Curioso que para u = 0,5 pode-se resolver facilmente a eq. dif. mas dá um problemão para alfa = 0 ... --- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Integral difícil Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55 Boa Tarde a todos Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186 Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em função da distância, S.
[obm-l] Re: [obm-l] Integral difícil
O problema de número de variáveis pode se resolvido se escrevermos. (chamando alfa de w = s/R) a = [(dv)/(R.dw)].v ou (1/R).v.(dv)/(dw) = g.sen w - u.g.cos w - u.v^2/R , onde temos v como função de w=alfa (parece que vc, é o jaumzaun ? que enganou-se um pouco com os sinais). Agora o problema é resolver a equação diferencial ... [ ]s --- Em sex, 8/7/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu: De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Assunto: [obm-l] Integral difícil Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 8 de Julho de 2011, 21:55 Boa Tarde a todos Recentemente postei uma integral que não consegui resolver no fórum PHYSICSFORUMS mas não obtive nenhuma resposta satisfatória.O problema a seguir é uma preparação para a IPhO, embora só a parte matemática interesse http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=512186 Reduzi o problema a equação encontrada no link acima, queria achar a função de velocidade em função da distância, S.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: TEM SOLUÇÃO?
Gabriel parece estar considerando preços com precisão de um centavo, mas encotramos produdos com frações deste (ex.: combustível), Porquê Gauss coloca que y = 2,50 e x = 1,91 não serve ? [ ]'s --- Em qua, 15/6/11, Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com escreveu: De: Gabriel Dalalio gabrieldala...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: TEM SOLUÇÃO? Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011, 13:41 Um preço de um produto é da forma k/100, onde k é natural. Então se considerarmos os preços dos produtos como x/100, y/100, z/100 e w/100 tem-se o seguinte sistema de variáveis inteiras: x+y+z+w=711 x*y*z*w=71100 Fazendo um programa para analisar todas as soluções possíveis, a única solução inteira é (120,125,150,316) sem contar suas permutações. Então o problema tem solução e ela é única. Eu não consegui fazer sem o computador, acho que não tem um método direto, tem de ir eliminando os casos, você pode começar falando que x, y, z e w são divisores de 71100 e são menores que 711, mas ainda assim vai ter uns 60 valores diferentes possíveis para as incógnitas Gabriel Dalalio Em 15 de junho de 2011 12:14, Prof. Vitório Gauss vitorioga...@uol.com.br escreveu: Sim. Infinitas soluções. Pois teremos um sistema possível e indeterminado, já que envolve quatro variáveis x, y, z e h, bem como duas equações: x+y+z+h = 7,11 x.y.z.h= 7,11 Não há outra maneira, senão dar bons valores para as variáveis livres h e z. Vamos supor que h =1,2 e z=1,5: Assim... 1,5+1,2+x+y = 7,11 1,5.1,2.x.y = 7,11 Ou seja... x + y = 4,41 1,8xy = 7,11 -- xy=3,95 Logo, y(4,41-y)= 3,95 y^2 - 4,41y + 3,95 = 0 y= 3,16 e x = 1,25 ou y = 2,50 e x = 1,91 (não serve) Desta forma, teríamos a 4-upla (x;y;z;h) como solução: (1,25;3,16;1,50;1,20) Abraços. Em 15/06/2011 08:33, Marcelo Costa mat.mo...@gmail.com escreveu: UM ALUNO ME APRESENTOU O SEGUINTE PROBLEMA (RESUMINDO): UM INDIVÍDUO FUI NUMA LANCHONETE E CONSUMIU 4 SALGADOS DISTINTOS, PEDIU A CONTA E PERCEBEU QUE O CAIXA MULTIPLICOU OS PREÇOS E DEU O TOTAL DE R$7,11. ENTÃO PEDIU PARA QUE ELE SOME OS PREÇOS E NÃO MULTIPLIQUE, PARA A SUA SURPRESA, DEU O MESMO VALOR. QUAL É O PREÇO DE CADA SALGADO? = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] FW: [obm-l] Dúvida em Geometria
É uma boa oportunidade de aplicar vetores; o produto escalar dos versores das
normais às faces fornece o oposto do cosseno do ângulo diedro por elas formado
(oposto porquê o ângulo entre elas é suplementar ao ângulo diedro).
Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da base
da piramide , eixo Oz contendo a altura e Ox e Oy perpendiculares aos lados do
quadrado da base pertencentes às faces em pauta,(sejam AB e BC) o produto
vetorial
| i j k |
(A-V) X (B-V) = | 4 -4 -2| = 16 i +32 k = 16*sqrt(5) n1
| 4 4 -2|
onde n1 é o versor da normal à face BVA.
Uma rotação de 90º em torno de Oz fornece a normal à face BVC:
n2 = ( 16 j +32 k ) /[16*sqrt(5)].
Logo o cosseno do ângulo diedro = - n1 . n2 = -(32*32)/(16*16*5) = - 4/5.
[ ]'s
--- Em dom, 29/5/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:
De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] FW: [obm-l] Dúvida em Geometria
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 29 de Maio de 2011, 17:30
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Dúvida em Geometria
Date: Sun, 29 May 2011 01:19:37 -0300
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Bom, sou estudante de ensino medio, logo minha resposta pode estar errada :D
Fazendo z1, z2, z3, z4 como os vértices da base e z5 como o vértice da
pirâmide/O como o centro da base,
O cosseno do ângulo da base é fácil calcular, já que Oz1 = 4sqrt(2) e Oz5 = 2,
z1z5 = 6, logo cos(z5z1O) = 4sqrt(2)/6 = 2sqrt(2)/3
Para calcular o cossendo do ângulo entre duas faces laterais, primeiramente se
deve usar o seguinte fato: para calcular o angulo diedral deve-se construir um
plano perpendicular aos outros 2 planos formadores do diedro, o que coloca o
diedro em uma posição 2d, no que é fácil de calcular.
Logo partindo de z2 e z4 faremo 2 retas que encontram perpendicularmente a
reta z1O no ponto P. z2z1P = z4z1P = x podemos calcular facilmente traçando
Uma reta que parte de z5 e encontra o ponto médio M de z1z2, por pitágoras
z5M = 2 sqrt(5), logo sen(x) = sqrt(5)/3. Deste modo calculemos z2P
=8sqrt(5)/3 = z4P. Do triângulo z2Pz4, vemos que cos o angulo desejado é -4/5
[]'sJoão
Date: Sat, 28 May 2011 15:37:19 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Dúvida em Geometria
To: obm-l@mat.puc-rio.br
prezados,
Desculpe a dúvida, mas estou encontrando dificuldade num problema bem
elementar, e peço uma orientação , é o seguinte:
Qual o cosseno do ângulo diedro entre duas faces de uma piramide quadrangular
de altura dois e aresta da base igual a 8..Desde já agradeço.
Paulo
[obm-l] Enc: Re: [obm-l] FW: [obm-l] Dúvida em Geometria
Estou repetindo a mensagem pois o que apareceu na lista está muito deformado em relação ao que eue enviei antes; os simbolos vetoriais devem estar em negrito, que talvez o copilador não aceite. Mas o determinante saiu todo desmontado... --- Em qui, 9/6/11, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Assunto: Re: [obm-l] FW: [obm-l] Dúvida em Geometria Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 9 de Junho de 2011, 17:01 É uma boa oportunidade de aplicar vetores; o produto escalar dos versores das normais às faces fornece o oposto do cosseno do ângulo diedro por elas formado (oposto porquê o ângulo entre elas é suplementar ao ângulo diedro). Considerando um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro da base da piramide , eixo Oz contendo a altura e Ox e Oy perpendiculares aos lados do quadrado da base pertencentes às faces em pauta,(sejam AB e BC) o produto vetorial | i j k | (A-V) X (B - V ) = |4 -4 -2| = 16 i + 32 k = 16.sqrt(5) n1 |4 4 -2| onde n1 é o versor da normal à face BVA (V é o vertice superior). Uma rotação de 90º em torno de Oz fornece a normal à face BVC: n2 = ( 16 j +32 k ) /[16*sqrt(5)]. Logo o cosseno do ângulo diedro = - n1 . n2 = -(32*32)/(16*16*5) = - 4/5. [ ]'s
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Química
f) estaria correta se não falasse em massa atômica; o número de massa é a soma dos números de prótons e neutrons. --- Em dom, 5/6/11, Pierry �ngelo Pereira pierryang...@gmail.com escreveu: De: Pierry �ngelo Pereira pierryang...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Questão de Química Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Domingo, 5 de Junho de 2011, 16:41 Obrigado João, ficou bem claro. Abraço. 2011/6/5 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Olá, a) Verdadeira - Prót ons e Nêutrons no núcleo, elétrons na eletrosferab) Verdadeira - Bohr provou issoc) Verdadeira - Ânion é um íon negativo (mais elétrons de prótons), Cátion é um íon positiv (mais prótons que elétrons) d) Verdadeirae) Falsa (o Hidrogênio por exemplo tem 1 próton mas nenhum nêutron - claro que existem outros isômeros, mas o principal tem essa configuração)f) Depende, se considerarmos que o elétron tem massa 0, isso é verdade. Mas é incorreto afirmar que o elétron tem massa 0, já que TODA partícula tem massa, até mesmo a energia tem massa, como foi provado pela famosa fórmula de einsten E=mc². O elétron tem massa praticamente 0, ou seja, despresível. O correto seria afirmar que o A é praticamente igual a massa, mas não exatamente igual. Até porque nem o nêutron tem massa igual a do próton , mas superior. []'sJoão Date: Sun, 5 Jun 2011 13:12:41 -0300 Subject: [obm-l] Questão de Química From: pierryang...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal sei que o fórum não é de química, mas acredito que existem bons químicos aqui rs. Essa questão é do livro Química 1 do Feltre (sessão desafios). Acredito que a questão não existe apenas uma questão correta, ou seria apenas erro na interpretacão? (UFPR) Para interpretar a grande maioria dos processos químicos, é suficiente considerar o átomo como sendo constituído por apenas três partículas: o próton, o nêutron e o elétron. Esssas três partículas não estão distribuídas ao acaso; elas interagem entre si e essa interação produz um conjunto organizado, que é o átomo. A respeito do átomo, é correto afirmar: a) Prótons e nêutrons são encontrados no núcleo, que é a parte do átomo com carga elétrica positiva e que contém praticamente toda a massa do átomo. b) Os elétrons, partículas de carga elétrica negativa, distribuem-se em torno do núcleo em diversos níveis e subníveis energéticos (camadas e subcamadas). c) Se o número de elétrons em um átomo for igual ao número de prótons, o átomo será neutro; se for maior, será ânion; se for menor, será cátion. d) O número de prótons de um átomo é denominado número atômico e é representado pela letra Z. e) O núcleo dos átomos será sempre formado por igual número de prótons e nêutrons. f) A soma dos prótons e nêutrons de um átomo é conhecida como número de massa, que é representado pela letra A e é igual à sua massa atômica. Abraço, Pierry A. Pereira
[obm-l] Re:[obm-l] Geometria - qual a menor distância
Esta eh a lei da reflexão, na optica, e a demonstração mais simples é a do Teixeira. [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] Isolar z em função de x?
Considere como uma equação do segundo grau em z e aplique Bhaskara. [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] Demonstração de somatório
A soma dos m/2 primeiros pares ( de 2 à m) ou dos (m+1)/2 impares (de 1 à m) é dada por [m+2)(m+1)m]/6. Assim, seu somatório, para n par será [(n+1)n(n-1) - (n+2)(n+1)n]/6 = (n-1-n-2)n(n+1)/6 = -n(n+1)/2 (onde para os impares m=n-1), e para n impar [(n+2)(n+1)n - (n+1)n(n-1)]/6 = [(n+2-n+1)(n+1)n]/6 = n(n+1)/2 . [ ]'s
[obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
Talvez não seja a solução mais elegante , mas enquanto isso...Seja r = |AC| e 2B o ângulo que r forma com Ox.Lei dos senos: sen 3B = 3 (sen B}/r ou r = 3 / (3 - 4 sen² B) ; Adotemos o parâmetro t = sen² B : x = r(1-2t)=3(1-2t)/(3-4t) y² =4r²t(1-t)=36 t(1-t)/(3-4t)². Eliminado o parâmetro t obtemos a equação da elipse (x-2)² - y²/3 = 1 . Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300 Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica From: cortes...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.
[obm-l] RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica
Desculpem: Hiperbole . --- Em sex, 25/2/11, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu: De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br Assunto: RE: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sexta-feira, 25 de Fevereiro de 2011, 12:02 Talvez não seja a solução mais elegante , mas enquanto isso...Seja r = |AC| e 2B o ângulo que r forma com Ox.Lei dos senos: sen 3B = 3 (sen B}/r ou r = 3 / (3 - 4 sen² B) ; Adotemos o parâmetro t = sen² B : x = r(1-2t)=3(1-2t)/(3-4t) y² =4r²t(1-t)=36 t(1-t)/(3-4t)². Eliminado o parâmetro t obtemos a equação da elipse (x-2)² - y²/3 = 1 . Date: Thu, 24 Feb 2011 15:15:59 -0300 Subject: [obm-l] [obm-l] Geometria Analítica From: cortes...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Os extremos da base de um triângulo são A(0,0) e B(3,0). Determinar a equação do lugar geométrico do vértice oposto C se este se move de maneira que o ângulo da base CAB é sempre igual a duas vezes o ângulo da base CBA.
Re:[obm-l] Dificuldade numa integral
Parece que Maldionado esqueceu o expoente no denominador da integranda...
Re: [obm-l] Teste de QI
A propósito a resposta da primeira pergunta era 8,08 - 9 ped. Com esta resposta o QI cai para 60 pois o número de pedreiros é o dobro...
Re: [obm-l] Material com provas do IME
Não poderiamos calcular diretamente, sem as rotações, a distância do foco dado, (origem), à diretriz dada, D = |3*0+4*0-25| / sqrt(3^2+4^2) = 5 = c (1 +ou- e^2) / e^2 === c = 5 / (4 +ou- 1) == ==2c = 10 / (4 +ou- 1), como a distância focal ( aquí, +ou- não signifca aproximadamente, seria ~ hehehehe, mas sim duplo sinal considerando a diretriz do lado oposto ou do mesmo lado em relação ao foco, respectivamente ) ? Na reta, y = (4/3)x, suporte do eixo maior (e não como tinha sido tomada como a outra diretriz, não só porque esta deve ser paralela à primeira, mas também não pode conter o foco, origem) , teremos o(s) outro(s) foco(s) à distância 2c da origem dado(s) pelo sistema x^2+ y^2 = 100 / (4 +ou- 1)^2 y = (4/3)x Obteriamos, para a primeiro caso (6/5 , 8/5) e o mencionado ( -2 , -8/3) para o segundo. Os plurais , entre parênteses, pretendem ser uma resposta à observação bem humorada Quantos focos tem esta elipse?, na mesma linha do numa boa como dizem os jovens. E olha que não tem mais focos devido a excentricidade ser 1/2, me parece...Aliás, com boa vontade, poderiamos interpretar como sendo esta a intenção da pergunta na questão... Me parece mais simples ou pelo menos mai direto. Claro que também teriamos que encontrar outras duas diretrizes, impondo que sua equação seja 3x+4y + B = 0, paralela à dada, determinado B pela distância ao(s) outro(s) focos (18/5 + 32/5 + B) /5 = 5 =B = 15 para o primeiro caso e (- 6 - 32/3 + B) / 5 = 15/3 B = 125/3 para o segundo [ ]'s Sergio Lima Netto Fri, 12 Nov 2010 03:14:48 -0800 oi Fernando, Você tem razão. A solução está toda incorreta. Fazendo uma rotação em torno da origem dos eixos cartesianos, de modo a alinhar o novo eixo y' das ordenadas com a reta diretriz, o foco dado continua na origem e a diretriz dada passa a ser descrita por x' = 5. Esta rotação é de um ângulo Q com linhas trigonometricas tg Q = 3/4, sen Q = 3/5, cos Q = 4/5. Sabendo que a distância da diretriz ao foco (assumindo que a diretriz dada corresponde ao foco na origem) é (b^2/c) (*), tem-se: e = c/a = 1/2 b^2/c = 5 De onde se conclui (com um algebrismo mínimo) que a = 10/3, b = 5.sqrt(5)/3 e c = 5/3. Logo, no novo sistema de coordenadas: o centro da elipse está em x' = -c = -5/3, o outro foco está em x' = -2c = -10/3 e a outra diretriz é descrita por x' = -2c - b^2/c = -25/3. Voltando para o sistema de coordenadas original, o outro foco está na posição x0 = -10/3 sen Q = -2 y0 = -10/3 cos Q = -8/3 e a outra diretriz (paralela à primeira, como você bem observou) é descrita por 3x + 4y = d, onde d é dado por d = 3((-25/3)/sen Q) = -125/3. Vou corrigir esta solução. Obrigado por apontar este problema no material. Abraço, sergio
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Produtos notáveis e f atoração
Roger, não seria x^2+1/x^2=1 ?
Re: [obm-l] ajuda
Você deve achar as posições mais próximas de P1 e P2 (sabe como?) que devem ser: P1(2 , 2, 3) e P2(1, 3, 2). Fazendo P1 = O1 + v1*t obtem-se o instante t=1 em que a primeira partícula chega na sua posição P1. O1(1, 1, 3) claro. Impondo que neste instante a posição da segunda partícula sej P2, encontra-se a posição inicial desta, que deve ser O2(1, 2, 1). [ ]'s
[obm-l]Re: charada do cineclube
Escrevendo 5x+2y+50-0,5x-0,5y=200 sai direto (com x e y inteiros). [ ]'s
[obm-l] Re:[obm-l] Dúvida-Geometria ana lítica
Claro! Desculpe a distração anterior. Vc. pode considerar que a mediana só pode medir 3 se for perpendicular à AB. Assim, C será a intersecção do prolongamento de BD com a paralela à AB (eixo dos x) à uma altura 6, sendo A, do triângulo original (o  que vc. mencionou como reto è o ânguloBAD), obtuso. [ ]s
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida-Geometria ana lítica
Pelo menos na geometria euclidiana esse triângulo inexiste: a altura relativa à AB vale 6, logo o pé da referida mediana está à uma altura de 3, logo sua medida tem que ser maior...
Re:[obm-l] Geometria OLIMPIADA
1) Deve haver mais uma correção: o segmento EF não intersepta a diagonal BD pois é paralelo à mesma. Admití : em lugar de EF leia-se AF. Assim, por semelhança dos tirângulos BCD e ECF concluímos EF = 1/2. Prolongando a reta r que contém EF, nos dois sentidos de tal modo que os prolongamentos dos lados AB e AD encontrem r em M' e N' (AM' = (3/2)*AB e AN'=(3/2)AD), construimos os pares de triângulos semelhantes (M'AF,DAN),(FAE,NAM) e (EAM',MAB) ficando evidente que MN=x= (2/3)EF = 1/3. 2) Não vejo porque o problema pede 1 - x^2= 8/9 ou 1 - (1/x)^2 = -8 , se obtemos diretamente o valor de x? Será que existe uma maneira simples de obter diretamente 1 - (1/x)^2 ? [ ]'s
[obm-l] Bravos Bouskela
Muito bem Albert. Assino embaixo e me apresso ( com apreço, hehehe) em corrgir meu intersepta: leia-se intercepta (deve ser influência do inglês... [ ]'s
