[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas!!
01. 26 litros de uma solução de álcool + solvente a 30% (ou 30 graus G.L.) contêm 26 * 0,30 = 7,8 litros de álcool.Logo, são 26,0 - 7,8 = 18,2 litros de solvente.É necessário acrescentar x litros de soluto para que (x + 26) - 0,35 * (x + 26) = 18,2, sendo x + 26 o volume finalPortanto, x +26 - 0,35 * x - 9,1 = 18,2 ==> 0,65 * x + 16,9 = 18,2 ==> 0,65 * x = 1,3 ==> x = 2 litros.Logo, 2 litros de álcool devem ser adicionados. 02. 90% das crianças estão gripadas. Logo, é provável que 90% * 8% = 7,2% das crianças estejam gripadas e tenham manchas vermelhas na pele, e 90% * 92% = 82,8% das crianças estejam gripadas e NÃO tenham manchas vermelhas na pele.10% das crianças estão com rubéola. Logo, é provável que 10% * 95% = 9,5% das crianças estejam com rubéola e tenham manchas vermelhas na pele e 10% * 5% = 0,5% das crianças estejam com rubéola e NÃO tenham manchas vermelhas na pele.Se a criança examinada pelo médico tem manchas vermelhas na pele, ela está dentre os 7,2% + 9,5% = 16,7% de prováveis crianças com manchas vermelhas na pele. Fazendo uma regra de três: Rubéola: 9,5 - xQualquer doença: 16,7 --- 100% percebemos que x = 9,5 * 100% / 16,7. Logo, x é aproximadamente igual a 56,9%, que está mais próximo de 57%.Logo, há 57% de chances de que a criança tenha rubéola. From: claudiot...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dúvidas!! Date: Thu, 26 Nov 2015 02:21:43 + 01.Quantos litros de álcool devem ser adicionados a 26 litros de uma solução com 30% de álcool, para obtermos uma segunda solução com concentração de 35% de álcool? 02.Um médico foi chamado para examinar uma criança doente. Na vizinhança onde a criança mora, 90% das crianças estão gripadas, e os outros 10% estão com rubéola. Um sintoma comum de rubéola é o aparecimento de manchas vermelhas na pele, o que ocorre com probabilidade de 95%. No caso de gripe, manchas vermelhas na pele aparecem com probabilidade de 8%. Se, depois de examinar a criança, o médico observa que ela tem manchas vermelhas na pele, qual a probabilidade de a criança ter rubéola? Indique o valor inteiro mais próximo do valor obtido. Agradeço Antecipadamente -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. Este e-mail foi enviado por um computador sem vírus e protegido pelo Avast. www.avast.com -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Leia melhor a pergunta, e verifique que minha resposta é condizente. Note que em nenhum momento eu estou limitado a um grupo de 40 pessoas e no enunciado não fala que eu devo 'substituir' os homens por mulheres. Att. Eduardo From: claudiot...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 6 Mar 2015 13:13:06 + Mas, como 100 mulheres devem ser retiradas , se no grupo tem no máximo 40 pessoas?? Eu fiz deu 20 mulheres , não sei se estou errado. Abraços From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 27 Feb 2015 05:28:16 +0300 Num grupo de 40 adultos, exatamente 30% são de sexo feminino. Há várias maneiras de se aumentar essa porcentagem, seja introduzindo mulheres no grupo ,seja excluindo homens dele. a)Quantas mulheres devem ser introduzidas no grupo ,de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? Há 40 pessoas no grupo, 30% mulheres, logo há 12 mulheres e portanto 28 homens. Queremos 'colocar' mulheres para que o percentual chegue em 80%, dai então os 28 homens serão apenas 20% de um novo grupo maior. este grupo maior terá 140 pessoas (por que?). Logo você tem 140-28 = 112 mulheres nesse novo grupo, mas 12 já estavam lá, logo introduziu 100 mulheres. b)Quantos homens devem ser excluídos do grupo, de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%?Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, você tinha 28 homens no grupo, sobraram 15, logo você retirou 13. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Mas, como 100 mulheres devem ser retiradas , se no grupo tem no máximo 40 pessoas?? Eu fiz deu 20 mulheres , não sei se estou errado. Abraços From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 27 Feb 2015 05:28:16 +0300 Num grupo de 40 adultos, exatamente 30% são de sexo feminino. Há várias maneiras de se aumentar essa porcentagem, seja introduzindo mulheres no grupo ,seja excluindo homens dele. a)Quantas mulheres devem ser introduzidas no grupo ,de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? Há 40 pessoas no grupo, 30% mulheres, logo há 12 mulheres e portanto 28 homens. Queremos 'colocar' mulheres para que o percentual chegue em 80%, dai então os 28 homens serão apenas 20% de um novo grupo maior. este grupo maior terá 140 pessoas (por que?). Logo você tem 140-28 = 112 mulheres nesse novo grupo, mas 12 já estavam lá, logo introduziu 100 mulheres. b)Quantos homens devem ser excluídos do grupo, de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%?Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, você tinha 28 homens no grupo, sobraram 15, logo você retirou 13. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Ok!! Entendi. Obrigado. From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 6 Mar 2015 16:50:12 +0300 Leia melhor a pergunta, e verifique que minha resposta é condizente. Note que em nenhum momento eu estou limitado a um grupo de 40 pessoas e no enunciado não fala que eu devo 'substituir' os homens por mulheres. Att. Eduardo From: claudiot...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 6 Mar 2015 13:13:06 + Mas, como 100 mulheres devem ser retiradas , se no grupo tem no máximo 40 pessoas?? Eu fiz deu 20 mulheres , não sei se estou errado. Abraços From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 27 Feb 2015 05:28:16 +0300 Num grupo de 40 adultos, exatamente 30% são de sexo feminino. Há várias maneiras de se aumentar essa porcentagem, seja introduzindo mulheres no grupo ,seja excluindo homens dele. a)Quantas mulheres devem ser introduzidas no grupo ,de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? Há 40 pessoas no grupo, 30% mulheres, logo há 12 mulheres e portanto 28 homens. Queremos 'colocar' mulheres para que o percentual chegue em 80%, dai então os 28 homens serão apenas 20% de um novo grupo maior. este grupo maior terá 140 pessoas (por que?). Logo você tem 140-28 = 112 mulheres nesse novo grupo, mas 12 já estavam lá, logo introduziu 100 mulheres. b)Quantos homens devem ser excluídos do grupo, de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%?Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, você tinha 28 homens no grupo, sobraram 15, logo você retirou 13. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Em 06/03/2015 10:13, Cláudio Thor escreveu: Mas, como 100 mulheres devem ser retiradas , se no grupo tem no máximo 40 pessoas?? Eu fiz deu 20 mulheres , não sei se estou errado. Abraços - From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 27 Feb 2015 05:28:16 +0300 NUM GRUPO DE 40 ADULTOS, EXATAMENTE 30% SÃO DE SEXO FEMININO. HÁ VÁRIAS MANEIRAS DE SE AUMENTAR ESSA PORCENTAGEM, SEJA INTRODUZINDO MULHERES NO GRUPO ,SEJA EXCLUINDO HOMENS DELE. A)QUANTAS MULHERES DEVEM SER INTRODUZIDAS NO GRUPO ,DE MODO QUE A PORCENTAGEM DE MULHERES PASSE PARA 80%? Há 40 pessoas no grupo, 30% mulheres, logo há 12 mulheres e portanto 28 homens. Queremos 'colocar' mulheres para que o percentual chegue em 80%, dai então os 28 homens serão apenas 20% de um novo grupo maior. este grupo maior terá 140 pessoas (por que?). Logo você tem 140-28 = 112 mulheres nesse novo grupo, mas 12 já estavam lá, logo introduziu 100 mulheres. B)QUANTOS HOMENS DEVEM SER EXCLUÍDOS DO GRUPO, DE MODO QUE A PORCENTAGEM DE MULHERES PASSE PARA 80%? Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, você tinha 28 homens no grupo, sobraram 15, logo você retirou 13. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. B)QUANTOS HOMENS DEVEM SER EXCLUÍDOS DO GRUPO, DE MODO QUE A PORCENTAGEM DE MULHERES PASSE PARA 80%? Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, 15 é o novo grupo (H + M) como 12 são mulheres, então 3 são Homens. Se você tinha 28 homens no grupo anterior e no novo tem 3, você retirou 25 Homens. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
primeiro veja que temos 28 homens e 12 mulheres. resp a) para que a porcentagem de mulheres passe para 80% a de homens tem que ser 20%.28 está para 20%, assim como x está pra 80%. Sendo x o nº total de mulheres no grupo.fazendo a regrinha de três encontramos x = 112 mulheres no novo grupo. logo 112 - 12 = 100 mulheres adicionadas resp b)seguindo um raciocínio parecido teremos que12 está para 80% assim como y está para 20. Sendo y o nº total de homens no grupo.fazendo a regrinha de três encontramos y = 3 homens no grupo. Logo 28 - 3 = 25 homens excluídos do grupo. Num grupo de 40 adultos, exatamente 30% são de sexo feminino. Há várias maneiras de se aumentar essa porcentagem, seja introduzindo mulheres no grupo ,seja excluindo homens dele. a)Quantas mulheres devem ser introduzidas no grupo ,de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? b)Quantos homens devem ser excluídos do grupo, de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Ops, na última conta ali eu cometi um erro, me perdoe. x=15 implica que o novo grupo tem 15 pessoas e como 12 são mulheres, sobraram apenas 3 homens, logo 25 homens foram retirados. From: dr.dhe...@outlook.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Dúvidas Date: Fri, 27 Feb 2015 05:28:16 +0300 Num grupo de 40 adultos, exatamente 30% são de sexo feminino. Há várias maneiras de se aumentar essa porcentagem, seja introduzindo mulheres no grupo ,seja excluindo homens dele. a)Quantas mulheres devem ser introduzidas no grupo ,de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%? Há 40 pessoas no grupo, 30% mulheres, logo há 12 mulheres e portanto 28 homens. Queremos 'colocar' mulheres para que o percentual chegue em 80%, dai então os 28 homens serão apenas 20% de um novo grupo maior. este grupo maior terá 140 pessoas (por que?). Logo você tem 140-28 = 112 mulheres nesse novo grupo, mas 12 já estavam lá, logo introduziu 100 mulheres. b)Quantos homens devem ser excluídos do grupo, de modo que a porcentagem de mulheres passe para 80%?Você quer que 12 mulheres sejam 80% do novo grupo; 12 - 80% x - 100% = x=15. Ora, você tinha 28 homens no grupo, sobraram 15, logo você retirou 13. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Obrigado,Douglas.
Uma problema bem parecido: Uma escada tem n degraus.Voce sobe tomando um ou
dois a cada vez.De quantas maneiras voce pode subir?
Date: Mon, 11 Jun 2012 15:42:45 -0300
From: douglas.olive...@grupoolimpo.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Dúvidas em combinatória
Problema interessantíssimo, não tinha parado pra fazer até que percebi algo..
se voce for analisando a medida que os elementos crescem no conjunto perceba:
{} 1
{1}--- 2
{1,2}---3
{1,2,3}---5
{1,2,3,4}---8
...
os números que aparecem são os de fibonacci e analisando a sua resolução, voce
mesmo chegaria no teorema de lucas f_n+1=Cn,0 + Cn-1,1 +Cn-2,2 +...Cn-j,j onde
j é o maior inteiro menor ou igual a n/2, o que responde sua pergunta sobre n/2.
logo é só montar a recorrência e escrever a fórmula de binet.
Espero ter ajudado.
Douglas Oliveira!!!
On Mon, 4 Jun 2012 13:38:50 +, marcone augusto araújo borges wrote:
1)Quantos subconjuntos do conjunto {1,2,...,n} não contêm dois inteiros
consecutivos?
O vazio seria um deles
Com 1 elemento:n subconjuntos
Com 2 elementos:Cn-1,2
Com 3 elementos:Cn-2,3
.
.
.
Com n/2 elementos(se n é par):???
Eu pensei C(n/2 + 1,n/2) = n/2 + 1...mas isso é muito estranho,pois,se n =
10,por exemplo,só há 2 subconjuntos de 5 elementos que não contêm dois inteiros
consecutivos...
è necessario mesmo separar em 2 casos,n par e n ímpar?
2)Qual o argumento combinatório para mostrar que Cn,2 + Cn+1,2 = n^2?
Desde já agradeço.
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas- Logica Matemática
A questão 2,eu acho,seria passível de anulação,sim. From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Dúvidas- Logica Matemática Date: Tue, 8 May 2012 03:07:40 + 1- Um professor de Lógica, recém chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, significam sim e não mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas:1ª Os outros dois são verds?2ª Os outros dois são falcs?A primeira pergunta é respondida com glup pelos três mas à segunda pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro respondeu plug.Assim, o professor pode concluir que:a) todos são verds;b) todos são falcs;c) somente um dos três últimos é falc e glup significa não;d) somente um dos três últimos é verd e glup significa sim;e) há dois verds e glup significa sim. Dúvida no gabarito 2-Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos e não devolve troco. Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo? (A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10 (E) 9 O gabarito marca como 10 maneiras, até ai ok, mas quando ele diz que não devolve troco, me abre margem pra eu colocar dinheiro a mais na maquina ( 25 mais 3 de 10 ) pagaria o cafe e a maquina não devolveria troco. o que vcs acham estou errada ou essa questão seria passível de anulação? ou alteração de gabarito para letra c? 1º-10 x52º- 8x 5+ 103º- 6x5+ 2x104º-4x5 + 3x105º-2x5+ 4x106º-5x107º-25+5x58º-25+3x5+109º-25+5+2x1010º- 2x25 Vanessa Nunes
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função sin não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;) Abraco, Ralph 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: — A função “sin” é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: — Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função “sin” não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Obrigada Gabriel. Vanessa Nunes Date: Thu, 15 Mar 2012 09:47:12 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas From: gmerencio.san...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min.Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA,perpendicular à reta AT, mede, em km:(A) 3,78(B) 3,29(C) 2,56(D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica.A razão dessa progressão é igual a:(A)(B) 2(C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar.Vanessa Nunes
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 11:44 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Mas quem disse que o proximo termo eh sin(60°)? ;) Abraco, Ralph 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! O enunciado da 2ª questão está completamente errado! sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 Pior: A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! E mais: Toda PG é uma função polinomial, monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e decrescente para razões menores do que 1. A função sin não é polinomial! Quem elaborou esta questão??? Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Gabriel Merêncio Enviada em: 15 de março de 2012 09:47 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas 1 - João atravessa o percurso BT, de 12 km, com velocidade média de 15 km/h, o que significa que ele leva 12/15 * 60 = 48 minutos. Daí, restam 42 minutos para a trajetória CB, a qual João percorre com velocidade média de 10 km/h. Em 42 minutos (ou seja, 42/60 = 7/10 de hora), João percorre uma distância de 7 km, que é o valor de CB. Agora note que o ângulo CBA é suplementar ao ângulo CBT, então os senos são equivalentes. Como o seno é cateto oposto sobre hipotenusa: 0,54 = AC/CB = AC = 0,54 * 7 = 3,78. Alternativa (A), portanto. 2 - Podemos escrever seno de 30 como: sen(30º) = sen(15º + 15º) = sen(15º)cos(15º) + sen(15º)cos(15º) = 2sen(15º)cos(15º) Dividindo esse valor por sen(15º), que é o termo anterior, obtemos 2cos(15º). Alternativa (D). 2012/3/14 Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Olá, mas uma vez gostaria da ajuda dos colegas em algumas questões de concurso. 1-João se desloca diariamente de sua casa (ponto C) até o trabalho (ponto T), passando pelo (ponto B) em trajetórias retilíneas, conforme mostra a figura : Desenho em anexo Considere-se que, num determinado dia, João percorreu: - a distância CB, com velocidade média de 10 km/h; - a distância BT = 12 km, com velocidade média de 15 km/h; - toda essa trajetória em 1h30min. Se o seno do ângulo CBT vale 0,54, o segmento CA, perpendicular à reta AT, mede, em km: (A) 3,78 (B) 3,29 (C) 2,56 (D) 2,14 2-A sequência (sen15º, sen30º,...) é uma progressão geométrica. A razão dessa progressão é igual a: (A) (B) 2 (C) sen2° (D) 2cos15° Agradeço quem puder ajudar. Vanessa Nunes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc- rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) — veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Você sabe que eu gosto de análise, né? Complexa é melhor ainda. sin(pi/2 + I* arcsinh(1/8 * 1/sin(pi/12)^2) está na PG, assim como sin(pi/2 + I*arcsin(1/16 * 1/sin(pi/12)^3)), etc, etc. Ah, e se você acha arcsinh feio (porque o resto é bonitinho, mesmo o seno de 15° que eu não expandi pra economizar espaço), é só um logaritmo de uma raiz de uma equação de segundo grau, então é bem explícito ;) Observações: 1) a função seno nos complexos tem exatamente o mesmo problema da exponencial, ou seja, arco seno não é bem definido, da mesma forma que o logaritmo, afinal de contas, ela continua sendo 2pi periódica! Assim, não apenas esses valores, mas infinitos mais (como acima) fazem parte da seqüência. O mais estranho é que começa no eixo real, e termina numa vertical imaginária sobre pi/2. 2) Aliás, assimptoticamente, os argumentos estarão em PA, porque afinal de contas sin(pi/2 + iy) = sinh(y) que é quase igual à exponencial exp(y)/2, ainda mais quando y - infinito, e como os termos da PG também formam uma função exponencial a*exp(k*n), tudo fica bonitinho. Exercício: calcular o erro da falsa PA das ordenadas imaginárias no resto da seqüência, e encontrar o limite log(erro_n)/n (ou seja, a velocidade do decaimento, e a dica é que a ordem é exponencial, o que é de se esperar). O primeiro que responder esse exercício ganha o doce do Bouskela :). Abraços reais e imaginários, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Olá, Ralph! Jogo a toalha! Você merece o doce! Devo, não nego, pagarei quando puder! Mas eu posso me justificar (só pra não ficar coberto de vergonha!): Qdo. vi a questão, vi assim: [ sin(15°), sin(30°)... ] e, não, [ sin(15°), sin(30°), ... , ]. A diferença é sutil, reconheço! Entretanto, embora correta, a questão me induziu ao erro e isto não é correto! Afinal, qualquer cristão (sou materialista dialético!), ao olhar para [ sin(15°), sin(30°), ... ], enxerga [ sin(15°), sin(30°), sin(60°)... ]. Repare que a questão refere-se a uma PG, então o termo PG ficou martelando na minha cabeça! Bem, ao ler isto aí de cima, soa como uma desculpa pra lá de esfarrapada é verdade! Contudo, há um fato incontrastável (palavra bonita!): eu erraria a questão! Mas eu tenho todos (todos!) os conhecimentos necessários para resolvê-la fácil e rapidamente! Mesmo assim eu erraria! Só posso concluir que questão esteja mal formulada. Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com -Mensagem original- De: ralp...@gmail.com [mailto:ralp...@gmail.com] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: 15 de março de 2012 13:02 Para: bousk...@msn.com Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas Oi, Bouskela. Os termos sao sin15 sin30 2sin30cos15 4sin30(cos15)^2 8sin30(cos15)^3 ... :P Concordo contigo que fica dificil fazer uma P.A. com um bando de senos (bom, especialmente com os argumentos em P.A. ou P.G.) -- voce demonstrou isso ali em cima. Mas eles colocaram ... no terceiro termo. Ninguem falou que os termos sao um bando de senos, muito menos de senos de arcos em P.A. Eles disseram que eh uma P.G., e que os dois primeiros termos sao (raiz(6)-raiz(2))/4 e 1/2, soh isso. Alias, acho que eh o contrario -- o PONTO da questao eh exatamente que nao se faz uma P.G. simplesmente botando P.G. ou P.A. nos argumentos dos senos. Note a resposta errada (C) -- se algum aluno achar que sina.sinb = sin(ab), ele marca sin2 como resposta, e acha que a P.G. eh sin15, sin30, sin60, sin120, sin240 -- que, como voce disse seria absurdo. Em suma, acho que a questao estah corretissima, e ela estah tentando ensinar exatamente o que voce afirma corretamente. Ela concorda contigo! Abraco, Ralph P.S.: Quero meu doce! ;) 2012/3/15 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Tá bom... o próx. termo é sin(75°) veja o meu e-mail anterior. Te dou um doce se você achar o próximo! :-))) Veja o e-mail que enviei ao Bernardo (está abaixo) Abraço, Albert Bouskela bousk...@msn.com E-mail enviado ao Bernardo: Olá! O que quis dizer é: PG: [ a, a(r), a(r^2), a(r^3) ... a(r^n) ] , um polinômio de grau n (estou me referindo a uma PG finita). sin: [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] , sendo argi = argumento de índice i. Daí, é necessário (necessário para este problema, é claro!) encontrar uma equação recursiva entre argi e argi+1 que satisfaça à: sin(argi) = a(r^k) , para i=a...b e k=c...d , a e b inteiros, assim como também c e d. Veja que se pode fazer k=1...n sem perda de generalidade. Não é possível encontrar esta equação recursiva, porque [ sin(arg1), sin(arg2), sin(arg3) ... sin(argn) ] não é um polinômio para qualquer i (inteiro). É claro que poderíamos fazer: [ sin(15°), sin(30°), sin(75°) ] . Realmente uma PG! Mas não é este o enunciado do problema!!! E mais: O próximo (4°) termo desta PG é maior do que 1 (igual a 1,87). Portanto, já não pode ser expresso como o seno de um ângulo. O enunciado do problema (tal como está!) não faz sentido. É mais fácil ver isto através dos outros argumentos que apresentei: sin(30°)/sin(15°) = 2cos(15°) = 1,93 Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(60°): sin(60°)/sin(30°) = 2cos(30°) = 1,73 1,93 é diferente de 1,73 (não vou colocar ! para não ficar parecendo o fatorial de 1,73). Supondo que o próx. termo da sequência seja sin(45°), também não forma uma PG! A função sin é periódica (cresce e decresce periodicamente). Daí nunca poderá formar uma PG! Toda PG é monotonamente crescente para razões maiores do que 1, e monotonamente decrescente para razões menores do que 1. Albert Bouskela bousk...@msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re : [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Eduardo e Marcone e demais cilegas da Lista.Muito obrigado pelas orientações
dadas , e acima de tudo agradeço a consideração de todos vocês.
Um abraço
Paulobarclay
--- Em dom, 21/3/10, Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br escreveu:
De: Eduardo Wilner eduardowil...@yahoo.com.br
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 21 de Março de 2010, 0:25
Esquece... No avançado das horas confundí milhar com centena...Desculpe.
--- Em sex, 19/3/10, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 19 de Março de 2010, 20:22
De onde sai b-a=4?8001+100a+10b-6633=1008+100b+10a implica
8001-6633-1008=100b-10b+10a-100a.Dai 360=90*(b-a).Então b-a=4.Sobre a segunda
pergunta,não entendi.Abraço.
Date: Thu, 18 Mar 2010 18:26:38 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
To: obm-l@mat.puc-rio.br
De onde sai b - a = 4 ? O problema diz que E mais a diferença entre o
algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7 ...
O das unidades deve ser no mínimo 6, assim deveria ser o das unidades menos o
do milhar igual a 7 ???
--- Em qui, 18/3/10, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 18 de Março de 2010, 21:18
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Sobre a questão 2,uma das possibilidades é o numero (8ab1),q subtraido de 6633
dá 8001+100a+10b-6633=(1ba8)=1008+100b+10a.Dai b-a=4.Obtemos assim os números
8041(8041-6633=1408);8151;8261;8371;8481 e 8591.Ai tem q ver se tem mais
números da forma 8ab1.Outra possibilidade é o número (9xy2)...depois vejo se
concluo,mas acho q já é um bom caminho...
Abraço
Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Dúvidas
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi Pessoal.
Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas:
1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n...
Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas:
a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8.
b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos.
Determine a soma da PG original.
Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo
a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão.
2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número
6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de
k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades
simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas
caracteristicas?
Desde já agradeço a atenção
Grato
Paulobarclay
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE : [obm-l] Dúvidas
Esquece... No avançado das horas confundí milhar com centena...Desculpe.
--- Em sex, 19/3/10, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 19 de Março de 2010, 20:22
De onde sai b-a=4?8001+100a+10b-6633=1008+100b+10a implica
8001-6633-1008=100b-10b+10a-100a.Dai 360=90*(b-a).Então b-a=4.Sobre a segunda
pergunta,não entendi.Abraço.
Date: Thu, 18 Mar 2010 18:26:38 -0700
From: eduardowil...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
To: obm-l@mat.puc-rio.br
De onde sai b - a = 4 ? O problema diz que E mais a diferença entre o
algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7 ...
O das unidades deve ser no mínimo 6, assim deveria ser o das unidades menos o
do milhar igual a 7 ???
--- Em qui, 18/3/10, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com
Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 18 de Março de 2010, 21:18
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Sobre a questão 2,uma das possibilidades é o numero (8ab1),q subtraido de 6633
dá 8001+100a+10b-6633=(1ba8)=1008+100b+10a.Dai b-a=4.Obtemos assim os números
8041(8041-6633=1408);8151;8261;8371;8481 e 8591.Ai tem q ver se tem mais
números da forma 8ab1.Outra possibilidade é o número (9xy2)...depois vejo se
concluo,mas acho q já é um bom caminho...
Abraço
Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700
From: paulobarc...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] Dúvidas
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Oi Pessoal.
Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas:
1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n...
Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas:
a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8.
b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos.
Determine a soma da PG original.
Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo
a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão.
2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número
6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de
k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades
simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas
caracteristicas?
Desde já agradeço a atenção
Grato
Paulobarclay
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[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Oi Luis , agradeço a sua ajuada.A raiz da equação é 1/2. A dúvida que estou tendo é que na primeira sub PG a_1,a_3,...a_3n . O promeiro termo não me parece adequado , pois na hora de calcular a razão dessa nova PG : a_3/a_1 difere de a_6 / a_3. Quando Eliminamos o a_1 a razão passa a ser 1/10 e a soma fica 8,88.. que não é aquela dada no enunciado.Se você considerar o a_1, como está no enunciado,. a soma vai para 888,888Aí parei! Desde ,mais uma vez , agradeço a sua ajuda e de todo pessoal da lista.Fiquem, a vontade para me corrigirem , tô aqui pra aprender . um abraço PauloBarclay --- Em qui, 18/3/10, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: De: Luís Lopes qed_te...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 18 de Março de 2010, 16:44 Sauda,c~oes, Desculpem pelo envio de mensagens mais ou menos repetidas. Vamos ver se esta chega com uma resposta somente. Fiz o sistema (a_2/q)/(1-q^2) = 8 e (a_2q^2)/(1-q^4) = 4/5. Resolvendo encontro 10q^3 = 1 + q^2 E parei aqui. q = ? []'s Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Dúvidas To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Coloque sua foto num tema anos 60, 70 e 80. Conheça o novo site de I Love Messenger. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Sauda,c~oes, Desculpem pelo envio de mensagens mais ou menos repetidas. Vamos ver se esta chega com uma resposta somente. Fiz o sistema (a_2/q)/(1-q^2) = 8 e (a_2q^2)/(1-q^4) = 4/5. Resolvendo encontro 10q^3 = 1 + q^2 E parei aqui. q = ? []'s Luis Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Dúvidas To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Navegue sem medo com o Internet Explorer 8. Clique aqui para instalar gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Sobre a questão 2,uma das possibilidades é o numero (8ab1),q subtraido de 6633 dá 8001+100a+10b-6633=(1ba8)=1008+100b+10a.Dai b-a=4.Obtemos assim os números 8041(8041-6633=1408);8151;8261;8371;8481 e 8591.Ai tem q ver se tem mais números da forma 8ab1.Outra possibilidade é o número (9xy2)...depois vejo se concluo,mas acho q já é um bom caminho... Abraço Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Dúvidas To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes _ Com o Internet Explorer 8 você fica mais protegido contra ameaças da web. Saiba mais. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Realmente, para ser uma PG, a_1 não pode aparecer. Além disso, iniciando essa progressão com a_3, a unica solução positiva para a razão seria 1 o que é imcompatível... . --- Em qua, 17/3/10, Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br escreveu: De: Paulo Barclay Ribeiro paulobarc...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Dúvidas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 17 de Março de 2010, 14:51 Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
De onde sai b - a = 4 ? O problema diz que E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7 ... O das unidades deve ser no mínimo 6, assim deveria ser o das unidades menos o do milhar igual a 7 ??? --- Em qui, 18/3/10, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: De: marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 18 de Março de 2010, 21:18 Sobre a questão 2,uma das possibilidades é o numero (8ab1),q subtraido de 6633 dá 8001+100a+10b-6633=(1ba8)=1008+100b+10a.Dai b-a=4.Obtemos assim os números 8041(8041-6633=1408);8151;8261;8371;8481 e 8591.Ai tem q ver se tem mais números da forma 8ab1.Outra possibilidade é o número (9xy2)...depois vejo se concluo,mas acho q já é um bom caminho... Abraço Date: Wed, 17 Mar 2010 10:51:55 -0700 From: paulobarc...@yahoo.com.br Subject: [obm-l] Dúvidas To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Pessoal. Peço uma orientação para resolver os seguintes problemas: 1)Dada uma PG infinita com razão entre 0 e 1 do tipo a_1 , a_2..a_n... Tiram-se dela as PG's igualmente infinitas: a) a_1, a_3,a_6a_3n. cuja soma é 8. b) a_4, a_8, a_12.a_4n cuja soma é quatro quintos. Determine a soma da PG original. Neste problema acho uma razão maior do que 1. Acho que na primeira PG o termo a_1 não deveria figurar, por favor me digam se estou com a razão. 2) Um número inteiro positivo k possui 4 algarismos.Subtraindo-se dele o número 6633 o obtem-se um número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de k.E mais a diferença entre o algarismo das unidades de milhar e do das unidades simples é igual a 7.Quantos númros inteiros positivos k existem com essas caracteristicas? Desde já agradeço a atenção Grato Paulobarclay Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Transforme-se em personagens engraçados. Conheça o novo site de I Love Messenger. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas - Inequações Modulares
Se vc tem dúvida nesse tipo de exercício, talvez o melhor a fazer seja entender de forma visual exatamente o que ele diz. Interprete-o. Desenhe num papel um par de eixos, aí coloque uns pontinhos 1, 2, 3, ... em cada eixo. Trace a reta de equação 2x - 5, depois transforme-a na função |2x - 5| (como?). Faça o mesmo para a reta x + 3: desenhe-a, e depois transforme-a na função |x + 3|. Depois olhe para o seu desenho e pense no que o exercicio pede: quais sao os valores de x para os quais o desenho do |2x - 5| fica embaixo do desenho do |x+3| ? Bruno -- Bruno FRANÇA DOS REIS msn: brunoreis...@hotmail.com skype: brunoreis666 tel: +55 11 9961-7732 http://brunoreis.com http://brunoreis.com/tech (en) http://brunoreis.com/blog (pt) GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key e^(pi*i)+1=0 2010/3/5 Emanuel Valente emanuelvale...@gmail.com Pessoal, estou com dÚvidas no seguinte exercÃcio. Gostaria da ajuda de vocÊs: |2x - 5| |x+3| Valeu! -- Emanuel = Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas combinatórias.
2009/9/23 Lucas Colucci lucascolu...@hotmail.com Olá membros da lista, gostaria de uma ajuda ajuda no seguinte problema: Os inteiros positivos 1, 2, ..., n são colocados nos vértices de um n-ágono. Cada vértice é pintado de: *Vermelho, se ambos os números nos vértices vizinhos são maiores do que o número neste vértice; *Azul, se ambos os números nos vértices vizinhos são menores do que o número neste vértice; *Branco, se nenhuma das duas condições acima for satisfeita. Prove que o número de vértices vermelhos é igual ao número de vértices azuis. Também gostaria de algum material bom sobre contagem dupla, não necessariamente em português, caso alguém conhecesse. Imagine que saiam flechas dos vértices menores para seus vizinhos maiores (em vez de uma reta). Para cada permutação, todo lado possuirá uma flecha correspondente (não existem dois números iguais). É possível fazer uma indução. A base é a disposição de flechas num mesmo sentido (sentido horário por exemplo), nesta situação o número de vértices de onde partem duas flechas (vértices azuis) é igual ao número de vértices para onde chegam duas flechas (vértices vermelhos), note que esta base não representa nenhuma disposição possível de se chegar com os dados do problema: a - b - c - d - ... - z - a O passo de indução seria mudar uma única flecha de sentido e ver que os números de vértices azuis e vermelhos continuam iguais.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
1.Os termos são da forma Ax^a.y^b.w^c.z^d de forma que a+b+c+d=20 pois o
grau dos monômios desta forma é sempre 20.
Logo a resposta é o número de soluções naturais desta equação linear que é
Cn+(k-1),k-1=C23,3=23.22.21/3!=1771 termos
4. triangulo de pascal tem exatamente como soma somatorio{Cn,p} (com
p=0,1,2,..n) =(1+1)^n=2^n pois os termos seriam do binomio (x+a)^n e pondo
x=1=a teriamos apenas coeficientes nos termos.
3. Teríamos a+b+c+d+e+f+g=7 onde a,b,c,d,e,f,g=0(apagada) ou 1(acesa)
possibilidades: 7 acesas C7,7=1
6 acesas C7,6=...
5 acesas C7,5
4 acesas C7,4
3 acesas C7,3
2 acesas C7,2
1 acesa C7,1
exceto 0 acesas C7,0=1
seria então (1+1)^7 - C7,0 = 2^7 -1=127 maneiras diferentes.
i.e somatorio de todos os coeficientes da oitava(n=7) linha do triangulo de
pascal menos o primeiro que é 1
Linhas:
1 primeira(n=0)
11 segunda(n=1)
121 terceira(n=2)
1331 quarta(n=3)
ainda 1. Se fosse (x + y + w + z)^2=x^2+y^2+z^2+w^2+2xy+2xz+2xw+2yw+2yz+2wz
total C5,3=10 termos (só para ilustrar)
2009/7/5 Vinícius pvni...@gmail.com
1. Quantos termos possui o desenvolvimento de (x + y + w + z)^20? 3. Em uma
sala há 7 lâmpadas. De quantos modos esta sala pode ser iluminada? 4. Prove,
utilizando argumento combinatório, que a soma dos números da nésima linha do
triângulo de Pascal é 2^n.
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas
Um jeito combinatório para o problema 4: Você tem n espaços e quer preenchê-los com 0's ou 1's. (um número por espaço) Vamos contar de duas formas diferentes o número de maneiras possíveis. Primeiramente, o mais óbvio seria considerar cada um dos n espaços. Como em cada um há duas opções de número (0 ou 1), há 2^n formas. O segundo jeito de contar é fazendo combinações de k 0's nos n espaços (que conta separadamente os casos com 0, 1, 2, ..., n zeros), com k variando de 0 a n, que é: C(n,0)+C(n, 1)+...+C(n,n) Como as duas contagens são equivalentes, segue que C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n, sendo que os termos do somatório do primeiro membro são exatamente os coeficientes da n-ésima linha do triângulo de Pascal. Lucas Colucci. Date: Sun, 5 Jul 2009 15:40:53 -0300 Subject: [obm-l] Dúvidas From: pvni...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1. Quantos termos possui o desenvolvimento de (x + y + w + z)^20? 3. Em uma sala há 7 lâmpadas. De quantos modos esta sala pode ser iluminada? 4. Prove, utilizando argumento combinatório, que a soma dos números da nésima linha do triângulo de Pascal é 2^n. _ Descubra todas as novidades do novo Internet Explorer 8 http://brasil.microsoft.com.br/IE8/mergulhe/?utm_source=MSN%3BHotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=IE8
Re: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS!
bem, distorcendo o enunciado, está escrito Sem fazer A multiplicação e não sem fazer multiplicações. Então qualquer solução que não seja 7583*999=7575417 é válida, como por exemplo a sua aí em cima ou algo do tipo 7583*900+7583*90+7583*9=6824700+682470+68247=7575417 ou qualquer coisa que fosse uma equivalência :P Em 24/04/07, Bené [EMAIL PROTECTED] escreveu: 999 = 1000 - 1. Portanto, 7583*999 = 7583000 - 7583. Benedito - Original Message - From: Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 24, 2007 1:44 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS! Como posso achar o produto de 7583*999 sem fazer a multiplicação === --- eu pensei em fazer 7583*(1000-1) e aplicar a distributiva. mas não pode fazer multiplicação... 1ª dúvida: vale colocar 3 zerinhos à direita em vez de multiplicar por mil? 2ª dúvida: posso multiplicar 7583 por 1? ou isso tb é considerado uma multiplicação? Por que chamamos eixo dos x ao eixo horizontal e dos y ao eixo vertical? Engraçado... hj mesmo estava dando aula pro 1° ano do E.M. e propus o seguinte exercício: Nas sentença: - x + 2.y - 3 = 0 , identifique: --- a variável independente; --- a variável dependente; --- o coeficiente angular; --- o coeficiente linear. Obviamente, todos os alunos colocaram q a variável independente era x. Taí uma boa hora pra querbrar esse tipo de paradigma tendencioso. E se a sentença fosse: - z + 2.w - 3 = 0 ?? Então é bom deixar claro para o nosso aluno q há paradigmas a serem quebrados. A variável y também poderia ser adotada como a variável independente. E isso enceja no caso em q o eixo horizontal seria a reta dos valores de y. Além do mais (já fora desse exemplo), podemos ter um sistema NÃO-ORTOGONAL de coordenadas cartesianas. E aí, se tiver eixo deitado, não haveria eixo em pé. Bem... isso tudo deve ser considerado dependendo do estáigo de aprendizado do nosso aluno. Aprendizado não é uma seqüência linear de conhecimentos adquiridos. Muitas vezes precisamos passar por cima de conceitos formais afim de desenvolver uma melhor compreensão de certos asuntos. Tão logo possível, podemos retomar esse conceito formal para reaprender corretamente aquele assunto. Esse assunto dá muito pano pra manga. O importante é que devemos ser vigilantes em nossas práticas de ensino. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.463 / Virus Database: 269.5.10/774 - Release Date: 23/4/2007 17:26 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- Ideas are bulletproof. V
[obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS!
Como posso achar o produto de 7583*999 sem fazer a multiplicação === --- eu pensei em fazer 7583*(1000-1) e aplicar a distributiva. mas não pode fazer multiplicação... 1ª dúvida: vale colocar 3 zerinhos à direita em vez de multiplicar por mil? 2ª dúvida: posso multiplicar 7583 por 1? ou isso tb é considerado uma multiplicação? Por que chamamos eixo dos x ao eixo horizontal e dos y ao eixo vertical? Engraçado... hj mesmo estava dando aula pro 1° ano do E.M. e propus o seguinte exercício: Nas sentença: - x + 2.y - 3 = 0 , identifique: --- a variável independente; --- a variável dependente; --- o coeficiente angular; --- o coeficiente linear. Obviamente, todos os alunos colocaram q a variável independente era x. Taí uma boa hora pra querbrar esse tipo de paradigma tendencioso. E se a sentença fosse: - z + 2.w - 3 = 0 ?? Então é bom deixar claro para o nosso aluno q há paradigmas a serem quebrados. A variável y também poderia ser adotada como a variável independente. E isso enceja no caso em q o eixo horizontal seria a reta dos valores de y. Além do mais (já fora desse exemplo), podemos ter um sistema NÃO-ORTOGONAL de coordenadas cartesianas. E aí, se tiver eixo deitado, não haveria eixo em pé. Bem... isso tudo deve ser considerado dependendo do estáigo de aprendizado do nosso aluno. Aprendizado não é uma seqüência linear de conhecimentos adquiridos. Muitas vezes precisamos passar por cima de conceitos formais afim de desenvolver uma melhor compreensão de certos asuntos. Tão logo possível, podemos retomar esse conceito formal para reaprender corretamente aquele assunto. Esse assunto dá muito pano pra manga. O importante é que devemos ser vigilantes em nossas práticas de ensino. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS!
999 = 1000 - 1. Portanto, 7583*999 = 7583000 - 7583. Benedito - Original Message - From: Filipe de Carvalho Hasché [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, April 24, 2007 1:44 PM Subject: [obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS INGÊNUAS! Como posso achar o produto de 7583*999 sem fazer a multiplicação === --- eu pensei em fazer 7583*(1000-1) e aplicar a distributiva. mas não pode fazer multiplicação... 1ª dúvida: vale colocar 3 zerinhos à direita em vez de multiplicar por mil? 2ª dúvida: posso multiplicar 7583 por 1? ou isso tb é considerado uma multiplicação? Por que chamamos eixo dos x ao eixo horizontal e dos y ao eixo vertical? Engraçado... hj mesmo estava dando aula pro 1° ano do E.M. e propus o seguinte exercício: Nas sentença: - x + 2.y - 3 = 0 , identifique: --- a variável independente; --- a variável dependente; --- o coeficiente angular; --- o coeficiente linear. Obviamente, todos os alunos colocaram q a variável independente era x. Taí uma boa hora pra querbrar esse tipo de paradigma tendencioso. E se a sentença fosse: - z + 2.w - 3 = 0 ?? Então é bom deixar claro para o nosso aluno q há paradigmas a serem quebrados. A variável y também poderia ser adotada como a variável independente. E isso enceja no caso em q o eixo horizontal seria a reta dos valores de y. Além do mais (já fora desse exemplo), podemos ter um sistema NÃO-ORTOGONAL de coordenadas cartesianas. E aí, se tiver eixo deitado, não haveria eixo em pé. Bem... isso tudo deve ser considerado dependendo do estáigo de aprendizado do nosso aluno. Aprendizado não é uma seqüência linear de conhecimentos adquiridos. Muitas vezes precisamos passar por cima de conceitos formais afim de desenvolver uma melhor compreensão de certos asuntos. Tão logo possível, podemos retomar esse conceito formal para reaprender corretamente aquele assunto. Esse assunto dá muito pano pra manga. O importante é que devemos ser vigilantes em nossas práticas de ensino. Abraços, FC. _ MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.5.463 / Virus Database: 269.5.10/774 - Release Date: 23/4/2007 17:26 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas de matrizes... ainda não entendi
Muito obrigado, Bruno. A 2ª já entendi. Quanto a primeira questão consegui resolvê-la da seuinte maneira: A^2 = 0 A^2 - I^2 = 0 - I^2 (A+I)(A-I) = -I x(-1) -(A+I)(A-I) = I (-A-I)(A-I) = I Logo, (-A-I) é a inversa. Acho que não está certa...não sei se isso vale pra matrizes: A^2 - I^2 = (A+I)(A-I) Alguém pode me ajudar? Obrigado --O que vc não entendeu?2) Qual é a definição de matriz inversa? Se B é inversa de A, então B é tal que AB = BA = I, certo?Muito bem. Qual é a definição de multiplicação de matrizes?Se A é m x n, e B é p x q (parafraseando o Shine), o produto AB, por definição, é uma matriz C mxq, que só está definido se n = p (também por definição). Simplesmente aceite as definições. Se vc não entender alguma, pergunte. (ou vá a algum livro... o do Iezzi, Fundamentos de Matemática Elementar, é legal)Numa linguagem bem "chula', devemos ter que o segundo número do tamanho da primeira matriz deve ser igual ao primeiro número do tamanho da segunda matriz.OU SEJA: para que o produto C = AB possa existir, devemos ter n = p, POR DEFINIÇÃO.Queremos então saber condições para que A seja invertível. SE A é invertível, ENTÃO existe B tal que AB = BA = I. De AB = I, tiramos que n = p (*), para que AB esteja definido. De BA = I, tiramos que m = q (**). Ainda pela definição de produto, AB é uma matriz de tamanho mxq, e BA é uma matriz de tamanho nxp. De AB = BA, por igualdade de matrizes (i.e., por definição de igualdade de matrizes), devemos ter que os tamanhos de AB e BA são iguais. Logo m = n, p = q (***).De (*), (**) e (***) (não precisa de tudo isso, mas enfim...), tiramos que m=n=p=q, ou seja, as matrizes A e B são quadradas, de mesmo tamanho.Quanto ao 1: não vejo uma solução mais simples que a do Shine. O que tem de muito avançada? Aí a gente pode tentar explicar melhor.AbraçoBruno On 7/22/05, admath [EMAIL PROTECTED] wrote: 1) Seja A uma matriz nilpotente nxn, mostre que A -In é inversível e obtenha sua inversa. Gostaria de saber como resolvo este tipo de questão organizadamente, separando a hipótese a tese, essas coisas. - Ainda não entendi as resoluções deste exercício. São muito avançadas pra mim. Não tem um jeito mais fácil? 2) A matriz inversa é A-1, onde A-1.A = A.A-1=I Por que preciso garantir a matriz A sendo nxn? - Também ainda não entendi o porquê de ser nxn Obrigado.-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
[obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS!
Olá Jorge! O problema termina com a frase não receberei a nota de 10 reais ! Se o avô não der nota alguma, a frase seria verdadeira, causando uma contradição. Se o avor der a nota de 10 reais, a frase seria falsa, causando uma contradição. A única alternativa para o avô é entregar a nota de 100 reais (maximizando o ganho do neto!). O trecho problemático do contra-exemplo segue abaixo: Vovô não vai me dar a nota de cem reais. Vejam o que acontece. A frase não pode ser falsa. Se o fosse, Pedro não poderia receber nada e a afirmação passava a ser verdadeira - uma contradição. Contudo, a frase pode perfeitamente ser verdadeira. Basta que o neto receba a nota de cem reais. O avô não tem outra alternativa senão dar-lhe a nota de maior valor. Está errado, pois a alternativa que torna a frase verdadeira é o avô dar a nota de 10 reais! Abraços, Rogério. From: jorgeluis Meus Amigos! Me ajudem a encontrar o erro neste contra-exemplo abaixo. Grato! Pedro, meu neto, gosta muito de quebra-cabeças e problemas outros de desafios. No dia do seu aniversário mandei chamá-lo e, para testá-lo em lógica matemática, coloquei em cima da mesa uma nota de 10 reais e outra de 100 reais. Aqui tens meu presente de aniversário. Se fizeres uma declaração verdadeira dou-te uma das notas, mas se mentires não recebes nada. O pedro, após alguns momentos de reflexão, concluiu que é muito fácil ganhar uma das notas. Mas o legal é ter certeza de receber a nota mais valiosa. Que frase deve dizer o Pedro para garantir que o avô lhe dará a nota de 100 reais? Resolução: É claro que Pedro facilmente ganharia uma das notas - bastava dizer uma frase verdadeira, tipo não receberei a nota de 10 reais. Mas ele pode realmente, ir mais longe e obrigar o avô, mesmo contra a vontade deste, a dar-lhe a nota de maior valor. Para isso terá de dizer uma frase obrigatoriamente verdadeira mas que não dê alternativa ao avô. Vejamos algumas hipóteses: 1) Pedro afirma, por exemplo: - Vovô vai me dar a nota de cem reais. Neste caso, o avô tem duas alternativas: ou lhe diz que a frase é falsa e a prova é que ele não vai receber nada; ou é de muito bom coração e considera a frase verdadeira, dando-lhe os 100 reais. Pedro fica dependendo da boa vontade do avô. 2) O raciocínio é idêntico se ele afirma: - Vou receber a nota de cem, só lhe podia dar 1 real. 3) Outra frase, poderia ser: - Vou ganhar as duas notas. Aqui a situação piora muito. Esta frase nunca pode ser verdadeira porque o avô tinha dito que lhe dava uma das notas e nunca duas. Neste caso Pedro nada receberia. Esgotadas as frases em que Pedro diz que o avô lhe dará, é preciso analisar agora as afirmações sobre o que o avô não lhe dará. Então facilmente se chegará à frase solução: Vovô não vai me dar a nota de cem reais. Vejam o que acontece. A frase não pode ser falsa. Se o fosse, Pedro não poderia receber nada e a afirmação passava a ser verdadeira - uma contradição. Contudo, a frase pode perfeitamente ser verdadeira. Basta que o neto receba a nota de cem reais. O avô não tem outra alternativa senão dar-lhe a nota de maior valor. OBS: Encontrada a solução, podemos ver que Pedro poderia, se quisesse deixar o avô sem saber o que fazer. Bastava-lhe ter dito: - Vovô não me vai dar nota nenhuma. Esta frase não pode ser verdadeira. Se o fosse, o neto receberia uma das notas e haveria contradição. Também não pode ser falsa. Se o fosse, o avô não lhe poderia dar nada e a afirmação passava a verdadeira. Nova contradição. Um abraço à todos! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
De fato, se o intervalo fechado contiver um aberto que contenha o ponto em questao, entao nao faz qualquer diferenca. Eu acho que o uso de intervalos abertos na definicao de limite eh para garantir que o intervalo, ao conter a, contenha pontos do dominio de f aa direita e aa esquerda de a, caso existam. Artur Eu nao entendi esse argumento. De fato, acho que nao se usa um intervalo fechado apenas porque um tal intervalo pode ser degenerado, ou seja, consistir de um unico ponto (mais precisamente, um intervalo fechado pode degenerar num conjunto unitario). No caso do limite de f(x) quando x - a, o importante eh excluir o a da nossa analise, ou seja, estamos interessados nos valores de f(x) com x proximo de a e diferente de a, e isso pode ser feito tambem com um intervalko fechado (nao-degenerado). Alem disso, todo intervalo fechado e nao-degenerado de centro em a e raio epsilon contem um intervalo aberto centrado em a (de raio epsilon/2, por exemplo). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha
caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha
recebido este seu e-mail.
Artur
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas
sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em
intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e
se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi,
Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para
garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que
x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser
possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem
funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma
infinidade de possibilidaes.
2) Uma dúvida na teoria do livro do iezzi. Numa
parte ele fala sobre ser
importante perceber que (delta) depende de
(épsilon), não percebi isso e
além de não perceber não vejo porque o (épsilon) não
deva depender também do
(delta)...
Vc primeiro estavbelece arbitrariamente o valor de
epsilon. Para este
epsilon, vc tem que encontra um delta que satisfaca
aa definicao de limite.
De modo geral, o delta depende do epsilon o do valor
de a no qual se avalia
o limite. Isto eh, de modo geral, o valor de delta
associadao a um epsilon
que funciona para um dado a nao funciona para todos
os pontos de acumulacao
do dominio da funcao. Por exemplo, a funcao f(x) =
x^2 apreenta limite em
todo os elementos de R (eh continua), mas, fixado
eps, a escolha do delta
sempre vai depender de x. ja para a funcao
identidade f(x) = x eh possivel,
para um mesmo eps, achar um delta que funcione para
todos o reais x. Isto
esta ligado ao conceito de continuidade uniforme.
3) A demonstração do teorema da unicidade do limite,
não entendi aquela do
livro do iezzi por redução ao absurdo...
(observação: sei o que é redução ao
absurdo mais não entendi uma parte do
desenvolvimento).
Ele provavelmente fez algo deste tipo: Suponhamos
que, em um ponto a, f
apresente limites distintos L1 e L2. Seja r = |L1
-L2|/2. Entao, r0 e os
intervalos abertos I1 e I2, de raio r e centros em
L1 e L2, nao se
intesectam. Pela definicao de limite, existem reais
positivos d1 e d2 tais
que, f(x) estah em I1 se x estiver no dominio de f
e 0|x-a| d1, e f(x
estah em I2 se x estiver no dominio de f e 0|x-a|
d2. Temos entao que d =
minimo{d1, d2} eh positivo e que, se x estiver no
dominio de f e 0|x-a| d,
entao f(x) estah em I1 e f(x) estah em I2. Isto
signfica que I1 e I2 contem
em comum o elemento f(x), contrariamente aa
conclusao anterior de que sao
disjuntos. Logo, o limite de f em um ponto de
acumulacao de seu dominio, se
existir, eh unico.
Artur
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
Desculpe-me por ter enviado posteriormente, minha caixa de e-mail está bem devagar e ainda não tinha recebido este seu e-mail. Artur Nao existe a mais leve razao para pedir desculpas! O outro Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas de limite e problema legal 6x6
on 08.11.04 09:58, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Oi amigos da lista! Gostaria de tirar umas dúvidas sobre Limites e mostrar
uma questão legal.
1) A definição de limite que eu vi foi feita em intervalo aberto. Por que em
intervalo aberto? Poderia ser em intervalo fechado e se não por que?
ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a seja f uma
função definida para x E I - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matemática
Elementar).
Eh importante que seja um intervalo aberto para garantir que a condicao
|f(x) - L| eps seja atendida nao importa como que x se aproxine de a. Se
vc considerasse intervalos fechados, poderia nao ser possivel garantir esta
condicao. Isto eh ainda mais visivel quando se tem funcoes definidas em r^n,
n=2, pois x pode se aproximar de a segundo uma infinidade de possibilidaes.
Eu nao entendi esse argumento. De fato, acho que nao se usa um intervalo
fechado apenas porque um tal intervalo pode ser degenerado, ou seja,
consistir de um unico ponto (mais precisamente, um intervalo fechado pode
degenerar num conjunto unitario). No caso do limite de f(x) quando x - a, o
importante eh excluir o a da nossa analise, ou seja, estamos interessados
nos valores de f(x) com x proximo de a e diferente de a, e isso pode ser
feito tambem com um intervalko fechado (nao-degenerado).
Alem disso, todo intervalo fechado e nao-degenerado de centro em a e raio
epsilon contem um intervalo aberto centrado em a (de raio epsilon/2, por
exemplo).
[]s,
Claudio.
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[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
- Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 PM Subject: [obm-l] dúvidas POderiam explicar passo a passo cada questão Por favor!!! 1) A soma da sériee : 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... = Somatório n=variando 1 ao infinito ( 1/(2^n) + 1/(3^n) ) a)5/3 b)1 c)3/2 d)2 e)infinito está questão ´é do livro matemática elementar. td(132) 2) A soma dos termos da progressão 3^ -1 , 3 ^ -2 , 3^ -3,...e: a)1/2 b)2 c)1/4 d)4 3) a expressão 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... vale ? a)1/2 b)9/2 c)1/4 d)4
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
Para a 1) S = 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... S = (1/2 + 1/4 + 1/8 ...) + (1/3 + 1/9 + 1/27 ...) S = 1 + 1/2 = 3/2 Para a 2) S = 3^ -1 + 3 ^ -2 + 3^ -3 + ...3^-n S = 1/3 + 1/3^2 + 1/27 + ...+1/3^n Como trata-se de uma P.G infinita: S = a[1] / 1 - q S = 1/3 / 1 - 1/3 S = 1/2 Para 3) S = 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... Eh uma P.G infinita. Ela pode ser vista como: 1/1 1/2 + 1/2 1/4 + 1/4 + 1/4 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 . . . Vamos somar a 1o coluna, depois a 2o coluna, depois a 3o coluna e veremos uma P.G cuja soma eh igual a S s[1] = (1/1) / (1 - 1/2) = 2 s[2] = (1/2) / (1 - 1/2) = 1 s[3] = (1/4) / (1 - 1/2) = 1/2 Pronto ! Ja temos uma P.G, cujos termos sao 2,1,1/2 e cuja soma eh S = 2 / (1 - 1/2) = 4 Em uma mensagem de 26/4/2004 00:49:48 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Original Message - From: TSD To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, April 25, 2004 2:54 PM Subject: [obm-l] dúvidas POderiam explicar passo a passo cada questão Por favor!!! 1) A soma da sériee : 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/9 + ...+1/(2^n) + 1/(3^n) + 1/(2^n+1) + 1/(3^n+1)+... = Somatório n=variando 1 ao infinito ( 1/(2^n) + 1/(3^n) ) a)5/3 b)1 c)3/2 d)2 e)infinito está questão ´é do livro matemática elementar. td(132) 2) A soma dos termos da progressão 3^ -1 , 3 ^ -2 , 3^ -3,...e: a)1/2 b)2 c)1/4 d)4 3) a expressão 1+ 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + ... vale ? a)1/2 b)9/2 c)1/4 d)4
[obm-l] Re: [obm-l] DÚVIDAS DE DÉCADAS
Robério Alves: OLÁ PESSOAL, RESPONDAM - ME ESSA PERGUNTA ? EM QUE DÉCADA NÓS ESTAMOS ATUALMENTE ? Alan Pellejero: ESTAMOS DUZENTAS DÉCADAS APÓS O NASCIMENTO DE CRISTO! rs.. Boa Pergunta, mas se na década de setenta foi nos anos setenta, então estaríamos na década 0, pois ainda não chegamos ao dez...Talvez por isso, evitamos falar que estamos na década zero...seria estranho. I. Anos setentas, não setenta. II. Se a gente fala da década de setenta, não parece razoável que estejamos nos referindo à década que contém o ano de 1970? Dessa forma, a década de setenta corresponderia aos anos entre 1961 e 1970, e estaríamos atualmente na década de dez. Por outro lado, os anos setentas poderiam corresponder a todos os anos que começam com sete, e daí teríamos o intervalo entre 1970 e 1979 como os anos setentas. Não é algo para se pensar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] DÚVIDAS DE DÉCADAS
From: Gabriel Reina Subject: Re: [obm-l] DÚVIDAS DE DÉCADAS Mas que raio de formatação foi essa? Desculpem. -- Gabriel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas - Correcao
a 2º questão poderia explicar melhor por favor. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 03, 2004 3:41 PM Subject: Re: [obm-l] dúvidas - Correcao Nao sabia que *genios* tbem tem historias etilicas ;-) brincadeirinha, super Claudio Em uma mensagem de 3/4/2004 09:17:38 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Troquei um sinal na minha solucao pro problema abaixo: 1)Um polinômio f do 3º grau e com coeficientes reais, é tal que f(-1)=0 e f(1+i)=0, sendo i a unidade imaginária. Se f(0)=--4. determine a soma dos coeficientes de f. SOLUCAO CORRIGIDA: 1) As raizes de f sao -1, 1 + i e 1 - i == f(x) = A*(x+1)*(x^2-2x+2) == f(0) = A*(1)*(2) = -4 == A = -2 == Soma dos coeficientes = f(1) = (-2)*(1+1)*(1-2+2) = -4. Nisso eh que dah chegar bebado da noitada e ligar o computador... []s, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas - Correcao
Vou tentar explicar de uma outra forma, ainda que algumas semelhanças sejam
inevitáveis.
(2^(1/3) + 3^(1/2))^10 =
= Sum[C(10,k) * 2^[(1/3)*(10-k)] * 3^[(1/2)*k], {k, 0, 10}] =
= Sum[C(10,k) * 2^[(10-k)/3] * 3^(k/2), {k, 0, 10}]
Não é muito difícil demonstrar, por redução ao absurdo, que a raiz enésima
de um número primo é irracional. Assim, como 2 e 3 são primos, precisamos
que os seus expoentes sejam inteiros. Temos que k varia de 0 a 10, então:
k/2 é inteiro == k pertence a {0,2,4,6,8,10}
(10-k)/3 é inteiro == k = 4 ou k = 10
Seja T_n o enésimo termo do desenvolvimento de (x+y)^n,
k = 4 == T_5 = C(10,4) * 2^[(10-4)/3] * 3^(4/2) = 7560
k = 10 == T_11 = C(10,10) * 2^[(10-10)/3] * 3^(10/2) = 243
Lembre-se de que o desenvolvimento de (x+y)^n tem n+1 termos. Assim, o
quinto e o décimo primeiro termos são os únicos cujo valor é racional.
Abraços,
Rafael de A. Sampaio
- Original Message -
From: TSD
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, April 03, 2004 9:07 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas - Correcao
a 2º questão poderia explicar melhor por favor.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
On Tue, Feb 24, 2004 at 02:37:44AM -0300, Tarcio Santiago wrote: 1) Quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos meus bisavós (bisavós são os pais de seus avós): A) 16 B) 32 C) 64 D) 81 O único comentário que eu tenho a fazer é que a resposta óbvia (64) já tem boa probabilidade de estar errada com 6 gerações. Afinal, ninguém consideraria incesto casar e ter filhos com alguém que tem o mesmo avô-do-bisavô. Aliás, em geral nós não temos a menor idéia de quem são as pessoas que tem algum avô-do-bisavô em comum conosco. Eu marcaria 64, mas pode ser qualquer número menor do que isso e maior do que um mínimo razoável e difícil de precisar; o mínimo absoluto é 2. Note que ao aumentarmos o número de gerações (quantos elementos tem o conjunto dos bisavós dos bisavós dos bisavós dos bisavós ... dos meus bisavós?) chega um ponto em que a resposta 2^n fica claramente errada pois fica maior do que o número de seres humanos que viveram no período relevante da história. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Pedro, Para o problema 1, sabemos que a equação de uma reta tangenteé dada por: y = mx + h. De x^2 + y^2 = 25 e y = mx + h, chegamos a (m^2+1)x^2 + (2mk)x + k^2 - 25 = 0, que é quadrática em x. Impondo que o discriminante seja igual a zero, visto que há um único ponto de tangência. Obter-se-á a equação 25m^2 - k^2 + 25 = 0. Mas sabemos que o ponto (5,-6) pertence à reta y = mx + h, então 5m + k = -6, ou ainda, k = - 5m - 6. De 25m^2 - k^2 + 25 = 0 e k = - 5m - 6, chegamos a m = - 11/60 e k = - 61/12. Logo, a equação de uma das tangentes é dada por y = -11/60x - 61/12. Como o coeficiente angular encontrado é único, e para cada ponto há duas tangentesà circunferência, devemosconcluir que a outra reta não só é tangente à circunferência, mas também perpendicular ao eixo x. Assim, a outra tangente é dada pela equação x = 5. De x^2 + y^2 = 25 e x = 5, obtemos o primeiro ponto de tangência: (5,0). De x^2 + y^2 = 25 e y =- 11/60x - 61/12, obtemos o outro ponto de tangência: (-55/61, -300/61). Calculando a distância D entre esses pontos: D= sqrt((5+55/61)^2+(0+300/61)^2) = 60*sqrt(61)/61. Como o exercício pede a metade do comprimento da corda que une os pontos, em outras palavras, metade da distância determinada por eles: D/2 = 30*sqrt(61)/61. Alternativa B. Para o problema 2, por hipótese, a equação da elipse é dada por x^2/16 + y^2/9 = 1. Na verdade, não faz diferença para o problema se optássemospela equação x^2/9 + y^2/16 = 1 (translação). Como desejamos obter o maior valor possível para x e y tal que o quadrado possa ser inscrito na elipse, devemos impor: x = y == x^2- y^2 = 0. De x^2/16 + y^2/9 = 1 e x^2 - y^2= 0, obtemos quatro soluções que são osvértices do quadrado. Assim, para o primeiro quadrante, temos o ponto (12/5,12/5). A medida do lado do quadrado é, pois, 24/5 e, por conseguinte, a sua área é 576/25. Alternativa B. Abraços, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Pedro Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, February 20, 2004 10:04 AM Subject: [obm-l] Dúvidas 1) Em um sistema de coordenadas ortogonais no plano são dados o ponto (5,-6) e a circunferênciax^2 + y^2 = 25. A partir do ponto (5,-6), traçam-se duas tangentes a circunferência. Calcule a metade do comprimento da corda que une os pontos de tangência. a) b) c) d) 2) Dada uma elipse, com centro na origem, de semi-eixo a=4 e b=3, calcule a área do quadrado nela inscrito, com lados paralelos aos eixos da elipse. a) b) c) d) clip_image002.gifclip_image004.gifclip_image006.gifclip_image008.gifclip_image010.gifclip_image012.gifclip_image014.gifclip_image016.gif
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
Ricardo respondeu: dasilvalg wrote: 4) Ache os dois últimos algarismos de 2^1997. Obs.: Neste exercício só consegui achar o último algarismo (unidades) que é 2, mas o das dezenas não te nho nem idéia. Quem trabalha com computação sabe de cabeça que 1 megabyte = 1048576 bytes. Logo 2 mega = 2097152 e 4 mega = 4194304. Como 4 mega = 2^22, temos que 2^22 = 2^2 (mod 100) e portanto 2^(20k+n)=2^n (mod 100) para k=1. Agora fica fácil, 2^1997=2^17 (mod 100), e chegamos em 2^17=131072=72 (mod 100), concluíndo que 2^1997 termina em 72. Ricardo Bittencourt http://www.mundobi zarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo sh imashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Nao entendi esta congruencia. Por que que se 2^22 = 2^2 (mod 100) = 2^(20k + n) = 2^n (mod 100) para k = 1. Foi mal, literalmente, BOIEI !!! Abracos!!! __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
dasilvalg wrote: Nao entendi esta congruencia. Por que que se 2^22 = 2^2 (mod 100) = 2^(20k + n) = 2^n (mod 100) para k = 1. Foi mal, literalmente, BOIEI !!! É que você pode multiplicar por 2 nos dois lados: 2^22 = 2^2 (mod 100) 2* 2^22 = 2* 2^2 (mod 100) 2^23 = 2^3 (mod 100) Agora repetindo o processo: 2^23 = 2^3 (mod 100) 2^24 = 2^4 (mod 100) 2^25 = 2^5 (mod 100) 2^26 = 2^6 (mod 100) 2^27 = 2^7 (mod 100) ... 2^42 = 2^22 (mod 100) mas 2^22 = 2^2 então aqui fica periódico 2^42 = 2^22 = 2^2 (mod 100) e se o período é 20, então fica claro que 2^(20k + n) = 2^n (mod 100) deixando claro que isso só vale a partir da primeira vez que repete, que é pra k=1. Pra k=0 dá errado, por exemplo 2^1=2 (mod 100) e 2^21=52 (mod 100) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Dúvidas !!!
Ola dasilvag e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
Bem-Vindo a Lista OBM-L ! Evite usar sinais ortograficos, caracteres
especiais e/ou textos com
formatacoes de algum software especifico, pois os podem enunciados ficam
ilegiveis com eles.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
1,1041,180104
From: dasilvalg [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Dúvidas !!!
Date: Sat, 17 Jan 2004 19:42:19 -0200
Me chamo Leonaro e é a primeira vez que mando uma
mensagem para a lista. Se for possível uma ajuda,
agradeço desde já.
Um abraço e até a próxima.
Segue aí uns 10 probleminhas:
1) Seja uma função F:Z+*#8594;Z+, atendendo às seguintes
condições:
a) F(m*n) = F(m) + F(n);
b) F(n) = 0, se o último algarismo de n é 3;
c) F(10) = 0.
Demonstre que F(n) = 0 para todo inteiro positivo n.
2) Verifique que n^2 + 3n + 5 nunca é divisível por 121,
qualquer que seja n.
3) Seja D = {(x, y) #1028; R2 | 0 x 1, 0 y 1} e F:D#8594;R2
uma função tal que V(significa: para todo) (x, y) #1028; D
associa (X, Y) #1028; R2 onde X = y e Y = (1 y)x.
a) Sendo T = {(X, Y) | X 0, Y 0, X + Y 1}, mostre
que F é uma bijeção de D sobre T;
b) Esboce a imagem dos conjuntos da forma {(x, y) #1028; D |
y = #955;x} para os seguintes valores de #955;: #955; = ¼, #955;' = ½,
#955;'' = 1.
4) Ache os dois últimos algarismos de 2^1997.
Obs.: Neste exercício só consegui achar o último
algarismo (unidades) que é 2, mas o das dezenas não tenho
nem idéia.
5) Seja F:N#8594;N tal que F(1) = 1, F(2k +1) = F(2k) + 1, F
(2k) = 2F(k), k #1028; N. Determine F(n) em função de n.
6) rc(x + rc(1- x)) = 3/2.
Obs.: rc quer dizer raiz cúbica.
7) Prove que existem 2[2^(n-1) 1] maneiras distintas de
se distribuir n cartas para dois jogadores.
Obs.: Os jogadores devem receber o mesmo número de cartas.
8) Se um quadrilátero cujos lados medem a, b, c e x está
inscrito num semi-círculo de diâmetro x, então:
x^3 (a^2 + b^2 +c^2)x 2abc = 0
9) Em um país, as distâncias entre todas as suas cidades
são distintas duas a duas. Certo dia, de cada cidade
parte um avião, com destino à cidade mais próxima.
Demonstre que em nenhuma cidade aterrissaram mais de 5
aviões.
10) Prove que log n k*log 2 , onde n é um número
natural e k é o número de primos distintos que dividem n.
Obs.: Log é a função logarítimica na base 10.
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
On Thu, Jan 15, 2004 at 11:31:57PM -0200, Rafael wrote:
Infelizmente, alguns autores não consideram o zero como sendo
um número positivo ou negativo.
Na França, 0 é considerado positivo *e* negativo.
Assim, para Bourbaki o conjunto dos inteiros positivos é {0,1,2,...}
Se você quer excluir o zero, você deve dizer 'estritamente positivo'
ou 'estritamente negativo'.
Para o resto do mundo, 0 não é nem positivo nem negativo.
Assim, para a maioria do mundo o conjunto dos inteiros positivos
é {1,2,3,...}. O conjunto {0,1,2,3,...} pode ser chamado de
conjunto dos inteiros não negativos.
Ou, mais rigorosamente, não o consideram como número algébrico.
Isto eu acho bem mais estranho.
Para mim um número algébrico é um número que é raiz de algum polinômio não nulo
com coeficientes inteiros. Assim, por exemplo, sqrt(2) + sqrt(3) é algébrico
pois é raiz do polinômio x^4 - 10 x^2 + 1 mas o número pi não é algébrico
pois não existe nenhum polinômio não nulo de coeficientes inteiros com a raiz
pi (mas isto não é tão fácil de demonstrar). Neste sentido é bem óbvio que
o número 0 é algébrico: é raiz do polinômio x.
Existem definições equivalentes: por exemplo, podemos dizer que x é algébrico
se existe um corpo K com x em K, Q um subcorpo de K e K de dimensão finita
se considerado como Q-espaço vetorial. Mas nunca vi a expressão 'número
algébrico' ser usada para um conceito realmente diferente e eu acharia
péssima idéia fazer isso.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
Foi mal, eu copiei errado, faltava o sinal de =. Valeu. Ricardo respondeu: dasilvalg wrote: 10) Prove que log n k*log 2 , onde n é um número natural e k é o número de primos distintos que dividem n. Obs.: Log é a função logarítimica na base 10. Mas isso aqui não é verdade, né? Pegue por exemplo n=2, nesse caso k=1 e teríamos log 2 1.log 2 = log 2 log 2, que é falso. Se você consertar o enunciado pra log n = k*log 2, aí sim o pro blema tem solução. Ricardo Bittencourt http://www.mundobi zarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo sh imashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas !!!
dasilvalg wrote: Foi mal, eu copiei errado, faltava o sinal de =. Valeu. Ah, então agora dá pra continuar. Fatore n como: n=p1^a1 . p2^a2 . pn^an Sabemos que pj^aj = pj = 2, logo n=p1^a1 . p2^a2 . pn^an n= p1 . p2 . ... pn n= 2 . 2 . . 2 n= 2^k log n = k log 2 QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Pedro, Infelizmente, alguns autores não consideram o zero como sendoum número positivo ou negativo. Ou, mais rigorosamente, não o consideram como número algébrico. Como você pediu uma explicação detalhada,veja: Para a + b + c = 7,vêm: 0 + 0 + 7 = 7é solução,portanto aspermutações dessestrês números (dois repetidos) representam:3!/2! = 3 soluções0 + 1 + 6 = 7é solução,não havendo números repetidos,temos as permutações de três números, isto é,3! = 6 soluções0 + 2 + 5 = 7é solução, de forma análoga,3! = 6 soluções0 + 3 + 4 = 7ésolução, assim, temos: 3! = 6 soluções Observe que o número total de soluções em que a ou b ou c é zero será: 3 + 6 + 6 + 6 = 21 De maneira semelhante, ainda teremos: 1 + 1 + 5 = 7 3!/2! = 3 soluções1 + 2 + 4 = 7 3! = 6 soluções1 + 3 + 3 = 7 3!/2! = 3 soluções2 + 2 + 3 = 7 3!/2! = 3 soluções Agora,a e b e c são diferentes de zero. O número total de soluções será: 3 + 6 + 3 + 3 = 15 Não é difícil concluir o que disse eu inicialmente: quando o autor se referiu a "soluções inteiras positivas", ele tinha em mente que as três incógnitas fossem diferentes de zero; ao dizer "soluções inteiras não negativas", ele intencionava que uma das incógnitas, pelo menos,fosse igual a zero. Logo, o item (a) corresponde a 15 soluções e o item (b) corresponde a 21+15=36 soluções. E, de fato, não é fácil saber o que o "autor tem em mente" ao elaborar uma questão. Como se diz, quem quer uma boa resposta deve fazer uma boa pergunta. Como a questão consta de dois itens, quando lemos, temos a impressão de que o autor está louco perguntando duas vezes a mesma coisa (o que não costuma ocorrer...), ou que há algum detalhe que estamos perdendo... Uma outra dúvida freqüente está no conjunto dos números naturais:o zero pertence ou não a ele? A maioriadiz que sim, outros, entretanto, não.O zero, ou ausência de objetos num conjunto, não era em geral aceito como número antes do século XIII.A explicação, certa vez li, estáem quealguns constroem os naturais por axiomas de Peanno, enquanto outros, não. Enfim, espero ter podido ajudá-lo e, qualquer dúvida, não hesite: pergunte! ;-) Um forte abraço, Rafael de A. Sampaio - Original Message - From: Pedro Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 11, 2004 7:58 PM Subject: [obm-l] Dúvidas Estudando análise combinatória , tive uma dúvida , como vocês são geniais me ajudem. Dada a equação a + b + c = 7 , calcule: a) O número de soluções inteiras positivas. R.15 b) O número de soluções inteiras não negativa. R.36 As dúvidas: a) soluções inteiras positivas = soluções inteiras não negativa , Essas afirmações não é as mesma? No livro: prelúdio à análise combinatória essas afirmações são diferente, porque? qual o propósito? não são apenas sinônimos ? Se possível uma explicação detalhada.-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Pedro, Quando se diz em números não negativos estamos se referindo aos positivos e ao ZERO. Quando se diz em números positivos estamos se referindo aos números estritamentes positivos, lembrando que o ZERO não é positivo nem negativo, e sim neutro Acho q essa era dúvida, neh? Até, Bruno... - Original Message - From: Pedro Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 11, 2004 7:58 PM Subject: [obm-l] Dúvidas Estudando análise combinatória , tive uma dúvida , como vocês são geniais me ajudem. Dada a equação a + b + c = 7 , calcule: a) O número de soluções inteiras positivas. R.15 b) O número de soluções inteiras não negativa. R.36 As dúvidas: a) soluções inteiras positivas = soluções inteiras não negativa , Essas afirmações não é as mesma? No livro: prelúdio à análise combinatória essas afirmações são diferente, porque? qual o propósito? não são apenas sinônimos ? Se possível uma explicação detalhada.-- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
5) 5x= 2*pi - x 6x = 2*pi x=pi/3 = 60º Tentei expandir cos(5x) e resultou em 16cos(x)^5 - 20cos(x)^3 + 5cos(x) = cos(x) == 4cos(x)^5 - 5cos(x)^3 + cos(x) = 0 Fazendo a = cos(x), temos 4a^5 - 5a^3 + a = 0 Claramente, a = 0 é uma solução (e, portanto, x = Pi/2), segue 4a^4 - 5a^2 + 1 = 0 É fácil ver também que a = 1 é uma solução (a soma dos coeficientes é igual a zero) e x = 0. Mas ao invés de dividir por (a - 1), vamos resolver a equação biquadrada, fazendo b = a^2 Temos então 4b^2 - 5b + 1 = 0. Pela nossa conhecida fórmula pra equações do segundo grau, achamos b = 1 e b = 1/4. Voltando as variáveis, achamos a = 1, a = -1, a = 1/2 e a = -1/2. Pra a = -1, x = Pi; a = 1/2, x = Pi/3 e, finalmente, a = -1/2, x = 2Pi/3. Acho que tá certo. Deve ter um jeito mais bonito de fazer isso, mas não encontrei. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] dúvidas
5)
cos5x=cosx
cos5x-cosx=0
-2*sen3x*sen2x=0
sen3x=0 sen2x=0
3x=k*pi sen2x=k*pi
x=k*pi/3 x=k*pi/2
substituindo os valore de k: S={0;pi/3,pi/2;pi;2pi/3;4pi/3;3pi/2;5pi/3}
espero q esteja certu
abracos
Douglas
From: [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] dúvidas
Date: Sun, 28 Dec 2003 13:21:41 -0200
1)UM cone reto tem altura de 12cm e esta cheio de sorvete. Dois amigos vão
dividir o sorvete em duas partes de mesmo volume, usando um plano paralelo
a
base do cone. \Qual deverá ser a altura do cone menor assim obtido?
2) Num recipiente cônico, completamente cheio de água, foi introduzida uma
esfera maciça de raio 3. Determine o volume de água que permaneceu no
recipiente. dado a altura do cone é 8.
3) num lançamento de dois dados diferentes, qual a probabilidade de que
saiam números diferentes?
4)o número de maneiras com se pode separar as letras da palavra PERNAMBUCO
em 2 conjuntos de 5 letras cada, de forma que as letras P e O não estejam
no
mesmo conjunto.
5)Determine o conjunto solução da equação
cos5x = cosx em [0,2pi[
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[obm-l] RE: [obm-l] DÚVIDAS/HOMOMORFISMO
Oi Douglas e demais colegas desta lista ... OBM-L, Homomorfismo de um grupo em si mesmo tem nome proprio ... f e isomorfismo : f(ab)=f(a)f(b)=(a^-1)(b^-1)=(ba)^-1=f(ba) = ab=ab = abeliano G e abeliano f(ab)=(ab)^-1=(b^-1)(a^-1) = f(b)f(a) = f(a)f(b) = isomorfismo Um outro de Grupo : Se G e um grupo e G' e o grupo dos comutadores, G/G´ e abeliano. Um Abraco Paulo Santa Rita 4,1721,031203 From: [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] DÚVIDAS/HOMOMORFISMO Date: Wed, 3 Dec 2003 15:43:40 -0300 MIME-Version: 1.0 Received: from mc1-f38.hotmail.com ([64.4.50.45]) by mc1-s19.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 3 Dec 2003 10:55:03 -0800 Received: from saci.mat.puc-rio.br ([139.82.27.51]) by mc1-f38.hotmail.com with Microsoft SMTPSVC(5.0.2195.6713); Wed, 3 Dec 2003 10:54:17 -0800 Received: from saci.mat.puc-rio.br (localhost [127.0.0.1])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8) with ESMTP id hB3IiPSU016400for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 3 Dec 2003 16:44:25 -0200 Received: (from [EMAIL PROTECTED])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8/Submit) id hB3IiPIk016398for obm-l-MTTP; Wed, 3 Dec 2003 16:44:25 -0200 Received: from summer6.zipmail.com.br (smtp.zipmail.com.br [200.221.11.147])by saci.mat.puc-rio.br (8.12.8/8.12.8) with ESMTP id hB3IiOSU016394for [EMAIL PROTECTED]; Wed, 3 Dec 2003 16:44:24 -0200 Received: from [143.107.230.1] by summer6.zipmail.com.br with HTTP; Wed, 3 Dec 2003 16:43:40 -0200 X-Message-Info: SuyIeF3cBu9Pz1okjMdDJeXL063+Fx0yP6xSkvxaVXs= Message-ID: [EMAIL PROTECTED] X-MIME-Autoconverted: from quoted-printable to 8bit by saci.mat.puc-rio.br id hB3IiOSU016396 Precedence: bulk Return-Path: [EMAIL PROTECTED] X-OriginalArrivalTime: 03 Dec 2003 18:54:18.0750 (UTC) FILETIME=[DB2459E0:01C3B9CE] Alguém poderia me esclarecer uma dúvida sobre homomorfismo? Seja G um grupo. Mostre que a aplicação f : G - G, definida por f(x)=x^-1 (qualquer x pertencente a G), é um homomorfismo se e somente se G é abeliano. Grato. Douglas -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
Em 16/11/2003, 15:23, tarciosd ([EMAIL PROTECTED]) disse: olá amigos quanto vale a soma dos 100 primeiros termos de: os problemas estavam faltando um parenteses. a)cosa,cos(a+pi),cos(a+2pi).. cosa + cos(a+pi) + cos(a+2pi) + ... + cos(a + 99pi) = S cosa - cosa + cosa - cosa + ... - cosa = S 01 2 399 Positivo ser for um termo par e negativo se o contrário, logo, existem 50 postivos e 50 negativos, a soma vale zero S = 0 b) cosa,cos²a,cos³a,... cosa + cosa^2 + cosa^3 + ... + cosa^100 = S cosa(1 + cosa + cosa^2 + cosa^3 + ... + cosa^99) = S cosa(1 + S - cosa^100) = S cosa + Scosa - cosa^101 = S S = (cosa - cosa^101)/(1 - cosa) c)cosa,cos(a+pi)²,cos(a+2pi)³... cosa + cos(a+pi)^2 + cos(a+2pi)^3 + ... + cos(a+99pi)^100 = S cosa + (-cosa)^2 + (cosa)^3 + (-cosa)^4 + ... + (-cosa)^100 = S cosa + cosa^2 + cosa^3 + cosa^4 + ... + cosa^100 = S Que eh igual à anterior: S = (cosa - cosa^101)/(1 - cosa) Ateh Igor GomeZZ ICQ#: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 16/11/2003 (16:35) # Pare para pensar: Seja igual e junte-se a sociedade, seja diferente e torne-se um líder. (Autor desconhecido) # = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas
Dois probleminhas: 1) Qual é a soma dos algarismos do produto em que os fatores são um número constituído por 45 algarismos iguais a 9 e o outro, um número cosntituído por 45 algarismos iguais a 5? Considere o polinômio: P(x) = [9*(x^44 + x^43 + ... + x + 1)]*[5*(x^44 + x^43 + ... + x + 1)] = 45*(x^44 + x^43 + ... + x + 1)^2 O valor do produto pedido é igual a P(10) e a soma dos seus algarismos é P(1). Logo, Soma = P(1) = 45*(1 + 1 + ... + 1 + 1)^2 = 45*45^2 = 45^3 = 91125. * 2)Há 50 bolas brancas e 50 bolas pretas que serãodistribuídasem duas urnas idênticas. Em seguida, um prisioneiro escolherá (aleatoriamente) uma dessas urnas e dela retirará uma bola. Se esta for preta,o prisioneiroé condenado à morte. Caso contrário,o prisioneiroé libertado. Que distribuição de bolas pelas urnas dará ao prisioneiro a menor probabilidade de ele ser condenado à morte? A distribuição ótima é: Urna 1: 1 bola branca e nenhuma preta. Urna 2: 49 bolas brancas e 50 bolas pretas. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas básicas...
Oi para todos ! x^0 indica a identidade do grupo C* para a operação multiplicação. Logo a.x^0 = a , para todo a pertencente a C* . Logo x^0 = 1 André T. - Original Message - From: Henrique Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, February 13, 2003 8:42 PM Subject: [obm-l] Dúvidas básicas... Pessoal, Tenho duas dúvidas que são bem básicas... Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1? Sendo 0! o fatorial de zero. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas básicas...
On Thu, Feb 13, 2003 at 08:42:40PM -0300, Henrique Branco wrote: Pessoal, Tenho duas dúvidas que são bem básicas... Existe alguma demonstração (formal, de preferencia) sobre x^0 = 1 e 0! = 1? Isto são definições, não é possível propriamente demonstrá-las. O que se pode fazer é mostrar pq estas são as definições apropriadas, as únicas que levam certas propriedades a serem satisfeitas. Por exemplo, se você desejar que a propriedade x^(a+b) = x^a x^b seja sempre satisfeita, você deve ter x^0 = x^0 x^0 donde x^0 = 0 ou 1. Mas se x^0 = 0 temos x^a = x^0 x^a = 0 para todo a, o que não é muito interessante... Analogamente, você provavelmente gosta da fórmula (n+1)! = n! (n+1). Desta fórmula sai que 1! = 0! * 1; 2! = 0! * 1 * 2; e a única forma de obtermos os valores esperados 2!=2, 3!=6 é definir 0!=1. Outra idéia é levar interpretações combinatórias até casos degenerados. Por exemplo, se a e b são inteiros positivos podemos escrever a^b = |F(B,A)|, onde A e B são conjuntos arbitrários com a e b elementos, respectivamente, e F(B,A) é o conjunto das funções de domínio B e contradomínio A. Ora, se B for vazio, o que é F(B,A)? É um conjunto com um único elemento, a função vazia. Eu vou dar os valores dela em todos os elementos de B; pronto, já dei. :-) Assim, |F(B,A)| = 1 o que nos leva a x^0 = 1. Analogamente, podemos escrever a! como |S(A)| onde A novamente é um conjunto com A elementos e S(A) é o conjunto das permutações de A (bijeções de A em A). Se A for vazio, novamente a função vazia é o único elemento de S(A). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvidas básicas...
1) (x^1 / x^1) = x^(1-1) = x^0 = 1. 2) Quanto ao 0! eu não sei... Mas posso tentar uma resposta (nao sei se é realmente válida): 1! = 1 = 1! = 1 * 0! = 1 = 0! = 1 []s David ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re : [obm-l] Dúvidas sobre duas questões de análise real!!!
Ola Robson e demais colegas desta lista ... OBM-L, 1) Caro Robson. Se voce nao sabe, logo vai ficar sabendo ( quando comecar a estudar Analise ) que esta serie e um tipico representante do que se chama uma SERIE CONDICIONALMENTE CONVERGENTE. Existe um Teorema ( de Riemann ) de Analise que afirma que um reordenamente dos termos destas series pode faze-la divergir OU convergir ( convergir para UM NUMERO REAL QUALQUER, dado ). Claramente que este Teorema fala pouco ... Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. Converge pra onde ? Isso vai depender da PA. No seu caso : 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2) Outro caso bem conhecido e : S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4 E uma relacao bem conhecida e que : 1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2). A serie acima e o valor da funcao zeta em 2. Note que a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que : A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ... Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o Teorema de Leibniz a que me referi acima. Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que ( K e S dados ) : 1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i 2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S. A serie abaixo converge para que numero real ? : A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ... Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema resolvido apenas parcialmente pelo Euler. 2) Problema tipico de Introducao a Analise, que esta em todo livro desta categoria. Todo mundo mundo que estudou Analise fez este ou outro muito parecido. O enunciado esta um pouco confuso, mas sai assim : Suponha inf B sup A. Moste que isto conduz a um absurdo. Logo sup A = inf B Voce aqui estara usando o AXIOMA DO SUPREMO, tambem conhecido como AXIOMA DO COMPLETAMENTO : Todo conjunto de numeros reais limitado superiormente admite um supremo. Deste axioma voce DEDUZ a existencia do infimo, vale dizer, postular o axioma do supremo implica no TEOREMA DO INFIMO. Mas nao existe nenhum razao forte para esta preferencia ... Voce pode postular um AXIOMA DO INFIMO e deduzir o TEOREMA DO SUPREMO ( basta multiplicar por -1 e fazer um raciocinio bobo cheio de implicacoes obvias ). Um corpo ordenado no qual vale este axioma e um CORPO ORDENADO COMPLETO. Os numeros reais. Ha autores que POSTULAM a existencia de um corpo ordenado completo, tais como o Prof Elon Lima ( Curso de Analise, Vol. 1). Todavia, historicamente, foi a percepcao do AXIOMA DO SUPREMO pelo Dedekin que permitiu CONSTRUIR um tal corpo, que alias pode ser construido por diversos outros caminhos ... O fato de existir diversas construcoes de tais corpos ( ordenados e completos ) nao complica ... Dois de tais corpos sao necessariamente isomorfos, vale dizer, INDISTINGUIVEIS no que se refere aos axiomas que os definem. Um Abraco Paulo Santa Rita 5,1750,230103 - Original Message - From: Robson Monteiro To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, January 14, 2003 5:23 PM Subject: Dúvidas sobre duas questões de análise real!!! Oi Pessoal estou com duas dúvidas(sobre quetões que encontrei no livro do Elon Lages-Análise Real) e gostaria de saber se alguém pode me ajudar: 1º) Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... 2º) Sejam A,B conjuntos não vazios de números reais, tais que x Pertence a A e y pertence a B, com (x=y). Prove que supA=infB. Prove que supA=infB, se e somente se, para todo Epsilon0 dado, podem-se obter x pertencente a A e y pertencente a B tais que: y- x=epsilon _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
É, a numero 7 do IME de análise combinatória foi realmente difícil por ser tbm muito enganosa... por exemplo: eu achei que caminhos fossem auqeles em que não se pudesse repetir nem voltar trechos, mas quando vi a resolução, percibi que estava completamente errado e ainda por cima, não entendi a resolução. __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
Interessante vc ter se baseado na letra A para fazer a letra B..não é a toa que elas estão na mesma questão. Não sei se vc concorda comigo, mas essa questão foi pra mim a mais difícil da prova e esse tipo de questão que chamam de álgebra especulativa eu acho realmente mais complicado que o resto em matemática. Vc concorda? __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
valeu Daniel. Mas de onde vc tira essas fatorações? isso eu nunca aprendi, aliás, esse tipo de questão abrange álgebra básica, que não tem em nenhum livro..não é? __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
(IME-96) sendo T(k+1) o termo de ordem (k+1) T(k+1) = C (65,k) * (1/3)^k * 1^(65-k) = 1/3^k * C(65,k) se T (k+1) é o maior : T (k+1) = T(k) 1/3^k * C(65,k) = 1/3(k-1) * C(65,(k-1)) efetuando as contas : 1/3k = 1/(66-k) k = 66/4 = 16,5 e também : T(k+1) = T(k+2) 1/3^k * C(65,k) = 1/3^(k+1) * C(65,(k+1)) 1/(65-k) = 1/(3(k+1)) k = 62/4 =15,5 15,5 = k = 16,5 - k=16 , já que k é inteiro T(16+1) =T(17) = C(65,16)/3^16 Adriano. From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvidas Date: Fri, 3 May 2002 15:31:10 -0300 (IME-96)Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão: (1+1/3)^65 (IME-2001) a) Sejam x,y,z números reais positivos, prove que: x+y+z/3 maior ou igual a (x.y.z)^1/3 Em que condições a igualdade se verifica? b) Seja um paralelepípedo de lados a,b e c e área total S.Ache o volume máximo desse paralelepípedo em função de S. Qual a relação entre a, b e c para que esse volume seja máximo? demonstre seus resultados. OBS: ponham o maior número de soluções possíveis. Obrigado __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Una-se ao maior serviço de email do mundo: o MSN Hotmail. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas
(IME-2001) a)sendo a e b reais positivos temos que : (a^(1/2)-b(^1/2))^2 = 0 temos que a+b = 2(ab)^(1/2) fazendo a = (c+d)/2 , b= (e+f)/2 (c+d+e+f)/4 = ( (c+d)/2 *(e+f)/2 )^(1/2) utilizando a desigualdade entre as médias provada no começo: (c+d+f+e)/4 = (cdef)^(1/4) fazendo um termo qualquer como a média arit. dos outros temos que: ( (c+d+e)+ (c+d+e)/3 )/4 = ( cde(c+d+e)/3 )~(1/4) (c+d+e)/3 = ( cde(c+d+e)/3 )^(1/4) elevando a quarta pot. e simplificando nos dois lados temos: (c+d+e)/3 = (cde)^(1/3) b)comoS = 2(ab+bc+ac), fazendo x=ab ,y=ac, z=bc temos: (ab+ac+bc)/3 = ( (ab)(ac)(bc) )^(1/3) S/6 = ( (abc)^2) ^(1/3) S/6 = ( V^2 ) ^(1/3) V = S/6 ( (S/6)^(1/2) ) então o valor máximo de V é igual a S/6 ( (S/6) ^(1/2) ) o que implica que a média arit. é igual a média geom. então a=b=c ou seja o paral. é um cubo. Adriano From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] dúvidas Date: Fri, 3 May 2002 15:31:10 -0300 (IME-96)Determine o termo máximo do desenvolvimento da expressão: (1+1/3)^65 (IME-2001) a) Sejam x,y,z números reais positivos, prove que: x+y+z/3 maior ou igual a (x.y.z)^1/3 Em que condições a igualdade se verifica? b) Seja um paralelepípedo de lados a,b e c e área total S.Ache o volume máximo desse paralelepípedo em função de S. Qual a relação entre a, b e c para que esse volume seja máximo? demonstre seus resultados. OBS: ponham o maior número de soluções possíveis. Obrigado __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Envie e receba emails com o Hotmail no seu dispositivo móvel: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] dúvidas em análise combinatória
Mas no caso do problema 1, pq tem de terminar em 12, 16, 24, 36 ou 56? 2) Vou trocar os fatores para p, q, r, s Os divisores sao da forma (p^a) * (q^b) * (r^c) * (s^d) , cada um dos números a, b, c, d podendo ser 0 ou 1. Há 2 modos de escolher o valor de a, 2 modos de escolher o valor de b,... A resposta é 2x2x2x2=16. 1) O final do número só pode ser 12, 16, 24, 36, 56. Há 5 modos de escolher os dois últimos algarismos. Depois disso, haverá 4 modos de escolher o primeiro algarismo e 3 modos de escolher o segundo. A resposta é 5x4x3=60. rafaelc.l wrote: 1)qual é o total de números múltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6? 2)Seja o número natural N=p1.p2.p3.p4 onde p1,p2,p3 e p4 são fatores naturais primos distintos. Qual o número de divisores naturais de N? Me ajudem a resolver os 2 problemas acima.. Obrigado _ _ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] == === __ Quer ter seu próprio endereço na Internet? Garanta já o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomíniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvidas em análise combinatória
*Um numero eh divisivel por 4 se e somente se o numero formado pelos dois ultimos algarismos for divisivel por 4. Tem que terminar em 12,16,24,32,36,52, 56 ou 64. Ha 8 modos. A resposta eh 8x4x3=96 *Se n=(...cab), n= 100x(...c)+(ab) rafaelc.l wrote: GVD137$[EMAIL PROTECTED]"> Mas no caso do problema 1, pq tem de terminar em 12, 16, 24, 36 ou 56? 2) Vou trocar os fatores para p, q, r, s Os divisores sao da forma (p^a) * (q^b) * (r^c) * (s^d) , cada um dos nmeros a, b, c, d podendo ser 0 ou 1. H 2 modos de escolher o valor de a, 2 modos de escolher o valor de b,...A resposta 2x2x2x2=16.1) O final do nmero s pode ser 12, 16, 24, 36, 56. H 5 modos de escolher os dois ltimos algarismos. Depois disso, haver 4 modos de escolher o primeiro algarismo e 3 modos de escolher o segundo. A resposta 5x4x3=60.rafaelc.l wrote: 1)qual o total de nmeros mltiplos de 4, com quatro algarismos distintos, que podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6?2)Seja o nmero natural N=p1.p2.p3.p4 onde p1,p2,p3 e p4 so fatores naturais primos distintos. Qual o nmero de divisores naturais de N?Me ajudem a resolver os 2 problemas acima.. Obrigado _ _ Quer ter seu prprio endereo na Internet?Garanta j o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados. DomniosBOL - http://dominios.bol.com.br = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED] = __Quer ter seu prprio endereo na Internet?Garanta j o seu e ainda ganhe cinco e-mails personalizados.DomniosBOL - http://dominios.bol.com.br=Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista [EMAIL PROTECTED]=
