RE: [obm-l] geometria...
''Seja P um pto fixo,O o centro de um circulo e AB uma corda variavel paralela ''a OP. mostre q a soma PA^2 + PB^2 é cte. Olá! Trazendo esse problema para o plano complexo, e supondo que O é a origem, P está no eixo real e a circunferência tem raio r, seja P = x real e A = r*e^(ia), B = r*e^(ib). Como AB é paralelo ao eixo real, temos que sen a = sen b, de maneira que a = pi/2 + s, b = pi/2 - s, e segue que A = r*i*z, B = r*i*z', onde z = e^(is) e z' = e^(-is) é o conjugado de z. Como simplificação final, pondo r*i*z = w, temos que A = w e B = -w', com |w| = r. PA^2 + PB^2 = |w - x|^2 + |-w' - x|^2 = |w - x|^2 + |w' + x|^2 = 2*r^2 + 2*x^2 - w*x' - w'*x + w'*x + w*x' = 2*r^2 + 2*x^2 + x*(w + w' - w - w') = 2*r^2 + 2*x^2 = constante. (Repare que x' = x) []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] perimetro minimo
''Srs, '' ''Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo '' ''a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que ''á área dos quatros triângulos '' restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso as ''hipotenusas devem saer máximas o que ocorre quando cada cateto = l/2 ''(l=lado do quadrado original). '' 2 2 ''b) h=sqrt((l/2) +(l/2) = 1/2*sqrt(2)*l '' ''perímetro = 4 * 1/2*sqrt(2)*A =2sqrt(2)*l Olá, Rodrigo. Este raciocínio está errado primeiro pelo fato de que existem infinitos quadriláteros XYZW com vértices em ABCD com perímetro 2*sqrt(2)*l, e consequentemente os triângulos exteriores podem ser um pouco diferentes dos que você sugeriu. Para todo s tal que 0 s l, considere o quadrilátero XYZW caracterizado por AX = AW = CY = CZ = s. O perímetro de todos eles é 2*sqrt(2)*l. O que é verdade é que a única possibilidade para estes triângulos exteriores é que eles sejam isósceles, logo essa parametrização via s pega todos os quadriláteros possíveis que minimizam o perímetro. Além disso, a área dos triângulos de fora nada têm a ver com o perímetro de ABCD. Se você acreditou no que eu escrevi, então para XYZW minimizando o perímetro, temos que a soma das áreas dos triângulos de fora é 2*s^2 - 2*l*s + l^2 = 2*(s - l/2)^2 + l^2/2. Portanto, essas áreas podem assumir todos os valores entre l^2/2 e l^2 (mas não podem se igualar a nenhum deles). []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] perimetro minimo
''Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA respectivamente. ''Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero XYZW. Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z a fim de que XY + YZ e ZW + WX sejam o menor possível cada um; é simplesmente o princípio da reflexão num espelho plano. Por exemplo, vejamos onde Y tem que ficar: Tomando X' na semi reta AB tal que XB = BX', com B entre X e X', temos que XY + ZY é mínimo quando Y é a interseção de ZX' com BC. Como para qualquer Y* em BC temos Y*X = Y*X', basta ver que se Y Y* entãp ZY*X' é um triângulo, e a desigualdade triângular nos dá que ZY* + Y*X' ZX' = ZY + YX'. Repare que com isso os triângulos ZCY e YBX' são semelhantes, se sendo YBX' e YBX congruentes, temos a semelhança de ZCY com XBY, e valem as igualdes de ângulos BYX^ = CYZ^ e BXY^ = YZC^. A mesma coisa se aplica na determinação de W. Agora se pensarmos em X e Y determinados por W e Z, repetindo o argumento e juntando todas as informações (comparando ângulos e vendo as igualdades) temos que o perímetro é mínimo quando temos AXW^ = BXY^ = CZY^ = DZW^ e DWZ^ = AWX^ = XYB^ = ZYC^, o que implica que XYZW é paralelogramo e também que ZC = AX. Logo, se r = XB temos que ZC = l - r, onde l é o lado do quadrado ABCD. Assim, ZY + YX = ZX' = l*sqrt(2). Como estamos num paralelogramo, o perímetro será o dobro disso, assim, o perímetro mínimo é 2*sqrt(2)*l. Desenhando fica fácil acompanhar o argumento. Só fica faltando mostrar que é prejuízo fazer um ou mais pontos dentre X,Y,Z e W coincidirem com A,B,C ou D. Evidentemente, XYZW ser igual a ABCD é prejuízo. Se agora digamos A = X, B = Y e C Z, D W, temos que ZY ZC = l pois ZY é hipotenusa de ZCY. Pela desigualdade triangular, ZW + WX ZX, e sendo ZX hipotenusa vem que ZX l, logo o perímetro é maior que 3*l 2*sqrt(2)*l. Se agora A = X, B = Y e C = Z, temos W D. Outra vez pela desigualdade triangular, WX + ZW XZ, logo o perímetro é maior que l*(2 + sqrt(2)) 2*sqrt(2)*l. Finalmente, se digamos X = A, Y = C, então a fim de que tenhamos um quadrilátero, temos Z D W. Novamente, pela desigualde triangular, ZW + ZY WY e XW + WY XY, logo o perímetro é maior que 2*XY = 2*sqrt(2)*l. Isso conclui a prova. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] FUNCOES
''Considere uma funcao real sobrejetora f tal que f(f(x)+y)=x+f(y) para todo ''x, y reais. Determine f(0). Como f é sobrejetora, existe s em R tal que f(s) = 0. Ponto x = s, y = f(s), temos da relação que f(f(s) + f(s)) = s + f(f(s)) == f(0) = s + f(0) == s = 0. Assim, f(0) = 0. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Resultante de Vetores
''Seja ABC um triângulo cujo circuncentro é O. ''Qual a resultante (soma) dos vetores OA, OB e OC? Que coisa, nunca havia pensado nessa soma e no que ela é!Interessante! Para facilitar a vida, podemos imaginar a circunferência circunscrita como o círculo unitário de centro na origem do plano complexo. Assim, A = e^(ia), B = e^(ib), C = e^(ic) e O = 0, sendo a b c a, 0 = a, b, c 2*pi. A idéia é mostrar que a resultante R é o ortocentro. Para isso, é suficiente mostrar que AR é perpendicular a BC e BR é perpendicular a AC. Temos AR = e^(ib) + e^(ic), e BC = e^(ic) - e^(ib). Como Re((e^(ib) + e^(ic))*(e^(-ib) - e^(-ic))) = 0, temos que AR é perpendicular a BC. Analogamente se mostra que BR é perpendicular a AC, logo R é o ortocentro. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos
''Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta eh
a bola
''fechada de mesmos centro e raio?
Não. Por exemplo, Z com a métrica vinda do valor absoluto: a bola aberta
unitária de centro em x é {x}, logo ela também é fechada e então coincide
com o fecho. Por outro lado, a bola fechada unitária de centro x é o conjunto
{x-1, x, x+1}.
''Se x pertence a a um espaco metrico X com metrica d, existe alguma condicao
''necessaria e suficiente para que os fechos das bolas abertas centradas
em
''x
''sejam as bolas fechada de mesmos centros e raios?
Para um raio r fixo, sejam B* a bola fechada de raio r e centro em x, B
a bola aberta de mesmo centro e raio, Bf o fecho dessa bola e B' o conjunto
de seus pontos de acumulação. Temos Bf = B U B' e queremos saber se B* =
Bf.
Como B* é um fechado contendo B, temos que B* contém Bf, logo contém B'.
Para termos B* contido em Bf, é necessário e suficiente que todo o bordo
Bb = {y em X tal que d(y,x) = r} seja ponto de aderência de B.
Assim, é necessário e suficiente que, para todo y em Bb e todo t 0, exista
x(t) em B tal que 0 d(y,x(t)) t. Ou seja, é necessário e suficiente
que inf(d({y}xB)) = 0 para todo y tal que d(y,x) = r. Para estender isso
a toda bola centrada em x, é só exigir a condição quando r também varia,
e isso se expressa exigindo que f(r) = inf(d{y}xB(r)), onde r = d(x,y) e
B(r) é a bola de centro x e raio r, seja identicamente nula para todo r
0. Ou seja, {y} não pode ser aberto.
Em particular, se a métrica toma valores num conjunto discreto, então a
topologia gerada é discreta e todo conjunto unitário é aberto, e daí vem
o porquê do contra-exemplo mais acima.
''O interior de uma bola fechada de um espaco metrico eh sempre a bola
aberta
''de mesmos centro e raio?
Não; novamente, é ver o exemplo da primeira parte.
Essas questões em espaços métricos também se aplicam a intervalos abertos
e fechados e seus fechos e interiores quando X é um conjunto ordenado e
consideramos a topologia de ordem.
[]s,
Daniel
=
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=
RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos
Bacana... Eu cheguei a pensar em coisas como densidade da imagem de d(XxX)
sobre determinados compactos, mas não deu em nada principalmente depois
do contra-exemplo X = {circunferências de raio natural}U{eixo x} contido
em R^2, com a métrica usual.
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original --
''Date: Thu, 4 May 2006 18:12:16 -0700 (PDT)
''From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
''Subject: RE: [obm-l] Bolas em espacos metricos
''To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''
''
''Consideracoes legais, Daniel!
''Alem do que vc citou - e que acaba sendo na mesma
''linha - uma condicao necessaria e suficiente para que
''o fecho de bolas abertas centradas em um ponto a sejam
''as respectivas bolas fechadas eh que o ponto a seja o
''unico minimo relativo da funcao definida em X por x -
''d(x,a).
''
''Para vermos isso, comecemos observando que, sendo f(x)
''= d(x,a) entao a eh minomo global, logo relativo, de
''f. Alem disto, eh facil ver (e a sua argumntacao
''tambem mostra), que B' esta sempre contido em B*,
''sendo B' o fecho da bola aberta B.
''
''Suponhamos que os fechos das bolas abertas centradas
''em a sejam as respectivas bolas fechadas. Para x a,
''seja d(x,a) = f(x) = r 0. Entao, x estah em B*. Como
''B* = B' (o fecho da bola aberta), toda vizinhanca de x
''intersecta B e, desta forma, contem um elemento y tal
''que d(y,a) = f(y) r = f(x). Assim, toda vizinhanca
''de x contem um elemento y tal que f(y) f(x), do que
''deduzimos que x nao eh minimo relativo de f.
''Concluimos, portanto, que a eh o unico mimo relativo
''de f.
''
''Reciprocamente, suponhamos agora que a seja o unico
''minimo relativo de f. Seja r0. Para mostrarmos que B*
''= B' (o fecho de B), basta mostrarmos que B* estah
''contido em B' (a inclusao inversa sempre se verifica).
''E, para tanto, basta consideramos os pontos de B* para
''os quais f(x) = d(x,a) = r (os demais estao em B e,
''portanto, estao automaticamente em B'). Como xa, x
''nao eh minimo relativo de f e, em razao disto, toda
''vizinhanca de x contem um elemento y tal que f(y) =
''d(y,a) f(x) = r, de modo que toda vizinhanca de x
''intersecta B. Assim, x estah em B', do que concluimos
''que B* = B'.
''
''A demonstracao estah agora completa.
''Artur
=
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Provar: Conjunto fechado, limitado e NÃO compacto
''Olá Daniel: '' '' Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k) ... '' ''... Vc não quiz dizer elementos de A? Não? Sim!! []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Complexo
''Se |z-2| = 1, quais os valores máximo e minimo |z+i| pode assumir ? Pensando nos complexos como R^2 e passando para senos e cossenos, acho que fica mais padrão. Como |z - 2| = 1, temos que em R^2 z é do tipo (2 + cos(t), sen(t)), de modo que z + i = (2 + cos(t), 1 + sen(t)). Achar extremos de |z + i| é o mesmo que achar extremos para |z + i|^2 = 6 + 2*(2*cos(t) + sen(t)), ou seja, basta achar os extremos de f(t) = 2*cos(t) + sen(t). Aí vc deriva, faz a conta, em algum momento usa que tan(t) = k/sqrt(1 - k^2), onde k = sen(t), faz mais outra conta e então é correr pro abraço... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Complexo
Hum... existe também uma maneira elementar (sem cálculo) de se chegar nesse resultado. É o seguinte: primeiramente, dados uma circunferência C de centro O e um ponto A fora dela, é fácil provar que os pontos mais próximo e distante de A em C são aqueles que estão na reta OA. Que o mais próximo está nessa reta segue do fato de que o raio é perpendicular à circunferência. Que o mais distante também está segue da consideração do triângulo AXY (X é o ponto na reta OA que intercepta C mais longe de A, Y é qualquer outro ponto de C que não esteja em OA) e de seus ângulos: apenas AYX é obtuso, logo AX é o maior lado. A partir daí, basta calcular as interseções da reta que passa por (0,0) e (2,1) com a circunferência de raio 1 e centro (2,1). []s, Daniel '' ''Se |z-2| = 1, quais os valores máximo e minimo |z+i| pode assumir ? '' ''Pensando nos complexos como R^2 e passando para senos e cossenos, acho que ''fica mais padrão. Como |z - 2| = 1, temos que em R^2 z é do tipo (2 + cos(t), ''sen(t)), de modo que z + i = (2 + cos(t), 1 + sen(t)). Achar extremos de ''|z + i| é o mesmo que achar extremos para |z + i|^2 = 6 + 2*(2*cos(t) + sen(t)), ''ou seja, basta achar os extremos de f(t) = 2*cos(t) + sen(t). Aí vc deriva, ''faz a conta, em algum momento usa que tan(t) = k/sqrt(1 - k^2), onde k = ''sen(t), faz mais outra conta e então é correr pro abraço... '' ''[]s, ''Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Grupos
'' 1) Seja G um grupo e H subgrupo de G de indice n. Provar que g^n! está em ''H, para todo g em G. Olá, faz um certo tempo que não mexo com isso, mas lá vai: Para n 1, sejam k e r inteiros positivos. Se g^(r + k) e g^k estão numa mesma classe lateral Hx, temos g^(k+r) = h_1*x e g^k = h_2*x para h_1, h_2 em H, e assim g^r = g^(k+r)*g^(-k) = (h_1*x)*(h_2*x)^(-1) = h_1*(h_2)^(-1) está em H. Como g, g^2, , g^(n+1) são n+1 elementos, dois deles estão numa mesma classe, logo existem n k 0 e n = r 0 satisfazendo o que acabei de supor acima de maneira que g^r esteja em H. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa
Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada exigindo injetividade ou sobrejetividade. Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja I um intervalo, f:I -- R satisfazendo as 3 condições. Seja X = Q inter I, e Y = Q* inter I (* indica complementar). Logo, I = X uniao Y. Como f é função, #f(X) = #X =#Q. E pela condição f(Y) contido em Q, temos #f(Y) = #Q. Logo, f(I) é enumerável. No entanto, como f é contínua e I é conexo, f(I) também é conexo, o que aliado à enumerabilidade e ao fato de que estamos em R implica que f(I) é um ponto. Assim, como f(X) inter f(Y) é vazio, a única possibilidade é que I contenha apenas racionais ou apenas irracionais, logo, sendo intervalo, I só pode consistir num único ponto. Como isso não é interessante, fica provado (se é que não cometi erros, hehehe) que, para I não-degenerado, tal f não pode existir. []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''From: Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Função contínua de irr ''acionais em racionais e vice versa ''Date: Thu, 8 Dec 2005 15:58:36 -0200 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Mesmo que vc nao exija continuidade, acho que esta funcao nao existe, certo? ''Se existisse, o conjunto dos irracionais seria a imagem atraves de f do ''conjunto Q, havendo assim uma sobrejecao de Q sobre os irracionais. Mas isto ''eh impossivel, pois - mesmo argumento que vc usou - Q eh enumeravel e os ''irracionais nao sao. Igual consideracao vale para intervalos limitados, ''certo? '' ''Artur '' '' -Mensagem original- ''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome ''de ''Bruno França dos Reis ''Enviada em: quinta-feira, 8 de dezembro de 2005 12:47 ''Para: OBM ''Assunto: [obm-l] Função contínua de irracionais em racionais e vice versa '' '' '' ''Olá '' ''Um amigo me propôs uma questão: construa uma função f definida em algum ''intervalo dos reais (ou em todos os reais) de forma que: ''(i) f leva um irracional a um racional ''(ii) leva um racional a um irracional ''(iii) seja contínua em todos os pontos '' '' ''É fácil construir uma que atenda às condições (i) e (ii). É fácil também ''construir uma que atenda às condições (i) e (ii) e que seja racional em uma ''quantidade finita (ou enumerável) de pontos. '' ''Agora não sabíamos construir uma que fosse contínua em todos. Eu acho que ''provei que não é possível. Seria possível alguém verificar a prova? '' ''Tome a e b no intervalo em que f está definida, de forma que a seja um ''racional e b seja irracional. Considere o intervalo definido por [f(a), ''f(b)] (f(a) != f(b), obviamente), que está contido na imagem de f (pois f ''é ''contínua). Então temos que todos os irracionais contidos no interval ''[f(a),f(b)], isto é: [f(a),f(b)] inter (R - Q), devem ser imagem de ''racionais no intervalo [a,b]. Seja g uma restrição de f aos racionais do ''intervalo [a,b], com contradomínio igual ao conjunto de todos os irracionais ''do intervalo [f(a),f(b)], que assume os mesmos valores que f. Essa função ''g ''deve ser sobrejetora (pois tem que assumir pelo menos uma vez cada valor ''irracional do intervalo [f(a),f(b)], que é exatamente seu contradomínio). ''Então queremos construir uma função sobrejetora de um conjunto enumerável ''em ''um conjunto não-enumerável, o que não é possível (há mais irracionais que ''racionais, logo não há valores suficientes no domínio de g para que possamos ''atingir todos os valores do contradomínio). Então f também não pode assumir ''todos os valores irracionais entre f(a) e f(b) somente a partir dos ''racionais entre a e b. Logo não existe tal função f. '' ''Tá certo issi aí? '' ''Abraço ''Bruno '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com http://gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 '' = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Agora ficou bem claro pra mim... Valeu []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200 ''From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj) ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''On Mon, Nov 28, 2005 at 09:57:53PM -0200, [EMAIL PROTECTED] wrote: '' Quando é que paramos o jogo? Quando eu souber que ganhei ou que perdi. ''Isso '' acontece (R = rodadas, C = cara , K = coroa) em '' '' 5 R se saírem 5 C; '' 6 R se saírem 5 C e 1 K ou então 6 K; '' 7 R se saírem 5 C e 2 K ou então 6 K e 1 C; '' etc... '' '' Para contar os evento, bastaria lembrar que a última moeda sempre corresponde '' ao desfecho do jogo, ou seja, se o jogo acabar na rodada X e eu perder ''então '' é porque deu cara, do contrário eu venci e deu coroa. '' '' Então eu teria que (para (P,X) = # eventos em q perco na rodada X, (V,Y) '' = # eventos em q venço na rodada Y): '' '' (P,X) = Bin(X-1, 4) e (V,Y) = Bin(Y-1,5). '' '' Assim eu perco em P = Bin(10,5) eventos e venço em V = Bin(10,6) eventos, '' e o total é T = Bin(11,6). Assim a probabilidade de vencer é Prob = 210/462 '' = 0,454545... '' '' Não to conseguindo enxergar o erro deste raciocínio! '' ''O erro está em supor que seqüências de comprimentos diferentes ''são equiprováveis. '' ''Espero não parecer grosseiro, mas acho que a discussão está um pouco ''repetitiva. Minha sugestão para aqueles que não acreditam na solução ''do gabarito (que, pelo que eu entendo, é igual à minha) é que tentem ''um exemplo menor. Vamos jogar uma moeda até 4 vezes; você ganha se ''saírem menos de duas caras e perdem se saírem pelo menos duas. ''Qual a probabilidade de você ganhar? '' ''Solução I (certa) '' ''Vamos *sempre* jogar a moeda 4 vezes: existem assim 16 seqs equiprováveis: '' '' (derrota) ''CCCK (derrota) ''CCKC (derrota) ''CCKK (derrota) ''CKCC (derrota) ''CKCK (derrota) ''CKKC (derrota) ''CKKK (vitória) ''KCCC (derrota) ''KCCK (derrota) ''KCKC (derrota) ''KCKK (vitória) ''KKCC (derrota) ''KKCK (vitória) ''KKKC (vitória) '' (vitória) '' ''Prob. de vencer = 5/16 = .3125 '' ''Solução II (errada) '' ''Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. ''As possibilidades são: '' ''CC (derrota) ''CKC (derrota) ''CKKC (derrota) ''CKKK (vitória) ''KCC (derrota) ''KCKC (derrota) ''KCKK (vitória) ''KKCC (derrota) ''KKCK (vitória) ''KKK (vitória) '' ''Como as 10 possibilidades são equiprováveis (O ERRO ESTÁ AQUI!), temos: ''Prob. de vencer = 4/10 = .4 '' ''Solução III (versão corrigida da Solução II) '' ''Vamos jogar a moeda até obtermos dois C ou três K, o que ocorrer primeiro. ''Teremos 10 seqs, cada uma delas com prob 2^(-n) onde n é o comprimento da ''seq. ''Mais explicitamente: '' ''CC (derrota) Prob = 1/4 ''CKC (derrota) Prob = 1/8 ''CKKC (derrota) Prob = 1/16 ''CKKK (vitória) Prob = 1/16 ''KCC (derrota) Prob = 1/8 ''KCKC (derrota) Prob = 1/16 ''KCKK (vitória) Prob = 1/16 ''KKCC (derrota) Prob = 1/16 ''KKCK (vitória) Prob = 1/16 ''KKK (vitória) Prob = 1/8 '' ''Somando os casos vitoriosos, temos ''Prob. de vencer = 5/16 = .3125 '' ''Agora se você continua não acreditando eu sugiro que você pegue uma ''moeda e faça a experiência. Ou melhor ainda, escreva um programinha ''de computador para fazer as experiências para você. '' ''Se nem isto bastar, considere um exemplo mais extremo. Vamos jogar ''a moeda até 7 vezes. Se cair pelo menos *uma* cara você perde. ''Qual a sua probabilidade de ganhar? '' ''Pelo raciocínio das soluções I e III dá 1/128. ''Pelo raciocínio da solução II dá 1/8 ''(C, KC, KKC, KKKC, C, KC, KKC perdem; KKK ganha). ''A diferença é tão grande que deve ser fácil testar com uma moeda ''(se você achar necessário). '' ''[]s, N. ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
'' Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ '' dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; '' caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma ''partida '' desse jogo. '' ''Não vi o gabarito, vou dar a minha solução para o problema. '' ''O jogo fica um pouco mais simples (sem alterar o resultado) se sempre jogarmos ''a moeda 10 vezes. Você ganha se a moeda cair cara menos de 5 vezes. Assim ''a sua probabilidade de ganhar é '' ''sum(binomial(10,k),k=0..4)/2^10 = 193/512 ~= 0.3769531250 '' ''É isso que o gabarito diz? Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de 5, se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver perdido (e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
Tem razão, agora estou convencido... []s, Daniel ''Usando o mesmo raciocinio que vc apresenta vc tb garante a vitoria com 6 '' ''jogadas e raramente teria que lancar 10 moedas. Ou ja teria ganho ou ja '' ''teria perdido antes. Isso faria, de novo usando a sua ideia, o numero de '' ''resultados favoraveis tb menor. Acho que a questao aqui e que a ordem nao '' ''importa e na verdade nao importa se vc para ou nao depois que ja perdeu. '' A ''probabilidade de uma sequencia de 10 jogadas comecar com 5 caras e a mesma, '' ''quer vc pare ou continue depois. Suponha que todas as moedas sao sempre '' ''lancadas ao mesmo tempo. Faz diferenca? So pq vc parou de contar quando '' ''viu 5 caras nao mudou o numero de jogadas. '' ''From: [EMAIL PROTECTED] ''Esse é o raciocínio do gabarito, mas se eu estivesse jogando esse jogo e ''tirasse 5 caras nas 5 primeiras jogadas, para que me importaria jogar os ''outros 5 lançamentos se eu já perdi? Da mesma forma que, numa melhor de ''5, ''se eu estivesse perdendo de 3 a 0, para que jogaria as partidas restantes? ''E considerando que o jogo efetivamente seja interrompido se eu houver ''perdido ''(e considero essa interpretação válida pq o 'até' do enunciado é ambíguo), ''então o número de desfechos possíveis diminui, e a probabilidade aumenta. '' '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probabilidade (ufrj)
Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é: Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde; caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar uma partida desse jogo. Ok. A divergência está no número total de partidas possíveis; o gabarito diz que é SOMA Binomial(10, n) = 2^10, mas eu discordo, já que a lógica do jogo e aquele ATÉ no enunciado estão aí para frisar que uma partida pode não exigir 10 lançamentos; por exemplo, quando saem 5 caras nos 5 primeiros lançamentos. Raciocinando assim, a probabilidade muda porque o total de eventos é menor e a quantidade de desfechos vitoriosos é a mesma. O q acham? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R, então qualquer intervalo aberto contendo um ponto z do complementar de X irá conter pontos de X, o q pela sua estrutura implicaria que algum r_n + eps/(2^(n+1)) está nesse intervalo, e como com o eps irracional não caímos no caso (a,b) (b,c), acho que dá pra garantir que esse ponto é diferente de z. []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Fri, 14 Oct 2005 07:47:49 -0300 ''Subject: Re:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio ''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''OK. E se quisermos medida positiva, interior vazio, fechado e sem pontos ''isolados? Repare que, no exemplo abaixo, podemos ter dois intervalos abertos ''da forma (a,b) e (b,c), de modo que b seria um ponto isolado do complementar ''da união dos intervalos. ''Será que dá pra escolher, para cada racional r_n, um intervalo aberto I_n ''tal que isso nunca ocorra? '' ''[]s, ''Claudio. '' ''De:[EMAIL PROTECTED] '' ''Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' ''Cópia: '' ''Data:Thu, 13 Oct 2005 17:23:02 -0300 '' ''Assunto:RES: RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' basta tomar o complementardaquele exemplo que vc deu.O complementar eh ''fechado, tem interior vazio e medida infinita '' Artur '' '' ''-Mensagem original- ''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome ''de claudio.buffara ''Enviada em: quinta-feira, 13 de outubro de 2005 14:04 ''Para: obm-l ''Assunto: Re:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' '' E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto ''seja fechado? '' '' []s, '' Claudio. '' '' De:[EMAIL PROTECTED] '' '' Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' '' Cópia: '' '' Data:Thu, 13 Oct 2005 12:13:18 -0300 '' '' Assunto:RES: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' Na realidade, nos demos um exemplo ainda mais marcante: o de um conjunto ''aberto e denso em R mas com medida arbitrariamente proxima de zero. '' '' Um conjunto com medida infinita e interior vazio eh o dos irrracionais. ''Se quisermos medida finita e positiva, tomemos os irrracionais em [0, 1], ''Tem medida 1. '' '' A funcao de Thomae eh um exemplo de funcao continua so nos irracionais, ''certo? f(x) = 0 se x for irracional, f(x) =1 /n se x = m/n for racional, ''m e n0 primos entre si. Agora, eu quero ver alguem dar um exemplo de funcao ''continua nos racionais e descontinua nos irracionais. '' '' Considremos agora f(x) = x/2 + (x^2)*(sen(1/x) se x0 e f(x) = 0 se ''x = 0. Entao f'(0) = lim (x - 0) (x/2 + (x^2)*(sen(1/x)))/x = lim (x - ''0) 1/2 + x*sen(1/x) = 1/2 0. '' Temos que 2*x*sen(1/x) = 0 quando x= 0 e que, em qualquer intervalo ''aberto do tipo (0, a), 1/2 + cos(1/x) passa infinitas vezes pelos valores ''-1/2 e 3/2. de modo que, em qualquer intervalo contendo a origem, f tem uma ''infinidade de maximos e minimos relativos. Logo, f nao eh monotonica em nenhum ''destes intervalos. '' '' Isto ilustra que f'(a) 0) nao eh condicao suficiente para que a seja ''ponto de crescimento de f. Dizemos que a eh ponto de crescimento de f se ''existir uma vizinhanca de a na qual f seja crescente. '' '' Artur '' ''] -Mensagem original- ''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome ''de claudio.buffara ''Enviada em: quarta-feira, 12 de outubro de 2005 22:53 ''Para: obm-l ''Assunto: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio '' '' '' Oi, pessoal: '' '' Noutro dia o Artur pediu um exemplo de conjunto denso em R e de medida ''nula. Isso me lembrou de outro problema parecido: '' '' Dê um exemplo de subconjunto de R com medida positiva e interior vazio. '' '' Outros dois bonitinhos são: '' Dê um exemplo de função real contínua nos irracionais e descontínua nos ''racionais. '' e '' Dê um exemplo de uma função real f derivável em todo ponto, tal que f'(0) '' 0 mas que não seja crescente em nenhum intervalo contendo a origem. '' '' No mais, alguém já descobriu por que um chicote estala quando é usado? '' '' []s, '' Claudio. '' = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
''E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal conjunto ''seja fechado? Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida positiva (m(A) 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto não existe; vai abaixo a minha tentativa de mostrar isso por absurdo. Podemos supor que A está contido em [0,1], já que a interseção de A com cada intervalo do tipo [n, n+1) com n inteiro dá uma soma disjunta enumerável igual a A, e como m(A) 0, algum desses caras tem que ter medida positiva. Seja X = (0,1) inter Ac (Ac = complementar de A). Segue que X é aberto, e portanto X é decomposto como uma união enumerável disjunta de intervalos do tipo I_n = (a_n, b_n), com a_n a_(n+1). Se y está em (0,1) e b_n y a_(n+1), pela definição de X e ordenação dos I_n temos necessariamente que y está em A, logo [b_n, a_(n+1)] está contido em A. Sendo o interior de A vazio, isso implica que b_n = a_(n+1). Da mesma forma, a_1 = 0, e do fato de que o fecho de X é [0,1], temos que todo ponto de A é igual a algum a_n ou b_n, e então A é enumerável, não podendo portanto ter medida positiva. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medida Positiva e Interior Vazio
O erro crucial foi ignorar o fato de que a união dos fechos pode ser diferente do fecho da união! []s, Daniel ''Ou seja, você está dizendo que se (R - X) é uma união enumerável de ''intervalos abertos e é denso em R, então X é no máximo enumerável? '' ''Eu tenho certeza de que você conhece um contra-exemplo famoso pra essa ''afirmação. '' ''Olá, Cláudio '' ''Como sempre, tens razão... Um :) dos meus erros foi ter suposto uma ''ordenação dos intervalos que decompõem o aberto de forma a se ter um ''intervalo com extremidade menor que todos os outros. '' ''O contra-exemplo (que eu não conhecia, apesar de ser bem simples) fica por ''conta da mensagem do Artur embolotando os racionais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: RES: [obm-l]
Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa solução que nem exigi muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto. []s, Daniel ''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade, o ''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores de ''Lagrande mostram de fato que y_1 = ... = y_n = 1 PODE, mas nao ''necessriamente TEM, que ser um ponto extremo. De modo geral, para se decidir ''se eh mesmo um ponto extremo e, se sendo de fato ponto extremo, eh maximo ''ou minimo relativo, temos que analisar condicoes de segunda ordem, no caso ''em que o problema, como este, tem funcao objetivo e restricoes com derivadas ''parciais de segunda ordem continuas (classe C^2). Além disto, precisamos ''garantir que eh minimo global, nao apenas local. Isto, de modo geral, exige ''condicoes de convexidade ou concavidade. ''Na programacao matematica hah um terorema que se aplica a casos como este, ''em que a funcao objetivo e as restricoes apresentam simetria. Nao me lembro ''dos detalhes, mas acho que nestes casos dah pra garantir que o ponto eh ''maximo ou minimo global. '' ''Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l]
Olá! Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde y_i 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n sujeita às condições y_i 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores de lagrange para concluir que y_1 = ... = y_n = 1 gera um mínimo dessa função sobre a superfície y_1*...*y_n = 1. Justamente, por esse método, notando que estamos com f(y_1,..., y_n) = p(1) e g(y_1,...,y_n) = y_1*...*y_n = 1 boas o suficiente para aplicar lagrange, vem que existe um real u tal que f_(y_i) = u*g_(y_i) para todo i, onde h_(y_i) é a derivada parcial de h em relação à variável y_i. Assim, temos o seguinte: f(y_1,...,y_n)/(1 + y_i) = u*g(y_1,...,y_n)/y_i para todo i, de maneira que y_i/(1 + y_i) = y_j/(1 + y_j) == y_i = y_j para todo i, j. Como o produto de toda a galera é 1, vem que y_1 = ... = y_n = 1 para todo mundo, de modo f(1,...,1) = 2^n é um ponto de mínimo, logo p(1) = 2^n quaisquer que sejam as raízes negativas com módulo dando produto 1. []s, Daniel ''seja um polinômio de grau n. todas as suas raízes são 0. O termo independente ''e o coeficiente da maior potência tem valores númericos igual a ''unidade. Provar que P(1) 2 elevado a n ; ou P(1) = 2 elevado a n. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l]
Qualquer livro razoável de cálculo de várias variáveis, na pior das hipóteses use o google. No entanto, é muito provável que exista uma resposta mais elementar, por exemplo usando alguma indução vinda de alguma escolha esperta dentre as raízes (aliás, foi a minha primeira tentativa, mas não deu em nada). []s, Daniel ''Obrigado pela resposta... ''Ainda a estou adeuqando aos meus conhecimentos, ''alguma biografia para que possa estudar à respeito? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] medida
Olá, Use A\B = (A U B)\B (analogamente para B\A) e separe os casos mi(A U B) finita ou infinita. []s, Daniel ''Sejam (X, X_, mi) um espaço de medida. Prove que se A,B pertencem a X_ e ''mi((A\B) U (B\A)) = 0 , entao mi(A) = mi(B) '' ''Bom, ''como A\B e B\A sao disjuntos ''mi(A\B) + mi(B\A) = 0 ''Como medida é positiva, isso implica que ''mi(A\B) = mi(B\A) = 0 '' ''disso eu tentei um monte de identidades mas nao cheguei no que se pedia. ''Alguem tem uma sugestao? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Livro de Cálculo
Tem o Spivakinho, Calculus on Manifolds, que trata da parte do cálculo de várias variáveis, mas acho que num primeiro contato, o livro do Courant é mais interessante e mais acessível. O do Spivak trata a parte de integração em R^n de uma maneira mais abstrata e concisa, sendo o objetivo do livro tratar do teorema de stokes em termos de formas sobre variedades, sendo um bom preparo para encarar o Spivakão, aqueles 5 volumes do Comprehensive introduction to differential geometry. []s, Daniel ''Meu professor de calculo um falava muito bem do Courant e do Spivak (ele ''preferia o spivak até, só que não tem calculo de várias variáveis, só o ''courant) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] ordem no corpo C.
Olá, Suponha que houvesse uma ordem em C. Comece mostrando que 1 está em C+, e portanto -1 não está em C+. Como i^2 = -1, i^2 não está em C+, uma contradição com a ajuda q o enunciado te dá antes da pergunta. []s, Daniel '' Uma ordem num corpo IK consiste em dar um subconjunto ''IK+ de IK t.q. : ''(i)se x,y pertencem a IK+ e xy pertencem a IK+ e ''(ii)dado x pertencente a IK então apenas uma das ''possibilidades se verifica: ou x pertencem a IK+, ou ''x=0 ou -x pertence IK+. '' '' Segue dai que o quadrado de qualquer elemneto não ''nulo de IK é positivo, De fato, se x pertence a IK+ ''então x^2 pertencem a IK+ por (i). POroutro lado, se ''-x IK+ então (-x)^2 =x^2 pertence a IK+ por (i). ''Conclua que o corpo dos complexos não pode admitir uma ''ordem. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] POLINÔMIOS
Olá! Seja z = arccos(x). Vale cos[(n+1)*z] = cos(n*z)*cos(z) - sen(n*z)*sen(z) cos[(n-1)*z] = cos(n*z)*cos(z) + sen(n*z)*sen(z) Portanto, cos[(n+1)*z] = 2*cos(n*z)*cos(z) - cos[(n-1)*z] Assim vc arruma uma recorrência f_(n+1) = 2*f_n*x - f_(n-1) para n1, onde f_1(x) = x e f_2(x) = 2*x^2 - 1. A partir daí por indução vc conclui que todo f_n é polinômio de grau n com coeficiente 2^(n-1) em x^n. []s, Daniel ''Sabendo-se que x é um número real, -1=x=1, 0=arccos x = pi ''e n é um numero inteiro positivo, mostre que a expressão fn (x) ''= cos(n*arccosx) pode ser desenvolvida como um polinômio em x, ''de grau n, cujo coeficiente do termo de maior grau é igual a 2^ ''(n-1). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] problema - conjuntos
Oi, Chame de A a fração de questões de álgebra, isto é, o número de questões de álgebra dividido pelo total de questões, G a de geometria e L a de lógica. Se a, g e l (minúsculas) são a fração de questões certas com relação ao total, o enunciado diz que a = 0,5*A g = 0,7*G l = 0,8*L a + l = 0,62*(A + L) g + l = 0,74*(G + L) Substituindo as 3 primeiras equações nas duas últimas e notando que por exemplo G = 1 - (A + L), vc terá duas equações em A e L, e então depois de resolver vc obtém também o G. O resultado procurado é a + g + l. (Tô com preguiça de fazer as contas...) []s, Daniel ''gabriel resolveu uma prova de matemática com questões de álgebra, ''geometria e lógica. após checar o resultado da prova gabriel observou ''que respondeu corretamente 50% das questões de álgebra, 70% das questões '' ''de geometria e 80% das questões de lógica. gabriel observou, também, que '' ''respondeu corretamente 62% das questões de álgebra e lógica e 74% das ''questões de geometria e lógica. qual a porcentagem de questões corretas ''da prova de gabriel? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Desigualdade
Olá! Considere o polinômio f(c) = c^3 - (3ab)c - (a^3 + b^3). Como estamos num triângulo, a idéia é mostrar que no intervalo (0, a + b) o polinômio é negativo. Repare que (a + b) é raiz de f. Dividindo f por c - (a + b), você chega no polinômio g(c) = c^2 + (a + b)c + (a + b)^2 - 3ab. O discriminante dele é (a + b)^2 - 4(a + b)^2 + 12ab = -3(a - b)^2, logo se a for diferente de b, g não tem raízes reais. Neste caso, f mantém sinal constante para c menor do que (a + b). Como a + b 0, basta calcular f(0) = - (a^3 + b^3) 0 para saber o sinal em c a + b, o que prova este caso. Quando a = b, a raiz (dupla) de g é -a, menor que zero portanto. Assim, f mantém sinal constante em (- a, a + b), o mesmo que em (0, a + b). Como f(0) 0, acabou. []s, Daniel ''Sejam a, b, e c as medidas dos lados de um triângulo. Prove a desigualdade '' ''a^3+b^3 + 3abcc^3. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Correcao - funcao
f(x) = f((x - 8) + 8) = f((x - 8) + f(2)) = x - 8 + f(f(2)) = x - 8 + f(8). Assim, 8 = f(2) = -6 + f(8) == f(8) = 14. == f(x) = x + 6. []s, Daniel ''Seja f(x+f(y)) = x + f(f(y)) e f(2) = 8. Calcule f(2005) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
As séries são em 2^(k!) e não 2^k ''-- Mensagem Original -- ''Date: Sun, 14 Aug 2005 18:08:53 -0300 ''From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa ''soma ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Caro Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]: '' ''A sequencia a_k=1 e constante e portanto limitada, contudo a soma da serie ''de ''termo geral a_k/2^k e racional. '' '' '' ''Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
''Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja fechado
''com relacao aa soma
Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais),
então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q, e,
portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre Q
é não-enumerável.
Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}. Observe que
o subespaço S(B) gerado por B sobre Q contém 0 como único racional. Ainda,
se b_1, ..., b_n estão em B e a_1, ..., a_n estão em Q, então -(a_1*b_1
+ ... + a_n*b_n) pode ser escrito como (-a_1)*b_1 + ... + (-a_n)*b_n, logo,
se por exemplo restringirmos os a_i a serem todos positivos, obtemos um
subconjunto J de S(B) que é claramente fechado pra soma e onde ninguém tem
inverso aditivo, logo, J não contém 0 e portanto nenhum racional.
Como B está contido em J, temos de cara que J é não-enumerável.
Acho q é isso.
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa soma
Mais legal ainda: se K é o corpo dos números algébricos, portanto enumerável,
então a construção abaixo (trocando-se Q por K) dá um conjunto não-enumerável
de transcendentes fechado para a soma, não?
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original --
''Date: Thu, 11 Aug 2005 21:28:31 -0300
''From: [EMAIL PROTECTED]
''Subject: RE: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao aa
soma
''To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''
''
'' ''Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja
fechado
'' ''com relacao aa soma
''
''Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais),
''então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q,
e,
''portanto, V é enumerável. Em particular, a dimensão de R (reais) sobre
Q
''é não-enumerável.
''
''Seja B* uma base de R sobre Q contendo o 1, e seja B = B*\{1}. Observe
que
''o subespaço S(B) gerado por B sobre Q contém 0 como único racional.
Ainda,
''se b_1, ..., b_n estão em B e a_1, ..., a_n estão em Q, então -(a_1*b_1
''+ ... + a_n*b_n) pode ser escrito como (-a_1)*b_1 + ... + (-a_n)*b_n,
logo,
''se por exemplo restringirmos os a_i a serem todos positivos, obtemos
um
''subconjunto J de S(B) que é claramente fechado pra soma e onde ninguém
tem
''inverso aditivo, logo, J não contém 0 e portanto nenhum racional.
''
''Como B está contido em J, temos de cara que J é não-enumerável.
''
''Acho q é isso.
''
''[]s,
''Daniel
''
''
''
''
''=
''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
''=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Implicação
Bem, a sentença
se x é um número NATURAL tal que x^2 + 1 = 0, então x está em {-1, 1}
é verdadeira sim, mas é falsa no caso de x poder ser um número complexo
como o Artur colocou.
A informação de que x era natural é vital, e vc a omitiu no seu primeiro
e-mail, e então cada um supôs o x estando em qualquer conjunto que lhe desse
na telha... Poderiam ser inteiros módulo 2, e neste caso a sentença seria
também verdadeira (e a recíproca também), mas essa é outra história...
Voltando à sua pergunta, ela é verdadeira por vacuidade. Diz-se que uma
sentença é verdadeira se, quando sua hipótese (no nosso caso, o que vem
antes da vírgula) é verdadeira, então a implicação (depois do então) também
é. No caso de a hipótese nunca ser verdadeira, como é o caso pois nenhum
natural x é tal que x^2 + 1 = 0, então a sentença permanece verdadeira,
e a isso se chama verdade por vacuidade.
É esse tipo de verdade que mostra que o conjunto vazio está contido em todo
conjunto, porque a sentença se x pertence ao conjunto vazio, então x pertence
ao conjunto A, qualquer que seja A, é sempre verdadeira, porque a hipótese
nunca o é.
Espero ter ajudado.
[]s,
Daniel
'' Acho que não me expressei muito bem quanto a minha dúvida.
''
'' É o seguinte, assisti ao vídeo de conjuntos e números naturais
do
''Prof. Elon http://strato.impa.br/capem_jul2004.html
''
'' Ele fala que essa implicação x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1} é correta.
''Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu:Impossivel entender.
''A implicacao eh falsa. Isto implica que x estah em {i, -i}
''-Mensagem original-
''De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome
''de admath
''Enviada em: terça-feira, 26 de julho de 2005 20:47
''Para: obm-l@mat.puc-rio.br
''Assunto: [obm-l] Implicação
''
''
''Olá! Quero agradecer ao pessoal que me ajudou nos exercícios que mandei.
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''
''x^2 + 1 = 0 = x E {-1,1}
''
''Não entendi porque a implicação é verdadeira.
''
''Obrigado.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] União de subespaços vetoriais
Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia me dar uma maozinha? Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V nao pode ser representado pela reuniao (da teoria dos conjuntos) de um numero finito de subespacos proprios. Como observacao, esse problema eh do Herstein (Topicos de Algebra) e eh anterior aa definicao de dimensao, por exemplo. O fato do corpo F ser infinito e tambem o fato de que este exercicio antecede imediatamente a secao Independencia linear e bases indicam que a solucao sai de consideracoes sobre combinacoes lineares do tipo a_1*x_1 + ... + a_n*x_n com cada x_i convenientemente escolhido em cada subespaco M_i da uniao. Minha escolha natural foi pegar esses x_i de modo que eles nao estejam em nenhum dos outros M_j (se para algum i isso nao eh possivel, entao o M_i eh totalmente dispensavel pois jah estah na uniao dos outros subespacos). Soh que nessa historia toda estah faltando alguma coisa que me escapou aos olhos e nao to conseguindo enxergar... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] União de subespaços vetoriais
Pessoal, acabei de matar esse (eh um tanto trivial...), valeu []s, Daniel ''Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia me ''dar uma maozinha? '' ''Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V nao ''pode ser representado pela reuniao (da teoria dos conjuntos) de um numero ''finito de subespacos proprios. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Primos
A segunda pergunta foi apenas uma dica para provar o enunciado por contradição, ok? []s, Daniel ''Apesar da segunda pergunta ser um pouco incoerente (pois contradiz a ''demonstração), supondo que X seja primo, não existem divisores primos deste ''(senão ele não seria primo!) ''Não sei se fui muito claro. Qualquer erro, por favor, corrijam-me. '' ''Se p_n denota o e-nesimo primo, mostrar q '' ''p_(n+1) = p_1...p_n + 1. '' '' Oi, '' Se p_(n+1) é maior do que X = p_1...p_n + 1, quem seriam os primos divisores '' de X? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Primos
''Se p_n denota o e-nesimo primo, mostrar q ''p_(n+1) = p_1...p_n + 1. Oi, Se p_(n+1) é maior do que X = p_1...p_n + 1, quem seriam os primos divisores de X? []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Juntando polígonos
Eis um probleminha fácil mas com um resultado cultural: Suponha que tenhamos vários ladrilhos idênticos com formato de um polígono regular e queremos juntar todos eles por um vértice comum e de maneira lisa sobre um plano, de modo a formar um único polígono não necessariamente regular mas com interior totalmente preenchido pelos ladrilhos. Mostre que as únicas possibilidades são juntarmos 6 triângulos, 3 hexágonos ou 4 quadrados. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória - times
Ok! []s, Daniel '' ''Há uma descrição de como construir um aqui: '' '' '' ''http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html '' '' Não estou conseguindo acessar esta página!!! '' ''Você pode procurar por Steiner System no google. ''Uma outra página boa é a seguinte: '' ''http://mathworld.wolfram.com/SteinerSystem.html '' ''[]s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Combinatória - times
Oi, Eu tenho lá as minhas dúvidas quanto à veracidade do enunciado... Alguém aqui na lista saberia provar que é possível esta situação: Para todos os quintetos possíveis dentre 12 pessoas, associar um time de 6 jogadores de maneira que dois times diferentes tenham no máximo 4 jogadores em comum? []s, Daniel ''Oi, '' ''A resposta correta é mesmo 132. Dê uma olhada no gabarito da 2ª fase da OBM ''2004 ''nível 3, se não me engano a questão 3 (perdoem a minha ignorância, mas eu ''não ''sei colocar o link aqui...). '' ''[]s, ''Felipe '' '' '' '' Olá '' '' '' '' Seja Q = conjunto de todos os quintetos entre os 12 alunos e seja '' T = '' '' conjunto '' '' de todos os times formados ao longo do ano. Construa uma função f: '' Q -- '' '' T que associa cada quinteto ao seu time. f foi feita para ser '' sobrejetora. '' '' '' '' Suponha t_1 = (1,2,3,4,5,6) = f(q_1), onde q_1 = (1,2,3,4,5). Se ''q_2 '' estiver '' '' contido em t_1, por exemplo, q_2 = (2,3,4,5,6), então f(q_2) tem ''que '' ser '' '' t_1. Do contrário, o quinteto q_2 formaria os times distintos t_1 '' e f(q_2), '' '' contradizendo o enunciado. '' '' '' '' Assim, para cada t em T existem Comb(6,5) = 6 quintetos associados. '' Como '' '' f é sobrejetora, isso implica que #T = #Q/6. Sendo #Q = Comb(12,5), '' segue '' '' que foram formados Comb(12,5)/6 = 132 times. '' '' '' '' Espero não ter errado nada (como é costume...) '' '' '' '' []s, '' '' Daniel '' '' '' '' '' '' '' '' ''Olá, pessoal ! '' '' '' '' '' ''Os doze alunos de uma turma de olimpíada saíam para jogar futebol '' todos '' '' os '' '' '' '' '' ''dias após a aula de matemática, formando dois times de 6 jogadores '' cada '' '' e '' '' '' '' '' ''jogando entre si. A cada dia eles formavam dois times diferentes '' dos '' '' times '' '' ''formados '' '' ''em dias anteriores. Ao final do ano, eles verificaram que cada '' 5 alunos '' '' haviam '' '' '' '' '' ''jogado juntos num mesmo time exatamente uma vez. Quantos times '' diferentes '' '' '' '' '' ''foram formados ao longo do ano ? '' '' '' '' '' ''[]`s '' '' ''Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Combinatória - times
''Há uma descrição de como construir um aqui: '' ''http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html Não estou conseguindo acessar esta página!!! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Combinatória - times
COmbinatória geralmente tem essas controvérsias Eu afirmei que minha resolução estava errada por não levar em conta o time adversário. Além disso, estou assumindo que o enunciado seja verdadeiro, isto é, de que para TODO QUINTETO CORRESPONDE UM TIME e de maneira a não violar a condição de que 2 times não tenham mais do que 4 jogadores em comum. Acontece que eu realmente não sei se é possível que para cada quinteto tenhamos 1 time sem violar a regra. Por exemplo, no caso de 6 alunos, não dá pra associar cada dupla a um time de modo que 2 times tenham no máximo 1 jogador comum. Aliás, repetindo o meu raciocínio para o caso de 6 alunos, chegamos a 5 times... Mas acho que o erro nesta resposta (como podem 5 se 2 deverão jogar?!?!?!; por isso aquilo sobre não levar em conta o adversário de um time) se deve a ter assumido que para cada dupla corresponde exatamente 1 time, o que é falso. []s, Daniel ''Na primeira resolução que vi desta resolução a resposta foi 5544 ''Na segunda resolução que vi desta resolução a resposta foi 226 ''Na terceira resolução (a sua) a resposta foi 132 '' '' '' ''Em uma mensagem de 26/06/05 15:45:39 Hora padrão leste da Am. Sul, ''[EMAIL PROTECTED] escreveu: '' '' '' Assunto:[obm-l] RE: [obm-l] Combinatória - times '' Data:26/06/05 15:45:39 Hora padrão leste da Am. Sul '' De:[EMAIL PROTECTED] '' Responder-para:obm-l@mat.puc-rio.br '' Para:obm-l@mat.puc-rio.br '' Enviado pela Internet '' '' '' '' Olá '' '' Seja Q = conjunto de todos os quintetos entre os 12 alunos e seja T = '' conjunto '' de todos os times formados ao longo do ano. Construa uma função f: Q -- '' T que associa cada quinteto ao seu time. f foi feita para ser sobrejetora. '' '' Suponha t_1 = (1,2,3,4,5,6) = f(q_1), onde q_1 = (1,2,3,4,5). Se q_2 estiver '' contido em t_1, por exemplo, q_2 = (2,3,4,5,6), então f(q_2) tem que ser '' t_1. Do contrário, o quinteto q_2 formaria os times distintos t_1 e f(q_2), '' contradizendo o enunciado. '' '' Assim, para cada t em T existem Comb(6,5) = 6 quintetos associados. Como '' f é sobrejetora, isso implica que #T = #Q/6. Sendo #Q = Comb(12,5), segue '' que foram formados Comb(12,5)/6 = 132 times. '' '' Espero não ter errado nada (como é costume...) '' '' []s, '' Daniel '' '' '' '' ''Olá, pessoal ! '' '' '' ''Os doze alunos de uma turma de olimpíada saíam para jogar futebol todos '' os '' '' '' ''dias após a aula de matemática, formando dois times de 6 jogadores cada '' e '' '' '' ''jogando entre si. A cada dia eles formavam dois times diferentes dos '' times '' ''formados '' ''em dias anteriores. Ao final do ano, eles verificaram que cada 5 alunos '' haviam '' '' '' ''jogado juntos num mesmo time exatamente uma vez. Quantos times diferentes '' '' '' ''foram formados ao longo do ano ? '' '' '' ''[]`s '' ''Rafael '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' '' '' '' ''[]`s ''Rafael = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Fatoração na questão do DIVISOR
Bem, respondendo especificamente à sua pergunta: se x for raiz de p(a), então (a - x) divide p(a), e foi o que o Cláudio usou com x = -1. De uma forma mais geral, se x for raiz de p(a) e q(a) for o polinômio irredutível de x sobre o corpo base F (p e q são polinômios em F[a]), então q(a) divide p(a) em F. Assim por exemplo qualquer polinômio p(a) com coeficientes racionais tal que sqrt(2) seja raiz de p, então q(a) = a^2 - 2 (irredutível de sqrt(2) sobre os racionais) é divisor de p(a) sobre os racionais. []s, Daniel ''Não entendi como o Cláudio fatorou o polonômio a^33-a^19-a^17-1 ''abaixo. Tem alguma regra geral para essa fatoração? '' '' Aklias, sera que da para fatorar o polinomio '' a^33-a^19-a^17-1 ? '' '' Certamente. '' Isso eh igual a (a + 1)*f(a), onde f(a) é mônico de grau 32. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Caso de divisibilidade
Maurício, o resultado só vale para potências de primos. Repare que todos os seus exemplos são construídos com números compostos. A demonstração do Cláudio está ok. []s, Daniel '' Cláudio, Daniel, outros, '' '' Consegui encontrar vários contra-exemplos para esse ''problema. Sendo comb(a,b) o número de combinações de a ''elementos tomados b a b, ou comb(a,b)=a!/((a-b)!b!), ''pede-se mostrar que comb(a^c,b)=0(mod a), para c=2, ''a^cb. Entretanto: '' ''comb(6^2,4) = 3 (mod 6) ''comb(22^2,4) = 11 (mod 22) ''comb(6^3,8) = 3 (mod 6) ''comb(6^2,9) = 4 (mod 6) ''comb(12^2,9) = 4 (mod 12) ''comb(10^2,25) = 4 (mod 10) ''comb(6^3,27) = 2 (mod 6) ''comb(33^2,121) = 9 (mod 33) ''comb(21^3,343) = 6 (mod 21) '' '' Pode ser que eu tenha errado alguma coisa na hora de ''programar o computador para fazer as contas, mas pelo ''menos o primeiro exemplo eu conferi na mão. Eu não ''achei esses números ao acaso. Em todos eles, sendo a = ''p*q, com p e q primos, eu fiz b = p^c e escolhi um q ''que desse problema. '' '' Abraços, '' Maurício '' '' '' Interessante! Dei uma olhada no livro que estou ''estudando e ele menciona essa fórmula (...) '' '' Um jeito mais fácil é usar a velha e, espero, ''conhecida fórmula para o expoente de p em n!, igual a '' [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + '' O expoente de p no numerador de Binom(p^m,k) (1 = ''k = p^m - 1) é: '' [p^m/p] + [p^m/p^2] + ... + [p^m/p^(m-1)] + '' (...) '' A partir dessas duas desigualdades é fácil ''concluir que o expoente de p no numerador é ''estritamente maior do que o expoente de p no ''denominador, de modo que p divide Binom(p^m,k). '' '' []s, '' Claudio. '' '' Oi, Maurício, '' é possível resolver essa como aplicação imediata ''do teorema de lucas, que é o seguinte: '' (...) '' Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais '' elementar deste fato... '' '' []s, '' Daniel '' ''Oi, pessoal, '' ''Estou em cima desse exercício de teoria dos ''números faz tempo e não cheguei a nada, alguém tem ''alguma dica? ''(...) '' '' ''__ ''Do You Yahoo!? ''Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around ''http://mail.yahoo.com ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Caso de divisibilidade
Oi, Maurcio, possvel resolver essa como aplicao imediata do teorema de lucas, que o seguinte: Se m = a_k*p^k + a_(k-1)*p^(k-1) + ... + a_1*p + a_0 e n = b_k*p^k + ... + b_0 (representao na base p), denotando B(m,n) a combinao de m elementos tomados n a n, vale B(m,n) == B(a_0,b_0)*B(a_1,b_1)*...*B(a_k,b_k)(mod p), onde B(x,y) = 0 se y x. Mas eu ainda gostaria de ver uma prova mais elementar deste fato... []s, Daniel '' Oi, pessoal, '' '' Estou em cima desse exerccio de teoria dos nmeros ''faz tempo e no cheguei a nada, algum tem alguma ''dica? '' '' Mostrar que o nmero de combinaes de p^a (p ''elevado a a) elementos tomados k a k divisivel por ''p, supondo p^ak (acho que tambm necessrio que ''a1). Formulei isso assim: '' '' p^a!/(k!(p^a-k)!) = 0 (mod p) '' '' '' Abraos, '' Maurcio '' '' '' '' '' '' ''Yahoo! Sports ''Rekindle the Rivalries. Sign up for Fantasy Football ''http://football.fantasysports.yahoo.com ''= ''Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Teorema de Green
Oi, Léo, Chame M = sup u(contorno de B) e k = inf u(contorno de B). Vale 2pi*k = I(r) = 2pi*M para todo r. Como u é contínua, dado e 0 existe d 0 tal que se x está no disco de raio d e centro p então |u(x) - u(p)| e/2. Como r - 0, podemos tomar r d/2, logo certamente |M - k| e pela desigualdade triangular e pelo fato de que M = u(y) para algum y pois o contorno de B é compacto (e o mesmo vale para k). Assim, no limite, 2pi*M = 2pi*k, e então lim I(r) = 2pi*M. Como M se aproxima de u(p) quando r - 0 (dado e 0, existe blá blá blá), segue que lim I(r) = 2pi*u(p). Agora, onde entrou o teorema de green?? []s, Daniel ''Seja D uma região aberta em R² com contorno D'. Seja u: D U D' -- R uma ''função contínua de classe C² em D. Suponha p pertença a D e um disco fechado ''B(p) de raio r centrado em p estejam contidos em D por 0 r = R. Defina ''I(r) por '' ''I(r) = 1/r*(int-de-linha[u.ds]) - [Contorno B'] '' ''Mostre que '' ''lim r - 0 de I(r) = 2.pi.u(p) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano
A primeira sai diretamente do teorema de Gauss. Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar q m(R) é constante), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações, pode-se supor que p é a origem de R^2. Usando a parametrização x(t) = R*cos(t), y(t) = R*sen(t), temos m(R) = (integral(0..2pi) de u(R*cos(t), R*sen(t)*R) dt) / (2pi*R). Derivando com relação a R, temos m'(R) = (1/(2pi*R))*integral(0..2pi)*((du/dx)*R*cos(t) + (du/dy)*R*sen(t)) dt = (1/(2pi*R))*integral(sobre dB) grad(u), n ds, onde a,b é o produto interno canônico e n representa o vetor normal unitário a dB, que por sinal é o bordo de B. Usando o teorema de Gauss, vem m'(R) = (1/(2pi*R))*integral dupla (sobre B) laplaciano(u) dxdy = 0 pois o laplaciano é 0 por hipótese. Assim, m(R) é constante. Já sabemos que lim m(R) = u(p) quando R - 0 (usando o exercício do seu e-mail anterior), logo m(R) = u(p) para todo R. Falta o 3 ainda... []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''From: Leonardo Teixeira [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano ''Date: Thu, 9 Jun 2005 23:26:35 -0300 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Bem, de fato é um monte de exercícios que um depende do outro. E como não ''consegui fazer o primeiro, torna-se complicado para mim continuar por eles. ''Então vou mandar para cá. '' ''Seja D uma região aberta em R² com contorno D'. Seja u: D U D' -- R uma ''função contínua de classe C² em D. Suponha p pertença a D e um disco fechado ''B(p) de raio r centrado em p estejam contidos em D por 0 r R '' ''Seja n o vetor normal a DB e du/dn* = Grad(u). n. Mostre que '' ''*São derivadas parciais '' '' '' ''Suponha que u satisfaça a equação de Laplace em D. Mostre que '' '' '' ''Usando o exercícios acima, mostre que se u é uma função harmônica, i. e.m ''Laplaciano(u) = 0, então u(p) pode ser expresso pela integral de área '' '' '' ''Obrigado, '' ''Leonardo '' ''Anexo: ex4.gif '' '' ''Anexo: ex5.gif '' '' ''Anexo: ex6.gif '' = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Mais teorema de green com laplaciano
Não saiu a notação do produto interno Abaixo, corrigido: ''A primeira sai diretamente do teorema de Gauss. '' ''Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando ''de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar ''q m(R) é constante), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações, ''pode-se supor que p é a origem de R^2. Usando a parametrização x(t) = R*cos(t), ''y(t) = R*sen(t), temos m(R) = (integral(0..2pi) de u(R*cos(t), R*sen(t)*R) ''dt) / (2pi*R). '' ''Derivando com relação a R, temos m'(R) = (1/(2pi*R))*integral(0..2pi)*((du/dx)*R*cos(t) ''+ (du/dy)*R*sen(t)) dt = (1/(2pi*R))*integral(sobre dB) grad(u). n ds, ''onde grad(u).n é o produto interno canônico e n representa o vetor normal unitário ''a dB, que por sinal é o bordo de B. '' ''Usando o teorema de Gauss, vem m'(R) = (1/(2pi*R))*integral dupla (sobre ''B) laplaciano(u) dxdy = 0 pois o laplaciano é 0 por hipótese. Assim, m(R) ''é constante. Já sabemos que lim m(R) = u(p) quando R - 0 (usando o exercício ''do seu e-mail anterior), logo m(R) = u(p) para todo R. '' ''Falta o 3 ainda... []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] variedades
Oi, Éder, Eu teria feito a mesma coisa, para mim está ok. É fácil ver que X(q,t) está em M para todo (q,t), e, dado Y em M, ele certamente tem coordenada z em [0,1], e quanto a x e y, estão no círculo do enunciado, que é parametrizável por q com t fixo usando a sua função X(q,t). []s, Daniel ''Olá pessoal. Estava tentando encontrar uma ''parametrização para a variedade M a seguir, mas não ''estou conseguindo verificar que de fato ela ''parametriza M. '' ''Considere as funções f,g,h:[0,1] -- R, de classe C^1, ''com f(t) 0, para todo t em [0,1]. Seja M uma ''2-variedade do R^3 cuja intersecção com o plano z = t ''é o círculo '' '' [x - g(t)]^2 + [y - h(t)]^2 = [f(t)]^2. '' ''se 0 = t = 1 e é vazio caso contrário. '' ''Tomei a seguinte parametrizacão: '' '' X:(0,2*pi)x(0,1) -- R^3 , '' ''onde '' ''X(q,t) = (f(t)*cos(q) + g(t), f(t)*sen(q) + h(t), t). '' ''Gostaria de saber se alguém pode me ajudar com o ''problema acima. '' ''Grato desde já, éder. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Analise
Oi, Não entendi duas coisas: g e f são funções de R^n em R, então o que seria (f o g)(t)? Mesmo trocando por (f o alfa) (e as contas para a derivada estão de acordo), vale alfa, alfa = r^2 + sen(2t)*A,B, que não é constante (r = |A| = |B|). Aliás, alfa, alfa' = cos(2t)*A,B. []s, Daniel ''Lá vai. ''Sejam A e B dois pontos na esfera e seja alfa(t) = (cost)A + (sint)B. Entao ''(f o g)'(t) = grad(f(alfa(t)).alfa'(t) = g(alfa(t))alfa(t).alfa'(t) ''Como alfa.alfa é constante, temo que ''0 = [d/dt](alfa(t).alfa(t)] = 2alfa(t).alfa'(t) ''e portanto ''(f o g)'(t) = 0. Assim, f(A) = f(B). Como queriamos. '' '' '' '' ''1) Seja f de Rn em R diferenciavel. Suponha existir ''uma funcao diferenciavel g tq gradf(x)=g(x)x. Mostre ''q ''f eh constante na esfera de raio r e centro na ''origem ''de Rn. '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Analise
Sim, claro Fixado A e fazendo B variar de modo que A e B sejam perpendiculares, e finalmente fazendo t variar, temos uma parametrização da esfera... Beleza []s, Daniel ''Mil perdoes. ''de fato, o que eu queria escrever era ''(f o alfa)'(t) = grad(f(alfa(t)).alfa'(t) = g(alfa(t))alfa(t).alfa'(t) ''E eu nao explicitei mas para alfa.alfa ser constante basta tomar A e B ''vetores perpendiculares.. '' '' ''[EMAIL PROTECTED] wrote: '' '' Oi, '' Não entendi duas coisas: g e f são funções de R^n em R, então o que seria '' (f o g)(t)? Mesmo trocando por (f o alfa) (e as contas para a derivada ''estão '' de acordo), vale alfa, alfa = r^2 + sen(2t)*A,B, que não é constante '' (r = |A| = |B|). Aliás, alfa, alfa' = cos(2t)*A,B. '' '' []s, '' Daniel '' '' ''Lá vai. '' ''Sejam A e B dois pontos na esfera e seja alfa(t) = (cost)A + (sint)B. '' Entao '' ''(f o g)'(t) = grad(f(alfa(t)).alfa'(t) = g(alfa(t))alfa(t).alfa'(t) '' ''Como alfa.alfa é constante, temo que '' ''0 = [d/dt](alfa(t).alfa(t)] = 2alfa(t).alfa'(t) '' ''e portanto '' ''(f o g)'(t) = 0. Assim, f(A) = f(B). Como queriamos. '' '' '' '' '' '' '' '' '' ''1) Seja f de Rn em R diferenciavel. Suponha existir '' ''uma funcao diferenciavel g tq gradf(x)=g(x)x. Mostre '' ''q '' ''f eh constante na esfera de raio r e centro na '' ''origem '' ''de Rn. '' '' '' ''= '' ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' ''= '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Oi, Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + ... + 2^(k-2) = D_(k-2) = D_(k-1) - 2^(k-1), assim temos S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2^k. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = S_(2^10 + 1) = 2^9*S(2 + 1) + 9*2^10 = 2^9 + 9*2^10. Como f(1024) = f(2^10) = D_9 = 2^10 - 1, temos S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^9 + 9*2^10 - 2*2^10 + 2 = 2^9 + 14*2^9 + 2 = 15*2^9 + 2. Espero não ter errado nada... []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Sun, 22 May 2005 11:05:30 -0300 ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''From: Pacini bores [EMAIL PROTECTED] ''Subject: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Olá Pessoal , '' ''Alguém poderia me ajudar no problema abaixo ? '' ''Sabendo que f(n) é maior potência de 2 que divide n! , ''determine o valor de '' ''f(1) + f(2) +...+ f(1023) . '' ''Agradeço qualquer ajuda . ''[]?s Pacini '' '' '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro! Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da estimativa numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. Ok! Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k = 0). Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + [n/2^3] + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + f(2^(k-1))) = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - f(2^(k-1))). Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = 2^(k-2)*(2^(k-1) + 1) - 2^(k-1) + 1. Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + 1. A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = S_(2^10 + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, chegaremos a S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + 2^8*(2 + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - 1)^2. Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. [], Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno, S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9 ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656, e finalmente nossas respostas coicidem! []s, Daniel ''-- Mensagem Original -- ''Date: Mon, 23 May 2005 00:39:11 -0300 ''From: Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] RE: [obm-l] RE: [obm-l] potência de 2 ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''S_3 = f(1) + f(2) + f(3) ''f(1) = 0 ''f(2): 2! = 2, == f(2) = 1 ''f(3): 3! = 3, == f(3) = 1 ''Logo S_3 = 0 + 1 + 1 = 2. ''(isso pq na ultima passagem vc usa sabendo que S_3=1) ''Não vi o resto, Daniel. Será que arrumando isso chegaremos na mesma ''resposta? '' ''Veja aí, estou morrendo de sono! Até amanhã! '' ''Abraço! ''Bruno '' ''On 5/22/05, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: '' '' Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + ''2^x '' por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez '' de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o '' erro! '' '' Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora '' encontrei S_1023 = 2^19 - 3*2^11 = 518144, que é algo mais próximo da '' estimativa '' numérica do Bruno, e me parece estar tudo certo desta vez. '' '' Ok! '' '' Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n), '' e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou '' iguais '' a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica ''B_k '' = 0). '' '' Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto é, o único '' inteiro tal que B_k = n/2^k B_k + 1, temos f(n) = [n/2] + [n/2^2] + '' '' [n/2^3] '' + ... . Por essa razão, f(2n + 1) = f(2n) = n + [n/2] + [n/2^2] + ... = '' n + f(n), logo S_(2^k + 1) = f(1) + ... + f(2^k + 1) = 2*(f(2) + f(4) + '' f(6) + ... + f(2^k)) = 2*( 1 + f(1) + 2 + f(2) + ... + 2^(k-1) + '' f(2^(k-1))) '' = 2*S_(2^(k-1)) + 2*D_(k-1), onde D_(x) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x. '' '' Repare que vc pode escrever S_(2^(k-1)) = S_(2^(k-1) + 1) - f(2^(k-1)), '' assim chegamos a S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + 2*(D_(k-1) - '' f(2^(k-1))). '' '' Tem-se f(2^(k-1)) = [2^(k-1)/2] + [2^(k-1)/2^2] + ... = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 '' + ... + 2^(k-2) = 2^(k-1) - 1, assim temos D_(k-1) - f(2^(k-1)) = '' 2^(k-2)*(2^(k-1) '' + 1) - 2^(k-1) + 1. '' '' Segue que S_(2^k + 1) = 2*S_(2^(k-1) + 1) + (2^(k-1) - 1)^2 + 2^(k-1) + '' 1. '' '' A idéia então é calcular S_1023 usando S_1023 = S_1025 - 2*f(1024) = '' S_(2^10 '' + 1) - 2*f(2^10). Aplicando repetidamente o raciocínio de há pouco, '' chegaremos '' a '' '' S_1025 = 2^9*S_(3) + (2^9 + 1) + 2*(2^8 + 1) + 2^2*(2^7 + 1) + ... + '' 2^8*(2 '' + 1) + (2^9 - 1)^2 + 2*(2^8 - 1)^2 + 2^2*(2^7 - 1)^2 + ... + 2^8*(2 - '' 1)^2. '' '' Após algumas manipulações e sabendo que S_3 = 1, chegamos a S_1025 = 2^19 '' - 2^12 - 2. Como f(1024) = 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^9 = 2^10 - 1, vem que '' '' S_1023 '' = S_1025 - 2*f(1024) = 2^19 - 3*2^11 = 518144. '' '' [], '' Daniel '' '' '' '' = '' Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em '' http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html '' = '' '' '' '' ''-- ''Bruno França dos Reis ''email: bfreis - gmail.com http://gmail.com ''gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key ''icq: 12626000 '' ''e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Quadrado Mágico
Oi, Cláudio ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300 ''Subject: [obm-l] Quadrado Mágico ''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Acho que sei como demonstrar que L_i (1=i=n), C_j (1=j=n-1), T e S são ''funcionais lineares L.I. '' ''Suponhamos que existam escalres a_i (1=i=n), b_j (1=j=n), c e d tais ''que o funcional linear: ''F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S ''seja identicamente nulo. '' ''Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) é 1 e todos os demais são 0. '' ''F(A(1,n)) = 0 == a_1 + d = 0 ''F(A(n,n)) = 0 == a_n + c = 0 ''F(A(k,n)) = 0 para 2 = k = n-1 == a_k = 0. '' ''Ou seja, já podemos escrever: ''F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S. '' ''F(A(1,1)) = 0 == -d + b_1 + c = 0 ''F(A(2,1)) = 0 == b_1 = 0 == c = d ''F(A(k+1,k)) = 0 para 2 = k = n-2 == b_k = 0 ''F(A(n,n-1)) = 0 == -c + b_(n-1) = 0 '' ''Assim: ''F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S). '' ''Finalmente, F(A(2,2)) = 0 == c = 0. '' ''Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima são L.I. ''e, portanto, o espaço dos quadrados mágicos nxn tem dimensão n^2 - (2n+1) ''= n^2 - 2n - 1. '' ''[]s, ''Claudio. A demonstração da independência dos funcionais está ok, mas isso mostra que se Z é o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais se anulam, então Z (na verdade um subespaço de M(nxn)) é tal que dim Z = dim M(nxn) - dim(F), onde por F é o subespaço gerado pelos 2n + 2 funcionais em questão no dual de M(nxn), isto é, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n - 1. Este resultado é mais geral: Se Z é o espaço dos zeros dos funcionais f_1, ..., f_k, que estão no dual de V, então dim Z = dim V - dim (f_1, ..., f_k). Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n 0, assim dim Q = dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados mágicos, um subespaço vetorial). Dá para provar que dim Q = dim Z + 1 (naturalmente um resultado mais geral válido para quaisquer funcionais), logo dim Q = dim Z + 1 = n^2 - 2n. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
