Re: [obm-l] desigualdades

[Claudio Buffara]

Bela solução!

Pra mostrar que a desigualdade é a melhor possível, escolha  a >> b >> c
>> d (>>: muito maior).

Por exemplo, se a = n^3; b = n^2; c = n; d = 1 então a expressão é igual a
3/(1+1/n) + 1/(1+n^3) e isso pode se tornar tão próximo de 3 (e < 3) quanto
quisermos, bastando tomar n suficientemente grande.



On Wed, Jun 12, 2019 at 2:58 PM Esdras Muniz 
wrote:

> Provar que E=a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>
> Se u, v e k são positivos, com u Daí, temos que a/(a+b)<(a+c+d)/(a+b+c+d). Fazendo a mesma coisa com os
> outros termos da soma temos: E<((a+c+d)+(b+a+d)+(c+a+b)+(d+b+c))/(a+b+c+d)=3.
> Feito.
>
> Uma coisa legal é mostrar que 1 melhorados.
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
> <#m_-5275226410220337569_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avast.com
> .
>
> <#m_-5275226410220337569_m_-2965441995128554056_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdades

[Esdras Muniz]

Provar que E=a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3

Se u, v e k são positivos, com uhttps://www.avast.com/sig-email?utm_medium=email_source=link_campaign=sig-email_content=webmail>
Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>


Livre
de vírus. www.avast.com
.
<#m_-2965441995128554056_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

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Re: [obm-l] desigualdades

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

Outra ideia: seja 4 = n, e considere x_i/(x_i + y_i), onde y_i é um
"deslocamento" dos x; ou seja, x = [a,b,...,c,d], y = [b,...,c,d,a]
têm cada um n elementos.  O último exemplo do Ralph mostra que x/(x+y)
pode estar arbitrariamente próximo de [1,1, ..., 1, 0].  Daí, se
estivermos neste caso, basta notar que d/(d+a) (enfim, o último
dividido pela soma deste com o primeiro) será menor do que d/(d+c), já
que a >= b >= ... >= c.  Assim, c/(c+d) + d/(d+a) <= c/(c+d) + d/(c+d)
= 1. Ufa!  Assim, com n termos, temos que a soma vale, no máximo, n-1.
(Para a desigualdade estrita é fácil, basta ver que nenhum dos outros
termos dá 1.)

Para completar a demonstração no caso geral, separe o caso "geral",
onde a sequência tem mais de um mínimo local, e o caso monótono
decrescente (como a escolha do "primeiro elemento" não importa, já que
é circular, este sempre pode ser escolhido como o maior de todos).

Outro agradecimento ao Ralph por ter sugerido "maximizar" a expressão.

On Mon, Jun 10, 2019 at 9:06 PM Ralph Teixeira  wrote:
>
> Ah, errei sim! Poderia ser a≥b≥c≥d≤a, claro! :-(
>
> On Mon, Jun 10, 2019, 21:55 Ralph Teixeira  wrote:
>>
>> Uma ideia: cada uma das 4 frações é <1... Se você mostrar que duas delas são 
>> ≤ 1/2, acabou o problema.
>>
>> Então, se a≤b≤c então a/(a+b)≤a/(a+a)=1/2, e idem para b/(b+c). De fato, se 
>> houver 3 números consecutivos em ordem crescente na lista cíclica (a,b,c,d), 
>> este argumento mata o problema.
>>
>> Agora, para não ter 3 em ordem crescente no ciclo, você vai ter que ter 
>> a≤b≥c≤d≥a (ou exatamente o contrário disso tudo, que é análogo). Mas então 
>> a/(a+b)≤1/2 e c/(c+d)≤1/2 também!
>>
>> Abraço, Ralph.
>>
>> P.S.: meu raciocínio parece ter muita "folga", errei algo? Alguém sabe se o 
>> máximo daquela expressão está perto de 3 mesmo?
>>
>>
>>
>> On Mon, Jun 10, 2019 at 11:12 AM Carlos Monteiro 
>>  wrote:
>>>
>>> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então
>>> a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>>>


-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] desigualdades

[Ralph Teixeira]

Ah, errei sim! Poderia ser a≥b≥c≥d≤a, claro! :-(

On Mon, Jun 10, 2019, 21:55 Ralph Teixeira  wrote:

> Uma ideia: cada uma das 4 frações é <1... Se você mostrar que duas delas
> são ≤ 1/2, acabou o problema.
>
> Então, se a≤b≤c então a/(a+b)≤a/(a+a)=1/2, e idem para b/(b+c). De fato,
> se houver 3 números consecutivos em ordem crescente na lista cíclica
> (a,b,c,d), este argumento mata o problema.
>
> Agora, para não ter 3 em ordem crescente no ciclo, você vai ter que ter
> a≤b≥c≤d≥a (ou exatamente o contrário disso tudo, que é análogo). Mas então
> a/(a+b)≤1/2 e c/(c+d)≤1/2 também!
>
> Abraço, Ralph.
>
> P.S.: meu raciocínio parece ter muita "folga", errei algo? Alguém sabe se
> o máximo daquela expressão está perto de 3 mesmo?
>
>
>
> On Mon, Jun 10, 2019 at 11:12 AM Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:
>
>> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então
>> a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdades

[Ralph Teixeira]

Uma ideia: cada uma das 4 frações é <1... Se você mostrar que duas delas
são ≤ 1/2, acabou o problema.

Então, se a≤b≤c então a/(a+b)≤a/(a+a)=1/2, e idem para b/(b+c). De fato, se
houver 3 números consecutivos em ordem crescente na lista cíclica
(a,b,c,d), este argumento mata o problema.

Agora, para não ter 3 em ordem crescente no ciclo, você vai ter que ter
a≤b≥c≤d≥a (ou exatamente o contrário disso tudo, que é análogo). Mas então
a/(a+b)≤1/2 e c/(c+d)≤1/2 também!

Abraço, Ralph.

P.S.: meu raciocínio parece ter muita "folga", errei algo? Alguém sabe se o
máximo daquela expressão está perto de 3 mesmo?



On Mon, Jun 10, 2019 at 11:12 AM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então
> a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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Re: [obm-l] desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

desculpe-me eu errei, desconsidere essa mensagem


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em seg, 10 de jun de 2019 às 16:28, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Subtraindo -3 na desigualdade temos
> -b/(a+b)-c/(b+c)-d/(c+d)-a/(d+a)<0
> Multplicando por -1
> b/(a+b)+c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)>0
> e daí então é fácil de ver que a desigualdade acima é satisfeita
>
>
> 
>  Livre
> de vírus. www.avg.com
> .
> <#m_3520651126714777863_DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>
>
> Em seg, 10 de jun de 2019 às 11:12, Carlos Monteiro <
> cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:
>
>> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então
>> a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>


-- 
Israel Meireles Chrisostomo

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

Subtraindo -3 na desigualdade temos
-b/(a+b)-c/(b+c)-d/(c+d)-a/(d+a)<0
Multplicando por -1
b/(a+b)+c/(b+c)+d/(c+d)+a/(d+a)>0
e daí então é fácil de ver que a desigualdade acima é satisfeita


Livre
de vírus. www.avg.com
.
<#DAB4FAD8-2DD7-40BB-A1B8-4E2AA1F9FDF2>

Em seg, 10 de jun de 2019 às 11:12, Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> escreveu:

> Prove que se a, b, c, d são reais positivos, então
> a/(a+b)  +  b/(b+c) +  c/(c+d)   +   d/(d+a)  <  3
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



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Israel Meireles Chrisostomo

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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdades

[Ralph Teixeira]

2xy+2xz+2yz-6= (x+1)(y+z-2) + (y+1)(x+z-2) + (z+1)(x+y-2)>=0

:D






---///---





Ok, eu nao fiz assim de cara Eu primeiro defini u=x+1, v=y+1 e w=z+1.
Entao as condicoes dadas seriam:

u,v,w>=0
u+v, u+w, v+w >= 4

Entao
(u-1)(v-1)+(u-1)(w-1)+(v-1)(w-1) >= 3
vira
uv+uw+vw -2u -2v -2w >= 0
e aqui eu tentei ajeitar o lado esquerdo com as coisas dadas:
u(v+w-4)+v(u+w-4)+w(u+v-4)
e deu certo!

DEPOIS disso tudo, voltei ao problema original e traduzi essas coisas para
x,y,z para nem precisar das novas coordenadas e fingir que era um problema
de uma linha. ;D

Abraco, Ralph.





On Sat, May 25, 2019 at 7:58 AM Carlos Monteiro <
cacacarlosalberto1...@gmail.com> wrote:

> Sejam x, y e z reais satisfazendo x,y,z >= -1 e x+y >= 2, x+z >= 2, y+z >=
> 2. Prove que xy+xz+yz >= 3.
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

Acho que consegui aqui, uma dica é usar a desigualdade de
Cauchy-Scwharz.Vou acrescentar essa questão ao meu PDF.

Em 16 de agosto de 2017 16:42, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Desconsidere as minhas duas última respostas, estão erradas
>
> Em 16 de agosto de 2017 14:39, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Corrigindo alguns pontos.
>> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
>> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>>  
>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
>> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
>> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo
>> com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
>> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)> -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
>> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
>> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
>> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>>
>> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
>> a³+b³+c³-3abc> Desfazendo a substituição, teremos que
>> 2x³+2y³+2z³-12xyz> Somando (3) com (1), obtemos:
>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>> Que é equivalente a
>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
>> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
>> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto,
>> mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>>
>> Saudações, Israel Meireles Chrisostomo.
>>
>> Em 16 de agosto de 2017 14:30, Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
>>> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
>>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>>>  
>>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
>>> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
>>> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo
>>> com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
>>> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)>> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)>> -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>>> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2,
>>> temos:
>>> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
>>> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>>> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
>>> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>>>
>>> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
>>> a³+b³+c³-3abc>> Desfazendo a substituição, teremos que
>>> 2x³+2y³+2z³-12xyz>> Somando (3) com (1), obtemos:
>>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>>> Que é equivalente a
>>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
>>> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
>>> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto,
>>> mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>>>
>>>
>>> Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x
 +z)+yz(y+z).

 Douglas Oliveira .

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 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
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>>>
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>>> --
>>> Israel Meireles Chrisostomo
>>>
>>
>>
>>
>> --
>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
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> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>



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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

Desconsidere as minhas duas última respostas, estão erradas

Em 16 de agosto de 2017 14:39, Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:

> Corrigindo alguns pontos.
> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>  
> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
> lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz) >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz) -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>
> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
> a³+b³+c³-3abc Desfazendo a substituição, teremos que
> 2x³+2y³+2z³-12xyz Somando (3) com (1), obtemos:
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Que é equivalente a
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas
> acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>
> Saudações, Israel Meireles Chrisostomo.
>
> Em 16 de agosto de 2017 14:30, Israel Meireles Chrisostomo <
> israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>
>> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
>> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
>> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>>  
>> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
>> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
>> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo
>> com lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
>> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)> >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)> -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
>> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
>> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
>> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>>
>> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
>> a³+b³+c³-3abc> Desfazendo a substituição, teremos que
>> 2x³+2y³+2z³-12xyz> Somando (3) com (1), obtemos:
>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
>> Que é equivalente a
>> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
>> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
>> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto,
>> mas acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>>
>>
>> Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x
>>> +z)+yz(y+z).
>>>
>>> Douglas Oliveira .
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>>
>>
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>> Israel Meireles Chrisostomo
>>
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> Israel Meireles Chrisostomo
>



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Israel Meireles Chrisostomo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

Corrigindo alguns pontos.
Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
(x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
 
(x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz) escreveu:

> Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
> desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
> (x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
>  
> (x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
> Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
> Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
> lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
> (x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz) >>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz) -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Multiplicando ambas as partes da última desigualdade por raiz de 2, temos:
> sqrt{2}(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz)<=sqrt{2}(x³+y³+z³
> -(x+y+z)(xy+xz+yz))
> Fazendo xsqrt{2}=a,ysqrt{2}=b, c=zsqrt{2}
> (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)<=sqrt{2}(x³+y³+z³ -(x+y+z)(xy+xz+yz))
>
> Veja que (a+b+c)(a²+b²+c²-ab+bc+ac)=a³+b³+c³-3abc, daí então teremos
> a³+b³+c³-3abc Desfazendo a substituição, teremos que
> 2x³+2y³+2z³-12xyz Somando (3) com (1), obtemos:
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).-15xyz< -(x+y+z)(xy+xz+yz)
> Que é equivalente a
> xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)<6xyz
> O que é um absurdo, pela desigualdade das médias em 6 variáveis.Logo
> x^3+y^3+z^3+3xyz<=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).Eu não sei se está correto, mas
> acho que vc colocou o sinal da desigualdade invertido.
>
>
> Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x
>> +z)+yz(y+z).
>>
>> Douglas Oliveira .
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
>
> --
> Israel Meireles Chrisostomo
>



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Israel Meireles Chrisostomo

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Re: [obm-l] Desigualdades

[Israel Meireles Chrisostomo]

Suponha, por absurdo, que x³+y³+z³+3xyz>xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z) (1).A
desigualdade é equivalente a (x+y+z)³>4(xy+xz+yz)(x+y+z)-9xyz >>>
(x+y+z)((x+y+z)²-4(xy+xz+yz))>-9xyz>>(x+y+z)(-(x+y+z)²+4(xy+xz+yz))<9xyz
 
(x+y+z)(-x²-y²-z²+2xy+2xz+2yz)<9xyz (2)
Usando a identidade (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-xz-yz)=x³+y³+z³-3xyz
Multiplicando a identidade acima por 3 e somando com (2)-lado esquerdo com
lado esquerdo, lado direito com lado direito-, obtemos
(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-xy-xz-yz)>>(x+y+z)(2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz) escreveu:

> Como posso prova para x,y,z positivos que x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(
> x+z)+yz(y+z).
>
> Douglas Oliveira .
>
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> acredita-se estar livre de perigo.




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Re: [obm-l] Desigualdades

[Anderson Torres]

Isso me parece decorrência da Desigualdade de Schur: x(x-y)(x-z) +
y(y-x)(y-z) + z(z-x)(z-y) >= 0

Em 14 de agosto de 2017 14:39, Douglas Oliveira de Lima
 escreveu:
> Como posso prova para x,y,z positivos que
> x^3+y^3+z^3+3xyz>=xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z).
>
> Douglas Oliveira .
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdades Numeros Naturais

[saulo nilson]

a=c+d-d
2015-02-13 10:06 GMT-02:00 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br:

  Pessoal,

 Dados dois numeros naturais a, b, c e d onde :

 ac
 db

 b é multiplo de 2 e os outros numeros são impares

 Quais as condições para que tenhamos

 a + b  c + d

 cd  ab

 Abs
 Felipe



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Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Victor]

Ok,  Meu Grande Mestre Nehab,

Um Saudoso Abraço

Carlos

Victor

Em 20 de março de 2013 23:21, Nehab carlos.ne...@gmail.com escreveu:

  Oi, querido amigo,

 Apenas uma observação:
 Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y e
 z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96.
 Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2
 (e naturalmente xyz = 32).
 De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2.

 Um grande abraço,
 Saudades
 Nehab


 On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote:

 Olá ,
 acredito que dê  só por médias :
 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de (
 32(xyz)^2) =3.32 = 96.

 Carlos Victor


 Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
 bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
  Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que
 há vários detalhes), aí vão soluções:
 
  1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 +
 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A
 igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y =
 2^(5/6) e z = 2^(7/3).

  Oi Shine,

 eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
 desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
 esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
 leitor.

 Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
 (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
 eu teria feito assim:

 Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
 constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
 vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
 obteve...).

 xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
 portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

 Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
 (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

 4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

 Verificando: x^2 = 4^2 = 16
 4xy = 4*2*4 = 32
 4*y^2 = 4*2^2 = 16
 2z^2 = 2*4^2 = 32
 Somando = 96.

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Victor]

Olá ,
acredito que dê  só por médias :
4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de (
32(xyz)^2) =3.32 = 96.

Carlos Victor


Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

 2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
  Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que
 há vários detalhes), aí vão soluções:
 
  1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2)
 + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade
 ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z =
 2^(7/3).

 Oi Shine,

 eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
 desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
 esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
 leitor.

 Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
 (e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
 eu teria feito assim:

 Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
 constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
 vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
 obteve...).

 xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
 portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

 Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
 termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
 (2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

 4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

 Verificando: x^2 = 4^2 = 16
 4xy = 4*2*4 = 32
 4*y^2 = 4*2^2 = 16
 2z^2 = 2*4^2 = 32
 Somando = 96.

 --
 Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Yuzo Shine]

Haha, era isso que eu queria fazer. Eu cometi um erro. O Bernardo apontou o 
erro (valeu, Bernardo!) e o xará Carlos Victor deu a solução que acho melhor 
mesmo.

[]'s
Shine



From: Carlos Victor victorcar...@globo.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Wednesday, March 20, 2013 8:51 AM
Subject: Re: [obm-l] Desigualdades


Olá ,
acredito que dê  só por médias :
4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de ( 32(xyz)^2) 
=3.32 = 96.

Carlos Victor



Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com escreveu:

2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:

 Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há 
 vários detalhes), aí vão soluções:

 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 
 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade 
 ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 
 2^(7/3).

Oi Shine,

eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
leitor.

Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
(e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
eu teria feito assim:

Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
obteve...).

xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
(2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

Verificando: x^2 = 4^2 = 16
4xy = 4*2*4 = 32
4*y^2 = 4*2^2 = 16
2z^2 = 2*4^2 = 32
Somando = 96.

--
Bernardo Freitas Paulo da Costa


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdades

[Nehab]

Oi, querido amigo,

Apenas uma observação:
Ficou provado que 96 majora a soma, mas ainda temos que explicitar x, y 
e z com xyz = 32 que faz a soma ser IGUAL a 96.
Em sua prova a igualdade a 96 valeria se houvesse x, y e z com 4xy = z^2 
(e naturalmente xyz = 32).

De fato isto ocorre qdo z = 4 e dai, x =4 e y = 2.

Um grande abraço,
Saudades
Nehab

On 20/03/2013 08:51, Carlos Victor wrote:

Olá ,
acredito que dê  só por médias :
4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 3.raiz cúbica de ( 
32(xyz)^2) =3.32 = 96.


Carlos Victor


Em 19 de março de 2013 20:41, Bernardo Freitas Paulo da Costa 
bernardo...@gmail.com mailto:bernardo...@gmail.com escreveu:


2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com
mailto:cysh...@yahoo.com:
 Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável,
em que há vários detalhes), aí vão soluções:

 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2
+ 4y^2) + 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 =
128. A igualdade ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x =
2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3).

Oi Shine,

eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
leitor.

Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
(e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
eu teria feito assim:

Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
obteve...).

xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
(2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 =
2, x = 4.

Verificando: x^2 = 4^2 = 16
4xy = 4*2*4 = 32
4*y^2 = 4*2^2 = 16
2z^2 = 2*4^2 = 32
Somando = 96.

--
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Desigualdades

[marcone augusto araújo borges]

2) Desenvolvendo,temos m = x^4.y^2 + x^2.y^4MA  = MG = m  = 
2.(x^4.x^2.y^y.y^2)^1/2 = 2.x^3.y^3 (*)Como x + y = 2,temos  que xy  = 1(MG  
= MA),então x^3.y^3  = 1(**)
Substituindo (**) em (*),obtemos a desigualdade procurada.Tá certo assim?From: 
marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdades
Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 +




1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor 
mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2
 
 
2) Sejam x  = 0,y  = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que 
x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2

  

RE: [obm-l] Desigualdades

[João Maldonado]

Temos 
m = 2x³y³
2 = 2x³y³

Não podemos dizer nada a respeito!

Por exemplo:
Sendo 2x³y³ = 1
Temos
m=1
2=1

m pode ser 3/2 ou 3 por exemplo
mas 3/2  2 e 3  2


From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Desigualdades
Date: Tue, 19 Mar 2013 15:23:35 +




2) Desenvolvendo,temos m = x^4.y^2 + x^2.y^4
MA  = MG = m  = 2.(x^4.x^2.y^y.y^2)^1/2 = 2.x^3.y^3 (*)
Como x + y = 2,temos  que xy  = 1(MG  = MA),então x^3.y^3  = 1(**)
Substituindo (**) em (*),obtemos a desigualdade procurada.
Tá certo assim?
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdades
Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 +




1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor 
mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2
 
 
2) Sejam x  = 0,y  = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que 
x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2

  

RE: [obm-l] Desigualdades

[João Maldonado]

Eu faria por derivada (especialmente o segundo) 

1) z = 32/xy
Substituindo

p = (x+2y)² + 2.(32/xy)²

Derivando em relação a x e igualando a 0
dp/dx = 0 - (xy)².x.(x+2y) = 2.32²
Derivando em relação a y e igualando a 0
dp/dy = 0 -(xy)².y.(x+2y) = 32²

Dividindo um pelo outro
x/y= 2 -  x=2y
Substituindo - y=2, x=4 e desse modo z = 4

p mín = 96

2) (xy)² (4-2xy) = 2(-(xy)³ + 2(xy)²)

A função -(xy)³ + 2(xy)² tem raiz dupla xy=0 e raiz xy=2, logo entre 0 e 2 
temos um máximo momentâneo. Mas sabemos que 0  xy = 1
Além disso, derivando e igualando a zero, vemos que o máximo momentâneo se dá 
em xy=4/3, logo de 0 a 4/3 a função é estritamente crescente. Desse modo o fmáx 
se dá em xy=1
Assim: x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2

[]'s
João



From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdades
Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 +




1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor 
mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2
 
 
2) Sejam x  = 0,y  = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que 
x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2

  

Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Yuzo Shine]

Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há 
vários detalhes), aí vão soluções:

1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 2z^2 
= 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade ocorre 
quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 2^(7/3).

2) A minha solução é parecida, só o final muda um pouco. Sendo P = xy, a 
expressão é igual a P^2((x+y)^2 - 2xy) = 4P^2 - 2P^3. Queremos provar que 4P^2 
- 2P^3 = 2, ou seja, 2P^2 = P^3 + 1. Mas por médias novamente 2 = x+y = 
2P^(1/2), ou seja, 1 = P^(1/2), e, pela desigualdade das médias, P^3 + 1 = 
2P^(3/2) = 2P^(3/2)1^(1/2) = 2P^(3/2)P^(1/2) = 2P^2, como queremos.

[]'s
Shine



From: João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br obm-l@mat.puc-rio.br 
Sent: Tuesday, March 19, 2013 1:57 PM
Subject: RE: [obm-l] Desigualdades



Eu faria por derivada (especialmente o segundo) 

1) z = 32/xy
Substituindo

p = (x+2y)² + 2.(32/xy)²

Derivando em relação a x e igualando a 0
dp/dx = 0 - (xy)².x.(x+2y) = 2.32²
Derivando em relação a y e igualando a 0
dp/dy = 0 -(xy)².y.(x+2y) = 32²

Dividindo um pelo outro
x/y= 2 -  x=2y
Substituindo - y=2, x=4 e desse modo z = 4

p mín = 96

2) (xy)² (4-2xy) = 2(-(xy)³ + 2(xy)²)

A função -(xy)³ + 2(xy)² tem raiz dupla xy=0 e raiz xy=2, logo entre 0 e 2 
temos um máximo momentâneo. Mas sabemos que 0  xy = 1
Além disso, derivando e igualando a zero, vemos que o máximo momentâneo se dá 
em xy=4/3, logo de 0 a 4/3 a função é estritamente crescente. Desse modo o fmáx 
se dá em xy=1
Assim: x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2

[]'s
João






From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Desigualdades
Date: Tue, 19 Mar 2013 12:20:08 +


1) Sejam x,y,z números reais positivos tais que xyz = 32.Determine o valor 
mínimo de x^2 + 4xy + 4y^2 + 2z^2


2) Sejam x  = 0,y  = 0 números reais tais que x + y = 2.Mostre que 
x^2.y^2(x^2 + y^2)  = 2  

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdades

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2013/3/19 Carlos Yuzo Shine cysh...@yahoo.com:
 Só para evitar derivadas (especialmente de mais de uma variável, em que há 
 vários detalhes), aí vão soluções:

 1) Pela desigualdade de médias, a expressão é igual a 4xy + (x^2 + 4y^2) + 
 2z^2 = 4xy + 4xy + 2z^2 = 8xy + 2z^2 = 4xyz = 4*32 = 128. A igualdade 
 ocorre quando x = 2y e 4xy = z^2, ou seja, x = 2^(11/6), y = 2^(5/6) e z = 
 2^(7/3).

Oi Shine,

eu não entendi a passagem 8xy + 2z^2 = 4xyz. Não pode ser só
desigualdade das médias, porque essa é homogênea, e todos os termos da
esquerda são de ordem dois. Acho que faltou uma dica para o seu caro
leitor.

Pensando um pouco mais, eu resolveria com multiplicadores de Lagrange
(e portanto com derivadas). Mas se fosse antes de aprender Lagrange,
eu teria feito assim:

Note que se z é fixo, temos que minimizar (x + 2y)^2, com xy =
constante. (Aplicando a famosa técnica escolha produtos notáveis que
vão te ajudar.) Pela MA = MG, obtemos x = 2y (como todo mundo
obteve...).

xy = 32/z, x = 2y = 2y^2 = 32/z = y^2 = 16/z, x^2 = 4*16/z e
portanto x^2 + 4xy + 4y^2 = 4*16/z + 4*32/z + 4*16/z = 4*32*2/z.

Queremos minimizar 4*32*2/z + 2z^2. Pela desigualdade das médias com 3
termos: 4*32/z + 4*32/z + 2z^2 = 3 * (4*32 * 4*32 * 2)^1/3 = 3 *
(2^(2+5+2+5+1))^1/3 = 3 * 2^5 = 3 * 32 = 96. A igualdade ocorre para

4*32/z = 2z^2 = 64 = z^3, ou seja z = 4, y = 4/raiz(z) = 4/2 = 2, x = 4.

Verificando: x^2 = 4^2 = 16
4xy = 4*2*4 = 32
4*y^2 = 4*2^2 = 16
2z^2 = 2*4^2 = 32
Somando = 96.

-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdades

[*Vidal]

Prezado Felipe,

Prove por absurdo, usando o argumento que você colocou, que é fácil
multiplicar desigualdades.

ab0 = a^(1/n)  b^(1/n) , n natural, n = 1

ab0
Suponhamos, por absurdo, que a^(1/n) = b^(1/n).
Multiplicando n desigualdades iguais a esta, teremos a= b (contradição).
Logo, a^(1/n)  b^(1/n).

Abraços,
Vidal.

:: [EMAIL PROTECTED]



On Sun, Nov 2, 2008 at 14:43, Felipe [EMAIL PROTECTED] wrote:

 alguem sabe daonde que prova que ab0 = a^(1/n) b^(1/n) pra todo n
 natural ( naturais começando de 1)
 multiplcar desigualdades eh facil provar considerando numeros positivos.. o
 problema eh que ta elevado a um numero racional

 Obrigado

Re: [obm-l] Desigualdades

[Felipe]

nossa verdade ,era bem simples até, eu usava isto bastante, aí hj usei e
pensei caramba, porque que isso vale?
'
Obrigado , Vidal.

2008/11/2 *Vidal [EMAIL PROTECTED]

 Prezado Felipe,

 Prove por absurdo, usando o argumento que você colocou, que é fácil
 multiplicar desigualdades.

 ab0 = a^(1/n)  b^(1/n) , n natural, n = 1

 ab0
 Suponhamos, por absurdo, que a^(1/n) = b^(1/n).
 Multiplicando n desigualdades iguais a esta, teremos a= b (contradição).
 Logo, a^(1/n)  b^(1/n).

 Abraços,
 Vidal.

 :: [EMAIL PROTECTED]




 On Sun, Nov 2, 2008 at 14:43, Felipe [EMAIL PROTECTED] wrote:

 alguem sabe daonde que prova que ab0 = a^(1/n) b^(1/n) pra todo n
 natural ( naturais começando de 1)
 multiplcar desigualdades eh facil provar considerando numeros positivos..
 o problema eh que ta elevado a um numero racional

 Obrigado

Re: Re:[obm-l] desigualdades

[claudio\.buffara]

Imagino que você esteja se referindo ao artigo:
http://www.geometer.org/mathcircles/solvit.pdf

Não tenho o gabarito, mas se você quiser, posso postar a solução (ou pelo menos uma dica)de algum problema. No mais, na página http://www.geometer.org/mathcircles/
tem vários artigos sobre matemática olímpica.

No entanto, repito: as Eurekas são a melhor pedida...

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 29 Aug 2006 14:57:16 -0300




Assunto:
Re: Re:[obm-l] desigualdades
 Claudio,
 muito interessante este material..
 
 gostaria de saber se existe um gabarito das questoes...
 e se vc possui mais algum material semelhante a este..
 
 nao consegui aplicar muito as ideias apresentadas no texto nas questoes..
 vcs conseguiram?
 
 um abraco,
 Salhab

Re: Re:[obm-l] desigualdades

[Marcelo Salhab Brogliato]

Claudio,
muito interessante este material..

gostaria de saber se existe um gabarito das 
questoes...
e se vc possui mais algum material semelhante a 
este..

nao consegui aplicar muito as ideias apresentadas 
no texto nas questoes..
vcs conseguiram?

um abraco,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  claudio.buffara 
  To: obm-l 
  Sent: Monday, August 28, 2006 12:59 
  PM
  Subject: Re:[obm-l] desigualdades
  
  
  
  


  De:
  [EMAIL PROTECTED]
  
  


  Para:
  obm-l@mat.puc-rio.br
  
  


  Cópia:
  
  
  


  Data:
  Fri, 25 Aug 2006 
19:01:53 +
  
  


  Assunto:
  [obm-l] 
desigualdades
   Sauda,c~oes,
   
   E esta aqui? Fonte: CRUX 31 (2005), p.216
   
   Let n be a positive integer. Determine the smallest possible 
  sum
   
   a_1b_1 + a_2b_2 +  + a_{2n+2}b_{2n+2},
   
   where a_1, a_2, ..., a_{2n+2} and b_1, b_2, , b_{2n+2}
   
   are rearrangements of the binomial coefficients
   
   binom{2n+1}{0}, ..., binom{2n+1}{2n+1}.
   
   Justify your answer.
   
   []'s
   Luis
  
  
  Isso sai por rearranjo, não?
  
  ***
  
  Luís: você planeja lançar um manual de construções geométricas?
  
  []s,
  Claudio.
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.6/428 - Release Date: 
  25/8/2006

Re:[obm-l] desigualdades

[claudio\.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Fri, 25 Aug 2006 19:01:53 +




Assunto:
[obm-l] desigualdades
 Sauda,c~oes,
 
 E esta aqui? Fonte: CRUX 31 (2005), p.216
 
 Let n be a positive integer. Determine the smallest possible sum
 
 a_1b_1 + a_2b_2 +  + a_{2n+2}b_{2n+2},
 
 where a_1, a_2, ..., a_{2n+2} and b_1, b_2, , b_{2n+2}
 
 are rearrangements of the binomial coefficients
 
 binom{2n+1}{0}, ..., binom{2n+1}{2n+1}.
 
 Justify your answer.
 
 []'s
 Luis


Isso sai por rearranjo, não?

***

Luís: você planeja lançar um manual de construções geométricas?

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] Desigualdades do rearranjo!!!

[Ricardo]

O item 1 é facil:
Decorre de (x-y)^2 + (x-z)^2 + (z-x)^2=0 


Abcos
Ricardo

  - Original Message - 
  From: 
  diego andres 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, July 21, 2006 3:38 PM
  Subject: [obm-l] Desigualdades do 
  rearranjo!!!
  Demonstre que:1)x²+y²+x² = xy+yz+zx2)x³+y³+x³ = 
  x²y+y²z+z²x.eu nao consigo mostrar porque o rearranjo ,nesse caso, 
  fuciona grato:Diego Andrés
  
  
  Você quer respostas para suas perguntas? Ou você sabe muito e quer 
  compartilhar seu conhecimento? Experimente o Yahoo! 
  Respostas!
  
  

  No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free 
  Edition.Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.10.1/391 - Release Date: 
  18/7/2006

Re: [obm-l] Desigualdades do rearranjo!!!

[Carlos Yuzo Shine]

Essa segunda desigualdade só vale para x,y,z não
negativos, não? Se x = 0 e y = z = -1 ela não vale,
pois x^3 + y^3 + z^3 = -2 e x^2y + y^2z + z^2x = -1,
que é maior.

Hm, no segundo é só aplicar rearranjo nas seqüências
(x^2,y^2,z^2) e (x,y,z), que têm a mesma ordenação:
  x^2*x + y^2*y + z^2*z = x^2*y + y^2*z + z^2*y

Lembrando a desigualdade do rearranjo: se
  a_1 = a_2 = ... = a_n
e b_1 = b_2 = ... = b_n
são reais e (c_1,c_2,...,c_n) é uma permutação de
(b_1,b_2,...,b_n) então
   a_1b_n + a_2b_{n-1} + ... + a_nb_1
= a_1c_1 + a_2c_2 + ... + a_nc_n
= a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n

Note que não podemos supor sem perda de generalidade
que x = y = z porque a desigualdade não é simétrica.
Mas não importa. Se, por exemplo, 0 = x = z = y
então x^2 = z^2 = y^2, ou seja, a ordem é a mesma.

[]'s
Shine

--- Ricardo [EMAIL PROTECTED]
wrote:

 O item 1 é facil:
 Decorre de (x-y)^2 + (x-z)^2 + (z-x)^2=0  
 
 Abcos
 Ricardo
   - Original Message - 
   From: diego andres 
   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
   Sent: Friday, July 21, 2006 3:38 PM
   Subject: [obm-l] Desigualdades do rearranjo!!!
 
 
   Demonstre que:
   1)x²+y²+x² = xy+yz+zx
   2)x³+y³+x³ = x²y+y²z+z²x
   .
   eu nao consigo mostrar porque o rearranjo ,nesse
 caso, fuciona 
 
 
   grato:Diego Andrés
 
 
 

--
   Você quer respostas para suas perguntas? Ou você
 sabe muito e quer compartilhar seu conhecimento?
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 Release Date: 18/7/2006
 


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Re:[obm-l] Desigualdades

[Giuliano \(stuart\)]

Oi, hoje o professor de matemática Carlos Yuzo Shine me mostrou uma desigualdade legal que já foi uma questão que alguém perguntou e eu não respondi uma delas, e eh essa que o Shine resolveu depois
lá vai:
Prove que para todos a,b,c reais positivos vale:
1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=1/(abc)
Temos que a³+b³=a²b+ab² por rearranjo

-Logo
1/(a³+abc+b³)=1/(a²b+abc+ab²)=1/(ab)(a+b+c)
Fazendo isto para todos ostermos temos:
1/(a³+abc+b³) + 1/(b³+abc+c³) + 1/(c³+abc+a³)=1/(a+b+c) * ( 1/(ab) + 1/(ac) + 1/(bc) )= 1/(abc)
C.Q.D.
Abraços, 
Giuliano Pezzolo Giacaglia 
(Stuart)

Re:[obm-l] desigualdades....

[Giuliano \(stuart\)]

Vou resolver a segunda questão, já que ela não é díficil( aprimeira ainda não pensei)
 2)sejam a,b,c reais dados.Prove que : 
 a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²) = (a+b+c)/3 
Resolução:
Troquemos 
a-b
b-c
c-a
Temos uma nova expressão
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)
Vamos subtrair esta nova expressão da antiga e temos:
a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)- 
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)=
(a³-b³)/(a²+ab+b²)+(b³-c³)/(b²+bc+c²)+(c³-a³)/(c³+ac+a²)
fatorando temos 
(a³-b³)= (a²+ab+b²)(a-b)
logo chegamos em(pois a²+ab+b²0) :

a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)- 
b³/(a²+ab+b²)+c³/(b²+bc+c²)+a³/(c³+ac+a²)=
(a-b)+(b-c)+(c-a)=0
logo a nova expressão é igual a velha e temos:
que a velha expressão pode ser escrita como a metade da soma das duas
logo temos
a³/(a²+ab+b²)+b³/(b²+bc+c²)+c³/(c³+ac+a²)=
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²)

MAS COMO 
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)=(a+b)/6 que é fácil de se verificar pois se tornará equivalente a 2(a+b)(a-b)²=0
temos
(a³+b³)/2(a²+ab+b²)+(b³+c³)/2(b²+bc+c²)+(c³+a³)/2(c³+ac+a²)=
(a+b)/6 +(b+c)/6+ (c+a)/6 =(a+b+c)/3
C.Q.D.
Abraços, 
Giuliano Pezzolo Giacaglia 
(Stuart)

Re: [obm-l] desigualdades

[Artur Costa Steiner]

No caso 1, umao forma facil eh usar o teorema do valor
medio, obtendo uma desigualdade ateh mais interessante
do que a apresentada.
Se x1, a aplicacao do teorema ao intervalo [1, x]
mostra a existencia de um y em (1, x) tal que ln(x) -
ln(1) = ln(x) = (x -1) (ln)'(y)  = (x -1)/y. Como y
1, 0  1/y  1. E como x -10, concluimos que ln(x) 
x -1.
Se x =1, temos ln(x) = x -1 = 0
Se x estah em (0,1), a aplicacao do t. do valor medio
a [x ,1] mostra a existencia de um y em (x , 1) tal
que ln(x) - ln(1) = ln(x) = (x -1)/y . Como x -1 0 e
1/y  1, temos que ln(x)  x -1.
Assim, para todo x 0 temos ln(x) = x-1, com
igualdade sse x =1.  Esta eh uma desigualdade ateh
mais interessante do que a pedida no exercicio, a qual
eh uma decorrencia imediata desta demosntrada.
Poderiamos chegar aa mesma conclusao considerando a
funcao f(x) = (x-1) - ln(x).

Artur


--- Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Olá,
 
 1) Seja f(x) = x - ln(x)..
 f'(x) = 1 - 1/x...
 se x  1, f'(x)  0
 se x = 1, f'(x) = 0
 se x  1, f'(x)  0
 
 f(1) = 1 - ln1 = 1
 assim, f(x)  1  0, para todo x  1... logo: x 
 lnx, para x  1
 tb temos, f(1) = 1  0, logo, podemos extender x 
 lnx, para x = 1
 para x  1, f'(x)  0, logo, é estritamente
 decrescente..
 f(x) - +inf, qdo x-0, e f(1) = 1 .. logo, a função
 é decrescente de +inf para 1... sempre maior que 0.
 assim:
 x  lnx, para x  0.
 
 um outro modo, talvez mais simples, seria derivar
 novamente e concluir que f(1) é ponto de mínimo para
 x0, e é maior que 0.. logo f(x)  0 para x0.
 
 2) Seja f(x) = senx - 2x/pi
 f'(x) = cos(x) - 2/pi
 para x E (0, pi/2), 0  cosx  1 .. como 2/pi  1,
 entao, existe um a, tal que cos(a) = 2/pi
 vamos dividir em 3 casos:
 
 a  x  pi/2 ... entao: cos(x)  cos(a) ... f'(x) 
 0... entao f(x) é estritamente decrescente...
 mas f(a) = 2/pi  0 ... e f(pi/2) = 0 ... assim,
 f(x)  0 ... e senx  2x/pi, para a  x  pi/2
 
 0  x  a ... entao: cos(x)  cos(a) ... f'(x) 
 0... entao f(x) é estritamente crescente...
 mas f(0) = 0 ... logo: f(x)  0, para 0  x  a...
 
 x = a .. f'(a) = 0... f''(a) = -sen(a)  0.. assim,
 a é ponto de máximo em (0, pi/2), logo f(a)  0.
 
 deste modo, esta provado que f(x)  0 para x E (0,
 pi/2).. logo: senx  2x/pi
 
 abraços,
 Salhab
 
 
   - Original Message - 
   From: Klaus Ferraz 
   To: obm-l@mat.puc-rio.br 
   Sent: Monday, June 05, 2006 10:12 PM
   Subject: [obm-l] desigualdades
 
 
   Demonstre as desigualdades:
   1)lnx x se x0 
   2)senx2x/pi , se x E (0,pi/2)
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=

Re: [obm-l] desigualdades

[benedito]

Problema
Sem usar calculadora ou computador, qual é o 
maior e^pi ou pi^e?

Benedito Freire

Re: [obm-l] desigualdades

[Nicolau C. Saldanha]

On Fri, Jun 02, 2006 at 02:00:39PM -0300, benedito wrote:
 Problema
 Sem usar calculadora ou computador, qual é o maior  e^pi  ou pi^e?

Seja f(x) = ln(x^(1/x)) = ln(x)/x. Derivando, f'(x) = (1 - ln(x))/x^2
donde f é decrescente para x  e. Assim f(e) = ln(e)/e  f(pi) = ln(pi)/pi.
Equivalentemente, pi ln(e)  e ln(pi). Tirando exp dos dois lados, e^pi  pi^e.

[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Desigualdades

[Eduardo Wilner]

A segunda parece a equação de uma hipérbole.  __Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ 

Re: [obm-l] Desigualdades

[Carlos Yuzo Shine]

Oi gente,

Como diz o Gugu, vamos lá:

 Prove que se a,b e c sao lados de um triangulo,
 entao a/(b+c) + b/(a+c)+c/(a+b)3/2

Hmm... acho que o certo é exatamente o contrário, ou
seja, que
  a/(b+c) + b/(a+c)+c/(a+b)=3/2

E se não me engano, isso vale para todos a,b,c reais
positivos.

Sejam C = a+b, B = a+c e A = b+c. Resolvendo o sistema
em a, b e c, obtemos a = (B+C-A)/2, 
b = (A+C-B)/2 e c = (A+B-C)/2.

Substituindo no lado esquerdo da desigualdade e
multiplicando por 2, obtemos
  B/A + C/A - 1 + A/B + C/B - 1 + A/C + B/C - 1 = 3
que equivale a
  B/A + A/B + C/B + B/C + A/C + C/A = 6

Isso sai direto por médias ou, se você quiser,
utilizando três vezes o fato de que x + 1/x = 2 para
todo x real positivo.

Agora, o que precisa da restrição de a,b,c serem lados
de triângulos é a desigualdade
  a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)  2.

Isso sai utilizando a substituição de Ravi: se a,b,c
são lados de um triângulo então existem reais
positivos x,y,z tais que a = y+z, b = x+z e c = x+y. A
demonstração é simples: desenhe um triângulo e seu
incírculo. As medidas x, y e z são as medidas dos
segmentos tangentes começando em cada vértice e
terminando em um dos pontos de tangência mais
próximos. Outro jeito de provar é achando x,y,z em
função de a,b,c e aplicando a desigualdade triangular.

Enfim, subtituindo, obtemos no lado esquerdo
  (y+z)/(2x+y+z) + (x+z)/(x+2y+z) + (x+y)/(x+y+2z)

Diminuindo denomimadores, obtemos frações maiores.
Logo
  (y+z)/(2x+y+z) + (x+z)/(x+2y+z) + (x+y)/(x+y+2z)
 (y+z)/(x+y+z) + (x+z)/(x+y+z) + (x+y)/(x+y+z)
= 2.

   Determine todos os x e y reais tais que
 20x^2+10y^2+4xy+12x-10y+5=0

Nessas situações eu costumo ver a equação como uma
equação de segundo grau em uma das variáveis (digamos,
x) e calcular o discriminante mesmo.

A equação pode ser reescrita como
  20x^2 + (4y+12)x + 10y^2-10y+5 = 0
e o seu discriminante é
  (4y+12)^2 - 4*20*(10y^2-10y+5)
= 16y^2 + 96y + 144 - 800y^2 + 800y - 400
= -784y^2 + 896y - 256
= -16(49y^2 - 56y + 16)
= -16(7y - 4)^2

Como queremos raízes reais, tal discriminante é = 0.
Mas isso só ocorre se 7y-4 = 0, ou seja, y = 4/7.
Nesse caso, o delta é nulo e a equação admite a única
solução
  x = -(4y+12)/(2*20) = -(7y+21)/70 = -25/70 = -5/14

Logo x = -5/14 e y = 4/7.

[]'s
Shine

__
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Re: [obm-l] Desigualdades

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

como a, b e c sao lados de um triangulo, 
então:

a  b + c  a/(b+c)  1
b  a + c  b/(a+c)  1
c  a + b  c/(a+b)  1

assim: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)  
3

Se pegarmos um triangulo com lados 2, 2 e 3, então, 
teremos:
2/5 + 2/5 + 3/4 = 4/5 + 3/4 = (16 + 15)/20 = 31/20 
 3/2
Então, acho que essa questao deve ter alguma coisa 
errada.

Agora, a outra, vamos fazer assim:
Essa é uma cônica, degenerada ou não, rotacionada e 
transladada.. então, vms coloca-la na origem do sistema:
fiz as contas no matlab, não deu nada mto 
agradavel.. rs rs.. faca uma mudanca de base para obter a nova equacao da 
conica..
eu utilizei o metodo de autovalores e autovetores.. 
nao terminei as contas, por 2 motivos: 1) deram numeros quebrados, e na forma de 
fracao eram gigantescos,
2) nao sei lidar mto bem com o matlab para ele 
fazer por mim...
provavelmente vc deve encontrar uma conica 
degenerada.. pq ele pede todos os x e y reais..

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, February 06, 2006 9:24 
  PM
  Subject: [obm-l] Desigualdades
  
  Prove que se a,b e c sao lados de um triangulo, entao a/(b+c) + 
  b/(a+c)+c/(a+b)3/2
  
  Determine todos os x e y reais tais que 20x^2+10y^2+4xy+12x-10y+5=0
  
  
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Re: [obm-l] Desigualdades

[matematica]

Seja P(x)=x^n + a1*x^(n-1) + a2*x^(n-2) + ... an, 
um polinomio com raizes reais e positivas.
Prove que n^2=a1*a(n-1)/an com igualdade se e 
somente se P(x) tem raiz unica.

Em cada uma das 10 folhas de papel sao escritas 
varias potencias de 2. A soma dos numeros em cada
folha eh o mesmo. Mostre que algum numero aparece, 
pelo menos, 6 vezes entre as 10 folhas

  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, February 06, 2006 8:24 
  PM
  Subject: [obm-l] Desigualdades
  
  Prove que se a,b e c sao lados de um triangulo, entao a/(b+c) + 
  b/(a+c)+c/(a+b)3/2
  
  Determine todos os x e y reais tais que 20x^2+10y^2+4xy+12x-10y+5=0
  
  
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Re: [obm-l] Desigualdades e problema do Megazine [era: UM PROBLEMA DE CONTAGEM!]

[Claudio Buffara]

on 19.10.04 13:03, Luís Lopes at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Considere uma matriz A de ordem n cujos elementos a_{ij}
 pertencem ao conjunto X = {0,1,2,3,,9}.
 
 Seja M \in Z o mdc entre os inteiros N_1, N_2, ..., N_n,
 em que N_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} 10^{n-j} , i=1,2,...,n .
 
 Prove que |A| eh divisivel por M.
 
Ou seja, N_i eh o inteiro cujos algarismos formam a i-esima linha de A.

Use operacoes elementares com colunas para substituir a n-esima coluna de A
por uma coluna contendo os N_i. A substituicao eh:
C(n) -- C(n) + 10*C(n-1) + 100*C(n-2) + ... + 10^(n-1)*C(1).
Isso nao altera o valor de det(A).

Agora, use a expansao (de Laplace, se nao me engano) do determinante em
funcao da ultima coluna a fim de obter o valor de det(A) como uma combinacao
linear dos N_i, onde os coeficientes sao os menores complementares
correspondentes.

Naturalmente, o mdc dos N_i divide cada um deles, e portanto, divide essa
combinacao linear, a qual eh igual a det(A).

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] Desigualdades em inteiros

[Angelo Barone Netto]

Caro Eduardo.
Claro que ha outros modos de resolver, nao sei se mais inteligentes.

 7/10  8/11  11/15.

Se V. olhar m/ mensagem anterior (Subject : Re: [[obm-l]] fracoes)
vera que 8/11 e o unico numero no intervalo com denominador pequeno.

Se V. procurar a referencia nele feita vera de onde veio 8/11.

Augurios.

Angelo Barone{\ --\ }Netto   Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada  Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010   Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281  phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP   fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
.









On Mon, 21 Jul 2003, Eduardo Botelho wrote:

 Há algum tempo circulou pela lista uma questão deste tipo:

 se p e q são inteiros positivos tais que  7/10  p/q  11/15, então o
 menor valor que q pode ter é:
 a)6 b)7 c)25 d)30  e)60

 A resposta é b)7

 Se p,q são positivos, essas desigualdades são equivalentes a 15p  11q
   e  7q  10p  =  (15/11)p  q  (10/7)p .

 Usei o seguinte: se a diferença entre as pontas for maior ou igual a 1
 (10p/7 - 15p/11 = 5p/77 = 1), então existe um inteiro q nesse
 intervalo. Daí conseguimos achar uma cota superior para p, pois p =
 |77/5| + 1 = 16  (| | é a função piso).
 Daí para a frente, eu não pensei em mais nada que resolva o problema
 diretamente, a não ser a verificaçao manual para os primeiros valores de
 p até conseguir um inteiro q entre 15p/11 e 10p/7.

 Claro que, neste caso, a verificação é simples: p=5 já nos mostra um
 intervalo que contém um inteiro. Mas existe alguma outra forma de
 resolver este problema? De um modo geral, existe um mecanismo mais
 inteligente para se tratar deste tipo de desigualdade envolvendo números
 inteiros?

 Abraço
 Eduardo


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Re: [obm-l] Desigualdades em inteiros 2

[Angelo Barone Netto]

Em tempo.

7/10 5/7 8/11 11/15.

Desculpe minha falha.

Mais augurios.

Angelo Barone{\ --\ }Netto   Universidade de Sao Paulo
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Re: [obm-l] desigualdades..

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Este primeiro caiu na Baltic Way,e basta usar a
Desigualdade de Ptolomeu-Euler num quadrilatero
conveniente 
O segundo,tente demonstrar que a equaçao e
simetrica e depois aplique Cauchy-Schwarz
 --- guilherme S.
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
gostaria de uma ajuda pqra os seguintes
 problemas:
 
 Prove que para todos os IR positivos a,b e c,
 vale a
 desigualdade:
 

c*raiz(a^2-ab+b^2)+a*raiz(b^2-bc+c^2)=b*raiz(a^2+ac+c^2)
 
 
 Prove que para todos os reais positivos a,b e c
 temos:

a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ca+a^2)=(a+b+c)/3
 

___
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Re: [obm-l] desigualdades(correçao)

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Antes umas coisinhas:
Este primeiro,o Helder(que anda meio sumido nos
ultimos meses)me mostrou numa quinta-feira,mas eu
odiei a soluçao(talvez porque eu nunca pensaria
nisto :)).e parei um tempo pra mostrar na base da
porrada e sem escrupulos.
Este segundo,talvez seja o mais engraçado.Caiu no

Turnir Daragov(Torneio das Cidades,em russo
tengamico),e numa aula com o Shine, om Vitor deu
uma soluçao meteorica:mostre que o primeiro termo
nao e menor que 1/3*(2a-b).
Alias,as aulas de sexta feira no Etapa sempre tem
uma historia interessante.Desde os alunos aos
professores,cada um da sua contribuiçao,nao so
problemistica como tambem historica e
divertidistica(essas palavras existem?).Cada dia
uma surpresa diferente,como um professor
sem-noçao,outro com cara de certinho mas
sem-noçao,eu colecionando problemas e soluçoes de
tudo que e canto,e tirando o intervalo do Shine e
doi Tengan pra pentelhar sobre assuntos mais ou
menods viajados,como a demo do Erdös do TNP,eu
disputando paçocas e bombons Ouro Branco por
problema,o Telmo e um monte de gente cansada de
meus comentarios na aula,empate no par-ou
-impar...Que legalIsto sim e perder uma
sexta-feira!!
Enfim,depois de toda essa melosidade,encerro por
aqui.

 --- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED] escreveu: 
Este primeiro caiu na Baltic Way,e basta usar a
 Desigualdade de Ptolomeu-Euler num quadrilatero
 conveniente 
 O segundo,tente demonstrar que a equaçao e
 simetrica e depois aplique Cauchy-Schwarz
  --- guilherme S.
 [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
 gostaria de uma ajuda pqra os seguintes
  problemas:
  
  Prove que para todos os IR positivos a,b e c,
  vale a
  desigualdade:
  
 

c*raiz(a^2-ab+b^2)+a*raiz(b^2-bc+c^2)=b*raiz(a^2+ac+c^2)
  
  
  Prove que para todos os reais positivos a,b e
 c
  temos:
 

a^3/(a^2+ab+b^2)+b^3/(b^2+bc+c^2)+c^3/(c^2+ca+a^2)=(a+b+c)/3
  
 

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Re: [obm-l] desigualdades e cone sul

[Lucelindo D. Ferreira]

Olá Fê! Td legal! Eu fiz mas acho q ñ concebi muito bem a solução.
Eu fiz + - a terceira:
Seja (x^2 + xy) + (y^2 + xy) = S
 Agora considere o conjunto dos máximos dos pares q satisfazem a eq acima.O
valor mínimo desse conjunto deverá satisfazer
x^2 + xy = y^2 + xy .: x = y
Da desigualdade dada:
x^2 + xx + x^2  3.: x  1.
Se x  1
x^2 + xy  2 e y^2 + xy  2.: Todos os outros pares tem pelo menos um
elemento maior q 2(máx).

É mais ou menos isso aí. Ficou claro pra vc?
   Um abraço!

- Original Message -
From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, May 28, 2002 12:44 AM
Subject: [obm-l] desigualdades e cone sul



 Olá pessoal,gostaria de um help nessas questões:
 1.Seja n um nº natural ,n3.
 Demonstrar que entre os multiplos de 9 menores q 10^n há mais nºs com a
soma
 de seus digitos igual a 9(n-2) que nºs com a soma de seus digitos igual a
 9(n-1)

 2.Sejam a,b e c os comprimentos dos lados de um triangulo.Mostre que a
 função f(x)=b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2)x +c^2 é positiva ,pra todo real x.
 (ps. essa eu fiz assim,pra f(x)ser 0 devemos ter delta0 dae fica
 [(b^2+c^2-a^2)^2 - (2bc)^2] fatorando agumas vezes chegamos a
 [(b+c-a)(b+c+a)][(b-(c+a))(b-c+a)] daí por desigualdade triangular,vemos q
 esse produto é 0 ... tá certo?)
 3.Sejam x,y reais positivos satisfazendo x^2+xy+y^23 .Prove q pelo menos
um
 dos nºs x^2 +xy e y^2 +xy é maior que 2.

 Obrigada!!
 []´s
 Fê



 _
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Re: [obm-l] desigualdades e cone sul

[Salvador Addas Zanata]

Acho que um outro jeito e:

x^2+(x^2+y^2)/2+y^2 = x^2+xy+y^23, pela desigualdade das medias.


Ai da: x^2+y^22.  Agora e so observar que x=y ou y=x.

No primeiro caso, x^2+xy=x^2+y^22, o outro caso e igual.



Abraco,

Salvador


On Fri, 31 May 2002, Lucelindo D. Ferreira wrote:

 Olá Fê! Td legal! Eu fiz mas acho q ñ concebi muito bem a solução.
 Eu fiz + - a terceira:
 Seja (x^2 + xy) + (y^2 + xy) = S
  Agora considere o conjunto dos máximos dos pares q satisfazem a eq acima.O
 valor mínimo desse conjunto deverá satisfazer
 x^2 + xy = y^2 + xy .: x = y
 Da desigualdade dada:
 x^2 + xx + x^2  3.: x  1.
 Se x  1
 x^2 + xy  2 e y^2 + xy  2.: Todos os outros pares tem pelo menos um
 elemento maior q 2(máx).
 
 É mais ou menos isso aí. Ficou claro pra vc?
Um abraço!
 
 - Original Message -
 From: Fernanda Medeiros [EMAIL PROTECTED]
 To: [EMAIL PROTECTED]
 Sent: Tuesday, May 28, 2002 12:44 AM
 Subject: [obm-l] desigualdades e cone sul
 
 
 
  Olá pessoal,gostaria de um help nessas questões:
  1.Seja n um nº natural ,n3.
  Demonstrar que entre os multiplos de 9 menores q 10^n há mais nºs com a
 soma
  de seus digitos igual a 9(n-2) que nºs com a soma de seus digitos igual a
  9(n-1)
 
  2.Sejam a,b e c os comprimentos dos lados de um triangulo.Mostre que a
  função f(x)=b^2x^2 +(b^2 +c^2 -a^2)x +c^2 é positiva ,pra todo real x.
  (ps. essa eu fiz assim,pra f(x)ser 0 devemos ter delta0 dae fica
  [(b^2+c^2-a^2)^2 - (2bc)^2] fatorando agumas vezes chegamos a
  [(b+c-a)(b+c+a)][(b-(c+a))(b-c+a)] daí por desigualdade triangular,vemos q
  esse produto é 0 ... tá certo?)
  3.Sejam x,y reais positivos satisfazendo x^2+xy+y^23 .Prove q pelo menos
 um
  dos nºs x^2 +xy e y^2 +xy é maior que 2.
 
  Obrigada!!
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Re: [obm-l] desigualdades....

[RICARDO CHAVES]

ANSWER :
Meu,voce deve ter uma megapreguia,hein?
03)Use induao.02)Use induao.01)Reorganize os termos convenientemente.


From: [EMAIL PROTECTED] 
Reply-To: [EMAIL PROTECTED] 
To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: [obm-l] desigualdades 
Date: Sun, 28 Apr 2002 22:44:45 EDT 
 
1) prove que 1/(2sqtr n)1/2*3/4*5/6**(2n-3)/(2n-2)*(2n-1)/2n1/sqtr2n. 
2)Prove que 1/21/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)+...+1/2n 3/4 
3)1/(n+1)*( 1+ 1/3+...+1/(2n-1))1/n*(1/2+1/4+...+1/2n). 
 Valeu!!! 
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Re: [obm-l] desigualdades....

[RICARDO CHAVES]

ANSWER :
Meu,voce deve ter uma megapreguia,hein?
03)Use induao.02)Use induao.01)Reorganize os termos convenientemente.


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To: [EMAIL PROTECTED] 
Subject: [obm-l] desigualdades 
Date: Sun, 28 Apr 2002 22:44:45 EDT 
 
1) prove que 1/(2sqtr n)1/2*3/4*5/6**(2n-3)/(2n-2)*(2n-1)/2n1/sqtr2n. 
2)Prove que 1/21/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)+...+1/2n 3/4 
3)1/(n+1)*( 1+ 1/3+...+1/(2n-1))1/n*(1/2+1/4+...+1/2n). 
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Re: [obm-l] desigualdades....

[DEOLIVEIRASOU]

"Caro" DirichiletQuando coloco uma questão dessas na lista, na verdade estou tentando ver se alguem fez de outro modo, sem indução. O uso da indução é meio óbvio nesse contextoo que quero é ver se alguem consegue resolver essas desigualdades em termos daquelas desigualdades "elementares" do Eureka.
ps- Vc me ajuda se vc quiser, eu não te obrigo
 Grato
 Crom

Re: [obm-l] desigualdades....

[Orestes]

As idades são 9, 2 e 2. Voce tem que ver com 36 você tem as seguintes
possibiliades:
36 1 1
9 4 1
9 2 2
6 6 1
6 3 2
...
as unica chance de não ser possivel achar a idade com o produto e a somo são
9,2,2 e 6,6,1 pq o produto é 36 e  a soma ( numero da casa) é 13. Porém a
resposta certa é 9,2,2 pq 6,6,1 não tem filha mais velha.
- Original Message -
From: Fabio Nogueira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, April 29, 2002 4:33 PM
Subject: RES: [obm-l] desigualdades


 Concordo plenamente. A grande dificuldade que vejo nos problemas é
 agarrar-se a determinada ótica e morrer com ela até o final,
principalmente
 para pessoas que como eu não são matemáticos. Alternar diversas resoluções
 em um curto espaço de tempo não é tarefa das mais fáceis como nosso amigo
 quer fazer crer.
 Segue  problema que estou com dificuldades, apesar da relativa facilidade
do
 enunciado

 Dois homens estavam conversando num bar quando um virou para o outro e
disse
  - Tenho 3 filhas, a soma de suas idades é igual ao número da casa em
frente
 e o produto é 36
  - Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esse dados?
  - Não. Dar-lhe-ei um dado fundamental:minha filha mais velha toca piano
 DETERMINE AS IDADES DAS FILHAS E O NÚMERO DA CASA EM FRENTE
 DESDE JÁ AGRADEÇO


 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
 Enviada em: Segunda-feira, 29 de Abril de 2002 14:48
 Para: [EMAIL PROTECTED]
 Assunto: Re: [obm-l] desigualdades


 Caro DirichiletQuando coloco uma questão dessas na lista, na verdade
 estou tentando ver se alguem fez de outro modo, sem indução. O uso da
 indução é meio óbvio nesse contextoo que quero é ver se alguem
consegue
 resolver essas desigualdades em termos daquelas desigualdades
elementares
 do Eureka.
 ps- Vc me ajuda se vc quiser, eu não te obrigo
Grato
   Crom

 =
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Re: [obm-l] desigualdades....

[Douglas Carvalho]

 Dois homens estavam conversando num bar quando um virou para o outro e
disse
  - Tenho 3 filhas, a soma de suas idades é igual ao número da casa em
frente
 e o produto é 36
  - Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esse dados?
  - Não. Dar-lhe-ei um dado fundamental:minha filha mais velha toca piano
 DETERMINE AS IDADES DAS FILHAS E O NÚMERO DA CASA EM FRENTE

Os 3 valores possiveis sao:
1 1 36
1 2 18
1 3 13
1 4 9
1 6 6
2 2 9
2 3 6
3 3 4

como só com a soma nao deu para saber, entao há duas ou mais somas iguais

1 1 3638
1 2 1821
1 3 1317
1 4 9  14
1 6 613 
2 2 913 ---
2 3 611
3 3 410

A idade das filhas só pode ser 1,6 e 6 ou 2, 2 e 9.
Como a mais velha toca piano, não pode ser 1,6,6, pois haveria 2 mais
velhas.
Resposta:
2 gêmeas de 2 anos e a mais velha com 9 anos.

[]'s

Douglas Carvalho

=
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Re:[obm-l] desigualdades....

[rafaelc.l]

 1) prove que 1/(2sqtr n)1/2*3/4*5/6**(2n-3)/(2n-2)*
(2n-1)/2n1/sqtr2n.
 2)Prove que 1/21/(n+1) + 1/(n+2) + 1/(n+3)+...+1/2n 
3/4 
 3)1/(n+1)*( 1+ 1/3+...+1/(2n-1))1/n*(1/2+1/4+...+1/2n).
   Valeu!!!
 

Descupe a minha ignorância e inutilidade pra te ajudar, 
mas como sou novato aqui, vc poderia me dizer o que 
é sqtr e *???

 
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Re:[obm-l] desigualdades....

[Rafael WC]

--- rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Descupe a minha ignorância e inutilidade pra te
 ajudar, 
 mas como sou novato aqui, vc poderia me dizer o que 
 é sqtr e *???

sqtr = raiz quadrada (square root)
* = sinal de vezes

Rafael.


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Rafael Werneck Cinoto
   ICQ# 107011599
 [EMAIL PROTECTED]
   [EMAIL PROTECTED]
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