Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Artur Costa Steiner]

Sim, se o complexo z é raiz de P, então pelo menos uma das partes de z é
irracional.

Artur

Em Seg, 9 de abr de 2018 07:49, Claudio Buffara 
escreveu:

> O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
> As partes real e imaginária das raízes?
>
> 2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :
>
>> Mostre que o polinômio
>>
>> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438
>> x^129 + 67917
>>
>> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>>
>> Abraços.
>>
>> Artur Costa Steiner
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Claudio Buffara]

O que você quer dizer com "ambas as partes racionais"?
As partes real e imaginária das raízes?

2018-04-08 19:56 GMT-03:00 Artur Steiner :

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297 q^701 
- 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )
 

Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner  
escreveu:
> Mostre que o polinômio 
> 
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129 + 
> 67917 
> 
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
> 
> Abraços.
> 
> Artur Costa Steiner
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Luciano Leão]

Assumindo que x = p/q com p e q primos entre si.
---> p != 0 (mod 2) ou q != 0 (mod 2)
(!= significa é diferente de)

F(x)=0 <--> F(x) = 0 (mod 0)

Tirando o mmc de F(x) temos:

F(p,q) = 37971 p^998 - 74914 p^721 q^277 - 8677 p^432 q^566 + 12674 p^297
q^701 - 21438 p^129 q^869 + 67917 q^998

p = 0 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 0 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

p = 1 (mod 2) e q = 1 (mod 2)
--->
F = 1 (mod 2)

Absurdo, pois se p/q é raíz de F então F = 0 (mod 2 )


Em 8 de abril de 2018 19:56, Artur Steiner 
escreveu:

> Mostre que o polinômio
>
> P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
> + 67917
>
> não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais
>
> Abraços.
>
> Artur Costa Steiner
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Probleminha um tanto estranho

[Artur Steiner]

Mostre que o polinômio

P(x) = 37971 x^998 - 74914 x^721 - 8677 x^432 + 12674 x^297 -  21438 x^129
+ 67917

não tem nenhuma raiz com ambas as partes racionais

Abraços.

Artur Costa Steiner

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Pedro Luchiari]

De fato, acho que sua resolução está correta

Em quinta-feira, 2 de novembro de 2017, Anderson Torres <
torres.anderson...@gmail.com> escreveu:

> Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
> > escreveu:
> > Senhores,
> >
> > Estou revisando matemática básica pelo material do site
> > http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
> >
> > Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
> >
> > 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas
> com
> > os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
> >
> > a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> > b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
> >
> > Seguindo o raciocínio,
> >
> > Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e
> 8,
> > assim,
> > 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
> >
> > Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> > conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.
>
> Como você demonstraria essas coisas?
>
> >
> > Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o
> último
> > múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
> >
> > Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por
> múltiplo
> > comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que,
> no
> > total, resultaria em 219 páginas.
> >
> > Porém a solução do exercício é diferente:
> >
> > b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se
> fosse
> > 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam
> 26 *
> > 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> > 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
> >
> > Obrigado.
> >
> > --
> > []'s
> > Pierry Ângelo Pereira
> >
> > --
> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > acredita-se estar livre de perigo.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Anderson Torres]

Em 17 de outubro de 2017 09:19, Pierry �ngelo Pereira
 escreveu:
> Senhores,
>
> Estou revisando matemática básica pelo material do site
> http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.
>
> Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),
>
> 16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com
> os múltiplos de 6 ou  8. Determine:
>
> a) o número que aparece na vigésima página do livro.
> b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.
>
> Seguindo o raciocínio,
>
> Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e 8,
> assim,
> 6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...
>
> Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
> conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.

Como você demonstraria essas coisas?

>
> Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o último
> múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.
>
> Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por múltiplo
> comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e 876, que, no
> total, resultaria em 219 páginas.
>
> Porém a solução do exercício é diferente:
>
> b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se fosse
> 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja, seriam 26 *
> 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864 + 8 = 872,
> 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.
>
> Obrigado.
>
> --
> []'s
> Pierry Ângelo Pereira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Probleminha

[Pierry �ngelo Pereira]

Senhores,

Estou revisando matemática básica pelo material do site
http://matematica.obmep.org.br, que, por sinal, é muito bom.

Neste problema, não entendi a solução da alternativa b),

16. Um escritor estranho numerou as páginas de seu último livro apenas com
os múltiplos de 6 ou  8. Determine:

a) o número que aparece na vigésima página do livro.
b) qual o número de páginas do livro se a última página numerada é 876.

Seguindo o raciocínio,

Verifiquei que as páginas serão numeradas alternando os múltiplos de 6 e 8,
assim,
6, 8, 12, 16, 18, (24), 30, 32, 36, 40, 42, (48) ...

Pode-se concluir que a cada múltiplo comum desses dois números, há um
conjunto de 6 páginas, portanto, a 20a página numerada será 80.

Ok, seguindo este mesmo raciocínio para resolver a alternativa b), o último
múltiplo de 24 menor ou igual a 876 é 864.

Dividindo 864 por 24, temos 36, e 36 * 6 (quantidade de páginas por
múltiplo comum) é igual a 216. Porém, ainda temos os números 870, 872 e
876, que, no total, resultaria em 219 páginas.

Porém a solução do exercício é diferente:

b) Na divisão de 876 por 24, obtemos quociente 36 e resto 12. Então se
fosse 876 -12 = 864 dividido por 24, teríamos exatamente 36, ou seja,
seriam 26 * 3 = 108 páginas; mas ainda temos as páginas 864 + 6 = 870, 864
+ 8 = 872, 864 + 12 = 876. Portanto, o livro tem 36 + 3 = 39 páginas.

Obrigado.

-- 
[]'s
Pierry Ângelo Pereira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Bom dia!

O que significa uma probabilidade ser uniforme?

Grato,
PJMS

Em 13 de março de 2017 10:17, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

> https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> 2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :
>
>> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
>> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
>> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
>> métodos discretos.
>>
>> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
>> processo de Poisson.
>>
>> Leo
>>
>> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>>
>>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>>
 Boa noite!

 Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
 probabilidade.
 Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
 integral.
 Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


 Saudações,
 PJMS





 Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
 escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que
> é o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum 
> peixe
> em meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
>> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
>> pegar
>> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
>> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
>>
>>
>> --
>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Mauricio de Araujo]

https://brilliant.org/practice/probability-rules-problem-solving/?p=2


--
Abraços,
Mauricio de Araujo
[oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


2017-03-04 11:49 GMT-03:00 Leonardo Maia :

> É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
> perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
> por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
> métodos discretos.
>
> A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o
> processo de Poisson.
>
> Leo
>
> 2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :
>
>> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você.
>> É tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
>> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
>> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
>> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
>> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
>> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
>> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
>> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>>
>> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>>
>>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>>> probabilidade.
>>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>>> integral.
>>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>>
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes 
>>> escreveu:
>>>
 Ola Mauricio,

 Eu pensei assim:

 seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
 o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
 em meia hora é 1-p.

 Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
 segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
 é1-0,64=0,36.

 Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
 nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
 durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

 Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

 Cgomes.

 Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
 mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é
> uniforme e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você 
> pegar
> pelo menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você
> pegar pelo menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
>
>
>
> --
> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Leonardo Maia]

É um processo de Poisson disfarçado. Realmente, o tempo é contínuo e
perguntas gerais requerem cálculo. Porém, como meias horas formam uma hora
por um múltiplo inteiro (dois), os dados do problema permitem a solução com
métodos discretos.

A correta solução do Carlos Gomes coincide com a resposta usando o processo
de Poisson.

Leo

2017-03-04 7:26 GMT-03:00 Carlos Gomes :

> É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
> tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
> algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
> tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
> forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
> tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
> a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
> melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
> era isso que se passava na cabeça de que elaborou.
>
> Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa noite!
>>
>> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
>> probabilidade.
>> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim
>> integral.
>> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>>
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>>
>>
>>
>> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>>
>>> Ola Mauricio,
>>>
>>> Eu pensei assim:
>>>
>>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é
>>> o aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe
>>> em meia hora é 1-p.
>>>
>>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>>> é1-0,64=0,36.
>>>
>>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>>
>>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>>
>>> Cgomes.
>>>
>>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>>

 Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
 e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
 menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
 pelo menos um peixe em meia hora?

 60%

 40%

 80%

 32%



 --
 Abraços,
 Mauricio de Araujo
 [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
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>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

É verdade Pedro...eu também tive exatamente o mesmo sentimento que você. É
tipicamente um daqueles enunciados, mal enunciados. É comum alguém pensar
algo e escrever outra coisa! Nesses caso tento passar para o outro lado e
tentar imaginar o que se passava na cabeça de que criou o problema. Dessa
forma eu supus  que  que quando ele diz "uniforme" ele queira dizer  que
tem intervalos de tempos iguais a probabilidade de se pescar um peixe seja
a mesma. Mas você tem razão, rigorosamente o enunciado precisaria ser
melhor, aliás, ser posto de uma forma correta. Mas acredito fortemente que
era isso que se passava na cabeça de que elaborou.

Em 3 de março de 2017 22:10, Pedro José  escreveu:

> Boa noite!
>
> Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
> probabilidade.
> Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
> Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.
>
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
> Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:
>
>> Ola Mauricio,
>>
>> Eu pensei assim:
>>
>> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
>> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
>> meia hora é 1-p.
>>
>> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
>> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
>> é1-0,64=0,36.
>>
>> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
>> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
>> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>>
>> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>>
>> Cgomes.
>>
>> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
>> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>>
>>>
>>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme
>>> e independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo
>>> menos um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar
>>> pelo menos um peixe em meia hora?
>>>
>>> 60%
>>>
>>> 40%
>>>
>>> 80%
>>>
>>> 32%
>>>
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>>> --
>>> Abraços,
>>> Mauricio de Araujo
>>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
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> acredita-se estar livre de perigo.
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Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Pedro José]

Boa noite!

Não compreendi o problema. Para mim há uma curva de distribuição de
probabilidade.
Portanto não há como aplicar conceito de modelo discreto. Mas sim integral.
Também, não entendi o que significa probabilidade uniforme.


Saudações,
PJMS





Em 3 de março de 2017 11:45, Carlos Gomes  escreveu:

> Ola Mauricio,
>
> Eu pensei assim:
>
> seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
> aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
> meia hora é 1-p.
>
> Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64,
> segue que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora
> é1-0,64=0,36.
>
> Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou
> nenhum peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe
> durante a segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)
>
> Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).
>
> Cgomes.
>
> Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
> mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:
>
>>
>> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
>> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
>> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
>> menos um peixe em meia hora?
>>
>> 60%
>>
>> 40%
>>
>> 80%
>>
>> 32%
>>
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>> Abraços,
>> Mauricio de Araujo
>> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
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Re: [obm-l] Probleminha bacana

[Carlos Gomes]

Ola Mauricio,

Eu pensei assim:

seja p a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em meia hora (que é o
aue você quer  achar!). Assim a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em
meia hora é 1-p.

Como a probabilidade de pegar pelo menos um peixe em uma hora é 0,64, segue
que a probabilidade de nao pegar nenhum peixe em uma hora é1-0,64=0,36.

Ora, mas se nao pegou um peixe em uma hora, quer dizer que nao pegou nenhum
peixe durante a primeira meia hora e tambem nao pegou nehum peixe durante a
segunda meia hora, o que ocorre com probabilidade (1-p)(1-p)

Assim, (1-p)^2=0,36  ==> 1-p=0,60  ==> p=0,40 (=40%).

Cgomes.

Em 3 de março de 2017 14:28, Mauricio de Araujo <
mauricio.de.ara...@gmail.com> escreveu:

>
> Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
> independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
> um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
> menos um peixe em meia hora?
>
> 60%
>
> 40%
>
> 80%
>
> 32%
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> Abraços,
> Mauricio de Araujo
> [oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ]
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Probleminha bacana

[Mauricio de Araujo]

Em um determinado lago, a probabilidade de se pegar um peixe é uniforme e
independente ao longo do tempo. Se a probabilidade de você pegar pelo menos
um peixe em uma hora é de 64%, qual é a probabilidade de você pegar pelo
menos um peixe em meia hora?

60%

40%

80%

32%



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Abraços,
Mauricio de Araujo
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[obm-l] probleminha

[Mauricio de Araujo]

Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
9.S(n) = 16.S(2n).

-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

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Re: [obm-l] probleminha

[Alexandre Antunes]

Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




Atenciosamente,

Prof. Msc. Alexandre Antunes
www alexandre antunes com br

Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

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Re: [obm-l] probleminha

[Ralph Teixeira]

Note:
S(2n) eh divisivel por 9, entao
2n eh divisivel por 9, entao
n eh divisivel por 9, entao
S(n) eh divisivel por 9, entao
S(2n) eh divisivel por 81, entao
S(n) eh divisivel por 144.

Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
de 2n:
Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

Agora:
i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
9s...
ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
5 e 6.
iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
deficit quando tem vai um.

Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde esse
A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5 antes
dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

1n=  A55...5599...99
2n=BC11...1199...98
onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
S(n)=144.

Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
ao meu primeiro palpite para n:

1n=065 555 555 555 555 559 999 999
2n=131 111 111 111 111 119 999 998

Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6 num
lugar melhor. Troquemos para:

1n=055 555 555 555 555 569 999 999
2n=111 111 111 111 111 139 999 998

A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
possivel! Ou tem algum menor?

---///---

Abraco, Ralph.

2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] probleminha

[Pedro José]

Bom dia!

Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
achei resultado.
Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
número natural x*..  seria o certo.
Uma vez que zero atente a proposição.

x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

Saudações,
PJMS


Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o A
 ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel. Entao
 vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para chegar
 ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



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 acredita-se estar livre de perigo.


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

*aquele primeiro n era S. :)

2015-07-31 16:39 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:

 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
 inteiro.

 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
 S_(k-1)

 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para
 qualquer n=1,2,3...

 Abraço



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
  acredita-se estar livre de perigo.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =




-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Probleminha

[Diego diego]

Galera, como procedo?

Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para qualquer 
n=1,2,3...

Abraço



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha

[Mauricio de Araujo]

​Pedro,

Pode ser... o peguei de uma olimpíada argentina...o enunciado original era:

​Para cada número natural x sea S(x)  la suma de sus dígitos. Hallar el
menor número natural n tal que 9S(n) = 16S(2n).

Penso que n = 0 é muito trivial mas, vai lá tudo bem, sendo rigoroso...
n0... ;)




Valeu Ralph.



Em 31 de julho de 2015 14:04, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia!

 Não consegui compor o número. Só tinha visto para 16 e 17 algarismos e não
 achei resultado.
 Porém, o enunciado, embora claro na intenção da pergunta, não o é na
 redação:  ... *do número estritamente natural x...* ao invés de: ... *do
 número natural x*..  seria o certo.
 Uma vez que zero atente a proposição.

 x=0 == S(n)=S(2n)=0 == 9S(n) = 16S(2n)=0.

 Saudações,
 PJMS


 Em 31 de julho de 2015 12:05, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n
 e de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso
 que os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de
 5 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

 Isto me leva a tentar numeros do tipo n=A999, onde
 esse A estah ali soh para eu ajeitar a soma em 144. Claro, eu pus os 5
 antes dos 9 para o numero ficar o menor possivel.

 Mais explicitamente, supondo que sao p 5's e q 9's, eu teria:

 1n=  A55...5599...99
 2n=BC11...1199...98
 onde tecnicamente BC eh um numero de dois digitos, alias, BC=2A+1. Pus o
 A ali porque preciso de um pouco de liberdade para ajeitar n de forma que
 S(n)=144.

 Assim, S(n)=A+5p+9q e S(2n)=B+C+p+9q-1. Como eu quero S(n)-S(2n)=63,
 preciso ter 4p=63+B+C-A. Como A eh um digito, e BC=2A+1, B+C-A tem apenas
 10 hipoteses facilmente calculaveis, na ordem:

 B+C-A={1,2,3,4,5,-3,-2,-1,0,1}

 Preciso que 63+B+C-A seja multiplo de 4, e quero o menor p possivel.
 Entao vou botar B+C-A=-3, isto eh, A=6, e entao p=15. Puxa, isto tudo para
 chegar ao meu primeiro palpite para n:

 1n=065 555 555 555 555 559 999 999
 2n=131 111 111 111 111 119 999 998

 Confira que S(n)=7x9+15x5+6=144 e S(2n)=81. Hmmm, dah para botar esse 6
 num lugar melhor. Troquemos para:

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

 ---///---

 Abraco, Ralph.

 2015-07-31 10:38 GMT-03:00 Alexandre Antunes 
 prof.alexandreantu...@gmail.com:


 Não dependeria da quantidade de algarismos de n?




 Atenciosamente,

 Prof. Msc. Alexandre Antunes
 www alexandre antunes com br

 Em 31 de julho de 2015 10:08, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Seja S(x) a soma dos algarismos do número natural x escrito na base 10.
 Ache o menor número natural n na base 10 tal que vale a igualdade:
 9.S(n) = 16.S(2n).

 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ


 --
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 acredita-se estar livre de perigo.



 --
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Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

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Re: [obm-l] Probleminha

[Ralph Teixeira]

Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh
inteiro.

Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k -
S_(k-1)

Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes
inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.

Abraco, Ralph.

2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:

 Galera, como procedo?

 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para qualquer
 n=1,2,3...

 Abraço



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 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =


-- 
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Re: [obm-l] probleminha

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2015-07-31 12:05 GMT-03:00 Ralph Teixeira ralp...@gmail.com:
 Note:
 S(2n) eh divisivel por 9, entao
 2n eh divisivel por 9, entao
 n eh divisivel por 9, entao
 S(n) eh divisivel por 9, entao
 S(2n) eh divisivel por 81, entao
 S(n) eh divisivel por 144.

 Agora eu vou tentar arrumar algum n que satisfaz esta condicao S(n)=144 e
 S(2n)=81, para pelo menos ter uma ideia do que estah acontecendo... Mas,
 como que S(2n) eh tao menor que S(n), considerando que 2n eh maior que n?
 Ah, os digitos de 2n tem que ser bem menores que os de n...

 Entao vou fazer uma tabela com uma correspondencia entre os digitos de n e
 de 2n:
 Em 1n: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
 Em 2n: 0, 2, 4, 6, 8, 0, 2, 4, 6, 8 (se nao tiver vai um)
 Em 2n: 1, 3, 5, 7, 9, 1, 3, 5, 7, 9 (se tiver vai um da casa anterior)

 Agora:
 i) Se eu quero S(n)=144 com o menor n, eh essencial colocar poucos
 algarismos -- entao preciso de muitos algarismos grandes. Vou encher n de
 9s...
 ii) Mas ao mesmo tempo eu preciso que S(n)-S(2n)=63, isto eh, eu preciso que
 os digitos de n sejam maiores que os de 2n! Os digitos que melhor
 contribuem para este deficit sao 5 e 6, entao tambem vou encher n de 5
 e 6.
 iii) Minha estrategia de encher n de 5, 6 e 9 significa um monte de
 vai um na soma n+n... Entao vai ter que ser 5 mesmo, que dah o melhor
 deficit quando tem vai um.

Talvez usando 6 em vez de 5 (mas com menos 9's) você chegasse em um
número menor, sei lá, com uma casa decimal a menos. Mas não dá.
Curiosamente, o número n = 699 também satisfaz
S(2n) = 81, mas ele também tem 23 dígitos. Se substituirmos 3 seis por
2 noves no final a soma de 2n vai aumentar (para 90).

 1n=055 555 555 555 555 569 999 999
 2n=111 111 111 111 111 139 999 998

 A boa noticia eh que eu jah garanto que a melhor solucao terah mesmo
 S(n)=144 e S(2n)=81. Afinal, se nao fosse isso, seria S(n)=288, que jah
 seriam 32 algarismos, e meu n ali tem bem menos do que isso.

 Agora precisamos mostrar que esse numero de 23 digitos eh o menor n
 possivel! Ou tem algum menor?

Motivado pelo meu fracasso, eu sei provar que há pelo menos 23 dígitos.
Escreva n = 5 * X + Y, onde X tem apenas zeros e uns, e Y apenas
números de 0 a 4. Assim, 2n = 10X + 2Y, onde não há vai uns na
multiplicação 2Y. Portanto:

S(n) = 5 * S(X) + S(Y)
S(2n) = S(X) + 2*S(Y)

Usando S(n) = 144 e S(2n) = 81 como você já mostrou que basta, temos
que a solução deste sistema é S(X) = 23, ou seja, há 23 vai-uns. O
que quer dizer que toda solução tem que ter pelo menos 23 dígitos.

Mais ainda, a soma dos dígitos em Y é 29 (terminando de resolver o
sistema e o problema!), que devem ser distribuídos o mais para trás
possível no número

55 555 555 555 555 555 555 555

Assim, botamos 7 vezes +4 no final do número, e um +1, que dá a sua solução.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Probleminha

[Diego diego]

Muito obrigado

 Em Jul 31, 2015, às 4:45 PM, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
 
 Note que x e y=1/x sao as raizes da quadratica t^2-nt+1=0, onde S=x+y eh 
 inteiro.
 
 Agora escreva S_k=x^k+y^k. Note que:
 S_(k+1)=x^2.x^(k-1)+y^2.y^(k-1) = (Sx-1).x^(k-1)+(Sy-1).y^(k-1) = S.S_k - 
 S_(k-1)
 
 Entao a sequencia {S0, S1, ...} satisfaz esta recorrencia de coeficientes 
 inteiros! Como S_0=2 e S_1=S sao inteiros, todos os outros S_k tambem serao.
 
 Abraco, Ralph.
 
 2015-07-31 16:09 GMT-03:00 Diego diego spy.di...@hotmail.com:
 Galera, como procedo?
 
 Sabe-se que x+1/x é inteiro, prove que x^n+1/x^n é inteiro para 
 qualquer n=1,2,3...
 
 Abraço
 
 
 
 --
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 Â acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
 
 
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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!  
Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

Abçs

Enviado via iPhone

Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim dá 
 problema.
 
 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?
 
 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é 
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.
 
 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.
 
 
 
 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C 
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse 
 contato entre os tapetes.   
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de 
 A. Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço 
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto 
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no 
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo 
 assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade 
 e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que 
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e 
 nem contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa 
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas 
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes 
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
 -- 
 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
 -- 
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 神が祝福
 
 Torres
 
 
 
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 神が祝福
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Mauricio de Araujo]

Este problema foi extraído do livro Problem Solving Strategies do Arthur
Engel, página 63 (princípio das casas dos pombos).

A resposta dada no livro é a seguinte:
Suponha que a área de sobreposição de qualquer par de tapetes seja menor do
que 1/9. Coloque os tapetes um a um sobre o chão. Observemos quanto da área
ainda não coberta cada um dos tapetes irá cobrir. O primeiro tapete irá
cobrir uma área igual a 1 ou 9/9. O segundo, terceiro, ..., nono irão
cobrir uma área maior do que 8/9, ..., 1/9. Desde que 9/9 + 8/9 + 7/9 + ...
+ 1/9 = 5, todos os nove tapetes irão cobrir uma área maior do que 5.
Contradição.


2013/5/8 Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br

 Eh verdade... Eh como se não exercesse a função de tapete!
 Agora entendi o que você quis dizer. Concordo!

 Abçs

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 23:04, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
 dá problema.

 Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

 É aquela que toca o chão, correto?
 Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
 útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

 Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



 Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é
 que é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e
 nem contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
assim:

* Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
* Descontar intersecções dois a dois
* Contar intersecções três a três
* Descontar intersecções quatro a quatro

E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade
e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado
fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

  Olah!
Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há 
regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C sob 
B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse contato 
entre os tapetes.   

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Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois 
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados 
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. 
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente 
 de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.
 
 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto seria 
 coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no quanto 
 de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo assim:
 
 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro
 
 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo 
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.
 
 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de verdade e 
 não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema formulado 
 fracamente...
  
 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que é 
 contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem 
 contado mais de uma vez.
 
 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)
  
 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
 coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.
 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
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 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = 
 k(k-1)/2
 Logo: 
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)
 
 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum? 
 Abraços
 Claudio Gustavo
 
 Enviado via iPhone
 
 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
 escreveu:
 
 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?
 
 A soma da área coberta é no máximo 5. 
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as 
 sobreposições.
 
 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.
 
 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!
 
 
 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois 
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
 dica: redução ao absurdo. 
 
 -- 
 Abraços
 
 ​M.
 momentos excepcionais pedem ações excepcionais.
 Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..
 
 
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Entendi. E foi por isso que achei mal formulado. Mas acho que ainda assim
dá problema.

Pensa assim: qual a área útil de cada tapete?

É aquela que toca o chão, correto?
Então, se uma área do tapete tocar outra coisa que não o tapete, ela não é
útil. E se uma área do tapete cobrir outras duas, de novo ela é inútil.

Pensa num caso extremo: três tapetes circulares concêntricos.



Em 7 de maio de 2013 21:59, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

   Olah!
 Bom talvez eu não tenha sido muito claro na minha explicação, mas não há
 regiões contadas repetidamente, pois se A sobrepõem B e B a C, a parte de C
 sob B não conta como área sobreposta de C por A. Somente se houvesse
 contato entre os tapetes.

 Enviado via iPhone

 Em 07/05/2013, às 19:52, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 6 de maio de 2013 21:37, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 Boa noite.
 Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois
 vamos imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados
 com uma parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A.
 Teríamos A sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço
 diferente de C (sem B no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C.


 Mas é de se supor que os tapetes são finos. Assim, um determinado ponto
 seria coberto por vários e não apenas dois tapetes. Afinal, se pensarmos no
 quanto de um tapete é utilizado para cobrir área útil, temos que fazer algo
 assim:

 * Contar os tapetes sem levar em conta intersecções
 * Descontar intersecções dois a dois
 * Contar intersecções três a três
 * Descontar intersecções quatro a quatro

 E assim por diante. Aí sim, podemos dizer quais áreas estão sendo
 efetivamente cobertas - sem ocorrer contagens adicionais.

 Do jeito que você faz, me parece que os tapetes são como tapetes de
 verdade e não folhas de papel (como eu pensei). Talvez seja um problema
 formulado fracamente...


 Dessa forma só a área em que X compartilha imediatamente acima de Y é que
 é contada na sobreposição de X com Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem
 contado mais de uma vez.


 Na verdade a área comum é contada três vezes em cada par :)


 Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5
 seria coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

 Abraços
 Claudio Gustavo

 Enviado via iPhone

 Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:




 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo 
 claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa
 forma, seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas
 sobrepostas 1/9 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
 Logo:
 4/(k(k-1)/2)  1/9
 k^2 -k -72  0
 k -8 ou k9 (absurdo)


 E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

 Abraços
 Claudio Gustavo

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes
 de área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois
 tapetes cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

 --
 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
 *Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus
 ofícios..*




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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

Boa noite.
Imaginei a sobreposição como uma relação apenas entre dois tapetes. Pois vamos 
imaginar que, por exemplo, os tapetes A, B e C estejam amontoados com uma 
parte de C embaixo, acima um pedaço de B e acima outro pedaço de A. Teríamos A 
sobrepondo um pedaço de B, A sobrepondo um outro pedaço diferente de C (sem B 
no meio) e B sobrepondo o outro pedaço de C. Dessa forma só a área em que X 
compartilha imediatamente acima de Y é que é contada na sobreposição de X com 
Y. Assim nenhum pedaço é esquecido e nem contado mais de uma vez.
Complementando, considerei o caso extremo em que toda região de área 5 seria 
coberta pelos tapetes, do contrário haveria mais partes sobrepostas.

Abraços
Claudio Gustavo

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Em 05/05/2013, às 22:58, terence thirteen peterdirich...@gmail.com escreveu:

 
 
 
 Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.br 
 escreveu:
 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
 mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
 Logo: 
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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
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 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.
 
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 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes 
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.
 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

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Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
 escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[Cláudio Gustavo]

A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma, 
seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9 ou 
mais.
Sendo assim:
Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 = k(k-1)/2
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 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com 
 escreveu:
 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de 
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Re: [obm-l] Probleminha interessante.

[terence thirteen]

Em 5 de maio de 2013 17:25, Cláudio Gustavo claudiog...@yahoo.com.brescreveu:

 A principio observa-se que as áreas sobrepostas somam: 9-5=4. Dessa forma,
 seja, por absurdo, que nao existem dois tapetes com áreas sobrepostas 1/9
 ou mais.
 Sendo assim:
 Tapetes que se sobrepõem: k (com k positivo inteiro menor ou igual a 9)
 Tapetes que nao se sobrepõem: 9-k
 Total de formas de se escolher dois tapetes que se sobrepoem: Ck,2 =
 k(k-1)/2
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E se ocorrer tripla sobreposição? Três tapetes dividindo uma área comum?

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 Em 05/05/2013, às 16:08, terence thirteen peterdirich...@gmail.com
 escreveu:

 Tentar teoria dos conjuntos, ou inclusão-exclusão?

 A soma da área coberta é no máximo 5.
 Cada um tem tamanho 1
 Nunca há dois que se sobreponham mais de 1/9.

 A área coberta deve ser no mínimo o total dos tapetes menos as
 sobreposições.

 São 9 tapetes e 9*4 sobreposições. Total 9-9*4/9=5 sobreposições.

 Ixi! Só deu pra provar a igualdade!


 Em 3 de maio de 2013 14:23, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
 área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
 cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

 dica: redução ao absurdo.

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 Abraços

 ​M.
 *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
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[obm-l] Probleminha interessante.

[Mauricio de Araujo]

Considere uma sala com área igual a 5. Nesta sala colocamos 9 tapetes de
área igual a 1 e com formatos arbitrários. Prove que existem dois tapetes
cuja área de sobreposição é maior do que 1/9.

dica: redução ao absurdo.

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Abraços

​M.
*momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
*Os cemitérios estão cheios de pessoas insubstituíveis em seus ofícios..*

Re:[obm-l] Probleminha

[Eduardo Wilner]

Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 

RE: [obm-l] Probleminha

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado por responder.
No geral eu estou sentindo a falta de maior quantidade de mensagens nessa lista.
 



Date: Wed, 18 Jul 2012 15:27:22 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: Re:[obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br














Seja X o volume do tonel e x o volume da caneca.
Na primeira operação restou X-x de vinho e x de água.

Admitindo que o cliente agitou bem antes de usar a segunda dose, foi retirado 
(x/X)x de água e reposto x, logo  a quantidade final de água será 2x-(x^2)/X = 
X/2.

Resolvendo, a solução (menor que X) é x = X (2-sqrt2)/2.

Se for dirigir, não beba!

[ ]'s 
  

[obm-l] Probleminha

[marcone augusto araújo borges]

De um tonel de vinho,alguem retira uma certa quantidade e substitui por um 
volume igual de agua.Apos repetida a mesma operação,o liquido que restou no 
tonel é metade vinho,metade agua.Quanta agua foi colocada no tonel cada uma das 
duas vezes?
  

RE: [obm-l] Probleminha

[luiz silva]

Ola João,
Eu escrevi o sistema homogêneo decorrente das relações entre os lados e ângulos 
(z=xcoY+ycosX.). Resolvendo e fazendo D=0, chegamos a seguinte relação :
(cosX)^2 + (cosY)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosYcosZ = 1 (repare que se um dos 
cossenos for zero, reduzimos a relação do triangulo retângulo).
Agora, como 1 = (cosX)^2+(senX)^2 = (cosY)^2+(senY)^2 = (cosZ)^2+(senZ)^2 temos 
que
(senZ)^2 = (cosX)^2 + (cosY)^2 + 2cosXcosYcosZ
(senY)^2 = (cosX)^2 + (cosZ)^2 + 2cosXcosZcosY
(senX)^2 = (cosZ)^2 + (cosY)^2 + 2cosYcosZcosX
Que se repararmos com maior detalhe, é exatamente a lei dos cossenos.
Ou seja, além disto estes triângulos são os triângulos obtusângulos (180-X), 
(180-Y) e (180-Z). Se o ângulo entre x e y é ^Z, então ângulo entre cosX e cosY 
será 180-^Z.
Como falei, bobinho mais achei uma relação bonita. 
AbsFelipe
--- Em sex, 12/8/11, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com escreveu:

De: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
Assunto: RE: [obm-l] Probleminha
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 12 de Agosto de 2011, 22:44






Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar 
que 1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
   

[obm-l] Probleminha

[luiz silva]

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe

RE: [obm-l] Probleminha

[João Maldonado]

Eu fiz assim:
Pela Lei dos cossenos temos que  se um triângulo é  obtusângulo, sendo  a o 
lado oposto  ao ângulo obtuso, a²b²+c²
Vamos provar que  para o triângulo XYZ acutângulo,  o quadrado do seno  de um 
ângulo é sempre maior do que a soma dos quadrados dos cossenos dos outros 2
Logosen²x  cos²y+cos²zsen²y  cos²x+cos²zsen²z cos² x + cos²y
Veja que todas podem ser resuzidas para 1cos²x + cos²y + cos²z
Como z = 180-x-y,  cos²z = cos²(x+y)Como cos²(x+y)cos(x+y) podemos provar que 
1cos²x + cos²y + cosz = (cos(x)+cos(y))² -  cos(x-y)1+cos(x-y)   
(cos(x)+cos(y))²
2cos[(x-y)/2]²(cos(x)+cos(y))²
2^(1/2)cos[(x-y)/2]   cos(x) + cos(y)2^(1/2)  2cos[(x+y)/2]2^(1/2)/ 2   
cos[(x+y)/2]
como  90  (x+y)/2 temos que  cos[(x+y)/2] = 2^(1/2)/ 2 se e somente se  
(x+y)=90°-  z=90°, absurdo, logo a igualdade sempre se verifica
Do jeito que você falou acho que deve ter uma  maneira muito mais facil lolMas  
pelo menos foi resolvido :)
[]'sJoão
Date: Fri, 12 Aug 2011 13:03:59 -0700
From: luizfelipec...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Probleminha 
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Não sei se conhecem. Eu descobri sozinho acidentalmente. É bobinho, mas achei 
bonitinho:

Sendo X, Y e Z os ãngulos de um triângulo acutângulo, demonstre que SenZ, CosX 
e CosY; SenY, CosZ, CosX e SenX, CosY,CosZ são lados de triângulos obtusângulos.

Abs
Felipe
  

Res: Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

Valeu Abelardo.Vou dar uma olhada.

Um abraço

paulo 





De: abelardo matias abelardo_92...@hotmail.com
Para: OBM puc-RIO obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011 12:07:05
Assunto: RE: Res: [obm-l] Probleminha


O livro Geometria I e II - A.C. Morgado / E. Wagner / M. Jorge   estão 
disponíveis no site da Vestseller. 
Não trabalho para empresa, mas a página é referência em material de exatas. 



Date: Wed, 15 Jun 2011 07:50:04 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: Res: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br


oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem 
a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

Valeu Ralph.

Muito bom pro nosso Ensino Médio.Parabéns a todos vocês pela iniciativa.

Um abraço

Paulo





De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quarta-feira, 15 de Junho de 2011 15:43:50
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Oi, Paulo.

Sim, a Fundação Getulio Vargas encomendou que escrevêssemos um livro-texto de 
Matemática para o Ensino Médio. São 3 volumes, em princípio um para cada ano do 
Ensino Médio (nosso modelo imediato foi o Colégio Santo Inácio, já que 3 dos 
autores, incluindo o Miguel, trabalham lá; eles já estão usando o livro por lá).

Os Volumes 1 e 2 já foram publicados pela Editora do Brasil; o Volume 3 ainda 
está em processo de diagramação e revisão (por isso a gente não divulgou muito 
ainda, a coleção não está completa, e ainda não foi apreciada pelo MEC). Além 
de 
contar com a experiência incrível de anos de didática do Miguel Jorge (que é o 
autor principal, aprendi um monte de coisas bacanas com ele), a gente tentou 
dar 
um pouco mais de ênfase em lógica e demonstrações do que o livro usual de 
Ensino Médio -- mas procurando evitar formalismo excessivo...  Em outras 
palavras, na hora de botar ou não uma demonstração de um fato, a gente pensou:
(A) É factível nível Ensino Médio?
(B) É interessante?
(C) Ajuda a entender o fato?
(D) É bonita pra caramba?
Se (A) e ((B) ou (C) ou (D)), a demonstração entra.

(Viu, lógica matemática! Capítulo 1 do livro 1! :) :) :) )

A gente também trabalhou bastante para o livro ficar bonito e organizado (mas 
sem ficar botando fotos a cada página ou bonequinhos falando com balõezinhos, 
que o Miguel não gosta :) :)). Tem uma diagramação levemente colorida e bem 
simpática, vários exemplos bem bacanas, e toneladas de exercícios resolvidos e 
propostos. Deu um trabalho de cão (e a gente ainda vai ter que acertar vários 
detalhes para a 2a edição), mas acho que ficou muito legal.

Bom, chega de propaganda. Na livraria FGV, eles me dizem ter apenas 2 
exemplares 
de cada um dos dois volumes (a quase R$100 cada, são livros BEM grossos), mas 
eles podem encomendar mais -- ligue para lá e pergunte para não perder a 
viagem. 
Depois, mande para a gente os erros que você encontrar (são 117, obviamente 
todos deixados de propósito, a gente nunca erraria nada :P ).

Abraço,
  Ralph

2011/6/15 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br

oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 
1/(x-a)  + 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Res: [obm-l] Probleminha....

[Paulo Barclay Ribeiro]

oi Ralph,

Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?

Um abraço
Paulo


De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha


Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 
1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem 
a 
condição ax1bx2c.
    Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

RE: Res: [obm-l] Probleminha....

[abelardo matias]

O livro Geometria I e II - A.C. Morgado / E. Wagner / M. Jorge   estão 
disponíveis no site da Vestseller. 
Não trabalho para empresa, mas a página é referência em material de exatas. 


Date: Wed, 15 Jun 2011 07:50:04 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: Res: [obm-l] Probleminha
To: obm-l@mat.puc-rio.br



oi Ralph,
 
Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava nele 
junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas perguntas:
1) Você é ,realmenteum dos autores?
2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e EWagner o 
livro geometria 1?
3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na FGV?
 
Um abraço
Paulo



De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
Assunto: Re: [obm-l] Probleminha



Que tal assim:
 
Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada **implica**:
 
(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0
 
Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de x^2 
eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh 
quadratica, estas sao todas as raizes.
 
Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh de 
fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que eh 
permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).
 
Abraco,
 Ralph
 

2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br


E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

  

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Oi, Paulo.

Sim, a Fundação Getulio Vargas encomendou que escrevêssemos um livro-texto
de Matemática para o Ensino Médio. São 3 volumes, em princípio um para cada
ano do Ensino Médio (nosso modelo imediato foi o Colégio Santo Inácio, já
que 3 dos autores, incluindo o Miguel, trabalham lá; eles já estão usando o
livro por lá).

Os Volumes 1 e 2 já foram publicados pela Editora do Brasil; o Volume 3
ainda está em processo de diagramação e revisão (por isso a gente não
divulgou muito ainda, a coleção não está completa, e ainda não foi apreciada
pelo MEC). Além de contar com a experiência incrível de anos de didática do
Miguel Jorge (que é o autor principal, aprendi um monte de coisas bacanas
com ele), a gente tentou dar um pouco mais de ênfase em lógica e
demonstrações do que o livro usual de Ensino Médio -- mas procurando
evitar formalismo excessivo...  Em outras palavras, na hora de botar ou não
uma demonstração de um fato, a gente pensou:
(A) É factível nível Ensino Médio?
(B) É interessante?
(C) Ajuda a entender o fato?
(D) É bonita pra caramba?
Se (A) e ((B) ou (C) ou (D)), a demonstração entra.

(Viu, lógica matemática! Capítulo 1 do livro 1! :) :) :) )

A gente também trabalhou bastante para o livro ficar bonito e organizado
(mas sem ficar botando fotos a cada página ou bonequinhos falando com
balõezinhos, que o Miguel não gosta :) :)). Tem uma diagramação levemente
colorida e bem simpática, vários exemplos bem bacanas, e toneladas de
exercícios resolvidos e propostos. Deu um trabalho de cão (e a gente ainda
vai ter que acertar vários detalhes para a 2a edição), mas acho que ficou
muito legal.

Bom, chega de propaganda. Na livraria FGV, eles me dizem ter apenas 2
exemplares de cada um dos dois volumes (a quase R$100 cada, são livros BEM
grossos), mas eles podem encomendar mais -- ligue para lá e pergunte para
não perder a viagem. Depois, mande para a gente os erros que você encontrar
(são 117, obviamente todos deixados de propósito, a gente nunca erraria nada
:P ).

Abraço,
  Ralph

2011/6/15 Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br

 oi Ralph,

 Vi na internet um livro chamado Aprender matematica e o seu nome estava
 nele junto com outros autores , acho que era o prof miguel jorge.Minhas
 perguntas:
 1) Você é ,realmenteum dos autores?
 2) Miguel Jorge é o mesmo que escreveu conjuntamente com o Morgado e
 EWagner o livro geometria 1?
 3) Em caso afirmativo ,onde posso adquirir o livro?Ele tá disponível na
 FGV?

 Um abraço
 Paulo
  --
 *De:* Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
 *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br
 *Enviadas:* Segunda-feira, 6 de Junho de 2011 22:57:34
 *Assunto:* Re: [obm-l] Probleminha

 Que tal assim:

 Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
 **implica**:

 (x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

 Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
 x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
 f(a)=(a-b)(a-c)0
 f(b)=(b-a)(b-c)0
 f(c)=(c-a)(c-b)0
 Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
 quadratica, estas sao todas as raizes.

 Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
 de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
 eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

 Abraco,
  Ralph


 2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

[obm-l] Probleminha....

[ruy de oliveira souza]

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
que satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

Re: [obm-l] Probleminha....

[Rodrigo Renji]

Uma tentativa por modo indireto ( não sei se foi assim que fez xD)

abc. Prove que a equação 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 (I) ,
possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que satisfazem a condição
ax1bx2c.


em (b,c) a função é contínua com lim x-b pela direita dando  +
infinito e limite x-c pela esquerda dando - infinito
logo existe raiz em (b, c) por continuidade

da mesma maneira existe raiz em ( a, b) por continuidde.


multiplicando por (x-a)(x-b) (x-c), temos uma equação  de grau 2, que
só pode ter no máximo duas raizes reais. ( a multiplicação fornece uma
equivalência pois x não pode ser b, a ou c)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Probleminha....

[João Maldonado]

Tudo bem?
Cara, a minha resolução não será tão direta também, mas quebra o galho.
Primeiro temos que observar que 1/(x-a), 1/(x-b) e 1/(x-c) são sempre 
diferentes de 0, ou seja, ou são positivos ou negativos.Logo temos que ter ou 1 
parceela negativa 2 duas positivas ou 2 positivas e uma negativa.No 1 caso 
temos 1/(x-a) e 1/(x-b)  positivoos e 1/(x-c) negativoNo segundo caso temos 
1/(x-a) positivo e  1/(x-b) e 1/(x-c) negativosOu seja, x-a é sempre 0 e xa, 
x-c é sempre 0 e xcFalta analisar o bProvaremos que sempre existe 2 raízes 
distintas para a equação, 1 é maior que b e a outra menor.
Faremos isso de um modo um pouco indutivoO passo da indução é, no caso da x1b, 
analisaremos x-a primeiro quando x-a e então aumentando. Quando x- a, a soma 
das 3 parcelas tende ao infinito. Quando x se afasta de a, a parte positiva 
1/(x-a) vai diminuindo, e a parte negativa 1/(x-b)+1/(x-c) vai aumentando, e 
como quando x- b, mas xb a soma tende a -infinito, temos que em algum momento 
ela foi 0, logo x1 existe. Para x2b, analisaremos  o x-c quando x- c, vemos 
que a soma tende a -infinito. Quaando x-b,   mas xb, aa sommma tende a 
infinito, logo em algum momento ela passou por 0 e x2 existe.
[]'sJoão
Date: Mon, 6 Jun 2011 20:54:36 -0300
Subject: [obm-l] Probleminha
From: ruymat...@ig.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br

E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
 Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação 1/(x-a)  
+ 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 , que 
satisfazem a condição ax1bx2c.
Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em provas 
indiretas. Não estou muito satisfeito. 

Re: [obm-l] Probleminha....

[Ralph Teixeira]

Que tal assim:

Multiplicando tudo por (x-a)(x-b)(x-c), vemos que a equacao dada
**implica**:

(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b)=0

Chame o lado esquerdo de f(x). Note que f(x) eh quadratica (coeficiente de
x^2 eh 3, nao eh 0, entao quadratica mesmo). Tambem:
f(a)=(a-b)(a-c)0
f(b)=(b-a)(b-c)0
f(c)=(c-a)(c-b)0
Assim, f(x) tem duas raizes reais, uma em (a,b), outra em (b,c). Como f eh
quadratica, estas sao todas as raizes.

Enfim, note que a, b e c nao sao raizes de f(x). Assim, a equacao f(x)=0 eh
de fato EQUIVALENTE aa original (basta dividi-la por (x-a)(x-b)(x-c), o que
eh permitido jah que x=a, x=b e x=c nao prestam).

Abraco,
 Ralph


2011/6/6 ruy de oliveira souza ruymat...@ig.com.br

 E ai rapaziada? Acho que não estou entendendo bem esse enunciado:
  Considere a,b e c números reais tais que abc. Prove que a equação
 1/(x-a)  + 1/(x-b)  + 1/(x-c)=0 , possui exatamente duas raízes, x1 e x2 ,
 que satisfazem a condição ax1bx2c.
 Agradeço antecipadamente quem resolver. Fiz de um modo baseado em
 provas indiretas. Não estou muito satisfeito.

[obm-l] probleminha!!!

[elton francisco ferreira]

Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de 
várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!

Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo 
das dezenas com o
algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, 
permutando-se o
algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número 
terminado em 6. É
CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do 
número é
A) 40
B) 30
C) 45
D) 21
E) 12


  

Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha!!!

[Paulo Santos]

Bom, o enunciado parece mal escrito e ambíguo.Vejamos:

- O resto da subtração - o que é isso exatamente ? O resultado da subtração ?
- o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número - só existe um algarismo das dezenas !


Vamos lá:

Um número decimal da forma BA é, na verdade, um número do tipo:

B*10 + A

ou seja, B dezenas e A unidades.

Os dados do problema:

[i]   A soma dos dígitos do número é 8:

A+B=8 - B=8-A

[ii]  O número menos o seu invertido dá um número terminado em 6:

Isso quer dizer que os dígitos das unidades podem ser:

B | A
---
9 |  3
---
8 |  2
---
7 |  1 - este é o único caso em que A+B=8 [i]
---
5 |  9
---


O que se pede:

o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades

A * B = ???

Solução:

Dá 7, segundo esta intepretação.

Veja um problema do mesmo tipo em: http://br.answers.yahoo.com/question/index?qid=20091123081930AADzO4l


---
Paulo C. Santos (PC)
e-mail : pa...@uniredes.org
homepage: http://uniredes.org
Celular: (21) 8753.0729

MSN: uniredes...@hotmail.com





Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800 (PST), elton francisco ferreira escreveu:

Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] probleminha!!!

[marcone augusto araújo borges]

A diferença de 2 números nessas condições é um múltiplo de 9,pois 
(10*a+b)-(10*b+a)=9*(a-b).Se termina em 6,então
9*(a-b)=36.dai,a-b=4.Como a+b=8,então a=6 e b=2.Portanto a*b=6*2=12 
 Date: Mon, 23 Nov 2009 09:24:01 -0800
 From: elton_200...@yahoo.com.br
 Subject: [obm-l] probleminha!!!
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Será que alguém cnseguiria dizer-me como armar essta questão, já tentei de 
 várias formas mas não consigo a resposta do gabarito ajudem-me!
 
 Um número é composto por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do algarismo 
 das dezenas com o
 algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do número formado, 
 permutando-se o
 algarismo das unidades com o das dezenas, o resto dessa subtração é um número 
 terminado em 6. É
 CORRETO afirmar que o produto dos algarismos das dezenas com o das unidades 
 do número é
 A) 40
 B) 30
 C) 45
 D) 21
 E) 12
 
 
 
 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
 http://br.maisbuscados.yahoo.com
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
 =
  
_
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http://www.windowslive.com.br/?ocid=WindowsLive09_MSN_Hotmail_Tagline_out09

Re: [obm-l] probleminha da en

[Rafael Ando]

olha, 30% nao gostam de samba, 25% nao gostam de choro, 20% nao gostam de
bolero e 15% nao gostam de rock. Na pior das hipoteses, esses 4 conjuntos
nao possuem nenhuma interseccao (isso eh possivel pois a soma eh menor que
100%), e entao temos 90% das pessoas que nao gostam de pelo menos um estilo.
O resto (10%), necessariamente gosta de todos os estilos.

De maneira mais generica:
temos n conjuntos. Se a soma dos n complementos for inferior a 100%:
seja C a soma dos complementos. Entao 100%-C eh o minimo da interseccao (eh
o mesmo raciocinio acima, certo?).
sendo S a soma dos conjuntos, naturalmente S+C = n*100%, e entao o resultado
a provar fica claro...

2008/8/28 arkon [EMAIL PROTECTED]

 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque.

 Em 11/12/2006 20:21, *Carlos Victor  * escreveu:


 Olá Arkon,

 Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de
 problema é :

 Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a
 quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o
 que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente
 provar) ,ok ?

 []´s Carlos Victor




 At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
 Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão
 da en, por favor:
 
 grato.
 
 Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de
 rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro,
 bolero e rock?
 
 a) 5%.
 b) 10%.
 c) 20%.
 d) 45%.
 e) 70%.
 
 Obs.: A alternativa correta é a letra b.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
 =




-- 
Rafael

Re: [obm-l] probleminha da en

[Márcio Pinheiro]

Suponha-se que, em relação a uma quantidade dada de elementos:
a1 (%) pertençam ao conjunto A1;
a2 (%) pertençam ao conjunto A2;
...
an (%) pertençam ao conjunto An;
Logo, trabalhando com os complementares dos conjuntos acima (~X é o 
complementar de X):
(100 - a1)% não pertencem ao conjunto A1 (ou seja, pertencem a ~A1);
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto A2 (pertencem a ~A2);
...
(100 - a2)% não pertencem ao conjunto An (pertencem a ~An);
Os elementos que pertencem aos conjuntos Ai, i = 1, 2, ..., n, simultaneamente, 
não pertencem a (~A1 U ~A2 U ... U ~An) = M, estando, assim, em ~M. Mas o 
conjunto M U ~M é fixado (o universo em questão). Como são disjuntos, nota-se 
percentualmente que:
n (M) + n(~M) = 100% (*),
sendo n (X) é o percentual de elementos que pertencem a X.
Logo, conclui-se que n (~M) é mínimo quando n (M) é máximo. Ora, n (M) = n (~A1 
U ~A2 U ... U ~An) é máximo quando os conjuntos são disjuntos dois a dois, como 
se conclui do princípio da inclusão-exclusão. Portanto, n (M) máximo vale:
n (~A1) + n (~A2) + ... + n (~An) = n*100% - (a1 + a2 + ... + an).
Enfim, substituindo este resultado em (*), obtém-se que o valor mínimo de n 
(~M) (e, conseqüentemente, a tese do resultado geral) é tal que:
n*100% - (a1 + a2 + ... + an) + n (~M) = 100%, ou seja:
n (~M) = a1 + a2 + ... + an - (n - 1)*100% (c.q.d.).
No caso particular em que a1 = 70%, a2 = 75%, a3 = 80%, a4 = 85% e n = 4, 
tem-se que:
n (~M) = 70% + 75% + 80% + 85% - (4 - 1)*100% = 10%.
Espero ter ajudado.
 
--- Em qua, 27/8/08, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:

De: arkon [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] probleminha da en
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quarta-feira, 27 de Agosto de 2008, 21:32


Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque. 

Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor   escreveu: 

Olá Arkon,

Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de 
problema é :

Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a 
quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o 
que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente 
provar) ,ok ?

[]´s Carlos Victor




At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão 
da en, por favor:

grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de 
rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, 
bolero e rock?

a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=




  Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua 
cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
http://br.new.mail.yahoo.com/addresses

Re: [obm-l] probleminha da en

[jjunior]

Desenhe um quadrado divido em 100 outros menores idênticos. Da esquerda à
direita, pinte 7 colunas; na direção oposta, pinte 7 colunas e metade da
oitava. A intersecção são as quatro colunas centrais e metade de outra
contígua a essas (suponhamos as 5 mais altas células da terceira coluna).
Agora, com relação aos 80%, pinte-se 55 células fora dessa intersecção,
restarão então 25 células com a nova intersecção. Faça-se o mesmo com os
85%, a intersecção (resposta ao problema) será 10%.

ATT. João.



 olha, 30% nao gostam de samba, 25% nao gostam de choro, 20% nao gostam de
 bolero e 15% nao gostam de rock. Na pior das hipoteses, esses 4 conjuntos
 nao possuem nenhuma interseccao (isso eh possivel pois a soma eh menor que
 100%), e entao temos 90% das pessoas que nao gostam de pelo menos um
 estilo.
 O resto (10%), necessariamente gosta de todos os estilos.

 De maneira mais generica:
 temos n conjuntos. Se a soma dos n complementos for inferior a 100%:
 seja C a soma dos complementos. Entao 100%-C eh o minimo da interseccao
 (eh
 o mesmo raciocinio acima, certo?).
 sendo S a soma dos conjuntos, naturalmente S+C = n*100%, e entao o
 resultado
 a provar fica claro...

 2008/8/28 arkon [EMAIL PROTECTED]

 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque.

 Em 11/12/2006 20:21, *Carlos Victor  * escreveu:


 Olá Arkon,

 Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de
 problema é :

 Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a
 quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o
 que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente
 provar) ,ok ?

 []´s Carlos Victor




 At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
 Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma
 questão
 da en, por favor:
 
 grato.
 
 Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85%
 de
 rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba,
 choro,
 bolero e rock?
 
 a) 5%.
 b) 10%.
 c) 20%.
 d) 45%.
 e) 70%.
 
 Obs.: A alternativa correta é a letra b.


 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Enicolau/olimp/obm-l.html
 =




 --
 Rafael



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha da en

[arkon]

Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse truque. Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor   escreveu: Olá Arkon,Como dizia o nosso mestre MORGADO , um  truque para este tipo de problema é :Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente provar) ,ok ?[]´s Carlos VictorAt 16:58 11/12/2006, arkon wrote:Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, por favor:grato.Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock?a) 5%.b) 10%.c) 20%.d) 45%.e) 70%.Obs.: A alternativa correta é a letra b.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] Probleminha

[Jan Sousa]

Por favor ajudem nessa

Sejam x_1+x_2 as raízes da equação 10x^2 + 33x - 7 = 0
O número inteiro mais próximo do número 5x_1x_2 + 2(x_1+x_2) é:

a) -33b) -10  c) -7  d) 10  e)33

Re: [obm-l] Probleminha

[Bruno França dos Reis]

Use as chamadas Relações de Girard que sai imediatamente a resposta.

On 17/02/2008, Jan Sousa [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Por favor ajudem nessa

 Sejam x_1+x_2 as raízes da equação 10x^2 + 33x - 7 = 0
 O número inteiro mais próximo do número 5x_1x_2 + 2(x_1+x_2) é:

 a) -33b) -10  c) -7  d) 10  e)33




-- 
Bruno FRANÇA DOS REIS

msn: [EMAIL PROTECTED]
skype: brunoreis666
tel: +33 (0)6 28 43 42 16

e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Ronaldo Alonso]

On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá, Ronaldo!

Obrigado pela resposta. Não conheço nada sobre sistemas dinâmicos.
Estudarei neste semestre!
Vc tem alguma orientação de livro bom sobre o assunto?



  Eu tenho algumas notas em pdf que posso te passar segunda feira (ou hoje
ainda,
se der tempo).  Um livro legal introdutório que eu li foi o do Robert
Devaney:
Introduction to chaotic dynamical systems.  http://math.bu.edu/people/bob/
Um outro, um pouco menos técnico, foi
Chaos: An introduction to dynamical systems.  Alligood (esse aí tem no
google books).

  Eu ainda continuo acreditando que o sigma da sigma-algebra tem algo a
ver com a dinâmica
topologica ...








Quanto ao nome sigma-álgebra, o que li a respeito foi o seguinte:

Uma álgebra é quase igual à sigma-álgebra, com a diferença de que (iii)
comtempla apenas reuniões finitas. A letra sigma é para indicar que
pode-se fazer reuniões infinitas enumeráveis. Acho que isso vem do alemão:
summe significa reunião; o Hausdorff usava o sigma e o delta pra indicar
reuniões enumeráveis e interseções enumeráveis respectivamente, se não me
engano.

Abraço!
Bruno

 On 2/22/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá Bruno:

   Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

  Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra,
 mas até hoje
 não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia
 confirmar minhas suspeitas.

Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift
 usada em teoria
 de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte
 sistema dinâmico que
 pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
 subtrai o extraído
 do resultado:

 (10 * (0.333))  =  3
 (10 * (0.333))  =  3
 (10 * (0.333))  =  3
  ...

veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como
 deslocar para direita.  O número
 0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:
 0.34343434 ... teríamos algo
 do tipo:

   10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4
10* (0.34343434) = 3
10 * (0.43434343) = 4

   teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
 órbita não seria
 periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas
 a grosso modo,
 muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
 resultantes dentro
 de um intervalo quando
 aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
   Em sistemas estocásticos comuns, para que
 esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável
 e
 ter medida diferente zero.
   Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
 conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não
 sei se
 há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
Acho que especialistas em
 teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


 []s










 On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED]  wrote:
 
  Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
  interessante. Ei-lo:
 
  Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?
 
  Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
  sigma-álgebra:
 
  Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou
  igual a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às
  seguintes propriedades:
 
  (i) X pertence a M
  (ii) E pertence a M == X - E pertence a M
  (iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de
  M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma
  quantidade enumerável de elementos de M também pertence a M)
 
  Abraço!
  Bruno
 
  --
  Bruno França dos Reis
  email: bfreis - gmail.com
  gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
 
  icq: 12626000
 
  e^(pi*i)+1=0




 --
 Ronaldo Luiz Alonso
 --
 Computer Engeener
 LSI-TEC/USP - Brazil.




--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

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--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.

[obm-l] Probleminha de análise

[Bruno França dos Reis]

Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
interessante. Ei-lo:

Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?

Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
sigma-álgebra:

Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou igual a)
P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às seguintes
propriedades:

(i) X pertence a M
(ii) E pertence a M == X - E pertence a M
(iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de M,
temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma quantidade
enumerável de elementos de M também pertence a M)

Abraço!
Bruno

--
Bruno França dos Reis
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Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Ronaldo Alonso]

Olá Bruno:

 Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra, mas
até hoje
não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar
minhas suspeitas.

  Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift usada
em teoria
de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte sistema
dinâmico que
pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
subtrai o extraído
do resultado:

   (10 * (0.333))  =  3
   (10 * (0.333))  =  3
   (10 * (0.333))  =  3
...

  veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como deslocar
para direita.  O número
0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:
0.34343434... teríamos algo
do tipo:

 10* (0.34343434) = 3
  10 * (0.43434343) = 4
  10* (0.34343434) = 3
  10 * (0.43434343) = 4

 teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
órbita não seria
periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas a
grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
 Em sistemas estocásticos comuns, para que
esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável e
ter medida diferente zero.
 Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não sei
se
há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
  Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


[]s










On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
interessante. Ei-lo:

Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?

Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
sigma-álgebra:

Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou igual
a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às seguintes
propriedades:

(i) X pertence a M
(ii) E pertence a M == X - E pertence a M
(iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de M,
temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma quantidade
enumerável de elementos de M também pertence a M)

Abraço!
Bruno

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Bruno França dos Reis
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Ronaldo Luiz Alonso
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Computer Engeener
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Re: [obm-l] Probleminha de análise

[Bruno França dos Reis]

Olá, Ronaldo!

Obrigado pela resposta. Não conheço nada sobre sistemas dinâmicos. Estudarei
neste semestre!
Vc tem alguma orientação de livro bom sobre o assunto?

Quanto ao nome sigma-álgebra, o que li a respeito foi o seguinte:

Uma álgebra é quase igual à sigma-álgebra, com a diferença de que (iii)
comtempla apenas reuniões finitas. A letra sigma é para indicar que
pode-se fazer reuniões infinitas enumeráveis. Acho que isso vem do alemão:
summe significa reunião; o Hausdorff usava o sigma e o delta pra indicar
reuniões enumeráveis e interseções enumeráveis respectivamente, se não me
engano.

Abraço!
Bruno

On 2/22/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote:


Olá Bruno:

  Eu acredito que não, mas na verdade não tentei provar.

 Ha muito tempo tentei entender o porque do nome sigma-algebra, mas
até hoje
não conversei com nenhum especialista a respeito, o qual poderia confirmar
minhas suspeitas.

   Aparentemente este nome está relacionado com a operação de shift
usada em teoria
de sistemas dinâmicos, cujo simbolo é sigma.  Considere o seguinte sistema
dinâmico que
pega um número entre 0 e 1, multiplica por dez, extrai a parte inteira e
subtrai o extraído
do resultado:

(10 * (0.333))  =  3
(10 * (0.333))  =  3
(10 * (0.333))  =  3
 ...

   veja que multiplicar por dez e extrair a parte inteira é como deslocar
para direita.  O número
0.333 é um ponto fixo deste sistema.Se o número fosse:  0.34343434... 
teríamos algo
do tipo:

  10* (0.34343434) = 3
   10 * (0.43434343) = 4
   10* (0.34343434) = 3
   10 * (0.43434343) = 4

  teríamos uma órbita de período 2.  Mas se o número fosse irracional, a
órbita não seria
periódica.   Amanhã escrevo mais a respeito desta operação de shift. Mas a
grosso modo,
muitas vezes queremos checar a probabilidade do conjunto de pontos
resultantes dentro
de um intervalo quando
aplicamos o shift infinitas vezes em um número neste intervalo.
  Em sistemas estocásticos comuns, para que
esta probabilidade seja não zero, o conjunto tem que ser não enumerável e
ter medida diferente zero.
  Claro que o conceito de enumerável não tem nada a ver com o
conceito de conjunto denso nem com conjunto de medida zero.  Assim não sei
se
há exemplos concretos do tipo que vc está procurando.
   Acho que especialistas em
teoria da medida podem falar melhor a respeito disso.


[]s










On 2/22/07, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá, pessoal. Estou com um problema que não consigo resolver, e achei
 interessante. Ei-lo:

 Existe alguma sigma-álgebra infinita enumerável?

 Para quem não sober o que é e quiser pensar, aqui vai a definição de
 sigma-álgebra:

 Uma sigma-álgebra M em um conjunto X é um conjunto M contido em (ou
 igual a) P(X) (onde P(X) é o conjunto das partes de X) que obedece às
 seguintes propriedades:

 (i) X pertence a M
 (ii) E pertence a M == X - E pertence a M
 (iii) Dados (A_i)_(i em N) em M, isto é, uma seqüência de elementos de
 M, temos que o conjunto U Ai pertence a M (isto é: a reunião de uma
 quantidade enumerável de elementos de M também pertence a M)

 Abraço!
 Bruno

 --
 Bruno França dos Reis
 email: bfreis - gmail.com
 gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key

 icq: 12626000

 e^(pi*i)+1=0




--
Ronaldo Luiz Alonso
--
Computer Engeener
LSI-TEC/USP - Brazil.





--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0

[obm-l] probleminha da en

[arkon]

Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão da en, 
por favor:

grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, 
quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e 
rock?

a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.

Re: [obm-l] probleminha da en

[Ricardo Bittencourt]

arkon wrote:
Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% 
de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, 
choro, bolero e rock?


Analisa o pior caso. Primeiro só samba e choro, se 70% gostam de samba, 
então 30% não gostam; no pior caso, esses 30% que não gostam de samba 
gostam de choro, então 75-30=45% gostam de samba e choro.


Por raciocinio análogo, 20% não gostam de bolero, então o pior caso é 
que 85-20=65% gostem de bolero e rock.


Mais uma vez, se 45% gostam de samba e choro, então 55% não gostam
dos dois ao mesmo tempo. Daí, 65-55=10% é total mínimo de pessoas que 
gostam dos quatro conjuntos.


--
Ricardo Bittencourt
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha da en

[Carlos Victor]

Olá  Arkon,

Como  dizia  o nosso mestre MORGADO ,  um  truque   para  este tipo  de 
problema é :


Como  são  quatro  conjuntos , o que  ultrapassar  a  300%  será  a 
quantidade   da interseção  dos  conjuntos . Se  tivermos  n  conjuntos , o 
que  ultrapasar  a (n-1)x100%   será  o mínimo  da interseção , ( tente 
provar) ,ok ?


[]´s   Carlos  Victor




At 16:58 11/12/2006, arkon wrote:
Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão 
da en, por favor:


grato.

Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de 
rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, 
bolero e rock?


a) 5%.
b) 10%.
c) 20%.
d) 45%.
e) 70%.

Obs.: A alternativa correta é a letra b.



=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] probleminha

[arkon]

GOSTARIA QUE ALGUÉM RESOLVESSE ESTE PROBLEMINHA, POR FAVOR.

GRATO.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA nos quais nenhuma letra ocupa o 
seu lugar primitivo?

a) 719.
b) 265.
c) 197.
d) 100.
e) 29.

Re: [obm-l] probleminha

[Marcelo Costa]

Acredito que se refira a uma Permutação Caótica, então:
D6 = 6![1 - 1 +1/2 - 1/6 + 1/24 - 1/120 + 1/720]
D6 = 265. (b)

Em 09/12/06, arkon [EMAIL PROTECTED] escreveu:


GOSTARIA QUE ALGUÉM RESOLVESSE ESTE PROBLEMINHA, POR FAVOR.

GRATO.

Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA nos quais nenhuma letra ocupa
o seu lugar primitivo?

a) 719.
b) 265.
c) 197.
d) 100.
e) 29.

[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

Do total de funcionários de certa empresa, sabe-se
que:
- 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam
óculos;
- das mulheres, 20% usam óculos;
- os que não usam óculos totalizam 333.

Nessas condições, o total de pessoas que trabalha
nesse em presa é?








___ 
Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar 
seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas !
http://br.answers.yahoo.com/
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha

[Italo]

Olá Elton,Segue aí uma solução:Seja T o número total de funcis então:0,6 T são homens e desses 0,3 usam óculos logo 0,18T são h e usam óculos0,4 T são mulheres e dessas 0,2 usam óculos logo 0,08T são m e usam óculosAssim:0,18T + 0,08T = T - 333 - T = 450 funcionáriosAcho q não esqueci de nada ;) Até +,Ítaloelton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: Do total de funcionários de certa empresa, sabe-seque:- 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usamóculos;- das mulheres, 20% usam óculos;- os que não usam óculos totalizam 333.Nessas condições, o total de pessoas que trabalhanesse em presa é?___ Você quer respostas para suas
 perguntas? Ou você sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! Respostas !http://br.answers.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= 
		 
Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!

Re: [obm-l] Probleminha legal

[lponce]

cadê o problema???
Um abraço
PONCE




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 27 Jun 2006 21:54:14 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] Probleminha legalÿþ


[]a, L.PONCE.

[obm-l] Probleminha legal

[Gumercindo Sereno]

Vejam que probleminha bacana:

Considere um triângulo isósceles ABC, AB=AC. Seja D 
o ponto médio de BC e seja M o ponto médio de AD.
Conduza por D a perpendicular à reta suporte do 
segmento BM, seja N o seu "pé". Prove que o ângulo ANC é reto.

Parece-me excelente para treinamento para a 2ª fase 
da OBM, nível 2. O problema está no site da revista Ibero e é 
proveniente
das listas de treinamentos da Romênia para crianças 
de 12 e 13 anos!

Para essa faixa etária acredito que não temos 
Geometria Analítica disponível.

Saludos.
Sereno.

Re: [obm-l] Probleminha legal

[Edson Ricardo de Andrade Silva]

Construindo o desenho, temos:

1) Como o triangulo BDM é retangulo em D, os triangulos NBD e NDM sao 
semelhantes.


2) De 1) temos que ND/NM = BD/MD, mas BD = DC e MD = AM, entao ND/NM = 
DC/AM


3) Se ang(BDN) = x, entao ang(NMD) = x (pois DN é perpendicular a BM e 
ang(BDM) é reto). Logo, ang(NDC) = ang(NMA) = 180-x.


4) De 2) e 3) concluimos que os triangulos NDC e NMA sao semelhantes.

5) De 4) temos que ang(DNC) = ang(ANM) e, como ang(MND) é reto, ang(ANC) 
também é reto.


[]´s

Edson.

On Mon, 26 Jun 2006, Gumercindo Sereno wrote:


Vejam que probleminha bacana:

Considere um triângulo isósceles ABC, AB=AC. Seja D o ponto médio de BC e seja 
M o ponto médio de AD.
Conduza por D a perpendicular à reta suporte do segmento BM, seja N o seu pé. 
Prove que o ângulo ANC é reto.

Parece-me excelente para treinamento para a 2ª fase da OBM, nível 2. O problema 
está no site da revista Ibero e é proveniente
das listas de treinamentos da Romênia para crianças de 12 e 13 anos!

Para essa faixa etária acredito que não temos Geometria Analítica disponível.

Saludos.
Sereno.

Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

0=x=500
quantia paga = valor da mercadoria - desconto=x+100 -(x/1000)*(x+100)
= x+100 -x^2/1000 -x/10=
= -x^2/1000 +0,9x +100
da uma parabola com concavidade para baixo, sendo assim possui ponto de máximo, so que temos que verificar se este ponto de máximo esta situado entre 0 e 500.
xv = -b/2a= 0.9*1000/2= 450 reais, dentro dos limites 0 e 500.

substituindo na equação da quantia paga
quantia paga = -450^2/1000 +0.9*450 +100=302.50 reais.

Abraço, saulo.


On 4/14/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Paracompras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x + 100)
reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra. Quala maior quantia que se pagaraia à mercearia nessapromoção?300302,50303,50304,50305,50___
Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz.http://br.info.mail.yahoo.com/=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

Re: [obm-l] probleminha

[Thor]

A quantia que se pagaria à mercearia comprando x+100  reais é

 Q(x) = (x+100)(1-x/(10 x 100)) =-x2/1000+9/10x+100,

que tem máximo em  e se pagaria Q(450) = 550 x (1-0,45) = 550 x 0,55 = 
302,50 reais.






Espero ter ajudado,



 Cláudio Thor









- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 14, 2006 9:13 AM
Subject: [obm-l] probleminha



Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Para
compras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x + 100)
reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra. Qual
a maior quantia que se pagaraia à mercearia nessa
promoção?

300
302,50
303,50
304,50
305,50





___
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e anti-spam realmente eficaz.

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Re: [obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

de onde vc tirou este (1000)?
--- saulo nilson [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 0=x=500
 quantia paga = valor da mercadoria - desconto =
 x+100 -(x/1000)*(x+100)
 =  x+100 -x^2/1000 -x/10 =
 = -x^2/1000 +0,9x +100
 da uma parabola com concavidade para baixo, sendo
 assim possui ponto de
 máximo, so que temos que verificar se este ponto de
 máximo esta situado
 entre 0 e 500.
 xv = -b/2a= 0.9*1000/2= 450 reais, dentro dos
 limites 0 e 500.
 
 substituindo na equação da quantia paga
 quantia paga = -450^2/1000 +0.9*450 +100=302.50
 reais.
 
 Abraço, saulo.
 
 
 On 4/14/06, elton francisco ferreira
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Para
  compras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x +
 100)
  reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra.
 Qual
  a maior quantia que se pagaraia à mercearia nessa
  promoção?
 
  300
  302,50
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Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. 
http://br.yahoo.com/homepageset.html 

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[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: Para
compras entre 100,00 e 600,00 reais, compre (x + 100)
reais e ganhe (x/10%) de desconto na sua compra. Qual
a maior quantia que se pagaraia à mercearia nessa
promoção?

300
302,50
303,50
304,50
305,50





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[obm-l] Probleminha legal

[Alexandre Bastos]

O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O numero de filhos do emir é:
		 
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RE: [obm-l] Probleminha legal

[João Gilberto Ponciano Pereira]

51 rs

-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Behalf Of Alexandre Bastos
Sent: Thursday, April 06, 2006 12:11 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Probleminha legal


O emir Abdel Azir ficou famoso por vários motivos. Ele teve mais de 39 filhos, 
incluindo muitos gêmeos. De fato, o historiador Ahmed Aab afirma num dos seus 
escritos que todos os filhos do emir eram gêmeos duplos, exceto 39; todos eram 
gêmeos triplos, exceto 39; todos eram gêmeos quádruplos, exceto 39. O numero de 
filhos do emir é: 



  _  

Abra  
http://us.rd.yahoo.com/mail/br/tagline/mail/*http://br.info.mail.yahoo.com/ 
sua conta no Yahoo! Mail - 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e 
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[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

juntos dois operários demoram 3 dias para completar um
certo trabalho. Sozinho, o primeiro leva 2 dias e meio
menos que o segundo. Determine em quanto tempo cada um
faz o mesmo serviço.









___ 
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Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

T =tarefa
v1=velocidade do primeiro homen
v2=velocidade do segundo homen
t=tempo


v1+v2=T/3
v1 = T/t1
v2=T/t2
T/t1+T/t2=T/3

1/t1 +1/t2= 1/3
t2-t1=2,5

3(t1+t2)=t1t2
3( 2t2-2,5)=t2*(t2-2,5)

6t2-7.5=t2^2-2,5t2
t2^2-8,5t2+7,5=0
delta = 72,25-30=42,25
t2= (8,5+-6,5)/2
=7,5
=1 nao vale porque t10

t2 =7,5 dias
t1 = 5 dias






On 1/18/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
juntos dois operários demoram 3 dias para completar umcerto trabalho. Sozinho, o primeiro leva 2 dias e meio
menos que o segundo. Determine em quanto tempo cada umfaz o mesmo serviço.___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
http://br.yahoo.com/homepageset.html=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=

[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

será que alguem poderia dar uma ideia de como faço
este problema?

desde ja, agradeço!

Quatro irmãos herdaram um total de 45 mil reais. Para
que os quatro recebessem a mesma quantia: foi reduzido
em 2 mil a parte do primeiro, aumentou em 2 mil a
parte do segundo, duplicou a do terceiro e reduziu à
metade a do quarto irmão. Podemos então afirmar que os
quatro irmãos herdaram, respectivamente, em milhares
de reais:








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Re: [obm-l] probleminha

[saulo nilson]

x+y+z+t =45
x-2 = y+2=2z=t/2=45/4
On 1/5/06, elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote:
será que alguem poderia dar uma ideia de como façoeste problema?desde ja, agradeço!Quatro irmãos herdaram um total de 45 mil reais. Para
que os quatro recebessem a mesma quantia: foi reduzidoem 2 mil a parte do primeiro, aumentou em 2 mil aparte do segundo, duplicou a do terceiro e reduziu àmetade a do quarto irmão. Podemos então afirmar que os
quatro irmãos herdaram, respectivamente, em milharesde reais:___Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
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[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

P é um ponto da corda CD da circunferencia de centro
O. Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9 cm,
determine a medida de OP.








___ 
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Re: CORRECAO [obm-l] probleminha

[Leonardo de Almeida Matos Moraes]

Desculpem,

no email anterior, onde escrevi cos(c), leiam cos(d). Email *correto*:

Ola' Elton...

o seu problema e' facilmente resolvido atraves da lei dos cossenos, por
exemplo. Vou tentar explicar sem um desenho, espero que seja suficiente...
rsrsrs

Como os pontos C e D pertencem aa circunferencia, as distancias OC e OD
valem: OC = OD = raio = 9, certo? Entao, chamemos de c e d os angulos
internos dos vertices C e D do triangulo OCD. Como temos um triangulo
isosceles, estes angulos internos sao iguais, e o valor e' facilmente
encontrado pela lei dos cossenos:

OC^2 = OD^2 + CD^2 - 2.OD.CD.cos(d)

Fazendo as contas, encontrei cos(d) = 0,778.

Agora, usei um outro triangulo, o triangulo OPD. Novamente posso usar a lei
dos cossenos, porem a incognita desta vez e' o lado OP, veja:

OP^2 = OD^2 + PD^2 - 2.OD.PD.cos(d)

Assim, encontrei OP^2 = 36, ou OP = 6.

Espero que esteja tudo certo ai' com as contas e possa ter te ajudado...
(Ha' muito tempo nao resolvia um problema de geometria...)

Abracos,

Leonardo.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] probleminha

[Leonardo de Almeida Matos Moraes]

Ola' Elton...

o seu problema e' facilmente resolvido atraves da lei dos cossenos, por
exemplo. Vou tentar explicar sem um desenho, espero que seja suficiente...
rsrsrs

Como os pontos C e D pertencem aa circunferencia, as distancias OC e OD
valem: OC = OD = raio = 9, certo? Entao, chamemos de c e d os angulos
internos dos vertices C e D do triangulo OCD. Como temos um triangulo
isosceles, estes angulos internos sao iguais, e o valor e' facilmente
encontrado pela lei dos cossenos:

OC^2 = OD^2 + CD^2 - 2.OD.CD.cos(c)

Fazendo as contas, encontrei cos(c) = 0,778.

Agora, usei um outro triangulo, o triangulo OPD. Novamente posso usar a lei
dos cossenos, porem a incognita desta vez e' o lado OP, veja:

OP^2 = OD^2 + PD^2 - 2.OD.PD.cos(c)

Assim, encontrei OP^2 = 36, ou OP = 6.

Espero que esteja tudo certo ai' com as contas e possa ter te ajudado...
(Ha' muito tempo nao resolvia um problema de geometria...)

Abracos,

Leonardo.

=
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=

Re: [obm-l] probleminha

[Aldo Munhoz]

Como CD  uma corda da
circunferncia, ento OC = 9cm e OD = 9cm.
Chamemos de x o ngulo DCO.
Pela lei dos cossenos:
OD^2 = CD^2 + OC^2 - 2 CD CO cos(x) = 9^2=14^2 + 9^2 -
2.14.9.cos(x) = cos(x)=7/9
Pela lei dos cossenos, novamente:
OP^2 = CP^2 + CO^2 - 2 CP CO cos(x) = OP^2 = 9^2 + 9^2 - 2.9.9.7/9
= 36 = OP = 6cm

elton francisco ferreira wrote:

  P  um ponto da corda CD da circunferencia de centro
O. Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9 cm,
determine a medida de OP.


	



	
		
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=

  



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=

Re:[obm-l] probleminha

[Luiz H\. Barbosa]

P é um ponto da corda CD da circunferencia de centro O. Se CP = 9 cm, PD = 5 cm e o raio mede 9 cm, determine a medida de OP. 

Ao som de : "O silencio que precede o esporro"

Trace OH perpendicular a CD e H pertencendo a CD.
Então:
9^2 = OH^2 + 7^2 e OP^2 = OH^2 + 2^2
OP=6

[]'s 
Luiz H.

[obm-l] probleminha

[elton francisco ferreira]

A jornada do soldado saldanha é de 12 horas de
trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho,
sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de
9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em
certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trablho
em um mesmo momento, então essa conincidência voltaria
a ocorrer em:

96 horas
108 horas
132 horas
144 horas
156 horas








___ 
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Re: [obm-l] probleminha

[João Luís Gomes Guimarães]

Basta notar que, enquanto um inicia uma jornada de trabalho a cada 36h, o 
outro inicia uma jornada a cada 27h. Então, o instante, medido em horas, de 
todo início de jornada deve ser múltiplo de 36 (para o primeiro) e múltiplo 
de 27(para o segundo). Logo, um instante em que há coincidência deve ser 
mútiplo de 36 e 27. Como se busca o PRIMEIRO desses instantes coincidentes, 
basta tomar o MENOR múltiplo de 36 e 27, ou seja, MMC(36,27)=108.



- Original Message - 
From: elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Thursday, November 24, 2005 10:25 AM
Subject: [obm-l] probleminha


A jornada do soldado saldanha é de 12 horas de
trabalho por 24 horas de folga e a de seu sobrinho,
sardinha, que é motorista de transporte coletivo, é de
9 horas de trabalho por 18 horas de folga. Se, em
certo dia, os dois iniciarem suas jornadas de trablho
em um mesmo momento, então essa conincidência voltaria
a ocorrer em:

96 horas
108 horas
132 horas
144 horas
156 horas








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[obm-l] probleminha para alunos de 6º série

[sjdmc]

Um certo número foi repartido em 3 parcelas inversamente proporcionais
aos números 2, 5 e 3. A parcela correspondente ao último número é
270. Qual é o número que foi repartido?

Abraços.


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Re: [Desejados] [obm-l] probleminha

[fgb1]

3^x/2 + 1 - 2^x = 0
Faça o seguinte:
Divida ambos os lados por 2^x
A equação então ficará:
{[3^(1/2)]/2]^x + (1/2)^x = 1
Daí então substitua
[3^(1/2)]/2 por sen(60º)
(1/2)^x por cos(60º)

Então, tem-se que (sen60º)^x + (cos60º)^x = 1

Logo, x = 2




- Original Message - 
From: Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, October 21, 2005 6:09 PM
Subject: [Desejados] [obm-l] probleminha



alguem pode me ajudar com esta equacao:

quais sao as raizes da funcao: f(x) = 3^x/2 + 1 - 2^x

valeu!

_
MSN Messenger: converse online com seus amigos . 
http://messenger.msn.com.br


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E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra.
Para alterar a categoria classificada, visite
http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=fgb1_l=1,1129926866.543739.31932.casama.terra.com.br,2558,Des15,Des15

Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra.
Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 21/10/2005 / Versão: 
4.4.00/4610

Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/



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Re: [obm-l] probleminha

[Eduardo Wilner]

3^x/4^x = (3/4)^x  . Se x0, y = -x 0   e

(3/4)^(-y) = (4/3)^y  1 .


--- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

Observe que x=2 é uma raíz de f(x). Provarei que
 f(x) é monótona
 dedecrescente.
 Observe que f´(x)= 3^(x/2)*ln(3)/2-2^x*ln(2)=0 =
 3^(x/2)*ln(3)/2=2^x*ln(2) =
 3^(x/2)/2^x=ln(4)/ln(3) =
 sqrt[3^x/4^x]=ln(4)/ln(3) o que é
 verdade uma vez que
 3^x/4^x=1=ln(4)/ln(3) =
 sqrt[3^x/4^x]=1]=ln(4)/ln(3).
Logo a única solução real é x=2.
 

=
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=
 









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concorre a mais de 500 prêmios! Participe! http://yahoo.fbiz.com.br/
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Re: [obm-l] probleminha

[Eduardo Wilner]

   

As raizes desta funcao seriam as mesmas da equacao

sen^x(pi/3) + cos^x(pi/3) = 1 .

Parece uma especie de Fermat trigonometrico...
 
Haveria solucao  !=0 ?

 

--- Rodrigo Augusto [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 alguem pode me ajudar com esta equacao:
 
 quais sao as raizes da funcao: f(x) = 3^x/2 + 1 -
 2^x
 
 valeu!
 

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Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos,quando vc fez o teste da 1º derivada e encontrasqrt[3^x/4^x]=1 isso é valido para todo x real ou para x não-negativo?

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Observe que x=2 é uma raíz de f(x). Provarei que f(x) é monótonadedecrescente.Observe que f´(x)= 3^(x/2)*ln(3)/2-2^x*ln(2)=0 =3^(x/2)*ln(3)/2=2^x*ln(2) =3^(x/2)/2^x=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=ln(4)/ln(3) o que éverdade uma vez que3^x/4^x=1=ln(4)/ln(3) = sqrt[3^x/4^x]=1]=ln(4)/ln(3).Logo a única solução real é x=2.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] probleminha

[Marcos Martinelli]

   Para todo x real uma vez que 3^x0 e 4^x0 para todo x real.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos repare que para x = -1 sqrt[3^x/4^x] é aproximadamente 1,1547 que é maior que 1, e para x = -2 sqrt[3^x/4^x] éaproximadamente 1,33 que também é maior que 1.

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Para todo x real uma vez que 3^x0 e 4^x0 para todo x real.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
		 
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Re: [obm-l] probleminha

[cleber vieira]

Marcos repare que para x = -1 sqrt[3^x/4^x] é aproximadamente 1,1547 que é maior que 1, e para x = -2 sqrt[3^x/4^x] éaproximadamente 1,33 que também é maior que 1.

Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED] escreveu:
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[obm-l] probleminha

[Rodrigo Augusto]

alguem pode me ajudar com esta equacao:

quais sao as raizes da funcao: f(x) = 3^x/2 + 1 - 2^x

valeu!

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