[obm-l] Dilema dos prisioneiros
Olá pessoal! Estou fazendo o curso de Sistemas Probabilísticos e gostaria de uma ajuda com o seguinte problema: De 3 prisioneiros, A, B e C, serão escolhidos 2 para ser libertados. O prisioneiro A pensa em perguntar ao carcereiro se ele será libertado, mas acha que não é ético da parte dele. Então ele pensa em perguntar o nome do outro prisioneiro que será libertado. No entanto, ele desiste de perguntar, pois após fazer a pergunta, A acha que a probabilidade dele ser solto passa de 2/3 para 1/2. Mostre porque o raciocício de A está errado. Até mais! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Jogo dos 4 bits
Olá pessoal! Desculpem a minha ausencia esses dias da lista pra responder às duvidas dos que responderam o meu e-mail inicial. Ótima estratégia Ralph! Gostei bastente mesmo do seu método! Mas como você mesmo levantou a hipótese, será que da pra fazer com menos tentativas? Acho que não... pelos motivos citados pelo Maurício Acho que chegamos então que o mínimo são 5 tentativas.. Obrigado a todos! 2008/11/18 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]: Se o objetivo eh minimizar o numero **maximo** de palpites... Certamente, eh possivel adivinhar em um maximo de 5 palpites, usando a seguinte estrategia de ir trocando um digito de cada vez (Pi=i-esimo palpite, Ri=i-esima resposta): P1= P2=0001 P3=0011 P4=0111 Se a resposta melhorou ao passar de Pi para Pi+1, eh porque aquele digito que voce trocou estah correto, e vice-versa. Ou seja, apos estes 4 palpites, voce jah sabe os ultimos 3 digitos com certeza. Agora basta olhar a resposta a P1 para descobrir se o digito incerto eh 0 ou 1; assim, o 5o palpite serah correto. Exemplo: R1=1, R2=2, R3=1 e R4=2. Como R2R1, o ultimo digito eh 1, isto eh, xxx1 (pois esta eh a unica diferenca entre P1 e P2); Como R3R2, xx01. Como R4R3, x101. Enfim, como R1=1, soh tem um 0 na resposta, entao 1101 eh a resposta. Esta estrategia eh facilmente generalizavel: sempre eh possivel adivinhar um numero de n bits com, no maximo, n+1 palpites (agora, serah que dah com menos?). Abraco, Ralph 2008/11/18 Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] O jogo dos 4 bits consiste no computador escolher um número de 4 bits e o usuário tentar adivinhar. Para cada palpite do usuário o computador retorna quantos bits ele acertou. Ex: o computador escolhe 0101 Usuario: PC:2 Usuario: 0100 PC: 3 Usuario: PC: 2 Usuario: 0111 PC: 1 Usuario: 0101 PC: 4 Qual a melhor estratégia para o jogo? O jogador deve sempre trocar a quantidade de dígitos que o computador indicar? Qual a quantidade máxima que um usuário inteligente gastaria para acertar o numero? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Jogo dos 4 bits
O jogo dos 4 bits consiste no computador escolher um número de 4 bits e o usuário tentar adivinhar. Para cada palpite do usuário o computador retorna quantos bits ele acertou. Ex: o computador escolhe 0101 Usuario: PC:2 Usuario: 0100 PC: 3 Usuario: PC: 2 Usuario: 0111 PC: 1 Usuario: 0101 PC: 4 Qual a melhor estratégia para o jogo? O jogador deve sempre trocar a quantidade de dígitos que o computador indicar? Qual a quantidade máxima que um usuário inteligente gastaria para acertar o numero? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Convolução
Olá pessoal! Alguém tem indicação de algum site ou bom livro que dê maiores detalhes sobre aplicações da integral de convolução? Agradeço qualquer ajuda Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Modelos matemáticos para auxiliar no combate à dengue
Olá Marcelo! Sugiro que entre em contato com o professor César Castilho do Departamento de Matemática da UFPE, o qual já orientou trabalhos relativos a dengue. Segue abaixo o curriculo lattes dele e a pagina no departamento, que por sinal contem um link falando sobre a modelagem do problema http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4721454A6 http://www.dmat.ufpe.br/~castilho/index.html Abraços Em 02/04/08, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá para todos, peço ajuda aos amigos, e qualquer idéia é muito bem vinda. Criar um modelo, que, dado a posição da casa e do trabalho das pessoas contaminadas com dengue, tenta prever os possíveis focos do mosquito. Deste modo, auxiliando o combate contra esta praga que hoje está presente aqui no Rio de Janeiro. Pensei em uma modelo probabilístico, no qual serão geradas funções de probabilidade do foco do mosquito para cada pessoa, e será analisada a combinação linear destas funções, com pesos diferenciados para as pessoas. Por exemplo, uma pessoa que só fica em casa, deve ter um peso maior para a posição de sua casa, já uma pessoa que fica o dia todo em trânsito, deve ter um peso bem reduzido em tudo, já que pode ter contaminado a doença em qualquer local. Estou tentando descobrir sobre o raio de ação do mosquito, horários que ele está mais ativo (encontrei que é pelo período da manhã, mas informação de internet nem sempre é correta.. estou tentando descobrir de alguns centros de estudo), e quaisquer outras informações que possam ajudar no modelo. Com um pouco mais de matemática, vamos tentar simplificar o problema original. Suponhamos que uma mosquito consiga sobrevoar uma circunferência de raio R, e que exista apenas um mosquito. Temos um conjunto de duplas (c[k], t[k]), pertencentes ao C^2, que correspondem as posições no plano de onde moram e trabalham pessoas picadas por este mosquito. Suponhamos também, que cada pessoa fica a[k] por cento do tempo em casa, b[k] por cento do tempo no trabalho e c[k] por cento do tempo em outros locais. Crie um modelo que encontre, com certa probabilidade, o centro da circunferência de alcance do mosquito. agradeço desde já, abraços, Salhab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] OFF TOPIC - Receberam o e-mail anterior?
Olá pessoal! Com toda a discussão sobre problemas no e-mail, eu gostaria de saber se vocês receberam um e-mail anterior meu com o título Quadrando quadrados + teorema das 4 cores. Conta aqui no gmail na caixa de itens enviados, mas se foi respondido eu não recebi nada. Aliás, alguém ao menos pensou no caso? Em caso positivo, se não quiser se manifestar na lista pode me mandar um e-mail privado. Desculpem qualquer incomodo. Abraços, Douglas Ribeiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Quadrando Quadrados + Teorema das 4 Cores
Olá pessoal! Estive olhando esses dias na internet algumas páginas que falam sobre o problema de quadrar quadrados. Aos que não estão familiarizados com o assunto sugiro http://mathworld.wolfram.com/PerfectSquareDissection.html Com isso surgiu a vontade de criar uma réplica do 21 square perfect square usando cartolina ou algo do tipo e além disso usar o teorema das 4 cores. Sobre o teorema das 4 cores: http://en.wikipedia.org/wiki/Four_color_theorem Agora é que vem a minha pergunta: Como fazer a distribuição das cores de modo que a diferença de áreas entre as cores seja mínima? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Off topic... quase...
Olá pessoal! Aos que usam gmail, tentem olhar a pasta E-mails enviados. Tambémnao recebo na pasta caixa de entrada as minhas proprias mensagens, masmuitas vezes quando eu envio uma mensagem à lista e ela é respondida,não faço idéia do motivo, mas as respostas a ela estão juntamente coma mensagem original dentro da pasta de E-mails enviados. Como disse oNehab... prefiro acreditar que é alguma bruxaria determinística. Abraços! Em 09/11/07, Palmerim Soares[EMAIL PROTECTED] escreveu: O problema é quando a mensagem que você envia, por algum motivo, não chega à lista (o que acontece algumas vezes). Como não vem nenhum aviso do gmail dizendo que sua mensagem não chegou ao destino, fica difícil saber se a mensagem chegou e ninguém deu a mínima para ela, ou se não chegou e por isso não houve resposta de ninguém. Isso já aconteceu comigo algumas vezes aqui na lista. Palmerim Em 09/11/07, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] escreveu: Jones e demais, Bem, não foi exatamente uma explicação...mas...O que acontece é que ele mantém apenas uma cópia de cada mensagem.Experimente mandar um e-mail para você mesmo, quando recebe-lo em suacaixa de entrada, delete-o, verifique que ele também foi apagado desua caixa de saída. Ou seja, na verdade ele não recebeu a mensagemque você enviou para você mesmo e sim disponibilizou-a também na suacaixa de entrada (ele! mantém apenas uma cópia de cadamensagem!..analisando o header da mesma). O mesmo acontece quandoenviamos a mensagem para a lista, como você já possui a mensagem (emsua caixa de saída) o gmail não receberá a mesma mensagem...issotudo para manter coerente o layout chat dos e-mail (mantendo todo ohistórico das conversar na mesma página). Nehab, como você deve ter percebido, você conseguirá ver sua mensagemna sua caixa de entrada assim que alguém responde-la (logo acima daresposta). abraços, On Nov 9, 2007 6:03 PM, jones colombo [EMAIL PROTECTED] wrote: Daniel, esta explicação não convence, visto que se eu envio um email para mim mesmo, eu recebo o email, ou seja, ele pode até analizar o header mas não usa esta análise desta maneira. Jones On Nov 9, 2007 12:38 PM, Daniel S. Braz [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Nehab, O Palmerim está certo. Eu também uso gmail e também não recebo asmensagens que envio*! * para a lista. Ou seja, é realmente umacaracteristica dele! e não falta (ou erro) de configuração. ** Na verdade, creio eu, a mensagem é recebida, mas não é exibidapelo gmail. Ele deve analisar o header e se a mensagem for a mesma quevocê enviou, ele descarta (já que você possui a mesma mensagem em seue-mail, só que na caixa de saída). abraços, Daniel. -- On 11/9/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Palmerim e Teresa e outros (eventualmente torturados que nem eu). Começo a não ! achar este tópico tão off-topic assim... Não acredito no não-determinismo do gmail (nem em sua aleatoriedade - no péssimo sentido). Espero não ter que concordar com você :-) Breve voltarei ao assunto... Abração e obrigado pelas palavras de consolo :-) Nehab PS1: Eu ainda acho que tem o que haver com email de envio diferente de email de retorno e de configuração de estratégias de proteção contra spams. Veja em http://www.greatcircle.com/majordomo! /majordomo-faq.html PS2: Antes eu recebia emails dobrados e agora que descadastrei os outros emails e fiquei só com o gmail, não recebo meu próprio email... Mas ainda tenho esperaça de que é uma bruxaria deterministica... Aguardemos... Palmerim Soares escreveu: Mestre Nehab, Saudações! O gmail tem essa característica mesmo, o que é p! éssimo, pois você não sabe se o pessoal da lista recebeu ou não a sua mensagem. Pelo que eu sei através de conversas ! com outros colegas que usam gmail, não é o caso de config! uração, e, portanto, não tem jeito. Abraços Palmerim Em 09/11/07, Carlos Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem a insistência com os testes, Colegas tem recebido minhas mensagens, mas eu . não !!! Por isto mais um teste para eu tentar descobrir o mistério... Nehab = Instruç�! �es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ! http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ! = -- O modo mais provável do mundo ser destruído, como concordam a maioriados especialistas, é atra! vés de um acidente. É aí que nós entramos.Somos profissionais da computação. Nós causamos acidentes - NathanielBorenstein = Instru�ões para entrar na lista,
Re: [obm-l] Cubo de Rubik
Olá Pedro! Eu tenho uma idéia de onde vieram alguns números mas não entendo perfeitamente a formula como um todo... vamos lá: 8!12!(3^8)(2^12)/2*3*2 Os numeros do numerador surgem do fato que o cubo possui 27 cubos menores. O cubo central não conta para as possiveis permutacoes, logo temos 26. Note também que o cubo que representa o centro de cada face é fixo, por isso temos 6 cubos que não irão participar da contagem. Logo resta 20 cubos. Desses 20, 8 são cubos de quina, que possuem 3 cores e 12 são cubos de aresta que possuem duas cores tenho certeza que é daí que surgem o 8! 12! 3^8 e 2^12 O restante eu não entendi muito bem o que foi feito e gostaria que alguém explicasse melhor também. Abraços! Em 12/09/07, Pedro Cardoso[EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, muito obrigado pelo link, mas parece que o site simplesmente diz quantas são as possibilidades, sem mostrar como o resultado foi obtido. Então, se alguém da lista puder expor uma explicação para se chegar ao número correto de arranjos de um cubo mágico, ainda agradeço. Pedro Lazéra Cardoso From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Cubo de Rubik Date: Tue, 11 Sep 2007 03:19:58 -0300 Ola Pedro! Sugiro que visite o link http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html que tem varias informações sobre o cubo incluindo o numero de combinações possiveis. Abraços! Em 11/09/07, Pedro Cardoso[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Peço desculpas se alguém já apresentou à lista essa questão - não consigo achar muita coisa naquele site indicado para pesquisar assuntos anteriormente discutidos por aqui. De qualquer forma, aí vai... Quantas são as possibilidades de arranjo de um cubo mágico, ou cubo de rubik? Lembrando que um cubo mágico é um cubo cujas faces são divididas em 9 quadrados iguais, pintados com uma única cor, entre 6 disponíveis. Cada cor deve ser usada um número idêntico de vezes (9 vezes). Acredito que seja dispensável, mas, se alguém quiser ver uma imagem: http://tatooblue.blogs.sapo.pt/arquivo/cubo_magico.jpg Queria saber se minha solução esta certa (acho que não). Primeiramente, fiz 54!. Depois, dividi por 9! seis vezes, para não contar os casos em que quadrados de mesma cor foram trocados de posição. Finalmente, dividi ainda por 24, que é o número de vezes que posso obter configurações 'diferentes' por rotação. Achei um número grande demais - cerca de 10^38, de acordo com a calculadora do windows. Pedro Lazéra Cardoso _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cubo de Rubik
Ola Pedro! Sugiro que visite o link http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html que tem varias informações sobre o cubo incluindo o numero de combinações possiveis. Abraços! Em 11/09/07, Pedro Cardoso[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá. Peço desculpas se alguém já apresentou à lista essa questão - não consigo achar muita coisa naquele site indicado para pesquisar assuntos anteriormente discutidos por aqui. De qualquer forma, aí vai... Quantas são as possibilidades de arranjo de um cubo mágico, ou cubo de rubik? Lembrando que um cubo mágico é um cubo cujas faces são divididas em 9 quadrados iguais, pintados com uma única cor, entre 6 disponíveis. Cada cor deve ser usada um número idêntico de vezes (9 vezes). Acredito que seja dispensável, mas, se alguém quiser ver uma imagem: http://tatooblue.blogs.sapo.pt/arquivo/cubo_magico.jpg Queria saber se minha solução esta certa (acho que não). Primeiramente, fiz 54!. Depois, dividi por 9! seis vezes, para não contar os casos em que quadrados de mesma cor foram trocados de posição. Finalmente, dividi ainda por 24, que é o número de vezes que posso obter configurações 'diferentes' por rotação. Achei um número grande demais - cerca de 10^38, de acordo com a calculadora do windows. Pedro Lazéra Cardoso _ Verifique já a segurança do seu PC com o Verificador de Segurança do Windows Live OneCare! http://onecare.live.com/site/pt-br/default.htm = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livros de Recorrencia
Alguém tem uma boa indicação online de preferencia ou um bom livro que trate sobre equações de recorrencia? A única fonte que encontrei foi um artigo publicado na Eureka: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/recorrencia.pdf Qualquer ajuda eu agradeço. Abraços! Douglas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ÂNGULO
Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ÂNGULO
Só fazendo um breve comentário devido a uma falta de atenção minha, o caso de 120 graus é obviamente para um triangulo obtusangulo(que não é o que a questão quer). Abraços Em 02/08/07, Douglas Ribeiro Silva[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá! Muito legal esse problema pois ao contrário do que parece, ele possui 2 respostas. Uma para A 90 e outra para A 90. Isso porque muda a relação do angulo BTC com relação a A. Para encontrar a resposta use a equação BHC + BIC + BTC = 330. E escreva os angulos em função de A. BHC você encontra a partir do quadrilatero inscritivel com diagonal AH. Os outros vertices são pes das alturas. BIC use que A + B + C = 180 e BIC = 180 - (B/2 + C/2) E o BTC é dobro de A, se A 90 e 360 - 2A se A 90. Substituindo na expressão encontramos duas respostas: 40 ou 120 Abraços! Douglas. Em 01/08/07, arkon[EMAIL PROTECTED] escreveu: ALGUÉM, POR FAVOR, PODERIA RESOLVER ESSA: Num triângulo acutângulo ABC onde H é o ortocentro, I é o incentro e T é o circuncentro, a soma dos ângulos BHC, BIC e BTC é 330°. Calcular, em graus, o valor do ângulo BAC. DESDE JÁ MUITO OBRIGADO = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Olá pessoal! Muito obrigado pela colaboração de todos na solução do problema. Enviei a solução para [EMAIL PROTECTED] com as devidas citações ao Nehab e ao Marcio. Obrigado pela dica da estrategia padrao Marcio! Certamente será muito útil em problemas futuros. Por sinal como foi a sua solução para o problema? Fiquei curioso e creio que outros também estão. Alguém saberia me dizer se é esse e-mail([EMAIL PROTECTED]) o correto para enviar as soluções dos problemas propostos da Eureka? Tinha enviado uma outra vez mas não obtive resposta. Abraços, Douglas Ribeiro OBS: Desculpe a ousadia Nehab, mas foi foi mais forte que eu! Em 31/07/07, Marcio Cohen[EMAIL PROTECTED] escreveu: Douglas, Você certamente fez a parte difícil da questão e merece 100% dos créditos por isso. Eu tinha feito uma solução por complexos para a questão da Eureka na aula de treinamento da imo, mas a sua é muito mais legal!! Para provar o detalhe final da sua solução, minha estratégia padrão é: Seja a=exp(iA), b=exp(iB), c=exp(iC). Então, abc = -1 e como exp(ix)+exp(-ix) = 2cosx: (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = (1/4)*(a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/b^2 + c^2 + 1/c^2 + 6) = (1/4)*(a^2 + b^2 + c^2 + (bc)^2 + (ab)^2 + (ac)^2+6); 8cosA*cosB*cosC = (a+1/a)(b+1/b)(c+1/c) = -(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2) = -(1+a^2+b^2+c^2+(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2+1). Substituindo uma na outra, 8cosA*cosB*cosC = -(2+4*( (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 - 6), ou seja, (cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2 = 1 - 2cosAcosBcosC Abraços, Marcio Cohen On 7/30/07, Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante
Re: [obm-l] Uma boa de geometria - CALMA !!!
Olá Nehab! Primeiramente gostaria de expressar minha satisfação do problema ter de fato chamado sua atenção e do Rogério Ponce. Já participo da lista(não muito ativamente) há um bom tempo e percebo que assim como eu, vocês gostam muito de geometria. O problema na verdade veio da minha cabeça, mas foi inspirado em um problema proposto na última(ou penúltima) Eureka. Originalmente o problema pedia para mostrar que XYZ estão alinhados se e somente se cosA*cosB*cosC = -3/8. Então pensei em me inspirar nos chineses, que gostavam de resolver teoremas usando áreas, e pensei em zerar a área do triangulo XYZ para chegar na tão esperada relação. Por um lado estou satisfeito, pois consegui chegar em uma expressão que relaciona as áreas corretamente, por outro estou frustrado pois não consigo fazer a última passagem, que certamente exige uma fatoração ou algo do tipo que não estou conseguindo enxergar. A relação que eu cheguei foi S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Note que a relação é válida nos casos mais triviais em que o triangulo é equilatero, retangulo(que, como o Rogerio falou, são respectivamente 1:4 e 1:3) ou isosceles com angulo de 120 graus(basta fazer um desenho para ver que a área dá zero). Notem que a relação pedida no problema da Eureka é satisfeita para este triangulo isosceles. Aos curiosos que querem saber como eu cheguei nessa relação, segue a idéia abaixo: Construam o triangulo ABC e suas respectivas reflexões XYZ. Observe que S(XYZ) = [S(ABC) + S(BCX) + S(ACY) + S(ABZ)] - S(AYZ) - S(XBZ) - S(XYC) S(ABC) = S(BCX) = S(ACY) = S(ABZ) por construção As áreas de AYZ XBZ e XYC podem ser somadas ou subtraídas, dependendo se os ângulos YAB = 3A, XBZ = 3B ou XCY = 3C forem maiores ou menores que 180 graus. Para esses triangulos vou usar que S(AYZ) = bc*sen(3A)/2, S(XBZ) = ac*sen(3B)/3 e S(XYC) = ab*sen(3C)/2. Então a relação passa a ser S(XYZ) = 4S(ABC) - bc*sen(3A)/2 - ac*sen(3B)/3 - ab*sen(3C)/2 Agora substituímos sen(3X) = -4*[sen(X)]^3 + 3*sen(X) em todos e substituímos também bc/2 ac/2 e ab/2 respectivamente por S(ABC)/sen(A), S(ABC)/sen(B) e S(ABC)/sen(C), devido à mesma fórmula de área em função dos lados e do angulo para o triangulo original. Fazendo as devidas substituições acima, simplificamos os senos e ficamos com a relação da soma dos quadrados dos senos. Basta trocar [sen(X)]^2 por 1 - [cos(X)]^2 e chegamos em S(XYZ) = S(ABC)*[7 - 4((cosA)^2 + (cosB)^2 + (cosC)^2)]. Quando eu enviei o problema ainda não tinha chegado nesse resultado e achava que chegaria em uma expressão mais fácil de passar para o produto de cossenos. Qualquer ajuda para terminar o problema eu agradeço bastante e certamente darei os devidos créditos quando enviar a solução para a Eureka. Abraços, Douglas Em 30/07/07, Carlos Eddy Esaguy Nehab[EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, querido Ponce Naturalmente não se supunha (pelo menos eu) que a relação entre as áreas independesse do triângulo, mas mesmo assim, confesso que tentei vários caminhos e não encontrei uma solução simples para o problema. Eu esperava algo do tipo: a razão entre as áreas é o quadrado do produto dos senos dos angulos, ou coisa similar. Embora tendo encontrado várias coisas curiosas sobre o maldito e interessante triângulo, tentando resolver o problema, não encontrei nada simples que merecesse ser publicado. E também confesso que imaginei que alguém mais inspirado conseguisse alguma expressão simples para a resposta.Resta aguardar que quem propôs o problema informe se sabe alguma coisa (aliás hábito pouco praticado em nossa lista é informar a origem dos problemas propostos - e às vezes, a origem é bastante interessante). Eu realmente gosto desta informação pois tenho o hábito (e gosto) de mencionar a origem (e a solução) de qualquer problema que eu proponho, no mínimo para respeitar a história... e o trabalho alheio. Abraços, Nehab At 01:09 29/7/2007, you wrote: Ola' Douglas e colegas da lista, nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. Num triangulo equilatero a relacao vale 1/4 , e num triangulo retangulo ela vale 1/3. E repare que podemos girar um dos lados do triangulo equilatero em torno do seu ponto medio, de forma a transforma-lo, de forma continua, em triangulo retangulo. O efeito disso e' percorrermos todos os valores de 1/4 a 1/3 , por exemplo, mostrando que nao existe uma relacao fixa entre as 2 areas. Obviamente poderiamos querer tentar encontrar alguma relacao envolvendo outra area notavel (como o triangulo de Euler, por exempo) , alem da area dos 2 triangulos originais, mas nao e' o que o problema pede (e nem faria muito sentido ficar testando uma infinidade de combinacoes). Portanto, a relacao entre as areas ABC e XYZ e' ... NENHUMA! []'s Rogerio Ponce Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] escreveu: Seja um triangulo ABC com lados a, b, c. X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC Y eh a reflexao de B em
[obm-l] Uma boa de geometria
Seja um triangulo ABC com lados a, b, c. X eh a reflexao de A em relacao a reta que passa por BC Y eh a reflexao de B em relacao a reta que passa por AC Z eh a reflexao de C em relacao a reta que passa por AB Qual a relacao entre as areas de ABC e XYZ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problemas da Eureka
Olá pessoal! Gostaria de confirmar uma coisa... soluções de problemas propostos pela Eureka devem ser mandados para qual e-mail? Eu enviei para [EMAIL PROTECTED] mas não tive resposta. Está correto? Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] E-mails sobre 0,9999... = 1
Não vou levantar a questão pois já sei que foi largamente discutida nessa lista, no entanto um amigo me questionou sobre isso essa semana e queria mostrar a ele o que já foi discutido anteriormente. Se não me falha a memória houve algum e-mail que tinham vários links e explicações sobre o fato, no entando não consegui encontra-lo nos arquivos da lista. Agradeceria se alguém pudesse me passar o conteúdo da mensagem ou mesmo enviar o link da mesma. Obrigado pela atenção Abraços, Douglas = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica.
Vou aproveitar a soma trigonométrica e pedir novamente uma ajuda com o produto trigonométrico sen(kPI/n), k indo de 1 até n-1. Sei que o resultado dá n/2^(n-1) mas não encontrei nenhuma maneira de demonstrar. Qualquer ajuda eu agradeço. Abraços. Douglas Em 28/02/07, Rogério Possi Júnior[EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa Shine! Sds, Rogério From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Re: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Date: Wed, 28 Feb 2007 16:44:13 -0800 (PST) Ah, esse é um grande clássico! Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus. Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k Parece alguma fórmula familiar? Compare com sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a (forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difícil ver que C = -1/sen 1. Assim 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) e a soma pedida é 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89)) = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) = -1/sen1(0 - cos1/sen1) = cos1/sen^2(1). []'s Shine - Original Message From: Rogério Possi Júnior [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Sucker-punch spam with award-winning protection. Try the free Yahoo! Mail Beta. http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teorema - CARAMBA, qual deles, então???
Olá Nehab! Acho que o forum teorema que o Eduardo se refere é um forum que existiu até dezembro(eu acho) do ano passado em que havia uma quantidade razoável de pessoas discutindo problemas e outros assuntos relacionados a matemática. Por sinal, neste mesmo forum, foi publicada uma nota de falecimento do professor Morgado na época do infortúnio. O forum também contava com uma seção para discussão de física e uma parte específica para postar reviews de livros ligados a matemática. Apesar de se tratar de um forum muito bom, o mesmo encerrou suas atividades não sei porquê. Se alguem da lista pudesse esclarecer ficaria bastante grato. Abraços, Douglas Ribeiro Silva Em 13/02/07, Eduardo Wilner[EMAIL PROTECTED] escreveu: Haver ? Deixa prá lá... Mas o grupoteorema não tem nada a ver com o Foruim Teorema. Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ué, Não entendí =-O! Explica para mim, please :-( Será que está ocorrendo um choque linguístico de gerações? (hoje vocês falam tô chegando e tão saindo; sinistro virou superlativo de qualquer coisa etc, etc... durma-se com um barulho destes!). Mas não tem nada não... Paguei algum mico e não percebi? Não era http://www.grupoteorema.mat.br/ que você queria? O que era outro teorema? O de Pitágoras? Ou o mico foi seu? E olha (agora eu me vingo) não tem nada a haver... ou não tem nada a ver ??? Abraços :-) , Nehab At 21:56 12/2/2007, you wrote: Como dizem hoje em dia: Não tem nada a ver. Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Oi, Max, Já mudou há um bom tempo para http://www.grupoteorema.mat.br/ Abraços, Nehab At 23:18 11/2/2007, you wrote: Por que o site do Teorema saiu do ar ? O Windows Live Spaces está aqui! Descubra como é fácil criar seu espaço na Web e sua rede amigos. Confira! __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Agradecimentos!!!
Se é sobre o problema que eu estou pensando eu ficaria bastante grato se pudessem disponibilizar o link para todos =) Abraços Em 09/02/07, Nicolau C. Saldanha[EMAIL PROTECTED] escreveu: On Thu, Feb 08, 2007 at 09:59:44PM -0200, cfgauss77 wrote: Valeu Nicolau, para aqueles que quiserem baixar o arquivo ficou legal!!! Mas acho que só nós dois sabemos onde baixar o arquivo... :-) []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Poligono de n lados + Produtorio Trigonometrico
Olá a todos! Gostaria de uma ajuda num problema tirado do maravilhoso livro Geometria II do Wagner, Morgado e Jorge: Sejam P1, P2, ... , Pn os vertices de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio 1. Mostre que (P1P2)*(P1P3)*(P1P4)*...*(P1Pn) = n Após alguns cálculos eu resolvi o problema, no entando estou dependendo de provar a identidade do produtório trigonométrico a seguir: http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/24/01/0001/MainEq1.L.gif Alguém teria uma maneira simples de demonstrar essa identidade ou tem uma boa idéia pra resolver o problema sem usá-la? Abraços, Douglas Ribeiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Poligono de n lados + Produtorio Trigonometrico
Olá! Acho que seu arquivo não chegou... (Ou foi só comigo que isso aconteceu?) Poderia manda-lo novamente? Obrigado! Em 06/02/07, cfgauss77[EMAIL PROTECTED] escreveu: Vai em anexo um arquivo em PDF que pode te ajudar!!! abraços!!! Olá a todos! Gostaria de uma ajuda num problema tirado do maravilhoso livro Geometria II do Wagner, Morgado e Jorge: Sejam P1, P2, ... , Pn os vertices de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio 1. Mostre que (P1P2)*(P1P3)*(P1P4)*...*(P1Pn) = n Após alguns cálculos eu resolvi o problema, no entando estou dependendo de provar a identidade do produtório trigonométrico a seguir: http://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Sin/24/01/0001/MainEq1.L.gif Alguém teria uma maneira simples de demonstrar essa identidade ou tem uma boa idéia pra resolver o problema sem usá-la? Abraços, Douglas Ribeiro = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro
Olá! Bom, até onde eu sei o vol 11 da coleção so foi lançado na ultima edição da mesma, coisa de no maximo 2 ou 3 anos atras, então não sei se da pra encontra-lo em sebos com preço bom. Mas se preço não for problema, faça uma busca no buscape bondfaro ou algum outro site de busca de produtos. Abaixo segue um link. http://compare.buscape.com.br/prod_unico?idu=1853570462pos=1site_origem=11642 Abraços Em 31/01/07, Itamar Sales[EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpem-me por não ter posto off topic. From: Itamar Sales [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Livro Date: Wed, 31 Jan 2007 14:04:42 + Ei pessoal, vocês sabem me dizer se o livro Fundamentos de Matemática Elementar volume 11, edição com novos testes de vestibulares, já tem pra vender? E caso tenha, aonde? Ah, mais uma coisa: O manual do professor não é comercializado, como já vi, mas de que maneira eu posso conseguí-lo? Peço desculpas se o assunto desse tópico é repetido, pois não me recordo de nenhum outro. Grato. :) _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ Insta-le já o Windows Live Messenger. A nova geração do messenger. http://get.live.com/messenger/overview = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Murilo, vc nao pode afirmar que DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus. So e se as diagonais se cruzarem em 90 graus e no seu ponto medio. Emanuel, GDC = 40, pois ADE = 80 e CDE = 60. Então DGI = 50 DI = IH Entao pelo criterio Lado, Angulo, Lado(GI, Angulo Reto, IH), GIH é semelhante a GID. Logo GHD = 40. Abraços Em 22/11/06, Murilo RFL[EMAIL PROTECTED] escreveu: Desculpe pela questao errada provavelmente estava de ressaca rsrs. bom, como DGCE eh um losangulo por suas diagonais cruzarem em 90 graus, conluimos q DCG == DCE == y no triangulo ABC isocele eh facil ver q os angulos medem 20 80 80 logo DBE = 20 graus como DE // BC, DEB == 60 graus no triangulo DEB possui angulos 20 60 e BDE == 100 graus como DGEC eh um losangulo o angulo CDE == GDC == 50 (soma = 100 == GDE) DEC == 100 pois DEA == 80 (triangulo semelhante a ABC) logo y = 30 pois esta no triangulo de angulos 100 50 30 bom, finalmente 2y + x = 80 x = 20 Desculpe as más explicaçoes de antes e desculpe o erro cometido Abraços! - Original Message - From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 9:38 AM Subject: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado
Usando a figura que voce postou, chame o pto de intersecao de CD com EB de H. Trace o segmento GH. Note que GHDE é um quadrilatero formado por 2 triangulos isosceles de mesma base DH. Com algumas contas chega-se que DEG = 30, GEH = 30, GDH = 40, GHD = 40. Depois disso, BHC = 60, GHB = HEG + EGH(Teorema do angulo externo) = 30 + 50 = 80.O triangulo BGH é isosceles (20, 80, 80). GB = HB = BC. GBC é isosceles. GCB = 50 Acho que é isso. Se Tiver algum erro por favor avisem Abraços, Douglas Em 16/11/06, claudio.buffara[EMAIL PROTECTED] escreveu: -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 16 Nov 2006 06:18:46 -0200 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Questão de geometria morgado Como DC corta o segmento GE em 90º concluimos q DCG == DCE == y Como voce conclui isso? Isso soh serah verdade se CEG for isosceles, mas voce nao provou que eh. 2y + x = 80 EDG == EBC == 60 y + 60 + 100 = 180 no triangulo DEC y = 20 x= 40 - Original Message - From: mentebrilhante brilhante To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, November 16, 2006 12:58 AM Subject: [obm-l] Questão de geometria morgado Quem puder ajuda agradeço http://img127.imagevenue.com/img.php?image=47375_geometria_122_568lo.jpg = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Reta de Simpson
http://www.bibvirt.futuro.usp.br/textos/hemeroteca/rpm/rpm44/rpm44_02.pdf Da uma olhada aí Marinho. Espero que ajude. Abraços! Em 19/10/06, Marinho Kamiroski[EMAIL PROTECTED] escreveu: Na demonstração que os tres pontos desta reta são colineares (hum...), os livros dizem que existe dois quadrilateros inscritiveis, e certos angulos iguais. Se alguem souber estas passagens, poderia me explica-las. _ Inscreva-se no novo Windows Live Mail beta e seja um dos primeiros a testar as novidades-grátis. Saiba mais: http://www.ideas.live.com/programpage.aspx?versionId=5d21c51a-b161-4314-9b0e-4911fb2b2e6d = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Problema de Steiner?!
Dadas n retas não coincidentes num plano, tal que 3 retas não concorram no mesmo ponto, determinar o número de pontos de intersecção e o número de regiões em que é dividido o plano. Um professor me falou que esse problema e outros desse tipo foi estudado por Steiner, no entanto tentei procuprar algo sobre isso na internet e não encontrei. Alguém pode confirma isso e/ou mandar alguma referência sobre problemas de combinatória envolvendo geometria? Sei resolver usando PA de ordem superior mas gostaria de outras sugestões de solução. Abraços, Douglas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Somatorios e Produtorios Trigonometricos
Alguém por acaso teria um link da internet com referência de como resolver somatórios e produtórios trigonométricos? Abraços! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Livro
Pois é... aparentemente a dover publications não edita mais o livro, mas valeu pelas dicas Antonio! Em 22/08/06, Antonio Neto[EMAIL PROTECTED] escreveu: Tenho tres solucoes: 1 - Na www.doverpublications.com 2 - Se vc for do Rio de Janeiro, a Interciencia traz para cá, talvez para a sua cidade, cobrando o frete, é claro. Av Pres. Vargas, 435, 18 andar, (0xx21) 22 21 09 93. 3 - A MF importa tambem, mas fechou a loja do Rio, mas se vc for de SP eh a melhor pedida. Soh tenho uma pergunta, este livro ainda estah sendo editado? O melhor seria entrar na Dover e verificar, se nao quiser comprar com eles anota pelo menos o ISBN, que facilita a busca das livrarias especializadas. Abraco, olavo. From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Livro Date: Mon, 21 Aug 2006 22:09:04 -0300 Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro Advanced Euclidean Geometry de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ? _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Livro
Alguem sabe onde eu posso adquirir o livro Advanced Euclidean Geometry de R.A. Johnson, Dover Publications, 1960 ? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Software para criação de Poliedros
Olá pessoal! Algum de vocês aqui da lista sabe de algum software que possa fazer criação de poliedros? Ou então algum software que tenha vários poliedros nele e o próprio software nos forneça a proporção dos seus lados? No caso dessa segunda pergunta gostaria de um que preferenciamente que trabalhasse com poliedros estrelados também. Qualquer ajuda eu agradeço =) Abraços, Douglas
[obm-l] RES: [obm-l] Dinâmica
Usando F*dt = m*dv F*4 = m*20 (F/2)*8 = 2m*v Dividindo-se uma pela outra, v = 10m/s De: owner-[EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-[EMAIL PROTECTED]] Em nome de Daniela Yoshikawa Enviada em: terça-feira, 2 de novembro de 2004 DouGz 13:53 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Dinâmica Olá! Vai aí uma de física. -Uma força de intensidade F, aplicada em um corpo de massa m que se encontra inicialmente em repouso, é capaz de conferir-lhe velocidade de 20 m/s em apenas 4s. Dobrando a massa do corpo e reduzindo a força à metade, qual a intensidade da velocidade adquirida pelo corpo em 8s? Obrigada. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Número Phi/Secção Áurea
Alguém sabe uma página na internet com boas informações cotidianas sobre o número Phi e/ou Secção áurea Por exemplo onde podemos encontra-lo no cotidiano e etc?
[obm-l] Eixo Radical
Alguém sabe como determinar o eixo radical de 2 circunferências que não possuem pontos em comum usando régua e compasso?
[obm-l] Jornais
Uma certa banca de revistas vende os jornais A e B. O custo por jornal é R$1,20 e R$0,40, e ela os vende por R$2,00 e R$0,80 respectivamente. Determine o número de jornais A que a banca deve comprar de modo a maximizar o seu lucro, sabendo que ela dispõe de R$1999,20, e que a produção dos jornais não ultrapassa 1500 e 3000 respectivamente.
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] História da Matemática
Somos 5! [EMAIL PROTECTED] Que tal alguém disponibilizar o arquivo num site online? =) -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de brunno184 Enviada em: terça-feira, 28 de setembro de 2004 DouGz 16:27 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] História da Matemática Eu gostaria [EMAIL PROTECTED] obrigado Início da mensagem original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: Data: Mon, 27 Sep 2004 17:22:09 -0300 Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] História da Matemática MensagemEu gostaria [EMAIL PROTECTED] Grato Daniel - Original Message - From: Leandro Lacorte Recova To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 27, 2004 11:43 AM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] História da Matemática Eu conheco um artigo em PDF do Manfredo Carmo sobre a Historia da Geometria Diferencial no Brasil. Me avise se quiser pois posso te mandar ! Leandro -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Cloves Jr Sent: Monday, September 27, 2004 5:51 AM To: Grupo OBM Subject: [obm-l] História da Matemática Olá pessoal... Eu sei que o assunto é um pouco off-topic mas gostaria de saber se alguém sabe alguma referência que eu poderia consultar sobre um trabalho sobre a História da Maremática no Brasil... Qualquer referência já seria de grande ajuda... []s Cloves Jr --- Os e-mails enviados são certificados como livres de vírus. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.768 / Virus Database: 515 - Release Date: 22/09/04 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Analítica, Plana e Trigonometria
Olá pessoal. Gostaria de uma ajuda nas seguintes questões: 1ª Achar a equação da reta que passa pelo ponto de intersecção de duas retas: 11x +3y -7 = 0 e 12x +y -10 = 0 e que se encontra a igual distancia dos pontos A(3 , -2) e B(-1 , 6). A questão deverá ser resolvida sem calcular as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas. 2ª Determinar e identificar a equação do lugar geométrico do centro de uma circunferência que é sempre tangente às circunferências x^2 + y^2 -4y -12 = 0 e x^2 + y^2 = 1 3ª Calcular o volume de uma pirâmide regular de altura h, sabendo-se que a base dessa pirâmide é um polígono regular cuja soma dos ângulos internos é igual a n*Pi, e a razão entre a área da base e a área lateral é igual a k. 4ª Eliminar o arco x entre as equações: sen(x)/a = sen(3x)/b = sen(5x)/c Qualquer ajuda eu agradeço =)
[obm-l] Desigualdade de Médias
Olá pessoal. Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.27/msg00188.html Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa generalização? Um abraço, Douglas
[obm-l] RES: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO!
Marcos, acho que você se equivocou na resposta. Realmente Jorge, o problema é interessantíssimo e nunca tinha me deparado com algo similar. Se fizerem um esboço do poliedro resultante vão ver que existe a junção de dois ângulos poliédricos. Fazendo os pontos A=G, D=I, E=H. Vamos encontrar o valor destes ângulos. No Tetraedro: l^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(T) Resolvendo temos que cos(T) = 1/3 Na Pirâmide: [L*sqrt(2)]^2 = 2(l*sqrt(3)/2)^2 - 2[(l*sqrt(3)/2)^2]* cos(P) Resolvendo temos que cos(P) = -1/3 Com isso descobrimos que estes ângulos são suplementares, e a junção deles forma um plano perfeito! Isto ocorre com a junção de duas faces do tetraedro com a pirâmide, e o sólido resultante possui duas faces triangulares e três faces quadrangulares. Belíssima questão de Geometria Jorge! Se tiver mais dessas mande! =) Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Paulo Enviada em: segunda-feira, 9 de agosto de 2004 20:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! = De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Assunto:[obm-l] GEOMETRIA E IMAGINAÇÃO! PASMEM! Este problema de geometria, proposto numa prova para mais de um milhão de alunos, teve somente um único acertador, Daniel Lowen, de 17 anos da Escola Cocoa Beach Seja ABCDE uma pirâmide de base quadrada, cujas faces laterais são triângulos equiláteros; e seja FGHI um tetaedro regular cujas faces sejam (triângulos equiláteros) congruentes às faces laterais da pirâmide. Suponhamos que se juntem os sólidos de maneira que a face ADE da pirâmide coincida com a face GIH do tetaedro, o resultado sendo o poliedro ABCDEF. Quantas faces tem este poliedro? Há Uma face quadrangular e 6 faces trîangulares. (Educational Testing Service-EUA) NOTA: Meus amigos, sem nenhum exagero, este é um problema fascinante. Nunca vi nada igual. (CAMPEÃO!). __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.h tml = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Lado do Quadrado
Olá pessoal Qualquer ajuda pra calcular o lado desse quadrado eu fico grato []s attachment: quadrado.gif
[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] Números Interessantes
Olá Rogério, eu dei uma olhada na sua resolução para o problema e não discuto que a matemática que você usou está correta... Mas acho que a intenção do problema proposto não foi chegar na resposta que você chegou. A questão pede Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entre si e divisível por 1 Você achou todos os números inteiros divisíveis por 1 que tem 10 algarismos, mas não necessariamente algarismos distintos. Por exemplo: 10 possui 5 zeros e 5 uns O numero teria que ser do tipo 1896753042 Ao meu ver foi isso que a questão pediu... Um abraço, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogério Moraes de Carvalho Enviada em: sexta-feira, 28 de maio de 2004 06:48 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Números Interessantes Olá André, Eu já havia postado uma resolução possível para este problema. Veja o link: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200405/msg00793.html. Atenciosamente, Rogério Moraes de Carvalho From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Andre Sent: quinta-feira, 27 de maio de 2004 23:59 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Números Interessantes Olá, Questão: Quantos são os números com 10 algarismo diferentes entre si e divisível por 1. Dizer que eles estão incluídos entre os números interessantes está correto? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Simplificação Trigonométria
s80/(2c20-c80) Fazendo que s80 = s(50 + 30) e s20 = s(50 - 30) (S50c30 + c50s30)/[2(c50c30 + s50s30) - c50c30 + s50s30] desenvolvendo o produto no denominador e agrupando os termos fica: (s50c30 + s30c50)/(c50c30 + 3s50s30) substituindo os valores de s30 e c30: (s50sqrt(3)/2 + c50/2)/(c50sqrt(3)/2 + 3s50/2) (s50sqrt(3) + c50)/(c50sqrt(3) + 3s50) evidenciando sqrt(3) no numerador e 3 no denominador: sqrt(3)[s50 + c50/sqrt(3)]/3[s50 + c50/sqrt(3)] simplificando: sqrt(3)/3 = tg30° Elegante ou não, o problema foi resolvido =). Agradeço bastante ao Ricardo(e ao Rafael Sampaio também) por terem se dado o trabalho de me ajudar nessa questão. Recebi agora a pouco um e-mail do Rafael dizendo que conseguiu solucionar o problema também. Não sei qual a forma que ele encontrou mas estou bastante curioso para ver. Muito obrigado mesmo pessoal por estarem me dando essa mãozona! Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Ricardo Bittencourt Enviada em: segunda-feira, 5 de abril de 2004 00:38 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Simplificação Trigonométria Douglas Ribeiro Silva wrote: Olá pessoal... estou com um problema para simplificar uma expressão trigonométrica mas não consegui encontrar relações para chegar na simplificação. A expressão é: tg²(80°) * [tg(60°) tg(50°)] / tg²(80°) [tg(50°) * tg(60°)] Aqui vai uma solução incompleta e totalmente deselegante. Eu mandei o resultado pacrial pro Douglas e ele matou o resto, então coloco aqui a minha parte e depois ele completa com a parte dele! Vou usar uma notação simplificada, e, espero, intuitiva. ...primeiro, substituí todos os tg por sen/cos... (t80t80*(t60-t50))/(t80t80-t50t60)= ((s80s80/c80c80)*(s60/c60-s50/c50))/((s80s80/c80c80)-(s60s50/c60c50))= ...distribuí o denominador e cortei c80c80c60c50 da fração... (s80s80(s60c60-s50c60))/(s80s80c60c50-c80c80s60s50)= ...no numerador, s60c60-s50c60 = s10... (s80s80s10)/(s80s80c60c50-c80c80s60s50)= ...no denominador, s80s80=(1-c80c80)... (s80s80s10)/((1-c80c80)*c60c50-c80c80s60s50)= (s80s80s10)/(c60c50-c80c80c60c50-c80c80s60s50)= (s80s80s10)/(c60c50-c80c80(c60c50-s60s50))= ...c60c50-s60s50 = c10... (s80s80s10)/(c60c50-c80c80c10)= ...agora, c60c50 = (c110+c10)/2... (s80s80s10)/(((c110+c10)/2)-c80c80c10)= ...c110=s(90-110)=s(-20)=-s20... (s80s80s10)/(((-s20+c10)/2)-c80c80c10)= ...s20=2s10c10... (s80s80s10)/(((-2s10c10+c10)/2)-c80c80c10)= ...no numerador, s80=c10 e simplifica ... (c10s80s10)/(((-2s10c10+c10)/2)-c80c80c10)= (s80s10)/((1/2)-s10-c80c80)= ... 1/2 = s30 ... (s80s10)/(s30-s10-c80c80)= ... s30-s10 = 2c20s10 ... (s80s10)/(2c20s10-c80c80)= ... c80=s10 e simplifica ... s80/(2c20-c80) ... e aqui eu parei. Douglas, agora você continua :) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Simplificação Trigonométria
Olá pessoal... estou com um problema para simplificar uma expressão trigonométrica mas não consegui encontrar relações para chegar na simplificação. A expressão é: tg²(80°) * [tg(60°) tg(50°)] / tg²(80°) [tg(50°) * tg(60°)] Se isso ajuda em alguma coisa, eu sei que a resposta é tg(30°) Agradeço qualquer ajuda na questão. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] Enviada em: sexta-feira, 2 de abril de 2004 10:33 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Simplificação Trigonométria Escrevbe de novo por favor -- Mensagem original -- Alguém pelo menos tentou fazer a simplificação que eu mandei na terça-feira? Se tentou por favor me envie um e-mail a parte da lista pelo menos pra eu ter idéia de quantas pessoas tentaram. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -O QUE FAREMOS AMANBHA A NOITE CEREBRO? -AQUILO QUE FAZEMOS TODAS AS NOITES, PINKY: TENTAR CONQUISTAR O MUNDO!! -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjuntos
Olá pessoal, gostaria de ver a resolução de vocês para estes dois problemas de conjuntos que me foram apresentados: 1) Em Porto Alegre foi feita uma pesquisa com a população sobre suas bebidas prediletas e habituais, e os resultados foram os seguintes: 60% das pessoas toma refrigerante; 70% toma vinho; 80% toma café; 90% toma chimarrão Verificou-se ainda que nenhuma das pessoas consome as quatro bebidas. Qual a porcentagem de pessoas de Porto Alegre que toma refrigerante ou vinho? 2) Numa turma do Bacharelado em Matemática 72% dos alunos gostam de Cálculo, 68% gostam de Teoria dos Números e 60% gostam de Álgebra Linear. Sabendo que 10% dos alunos não gostam de nenhuma das 3 matérias, qual o máximo percentual de alunos que gostam de duas e somente duas das matérias acima. 3) 100 pessoas fizeram uma aposta(BOLÃO) sobre os 3 primeiros lugares do campeonato pernambucano. Os times que estavam disputando eram o Náutico, o Sport e o Santa Cruz. Em cada aposta, o apostador indica qual será a classificação dos 3 times. Das 100 apostas, 48 apontavam o Náutico com vencedor, 51 apontavam o Santa Cruz como 2º colocado, 34 apostadores indicaram o Sport como campeão e 16 apostaram no Sport como segundo colocado. Sabendo que neste ano o Sport venceu o campeonato, ficando o náutico em com a segunda posição seguido pelo Santa Cruz em terceiro, Determine qual o prêmio máximo que um apostador ganhou neste bolão sabendo que cada pessoa entrou com R$1,50.
[obm-l] Simplificação Trigonométria
Alguém pelo menos tentou fazer a simplificação que eu mandei na terça-feira? Se tentou por favor me envie um e-mail a parte da lista pelo menos pra eu ter idéia de quantas pessoas tentaram. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
[obm-l] RES: [obm-l] Simplificação trigonométrica
Acho que vc colocou algo errado na expressão Ricardo, pois pode-se ver facilmente que essa expressão nunca daria um resultado negativo. Tg²(80) é 32,algumacoisa tg60 - tg50 da um numero positivo também. Veja que no denominador isso também é verdade. Não pode ser negativo de jeito nenhum. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Ricardo Bittencourt Enviada em: quarta-feira, 24 de março de 2004 12:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Simplificação trigonométrica Douglas Ribeiro Silva wrote: tg²(80°) * [tg(60°) tg(50°)] / tg²(80°) [tg(50°) * tg(60°)] Se isso ajuda em alguma coisa, eu sei que a resposta é tg(30°) Deve ter alguma coisa errada no enunciado, porque numericamente sua expressão dá -1.523, e tan(30)=0.577 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Simplificação trigonométrica
Olá pessoal... estou com um problema para simplificar uma expressão trigonométrica mas não consegui encontrar relações para chegar na simplificação. A expressão é: tg²(80°) * [tg(60°) tg(50°)] / tg²(80°) [tg(50°) * tg(60°)] Se isso ajuda em alguma coisa, eu sei que a resposta é tg(30°) Agradeço qualquer ajuda na questão. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva
RES: [obm-l] Sequencia Geometrica?
Perceba que... A(1) = 0 + 1 A(2) = 6 + 1 A(3) = 18 + 1 A(4) = 36 + 1 Essa seqüência é uma PA de segunda ordem, já que A2 - A1, A3 - A2 e A4 - A3 formam nessa ordem uma PA de primeira ordem. Pode-se dizer então que há um polinômio an² + bn + c que define a seqüência. Descobre-se então este polinômio a partir do que se conhece da seqüência: a + b + c = 1 4a + 2b + c = 7 9a + 3b + c = 19 Resolvendo o sistema, temos que a = 3, b = -3 e c =1 Logo: An = 3n² -3n + 1 Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: sexta-feira, 12 de março de 2004 11:44 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Sequencia Geometrica? Aqui vai um problema que acho que pode ser descrito como uma sequencia. Achar o numero maximo de areas formadas pela intercecao de n triangulos assim temos A(1) = 1 ( 1 triagulo, uma area ) A(2) = 7 ( 2 triangulos, 7 areas como a estrela de david ) A(3) = 19 ( eu contei 19, mas vale a pena conferir ) ... A(n) = ? O problema original era quantas areas sao formadas por (1 + 10^(um numero ridicularmente grande)) Alguma dica? _ Create a Job Alert on MSN Careers and enter for a chance to win $1000! http://msn.careerbuilder.com/promo/kaday.htm?siteid=CBMSN_1Ksc_extcmp=J S_JASweep_MSNHotm2 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Combinatoria Classica
Olá pessoal, eu estava analisando um caso desses de combinatória de caminhos, do tipo: considerando-se uma Matriz 4x4, pede-se o numero de probabilidades de chegar do A(41) ao A(14). Nesse caso a resposta da 20. Me interessei em saber disso quando dando uma olhada no arquivo da lista encontrei este problema: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200312/msg00137.html Como mostra a mensagem, existe um conceito de triangulo de pascal aí no problema, onde o numero de caminhos para se chegar numa determinada casa é dado pela soma da quantidade de caminhos das casas à esquerda e abaixo delas. Gostaria de saber como poder provar isso generalizando pra uma casa qualquer da matriz. Já agradeço a atenção. []s, Douglas
RES: [obm-l] geometria
Mas como seria feita a medida desses angulos Nicolau? Já que num triangulo esférico a soma dos ângulos é sempre maior que 180? Pq se fossem os ângulos do plano relativo aos 3 pontos que formam o triangulo seria mais fácil, especialmente no caso do tetraedro, onde A = B = C = 60, mas no caso da esfera eu pelo menos não faço idéia de como se faz. Aproveitando o problema... Gostaria de saber se há como a generalização dele: Dado um triedro com vértice no centro de uma esfera de raio R, determinar o seu volume em função dos 3 ângulos formados entre as semi-retas que formam o triedro. Acho que seria bem interessante, cheguei a elaborar algumas idéia sobre isso, mas não tive grandes êxitos. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 25 de fevereiro de 2004 19:50 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] geometria Um fato que ajuda muito é o seguinte. Um triângulo esférico é um pedaço da esfera de raio 1 limitaedo por três segmentos que são pedaços de círculos máximos. Um triângulo esférico tem três ângulos A, B, C. A área deste triângulo é A + B + C - Pi (onde A, B, C são medidos em radianos). On Wed, Feb 25, 2004 at 08:42:54PM +, [EMAIL PROTECTED] wrote: DESAFIO!! @4 esferas iguais de raio r estão se tangenciando de forma que a ligação de seus centros formem um tetraedro. O tetraedro corta um certo volume de cada esfera, qual é o valor desse volume em função de r? Tome r = 1. Os ângulos entre faces de um tetraedro regular são iguais a A = 2 arc sen(sqrt(3)/3) ~= 1.230959418. Então a área do triângulo esférico contido no tetraedro é SA = 3*A - Pi ~= 0.551285599. O volume é 1/3 disso (pois o volume da esfera de raio 1 é 1/3 da sua área) logo A - Pi/3 ~= 0.1837618663. Se o raio tiver outro valor é só multiplicar por r^3. Observe que isto é um pouco menos de 1/20 do volume da esfera (que dá 4*Pi/(3*20) ~= 0.2094395103. @5 esferas iguais de raio r estão se tangenciando da forma que a ligação de seus centros forme uma pirâmide de base quadrática com todas as arestas iguais. Haverá 2 tipos de volumes cortados pelas esferas: o volume que as 4 esferas da base quadrática corta da pirâmide e o volume que a esfera do topo corta da mesma. Qual é o valor desses dois volumes em função de r? Aqui os centros das suas 5 esferas são 5 dos 6 vértices de um octaedro regular então o volume do topo é o dobro de cada um dos volumes da base. Da mesma forma o triângulo esférico que aparece na base tem ângulos B, B e 2B, onde B é o ângulo entre uma face do octaedro e o plano que passa por 4 dos seus vértices. Mas B é igual ao ângulo formado pelos vetores (1,1,1) e (0,0,1) (que são perpendiculares a uma face e a um plano se os vértices do octaedro forem (+-sqrt(2),0,0), (0,+-sqrt(2),0), (0,0,+-sqrt(2)) para que a aresta seja 2) logo B = arc cos(sqrt(3)/3) ~= 0.9553166180. Também dava para ver que A/2 + B = Pi/2 olhando como octaedros e tetraedros se encaixam para encher o espaço (tome todos os pontos de coordenadas inteiras com soma par e ligue pontos a uma distância sqrt(2)). Mas o fato é que a área do nosso triângulo esférico é 4*B - Pi ~= 0.679673818 e o volume é (4*B - Pi)/3 ~= 0.2265579393. A área no topo é o dobro, como já dissemos, SB = 8*B - 2*Pi ~= 1.359347636 e o volume é (8*B - 2*Pi)/3 ~= 0.4531158786. Observe que 6*SB + 8*SA = 4*Pi, coerentemente com aquela maneira de encher o espaço com octaedros e tetraedros: há 6 octaedros e 8 tetraedros ao redor de cada vértice. @Se do volume da pirâmide quadrática acima for cortado todos os volumes formado pelas 5 esferas, parte somente de dentro da pirâmide, sobrará um volume central não cortado. O volume da pirâmide (meio octaedro) é claramente 4*sqrt(2)/3 ~= 1.885618082. Este volume central é portanto 4*sqrt(2)/3 - 8*B + 2*Pi ~= 0.526270446. Se o volume central fosse necessariamente distribuído para as 5 esferas, como seria feito a distribuição? Ela seria proporcional à área superficial da parte esférica de dentro da pirâmide ou ao volume que cada esfera corta da pirâmide? Esta parte eu não entendi. Minha única observação é que os volumes e áreas são trivialmente proporcionais, como já vimos. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Olá Rafael. Já que você tocou no assunto e mostrou domínio sobre ele... Poderia esclarecer-me por favor do que se trata o Método de Ferrari? Me interessei em saber sobre isso. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rafael Enviada em: sábado, 21 de fevereiro de 2004 17:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Claro que sim, Pérsio. Cláudio, aliás, enviou uma para lista já. No entanto, não creio que ela seja exatamente o que se possa chamar de trivial, pois envolve alguns artifícios geométricos e a manipulação algébrica de várias expressões. Evidentemente, ainda é mais acessível do que o Método de Ferrari, que torna o problema puramente algébrico, pois o único conceito de Geometria que se usa é a correspondência dos ângulos,amparada pelaTrigonometriatambém. De qualquer forma, com mais ou menos trabalho braçal, chegou-sea mesma solução... Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: persio ca To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 21, 2004 10:55 AM Subject: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Será que existe uma solução geometrica trivial para este problema ? Pérsio
RES: Spam Alert: [obm-l] Por Favor....
Só complementando o e-mail do Pacini, eu aprendi isso aí como PAG(Progressão Aritmética e Geometria), que é uma progressão na qual os numeradores formam uma PA, e os denominadores uma PG. Não sei em qual livro meu professor tomou como base para dar o assunto, mas certamente deve ter em livros que tratam de progressão. ACHO que pra toda PAG é válida a propriedade dita pelo Pacini de Convergência. Não tenho certeza disso. Se alguém da lista puder enviar uma prova eu ficaria bastante grato. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Pacini bores Enviada em: domingo, 22 de fevereiro de 2004 10:59 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br; [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: Spam Alert: [obm-l] Por Favor At 00:35 22/2/2004, [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém poderia me ajudar nesse problema de P.G infinita. Não consigo achar o diabo da razão: 1+2/2+3/4+4/8+5/16. Grato Junior O ideal neste tipo de questão é dividir toda a expressão pela razão da PG do denominador : S = 1+2/2+3/4+4/8+5/16. (1) S/2 = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 +... (2) Faz (1) -(2) : S/2 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... S/2 = 2 , donde S = 4 . []´s Pacini Nota : 1)é importante observar que há necessidade de mostrar que estas séries são convergentes 2)Na solução do Luiz França houve pequeno engano na conta final 2 +1 + 1/2 +... = 4 e não 3 , ok ?
RES: [obm-l] restos
No houve erro no enunciado do 2 problema? Como um numero pode ser dividido por 3 dar resto 3?! Se fosse qualquer outro numero, eu diria que a resposta era o MMC desses 3 numeros + o resto Um abrao, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: domingo, 22 de fevereiro de 2004 14:57 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] restos Ola pessoal, Como resolver estes ? 1.Qual o maior numero inteiro quepodemos somar ao dividendo de um divisao, onde o divisor eh 13 e o resto eh 2, sem que o quociente sofra alteracao? 2.Qual o menor numero que dividido por 3, 11, e 51 deixa sempre resto 3? ps: Nao conheco o TCR (teorema chines do resto)
RES: RES: [obm-l] torres
Concordo inteiramente com o seu ponto de vista. Só não entendi pq vc mandou esse e-mail em resposta ao meu =P Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: sexta-feira, 20 de fevereiro de 2004 04:03 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] torres Ola, UMA COISA eh voce pedir para alguem colocar 8 rainhas em um trabuleiro nao havendo ataque uma nas outras (MATEMATICA RECREATICA) OUTRA COISA eh calcular de quantos modos isso eh possivel (PROBABILIDADE). Sao areas diferentes na matematica, mas cada uma tem seus adeptos e amantes. Da mesma forma que dizer para alguem montar o cubo Rubick (MATEMATICA RECREATIVA (UTILIZANDO APENAS RACIOCINIO) E/OU TEORIA DOS GRUPOS) ou calcular o numero total de diferentes configuracoes (PROBABILIDADE). Ha uma diferenca estetica ao meu ver. Em uma mensagem de 20/2/2004 03:53:37 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: Na verdade o problema que ele passou é o mesmo problema das rainhas. De quantas formas podemos colocar essas rainhas no tabuleiro? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: sexta-feira, 20 de fevereiro de 2004 02:22 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] torres Ola, Tem certeza que digitou corretamente o enunciado ? Seria: De forma que 2 torres nao estejam na mesma linha OU De forma que as 8 torres nao se ataquem ? Ps: Eu ja vi um bem interessante: Coloque 8 rainhas em um tabuleiro sem que nenhuma ataque as outras Em uma mensagem de 19/2/2004 17:33:00 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: De quantas maneiras podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de forma que duas torres não estejam na mesma linha, coluna ou diagonal?
RES: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo
Ah... ainda bem que alguem mandou um e-mail sobre esse problema porque eu já estava me esquecendo de perguntar isso... Vi a bela resolução do Cláudio para este problema, mas heis a questão... e se em vez de um dos lados do quadrado estar sobreposto à hipotenusa, tivéssemos dois lados do quadrado sobrepostos aos catetos? Foi desse modo que eu pensei inicialmente e tentei resolver a questão, mas sempre caí numa eq. de grau 3 ou 4. Pensei que ia cair numa biquadrada bonitinha, mas os termos não se anularam. Gostaria que alguém mandasse a resolução desse jeito, se é que é possível resolver sem usar Cardano-Tartaglia. Um abraço, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: quinta-feira, 19 de fevereiro de 2004 00:58 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Descubra os lados do Triangulo Essa questao ja foi resolvida pessoal ! Guilherme, um lado do quadrado sobrepoe-se a hipotenusa. Em uma mensagem de 18/2/2004 23:56:59 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: Como um quadrado increve um triangulo?... Lados sobrepostos?... Um vértice do quadrado tocando um lado do triângulo? persio ca [EMAIL PROTECTED]com.br wrote: Pessoal Alguem consegue resolver este problema sem usar cardano tartaglia, somente usando pura geometria. Considere um triangulo retangulo com hipotenusa 12 e com um quadrado inscrito de lado 4. A pergunta qual é o valor total de seus catetos ? Persio
RES: [obm-l] torres
Na verdade o problema que ele passou é o mesmo problema das rainhas. De quantas formas podemos colocar essas rainhas no tabuleiro? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: sexta-feira, 20 de fevereiro de 2004 02:22 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] torres Ola, Tem certeza que digitou corretamente o enunciado ? Seria: De forma que 2 torres nao estejam na mesma linha OU De forma que as 8 torres nao se ataquem ? Ps: Eu ja vi um bem interessante: Coloque 8 rainhas em um tabuleiro sem que nenhuma ataque as outras Em uma mensagem de 19/2/2004 17:33:00 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED]br escreveu: De quantas maneiras podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de forma que duas torres não estejam na mesma linha, coluna ou diagonal?
[obm-l] Geometria 1 e 2
Olá pessoal. Vendo as mensagens anteriores, eu me interessei em adquirir os livros Geometria 1 e 2 do prof. Morgado e do prof. Eduardo Wagner, mas procurei um pouco Internet e não encontrei sites que vendessem ele. Se alguém puder me indicar algum site em que eu possa compra-los eu ficaria muito grato. Alias, gostaria de saber também se é possível adquiri-los aqui na UFPE, pois eu vi no site da SMB que tem professores aqui que vendem livros de lá. Um abraço, Douglas
[obm-l] RES: [obm-l] Questão de conjuntos
O total de pessoas que le revistas é: Pessoas que lêem SOMENTE 1 revista + Pessoas que lêem EXATAMENTE 2 revistas + Pessoas que lêem AS TRES revistas Tudo isso somado tem que dar 81 Logo: 61 + 17 + X = 81 X = 3 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de thor-oliveira Enviada em: sexta-feira, 13 de fevereiro de 2004 18:31 Para: obm-l Assunto: [obm-l] Questão de conjuntos Como se faz essa? Numa pesquisa para se avaliar a leitura de tres revistas A , B e C , descobriu-se que 81 pessoas leem , pelo menos , uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas leem duas das tres revistas.Assim sendo , o numero de pessoas mais informadas dentre as 81 eh : a) 3 b)5 c)12 d)29 e)37 __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] P.G.
Pn = (a1^n)*q^(n(n-1)/2) Então: 2^39 = (1^n)*2^[(1/2)*n(n-1)/2] 2^39 = 2^[n(n-1)/4] Logo: 39 = n(n-1)/4 n² -n + 156 = 0 n = 1 +-(25)/2 n=13 Acho que é isso... Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de pedro rajão Enviada em: quinta-feira, 12 de fevereiro de 2004 23:24 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] P.G. Uma progressão geométrica tem 1° termo igual a 1 e r=2^1/2 . Se o produto dos termos é 2^39 .: o nº de termos é = a ? MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] O Perímetro do Triângulo
Olá Renato! O problema da pra sair usando o conceito de base média dos triângulos... Tome o triangulo ADC. O segmento PR é base média desse triangulo, considerando-se AD como base, já que R é ponto médio de DC e P ponto médio de AC. Sendo assim, PR vale 3m. Analogamente, QR é base média de DBC. Valendo também 3m. Agora a importância da soma dos ângulos valerem 120°! PR e QR são paralelos a AD e BC. Então o ângulo PRQ pode ser medido com a soma dos ângulos internos desse triangulo: ^P + ^R + ^Q = 180. Mas ^P + ^Q = 120°. Então ^R = 60° Se ficar difícil visualizar que ^P + ^Q = ^A + ^B, trace uma paralela a AB passando por P ou Q, fica mais fácil de ver isso. Nesse caso temos em PRQ um triangulo isosceles, com os lados iguais medindo 3, e o ângulo entre esses lados medindo 60°. Percebe-se então que este triangulo na verdade é eqüilátero, o que faz o segmento PQ valer 3m também! O perímetro vale 9. Quaisquer problemas nas passagens é só avisar. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Renato de Brito Enviada em: quinta-feira, 12 de fevereiro de 2004 01:20 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] O Perímetro do Triângulo Gostaria da ajuda dos amigos nesta questão. ABCD é um quadrilátero onde AD=BC e os ângulos DAB e ABC somam 120º.Calcule o perímetro do triângulo PQR, sabendo que P é o ponto médio da diagonal AC, Q é o ponto médio da diagonal BD, R é o ponto médio do lado CDe que AD=6m.
RES: RES: RES: [obm-l] area de triangulo
Guilherme, creio que quando vc perguntou pq as circunferências são tangentes é pelo mesmo motivo que Fabio perguntou isso... Fabio, a rigor era pra ele ter dito no enunciado que elas são tangentes entre si mesmo. No entanto quando fui resolver o problema supus isso, porque do contrário o problema iria ter infinitas respostas. Pode-se colocar infinitas circunferências de raio 4 dentro de um triangulo arbitrário, mas se elas não forem tangentes entre si o problema teria infinitas respostas. O lado do triangulo no caso delas serem tangentes entre si é aprox. 21,86cm. Usando-se lados maiores que isso as circunferências teriam espaços de distancias indefinidas entre si(que não foram citados no enunciado), o que deixaria com infinitas respostas. Usando lados que fossem menores que isso elas estariam se interceptando em pontos que também não teriam sido citados no enunciado. É isso... =) Um abraço, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Fabio Henrique Enviada em: quarta-feira, 11 de fevereiro de 2004 18:01 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: RES: [obm-l] area de triangulo Não faltou dizer que as circunferências são tangentes entre si duas a duas? Em 10 Feb 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: ![endif]-- -- ![endif]-- Acho que é isso: http ://www. klystron . kit . net /triangulo.jpg -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e Silva Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52 Para: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br Assunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo bem ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil poderia mandar uma figura? Douglas Ribeiro Silva com. br wrote: Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt (3 ) +1) cm. Daí: A= L²sqrt (3 )/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED] com Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED] puc -rio. br Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ? Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND!
Não tenho certeza sobre o tal paradoxo, mas ao que me parece seria relativo ao processo de obtenção dessa corda. Escolhendo ao acaso uma corda de uma circunferência, qual é a probabilidade de que ela seja maior que o lado do triângulo equilátero inscrito nessa circunferência? Se escolhermos uma corda já pronta dentro da circunferência a probabilidade é diferente de considerar essa corda(que não deixa de ser um segmento de reta) formada pela união de 2 pontos escolhidos aleatoriamente na circunferência. No caso da corda já pronta acho que a probabilidade é 1/2. Traça-se o diâmetro da circunferência e considerando-se a corda perpendicular a este diâmetro, ela teria somente metade do segmento para ser maior que o lado do triangulo eqüilátero inscrito. Agora, se formarmos a corda por 2 pontos escolhidos aletoriamente teremos 2 possibilidades: a) o primeiro ponto cai dentro da circunferência concêntrica à citada no enunciado, e com raio de metade da mesma(Não sei se usei o português corretamente... O primeiro ponto cai dentro de uma circunferência de raio 2, se a circunferência citada no enunciado for de raio 4. Estas duas são concentricas). Se assim for, então o próximo ponto poderá cair onde quiser que ele será maior que o lado do triangulo eqüilátero inscrito. b) primeiro ponto cai dentro da circunferência concêntrica à citada no enunciado, e com raio de metade da mesma. Então teria-se que calcular a área em que o outro ponto poderia ser posto para satisfazer a condição do enunciado. Na verdade esse cálculo acho que é bem complicado... pois pelo que deu pra perceber existe uma probabilidade mínima e uma probabilidade máxima, que seriam respectivamente se o primeiro ponto caísse em cima da circunferência de raio maior, ou se o primeiro ponto caísse em cima da de raio menor. Por sinal eu gostaria de saber de alguém como seria o calculo dessa probabilidade média. Seria tomando uma área média? Ou fazendo a media das probabilidades mínima e máxima? Ou tanto faz? Heheheh eu realmente fiquei na duvida Não sei se é isso que realmente define o tal paradoxo, mas pelo que deu a entender é isso. Bem interessante! Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: quarta-feira, 11 de fevereiro de 2004 11:39 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] O PARADOXO DE BERTRAND! On Tue, Feb 10, 2004 at 08:26:56PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote: Turma! Alguma idéia a respeito do problema dos dados? Eu, particularmente, continuo na mesma, apesar de achar o raciocínio muito parecido com o da Penélope x Olívia, elucidado recentemente pelo Ralph. Enquanto isso, vejam abaixo um famoso paradoxo em que incrivelmente um problema sobre probabilidades passa a ter diversas respostas. Você quer dizer aquele que eu propus e repito abaixo? É muito difícil, e a dificuldade é combinatória, nada a ver com estes problemas de probabilidade com um raciocínio certo e outro errado. []s, N. PS: O que é o paradoxo de Bertrand? Tome uma coleção finita de dados. Os dados não precisam ter 6 faces, o número de faces é um inteiro positivo qq n, e as faces são numeradas de 1 a n. O valor de n (o número de faces) pode inclusive variar de um dado para outro, isto é, estamos misturando dados de vários tipos. A única restrição é que cada dado deve ser honesto, i.e., que em um dado com n faces cada face tem probabilidade 1/n. Os dados também são independentes uns dos outros, claro. Vamos jogar todos os dados da coleção e somar todos os números sorteados: chamemos esta soma de N. É bem fácil calcular os valores mínimo e máximo possível de N: Nmin é o número de dados e Nmax é o número total de faces de todos os dados. Seja Nm = (Nmin + Nmax)/2. Sejam N1 N2 = Nm. Prove que prob(N=N1) = prob(N=N2). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] area de triangulo
Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Daí: A= L²sqrt(3)/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ?
RES: RES: [obm-l] area de triangulo
Acho que é isso: http://www.klystron.kit.net/triangulo.jpg -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Guilherme Carlos Moreira e Silva Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 19:52 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] area de triangulo bem ñ entendi bem o enunciado da questao e por isto ela me pareceu facil poderia mandar uma figura? Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED]com.br wrote: Salvo engano sua área é 32[2sqrt(3) + 3] Bom, o ângulo formado entre um lado do triangulo e um dos vértices do triangulo até o centro da circunferência mais próxima desse vértice é 30°. Desse centro até o lado são 4cm, pois ela é tangente. Como o ângulo é de 30° então do ponto de tangência até o vértice do triangulo vai ser 4sqrt(3) cm. Isso obviamente vale pro outro lado do triângulo. Logo pra descobrir o tamanho do lado falta só o meio do lado que é um segmento de 8cm, formado pela união dos centros das circunferências internas de raio 4cm. Logo o lado do triângulo vale 4sqrt(3) + 8 + 4sqrt(3) = 8(sqrt(3) +1) cm. Daí: A= L²sqrt(3)/4 Desenvolvendo dá 32[2sqrt(3) + 3] cm² Avisem-me se por acaso saiu algo errado... Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de [EMAIL PROTECTED]com Enviada em: terça-feira, 10 de fevereiro de 2004 00:29 Para: [EMAIL PROTECTED]puc-rio.br Assunto: [obm-l] area de triangulo Ola pessoal, Imaginem um triangulo equilatero com 3 circunferencias de raio 4 cm inscritas neste triangulo. Cada lado do triangulo eh tangente a 2 circunferencia . Qual a area do triangulo ? Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
RES: [obm-l] Cubo de Rubik
Isso realmente é um fato que eu tenho percebido acontecer quase que rotineiramente aqui na lista. Infelizmente não possuo conhecimentos matemáticos muito além daqueles de um bom estudante de 2º grau e aluno de engenharia que acabou de pagar Cálculo 1, por isso não me manifesto em varias das mensagens. E quando surge uma que eu poderia dar alguma contribuição, alguém geralmente já o fez antes de mim... Bom, mas ainda assim gostaria que alguém que tivesse um conhecimento melhor de combinatória pudesse me mostrar qual o raciocínio usado para o calculo do cubo de rubik. Fael, eu vi a página do Cubo4D, já a tinha visto antes e peguei o programa... é bastante interessante e de certo modo complexo para fazer o exato movimento que você pensa em fazer hehehehe. Quanto ao Cubo5D não sei se isso pode ajudar, mas nessa pagina http://mathworld.wolfram.com/Hypercube.html tem uma imagem do Cubo5D ao topo e mostra também as planificação dos Cubos em N dimensões... o processo de obtenção da planificação é deveras interessante, pois podem ser obtidas fazendo sucessões de polígonos com lados pares, e utilizando sucessivas vezes 3 lados consecutivos como arestas de cubos3D situadas em eixos perpendiculares entre si. -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Carlos Maçaranduba Enviada em: domingo, 8 de fevereiro de 2004 13:46 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Cubo de Rubik e eu que pensava que era somente eu que me sentia assimvaleu pela observação.. --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, February 07, 2004 2:36 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Cubo de Rubik Ola, Fui eu quem enviou o problema dos bispos, resolvido brilhantemente pelo Nicolau. Eh uma pena que pouquissimas pessoas nesta lista se interessam por puzzles mecanicos de matematica. Haja vista que enviei um site de um cubo Rubick em 4 dimensoes e eu pedia para alguem me explicar como seria um de 5 dimensoes e ninguem quis responder. Eh sem duvida um assunto muito bonito. O que acontece e que a matematica eh muito extensa eh a tendencia eh que cada um responda ou envie mensagens novas quando se trata de assunto de que goste mais ou domine mais. Ateh mesmo por uma questao de tempo. Acho que a grande maioria dos participantes desta lista nao podem se dedicar aa matematica da forma como gostariam. Mesmo os maiores experts em Analise Complexa, Teoria dos Numeros, Integral de Lebesgue, etc tem que se preocupar em fazer valer a prosaica desigualdae Orcamento = Despesas, o que pode ser mais dificil do que provar a hipotese de Riemann. Eu mesmo jah enviei a esta lista uma 20 mensagens que ninguem comentou. Eh um tanto frustrante, mas o assunto, certamente, nao pareceu interessante aos outros participantes. O que eu realmente acho muito desagradavel eh quando alguem pede ajuda com algum problema, voce tenta ajudar e o principal interessado nao mais se manifesta. Fica-se com a impressao de se ter perdido tempo para nada. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! GeoCities: 15MB de espaço grátis para criar seu web site! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Cubo de Rubik
Olá pessoal, sei que não mando e-mails freqüentemente pra lista mas sempre estou lendo os enviados por vocês... Recentemente num dos e-mails que teve como assunto Extremamente Difícil que tratava sobre o problema dos bispos alguém citou o WinArc, que por sinal achei um software bem interessante pra matemática recreativa. Vi que o programa trazia os cubos de Rubik, de 1x1x1(sem propósito?!) até o 5x5x5, passando pelo famoso 3x3x3(vulgo cubo mágico). Fiquei curioso pra saber o numero de possíveis combinações do tal cubo e encontrei isso nesta pagina: http://mathworld.wolfram.com/RubiksCube.html Eles mostram o possível numero de combinações, mas eu gostaria que alguém se possível explicasse que fundamento foi usado para aquele cálculo. A propósito... eu tenho o clássico 3x3x3 e me interessei em adquirir o 4x4x4 e o 5x5x5. Gostaria também de ter um que é em formato de dodecaedro. Alguém sabe de algum lugar aqui no Brasil que venda? Eu moro em Recife e aqui já é difícil de encontrar o 3x3x3, os outros eu nunca vi pra vender pelo menos por aqui. Encontrei paginas no exterior que vendem, mas se tudo pudesse ser feito em território nacional seria melhor hehehe Até mais... Douglas Ribeiro
[obm-l] Círculo da Morte
Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou contar a historia como me foi proposta... Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o Rei lhe explicou qual era a situação: Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o último terá então a mão da minha filha. a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua esquerda o nº 2, e assim por diante, Em que posição do círculo o príncipe deverá ficar para permanecer vivo? b) E se o círculo tivesse k pessoas? Qual o que permaneceria vivo? Essa aqui não faz parte da questão mas eu fiquei curioso e resolvi propô-la: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos 99 prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? Eu resolvi o a) e o b) na época que me foram propostos, mas obtive a fórmula geral por tentativas e queria uma solução mais higiênica. A outra pergunta que eu propus não soube como resolver. Abraços, Douglas
[obm-l] RES: [obm-l] Círculo da Morte
É verdade... só que eu sem querer propus errado. Desculpe ehehehhe Alem do que creio que você se enganou, no caso seria 1/100 porque o príncipe é o 100º participante do circulo. Na hora que eu escrevi estava com um pouco de pressa e acabei me enganando... Corrigindo a proposição da probabilidade: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos k prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Qwert Smith Enviada em: quinta-feira, 11 de dezembro de 2003 17:33 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: RE: [obm-l] Círculo da Morte hmmm... a c) pareece facil de responder...tao facil ki deve estar errado... vamos supor ki o principe entra na posicao x... essa posicao so sobrevive se o prisioneiro que receber a espada estive em uma outra posicao y (relativa a x)... portanto as chance sao 1/99 de sobreviver, ja que tem 99 prisioneiros e so uma resultaria em sucesso para o principe From: Douglas Ribeiro Silva [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Círculo da Morte Date: Thu, 11 Dec 2003 16:53:09 -0300 Esse eu achei muito interessante... Eu poderia encurtar tudo mas vou contar a historia como me foi proposta... Durante ter vencido uma longa guerra, um Rei fez como prisioneiros 99 dos guerreiros de seu inimigo. Ele estava disposto a matá-los, mas não queria tirar suas vidas sem propósito. Arrumou então uma desculpa de casar sua filha, oferecendo a mão da moça a qualquer príncipe que aceitasse um desafio proposto por ele. Um certo dia um príncipe vindo de muito longe chegou ao reino e pediu a mão da moça. Prontamente, o Rei disse que teria que passar por um desafio e o príncipe aceitou. Então o Rei lhe explicou qual era a situação: Eu tenho 99 prisioneiros de guerra no calabouço. Irei dispô-los em forma circular, e darei uma espada a um deles. Logo após disso você irá adentrar no círculo em qualquer lugar que queira. O homem a receber a espada irá matar o que estiver a sua esquerda e passará a espada para o próximo a sua esquerda também. Este, que recebeu a espada, fará o mesmo. Matará o que está a sua esquerda e passará para o próximo, e assim sucessivamente até sobrar uma única pessoa no círculo. Se você for o último terá então a mão da minha filha. a) Considerando o homem que recebeu a espada como o nº 1, o da sua esquerda o nº 2, e assim por diante, Em que posição do círculo o príncipe deverá ficar para permanecer vivo? b) E se o círculo tivesse k pessoas? Qual o que permaneceria vivo? Essa aqui não faz parte da questão mas eu fiquei curioso e resolvi propô-la: Se a espada fosse entregue aleatoriamente para algum dos 99 prisioneiros só depois do príncipe entrar no círculo, qual a probabilidade dele ficar vivo no final? Eu resolvi o a) e o b) na época que me foram propostos, mas obtive a fórmula geral por tentativas e queria uma solução mais higiênica. A outra pergunta que eu propus não soube como resolver. Abraços, Douglas _ Take advantage of our best MSN Dial-up offer of the year six months @$9.95/month. Sign up now! http://join.msn.com/?page=dept/dialup = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] geometria2
Esse problema caiu na UFPE em 98 ou 99 creio eu... Faltou um dado: m(BÂC) = 20° -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Rogerio Ponce Enviada em: segunda-feira, 17 de novembro de 2003 20:24 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] geometria2 Olá Bruno, não dá mesmo p/ resolver , pois faltam dados. Conforme as condições dadas , ADE pode ser construído 0 . Mas , sem fugir ao enunciado , pode-se fazer ABC=60 , o que tornaria ADE=0 . Portanto ADE não é fixo . []´s Rogério Olá a todos, Estou com mais um probleminha de geometria, que não consigo resolver Desta vez acho q dá um número bonitinho. Aceito qualquer sugestão... Até, Bruno geometria2.gif _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Parabola estreita?!
Alguem saberia me dizer por favor o que é uma trajetória parabólica estreita? Vi esse termo num texto e não consegui compreender sobre que tipo de parábola se tratava. Também não sei se existe realmente a tal parábola estreita pois era um texto humorístico.
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua
Desculpe então Marcos, pois só faço parte da lista desde a segunda semana de setembro e como eu havia dito não sabia se o problema já tinha aparecido ou não. Não estou decepcionado pela aparição das funções inversas, só queria ter certeza que seria necessário usá-las na resposta final do problema. Quanto a notação que usei para elas, realmente admito que não é a correta, mas creio que deu pra entender o sentido que eu quis passar. A propósito, obrigado por ratificar o aparecimento das funções trigonométricas inversas. Um abraço, Douglas Ribeiro Silva -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 22:31 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua Antes de começar eu não sou o Marcos que é citado na resposta .. Também não vou resolver porque pelo jeito o problema já foi resolvido na lista pelo Cláudio. Eu soh queria mesmo comentar que esta eh a quinta vez que esse problema me aparece ESSE ano (nunca tinha aparecido antes...) e nas quatro vezes anteriores quando eu mostrei a solução TODOS fizeram a mesma pergunta como se tivessem ficado decepcionados pela aparição das funções trigonométricas inversas. Somente um detalhe POQ e PBQ eh q são os arcos cujos cossenos/senos/tangentes são descobertos no meio das contas feitas pra resolver o problema .. não tem muito sentido Arctan(PBQ) como está escrito na sua msg.. o q faz sentido eh Arctan(x) = PBQ. []'s MP -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Douglas Ribeiro Silva Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 22:10 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua Marcos, fiz uma breve figura no PaintBrush mesmo mas espero que dê para entender o propósito da questão... http://www.klystron.kit.net/lua.jpg A área da Lua que eu citei é a área que está em cinza. A propósito Cláudio... a resposta final do problema tem realmente que ficar em função do arccos/sen/tg de POQ e PBQ? Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Braga Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 18:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Área da Lua Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Incoming mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.512 / Virus Database: 309 - Release Date: 19/8/2003 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Área da Lua
Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Área da Lua
Marcos, fiz uma breve figura no PaintBrush mesmo mas espero que dê para entender o propósito da questão... http://www.klystron.kit.net/lua.jpg A área da Lua que eu citei é a área que está em cinza. A propósito Cláudio... a resposta final do problema tem realmente que ficar em função do arccos/sen/tg de POQ e PBQ? Abraços, Douglas Ribeiro -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Marcos Braga Enviada em: sábado, 25 de outubro de 2003 18:32 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Área da Lua Douglas , Eu não estou conseguindo visualizar a fugura , digo, um arco de circunferência de A para C com centro em B , teria como me ajudar ou enviar a figura ou um site que tnha a mesma ? Abçs , Marcos At 03:01 25/10/2003 -0300, you wrote: Esse problema me foi passado há algum tempo mas não consegui uma solução sucinta para ele. Não sei se o problema já foi discutido na lista, mas lá vai... Seja um quadrado ABCD de lado a. Inscreve-se no quadrado uma circunferencia. Traça-se um arco de circunferência de A para C com centro em B. Este arco intercepta a circunferência inscrita em 2 pontos. Qual a área dessa figura em forma de Lua? Não me lembro bem mas acho que alguém me disse certa vez que esse problema poderia ser feito de 2 maneiras, uma por geometria plana, outra por integral. Se possível gostaria de saber os 2 métodos. Abraços, Douglas. === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Cesar, não entendi se você queria saber a prova do fato de serem retângulos, ou de serem semelhantes, em todo caso estou enviando tudo... Prova-se que CFB é retângulo pelo fato de todo triangulo retângulo estar inscrito numa semi-circunferencia, onde o diâmetro da semi-circunferencia é a hipotenusa do triangulo retângulo, nesse caso BC é a hipotenusa, CF e FB os catetos. F é ângulo reto já que BÔC(Considere O ponto médio de BC e centro da circunferencia) vale 180°, e como F está sobre a circunferencia então CFB é metade de BÔC. Prova-se que DCB é retângulo simplesmente pelo enunciado da questão, já que ele diz que os triângulos são retângulo-isosceles. Logo, ACB = 45° e BCA = 45º, então DCB = 90° Para provar a semelhança dos 2 triangulos usa-se o fato deles terem em comum o ângulo de 90° e o ângulo CBF, já que F está contido no segmente BD, então CBF = CBD = arctg(1/2) Se tiver faltando alguma coisa, ou estiver algo errado, avise-me por favor. []'s Douglas -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi Kawakami Enviada em: sexta-feira, 24 de outubro de 2003 13:46 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley) At 02:01 24/10/2003, you wrote: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) Eu pensei nessa hipótese, e foi mera desatenção de minha parte mesmo... CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como você provou isso? Eu desenhei e também tive essa conclusão, mas não pude provar isso de modo satisfatório... Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RES: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley)
Bom, espero que eu não tenha errado, mas se encontrarem alguma falha, favor avisem... Item C: Se a circunferência tem diâmetro BC então o centro dela está no ponto médio de BC. (Creio que foi uma mera desatenção sua Cesar) CÁLCULO DE DF: Como F é a intersecção da circunferência com BD, então o triangulo CFB é retângulo. Nota-se que o triangulo DCB também é retângulo. Como os 2 triângulos citados são semelhantes(Possuem em comum o ângulo reto, e o ângulo B, logo o outro também é igual) pode-se aplicar uma regra de 3 simples: BD/BC = BC/BF (Uma das relações notáveis do triangulo retângulo geralmente mostrada como c² = a.m). BC² = BD.BF 2a² = (sqrt(10).a/2).BF BF = sqrt(10)2a/5 RESPOSTA: DF = (BD - BF) = sqrt(10).a/2 - sqrt(10)2a/5 LOGO DF = sqrt(10).a/10 CÁLCULO DE EF: Como CD/AD = 2, e percebe-se que os triangulos ADE e CEB são semelhantes, então BE/ED = 2, Logo BE é BD/3 RESPOSTA: EF = BF - BE = sqrt(10)2a/5 - sqrt(10).a/6 LOGO: EF = sqrt(10)7a/30 -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Cesar Ryudi Kawakami Enviada em: quinta-feira, 23 de outubro de 2003 22:19 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Geometria (Mr. Crowley) Prolongando BA e sendo M o pé da distância de D em relação à AB, e sendo N o pé da altura de D em relação à AC, teremos um quadrado de lado a/2 AMDN, pois CAD = 45º e ADN = 90º/2 = 45º, sendo ADN um triângulo isósceles de catetos a/2 (NDC congruente a ADN) Resolução item A: Assim, BM = 3a/2, e DM = a/2. Aplicando o Teorema de Pitágoras sobre o triângulo DMB temos que DB = sqrt(10).a/2. Retomando o fato de AMDN ser um quadrado, BM // DN. Como NDE = EBA (alternos internos), e AEB = DEN (opostos pelo vértice), os triângulos ABE e EDN são semelhantes. Colocando em proporção os lados homólogos, temos: AB/DN = AE/EN, ou, então, 2 = AE/EN Logo, 2(EN) = AE, e AE = 2(AN)/3. Assim, AE = AC/3 = a/3. Resolução item B: Aplicando pitágoras sobre o triângulo BAE, temos que BE = sqrt(10).a/3. Subtraindo, temos que DE = sqrt(10).a/6 O enunciado do C eu não entendi... circunferência de diâmetro BC, mas centro onde? Um abraço, Cesar Ryudi Kawakami At 03:05 23/10/2003, you wrote: Olá Pessoal, Me ajudem nesta questaum: Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum, e os vértices B e D situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. Nestes triângulos AB = AC = a e AD = CD. a) Calcule a diagonal BD, do quadrilátero ABCD. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. Calcule BE e ED. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. Calcule DF e EF. Grato Mr. Crowley ___ ___ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Provas da OBM
Olá pessoal, gostaria de saber se algum de vocês sabe me dizer onde há para download na Internet as provas da OBM anteriores ao ano de 1998. Eu realmente ficaria muito grato. Abraços...
