Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>>>
>>>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que
>>>> fizemos no lema:
>>>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
>>>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
>>>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>>>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>>>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>>>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>>>
>>>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente
>>>> os restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A
>>>> soma desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos
>>>> ali q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a
>>>> soma dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>>>
>>>> Foi?
>>>>
>>>>
>>>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>>>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>>>> Comentário:
>>>>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>>>>> k=6 1's).
>>>>> Essa parte consegui provar.
>>>>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição
>>>>> são {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>>>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>>>>> dos dois fatos.
>>>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>>>> [[ ]]'s
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Claudio Buffara]

gt;>> Foi?
>>>
>>>
>>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>>
>>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>>> Comentário:
>>>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>>>> k=6 1's).
>>>> Essa parte consegui provar.
>>>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>>>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>>>> dos dois fatos.
>>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>>> [[ ]]'s
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

Muito obrigado ao Ralph Costa Teixeira e ao Claudio Buffara por todos os
ótimos esclarecimentos.
[[ ]]'s

Em dom., 10 de jul. de 2022 às 01:39, Ralph Costa Teixeira <
ralp...@gmail.com> escreveu:

> Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
> 111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>
> On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
> wrote:
>
>> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
>> x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
>> ---///---
>>
>> MAIS SPOILERS ABAIXO
>>
>>
>> ...
>>
>>
>> 
>>
>>
>> ...
>>
>>
>> 
>>
>> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
>> ---///---
>> LEMA:
>> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
>> 111...111 que é múltiplo de n.
>> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
>> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
>> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
>> PROVA:
>>
>> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
>> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
>> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
>> B> ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
>> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
>> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>>
>> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
>> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
>> dízima de 1/n.
>> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
>> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
>> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
>> particular, p>=k.
>> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
>> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
>> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
>> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
>> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
>> k>=p.
>>
>> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
>> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
>> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
>> primeiro dígito!
>>
>> ---///---
>> Agora fica tudo bem simples:
>> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
>> dígitos.
>> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>>
>> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
>> no lema:
>> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
>> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
>> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
>> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B
>> também é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no
>> primeiro dígito!). Portanto k>=q.
>>
>> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
>> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
>> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
>> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
>> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>>
>> Foi?
>>
>>
>> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
>> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>>> Comentário:
>>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>>> k=6 1's).
>>> Essa parte consegui provar.
>>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>>> dos dois fatos.
>>> Agradeço qualquer ajuda.
>>> [[ ]]'s
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Claudio Buffara]

Se n não é divisível por 2 e nem por 5, então 1/n = 0,a1a2...ak a1a2...ak
a1...  (dízima periódica simples de período k)
Daí (10^k)*n - n = a1a2...ak ==> (99...9)*n é inteiro (onde há k algarismos
9) ==> n é fator de 99...9 = 9*(11...1).
Mas n é primo com 3 ==> n | 11...1

Pra segunda parte, a ideia é tentar ver porque é verdade com exemplos
concretos.
Por exemplo, 1/7:
10*1 = 1*7 + 3
10*3 = 4*7 + 2
10*2 = 2*7 + 6
10*6 = 8*7 + 4
10*4 = 5*7 + 5
10*5 = 7*7 + 1
10*1 = 1*7 + 3  (e as equações se repetem a partir daqui)

1/13:
10*1 = 0*13 + 10
10*10 = 7*13 + 9
10*9 = 6*13 + 12
10*12 = 9*13 + 3
10*3 = 2*13 + 4
10*4 = 3*13 + 1
10*1 = 0*13 + 10 (idem)

Assim, no caso geral, pra calcular a representação de 1/n, as k primeiras
divisões sucessivas resultam em:
10*1 = a1*n + r1
10*r1 = a2*n + r2
10*r2 = a3*n + r3
...
10*r(k-1) = ak*n + rk

Como n é primo com 2 e 5, 1/n será uma dízima periódica simples, digamos de
período k.
Isso significa que rk, o resto da k-ésima divisão, será necessariamente
igual a 1, já que os dividendos (os algarismos aj que formam o período)
irão se repetir a partir da (k+1)-ésima equação.
Ou seja, a(k+1) = a1 e, portanto, r(k+1) = r1.

Somando as k equações, obtemos:
10*(1+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk).
Como rk = 1, isso fica:
10*(rk+r1+r2+ ...r(k-1)) = (a1+a2+a3...+ak)*n + (r1+r2+r3+...+rk) ==>
9*(rk+r2+...+r(k-1)) = (a1+a2+a3+...+ak)*n
Como n é primo com 3 (e, portanto, com 9), concluímos que n divide
r1+r2+...+rk.




On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:

> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Ralph Costa Teixeira]

Argh, corrigindo um detalhe ali perto do fim:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)**x**10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5 *e x*, conclui-se que n divide
111 (com q 1's), e portanto q>=p=k.

On Sun, Jul 10, 2022 at 1:24 AM Ralph Costa Teixeira 
wrote:

> A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que
> x, 10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
> ---///---
>
> MAIS SPOILERS ABAIXO
>
>
> ...
>
>
> 
>
>
> ...
>
>
> 
>
> Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
> ---///---
> LEMA:
> (i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma
> 111...111 que é múltiplo de n.
> (ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
> 111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
> do período (fundamental) da dízima em 1/n.
> PROVA:
>
> (i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
> possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
> Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
> B ...1110 (A 1's e B 0's) = 111 * (10^B) é múltiplo de n. Mas
> n não tem fator comum com aquele 10^B (pois não é divisível por 2 nem por
> 5), portanto ...111 (com k=A-B dígitos) é divisível por n.
>
> (ii) Denote por P=111111 (com p dígitos) o menor daqueles caras com
> apenas "1s" que é múltiplo de n, e denote por k o "período fundamental" na
> dízima de 1/n.
> Por um lado, como 9P=999=10^p-1 é múltiplo de n, temos 10^p *
> (1/n) - 1/n inteiro. Mas isso significa que a parte decimal de 1/n "se
> repete" de p em p dígitos, ou seja, que a dízima de 1/n tem período p. Em
> particular, p>=k.
> Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
> com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
> inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
> 9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
> conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
> k>=p.
>
> Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
> 10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
> decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
> primeiro dígito!
>
> ---///---
> Agora fica tudo bem simples:
> a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p
> dígitos.
> b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.
>
> Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos
> no lema:
> -- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
> Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
> (com q 1's), e portanto q>=p=k.
> -- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
> é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
> dígito!). Portanto k>=q.
>
> *Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
> restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
> desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
> q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
> dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.
>
> Foi?
>
>
> On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
> rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:
>
>> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
>> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
>> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
>> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
>> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
>> Comentário:
>> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 (
>> k=6 1's).
>> Essa parte consegui provar.
>> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
>> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
>> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
>> dos dois fatos.
>> Agradeço qualquer ajuda.
>> [[ ]]'s
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em Repunits

[Ralph Costa Teixeira]

A chave: *os "restos parciais" que aparecem são exatamente os restos que x,
10x, 100x,  deixam na divisão por n.*
---///---

MAIS SPOILERS ABAIXO


...





...




Acho que facilita bastante pensar no "período" de 1/n de outro jeito:
---///---
LEMA:
(i) Dado n não divisível por 2 ou 5, existe algum número da forma 111...111
que é múltiplo de n.
(ii) Se n não for divisível por 2, 3 ou 5, o *menor* número do tipo
111...111 que é múltiplo de n tem k dígitos, onde k é exatamente o tamanho
do período (fundamental) da dízima em 1/n.
PROVA:

(i) Olhe os restos de 1, 11, 111, , ... na divisão por n. São n
possibilidades, de 0 a n-1, então alguma hora algum resto tem que repetir.
Isto significa que .. (com A dígitos) e 11...111 (com B dígitos,
B=k.
Por outro lado, sendo k o período fundamental, temos 10^k * (1/n) - (1/n)
com número finito de casas decimais, ou seja, (10^k-1)/n = m/10^z com m
inteiro, e z=número de casas decimais que "sobraram". Mas daqui vem
9*(111...111)*10^z = m*n (com k dígitos 1s). Como n é primo com 2, 3 e 5,
conclui-se que 111... (k 1's) tem que ser múltiplo de n, e portanto
k>=p.

Note um efeito colateral disso tudo: provamos que 10^k*(1/n)- 1/n =
10^p*(1/n)-1/n = inteiro. Assim aquele z vale 0, ou seja, não tem "casas
decimais que sobram" -- a dízima periódica do 1/n se inicia logo no
primeiro dígito!

---///---
Agora fica tudo bem simples:
a) Na notação acima, provamos que k=p, e n divide 111 com p dígitos.
b) Seja q o período (fundamental) da dízima de B=x/n irredutível.

Em primeiro lugar, provemos que q=k. Basicamente repetimos o que fizemos no
lema:
-- Sabemos que 10^q*B-B=r/10^w, portanto 9*(111...)*10^w = r*n.
Novamente, como n é primo com 2, 3 e 5, conclui-se que n divide 111
(com q 1's), e portanto q>=p=k.
-- Por outro lado, como (10^k-1)/n é inteiro, (10^k-1)*x/n=10^k*B-B também
é inteiro, ou seja, a dízima de B tem período k (e se inicia no primeiro
dígito!). Portanto k>=q.

*Enfim, note que os tais "restos parciais" que aparecem são exatamente os
restos que x, 10x, 100x, , 10^q.x deixam na divisão por n. *A soma
desses caras vale (...)*x, que é divisível por n pois temos ali
q=k=p dígitos 1. Por isso, ao dividir esses restos parciais por n, a soma
dos novos restos tem que ser múltiplo de n tambem.

Foi?


On Sat, Jul 9, 2022 at 7:16 PM Rubens Vilhena Fonseca <
rubens.vilhen...@gmail.com> wrote:

> Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
> *Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
> suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
> do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
> divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
> Comentário:
> Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
> 1's).
> Essa parte consegui provar.
> Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
> {10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
> Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração
> dos dois fatos.
> Agradeço qualquer ajuda.
> [[ ]]'s
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em Repunits

[Rubens Vilhena Fonseca]

Gostaria de uma demonstração para o seguinte teorema.
*Teorema*. Seja n um inteiro positivo não divisível por 2, 3 ou 5, e
suponha que a expansão decimal de l/n tenha período k. Então n é um fator
do inteiro 111 ... 11 (k 1 's). Além disso, a soma dos restos parciais na
divisão obtida de cada fração irredutível x/n é um múltiplo de n.
Comentário:
Pelo que entendi, se 1/13  tem período k =6. Então 13  divide 11 ( k=6
1's).
Essa parte consegui provar.
Quanto à segunda parte  para 1/13 os resto da divisão sem repetição são
{10, 9, 12, 3, 4, 1}. Então 10+9+12+3+4+1= 13q . (Não soube provar)
Não consigo organizar uma sequência  de passos para a demonstração dos dois
fatos.
Agradeço qualquer ajuda.
[[ ]]'s

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida e ajuda.

[Anderson Torres]

Em sex., 8 de abr. de 2022 às 11:17, Pedro José  escreveu:
>
> Bom dia!
> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos 
> decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses 
> algarismos?
> A ida é fácil se tiver o período é racional.
> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?

Acho que dá para fazer isso mais algoritmicamente.

Um número da forma

0,(A)

onde A é um período de k dígitos (por óbvio, zeros à esquerda são
permitidos, como em 0,010101010101...) é essencialmente um racional da
forma A/..9 com k noves - ou melhor escrevendo, (A/(10^k-1)).

Já números da forma 0,B(A) onde B tem m dígitos são a mesma coisa que
10^(-m)*(B+A/(10^k-1)), o que, após simplificar, dá (maçaroca
qualquer)/(10^m*(10^k-1)).

Qualquer racional por definição é da forma p/q com q natural. Bastaria
demonstrar que todo natural q tem um múltiplo da forma
(10^m*(10^k-1)), o que sai de uma aplicação de Euler-Fermat ou mesmo
de casa do pombo.

(Aliás, quem foi o BR que traduziu "princípio do escaninho" para
"princípio de casa de pombo"?)

>
> Meu objetivo primário é saber se:
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As 
> reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada 
> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e assim 
> sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>
> Alguém poderia me ajudar?
> Grato,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Grato a todos!
Já, já tenho de voltar ao trabalho.
Depois dou uma olhada.
Mas achei a demonstração usando casa de pombos, simples e prática.
Já que tem de haver um p/q com pp temos w=x+p/q,
onde x é a parte inteira de w/q, então pq e os restos só podem q-1, uma hora tem de
repetir e aí volta a sequência.
Mas saindo do trabalho dou uma olhada.
Mais uma vez, minha gratidão.

Cordialmente,
PJMS



Em sex., 8 de abr. de 2022 às 13:02, Claudio Buffara <
claudio.buff...@gmail.com> escreveu:

> A volta é fácil também: ao calcular a representação decimal de a/b (a e b
> naturais), nas divisões sucessivas por b só existem b-1 restos possíveis
> (resto = 0 em alguma etapa implica numa decimal finita) e, portanto, após
> não mais do que b-1 divisões, um resto vai se repetir, marcando o início de
> um novo período na representação decimal.
>
> Agora, suponha que  X =
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... seja racional.
> Então existirão n e p naturais tais que, a partir da n-ésima casa decimal
> (1/10^n), os algarismos de X vão se repetir numa sequência com período p.
>
> Mas, pela lei de formação de X, vai existir uma sequência de n+p+1
> algarismos iguais a 1, e esta sequência vai começar após a n-ésima casa
> decimal.
> Ou seja, a sequência vai estar incluída na parte periódica da
> representação decimal de X.
> Mas como o período é p, isso implica que a parte periódica teria que
> ser 111..11 (p algarismos 1) ==> contradição à lei de formação de X.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> On Fri, Apr 8, 2022 at 11:17 AM Pedro José  wrote:
>
>> Bom dia!
>> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de
>> algarismos decimais é racional se e somente se tem um período de repetições
>> desses algarismos?
>> A ida é fácil se tiver o período é racional.
>> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>>
>> Meu objetivo primário é saber se:
>> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional.
>> As reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
>> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
>> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>>
>> Alguém poderia me ajudar?
>> Grato,
>> PJMS
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida e ajuda.

[Claudio Buffara]

A volta é fácil também: ao calcular a representação decimal de a/b (a e b
naturais), nas divisões sucessivas por b só existem b-1 restos possíveis
(resto = 0 em alguma etapa implica numa decimal finita) e, portanto, após
não mais do que b-1 divisões, um resto vai se repetir, marcando o início de
um novo período na representação decimal.

Agora, suponha que  X =
0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... seja racional.
Então existirão n e p naturais tais que, a partir da n-ésima casa decimal
(1/10^n), os algarismos de X vão se repetir numa sequência com período p.

Mas, pela lei de formação de X, vai existir uma sequência de n+p+1
algarismos iguais a 1, e esta sequência vai começar após a n-ésima casa
decimal.
Ou seja, a sequência vai estar incluída na parte periódica da representação
decimal de X.
Mas como o período é p, isso implica que a parte periódica teria que
ser 111..11 (p algarismos 1) ==> contradição à lei de formação de X.

[]s,
Claudio.


On Fri, Apr 8, 2022 at 11:17 AM Pedro José  wrote:

> Bom dia!
> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
> decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
> algarismos?
> A ida é fácil se tiver o período é racional.
> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>
> Meu objetivo primário é saber se:
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
> reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>
> Alguém poderia me ajudar?
> Grato,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida e ajuda.

[Caio Costa]

Para a volta considere a repetição dividida por 9...9 onde há o mesmo
número de algarismos na repetição e no denominador, incluindo possíveis
zeros à esquerda.

Exemplo

0.3520012001200120012...

= 0.352 + (0012/)/1000

Em sex., 8 de abr. de 2022 11:17, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
> decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
> algarismos?
> A ida é fácil se tiver o período é racional.
> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>
> Meu objetivo primário é saber se:
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
> reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>
> Alguém poderia me ajudar?
> Grato,
> PJMS
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Bom dia!
Última forma!
Achei uma demonstração simples e bela, usando casa dos pombos. Uma hora
haverá de ter repetição, portanto, tem que ter um grupamento de dígitos que
se repita caso seja uma série infinita de algarismos decimais.
Portanto o número é irracional.
Grato!
PJMS

Em sex., 8 de abr. de 2022 às 11:06, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
> decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
> algarismos?
> A ida é fácil se tiver o período é racional.
> Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?
>
> Meu objetivo primário é saber se:
> 0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
> reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
> sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
> assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.
>
> Alguém poderia me ajudar?
> Grato,
> PJMS
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Dúvida e ajuda.

[Pedro José]

Bom dia!
Posso concluir que um número representado por uma infinidade de algarismos
decimais é racional se e somente se tem um período de repetições desses
algarismos?
A ida é fácil se tiver o período é racional.
Já a volta não sei se é verdade e se for há como provar?

Meu objetivo primário é saber se:
0,123456789112233445566778899111222333444555666777888999... é racional. As
reticências se referem ao aumento de mais um algarismo repetido a cada
sequência, ou seja a primeira aparição de 1 será 1, a 2a 11 a 3a 111 e
assim sucessivamente, o mesmo vale para os demais algarismos.

Alguém poderia me ajudar?
Grato,
PJMS

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[Anderson Torres]

Em ter., 20 de jul. de 2021 às 18:25, Prof. Douglas Oliveira
 escreveu:
>
> Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano 
> horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte 
> regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo corta 
> o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto 
> escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo. Qual 
> deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do volume do 
> bolo que ele espera obter?

Primeira dica: tente resolver o mesmo problema, mas para um triângulo
equilátero de lado 100.
Afinal de contas, uma transformação afim leva isso para qualquer triângulo.

>
> Abraço do Douglas.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[joao pedro b menezes]

Eu pensaria em trabalhar com os pontos notáveis, talvez o baricentro, e
argumentar que em qualquer outro ponto é possível realizar um corte que o
prejudique mais. Isso é só uma teoria e, portanto, é possível que esteja
totalmente errada.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda numa questão da OBM 1987

[Prof. Douglas Oliveira]

*Tem-se um bolo em forma de prisma triangular, cuja base está em um plano
horizontal. Dois indivíduos vão dividir o bolo de acordo com a seguinte
regra: o primeiro escolhe um ponto na base superior do bolo e o segundo
corta o bolo por um plano vertical à sua escolha, passando porém pelo ponto
escolhido, e seleciona para si um dos pedaços em que dividiu o bolo.
Qual deve ser a estratégia para o primeiro e qual deve ser a fração do
volume do bolo que ele espera obter?*

*Abraço do Douglas.*

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Boa tarde!
Na verdade: 2^a=64; a= 6 e y=12.

Em qui., 22 de out. de 2020 às 11:17, Pedro José 
escreveu:

> Bom dia!
> Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
> fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
> Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
> Basta restringir y aos pares.
> Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
> (2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
> necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
> Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
> Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
> que é válido.
> Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
> triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
> acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
> desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
> que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
> está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
> não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
> infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
> Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
> última questão.
>
> Cordialmente,
> PJMS
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>>
>>
>> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
>> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>>> (xy-8+(x-y))=5,
>>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>>
>>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>>
>>>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>>>> 1o quadrante.
>>>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2
>>>> - y^2 = 0.
>>>>
>>>> []s,
>>>> Claudio.
>>>>
>>>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>>>
>>>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>>>> equação
>>>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>>>
>>>>> Desde já agradeço a ajuda
>>>>> Douglas Oliveira
>>>>>
>>>>> --
>>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>>
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Pedro José]

Bom dia!
Recebi esse problema hoje: 615 + x^2 = 2^y., para x,y inteiros Não saberia
fazer, como não soube resolver esse, acima. Mas devido a solução do colega
Esdras, pensei:"já vi algo parecido".
Basta restringir y aos pares.
Se y é ímpar x^2=2 mod3, absurdo então y é par. Logo y=2a, com a inteiro.
(2^a + x) (2^a-x)= 615= 1*615=3*205=5*123=15*41 e como a soma dos fatores
necessita ser uma potência de 2, só serve para 123 e 5.
Logo 2^y=64 e y=6 e x= 59 ou x=-59.
Uma resolução levou a outra, não pelo talento nato, mas por aprendizado, o
que é válido.
Teve uma feita que estava tentando provar que o triângulo órtico, era o
triângulo de menor perímetro que poderia ser inscrito em um triângulo
acutângulo. Tentei por geometria analítica e só levando tinta. Tinha
desistido. Quando me deparei com um problema que não consegui resolver, mas
que tinha um caminho para a solução. Quando vi o rebatimento feito, pensei
está resolvido. O curioso, é que, quando desisti, pesquisei na internet e
não achei nada. Depois que consegui resolver, achei duas soluções, e
infelizmente e como esperado, a minha não era novidade, era clássica.
Obrigado, Esdras! Sem a sua solução, certamente, não teria resolvido essa
última questão.

Cordialmente,
PJMS

Em sex., 24 de jul. de 2020 às 12:19, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show
>
>
> Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
> esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:
>
>> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
>> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
>> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
>> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
>> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e 
>> (xy-8+(x-y))=5,
>> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>>
>> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
>> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>>> 1o quadrante.
>>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>>> y^2 = 0.
>>>
>>> []s,
>>> Claudio.
>>>
>>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>>
>>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>>> equação
>>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>>
>>>> Desde já agradeço a ajuda
>>>> Douglas Oliveira
>>>>
>>>> --
>>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Obrigado Claudio e Esdras, fatoração show


Em sex., 24 de jul. de 2020 às 11:12, Esdras Muniz <
esdrasmunizm...@gmail.com> escreveu:

> Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
> maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
> Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
> (xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2. Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15,
> o que não tem soluções inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5,
> cujas únicas soluções inteiras são x=4 e y=3.
>
> Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara <
> claudio.buff...@gmail.com> escreveu:
>
>> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no
>> 1o quadrante.
>> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
>> y^2 = 0.
>>
>> []s,
>> Claudio.
>>
>> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>>
>>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da
>>> equação
>>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>>
>>> Desde já agradeço a ajuda
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
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>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Esdras Muniz]

Se for solução inteira positiva, acho que só tem 3 e 4. Vc supõe spdg x
maior ou igual a y, vê que y=1 não tem solução e x=y tb não. Daí, x>y>1.
Fatorando a expressão, fica: (xy-8-(x-y))(xy-8+(x-y))=15. Como
(xy-8-(x-y))>(xy-8+(x-y))>-2.
Temos que ou (xy-8-(x-y))=1 e (xy-8+(x-y))=15, o que não tem soluções
inteiras positivas, ou (xy-8-(x-y))=3 e (xy-8+(x-y))=5, cujas únicas
soluções inteiras são x=4 e y=3.

Em sex, 24 de jul de 2020 10:36, Claudio Buffara 
escreveu:

> Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o
> quadrante.
> Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
> y^2 = 0.
>
> []s,
> Claudio.
>
> On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
>> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>>
>> Desde já agradeço a ajuda
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Claudio Buffara]

Pelo que entendi, a solução é a porção dessa curva algébrica situada no 1o
quadrante.
Dá pra fazer isso no Wolfram Alpha, com o comando plot (x*y-7)^2 - x^2 -
y^2 = 0.

[]s,
Claudio.

On Fri, Jul 24, 2020 at 9:58 AM Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
> (xy-7)^2=x^2+y^2.
>
> Desde já agradeço a ajuda
> Douglas Oliveira
>
> --
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[obm-l] Ajuda em teoria dos números

[Prof. Douglas Oliveira]

Preciso de ajuda para encontrar todas as soluções não negativas da equação
(xy-7)^2=x^2+y^2.

Desde já agradeço a ajuda
Douglas Oliveira

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em trigonometria

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá amigos, preciso de uma ajuda no seguinte problema abaixo:

Quero descobrir a solução geral para a equação trigonométrica

cos(ax+b)+cos(cx+d)=cos(ex+f)+cos(gx+h)


Sempre que nos deparamos com aqueles problemas de perseguição angular ou
outro tipo de problema de ângulos adventícios, geralmente caímos em um tipo
de equação desta.

Gostaria de uma ajuda, indicação de algum artigo, ou trabalho que fale sobe
isso. Pois acredito que já deve existir algo nesse sentido.

Desde já, muitíssimo obrigado.

Um grande abraço do
Douglas Oliveira

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Errata da nota anterior independente de m e não de m, supondo (m,n)=1 e m/n
não inteiro.
Outro ponto não há necessidade a verificação de se o proposto vale para
quando n for múltiplo de 2 ou de 10, pois a ordem m mod n só existe se
(10,n)=1. Foi bobagem só ter aventado a possibilidade.
não coloquei como cheguei a conclusão de que era ordem 10 mod n, pois achei
bem intuitivo. Mas na hora que fui mostrar, achei complicado o que julgara
fácil. Mas quanto a isso estou seguro.
Para (n,m)=1 e (n,10)=1 e n/m não inteiro.
Se m>n pode-se representar por uma fração q j/n com q, j e n inteiros e
(j,n)=1 pois m=qn+j e se d<>1 divide n e j então d|m pois m é uma Z
combinação linear de j e n. Absurdo pois(m,n)=1 por hipótese.
Então sem perda de generalidade podemos só trabalhar para o caso m=2, está correta.

Saudações,
PJMS


Em dom, 8 de mar de 2020 16:09, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Douglas,
> Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
> pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
> 1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
> não acontece em 3^2005.
> O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
> não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
> verifiquei se vale sem a restriçao.
> Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
> Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
> onde colchetes representam parte inteira..
> Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a
>> pergunta.
>> 
>>
>> Douglas oliveira
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>>> assim que tiver um tempinho.
>>>
>>> Douglas Oliveira.
>>>
>>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Bom dia!
 Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
 matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
 espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
 fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
 matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
 poderia me informar se está correto?
 Saudações,
 PJMS.

 Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio ter conseguido.
>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>> 3^2003 algarismos
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>
>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Questão complicada.
 Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
 mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
 Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
 parece que não...
 Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
 O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n =
 3^(n-2) para n>=2.
 Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
 conjectura esteja correta.

 Saudações,
 PJMS

 Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.


 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Douglas,
Não creio, no meu entendimento 3^2003 é o número de algarismos da dízima
pois, é a ordem 10 módulo 3^2005.
1/3^2005 tem uma montoeira de algarismos zeros no início do período o que
não acontece em 3^2005.
O número de algarismos do período de uma dízima m/n, pelo menos quando n
não  é múltiplo dos primos 2 e 5 é ord10mod n e independe de n. Nao
verifiquei se vale sem a restriçao.
Por exemplo o período de 1/7 é 142857 e ord 10 mod 7 = 6.
Se aquele fosse o período da dízima bastaria fazer n =[log10 (3^2003)+1]
onde colchetes representam parte inteira..
Minha dúvida está na prova por absurdo, que ord 10 mod 3^n= 3^(n-2).

Saudações,
PJMS



Em dom, 8 de mar de 2020 11:31, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.
> 
>
> Douglas oliveira
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
>> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
>> assim que tiver um tempinho.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>>> poderia me informar se está correto?
>>> Saudações,
>>> PJMS.
>>>
>>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?

 Saudações,
 PJMS

 Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
 escreveu:

> Boa noite!
> Creio ter conseguido.
> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003
> 3^2003 algarismos
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> 3^2005 e não 10^2005.
>>
>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Questão complicada.
>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>>> parece que não...
>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>> para n>=2.
>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>>> conjectura esteja correta.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


 Saudações
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

3^2003 é o período certo??, o número de dígitos disso que seria a pergunta.


Douglas oliveira

Em dom, 8 de mar de 2020 11:13, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma
> olhada rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma,
> assim que tiver um tempinho.
>
> Douglas Oliveira.
>
> Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
>> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
>> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
>> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
>> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
>> poderia me informar se está correto?
>> Saudações,
>> PJMS.
>>
>> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa noite!
 Creio ter conseguido.
 Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
 então k é a ordem 10 mod 3^2005.
 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
 pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
 Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
 x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
 3^2003 algarismos
 Saudações,
 PJMS

 Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> 3^2005 e não 10^2005.
>
> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Questão complicada.
>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10
>> mod 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
>> parece que não...
>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>> para n>=2.
>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
>> conjectura esteja correta.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>
>>>
>>> Saudações
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Olá Pedro, primeiramente muito obrigado pela sua solução, eu dei uma olhada
rápida e acredito estar correta. Estarei olhando com mais calma, assim que
tiver um tempinho.

Douglas Oliveira.

Em dom, 8 de mar de 2020 11:05, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
> matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
> espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
> fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
> matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
> poderia me informar se está correto?
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa noite!
>>> Creio ter conseguido.
>>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1
>>> então k é a ordem 10 mod 3^2005.
>>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se
>>> x<>3^(n-2) absurdo; pois, teria que ser 3^k com k>> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2>> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>>> 3^2003 algarismos
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 3^2005 e não 10^2005.

 Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
 escreveu:

> Boa tarde!
> Questão complicada.
> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
> parece que não...
> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
> para n>=2.
> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
> conjectura esteja correta.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Bom dia!
Não compreendi o porquê dessa questão ter sido vilipendiada. Não sou
matemático, sou pitaqueiro, ouço falar em inteiros de Gauss vou atrás, de
espaço fibrado idem, equações de Pell idem..., o que não consigo aprender
fica para o futuro. Quando me aposentar  cursar uma faculdade de
matemática. Portanto, nem tudo que resolvo me dá segurança. Reforço, alguém
poderia me informar se está correto?
Saudações,
PJMS.

Em ter, 3 de mar de 2020 12:03, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa noite!
>> Creio ter conseguido.
>> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
>> k é a ordem 10 mod 3^2005.
>> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então
>> pelo lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
>> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
>> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k> e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2> ord 10 mod 3^2005 =3^2003
>> 3^2003 algarismos
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> 3^2005 e não 10^2005.
>>>
>>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>>> escreveu:
>>>
 Boa tarde!
 Questão complicada.
 Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
 Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas
 parece que não...
 Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
 O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
 para n>=2.
 Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a
 conjectura esteja correta.

 Saudações,
 PJMS

 Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
 profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.



-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Não me senti muito seguro na resposta. Está correto?

Saudações,
PJMS

Em seg., 2 de mar. de 2020 às 23:27, Pedro José 
escreveu:

> Boa noite!
> Creio ter conseguido.
> Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então
> k é a ordem 10 mod 3^2005.
> 3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
> lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
> Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
> absurdo; pois, teria que ser 3^k com k e por (i) 3^(k+2)||10^(3^k)-1 e k+2 ord 10 mod 3^2005 =3^2003
> 3^2003 algarismos
> Saudações,
> PJMS
>
> Em sáb, 29 de fev de 2020 16:13, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> 3^2005 e não 10^2005.
>>
>> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
>> escreveu:
>>
>>> Boa tarde!
>>> Questão complicada.
>>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>>> que não...
>>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2)
>>> para n>=2.
>>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>>> esteja correta.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>>
 Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


 Saudações
 Douglas Oliveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa noite!
Creio ter conseguido.
Seja k o número de algarismos do período de 1/3^2005. Como (3,10)=1 então k
é a ordem 10 mod 3^2005.
3^(n-2)|| 3^(n-2); (|| significa divide exatamente) e 3^2||10-1 então pelo
lema de Hensel 3^n||10^(3^(n-2))-1 para n>=2.(i)
Então 10^(3^(n-2))= 1 mod 3^n logo ord 10 mod 3^n | 3^(n-2) Se x<>3^(n-2)
absurdo; pois, teria que ser 3^k com k escreveu:

> Boa tarde!
> 3^2005 e não 10^2005.
>
> Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José 
> escreveu:
>
>> Boa tarde!
>> Questão complicada.
>> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
>> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
>> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
>> que não...
>> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
>> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
>> n>=2.
>> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
>> esteja correta.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
>> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>>
>>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>>
>>>
>>> Saudações
>>> Douglas Oliveira
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
3^2005 e não 10^2005.

Em sex, 28 de fev de 2020 16:06, Pedro José  escreveu:

> Boa tarde!
> Questão complicada.
> Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
> 10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
> Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
> que não...
> Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
> O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
> n>=2.
> Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
> esteja correta.
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>>
>>
>> Saudações
>> Douglas Oliveira
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Pedro José]

Boa tarde!
Questão complicada.
Como (3^2005; 10) =1, o número de dígitos x deve ser a ordem de 10 mod
10^2005. Portanto x | 2*3^2004.
Se 10 fosse uma raiz primitiva de 3^2005 aí daria x=2.3^2004. Mas parece
que não...
Achar essa ordem é muito difícil, pelo menos para mim.
O que achei empiricamente foi a conjectura: ord 10 mod 3^n = 3^(n-2) para
n>=2.
Será que sai por indução, aí seriam 3^2003 algarismos. Caso a conjectura
esteja correta.

Saudações,
PJMS

Em qui., 20 de fev. de 2020 às 18:12, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?
>
>
> Saudações
> Douglas Oliveira
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda com dízima

[Carlos Victor]

 

Estou conjecturando que 1/3^n tem período igual a 3^(n-2) , para n>=3. 

Carlos Victor 

Em 20/02/2020 18:01, Prof. Douglas Oliveira escreveu: 

> Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ? 
> 
> Saudações 
> Douglas Oliveira 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
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[obm-l] Ajuda com dízima

[Prof. Douglas Oliveira]

Qual o número de dígitos do período de 1/(3^2005) ?


Saudações
Douglas Oliveira

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Anderson Torres]

Sempre que possível, crie um e-mail para cada questão. Assim, fica
mais fácil para cada participante acompanhar a discussão. Eu por
exemplo gosto bem mais de geometria que de álgebra. Ao ler esse e-mail
e suas respostas, eu não sei de cara se estou comentando a questão de
geometria ou a de álgebra.

Em sex., 13 de dez. de 2019 às 21:05, Prof. Douglas Oliveira
 escreveu:
>
> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT e 
> AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão 
> alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é 
> equilátero.

>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/ 
> f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq = 
> rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x, e 
> a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

A princípio, durante a resolução você automaticamente exclui a
possibilidade de existirem outras soluções. Essa unicidade já fica
"embutida".

Até porque, é muito raro resolver uma equação funcional por
"eliminação" ou por "contradição"; elas costumam ser resolvidas de
maneira mais dedutiva.

Se sua solução for parecida com a oficial - que começa demonstrando
que f(x^2)=(f(x))^2 e daí


>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Matheus Bezerra]

Olá Douglas, boa noite! Professor, já fiz essa questão 2 e do jeito que
resolvi, já fica meio que implícito que essas são as únicas soluções. Envia
tua solução para que eu possa analisar, se possivel!

Em sex, 13 de dez de 2019 21:05, Prof. Douglas Oliveira <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> 1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS,
> CT e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T
> estão alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST
> também é equilátero.
>
> 2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
>   . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 +
> (f(q))^2]/ f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s >
> 0 with pq = rs.
>
> Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e
> f(x)=1/x, e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas
> soluções?
>
> Saudações
> Douglas Oliveira.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Ajuda em duas questões (Geometria plana e equação funcional)

[Prof. Douglas Oliveira]

1) Dado um triângulo equilátero ABC, e os segmentos internos de reta BS, CT
e AR tais que BS=CT=AR e além disso B, R, S estão alinhados, C, S, T estão
alinhados e A, T, R estão alinhados, mostre que o triângulo RST também é
equilátero.

2) Essa é a questão da (IMO shortlisted 2008)
  . Find all functions f : (0, ∞) → (0, ∞) such that [(f(p))^2 + (f(q))^2]/
f(r^2 ) + f(s^2 ) = (p^2 + q^2)/(r^2 + s^2) for all p, q, r, s > 0 with pq
= rs.

Pois bem, a minha dúvida é , eu cheguei em duas soluções f(x)=x e f(x)=1/x,
e a minha pergunta seria , precisa mostrar que são as únicas soluções?

Saudações
Douglas Oliveira.

-- 
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Re: [obm-l] Ajuda em divisores

[Bob Roy]

 

Oi Pacini, 

Basta fazer 98x19=1862. 

Bobroy 

Em 17/02/2019 0:09, Pacini Bores escreveu: 

> Uma ajuda : 
> 
> Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são 
> menores que N e não dividem N? 
> 
> Obrigado 
> 
> Pacini 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

 
-- 
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Re: [obm-l] Ajuda em divisores

[Anderson Torres]

Em dom, 17 de fev de 2019 às 00:22, Pacini Bores
 escreveu:
>
> Uma ajuda :
>
> Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são 
> menores que N e não dividem N?
>

Não trate ponto como cdot.

Complicado. Um número d desse tipo teria que ser da forma 2^a * 3^b,
com a<=196 e b<=38.

O problema de d não dividir N pode ser visto como ou a>98, ou b>19, ou
os dois. O úmtimo caso não pode ser,

Agora, para ser menor, a coisa complica um bocado. Vamos tentar
dividir em casos:

- SE a>98 e b>19, não dá, pois seria maior que N.

- SE a>98, temos 2^(a-98) < 3^(19-b), ou (a-98) log 2 < (19-b) log 3.
Dá para ir testando b de 0 a 19 e verificando as possibilidades

- SE b>19, temos 2^(98-a) < 3^(b-19), ou (98-a) log 2 < (b-19) log 3.
Dá para ir testando b de 20 até 38 e verificando as possibilidades.

> Obrigado
>
> Pacini
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Ajuda em divisores

[Pacini Bores]

 

Uma ajuda : 

Seja N=(2^98).(3^19). Quantos inteiros positivos, divisores de N^2 são
menores que N e não dividem N? 

Obrigado 

Pacini 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)

[matematica10complicada]

Thanks Buffara.
GREAT.

Em qui, 30 de ago de 2018 20:51, Claudio Buffara 
escreveu:

> f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==>
> f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==>
> f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==>
> f'(x) é divisível por (x - 1)^3
>
> Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é
> divisível por (x + 1)^3.
>
> Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3
> = A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A.
>
> f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) +
> k, para algum k.
>
> Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1.
>
> f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1
> f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1
>
> Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16  e  k = 0 ==>
> f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==>
> f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x   (salvo algum
> erro de conta...)
>
> Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
>
>
> On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:
>
>> Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e
>> de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por
>> (x − 1)^4
>> e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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[obm-l] Re: [obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)

[Claudio Buffara]

f(x) + 1 é divisível por (x - 1)^4 ==>
f(x) = a(x)(x - 1)^4 - 1, para algum polinômio a(x) ==>
f'(x) = a'(x)(x - 1)^4 + 4a(x)(x - 1)^3 ==>
f'(x) é divisível por (x - 1)^3

Analogamente, podemos escrever f(x) = b(x)(x + 1)^4 + 1 ==> f'(x) é
divisível por (x + 1)^3.

Com f tem grau 7, f' tem grau 6 e, portanto, f'(x) = A(x - 1)^3*(x + 1)^3 =
A(x^2 - 1)^3, para alguma constante A.

f'(x) = A(x^6 - 3x^4 + 3x^2 -1) ==> f(x) = A(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) + k,
para algum k.

Mas também é fato que f(1) = -1 e f(-1) = 1.

f(1) = A(1/7 - 3/5 + 1 - 1) + k = -16A/35 + k = -1
f(-1) = A(-1/7 + 3/5 -1 + 1) + k = 16A/35 + k = 1

Resolvendo este sistema, achamos A = 35/16  e  k = 0 ==>
f(x) = 35/16*(x^7/7 - 3x^5/5 + x^3 - x) ==>
f(x) = (5/16)*x^7 - (21/16)*x^5 + (35/16)*x^3 - (35/16)*x   (salvo algum
erro de conta...)

Não é uma solução super-simples mas também não dá pra dizer que foi braçal.

[]s,
Claudio.




On Thu, Aug 30, 2018 at 4:07 PM matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> wrote:

> Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e
> de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por
> (x − 1)^4
> e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Polinomio.(Ajuda algum método nao muito braçal?)

[matematica10complicada]

Determine o polinomio f(x) de coeficientes racionais e
de grau 7, sabendo-se que: f(x) + 1 é divisivel por
(x − 1)^4
e que f(x) − 1 é divisivel por (x + 1)^4.

Douglas Oliveira.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em números reais

[marcone augusto araújo borges]

Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1, ac + 
bd = 0. Calcule ab + cd


Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c = cosx e 
d =  senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em números reais

[Claudio Buffara]

Pensando nos vetores unitários (a,b) e (c,d), ac + bd = 0 implica (via
produto escalar, como você sugeriu) que estes vetores são ortogonais e que,
portanto:
c = b, d = -a ==> ab + cd = ab + b(-a) = 0
ou
c = -b, d = a ==> ab + cd = ab + (-b)a = 0.

[]s,
Claudio.


On Sat, Aug 25, 2018 at 1:19 PM marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> wrote:

> Sejam a, b , c e d são números reais tais que a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 1,
> ac + bd = 0. Calcule ab + cd
>
>
> Pensando em produto escalar, podemos dizer que a = senx, b = - cosx, c =
> cosx e d =  senx ? Nesse caso, ab + cd = 0. Um colega achou +1 ou -1
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[João Lucas Lopes Gambarra]

Certamente uma das melhores soluções que eu já vi para esse tipo de problema

Uma resolução "verdadeiramente olímpica"

Muito bom mesmo, parabéns!

Em 16 de julho de 2018 09:13, matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Muito bom!  E o mínimo (= 9) de fato é atingido quando x = y = z = 3.

(x^3+y^3)/(xy+9) tem grau 3 - 2 = 1, de modo que faz sentido buscar uma
desigualdade da forma  (x^3+y^3)/(xy+9) >= x+y+a  (*)

E a ideia é especialmente boa pois o lado direito da forma x+y+a resulta
(somando as três desigualdades oriundas das 3 parcelas de P) em:
P >= 2(x+y+z) + 3a = 18 + 3a.

Com base na conjectura de que P mínimo = 9 (quando x = y = z = 3), daria
até pra conjecturar que a desigualdade (*) vale com a = -3, mas no fim das
contas, sua análise acabou achando o valor de "a" sem precisar da
conjectura.

Também foi uma boa ideia procurar uma desigualdade envolvendo apenas (x+y),
usando, em especial (no passo 3), a desigualdade das médias potenciais:
((x^3+y^3)/2)^(1/3) >= (x+y)/2.

Gostei! Parabéns!


[]s,
Claudio.


2018-07-16 9:13 GMT-03:00 matematica10complicada <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Obrigado a todos que resolveram ou ajudaram.

Costumo ver intervenções bem interessantes aqui.

Vou fazer um pedido(se não for inconveniente):

indicações de fontes de problemas(teoria dos números de preferência)

para alguém que gostaria de melhorar suas habilidades, por prazer

pessoal mesmo. Seria muito mais para iniciante do que para um nível

mais avançado. Obrigado.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Eu também

2018-07-16 10:21 GMT-03:00 Daniel Quevedo :

> Recebi
>
> Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
> kevin_k...@usp.br> escreveu:
>
>> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>>
>> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>>
>> Obrigado
>> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>>
>> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
>> Veja só:
>>
>> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que
>> deve existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>>
>> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>>
>> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
>> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
>> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>>
>> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
>> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
>> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>>
>> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
>> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>>
>> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>>
>> Acho que é isso.
>>
>> Douglas Oliveira.
>>
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>>
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>>
>>
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
> --
> Fiscal: Daniel Quevedo
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Daniel Quevedo]

Recebi

Em seg, 16 de jul de 2018 às 10:19, Kevin Felipe Kuhl Oliveira <
kevin_k...@usp.br> escreveu:

> Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.
>
> Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.
>
> Obrigado
> On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada <
> profdouglaso.del...@gmail.com>, wrote:
>
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
> (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >=
> x+y-3 o que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
>
>
> acredita-se estar livre de perigo.
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
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Fiscal: Daniel Quevedo

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Kevin Felipe Kuhl Oliveira]

Gostaria de saber se minhas mensagens são recebidas.

Por favor, se você visualizou esta mensagem, me avise.

Obrigado
On 16 Jul 2018 09:52 -0300, matematica10complicada 
, wrote:
> Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
>  algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
> Veja só:
>
> 1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve 
> existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.
>
> 2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36 
> >=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.
>
> 3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  
> 4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>= (x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.
>
> 4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n , 
> teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
> an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.
>
> 5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3 o 
> que de forma análoga teremos:
>
> P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.
>
> Acho que é isso.
>
> Douglas Oliveira.
>
>
>
> > Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges 
> >  escreveu:
> > > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor 
> > > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
> > > Agradeço desde já.
> > >
> > > --
> > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> > > acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[matematica10complicada]

Olá bom dia meus amigos, gente lembro de ter feito algo parecido, como]
 algumas questões olímpicas onde trabalhamos separadamente.
Veja só:

1) Primeiro peguei a expressão x^3+y^3/xy+9 >= x+y+a, pois pensei que deve
existir um "a" para que isso seja verdade usando médias.

2) Depois estive a desenvolver,   x^3+y^3/xy+9 >=4(x^3+y^3)/4xy+36
>=4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36, MA>=MG.

3) Mas como (x+y)^3<=4(x^3+y^3). podemos escrever que  4(x^3+y^3)/(x+y)^2+36>=
(x+y)^3/(x+y)^2+36>=x+y+a.

4) Foi daí que consegui o "a", Tratando o x+y como sendo uma variável n ,
teremos n^3/n^2+36 >=n+a, mas sabemos que n é positivo, desta forma
an^2+36n+36a<=0, logo o maior a será -3.

5) Agora fechando o "quebra cabeça", olha como fica   x^3+y^3/xy+9 >= x+y-3
o que de forma análoga teremos:

P>=x+y-3+x+z-3+y+z-3=2x+2y+2z-9=9.

Acho que é isso.

Douglas Oliveira.



Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Depois me apercebi que quando encontrei x=y=z, não é garantido que x=y
implica em x=z.
Portanto, falta mostrar para x=y escreveu:

> Boa noite!
>
> Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
> mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
> vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
> uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
> ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
> paciência e braço.
>
> *Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*
>
> em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z)
> = [3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2
>
> em relação a
> y
> Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)z]/(yz+9)^2
>
> e em relação a
> z
> Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
> (y^3+z^3)y]/(yz+9)^2
>
>
> *Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
> crítico.*
>
> Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
> Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
> +z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.
>
> R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)
>
> Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.
>
> Desenvolvendo a expressão chegamos a:
>
> C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
> (x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
> (x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0
>
> onde:
>
> C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2
>
> C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
> C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
> C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
> C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2
>
> C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
> C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
> C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
> C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2
>
> Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
> Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
> crítico, ou seja, (3,3,3)
>
> *Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*
>
> Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
> raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
> Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
> fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
> Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
> específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
> simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
> os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
> expressão total não é uma constante.
> Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
> atende para:
>
> x
> C3(x,y,z) + C4(x,y,z) > 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) >
> 18xyz^2(xy+9)^2. Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema
> x,y,z positivos.
> C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).
>
> C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um
> termo de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são
> positivos.
>
> O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.
>
> então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.
>
> -(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
> (y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
> igual as demais parcelas. (x+y
>
> (x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2 portanto y3-x^3 < (x+y) (y^2-x2)
>
> Mas pela ordem assumida como premissa x+y<6, pois se x+y>=6 ==> z<=3 e
> fere a ordem da premissa.
>
> então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)
>
> Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
> 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.
>
> Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
> z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2
>
> 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
> crescente para z>raizquinta(81)~2,41.
>
> Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
> Como (zx+9)>(xy+9)
> Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
> 2187 e os demais da esquerda são positivos.
> O ponto crítico é único.
>
> *Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*
>
> Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
> derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
> parciais em x,y em x,z e em y,z.
>
> Então pensei:
>
> O ponto crítico é único e a função é contínua.
>
> O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
>
> Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
> valor mínimo da função.
>
> Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
> visto que o domínio dá um triângulo aberto e 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!

Ontem, num momento solitário e introspectivo, estudando um pouco de
mitologia grega no livro de Junito Brandão, bebendo um belo e apetitoso
vinho e a escutar John Coltrane, soprando formosuras em seu sax, veio-me
uma inspiração. Larguei a leitura, sem deixar os demais prazeres e creio
ter conseguido solucionar o problema. Com uma parcela bem exagerada de
paciência e braço.

*Passo 1: Cálculo das derivadas parciais.*

em relação a x (não sei como fazer para símbolos no computador) Gx(x,y,z) =
[3x^2(xy+9) - (x^3+y^3)y]/(xy+9)^2 + [3x^2(xz+9) - (x^3+z^3)z]/(xz+9)^2

em relação a y
Gy(x,yz) = [3y^2(xy+9) - (x^3+y^3)x]/(xy+9)^2 + [3y^2(yz+9) -
(y^3+z^3)z]/(yz+9)^2

e em relação a z
Gz(x,yz) = [3z^2(xz+9) - (x^3+z^3)x]/(xz+9)^2 + [3z^2(yz+9) -
(y^3+z^3)y]/(yz+9)^2


*Passo 2. Achando a condição para ser um ponto crítico e um certo ponto
crítico.*

Por Lagrange Gradiente se (xo,yo,zo) é um ponto crítico: F(xo,yo,zo) = k.
Gradiente de R(xo,yo,zo) e R(xo,yo,zo)=cte da restrição, onde R(x,y,z)= x+y
+z e a constante é 9e F(x,y,z) é o que pretendemos minimizar.

R(x,y,z) =(1,1,1) então Gx(xo,yo,zo)=Gy(xo,yo,zo)=Gz(xo,yo,zo)

Gx(xo,yo,zo) - Gy(xo,yo,zo)=0.

Desenvolvendo a expressão chegamos a:

C1(x,y,z,) (x^3-y^3) +[ C2(x,y,z) + C3(x,y,z) + C4(x,y,z) + C5(x,y,z) ]
(x^2-y^2) + [ C6(x,y,z) +C7(x,y,z) +C8(x,y,z) +C9(x,y,z) +C10(x,y,z) ]
(x-y)/[(xy+9)(xz+9)(yz+9)]^2=0

onde:

C1(x,y,z) =  -81z(xy+9)^2

C2(x,y,z) = 3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2
C3(x,y,z) = 27(xy+9)^2(xz+9).(yz+9)
C4(x,y,z) = -18(xyz^2)(xy+9)^2
C5(x,y,z) = z^6(xy+9)^2

C6(x,y,z) = 3(xz+9)^2(yz+9)^2(x^3+y^3)
C7(x,y,z) = 3(xyz)(xz+9)(yz+9)(xy+9)^2
C8(x,y,z) = -x^2y^2z^3(xy+9)^2
C9(x,y,z) = 18z^5(xy+9)^2

Logo xo=yo atende a equação acima e xo=zo atenderá a Gx(x,y,z)=Gz(xo,yo,zo)
Portanto pela restrição x+y+z=9 temos xo=yo=zo=3, formando um ponto
crítico, ou seja, (3,3,3)

*Passo 3. Provando que o ponto crítico é único*

Agora devemos provar que é único, pois, caso contrário achar as demais
raízes dessa equação é casca. Foi aqui que sucumbi na primeira tentativa.
Mas conjecturando sobre o que significaria o fogo no mito de Prometeu, que
fora trazido para os homens escondido numa férula e com esse ato enfurecido
Zeus. Se seria simplesmente, o fogo propriamente dito ou algum conhecimento
específico como o ensinamento das estações, de como fazer o plantio, o
simbolismo da inteligência...Quando pensei e se para x<>y Provar que todos
os componentes somados tem o mesmo sinal, só haverá uma raiz, pois a
expressão total não é uma constante.
Então como a função a ser minimizada é simétrica, basta mostrar que não
atende para:

x 0, pois 27(xy+9)^2.(xz+9).(yz+9) > 18xyz^2(xy+9)^2.
Pois, 27(xz+9)(yz+9) > 18xyz^2, pela restrição do problema x,y,z positivos.
C2 e C5 são positivos, então legal para o termo que multiplica (x^2-y^2).

C7(x,y,z) +C8(x,y,z) >0, também é fácil, simplifica (xy+9)^2 e tem um termo
de C7(x,y,z) que é 27xyz^2, ue já é suficiente e os outros são positivos.

O patinho feio C1(x,y,z) é negativo.

então tentei com uns termos que sobraram em (x^2-y^2), mostrar que.

-(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 (x^2-y^2) + z^6(xy+9)^2 (x^2-y^2) > 81z(xy+9)^2
(y^3-x^3), para garantir que C1 ((x^3-y3) + (C2+C5) (x^2-y2) < 0, com sinal
igual as demais parcelas. (x+y

(x+y)(y^2-x^2) + yx^2 - xy^2 = y^3-x^3. Como 0 yx^2=6 ==> z<=3 e fere
a ordem da premissa.

então: 81z(xy+9)^2 (y^3-x^3) < 486z(xy+9)^2 (y^2-x^2)

Se provar que -[3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 + z^6(xy+9)^2 ](x^2-y^2) >
486z(xy+9)^2 (y^2-x^2) só há um ponto crítico.

Dividindo por(y^2-x^2)>0, por hipótese, temos: (xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2 +
z^6(xy+9)^2 > 486z(xy+9)^2

3(xy+9)(xz+9)^2.(yz+9)^2> (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 mas -z6+486z é monótona
crescente para z>raizquinta(81)~2,41.

Como z>3 (-z^6+ 486z) (xy+9)^2 < 729 (xy+9)^2
Como (zx+9)>(xy+9)
Basta provar que: 3(xz+9)(yz+9)^2 > 729, só o termo independente atende
2187 e os demais da esquerda são positivos.
O ponto crítico é único.

*Passo 4, FINAL. Provando que é um ponto de mínimo.*

Para compor a hessiana,tentei achar a folha que tinha feito as segundas
derivadas parciais, mas não tive sucesso. Ainda teria que calcular as
parciais em x,y em x,z e em y,z.

Então pensei:

O ponto crítico é único e a função é contínua.

O ponto pode ser de máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Se for mínimo local, o valor da função aplicado em (3,3,3) que é 9 é o
valor mínimo da função.

Caso contrário haverá um limitante, menor que 9, mas não haverá solução,
visto que o domínio dá um triângulo aberto e o mínimo estaria na borda que
não faz parte do conjunto.

Para ser mínimo local e global, não pode haver um ponto na borda que
apresente um valor menor que 9. Optei por esse caminho. Se o raciocínio
estiver errado, por favor, indiquem, que voltarei para o calvário da
hessiana.

Como a função é simétrica, basta verificar para um segmento da borda.

Escolhi z=0 e x+y = 9 com x,y>=0 e


Nas extremidades (0,9) ou (9,0) dá o mesmo valor 162 > 9.

Agora vamos achar o mínimo da 

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Oi, Marcone:

De onde você tirou este problema?

[]s,
Claudio.

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Agora só falta o Marcone dizer de onde saiu este problema...

2018-07-06 21:29 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com>:

> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
> :
> > Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> > mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
> - fazer uns gráficos (1D)
> - calcular derivadas simbólicas
> - calcular uns valores numéricos
>
> Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
> posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
> disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
> Chame essa soma de S.
>
> Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
> a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
> simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
> Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
> (a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
> dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.
>
> Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
> y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
> a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
> esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
> até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
> derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
> 1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
> no ponto de simetria), ou
> 2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).
>
> Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
> 9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.
>
> O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo
> global.
>
>
> 
>
> Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S
>
> S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
> S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9
>
> Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
> y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18
>
> E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.
>
> S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
> s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z
>
> Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
> y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
> flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
> "subordenado":
>
> S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
> x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18
>
> Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
> s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
> nossa definição de g.
>
> Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.
>
> O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
> restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
> temos S2 = S.
> 
>
> Abraços,
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =
>

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Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges
:
> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Bom, acredito que resolvi.  Com uma ajuda do computador para
- fazer uns gráficos (1D)
- calcular derivadas simbólicas
- calcular uns valores numéricos

Vou assumir que é a soma simétrica de (x^3 + y^3) / (xy + 9) (note a
posição da barra, eu pensei durante algum tempo que era o inverso
disso... A\b é uma notação comum para inversa à esquerda... enfim :D).
Chame essa soma de S.

Primeiro, pense em min (x^3 + y^3) / (xy + 9) com a condição que x+y =
a.  Esse é um problema mais fácil, a simetria dá que a solução ou é
simétrica x=y, ou é "extrema" x=0, y = a (ou simetricamente x=a, y=0).
Calculando, x=y=a/2 dá  g(a) = 2*(a/2)^3 / ((a/2)^2 + 9) = a^3/4 /
(a^2/4 + 3^2) = a^3 / (a^2 + 6^2)  enquanto que as outras (extremas)
dão a^3/9.  Como 36 > 9, a primeira é sempre menor, independente de a.

Agora, repita para os outros 2 pares, impondo as condições x+y=a,
y+z=b, z+x=c e você terá a soma simétrica S2 = g(a) + g(b) + g(c), com
a condição que a+b+c = 18.  Como isso é um monte de mínimos separados,
esta nova soma S2 é uma estimativa por baixo de S.  Só que g é convexa
até x = 6*sqrt(3) (eu pedi ajuda pro maxima pra calcular a segunda
derivada, mas dá para usar o wolfram alpha), e portanto:
1) ou a soma simétrica é minimizada em a=b=c=6 (convexidade => mínimo
no ponto de simetria), ou
2) algum deles é maior do que 6*sqrt(3).

Mas o caso 2 é impossível, porque teríamos x+y = a = 6*sqrt(3) > 10 >
9 = x+y+z, absurdo porque z > 0.

O caso 1 implica x=y=z=3, e isso demonstra que (3,3,3) é de fato mínimo global.




Para os que querem todos os detalhes, segue a demonstração de que S2 <= S

S2 = min_{a,b,c} g(a) + g(b) + g(c) s.a. a+b+c = 18
S = min_{x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9

Em S, introduza as variáveis a,b,c como indicado

S = min_{a,b,c,x,y,z} P(x,y) + P(y,z) + P(z,x) s.a. x+y+z = 9, x+y=a,
y+z=b, z+x=c, a+b+c = 18

E adicione novas variáveis "cópia" X,Y,Z.

S = min_{a,b,c,x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(z,X)
s.a. x+y+z = 9, x+Y = a, y+Z = b, z+X = c, a+b+c = 18, x=X, y=Y, z=Z

Agora, "esqueça" as restrições "que me complicam": x+y+z = 9, x=X,
y=Y, z=Z.  Isso reduz o valor do mínimo (pois temos mais
flexibilidade), e "desacopla" o problema em um "mestre" e um
"subordenado":

S_modif = min_{a,b,c} [min_{x,y,z,X,Y,Z} P(x,Y) + P(y,Z) + P(x,Z) s.a.
x+Y=a, y+Z=b, z+X=c] s.a. a+b+c = 18

Mas o subordenado está desacoplado também: é igual a [min_{x,Y} P(x,Y)
s.a. x+Y = a] + [idem y,Z] + [idem z,X] = g(a) + g(b) + g(c) pela
nossa definição de g.

Isso prova que S_modif = S2, e porque "retiramos restrições", S2 <= S.

O curioso é que, mesmo introduzindo 6 novas variáveis, com 4+4 novas
restrições (de compatibilidade), e jogando 5 restrições no lixo, ainda
temos S2 = S.


Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Ainda acho que há alguma transformação algébrica que transforma P em algo
mais fácil de manipular.
Por exemplo, P é uma função simétrica, ou seja, qualquer permutação de x, y
e z deixa P invariável.
Isso significa que a superfície P(x,y,z) = k (k = constante) é simétrica em
relação à reta x = y = z.
Assim, talvez uma mudança de base da base canônica do R^3 para a base
(1,0,0), (0,1,0), (1,1,1) resulte numa expressão mais útil para P.




2018-07-06 16:10 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
>
> Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
> garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
> y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
> outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
> não tenho ideia de como fazê-lo.
>
> Saudações,
> PJMS.
>
> Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>> Para mim esse problema foi bom.
>> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
>> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
>> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
>> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
>> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
>> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
>> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
>> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
>> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
>> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
>> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
>> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>>
>> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
>> escreveu:
>>
>>> De onde vem este problema?
>>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>>> multiplicadores de Lagrange.
>>>
>>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
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 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!

Joguei a toalha. Dá para verificar que (3,3,3) é um ponto crítico. Mas
garantir que a única curva de nível que tangencia o plano x+y+z=9 é (x^3 +
y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)=9 ou que se existir
outro ponto de tangência, será para uma curva de nível com a constante >=9,
não tenho ideia de como fazê-lo.

Saudações,
PJMS.

Em 5 de julho de 2018 16:01, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
> Para mim esse problema foi bom.
> Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
> forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
> menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
> estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
> Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
> garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
> (3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
> ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
> e x+y=9, tem valor inferior a 9.
> Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
> duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
> ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).
>
> Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...
>
> Saudações,
> PJMS
>
> Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
> escreveu:
>
>> De onde vem este problema?
>> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
>> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por
>> multiplicadores de Lagrange.
>>
>> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com>:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!
Para mim esse problema foi bom.
Pois me fez recordar levemente a otimização, Matriz Hessiana. Tinha uma
forma de ver através dos sinais dos determinantes das matrizes menores de
menores, mas não lembro mais. Assim que tiver um tempo vou dar uma
estudada. Mas já estou adiantando a parte braçal, as derivadas parciais.
Como  a função é contínua e podemos ampliar o conjunto para x,y,z>=0 e
garantir que existe um mínimo e um máximo global. Aí seria mostrar que
(3,3,3) é o único ponto crítico, que é ponto de mínimo local e que nenhum
ponto na borda (são três segmentos de reta), x=0 e y+z =9; y=0 e x+z=9; z=o
e x+y=9, tem valor inferior a 9.
Nesse intervalo surgirá uma solução, mostrando que essa soma está entre
duas funções, que a inferior é menor ou igual a 9 e que a superior é maior
ou igual a 9 e que as três funções convergem para 9 em (3,3,3).

Mas deu até para recordar as aulas de cálculo III, a sala, as pessoas...

Saudações,
PJMS

Em 5 de julho de 2018 01:41, Claudio Buffara 
escreveu:

> De onde vem este problema?
> É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
> Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
> de Lagrange.
>
> 2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com>:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

De onde vem este problema?
É de alguma olimpíada ou de algum livro de cálculo de várias variáveis?
Pois, no segundo caso, a solução mais óbvia será mesmo por multiplicadores
de Lagrange.

2018-07-02 8:38 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Artur Steiner]

É isso mesmo. Matriz Hessiana positiva definida e gradiente nulo implicam
mínimo local. Mas não necessariamente global.

Artur Costa Steiner

Em Ter, 3 de jul de 2018 14:24, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa noite!
Mesmo falando bobagem, foi bom. Pois, provocou a manifestação.
Acho triste quando uma questão postada fica no vácuo, como dizem os jovens.

Saudações,
PJMS

Em 3 de julho de 2018 14:08, Claudio Buffara 
escreveu:

> Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu
> não fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
> Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não
> é garantido.
> Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
> ser positiva definida.
> Seja como for, deve haver uma solução elementar.
>
> []s,
> Claudio.
>
>
> 2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :
>
>> Boa tarde!
>> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
>> garantem o ponto de mínimo local.
>>
>> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>>
>>> Bom dia!
>>>
>>> Já que ninguém lhe respondeu...
>>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>>> positivas para x=y=z=3.
>>> Mas fica um direcionamento.
>>> Talvez anime alguém a avançar.
>>>
>>> Saudações,
>>> PJMS
>>>
>>>
>>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>>
 Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
 mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

 Agradeço desde já.

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

>>>
>>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Claudio Buffara]

Até porque se as 3 derivadas parciais forem positivas em (3,3,3) - e eu não
fiz as contas - este não pode ser ponto de mínimo local, certo?
Acho que você quis dizer derivadas parciais segundas, mas mesmo assim não é
garantido.
Se me lembro bem (e provavelmente estou errado) a matriz Hessiana tem que
ser positiva definida.
Seja como for, deve haver uma solução elementar.

[]s,
Claudio.


2018-07-03 13:24 GMT-03:00 Pedro José :

> Boa tarde!
> Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
> garantem o ponto de mínimo local.
>
> Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:
>
>> Bom dia!
>>
>> Já que ninguém lhe respondeu...
>> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
>> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
>> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
>> positivas para x=y=z=3.
>> Mas fica um direcionamento.
>> Talvez anime alguém a avançar.
>>
>> Saudações,
>> PJMS
>>
>>
>> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
>> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>>
>>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>> --
>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>>> acredita-se estar livre de perigo.
>>>
>>
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Boa tarde!
Creio que tenha falado bobagem, as derivadas parciais positivas não
garantem o ponto de mínimo local.

Em 3 de julho de 2018 09:49, Pedro José  escreveu:

> Bom dia!
>
> Já que ninguém lhe respondeu...
> Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
> que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
> Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
> positivas para x=y=z=3.
> Mas fica um direcionamento.
> Talvez anime alguém a avançar.
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
> Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
> marconeborge...@hotmail.com> escreveu:
>
>> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
>> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>

-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda em desigualdade

[Pedro José]

Bom dia!

Já que ninguém lhe respondeu...
Por Lagrange chega-se que x=y=z=3 é um ponto singular, mas daí a mostrar
que é um mínimo em todo domínio, não consegui nada.
Que é um mínimo local, dá para ver pois todas derivadas parciais são
positivas para x=y=z=3.
Mas fica um direcionamento.
Talvez anime alguém a avançar.

Saudações,
PJMS


Em 2 de julho de 2018 08:38, marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com> escreveu:

> Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor
> mínimo de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)
>
> Agradeço desde já.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

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[obm-l] Ajuda em desigualdade

[marcone augusto araújo borges]

Sejam x, y e z números positivos tais que x+y+z = 9, determine o valor mínimo 
de P =(x^3 + y^3)\(xy+9) + (x^3 +z^3)\(xz+9) + (y^3 + z^3)\(yz+9)

Agradeço desde já.

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Re: [obm-l] Functional equation(ajuda)

[Bernardo Freitas Paulo da Costa]

2018-04-02 8:58 GMT-03:00 Claudio Buffara :
> Sem ter tido nenhuma grande ideia, eu usaria uma planilha para explorar
> ambos os problemas.
> Eu sei que, numa olimpíada de verdade, isso não seria possível. Mas isso não
> é uma olimpíada de verdade.
> E, de resto, usar planilhas pra gerar conjecturas em problemas de matemática
> pura é algo que deveria ser ensinado nas escolas desde, pelo menos, o 6o
> ano.
>
> 1) Calcular f(n) pra n pequeno (digamos, até 100 ou 200) e pra cada um dos
> 204 valores possíveis de f(1) e, com base neste "experimento" tentar gerar
> alguma conjectura.

Na verdade, o 2004 é uma boa dica que tem algo estranho.  Seja x =
f(1) (isso é de fato uma boa ideia).  Temos que f(2) = f(1+1) = x^2 +
(x^2 - 1)/2004 + 1.  (De novo, calcular para pequenos valores é uma
boa ideia em geral, não apenas para olimpíadas - e na vida real, de
fato calcular até 100 ou 200 seria um "bom mínimo".  Mas como temos a
"dica" de que o problema vem de uma olimpíada "tradicional", deve
bastar calcular muito pouco)

Ou seja, queremos encontrar x tal que x^2 - 1 = 2004k, para algum k
inteiro.  Tem a solução óbvia x = 1, que dá por recorrência f(n) = n.
Para as outras, tem que resolver a correspondente equação inteira (não
é muito difícil, basta fatorar (x+1)(x-1), tirar os fatores pares)...
Mas (com o computador) é bem fácil ver não tem solução até 204.
Aliás, eu duvido muito que isso dê certo para n = 3 depois de ter dado
certo para n = 2 ;-)  Por exemplo, tem uma solução com x = 335, que dá
f(2) = 392, mas daí f(3) deixa de ser inteiro :D)

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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 acredita-se estar livre de perigo.


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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Functional equation(ajuda)

[Claudio Buffara]

Sem ter tido nenhuma grande ideia, eu usaria uma planilha para explorar
ambos os problemas.
Eu sei que, numa olimpíada de verdade, isso não seria possível. Mas isso
não é uma olimpíada de verdade.
E, de resto, usar planilhas pra gerar conjecturas em problemas de
matemática pura é algo que deveria ser ensinado nas escolas desde, pelo
menos, o 6o ano.

1) Calcular f(n) pra n pequeno (digamos, até 100 ou 200) e pra cada um dos
204 valores possíveis de f(1) e, com base neste "experimento" tentar gerar
alguma conjectura.

2) Dividir os intervalos -3<=u<=3, -2<=v<=2 em sub-intervalos de
comprimento 0,1 ou 0,01 e calcular f(u,v) pra cada um destes pontos. Isso
certamente vai permitir conjecturar onde f atinge um mínimo.

Por exemplo, neste segundo problema temos um "conflito" entre os dois
termos quadráticos: no primeiro, u e v devem ser tão próximos quanto
possível. No segundo, u deve ter o maior módulo possível enquanto que v
deve ter o menor módulo possível (isso já indica que ambos devem ter o
mesmo sinal, a fim de minimizar o termo (u-v)^2).
Qual dos dois termos "vence"? A exploração via planilha dirá.

[]s,
Claudio.

2018-03-31 17:08 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá caros amigos, preciso de uma ajuda para resolver os seguintes
> problemas:
>
> 1) Uma função f:N*-->N* é tal que 0<=f(1)<204 e, para todo n>0, tem-se que
> f(n+1)=(n/2004 +1/n)[f(n)]^2-(n^3)/2004 +1.
> A quantidade de elementos da imagem de f que são números primos é:
>
> 2)Sejam u e v números reais tais que IuI<=3, IvI<=2. Determine o valor
> mínimo de
> f(u,v)=(u-v)^2+[((144-16u^2)^(1/2))/3 - (4-v^2)^(1/2)]^2.
>
> Forte abraço.
>
> Douglas Oliveira.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Functional equation(ajuda)

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá caros amigos, preciso de uma ajuda para resolver os seguintes problemas:

1) Uma função f:N*-->N* é tal que 0<=f(1)<204 e, para todo n>0, tem-se que
f(n+1)=(n/2004 +1/n)[f(n)]^2-(n^3)/2004 +1.
A quantidade de elementos da imagem de f que são números primos é:

2)Sejam u e v números reais tais que IuI<=3, IvI<=2. Determine o valor
mínimo de
f(u,v)=(u-v)^2+[((144-16u^2)^(1/2))/3 - (4-v^2)^(1/2)]^2.

Forte abraço.

Douglas Oliveira.

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[obm-l] Re: [obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.

[Julio César Saldaña Pumarica]

Seja P o ponto de DC tal que AP=AC (portanto igual ao BD). Calculando
alguns ângulos: APc=48 e PAD=18.

Seja O o circuncentro do triângulo APD, então OD=OP=OA, e como ADB=30 então
POA=2x30=60. Concluimos que o triângulo POA é equilátero. Calculando alguns
ângulos: ODA=42

Notando que OD=OB podemos concluir que OBD=DBO=36. Estique BO e desenh o
segmento AT perpendicular a BO (T está na prolongação de BO). Observe que
os triângulos ATO e APM (onde M é o meio de PC) são iguais e portanto AM=AT.

Finalmente os triângulo BAT e BAM são iguais e daí ABT=ABD=36/2=18

2018-03-13 20:14 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei
> dos senos e
> pelo geogebra e deu 18 graus.
>
> Eis o problema:
>
> 6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD
> e o ângulo  ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine  a medida do ângulo
> ABC.
>
>
>
> Qualquer ajuda será bem vinda.
>
> Abraço do
>
> Douglas Oliveira.
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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[obm-l] Ajuda em geometria e álgebra.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá amigos, não consigo fazer esse problema por construção, já fiz por lei
dos senos e
pelo geogebra e deu 18 graus.

Eis o problema:

6 Seja D um ponto sobre o lado BC de um triângulo ABC. Supondo que, AC=BD
e o ângulo  ADC=30 graus e ACB= 48 graus , determine  a medida do ângulo
ABC.



Qualquer ajuda será bem vinda.

Abraço do

Douglas Oliveira.

-- 
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Pedro José]

Boa noite!

Bela e simples solução!

Saudações,
PJMS

Em 29 de junho de 2017 18:21, Julio César Saldaña <saldana...@pucp.edu.pe>
escreveu:

>
>
> Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH,
> então
> AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi
> desenhar a
> perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei
> PN até
> K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.
>
> Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum
> tempo
> mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o
> circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30
> então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois
> BC é
> mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se
> encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o
> circuncentro do
> triângulo ABK.
>
> Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto
> anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo
> BEC.
> Resposta: anguloMEC=60
>
> Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou
> tentar
> lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK
>
> Julio Saldaña
>
>
> -- Mensaje original ---
> De : obm-l@mat.puc-rio.br
> Para : obm-l@mat.puc-rio.br
> Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
> Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)
> >Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.
> >
> >Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com>
> escreveu:
> >
> >> Bom dia!
> >>
> >> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de
> ângulos
> >> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> >> Não faltou definir o ponto F?
> >>
> >> Sds,
> >> PJMS
> >>
> >> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> >> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
> >>
> >>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
> >>>
> >>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> >>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40
> graus,
> >>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> >>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
> >>>
> >>> GRATO!!
> >>> Douglas Oliveira.
> >>>
> >>> --
> >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >>> acredita-se estar livre de perigo.
> >>
> >>
> >>
> >> --
> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> >> acredita-se estar livre de perigo.
> >
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> > acredita-se estar livre de perigo.
> >
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>  acredita-se estar livre de perigo.
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 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Julio César Saldaña]

Aproveitando que APC é isósceles (pois CA=CP), eu desenhei a altura CH, então 
AH=HP e anguloACH=anguloHCP=20; mas como também anguloPCB=20, decidi desenhar a 
perpendicular PN sobre BC, así temos PN=PH=HA. Aí não resisti e estiquei PN até 
K, onde NK=PN. Desenhei a linha BK também.


Nesse ponto me encontrei com um problema que já tinha resolvido faz algum tempo 
mas não lembro. Então ensaiei outra solução. O problema é provar que P é o 
circuncentro do triângulo ABK. Desta vez argumento assim: como anguloBAK=30 
então BK é igual ao circunrádio do triângulo ABK. Mas note que BK=BP (pois BC é 
mediatriz de PK). Então pronto, P encontrase na mediatriz de AK e também se 
encontra a uma distância de B igual ao circunradio, logo P é o circuncentro do 
triângulo ABK.


Com isso, o triângulo PBK é equilátero e portanto anguloPBN=30. Portanto 
anguloBEC=90 => EM é mediana relativa à hipotenusa do triângulo retângulo BEC. 
Resposta: anguloMEC=60


Espero não ter me engando, mas vou fazer um double check e também vou tentar 
lembrar a outra forma de provar que P é circuncentro de ABK


Julio Saldaña


-- Mensaje original ---
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 28 Jun 2017 14:43:07 -0300
Asunto : Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> escreveu:


Bom dia!

O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos
aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
Não faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:


Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:

Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.

GRATO!!
Douglas Oliveira.

--
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Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Douglas Oliveira de Lima]

Opa desculpe, CF é ceviana que passa por P.

Em 28 de jun de 2017 11:05 AM, "Pedro José" <petroc...@gmail.com> escreveu:

> Bom dia!
>
> O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos
> aos quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
> Não faltou definir o ponto F?
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
>> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>>
>> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
>> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
>> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
>> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>>
>> GRATO!!
>> Douglas Oliveira.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>
>
>
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> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Pedro José]

Bom dia!

O ponto F não foi definido, mas foram definidas duas medidas de ângulos aos
quais o ponto F pertence: BCF=20 graus e FCA=40 graus.
Não faltou definir o ponto F?

Sds,
PJMS

Em 28 de junho de 2017 09:15, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:
>
> Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
> ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
> traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
> pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.
>
> GRATO!!
> Douglas Oliveira.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
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[obm-l] Geometria plana (Ajuda)

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá meus amigos preciso de uma ajuda pra resolver a seguinte questão:

Num triângulo ABC , tracam-se as cevianas AD e BE, que se encontram no
ponto P, tal que BAD= 10 graus, DAC=70 graus, BCF=20 graus e FCA=40 graus,
traçando a ceviana BE que passa por P e o segmento de reta que une os
pontos E e M, sendo M ponto médio de BC, determinar o ângulo CME.

GRATO!!
Douglas Oliveira.

-- 
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RE: [obm-l] Ajuda em Aritmética

[Esdras Muniz]

Se p é um primo diferente de 5, os restos dos outros 2 por 5 são os mesmos que 
os de p^2-1 e p^2+1 respectivamente. Se os 3 números são primos, nenhum deles é 
múltiplo de 5. Daí o produto (p^2-1)(p^2+1) não pode ser múltiplo de 5. Mas 
esse produto é p^4-1. Mas o pequeno teorema de Fermat garante que 5 divide 
p^4-1 se p for diferente de 4. Aí o problema acaba.

Se vc não quiser usar o pequeno teorema de Fermat, é só verificar que para r=1, 
2, 3 e 4, onde r é o resto de p por 5, ou 4p^2-1 ou 6p^2-1 é múltiplo de 5. 

Acho a primeira solução melhor pq mostra de onde o autor tirou a idéia de fazer 
a questão.

-Mensagem Original-
De: "Marcelo de Moura Costa" <mat.mo...@gmail.com>
Enviada em: ‎26/‎09/‎2016 06:19
Para: "obm-l@mat.puc-rio.br" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Assunto: [obm-l] Ajuda em Aritmética

Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela dica 
não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o mesmo, 
será que alguém poderia me ajudar?

O problema é:

Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. (Dica: 
analise os restos da divisão de p por 5) 


Agradeço a atenção.



-- 
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acredita-se estar livre de perigo. 
-- 
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Re: [obm-l] Ajuda em Aritmética

[Gabriel Tostes]

Um deles ser multiplo de 5 é equivalents a p^2 ser congruente a 1 ou p^2 ser 
congruente a 4, que são os unicos resíduos mod 5 além do 0. Logo P deve ser 
múltiplo de 5 e só testar P=5.

> On Sep 26, 2016, at 06:09, Marcelo de Moura Costa  wrote:
> 
> Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela 
> dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o 
> mesmo, será que alguém poderia me ajudar?
> O problema é:
> Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos. 
> (Dica: analise os restos da divisão de p por 5) 
> 
> Agradeço a atenção.
> 
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
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=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Ajuda em Aritmética

[Marcelo de Moura Costa]

Bom dia a todos, um anulo me apresentou esse problema e confesso que pela
dica não consegui interpretá-lo corretamente e fiquei muito curioso como o
mesmo, será que alguém poderia me ajudar?
O problema é:
Mostre que somente para p=5, os números p, 4p^2+1 e 6p^2+1 serão primos.
(Dica: analise os restos da divisão de p por 5)

Agradeço a atenção.

-- 
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[obm-l] Preciso de uma ajuda.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá caros amigos, encontrei uma resolução que diz o seguinte:

"Queremos demonstrar que, no plano orientado, (DM,DM') + (D'M,D'M')=2k,
sendo escolhido, como unidade, o ângulo reto e sendo h um inteiro
algébrico."

Não entendi muito bem a linguagem a respeito de plano orientado e inteiro
algébrico, gostaria de uma ajuda(esclarecimento a respeito do assunto).
Desde já agradeço a ajuda.


Douglas Oliveira de Lima.

-- 
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Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Esdras Muniz]

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))

Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)

L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
= (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.



Esse último termo é maior que 1.

Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:

> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
>> Oi, Douglas, tudo bem?
>>
>> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
>> provada sua desigualdade.
>>
>> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
>> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
>> também será (exercício: prove essa afirmação).
>>
>> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) /
>> (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>>
>> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>>
>> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
>> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>>
>> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
>> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
>> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>>
>> Abraços,
>> Salhab
>>
>> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
>> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>>
>>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>>
>>> Agradeço desde já.
>>>
>>>
>>
>


-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Luís]

Sauda,c~oes, oi Douglas, 
Vou dar uma dica: faça a_(n+1) = ? e a_1=……=a_n = ?? Dai use G  <= A ( no caso 
G  < A ) .
Abs, L. 

Date: Thu, 28 Jan 2016 16:15:11 -0200
Subject: RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
From: profdouglaso.del...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:









Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  
  

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[victorcarlos]

No livro do Yaglon de olimpíadas russas tem a solução. 
Abs
Carlos Victor

Enviado por Samsung Mobile

 Mensagem original De : Douglas Oliveira de 
Lima <profdouglaso.del...@gmail.com> Data:28/01/2016  00:34  
(GMT-03:00) Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] 
Ajuda numa desigualdade. 
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas
tipo
desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema
das apostas).
Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
Abraço
Douglas Oliveira

Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com
> escreveu:

> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>>
>> Agradeço desde já.
>>
>>
>

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Bruno Lira]

Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:




n n+1
( 1 + 1
)<  ( 1 +   1  
 )
(   n ) (
   n+1 )




basta provar que:




   (n)   (  n+1)
ln(  ( 1 + 1
)   )   <  ln( ( 1 +   1 )  )
   ( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .




De fato, temos que:




   (n)( n+1)
ln(  ( 1 + 1
)  )   –   ln(  ( 1 +   1   )   )=
   ( (  n )  )((  n + 1)   ) 





   (n)(n+1)
ln(  ( n
+ 1 )  )   –   ln( (
n +  2 
) )=
   ( (n)  
)( (  n + 1  )) 





   (   2n  )   

ln(  (   n
+ 1  )  .  n+1
) 
; Das
propriedades de logaritmo.
   ( (n (n+2))   n+2 ) 





Daí:




   ( n   ) 
ln(  (  n^2
+ 2n + 1  )  . 
n+1 )
 

   ( (n^2 + 2n   )n+2) 






Comon^2 + 2n < n^2 + 2n + 1en+1 < n + 2temos
que:





n
 

(  n^2 +
2n + 1 )  . 
n+1<1

(n^2 + 2n)   n+2
E da injetividade da função f temos:





   ( n   ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 )   <
ln(1)=0   ( (n^2 + 2n   )n+2)
Isto é:

   (n)(n+1)ln( ( 1 + 1 )  ) – ln( ( 1 + 1 ) 
 )<0   ( (  n )  )( ( n+1  )  )






Logo,





n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )(   n ) ( n+1 )   
   C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br

L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) 
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = 
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.


Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas 
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo 
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das 
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por 
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> 
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está 
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x). 
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será 
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 + 
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x, 
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) = 
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x 
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima 
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade 
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.







-- 
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará



  

RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:

> Primeiramente, tome a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo
>
> domínio é o conjuntos dos números reais maiores que ou
>
> igual a zero. Note que a função f é injetora. Portanto,
>
> para provarmos que:
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + * 1 * )
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> basta provar que:
>
>
>(n)   (  n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* ) ) < ln( ( 1 + *  1 *)  )
>
>( (   n ) )   ( ( n+1)  ) .
>
>
> De fato, temos que:
>
>
>(n)( n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 +*   1   *)   ) =
>
>( (  n )  )((  n + 1)   )
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( *n** + 1 *)  ) – ln( ( *n** + **2* ) ) =
>
>( (n) )( ( n + 1 ))
>
>
>(   2n  )
>
> ln( (*  n + 1  *) . *n+1* ) ; Das propriedades de logaritmo.
>
>( (n (n+2))   n+2 )
>
>
> Daí:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos que:
>
>
> n
>
> ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1*<1
>
> (n^2 + 2n)   n+2
>
>
> E da injetividade da função f temos:
>
>
>( n   )
>
> ln( ( *n^2 + 2**n** + 1 *) . *n+1* )   <ln(1)=0
>
>( (n^2 + 2n   )n+2)
>
>
> Isto é:
>
>
>(n)(n+1)
>
> ln( ( 1 + *1* )  ) – ln( ( 1 + *1 *)  )<0
>
>( (  n )  )( ( n+1  )  )
>
>
> Logo,
>
>
> n n+1
>
> ( 1 + *1* ) < ( 1 + *1 *)
>
> (   n ) ( n+1 )
>
>
> C.Q.D
>
> P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
> --
> From: esdrasmunizm...@gmail.com
> Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
> Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))
>
> Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
>
> L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1))
> = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.
>
>
>
> Esse último termo é maior que 1.
>
> Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
>
> Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução
> daquelas tipo
> desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado,
> tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o
> problema das apostas).
> Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor.
> Abraço
> Douglas Oliveira
>
> Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
> Oi, Douglas, tudo bem?
>
> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
> provada sua desigualdade.
>
> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
> também será (exercício: prove essa afirmação).
>
> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
> + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
>
> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
>
> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em
> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
>
> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 +
> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0
> para todo x (já que 1+1/x > 1).
>
> Abraços,
> Salhab
>
> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
> profdouglaso.del...@gmail.com>:
>
> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>
>
>
>
>
> --
> Esdras Muniz Mota
> Mestrando em Matemática
> Universidade Federal do Ceará
>
>
>

[obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Douglas Oliveira de Lima]

Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.

Agradeço desde já.

Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.

[Marcelo Salhab Brogliato]

Oi, Douglas, tudo bem?

Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
provada sua desigualdade.

Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 +
1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x)
também será (exercício: prove essa afirmação).

g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x)  = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1
+ 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)

Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.

Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x,
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.

Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x)
= (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para
todo x (já que 1+1/x > 1).

Abraços,
Salhab

2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima <
profdouglaso.del...@gmail.com>:

> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
>
> Agradeço desde já.
>
>

Re: [obm-l] ajuda(logaritmo)

[saulo nilson]

n<0 ,logo n<1\(2-a)

2015-11-10 13:09 GMT-02:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Seja n um número natural > 1 e seja a um número
> real positivo < 2. Se n = log(1/(2-a)) na base a. Podemos
> afirmar que n < 1/(2-a)?
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

[obm-l] ajuda(logaritmo)

[marcone augusto araújo borges]

Seja n um número natural > 1 e seja a um númeroreal positivo < 2. Se n = 
log(1/(2-a)) na base a. Podemosafirmar que n < 1/(2-a)? 
 
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda

[Gabriel Tostes]

Pra N tem raizes reais a^2 - 4a^2 + 24 < 0 a>2sqrt2
Podemos admitir a real, caso contrario, a equacao obviamente nao possui raízes 
reais.
Devemos provar que nao existe raiz de a menor que 2sqrt2
Se f(X)=x^3-6x-6
Como f(2sqrt2).f(-oo)>0 f(X) tem um numero par de raizes entre ]-oo,2sqrt2]
Ou seja, 0 ou 2 solucoes.
Agora, como 
f(2sqrt2)f(2.03sqrt2)<0 temos uma ou 3 solucoes nesse intervalo. Obviamente 
temos uma solucao visto que a soma das solucoes e igual a 0.
Chamando essa solucao de x3
X1+x2=-x3
X1.x2=6/x3
Entao para x1 e x2 nao serem reais temos que (x3)^2 -24/x3 < 0 => x3<24^(1/3) 
de fato, pois x3 esta entre 2Sqrt2 e 2.03sqrt2. Temos que x3 é a unica soluçao 
real da equacao e eh maior que 2sqrt2.




Sent from my iPad
> On Oct 14, 2015, at 07:57, marcone augusto araújo borges 
>  wrote:
> 
> Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação
> x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais.
> 
> -- 
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e 
> acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Ajuda

[saulo nilson]

so resolver a cubica para a e substituir na equação de 2o grau.

2015-10-14 7:57 GMT-03:00 marcone augusto araújo borges <
marconeborge...@hotmail.com>:

> Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equação
> x^2 + ax+ a^2 - 6 = 0 não tem raízes reais.
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda

[marcone augusto araújo borges]

Seja a um número real tal que a^3 = 6(a+1).Mostre que a equaçãox^2 + ax+ a^2 - 
6 = 0 não tem raízes reais.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda nisso, por favor - convergência de (f_n') para f'

[Amanda Merryl]

Oi amigos! Peço ajuda nisto aqui,  não estou conseguindo que propriedades ou 
teoremas aplicar. o

Seja (f_n) uma sequência  de funções de R em R, diferenciáveis até pelo menos a 
2a ordem, tal que (f_n') convirja para uma função contínua g. Suponhamos que 
haja reais a e u tais que, para todo n, tenhamos f_n''(a) = u e f_n''(a) != u 
para x != a. Suponhamos ainda que exista b tal que (f_n(b)) convirja. 

Mostre que (f_n) converge em R para uma diferenciável f tal que f'= g em R. 

Muito obrigada.

Amanda

Amanda
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.


=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Contagem, preciso de uma ajuda!!

[Douglas Oliveira de Lima]

Considere um quadriculado 10x10, no qual existem 100 pontos,  {(1,1),
(1,2),...,(10,10)}, é permitido fazer os seguintes movimentos sair do ponto
(x,y) para o ponto (x+1,n), onde n,x e y variam no conjunto
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, assim formando um caminho que não saia do
quadriculado. Um exemplo de um caminho seria {(1,6); (2,7); (3,4); (4,9);
(5,5); (6,8); (7,1);(8,2);(9,10); (10,3)}.
No exemplo citado percebemos que os valores de x são consecutivos e os
valores de y são sempre distintos. Agora considerando todos os caminhos
desse tipo do exemplo( com x começando em 1 e terminando em 10 e y não se
repetindo), quantos cumes surgirão?

OBS: Considera-se um cume quando um valor de y é maior do que os valores de
y vizinhos, no exemplo citado temos 4 cumes, a saber 674; 495; 581;
2103.

Agradeço a ajuda e desculpe qualquer erro, caso haja dúvida na pergunta eu
explico melhor.
Abraços.
Douglas OLiveira

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem, preciso de uma ajuda!!

[Ralph Teixeira]

Vou supor que cumes nao existem nos pontos (1,a) e (10,b). Se cumes nas
pontas forem validos, o raciocinio tem que mudar um pouquinho.

Entao a pergunta eh: quantos caminhos tem um cume no ponto (x,y)? Por
exemplo, quantos caminhos tem cume em (2,10)?

Ora, para um caminho ter cume em (2,10), basta escolher pontos (1,a) e
(3,b) onde a,b=9 (sao 9*8 opcoes) e quaisquer outros pontos (4,c),
(5,d),... dentre os 7 valores de y que sobram. Ou seja, sao 9*8*7!=9!
caminhos com este cume.

Analogamente, para ter cume em (2,9), temos 8*7 opcoes para os pontos (1,a)
e (3,b), e o resto faz-se como quiser: total = 8*7*7! opcoes.

Para ter cume em (2,8), sao 7*6*7! opcoes. Para ter cume em (2,7), sao
6*5*7! opcoes. E assim por diante.

Em suma, temos um total de (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em
(2,y) para algum y.

Repita esse argumento para cumes na forma (3,y), (4,y), etc. Dah um total
de 8*(9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em algum lugar Nao,
mentira, eu nao contei caminhos (porque varios deles aparecerao varias
vezes), mas eu contei sim cumes (porque quando um caminho aparece varias
vezes na minha contagem, ele aparece uma vez para cada cume)!

Entao essa eh a resposta que voce quer: (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*8!. Espero
nao ter errado bobagens.

Abraco, Ralph.

2015-05-06 11:36 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:

 Considere um quadriculado 10x10, no qual existem 100 pontos,  {(1,1),
 (1,2),...,(10,10)}, é permitido fazer os seguintes movimentos sair do ponto
 (x,y) para o ponto (x+1,n), onde n,x e y variam no conjunto
 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, assim formando um caminho que não saia do
 quadriculado. Um exemplo de um caminho seria {(1,6); (2,7); (3,4); (4,9);
 (5,5); (6,8); (7,1);(8,2);(9,10); (10,3)}.
 No exemplo citado percebemos que os valores de x são consecutivos e os
 valores de y são sempre distintos. Agora considerando todos os caminhos
 desse tipo do exemplo( com x começando em 1 e terminando em 10 e y não se
 repetindo), quantos cumes surgirão?

 OBS: Considera-se um cume quando um valor de y é maior do que os valores
 de y vizinhos, no exemplo citado temos 4 cumes, a saber 674; 495;
 581; 2103.

 Agradeço a ajuda e desculpe qualquer erro, caso haja dúvida na pergunta eu
 explico melhor.
 Abraços.
 Douglas OLiveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Re[2]: [obm-l] Contagem, preciso de uma ajuda!!

[Antonio Cl]

Tenéis una dirección de correo equivocada, me están llegando muchos mails de 
compañeros tuyos que no son para mi
--
Enviado desde móvil Android
miércoles, 06 mayo 2015, 06:21p. m. +02:00 de Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com:
Entendi perfeitamente,  valeu Ralph,  este problema original não é assim,  mas 
eu preferi reformula-lo e colocar no quadriculado,  agora ficou bom. E da para 
reduzir mais ainda pois o valor do somatório 9.8+8.7+7.6+...+2.1=2!C(10,3)
Em 06/05/2015 13:02, Ralph Teixeira  ralp...@gmail.com  escreveu:
Vou supor que cumes nao existem nos pontos (1,a) e (10,b). Se cumes nas 
pontas forem validos, o raciocinio tem que mudar um pouquinho.

Entao a pergunta eh: quantos caminhos tem um cume no ponto (x,y)? Por 
exemplo, quantos caminhos tem cume em (2,10)?

Ora, para um caminho ter cume em (2,10), basta escolher pontos (1,a) e (3,b) 
onde a,b=9 (sao 9*8 opcoes) e quaisquer outros pontos (4,c), (5,d),... 
dentre os 7 valores de y que sobram. Ou seja, sao 9*8*7!=9! caminhos com este 
cume.

Analogamente, para ter cume em (2,9), temos 8*7 opcoes para os pontos (1,a) e 
(3,b), e o resto faz-se como quiser: total = 8*7*7! opcoes.

Para ter cume em (2,8), sao 7*6*7! opcoes. Para ter cume em (2,7), sao 6*5*7! 
opcoes. E assim por diante.

Em suma, temos um total de (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em 
(2,y) para algum y.

Repita esse argumento para cumes na forma (3,y), (4,y), etc. Dah um total de 
8*(9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em algum lugar Nao, 
mentira, eu nao contei caminhos (porque varios deles aparecerao varias 
vezes), mas eu contei sim cumes (porque quando um caminho aparece varias 
vezes na minha contagem, ele aparece uma vez para cada cume)!

Entao essa eh a resposta que voce quer: (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*8!. Espero nao 
ter errado bobagens.

Abraco, Ralph.

2015-05-06 11:36 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima   
profdouglaso.del...@gmail.com  :
Considere um quadriculado 10x10, no qual existem 100 pontos,  {(1,1), 
(1,2),...,(10,10)}, é permitido fazer os seguintes movimentos sair do ponto 
(x,y) para o ponto (x+1,n), onde n,x e y variam no conjunto 
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, assim formando um caminho que não saia do 
quadriculado. Um exemplo de um caminho seria {(1,6); (2,7); (3,4); (4,9); 
(5,5); (6,8); (7,1);(8,2);(9,10); (10,3)}.
No exemplo citado percebemos que os valores de x são consecutivos e os 
valores de y são sempre distintos. Agora considerando todos os caminhos 
desse tipo do exemplo( com x começando em 1 e terminando em 10 e y não se 
repetindo), quantos cumes surgirão?

OBS: Considera-se um cume quando um valor de y é maior do que os valores de 
y vizinhos, no exemplo citado temos 4 cumes, a saber 674; 495; 581; 
2103.

Agradeço a ajuda e desculpe qualquer erro, caso haja dúvida na pergunta eu 
explico melhor.
Abraços.
Douglas OLiveira
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.

--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

Re: [obm-l] Contagem, preciso de uma ajuda!!

[Douglas Oliveira de Lima]

Entendi perfeitamente,  valeu Ralph,  este problema original não é assim,
mas eu preferi reformula-lo e colocar no quadriculado,  agora ficou bom. E
da para reduzir mais ainda pois o valor do somatório
9.8+8.7+7.6+...+2.1=2!C(10,3)
Em 06/05/2015 13:02, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:

 Vou supor que cumes nao existem nos pontos (1,a) e (10,b). Se cumes nas
 pontas forem validos, o raciocinio tem que mudar um pouquinho.

 Entao a pergunta eh: quantos caminhos tem um cume no ponto (x,y)? Por
 exemplo, quantos caminhos tem cume em (2,10)?

 Ora, para um caminho ter cume em (2,10), basta escolher pontos (1,a) e
 (3,b) onde a,b=9 (sao 9*8 opcoes) e quaisquer outros pontos (4,c),
 (5,d),... dentre os 7 valores de y que sobram. Ou seja, sao 9*8*7!=9!
 caminhos com este cume.

 Analogamente, para ter cume em (2,9), temos 8*7 opcoes para os pontos
 (1,a) e (3,b), e o resto faz-se como quiser: total = 8*7*7! opcoes.

 Para ter cume em (2,8), sao 7*6*7! opcoes. Para ter cume em (2,7), sao
 6*5*7! opcoes. E assim por diante.

 Em suma, temos um total de (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em
 (2,y) para algum y.

 Repita esse argumento para cumes na forma (3,y), (4,y), etc. Dah um total
 de 8*(9*8+8*7+7*6+...+2*1)*7! caminhos com cumes em algum lugar Nao,
 mentira, eu nao contei caminhos (porque varios deles aparecerao varias
 vezes), mas eu contei sim cumes (porque quando um caminho aparece varias
 vezes na minha contagem, ele aparece uma vez para cada cume)!

 Entao essa eh a resposta que voce quer: (9*8+8*7+7*6+...+2*1)*8!. Espero
 nao ter errado bobagens.

 Abraco, Ralph.

 2015-05-06 11:36 GMT-03:00 Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com:

 Considere um quadriculado 10x10, no qual existem 100 pontos,  {(1,1),
 (1,2),...,(10,10)}, é permitido fazer os seguintes movimentos sair do ponto
 (x,y) para o ponto (x+1,n), onde n,x e y variam no conjunto
 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, assim formando um caminho que não saia do
 quadriculado. Um exemplo de um caminho seria {(1,6); (2,7); (3,4); (4,9);
 (5,5); (6,8); (7,1);(8,2);(9,10); (10,3)}.
 No exemplo citado percebemos que os valores de x são consecutivos e os
 valores de y são sempre distintos. Agora considerando todos os caminhos
 desse tipo do exemplo( com x começando em 1 e terminando em 10 e y não se
 repetindo), quantos cumes surgirão?

 OBS: Considera-se um cume quando um valor de y é maior do que os valores
 de y vizinhos, no exemplo citado temos 4 cumes, a saber 674; 495;
 581; 2103.

 Agradeço a ajuda e desculpe qualquer erro, caso haja dúvida na pergunta
 eu explico melhor.
 Abraços.
 Douglas OLiveira

 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.



 --
 Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
 acredita-se estar livre de perigo.

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

[obm-l] Ajuda em álgebra linear

[Fabio Silva]

Suponha os vetores v1, v2, v3 e v4 L.I. formando uma base para o R4.
(1) Quantas retas ortogonais a uma reta que tenha direção de v1 existem?
A resposta seria 3 ou infinitos? v2, v3 e v4? As combinações lineares de 
vetores ortogonais também geram uma direção ortogonal?
(2) Quantos planos ortogonais a reta com direção v1 existem?
A resposta seria 3 ou infinitos? Os planos formados por (v2,v3); (v2,v4); 
(v3,v4). As combinações lineares desses planos também geram planos ortogonais?
(3) Quantos espaços (hiperplanos) ortogonais a reta com direção v1 existem?
A resposta seria 1? O espaço gerado por (v2,v3,v4). As combinações lineares 
ou múltiplos desse espaço geram o mesmo espaço.
Agora suponha r uma reta no R4 que não passe na origem e tenha direção v1.
(4) Quantas são as retas paralelas a r?
1. Somente a reta que passa pela origem e tem direção de v1? 
(5) Quantos são os planos paralelos a r?
A resposta seria 3 ou infinitos? Os planos formados por (v1,v2); (v1,v3); 
(v1,v4). As combinações lineares desses planos também geram planos paralelos?
(6) Quantos são os espaços paralelos a r?
A resposta seria 3 ou infinitos? O espaço gerado por (v1,v2,v3); (v1,v2,v4); 
(v1,v3,v4). As combinações lineares desses espaços geram espaços paralelos?


Obrigado
Fabio MS
-- 
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 acredita-se estar livre de perigo.