Re: [obm-l] Fwd: Identidade de Euler
Pensei que não se pudesse fazer propaganda aqui... Em 29 de abril de 2011 10:34, Luís Lopes qed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda,c~oes, Este é o exercício 14 do Manual de Seq. e Séries Volume 2. A resolução lá apresentada é outra: identidade de polinômios (uma outra técnica básica e útil para resolver identidades deste tipo). A página http://www.escolademestres.com/ contém uma amostra dele. []'s Luís -- Date: Thu, 28 Apr 2011 17:40:10 -0300 Subject: Re: [obm-l] Fwd: Identidade de Euler From: victorcar...@globo.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Oi Mestre Nehab , Gostei da sugestão e mais ainda das n pessoas que moram em Nilópolis ( minha terrinha). Abraços Carlos Victor Em 28 de abril de 2011 17:21, Carlos Nehab ne...@infolink.com.brescreveu: Oi, Fábio, Não resisti: Resolva os seguinte problema de duas maneiras (uma técnica básica e útil para resolver identidades deste tipo). De quantas maneira posso formar comissões de p pessoas, a partir de um total de m + n pessoas, sendo m o total de pessoas que moram no Maracanã e n as pessoas que moram em Nilópolis? Abraços, Nehab Em 28/4/2011 13:24, fabio henrique teixeira de souza escreveu: -- Mensagem encaminhada -- De: fabio henrique teixeira de souzafabiodja...@ig.com.br Data: 28 de abril de 2011 08:52 Assunto: Identidade de Euler Para: obm-l@mat.puc-rio.br Pessoal, estou batendo cabeça e não consigo demonstrar que C(m,0).C(n,p) + C(m,1).C(n,p-1) + C(m,2).C(n,p-2) + ... + C(m,p).C(n,0) = C(m+n,p) Alguém pode me dar uma dica? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] outra soma de série
Pessoal, Como calcular a soma de 1/[n(n+1)(n+2)...(n+p)], com n de 1 a infinito, e p natural fixado? Já tentei usar frações parciais, porém não consegui muita coisa... Obrigado, Eder
[obm-l] soma de série
Olá a todos. Alguém tem uma dica para calcular o somatório de 1/[(4n+1)(4n+3)] com n variando de 1 a infinito? Obrigado, Eder
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] construir bijeção
Pessoal, a idéia é bem interessante. Obrigado mesmo. Eder --- Em sáb, 15/1/11, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: De: Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] construir bijeção Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 15 de Janeiro de 2011, 6:06 2011/1/15 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com: eu tive a mesma dúvida um tempo atrás, e achei esse artigo aqui http://planetmath.org/encyclopedia/ClosedOpen.html , que eu achei muito bom. Ele dá duas demonstrações de que os dois conjuntos (o aberto e o fechado) têm a mesma cardinalidade. A primeira delas é o seguinte existe uma injetiva de um no outro, e uma injeiva do outro no um, portanto pelo teorema de Zwardjenjizfgyulpoz = Cantor-Bernstein-Schroder. Coitados deles, não mutile o nome assim ;-) (Ah, e o tal do teorema não é tão impossível assim de ser demonstrado não!! Não se deixem assustar, a idéia é muito bonita, e, de certa forma, intuitiva: vale a pena ver e entender) existe uma bijeção entre os dois. Na segunda demonstração, ele de fato constrói uma bijeção que é, em suma, o seguinte: ele enumera o conjunto dos racionais entre 0 e 1, de modo que os dois primeiros racionais sejam o próprio zero e o um. Aí ele faz uma bijeção entre os dois conjuntos arrastando o conjunto dos racionais duas unidades pra direita (ou seja, o primeiro racional vira o terceiro, o segundo vira o quarto, o terceiro vira o quinto, etc.), e deixando invarianes os irracionais. eu levei um tempo até acreditar e entender. Quando eu tava pesquisando sobre isso, eu tinha na cabeça a idéia de que essa bijeção tinha que ser contínua. Agora eu já acho que é meio óbvio que não dá pra uma bijeção entre esses dois conjuntos ser contínua. (essa em particular não é conínua em nenhum ponto!) Talvez seja legal *provar* que não existe bijeção contínua entre [0,1] e (0,1). Dica: considere f: [0,1] - (0,1) e em seguida f( (0,1] ). Outra coisa é que a sua bijeção pode ser bem simplesmente modificada (na verdade, segundo a idéia do Renji) : escolha em vez de todos os racionais, apenas uma quantidade infinita deles (tente deixar a maior parte de lado, mesmo que isso não faça muito sentido...). Você pode pensar como aproximações decimais de uma dízima periódica, por exemplo. Ao fazer isso, a função que você construir, com um shift nesse conjunto, e identidade no resto, será contínua em todos os pontos *exceto* no conjunto infinto que você escolheu (e no limite dele também, claro). Uma pergunta talvez mais difícil seria: será que é possível fazer uma bijeção de [0,1] em (0,1) que seja descontínua num número *finito* de pontos ? Se sim, qual é o mínimo de descontinuidades ? boa sorte : ) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] construir bijeção
Olá, Alguém tem idéia de como construir uma bijeção f : (0,1) [0,1]? É possível? Obrigado, Eder
[obm-l] indução finita
Pessoal,
Depois de passar muito tempo meditando sobre o exercício abaixo (consta num
artigo do Elon Lages Lima publicado na Eureka), resolvi enviar para a lista. Se
alguém puder resolver, fico muito agradecido... Eis a questão:
Para todo n em N, ponha x_n = { (n+1)^2 / [n(n+2)] }^n e prove por indução que
se tem x_n (n+2)/(n+1). Conclua que a seqüência de termo geral x_n
=[(n+1)/n]^n é crescente.
Sugestão: x_(n+1)=[(n+2)/(n+1)]^3.[n/(n+3)].x_n. (será que está certo
isso???).
Obrigado,
Eder
[obm-l] Equação
Olá a todos, Alguém poderia me confirmar se a equação abaixo tem mais de uma solução nos inteiros: y^2 - 3 = x(3y - 6) Cheguei facilmente a uma solução, mas não sei se pára aí. Obrigado. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] equação
Olá a todos, Alguém poderia me confirmar se a equação abaixo tem mais de uma solução nos inteiros: y^2 - 3 = x(3y - 6) Cheguei facilmente a uma solução, mas não sei se pára aí. Obrigado. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo
Obrigado pelos esclarecimentos. Estou analisando aqui. --- Em seg, 23/6/08, Luiz Alberto Duran Salomão [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luiz Alberto Duran Salomão [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] perímetro mínimo Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 23 de Junho de 2008, 10:37 Caro Ponce: Creio que sua intenção foi dizer que C é a interseção de OY com BP (e não AP) e que B estaria na interseção de OX com CQ (e não AQ), não é mesmo? Abraços, Luiz Alberto - Original Message - From: Rogerio Ponce [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Sunday, June 22, 2008 6:40 PM Subject: Re: [obm-l] perímetro mínimo Ola' Eder, suponhamos que o ponto B ja' estivesse marcado, e que estamos apenas procurando pelo ponto C otimo, sobre OY. Nesse caso, para minimizar BC + CA , vemos que C e' a intersecao de OY com AP , onde P e' o ponto simetrico de A em relacao a OY. O mesmo aconteceria se C ja' estivesse marcado, e estivessemos procurando pelo ponto B otimo, que estaria na intersecao de OX com AQ, onde Q e' o simetrico de A em relacao a OX. Portanto, como cada um dos vertices C e B necessariamente otimiza a soma de suas distancias aos outros dois vertices, basta localizar os simetricos de A em relacao a OX e OY, e uni-los, de forma a determinar os vertices C e B. []'s Rogerio Ponce Em 22/06/08, Eder Albuquerque[EMAIL PROTECTED] escreveu: Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG. Version: 7.5.524 / Virus Database: 270.4.1/1514 - Release Date: 23/6/2008 07:17 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] perímetro mínimo
Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] perímetro mínimo
Por gentileza, ajudem-me na questão abaixo Dado um ângulo agudo XOY e um ponto interior A, achar um ponto B sobre OX e um ponto C sobre OY tais que o perímetro do triângulo ABC seja mínimo. Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
[obm-l] mdc
Pessoal, o problema a seguir caiu numa prova de teoria dos números que fiz ontem e foi a única dúvida... Provar: mdc(a,b)= 1 = mdc(a+b,a²-ab+b²) =1 ou 3 Agradeço se alguém mostrar como se prova. Eder - Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] probabilidade 2
Pessoal, aqui vai um problema que tô achando meio obscuro...Em um grupo de galinhas, existem algumas doentes. Sabe-se que 0,1% das galinhas estão doentes. Deseja-se fazer um teste para detectar se uma determinada galinha está doente. Sabe-se que a probabilidade do teste dar positivo ( indica que a galinha está doente ) estando uma galinha boa é de 1% e que a probabilidade do teste dar negativo estando a galinha doente é de 0,9%. Qual a probabilidade de a galinha estar realmente doente, sendo que foram realizados n testes? (p deram positivos e q = n - p deram negativos). Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] Probabilidade
Pessoal, tô com dúvidas nesta:Suponha que n homens, numa festa, atirem seus paletós no guarda-roupas. Os paletós são misturados e cada um deles deverá selecionar aleatoriamente um paletó. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos homens selecione o seu prórpio paletó.Se alguém puder me mostrar como faz, agradeço.Eder Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] funções
Olá, Pessoal, essa é velha, mas não tô lembrando como fazer... A questão é: mostre que toda função de variável real pode ser escrita como a soma de uma função real ímpar com uma função real par. Obrigado pela ajuda, Eder Promoção Yahoo! Acesso Grátis: a cada hora navegada você acumula cupons e concorre a mais de 500 prêmios! Participe!
[obm-l] geometria
Olá, Gostaria de ajuda no seguinte problema: seja ABC um triângulo isósceles, onde AB=AC são tangentes a uma circunferência e BC é uma corda. Seja P um ponto sobre a circunferência anterior, interno ao triângulo ABC, tal que a distância de P a AB é9 e a distância de P a AC é 4. Encontre a distância de P a BC. Não tô conseguindo resolver... Grato, Eder__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] Problema de trigonometria
Olá Valdemir, Respondi ao Ronaldo no email dele. Na verdade não sou adepto de frases, poemas etc, para lembrar fórmulas, como talvez possa estar parecendo. Segue o email que enviei para ele: Oi Ronaldo, Temendo que a msg ficasse muito off-topic, resolvi mandar para o seu email. Para ser sincero, eu nunca fui muito chegado a métodos como poemas, músicas, frases etc. Acredito que a melhor forma de não esquecer essas relações ( e outras)é fazer muitos, mas muitos exercícios, em que elas são exigidas. Além disso, ver como são demonstradas ajuda... Quando fazia cursinho para o ITA, resolvi mais de 700 problemas só de trigonometria (tive a curiosidade de contar) e, depois disso, não tinha como não fixar essas fórmulas. Tão importante quanto fixar, é ver como aplicá-las eficientemente nos problemas... Precisa muito "treino". Felizmente, consegui entrar no ITA. Valeu a pena, hehehe. Quanto à dedução, até que é fácil. Veja: sen(a+b)=senacosb+senbcosa sen(a-b)=senacosb-senbcosa Somando: sen(a+b)+sen(a-b)=2senacosb faça a+b=p e a-b=q, resulta a=(p+q)/2 e b=(p-q)/2, donde senp+senq=2sen[(p+q)/2]cos[(p-q)/2] As outras relações vc obtém de forma análoga... Falô, Valdemir [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá Éder, é que eu me lembrei de uma outra para o cossenoda soma, suponha que vc queira calcular o cos(a+b), o poeminha é assim: "Coça A coça B, troca o sinal sem sabê" Acho que é mais boba ainda que a do seno, mas eu nunca mais me esqueci. Um abraço Dema. - Original Message - From: Ronaldo Luiz Alonso To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, April 30, 2005 4:04 AM Subject: Re: [obm-l] Problema de trigonometria Oi Éder como você consegui decorar todas essas fórmulas? Tem algum truque? Tipo daqueles que usamos para deocorar a tabela periódica? O pessoal da lista quer saber ! :) sena+senb= 2sen[(a+b) / 2] cos[(a-b)/ 2] sena-senb= 2sen[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb= -2sen[(a+b)/2]sen[(a-b)/2] Sei que dá para deduzí-las das outras, mas é trabalhoso. Para decorar sen(a+b) e sen(a-b) eu usei um "poeminha": "Minha tera tem palmeiras onde canta o sabiá seno a cosseno b seno b cosseno a o sinal que vai aqui é o mesmo que vai lá Pro cosseno é diferente senão não vai acertar!" Sei que éidiota, mas às vezes ajuda. []s Ronaldo L. Alonso Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Problema de trigonometria
Vc tem de lembrar que sena+senb= 2sen[(a+b) / 2] cos[(a-b)/ 2] sena-senb= 2sen[(a-b)/2]cos[(a+b)/2] cosa+cosb= 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cosa-cosb= -2sen[(a+b)/2]sen[(a-b)/2] Tanto a "ida" quanto a "volta" serão utilizadas abaixo... 1/cos6 + 1/sen24 + 1/sen48 = =( sen24 sen48 + cos6 sen48 + cos6 sen24 ) /( cos6 sen24 sen48 ) =(1/2) (-cos72+cos24+sen54+sen42+sen30+sen18) / ( cos6 sen24 sen48 ) veja que -cos72+sen18=0 e escreva cos24=sen66, daí =(1/2) ( sen66 + sen54 + sen42 + sen30 ) / ( cos6 sen24 sen48) =(1/2)( 2sen60cos6 + 2sen36cos6) / ( cos6 sen24 sen48) Cancelando o cos6, vem =(sen60+sen36) / (sen24 sen48) =(2sen48cos12) / (2sen12cos12sen48) =1 / sen12 Felipe Takiyama [EMAIL PROTECTED] wrote: Ajudem-me com esta:Prove que 1/(cos6°)+1/(sen24°)+1/(sen48°)=1/(sen12°).___Promoção Mergulhou, ganhou! Ganhe prêmios navegando pelo discador Click 21 de 25/04 a 30/06.Cadastre-se agora www.click21.com.br/mergulhouganhou=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
RE: [obm-l] Livros para ITA/IME
Para os interessados neste tópico: O que eu acredito ser mais interessante na preparação pro ITA é: 1)Resolver provas anteriores (muito importante) 2)Fazer simulados e prestar alguns vestibulares ao longo do ano para se acostumar a fazer provas 3)Dicas de professores experientes sobre assuntos corriqueiros neste vestibular 4)Resolver questões de outras instituições, mas só as mais "interessantes" 5)Atentar para o que cai mais na prova (em mat, geometria analítica sempre é bem explorada), detalhes como questões fáceis que costumam aparecer na prova de matemática, sempre da 15-ésima ao 20-ésimo teste etc.veja esses detalhes,podem dar pontos preciosos na prova... Livros ajudam? Ajudam, mas acredito que não dá pra confiar que estudar determinada coleção garante tal matéria. No meu tempo de cursinho, fiquei na dúvida, mas vi que, realmente, n tem livro que dê conta do recado sozinho(alguns passam longe). As aulas no cursinho foram determinantes... Conheço algumas pessoas que n fizeram nada disso e passaram, mas elas, definitivamente, não são a regra... Se ainda sim, quiserem uma indicação: Química: Brady(de nível superior, mas acessível), Feltre Mat: Matemática Elementar Fis: Robortella(não mais publicado, só em sebos), Adir Moisés Eder ( 2 ano do ITA) saulo bastos [EMAIL PROTECTED] wrote: quimicaÇcarmo gallo net, geraldo camargo, ricardo feltre, brett, etcfisica, fundamentos da fisica, alicerces da fisica,matematica, todos, um abra~co, saulo.From: marcio aparecido <[EMAIL PROTECTED]>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.brTo: obm-l@mat.puc-rio.brSubject: [obm-l] Livros para ITA/IMEDate: Sat, 16 Apr 2005 00:20:52 -0300aeee galera tô estudando para as provas do ITA/IME, e venho aqui pedirpara que me indiquem alguns livros de qiímica física e matemática.Livros tanto para pegar uma base bem sólida como tmb para um beloaprofundamento=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora!
[obm-l] relação de equivalência
Olá a todos. Eu gostaria de ajuda no seguinte problema: Provar que a relação entre duas ou mais curvas que têm mesma orientação é uma relação de equivalência. Obrigado. Eder Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
[obm-l] curvas
O que significa pendente de uma curva? Vi esse termo no Demidovich (se tiver certa a escrita)... Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re: [obm-l] mais um de conjuntos
[P' U (P inter Q)] = [P' U P] inter [P' U Q] = (conjunto universo)inter [P'U Q] = [P' U Q] Não seria alternativa "d"? Errei algo? Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
Re:[obm-l] Ajuda!! E conselhos!!!
nb=2^(n)*1000,onde nb=número de bactérias n=tempo decorrido em horas a partir do momento em que temos 1000 bactérias Substituindo... 10^9=2^(n)*10^3 2^n=10^6 Aplicando log nos dois lados: log(2^n)=6 nlog2=6 n=6/log2 = n=20h (aproximadamente...fiz na minha calculadora científica...) O número de bactérias numa certa cultura duplica a cada hora . Se, num determinado instante, a cultura tem 1000 bactérias, então, o tempo aproximado, em horas, em que a cultura terá 1 b ilhão de bactérias, é de? Eu fiz essa conta, manualmente, duplicando por hora. Mas eu sei que é possível utilizar se de logaritmos para res olução, mas como faço isso? - Eu queria que vcs me dessem sugestões, porque com exercícios que envolve Matemática no cotidiano, eu sinto tanta dificulda de para interpreta-lo? Eu sinto que tenho um certa dificuldade nesses casos. Existe algo que possa me ajudar? - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Livros!!
Olá, Eu entrei no ITA neste ano...É os seguinte: 1)A coleção do Iezzi é de fato uma ótima coleção,mas não é suficiente,acredito eu. 2)Não sei se você recebe no colégio,mas procure sempre os piores exercícios.Eu costumava receber muitos deste no cursinho,além de muitas,mas muitas mesmo,provas anteriores do ITA e do IME.RESOLVER PROVAS ANTERIORES É FUNDAMENTAL. 3)Aproveite essa lista.Há muita gente boa no assunto por aqui.Eu a acompanho desde 2001...Pergunte,acompanhe as discussões,veja como o pessoal ataca os problemas... 4)Vale a pena resolver a parte de exatas da FUVEST,por exemplo,principalmente as provas de segunda fase.Ah,procure questões de outras instituições militares,tais como AFA e Escola Naval.Eu vivia baixando prova da AFA e tentando resolver no menor tempo possível pra testar minha velocidade. Mais ou menos isso... Eu queria saber, o livros vocês aconselham de Matemática. E se der, tive intercalar em Iniciantes, Intermediário e Ava nçado. Estou estudando para o Vestibular do ITA!!! Estudo atraves da Coleção do IEZZI, e uso os livros de Manoe l Paiva para complementar. Mas é bom sempre ter outras fontes de consultas. Outra coisinha também, eu até que consigo resolver com facil idades os exercícios da coleção do IEZZI, mas aparentemente es tá um pouco longe da complexidade dos exercicios do ITA? Isso é normal? ou existem livros que tenha um envasamento mais cien tífico. Desde de já agradeço, E tenha um Ótimo fim de semana!!! CARLOS - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Livros!!
Desculpa,acabei não dando sugestões de livros...Bem,eu tenho a coleção matemática do ensino médio da SBM (sociedade brasileira de matemática,www,sbm.org.br),além de outros livros tb da SBM.Uns livros da famosa editora Mir (Solving Problems in Algebra and Trigonometry,Análise de Funções Elementares,Geometry,Problems in Elementary Mathematics...).Lia e ainda leio as Eurekas.Tudo isso além do material do cursinho e da coleção do Iezzi.Não dei conta de tudo isso,fiz o que pude,mas felizmente fui bem no vestibular do ITA e passei.É meio difícil recomendar,tipo,muitos me diziam que era perda de tempo,mas funcionou pra mim,achei de fundamental importância esses estudos extras.Veja bem o que é o melhor pra vc.Eu já vi gente nunca pegar esses extras e passar no ITA,mas eu queria me garantir... Falou, Eder Olá, Eu entrei no ITA neste ano...É os seguinte: 1)A coleção do Iezzi é de fato uma ótima coleção,mas não é suficiente,acredito eu. 2)Não sei se você recebe no colégio,mas procure sempre os piores exercícios.Eu costumava receber muitos deste no cursinho,além de muitas,mas muitas mesmo,provas anteriores d o ITA e do IME.RESOLVER PROVAS ANTERIORES É FUNDAMENTAL. 3)Aproveite essa lista.Há muita gente boa no assunto por aqui.Eu a acompanho desde 2001...Pergunte,acompanhe as discussões,veja como o pessoal ataca os problemas... 4)Vale a pena resolver a parte de exatas da FUVEST,por exemplo,principalmente as provas de segunda fase.Ah,procure questões de outras instituições militares,tais como AFA e Escola Naval.Eu vivia baixando prova da AFA e tentando resolver no menor tempo possível pra testar minha velocidade . Mais ou menos isso... Eu queria saber, o livros vocês aconselham de Matemática. E se der, tive intercalar em Iniciantes, Intermediário e A va nçado. Estou estudando para o Vestibular do ITA!!! Estudo atraves da Coleção do IEZZI, e uso os livros de Man oe l Paiva para complementar. Mas é bom sempre ter outras fontes de consultas. Outra coisinha também, eu até que consigo resolver com fac il idades os exercícios da coleção do IEZZI, mas aparentemente es tá um pouco longe da complexidade dos exercicios do ITA? Iss o é normal? ou existem livros que tenha um envasamento mais ci en tífico. Desde de já agradeço, E tenha um Ótimo fim de semana!!! CARLOS - Yahoo! Mail - o melhor webmail do Brasil. Saiba mais! --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re:[obm-l] Re: [obm-l] ciclo trigonométrico
Note que 3cos(x) + 2sen(x)= sqrt(13)[ (3/sqrt(13)cosx+ 2/sqrt(13)senx] Não vou ser formal,mas veja que existe um ângulo y tal que seny=3/sqrt(13) e cosy=2(sqrt(13) (relação fundamental...),daí ficamos com sqrt(13)(senycosx+senxcosy) ou sqrt(13)sen(x+y) Como o valor máximo de sen(x+y) é 1,o valor máximo de sqrt(13)sen(x+y) é sqrt(13). obs: sqrt(k) - raiz quadrada de k Não sei se entendi o problema direito, pois a solução que en contrei foi muito simples: Como o maior valor do seno e qualquer ângulo é 1, f (x) = 3.1+2.1 = 2. Se alguém tiver outra solução, me explique por favor... - Original Message - From: Tiago Carvalho de Matos Marques [EMAIL PROTECTED] .com.br To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, October 24, 2003 2:13 PM Subject: [obm-l] ciclo trigonométrico Qual o valor maximo da funcao f(x) = 3cos(x) + 2sen(x)? == === Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a li sta em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html == === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Ih,desculpa,é que eu já vi uma resolução para essa questão (acho que no matemática elementar...) e está como a sua,as diferenças são verificadas para tentar se notar alguma regularidade,aí achei que se estivesse fazendo uma suposição... Eder, voce nao pode sair supondo que tan (B+C), etc estao em P.A pois e justamente o que voce tem que provar. I) Sabendo que sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. Resolucao: Seja (sin(2A),sin(2B),sin (2C)) uma P.A de razao r, r0, portanto, podemos escrever Sin(2B) - sin(2A) = r = 2cos(A+B).sin(B-A) (1) Sin(2C) - sin(2B) = r = 2cos(C+B).sin(C-B) (2) Sin(2C) - sin(2A) = 2r = 2cos(C+A).sin(C-A)(3) Vamos calcular as diferentas tan(A+B)-tan(C+A), tan(C+A)-tan (B+C) e tan(A+B)-tan(B+C) e ver o que elas representam: *) tan(C+A)-tan(B+C) = (sin(C+A)/cos(C+A)) (sin(B+C)/cos (B+C)) .. Isolando cos(C+A) em (3) e cos(B+C) em (2) obtemos, = sin(C+A).sin(C-A)/r (2.sin(B+C).sin(B-C))/r , use o fato de cos(p)-cos(q)=-2.sin((p+q)/2).sin((p- q)/2), logo, simplificando chegamos ao resultado, = (cos(2A)+cos(2C)-2cos (2B))/2r = K. *) tan(A+B)-tan(C+A) = (sin(A+B)/cos(A+B))-(sin(C+A)/cos (C+A)). Isolando as expressoes de cos(A+B) e cos (A+C) em 1 e 3, respectivamente, obtemos, = (2.sin(A+B).sin(B-A))/r (sin(C+A).sin(C-A))/r. Usando a formula de cos(p)-cos (q) do item (*) temos = (cos(2A)-cos(2B))/r (cos (2A)-cos(2C))/2r = (cos(2A)+cos(2C)-2cos (2B))/2r = K. Analogamente, calcule agora tan(A+B)-tan (B+C) e voce vai ver que encontrara tan(A+B)-tan(B+C) = 2K. Logo, tan(B+C),tan(C+A) e tan(A+B) estao em PA de razao K=[cos(2A)+cos(2C)-2cos(2B))]/2r , com r0. Leandro L. Recova --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Trigonometria III (Mr. Crowley)
Fala Mr. Crowley... Sem querer ser grosso,apenas por curiosidade...Você pelo menos tentar resolver essas questões que você manda pra lista? Cara,se você não tentar fazer sozinho,não vai aprender nunca,não adianta ficar só lendo resoluções. Tô meio que com preguiça de escrever,então só vou te dizer pra lembrar que se sen(2A), sen(2B) e sen(2C) estão em PA,então sen(2b)=[sen(2A)+sen(2C]/2.De posse desse fato,suponha que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A.,nessa ordem, ou seja, o termo intermediário é média aritmética dos termos extremos,desenvolva a expressão e preste atenção no que vc vai chegar! Para o outro,eu peguei uma resolução de alguém,por ter achado muito interessante.Juro que tentei pra caramba e não saiu.Olha só: Como isso é um triangulo, entao A+B180 graus. multiplicando a igualdade por 8cos(A/2).cos(B/2) (que é diferente de zero pois A,B 180 graus) temos : sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 = 2.sen(A/2) .4. [cos(B/2)]^4. cos(A/2) = 2.sen(B/2) . 4.[cos(A/2)]^4 ..cos(B/2) = lembrando que cos(2x)=cos²(x)-sen²(x)=2cos²(x)-1 = cos(2x)=2cos²(x)-1 = 2cos²(x)=cos(2x)+1, fazendo x=B/2 temos: 2cos²(B/2)=cos(B)+1 substituindo para A e B temos.. 2.sen(A/2).cos(A/2).(cos(B)+1)²=2.sen(B/2).cos(B/2).(cos(A)+1) ² = como sen(2x)=2sen(x)cos(x) , fazendo x=A/2 temos : sen(A)=2sen (A/2).cos(A/2) substituindo temos: sen(A).(cos(B)+1)²=sen(B).(cos(A)+1)² = sen(A).cos²(B)+2.sen(A).cos(B)+sen(A) = sen(B).cos²(A)+2.sen(B).cos(A)+sen(B) = sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2(sen(A).cos(B)-sen(B).cos(A)) +sen(A)-sen(B) = 0 = como sen(A-B)=sen(A)cos(B)-sen(B).cos(A) entao: sen(A).cos²(B) - sen(B).cos²(A)+2sen(A-B)+sen(A)-sen(B) = 0 = como cos²(x)=1-sen²(x) entao 2sen(A-B)+sen(A).(1-sen²(A))-sen(B).(1-sen²(B))+sen(A)-sen(B) =0 = 2sen(A-B)+2sen(A)-2sen(B)-(sen³(A)-sen³(B))=0 = (*) explicação deste passo no final. 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A).sen(B)+2-(sen(A)-sen(B))²) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2-(sen²(A)-2sen(A)sen (B)+sen²(B))) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-3sen(A)sen(B)+2+2sen(A)sen(B)-1) = 0 = 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1) = 0 suponha 0BA180 entao.. 2sen(A-B)0 (sen(A)-sen(B))0 é fácil ver que isso é verdade para A=90 se A=90+e, e0 e sen(B)=sen(A) então B=90-d, 0d=e, daí A+B=180+e-d =180, o que é absurdo.. como sen(A)sen(B)=1 entao -sen(A)sen(B)+1=0 logo, a soma 2sen(A-B)+(sen(A)-sen(B))(-sen(A)sen(B)+1) nunca pode ser zero, o que é absurdo .. pois com implicações de = a partir da hipótese chegamos que esta soma deve ser zero.. entao a hipótese de que AB é falsa.. pela simetria do problema.. BA também é falsa... então só pode ser A=B. explicação do passo (*) vou mostrar que 2x-2y - (x³-y³) = (x-y)(-3xy+2-(x-y)²) sabemos que (x-y)³=x³+3xy²-3x²y-y³ = x³-y³-3xy(x-y) = (x³-y³) = (x-y)³+3xy(x-y) = (x-y)((x-y)²+3xy) logo, 2(x-y) - (x³-y³) = (x-y)(2-(x-y)²-3xy) o que demonstra a igualdade. Falow's Eder Olá Pessoal, Valew galera pelas ajudas! (Cláudio, Leandro, João, Bruno e Ralph) Espero que possam me ajudar nestes dois também (que me parece ser mais dificeis): I) Sabendo que P.A., nessa ordem, demonstrar que tan(B+C), tan(C+A) e tan(A+B) também estão em P.A. nessa ordem. II) Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a equação sen(A/2) . [cos(B/2)]^3 = sen(B/2) . [cos(A/2)]^3 Gostaria de aproveitar o espaço para perguntar se alguém conhece algum site que tenha as resoluções das provas do IME. É isso aí... Grato Mr. Crowley (`-''-/).___..--''`-._ `6_ 6 ) `-. ().`-.__.`) (_Y_.)' ._ ) `._ `.``-..-' _..`--'_..-_/ /--'_.' ,' (il),-'' (li),' ((!.-' __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a list a em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos - Justificativa
Olá,
Gostaria de me "intrometer" na discussão só para
questionar uma coisa...Bom,a definição de conjunto não diz que,por
exemplo,
{a,b,c}={a,a,b,c},sendo a repetição
desnecessária?
Não lembro direito,mas acredito que sim.Nesse
caso,só escreveríamos um dos máximos que vc citou e pronto,o conjunto
admitiria um máximo.Corrijam-me,caso tenha me enganado.
- Original Message -
From:
Leandro
Fernandes
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Monday, July 14, 2003 3:23 AM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Então você está dizendo que essa afirmativa é
falsa?
Se um conjunto X possuir ao menos dois elementos
máximos e iguais, este conjunto não tem máximo. É isso? Como poderia
justificar isso?
- Original Message -
From:
Eduardo
Casagrande Stabel
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:12
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
José.
Um conjunto X tem um máximo se ele possui um
elemento x que é maior ou igual a todos os outros elementos de X.
Duda.
- Original Message -
From:
Jose
Francisco Guimaraes Costa
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 10:03
PM
Subject: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Comentário de um não-matemático que às vezes
confunde definições com postulados com teoremas, sobre a pergunta original
do Leandro.
Ora,se o conjunto é "limitado
superiormente",nenhum de seus elementos pode ser maior que o
limite superior. Logo,ele certamente tem um máximo (que é menor ou
igual ao limite), e isto seria um corolário.
Falei bobagem?
JF
- Original Message -
From: "Eduardo Casagrande Stabel"
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 9:20
PM
Subject: Re: [obm-l] Conjuntos -
Justificativa
Caro Leandro. Este é o chamado
axioma do sup. É equivalente a muitos outros, e não costuma-se
demonstrá-lo e sim usá-lo como axioma. Se você ainda quiser
demonstrá-lo, terá de estabalecer todos os axiomas dos reais, isto é, os
que você está usando (ou o livro). Do contrário, fica impossível
ajudá-lo. Abração! Duda. From:
"Leandro Fernandes" [EMAIL PROTECTED] Pessoal, não consigo dar uma justificativa
plausível para esta afirmação: "Todo conjunto
não vazio de números racionais limitado superiormente tem
máximo" Alguém tem alguma sugestão?
Leandro
Re: [obm-l] duvida de gabarito
Tudo bom? Eu me distra e acabei usando um "a" (que no era muito conveniente)para representar o nmero tal que sena=b/(a+b)^(1/2) e cosa=a/(a+b)^(1/2) . Mandei outra mensagem trocando o "a" pelo "k",vc deve ter visto...Ento vamos trabalhar com o "k": senk=b/(a+b)^(1/2) e cosk=a/(a+b)^(1/2) . "TENHO EM MENTE QUE AS DUAS PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS PELA PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, " Isso mesmo... , MAS PARA ISSO DEVEMOS TER s ena=b/(a+b)^(1/2) e cosa=a/(a+b)^(1/2), QUE EH O QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA AQUI. COMO ESTABELECEU ESTAS DUAS EQUACOES ? Bom,primeiro notemos que a e b no podem ser simultaneamente nulos nas condies do problema,esqueci-me dessa observao nas outras mensagens...Veja tambm que -1 = a/(a+b) = 1, bem como -1 = b/(b+a) = 1 e eles verificam a relao fundamental.Ainda,temos tgk=b/a (das definies que fiz),supondo "a" diferente de0.Seja f: [-pi/2,pi/2] -- R, f(k)=tgk. fcil ver que f bijetora nesse domnio,logo,sendo b/a real,existe k em [-pi/2,pi/2] tal que f(k)=tgk=b/a.Portanto,existe tal k... DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ? OBS: SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O PROBLEMA ? f(x)=(a+b)^(1/2) * [ a/(a+b)^(1/2) *senx + b/(a+b)^(1/2) cosx] = = f(x)=(a+b)^(1/2) * [ cosk*senx +senk* cosx] E vc v de onde aparece sen(x+k)...O interessante que -1 = sen(x+k) = 1.O problema no quer que f esteja em [-1,1]?Ento,se (a+b)^(1/2)=1,conseguiremos isso.Os valores da alternativa "a" so satisfatrios. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 9:11 PM Subject: Re: [obm-l] duvida de gabarito Tive algumas duvidas, se o autor ou qualquer membro puder me esclarecer agradeceria. Estao no corpo da mensagem. Em uma mensagem de 13/7/2003 20:42:55 Hora padro leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Faa o seguinte: f(x) = asen(x) + bcos(x) = f(x)=(a+b)^(1/2) * [ a/(a+b)^(1/2) *senx + b/(a+b)^(1/2) cosx] (ATE AQUI TUDO BEM.) N ote que [a/(a+b)^(1/2) ]+[b/(a+b)^(1/2)] = 1,ento existe "a" tal que TENHO EM MENTE QUE AS DUAS PARCELAS ACIMA FORAM CONSTRUIDAS PELA PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL SEN(A)^2 + COS(B)^2 = 1, MAS PARA ISSO DEVEMOS TER s ena=b/(a+b)^(1/2) e cosa=a/(a+b)^(1/2), QUE EH O QUE VC DEFINE ABAIXO. MINHA DUVIDA ESTA AQUI. COMO ESTABELECEU ESTAS DUAS EQUACOES ?s ena=b/(a+b)^(1/2) e cosa=a/(a+b)^(1/2) E,portanto,f(x)=(a+b)^(1/2) * sen(x+a).J temos que -1 = sen(x+a) =1,ento DE ONDE VEIO ESTE SEN(X+A) ? OBS: SEI QUE SEN(X+A) = SENX*COSA + SENA*COSX, MAS QUAL A RELACAO COM O PROBLEMA ? se tivermos (a+b)^(1/2) = 1,we are done. A nica alternativa satisfazendo isso a alternativa "a". MESMO COM DUVIDAS, GOSTEI MUITO DA RESOLUCAO. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 7:30 PM Subject: [obm-l] duvida de gabarito Ola pessoal, Vejam a questao abaixo: Para que o conjunto imagem da funcao f(x) = asen(x) + bcos(x) esteja contido no intervalo[-1; 1] eh suficiente que a e b sejam, respectivamente, iguais a: a)(raiz)3/2 e 1/2 b)(raiz)3/3 e(raiz)3 c)(raiz)3 e(raiz)3/3 d)1 e 1 e)(raiz)2/2 e(raiz)2 gabarito: a Duvida: Nao entendi por que o gabarito diz que a alternativa a eh acorreta. Fiz diferente: Considerei a expressao: asen(x) +bcos(x) em dois casos asen(x) + bcos(x)= -1 e asen(x) + bcos(x)= -1 Ateh agora naofiz nada de novo, apenas equacionei o que o enunciado diz: ... -1 = f(x) = 1 (intervalos inclusos oo e +oo) Para que as duasequacoes facam sentido devemos fazer x= pi/2, pi, 3pi/2 e/ou 2pi, pois estes arcos possuem senos ecossenos extremos. Inspecionando verificamos que a= 1 ou -1 e b= -1 ou -1 tbem.Para satisfazer as alternativas devemos considerar a=1, b=1. Alternativa d. O que fiz de errado ?
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria
Olá, Já vi esse princípio também como "princípio das gavetas".A idéia é simples,porém pooderosa na resolução de alguns problemas.Se vc tem n+1 objetos para distribuir em n gavetas,então vc pode afirmar com certeza que pelo menos uma gaveta possui mais de umobjeto.É bem interesante...Quantas pessoas, no mínimo, vc tem de reunirpara ter certeza de que pelo menos duas nasceram num mesmo dia da semana (dom,seg,...,sáb)?Ora,se vc juntar 7, pode acontecer,num caso extremo,de cada uma ter nascido num dia diferente.Juntando 8,com certeza,pelo menos duas terão nascido num mesmo dia.Vc mesmo pode pensar em mais situações para a aplicação desse princípio.Bom deixar claro que ele não serve apenas para responder a essas "perguntinhas".Vc pode usar em situações como a do problema abaixo e já vi outras aplicações interessantes no Problem Solving Strategies... - Original Message - From: Rafael Ando To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, July 14, 2003 3:40 AM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatoria Alguem me explica como eh esse principio da casa dos pombos?obrigadoFrom: [EMAIL PROTECTED]Reply-To: [EMAIL PROTECTED]To: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Re: [obm-l] CombinatoriaDate: Sat, 12 Jul 2003 12:22:50 -0300 Oi Marcio, Se eu não me engano, esse problema tem no Problem Solving: Seja x_i= número de partidas jogadas até o dia i, inclusive. Como o enxadrista joga no minimo 1 partida por dia e no máximo 11x12=132 no total, temos 1= a_1 a_2... a_77= 132. Some 20 na desigualdade: 21= a_1 + 20... a_77 + 20 = 152. Então, os números a_1, a_2,..., a_77, a_1 + 20,...,a_77 + 20 estão entre1 e 152. Como temos 154 números, pelo princípio da casa dos pombos existemdois deles iguais. Assim, existem dois indices i e j, i!=j, tais que a_i= a_j + 20. Ora, isso é equivalente ao enxadrista ter jogado exatamente vinte partidasentre os dias i+1 e j. Ateh mais, Yuri-- Mensagem original -- Nao estou conseguindo fazer a seguinte questao, do livro de combinatoria do Morgado: Um enxadrista joga partidas de xadrez durante onze semanas consecutivas. Sabe-se que ele sempre joga ao menos uma partida por dia, e jamais jogamais de 12 partidas em uma semana. Mostre que existe um periodo de dias consecutivos no qual ele joga exatamente 20 partidas. Alguem tem alguma dica? Abracos, Marcio []'s, YuriICQ: 64992515--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=_MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Talvez eu vá repetir algo,mas vamos
lá:
Sejam o espaço vetorial S={u1,u2,u3,...un} e
V={w1,w2,w3,...,wm} um conjunto tal que qualquer uj pertencente a S pode ser
escrito como uma combinação linear dos elementos de V.Assim,V gera S,ou
seja,S=[V].Quando acontecer de Vestar contido emS,ou seja, cada
wifor igual a um certo uj,V continuar gerando S e V for um conjunto
linearmente independente,então V é uma base de S.
A grosso modo,diria que V é uma base de S quando
possui os vetores "fundamentais" para a "construção" de qualquer vetor do
conjunto S que vc queira .É como se os vetores deV fossem as "cores
fundamentais" a partir dos quais obtemos todas as outras "cores" (elementos de
S).
Espero ter ajudado.
Eder
- Original Message -
From:
Felipe Gastaldo
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 12:07
PM
Subject: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Caros colegas da lista eu estou tendo um curso dealgebra
vetorial e o professor definiu BASE, mas eunaum consigo entender, já
li a definição do livroApostol e tb naum entendi gostaria que alguem
pudesseme dar uma definição clara e simples sobre BASE.muito obrigado
Felipe Gastaldo
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Re: [obm-l] duvida de gabarito
Faa o seguinte: f(x) = asen(x) + bcos(x) = f(x)=(a+b)^(1/2) * [ a/(a+b)^(1/2) *senx + b/(a+b)^(1/2) cosx] Note que [a/(a+b)^(1/2) ]+[b/(a+b)^(1/2)] = 1,ento existe "a" tal que sena=b/(a+b)^(1/2) e cosa=a/(a+b)^(1/2) E,portanto,f(x)=(a+b)^(1/2) * sen(x+a).J temos que -1 = sen(x+a) =1,ento se tivermos (a+b)^(1/2) = 1,we are done. A nica alternativa satisfazendo isso a alternativa "a". - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 13, 2003 7:30 PM Subject: [obm-l] duvida de gabarito Ola pessoal, Vejam a questao abaixo: Para que o conjunto imagem da funcao f(x) = asen(x) + bcos(x) esteja contido no intervalo[-1; 1] eh suficiente que a e b sejam, respectivamente, iguais a: a)(raiz)3/2 e 1/2 b)(raiz)3/3 e(raiz)3 c)(raiz)3 e(raiz)3/3 d)1 e 1 e)(raiz)2/2 e(raiz)2 gabarito: a Duvida: Nao entendi por que o gabarito diz que a alternativa a eh acorreta. Fiz diferente: Considerei a expressao: asen(x) +bcos(x) em dois casos asen(x) + bcos(x)= -1 e asen(x) + bcos(x)= -1 Ateh agora naofiz nada de novo, apenas equacionei o que o enunciado diz: ... -1 = f(x) = 1 (intervalos inclusos oo e +oo) Para que as duasequacoes facam sentido devemos fazer x= pi/2, pi, 3pi/2 e/ou 2pi, pois estes arcos possuem senos ecossenos extremos. Inspecionando verificamos que a= 1 ou -1 e b= -1 ou -1 tbem.Para satisfazer as alternativas devemos considerar a=1, b=1. Alternativa d. O que fiz de errado ?
[obm-l] Re: [obm-l] análise de sinais (funções)
Chamemos de C o complementar de B em relação a
R.Calculemos B:
x^2 - 4x + 3 0 = (x-1)(x-3) 0
= x 1 ou x3 ,ou seja, B=(-inf,1) U (3,+inf)
Por conseguinte,teremos C=[1,3].
Cálculo de A:
x^2 - 3x + 2 = 0 = (x-1)(x-2)
= 0 = 1 = x =2,ou seja,
A=[1,2]
Note que A está contido em C,logo A
interseção C será igual a A,isto é, [1,2].
- Original Message -
From:
[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, January 15, 2003 8:16
PM
Subject: [obm-l] análise de sinais
(funções)
Olá pessoal,
Como posso resolver está questão: (PUC-SP) Se A= {x
pertencendo à R, tal que x^2 - 3x + 2 = 0 } e B= {x pertencendo à R, tal
que x^2 - 4x + 3 0} então (A intersecção com B), onde B é o complementar
de B em relação a R, é igual a : Resp: {x pertencendo à R, tal
que 1=x=2} Como chegar neste resultado?
[obm-l] geometria
Gostaria de ajuda no problema abaixo: Considere duas circunferências tangentes internamente em um ponto A.Traça-se uma corda BCna maior circunferência de modo que essa corda tangencie a menor circunferência num ponto D.Prove que a semi-reta AD é bisssetriz do ângulo BAC. Eu fiz o esquema aqui,mas não consegui provar... Eder
[no subject]
Mais uma dúvida: R é um retângulo.Encontre o conjunto de todos os pontos que estão mais próximos do centro do retângulo que de qualquer vértice. Agradeço comentários. Eder
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
Dadoum elemento qualquer pertencente a X,temos n posssibilidades de correspondência com algum outroelemento de Y.Pode-se dizer o mesmo para demais elementos de X.Daí,o total de sequências depares ordenados que podem ser formadas será n*n*n...*n,m vezes,sendo que cada sequência de pares ordenados representa um função em particular.Acho que isso mostra que cardF(X,Y)=n^m Corrijam-me se eu tiver cometido algum equívoco. Eder - Original Message - From: Tertuliano Carneiro de Souza Neto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 15, 2003 5:05 PM Subject: [obm-l] Conjuntos finitos Olá pessoal, nao consegui resolver o problema abaixo.Alguem pode tentar pra mim, por favor?Seja F(X;Y) o conjunto das funcoes com dominio em X eimagem em Y. Se cardX=m e cardY=n, prove que cardF(X;Y)=n^m.Tertuliano Carneiro.De Salvador. ___Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] Re: [obm-l] Equação
Para x diferente de 1,3 e 5,a equação é equivalente a 25*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) = x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4) ou ainda 25*(x-2)*(x-4) = x*(x-2)*(x-4) Facilmente,vê-se que x=2 e x=4 satisfazem a relação acima.Finalmente,para x diferente de 2 e de 4,resta x=25. Logo,são três valores satisfatórios: 2,4 e 25. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 12, 2003 4:56 PM Subject: [obm-l] Equação Olá pessoal, Porque o número de raízes da equação abaixo é 3 ? [25*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)] / [(x-1)*(x-3)*(x-5)] = [x*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)] / [ (x-1)*(x-3)*(x-5)] Dúvida: Eu "cortei" o (x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4)] / [(x-1)*(x-3)*(x-5)] nos dois membros e obtive x=25, não está certo? Como chegar ao resultado de 3 raízes ?
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analtica
Vc tem de levar em consideração que o ponto M pertence à reta y-2x+5 = 0e à circunferência x²+y²=5 ao mesmo tempo. Para y= 1,na reta,vem que1-2x+5=0 = x=3 e teríamos o ponto (3,1),diferente de M... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 12, 2003 5:07 AM Subject: [obm-l] Geometria analítica Olá pessoal, Vejam a questão: A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x^2 + y^2 = 5. A reta y = – x + p intercepta C nos pontos M e Q. Determine o valor de p ? Resolução: y = 2x - 5 x^2 + y^2 = 5 , portanto x^2 + (2x – 5)^2 = 5x^2+ 4x^2 – 20x + 20 = 0 5 x^2 – 20x + 20 = 0 x= 2 y= – 1 Logo, M (2,– 1)y = – x + p – 1 = – 2 + p p = 1 Dúvida: Substituindo o x=2 em x^2+ y^2 = 5 temos y=1 e y= -1, então porque só foi considerado o -1 em M (2,– 1)? Por que não considerar M (2, 1) se a eq. do 2º da dois valores o -1 e também o 1?
Re: [obm-l] Problema t
cos(p/65).cos(2p/65).cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65) =x sen(pi/65)cos(p/65).cos(2p/65).cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65) =xsen(pi/65) (1/2)sen(2pi/65)cos(2p/65).cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65)=xsen(pi/65) (1/4)sen(4pi/65)cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65)=xsen(pi/65) (1/8)sen(8pi/65)cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65) =xsen(pi/65) (1/16)sen(16pi/65).cos(16p/65).cos(32p/65) =xsen(pi/65) (1/32)sen(32pi/65)cos(32p/65)=xsen(pi/65) (1/64)sen(64pi/65)=xsen(pi/65) Note agora que 64pi/65 e pi/65 são suplementares,ou seja,sen(64pi/65)=sen(pi/65).Daí: x=1/64 Se eu não tiver me atrapalhado em alguma etapa,é isso aí. Eder - Original Message - From: Bruno To: OBM-L Cc: OBM-L Sent: Friday, January 10, 2003 7:34 PM Subject: [obm-l] Problema "t" Olá pessoal, Eu estava tentando este problema e não conseguiu. "cos(p/65).cos(2p/65).cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65) é igual a: a)1/2 b)1/8 c)1/32 d)1/64 e)1 " Até
Re: [obm-l] geometria plana
Vou tentar descrever direitinho.Essa saiu até facilemente. Vamos aplicar o Teorema da Bissetriz interna duas vezes.Lembrando: Num triângulo ABC,seja AD a bissetriz do ângulo Â,D sobre BC.Então vale: BD/AB = CD/AC Beleza? Então consideremos agoranossa situação.Chamemos AS de x e CS de 7-x.Pelo TBI: x/6 = (7-x)/8 (*) Condidere agora o triângulo CBS.Novamente: 8/BI = (7-X)/IS == BI/IS = 8(7-x) (**) Só que de (*),por uma propriedade das proporções: x/6 = (7-x)/8 = (x+7-x)/(6+8) = 7/14 = 1/2 Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:06 PM Subject: [obm-l] geometria plana Olá pessoal, Imaginem um triângulo de base BC=8, AB= 6, AC= 7. Sendo BS bissetriz do ângulo B ( o ponto S pertence à AC) e CI bissetriz do ângulo C (o ponto I é o ponto de intersecção das bissetrizes). Como eu posso provar que a razão BI/IS vale 2 ?
Re: [obm-l] geometria plana
Droga...Cometi um erro na passagem "Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado." Como vc mesmo pode ver,é 8/(7-x)=2.Foi mal aí. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:14 PM Subject: Re: [obm-l] geometria plana Vou tentar descrever direitinho.Essa saiu até facilemente. Vamos aplicar o Teorema da Bissetriz interna duas vezes.Lembrando: Num triângulo ABC,seja AD a bissetriz do ângulo Â,D sobre BC.Então vale: BD/AB = CD/AC Beleza? Então consideremos agoranossa situação.Chamemos AS de x e CS de 7-x.Pelo TBI: x/6 = (7-x)/8 (*) Condidere agora o triângulo CBS.Novamente: 8/BI = (7-X)/IS == BI/IS = 8(7-x) (**) Só que de (*),por uma propriedade das proporções: x/6 = (7-x)/8 = (x+7-x)/(6+8) = 7/14 = 1/2 Ou seja, 8/(7-x)=1/2 (***).Comparando (***) e (**),temos o resultado desejado. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 09, 2003 8:06 PM Subject: [obm-l] geometria plana Olá pessoal, Imaginem um triângulo de base BC=8, AB= 6, AC= 7. Sendo BS bissetriz do ângulo B ( o ponto S pertence à AC) e CI bissetriz do ângulo C (o ponto I é o ponto de intersecção das bissetrizes). Como eu posso provar que a razão BI/IS vale 2 ?
Re: [obm-l] Problemas de Geometria
Title: Help Obrigado pelas dicas e pelos problemas propostos,Cláudio.Eu nunca fiz aula de preparação para olimpíada e tenho ralado sozinho mesmo.Só fui me interessar mais pelo assunto depois que concluí o ensino médio e por causa de uns vestibulares difíceis que tentei com sucesso(ITA e IME).Só me resta agora participar do nível universitário.O problema é que as questões são bem difíceis,mais dirigidas a quem vinha fazendo olimpíadas continuamente...Mas acho que vou participar,não custa nada.Valeu! - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 06, 2003 5:00 PM Subject: [obm-l] Problemas de Geometria Caro Eder: Pode acreditar que os seus dois problemas de geometriaforem difíceis pra mim também. Repare que nos dois problemas aparecem, de uma forma ou de outra, ângulos inscritos em circunferências. Na maioria dos problemas envolvendo ângulos vale a pena checar para ver se alguma circunferência contém dois ou mais dos ângulos do problema ou, como no caso do problema 1, se você pode transladar algum ângulo de forma que ele fique inscrito na mesma circunferência que algum outro. Outros itens que aparecem com frequência e são a chave para a solução do problema são quadriláteros inscritíveis, paralelogramos, triângulos isósceles esemelhança de triângulos. Não existe um método fixopara se atacar problemas de geometria (especialmente a nível de olimpíada). No entanto, há uma grande probabilidade que estes problemas envolvam os elementos acima. O pior caso é quando você precisa construir uma reta ou segmento auxiliar a fim de fazer um dos itens acima aparecer. Aí, acho que só a experiência ajuda... Como treino, tente os seguintes problemas: 1) O triângulo ABC é isosceles, com AB = AC. O ângulo BAC mede 20 graus. Traçam-se os segmento BD e CE,(D em AC e entre A e C; E em AB e entre A e B) formando, com a base BC,ângulos de 60 e 50 graus, respectivamente. Calcule o valor do ângulo BDE. Dica: construa um segmento auxiliar que faça aparecer triângulos isósceles ou, com sorte, um triângulo equilátero. 2) Prove o Teorema de Ptolomeu: Num quadrilátero inscritível ABCD, vale AB*CD + AD*BC = AC*BD. Dica: um segmento auxiliar bem construído podeproduzir triângulos semelhantesestratégicos. 3) Dado um triângulo ABC, construa três circunferências tendo, cada uma, um dos lados do triângulo como diâmetro. Prove que os pontos de interseção de cada par de circunferências pertence a pelo menos um dos lados do triângulo. 4) No problema anterior, prove que as três cordas que unem os pontos de interseção de cada parcircunferências são concorrentes. Que ponto é esse (em relação ao triângulo ABC)? 5) Um triângulo equilátero ABC está inscrito numa circunferência. Prove que, qualquer que seja o ponto P no arco BC (que não contém o vértice A), teremos: PA = PB + PC. Dica: use um dos problemas anteriores. Um abraço, Claudio Buffara.
Re: [obm-l] geometria
Ótimo.Eu juro que tentei pra caramba,mas não saia nada.Valeu! - Original Message - From: larryp To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 05, 2003 9:04 PM Subject: Re: [obm-l] geometria Problema 2: ABCD é um quadrilátero cíclico. Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD. Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. O resultado estará provado se conseguirmos mostrar que os ângulos MAB e MDC são iguais. 1)Tome pontos L em AK e N em MB tais que A esteja entre K e L eque B esteja entre M e N e em seguida use as propriedades dos ângulos e arcos na circunferência: Arco AB = KAB = MDB = KCA = MBA Arco ADC = ABC Arco BCD = BAD 2) Com as igualdades de ângulos deduzidas acima, conclua que certos triângulos são semelhantes: KCA = KABe CKA = AKB == Triângulos KCA e KABsão semelhantes == AC / AB = KC / KA = KA / KB == KA^2 = KB * KC MDB = MBA e DMB = BMA == Triângulos MBD e MAB são semelhantes == BD / AB= MD / MB = MB / MA == MB^2 = MA * MD 3) Levando em conta que KC = 2 * KB e MD = 2 * MA, teremos: KA^2 = 2 * KB^2 e MB^2 = 2 * MA^2 == KA / KB = MB / MA = raiz(2) Ou seja, AC / AB = KA / KB = MB / MA = BD / AB = raiz(2) Assim, AC = BD = AB * raiz(2) 4) Cordas iguais subentendem arcos iguais. AC = BD == Arco ADC = Arco BCD == Ângulo ABC = Ângulo BAD. 5) ABCD é cíclico == ABC + CDA = 180 graus == BAD + CDA = 180 graus Mas, MAB + BAD = 180 graus (são suplementares) == MAB = CDA = MDC == AB // CD e o resultado está provado. - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 2:51 PM Subject: [obm-l] geometria Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
Re: [obm-l] Trigonometria
a)sen(27pi)=sen(26pi+pi)=senpi=0 Em geral,sen(teta+2kpi)=sen(teta) com k inteiro.São todos arcos côngruos... b)sen(-37pi3)=sen(-36pi/3 -pi3)=sen(-12pi -pi/3)=sen(-pi/3)=-sen(pi/3)= -sqrt3/2 c)sen(15pi/2)=sen(7pi +pi/2)=sen(pi+pi/2)=sen(3pi/2)= -1 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 03, 2003 4:01 AM Subject: [obm-l] Trigonometria Por que tg(9pi/4) = tg(pi/4) ? Como fazer estas conversões? Regra de três ou os conceitos de arcos côngruos e/ou equações trigonométricas? Como calcular: a) sen 27pi b) sen (-37pi/3) c)cos (15pi/2) Se vcs me explicarem como fazer estes três eu ficarei muito agradecido, pois assim poderei fazer o restante do meu caderno de estudos. Ps: O exercício que eu estou fazendo tem + ou - 18, a maioria eu fiz utilizando regra de três, ou seja, transformando os radianos em graus, dividindo por 360º e pegando o resto como valor notável mas o problema é que este resto nem sempre dava um valor notável. Será que meu erro está em transformar em graus? Devo fazer regra de três de radianos para radianos, pois neste tipo de exercício como vocês podem ver acima, pede para calcular o sen,cos e tg só de radianos e não de graus. Em alguns casos eu até resolvi facilmente como sen (17pi/2) ou sen (-13pi/2), pois encontrava valores notáveis. Mas, nos itens como em a, b,c não encontrei esses valores notáveis.
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica
Seja P(a,b) o ponto médio do segmento AC.Calculam-se a e b facilmente: a = (1+7)/2=4 b = (2+4)/2=3 Basta achar a equação da reta que passa por B(4,5) e por P(4,3).Como a reta será da formaax+by+c=0 e para x=4 temos dois valores correspondentes,tá na cara que só podemos ter a=1,b=0 e c=-4 ,ou seja,x=4.Na dúvida,tire a reta pelo método do determinante. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 AM Subject: [obm-l] Geometria analítica Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). Resposta A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na equação da mediana como nessa questão ?
[obm-l] geometria
Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equaçoes
Da primeira equação, vem que x=2 e y=3.O que é que resulta em 6? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] sistema de equaçoes Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128 Ps: a resposta é 6 Eu não estou conseguindo resolver este sistema de equações pois sempre eu "caio"em uma equação com potências de bases diferentes em um membro e outro.
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
r(x)= ap(x) + bq(x) = 4x^2 + kx - 8= a(2x^2 - 3x - 2, ) + b(x^2 - 5x + 1) = = 4x^2+kx-8=x^2(2a+b)+x(-3a-5b)+(b-2a) Pela identidade de polinômios: 2a+b=4 (1) 3a+5b= -k (2) b-2a=-8 (3) De (1) e (2) vem que a=3 e b= - 2.Substituindo estes valores em (2),tiramos k=1. Portanto: a+b+k=2. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] polinômios Se r(x)= ap(x) + bq(x), com r(x)= 4x^2 + kx - 8, p(x)= 2x^2 - 3x - 2, q(x)=x^2 - 5x + 1, com a, b e k pertencendo aos reais, então a+b+k=? O meu gabarito dá como resposta 2. Eu consengui desenvolver apenas o seguinte (não sei se era preciso fazer isso para resolver a questão): 4x^2 + kx - 8= a(2x^2 - 3x - 2, ) + b(x^2 - 5x + 1). A partir disso eu não consegui continuar...
Re: [obm-l] trigonometria
6x/pi = 1 =x=pi/6 =3x=pi/2 =cos(pi/2) = 0 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:15 PM Subject: [obm-l] trigonometria Porque se a tg (9pi/4)=6x/pi, então cos 3x é zero?
[obm-l] ???
Por favor,ajudem-me com essa: Num triângulo ABC,sejam BD e CE as medidas das bissetrizes dos ângulos ABC e BCA,respectivamente.Prove que ABC é isósceles = BD=CE Eder
[obm-l] ???
Olá colegas de lista, Sendo a e b ângulos agudos, posso dizer que sen(2a+b)/sen2a = sen(2b+a)/sen2b apenas para a=b ?Existem outras possibilidades? Tava resolvendo um problema proposto aqui lista: Num triângulo ABC,sejam BD e CE as medidas das bissetrizes dos ângulos ABC e BCA,respectivamente.Prove que ABC é isósceles == BD=CE Eu estava exatamente na "volta".Através da observação dos ângulos e da lei dos senos,chegueià expressão acima.O problema é que não consegui desenvolvê-la.Posso concluir logo que a=b apenas olhando a expressão e pelo fato de a e b serem agudos (fiz med(ABC)=2a e med(BCA)=2b)?
Re: [obm-l] geometria
Trabalhoso esse problema! Mas vamos lá: Primeiro vamos trabalhar com o que foi dado,veja que [AEFD]=3[BCF] = [AEFD]/[BCF]=3 = ( [AEFD]+BCF])/[BCF] )=4 = = ( [ABCD] - [EBF] - [CDF] )/[BCF] = 4 Pronto,basta calcular cada área separadamente e jogar o resultado na expressão acima.Chamando a altura do paralelogramo de y e notando a semelhança dos triângulos EBF e CDF,achamos [EBF]= x²y/2(x+a) [CDF]=a²y/2(x+a) Facilmente,temos que [ABCD]=ay. Para o cáculo de [BFC],note que [BFC]=[EBC] - [EBF],onde [EBC]=xy/2 e [EBF] está calculado acima.Assim, chegamos a [BFC]=axy/2(x+a). Substituindo na expressão inicial e simplicando,olha só o que apareçe: x² + 2ax -a² = 0 ,donde segue x=a(sqrt2 - 1), pois x 0. Muito interessante esse problema.Lembrei-me da dica de um amigo do colégio que dizia que devemos sempre tentar transformar as expressões dadas no enunciado do problema,equivalentemente, é claro,de modo a facilitar nosso trabalho.Esse meu colega resolveu um problema de geometria (que posso postar depois,assim que encotrá-lo nas minhas coisas!),onde era pedido que se chegasse a uma relação dada.A expressão inicial não dava pista nenhuma,mas ele foi dizendo que isso é o mesmo que isso,que, por sua vez,era mesmo que mais isso,até chegar numa relação boba!De demonstração imediata! Neste problema,em particular,eu deixei o quadrilátero para de lado.Talvez alguém da lista possa mostrar que não era tão difícil assim trabalhar com o quadrilátero,mas eu não vi de cara e preferi trabalhar com os triângulos. Valeu?! Eder - Original Message - From: Rafael [EMAIL PROTECTED] To: OBM [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 19, 2002 3:25 PM Subject: [obm-l] geometria Esse aqui está me dando trabalho: Num paralelogramo ABCD,uma reta passando por C intercepta a digonal BD em F e o lado AB em E. Calcular BE = x, em função de AB = a, sabendo que a área do quadrilátero AEFD é o triplo da área do triangulo BCF. Resposta: x = a.[raiz(2) - 1 ] Se alguém tiver uma dica, agradeço... Rafael. ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:
Oi Paulo,
Acredito que minha tradução estava certa ou pelo menos não comprometia
muito.O que estava errado era o p(p(x))=0 no site do John Scholes...
- Original Message -
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, December 21, 2002 6:16 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Ola Prof Morgado e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O contra-exemplo do Prof Morgado, dado abaixo, de forma elegante
efetivamente encerra a questao. O enunciado esta incorreto. Considerem
agora
o problema :
Sejam a, b e c tres reais quaisquer. Se p(x)=ax^2 + bx + c e
p(x)=x nao tem raiz real entao p(p(x))=x nao tem raiz real.
Alias, esta discussao, indiretamente, mostra o quao capciosas podem ser as
traducoes, nao podendo nunca se resumirem a mera transposicao literal do
enunciado de um idioma para outro ...
Este espirito natalino que nos invade, me levou a pensar em Jesus, que os
cristaos consideram O Cristo Prometido. Depois, por associacao de ideias,
me
lembrei de um dos Profetas que o antecederam, Salomao. E dai a um dos
proverbios deste Profeta : Nao respondas ao tolo segundo a sua
estulticia,
para que nao tambem nao te tornes semelhante a ele
Um abraco a Todos !
Paulo Santa Rita
7,1812,211202
From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re:
Date: Sat, 21 Dec 2002 00:30:59 -0200
Vou tentar encerrar a discussao. Tome p(x) = x^2 + 4x + 3. A equaçao p(x)
=
x reduz-se a x^2 + 3x + 3 = 0 ue nao tem raiz real pois seu
discriminante
eh negativo (-3). Como p(-2) = -1, p(p(-2)) = p(-1) = 0, NAO EH VERDADE
que
p(p(x))=0 nao possua raiz real, pois -2 eh raiz da referida equaçao.
Assim
como esse, ha muitos contraexemplos que podem ser dados (vejam mensagem
de
Salvador Addas Zanata).
Peço desculpas a todos pelo contraexemplo que mandei em mensagens
anteriores, pois ele estah errado.
Morgado
Eder wrote:
Esse problema foi retirado do site do John Scholes e o enunciado é:
Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real roots,prove that p(p(x))=0
has
no real roots.
- Original Message -
From: A. C. Morgado mailto:[EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 20, 2002 5:12 PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote:
Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e que a é diferente
de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, então o módulo da
ordenada do máximo ou do mínimo de f(x)=p(p(x)) é maior que o
módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de g(x)=p(x) -x e
depois prove que o sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda
função não tem raiz real a primeira também não tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda hipótese: g '' (x) =2a ;
f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx +c) +c =
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b) = f '' (x)
=4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f '' (x)/g '' (x) 0
= 2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b 0 =
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2 +b 0 = h(x) =
6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b 0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é positivo, devemos apenas
provar que h(x) não possui raízes reais.
Se h(x) não possui raízes reais então : 36(a^2)(b^2)
-24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c + (a^2)b} 0 =
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b 0 = 12b^2 -48ac -24b 0 =
b^2 -4ac -2b 0 = b^2-4ac 2b ( 1 )
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais. Logo (b-1)^2 -4ac
0 = b^2 -2b +1 -4ac 0 = b^2 -4ac 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui raízes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hipótese. g ' (x) = 0 = 2ax +b-1
=0 = x = (1-b)/2a = g ((1-b)/2a) =((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c
=
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x) é |
{-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax +b) = f ' (x) = (2ax
+b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) ; f ' (x) =0 =
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b) =0.
O primeiro caso implica em: x= -b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +
2(a^2)b).
Vamos provar que delta 0 : 4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b)
0 = b^2 -4ac -2b 0 = b^2-4ac 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com o caso x= -b/2a =
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2 +b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)
+c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c =
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a)) +c = a(c^2)
-c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
módulo da ordenada de máximo ou
Re: [obm-l] Re:
Esse problema foi retirado do site do John Scholes
e o enunciado é:
Define p(x)=ax²+bx+c.If p(x)=x has no real
roots,prove that p(p(x))=0 has no real roots.
- Original Message -
From:
A. C.
Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, December 20, 2002 5:12
PM
Subject: Re: [obm-l] Re:
Wagner wrote:
Oi pessoal !
2)Vou supor que a,b,c,x sejam números reais e
que a é diferente de zero.
Prove que se p(x)=x não tem nenhuma raiz
real, entãoo módulo da ordenada do máximo ou do mínimode
f(x)=p(p(x)) é maior que o módulo da ordenada do máximo ou do mínimo de
g(x)=p(x) -x e depois prove queo sinal da derivada de segunda ordem de
f(x)=p(p(x)) e de g(x)=p(x) -x é o mesmo, assim se a segunda função não tem
raiz real a primeira também não tem.
Prova: Primeiro vou provar a segunda
hipótese:g '' (x) =2a ; f(x)= a(ax^2 +bx +c)^2 +b(ax^2 +bx
+c) +c =
f ' (x) =2a(ax^2 +bx +c)(2ax +b) +b(2ax +b)
= f '' (x) =4(a^2)(ax^2 +bx +c) +2a(2ax +b)^2 +2ab.
Se a segunda hipótese é verdadeira então f ''
(x)/g '' (x) 0 =2a(ax^2 +bx +c) +(2ax +b)^2 +b 0 =
2(a^2)(x^2) +2abx +2ac + 4(a^2)(x^2) +4abx +b^2
+b 0 = h(x) = 6(a^2)(x^2) +6abx +b^2 +2ac +b
0.
Como o coeficiente dominante de h(x) é
positivo, devemos apenas provar que h(x) não possui raízes
reais.
Se h(x) não possui raízes reais então :
36(a^2)(b^2) -24{(a^2)(b^2) + 2(a^3)c +(a^2)b} 0
=
12(a^2)(b^2) -48(a^3)c -24(a^2)b 0 =
12b^2 -48ac -24b 0 = b^2 -4ac -2b 0 = b^2-4ac 2b ( 1
)
Para provar ( 1 ) vou fazer algumas
considerações:
Devemos ter que p(x)=x não tem raízes reais.
Logo (b-1)^2 -4ac 0 = b^2 -2b +1 -4ac 0 = b^2
-4ac 2b -1,
logo ( 1 ) é verdadeira se p(x) = x não possui
raízes reais CQD.
Devemos provar agora a primeira hipótese. g '
(x) = 0 = 2ax +b-1 =0 = x = (1-b)/2a = g ((1-b)/2a)
=((b^2-2b+1)/4a) +(-b^2/2a) +c =
=c +(-b^2-2b+1)/4a = (4ac -b^2-2b+1)/4a
=
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de g (x)
é | {-(b^2+2b-1-4ac)/(4a)} | = y
f ' (x) = 2a(ax^2 +bx +c)(2ax+b) +b(2ax
+b)= f ' (x) = (2ax +b)(2(a^2)(x^2) +2abx +2ac
+b);f ' (x) =0 =
(2ax +b) =0 ou (2(a^2)(x^2) +2abx +2ac +b)
=0.
O primeiro caso implica em: x=
-b/2a
O segundo caso implica em: delta= 4(a^2)(b^2)
-4(4(a^3)c + 2(a^2)b).
Vamos provar quedelta 0:
4(a^2)(b^2) -4(4(a^3)c +2(a^2)b) 0 = b^2 -4ac -2b 0 =
b^2-4ac 2b ( 1 ).
Como ( 1 ) já foi provado, então ficamos só com
o caso x= -b/2a =
f(-b/2a) = a((b^2/4a) -(b^2/2a) +c)^2
+b((b^2/4a) -(b^2/2a) +c) +c = a(c -(b^2/4a))^2 +b(c -(b^2/4a)) +c
=
=a{c^2 -c(b^2)/2a +(b^4/16a^2)}+b(c -(b^2/4a))
+c = a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
módulo da ordenada de máximo ou mínimo de f (x)
é | {a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c} | = z.
Como a segunda hipótese é verdadeira então se
g(x) tem máximo definido f(x) também tem, e se g(x)
tem mínimo definido f(x) também tem. Temos que
se p(x) =x não tem raiz real f '(x) e g'(x) só tem uma
raiz real, note que se a 0, g(x) tem
mínimo e se a 0, g(x) tem máximo. Logo para provar a primeira hipótese,
temos
que considerar 2 casos : a 0 e a
0.
Suponha que a primeira hipótese seja
falsa:
a 0 = y zey,z
0= g((1-b)/2a) f(-b/2a) =-b^2/4a -b/2a +1/4a
+c a(c^2) -c(b^2)/2 +b^4/16a +bc -b^3/4a +c =
-4b^2 -8b +4 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4
+16bc -4b^3 = 16(a^2)(c^2) -8ac(b^2) +b^4 +16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 =h(a)
0
Considere ( 2 ) uma função do 2º grau de
variável a. Temos a 0, logo:
64(b^4)(c^2) -64(b^4)(c^2) -64(c^2)(16bc -4b^3
+4b^2 -8b +4) 0 = 16bc -4b^3 +4b^2 -8b +4 0 ( 3 ).
De ( 2 ) vem que: (b^2 -4ac)^2 -(16bc
-4b^3 +4b^2 -8b +4) 0 . Absurdo !
Para o caso a 0 = y z, temos um
raciocínio análogo, provamos que se a 0, então h(a) 0, logo o
delta de h(a)
é negativo, o que nos leva a conclusão de que
(b^2 -4ac)^2 0 Absurdo !
Logo a primeira hipótese é verdadeira, porque é
absurdo que ela seja falsa se a segunda hipótese é verdadeira,
Logo p(x)=x não ter raízes reais implica na
segunda hipótese qua implica na primeira.
Se a primeira e a segunda hipóteses são ambas
verdadeiras, isso implica que p(p(x))=0 não tem nenhuma raiz
real
CQD.
Isso eh falso. Se p(x) = x^2 +3x+2, a equaçao p(p(x))=0
tem uma raiz real entre -1 e 0.
OBS:Me desculpem pelo e-mail que eu mandei sem
querer antes, ele estava com a resposta pela metade.
André T.
-
Original Message -
From:
Eder
To:
[EMAIL PROTECTED]
Sent:
Thursday, December 19, 2002 5:32 PM
Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas
[no subject]
Gostaria da ajuda de vcs nestes problemas russos: 1)Um triângulotem área 1 e lados a = b = c.Prove que b² = 2. 2)Defina p(x)=ax²+bx+c.Se p(x)=x não tem nenhuma raiz real, prove que p(p(x)) = 0 também não tem nenhuma raiz real. Grato pela ajuda. Eder
Re: [obm-l] Ajuda Sobre um site (estranho!!)
Puxa,um site brasileiro com tudo isso seria o máximo! - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, December 19, 2002 7:02 PM Subject: Re: [obm-l] Ajuda Sobre um site (estranho!!) Acho que ninguem entendeu:eu tenho provas traduzidas e queria uma ajuda para coloca-las em rede do jeito mais adequado.Para isso eu precisaria de alguem que soubesse eascrever em algo mais compacto que o Word(alias o Windows ja esta ficando jurassico,digo,cambriano :) ),como o .ps,ou .pdf ,e tambem o .tex e .dvi.E claro uma caixade e-mails onde eu e os webmasters estariamos vendo e-mails com soluçoes de problemas nao-resolvidos e novas soluçoes mais elegantes ou nao de problemas ja respondidos. E ainda,como eu faço coleçoes de problemas respondidos por mim e por varios professores que conheço,seria legal eu fazer um link com varias dessas perolas,desde a demonstraçao do Postulado de Bertrand ate a demonstraçao elementar do TNP.Elas serviriam como treinamento para olimpiadas em geral. Entenderam? Ass.:Johann Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Caro Anderson Torres e Marcelo Leitner,muito mais interessante do que fazer um site contendo as provas que contémoutros sites (com o do John Scholes) é fazer um site que contém as provas*traduzidas* para o Português. Então acho que o trabalho verdadeiro é o detradução. Acredito que montar a página seja a tarefa mais simples.Coincidentemente, este trabalho de tradução já está sendo desenvolvido. OPaulo Santa Rita possui muitas questões russas (por exemplo), e eu e eletemos trabalhado na tradução de problemas de nível universitário, porenquanto. A olimpíada Putnam, que está no site do Scholes, já foipraticamente toda traduzida por nós: são mais de 800 problemas. Porenquanto, ainda há muitos erros de tradução, dúvidas quanto ao significadode questões, e coisas do tipo. Se você quiser dar uma olhada, visitewww.geocities.com/olimpiadag a! ucha/putnam.html,onde eu disponibilizei temporariamente algumas delas. Eu e o Paulo iríamosnos empenhar em dar um acabamento final, decidir quais formatosdisponibilizar, e fazer um sistema de busca, identificando por assuntos cadaquestões. Só que iríamos fazer isso em Janeiro (quando começam as férias) esó DEPOIS anunciaríamos o trabalho pronto.Recentemente, eu já comecei a traduzir as IMO's, traduzi muito pouca coisa,só as 5 primeiras. Seria legal - se você(s) estiverem de acordo em trabalharseriamente conosco - dividir tarefas e trabalho de tradução para que duaspessoas não façam o mesmo serviço repetidas vezes.Não sei se o Paulo vai se incomodar com o fato de eu ter avisado do trabalhosem ele estar pronto... mas achei que seria uma boa idéia unirmos forças emum mesmo sentido, do que ficarmos latindo separadamente um para cada lado...Abraço,Eduardo.From: "Marcelo Leitner" <[EMAIL PROTECTED]>! On Thu, Dec 12, 2002 at 04:37:29PM -0300, Johann Peter Gustav LejeuneDirichlet wrote: Ola turma da Lista OBM Estou pensando em montar um site com provas das varias Olimpiadas mundoafora,mais ou menos como o John Scholes fez.No momento tenho provas daCone-Sul(algumas),Iberoamericana,IMO,Chinesa,Estadunidense,APMO,Balcanica,Rioplatense(algumas),listas de treinamento e seleçao para provas de variasolimpiadas,e milhares de problemas legais(de Geometria principalmente).Ate aVingança Olimpica vai entrar na festa!!! Mas primeiro preciso de algumas coisas:um segundo webmaster(nao voupoder fazer varias coisas sozinho) e um provedor decente que de o espaço deque preciso(afinal tenho prova a dar com o pau!) e leitores curtos tipo TeXe GSView.Se alguem puder me ajudar agradeço muito! Ass.:Johann ---end quoted text--- Ae Johann ,! eu me disponibilizo se quiser minha ajuda. Tenho conhecimentosem html, php, mysql e LaTeX. Quanto ao provedor, eu tenho adsl, a banda de upload eh 1/2 pequena,150kbits/s, mas eh 24hrs (com direito a nobreak :)) e jah tenho um servidor httpaberto.. o unico problema eh que a porta 80 eh firewalled pela telepar, aihcomplica p/ ter um dominio tipo www.algo.com.br, mas se espaco p/ as provas forprblm, dah p/ deixar os .htm* .php em algum provedor e as provas em si aqui.. bom, era isso, qlquer coisa meu email tah aih em baixo :) ah sim, o server roda em ambiente linux, com servidor ssh aberto e talz.. []'s -- Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]> = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O! administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
[obm-l] probabilidade
Por favor,ajudem-me com esta: Em um balcão de supermercado, foram esquecidas duas sacolas.Uma continha 3 latas de atum,2 de ervilha e 5 de sardinha;a outra,x latas de atum,3 de ervilha e 3 de sardinha.Escolhe-se ao acaso uma sacola e retira-se uma lata.Qual é o menor valor de x para que a probabilidade de tratar-se de uma lata de atum seja,no mínimo, 50%? Eder
[obm-l] Re: [obm-l] dúvida polinômios
Muito interessante.Valeu,Fábio! - Original Message - From: joao dias [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, November 30, 2002 8:40 PM Subject: Re: [obm-l] dúvida polinômios At 18:06 29/11/2002 -0200, you wrote: Olá companheiros de lista, Eu gostaria de saber o que há de especial quando temos p(x) = p(x-k) ou p(x)=p(k-x),k real,para um polinômio qualquer.Tipo,que informações interessantes podem ser retiradas de uma igualdade dessas,como essas igualdades podem ser úteis na resolução de problemas... Agradeço por quaisquer comentários. Eder Se p(x) = p(x-k) então ... = p(n-2k) = p(n-k) = p(n) = p(n+k) = p(n+2k) = ... Assim, q(x) = p(x) - p(n) tem infitas raízes, logo é identicamente nulo == p(x) é constante. Se p(x) = p(k-x), então p(x+k/2) = p(-x+k/2) == q(x) = p(x-k/2) é um polinômio par (q(x) = q(-x), o que implica que todos os seus termos têm expoentes pares). []s, Fábio Dias (pelo email de meu pai) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] dúvida polinômios
Olá companheiros de lista, Eu gostaria de saber o que há de especial quando temos p(x) = p(x-k) ou p(x)=p(k-x),k real,para um polinômio qualquer.Tipo,que informações interessantes podem ser retiradas de uma igualdade dessas,como essas igualdades podem ser úteis na resolução de problemas... Agradeço por quaisquer comentários. Eder
Re: [obm-l] da Vunesp
Sendo f uma função injetora,os itens b,e podem ser eliminados.Pelos dados da questão,não se pode afirmar com certeza o que consta nos itens a,c.Resta o item d.De fato,se f for sobrejetora,para todo a pertencente a B,existe x pertencente a A tal que a=f(x). Acho que é isso... - Original Message - From: pichurin [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 28, 2002 1:03 AM Subject: [obm-l] da Vunesp Sejam A e B dois conjuntos não vazios tais que a sua intersecção é o conjunto vazio e seja f de A em B uma função injetora.Se a é um elemento de B então, para x pertencente a A, a equação f(x)=a a) Não tem solução b)tem duas soluções c) tem umaúnica solução d) terá solução se a função f for sobrejetora e) tem mais que duas soluções. ___ Yahoo! Acesso Grátis Internet rápida, grátis e fácil. Faça o download do discador agora mesmo. http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Mais ajuda!
3)(1 + i)^n = (1- i )^n == (1+i/1-i)^n=1 == (1+i)^(2n)=2^n Mas 1+i=sqrt2cis(pi/4) ==(1+i)²=2cis(pi/2) ==(1+i)^(2n)=2^n cis(npi/2) Devemos ter,então,cis(npi/2)=1=cis0 == npi/2=0+2kpi== n=4k ; k inteiro Acho que é isso... - Original Message - From: Sharon Guedes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, November 20, 2002 12:54 AM Subject: [obm-l] Mais ajuda! Olá pessoal, será que alguém poderia me ajudar nessas questões: 1) Determine o conjunto solução da equação ÷ z÷ ² + z z .`z = 3 + 3i Resposta : 3 + 3i 2)Sabendo que z é um número complexo tal quez . `z= 24 ,calcule o módulo de z. Resposta: 2Ö 6 (UFRGS) A igualdade (1 + i)^n = (1- i )^n se verifica se e somente se: n = 4K, k Î z n = 0 n é ímpar n é par n é primo. At. Sharon. Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] ???
Olá, Eu gostaria de passar um probleminha que não vi ainda como resolver: Dois colecionadores de selos têm,juntos,500 selos.Cada colecionador comprou um álbum para colocar seus selos.Os dois álbuns eram idênticos,tendo o mesmo número de páginas. Se o primeiro colecionador colocar exatamente 21 selos em cada página,ele vai conseguir colocar todos os seus selos e usar todas as páginas do álbum. Se o segundo colecionador colocar 20 de seus selos em cada página do álbum,sobrarão alguns selos.Caso ele coloque 23 selos em cada página,sobra pelo menos uma,totalmente vazia,podendo haver ainda uma outra página com menos de 20 selos. Quantas páginas há no álbum???
[obm-l] Re: [obm-l] ângulo?
Seja O o centro da circunferência.Ligando o centro O aos pontos B e C,será formado o triângulo equilátero BOC.Basta notar agora que ângulo(BOC)= 60º = 2.ângulo(BAC).Logo, ângulo(BAC)=30º. - Original Message - From: Juliana Löff [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, November 14, 2002 8:58 PM Subject: [obm-l] ângulo? E aí, pessoal? Agradeço uma ajuda aqui nessa questão! Ju --- Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo BAC mede: a) 15º b) 30º c) 36º d) 45º e) 60º = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] IME 2003
x=raiz cúbica(20+14sqrt2)+raiz cúbica(20-14sqrt2) Eleve ao cubo os dois lados,usando a identidade: (A+B)³=A³+B³+3AB(A+B) Fica: x³=20+14sqrt2+20-14sqrt2+3.raiz cúbica8.x (note que A+B=x) x³-6x-40=0 É fácil ver que 4 é raiz dessa equação,mostrando que a expressão inicial é um inteiro múltiplo de 4. Quanto a sua outra pergunta,eu não saberia te dar uma regra geral...Sei lá,depende do problema...Vamos ver se alguém da lista dá alguma dica. - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 10, 2002 10:47 AM Subject: [obm-l] IME 2003 Esta questão é da prova do IME que foi realizada nesta semana que passou. Alguém poderia me dar uma ajuda. Qual a melhor forma de resolver exercícios em que se tem que demonstrar ou provar as coisas, tipo essas questões do IME ? Obrigado pela ajuda. Wander
[obm-l] ???
1)Mostrar que n!.n! n^n ,n2. 2)Determinar todos os inteiros positivos x e y tais que x³-y³=xy-61. Obrigado por quaisquer comentários. Eder
[obm-l] teoria dos números
Gostaria de ajuda nestes problemas: 1)Se 2^k - 1,onde k é um inteiro maior que 2,é primo,prove que k é primo. 2)Mostre que ^() + ^() é divisível por 7. 3)Prove que se um dos números 2^n - 1 e 2^n + 1 é primo,então óutro é composto.
[obm-l] Re: [obm-l] teoria dos números
Valeu pela ajuda,Morgado. - Original Message - From: Augusto César Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, November 04, 2002 7:09 PM Subject: Re: [obm-l] teoria dos números 3) 2^n-1, 2^n, 2^n+1 sao tres inteiros consecutivos; um deles eh multiplo de 3...1) x^n - 1 = (x - 1) [x^(n-1)+x^(n-2)+...+1]Logo, se x eh inteiro, x^n - 1 eh divisivel por x - 1Se k eh composto, k = ab com a e b inteiros maiores que 1.2^(ab)-1 = x^b -1 com x = 2^a eh divisivel por 2^a - 1.. .Eder wrote: 007e01c28435$d3a2f340$3c02fea9@Eder" type="cite"> Gostaria de ajuda nestes problemas: 1)Se 2^k - 1,onde k é um inteiro maior que 2,é primo,prove que k é primo. 2)Mostre que ^() + ^() é divisível por 7. 3)Prove que se um dos números 2^n - 1 e 2^n + 1 é primo,então óutro é composto.
Re: [obm-l] desafio !
Uma vez alguém me falou de uma analogia interessante que poderia ser utilizada neste problema... É o seguinte: Consideremos um polígono convexo de 11 lados e,é claro,de 11 vértices.Você posicionaria 1homem em cada vértice,assim estes estariam em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas teriam um homem em comum.Agora, considere as diagonais.Imaginando uma diagonal como um homem,vemos que aqui também é respeitado o fato de que cada homem estaria em exatamente duas patrulhas e cada duas patrulhas,ligadas pela diagonal,teriam um homem em comum.Assim o total de homens é: nº vértices+nº diagonais= 11 +11(11-3)/2 = 55. Seja n o número de homens por patrulha.Temos que 11*n=2*55 (pois cada homem foi contado duas vezes),daí n=10. Espero que esteja certo. Eder - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:09 PM Subject: [obm-l] desafio ! Dúvida: Um comandante de companhia convocou voluntários para a constituição de 11 patrulhas. Todas elas são formadas pelo mesmo número de homens. Cada homem participa de exatamente duas patrulhas. Cada duas patrulhas tem somente um homem em comum. Determine o múmero de voluntários e integrantes de uma patrulha. Agradeço desde já. Wander
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
(2a+1)+(2a+3)+(2a+5)+...(2a+2n-1)=7³ 2na+(1+3+5+...+2n-1)=7³ 2na+n(1+2n-1)/2=7³ 2na+n²=7³ n(n+2a)=7³ Observe que n e a são inteiros,em particular,n0.Agora temos as possibilidades: 1)n=1 e n+2a=7³ == 2a=7³-1 ==2a=342 Nesse caso, temos um único termo (2a+1)=343. 2)n=7 e n+2a=7² == 2a=7²-7=42 Nesse caso,os termos são 43,45,47,49,51,53 e 55 (7 termos). 3)n=7² e n+2a=7 ==2a= -42 Nesse caso,os termos são -42,--40,-38,...,54 (7² termos) 4)n=7³ e n+2a=1 == 2a= -342 Nesse caso, os termos são -341,-340,...,343 (7³ termos) Bom,acho que é isso. Eder - Original Message - From: Wander Junior To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, November 03, 2002 2:41 PM Subject: [obm-l] questão IME Alguem pode me ajudar com esta questão do IME do ano de 1997-1998? Uma soma finita de números inteiros consecutivos, ímpares, positivos ou negativos, é igual a 7^3 (7 elevado ao cubo). Determine os termos desta soma. Obrigado.
[obm-l] ??
Olá, Não tô conseguindo resolver isto (em R) : x+sqrt(x²-10x+9) sqrt(x+2sqrt(x²-10x+9) ) Ah!E como eu provaria que não existe uma função real f tal que f(f(x))=x²-1996? Grato por quaisquer comentários. Eder
[obm-l] Re: [obm-l] QUESTÃO RIDÍCULA, PORÉM COMPLICADA !!
Se duas das raízes são a e -a,então a soma das três raízes dará a terceira.Temos: a+(-a)+b= -k/8 == b = -k/8 (terceira raiz) Substituindo tal valor de b na equação original: 8*(-k³/8³)+(k²/8²)k-18(k/8)+9 = 0 == 9-18k/8=0 == 1-k/4=0 == k=4 Espero que esteja tudo direitinho... - Original Message - From: Afemano To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, October 26, 2002 5:46 PM Subject: [obm-l] QUESTÃO RIDÍCULA, PORÉM COMPLICADA !! Alguém me da uma luz nessa questão plz ?!?!? Seja P(x) = 8x^3 + kx^2 - 18x + 9. E suas raízes "a" e "-a", determine "k". Eu tentei por Giraldi e chegueia conclusão de que k 0 mas. não achei em lugar nenhum com isso.. Gabriel
[obm-l] equação
Olá, Gostaria de uma ajudinha na equação abaixo: 4senx + 2cosx - 3tgx - 2=0 Já tentei uma monte de coisa aqui e nada...
[obm-l] ??
Achar as soluções inteiras de 1/x+1/y=1/1998.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida
Seguindo o racionínio do Villard,veja que se representarmos na base 2 o valor dos pontos ganhos em cada pergunta ,teremos sempre representações diferentes.Teremos sempre um 1 e alguns zeros,ou apenas zeros (no caso de repostas erradas).Nunca teremos duas pontuações com 1's na mesma posição.Exemplos hipotéticos de pontuações: 0010 0100 0001,mas não aparecem 0110 ou 0010 novamente O que isso tem de especial? Na hora de somarmos as pontuações,os 1's aparecerão na ordem das perguntas respondidas corretamente!De fato,basta lembrar como se soma números binários,como teremos sempre 1 em cima de zero ou zero em cima de zero Pois é,basta representar o resultado na base 2 e contar da direita para esquerda,essa é a ordem das perguntas.Daí ele ter respondido as perguntas 2,6,7 e 10.Note que a representação na base 2 não compromete,ou melhor, ele está por trás de tudo!Caso a pergunta 1 tivesse sido respondida corretamente o candidato ganharia 1*2º=1 ponto,conforme expresso no enunciado.Espero ter ajudado. Eder - Original Message - From: Henrique Branco [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, September 30, 2002 11:59 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida Pergunta besta... Mas se 610 = (1001100010)_2, por que ele acertou as perguntas 2, 6, 7, 10? Desculpem pelo nivel primario da pergunta... Mas... Grato, Henrique. - Original Message - From: Rodrigo Villard Milet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, September 28, 2002 9:00 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] dúvida Escreva 610 na base 2 : 610 = (1001100010)_2. Como sabemos que a representação na base 2 é única, ele acertou as perguntas 2,6,7 e 10. Villard -Mensagem original- De: Mário Pereira [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] Data: Sábado, 28 de Setembro de 2002 11:22 Assunto: [obm-l] dúvida Olá, se alguém puder, me dê uma dica: Em um jogo de televisão, um candidato deve responder a 10 perguntas. A primeira vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, e assim, sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes às respostas que acertou, mesmo que erre algumas. Se o candidato obteve 610 pontos, quantas perguntas acertou? Obrigado, Mário. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Mais uma...
Essa foi da olimpíada russa: "Sabendo que a quadrática x²+ax+b+1 tem raízes inteiras e positivas,mostre que a²+b² é composto." Bom,supondo X1 e X2 raízes,analisei as possibilidades de serem ambas ímpares,uma par e outra ímpar e as duas pares.O único problema que encontrei foi para o último caso.X1 e X2 pares implicab ímpar e a par.Diferente dos outros casos,não pude ou não vi como concluir que a²+b² é composto.Aguardo comentários.
[obm-l] ???
Olá, Gostaria de ajuda na situação abaixo. Sendo a,b e c inteiros positivos,resolva: (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2. Eu estava tentando e não me pareceu haver solução...
[obm-l] analítica
Olá, Dada a equação de uma circunferência : (x-4)²+(y-3)²=9,como faço para achar o ponto sobre a mesma que está a menor distância da origem?Alguém poderia dar uma dica?
Re: [obm-l] ???
Vou checar se não distorci o problema.Ele caiu na
olimpíada interna do meu colégio.
- Original Message -
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Augusto
César Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, September 07, 2002 9:07
PM
Subject: Re: [obm-l] ???
Ha alguma coisa errada no problema 2.Em um polinomio de
coeficientes inteiros, P(a) - P(b) eh divisivel por a-b (a, b inteiros,
naturalmente).Entao, 247 - 17 = 230 deveria ser divisivel por
32 - 21 = 11.Eder wrote:
Gostaria de ajuda nestes
problemas:
1)Encontre todas as soluções reais de
cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
Bom,eu tranformei cosx+cos7x em produto,depois
saí fazendo simplificações para ficar somente com cosx.Substituindo cosx po
m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi fácil checar que m=1
==cosx=1==x=2kpi é solução (na verdade é fácil de ver isso no
enunciado),porém não soube mais o que fazer depois disso,para ver se há
outras soluções.
2)Considere um polinômio de coeficientes
inteiros.Sabe-se que p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para
algum N tivermos p(N)=51.Então N=26.
Obrigado pela ajuda.
Eder
Re: [obm-l] ???
Agora que percebi! Não dá para ver direito que
p(32)= - 247.Assim, -247-17=264 que é divisível por 11.Continuo esperando alguma
luz nesse problema...
- Original Message -
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Augusto
César Morgado
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Sent: Saturday, September 07, 2002 9:07
PM
Subject: Re: [obm-l] ???
Ha alguma coisa errada no problema 2.Em um polinomio de
coeficientes inteiros, P(a) - P(b) eh divisivel por a-b (a, b inteiros,
naturalmente).Entao, 247 - 17 = 230 deveria ser divisivel por
32 - 21 = 11.Eder wrote:
Gostaria de ajuda nestes
problemas:
1)Encontre todas as soluções reais de
cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
Bom,eu tranformei cosx+cos7x em produto,depois
saí fazendo simplificações para ficar somente com cosx.Substituindo cosx po
m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi fácil checar que m=1
==cosx=1==x=2kpi é solução (na verdade é fácil de ver isso no
enunciado),porém não soube mais o que fazer depois disso,para ver se há
outras soluções.
2)Considere um polinômio de coeficientes
inteiros.Sabe-se que p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se para
algum N tivermos p(N)=51.Então N=26.
Obrigado pela ajuda.
Eder
Re: [obm-l] ???
-247-17 = -264
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Eder
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Sent: Saturday, September 07, 2002 10:07
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Subject: Re: [obm-l] ???
Agora que percebi! Não dá para ver direito que
p(32)= - 247.Assim, -247-17=264 que é divisível por 11.Continuo esperando
alguma luz nesse problema...
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Augusto César Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Saturday, September 07, 2002 9:07
PM
Subject: Re: [obm-l] ???
Ha alguma coisa errada no problema 2.Em um polinomio de
coeficientes inteiros, P(a) - P(b) eh divisivel por a-b (a, b inteiros,
naturalmente).Entao, 247 - 17 = 230 deveria ser divisivel por
32 - 21 = 11.Eder wrote:
Gostaria de ajuda nestes
problemas:
1)Encontre todas as soluções reais de
cosx+(cosx)^5+cos7x=3.
Bom,eu tranformei cosx+cos7x em
produto,depois saí fazendo simplificações para ficar somente com
cosx.Substituindo cosx po m,cheguei a um polinômio bem "estranho".Foi
fácil checar que m=1 ==cosx=1==x=2kpi é solução (na verdade
é fácil de ver isso no enunciado),porém não soube mais o que fazer depois
disso,para ver se há outras soluções.
2)Considere um polinômio de coeficientes
inteiros.Sabe-se que p(21)=17,p(32)=-247 e p(37)=33.Prove que se
para algum N tivermos p(N)=51.Então N=26.
Obrigado pela ajuda.
Eder
Re: [obm-l] Re:
Esse problema apareceu na primeira ou na segunda Eureka,se não me engano e o enunciado é assim mesmo. - Original Message - From: Augusto César Morgado To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, August 26, 2002 7:45 PM Subject: [obm-l] Re: Eh isso mesmo?A resposta eh nao existe. Claro, se 7/10 p/q 11/15 entao 7/10 np/nq 11/15 e se um q satisfaz, todos os multiplos satisfarao.Eder wrote: 002301c24d48$fd9241c0$f1f3fea9@Eder" type="cite"> Será que alguém poderia me ajudar neste problema: Se p e q são inteiros positivos tais que 7/10 p/q 11/15 ,qual o maior valor que q pode assumir? Obrigado.
[obm-l] ???
Olá, Aí vão alguns problemas que não estou conseguindo resolver: i)Encontre todas as soluções inteiras de a²-3ab-a+b = 0. ii)Mostre que (8^n )*19+17 é composto para qualquer inteiro não-negativo n. Grato por quaisquer comentários. Eder
[obm-l] ???
Gostaria de ajuda neste problema: Determinar para que valores de n, inteiros e positivos ,tem-se 61|(5^n - 4^n). Obrigado. Eder
[obm-l] Re: [obm-l] questão IME
Se provarmos que k^5 - k é múltiplo de 10,o problema estará acabado.Vejamos: i)Pelo Pequeno Teorema de Fermat,temos que k^5=k (mod 5),ou seja,existe c inteiro tal que k^5-k=c*5.Então k^5-k é múltiplo de 5. ii)K^5-k=k(k^4-1)=k(k^2-1)(k^2+1)=(k-1)k(k+1)(k^2+1).Observe a presença de dois interios consecutivos: k e k+1 ou k e k-1 e k.Dentre eles,um é necessariamente par,o que torna todo o produto múltiplo de 2. Sendo k^5-k múltiplo de 2 e de 5 ao mesmo tempo,podemos concluir que k^5-k é múltiplo de 10.Acabado o problema. Não sei se podemos simplesmente escrever o que está escrito no item i,se a banca aceitaria.Pensemos outra forma de provar que k^5-k é M5... Bom,todo inteiro pode ser escrito numa das seguintes formas: 5m,5m+1,5m+2,5m+3 e 5m+4,m inteiro.Daí: i)Se k=5m,perfeito. ii)Se k=5m+1,então k-1=5m,perfeito. iii)Se k=5m+2,então k^2+1= 25m^2+20m+5,que é M5,perfeito. iv)Se k=5m+3,entãok^2+1=25m^2+30m+10,que é M5,perfeito. v)Se k=5m+4,então k+1=5m+5,que é M5,perfeito. Essa seria outra forma. Eder - Original Message - From: rafaelc.l [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, August 10, 2002 5:25 PM Subject: [obm-l] questão IME Por favor, me ajudem a resolver a questão abaixo que caiu no IME. Provar que para qualquer numero inteiro k, os números k e k^5 terminam sempre com o mesmo algarismo das unidades. obrigado __ AcessoBOL, só R$ 9,90! O menor preço do mercado! Assine já! http://www.bol.com.br/acessobol = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] off
Olá companheiros de lista, Estou com um probleminhameio chato.É que toda vez que tento fazer o download de um arquivo pdf não sou perguntado se querosalvar oarquivo em pasta,o download é iniciado automaticamente numa pasta temporária.Algém saberia me dizer como devo proceder para que possa escolher a pasta de destino?Agradeço qualquer ajuda e peço desculpas por quaisquer incômodos (e se a dúvida for meio básica).É que realemente não vi outra saída,senão perguntar a vcs. Eder
[obm-l] ??
Olá, Gostaria de expor dois problemas que não estou conseguindo resolver.Caso alguém queira comentar,agradeço. 1)Resolver a equação 32z^5=(z+1)^5 no campo dos complexos. 2)Provar por indução que ( (n+1)/n)^n = n (menor ou igual). Valeu aí por qualquer coisa. Eder
[obm-l] ????
Olá, Gostaria de expor dois problemas que não estou conseguindo resolver.Caso alguém queira comentar,agradeço. 1)Resolver a equação 32z^5=(z+1)^5 no campo dos complexos. 2)Provar por indução que ( (n+1)/n)^n = n (menor ou igual). Valeu aí por qualquer coisa. Eder
Re: [obm-l] ??
Esqueci de citar,no segundo problema,que n=3. - Original Message - From: Marcio To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 07, 2002 6:06 PM Subject: Re: [obm-l] ?? A primeira equacaoda 2z = w(z+1), onde w eh uma das raizes quintas da unidade. Portanto, as cinco solucoes sao dadas por z = w/(2-w), fazendo w igual a cada uma das raizes exp(2kpi*i/5) (eh soh vc ver que essas 5 raizes servem e sao distintas, logo sao todas as raizes possiveis da eq. polinomial). No 2o, vc quer mostrar que f(n)=(1+1/n)^n = n sempre, mas f(1)=21... f(2)=25/4 2... Marcio - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, July 07, 2002 12:50 PM Subject: [obm-l] ?? Olá, Gostaria de expor dois problemas que não estou conseguindo resolver.Caso alguém queira comentar,agradeço. 1)Resolver a equação 32z^5=(z+1)^5 no campo dos complexos. 2)Provar por indução que ( (n+1)/n)^n = n (menor ou igual). Valeu aí por qualquer coisa. Eder
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo
Valeu Ralph, Essa expressão surgiu do seguinte problema: detrerminar o menor caminho que uma formiguinha pode fazer por sobre a superfície de um cubo de aresta 1,de um vértice a outro "diagonalmente oposto". Eu admiti uma trajetória genérica e cheguei a esse valor para o caminho.Eu já imaginava que a=1/2,mas queria provar algebricamente. - Original Message - From: Ralph Teixeira To: '[EMAIL PROTECTED]' Sent: Monday, May 20, 2002 3:55 PM Subject: [obm-l] RES: [obm-l] valor mínimo É possível sim. 1) Via cálculo Derive a expressão com relação a "a", iguale a zero, dá uma equação meio feia mas sai que a=1/2; 1.1)Cálculo incrementado Note que, se f(x)=sqrt(1+(1-x)^2)+sqrt(1+x^2), então f(x)=f(1-x), isto é, o gráfico da função é simétrico com relação à reta x=1/2. Isto sugere fazer y=x-1/2, e então f(y)=sqrt(1+(y-1/2)^2)+sqrt(1+(y+1/2)^2). Os cálculos aqui já são um pouco mais simples... Dá até para fazer a partir daqui sem cálculo, com mágica 2) Por geometria ...mas se você quer uma maneira BEM mágica de fazer, pense assim: f(a)=sqrt(1+(1-a)^2)+sqrt(1+a^2) é a soma das distâncias do ponto (1,a) aos pontos (0,1) e (2,0). Em outras palavras, queremos o ponto P(1,a) na reta x=1 que minimiza as somas das distâncias aos pontos B(0,1) e C(2,0) -- que são fixos e se encontram um de cada lado da reta! Ora, o menor caminho BPC é o segmento de reta que liga B a C! Assim, o mínimo se dá quando B,P e C estão alinhados; note que, então, P será o ponto médio de BC, isto é, a=1/2. Legal? Abraço, Ralph -Mensagem original-De: Eder [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Enviada em: sexta-feira, 17 de maio de 2002 21:34Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] valor mínimoOlá,É possível determinar para que valor de a,tem-se y= sqrt( 1+ (1-a)²) + sqrt(1+ a²) mínimo?
[obm-l] ??
Olá, Ficarei muito gratoa quem me ajuar com o seguinte problema: "Mostre que para todo m0, sqrt(x)+m=x tem exatamente uma raiz." É do volume 1 da coleção Matemática para o ensino médio.
Re: [obm-l] Re: ???
Alguns colegas meus acharam 67.Ninguém achou 65,ainda.Eu considerei que o jardineiro partia do centro da fila de mudas e que ia colocando 3 mudas no lado direito,3 no lado esquerdo,...,e cheguei a uma distância total de 35 hectômetros.Porém,eu somei a distância da última viagem,o que não seria necessário,pela sua resolução.Vamos ver se alguém esclarece isso... - Original Message - From: Alexandre Tessarollo To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, May 01, 2002 4:26 AM Subject: [obm-l] Re: ??? Bem, ele planta a primeira muda, anda 5m, planta a 2a, anda +5m, plantaa terceira e volta 10m até a origem. Logo, sendo d[n] a distância percorrida p/plantar o n-ésimo triode árvores, temos d[1]=20m. P/plantar a 4a muda, ele anda 10+5m, depois +5 p/a 5a, +5 p/a sextae volta +25m até a origem. Ou seja, d[2]=50m. Se vc observar, d[n]=2d[n-1]+2*(5+5+5) ou seja:d[n]=2*(d[n-1]+15). Assim, temosd[1]=20d[2]=50d[3]=130d[4]=290d[5]=610d[6]=1250d[7]=2550 ...Confesso que não consegui achar nenhum padrão nessa sequencia, a não serqued[n]=3d[n-1]-d[n-2] para n2d[n]=8d[n-2]-3d[n-3] para n3 Então, tentemos de uma forma mais simples:os primeiros 10m ele percorre 2n vezes no trio n de mudas (10*2*n);os 15m seguintes ele percorre 2(n-1) vezes (15*2*(n-1));os 15m depois, 2(n-2) vezes (15*2*(n-2));e assim sucessivamente. Lembrando que há 21 trios de mudas, a distância total percorrida seriadeD=10*2*21+15*2*20+15*2*19+...15*2*1D=420+15*2*(20+19+18+...+1)D=6720 Vale lembra que, após plantar a última muda o jardineiro NÃO precisavoltar a origem. Portanto, devemos excluir a distância entre a última e a primeira muda, ou seja, precisamosexcluir 100m da conta - se alguém não entedeu pq 100m, imagine 21 MARCOS numa estrada, distantes5m uns dos outros e tente achar a distância total. Assim, a distância percorrida pelo nosso jardineiro do plantio da primeiramuda até o plantio da última muda é de 6620m ou, se vc preferir, 66,2 hectômetros(a abreviação é hm ouHm?) Se você puder colocar a resoluçào daquelas pessoas que acharm 65 serialegal. Obviamente, uma das 2 está errada e a outra talvez esteja certa. De qq forma, comentem a minharesposta e vamos ver como se acha 65...[]'sAlexandre TessarolloPS: NÃO tenho certeza dessa solução, ainda vou revisá-la com a devida calma.Achei melhor publicá-la logo pq sei q depois de revisá-la num papel não vou ter a necessária paciênciap/digitar... :-)) A propósito., minhas resolução e resposta bateram com a sua? Caso não, publique-asvc tb!Eder wrote: Olá colegas de lista, O seguinte problema,proposto em um vestibular daUNB,está causando uma controvérsia lá no colégio...Tenho um gabarito dizendo que a respostaé 65,porém eu não consigo chegar a esse resultado,nem alguns colegas de sala.Se alguém puder resolver,agradeço.No projeto urbanístico de uma cidade ,o paisagista previu a urbanização do canteiro central de umadas avenidas,com o plantio de 63 mudas de Flamboyant,todas dispostas em linha reta e distantes 5m umada outra.No dia do plantio,o caminhão descarregou as mudas no canteiro central,no local onde seriaplantada a primeira muda.Um jardineiro foi designado para executar o serviço.Para isso,partindo dolugar onde as mudas foram colocadas,ele pegou 3 mudas de cada vez,plantou-as nos locais designados,enfileirando-asuma após a outra.Calcule ,em hectômetros,a distância total mínima percorrida pelojardineiro após finalizar o trabalho.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]=
[obm-l] ???
Olá colegas de lista, O seguinte problema,proposto em um vestibular da UNB,está causando uma controvérsia lá no colégio...Tenho um gabarito dizendo que a resposta é 65,porém eu não consigo chegar a esse resultado,nem alguns colegas de sala.Se alguém puder resolver,agradeço. No projeto urbanístico de uma cidade ,o paisagista previu a urbanização do canteiro central de uma das avenidas,com o plantio de 63 mudas de Flamboyant,todas dispostas em linha reta e distantes 5m uma da outra.No dia do plantio,o caminhão descarregou as mudas no canteiro central,no local onde seria plantada a primeira muda.Um jardineiro foi designado para executar o serviço.Para isso,partindo do lugar onde as mudas foram colocadas,ele pegou 3 mudas de cada vez,plantou-as nos locais designados,enfileirando-as uma após a outra.Calcule,em hectômetros,a distância total mínima percorrida pelo jardineiro após finalizar o trabalho.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração
Obrigado pela solução. - Original Message - From: Lucelindo D. Ferreira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, April 27, 2002 5:23 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] demonstração E aí Eber tudo blz! Tudo começa com a Lei dos Senos observe que senA = senA', senC = sen(a+B), senC' = sen(A-B).Então pela famosa lei dos senos. a/senA=b/senB=c/sen(A+B) a'/senA = b'/senB=c'/sen(A-B) aa'/(senA)^2 = bb'/ (senB)^2 = cc'/[(senAcosB)^2 - (senBcosA)^2] bb' = aa'(senB^2)/(senA^2) cc' = aa'[(senAcosB)^2 - (senBcosA)^2]/(senA)^2 bb' +cc' = aa'[(senAcosB)^2+ senB^2(1-cosA^2)]/(senA)^2 = aa'[ (senAcosB)^2 + (senBsenA)^2]/(senA)^2= aa'[senA^2(cosB^2 + senB^2)/(senA)^2= aa'. See you later - Original Message - From: Eder To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, April 22, 2002 5:45 PM Subject: [obm-l] demonstração Num tô conseguindo... "Dados doi triângulos ABC e A'B'C' nos quais A+A'=180º e B=B',demonstre que aa'=bb'+cc'." Obrigado por qualquer ajuda.
[obm-l] demonstração
Num tô conseguindo... "Dados doi triângulos ABC e A'B'C' nos quais A+A'=180º e B=B',demonstre que aa'=bb'+cc'." Obrigado por qualquer ajuda.
[obm-l] AS
Olá, Eu gostaria de pedir licensa para colocar uma dúvida que talvez esteja mais relacionada a Física que a Matemática,ou não...É o seguinte: As grandezas da relação abaixo foram medidas sem erro até o penúltimo algarismo significativo.Especifique o erro relativo máximo e o número de algarismos significativos de cada uma destas grandezas: a)0,0093m b)0,08275m O número de AS são 2 e 4 ,respectivamente,se não me engano.Agora,como calcular esse erro relativo máximo? Mais uma vez,peço desculpas a quem não achar conveniente esta mensagem. Eder
[obm-l] Re
Valeu pela resolução David e demais
companheiros de lista.
Eu gostaria de propor mais duas:
1)Seja f:R==R,não identicamente nula,tal
que
f(x)*f(y)=(1/2)[f(x+y)+f(x-y)] e f(1)=0,para
todos os números reais x e y.
a)Mostre que f(0)=1,f(2)=-1,f(3)=0 e
f(4)=1.
b)Mostre que f(x+4)=f(x),para todo x
real.
c)Existe de fato tal função.
É fácil verificar o item a,mas não consegui o b e o
c.
2)Seja p(x)=x^3+ax^2+bx+c um polinômio com
coeficientes inteiros.Suponha que a equação p(x)-0 tem raízes inteiras
distintas.Mostre que a equação p(x)-1=0 não admite nenhuma raiz
inteira.
3)Dada uma equação do segundo grau, com
coeficientes inteiros,mostre que seu discriminante não pode ser igual a
23.
Essa eu acho que consegui fazer.Como eu não tenho
muita prática em problemas de olimpíada,vou esboçar minha resolução.Quem vir
alguma besteira,pode comentar se quiser.
Fiz y=ax²+bx+c (com a,b e c nas condições do
enunciado)
Observei que todo quadrado perfeito termina em
0,1,4,5,6 ou 9 e que os múltiplos de 4 terminam em
0,2,4,6 ou 8.
Daí verifiquei o algarismo das unidades de
delta=b²-4ac admitindo b² terminando em 0,1,4,5,6 ou 9.
As possibilidades de 3 ser o algarismo das unidades
de delta apareceram para b² terminando em 1 e b² terminando em 9.
Para b² terminando em 1,temos que b termina em 1 ou
9.Daí b pertence {+-1,+-9,+-11,+-19,...}.
Esses números são da forma 4k+ -1,k
inteiro.
(4k+ -1)²=16k²+-8k+1
Como delta =b²-4ac,fiz delta igual a
23:
16k²+-8k+1-4ac=23 == 2(k²+-2k-ac)=11 == 11
émúltiplo de 2(absurdo)
Para b² terminando em 5,temos b múltiplo ímpar de
5.Pondo b=5(2k+1):
delta=25(4k²+4k+1)-4ac
Fazendo delta=23,resulta 25k²+25k-ac=(-1/2).Mas
sendo k,a e c inteiros isso não pode acontecer.
Delta nunca é igual a 23.
- Original Message -
From:
David
Daniel Turchick
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, February 21, 2002 12:36
AM
Subject: Re: [obm-l] ???
Eder, eu mandei e-mail respondendo à sua
dúvida prá lista, mas por algum motivo ele não chegou, sei lá pq... Aí vai a
minha resposta.
Você conhece o Teorema de Cramer? Ele diz que
um sistema linear de n equações a n incógnitas tem solução única se, e somente
se, o determinante da matriz dos coeficientes for não-nulo.
Sendo os pontos (x_1,y_1), (x_2,y_2) e (x_3,y_3), queremos
encontrar a,b,c reais tais que a*(x_i)^2+b*x_1+c=y_i,
i=1,2,3. Acabamos então de montar um sistema linear de 3 equações a 3
incógnitas, a, b e c. A matriz dos coeficientes é {[(x_1)^2, x_1, 1],
[(x_2)^2, x_2, 1], [(x_3)^2, x_3, 1]}, cujo determinante é
(x_2-x_1)*(x_3-x_1)*(x_3-x_2) (a matriz é de Vandermonde, então é fácil). Isso
só seria zero se tivéssemos coincidência de pelo menos duas abscissas, o que
você explicitou não acontecer. Logo, pelo Teorema de Cramer, EXISTEM ÚNICOS
a,b,c reais que satisfazem o sistema. Fora isso, o a não é zero, pois se
fosse, teríamos a reta bx+c passando pelos três pontos (que você disse serem
não-colineares). Logo, existe uma única parábola passando pelos três
pontos.
Você pode verificar que esse argumento (até a parte do "a
não é zero, pois...") continua valendo para um caso mais geral: por n pontos
de RxR com abscissas distintas 2 a 2, passa no máximo uma função polinomial de
grau n-1.
David
-Mensagem original-De:
Eder [EMAIL PROTECTED]Para:
[EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]Data:
Quarta-feira, 20 de Fevereiro de 2002 16:38Assunto: [obm-l]
???
Olá,
Será que alguém poderia ajudar nesta
questão:
"Considere três pontos no plano cartesiano,não
colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções
quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam
aos seus gráficos?"
Essa questão foi do vestibular de uma
universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não matei a
charada...
[obm-l] ???
Olá, Será que alguém poderia ajudar nesta questão: "Considere três pontos no plano cartesiano,não colineares e com abcissas distintas duas a duas.Qual o número de funções quadráticas que podem ser encontradas de maneira que esses pontos pertençam aos seus gráficos?" Essa questão foi do vestibular de uma universidade não lá muito conceituada,mas eu ainda não matei a charada...
Re: iezzi
2940x= m^3== (2^2)*3*5*(7^2)x=m^3 Completamos os cubos fazendo x=2*(3^2)*7*(5^2) == x= 3150 (valor mínimo).Assim podemos extrair a raiz cúbica em ambos lados,"m" resultando inteiro. - Original Message - From: gabriel guedes To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 06, 2002 1:45 PM Subject: iezzi Ola amigos da lista, estou com difilculdades neste problema : Determine o menor numero inteiro positivo x para q 2940x= m^3 em q m é um inteiro positivo. Abraços Gabriel.
triângulo
No triângulo ABC C=3A (ângulos),a=27 e c=48.Quanto mede b? Até agora não resolvi essa... Outra: Se (a^b)=(b^a) e b=(9^a),qual o valor de a? Conto com a ajuda dos colegas de lista.
