Re: [obm-l] Desigualdade
Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais.f(x)= x²-2xy-12x+6y²+2y+41 f(x)= x²-(2y+12)x+6y²+2y+41 Como o coeficiente do x² é 0, para y constante, o gráfico de f(x) é uma parábola com concavidade para cima. No ponto ondef'(x)=0: 2x-2y-12=0 x=y+6 Provar que nesse ponto f(x) é maior que 0 (y+6)²-2(y+6)(y+6)+6y²+2y+41=0 -y²-12y-36+6y²+2y+41=0 5y²-10y+5=0 y²-2y+1=0 (y-1)²=0 Qualquer que seja y, y-1 elevado ao quadrado é maior ou igual a 0. Qed André Scaranto Cardoso Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém dá uma mão nesse aqui?Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais.abraçobruno-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
RE: [obm-l] Desigualdade
x² - 2xy + 6y² - 12x + 2y + 41 = x² - x (2y + 12) + 6y² + 2y + 41 = P ( x) Determinante de P(x) = 0 = (4y² + 48y+ 144 - 24y² - 8y - 164 ) = -20y² + 40 y -20 = -20 ( y² -2y + 1) = -20 (y-1)² 0 Para todo x, Determinante 0 = P(x) é sempre positivo, para qualquer x,y reais ''-- Mensagem Original -- ''Date: Sun, 19 Dec 2004 12:42:01 -0200 ''From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] ''To: OBM [EMAIL PROTECTED] ''Subject: [obm-l] Desigualdade ''Reply-To: [EMAIL PROTECTED] '' '' ''Alguém dá uma mão nesse aqui? '' ''Mostre que x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 41 =0, quaisquer x, y reais. '' ''abraço ''bruno '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desigualdade ma = mg generalizada
Se voce nao usou nada que seja parecudo com as Desigualdades de Jensen, eu quero ver... Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram escritas? --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: - Oi a todos Um fato interessante nao muito divulgado eh que a desg. dasmedias aritmetica e geometrica pode ser generalizada para medias ponderadasquando os numeros e pesos sao positivos (ou, se preferirem, pode-se dizerque a desigualdade das m. aritmetica e geometrica eh um caso particular dasponderadas). Se x_1,...x_n e p_1,p_n sao positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) e g =(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)), entao a=g, havendoigualdade se, e somente se, x_1=.x_n. Eu comecei tentando fazeruma generalizacao baseada na desigualdade ma = mg. Se os p_i foremtodos inteiros, entao a e g sao as medias aritmetica e geometrica doconjunto obtido quando cada x_i eh tomado p_i vezes. Logo, neste caso valeque a=g com igualdade sse os x_i forem iguais. Se os p_i forem todosracionais, entao, considerando cada p_i como a relacao entre dois inteirospositivos, vemos facilmente que a e g igualam-se a medias aritmeticase geometricas ponderadas nas quais os pesos sao inteiros positivos,caindo-se portanto no caso anterior. Assim, tambem no casoracional vale a desigualdade procurada. Se os p_i foremreais positivos quaisquer, entao, para x_1, ...x_n fixos,as funcoes (p_1,p_n_ - a(p_1,...p_n) e (p_1,p_n_- g(p_1,...p_n) sao continuas no subespaco de R^n formado pelospontos com coordenadas positivas. Se os x_i nao forem todosidenticos, entao no subconjunto do R^n formado pelos pontos comcoordenadas racionais e positivas temos a(p_1,...p_n) g (p_1,p_n).Como este ultimo conjunto eh denso no primeiro, temosque a(p_1,...p_n) =g (p_1,p_n) em todo o R^n comcorrdenadas positivas. Isto prova a desigualdade mas nao prova que aigualdade ocorre sse x_1 =x_n. Por este caminho naoconsegui completar a prova. Consegui, entrtanto, uma prova completa, semsupor conhecida a desigualdade ma = mg, baseada nas propriedades dafuncao exponencial. Abracos Artur OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= ___ Yahoo! Mail - Agora com 250MB de espaço gratuito. Abra uma conta agora! http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] desigualdade ma = mg generalizada
--- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Se voce nao usou nada que seja parecudo com as Desigualdades de Jensen, eu quero ver... Alias, quantas demos desta desigualdade ja foram escritas? Desta desigualdade generalizada eu ainda nao tinha visto nenhuma prova, mas certamente existem varias. Pela desigualdade de Jensen deve dar para sair, mas eu dei uma outra demonstracao baseada nas propriedades da funcao exponencial, muito semelhante a uma que mostra que ma = mg. Sejam entao x_1,...x_n e p_1,p_n numeros positivos, a =(Soma(i=1,n)p_i*x_i)/(Soma(i=1,n)p_i) a media aritmetica ponderada dos x_i's com relacao aos p_i's e g = =(Produto(i=1,n)(x_i)^(p_i))^(1/(Soma(i=1,n)p_i)) a respectiva media geometrica ponderada. Temos entao que a e g sao positivos. Para cada i=1,...n, seja r_i o desvio relativo de x_i com relacao a a, ou seja, a = (x_i - a)/a = x_i/a -1. Verificamos entao facilmente que Soma(i=1,n) p_i*r_i = 0. Pelas propriedades da funcao exponencial, para cada r_i temos que e^(r_i) = 1+ r_i, havendo igualdade sse r_i = 0. Da definicao de r_i, segue-se que e^(r_i) = x_i/a, havendo igualdade sse x_i =a. Temos entao que e^(p_i*r_i) = (e^(r_i))^p_i = (x_i/a)^p_i, com igualdade sse x_i =a. Multiplicando-se membro a membro a n desigualdades obtidas variando-se i de 1 a n e observando que todos os numeros emvolvidos sao positivos, concluimos que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) = Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i). Em virtude do que vimos, hah igualdade sse x_1 =...x_n =a. Pelas propriedades da funcao exponencial, temos no 1o membro que Produto(i=1,n) e^(p_i*r_i) = e^(Somai=1,n)(p_i*r_i)) = e^0 = 1. No segundo membro, temos que Produto(i=1,n)((x_i/a)^p_i) = (Produto(i=1,n)((x_i^p_i))/(a^(Soma(i=1,n))p_i))) = (g^(Soma(i=1,n))p_i)))/a^(Soma(i=1,n))p_i))) = (g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)). Concluimos assim que 1 = g/a)^(Soma(i=1,n)p_i)), o que significa simplesmente que a = g. Conforme vimos, a igualdade ocorre sse x_1 = x_n. Abracos Artur __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail - now with 250MB free storage. Learn more. http://info.mail.yahoo.com/mail_250 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade envolvendo a seq. das medias aritmeticas
Oi pessoal. Eu estava resolvendo alguns exercicios emvolvendo a sequencia das medias aritmeticas de uma seq. de numeros reais. Consegui provar, sem maiores dificuldades, que se x_n - x entao s_n - x, sendo s_n a seq. das medias aritm. de x_n. Este resultado eh ate intuitivo, pois fazendo-se n crescer conseguimos uma infinidade de x_n's tao proximos de x quanto desejarmos, o que puxa a media para x. Mas eu nao tou conseguindo provar uma desigualdade que jah foi ateh comentada nesta lista, lim inf x_n = lim inf s_n = lim sup s_n = lim sup x_n. (Eh claro que a desig. do meio vale para qualquer seq. de numeros reais.) No livro em que vi este exercicio nao tinha nenhuma dica para provar isto. Tentei usar a definicao de lim sup s_n = Inf (n=1, oo) [Sup k=n, oo) x_n] mas nao deu certo. Para todo n, s_n = maximo (x_1,x_n), mas como os supremos na definicao de lim sup sao tomados para a frente, nao consegui concluir. Abracos Ana __ Do you Yahoo!? Check out the new Yahoo! Front Page. www.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade envolvendo a seq. das medias aritmeticas
Oi. Da forma como vc tentou, deve dar para sair sim. Mas me parece mais
simples irmos por um outro caminho, para o qual basta conhecermos as
proriedades dos limites superior e inferior de sequencias.
Vamos mostrar que lim inf x_n = lim inf s_n. A prova de que lim sup s_n
= lim sup x_n eh inteiramente analoga.
Se lim inf x_n = -oo (no sistema dos reais expandidos), entao temos
automaticamente que lim inf x_n = lim inf s_n. Suponhamos agora que lim inf
x_n seja um numero real. Para todo real p lim inf x_n, as propriedades do
limite inferior de sequencias implicam que exista um inteiro positivo k tal
que x_n p para todo nk. Sendo a = minimo {x_1,x_k}, para nk temos
entao que s_n = (x_1...+x_k + x_(k+1) ...+ x_n)/n (k*a + (n-k)*p)/n.
Mantendo-se k e p fixos e definindo-se y_n = (k*a + (n-k)*p)/n, temos que
y_n - p e que s_n y_n para nk Das propriedades do limite inferior,
segue-se entao que lim inf s_n = lim inf y_n = lim y_n = p. Disto
concluimos que inf s_n = p para todo p lim inf x_n. Para que isto seja
possivel, temos necessariamente que lim inf s_n = lim inf x_n.
Temos assim as desigualdades lim inf x_n = lim inf s_n = lim sup s_n =
lim sup x_n, das quais segue-se imediatamente que, se x_n convergir para
algum x do sistema dos reais expandidos, entao s_n tambem converge para x (a
reciproca nao eh verdadeira).
Se x_n for uma sequencia de numeros reais positivos e g_n for a seq. de suas
medias geometricas, entao valem desigualdades similares, bastando
substituir s_n por g_n. Alias, isto tambem vale para a sequencia das medias
harmonicas (supondo-se os x_n positivos). O caso da seq. das med.
geometricas nos permite, por exemplo, concluir de imediato que (n!)^(1/n) -
oo (hah uma outra prova baseada na formula de Stirling, que nao eh tao
imediata mas eh bem mais bonita)
Um outro exercicio interessante envolvendo limites superiores e inferiores
de sequencias eh mostrar que, se x_n eh uma seq. de vetores nao nulos de
R^m, entao lim inf |x_(n+1)|/|x_n| = lim inf |(x_n)|^(1/n) = lim sup
|(x_n)|^(1/n) = lim sup |x_(n+1)|/|x_n| .(Eh claro que basta provar para o
caso em que x_n eh uma seq. de numeros reais positivos). Isto nos mostra
que, se lim (|x_(n+1)|/|x_n|) existir no sistema dos reais expandidos, entao
lim (|(x_n)|^(1/n)) tambem existe e iguala-se ao primeiro (a reciproca nao
eh verdaeira).
Artur
meiro.- Mensagem Original
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] Desigualdade envolvendo a seq. das medias aritmeticas
Data: 13/11/04 14:05
Oi pessoal. Eu estava resolvendo alguns exercicios
emvolvendo a sequencia das medias aritmeticas de uma
seq. de numeros reais. Consegui provar, sem maiores
dificuldades, que se x_n - x entao s_n - x, sendo
s_n a seq. das medias aritm. de x_n. Este resultado eh
ate intuitivo, pois fazendo-se n crescer conseguimos
uma infinidade de x_n's tao proximos de x quanto
desejarmos, o que puxa a media para x. Mas eu nao
tou conseguindo provar uma desigualdade que jah foi
ateh comentada nesta lista, lim inf x_n = lim inf s_n
= lim sup s_n = lim sup x_n. (Eh claro que a desig.
do meio vale para qualquer seq. de numeros reais.) No
livro em que vi este exercicio nao tinha nenhuma dica
para provar isto. Tentei usar a definicao de lim sup
s_n = Inf (n=1, oo) [Sup k=n, oo) x_n] mas nao deu
certo. Para todo n, s_n = maximo (x_1,x_n), mas
como os supremos na definicao de lim sup sao tomados
para a frente, nao consegui concluir.
Abracos
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[obm-l] Re: [obm-l] desigualdade entre médias
Se x_1,x_n sao numeros positivos e se a,g e h sao as suas medias aritmetica, geometrica e harmonica, entao h=g=a, sendo que as igualdades ocorrem se, e somente se, x_1 = ...x_n. Isto eh uma consequencia da famosa desigualdade das medias aritmetica e geometrica, ou seja, a=g com igualdade sse x_1 = ...x_n. Hah diversas demonstracoes desta desigualdade, varias jah circularam na lista. As definicoes de a,g e h implicam que, se a', g' e h' sao as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos inversos dos x_i, entao h =1/a' e g =1/g' . Da desigualdade das medias arit. e geom., temos que a'=g', com igualdade sse os numeros forem todos iguais. Como todas as medias sao positivas, segue-se que h =g. Combinando-se todas as desigualdades, chegamos a h=g=a, com igualdade nos dosi casos sse x_1 =...x_n. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] desigualdade entre médias Data: 28/10/04 02:52 A média aritmética é = a média harmônica. Alguém pode provar?? Um abraço, Crom OPEN Internet e Informática @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] desigualdade entre médias
Leia: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/maxmin/mm04.htm []s, Rafael - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, October 28, 2004 12:35 AM Subject: [obm-l] desigualdade entre médias A média aritmética é = a média harmônica. Alguém pode provar?? Um abraço, Crom
[obm-l] desigualdade entre médias
A média aritmética é = a média harmônica. Alguém pode provar?? Um abraço, Crom
Re: [obm-l] Desigualdade das Médias
Bom, eu acho em particular que você nunca vai precisar demostrar a desigualdade das médias numa prova de olimpíada. Quanto ao caso de vestibulares, talvez seja bom você citar o teorema com algo do tipo Sabemos que MH = MG = MA. Elas são as médias Harmônica, Geométrica e Aritmética, respectivamente, definidas por MA(X_i) = (X_1 + X_2 + ... + X_n) / n MG(X_i) = (X_1 * X_2 * ... * X_n)^(1/n) MH(X_i) = 1 / MA(1/X_i) (inverso da média aritmética dos inversos) Eu gosto em particular da demonstração por convexidade da função exponencial (ou o análogo para função log, é idêntico). Ela prova o caso geral instantâneamente, mas pode ser muito força bruta. Em qualquer caso, os mais simples são até rápidos para provar, como os casos n=2, 3 ou 4, onde (por segurança) é melhor demonstrar apenas o caso particular. Abraços, Bernardo Costa On Sun, 3 Oct 2004 16:47:47 -0300, Bernardo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade das Médias
Em Olimpiadas isso e um fato conhecido. Ja em vestibulares, eu nao sei. Mas e bom, no caso, usar aquela indutiva, do artigo na Eureka! 5. --- Bernardo [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade das Médias
Olá, Gostaria de saber qual demonstração da desigualdade das médias é a mais cabível dentro de uma prova, seja de Olimpíada seja de vestibulares mais pesados como o IME ou o ITA. Obrigado Bernardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade de Médias
Eu sou fan de uma demonstracao naum muito difundida e que se baseia nas propriedades da funcao exponencial. Sejam x_1x_n numeros reais positivos e sejam A e G as suas respectivas medias aritmetica e geometrica. Para cada i=1n, seja r_i o desvio relativo de x_i com relacao a A, isto eh, r_i = (x_i - A)/A = x_i/A -1 (faz sentido, pois A0). Entao, Soma (i=1,n) r_i = 0 (1). Pelas propriedades da funcao exponencial, para todo real x temos e^x = 1+x, havendo igualdade sse x =0. Logo, para cada i=1...n temos e^r_i = 1+ r_i = e^r_i = x_i/A, com igualdade sse r_i= 0 = x_i = A. Multiplicando-se membro a membro as n desigualdades obtidas e observando (1), temos pelas propriedades da funcao exponencial que e^(Soma (i=1,n) r_i) = e^0 = 1 = Produto (i=1,n) (x_i/A) = (Produto (i=1,n) (x_i))/A^n) = (G^n)/(A^n) = (G/A)^n, ocorrendo igualdade sse x_1 =.x_n = A. Logo 1 = (G/A)^n, o que implica que A=G. Conforme vimos, hah igualdade sse os x_i forem todos iguais. A desigualdade envolvendo a media harmonica eh consequencia direta do que mostramos, conforme o Prof. Morgado já comentou na sua sua mensagem. Artur - Mensagem Original De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desigualdade de Médias Data: 03/09/04 00:02 Olá pessoal. Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.27/msg00188.html Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa generalização? Um abraço, Douglas OPEN Internet @ Primeiro provedor do DF com anti-vírus no servidor de e-mails @ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade de Médias
Olá pessoal. Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.27/msg00188.html Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa generalização? Um abraço, Douglas
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade de Médias
Tem uma demonstração legal usando gráfico eo fato de o centro de massa de um poligono convexo estar no seu interior(acho que na verdade isso também envolve funções convexas se vc quiser ser mais detalhista)... Faça o gráfico da função ln(x) pegue n pontossobre essegráfico (ln(a1), ln(a2) ln (an) ) Desenhe o poligono correspondente a esses n pontos... ele ficará "abaixo" da curva do ln.. seu centro de massa( de coordenada y = (ln(a1), ln(a2) ln(an))/n)) é um ponto dentro desse poligono... Agora pegue o ponto ln((a1+a2+a3+...an)/n)sobre o gráfico.. Esse ponto está acima do poligono(pois está na curva), logo, acima do seu centro de massa.. então... ln((a1+a2+a3+...an)/n) = (ln(a1), ln(a2) ln (an))/n) ln (a1+a2+...an)/n) = ln ((a1.a2.a3..an)^(1/n) e como ln é crescente... (a1+a2+...an)/n) = (a1.a2.a3..an)^(1/n) .:. Ma = Mg tem outras demonstrações também... acho que vc deve achar na internet(caso alguem não poste) []´s Igor - Original Message - From: Douglas Ribeiro Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, September 02, 2004 11:51 PM Subject: [obm-l] Desigualdade de Médias Olá pessoal. Ultimamente eu me deparei com uma questão de média aritmética x geométrica e fiquei curioso pra saber a generalização da desigualdade da mesma. Dei uma olhada no arquivo da lista e achei esse link onde o Morgado mostrou: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.27/msg00188.html Entendi o modo como foi feito para quantidade de números potencias de 2, mas não compreendi os passos utilizados na indução. Alguém poderia detalhar melhor os passos da demonstração e/ou mandar outras demonstrações dessa generalização? Um abraço, Douglas
[obm-l] Desigualdade
Um problema pro pessoal Prove que Integral(0 até 2pi) Sqrt(a^2*sin^2(t) + b^2*cos^2(t))dt = sqrt(4pi*(pi*a*b + (a-b)^2)) -- Niski - http://www.linux.ime.usp.br/~niski [upon losing the use of his right eye] Now I will have less distraction Leonhard Euler = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
Inicialmente, veja que a desigualdade das medias potenciais M(7)=M(5) implica (x^7 + y^7) = 2[(x^5 + y^5)/2]^(7/5), de modo que: (x^7+y^7)/(x^5+y^5) = [(x^5+y^5)/2]^(2/5) = [(x+y)/2]^2 (na ultima passagem usei M(5)=M(1)) Portanto, LE = [(a+b)/2]^2 + [(c+b)/2]^2 + [(a+c)/2]^2 Mas, por Cauchy, (u^2 + v^2 + w^2)*(1+1+1) = u+v+w, donde: LE = [(a+b)/2 + (c+b)/2 + (a+c)/2]/3 = 1/3 (apenas aqui usei a+b+c=1). Abracos, Marcio - Original Message - From: Maurizio [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, June 03, 2004 4:18 PM Subject: [obm-l] Desigualdade Alguém saberia resolver esta desigualdade: Se a+b+c=1, prove que: (a^7+b^7)/(a^5+b^5)+(b^7+c^7)/(b^5+c^5)+(c^7+a^7)/(c^5+a^5) = 1/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade
Alguém saberia resolver esta desigualdade: Se a+b+c=1, prove que: (a^7+b^7)/(a^5+b^5)+(b^7+c^7)/(b^5+c^5)+(c^7+a^7)/(c^5+a^5) = 1/3 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade complexa
Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho... Se a e b sao complexos tais que |a| 1 e |b| 1, e se c = conjugado de a, prove que: |a - b| |1 - cb| Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade complexa
Ao amigo Buchara aro a Escrevo abaixo uma possivel soluo para o problema proposto por voc. Compare com a sua soluo, corrijindo possiveis falhas que venham ocorrer. Antes de mais nada , convencionarei bar ( x ), como sendo o conjugado de x e usarei durante a demonstrao a propriedade: |x|^2 = x. bar(x) Vamos ento a demonstrao: Considere as seguintes proposies: S1: |a| 1 e |b| 1 S2: a.bar(a) 1 e b . bar(b) 1 S3: (a.bar(a) -1) .(1 - b.bar(b) ) 0 S4: abar(a) - a.b.bar(a).bar(b) - 1 + b.bar(b) 0 S5: ( abar(a) - b.bar(a) - a bar(b) + b bar(b) ) + ( b.bar(a) - a.b.bar(a).bar(b) + a bar(b) - 1 ) 0 S6: ( a - b) .bar(a) -( a - b) .bar(b)+( 1 - a.bar(b) ). b.bar(a) - ( 1 - a.bar ( b ) ) 0 S7: ( a - b) . ( bar (a) - bar (b) ) - ( 1 - a.bar(b) ) .( 1 - b.bar(a) ) 0 S8: ( a - b). bar( ( a - b) ) ( 1 - b.bar(a) ). bar (1 - b.bar(a) ) S9: |a-b| ^ 2|1 - b bar(a)| ^ 2 S10: | a - b| |1-c.b| ( c = bar (a ) ) Por outro lado, S( i ) -- S ( i + 1 ) , para todo i natural tal que 0 i 10, Portanto, sendo a e b complexos, tais que |a| 1 e |b| 1,, (com c = conjugado de a), conclui-se que |a - b| |1 - cb|, o que finaliza a demonstrao. Um abrao Do amigo PONCE Claudio Buffara escreveu: Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho... Se a e b sao complexos tais que |a| 1 e |b| 1, e se c = conjugado de a, prove que: |a - b| |1 - cb| Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Claudio Buffara escreveu: Essa aqui parecia simples mas deu um certo trabalho... Se a e b sao complexos tais que |a| 1 e |b| 1, e se c = conjugado de a, prove que: |a - b| |1 - cb| Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Isto segue diretamente da desigualdade das medias.Basta substituir cada termo pelo seu inverso, e simplificarArtur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aamedia geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, osnumeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao haviame dado conta disto.Abracos.Artur =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Desafio AntiZona: participe do jogo de perguntas e respostas que vai dar 1 Renault Clio, computadores, câmeras digitais, videogames e muito mais!
Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os numeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia me dado conta disto. Abracos. Artur Isso eh consequencia de MG = MA. Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == (a1*a2*...*an)^(1/n) = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) == MG = MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica
Exatamente! Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm- [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Claudio Buffara Sent: Thursday, September 18, 2003 12:02 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Desigualdade das medias geometrica e harmonica on 17.09.03 23:05, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Mostre que a media harmonica de n numeros positivos e menor ou igual aa media geometrica dos mesmos, havendo igualdadade se, eh somente se, os numeros forem todos iguais. Esta desigualdade quase nao eh comentada. Eu ateh pouco tempo nao havia me dado conta disto. Abracos. Artur Isso eh consequencia de MG = MA. Considere os numeros positivos a1, a2, ..., an. A sua media harmonica eh igual a n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) Entao: ((1/a1)*(1/a2)*...*(1/an))^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == 1/(a1*a2*...*an)^(1/n) = (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n == (a1*a2*...*an)^(1/n) = n/(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an) == MG = MH e igualdade sss 1/a1 = 1/a2 = ... = 1/an sss a1 = a2 = ... = an. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Desigualdade com Binom(2n,n)
on 06.09.03 19:46, Henrique Patrício Sant'Anna Branco at [EMAIL PROTECTED] wrote: Pessoal, Esse eu preciso mesmo resolvido por indução, mas não consigo ver uma saída de forma alguma. Se alguém puder ajudar... Prove que 4^n/(n+1) (2*n)!/n!^2 para todo n = 2. Grato, Henrique. Oi, Henrique (e demais colegas): Eu acho que consegui estreitar esta desigualdade: Para n = 2, vale o seguinte: 4^n/(2*raiz(n)) Binom(2n,n) 4^n/raiz(2n+1) Dica: Estabeleca a relacao algebrica entre Binom(2n,n) e Binom(2n-2,n-1) e proceda telescopicamente. * Tambem eh verdade que, se 0 b 4, entao existe uma constante a (que depende soh de b) tal que Binom(2n,n) a*b^n, para todo n = 1. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade
Este e muito legal!Se eu nao me engano esta no Mathematical Gems do
Honsberger.Deve ser algo como desigualdade da abertura.Depois eu paro pra
escrever.
quer saber???vamo pra lutaSeja s(r)=(x1-y1)+...+(xr-yr)
p(k+1)=0 e p(r)=(x(r)*y(r))^(-1).
Tente ver agora como isto fica...
-- Mensagem original --
Oi, Pessoal:
Sejam {x(1), x(2), ..., x(n)} e {y(1), y(2), ..., y(n)} conjuntos de numeros
reais positivos tais que:
0 x(1)*y(1) x(2)*y(2) ... x(n)*y(n);
e
x(1) + ... + x(k) = y(1) + ... + y(k). para k = 1, 2, ..., n.
Prove que:
1/x(1) + 1/x(2) + ... + 1/x(n) = 1/y(1) + 1/y(2) + ... + 1/y(n),
com igualdade se e somente se x(k) = y(k) para k = 1, 2, ..., n.
Um abraco,
Claudio.
=
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=
--
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=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Desigualdade
Oi, Pessoal:
Sejam {x(1), x(2), ..., x(n)} e {y(1), y(2), ..., y(n)} conjuntos de numeros
reais positivos tais que:
0 x(1)*y(1) x(2)*y(2) ... x(n)*y(n);
e
x(1) + ... + x(k) = y(1) + ... + y(k). para k = 1, 2, ..., n.
Prove que:
1/x(1) + 1/x(2) + ... + 1/x(n) = 1/y(1) + 1/y(2) + ... + 1/y(n),
com igualdade se e somente se x(k) = y(k) para k = 1, 2, ..., n.
Um abraco,
Claudio.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Desigualdade triangular
Se a, b e c são medidas dos lados de um triângulo, então existem x, y e z tais que a=y + z, b=x + z e c=x + y ( basta examinar os segmentos determinados sobre os lados pela circunferência inscrita). A parte 2 sai fácil! Piola. - Original Message - From: Raul To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, May 24, 2003 12:35 PM Subject: [obm-l] Desigualdade triangular Esta estava na Olimpíada da Unicamp: "Seja a, b e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove que: 3/2 ou= (a/(b+c)) + (b/(a+c)) + (c/(a+b)) ou= 2." Aguardo boas soluções. Obrigado. Raul
Re: [obm-l] desigualdade
Title: Message Oi, Artur: n = 0: 0! = 1 = (1 + 0/2)^(0-1) n = 1: 1! = 1 = (1 + 1/2)^(1-1) Para n = 2, usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos "n-1" números positivos: 2, 3, ..., n-1, n, teremos: [ 2 * 3 * ... * (n-1) * n ]^(1/(n-1)) = [ 2 + 3 + ...+ (n-1) + n ]/(n-1) == [n!]^(1/(n-1)) = [(n-1)*(n+2)/2]/(n-1) = (n + 2)/2 = (1 + n/2) == n! = (1 + n/2)^(n-1) Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: OBM Sent: Monday, June 02, 2003 4:38 PM Subject: [obm-l] desigualdade Mostre que n! = (n/2+1)^(n-1), ocorrendo desigualdade estrita para n=3. Eh interessante Um abraco Artur
Re: [Re: [obm-l] desigualdade]
Exatamente. Esta foi tambem a solucao a que cheguei. Eu comecei tentando por inducao mas complicou. Aih percebi a questao das medias. Um abraco Artur Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED] wrote: - Attachment: MIME Type: multipart/alternative - MessageOi, Artur: n = 0: 0! = 1 = (1 + 0/2)^(0-1) n = 1: 1! = 1 = (1 + 1/2)^(1-1) Para n = 2, usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos n-1 números positivos: 2, 3, ..., n-1, n, teremos: [ 2 * 3 * ... * (n-1) * n ]^(1/(n-1)) = [ 2 + 3 + ...+ (n-1) + n ]/(n-1) == [n!]^(1/(n-1)) = [(n-1)*(n+2)/2]/(n-1) = (n + 2)/2 = (1 + n/2) == n! = (1 + n/2)^(n-1) Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Artur Costa Steiner To: OBM Sent: Monday, June 02, 2003 4:38 PM Subject: [obm-l] desigualdade Mostre que n! = (n/2+1)^(n-1), ocorrendo desigualdade estrita para n=3. Eh interessante Um abraco Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] desigualdade
Title: Message Mostre que n! = (n/2+1)^(n-1), ocorrendo desigualdade estrita para n=3. Eh interessante Um abraco Artur
RE: [obm-l] Desigualdade triangular
Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando!Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma outra forma de analisarmos a desigualdade do lado esquerdo, tomando porbase a mesma ideia apresentada pelo Marcio, eh considerarmos o problema deProgramacao LinearMinimizar F(a,b,c)= a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c), sujeito a a+b+c=p e a,b,c0.Conforme o Marcio mostrou, f(x) = x(p-x) tem segunda derivada(em x)positiva, sendo assim convexa. Isto acarreta que F seja convexa na regiaopositiva de R^3 {(a,b,c) em R^3 | a,b,c0} (isto porque o Hessiano - matrizdas segundas derivadas parciais - de funcoes separaveis como F eh uma matrizdiagonal na qual os termos da diagonal principal sao as derivadas segundasdas funcoes de uma variavel que compoem F. Como tais derivadas saopositivas, os autovalores do Hessiano sao positivos e a matriz eh postivadefinida.) Utilizando os multiplicadores de Lagrange, temos pela simetria deF que se a=b=c entao as condicoes de otimalidade de primeira ordem saosatisfeitas. E como a funcao eh convexa, as condicoes de segunda ordem -Hessiano positivo definido - nos mostram que em tais pontos ocorre um minimorelativo que, no caso, eh global. E como p eh arbitrario, concluimos que aexpressao dada eh sempre maior que 3/2 (valor obtido fazendo-se a=b =c) paraa,b,c0. Observemos que nesta analise nao consideramos as desigualdades triangulares.Mas, ao inclui-las, nada muda, pois as mesmas sao automaticamente atendidasquando a=b=c (pois existem triangulos equilateros!). Na linguagem daProgramacao Matematica, tais restricoes sao ditas redundantes, isto eh, ainclusao das mesmas nao "corta fora" a solucao otima. Uma observacao interessante eh que 2 eh de fato o supremo da expressaoapresentada quando consideramos as desigualdades triangulares. Para vermosisto, fixemos a e b em , digamos, 1. Fazendo-se c tender a zero peladireita, as duas primeiras parcelas da expressao tornam-se arbitrariamenteproximas de 1, ao passo que a ultima tende para zero. Logo, podemos tornar aexpressao tao proxima de 2 quanto desejarmos. O supremo 2, entretanto,jamais e igualado. Mo membro da direita, a desigualdade eh, na realidade,estrita (a menos que se considerem triangulos degenerados em segmentos dereta, o que equivale a desigualdades triangulares do tipo a= b+c). Um abraco a todosArtur Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho inclusive que fui eu quemcolocou a duvida na epoca..Para o lado direito: Pela desigualdade triangular, a (b+c). Isso apenas nao basta, mas sevc somar b+c, a+b+c 2(b+c), donde b+c p (semiperimetro).Logo, a/(b+c) a/p, e somando as desigualdades correspondentes aos outrostermos, vc ve que da a/p+b/p+c/p = 2. Uma solucao alternativa é você multiplicar todo mundo pelo denominadorcomum e passar para o mesmo lado.. desenvolvendo, vc logo conclui adesigualdade (usando que a-b-c 0, ou mais precisamente, que a^2 (a-b-c) 0).Para o lado esquerdo: Esse lado valemesmo supondo apenas qa,b,c sejam positivos:Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu nao fiz, mas acreditoque tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao f(x) = x/(p-x) =p/(p-x) - 1. f''(x) 0, logo ela tem concavidade paracima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p tem-se:[f(a)+f(b)+f(c)]/3 = f [ (a+b+c)/3 ]Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) = 3 * [ (1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] =3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja, a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) =3/2 Isso pode soar pouco natural a principio, mas eh apenas uma aplicacao deuma conhecida desigualdade para fcs convexas (Jensen), que eh inclusivebastante intuitiva. A idéia de fazer a+b+c = p tmb ajuda em diversosproblemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e, multiplicar todas asvariaveis por um real r 0 nao muda a cara do problema). ATTACHMENT part 2 application/ms-tnef name=winmail.dat Yahoo! Mail
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RE: [obm-l] Desigualdade triangular
Qual seria entao outra
alternativa caro Dirichlet ?
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
Sent: Tuesday, May 27, 2003 8:47
AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: RE: [obm-l] Desigualdade
triangular
Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar
faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando!
Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Uma outra forma de analisarmos a desigualdade do lado esquerdo, tomando
por
base a mesma ideia apresentada pelo Marcio, eh considerarmos o problema de
Programacao Linear
Minimizar F(a,b,c)= a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c), sujeito a
a+b+c=p e a,b,c0.
Conforme o Marcio mostrou, f(x) = x(p-x) tem segunda derivada(em x)
positiva, sendo assim convexa. Isto acarreta que F seja convexa na regiao
positiva de R^3 {(a,b,c) em R^3 | a,b,c0} (isto porque o Hessiano - matriz
das segundas derivadas parciais - de funcoes separaveis como F eh uma matriz
diagonal na qual os termos da diagonal principal sao as derivadas segundas
das funcoes de uma variavel que compoem F. Como tais derivadas sao
positivas, os autovalores do Hessiano sao positivos e a matriz eh postiva
definida.) Utilizando os multiplicadores de Lagrange, temos pela simetria de
F que se a=b=c entao ! as condicoes de otimalidade de primeira ordem sao
satisfeitas. E como a funcao eh convexa, as condicoes de segunda ordem -
Hessiano positivo definido - nos mostram que em tais pontos ocorre um minimo
relativo que, no caso, eh global. E como p eh arbitrario, concluimos que a
expressao dada eh sempre maior que 3/2 (valor obtido fazendo-se a=b =c) para
a,b,c0.
Observemos que nesta analise nao consideramos as desigualdades triangulares.
Mas, ao inclui-las, nada muda, pois as mesmas sao automaticamente atendidas
quando a=b=c (pois existem triangulos equilateros!). Na linguagem da
Programacao Matematica, tais restricoes sao ditas redundantes, isto eh, a
inclusao das mesmas nao corta fora a solucao otima.
Uma observacao interessante eh que 2 eh de fato o supremo da expressao
apresentada quando consideramos as desigualdades triangulares. Para vermos
isto, fixemos a e b em , digamos, 1. Fazendo-se c tender a zero pela
direita, as du! as primeiras parcelas da expressao tornam-se arbitrariamente
proximas de 1, ao passo que a ultima tende para zero. Logo, podemos tornar a
expressao tao proxima de 2 quanto desejarmos. O supremo 2, entretanto,
jamais e igualado. Mo membro da direita, a desigualdade eh, na realidade,
estrita (a menos que se considerem triangulos degenerados em segmentos de
reta, o que equivale a desigualdades triangulares do tipo a= b+c).
Um abraco a todos
Artur
Essa questao ja foi discutida na lista antes. Acho inclusive que fui eu quem
colocou a duvida na epoca..
Para o lado direito:
Pela desigualdade triangular, a (b+c). Isso apenas nao
basta, mas se
vc somar b+c, a+b+c 2(b+c), donde b+c p (semiperimetro).
Logo, a/(b+c) a/p, e somando as desigualdades correspondentes aos
outros
termos, vc ve que da a/p+b/p+c/p = 2.
Uma solucao alternativa é você multiplicar todo mundo pe! lo
denominador
comum e passar para o mesmo lado.. desenvolvendo, vc logo conclui a
desigualdade (usando que a-b-c 0, ou mais precisamente, que a^2 (a-b-c)
0).
Para o lado esquerdo:
Esse lado valemesmo supondo apenas qa,b,c sejam
positivos:
Se vc nao quer multiplicar tudo e analisar (esse eu nao fiz, mas acredito
que tmb saia, assim como o outro lado), considere a funcao
f(x) = x/(p-x) =p/(p-x) - 1. f''(x) 0, logo ela tem concavidade para
cima. Portanto, dados 3 pontos a,b,c com a+b+c=p tem-se:
[f(a)+f(b)+f(c)]/3 = f [ (a+b+c)/3 ]
Logo, a/(p-a) + b/(p-b) + c/(p-c) = 3 * [ (1/3)(a+b+c) / (p - (a+b+c)/3)] =
3* [ (p/3) / (p-p/3) ], ou seja,
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) =3/2
Isso pode soar pouco natural a principio, mas eh apenas uma
aplicacao de
uma conhecida desigualdade para fcs convexas (Jensen), que eh inclusive
bastante i! ntuitiva. A idéia de fazer a+b+c = p tmb ajuda em diversos
problemas no qual a desigualdade eh homogenea (i.e, multiplicar todas as
variaveis por um real r 0 nao muda a cara do problema).
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Re: [RE: [obm-l] Desigualdade triangular]
Leandro Lacorte Recôva [EMAIL PROTECTED] wrote: - Attachment: MIME Type: multipart/alternative - Qual seria entao outra alternativa caro Dirichlet ? -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Sent: Tuesday, May 27, 2003 8:47 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: RE: [obm-l] Desigualdade triangular Mas tu nao larga Lagrange heinTudo bem mas as vezes uma elementar faz bem...Sem querer ser chato ou ironico,to avisando! Tudo bem...hehehe! Ma usar Lagrange naum eh complicar, eh apenas um outro processo. Eu tenho a tendencia de ver as coisas um pouco por este prisma, porque trabalho com modelos de otimizacao. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
Title: Help para k = 4 temos: (a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2 = 4(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) = 4P P = (a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+...+a_k*a_1) = 1/4(a_1+a_2+a_3+...+a_k)^2 mas, a_1+a_2+a_3+...+a_k = 1, logo P = 1/4 como tomando a1 = a2 = 1/2, a3 = a4 = ... = aktemos P = 1/4, para n = 4 o valor mximo 1/4. a demonstrao da desigualdade eu provei por induo numa outra mensagem pra lista. - Original Message - From: Cludio (Prtica) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 24, 2003 2:43 PM Subject: [obm-l] Desigualdade Caros JP, Domingos Jr. e Artur: S pra relembrar. O problema original : Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1) Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1 e os A(i)'s reais no negativos. Aps alguma discusso, chegamos concluso de que se os A(i)'s fossem reais quaisquer, ento P seria ilimitado e tambm conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas no chegamos a nenhuma concluso sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante. Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n: n = 2: Maximizar P = x*y Sujeito a: x + y = 1 (x,y = 0) Esse caso fcil: Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG = MA). -- n = 3: Maximizar: P = x*y + y*z + z*x Sujeito a: x + y + z = 1 (x,y,z = 0) P linear em cada uma das variveis (dP/dx no depende de x, dP/dy no depende de y, etc.) Alm disso, dP/dx = y + z = 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz). Assim, acho que d pra concluir que o valor mximo de P ocorre na fronteira do seu domnio (isso vale para qualquer n). Fazendo z = 1 - x - y, teremos: P = x*y + x + y - (x + y)^2 == dP/dx = 1 - 2x - y = 0 == 2x + y = 1 dP/dy = 1 - x - 2y = 0 == x + 2y = 1 == x = y = 1/3 == z = 1/3 == P = 1/3. d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 0 e d^2P/(dxdy) = 0 == mximo == Pmax = 1/3 para x = y = z = 1/3. -- n = 4: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x S.a: x + y + z +u = 1 (x,y,z,u = 0) P = (x + z)*(y + u) u = 1 - x - y - z == P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 == dP/dx = 1 - 2x - 2z dP/dy = 0 dP/dz = 1 - 2x - 2z == x + z = 1/2 == y +u = 1/2 Pmax = 1/4 para quaisquer x, y, z,u tais que: x + z = 1/2 e y +u = 1/2. --- n = 5: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x s.a.: x + y + z +u +v = 1 (x,y,z,u,v = 0) v = 1 - x - y - z - u == P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z == dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0 dP/dy = -u + z = 0 dP/dz = -x + y = 0 dP/du = 1 - 2u - x - y = 0 == 1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x == x + u = 1/2; z + y = 1/2 == v = 0 == P = x^2 + x*u + u^2 Agora, o problema se reduz a: Max: P = x^2 + x*u + u^2 S.a: x + u = 1/2 (x,u = 0) Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u = 1/4, pois x e u so = 0. Igualdade == x = 0 ou u = 0 == Pmax = 1/4. -- Para n = 5, o meu chute que Pmax = 1/4, mas no tive saco de generalizar a demonstrao do caso n = 5. O que vocs acham? Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] Desigualdade
Eu nao acredito!!!A resposta parece ser 1/4 e tenho razoes e proporçoes fortissimas para acreditar em tal.O caso n=4 sai com uma fatoraçao esperta e MA=MG. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros JP, Domingos Jr. e Artur: Só pra relembrar. O problema original é: Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1) Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1 e os A(i)'s reais não negativos. Após alguma discussão, chegamos à conclusão de que se os A(i)'s fossem reais quaisquer, então P seria ilimitado e também conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas não chegamos a nenhuma conclusão sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante. Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n: n = 2: Maximizar P = x*y Sujeito a: x + y = 1 (x,y = 0) Esse caso é fácil: Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG = MA). -- n = 3: Maximizar: P = x*y + y*z + z*x Sujeito a: x + y + z = 1 (x,y,z = 0) P é linear em cada uma das variáveis (dP/dx não depende de x, dP/dy não depende de y, etc.) Além disso, dP/dx = y + z = 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz). Assim, acho que dá pra concluir que o valor máximo de P ocorre na fronteira do seu domínio (isso vale para qualquer n). Fazendo z = 1 - x - y, teremos: P = x*y + x + y - (x + y)^2 == dP/dx = 1 - 2x - y = 0 == 2x + y = 1 dP/dy = 1 - x - 2y = 0 == x + 2y = 1 == x = y = 1/3 == z = 1/3 == P = 1/3. d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 0 e d^2P/(dxdy) = 0 == máximo == Pmax = 1/3 para x = y = z = 1/3. -- n = 4: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x S.a: x + y + z +u = 1 (x,y,z,u = 0) P = (x + z)*(y + u) u = 1 - x - y - z == P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 == dP/dx = 1 - 2x - 2z dP/dy = 0 dP/dz = 1 - 2x - 2z == x + z = 1/2 == y +u = 1/2 Pmax = 1/4 para quaisquer x, y, z,u tais que: x + z = 1/2 e y +u = 1/2. --- n = 5: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x s.a.: x + y + z +u +v = 1 (x,y,z,u,v = 0) v = 1 - x - y - z - u == P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z == dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0 dP/dy = -u + z = 0 dP/dz = -x + y = 0 dP/du = 1 - 2u - x - y = 0 == 1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x == x + u = 1/2; z + y = 1/2 == v = 0 == P = x^2 + x*u + u^2 Agora, o problema se reduz a: Max: P = x^2 + x*u + u^2 S.a: x + u = 1/2 (x,u = 0) Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u = 1/4, pois x e u são = 0. Igualdade == x = 0 ou u = 0 == Pmax = 1/4. -- Para n = 5, o meu chute é que Pmax = 1/4, mas não tive saco de generalizar a demonstração do caso n = 5. O que vocês acham? Um abraço, Claudio. -THE WOOD IS EATING -NO PROBLEM,TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Desigualdade
Title: Help Caros JP, Domingos Jr. e Artur: S pra relembrar. O problema original : Maximizar: P = A(1)*A(2) + A(2)*A(3) + ... + A(n)*A(1) Sujeito a: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 1 e os A(i)'s reais no negativos. Aps alguma discusso, chegamos concluso de que se os A(i)'s fossem reais quaisquer, ento P seria ilimitado e tambm conseguimos maximizar e minimizar a soma dos quadrados dos A(i)'s mas no chegamos a nenhuma concluso sobre o problema acima, que me parece bem mais interessante. Eu fiz alguma coisa para valores pequenos de n: n = 2: Maximizar P = x*y Sujeito a: x + y = 1 (x,y = 0) Esse caso fcil: Pmax = 1/4 para x = y = 1/2 (pode-se usar MG = MA). -- n = 3: Maximizar: P = x*y + y*z + z*x Sujeito a: x + y + z = 1 (x,y,z = 0) P linear em cada uma das variveis (dP/dx no depende de x, dP/dy no depende de y, etc.) Alm disso, dP/dx = y + z = 0 (analogamanete para dP/dy e dP/dz). Assim, acho que d pra concluir que o valor mximo de P ocorre na fronteira do seu domnio (isso vale para qualquer n). Fazendo z = 1 - x - y, teremos: P = x*y + x + y - (x + y)^2 == dP/dx = 1 - 2x - y = 0 == 2x + y = 1 dP/dy = 1 - x - 2y = 0 == x + 2y = 1 == x = y = 1/3 == z = 1/3 == P = 1/3. d^2P/dx^2 = d^2P/dy^2 = -2 0 e d^2P/(dxdy) = 0 == mximo == Pmax = 1/3 para x = y = z = 1/3. -- n = 4: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*x S.a: x + y + z +u = 1 (x,y,z,u = 0) P = (x + z)*(y + u) u = 1 - x - y - z == P = x + z - 2*x*z - x^2 - z^2 == dP/dx = 1 - 2x - 2z dP/dy = 0 dP/dz = 1 - 2x - 2z == x + z = 1/2 == y +u = 1/2 Pmax = 1/4 para quaisquer x, y, z,u tais que: x + z = 1/2 e y +u = 1/2. --- n = 5: Max: P = x*y + y*z + z*u + u*v + v*x s.a.: x + y + z +u +v = 1 (x,y,z,u,v = 0) v = 1 - x - y - z - u == P = x + u - x^2 - u^2 - u*x - y*u - z*x + y*z == dP/dx = 1 - 2x - z - u = 0 dP/dy = -u + z = 0 dP/dz = -x + y = 0 dP/du = 1 - 2u - x - y = 0 == 1 - 2x - 2u = 0; z = u; y = x == x + u = 1/2; z + y = 1/2 == v = 0 == P = x^2 + x*u + u^2 Agora, o problema se reduz a: Max: P = x^2 + x*u + u^2 S.a: x + u = 1/2 (x,u = 0) Mas: P = (x + u)^2 - x*u = 1/4 - x*u = 1/4, pois x e u so = 0. Igualdade == x = 0 ou u = 0 == Pmax = 1/4. -- Para n = 5, o meu chute que Pmax = 1/4, mas no tive saco de generalizar a demonstrao do caso n = 5. O que vocs acham? Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Caro JP e demais colegas: Falei besteira. A expressão continua ilimitada. Defina os A(i)'s como se segue (supondo n = 8): A(1) = -A (A = no. real qualquer) A(2) = -A A(3) = 0 A(4) = A A(5) = A A(6) = 0 A(7) = 1 A(k) = 0 para 8 =k = n De forma que: A(1) + ... + A(n) = 1 e A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = 2*A^2 == ilimitada superiormente Por favor, desconsidere o escrito abaixo. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, February 19, 2003 4:30 PM Subject: Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) = A(2) = ... = A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n == o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Valeu cara,me matei em algo tao inutil.Mas nao da pra cantar vitoria afinal temos que maximizar a somatoria dos quadrados quando so sabemos da soma das primeiras potencias.E isso e dificil Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) = A(2) = ... = A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n == o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço, Claudio. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
A minha burrice ja atingiu niveis alarmantes!A soma e um,e nao zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro JP: Olhe só isso: Suponhamos que n = 6. Seja A um número real qualquer: Sejam: A(1) = -A A(2) = -A A(3) = 0 A(4) = A A(5) = A A(6) = 0 A(k) = 0 para 6 k = n. Então: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 0. A(1)*A(2) = A^2 A(2)*A(3) = 0 A(3)*A(4) = 0 A(4)*A(5) = A^2 A(5)*A(6) = 0 A(k)*A(k+1) = 0, para 6 = k = n-1 A(n)*A(1) = 0 Logo, o valor a ser maximizado é igual a 2*A^2. Como A pode ser qualquer número real, temos que a expressão é ilimitada. O que você acha? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Nossa,apareceu em brancoA desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Caro JP: Então, o problema é: Maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e 1. Nesse caso, acho que cabe a desigualdade do rearranjo: Suponhamos s.p.d.g. que A(1) = A(2) = ... = A(n). Pela desig. do rearranjo, vale: A(1)*A(2) + ... + A(n-1)*A(n) + A(n)*A(1) = A(1)^2 + ... + A(n)^2, com igualdade se e somente se os A(i)'s são todos iguais. Como a soma deles é 1, eles serão todos iguais a 1/n == o valor máximo procurado é igual a n * (1/n)^2 = 1/n. Repare que não foi necessário supor que os A(i)'s são positivos, pois a desig. do rearranjo não necessita dessa hipótese. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Desigualdade estranhinha
Nossa,apareceu em brancoA desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Caro JP: Olhe só isso: Suponhamos que n = 6. Seja A um número real qualquer: Sejam: A(1) = -A A(2) = -A A(3) = 0 A(4) = A A(5) = A A(6) = 0 A(k) = 0 para 6 k = n. Então: A(1) + A(2) + ... + A(n) = 0. A(1)*A(2) = A^2 A(2)*A(3) = 0 A(3)*A(4) = 0 A(4)*A(5) = A^2 A(5)*A(6) = 0 A(k)*A(k+1) = 0, para 6 = k = n-1 A(n)*A(1) = 0 Logo, o valor a ser maximizado é igual a 2*A^2. Como A pode ser qualquer número real, temos que a expressão é ilimitada. O que você acha? Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, February 18, 2003 1:07 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Nossa,apareceu em brancoA desigualdade era maximizar a_1*a_2+a_2*a_3+a_3*a_4+.+a_(n-1)*an+a_n*a_1 sabendo que a soma dos a's e zero. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Desigualdade estranhinha
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Re: [obm-l] Desigualdade estranhinha
Qual desigualdade? Aliás, você conseguiu resolver este aqui? Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, February 17, 2003 3:05 PM Subject: [obm-l] Desigualdade estranhinha Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Desigualdade de Schur(nao acredito!!!)
Primeiro vou me auto-responder x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo. Basta supor x=y=z=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada. Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero?Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Desigualdade de Schur(nao acredito!!!)
Temum livro de Polya Hardy chamado Inequalities, nunca estudei mais e bem popular. Tem tb um artigo na Eureka nº5 (eu acho). Ou entao o livro de Bartle Analise I, tb tem alguns exemplos. Quanto a pre requisitos:pra ler o Bartle, precisa de pelo menos calculo em uma variavel, o artigo da eureka acho que e nivel 3, ja o Inequalities eu nao tenho a menor ideia. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] wrote: Primeiro vou me auto-responder x^r(x-y)(x-z)+y^r(y-x)(y-z)+z^r(z-x)(z-y) nao e negativo e so e nulo quando os 3 caras sao iguais ou dois sao iguais e outro e nulo. Basta supor x=y=z=0 e fatorar o x-y na expressao.E so analisar os sinais.E como nao percebi isso antes?Valeu Emanuel Essa aqui eu to na viagem mas nao vejo Schur em nada. Tome reais positivos ou nulos a,b,c,d tais que ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2. Mostre que 3(a+b+c+d)=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd). Alias tem alguma sugestao para desigualdades e coisas do genero? Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] desigualdade triangular
Aproveito esta oportunidade para propor alguns exercícios de desiguladade triangular e agradecer aqueles que me ajudaram em meu ultimo e-mail. Obrigado. 1- O segmento que une um vértice de um triângulo a um ponto qualquer do lado opsto é maior que a metade do excesso da soma dos outros dois lados sobre o primeiro. Provar. 2-ABC é um triângulo no qual o lado AB é maior que o lado AC e AM é a mediana relativa ao lado BC. Demonstrar que o ângulo BMA é maior que o ângulo AMC e que o ângulo BAM é menor que o ângulo CAM.
[obm-l] desigualdade das médis aritmética e geométrica.
neste endereço (pag. 12) vc encontra uma prova por indução reversa da desigualdade das médias .. além de muitas outras provas interessantes por indução !! Para a desigualdade das médias artmética e geométrica, há também uma prova interessante baseada nas propriedades da função exponencial: Desigualdade das Médias Aritmética e Geométrica: A média aritmética de n números positivos é maior ou igual do que a média geométrica deste mesmos números, ocorrendo igualdade se, e somente se, os números forem todos iguais. Convenções sse = se, e somente se, x_n = x índice n S(i=1 n) x_i = somatório de i=1 até n dos x_i P (i=1 n) x_i =produto de i=1 até n dos x_i Basearemos a demonstração na propriedade da função exponencial segundo a qual e^x = 1+x para qualquer real x, ocorrendo igualdade sse x=0. Sejam x_1,x_n números positivos e sejam A e G as respectivas Médias aritmética e geométrica. Para cada i =1,...n, definamos r_i como o desvio relativo de x_i com relação a A, ou seja r_i = (x_i - A)/A = x_i/A - 1 (1). Verificamos facilmente que S(i=1 n) r_i = 0 (2). Pela citada propriedade da função exponencial, temos, para cada i=1,...n, que e^r_i = 1+ r_i, ocorrendo igualdade sse r_i=0. Em virtude de (1), segue-se que e^r_i = x_i/A (3), ocorrendo igualdade sse x_i=A. Como ambos os membros das n desigualdades englobadas em (3) são positivos, temos que P (i=1 n) e^r_i = P (i=1 n) x_i/A (4), ocorrendo igualdade sse x_i=A para cada i=1,n . Pelas propriedades da função exponencial, temos que P (i=1 n) e^r_i = e^[S(i=1 n) r_i], o que, em virtude de (2), leva a que P(i=1 n) e^r_i = e^0 =1. Por outro lado, P (i=1 n) x_i/A =[P (i=1 n) x_i]/(A^n) = (G/A)^n. Considerando-se (4), concluímos que 1 = (G/A)^n e que, consequentemente, A=G. Conforme visto, ocorre igualdade sse x_1, ..x_n. Isto demonstra a desigualdade Artur
Re: [obm-l] desigualdade...
De fato essa eh a ideia que funciona, pq ficariamos com a desigualdade: (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)=xyz que naum parece dificil de provarjah que x^2=x^2-(y-z)^2 y^2=y^2-(z-x)^2 z^2=z^2-(z-y)^2 multiplicando gera a desigualdade obtida... abracos Marcelo From: Johann Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] desigualdade... Date: Fri, 19 Jul 2002 17:28:47 -0300 (ART) Nao sei onde ta o erro,mas a minha soluçao consistia em substituir os caras por outros(a/b,b/c,c/a)e ver algo mais simetrico. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Ha uma desigualdade que eh assim (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=1, sendo a,b,c0 e abc=1 Quando fui resolve-la deparei-me com algo estranho. Alguem poderia me apontar se errei ou naum em algum lugar? observe: [(ab-b+1)/b][(bc-c+1)/c][(ac-a+1)/a]=1 como abc=1 (ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1)=1 multiplicando e substituindo abc por 1 ficamos com [b-1+ab-b^2c+bc-b+bc-c+1][ac-a+1]= =[ab-b^2c+2bc-c][ac-a+1]= =a-a^2b+ab-bc+b-b^2c+2c-2+2bc-ac^2+ac-c=1 dai a+b+c-a^2b-b^2c-ac^2+ab+bc+ac=3 A partir dai eh estranho, pq consigo mostrar exatamente o contrario, pela MAMG...naum sei se eh apenas um erro de inversao de sinal. Alguem poderia me indicar onde errei? obrigado abracos Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para encontrar a sua alma gêmea. http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desigualdade...
eh, ou entaum pela desigualdade das medias...isso tem na eureka! 9 questão 2 da imo de 2000 From: Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] desigualdade... Date: Sun, 21 Jul 2002 21:30:45 + De fato essa eh a ideia que funciona, pq ficariamos com a desigualdade: (x+y-z)(x+z-y)(y+z-x)=xyz que naum parece dificil de provarjah que x^2=x^2-(y-z)^2 y^2=y^2-(z-x)^2 z^2=z^2-(z-y)^2 multiplicando gera a desigualdade obtida... abracos Marcelo From: Johann Dirichlet [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] desigualdade... Date: Fri, 19 Jul 2002 17:28:47 -0300 (ART) Nao sei onde ta o erro,mas a minha soluçao consistia em substituir os caras por outros(a/b,b/c,c/a)e ver algo mais simetrico. --- Marcelo Souza [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola Ha uma desigualdade que eh assim (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=1, sendo a,b,c0 e abc=1 Quando fui resolve-la deparei-me com algo estranho. Alguem poderia me apontar se errei ou naum em algum lugar? observe: [(ab-b+1)/b][(bc-c+1)/c][(ac-a+1)/a]=1 como abc=1 (ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1)=1 multiplicando e substituindo abc por 1 ficamos com [b-1+ab-b^2c+bc-b+bc-c+1][ac-a+1]= =[ab-b^2c+2bc-c][ac-a+1]= =a-a^2b+ab-bc+b-b^2c+2c-2+2bc-ac^2+ac-c=1 dai a+b+c-a^2b-b^2c-ac^2+ab+bc+ac=3 A partir dai eh estranho, pq consigo mostrar exatamente o contrario, pela MAMG...naum sei se eh apenas um erro de inversao de sinal. Alguem poderia me indicar onde errei? obrigado abracos Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Yahoo! Encontros O lugar certo para encontrar a sua alma gêmea. http://br.encontros.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ Send and receive Hotmail on your mobile device: http://mobile.msn.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: Re:[obm-l] desigualdade
From: diegoalonsoteixeira [EMAIL PROTECTED] olá, pessoal da lista, gostaria de uma ajuda em duas questões 1- prove a+ [b(a-b)]^-1=3 2-seja f(x)= ax^2 +bx +ce |f(x)|1 para |x|1 |a| + |b| + |c| = M determine o menor M (realmente o metodo que propus para a resolução do problema da área era muito complicado ,delculpem) Acho que pedir desculpas é exagero, tu não fez nada de errado... Os dois problemas não estão bons. Para a=1 e b=2, temos 1/2 =3 o que é falso. Para o segundo (que parece muito interessante) tome f(x) = (1/n)x^2 para n=2,3,4,... a gente sempre tem |f(x)| 1/n 1 para |x| 1 e M = 1/n, portanto se existisse o menor M então ele deveria ser zero ou seja f(x)=0. Mas acho que não é essa a idéia da questão. Tente cuidar mais os detalhes dos problemas. :) Um abraço! Eduardo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] desigualdade
nA pRIMEIRA QUESTÃO REALMENTE ME ESQUECI DA CONDIÇÃO
AB0
NA SEGUNDA FOI EXATAMENTE ASSIM QUE ME FOI
ENTREGUE,ALIÁS PELO PRÓPRIO PROF. PONCE.
ABRAÇOS
__
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Caro amigo,
Vai abaixo uma ideia para a sua pergunta:
Acredito ter faltado a informação: ab0.
Nestas condições,
Note inicialmente que a+ [b(a-b)]^-1 = (a - b ) + b + [b(a-b)]^-1
Agora, usando a desigualdade entre a media aritmética e a média geométria,
tem-se
a+ [b(a-b)]^-1 = (a - b ) + b + [b(a-b)]^-1= 3 . [(
a-b).b.([b(a-b)]^-1)]^(1/3)
donde obtem-se o resultado desejado, isto é,
a+ [b(a-b)]^-1= 3
A igualdade ocorrendo se, e somente se , a= 2 e b = 1
Nota:
{ a-b = b = b(a-b)]^-1 a =2 e b = 1)
PONCE
O segundo problema envio depois a solução ...
Um abraço
diegoalonsoteixeira wrote:
olá, pessoal da lista, gostaria de uma ajuda em duas
questões
1- prove a+ [b(a-b)]^-1=3
2-seja f(x)= ax^2 +bx +ce |f(x)|1 para |x|1
|a| + |b| + |c| = M determine o menor M
(realmente o metodo que propus para a resolução do
problema da área era muito complicado ,delculpem)
obrigado qq ajuda
__
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Conta eh tao legal, pq fugir? :)
Uma opcao eh colocar A na origem, AB em Ox, AC em Oy e chamar de a o lado do
quadrado.
Seus dados significam:
x^2 + y^2 = 1 (I)
(x-a)^2 + y^2 = 25 donde -2ax + a^2 = 24 e -2ax = 24-a^2 (II)
x^2 + (y-a)^2 = 16 donde -2ay + a^2 = 15 e -2ay = 15-a^2 (III)
Quadrando (?!) essas duas eqs e somando, sendo S=a^2 a area:
4S = (24-S)^2 + (15-S)^2(*)
Essa eq. tem duas solucoes positivas, mas soh uma delas garante que P
esta dentro do quadrado (supondo, spg, a0, eh suficiente que S24).
A resposta eh portanto S = [41 + sqrt(79)] / 2.
Abracos,
Marcio
- Original Message -
From: iver [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Cc: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, July 16, 2002 9:58 PM
Subject: Re: Re:[obm-l] area do quadrado
Essa eh a solução q vem logo à mente de todos, mas vc jah tentou fazer
essas
contas? Será q nao existe uma maneira mais simples de fazer?
- Original Message -
From: diegoalonsoteixeira [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Cc: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Tuesday, July 16, 2002 11:15 AM
Subject: Re:[obm-l] area do quadrado
faça teorema dos cossenos nos triangulos ABP ,CHAMANDO o
angulo entre AP e PB de alpha, e o lado do quadrado de x,
faça teorema dos cossenos no triangulo APD, CHAMANDO o
angulo entre AP e AD de beta,faça teorema dos cossenos
no triangulo PBD ,chamando o angulo entre PB e PD de 360-
(alpha+beta),lembre-se de que a diagonal do triangulo é
sqrt(2)x e que cos (a+b)=...
voce achará tres equaç~~oes com tres incognitas
x,alpha e beta
__
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--
--
vc tem um quadrado ABCD
dentro do quadrado há um ponto P
tal q AP=1
BP=5
e DP=4
qual a área do quadrado?
alguém ajuda?
=
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Re: Re:[obm-l] desigualdade
olá, pessoal da lista, gostaria de uma ajuda em duas questões 1- prove a+ [b(a-b)]^-1=3 2-seja f(x)= ax^2 +bx +ce |f(x)|1 para |x|1 |a| + |b| + |c| = M determine o menor M (realmente o metodo que propus para a resolução do problema da área era muito complicado ,delculpem) obrigado qq ajuda __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol Conta eh tao legal, pq fugir? :) Uma opcao eh colocar A na origem, AB em Ox, AC em Oy e chamar de a o lado do quadrado. Seus dados significam: x^2 + y^2 = 1 (I) (x-a)^2 + y^2 = 25 donde -2ax + a^2 = 24 e -2ax = 24-a^2 (II) x^2 + (y-a)^2 = 16 donde -2ay + a^2 = 15 e -2ay = 15-a^2 (III) Quadrando (?!) essas duas eqs e somando, sendo S=a^2 a area: 4S = (24-S)^2 + (15-S)^2(*) Essa eq. tem duas solucoes positivas, mas soh uma delas garante que P esta dentro do quadrado (supondo, spg, a0, eh suficiente que S24). A resposta eh portanto S = [41 + sqrt(79)] / 2. Abracos, Marcio - Original Message - From: iver [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 16, 2002 9:58 PM Subject: Re: Re:[obm-l] area do quadrado Essa eh a solução q vem logo à mente de todos, mas vc jah tentou fazer essas contas? Será q nao existe uma maneira mais simples de fazer? - Original Message - From: diegoalonsoteixeira [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 16, 2002 11:15 AM Subject: Re:[obm-l] area do quadrado faça teorema dos cossenos nos triangulos ABP ,CHAMANDO o angulo entre AP e PB de alpha, e o lado do quadrado de x, faça teorema dos cossenos no triangulo APD, CHAMANDO o angulo entre AP e AD de beta,faça teorema dos cossenos no triangulo PBD ,chamando o angulo entre PB e PD de 360- (alpha+beta),lembre-se de que a diagonal do triangulo é sqrt(2)x e que cos (a+b)=... voce achará tres equaç~~oes com tres incognitas x,alpha e beta __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol -- -- vc tem um quadrado ABCD dentro do quadrado há um ponto P tal q AP=1 BP=5 e DP=4 qual a área do quadrado? alguém ajuda? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RES: Re:[obm-l] desigualdade
Na 1ª questão falta definir a e b para que iniciar alguma prova pois nas condições dadas por exemplo se b=2 e a=1 fura.Se a=b não está definida ok! -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Em nome de diegoalonsoteixeira Enviada em: Quarta-feira, 17 de Julho de 2002 14:00 Para: [EMAIL PROTECTED] Cc: [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: Re:[obm-l] desigualdade olá, pessoal da lista, gostaria de uma ajuda em duas questões 1- prove a+ [b(a-b)]^-1=3 2-seja f(x)= ax^2 +bx +ce |f(x)|1 para |x|1 |a| + |b| + |c| = M determine o menor M (realmente o metodo que propus para a resolução do problema da área era muito complicado ,delculpem) obrigado qq ajuda __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] desigualdade...
Ola Ha uma desigualdade que eh assim (a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)=1, sendo a,b,c0 e abc=1 Quando fui resolve-la deparei-me com algo estranho. Alguem poderia me apontar se errei ou naum em algum lugar? observe: [(ab-b+1)/b][(bc-c+1)/c][(ac-a+1)/a]=1 como abc=1 (ab-b+1)(bc-c+1)(ac-a+1)=1 multiplicando e substituindo abc por 1 ficamos com [b-1+ab-b^2c+bc-b+bc-c+1][ac-a+1]= =[ab-b^2c+2bc-c][ac-a+1]= =a-a^2b+ab-bc+b-b^2c+2c-2+2bc-ac^2+ac-c=1 dai a+b+c-a^2b-b^2c-ac^2+ab+bc+ac=3 A partir dai eh estranho, pq consigo mostrar exatamente o contrario, pela MAMG...naum sei se eh apenas um erro de inversao de sinal. Alguem poderia me indicar onde errei? obrigado abracos Marcelo _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
