[obm-l] Problema

[benedito]

Problema 
Um mágico e seu assistente realizam um truque da maneira seguinte. Existem 12 
caixas vazias e fechadas, colocadas em fila. O mágico sai da sala e uma pessoa 
do público escolhe duas caixas e esconde em cada uma delas uma moeda, deixando 
a fila de caixas da mesma forma como era, mas o assistente sabe quais são as 
duas caixas que têm as moedas. O mágico retorna para a sala e o assistente 
escolhe uma caixa que ele sabe que está vazia. Das restantes, o mágico então 
escolhe quatro caixas que são abertas simultaneamente. O objetivo do mágico é 
que, entre essas quatro caixas, duas contenham as moedas. 
Desenvolva um método que permita que o mágico e seu assistente realizem a 
mágica com sucesso 


-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] PROBLEMA

[benedito]

Problema 


Um mágico e seu assistente realizam uma mágica da maneira seguinte. Há 12 
caixas vazias e fechadas, colocadas em fila. O mágico sai da sala e uma pessoa 
do público escolhe duas caixas e esconde em cada uma delas uma moeda, deixando 
a fila de caixas da mesma forma como era, mas o assistente sabe quais são as 
duas caixas que têm moedas. O mágico retorna para a sala e o assistente escolhe 
uma caixa que ele sabe que está vazia. Das restantes, o mágico então escolhe 
quatro caixas que são abertas simultaneamente. O objetivo do mágico é que, 
entre essas quatro caixas, duas contenham as moedas. 

Desenvolva um método que permita que o mágico e seu assistente realizem a 
mágica com sucesso. 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Problema

[benedito]

Bruno, 

Pelo que eu percebi, se as dimensões do tabuleiro quadrado forem pares, não se 
consegue estender para o padrão 2019 x 2019. Por isso, comecei tentando no 
tabuleiro 3 x 3. 
Benedito 


De: "Bruno Visnadi"  
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Segunda-feira, 26 de novembro de 2018 17:52:58 
Assunto: Re: [obm-l] Problema 

Tentei um tabuleiro 12x12 e consegui uma configuração que não tem nenhuma 
lâmpada ruim. Acho que dá para estender o padrão para um 2017x2017. Mas me 
parece que a paridade importa e talvez o caso 2017x2017 tenha um mínimo de uma 
lâmpada ruim. 
https://i.imgur.com/HhWrZzu.png 

Em seg, 26 de nov de 2018 às 09:27, Claudio Buffara < claudio.buff...@gmail.com 
> escreveu: 



Sem pensar muito no problema, aqui vai uma sugestão: tente com um tabuleiro 
menor, 4x4 ou 5x5, pra ver se acha algum padrão. 
[]s, 
Claudio. 

On Mon, Nov 26, 2018 at 9:52 AM < bened...@ufrnet.br > wrote: 

BQ_BEGIN

Alguém pode me dar uma sugestão para o problema seguinte? 

Problema 
Há uma lâmpada em cada casa de um tabuleiro 2019 x 2019 . Cada lâmpada está 
acesa ou apagada. Uma lâmpada é chamada de ruim se ela tem um número par de 
vizinhas que estão acesas. 
Qual é o menor número possível de lâmpadas ruins no tabuleiro? 
(Duas lâmpadas são vizinhas se elas se encontram em casas do tabuleiro que 
compartilham um lado.) 

NOTA -Tentei raciocinar com o tabuleiro no qual as casas estejam pintadas 
alternadamente de branco e preto. Desse modo, pode-se ver que como as vizinhas 
de uma casa branca são todas pretas, parece que uma casa ruim branca não 
influencia outra branca. Parece que o mesmo deve acontecer com as casas pretas. 
No caso particular do tabuleiro 3x3, encontrei que o número procurado é 1: 
B P B 
P B P 
B P B 

Obrigado. 

Benedito Freire 


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acredita-se estar livre de perigo. 

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[obm-l] Problema

[benedito]

Alguém pode me dar uma sugestão para o problema seguinte? 

Problema 
Há uma lâmpada em cada casa de um tabuleiro 2019 x 2019 . Cada lâmpada está 
acesa ou apagada. Uma lâmpada é chamada de ruim se ela tem um número par de 
vizinhas que estão acesas. 
Qual é o menor número possível de lâmpadas ruins no tabuleiro? 
(Duas lâmpadas são vizinhas se elas se encontram em casas do tabuleiro que 
compartilham um lado.) 

NOTA -Tentei raciocinar com o tabuleiro no qual as casas estejam pintadas 
alternadamente de branco e preto. Desse modo, pode-se ver que como as vizinhas 
de uma casa branca são todas pretas, parece que uma casa ruim branca não 
influencia outra branca. Parece que o mesmo deve acontecer com as casas pretas. 
No caso particular do tabuleiro 3x3, encontrei que o número procurado é 1: 
B P B 
P B P 
B P B 

Obrigado. 

Benedito Freire 


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Re: [obm-l] 'Nobel da Matemática' tem prêmio furtado no Rio - O Antagonista

[benedito]

Tudo que se pode dizer é um misto de vergonha, decepção e desalento. 
Benedito 



De: "Claudio Buffara"  
Para: obm-l@mat.puc-rio.br 
Enviadas: Quarta-feira, 1 de agosto de 2018 15:35:30 
Assunto: [obm-l] 'Nobel da Matemática' tem prêmio furtado no Rio - O 
Antagonista 

'Nobel da Matemática' tem prêmio furtado no Rio - O Antagonista 
Mais uma vez um brasileiro ganhou uma medalha Fields. Mas não de jeito que nos 
dá orgulho... 

https://www.oantagonista.com/sociedade/nobel-da-matematica-tem-premio-furtado-no-rio/
 

‘Nobel da Matemática’ tem prêmio furtado no Rio 
01.08.18 14:25 
    


Meia hora depois de receber a medalha Fields, o “Prêmio Nobel” da Matemática, 
em cerimônia no Rio, o iraniano Caucher Birkar teve a premiação furtada, 
informa O Globo. 

Segundo a segurança do Riocentro, onde ocorreu a cerimônia, o ladrão já foi 
identificado pelas câmeras do circuito interno. 

Birkar tinha deixado a medalha, a carteira e um celular dentro de uma pasta 
colocada sobre uma mesa. Acharam a pasta e o celular debaixo de uma 
arquibancada, mas nada de medalha. 

Foi a primeira entrega da medalha Fields no Brasil, onde se realiza o Congresso 
Mundial de Matemáticos neste ano. 

É bem provável que seja a última. Aqui, o número é sempre primo do crime. 


Enviado do meu iPhone 

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Re: [obm-l] Livro de Topologia

[benedito]

Luiz, 

Tem um texto muito interessante, publicado pela SBM, Topologia e Análise no 
Espaço R^n, de autoria do Ronaldo Freire Lima. Além disso, tem o clássico livro 
de Topologia, do Prof. Elon Lages Lima. 

Benedito 


De: "Luiz Antonio Rodrigues" <rodrigue...@gmail.com> 
Para: "OBM-L" <obm-l@mat.puc-rio.br> 
Enviadas: Terça-feira, 26 de setembro de 2017 12:47:24 
Assunto: Re: [obm-l] Livro de Topologia 

Olá, Matheus! 
Muito obrigado pela dica! 
Um abraço! 
Luiz 

On Sep 26, 2017 9:11 AM, "Matheus Secco" < matheusse...@gmail.com > wrote: 



Eu recomendo o do James Munkres. 

Em ter, 26 de set de 2017 às 09:04, Luiz Antonio Rodrigues < 
rodrigue...@gmail.com > escreveu: 

BQ_BEGIN

Olá, pessoal! 
Bom dia! 
Dei uma olhada na Amazon e vi muitos títulos de Topologia bem avaliados. São 
tantos que eu fiquei perdido... 
Alguém conhece um bom título? 
Muito obrigado e um abraço! 
Luiz 

-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
acredita-se estar livre de perigo. 
BQ_END


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acredita-se estar livre de perigo. 

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Livros

[benedito freire]

Por favor, escreva o nome do autor completo.Talvez eu possa 
conseguir


-Mensagem Original-
De: "Vanderlei Nemitz" 
Enviada em: ‎14/‎01/‎2016 11:12
Para: "OBM" 
Assunto: Re: [obm-l] Livros

Você tem algum deles, Regis? Eu tinha o PDF de dois deles, em Russo, mas o
pendrive estragou e perdi :(

Em 14 de janeiro de 2016 11:01, Jefferson Cândido 
escreveu:

> Muito bom! Se puder mandar também para meu e-mail, jjjeffer...@gmail.com,
> agradeço!
>
> Em 13 de janeiro de 2016 21:45, Vanderlei Nemitz 
> escreveu:
>
>> *PROBLEMAS DE ALTA DIFICULDAD - 300 Problemas Resolvidos*
>> *Métodos de Resoluções e Demonstrações de Desigualdades - ** 367
>> Problemas*
>> *Métodos Alternativos para a Resolução de Equações e Inequações - 350
>> Problemas Resolvidos*
>>
>> *Qualquer um desses já seria uma grande ajuda!*
>>
>> *Obrigado!*
>>
>> Em 13 de janeiro de 2016 21:33, regis barros 
>> escreveu:
>>
>>> Olá Vanderlei
>>> Quais livros do suprun você precisa?
>>>
>>> Regis
>>>
>>>
>>> Em Quarta-feira, 13 de Janeiro de 2016 14:35, Vanderlei Nemitz <
>>> vanderma...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>
>>> Boa tarde! Alguém tem os PDFs dos livros do Suprún? Pode ser até em
>>> russo mesmo! Ou mesmo tenha e queira vender os livros físicos? Preciso
>>> muito deles, mas está em falta.
>>>
>>> Obrigado!
>>>
>>>
>>>
>>
>
>
> --
> É preciso amar as pessoas como se não houvesse amanhã...
>
> Jefferson Cândido -
>

Re: [obm-l] Problema

[Benedito Tadeu V. Freire]

Rogério,

Olá. Muito obrigado.
Benedito

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com 
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Tue, 7 Jul 2015 19:43:31 -0300 
Subject: Re: [obm-l] Problema

 Ola' Benedito,
 Em modulo 5, existem cinco zeros, cinco grupos com 1,2,3,4 (onde 1 e' 
 complemento de 4, e 2 e' complemento de 3) , e o grupo 1,2.
 
 O jogador A vence se chegar ao final com um par complementar (em modulo 5), 
 e mais um numero qualquer, pois basta que ele entao apague este numero.
 
 Assim, o jogador A comeca apagando o 1, por exemplo.
 Imagine que este 1 pertencia ao grupo 1,2.
 Ficou sobrando um 2, que pode ser associado a um dos zeros, formando um par 
 que vou chamar de par estranho.
 
 Agora, alem desse par estranho 0,2 , existem doze grupos de pares 
 complementares ( dos tipos 0,0 , 1,4 e 2,3 ).
 A partir de entao, a cada jogada de B, A apaga o complemento.
 
 Observe que quando B apagar o primeiro dos cinco 0 existentes, A 
 considera que este zero pertence ao par estranho, e apaga o 2 associado.
 Da mesma forma, se B apagar o primeiro dos seis 2 existentes, A 
 considera que este 2 pertence ao par estranho, e entao apaga o 0 
 associado.
 
 Ou seja, sempre que B apagar um numero, A apaga o complemento.
 Ao final, sempre sobrara' um par complementar.
 
 []'s
 Rogerio Ponce
 
 2015-07-06 14:39 GMT-03:00 benedito freire bened...@ufrnet.br:
 
 
 Qual é realmente a estratégia para vencer?
 
---
De: Mauricio de Araujo
 Enviada em: ‎01/‎07/‎2015 14:24
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: Re: [obm-l] Problema
 
 [UTF-8?]​ou melhor, A deve evitar enquanto puder apagar algum múltiplo de 
 [UTF-8?]5.​
 
 Em 1 de julho de 2015 14:21, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 
 
 A não deve apagar nenhum múltiplo de 5.
 
 Em 1 de julho de 2015 14:19, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:
 
 
 [UTF-8?]​Ao final do jogo, A terá apagado 13 números e B 12 números (para 
 que sobre 2 números)... a estratégia vencedora de B seria apagar todos os 
 números 3(mod5) e 4(mod5) além de 3 números 0(mod5) dos quatro existentes, ou 
 seja, teria de executar 13 ações de apagar... como ele só joga 12 vezes A 
 vence sempre (desde que jogue com [UTF-8?]cuidado)..​
 
 Em 1 de julho de 2015 13:30, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:
 
 
 Bom dia !
 Está errado o jogador pode escolher a sobra de E ou F antes de cabarem todos 
 os números. Necessita de reanálise.
 
 -- Mensagem encaminhada --
 De: Pedro José petroc...@gmail.com
 Data: 1 de julho de 2015 10:54
 Assunto: Re: [obm-l] Problema
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 
 Bom dia!
  
  
 E={1,6,11,16,21,26} e F= {4,9,14,19,24} Para qualquer par (a,b) com a ÆÂ E e 
 b Ɛ F == a + b ≡ 0 (mod5).
 G= {2, 7, 12, 17, 22,27} e H = {3, 8, 13, 18, 23} Para qualquer  (a,b) com a 
 Ɛ G e bƐ H == a + b ≡ 0 (mod5).
 J= {5, 15, 20, 25} Para qualquer par (a,b) com a,b Ɛ J== a + b ≡ 0 (mod5).
  
 O jogador A só ganha se restarem dois números pertencentes a J, um a G e 
 outro a H, um a E e outro a F.
 Portanto o jogador B vence fácil.
  
 Basta para cada escolha  a do jogador A que inicia, o jogador B deve escolher 
 -a | a + (-a) ≡0 (mod5).
  
 Se A escolhe em E, B escolhe em F e vice-versa.
 Se A escolhe em G, B escolhe em H e vice-versa.
 Se A escolhem J, B escolhe em J.
  
 Como a cardinalidade de E e G é maior que a cardinalidade de F e H e a 
 cardinalidade de J é par, ao final sobrarão um elemento s Æ E e t Ɛ  F | s 
 + t ≡ 3 (mod5) 
 
 Saudações,
 PJMS
  
 
 Em 1 de julho de 2015 06:46, bened...@ufrnet.br escreveu:
 
 
 Problema
 
 Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O 
 jogador A começa. Uma jogada consiste em apagar um dos números inteiros do 
 conjunto {1, 2, 3,..., 27} até que reste somente dois números. Se a soma 
 desses dois últimos números for divisível por 5, o jogador A vence, caso 
 contrário, vence o jogador B.
 Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual é a 
 estratégia para vencer?
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
 acredita-se estar livre de perigo.
 
 
 -- 
 
 Abraços
 
 [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
 
 
 
 
 -- 
 
 Abraços
 
 [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
 
 
 
 
 -- 
 
 Abraços
 
 [UTF-8?]oɾnɐɹɐ [UTF-8?]ǝp [UTF-8?]oıɔıɹnɐɯ
 
 
 
 [A mensagem original inteira não está incluída.]
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 acredita-se estar livre de perigo.
 
 --
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 acredita-se estar livre de perigo.
--- End of Original Message ---
 

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Esta mensagem foi verificada pelo

RE: [obm-l] Problema

[benedito freire]

Obrigado Gugu

-Mensagem Original-
De: g...@impa.br g...@impa.br
Enviada em: ‎09/‎07/‎2015 17:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: fe...@impa.br fe...@impa.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema

Caro Benedito,
Encaminho abaixo a solução do Renan Finder, que é ex-olímpico e  
aluno do IMPA, e mostra que A tem estratégia para ganhar:

Chamamos de classe n o conjunto dos números remanescentes que são  
congruentes a n
módulo 5. O jogador A vence se tentar minimizar a quantidade
  |#(classe 1) - #(classe 4)| + |#(classe 2) - #(classe 3)|, que  
chamamos de desequilíbrio.

Prova: inicialmente o desequilíbrio é igual a 2. Após a primeira  
jogada de A, o
desequilíbrio será igual a 1. O jogador B pode, por algumas rodadas,  
aumentar o
desequilíbrio, mas no turno de A ele sempre voltará a ser igual a 1.  
Em alguma jogada, B apagará um número da classe 5 ou tornará o  
desequilíbrio nulo. No primeiro caso, A tornará o desequilíbrio nulo;  
no segundo, restarão quatro números na classe 5 e A poderá apagar um  
deles. A partir daí, A poderá sempre manter o desequilíbrio nulo, logo  
vencerá.

Abraços,
  Gugu

Quoting bened...@ufrnet.br:

 Problema
 Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam   
 alternadamente. O jogador A começa. Uma jogada consiste em apagar um  
  dos números inteiros do conjunto {1, 2, 3,..., 27} até que reste   
 somente dois números. Se a soma desses dois últimos números for   
 divisível por 5, o jogador A vence, caso contrário, vence o jogador B.
 Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual   
 é a estratégia para vencer?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.






This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Problema

[benedito freire]

Obrigado Gugu

-Mensagem Original-
De: g...@impa.br g...@impa.br
Enviada em: ‎09/‎07/‎2015 17:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Cc: fe...@impa.br fe...@impa.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema

Caro Benedito,
Encaminho abaixo a solução do Renan Finder, que é ex-olímpico e  
aluno do IMPA, e mostra que A tem estratégia para ganhar:

Chamamos de classe n o conjunto dos números remanescentes que são  
congruentes a n
módulo 5. O jogador A vence se tentar minimizar a quantidade
  |#(classe 1) - #(classe 4)| + |#(classe 2) - #(classe 3)|, que  
chamamos de desequilíbrio.

Prova: inicialmente o desequilíbrio é igual a 2. Após a primeira  
jogada de A, o
desequilíbrio será igual a 1. O jogador B pode, por algumas rodadas,  
aumentar o
desequilíbrio, mas no turno de A ele sempre voltará a ser igual a 1.  
Em alguma jogada, B apagará um número da classe 5 ou tornará o  
desequilíbrio nulo. No primeiro caso, A tornará o desequilíbrio nulo;  
no segundo, restarão quatro números na classe 5 e A poderá apagar um  
deles. A partir daí, A poderá sempre manter o desequilíbrio nulo, logo  
vencerá.

Abraços,
  Gugu

Quoting bened...@ufrnet.br:

 Problema
 Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam   
 alternadamente. O jogador A começa. Uma jogada consiste em apagar um  
  dos números inteiros do conjunto {1, 2, 3,..., 27} até que reste   
 somente dois números. Se a soma desses dois últimos números for   
 divisível por 5, o jogador A vence, caso contrário, vence o jogador B.
 Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual   
 é a estratégia para vencer?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
  acredita-se estar livre de perigo.






This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

RE: [obm-l] Problema

[benedito freire]

Qual é realmente a estratégia para vencer?

-Mensagem Original-
De: Mauricio de Araujo mauricio.de.ara...@gmail.com
Enviada em: ‎01/‎07/‎2015 14:24
Para: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema

​ou melhor, A deve evitar enquanto puder apagar algum múltiplo de 5.​

Em 1 de julho de 2015 14:21, Mauricio de Araujo 
mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 A não deve apagar nenhum múltiplo de 5.

 Em 1 de julho de 2015 14:19, Mauricio de Araujo 
 mauricio.de.ara...@gmail.com escreveu:

 ​Ao final do jogo, A terá apagado 13 números e B 12 números (para que
 sobre 2 números)... a estratégia vencedora de B seria apagar todos os
 números 3(mod5) e 4(mod5) além de 3 números 0(mod5) dos quatro existentes,
 ou seja, teria de executar 13 ações de apagar... como ele só joga 12 vezes
 A vence sempre (desde que jogue com cuidado)..​

 Em 1 de julho de 2015 13:30, Pedro José petroc...@gmail.com escreveu:

 Bom dia !
 Está errado o jogador pode escolher a sobra de E ou F antes de cabarem
 todos os números. Necessita de reanálise.
 -- Mensagem encaminhada --
 De: Pedro José petroc...@gmail.com
 Data: 1 de julho de 2015 10:54
 Assunto: Re: [obm-l] Problema
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br



 Bom dia!


 E={1,6,11,16,21,26} e F= {4,9,14,19,24} Para qualquer par (a,b) com a Ɛ E
 e b Ɛ F == a + b ≡ 0 (mod5).
 G= {2, 7, 12, 17, 22,27} e H = {3, 8, 13, 18, 23} Para qualquer  (a,b)
 com a Ɛ G e b Ɛ H == a + b ≡ 0 (mod5).
 J= {5, 15, 20, 25} Para qualquer par (a,b) com a,b Ɛ J== a + b ≡ 0
 (mod5).

 O jogador A só ganha se restarem dois números pertencentes a J, um a G e
 outro a H, um a E e outro a F.
 Portanto o jogador B vence fácil.

 Basta para cada escolha  a do jogador A que inicia, o jogador B deve
 escolher -a | a + (-a) ≡ 0 (mod5).

 Se A escolhe em E, B escolhe em F e vice-versa.
 Se A escolhe em G, B escolhe em H e vice-versa.
 Se A escolhem J, B escolhe em J.

 Como a cardinalidade de E e G é maior que a cardinalidade de F e H e a
 cardinalidade de J é par, ao final sobrarão um elemento s Ɛ E e t Ɛ  F
 | s + t ≡ 3 (mod5)
 Saudações,
 PJMS


 Em 1 de julho de 2015 06:46, bened...@ufrnet.br escreveu:

 Problema
 Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O
 jogador A começa. Uma jogada consiste em apagar um dos números inteiros do
 conjunto {1, 2, 3,..., 27} até que reste somente dois números. Se a soma
 desses dois últimos números for divisível por 5, o jogador A vence, caso
 contrário, vence o jogador B.
 Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual é a
 estratégia para vencer?

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.




 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ




 --
 Abraços

 oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ




-- 
Abraços

oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.



[A mensagem original inteira não está incluída.]
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Problema

[benedito]

Problema 
Dois jogadores, A e B, disputam um jogo, em que jogam alternadamente. O jogador 
A começa. Uma jogada consiste em apagar um dos números inteiros do conjunto {1, 
2, 3,..., 27} até que reste somente dois números. Se a soma desses dois últimos 
números for divisível por 5, o jogador A vence, caso contrário, vence o jogador 
B. 
Se cada jogador faz suas melhores jogadas, quem vence: A ou B? Qual é a 
estratégia para vencer? 

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

[Benedito Tadeu V. Freire]

Pedro,

7 é o inverso de 7 módulo 12

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Pedro Chaves brped...@hotmail.com 
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 
Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)

 Caros Colegas, 
 
 A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por congruência?  Não 
 consegui. 
 
 Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. 
 
 Abraços. 
 Pedro Chaves          
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[obm-l] Problema Legal

[benedito]

Problema para o Nível  I  - (De uma lista de problemas para treinamento da
OMA)

(a)Dois jogadores, A e B, disputam o seguinte jogo:

* O jogador A escolhe 4 números naturais distintos e escreve num
papel todas as somas de dois desses números (são 6 números)

* O jogador B ganha se encontra os 4 números escolhidos por A; caso
contrário, ganha o jogador A.

  O jogador A pode escolher os 4 números para que seja impossível B
ganhar?

(b)   No mesmo jogo descrito em (a), mas agora o jogador A escolhe 5 números
naturais distintos e escreve as 10 somas de dois dos números. Novamente,
determinar se o jogador A pode escolher os 5 números para que seja
impossível o jogador  B ganhar.





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RES: [obm-l] Primos entre si

[benedito]

Experimente  b = a+1



De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de marcone augusto araújo borges
Enviada em: sexta-feira, 8 de agosto de 2014 19:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Primos entre si



Mostre que existem infinitos n tais que a + n e b + n são primos entre si




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[obm-l] Problema do Cavalo

[Benedito]

Encontrei uma solução bonita e elementar para este problema no artigo: 
Counting the Number of Squares Reaachable in k Knight's Moves, por Amanda M 
Miller e David L. Farnsworth, Open Journal of Discrete Mathematics, 2013, 3, 
151-154.
Valeu a pena estudar o problema.
Benedito.

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
terence thirteen
Enviada em: segunda-feira, 24 de fevereiro de 2014 13:12
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

Uma pergunta além: você quer saber quantas casas foram atingidas ao final do 
percurso, certo? No seguinte sentido:

No primeiro passo, ele pode atingir até 4 casas. Na segunda, estas 4 casas não 
contam mais, mas apenas os lugares a partir do qual elas chegam.

Em 19/02/14, Beneditobened...@ufrnet.br escreveu:
 OK Bernado.
 Vou dar uma olhada.
 Obrigado.
 Benedito

 -Mensagem original-
 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
 nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: terça-feira, 18 de
 fevereiro de 2014 18:00
 Para: Lista de E-mails da OBM
 Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

 2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito bened...@ufrnet.br:

 É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos.

 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
 nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro
 de
 2014 08:16
 Para: obm-l
 Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

 Ele é infinito nos quatro quadrantes?

 Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar
 antes...

 Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja:
 Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar
 uma seqüência de N movimentos. Assim, para n = 1, temos 8 casas
 (brancas), e para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta 
 original!).

 Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra):

 8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; 

 Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer
 indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá:

 25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ...

 Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as
 diferenças:

 18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ...

 Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um
 certo ponto...

 Vamos entender essa idéia. No longo prazo, o cavalo vai se afastando
 do centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2.
 Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O
 que é interessante é que a parte perto do centro (depois do início,
 onde ainda há um monte de buracos meio aleatórios) estará 
 completamente coberta depois de um certo tempo, e o que interessa é o
 que acontece nas coroas. Agora, tem que justificar que as coroas têm
 uma espessura constante depois de passada a parte transiente
 inicial.

 Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por
 exemplo n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é
 mais do que suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas
 admito que falta um argumento garantindo que basta observar um número
 finito de passos
 para
 acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo completa a
 vizinhança do ponto inicial (o 3x3 em volta da
 origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na
 profundidade 3 do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem
 muito maior do que isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos,
 o que temos é um octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que
 são os únicos em que o cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é
 difícil ver que a cada etapa teremos um octógono com lado aumentando
 de 1 a cada vez. Veja também que a partir do 3o termo da segunda
 diferença, só tem 14. Não é coincidência.

 Agora, eu deixo a indução para você completar!

 Abraços,
 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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 === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Problema do Cavalo

[Benedito Tadeu V. Freire]

No primeiro passo, existem 8 possibilidades para o cavalo atingir.

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Mon, 24 Feb 2014 13:12:27 -0300 
Subject: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

 Uma pergunta além: você quer saber quantas casas foram atingidas ao 
 final do percurso, certo? No seguinte sentido: 
 
 No primeiro passo, ele pode atingir até 4 casas. Na segunda, estas 4 
 casas não contam mais, mas apenas os lugares a partir do qual elas 
 chegam. 
 
 Em 19/02/14, Beneditobened...@ufrnet.br escreveu: 
  OK Bernado. 
  Vou dar uma olhada. 
  Obrigado. 
  Benedito 
  
  -Mensagem original- 
  De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome 
  de Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00 
  Para: Lista de E-mails da OBM 
  Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 
  
  2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito bened...@ufrnet.br: 
  
  É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos. 
  
  De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em 
  nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 
  2014 08:16 
  Para: obm-l 
  Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo 
  
  Ele é infinito nos quatro quadrantes? 
  
  Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar 
  antes... 
  
  Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja: 
  Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma 
  seqüência de N movimentos. Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e 
  para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!). 
  
  Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra): 
  
  8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ... 
  
  Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer 
  indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá: 
  
  25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ... 
  
  Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as 
  diferenças: 
  
  18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ... 
  
  Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo 
  ponto... 
  
  Vamos entender essa idéia. No longo prazo, o cavalo vai se afastando do 
  centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2. 
  Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é 
  interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há 
  um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de 
  um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas coroas. Agora, tem 
  que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada 
  a 
  parte transiente 
  inicial. 
  
  Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por 
  exemplo 
  n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que 
  suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta 
  um argumento garantindo que basta observar um número finito de passos 
  para 
  acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo completa a vizinhança 
  do ponto inicial (o 3x3 em volta da 
  origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3 
  do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que 
  isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um 
  octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que 
  o 
  cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa 
  teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a 
  partir do 3o termo da segunda diferença, só tem 14. Não é coincidência. 
  
  Agora, eu deixo a indução para você completar! 
  
  Abraços, 
  -- 
  Bernardo Freitas Paulo da Costa 
  
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  livre de perigo. 
  
  
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RES: [obm-l] Problema do Cavalo

[Benedito]

OK Bernado.
Vou dar uma olhada.
Obrigado.
Benedito

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Bernardo Freitas Paulo da Costa
Enviada em: terça-feira, 18 de fevereiro de 2014 18:00
Para: Lista de E-mails da OBM
Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

2014-02-18 14:30 GMT-03:00 Benedito bened...@ufrnet.br:

 É infinito nos quatro quadrantes, que é para permitir muitos movimentos.

 De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em
 nome de terence thirteen Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de
 2014 08:16
 Para: obm-l
 Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo

 Ele é infinito nos quatro quadrantes?

 Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes...

Eu tenho uma idéia de solução no braço. Supondo que a questão seja:
Qual é o número de casas diferentes em que um cavalo pode terminar uma
seqüência de N movimentos. Assim, para n = 1, temos 8 casas (brancas), e
para n = 2 temos 33 casas (pretas, incluindo a casa preta original!).

Para n maior, a seqüência fica assim (feito num computador, na marra):

8; 33; 76; 129; 196; 277; 372; 481; 604; 741; 892; 1057; 1236; 1429; ...

Agora, vem o chute principal (que é o que vai ajudar a gente a fazer
indução): Calcule as diferenças sucessivas dos elementos! Isso dá:

25; 43; 53; 67; 81; 95; 109; 123; 137; 151; 165; 179; 193; ...

Ainda não parece bom ? Não tem problema... Mais uma vez, faça as diferenças:

18; 10; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; 14; ...

Ah ! Parece que é uma PA de segunda ordem, a partir de um certo
ponto...

Vamos entender essa idéia. No longo prazo, o cavalo vai se afastando do
centro, e portanto ele pode cobrir uma área no máximo proporcional a N^2.
Isso por si só já justifica tentar achar uma PA de segunda ordem. O que é
interessante é que a parte perto do centro (depois do início, onde ainda há
um monte de buracos meio aleatórios) estará completamente coberta depois de
um certo tempo, e o que interessa é o que acontece nas coroas. Agora, tem
que justificar que as coroas têm uma espessura constante depois de passada a
parte transiente
inicial.

Como eu usei um computador, e posso calcular mais do que n = 10 (por exemplo
n = 100) e os 14 continuam até esse ponto. Para mim, isso é mais do que
suficiente para eu ter certeza que a resposta é essa, mas admito que falta
um argumento garantindo que basta observar um número finito de passos para
acertar a recorrência. Eu diria que, como um cavalo completa a vizinhança
do ponto inicial (o 3x3 em volta da
origem) em uma quantidade finita de passos (basta chegar na profundidade 3
do grafo do Torres) a recorrência não pode ser de ordem muito maior do que
isso. Para melhorar, veja que a partir de 3 passos, o que temos é um
octógono, TODO preenchido, dos quadrados brancos (que são os únicos em que o
cavalo pode estar!). Daí pra frente, não é difícil ver que a cada etapa
teremos um octógono com lado aumentando de 1 a cada vez. Veja também que a
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[Benedito]

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De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
terence thirteen
Enviada em: segunda-feira, 17 de fevereiro de 2014 08:16
Para: obm-l
Assunto: Re: [obm-l] Problema do Cavalo



Ele é infinito nos quatro quadrantes?

Eu tentaria algo como construir um grafo infinito, mas vou pensar antes...





Em 10 de fevereiro de 2014 09:11, Benedito bened...@ufrnet.br 
mailto:bened...@ufrnet.br  escreveu:

Estou tentando uma solução para o problema seguinte, usando Indução. Alguém 
pode me ajudar?

Problema

Num tabuleiro infinito, um cavalo (peça do jogo de xadrez) está situado na 
origem, digamos numa casa preta, e começa a se movimentar.

No total, quantas casas possíveis o cavalo pode atingir depois de n movimentos?

Nota - O movimento de um cavalo no jogo de xadrez é em forma de L (formado por 
4 casas, a partir da casa em que se encontra)



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[obm-l] Problema do Cavalo

[Benedito]

Estou tentando uma solução para o problema seguinte, usando Indução. Alguém
pode me ajudar?

Problema

Num tabuleiro infinito, um cavalo (peça do jogo de xadrez) está situado na
origem, digamos numa casa preta, e começa a se movimentar.

No total, quantas casas possíveis o cavalo pode atingir depois de n
movimentos?

Nota - O movimento de um cavalo no jogo de xadrez é em forma de L (formado
por 4 casas)



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[obm-l] Problema de Joseph Modificado

[Benedito]

Alguém tem uma sugestão:

 

No Problema de Josephus (Colocam-se 41 pessoas num círculo e de três em três
elimina-se uma pessoas até que restam somente duas. Em  que posições devem
ocupar duas pessoas para sobreviverem ?), se não soubéssemos quantos eram as
pessoas  mas, conhecendo de qual lugar iria começar a contagem, como
descobrir em que lugar devem sentar os dois pretendentes a sobreviventes?

 

Benedito

 


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RES: [obm-l] Fatores 3

[Benedito]

Observe que, no produto 3.9.15...99 existem 17 fatores, pois 3,9,15,...,99  
estão em progressão aritmética de razão 6.

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
faraujoco...@yahoo.com.br
Enviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 20:52
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Fatores 3

 

Perdão.  Sao nos inteiros.  

A única coisa que não entendi foi o expoente 17.  

Enviado via iPhone


Em 07/09/2013, às 20:30, terence thirteen peterdirich...@gmail.com 
mailto:peterdirich...@gmail.com  escreveu:

Um terço tem o fator 3

Um nono tem o fator 9

Um 27-avos tem o fator 27

 

E assim por diante...

 

Em 7 de setembro de 2013 18:24, Benedito bened...@ufrnet.br 
mailto:bened...@ufrnet.br  escreveu:

Resposta 32.
( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = (3.9.15...99)(1.5.7...97) = 3^17(1.3.5...33). 
(1.5.7...97) = 3^17.(3.9.15...33)(1.5.7...97)
                                    = 
3^17.3^11.(1.3.5.7.9.10.11).(1.5.7...97) = 3^28.(3.6.9).(1.5.7.10.11). 
)(1.5.7...97) = 3^28. 3^3(1.2.3).(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97) =
                                    = 3^32 (1.2) 
.(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br  
[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br ] Em 
nome de faraujoco...@yahoo.com.br mailto:faraujoco...@yahoo.com.br 
Enviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 13:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
Assunto: [obm-l] Fatores 3


Olá.
Tenho uma duvida p. discutirmos.
Fatorando o produto dos 100 primeiros impares qual quantidade máxima de 
fatores 3?

( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = 3^k [k max.]

Enviado via iPhone
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Instru  es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em

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RES: [obm-l] Fatores 3

[Benedito]

Resposta 32.
( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = (3.9.15...99)(1.5.7...97) = 3^17(1.3.5...33). 
(1.5.7...97) = 3^17.(3.9.15...33)(1.5.7...97)
= 3^17.3^11.(1.3.5.7.9.10.11).(1.5.7...97) 
= 3^28.(3.6.9).(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97) = 3^28. 3^3(1.2.3).(1.5.7.10.11). 
)(1.5.7...97) =
= 3^32 (1.2) .(1.5.7.10.11). )(1.5.7...97

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
faraujoco...@yahoo.com.br
Enviada em: sábado, 7 de setembro de 2013 13:32
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Fatores 3

Olá.  
Tenho uma duvida p. discutirmos. 
Fatorando o produto dos 100 primeiros impares qual quantidade máxima de fatores 
3?

( 1.3.5.7.9. ... .99 ) = 3^k [k max.]

Enviado via iPhone
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Instru  es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Problema Interessante e seu enucnciado

[Benedito]

Um problema interessante – O enunciado correto:

 

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012^2  triângulos
equiláteros menores, todos de lado 1

mediante paralelas ao seus lados. Em cada vértice de um triângulo menor há
uma formiga. No mesmo instante, 

todas as formigas começam a caminhar com a mesma velocidade pelas retas da
triangulação.

Ao chegar  a outro vértice giram 60º ou 120º à esquerda ou à direita e
seguem movendo-se.

Determinar se é possível que este movimento se desenvolva para sempre sem
ter  nunca duas

formigas em um mesmo vértice de um triângulo menor.

 


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RES: [obm-l] Problemas interessantes

[Benedito]

Você está correto quando à sua observação.  Foi um equívoco.  O certo é:

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012  triângulos
equiláteros  de lado 1.

 

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Eduardo Wilner
Enviada em: sábado, 24 de agosto de 2013 21:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problemas interessantes

 

Um triângulo  equilátero de lado n se divide em n triângulos de lado 1
???!!!

 

 

  _  

De: Benedito bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br  
Enviadas: Quinta-feira, 22 de Agosto de 2013 4:39
Assunto: [obm-l] Problemas interessantes

 

Segue dois problemas interessantes.

Benedito

 

Problema 1

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012  triângulos
equiláteros menores de lado 1

mediante paralelas ao seus lados. Em cada vértice de um triângulo menor há
uma formiga. No mesmo instante, 

todas as formigas começam a caminhar com a mesma velocidade pelas retas da
triangulação.

Ao chegar  a outro vértice giram 60º ou 120º à esquerda ou à direita e
seguem movendo-se.

Determinar se é possível que este movimento se desenvolva para sempre sem
ter  nunca duas

formigas em um mesmo vértice de um triângulo menor.

 

Problema 2

Associar aos vértices de um polígono convexo de 33 lados os números inteiros
de 1 a 33, sem repetir, e em seguida, associar aos lados do polígono a soma
dos números de seus extremos. 

O objetivo é que os números associados aos lados sejam 33 inteiros
consecutivos ordenados.


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RES: [obm-l] Problemas interessantes

[Benedito]

Eduardo,

A sua observação faz sentido. O que falta é a vírgula !!!:

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012  triângulos
equiláteros menores, de lado 1.

 

Obrigado.

Benedito

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Eduardo Wilner
Enviada em: sábado, 24 de agosto de 2013 21:31
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Problemas interessantes

 

Um triângulo  equilátero de lado n se divide em n triângulos de lado 1
???!!!:



 

 

  _  

De: Benedito bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br 
Para: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br  
Enviadas: Quinta-feira, 22 de Agosto de 2013 4:39
Assunto: [obm-l] Problemas interessantes

 

Segue dois problemas interessantes.

Benedito

 

Problema 1

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012  triângulos
equiláteros menores de lado 1

mediante paralelas ao seus lados. Em cada vértice de um triângulo menor há
uma formiga. No mesmo instante, 

todas as formigas começam a caminhar com a mesma velocidade pelas retas da
triangulação.

Ao chegar  a outro vértice giram 60º ou 120º à esquerda ou à direita e
seguem movendo-se.

Determinar se é possível que este movimento se desenvolva para sempre sem
ter  nunca duas

formigas em um mesmo vértice de um triângulo menor.

 

Problema 2

Associar aos vértices de um polígono convexo de 33 lados os números inteiros
de 1 a 33, sem repetir, e em seguida, associar aos lados do polígono a soma
dos números de seus extremos. 

O objetivo é que os números associados aos lados sejam 33 inteiros
consecutivos ordenados.


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[obm-l] Problemas interessantes

[Benedito]

Segue dois problemas interessantes.

Benedito

 

Problema 1

Um triângulo equilátero de lado 2012 está dividido em 2012  triângulos
equiláteros menores de lado 1

mediante paralelas ao seus lados. Em cada vértice de um triângulo menor há
uma formiga. No mesmo instante, 

todas as formigas começam a caminhar com a mesma velocidade pelas retas da
triangulação.

Ao chegar  a outro vértice giram 60º ou 120º à esquerda ou à direita e
seguem movendo-se.

Determinar se é possível que este movimento se desenvolva para sempre sem
ter  nunca duas

formigas em um mesmo vértice de um triângulo menor.

 

Problema 2

Associar aos vértices de um polígono convexo de 33 lados os números inteiros
de 1 a 33, sem repetir, e em seguida, associar aos lados do polígono a soma
dos números de seus extremos. 

O objetivo é que os números associados aos lados sejam 33 inteiros
consecutivos ordenados.


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RES: [obm-l] Dois problemas legais

[Benedito]

Uma sugestão para o problema 2: 

Divida o tabuleiro 10 por 10 em dois sub- tabuleiros 5 por 10. 

Com 25 movimentos ou menos você coloca todos os pares em um dos
sub-tabuleiros e no outro os ímpares.

Questão: Como resolver o problema para as duas colunas (5 e 6), do encontro
dos pares com os ímpares, em, no máximo, 10 movimentos?

Benedito

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Henrique Rennó
Enviada em: quarta-feira, 10 de julho de 2013 13:06
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Dois problemas legais

 

Eu havia pensado que o 35 teria uma relação (e deve ter) com a quantidade de
primos máxima (cada primo seria uma soma), mas a quantidade de primos
possíveis é 45 e não 35 (desconsiderando o 2, já que não é possível
representá-lo pela soma de dois números no tabuleiro).

2013/7/10 saulo nilson saulo.nil...@gmail.com
mailto:saulo.nil...@gmail.com 

os numeros primos possiveis de se encontrar tem o valor e no maximo 199, que
contando tudo da 35 numeros entao vc tem que fazer no maximo 35 operaçoes
para nao enconrar eles.

 

2013/7/6 Benedito bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br 

Problema 1

Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por  9 em quadradinhos
unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os
quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e
sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser
dobrados ao meio.

Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. 

 

Problema 2

Escrevem-se os números 1,2,3,...,100  nas casas de um tabuleiro 10 por 10,
sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma
operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que
estão escritos nelas. 

Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que
se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas
escritas seja um número composto.

OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum.

  


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Henrique

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[obm-l] Dois problemas legais

[Benedito]

Problema 1

Divide-se as faces de um cubo de dimensões 9 por 9 por  9 em quadradinhos
unitários. Dispõe-se de 243 cartões na forma retangular 2 por 1, com os
quais vamos cobrir todas a superfície do cubo, sem deixar espaços livres, e
sem sobreposição de cartões. Para poder fazer isto, alguns cartões devem ser
dobrados ao meio.

Prove que a quantidade de cartões dobrados é ímpar. 

 

Problema 2

Escrevem-se os números 1,2,3,...,100  nas casas de um tabuleiro 10 por 10,
sem repetir qualquer um deles e colocando um só número em cada casa. Uma
operação permitida é escolher duas casas e trocar de posição os números que
estão escritos nelas. 

Demonstre que é possível realizar 35 operações ou menos, de maneira tal que
se consiga que para duas casas vizinhas quaisquer a soma dos números nelas
escritas seja um número composto.

OBS.: Duas casas são vizinhas se possuem um lado em comum.

  


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[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] sobre a resolução de problemas em geral

[Benedito]

Além dos livros citados pelo Marcelo, vale a pena ler:

1)  A Matemática do Ensino Médio; Vol 4 – Elon Lages Lima e outros - SBM

2)  Techniques of Problem Solving – Steven G. Karntz – MAS

3)  2) The Art of Problem Solving – Editado por Alfred S. Posamentier – 
Corwin Press

4)  First Steps for Math Olympians – MAA

5)   The Art and Craft of Problem Solving; Second Edition – Paul Zeitz – 
Wiley

6)  The Heart of Mathematics – Edward B. Burger  Michael Starbird

7)  The Inquisitive Problem Solver – Paul Vaderlind; Richard Guy; Loren 
Larson – MAA

8)  A Decade of the Berkeley Math Circle – Zvezdeline Stankov; Tom Rike - 
AMS

 

Benedito

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
Marcelo de Moura Costa
Enviada em: domingo, 21 de abril de 2013 08:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] sobre a resolução de problemas em geral

 

Há um livro interessante: 21 aulas de Matemática Olímpica, da SBM.

Não sei se ele irá atender suas necessidades e há o famoso: A Arte de Resolver 
Problemas, do G.Polya.

Não sei se ajudei, mas é o que vem na minha memória.

Abraços

Marcelo

 

Em 21 de abril de 2013 01:13, Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br 
mailto:listeiro_...@yahoo.com.br  escreveu:


Bom dia a todos.

Tenho acompanhado discretamente há algum tempo esta lista. Pensei um
pouco antes dessa dúvida.

No momento não viso a meta desportiva/competitiva, mas aprender melhor
como seria uma demonstração adequada de uma inadequada através de
observação.

Longe de conseguir resolver qualquer questão de pronto, mas entender
alguns mecanismos de solução, o problema seria expressar melhor no pouco
ou no muito, até para adquirir maior confiança posteriormente.

Há algum texto que trabalhe essas características? Desde já agradeço.

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Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Torneio das Cidades 94

[Benedito]

 

 

Aproveitando a dica do Ponce, segue a solução (oficial) do problema.

Este problema, proposto pelo Prof. Andy Liu (Edmonton Canadá) para o Torneio 
das Cidades, ano de 1994, foi o problema no. 04 da Prova Junior.

 

Problema

Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possui um avô em comum. 

Prove que pelo menos 14 deles possui um avô em comum.

Solução

A idéia é encontrar uma maneira de relacionar convenientemente os alunos com 
seus respectivos avôs. 

Cada aluno tem dois avôs: um materno, digamos A,  e outro paterno, digamos B. 

Chamamos de (A,B) um aluno que tem  A e B  como avôs.

Pelo enunciado do problema tem vários alunos do tipo (A,B). 

Também pelo enunciado da questão, qualquer outro aluno pode ser pensado como um 
par (X,Y), onde ou  X = A  ou Y = B.

Suponha que nem todas os alunos possuem um avô em comum.

Isto é, podemos supor que existe pelo menos um aluno tal que B não seja seu avô.

Na nossa notação, esse aluno é do tipo (A,C), com C distinto de B.

De maneira análoga, existe no mínimo um aluno que não tem A como avô.

Como, por hipótese esse aluno tem um avô em comum com um aluno do tipo (A,B) e 
(A,C), ele tem de ser, necessariamente, do tipo (B,C).

Por outro lado, os 20 alunos possuem 40 avôs, contando os casos de 
multiplicidade.

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, no mínimo um dos avôs A, B e C é avô de no 
mínimo 14 alunos.

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br  
[mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de PONCE
Enviada em: domingo, 14 de abril de 2013 12:57
Para: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
Assunto: Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94

 


Amigos,

 

Não puder  ler os últimos emails, devido a uma serie de trabalhos e aulas que 
tenho diariamente.

Ainda hoje faço um esboço da prova que são 14.

O grande amigo Benedito, poderia ter deixado uma solução, pois este é um tipico 
problema que ele

gosta muito e costuma postar na lista, geralmente com problemas de coloração.

U m abraço a todos.

Do amigo

PONCE




On Qui 11/04/13 18:38 , Vanderlei *  mailto:vanderma...@gmail.com 
vanderma...@gmail.com sent:

Se puder dar uma dica...

Em 11 de abril de 2013 18:00, PONCE lpo...@terra.com.br 
mailto:lpo...@terra.com.br  escreveu:

Jeferson, 

 

O enunciado do problema sugere que voce pense no principio da casa dos pombos.

Com isto na cabeça a prova é relativamente simples.

Qualquer duvida, entre em contato que envio um  esboço de uma prova.

PONCE.





On Qua 10/04/13 20:05 , Jeferson Almir  mailto:jefersonram...@gmail.com 
jefersonram...@gmail.com sent:

Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possui um avó em comum. 
Prove que pelo menos 14 deles possui um avó em comum.

estou tentando fazer por grafos ..  alguma ajuda ou sugestão??


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RES: [obm-l] Torneio das Cidades 94

[Benedito]

Seguindo a idéia do Ponce, a resposta é 14.

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de 
PONCE
Enviada em: quinta-feira, 11 de abril de 2013 18:00
Para: Jeferson Almir
Cc: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Torneio das Cidades 94

 

Jeferson,

 

O enunciado do problema sugere que voce pense no principio da casa dos pombos.

Com isto na cabeça a prova é relativamente simples.

Qualquer duvida, entre em contato que envio um  esboço de uma prova.

PONCE.





On Qua 10/04/13 20:05 , Jeferson Almir jefersonram...@gmail.com 
mailto:jefersonram...@gmail.com  sent:

Existem 20 alunos em uma escola. Quaisquer dois deles possui um avó em comum. 
Prove que pelo menos 14 deles possui um avó em comum.

estou tentando fazer por grafos ..  alguma ajuda ou sugestão??


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[obm-l] Problema da Olimpíada da Letônia

[Benedito]

Problema

Dois jogadores disputam o jogo seguinte em que jogam alternadamente.

Escreve-se no quadrado-negro um número natural. 

A jogada do primeiro jogador consiste em substituir o número, n, no
quadro-negro por  n/2, por

n/4 ou por 3n (as duas primeiras escolhas são permitidas somente se o
resultado é um número natural).  A jogada do segundo jogador consiste em
substituir o número, n, no quadro-negro por  n + 1 ou por n – 1.

O primeiro jogador vence se o número 3 aparece no quadro-negro, não importa
quem o escreva.

O primeiro jogador tem uma estratégia para vencer?

 

 


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[obm-l] Problema

[Benedito]

Problema

Dois pontos, M e Q, são escolhidos aleatoriamente num disco unitário, mas em
regiões opostas, determinadas por um diâmetro AB. 

Qual é a probabilidade de que a distância entre M e Q seja menor do que 1?

RES: [obm-l] Problema

[Benedito]

A idéia é usar Cálculo (Coordenadas Polares). Mas, fazer na região descrita
no problema eu acho mais interessante.

Benedito

 

De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de João Maldonado
Enviada em: sexta-feira, 22 de março de 2013 17:13
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: RE: [obm-l] Problema

 

Eu consegui fazer para o caso geral (M e Q pode estar em qualquer região do
círculo, não apenas em regiões opostas determinadas por um diâmetro)
E a resolução ficou bem feia também (tive que usar cálculo)

*Sendo P1 um ponto a uma distância x fixa do centro do círculo, qual a
probabilidade de escolhermos outro ponto no círculo tal que a distância
entre P1 e P2 seja menor que um?
Podemos tracejar um círculo de raio 1 em torno de P1. A intersecção desse
círculo com o círculo original é a região dos pontos cuja a distância a P1 é
 1.
A área dessa região sobre a área do círculo simboliza a probabilidade de
escolhermos outro ponto P2 no círculo tal que a distância entre P1 e P2 seja
menor que um.
A área pode ser facilmente calculada por matemática básica

A/Atotal = 1/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))

O peso dessa probabilidade é proporcional à área que ela ocupa (temos
muito mais pontos a uma distância 1 do que a uma distância 1/2 por exemplo)
O peso vale 2 Pi x dx/Pi = 2 x dx
Integrando de 0 a 1

P = Integral[ 2 x dx/Pi (2 ArcCos[x/2] - x sqrt (1- (x/2)²))]  de 0 a 1

P = 58.6%

[]'s
João

  _  

From: bened...@ufrnet.br mailto:bened...@ufrnet.br 
To: obm-l@mat.puc-rio.br mailto:obm-l@mat.puc-rio.br 
Subject: [obm-l] Problema
Date: Fri, 22 Mar 2013 05:16:50 -0300

Problema

Dois pontos, M e Q, são escolhidos aleatoriamente num disco unitário, mas em
regiões opostas, determinadas por um diâmetro AB. 

Qual é a probabilidade de que a distância entre M e Q seja menor do que 1?

[obm-l] Re: [obm-l] Corpos x³=x

[benedito]

Samuel,

Realmente esse problema não é tão simples. Ele está proposto no livro “Topics 
in Algebra” de I. N. Herstein, com um asterisco, o que significa que não é 
imediato.
Uma sugestão seria:
(i) Passo 1 – Mostre que neste anel se x^2 = 0, então x = 0. 
(Se x está em R, então x = x^3 = x^2.x = 0)
(ii) Passo 2 – Tome a um elemento qualquer do anel R e   A = a^2 + a.  Mostre 
que 2A^2 = A.
  (Nesse anel R temos,  A = a^2 + a = (a^2 + a)^3 = (a^2 + 
a)^2 . (a^2 + a) = etc. = 2A^2.
Passo 3 – Mostre que  2 A x A . A x = 0, onde A = a^2 + a. 
Passo (4) – (2 A x A . x A)^2 = 0
Passo (5) – 2 A x A = x A
Passo 6 – Conclua que  A = a^2 + a está no centro do anel, Z(R), para todo a no 
anel R.
Passo 7 – Se para todo elemento a do anel R,  a^2 + a está no centro do anel, 
então R é comutativo. 
Portanto, R é comutativo.

É isso.
Benedito

From: Samuel Wainer 
Sent: Monday, August 20, 2012 4:44 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Subject: [obm-l] Corpos x³=x

Seja R um anel associativo. Tal que x³=x para todo x em R. Mostre que R é um 
anel comutativo.

Já tinha visto com x²=x. Mas com x³=x é bem difícil, tentei várias relações e 
não consegui nenhuma.

Alguém tem alguma ideia?

[obm-l] Problema Legal

[benedito]

Problema
Tem-se 8 cubinhos, todos  de aresta 1. Dentre os 8 cubinhos, Mariano tem que 
escolherr 24 faces dos cubinhos e pintá-las de azul  e as 24 restantes 
pintá-las de vermelho.
Em seguida, Leonel tem de montar com os 8 cubinhos um cubo de aresta 2.
Se a superfície do cubo de aresta 2 tem a mesma quantidade de quadradinhos 
azuis e vermelhos, então Leonel vence. Caso contrário, vence Mariano.
Diga, justificando, se Mariano pode pintar os quadradinhos de modo que Leonel 
não vença.

(Este problema é da lista de treinamento das Olimpíadas Argentinas)

[obm-l] Problema

[benedito]

Problema

Temos N varas azuis e N varas vermelhas. A soma dos comprimentos de todas as 
varas azuis é igual à soma dos comprimentos de todas as varas vermelhas. 
Sabe-se que é possível construir um polígono de N lados usando todas as varas 
azuis e também é possível construir um polígono de N lados com todas as varas 
vermelhas.

Determinar se é sempre possível escolher uma vara azul e uma vermelha, mudar 
suas respectivas cores, de modo que seja novamente possível construir um 
polígono de N lados com as varas azuis e um polígono de N lados com as varas 
vermelhas.

Resolver o problema para

(a) N = 3.   (b) N arbitrário maior do que 3

[obm-l] Problema Legal

[Benedito Tadeu V. Freire]

O problema abaixo apareceu na Lista de Problemas do pessoal da Argentina.

Problema 
Um dragão dá 100 moedas a um cavalheiro que ele mantém prisioneiro. A metade 
das moedas são mágicas, mas somente o dragão sabe quais são elas.
Cada dia, o cavalheiro tem que dividir as 100 moedas em duas pilhas, não 
necessariamente do mesmo tamanho.
Se algum dia as duas pilhas possuem o mesmo número de moedas mágicas ou as 
pilhas tem o mesmo número de moedas não mágicas, o cavalheiro ganha a liberdade.
Determinar se o cavalheiro pode ganhar sua liberdade em 50 dias ou menos.
E em 25 dias ou menos?

Benedito
-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

 

[obm-l] Bom livro de Geometria sintética

[Benedito Tadeu V. Freire]

Além dos livros já mencionados aqui, sugiro o livro:
Lesson in Geometry,  I. Plane Geometry - de Jacques Hadamard,  AMS 2008.
Pela  AMS (American Mathamatical Society), tem o livro correspondente das 
soluções dos problemas.
Maravilhoso!
Veja os dios livros citados no site da própria AMS: www.ams.org/bookstore. Ou 
ainda, leia os livros na íntegra, sem poder fazer cópia, no site 
www.googlebooks.com

Benedito

 

[obm-l] Problema legal! (Corrigindo o enunciado)

[Benedito Tadeu V. Freire]

PROBLEMA

Cada uma das faces de uma folha de papel é dividida em três regiões limitadas 
por polígonos. Numa delas, uma das regiões limitada por um polígono é de cor 
branca, outra vermelha, e a terceirana outra verde.

Prove que, na outra face, é possível pintar uma das regiões polígonais de 
branco, outra de  vermelho, e a terceira de verde, de tal maneira que pelo 
menos um terço da área da folha de papel é colorido com a mesma cor em ambas as 
faces.

 

[obm-l] Problema legal!

[Benedito]

PROBLEMA
Cada um dos lados de uma folha de papel é dividido em três polígonos. De um 
lado, um dos polígonos é de cor branca, outro vermelho, e o terceiro verde. 

Prove que do outro lado da folha, é possível pintar um polígono de branco, 
outro de  vermelho, e o terceiro de verde de tal maneira que pelo menos um 
terço da área da folha de papel é colorido com a mesma cor em ambos os lados.

Re: [obm-l] Compra de livros

[Benedito Tadeu V. Freire]

Henrique,

Tente: Livraria Cultura  ou Livraria da Física (os endereços você pode ver no 
google)
Benedito

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Henrique Rennó henrique.re...@gmail.com 
To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Thu, 12 Aug 2010 09:15:21 -0300 
Subject: [obm-l] Compra de livros

 Gostaria de saber algum site onde posso encontrar diversos livros da 
 área de exatas, principalmente de matemática e realizar a compra 
 online. Estou à procura do livro Programação Linear de Manuel 
 Ramalhete. 
 
 -- 
 Henrique 
 
 = 
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
 = 
--- End of Original Message ---
 

Re: [obm-l] Problema

[Benedito]

Obrigado Paulo.
Valeu
Benedito

- Original Message - 
From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, November 13, 2009 12:49 PM
Subject: Re: [obm-l] Problema



Ola benedito e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
(escreverei sem acentos)


Seja An o conjunto de todos os triangulos cujos lados são numeros
inteiros menores ou iguais a N.  Entao, claramente,  An-1 esta contido
em An ...  Significa isso que - representando por (A) o numero de
elementos do conjunto A - podemos por  :

(An) = (An-1) + ( Bn)

onde Bn e o conjunto dos elementos de An que não estao em An-1. E
facil ver que os elementos de Bn são todos os triangulos de An nos
quais ao menos um lado vale N.

Quantos elementos tem Bn ?

Bom, a principio, e facil ver que em Bn esta o triangulo equilatero de
lado N. E igualmente facil perceber que Bn congrega tambem todos os
triangulos isosceles e nao-equilateros nos quais dois de seus lados
valem N, a saber, os triangulos {N,N,1}, {N,N, 2}, ... {N,N,N-1}.
Computando tudo isso temos N triangulos. Portanto :

(Bn)= N + (Cn)

onde Cn e o conjunto de todos os triangulos de An nos quais um, e
somente um, dos lados vale N, a saber, os escalenos cujo maior lado
vale N e os isosceles não equilateros cujos lados iguais são menores
que N. Os triangulos de lados {N,N-1,N-2} e {N,N-1,N-1} são exemplos
validos para esta duas classes.

Quantos são os elementos de Cn ?

Todos os elementos de Cn tem um único lado medindo N e, alem disso,
este lado e o maior lado. Isto implica que se representarmos
genericamente um destes triangulos por {N, A, B}, devera ocorrer :

1)A+B =  N+1,  pois devemos ter N  A+B
2)A+B = 2N-2,  pois A  N e B  N

significa isso que os elementos de Cn estao agrupados em classes
disjuntas, nas quais todos os elementos de uma mesma classe tem o
mesmo perimetro. Enumerando os elementos da classe {N,A,B} na qual
A+B=N+1 ate a enumeracao da classe {N,A,B} na qual A+B=2N-2 teremos
totalizado todos os elementos de Cn.

Seja portanto D2p ( indice “2p” ) a classe de triangulos {N, A, B} de
Cn na qual A+B=2p. Temos que 2p=N+1, N+2,..., 2N-2. Fixando uma D2p
qualquer, podemos IMAGINAR que cada elemento desta D2p e uma sequencia
de tres numeros, ordenados da esquerda para a direita, do maior lado
para o menor lado.

Agora, IMAGINE que as sequencias ordenadas descritas acima estao elas
mesmas ordenadas de forma decrescente pelo elemento  central ( o
segundo termo de cada 3-sequencia ). O que vemos ?

(N,  (N-1)-0,  (2p-N+1)+0)
(N,  (N-1)-1,  (2p-N+2)+1)
(N,  (N-3)-2,  (2p-N+3)+2)
...

E ate onde podemos descer ? Ate X tal que (N-1)-X  = 2p-(N-1)+X pois
se (N-1)-X  p-(N-1)+X claramente que o triangulo {N,(N-1-X,p-(N-1)+X}
sera igual a algum dos anteriores, já computado. Assim :

X = (N-1) – p.

Para considerar o valor X=0, fazemos: 1 + X  =  N-p. E como 1+X deve
ser inteiro, para não dependermos da paridade de N, colocamos :

(D2p) = 1+X = piso(N – p)

De tudo que vimos chegamos a :
(An) = (An-1)  +  N  +  (Dn+1)  +  (Dn+2)  +  ...  +  (D2n-3)  +  (D2n-2)
o que resolve o problema original formulado pelo Benedito.

Agora, facamos alguns calculos praticos.

N=1  = A1= 1
Obvio, pois apenas o triangulo {1,1,1} atende as condicoes de simetria
do problema.

N=2  = A2= 3
Obvio, pois alem do triangulo {1,1,1} somente os triangulos {2,2,1} e
{2,2,2} interessam.

N=3 = A3 = A2 + 3 + D4 = 3 + 3 + piso(3-2) = 3 + 3 + 1 = 7
Os 4 novos triangulos são {3,3,3}, {3,3,2},  {3,3,1} e {3,2,2}

N=4 = A4=A3 +4+D5+D6 = 7 + 4 + piso(4 - 2,5) + piso(4 - 3)=13
Os 6 novos triangulos são {4,4,4},{4,4,3},{4,4,2},{4,4,1},{4,3,2} e 
{4,3,3}


Agora, vamos considerar com mais atencao a expressao que fornece o
numero de elementos de D2p:

(D2p)=piso(N - p)

Esta expressao e bonita ? Não sei … O que voces acham ? Eu tenho
minhas duvidas … A funcao “piso” da uma certa assimetria a formula,
tornando-a carrancuda. Ela e decididamente uma mulher com veu, mas eu
vou apostar e continuar esta viagem com ela para ver aonde ela me
conduz … Se ela for bela, ela sera fertil !

Esta formula nos diz quantos triangulos de lados inteiros positivos
tem perimetro p, com as limitacoes :

1)Um unico lado deve valer N
2)N+1 =2p   = 2N-2

E se quisessemos encontrar “todos os triangulos de lados inteiros que
tenham perimetro 2p”, independente das limitacoes acima ?  Nos temos
elementos suficientes para resolver esta questao diretamente ?

Temos. Eis como :

Se um triangulo de lados inteiros tem perimetro 2p, o maior lado
possivel deve ser L= p -1 se 2p e par; deve ser L=p – 0,5 se 2p e
impar, pois em qualquer triangulo, o maior lado deve ser menor que a
soma dos outros dois. Sintetizamos tudo isso pondo L = piso(p – 0,5).

E o menor maior lado possivel ? E claro que se M e o menor maior lado
possivel deve ocorrer que 3M  = 2p. Assim, o menor maior lado
possivel e o menor M tal que 3M = 2p  =  M=teto(2p/3).

Usando a notacao  Si{ A,B : f(i) }=f(A) + f(A+1) + … + f(B-1) + f(B)
para representar o somatorio e

[obm-l] Problema

[Benedito]

Problema
Seja  n um número inteiro positivo.
Encontre o número máximo de triângulos não congruentes cujos lados tem 
comprimentos inteiros menores do que ou iguais a n.

[obm-l] Re: [obm-l] Membro da Comissão Nacional de Olimpía das de Matemática é premiado

[Benedito]

Parabéns Gugu.
Foi justo o prêmio.
Benedito

- Original Message - 
From: Olimpiada Brasileira de Matematica o...@impa.br
To: Socios OBM socios@impa.br; Comissao obm-...@mat.puc-rio.br; 
Coordenadores obm-c...@mat.puc-rio.br; Lista de discussao 
obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Wednesday, July 22, 2009 12:02 PM
Subject: [obm-l] Membro da Comissão Nacional de Olimpíadas de Matemática é 
premiado




Prezados professores:



É com grande satisfação que a Secretaria a OBM informa que o professor 
Carlos Gustavo Moreira ganhou o prêmio UMALCA-2009-
União Matemática para a América Latina e Caribe. Este prêmio contempla 
matemáticos de até 45 anos que se destacaram
na América Latina por sua contribuição a essa ciência. O prof. Carlos 
Gustavo é ex-olímpico, pesquisador do IMPA,
membro da Comissão nacional de Olimpíadas de Matemática, que organiza a 
Olimpíada Brasileira de Matemática e editor da revista Eureka!.
A Secretaria agradece a dedicação do prof. Carlos Gustavo e o parabeniza 
pelo prêmio.




Maiores informações:

http://www.impa.br/opencms/pt/destaques/memoria/2009/umalca_prize.html

--
Secretaria da Olimpíada Brasileira de Matemática Estrada Dona Castorina, 
110 Jd. Botânico, Rio de Janeiro - RJ, 22460-320, Brasil

Tel: 55-21-25295077 Fax:55-21-25295023
e-mail: o...@impa.br web site: www.obm.org.br
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Res: surpresa no R4

[Benedito]

NILTON, ESTA QUESTÃO JÁ FOI RESPONDIDA. PODE.
Benedito
  - Original Message - 
  From: nilton rr 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, May 26, 2009 1:44 PM
  Subject: [obm-l] Res: surpresa no R4


  Alguém fez?




--
  De: benedito bened...@ufrnet.br
  Para: nilton1...@yahoo.com.br
  Enviadas: Segunda-feira, 20 de Abril de 2009 15:38:15
  Assunto: surpresa no R4


  Nilton,

  Estou interessado em ver suas contas. 
  Vou me arriscar: acho pouco provável. Três planos talvez pudesse acontecer. 
Quatro planos com certeza: basta tomar quatro planos passando pela origem, de 
modo que o sistema formado pelas equações lineares dos 4 planos, visto na forma 
matricial AX = 0, tenha  a matriz A (4 por 4 ) invertível.
  Você trabalhou com dois planos de quais dimensões? Quais as equações?
  Vamos imaginar, passando pela origem, no R4 tem planos de dimensões 2  e 3. 
(Os subespaços de R4 tem dimemsões  0 (a origem), 1 (retas passando pela 
origem) , 2 (planos de dimensões 2 passando pela origem),  3 (hiperplanos 
passando pela origem) e  4 (o próprio R4). A interseção de dois subespaçõs é um 
subespaço.
  Benedito
- Original Message - 
From: nilton rr 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Monday, April 20, 2009 9:26 AM
Subject: [obm-l] surpresa no R4




  --- Em seg, 13/4/09, nilton rr nilton1...@yahoo.com.br escreveu:

De: nilton rr nilton1...@yahoo.com.br
Assunto: Re: surpresa no R4
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Segunda-feira, 13 de Abril de 2009, 10:29


  Up

  --- Em sex, 3/4/09, nilton rr nilton1...@yahoo.com.br 
escreveu:

De: nilton rr nilton1...@yahoo.com.br
Assunto: surpresa no R4
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 3 de Abril de 2009, 17:22


  Aos amigos da lista, estava resolvendo alguns 
exercícios de álgebra linear, e me deparei com o seguinte: Quais as possiveis 
interseções de dois planos no R4? 
  Após os cálculos vi que pode ser até  um ponto, 
refiz os cálculos e não encontrei erro, será realmente isso verdade? aguardo a 
opinião amigos, grato a todos. 



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[obm-l] demonstração

[benedito]

Marcone,

Outra demonstração você pode obter usando a identidade (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 
6x^2 + 4x^+ 1,  fazendo sucessivamente x = 1, 2, 3, ..., n. Depois soma, membro 
a membro, as n equações e usa os valores da soma dos primeiros n números 
naturais e da soma dos quadrados dos primeiros n quadrados perfeitos de números 
naturais.
Benedito
  - Original Message - 
  From: marcone augusto araújo borges 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Sunday, May 03, 2009 9:44 AM
  Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
Re: [obm-l] demonstração


  Eu consegui por indução.Obrigado.Descobri q tem uma demostração usando 
figuras geométricas,mas eu gostaria de ver outra demonstração... se 
posssivel.Um abraço
   

--
  Date: Sat, 2 May 2009 23:22:39 -0300
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] 
demonstração
  From: msbro...@gmail.com
  To: obm-l@mat.puc-rio.br

  Olá Marcone,
  utilize indução finita.

  Caso vc não conheça, aqui tem uma introdução: 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
  (não li o site, mas normalmente a wikipedia dá uma idéia inicial)

  abraços,
  Salhab



  2009/5/2 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com

Como demonstrar q 1^3+2^3+3^3+...n^3 = (1+2+3+...+n)^2 ?
 


Date: Sat, 2 May 2009 13:21:10 -0300
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 


Olá Vanderlei,

eles tem que ser distintos, pois, caso sejam iguais, vamos ter duas vezes o 
mesmo fator... e este fator aparece somente uma vez em (n-1)!  [ta certo 
que este fator aparece mais vezes, conforme provamos mais abaixo. Mas naquele 
momento não achei trivial ver isso hehehe, dai eu dividi em outro caso pra 
continuar a solucao ;)]

abraços,
Salhab




2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br

  Valeu Marcelo, só não entendi a seguinte passagem:
  mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
  entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n
   
  Obrigado,

  Vanderlei


  2009/5/1 Marcelo Salhab Brogliato msbro...@gmail.com 


Fala Vanderlei,

como n não é primo, vamos decompor n em fatores primos, então:
n = p1^a1 . p2^a2  pk^(a_k)

vamos supor que k1.. isto é, o número possui pelo menos 2 dividores 
primos.
entao: p1^a1  n, p2^a2  n, ..., pk^(a_k)  n e todos distintos..
logo, todos eles estão em (n-1)!
desta maneira, temos que (n-1)!/n é inteiro... e, portanto, (n-1)! é um 
múltiplo de n.

falta analisarmos o caso de n = p^a, isto é, com um único divisor 
primo..
neste caso, p^(a-1)  n, logo, ele está em (n-1)!
e também temos p  n, logo, ele tbem está em (n-1)!
mas eles tem que ser distintos... logo a != 2...
entao, para n=p^a, a!=2, temos que (n-1)! é um múltiplo de n

falta o caso em que n é um quadrado perfeito... (a=2)
n = p^2... vamos ver: p  n ... então p está em (n-1)!
mas veja que 2p  p^2 para p2, logo: 2p  n, logo 2p também está em 
(n-1)!
logo, (n-1)! é múltiplo de n para n=p^2, p2 (por isso temos n4)

espero ter ajudado,
abraços,
Salhab





2009/5/1 Vandelei Nemitz vanderm...@brturbo.com.br 


  Oi pessoal, será que alguém poderia ajudar nessa?

  Seja n um número inteiro e não primo. Se n  4, prove que (n-1)! é 
múltiplo de n.

  Obrigado

  Vanderlei









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Re: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz

[benedito]

Show de bola, Paulinho.
Benedito


- Original Message - 
From: Paulo Santa Rita paulo.santar...@gmail.com

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, April 29, 2009 10:54 AM
Subject: [obm-l] Representacao do Multinomio de Leibniz



Ola Pessoal,

O Binomio de Newton e um assunto tipico da Matematica do ensino medio.
Ele da origem a questoes interessantes, algumas ja discutidas aqui
nesta. Um aspecto curioso deste tema
e que podemos olhar a expansao como disposta ao longo de uma reta,
numa ordem implicita. Assim :

(a+b)^N = a^n + N*(a^(n-1))*b + ... + N*a*(b^(n-1)) + b^n

E nos falamos com naturalidade no primeiro termo da expansao, no
segundo termo e assim sucessivamente, firmando-nos nos expoente de
b ( ou de a) que funcionam como um indice. Inclusive os livros
falam em algo como, excontre o decimo termo da expansao de
(2x-3y)^15, implicitamente admitindo este tipo de ordenacao.

E na expancao, digamos, de um trinomio do tipo (2x-3y+y)^15 ? Quem e o
decimo termo ? Aqui, NA AUSENCIA DE UMA REPRESENTACAO CONSISTENTE,
uma tal questao e INDETERMINADA, pois precisamos acrescentar mais
algumas informacoes.

Seria possivel uma representacao consistente ? Uma maneira de olhar as
coisas que preservasse a visao habitual e lhe acrescentasse alguma
novidade ? Eu lembro que a ordem habitual no Binomio de Newton segue o
triangulo de Pascal ...

Bi(0,0)
Bi(1,0),Bi(1,1)
Bi(2,0),Bi(2,1),Bi(2,2)
...

Onde Bi(N,P)=N!/( (P!)*( (N-P)! ) )

Portanto, usando o triangulo de Pascal ( preservando sua principais
leis e propriedades ) e possivel encontrar uma representacao
consistente, um lugar onde colocar os termos da expansao de (X1 + X2
+  + Xm)^N ?

Note que uma tal construcao significaria, em parte ( existe uma outra
parte, mais dificil ), ver o famoso triangulo pascalino apenas como a
ponta de um iceberg, descortinando parte da superestrutura que lhe da
suporte ...

Entao : como e a parte imersa do iceberg ?

Um Abraco a Todos !
PSR, 42904091050
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Mostrar que n^4 + 4 é composto.

[benedito]

Josimar,

Veja que  n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 - 4n^2 + 4 = (n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2 = (n^2 
+2)^2 - (2n^2)^2 = 
  = (n^2 +2 + 2n^2)(n^2 +2 - 2n^2)
Benedito
  - Original Message - 
  From: Josimar Moreira Rocha 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, April 24, 2009 6:57 PM
  Subject: [obm-l] Mostrar que n^4 + 4 é composto.


  Alguém poderia me ajudar a mostrar que n^4 + 4 e n^4 + n^2 + 1 é composto?
  Esse é um exercício de um livro sobre teoria de números que eu estou lendo.
  Obrigado,
  Josimar.

Re: [obm-l] Combinatoria Pre-IME

[Benedito]

Silas,

Primeiro veja de quantos modos os rapazes podem sentar: 4! = 24.
Chame os rapazes de R1, R2, R3, R4, 
Agora, cada  moça só pode sentar entre os rapazes (ou à esquerda do primeiro ou 
à direita do último). 
---R1 --- R2 --- R3 --- R4  
Deste modo, há 5 lugares para a primeira moça sentar. Uma vez ocupada esta 
posição, restam 4 possíveis lugares para a segunda ocupar. Uma vez sentada a 
segunda moça, resta 3 posições (lugares)  nos quais a última moça pode ocupar. 
Assim, o total de possibilidades é 4! x 5 x 4 x 3 = 24 x 60 = 1440.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Silas Gruta 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, April 13, 2009 3:48 PM
  Subject: [obm-l] Combinatoria Pre-IME


  Boa tarde a todos,

  Tenho um aluno, cujo sonho é se formar pelo IME, extraordinariamente 
aplicado, uma verdadeira raridade numa escola pública! Faço o que posso para 
ajudá-lo, embora preparar alunos para o IME não seja, nem de perto, a minha 
especialidade. Bem, ele me apresentou um problema retirado de uma apostila de 
um curso Pré-IME/ITA de São Paulo, mas confesso que não estou conseguindo 
resolvê-lo mesmo depois de 13 dias de tetativas infrutíferas! Agradeço se 
puderem dar uma ajuda:

  Três moças e quatro rapazes estão num teatro e desejam, sentar-se, os sete, 
lado a lado, na mesma fila. Determine o número de maneiras pelas quais eles 
podem distribuir-se nos assentos de modo que:
a) duas moças nunca fiquem sentadas juntas; RESPOSTA: 1440
b) ...

  A pergunta (b) também é bem difícil, mas, se for o caso, apresento outro dia.

  Obrigado!
  -- 
  Silas Gruta 

Re: [obm-l] duvida

[Benedito]

Flávia, 
Veja o livro do Augusto César Morgado e outros: Análise Combinatória e 
Probabilidade, publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, Coleção do 
Professor de Matemática.
Acesse  www.sbm.org.br
Benedito
  - Original Message - 
  From: Flavia Laragnoit 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, April 06, 2009 7:51 PM
  Subject: [obm-l] duvida


  Será que vcs poderiam me ajudar?

  Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6.

  Determine quantos números de quatro algarismos distintos maiores que 4320 
podem ser formados?

  Obrigada,

  Onde posso obter exercícios resolvidos deste assunto?

[obm-l] Re: [obm-l] Múltiplo de 3 por indução

[benedito]

Marcelo,

Acho que para o caso  k + 1 seria mais fácil fazer a diferença do caso k+1  com 
o caso k. Ou seja, mostre que a diferença [2^(2k+2) - 1] - (2^2k - 1)  é um 
múltiplo de  3. Como, por hipótese, (2^2k - 1) é um múltiplo de 3, segue que 
[2^(2k+2) - 1] é um múltiplo de 3.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Marcelo Rodrigues 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, March 13, 2009 8:11 AM
  Subject: [obm-l] Múltiplo de 3 por indução


  Olá pessoal

  Estou estudando indução matemática já provei algumas que eram questões que 
envolviam somas de números naturais. Estou tendo algumas dúvidas, quando não há 
somatório.

  Estou tentando provar que : (2^2n) -1 é múltiplo de 3 para qualquer n, 
natural.

  Fiz o seguinte:

  P(1) =  3n = (2^2n) - 1 (Dúvida 1 - tenho que colocar 3n do lado esquerdo da 
igualdade, como fazia com os somatórios ?, ou basta trabalhar o lado direito 
dela ?)

  P(1) =  3(1) = (2^2) -1 =  3 = 3 (3 é múltiplo de 3, verdade para P(1))

  P(k) =  3k = (2^2k) - 1

  Provando por Indução:

  P(k+1) = 3k + k + 1 (Dúvida 2 - tenho que fazer deste lado também ? pois para 
K=3 dá 13...onde estou errando ?) = (2^2k) - 1 + k + 1 (este lado já funciona)= 
(2^2k) + k

  Somei k + 1 de ambos os lados mas errei algo.

  Se alguém tiver um tempinho, dê uma mãozinha, ok ?

  Abraços, Marcelo. 

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico

[Benedito Tadeu V. Freire]

Paulo César,

Os livros,com excessão de Book of Curious  Interesting Puzzles . David Wells. 
Dover. 1992.,  são livros de problemas,cada um deles com uma 
coleção interessantíssima. Acho que vale pena ver

Boa sorte

Benedito Freire

-- 
Open WebMail Project (http://openwebmail.org)

-- Original Message ---
From: Paulo Cesar pcesa...@gmail.com 
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wed, 1 Apr 2009 22:21:55 -0300 
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico

 Muito obrigado, Benedito. 
   
 Você saberia dizer se os livros mencionados abordam teoricamente o tema? 
   
 Um abraço 
   
 PC 
 
   
 2009/3/31 benedito bened...@ufrnet.br


 
 Paulo César, 
   
 Veja alguns interessantes: 
 A) Em português: 
   
 1) A Dama e o Tigre e outros Problemas Lógicos,  de  Raymond Smullyan. 
 Jorge Zahar Editor. 1982 
 2) O Enígma de Sherazade, de  Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor. 
 3) Alice no País dos Enígmas,  de Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor. 
 4) Divertimentos Matemáticos, de Martin Gardner. IBRASA. 1967 
   
 Em inglês: 
 1) The Colossal Book of Short Puzzles - Martin Gardner. Norton.2006 
 2) Book of Curious  Interesting Puzzles . David Wells. Dover. 1992. 
   
 Ainda em inglês, o maravilhoso livro da Lógica Moderna: Sweet Reazon - A 
 field Guide to Modern Logic, de Tom Tymoczko  and  Jim Henle. Springer.2000. 
   
 Bom proveito. 
 Benedito 
 
 
 - Original Message - 
 From: Paulo Cesar 
 To: obm-l@mat.puc-rio.br 
 Sent: Tuesday, March 31, 2009 7:32 PM 
 Subject: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico 
 
 Olá mestres da lista 
   
 Gostaria de saber qual é o melhor livro de raciocínio lógico que posso 
 comprar. Estou a procura de um material mais aprofundado sobre o assunto. 
 O que vocês recomendam? 
   
 Um abraço pra todos 
   
 PC 
   
  
--- End of Original Message ---
 

[obm-l] Permutação

[Benedito]

Problema legal:

Seja S = {2, 3, 4,, 101, 102}.
Seja  (a1, a2, ..., a101)  uma permutação qualquer  do conjunto S.
Encontre  quantas são as permutações  de S tais que k divide ak.
Benedito 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico

[benedito]

Paulo César,

Veja alguns interessantes:
A) Em português:

1) A Dama e o Tigre e outros Problemas Lógicos,  de  Raymond Smullyan. Jorge 
Zahar Editor. 1982
2) O Enígma de Sherazade, de  Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor.
3) Alice no País dos Enígmas,  de Raymond Smullyan. Jorge Zahar Editor.
4) Divertimentos Matemáticos, de Martin Gardner. IBRASA. 1967

Em inglês:
1) The Colossal Book of Short Puzzles - Martin Gardner. Norton.2006
2) Book of Curious  Interesting Puzzles . David Wells. Dover. 1992.

Ainda em inglês, o maravilhoso livro da Lógica Moderna: Sweet Reazon - A field 
Guide to Modern Logic, de Tom Tymoczko  and  Jim Henle. Springer.2000.

Bom proveito.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Paulo Cesar 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, March 31, 2009 7:32 PM
  Subject: [obm-l] OFF-TOPIC - Raciocínio Lógico


  Olá mestres da lista

  Gostaria de saber qual é o melhor livro de raciocínio lógico que posso 
comprar. Estou a procura de um material mais aprofundado sobre o assunto. 
  O que vocês recomendam?

  Um abraço pra todos

  PC

[obm-l] Hipótese de Riemann

[benedito]

Marco Antônio,

Já foi sugerido aqui nesta lista, mas não custa repetir, se você ainda não leu, 
vale a pena ler  o livro A Música dos Números Primos-A história de um problema 
não resolvido na matemática, de Marcusa du Sautoy. Editora Zahar. Rio de 
Janeiro.2007 - tudo a ver com a Hipótese de Riemann.
Benedito

  - Original Message - 
  From: Marco Antonio 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, July 16, 2008 8:17 PM
  Subject: [obm-l] 


  Olá, estou trabalhando com a hipótese de Riemann. Alguém poderia me dizer 
quais os primeiros zeros complexos da referida função zeta? Me bastam pelo 
menos os 30 primeiros zeros. Obrigado.

[obm-l] Re: [obm-l] matemática glossário

[Benedito]

O livro que você está lendo é de autoria de G. Polya e tem uma tradução para 
o português com o título  A Arte de Resolver Problemas.

Benedito

- Original Message - 
From: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, April 11, 2008 7:55 PM
Subject: [obm-l] matemática glossário


Boa noite!
Estou (tentando) lendo um livro escrito em inglês, chama-se How To Prove It,
será que alguém conhece, ou tem, um pequeno glossário (inglês X português)
com as palavras mais usadas em textos matemáticos.
Abraços
Hermann Cabri

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Revista on line

[Benedito]

Excelente referência.
Valeu, Arconcher

Benedito
  - Original Message - 
  From: Claudio Arconcher 
  To: Lista da OBM 
  Sent: Thursday, January 10, 2008 3:03 PM
  Subject: [obm-l] Revista on line


  Revista do Titu Andreescu:
  http://reflections.awesomemath.org/archives.html

  achei bem interessante.
  Um abraço.
  Arconcher

Re: [obm-l] Probabilidade

[Benedito]

Zero.
(Quantos números ímpares tem de 1  até 2007?)
Benedito
  - Original Message - 
  From: ralonso 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, November 06, 2007 12:43 PM
  Subject: Re: [obm-l] Probabilidade



  fccores wrote: 

Escreve-se em um quadro negro os 
primeiros  2007 números naturais: 1, 2, 3, ..., 2007. A frente de cada um se 
escreve o sinal + ou - de forma ordenada, da esquerda para direita. Para 
decidir cada sinal é jogada uma moeda: se sai cara escreve- se + (mais), se sai 
coroa escreve -se - (menos). Uma vez escritos os 2007 sinais efetua - se a soma 
da expressão resultante. Determinar a probabilidade de que o resultado seja 0.

 

  Esse parece interessante.  É um problema de combinatória. 
  A dica é notar em que situações a soma dá zero.  Usando 
  a idéia de Gauss: 

012  3 4  ...   1003 
  2007  2006  20052004   2003 ...1004 
  --- 
  2007  2007  2007  20072007... 2007 

  Vemos abaixo uma situação em que a soma dá zero: 

  -  0- 12  3   -  4  ...   -1003 
  - 2007  -2006  20052004   - 2003 ...   - 1004 
  --- 
  -2007  -2007  2007  2007-2007... -2007 

  Quantas dessas situações existem? 

  Basta agora dividir esse número pelo número total de possibilidades 
  de escolhas de sinais mais e menos. 
  [] 
  Ronaldo. 

Re: [obm-l] Probabilidade

[Benedito]

Sendo mais claro: O número de ímpares é impar.
Benedito

- Original Message - 
From: Eike Santos [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, November 06, 2007 6:33 PM
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade


Basta usar PA.
1,3,5,7,9,...2007   (2n+1) para todo n natural

Ats,
Marcos Eike

Em 06/11/07, Benedito[EMAIL PROTECTED] escreveu:



Zero.
(Quantos números ímpares tem de 1  até 2007?)
Benedito


- Original Message -
From: ralonso
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, November 06, 2007 12:43 PM
Subject: Re: [obm-l] Probabilidade



fccores wrote:

Escreve-se em um
quadro negro os primeiros  2007 números naturais: 1, 2, 3, ..., 2007. A
frente de cada um se escreve o sinal + ou - de forma ordenada, da esquerda
para direita. Para decidir cada sinal é jogada uma moeda: se sai cara
escreve- se + (mais), se sai coroa escreve -se - (menos). Uma vez escritos
os 2007 sinais efetua - se a soma da expressão resultante. Determinar a
probabilidade de que o resultado seja 0.



Esse parece interessante.  É um problema de combinatória.
A dica é notar em que situações a soma dá zero.  Usando
a idéia de Gauss:

  012  3 4  ...   1003
2007  2006  20052004   2003 ...1004
---
2007  2007  2007  20072007... 2007

Vemos abaixo uma situação em que a soma dá zero:

-  0- 12  3   -  4  ...   -1003
- 2007  -2006  20052004   - 2003 ...   - 1004
---
-2007  -2007  2007  2007-2007... -2007

Quantas dessas situações existem?

Basta agora dividir esse número pelo número total de possibilidades
de escolhas de sinais mais e menos.
[]
Ronaldo.

















--
OpenSuse- Comunidade Open do Suse
Participe! www.opensuse.org
OpenSolaris- Comunidade Open do Solaris
Participe! www.opensolaris.org

Microsoft MSDN- http://msdn2.microsoft.com/en-us/default.aspx

=
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=

[obm-l] Problemas Legais_Correção

[Benedito]

  Problema 1
  Tenho um casaco com  b  bolsos  e  n  moedas de  1  real.Quero distribuir as 
moedas nos  b  bolsos, de maneira que em cada bolso haja uma quantidade 
diferente de reais.
  Se  n = [(b-1).(b-2)]/2,  isto pode ser feito? Como?

  Problema 2
  Pinte os números inteiros 1, 2, 3, ..., N  usando três cores, de modo que 
cada cor seja usada para pintar mais do que  N/4  dos inteiros dados.
  Mostre que a equação x = y + z  possui uma solução na qual  x, y, z  foram 
pintados com cores distintas.

  Benedito Freire

[obm-l] Problemas Legais

[Benedito]

Problema 1
Tenho um casaco com  b  bolsos  e  n  moedas de  1  real.Quero distribuir as 
moedas nos  b  bolsos, de maneira que em cada bolso haja uma quantidade 
diferente de reais.
Se  n = [(p-1).(p-2)]/2,  isto pode ser feito? Como?

Problema 2
Pinte os números inteiros 1, 2, 3, ..., N  usando três cores, de modo que cada 
cor seja usada para pintar mais do que  N/4  dos inteiros dados.
Mostre que a equação x = y + z  possui uma solução na qual  x, y, z  foram 
pintados com cores distintas.

Benedito Freire

[obm-l] Maximize

[Benedito]

Problema
Sem usar os métodos do Cálculo, qual o valor máximo da função f(x) = 
sqrt(a-bcos x) + csen x,  com a, b, c constantes?
Benedito Freire

[obm-l] Re: [obm-l] Resto da divisão

[Benedito]

A maior potência de três que divide  1000! é 498.
Portanto, na divisão de  1000!  por  3^300  o resto é zero.
Benedito
  - Original Message - 
  From: Angelo Schranko 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, October 11, 2007 10:13 AM
  Subject: Re: [obm-l] Resto da divisão


  1000! = 1000.999...3.2.1

  Neste produto há 333 (*) fatores múltiplos de 3, portanto o resto da divisão 
é zero.

  * Resolvendo a seguinte PA:

  999 = 3 + (n-1)3 = n = 333

  [ ]´s
  Angelo


  Júnior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Considerando divisão de números inteiros, qual seria o resto da divisão de 
1000! por 3 ^ 300 ?



  /  \ /| |'-. .\__/ || |   |  _ /  `._ \|_|_.-' | /  \__.`=._) (_   
Júnior |/ ._/  ||  |'.  `\ | | Desenvolvedor de Softwares 
;/ / | | Seja Livre - Use Linux ) /_/|  |.---.| E-mail:[EMAIL 
PROTECTED] '  `-`  ' Msn:[EMAIL PROTECTED] sua conta no Yahoo! Mail, 
o único sem limite de espaço para armazenamento! 


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

[obm-l] OM do RN

[Benedito]

Sábado, dia 29 de setembro, aconteceu a Segunda Etapa da prova da XVIII 
Olimpíada de Matamática do Estado do Rio Grande do Norte - 2007. 
Em todos os níveis, as provas eram compostas por  quatro problemas.
Os estudantes fizeram a Primeira Etapa quando fizeram a Primeira Etapa da OBM. 
Ou seja, a prova é a mesma.
Abaixo, dois problemas da prova da Segunda Etapa do Nível III:


1)Numa caixa, temos  25  fichas iguais, numeradas de  1  até  25. Você pode 
retirar da caixa uma ficha por vez, sem reposição, e pode continuar a retirar 
fichas  até que o produto de dois números, de duas fichas retiradas, seja um 
quadrado perfeito.

 

Qual é o número mínimo de fichas que você deve retirar para ter certeza de 
obter um par de fichas cujo produto é um quadrado perfeito?



2) Sejam  S  a coleção de todos os múltiplos inteiros positivos de  7  que são 
menores do que ou iguais a  2007   e  P  o produto de todos os números  de  S. 

 

Em quantos  zeros  termina o número  P?



Benedito Freire

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis

[Benedito]

(Z,+, .)  é um anel de integridade? É um corpo?
Benedito
  - Original Message - 
  From: Claudinei - Trix 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Saturday, September 29, 2007 1:07 PM
  Subject: [obm-l] Dúvida - Teoria dos Anéis


  Há um lema que diz o seguinte:

  Um anel de integridade finito é um corpo.

  Como posso demonstrar que este lema é falso se deixar de assumir que o anel 
de integridade é finito ?

  Grato

[obm-l] Re: [obm-l] a,a+9,a+18,a+27 (exatamente um div isível por 4)

[Benedito]

Bruno,
Só há uma das possibilidades para o número inteiro a: ou a = 4k,  ou  a = 4k 
+1,  ou a = 4k + 2 ou  a = 4k+3,  com  k inteiro. Em qualquer uma destas 
possibilidades um dos números a, a+9, a+18, a+27  é divisível ´por  4.

Benedito

- Original Message - 
From: Bruno Prado [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, August 29, 2007 3:20 PM
Subject: [obm-l] a,a+9,a+18,a+27 (exatamente um divisível por 4)



Bom dia pessoal,
Estou meio agarrado com um problema e espero conseguir alguma ajuda de 
vocês.


Prove que exatamente um dos números: a, a+9, a+18, a+27 é divisivel por 
4.


Qualquer direcionamento é válido.

Muito Obrigado !!!

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Problema de Geometria

[Benedito]

Problema
Todo polígono de  n  lados,  com  n  3, possui uma diagonal inteiramente 
contida na região do plano limitado por ele.
(O polígono não é necessariamente convexo).

Benedito

Re: [obm-l] Teoria de Corpos

[Benedito]

Prezado Matheus,

Veja este livro:

Galois Theory, Third Edition (Chapman  Hall/Crc Mathematics) (Paperback)
by Ian Stewart (Author) In the first part of this book, Chapters 1 to 15, 
we present a (fairly) modern version of Galois's ideas in the same setting 
that... (more)
Key Phrases: Fundamental Theorem of Algebra, Natural Irrationalities, 
Cauchy's Theorem (more...)


Benedito Freire




- Original Message - 
From: Matheus bhv [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Monday, June 11, 2007 10:59 PM
Subject: [obm-l] Teoria de Corpos


Eu estou estudando álgebra no livro do Otto, Teoria dos Corpos, mas estou 
achando ele muito difícil de aprender. Nós vamos usar as partes de 
extensões finitas, algébricas, separáveis e normais, ou seja, os capítulos 
1,2,3 e 5 do livro do Otto. Alguém sabe qual é o livro mais fácil do mundo 
para aprender isso? Pode ser em inglês, não tem problema. Obrigado.


_
Descubra como mandar Torpedos SMS do seu Messenger para o celular dos seus 
amigos. http://mobile.msn.com/


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
= 


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[obm-l] Problema Interessante

[benedito]

Problema
Um tabuleiro  n x n  é preenchido com peças brancas e pretas, de acordo com as 
seguintes regras:

(i) Inicialmente (i. e. tabuleiro vazio) uma peça preta é colocada sobre uma 
casa qualquer; 
(ii) nos movimentos posteriores, uma peça branca é colocada em uma casa vazia e 
todas as peças, se houver alguma, situadas em casas vizinhas (i. e. com aresta 
comum) são trocadas por peças de cor oposta.

Este processo se prolonga até o tabuleiro estar completamente preenchido.

Prove que, ao final do processo, restará pelo menos uma peça preta sobre o 
tabuleiro.

Benedito

[obm-l] Re: [obm-l] NOva Edição

[benedito]

No site www.amazon.com ou o da própria editora: 
www.wiley.com 
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  math4 math 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, October 16, 2006 8:31 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] NOva Edição
  Em qual site tem pra vender esse livro amigo?
  Em 16/10/06, Bené 
  [EMAIL PROTECTED] 
  escreveu: 
  

Foi lançado, pela Editora Wiley (dos Estados 
Unidos) a Segunda Edição do livro de Paul Zeitz "The Art and The Craft 
of Problem Solving". O livro é belíssimo. 
O autor consegui melhorar a primeira edição. 

Acrescentou um capítulo sobre Geometria 
Euclidiana Plana, com muitos problemas desafiadores e estimulantes. Este 
capítulo tem um título que, traduzido, seriamais ou menos 
assim:"Geometria para Americanos". Uma crítica (ou um incentivo) para 
que os estudantes de lá aprendam mais Geometria. 
Nos demais capítulos, acrescentou muitos outros 
problemas interessantes.
    Um belo livro.
Benedito

[obm-l] Problema legal

[benedito]

Problema Legal(Traduzido da Olimpíada de Matemática 
do Estado do Colorado - USA - 2002)

Fred Flistone e Barney 
Rubble disputam o seguinte jogo retirando caroços de uma pilha de 2002 caroços de feijão. Uma jogada consiste 
de retirar 1, 7 ou 
13 caroços. Eles jogam 
alternadamente e Fred faz a primeira jogada. O jogador que retirar o último 
caroço vence o jogo.
Quem vence: 
Fred ou Barney?

Benedito

Re: [obm-l] Leitura estranha

[benedito]

Prezado Rhilbert,

Acho que é assim:

Como 400 = 24 x 52, inicialmente se lê as páginas cujos 
números são múltiplos de 2 e 
5, menores do que ou iguais a 
400: 2, 4, 5, , 400. Em 
seguida, como 399 é o maior número menor do que 400 ainda não lido e 399 = 3 x 7 x 19, a leitura prossegue com todas as páginas numeradas com múltiplos 
de 3, 7 e 
19 e ainda não lidas: 3, 7, 9, , 399 (a leitura se dá na 
ordem usual). A seguir, vem a página 
numerada com o número 397, que é primo. A página seguinte é a de 
número 391 = 17 x 23. Neste caso, 
lê-se (na ordem usual) todas as páginas numeradas com múltiplos de 17 
e 23, abaixo de 391. Nessa altura, tem-se lido as 
páginas numeradas com os múltiplos de todos os primos menores ou iguais a 23, exceto as numeradas com 
múltiplos de 11 e 13: 11, 13, 22, 26, 33, 39, ..., 341, 
377. Desse modo, os únicos 
primos restantes são os maiores do que 
31, já que 292 = 
841  400. O último número é 37. 


Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Rhilbert Rivera 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, June 29, 2006 4:09 
  PM
  Subject: [obm-l] Leitura estranha
  
  
  Vi essa num fórum, mas sem a resposta. Tentei fazer e depois de 
  muito trabalho, fiquei na dúvida se a resposta é 37 ou 377. Gostaria de saber 
  um jeito memos complicado do que o meu para resolver, se é que estou no 
  caminho certo. Obrigado pela ajuda.
  
  
  Um 
  matemático excêntrico escreve um livro, numerando as páginas de 2 até 400, e 
  com a
  recomendação 
  de que a leitura deve ser feita na seguinte ordem. Identifica-se a última 
  página não lida (no início da leitura é a página de número 400) e a seguir 
  lê-se (na ordem usual) todas as páginas numeradas com números que não são 
  relativamente primo com ela e que não tenham sido lidas anteriormente. 
  Repete-se este procedimento até que se completa a leitura do livro. Deste 
  modo, a ordem da leitura seria 2, 4, 5, , 400, 3, 7, 9, , 399, 
  .
  Qual é a 
  última página a ser lida?
  
  MSN Alertas --• |¯¯¯| É gl! – Os gols da Copa no seu MSN Confira: 
  = 
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
  =

Re: [obm-l] desigualdades

[benedito]

Problema
Sem usar calculadora ou computador, qual é o 
maior e^pi ou pi^e?

Benedito Freire

[obm-l] Problema

[benedito]

Problema
Um matemático sai de casa todos os dias com duas caixas de fósforos, cada 
uma contendo  45  palitos. Toda vez que ele quer acender um cigarro, pega 
uma das caixas, ao acaso,e retira de lá um palito. O matemático é muito 
distraído, de modo que quando ele retira o último palito de uma caixa, não 
percebe que a caixa fica vazia. Como ele fuma muito, em certa hora ele pega 
uma caixa e constata que ela está vazia.
Qual é a probabilidade de nesse momento a outra caixa conter exatamente  10 
palitos?


Benedito


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Encontrar o fator

[benedito]

Prezado Ricardo,

Seja  N  da forma  3k + 2. Observe que o produto de dois números da forma 
3k + 1  é também da forma  3k + 1,  k um inteiro. Por outro lado,  o produto 
de dois números da forma   3k+2  é da forma  3k +1. Assim,  se todos os 
fatores  primos  de  N  fosse da forma  3k + 2,  N  não seria da forma  3k 
+2. Portanto,  N tem de possuir um fator primo da forma  3k + 1.

Acho que é isso.
Benedito

- Original Message - 
From: Ricardo Khawge [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, April 30, 2006 9:00 AM
Subject: [obm-l] Encontrar o fator




Alô a todos, peço uma ajuda numa questão:


Demonstre que todo inteiro da forma 3k+2 tem um fator primo dessa forma.

Observação: Olhando alguns exemplos, parece que esses números tem sempre 
um fator primo da forma 3t+1, se isso for verdade o problema estaria 
resolvido, não?

Obrigado Pessoal

_
Seja um dos primeiros a testar o  Windows Live Messenger Beta a geração do 
seu MSN Messenger. 
http://imagine-msn.com/minisites/messenger/default.aspx?locale=pt-br


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l]

[benedito]

Dois 
problemas interessantes:

 1) Tem-se um polígono regular de 1000 lados.
 Eugênia pinta 500 vértices de cor azul e os 500 vértices restantes de cor lilás. 

 Augustina ganha se pode escolher 3 
vértices azuis e 3 
vértices lilás, de maneira 
que o triângulo determinado pelos três vértices azuis e o 
triângulo determinado pelos três vértices lilás 
sejam congruentes.
 Demonstre que Augustina sempre pode ganhar, independente de como 
Eugênia pinta os vértices.

2) Num 
tabuleiro 5 por 5, dois jogadores disputam um jogo, em 
que jogam alternadamente. O primeiro a jogar coloca um cavalo em algum dos 
quadrados. A partir daí, os jogadores movem o cavalo com as mesamas 
regras do xadrez, começando com o segundo jogador. Não é permitido mover o 
cavalo para um quadrado em que ele já tenha estado previamente. O jogador que 
não pode mover perde a partida.
Qual dos 
dois jogadores tm uma estratégia vencedora?

Benedito 
Freire

[obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!

[benedito]

- Original Message - 
From: Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, January 06, 2006 10:31 AM
Subject: [obm-l] ESTRATÉGIA VENCEDORA!


Oi, Pessoal!

2002 cartas com os numeros 1, 2, 3, .,2002 escritos, são dispostas sobre
uma mesa, com a face para cima (com os números visíveis). Dois jogadores,
alternadamente, vão tirando as cartas, até que todas tenham sido retiradas.
O vencedor é aquele cujo último dígito da soma dos números de suas cartas
for maior. Explique qual dos dois jogadores pode vencer (independentemente
das jogadas do outro), mostrando sua estratégia vencedora.

Solução
O primeiro a jogar tem a estratégia vencedora. Ele escolhe a carta 2002  na 
sua primeira jogada. Depois disso, sempre que o segundo jogador escolher uma 
carta ele escolhe outra com o mesmo número final (dígito da unidade). Para 
cada dígito  d  existem  200  cartões terminados com  d. Por isso, o jogador 
que começa pode escolher uma carta de modo que neutraliza  a escolha do 
segundo. É isso...
Benedito 



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Re: [obm-l] KAPLANSKY

[Benedito]

Veja o livro de Análise Combinatória, de autoria 
do Morgado, Pitmbeira e outros. Este livro é da Coleção do Professor de 
Matemática, publicado pela Sociedade Brasileira de Matemática, que tem uma 
exposição fácil, muitos problemas interessantes e uma leitura 
estimulante.
O preço é muito accessível. Boa 
leitura.
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Danilo Nascimento 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Wednesday, October 05, 2005 9:21 
  PM
  Subject: [obm-l] KAPLANSKY
  
  Alguem poderia enunciar o 1º e o 2º lema de Kaplansky e a sua 
  demonstração e me dar alguns exemplos.
  
  []'s
   Danilo
  
  
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Re: [obm-l] The Art of Problem Solving

[benedito]

Muito bons.
Benedito

- Original Message - 
From: Adroaldo Munhoz [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, October 02, 2005 6:50 PM
Subject: [obm-l] The Art of Problem Solving


Alguém conhece os livros /* The Art of Problem Solving, Volumes I and
II*/, de Sandor Lehoczky e Richard Rusczyk?

São bons?

Abraços,

Aldo
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Re: [obm-l] 1 Problema

[Benedito]

- Original Message -
From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, September 04, 2005 1:50 AM
Subject: Re: [obm-l] 1 Problema
Não.



   Claro!

   1010 pois 1 nao conta.


 --- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:

 
 
  1000 = 104*9+64 = 10*105+64=1114
  --- Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu:
 
   Segue um problema interessante:
  
   Problema
   Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros
   positivos relativamente primos com 105. Determine
  o
   milésimo termo.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Re: [obm-l] 1 Problema

[Benedito]

Desculpe-me, não está correto!
Benedito

- Original Message -
From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Sunday, September 04, 2005 1:37 PM
Subject: Re: [obm-l] 1 Problema



 Desculpem a confusao

n*(1-1/3-1/5-1/7+1/15+1/21+1/35-1/105)=1000

maior inteiro em n + 1 = 2188 considerando que 1
 nao eh primo com 105.


 --- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:

 
 
Claro!
 
1010 pois 1 nao conta.
 
 
  --- Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
  escreveu:
 
  
  
   1000 = 104*9+64 = 10*105+64=1114
   --- Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu:
  
Segue um problema interessante:
   
Problema
Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros
positivos relativamente primos com 105.
  Determine
   o
milésimo termo.
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
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Re: [obm-l] 1 Problema

[benedito]

Não. Procure um raciocínio lógico capaz de levar a solução. Não é dificil.
Benedito

- Original Message - 
From: Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Saturday, September 03, 2005 12:15 AM
Subject: Re: [obm-l] 1 Problema


1009?

- Original Message -
From: benedito [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, September 02, 2005 8:04 PM
Subject: Re: [obm-l] 1 Problema


Deculpe-me, a sua resposta não está correta.
Benedito

- Original Message -
From: Eduardo Wilner [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Friday, September 02, 2005 5:37 PM
Subject: Re: [obm-l] 1 Problema




   1000 = 104*9+64 = 10*105+64=1114
--- Benedito [EMAIL PROTECTED] escreveu:


Segue um problema interessante:

Problema
Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros
positivos relativamente primos com 105. Determine o
milésimo termo.










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[obm-l] 1 Problema

[Benedito]

Segue um problema interessante:

Problema
Dispõem-se em ordem crescente, todos os inteiros 
positivos relativamente primos com 105. Determine o milésimo 
termo.

[obm-l] Problema

[benedito]

Quinze moedas de mesmo 
diâmetro são dispostas formando um triângulo eqüilátero. As faces de cada uma 
das moedas são pintadas ou de branco ou de preto. Prove que, qualquer que seja a 
pintura, existem três moedas de mesma cor cujos centros são vértices de um 
triângulo eqüilátero.--
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Re: [obm-l] Livros

[Benedito CCET]

Para alguns títulos, consulte www.ufrn.br/olimpiada ,
na seção bibliografia.
Benedito
- Original Message - 
From: Celso Souza [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Wednesday, December 22, 2004 5:16 AM
Subject: [obm-l] Livros


Olá Olavo !
  Meu nome é Celso, e também sou professor,
apaixonado por matemática.
  Minha formação não é de matemático, sou engenheiro
mecânico-aeronáutico. Apesar de ter feito MUITOS
cursos relativos a matemática na faculdade, tenho
pouca bagagem em geometria, topologia, etc...
  Tenho buscado livros do estilo do Lidski ( livro da
editora MIR, com problemas e soluções ) e livros do
tipo do Caronnet ( apesar de ter apenas um exemplar do
Caronnet ). Mas gostaria de aprofundar meus
conhecimentos na matemática, principalmente em
olimpíadas.
  Caso você tenha dicas de bons livros, eu me
interesso em saber quais os livros que são bons para
os fins que citei acima, olimpíadas e vestibulares
como os do ITA e do IME.
  Além disso, você sabe onde eu posso comprar os
livros do Caronnet?
  Um grande abraço !
Celso Faria de Souza


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[obm-l] Questoes de Geomeria

[benedito]

Seguem três problemas (interessantes) de Geometria:
Problema  1
Nos extremos de um diâmetro de um círculo, escreve-se o número 1 (primeiro 
passo). A seguir, cada semicírculo é dividido ao meio e em cada um dos seus 
pontos médios escreve-se a soma dos números que estão nos extremos do 
semicírculo (segundo passo).  A seguir, cada quarto de círculo é dividido ao 
meio e em cada um dos seus pontos médios coloca-se a soma dos números que 
estão nos extremos de cada arco (terceiro passo). Procede-se, assim, 
sucessivamente: sempre cada arco é dividido ao meio e em seu ponto médio é 
escrita a soma dos números que estão em seus extremos.
Determinar a soma de todos os números escritos após  2004  passos.

Problema 2
São dadas dois círculos secantes, com pontos de nterseção C  e  D. Traça-se 
por  C  uma secante aos dois círculos, que intercepta um deles em  E  e o 
outro em F. Mostre que a medida do ângulo   é constante.

Problema  3
Um polígono convexo inscritível num círculo possui  2n  vértices, numerados 
sucessivamente de  1  a  2n. Mostre que a soma das medidas dos ângulos 
internos cujos vértices receberam números ímpares é igual à soma das medidas 
dos ângulos internos cujos vértices receberam números pares.

Benedito
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[obm-l] Mais um Legal

[benedito]

Segue mais um problema interessante.
Benedito Freire





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[obm-l] Problema Legal

[benedito]

Abaixo, segue um problema legal:



Problema

Num corredor, existem  100  armários  em fila, numeradas de  1  até  100. Um
pintor vem e pinta todas os armários de vermelho. Em seguida, vem um segundo
pintor e pinta de azul os armários de três em três, começando do armário
número 3. A seguir, vem um terceiro pintor e pinta de vermelho os armários
de cinco em cinco, começando no armário de número 5 (ele pinta de vermelho,
mesmo que o armário já seja vermelho). Em seguida, vem um quarto pintor e
pinta de azul os armários de sete em sete, começando no armário  7. A
seguir, vem um quinto pintor, e assim por diante, alternando a pintura
vermelha, azul, até o pintor de número 50.

No final, quantos armários são vermelhos?




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Re: [obm-l] Dados da IMO 2004

[benedito]

Segue mais um problema interessante (Agora com o problema. Desculpem a
falha).
Benedito Freire


- Original Message -
From: Carlos Yuzo Shine [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, October 06, 2004 3:31 PM
Subject: [obm-l] Dados da IMO 2004


Olá!

Recebi hoje um email da organização da IMO dizendo que
o site da IMO foi atualizado (!).

Lá tem uns dados bem legais, como gráficos da
distribuição de pontuações por problema.

Também há fotos lá!

Confiram:
   http://www.imo2004.gr/fimo/

[]'s
Shine



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[obm-l] Mais um problema legal

[benedito]

 Segue mais um problema interessante (Agora com o problema. Desculpem a
falha).
 Benedito Freire

PROBLEMA

Sem levar em consideração a ordem, de quantas maneiras podemos expressar
2002  como soma de  3  inteiros positivos?

(Atenção: 1000 + 1000 + 3 = 2002   e  1000 + 2 + 1000 = 2002  não são
consideradas maneiras distintas de expressar  2002  como soma de inteiros
positivos)




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[obm-l] Teoria dos Números - Ensino Médio

[benedito]

Veja os seguintes:

Santos, José Plínio de Oliveira, Teoria dos Números, Coleção Matemática
Universitária, RJ, IMPA.-1998



Burton, David M.,  Elementary Number Theory , McGraw-Hill, New York, 1998.



Shokranian, S., Soares, M.,   Godinho, H., Teoria dos Números, Editora UnB,
1994.


Vinogradov, I., Fundamentos de La  Teoria de Los Numeros,  Editora Mir,
Moscou, 1977.

Benedito Freire

- Original Message -
From: Eric [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, October 03, 2004 10:48 AM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Teoria dos Números - Ensino Médio


 Estou precisando encontrar uma bibliografia adequada sobre Teoria dos
 Números, porém com uma linguagem acessível para alunos do Ensino Médio.





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[obm-l] Olimpíada do RN

[benedito]

Já estão no site  www.ufrn.br/olimpiada
as provas ( e as soluções) da  XV Olimpíada de Matemática do Rio Grande do
Norte - 2004 (Segunda Etapa).
Alguns dos problemas estão logo a seguir

NÍVEL  I  (5a e 6a Séries)
Problema 4
Sabemos que um trilhão (o mesmo que 1012) é um número quadrado perfeito,
pois .

Qual o menor número natural que é maior que um trilhão e que é um quadrado
perfeito?



Nível II (7a  e 8a  Séries)

Problema 2

Dois operários vão pintar os números dos armários de uma escola. Enquanto o
mais velho dos pintores pinta cinco algarismos, o mais novo só consegue
pintar quatro. O pintor mais novo começou pelos números mais baixos  1, 2,
3, . O pintor mais velho começou pelo último armário e foi pintando em
ordem decrescente, até encontrar seu colega. No final, duas coincidências se
verificaram:

  a.. Os dois pintores acabaram ao mesmo tempo, cada um em seu armário.
  b.. Os dois pintaram o mesmo número de armários.
Quantos armários há na escola?

  Nível III (Ensino Médio)

Problema 2
Um matemático excêntrico escreve um livro, numerando as páginas de  2  até
400, e com  a recomendação de que a leitura deve ser feita na seguinte
ordem. Identifica-se a última página não lida (no início da leitura é a
página de número 400) e a seguir lê-se (na ordem usual) todas as páginas
numeradas com números que não são relativamente primo com ela e que não
tenham sido lidas anteriormente. Repete-se este procedimento até que se
completa a leitura do livro. Deste modo, a ordem da leitura seria  2, 4, 5,
, 400, 3, 7, 9, , 399, .
Qual é a última página a ser lida?



Problema 3
Numa cidade, a Avenida Jerimum tem dez quadras de comprimento. Em cada
quadra moram um rapaz e uma garota. Eles querem fazer amigos de tal modo que
cada rapaz seja amigo de exatamente uma garota e vice-versa. Ninguém quer um
amigo(a) morando mais de uma quadra de distância da sua, mas eles podem
morar na mesmo quadra.

Nestas condições, quantos pares   (rapaz, garota)   existem?



Problema 4
Na figura abaixo, ABCDE  é um pentágono cujo lado DC está sobre a reta (r).
Traçamos EF//AD  e  BG//AC.

Verifique que o triângulo  AGF  e  o pentágono ABCDE  têm a mesma área.




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[obm-l] Lista de exercícios - Análise Combinatória

[benedito]

Prezada Daniela,
O livro do Morgado et all: "Análise Combinatória e 
Probabilidade" tem uma coleção de problemas estimulantes e desafiadores. A nova 
edição, com soluções dos exercícios ficou ainda melhor.
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Daniela Yoshikawa 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, September 04, 2004 11:37 
  AM
  Subject: [obm-l] Lista de exercícios - 
  Análise Combinatória
  
  Olá a todos!
  
  Alguém possui lista de exercícios (fácil, médio e difícil) sobre PFC, 
  combinação, permutação, arranjo?
  Se tiverem, manda pra mim!
  
  Desde já agradeço,
  
  Daniele *-_-*
  --
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[obm-l] Re: [obm-l] Exercício

[Benedito]

Tome r como a média aritmética dos dois 
números dados.
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Marcelo 
  Augusto Pereira 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Saturday, April 24, 2004 6:20 
  PM
  Subject: [obm-l] Exercício
  
  Mostrar que se r1 e r2 são racionais e r1r2, 
  então existe um racional r tal que r1rr2.-- Esta 
  mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar 
  livre de perigo. --
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[obm-l] Re: [obm-l] CÁLCULO DE ÁREA

[Benedito]

Minha sugestão é para usar Cálculo de funções com 
duas variáveis.
Parametrize a hipociclóide usando seno e cosseno. 

Em seguida, use uma variante do Teorema 
deGreen, que permite calcular áreas usando uma integral de 
linha.
Fica fácil e as contas são mínimas.
Boa sorte.
Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Alan Pellejero 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, April 21, 2004 4:46 
  PM
  Subject: [obm-l] CÁLCULO DE ÁREA
  
  Olá amigos da lista,
  
  estou me enrolando nesse exercício aqui, alguém podia e ajudar por 
  favor?
  
  Encontre a área encerrada pela hipociclóide 
  
  x ^ (2/3) + y ^ (2/3) = a ^ (2/3)
  
  Muito obrigado!
  
  Alan Pellejero
  
  
  Yahoo! 
  Messenger - Fale com seus amigos online. Instale 
  agora! --
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Re: [obm-l] Livro de Algebra

[benedito]

Vou indicar um que considero um excelente livro de Álgebra Abstrata:
John B. Fraleigh -A First Course in Abstract Algebra
Esse é um dos melhores que já estudei. Nele tem questões de certo errado,
explicações convincentes e uma didática de dá inveja..
O Prof. Fraleigh tem uma home-page, você pode acessá-la, o endereço: veja no
www.google.com  digitando Fraleigh.
Não o conheço pessoalmente.
O livro está na sétima edição Experimente...
Benedito

- Original Message -
From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, April 02, 2004 3:19 PM
Subject: [obm-l] Livro de Algebra


Pessoal,
Alguem, por acaso, conhece um bom livro de algebra?? e
de probabilidade?? (de pref. em portugues ou frances,
mas se não existir, pode ser em ingles mesmo..rs)

agradeco desde ja..

Daniel S. Braz

__

Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora:
http://br.yahoo.com/info/mail.html
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[obm-l] Re: [obm-l] 3 problemas de lgebra

[benedito]

Title: Help



Cludio,

Enviei para seu E-Mail particular uma sugesto de soluo para 
o primeiro problema.
Feito todos os detalhes, fica muitolonga. Este  um 
problema no trivial que aparece no livro do I.N. Herstein: Topics in 
Algebra.
Num seminrio dado pelo Prof. Gervsio Gurgel, da UFCE, vi uma 
demonstrao da generalizao, um problema no trivial, feito por um Matemtico 
americano chamado Jacobson.

Benedito

  - Original Message - 
  From: 
  Cludio (Prtica) 
  To: [EMAIL PROTECTED] 
  Sent: Wednesday, March 31, 2004 2:03 
  PM
  Subject: [obm-l] 3 problemas de 
  lgebra
  
  Oi, pessoal:
  
  Nesse momento estou pensando nos seguintes 3 problemas de lgebra:
  
  1) Seja A um anel tal que para todo x em A, x^3 = x.
  Prove que A  comutativo.
  
  2) Seja A = anel das funes contnuas de [0,1] em R.
  Prove que se M  um ideal maximal de A, ento existeb em [0,1] tal 
  que M = {f em A | f(b) = 0}.
  (essa  uma condio necessria e suficiente pra M ser um ideal maximal, 
  mas a suficincia eu j consegui provar).
  
  3) Seja A um anel com 1 que tem elementos a, b satisfazendo: ab = 
  b e b^2 = a.
  Prove que A contm um inversvel u tal que ub = bu = a.
  
  Se algum quiser dar algum palpite, seja bem vindo.
  
  []s,
  Claudio.
  
  -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de 
  antivrus e acredita-se estar livre de perigo. 

[obm-l] Res: [obm-l] Re: [obm-l] Vírus na lista

[Benedito]

---Mensagem original---


De: [EMAIL PROTECTED]
Data: Monday, March 29, 2004 18:46:47
Para: obm-l
Cc: obm-l
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Vírus na lista


Caro amigo 

O amigo Barzeus (Claudio Arconcher)é um grande matemático, uma pessoa maravilhosa que esta nesta lista desde o seu inicio, com um único objetivo ajudar o proximo que pode ser você. 
Como o Barzeus, estão outros grandes como Barone, Morgado, Lopes,Raph,Gugu, Nicolau, Benedito, Paulo Santa Rita, Eduardo Wagner,
Alguns desses, por não estar sabendo , pode passar um email com virus (hoje em dia coisa comum) por mais cuidado que tenha. Digo isto, por que já ocorreu comigo. Estas coisas são chatas para todos mas não são intencionais.

Por isso, quando criticar ou fazer qualquer reclamação tome um cuidado de quem você está falando, pois você pode esta ofedendo uma grande pessoa que só estava querendo te ajudar.

Este tipo de atitude é ruim para nós na lista e que aos poucos podem levar a uma perda de pessoas fantásticas que gastam o seu tempo somente par ajudar o proximo em troca de nada. Imagine perdemos o Nicolau, o Raph, Gugu, Morgado, Barzeus, etc. Digo mais, sinto faltam dos comentários do Paulo Cesar (apesar de não concordar com algumas ideias e comportamento) , acho que foi uma grande perda.
Assim, peço a você que não a palavra pejorativa engraçadinho, mas sim comunique a pessoa que ela esta simplesmente enviando virus. 

Espero que você como um bom colega desta lista compreenda o que eu falei acima.
Um abraço a você e a todos amigos desta grande lista.
PONCE




De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Mon, 29 Mar 2004 17:21:21 -0300 (ART)




Assunto:
Re: [obm-l] Vírus na lista






 este engraçadinho acabou de mandar um vírus para a lista 
 
 [EMAIL PROTECTED]


 Ricardo Bittencourt [EMAIL PROTECTED] wrote:
Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29)Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encararuma generalização: simplificar a fração(a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar.Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b,por indução completa.Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto.No caso geral, supondo válido até n-2:a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2))Mas pela hipótese de indução(a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)kLogo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk)Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fraçãooriginal no numerador e no denominador, mas alguém sabecomo mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja,que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ?Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk[EMAIL PROTECTED] "tenki ga ii kara sanpo shimashou"-- União contra o forward - crie suas proprias piadas --=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=


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[]a, L.PONCE.








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