[obm-l] Algebra linear

[Israel Meireles Chrisostomo]

Como posso resolver o sistema de equações

x'y=xy'
x'z=xz'
y'z=yz'

onde x,y e z são variáveis e x',y' e z' são constantes.

-- 
Israel Meireles Chrisostomo


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Re: [obm-l] Algebra linear

[Cassio Anderson Feitosa]

Olá. To pagando álgebra linear (entrando em transformações agora)  e acho
que consegui o primeiro item da letra a):

 Como é não nula, então existe um real [image: [;r\ne 0;]] , tal que
existe [image:
[;u\in V;]] tal que [image: [;T(u)=r;]]. Como [image: [;V;]] é espaço
vetorial e [image: [;r\ne 0;]], então [image: [;\dfrac{1}{r}u\in V;]].
Como [image:
[;T;]] é linear, então [image:
[;T\left(\dfrac{1}{r}u\right)=\dfrac{1}{r}\cdot r=1;]].


 Agora, o que eu fiquei em dúvida foi se interpretei corretamente a parte:
Seja W o subespaço gerado pelo vetor v. Eu entendi o seguinte: W é o
subespaço gerado por todos os vetores [image: [;v\in V;]] tais que [image:
[;T(v)=1;]]. Mas, posso estar enganado, o conjunto de tais v não forma um
subespaço vetorial, já que para [image: [;v_1, v_2\in W;]] temos [image:
[;T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)=1+1=2;]]. Interpretei corretamente?




Em 2 de julho de 2013 09:20, marcone augusto araújo borges 
marconeborge...@hotmail.com escreveu:

 Peço ajuda nas seguintes questões


 1) a) Seja T : V -- R uma transformação linear não nula.Prove que existe
 um vetor v E V tal que
 T(v) = 1.Seja W o subespaço de V gerado pelo vetor v .Prove que V é soma
 direta W com Ker(T)

 b) Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V tais que dim((W1)
 + dim(W2) = dim(V).
 Mostre que existe uma transformação linear T : V-- V tal que Ker(T)= W1 e
 Im(T)= W2





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Re: [obm-l] Algebra Linear

[Tiago Machado]

não sei se está no nível que você precisa, mas ultimamente muitas pessoas
têm me recomendado o Linear Algebra Done Right.

abraços,
tiago

2012/6/18 Felippe Coulbert Balbi felippeba...@hotmail.com

  Olá a todos novamente.
 Atualmente estou estudando para a obmu (obm nivel universitario) e queria
 começar a focar na parte de matrizes, algebra linear, e não tenho ideia de
 livros ou sites que tenham exercicios de Algebra linear a nivel de obm.
 Vocês poderiam me dar sugestões para meus estudos de conteudos, a nivel de
 OBM, sobre Algebra linear?

 Grato.
 Coulbert

[obm-l] Algebra Linear

[Felippe Coulbert Balbi]

Olá a todos novamente.Atualmente estou estudando para a obmu (obm nivel 
universitario) e queria começar a focar na parte de matrizes, algebra linear, e 
não tenho ideia de livros ou sites que tenham exercicios de Algebra linear a 
nivel de obm.Vocês poderiam me dar sugestões para meus estudos de conteudos, a 
nivel de OBM, sobre Algebra linear?
Grato.Coulbert

[obm-l] Algebra linear

[Prof Marcus]

Galera estou com uma dificuldade nesse problema eu fiz de um jeito gostaria
de saber se está certo.

 

Sejam A, B matrizes reais e x um autovalor de A associado ao autovetor  v  e
w um autovalor de B associado ao autovetor v. 

Mostre que v e um autovetor da matriz A*B e determine o autovalor
correspondente.

 

 

Eu fiz assim

A.v = x .v  e  B .v = w . v então (A.B) v = (x.w).v, logo v é um autovetor
não nulo.

 

 

 

[obm-l] Algebra Linear II

[Diogo FN]

Bom dia amigos da Lista, poderiam me ajudar na seguinte questão?

 Seja Y um subespaço de X. Mostre que X é isomorfo a Y(+)X/Y.
Onde (+) representa soma direta.

Obrigado


  

Re: [obm-l] Algebra Linear II

[Julio Cesar]

Sugestão: demonstre que a projeção canônica $\pi : X \to X/Y$ restrita
à qualquer subespaço Z, complementar de Y em X, é um isomorfismo.

2011/3/16 Diogo FN diog...@yahoo.com.br:
 Bom dia amigos da Lista, poderiam me ajudar na seguinte questão?

 Seja Y um subespaço de X. Mostre que X é isomorfo a Y(+)X/Y.
 Onde (+) representa soma direta.

 Obrigado






-- 
Julio Cesar Conegundes da Silva
Use o GMailTex: http://alexeev.org/gmailtex.html

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Algebra Linear II: Operador auto-adjunto

[warley ferreira]

Ola Pessoal, queria uma ajuda nesta questão:
Seja T um automorfismo. Mostre que se T é um operdor auto-adjunto, T^-1 (T 
elevado a -1)também é.
Desde já muito obrigado
Warley Souza


  

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Re: [obm-l] Algebra Linear II

[warley ferreira]

Obrigadoo

Warley

--- Em ter, 10/11/09, Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br escreveu:


De: Carlos Gomes cgomes...@uol.com.br
Assunto: Re: [obm-l] Algebra Linear II
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Terça-feira, 10 de Novembro de 2009, 3:14





lembrando que detM=detM^t  temos:
 
Os autovalores de A são as raízes do polinômio p(x)=det(A-x.I)
 
e os de A^t são as raízes do polinômio q(x)=det(A^t-x.I) = det[A^t-x.I^t] = 
det[(A-x.I)^t] = det(A-x.I)=p(x)
 
assim A e A^t possuem os mesmos autovalores.
 
 
valew, cgomes

- Original Message - 
From: warley ferreira 
To: Lista de Discussão 
Sent: Monday, November 09, 2009 3:34 PM
Subject: [obm-l] Algebra Linear II






Olá pessoal, td bom?
Queria uma ajuda nesta questão:
Prove que uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos valores próprios.
Desde já agradeço,
Obrigado!
Otávio Souza


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[obm-l] Algebra Linear II

[warley ferreira]

Olá pessoal, td bom?
Queria uma ajuda nesta questão:
Prove que uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos valores próprios.
Desde já agradeço,
Obrigado!
Otávio Souza


  

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Re: [obm-l] Algebra Linear II

[Carlos Gomes]

lembrando que detM=detM^t  temos:

Os autovalores de A são as raízes do polinômio p(x)=det(A-x.I)

e os de A^t são as raízes do polinômio q(x)=det(A^t-x.I) = det[A^t-x.I^t] = 
det[(A-x.I)^t] = det(A-x.I)=p(x)

assim A e A^t possuem os mesmos autovalores.


valew, cgomes
  - Original Message - 
  From: warley ferreira 
  To: Lista de Discussão 
  Sent: Monday, November 09, 2009 3:34 PM
  Subject: [obm-l] Algebra Linear II


Olá pessoal, td bom?
Queria uma ajuda nesta questão:
Prove que uma matriz A e sua transposta AT possuem os mesmos valores 
próprios.
Desde já agradeço,
Obrigado!
Otávio Souza 


--
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Re: [obm-l] algebra linear

[Rafael Ando]

Claro o que eu tinha pensado foi o seguinte: R4 tem dimensao 4, logo
quaisquer 4 vetores de R4 linearmente independentes eh uma base de R4. Como
a nossa base tinha 2 vetores, precisavamos escolher mais 2 vetores LI...
concordo que da maneira que eu fiz, parece que eu achei esses 2 vetores na
sorte na verdade deve existir uma maneira mais algoritmica de expandir
bases para um outro espaco, maior que o original, mas nao lembro direito
=/

2008/6/23 Vanessa Nunes de Souza [EMAIL PROTECTED]:

  ok! eu só fiquei em duvida em relação na parte q pede pra estender a base
 pra todo R*4. poderia me explicar de novo?

 obrigada


  --
 Date: Mon, 23 Jun 2008 14:23:50 +0200
 From: [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Subject: Re: [obm-l] algebra linear


 1) Se w1, w2 e w3 forem LI (linearmente independentes), entao eles formam
 uma base. Caso contrario o espaco tem dimensao 2 (pq eh evidente que a
 dimensao nao eh 1, mas pode ser mostrado se quiser), e uma base possivel
 seriam 2 elementos LD quaisquer de W (por exemplo, w1 e w2).

 Pra verificar se w1, w2 e w3 sao LI, fazemos aw1+bw2+cw3 = 0, e tentamos
 achar uma solucao nao trivial. Resolvendo o sistema temos b=6c e a=2c, entao
 existem solucoes nao triviais e eles sao LD uma possivel base seria w1 e
 w2 (ou quaisquer dois elementos LI de W).

 Pra estender essa base pra R4 basta adicionar 2 elementos LI que nao
 pertencem a W... Isso pode ser feito de varias maneiras por exemplo, se
 um elemento em W tem primeira coordenada = 0, entao temos que ele eh
 multiplo de w1+w2 = (0 1 1 1). Logo, vetores como por exemplo (0 0 0 1) e (0
 0 1 0) completariam uma base, pois nao podem existir em W.

 2) hm... pra comecar, (2 1; 3 4) nao pertence a W, entao o conjunto nao eh
 uma base acho que vc quis dizer (2 1; 3 2). Nesse caso:

 Um elemento generico de W pode ser escrito como (a b; a+b a). Podemos
 escrever esse elemento generico como combinacao linear dos 2 que temos, ou
 verificar que ele pode ser escrito como a(1 0; 1 1) + b(0 1; 1 0). Logo (1
 0; 1 1), (0 1;1 0) eh uma base, a dimensao eh 2, e o conjunto dado eh uma
 base (pois contem 2 elementos LI de W).

 2008/6/23 Vanessa Nunes de Souza [EMAIL PROTECTED]:


  olá. preciso da ajuda de vcs nessas questões, quem puder me ajudar,
 agradeço!

 1- achar uma base e a dimensão do subespaço W de R*4 gerado por

 w1= ( -1,4,2,-1) w2= (1,-3,-1,2) e w3=( 4,-10,-2,10)

 estenda a base de W a uma base de todo o R*4

 2-SEja W o subespaço vetorial de M(2,2 ) dado por :
  W=  (  ( a b ) : a= d e c= a+b   )
 c  d

O conjunto de matrizes (  ( 1   -1) , (2  1)) é uma base de W? por
 que?
 01  3  4


 vanessa nunes
 obrigada!

 --
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 --
 Rafael


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Rafael

Re: [obm-l] algebra linear

[Rafael Ando]

1) Se w1, w2 e w3 forem LI (linearmente independentes), entao eles formam
uma base. Caso contrario o espaco tem dimensao 2 (pq eh evidente que a
dimensao nao eh 1, mas pode ser mostrado se quiser), e uma base possivel
seriam 2 elementos LD quaisquer de W (por exemplo, w1 e w2).

Pra verificar se w1, w2 e w3 sao LI, fazemos aw1+bw2+cw3 = 0, e tentamos
achar uma solucao nao trivial. Resolvendo o sistema temos b=6c e a=2c, entao
existem solucoes nao triviais e eles sao LD uma possivel base seria w1 e
w2 (ou quaisquer dois elementos LI de W).

Pra estender essa base pra R4 basta adicionar 2 elementos LI que nao
pertencem a W... Isso pode ser feito de varias maneiras por exemplo, se
um elemento em W tem primeira coordenada = 0, entao temos que ele eh
multiplo de w1+w2 = (0 1 1 1). Logo, vetores como por exemplo (0 0 0 1) e (0
0 1 0) completariam uma base, pois nao podem existir em W.

2) hm... pra comecar, (2 1; 3 4) nao pertence a W, entao o conjunto nao eh
uma base acho que vc quis dizer (2 1; 3 2). Nesse caso:

Um elemento generico de W pode ser escrito como (a b; a+b a). Podemos
escrever esse elemento generico como combinacao linear dos 2 que temos, ou
verificar que ele pode ser escrito como a(1 0; 1 1) + b(0 1; 1 0). Logo (1
0; 1 1), (0 1;1 0) eh uma base, a dimensao eh 2, e o conjunto dado eh uma
base (pois contem 2 elementos LI de W).

2008/6/23 Vanessa Nunes de Souza [EMAIL PROTECTED]:


  olá. preciso da ajuda de vcs nessas questões, quem puder me ajudar,
 agradeço!

 1- achar uma base e a dimensão do subespaço W de R*4 gerado por

 w1= ( -1,4,2,-1) w2= (1,-3,-1,2) e w3=( 4,-10,-2,10)

 estenda a base de W a uma base de todo o R*4

 2-SEja W o subespaço vetorial de M(2,2 ) dado por :
  W=  (  ( a b ) : a= d e c= a+b   )
 c  d

O conjunto de matrizes (  ( 1   -1) , (2  1)) é uma base de W? por
 que?
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Rafael

Re: [obm-l] algebra linear

[Rafael Ando]

no comeco, na verdade eu quis dizer : ... 2 elementos LI quaisquer ...

2008/6/23 Rafael Ando [EMAIL PROTECTED]:

 1) Se w1, w2 e w3 forem LI (linearmente independentes), entao eles formam
 uma base. Caso contrario o espaco tem dimensao 2 (pq eh evidente que a
 dimensao nao eh 1, mas pode ser mostrado se quiser), e uma base possivel
 seriam 2 elementos LD quaisquer de W (por exemplo, w1 e w2).

 Pra verificar se w1, w2 e w3 sao LI, fazemos aw1+bw2+cw3 = 0, e tentamos
 achar uma solucao nao trivial. Resolvendo o sistema temos b=6c e a=2c, entao
 existem solucoes nao triviais e eles sao LD uma possivel base seria w1 e
 w2 (ou quaisquer dois elementos LI de W).

 Pra estender essa base pra R4 basta adicionar 2 elementos LI que nao
 pertencem a W... Isso pode ser feito de varias maneiras por exemplo, se
 um elemento em W tem primeira coordenada = 0, entao temos que ele eh
 multiplo de w1+w2 = (0 1 1 1). Logo, vetores como por exemplo (0 0 0 1) e (0
 0 1 0) completariam uma base, pois nao podem existir em W.

 2) hm... pra comecar, (2 1; 3 4) nao pertence a W, entao o conjunto nao eh
 uma base acho que vc quis dizer (2 1; 3 2). Nesse caso:

 Um elemento generico de W pode ser escrito como (a b; a+b a). Podemos
 escrever esse elemento generico como combinacao linear dos 2 que temos, ou
 verificar que ele pode ser escrito como a(1 0; 1 1) + b(0 1; 1 0). Logo (1
 0; 1 1), (0 1;1 0) eh uma base, a dimensao eh 2, e o conjunto dado eh uma
 base (pois contem 2 elementos LI de W).

 2008/6/23 Vanessa Nunes de Souza [EMAIL PROTECTED]:


  olá. preciso da ajuda de vcs nessas questões, quem puder me ajudar,
 agradeço!

 1- achar uma base e a dimensão do subespaço W de R*4 gerado por

 w1= ( -1,4,2,-1) w2= (1,-3,-1,2) e w3=( 4,-10,-2,10)

 estenda a base de W a uma base de todo o R*4

 2-SEja W o subespaço vetorial de M(2,2 ) dado por :
  W=  (  ( a b ) : a= d e c= a+b   )
 c  d

O conjunto de matrizes (  ( 1   -1) , (2  1)) é uma base de W? por
 que?
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Rafael

RE: [obm-l] algebra linear

[Vanessa Nunes de Souza]

ok! eu só fiquei em duvida em relação na parte q pede pra estender a base pra 
todo R*4. poderia me explicar de novo?
 
obrigada


Date: Mon, 23 Jun 2008 14:23:50 +0200From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL 
PROTECTED]: Re: [obm-l] algebra linear1) Se w1, w2 e w3 forem LI (linearmente 
independentes), entao eles formam uma base. Caso contrario o espaco tem 
dimensao 2 (pq eh evidente que a dimensao nao eh 1, mas pode ser mostrado se 
quiser), e uma base possivel seriam 2 elementos LD quaisquer de W (por exemplo, 
w1 e w2).Pra verificar se w1, w2 e w3 sao LI, fazemos aw1+bw2+cw3 = 0, e 
tentamos achar uma solucao nao trivial. Resolvendo o sistema temos b=6c e a=2c, 
entao existem solucoes nao triviais e eles sao LD uma possivel base seria 
w1 e w2 (ou quaisquer dois elementos LI de W).Pra estender essa base pra R4 
basta adicionar 2 elementos LI que nao pertencem a W... Isso pode ser feito de 
varias maneiras por exemplo, se um elemento em W tem primeira coordenada = 
0, entao temos que ele eh multiplo de w1+w2 = (0 1 1 1). Logo, vetores como por 
exemplo (0 0 0 1) e (0 0 1 0) completariam uma base, pois nao podem existir em 
W.2) hm... pra comecar, (2 1; 3 4) nao pertence a W, entao o conjunto nao eh 
uma base acho que vc quis dizer (2 1; 3 2). Nesse caso:Um elemento generico 
de W pode ser escrito como (a b; a+b a). Podemos escrever esse elemento 
generico como combinacao linear dos 2 que temos, ou verificar que ele pode ser 
escrito como a(1 0; 1 1) + b(0 1; 1 0). Logo (1 0; 1 1), (0 1;1 0) eh uma base, 
a dimensao eh 2, e o conjunto dado eh uma base (pois contem 2 elementos LI de 
W).
2008/6/23 Vanessa Nunes de Souza [EMAIL PROTECTED]:

 olá. preciso da ajuda de vcs nessas questões, quem puder me ajudar, agradeço! 
1- achar uma base e a dimensão do subespaço W de R*4 gerado por w1= ( 
-1,4,2,-1) w2= (1,-3,-1,2) e w3=( 4,-10,-2,10) estenda a base de W a uma base 
de todo o R*4 2-SEja W o subespaço vetorial de M(2,2 ) dado por : 
W=  (  ( a b ) : a= d e c= a+b   )c  d O conjunto 
de matrizes (  ( 1   -1) , (2  1)) é uma base de W? por que?
01  3  4  vanessa nunes obrigada!


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[obm-l] algebra linear

[Vanessa Nunes de Souza]

 olá. preciso da ajuda de vcs nessas questões, quem puder me ajudar, agradeço!
 
1- achar uma base e a dimensão do subespaço W de R*4 gerado por
 
w1= ( -1,4,2,-1) w2= (1,-3,-1,2) e w3=( 4,-10,-2,10)
 
estenda a base de W a uma base de todo o R*4
 
2-SEja W o subespaço vetorial de M(2,2 ) dado por :
 W=  (  ( a b ) : a= d e c= a+b   )
c  d 
 
   O conjunto de matrizes (  ( 1   -1) , (2  1)) é uma base de W? por que?
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[obm-l] algebra linear

[Olinto Araújo]

Dado o sistema de equacoes simultaneas representado por

 Ax=b,
onde A \in Z^mxn, com posto igual a m, b \in Z^m,  b^t = (b1,b2,...,bm) , x
\in Rn, x^t = (x1,x2,...,xn),
A = (a_ij) , i =1,2,...,m, e j = 1,2,...n.

Se x^t = (x1,x2,...,xn) for uma solucao básica de Ax=b, demonstrar que para
todo
j :  | x_j| = m! alfa^m-1 beta, onde alfa = max_ij{|a_ij|} e beta = max_i
{|b_i|}

A diga é usar Cramer.

Nao consegui.

Obrigado.

[obm-l] Algebra Linear e Desigualdade de Schwarz

[Pedro Cardoso]

Caros amigos da lista,
 
saudações! Queria a ajuda de vocês em dois problemas, nos quais a minha dúvida 
consiste em saber com exatidão o que o enunciado exige de mim. Um é de álgebra 
linear, outro é de, bem, desigualdade de couchy-schwarz (que tópico da álgebra 
isso seria?).
 
1- Determine sistemas lineares de equações com duas incógnitas (x,y) cujas 
soluções sejam da forma (1,3) (solução única), (t,2t),(t,3). Comentário: na 
verdade, vendo a solução de uma dessas, acho que entenderia o que é para fazer 
nas outras. Até resolvi, mas a resposta não parecia estar bonita e soava óbvia 
demais.
 
2- Dê a interpretação geométrica da desigualdade de Couchy-Schwarz para n=2, 
n=3.
 
Abraços,
 
Pedro Lazéra cardoso.
 
_
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com até 6,000 fotos!
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RES: [obm-l] algebra linear (base)

[Artur Costa Steiner]

Bom dia

Nao peguei bem sua ideia. Mas, como combinacao linear de, v1, v2 e v3, os 
vetores de B' sao (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (-1, 1, 1). Considerando-os como 
vetores linha, o determinante da matriz por eles formada, desenvolvido pela 
primeira linha é

D = 1 *1 0
   1 1

D = 1 * (1 - 0) = 1. Como D 0, os vetores sao LI e B' eh uma base de V.

Artur

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Tio Cabri st
Enviada em: terça-feira, 15 de janeiro de 2008 22:58
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] algebra linear (base)


Amigos, boa noite!
Gostaria de uma ajuda (ou confirmação) no exercício abaixo:

Seja B={v1,v2,v3} base de um espaço V.
B'={v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) }. Mostre que B' é base de V.
Fiz assim:
Se B é base então  dimV=3 e v1,v2,v3 são LI.
Quaisquer 3 vetores de V (LI) formarão uma outra base de V.
Escalonei v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) e deu v1,v2,v3 logo B' é base de V.
Correto?

Obrigado
Cabri

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

RES: [obm-l] algebra linear (base)

[Fabio Honorato]

Oi Cabri, não entendi bem o que você quis dizer com Escalonei v1 , (v1+ v2) , 
(-v1+v2+v3) , tentei melhorar sua resposta. Observe que sendo o conjunto 
B={v1,v2,v3} uma base de V, então B gera V e a única combinação nula 
av1+bv2+cv3=0 com a,b, e c pertencente aos reais é aquela em que a=b=c=0. Para 
mostrar que o conjunto B'= {v1, v1+v2, -v1+v2+v3)} é uma base de V é necessário 
apenas verificar que B' é LI já que qualquer conjunto com três vetores LI é uma 
base de E, esse problema é equivalente a mostrar que dado a combinação nula mv1 
+ n(v1+v2)+p(-v1+v2+v3)=0 então a única solução para essa igualdade é m=n=p=0.  
Mas mv1 + n(v1+v2)+p(-v1+v2+v3)= (m+n-p)v1 + (n+p)v2 + pv3=0  ou seja 
m+n-p=n+p=p=0 (pois v1,v2,v3 é LI) ou seja m=n=p=0, logo B' é um conjunto LI e 
portanto uma base.

Espero ter ajudado, um abraço.

 From: [EMAIL PROTECTED]
 To: obm-l@mat.puc-rio.br
 Date: Wed, 16 Jan 2008 10:06:02 -0200
 Subject: RES: [obm-l] algebra linear (base)

 Bom dia

 Nao peguei bem sua ideia. Mas, como combinacao linear de, v1, v2 e v3, os 
 vetores de B' sao (1, 0, 0), (1, 1, 0) e (-1, 1, 1). Considerando-os como 
 vetores linha, o determinante da matriz por eles formada, desenvolvido pela 
 primeira linha é

 D = 1 * 1 0
 1 1

 D = 1 * (1 - 0) = 1. Como D 0, os vetores sao LI e B' eh uma base de V.

 Artur

 -Mensagem original-
 De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
 nome de Tio Cabri st
 Enviada em: terça-feira, 15 de janeiro de 2008 22:58
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Assunto: [obm-l] algebra linear (base)


 Amigos, boa noite!
 Gostaria de uma ajuda (ou confirmação) no exercício abaixo:

 Seja B={v1,v2,v3} base de um espaço V.
 B'={v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) }. Mostre que B' é base de V.
 Fiz assim:
 Se B é base então dimV=3 e v1,v2,v3 são LI.
 Quaisquer 3 vetores de V (LI) formarão uma outra base de V.
 Escalonei v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) e deu v1,v2,v3 logo B' é base de V.
 Correto?

 Obrigado
 Cabri

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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] algebra linear (base)

[Tio Cabri st]

Amigos, boa noite!
Gostaria de uma ajuda (ou confirmação) no exercício abaixo:

Seja B={v1,v2,v3} base de um espaço V.
B'={v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) }. Mostre que B' é base de V.
Fiz assim:
Se B é base então  dimV=3 e v1,v2,v3 são LI.
Quaisquer 3 vetores de V (LI) formarão uma outra base de V.
Escalonei v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) e deu v1,v2,v3 logo B' é base de V.
Correto?

Obrigado
Cabri

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Re: [obm-l] algebra linear (base)

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Cabri,

não entendi o que vc fez exatamente. Eu faria o seguinte:
Sejam a, b, c escalares, tal que a*v1 + b*(v1+v2) + c*(-v1+v2+v3) = 0.
Temos que provar que a=b=c=0.

Arrumando a expressão, temos: (a+b-c)*v1 + (b+c)*v2 + c*v3 = 0
como { v1, v2, v3 } é LI, temos que:
a+b-c = 0
b+c = 0
c = 0

entao: a = b = c = 0.

portanto, {v1, v1+v2, -v1+v2+v3} é LI.

abraços,
Salhab



2008/1/15 Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED]:

 Amigos, boa noite!
 Gostaria de uma ajuda (ou confirmação) no exercício abaixo:

 Seja B={v1,v2,v3} base de um espaço V.
 B'={v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) }. Mostre que B' é base de V.
 Fiz assim:
 Se B é base então  dimV=3 e v1,v2,v3 são LI.
 Quaisquer 3 vetores de V (LI) formarão uma outra base de V.
 Escalonei v1 , (v1+ v2) , (-v1+v2+v3) e deu v1,v2,v3 logo B' é base de V.
 Correto?

 Obrigado
 Cabri

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[obm-l] Algebra Linear

[Klaus Ferraz]

Seja T: R^2-R^2 uma reflexão, através da reta y=3x.
Encontre T(x,y)
b) Encontre a base alpha de R^2, tal que {[T]_a}^a= 
1  0
0 -1

Grato.


  Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!
http://br.mail.yahoo.com/

Re: [obm-l] Algebra Linear (novo)

[Willy George do Amaral Petrenko]

Considero esse raciocínio simples e objetivo:
2)K=(x1,x2,x3,-x1-x2-x3)=(x1,0,0,-x1)+(0,x2,0,-x2)+(0,0,x3,-x3)=x1(1,0,0,-1)+x2(0,1,0,-1)+x3(0,0,1,-1),para
quaisquer x1,x2,x3.Portanto a base é {(1,0,0,-1),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)},
como esperado.




Em 22/09/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 1) Encontre um contra-exemplo para a seguinte afirmação: Se w1,...,w4 é
 uma base para R^4 e se W é um subespaço, então algum subconjunto dos w's irá
 formar uma base para W.
 2) Exiba uma base para o subespaço a seguir:
 K={(x1,x2,x3,x4) E R^4, x1+x2+x3+x4=0}
 Essa 2 aí, para eu achar a base tem que ser por inspeção?
 Grato.

 Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba 
 maishttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/.

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Samir,
entendi o que vc disse. Mas nao concordo sobre a rigorosidade.. vejano 
exercicio que U éo espaco gerado pelos m vetores.. logo, possoescrever 
qualquer elemento de U como a combinacao linear dos m(independente deles serem 
LI ou nao..) e o mesmo vale para V..concordo que a demonstracao eh a mesma caso 
eu tomasse um subconjuntoLI e que gere U (uma base de U), mas como desconheco 
esse subconjunto,tomei os m mesmo.entendeu pq nao concordo sobre a rigorosidade?
abraços,Salhab


On 9/22/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Na parte dos espaços 
iguais;  vi q vc usou como limite do somatorio a dimensao de A que eh m; mas a 
dimensao de V eh k≤m, onde k é o numero de vetores linearmente independentes 
de A. Obviamente se usar m a demonstracao nao vai falhar, pois vc esta somente 
introduzindo vetores linearmente dependendentes, e a unica mudanca seriam os 
coeficientes dos vetores da base na hora de montar um elemento de V; mas do 
ponto de vista de rigorosidade, deve-se usar k, uma vez que a base de V sera 
formada somente de vetores linearmente independentes. Em 21/09/07, Marcelo 
Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:  Olá Samir,  não entendi.. 
em que parte? dos espacos iguais ou da independencia linear?  abraços,Salhab 
 On 9/20/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito 
mais rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠ 0; 
k seria a dim(V) Em 20/09/07,!
 Marcelo Salhab Brogliato  [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Olá Klaus,  
 primeiramente vamos mostar que V=W.  como provamos que 2 conjuntos sao 
iguais? mostrando que um está  contido no outro...   todos os somatorios 
sao de 1 até m  v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A  u_i 
é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B  seja x E U, entao: x = 
Sum a_i*u_i  mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r  
substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)  
logo, x E V... assim: U C V   tente agora mostrar que V C U :)   para 
mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos  garante que na 
primeira coluna, todos os elementos exceto o da  primeira linha sao nulos, 
sendo que o elemento da primei!  ra linha pode  ser nulo ou nao.. e isso 
vale para as demais linhas..  tome a combinacao linear dos vetores nao nulos 
e iguale a zero.  seja u_ij a j-ésima componente d!
o i-ésimo vetor..  seja a_i o i-ésimo componente da comb!
inacao linear..  apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos.. 
 entao, a_1 deve ser nulo...  agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é 
nao-nulo...  entao, a_2 deve ser nulo..  e assim segue..  deste modo vc 
mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que  os vetores sao LI.. 
  abracos,  SalhabOn 9/20/07, Klaus Ferraz  [EMAIL 
PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode 
considerar as m linhas como   vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, 
gerado por estes m vetores. Da mesma   forma para a matriz B, linha 
reduzida à forma escada de A, podemos   considerar o subespaço W gerado 
pelos m vetores, dados por suas linhas.   Observando que cada li!  nha de 
B é obtida por combinação linear das linhas de  !   A e vice-versa. 
justifique que V=W.   Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não 
nulas de uma   matriz-linha reduzida à forma escada!
 são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um 
iniciado no assunto.   Grato.   Flickr agora em português. Você clica, 
todo mundo vê. Saiba mais.   
=  
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html  
= 
 -- Samir Rodrigues  
=  
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html  
= 
 -- Samir Rodrigues
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Samir Rodrigues]

Tudo bem, cada um com sua opiniao

Em 23/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá Samir,
 entendi o que vc disse. Mas nao concordo sobre a rigorosidade.. vejano
 exercicio que U éo espaco gerado pelos m vetores.. logo, possoescrever
 qualquer elemento de U como a combinacao linear dos m(independente deles
 serem LI ou nao..) e o mesmo vale para V..concordo que a demonstracao eh a
 mesma caso eu tomasse um subconjuntoLI e que gere U (uma base de U), mas
 como desconheco esse subconjunto,tomei os m mesmo.entendeu pq nao concordo
 sobre a rigorosidade?
 abraços,Salhab


 On 9/22/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Na parte dos
 espaços iguais;  vi q vc usou como limite do somatorio a dimensao de A que
 eh m; mas a dimensao de V eh k≤m, onde k é o numero de vetores linearmente
 independentes de A. Obviamente se usar m a demonstracao nao vai falhar,
 pois vc esta somente introduzindo vetores linearmente dependendentes, e a
 unica mudanca seriam os coeficientes dos vetores da base na hora de montar
 um elemento de V; mas do ponto de vista de rigorosidade, deve-se usar k,
 uma vez que a base de V sera formada somente de vetores linearmente
 independentes. Em 21/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
 escreveu:  Olá Samir,  não entendi.. em que parte? dos espacos iguais ou
 da independencia linear?  abraços,Salhab  On 9/20/07, Samir Rodrigues 
 [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito mais rigoroso seria fazer a
 soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠ 0; k seria a dim(V) Em
 20/09/07,!
 Marcelo Salhab Brogliato  [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Olá
 Klaus,   primeiramente vamos mostar que V=W.  como provamos que 2
 conjuntos sao iguais? mostrando que um está  contido no outro...  
 todos os somatorios sao de 1 até m  v_i é o vetor formado pela i-ésima
 linha da matriz A  u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B
  seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i  mas, como disse no enunciado, u_i =
 Sum k_r*v_r  substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) =
 Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)  logo, x E V... assim: U C V   tente agora
 mostrar que V C U :)   para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a
 forma escada nos  garante que na primeira coluna, todos os elementos
 exceto o da  primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primei! 
 ra linha pode  ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas.. 
 tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.  seja
 u_ij a j-ésima componente d!
 o i-ésimo vetor..  seja a_i o i-ésimo componente da comb!
 inacao linear..  apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos
 nulos..  entao, a_1 deve ser nulo...  agora, como a_1 = 0, apenas u_22
 é nao-nulo...  entao, a_2 deve ser nulo..  e assim segue..  deste
 modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que  os
 vetores sao LI..   abracos,  SalhabOn 9/20/07,
 Klaus Ferraz  [EMAIL PROTECTED] wrote: Dada uma matriz
 A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como   vetores do R^n
 e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma   forma
 para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos  
 considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. 
  Observando que cada li!  nha de B é obtida por combinação linear das
 linhas de  !   A e vice-versa. justifique que V=W.   Mostre ainda,
 que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma   matriz-linha
 reduzida à forma escada!
 são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um
 iniciado no assunto.   Grato.   Flickr agora em português. Você
 clica, todo mundo vê. Saiba mais.  
 =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
 =
  -- Samir Rodrigues 
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  -- Samir Rodrigues
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 =




-- 
Samir Rodrigues

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Samir Rodrigues]

Na parte dos espaços iguais;  vi q vc usou como limite do somatorio a
dimensao de A que eh m; mas a dimensao de V eh k≤m, onde k é o numero de
vetores linearmente independentes de A. Obviamente se usar m a demonstracao
nao vai falhar, pois vc esta somente introduzindo vetores linearmente
dependendentes, e a unica mudanca seriam os coeficientes dos vetores da base
na hora de montar um elemento de V; mas do ponto de vista de rigorosidade,
deve-se usar k, uma vez que a base de V sera formada somente de vetores
linearmente independentes.

Em 21/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá Samir,
 não entendi.. em que parte? dos espacos iguais ou da independencia linear?
 abraços,Salhab
 On 9/20/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito
 mais rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠
 0; k seria a dim(V) Em 20/09/07, Marcelo Salhab Brogliato 
 [EMAIL PROTECTED] escreveu:   Olá Klaus,   primeiramente vamos
 mostar que V=W.  como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que
 um está  contido no outro...   todos os somatorios sao de 1 até m 
 v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A  u_i é o vetor
 formado pela i-ésima linha da matriz B  seja x E U, entao: x = Sum
 a_i*u_i  mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r  substituindo,
 temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)  logo, x E V...
 assim: U C V   tente agora mostrar que V C U :)   para mostrar que
 sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos  garante que na primeira
 coluna, todos os elementos exceto o da  primeira linha sao nulos, sendo
 que o elemento da primei!
 ra linha pode  ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas.. 
 tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.  seja u_ij
 a j-ésima componente do i-ésimo vetor..  seja a_i o i-ésimo componente da
 combinacao linear..  apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos
 nulos..  entao, a_1 deve ser nulo...  agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é
 nao-nulo...  entao, a_2 deve ser nulo..  e assim segue..  deste modo
 vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que  os vetores sao
 LI..   abracos,  SalhabOn 9/20/07, Klaus Ferraz
 [EMAIL PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x
 n, você pode considerar as m linhas como   vetores do R^n e o subespaço
 V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma   forma para a matriz B,
 linha reduzida à forma escada de A, podemos   considerar o subespaço W
 gerado pelos m vetores, dados por suas linhas.   Observando que cada li!
 nha de B é obtida por combinação linear das linhas de  !
  A e vice-versa. justifique que V=W.   Mostre ainda, que os vetores
 dados pelas linhas não nulas de uma   matriz-linha reduzida à forma
 escada são LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou
 um iniciado no assunto.   Grato.   Flickr agora em português. Você
 clica, todo mundo vê. Saiba mais.  
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 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html 
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  -- Samir Rodrigues
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-- 
Samir Rodrigues

[obm-l] Algebra Linear (novo)

[Klaus Ferraz]

1) Encontre um contra-exemplo para a seguinte afirmação: Se w1,...,w4 é uma 
base para R^4 e se W é um subespaço, então algum subconjunto dos w's irá formar 
uma base para W.
2) Exiba uma base para o subespaço a seguir:
K={(x1,x2,x3,x4) E R^4, x1+x2+x3+x4=0}
Essa 2 aí, para eu achar a base tem que ser por inspeção?
Grato.


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Re: [obm-l] Algebra Linear (novo)

[Carlos Nehab]

Oi, Klaus,

Idias...

1) Imagine a base cannica (1, 0 , 0 ,0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) e
(0, 0, 0, 1) e o subspao W gerado pelos vetores (1,1,0, 0) e (2, 0 ,2,
0), por exemplo.
Tal espao  o conjunto dos vetores da forma u = a(1,1,0, 0) + b(2, 0 ,2, 2) =
(a+2b, a, 2b, 0) , onde a e b so reais... 

Para que um subconjunto da base de R4 gere tal W  necessrio que no
mnimo (1,0,0,0), (0,1, 0,0) e (0, 0, 1, 0) estejam presentes Mas
tais vetores geram MAIS do que W...

2) Bem, no vejo nenhuma soluo sem um "qu " de inspeo (no sentido
de construo)...
Naturalmente a dimenso de K  3, basta ento basta usar (1,0,0,-1),
(0,1, 0, -1) e (0, 0, 1, -1), que foram obtidos pensando-se em, usar,
sucessivamente vetores de K LI com os anteriores... 

Talvez esta outra forma de pensar o agrade mais (mas bem maluca!):
Como sabemos que K possui dimenso 3, se exibirmos uma funo linear f
de R3 em K, bijetora, a imagem de uma base de R3 por f ser uma base de
K...

Mas a funo f(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3, -x1-x2-x3)  linear bijetora
e ento f(base)  base... Fazendo isto para a base cannica de R3
chegamos na base de K exibida na soluo anterior... Acho que t tudo
certo...

Abraos,
Nehab


Klaus Ferraz escreveu:

  
  
  1) Encontre um contra-exemplo para a seguinte
afirmao: Se w1,...,w4  uma base para R^4 e se W  um subespao,
ento algum subconjunto dos w's ir formar uma base para W.
  2) Exiba uma base para o subespao a seguir:
   K={(x1,x2,x3,x4) E R^4,
x1+x2+x3+x4=0}
  Essa 2 a, para eu achar a base tem que ser
por inspeo?
  Grato.
  
  
Flickr agora em portugus. Voc clica, todo mundo v. Saiba
mais.
  



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Res: [obm-l] Algebra Linear

[Klaus Ferraz]

Boa Marcelo. Pra mostrar que V C U eu usei que  operação com linhas da forma 
escada é reversível. O restante é inteiramente análogo ao que vc fez.


- Mensagem original 
De: Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 20 de Setembro de 2007 17:22:16
Assunto: Re: [obm-l] Algebra Linear


Olá Klaus,

primeiramente vamos mostar que V=W.
como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está
contido no outro...

todos os somatorios sao de 1 até m
v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A
u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B
seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i
mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r
substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)
logo, x E V... assim: U C V

tente agora mostrar que V C U :)

para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos
garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da
primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primeira linha pode
ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas..
tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.
seja u_ij a j-ésima componente do i-ésimo vetor..
seja a_i o i-ésimo componente da combinacao linear..
apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos..
entao, a_1 deve ser nulo...
agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo...
entao, a_2 deve ser nulo..
e assim segue..
deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que
os vetores sao LI..

abracos,
Salhab






On 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como
 vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma
 forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos
 considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas.
 Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de
 A e vice-versa. justifique que V=W.
 Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma
 matriz-linha reduzida à forma escada são LI.

 Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto.
 Grato.
 Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=


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Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Samir,
não entendi.. em que parte? dos espacos iguais ou da independencia linear?
abraços,Salhab
On 9/20/07, Samir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, um jeito mais 
rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é dito se det(A) ≠ 0; k 
seria a dim(V) Em 20/09/07, Marcelo Salhab Brogliato  [EMAIL PROTECTED] 
escreveu:   Olá Klaus,   primeiramente vamos mostar que V=W.  como 
provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está  contido no 
outro...   todos os somatorios sao de 1 até m  v_i é o vetor formado pela 
i-ésima linha da matriz A  u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz 
B  seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i  mas, como disse no enunciado, u_i = 
Sum k_r*v_r  substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = 
Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)  logo, x E V... assim: U C V   tente agora 
mostrar que V C U :)   para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma 
escada nos  garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da  
primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primei!
ra linha pode  ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas..  tome 
a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.  seja u_ij a 
j-ésima componente do i-ésimo vetor..  seja a_i o i-ésimo componente da 
combinacao linear..  apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos 
nulos..  entao, a_1 deve ser nulo...  agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é 
nao-nulo...  entao, a_2 deve ser nulo..  e assim segue..  deste modo vc 
mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que  os vetores sao LI.. 
  abracos,  SalhabOn 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL 
PROTECTED] wrote: Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode 
considerar as m linhas como   vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado 
por estes m vetores. Da mesma   forma para a matriz B, linha reduzida à 
forma escada de A, podemos   considerar o subespaço W gerado pelos m 
vetores, dados por suas linhas.   Observando que cada li!
nha de B é obtida por combinação linear das linhas de  !
 A e vice-versa. justifique que V=W.   Mostre ainda, que os vetores dados 
 pelas linhas não nulas de uma   matriz-linha reduzida à forma escada são 
 LI. Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado 
 no assunto.   Grato.   Flickr agora em português. Você clica, todo 
 mundo vê. Saiba mais.   
 =  
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em  
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html  
 = 
  -- Samir Rodrigues
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Algebra Linear

[Klaus Ferraz]

Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como vetores 
do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma forma para 
a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos considerar o subespaço 
W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas. Observando que cada linha de B 
é obtida por combinação linear das linhas de A e vice-versa. justifique que V=W.
Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma matriz-linha 
reduzida à forma escada são LI.

Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto.
Grato.


  Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê.
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Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Klaus,

primeiramente vamos mostar que V=W.
como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está
contido no outro...

todos os somatorios sao de 1 até m
v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A
u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B
seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i
mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r
substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)
logo, x E V... assim: U C V

tente agora mostrar que V C U :)

para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos
garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da
primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primeira linha pode
ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas..
tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.
seja u_ij a j-ésima componente do i-ésimo vetor..
seja a_i o i-ésimo componente da combinacao linear..
apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos..
entao, a_1 deve ser nulo...
agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo...
entao, a_2 deve ser nulo..
e assim segue..
deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que
os vetores sao LI..

abracos,
Salhab






On 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como
 vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da mesma
 forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos
 considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas.
 Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas de
 A e vice-versa. justifique que V=W.
 Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma
 matriz-linha reduzida à forma escada são LI.

 Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no assunto.
 Grato.
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Re: [obm-l] Algebra Linear

[Samir Rodrigues]

Marcelo, um jeito mais rigoroso seria fazer a soma até k, k ≤ m, pois não é
dito se det(A) ≠ 0; k seria a dim(V)

Em 20/09/07, Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Olá Klaus,

 primeiramente vamos mostar que V=W.
 como provamos que 2 conjuntos sao iguais? mostrando que um está
 contido no outro...

 todos os somatorios sao de 1 até m
 v_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz A
 u_i é o vetor formado pela i-ésima linha da matriz B
 seja x E U, entao: x = Sum a_i*u_i
 mas, como disse no enunciado, u_i = Sum k_r*v_r
 substituindo, temos: x = Sum a_i*(Sum k_r*v_r) = Sum(Sum(a_i*k_r) * v_r)
 logo, x E V... assim: U C V

 tente agora mostrar que V C U :)

 para mostrar que sao LI, vc deve atentar que a forma escada nos
 garante que na primeira coluna, todos os elementos exceto o da
 primeira linha sao nulos, sendo que o elemento da primeira linha pode
 ser nulo ou nao.. e isso vale para as demais linhas..
 tome a combinacao linear dos vetores nao nulos e iguale a zero.
 seja u_ij a j-ésima componente do i-ésimo vetor..
 seja a_i o i-ésimo componente da combinacao linear..
 apenas u_11 é nao-nulo, sendo u_12, u_13, .. todos nulos..
 entao, a_1 deve ser nulo...
 agora, como a_1 = 0, apenas u_22 é nao-nulo...
 entao, a_2 deve ser nulo..
 e assim segue..
 deste modo vc mostra que todos os coeficientes sao nulos e prova que
 os vetores sao LI..

 abracos,
 Salhab






 On 9/20/07, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Dada uma matriz A de ordem m x n, você pode considerar as m linhas como
  vetores do R^n e o subespaço V, de R^n, gerado por estes m vetores. Da
 mesma
  forma para a matriz B, linha reduzida à forma escada de A, podemos
  considerar o subespaço W gerado pelos m vetores, dados por suas linhas.
  Observando que cada linha de B é obtida por combinação linear das linhas
 de
  A e vice-versa. justifique que V=W.
  Mostre ainda, que os vetores dados pelas linhas não nulas de uma
  matriz-linha reduzida à forma escada são LI.
 
  Peço, se possível, que detalhem a solução pois sou um iniciado no
 assunto.
  Grato.
  Flickr agora em português. Você clica, todo mundo vê. Saiba mais.

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-- 
Samir Rodrigues

[obm-l] algebra linear

[Klaus Ferraz]

Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz mx1. Se o sistema linear AX = B
possui duas soluções distintas X_0 X_1, então ele tem infinitas soluções.
Esse é um teorema que tem em qualquer livro de álgebra linear. Tenho um livro 
aqui que a demonstração é a seguinte:
Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 , vamos mostrar que X_y é solução do sistema AX=B 
para qualquer y pertencente a R. Para isto vamos mostrar que AX_y=B.
Minha dúvida é de onde saiu Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 ?
Grato.


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Re: [obm-l] algebra linear

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Klaus,

Pense no plano, por exemplo:  X_y =  X_0 + y(X_1 - 
X_0)emas   X1 - X_0  é um vetor paralelo à reta que une os 
pontos X_0 e X_1.


Este X_y  é a equação da reta que une os pontos X_0 e X_1.  Ou 
seja, variando y em Reais você cobre a reta...


Se y estiver entre 0 e 1,  o X_y é a expressão de qualquer ponto 
interno ao segmento que une os dois pontos.  Por exemplo, se y = 1/2 
que você tera o ponto médio, certo?


Esta é a motivação de escolher tal X_y:  a reta 

Abraços,
Nehab

At 09:27 20/8/2007, you wrote:


Sejam A uma matriz mxn e B uma matriz mx1. Se o sistema linear AX = B

possui duas soluções distintas X_0 X_1, então ele tem infinitas soluções.

Esse é um teorema que tem em qualquer livro de álgebra linear. Tenho 
um livro aqui que a demonstração é a seguinte:
Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 , vamos mostrar que X_y é solução do 
sistema AX=B para qualquer y pertencente a R. Para isto vamos 
mostrar que AX_y=B.


Minha dúvida é de onde saiu Seja X_y=(1-y)X_0 + yX_1 ?

Grato.

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http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/flickr/*http://www.flickr.com.br/Saiba 
mais.

RE: [obm-l] Algebra Linear

[Francisco]

Olá Salhab!Suas colocações estão corretas sim! Consegue-se provar que as 
propriedades i) e ii) implicam que Im(f) = R.Att,Francisco

Site: http://aulas.mat.googlepages.com
Blog: http://morfismo.blogspot.com 

  Date: Thu, 26 Jul 2007 20:12:18 -0300 From: [EMAIL PROTECTED] To: 
  obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Algebra Linear  Olá Francisco, 
   realmente, a primeira vez q li me assustei... hehe.. mas vou tentar.. 
  desculpe se eu falar besteira..  temos que: i) f(u,v) = f(v,u) ii) se 
  f(v,u) = 0 para todo u, entao v = 0 (vetor nulo) iii) existe x != 0, tal 
  que f(x,x) = 0  vc quer que prove que o conjunto Q(v) = f(v, v) é igual 
  aos reais.  obviamente, Q(v) C R, pois Q(v) = f(v,v) E R... [C = contido, 
  E = pertence] temos que mostrar que para todo r E R, existe v, tal que 
  f(v,v) = r.. isto é: R C Q(v) deste modo, teremos Q(v) = R..  bom, tudo 
  que consegui fazer foi isso (hmm nada?) hehe gostaria de saber se minhas 
  colocacoes estao corretas..  abracos, Salhab  On 
  7/26/07, Francisco [EMAIL PROTECTED] wrote:Alguém tem idéia 
  (sugestão) de como resolver o problema abaixo?!   Seja f uma forma 
  bilinear simétrica [f(u,v) = f(v,u)] , não degenerada [o  único vetor v 
  tal f(v,u) = 0, para todo u, é o vetor nulo], sobre um espaço  vetorial 
  real V tal que existe x em V , difente de zero, tal que f(x,x) = 0.  Prove 
  que a imagem da forma Q quadrática associada a f [Q(v) = f(v,v)] é  igual 
  a R [conj. dos números Reais].   Grato, Francisco.Site: 
  http://aulas.mat.googlepages.com  Blog: http://morfismo.blogspot.com   
    Receba as últimas notícias do Brasil e 
  do mundo direto no seu Messenger com  Alertas MSN! É GRÁTIS! Assine já!  
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[obm-l] Algebra Linear

[Francisco]

Alguém tem idéia (sugestão) de como resolver o problema abaixo?!Seja f uma 
forma bilinear simétrica [f(u,v) = f(v,u)] , não degenerada [o único vetor v 
tal f(v,u) = 0, para todo u, é o vetor nulo], sobre um espaço vetorial real V 
tal que existe x em V , difente de zero, tal que f(x,x) = 0. Prove que a imagem 
da forma Q quadrática associada a f [Q(v) = f(v,v)] é igual a R [conj. dos 
números Reais].Grato, Francisco. Site: http://aulas.mat.googlepages.com 
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Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Francisco,

realmente, a primeira vez q li me assustei... hehe.. mas vou tentar..
desculpe se eu falar besteira..

temos que:
i) f(u,v) = f(v,u)
ii) se f(v,u) = 0 para todo u, entao v = 0 (vetor nulo)
iii) existe x != 0, tal que f(x,x) = 0

vc quer que prove que o conjunto Q(v) = f(v, v) é igual aos reais.

obviamente, Q(v) C R, pois Q(v) = f(v,v) E R... [C = contido, E = pertence]
temos que mostrar que para todo r E R, existe v, tal que f(v,v) = r..
isto é: R C Q(v)
deste modo, teremos Q(v) = R..

bom, tudo que consegui fazer foi isso (hmm nada?) hehe
gostaria de saber se minhas colocacoes estao corretas..

abracos,
Salhab









On 7/26/07, Francisco [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Alguém tem idéia (sugestão) de como resolver o problema abaixo?!

 Seja f uma forma bilinear simétrica [f(u,v) = f(v,u)] , não degenerada [o
 único vetor v tal f(v,u) = 0, para todo u, é o vetor nulo], sobre um espaço
 vetorial real V tal que existe x em V , difente de zero, tal que f(x,x) = 0.
 Prove que a imagem da forma Q quadrática associada a f [Q(v) = f(v,v)] é
 igual a R [conj. dos números Reais].

 Grato, Francisco.

  Site: http://aulas.mat.googlepages.com
 Blog: http://morfismo.blogspot.com

 
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Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Salhab,
No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx
+ c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x,
ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja,
não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx +
c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.
Nehab 
At 21:38 25/9/2006, you wrote:
Olá,

T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b

é o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx +
b)

assim, ela faria: T(x, ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx +
b)

logo: um auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + bx +
b)

isto é, os auto-vetores do auto-valor 1 seriam as parabolas:
y = ax2 + bx + b

acho que é isso... alguem da uma conferida ai!

abraços,
Salhab




- Original Message - 

From: Carlos Eddy Esaguy
Nehab 

To:
obm-l@mat.puc-rio.br 

Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 PM

Subject: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores

Oi, Bruno,

A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da
parábola y = ax2 +bx + c pela transformação
linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc,
etc. ...

Nehab


At 18:26 25/9/2006, you wrote:

Não entendi sua transformação.

Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o
domínio e o contra-domínio.

Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não
entendi.

Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear
basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das
transformações T - tI, onde t é cada autovalor encontrado e I
é a transformação identidade. 

Bruno

On 9/25/06, Tiago Machado
[EMAIL PROTECTED] wrote:

Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax²
+ bx + c) = ax² + cx + b ?

Muito obrigado.



-- 

Bruno França dos Reis

email: bfreis - gmail.com

gpg-key:

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 

icq: 12626000

e^(pi*i)+1=0 


No virus found in this incoming message.

Checked by AVG Free Edition.

Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.8/455 - Release Date:
22/9/2006

RES: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Ralph Teixeira]

Acho 
que o erro no enunciado eh que a transfomração é de P2 em P2 (o espaço dos 
polinômios de grau menor ou igual a 2). Aí pode-se definir 
T(ax^2+bx+c)=ax^2+cx+b, que é de fato uma transfomração 
linear.

Um 
autovetor será um polinômio (não-nulo) que satisfaça ax^2+cx+b=k(ax^2+bx+c) 
(como igualdade de polinômios, uma identidade em x). Ou seja, a=ka, c=kbe 
b=kc. Resolvendo, temos:

i) Se 
k=1, então qualquer polinômio onde b=c vale. Assim, temos o autovalor 1 e os 
autovetores da forma ax^2+bx+b (um espaço bidimensional de autovetores, com uma 
possível base dada por {x^2,x+1}).

ii) Se 
k=-1, devemos ter a=0 e b=-c, que servem. Assim, temos o autovalor -1 e os 
autovetores da forma bx-b (espaço de dimensão 1 gerado pelo autovetor 
{x-1}).

iii) E 
é só isso. Como c=kb=k^2c, se k não for nem 1 nem -1, teríamos c=0, então b=0. 
Como k1, a=0 também. Isto seria o polinômio nulo, que não 
presta.

Resposta: Autovalores 1 e -1. Os autovetores associados ao 1estão 
no autoespaço gerado por {x^2,x+1}; os associados ao -1 são os múltiplos de 
{x-1}.

Abraço,
 Ralph

  -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] 
  [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Tiago 
  MachadoEnviada em: segunda-feira, 25 de setembro de 2006 
  18:06Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] algebra 
  linear - autovalores e autovetoresQuais os autovalores e 
  autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b 
  ?Muito obrigado.

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá Nehab,

entendi o q vc quis dizer..
neste caso, só posso afirmar que T(ax^2 + bx + b) é 
a mesma parabola... mas nao posso garantir a existencia de um auto-vetor dentro 
do conjunto {(x, ax2 + bx + c), x real} né?

bom.. neste caso, nao sei como resolver 
:)
aguardo alguma solucao..

se eu tiver alguma ideia mando outra 
mensagem,

abraços,
Salhab




  - Original Message - 
  From: 
  Carlos Eddy Esaguy 
  Nehab 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Tuesday, September 26, 2006 8:40 
  AM
  Subject: Re: [obm-l] algebra linear - 
  autovalores e autovetores
  Oi, Salhab,No meu entendimento, o problema 
  não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem 
  do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x 
  real}. Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do 
  ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais 
  complicado.Nehab At 21:38 25/9/2006, you 
  wrote:
  Olá,T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + 
bé o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) = 
(x, ax2 + cx + b)assim, ela faria: T(x, 
ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx + b)logo: um 
auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + bx + b)isto é, os auto-vetores do auto-valor 1 seriam as parabolas: y = ax2 
+ bx + bacho que é isso... alguem da uma 
conferida ai!abraços,Salhab

  - Original Message - 
  From: Carlos Eddy Esaguy 
  Nehab 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  
  Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 PM
  Subject: Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e 
  autovetores
  Oi, Bruno,
  A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da 
  parábola "y = ax2 +bx + c" pela transformação linear 
  (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc, etc. 
  ...
  Nehab
  At 18:26 25/9/2006, you wrote:
  
Não entendi sua transformação.
Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o 
domínio e o contra-domínio.
Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não 
entendi.
Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear 
basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel 
das transformações T - tI, onde "t" é cada autovalor encontrado e I é a 
transformação identidade. 
Bruno
On 9/25/06, Tiago Machado [EMAIL PROTECTED] wrote: 

  Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que 
  T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?
  Muito obrigado.
-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
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icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0 
  

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  Edition.Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.12.9/457 - Release Date: 
  26/9/2006

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[claudio\.buffara]

Aqui vai minha tentativa:

Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) = 
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) = 
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.

x - +/-inf == |u| - +inf

lim(|u| - +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==
lim(x - +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a ==
n = 0 eqa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==
n = 0 e q = m^2 ==
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==

Autovalores: m e m^2

T(x,ax^2+bx+c) = 
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) = 
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==
bm^2+p = cm e m^2c = b

Se c = 0, então b = p = 0 ==
T(x,y) = (mx,m^2y)(m  0) ==
Autovalores:m e m^2 (m  0)

Se c  0, então:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) ==
m= +/-raiz(b/c) e p = +/-raiz(bc) - b^2/c ==
Autovalores: {raiz(b/c) ,b/c} ou {-raiz(b/c) , b/c}

Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origemé oponto: 
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc)+ b^3/c + b), o qual de fato, pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice desta.
O vértice é(-2c,b-c^2).

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
obm-l@mat.puc-rio.br




Cópia:





Data:
Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetoresOi, Salhab,No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x, ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja, não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx + c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.Nehab 

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Claudio,
Sua sacada do limite para sair do braçal foi muito legal Eu não
havia visto uma forma simples de contornar o algebrismo que
se avizinhava... e parei. Adorei ! Ah, quando lembro
quanta ferrugem ainda tenho que sacudir dos neurônios...:-)... Mas chego
lá...
Abração,
Nehab

At 14:50 26/9/2006, you wrote:
Aqui vai minha tentativa:

Suponhamos que T(x,y) = (mx+ny,px+qy).
Então, dado x em R teremos:
T(x,ax^2+bx+c) = 
(nax^2+(nb+m)x+nc,qax^2+(qb+p)x+qc) = 
(u,au^2+cu+b), para algum u em R.

x - +/-inf == |u| - +inf

lim(|u| - +inf) (au^2+cu+b)/u^2 = a ==
lim(x - +/-inf) (qax^2+(qb+p)x+qc)/(nax^2+(nb+m)x+nc)^2 = a
==
n = 0 e qa/(nb+m)^2 = qa/m^2 = a ==
n = 0 e q = m^2 ==
T(x,y) = (mx,px+m^2y) ==
Autovalores: m e m^2

T(x,ax^2+bx+c) = 
(mx,am^2x^2 + (bm^2+p)x + m^2c) = 
(mx, am^2x^2 + cmx + b) ==
bm^2+p = cm e m^2c = b

Se c = 0, então b = p = 0 ==
T(x,y) = (mx,m^2y) (m  0) ==
Autovalores: m e m^2 (m  0)

Se c  0, então:
T(x,y) = (+/-raiz(b/c)*x , (+/-raiz(bc)-b^2/c)*x + (b/c)*y) == 
m = +/-raiz(b/c) e p = +/-raiz(bc) - b^2/c ==
Autovalores: {raiz(b/c) , b/c} ou {-raiz(b/c) , b/c}

Suponhamos, pra simplificar, que a = 1/4.
Nesse segundo caso, o vértice da parábola de origem é o ponto: 
P = (-2b,c-b^2)
Tomando m = raiz(b/c), teremos:
T(P) = (-2b*raiz(b/c) , -2b*raiz(bc) + b^3/c + b), o qual de fato,
pertence à parábola-imagem y = x^2/4 + cx + b, mas não é o vértice
desta.
O vértice é (-2c,b-c^2).

[]s,
Claudio.

De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia: 
Data:
Tue, 26 Sep 2006 08:40:40 -0300
Assunto:
Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e
autovetores
Oi, Salhab,
No meu entendimento, o problema não sugere que T(x, ax2 + bx
+ c) = (x, ax2 + cx + b), mas apenas que a imagem do conjunto {(x,
ax2+bx+c), x real } é o conjunto {(x, ax2+cx+b), x real}. Ou seja,
não afirma que o ponto ((x, ax2+cx+b) seja imagem do ponto (x, ax2 + bx +
c), o que torna o exercício um pouquinho mais complicado.
Nehab 

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Tiago Machado]

Realmente, é uma transformação de P2 em P2. Obrigado!

[obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Tiago Machado]

Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?

Muito obrigado.

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Bruno França dos Reis]

Não entendi sua transformação.Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o domínio e o contra-domínio.Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não entendi.Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear basta vc achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das transformações T - tI, onde t é cada autovalor encontrado e I é a transformação identidade.
BrunoOn 9/25/06, Tiago Machado [EMAIL PROTECTED] wrote:
Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?

Muito obrigado.

-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Carlos Eddy Esaguy Nehab]

Oi, Bruno,
A interpretação é a seguinte (certamente): se a imagem da
parábola y = ax2 +bx + c pela transformação
linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + cx + b etc,
etc. ...
Nehab

At 18:26 25/9/2006, you wrote:
Não entendi sua
transformação.
Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, conforme o domínio
e o contra-domínio.
Mas aí parece que pega um polinômio e transforma em outro? Não
entendi.
Para achar autovalores e autovetores de uma transformação linear basta vc
achar as raízes do polinômio característico e achar o kernel das
transformações T - tI, onde t é cada autovalor encontrado e I
é a transformação identidade. 
Bruno
On 9/25/06, Tiago Machado
[EMAIL PROTECTED]
wrote:


Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax²
+ bx + c) = ax² + cx + b ?

Muito obrigado.



-- 
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key:

http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0 

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

cara, nao entendi a transformacao
é de R2 em R2 né?

entao seria T(a,b) = alguma_coisa

nao entendi a notacao..

explicai q te ajudo! :)

mas soh pra adiantar, basta encontrar os elementos 
do R2, tal que: T(X) = kX, onde k é uma constante real..
k é o auto-valor e X é o auto-vetor...

um abraço
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  Tiago Machado 
  
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, September 25, 2006 6:06 
  PM
  Subject: [obm-l] algebra linear - 
  autovalores e autovetores
  Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que 
  T(ax² + bx + c) = ax² + cx + b ?Muito obrigado.
  
  

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  22/9/2006

Re: [obm-l] algebra linear - autovalores e autovetores

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

T(ax2 + bx + c) = ax2 + cx + b

é o mesmo que dizer: T(x, ax2 + bx + c) = (x, ax2 + 
cx + b)

assim, ela faria: T(x, ax2 + bx + b) = (x, ax2 + bx 
+ b)

logo: um auto-valor é 1, com auto-vetores (x, ax2 + 
bx + b)

isto é, os auto-vetores do auto-valor 1seriam 
as parabolas: y = ax2 + bx + b

acho que é isso... alguem da uma conferida 
ai!

abraços,
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  Carlos Eddy Esaguy 
  Nehab 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Monday, September 25, 2006 7:16 
  PM
  Subject: Re: [obm-l] algebra linear - 
  autovalores e autovetores
  Oi, Bruno,A interpretação é a seguinte 
  (certamente): se a imagem da parábola "y = ax2 +bx + 
  c" pela transformação linear (desconhecida) é a parábola y = ax2 + 
  cx + b etc, etc. ...NehabAt 18:26 
  25/9/2006, you wrote:
  Não entendi sua 
transformação.Ela pega um valor de R^2 e joga em outro valor de R^2, 
conforme o domínio e o contra-domínio.Mas aí parece que pega um 
polinômio e transforma em outro? Não entendi.Para achar autovalores 
e autovetores de uma transformação linear basta vc achar as raízes do 
polinômio característico e achar o kernel das transformações T - tI, onde 
"t" é cada autovalor encontrado e I é a transformação identidade. 
BrunoOn 9/25/06, Tiago Machado [EMAIL PROTECTED] wrote:

  Quais os autovalores e autovetores de uma T:R² - R² tal que T(ax² 
  + bx + c) = ax² + cx + b ?
  Muito obrigado.-- Bruno França dos 
Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: 
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key 
icq: 12626000e^(pi*i)+1=0 
  
  

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  22/9/2006

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Ola,

1)S(t) = P + tA, onde A é o vetor diretor da 
reta

vamos encontrar a reta R:
y = 2x - 2 e z = 3x - 1 .. entao: (x, 2x - 2, 3x - 
1) = (x, 2x, 3x)+ (0, -2, -1) = x(1, 2, 3) + (0, -2, -1)
assim: R(t) = (0, -2, -1) + t(1, 2, 3)
como S é perpendicular a R, entao: A . (1, 2, 3) = 
0
Seja A (a, b, c), entao: a + 2b + 3c = 
0

como as retas se cruzam: S(t) = R(t) tem que ter 
solução...
(1, -2, 1) + t(a, b, c) = (0, -2, -1) + t(1, 2, 
3)

1 + ta = 0 + t
-2 + tb = -2 + 2t
1 + tc = -1 + 3t

a = (t-1)/t
b = 2
c = (3t - 2)/t

mas a + 2b + 3c = 0.. entao: (t-1)/t + 4t/t + 3(3t 
- 2)/t = 0 ... t-1 + 4t + 9t - 6 = 0 ... 14t = 7 ... t = 1/2
assim:

a = 1 - 1/t = 1 - 2 = -1
c = 3 - 2/t = 3 - 4 = -1

logo: a = -1, b = 2, c = -1
S(t) = (1, -2, 1) + t (-1, 2, -1)

x = 1 - t
y = -2 + 2t
z = 1 - t

abraços,
Salhab



  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, July 07, 2006 6:27 PM
  Subject: [obm-l] Algebra Linear
  
  1) A reta s, que passa pela ponto P(1,-2,1), corta a reta r de equacoes 
  x-1=y/2=(z-2)/3 e é perpendicular a r, tem equacoes: (na forma 
  parametrica)
  
  2) A reta r é paralela aos planos alpha, de equacao 3x-4y+9z=0 e beta, de 
  equacao 3x+12y-3z=17; corta as retas s e t de equacoes: s: x/2=(4-y)/3=(z+5)/4 
  e t: x-8=(2-y)/2= -z-3. As coordenadas do ponto de intersecao de r e s 
é:
  Grato.
  
  
  Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're 
  Beautiful, do James Blunt

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Marcelo Salhab Brogliato]

Olá,

2) Vamos montar as equações dos 
planos...
(X - P) . N = 0, onde X é a variavel, P é um ponto 
do plano e N é o vetor normal ao plano.

alpha: N_1 (3, -4, 9)
beta: N_2 (3, 12, -3)

como a reta R é paralela a ambos os planos, ele é 
perpendicular às suas respectivas normais.. logo,
seja R(t) = P + tA, onde A(a, b, c)é o 
vetor diretor, temos:

A . N_1 = 0  3a - 4b + 9c = 0 (i)
A . N_2 = 0  3a + 12b - 3c = 0 
(ii)

reta S: 2y = 8 - 3x, 
z = 2x - 5 ... (x, (8-3x)/2, (2x-5)) =1/2 
*(2x, 8 - 3x, 4x - 10) = 1/2 * (2x, -3x, 4x) + 1/2 * (0, 8, -10) = x/2 * 
(2, -3, 4) + (0, 4, -5)
logo: S(t) = (0, 4, -5) + t (2, -3, 4)

reta T: y = 18 - 2x,z = 5 - x ... (x, 18 - 
2x, 5 - x) = (x, -2x, -x) + (0, 18, 5) = x(1, -2, -1) + (0, 18, 5)
logo: T(t) = (0, 18, 5) + t(1, -2, -1)

agora, como ele corta as retas S e T, entao S(t) = 
R(t) tem que ter solucao e T(t) = R(t) tb tem solução, onde os t's não são 
necessariamente os mesmos.
assim, S(t0) = R(t0) 
e T(t1) = R(t1) ... destas equações, temos 6 equações em funcao de a, b, c, x, 
y, z, t0, t1  junto com (i) e (ii), temos um sistema linear
de 8 incognitas e 8 variaveis.

o sistema deve ser possivel e determinado.. assim, 
obtemos a reta R(t) .. e basta fazer a intersecção com a reta S(t).

abraços,
Salhab


  - Original Message - 
  From: 
  Klaus 
  Ferraz 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, July 07, 2006 6:27 PM
  Subject: [obm-l] Algebra Linear
  
  1) A reta s, que passa pela ponto P(1,-2,1), corta a reta r de equacoes 
  x-1=y/2=(z-2)/3 e é perpendicular a r, tem equacoes: (na forma 
  parametrica)
  
  2) A reta r é paralela aos planos alpha, de equacao 3x-4y+9z=0 e beta, de 
  equacao 3x+12y-3z=17; corta as retas s e t de equacoes: s: x/2=(4-y)/3=(z+5)/4 
  e t: x-8=(2-y)/2= -z-3. As coordenadas do ponto de intersecao de r e s 
é:
  Grato.
  
  
  Yahoo! SearchMúsica para ver e ouvir: You're 
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[obm-l] Algebra Linear

[Klaus Ferraz]

1) A reta s, que passa pela ponto P(1,-2,1), corta a reta r de equacoes x-1=y/2=(z-2)/3 e é perpendicular a r, tem equacoes: (na forma parametrica)2) A reta r é paralela aos planos alpha, de equacao 3x-4y+9z=0 e beta, de equacao 3x+12y-3z=17; corta as retas s e t de equacoes: s: x/2=(4-y)/3=(z+5)/4 e t: x-8=(2-y)/2= -z-3. As coordenadas do ponto de intersecao de r e s é:  Grato. 
		 
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Re: [obm-l] Algebra linear

[Dema]

Muito obrigado Reinaldo Bellini, vc ajudou 
muito!

[obm-l] Algebra linear

[Valdemir Leal da Rocha]

Olá caros colegas da lista, estou estudando álgebra linear e embora tenha entendido as definições de Corpo e Espaço Vetorial, não consigo resolver os exercícios abaixo, alguém pode me ajudar!!!

Exercício: Seja V um espaço vetorial sobre um corp K.
a) Mostre que 0.v = 0 para todo vetor v pertencente a V e que .0 = 0 para todo  pertencente a K
b) Mostre que se  .v = 0, com  pertencente a K e v pertencente a V, então ou  = 0 ou v = 0.

Muito obrigado Dema
		 
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Re: [obm-l] Algebra linear

[reibellini]

 

caro colega faça o seguinte : 
a) 0v = 0  
 0v = ( 0 + 0 ) v  
 0v = 0v + ov ( prop distributiva ) 
somando o inverso aditivo vem : 
0v + ( -0v) = 0v + 0v + ( -ov ) 
0 = 0v como queriamos  
b) av = 0 então a =0 ou v= 0 
vamos supor a diferente de zero , então como estamos em um corpo, 
todo elemnto diferente de zero tem um iinverso tq a.a-1 = 
1. 
multiplicando ambos pelo inverso multiplicativo de a vem : 
a-1a v = 0 a-1 
1v =0  
v= 0 como queriamos mostrar 
um abraço , espero ter ajudado 
 
Reinaldo Bellini 
 
 
 
 
 
Olá caros colegas da lista, estou estudando álgebra linear e embora 
tenha entendido as definições de Corpo e Espaço Vetorial, não consigo 
resolver os exercícios abaixo, alguém pode me ajudar!!! 
 
Exercício: Seja V um espaço vetorial sobre um corp K. 
a) Mostre que 0.v = 0 para todo vetor v pertencente a V e que 
.0 = 0 para todo  pertencente a K 
b) Mostre que se  .v = 0, com  pertencente a K e v pertencente a V, então ou  = 0 ou v = 0. 
 
Muito obrigado Dema 
 
 
-- 

 

[obm-l] Algebra Linear - Teorema

[igor lima]

Alguem pode me ajudar a demonstrar esse teorema? (acho que o nome é Schur)
Para toda matriz quadrada A existe uma matrix unitária C tal que CAC* é triangular superior..
[]´s
Igor
		 
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[obm-l] Algebra Linear - Múltiplo Escalar

[Daniel S. Braz]

Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)

Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
{v1, v2} é linearmente dependente.

Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:

O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?

Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
escalar?)

Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
a resposta dada pelo livro está errada, certo?

[]s
daniel

-- 
A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Algebra Linear - Múltiplo Escalar

[Leandro Lacorte Recova]

Quando voce afirma v1=0, entao se v1 esta em R^4, 0 nao e o escalar zero e
sim o vetor nulo 0 = (0,0,0,0). Voce deveria usar outra notacao para nao
confundir.

Quando voce faz v1=0*v2, nesse caso voce usa o escalar 0 que nao e igual ao
vetor nulo 0 usado anteriormente. 

Como dizia um politico, Uma coisa e uma coisa e outra coisa e outra
coisa...

Leandro
Los Angeles, CA.


-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Daniel S. Braz
Sent: Friday, April 08, 2005 8:37 AM
To: OBM-L
Subject: [obm-l] Algebra Linear - Múltiplo Escalar

Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)

Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
{v1, v2} é linearmente dependente.

Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:

O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?

Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
escalar?)

Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
a resposta dada pelo livro está errada, certo?

[]s
daniel

-- 
A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] RE: [obm-l] Algebra Linear - Múltiplo Escalar

[Daniel S. Braz]

Leandro,

Sim..desculpe a péssima notação..mas o que eu tentei dizer foi exatamente isso..

v1=0 - v1 = (0,0,0,0)

0*v2 = 0*(x1,x2,x3,x4), onde x1,x2,x3,x4 são as componentes de v2 e 0
é o número zero mesmo.

mas..voltando ao problema..

então quer dizer que 0 é um escalar...ou seja..ele não poderia considerar
o vetor (0,0,0,0) como válido já que disse que v1 e v2 não eram
múltiplos escalares um do outro...é isso?
ou seja...
isso que dizer que (0,0,0,0) é um múltiplo de (1,1,1,1) já que podemos escrever
1*(0,0,0,0) = 0*(1,1,1,1)

[]s
daniel

On Apr 8, 2005 2:06 PM, Leandro Lacorte Recova [EMAIL PROTECTED] wrote:
 Quando voce afirma v1=0, entao se v1 esta em R^4, 0 nao e o escalar zero e
 sim o vetor nulo 0 = (0,0,0,0). Voce deveria usar outra notacao para nao
 confundir.
 
 Quando voce faz v1=0*v2, nesse caso voce usa o escalar 0 que nao e igual ao
 vetor nulo 0 usado anteriormente.
 
 Como dizia um politico, Uma coisa e uma coisa e outra coisa e outra
 coisa...
 
 Leandro
 Los Angeles, CA.
 
 
 -Original Message-
 From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
 Behalf Of Daniel S. Braz
 Sent: Friday, April 08, 2005 8:37 AM
 To: OBM-L
 Subject: [obm-l] Algebra Linear - Múltiplo Escalar
 
 Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)
 
 Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
 múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
 {v1, v2} é linearmente dependente.
 
 Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
 não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
 ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
 componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:
 
 O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?
 
 Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
 estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
 escalar?)
 
 Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
 a resposta dada pelo livro está errada, certo?
 
 []s
 daniel
 
 --
 A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor)
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 
 =
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 =
 


-- 
A essência da Matemática reside na sua liberdade. (G. Cantor)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Lista OBM]

muito boa solução!!!

grato éder.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.) grato desde já, éder. IDA (por contrapositiva):Suponha que J eh infinito.Seja F: V - K um funcional linear tal que: F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)Suponhamos que existam: um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});e uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,tais que: F = SOMA(1=i=n) a_i*f_i (**).Seja r um elemento de J - I.Por (*), temos que F(v_r) = 1.Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo q!
ue, por
 (**), F(v_r) = 0.Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.[]s,Claudio.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ 

Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares



on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.) 
 
grato desde já, éder. 
 

IDA (por contrapositiva):

Suponha que J eh infinito.

Seja F: V - K um funcional linear tal que: 
F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)

Suponhamos que existam: 
um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});
e 
uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,
tais que: 
F = SOMA(1=i=n) a_i*f_i (**).
 
Seja r um elemento de J - I.

Por (*), temos que F(v_r) = 1.

Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo que, por (**), F(v_r) = 0.

Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.
Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.

[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares



on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:

gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:

1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) -- K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).

a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)

*** Isso eh consequencia do fato de termos tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A e B em M_n(K), de modo que:
B = PAP^(-1) == tr(B) = tr(PAP^(-1)) = tr(P^(-1)PA) = tr(IA) = tr(A).


b) Seja g:M_n(K) -- K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo A em M_n(K).

*** Ponhamos g(M) = SOMA(1=i, j=n) c_ij*m_ij.

Seja B a matriz cujo unico elemento nao nulo eh b_rs = 1.
Entao: 
AB = matriz cuja unica coluna nao nula eh a s-esima = (a_1r,a_2r,...,a_nr)^t.
e
BA = matriz cuja unica linha nao nula eh a r-esima = (a_s1,a_s2,...,a_sn)

g(AB) = g(BA) ==
c_1r*a_1r + c_2r*a_2r + ... + c_nr*a_nr = c_s1*a_s1 + c_s2*a_s2 + ... + c_sn*a_sn.

A fim de determinar os valores dos c_ij, precisamos escolher matrizes A apropriadas:

Inicialmente, escolhemos matrizes A com um unico elemento nao nulo a_uv.
Fazendo variar u, v, r e s, deduzimos que c_ij = 0 se i  j.

Em seguida, tomamos A = I == 
c_rr = c_ss, quaisquer que sejam r e s == 
c_11 = c_22 = ... = c_nn = b = constante de K

Logo, g(M) = b*(m_11 + ... + m_nn) = b*tr(M).


[]s,
Claudio.

[obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Lista OBM]

gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:

1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) -- K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).

a) Mostre quematrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)


b) Seja g:M_n(K) -- K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre queexiste b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo a em M_n(K).


2) Seja V um K-espaço vetorialqualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices Jqualquer). Para cadaj em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)

garto desde já, éder. 


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RE: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares

[Leandro Lacorte Recova]

Essas demonstracoes tem no livro do Lang.
De uma olhada nesse link:



http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html




Leandro



-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of Lista OBM
Sent: Thursday, January 13, 2005
12:33 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] algebra linear -
funcionais lineares





gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:











1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) -- K definido por f(A) =
tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).











a) Mostre quematrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço.
(Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)

















b) Seja g:M_n(K) -- K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/
todo A, B em M_n(K). Mostre queexiste b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo
a em M_n(K).

















2) Seja V um K-espaço vetorialqualquer e B = {v _ j} uma base de
V (i em um conjunto de índices Jqualquer). Para cadaj em J, defina
um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0
se i0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é
finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)











garto desde já, éder. 





















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[obm-l] algebra linear - cardinalidade

[Lista OBM]

Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar como problema abaixo:

Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B.

grado desde já, éder.
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[obm-l] algebra linear(Ajuda)

[andrey.bg]

Encontre uma transformação linear F:R^4---R^3, cujo o nucleo e gerado por (1,2,3,4) e (0,1,1,1).

[obm-l] algebra linear

[andrey.bg]

Seja F: R^4  R^3, a transformação linear definida por F(x,y,z,t)= (x-y+z+t, x+2z-t, x+y+3z-t). Encontre uma base e a dimensão de 
a) Imagem U de F;

b) Nucleo W de F.

[obm-l] Algebra Linear

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal,
Aqui esta um problema de Algebra Linear que alguem ( nao me lembro quem ) me 
propos ha alguns anos atras :

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1, 
..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo 
associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }. 
Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :

ai,bj= 0 se i # j   ( # significa e diferente de )
ai,bj=Ri se i=j
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,0947,241104
_
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1,
..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo
associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }.
Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :

ai,bj= 0 se i # j ( # significa e diferente de )
ai,bj=Ri se i=j

Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ...,
a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente
independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois
queremos determinar uma base.

Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = {
a_1, ..., a_n }.

b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n

Como b_i, b_j = c_i1a_1, a_j + ... + c_ina_n, a_j = d_ij*R_i (onde
d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i
variando de 1 até n:

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_iia_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_ina_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja a_i, a_j, ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.

Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então

t_1*a_1, a_j + ... + t_n*a_n, a_j = 0 para todo j

==  t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j  = 0 para todo j

== t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n
seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo.

Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo
encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto
desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores,
basta mostrar que é linearmente independente:

s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0

== s_1*b_1 + ... + s_n*b_n, a_i = 0 para todo i
== s_i*b_i, a_i = 0 para todo i
== s_i*R_i = 0 para todo i
== s_1 = s_2 = ... = s_n = 0

Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

Como b_i, b_j = c_i1a_1, a_j + ... + c_ina_n, a_j = d_ij*R_i

Erro de digitação: é b_i, a_j em vez de b_i, b_j; o resto está escrito
certo.

Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.

Em vez de apelar para o determinante de M, outro argumento (que eu prefiro!)
é o seguinte: se os X_i são LI então a transformação linear M:R^n -- R^n é
um isomorfismo, logo para qualquer y em R^n existe um único z em R^n tal que
y = Mz.

[]s,
Daniel

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Re: [obm-l] Algebra Linear

[kleinad]

[EMAIL PROTECTED] escreveu:

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_iia_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_ina_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

Também escrito errado; o certo é

c_i1a_1, a_1 + ... + c_ina_n, a_1 = 0
...
c_i1a_1, a_i + ... + c_ina_n, a_i = R_i
...
c_i1a_1, a_n + ... + c_ina_n, a_n = 0

[]s,
Daniel

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[obm-l] algebra linear

[andrey.bg]

Mostre que as seguintes Tranformações F são Lineares:

a)- F: R^2^R^2, definidas como F(x,y)=(x+y,x)
b)-F: R^3---R, definidas como F(x,y,z)=(2x-3y+4z)

Re: [obm-l] algebra linear

[Marcio M Rocha]

a) F(x,y) = (x+y,x) e F(a,b) = (a+b, a)
Assim, *F[(x,y)+(a,b)]* = F(x+a,y+b) = (x+a+y+b, x+a) = *F(x,y) + F(a,b)*
*F[k.(x,y)]* = F(kx,ky) = (kx+ky,kx) = k.(x+y,x) = *k.F(x)*
b) F(x,y,z) = (2x-3y+4z) e F(a,b,c) = (2a-3b+4z)
Assim, *F[(x,y,z)+(a,b,c)]* = F(x+a, y+b, z+c) = (2x+2a-3y-3b+4z+4c) = 
(2x-3y+4z)+(2a-3b+4c) = *F(x,y,z) + F(a,b,c)
F[k.(x,y,z)]* = F(kx, ky, kz) = 2kx-3ky+4kz = k.(2x-3y+4z) = *k.F(x,y,z)*

andrey.bg wrote:
Mostre que as seguintes Tranformações  F são Lineares:
 

a)- F: R^2^R^2, definidas como F(x,y)=(x+y,x)
b)-F: R^3---R, definidas como F(x,y,z)=(2x-3y+4z)
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[obm-l] Algebra Linear

[andrey.bg]

Seja F pertencente L(R^2)tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é o operador Identidade no R^2,
isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

Re: [obm-l] Algebra Linear

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] Algebra Linear



on 05.11.04 09:34, andrey.bg at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é o operador Identidade no R^2,
 isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

I + F soh poderah ser igual a I se F = 0, ou seja, F(x,y) = (0,0) para todo (x,y), o que nao eh o caso.

[obm-l] algebra linear (pergunta correta)

[andrey.bg]

Seja F pertencente L(R^2)tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo,onde Io operador Identidade no R^2,
isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta)

[Claudio Buffara]

Title: Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta)



on 05.11.04 13:18, andrey.bg at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo, onde I o operador Identidade no R^2,
 isto é 
I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.

Certamente I+F eh linear, pois L(R^2) eh um espaco vetorial.
No entanto, I+F nao eh uma bijecao pois leva a base canonica do R^2 num subespaco de dimensao 1 gerado pelo vetor (3,5).
Logo, I+F nao eh um automorfismo.

[obm-l] Algebra linear

[andrey.bg]

Dar um sitema de geradores de M2(R)(isto e, determinar 
um subconjunto S C M2(R) tal que [S]=M2(R).

 
__
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[obm-l] algebra linear

[valeriomoura]

Tenho algumas questões de algebra q n consegui fazer, são elas: 

1}Determine uma base para as funções tal que f(X)=f(-x) 

2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de W, pode afirmar: 
a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial? 
b)z (União) v é um sub-espaço vetorial? 

3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/ ax+by+cz=0} 
qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais. 

4)seja B=u(1),u(2),...,u(n) 
e B'=v(1),v(2),...,v(n)  onde u(k) é o valor de u na posição k 
para mudar a base da matriz de 
B para B' 
B'para B 

fico de imediato agradecido... obg 

_
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Re: [obm-l] algebra linear

[Ana Evans]

--- [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Tenho algumas questões de algebra q n consegui
 fazer, são elas: 
 
 1}Determine uma base para as funções tal que
 f(X)=f(-x) 
Não entendi bem o que foi pedido
 
 2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de
 W, pode afirmar: 
 a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial? 
 b)z (União) v é um sub-espaço vetorial? 
a) É. Porque: o elemento 0 está contido nesta
interseccão; se x pertence a ambos os espaços, então
-x também pertence, pois -x, pela definição de espaço
vetorial, tem que estar também em z e v. Combinacoes
lineraes também pertencem.
b) Não.A soma de um vetor de z com um vetor de v pode
não estar nem em z nem em v. Exemplo: No R^2, retas
distintas que passem pela origem. Cada uma é um
sub-espaço de R^2, mas a soma de um vetor não nulo de
uma com um vetor não nulo da outra não está em nenhuma
delas. 



 
 3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/
 ax+by+cz=0} 
 qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais.
Isto não implica que W = {0}?
 
 
 4)seja B=u(1),u(2),...,u(n) 
 e B'=v(1),v(2),...,v(n)  onde u(k) é o valor de u
 na posição k 
 para mudar a base da matriz de 
 B para B' 
 B'para B 
Não peguei a idéia.

Ana



__
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Re: [obm-l] algebra linear

[Bruno Lima]

Tb nao entendi direito o 4...no 3 , talvez nao tenha ficado claro, mas a,,b,c esta fixados. Para formar a baseescolha um vetor ortogonal a (a,b,c) por exemplo (b,-a,0) este esta no plano, escolha outro nao paralelo a esse , tipo (0,-c,b)...esses dois formam uma base. Evans [EMAIL PROTECTED] wrote:
--- [EMAIL PROTECTED] wrote: Tenho algumas questões de algebra q n consegui fazer, são elas:   1}Determine uma base para as funções tal que f(X)=f(-x) Não entendi bem o que foi pedido  2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de W, pode afirmar:  a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial?  b)z (União) v é um sub-espaço vetorial? a) É. Porque: o elemento 0 está contido nestainterseccão; se x pertence a ambos os espaços, então-x também pertence, pois -x, pela definição de espaçovetorial, tem que estar também em z e v. Combinacoeslineraes também pertencem.b) Não.A soma de um vetor de z com um vetor de v podenão estar nem em z nem em v. Exemplo: No R^2, retasdistintas que passem pela origem. Cada uma é umsub-espaço de R^2, mas a soma de um !
vetor não
 nulo deuma com um vetor não nulo da outra não está em nenhumadelas.   3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/ ax+by+cz=0}  qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais.Isto não implica que W = {0}?  4)seja B=  e B'= onde u(k) é o valor de u na posição k  para mudar a base da matriz de  B para B'  B'para B Não peguei a idéia.Ana__Do you Yahoo!?New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages!http://promotions.yahoo.com/new_mail =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares

[Domingos Jr.]

positiva quer dizer que para todo vetor x != 0, temos x* T x  0?
seja v um auto-vetor de T, se Tv = dv, então
Tv, Tv = dv, dv = d^2 v, v = d^2 ||v||^2
mas Tv, Tv = (Tv)*(Tv) = v*T*Tv = v* I v = ||v||^2
d^2 = 1
como ela é positiva, d = 1.
tr(T) = traço(T) = soma dos auto-valores (contando multiplicidades), logo
tr(T) = n
Mas cada entrada da matriz T tem valor absoluto não superior a 1, pois T 
é unitária. Logo tr(T) = n, com igualdade se e somente se cada elemento 
da diagonal é 1. Isso mostra que T = I.

[ ]'s
Pessoal,
Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui
Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V,
and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.
Obrigado.
[]s
Daniel S. Braz
 

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

[obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares

[Daniel S. Braz]

Pessoal,

Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui

Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V,
and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.

Obrigado.

[]s
Daniel S. Braz

-- 
Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele
parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente
extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da
Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos
com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza,
mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matematica e de
conceitos matematicos. (Roger Penrose)

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

RE: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares

[Leandro Lacorte Recova]

Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V,
and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.

Solution:


Seja T* o operador adjunto de T. Entao, dados x,y em V temos Tx,y=x,T*y


Portanto, como T e positivo, temos 0  Tx,x = x,T*x 

Como T e unitario, temos TT*=I, ou seja, T*=T^(-1) (Operador inverso de T). 

Voltando na equacao temos,

0  Tx,x=x,T*y=x,T^(-1)x = Isso implica que T=T^(-1). Logo, 

TT^(-1)=I = T^2=I = T=I. 


Leandro. 







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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares

[Domingos Jr.]

positiva quer dizer que para todo vetor x != 0, temos x* T x  0?
seja v um auto-vetor de T, se Tv = dv, então
Tv, Tv = dv, dv = d2 v, v = d2 ||v||^2
mas Tv, Tv = (Tv)*(Tv) = v*T*Tv = v* I v = ||v||^2
d2 = 1
como ela é positiva, d = 1.
tr(T) = traço(T) = soma dos auto-valores (contando multiplicidades), logo
tr(T) = n
Mas cada entrada da matriz T tem valor absoluto não superior a 1, pois T 
é unitária. Logo tr(T) = n, com igualdade se e somente se cada elemento 
da diagonal é 1. Isso mostra que T = I.

[ ]'s
Pessoal,
Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui
Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product 
space V,
and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.

Obrigado.
[]s
Daniel S. Braz
 

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Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares

[Claudio Buffara]

on 09.09.04 19:27, Leandro Lacorte Recova at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V,
 and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I.
 
 Solution:
 
 
 Seja T* o operador adjunto de T. Entao, dados x,y em V temos Tx,y=x,T*y
 
 
 Portanto, como T e positivo, temos 0  Tx,x = x,T*x
 
 Como T e unitario, temos TT*=I, ou seja, T*=T^(-1) (Operador inverso de T).
 
 Voltando na equacao temos,
 
 0  Tx,x=x,T*y=x,T^(-1)x = Isso implica que T=T^(-1). Logo,
 
Oi, Leandro:

Voce poderia explicar melhor esta passagem? Eu nao consegui entender porque
Tx,x = x,T^(-1)x  0 implica que T = T^(-1).

[]s,
Claudio.

 TT^(-1)=I = T^2=I = T=I.
 
 
 Leandro. 
 
 
 
 
 
 
 
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[obm-l] Algebra Linear, Grafos e Análise Real

[claudio.buffara]

Oi, Domingos (e quem mais se interessar):

Achei uns artigos interessantes que talvez ajudem na sua monografia e também na preparação para a OBM-U:

http://www-math.mit.edu/~spielman/AEC/notes.html
eu li apenas as duas primeiras notas de aula, mas me parecem ser uma boa introdução à teoria algébrica dos grafos.

http://www.axler.net/DwD.html
esse artigo tem algumas demonstrações interessantes de alg lin sem usar determinantes e que, de fato (como diz o autor),deixam mais claro o queestá acontecendo.

E pro pessoal quegosta deanálise real: saiu o livro Análise Real - vol. 2, do Elon, que trata de análise no R^n. É uma versão mais "light" do Curso de Análise - vol. 2 do Projeto Euclides e tem duas vantagens: custa apenas R$ 20,00 e tem 170 exercícios RESOLVIDOS. 
Pro pessoal de SP: ele pode ser adquirido na sala da SBM no IME-USP.
http://www.impa.br/Publicacoes/UnivMath/Analise_Real_2/index.html


[]s,
Claudio.

Re: [obm-l] algebra linear

[Claudio Buffara]

on 28.04.04 22:27, Carlos bruno Macedo at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 
 
 1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço
 nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem
 determinante 1.
 

exp(X) = I + X + X^2/2 + ... + X^n/n! + ...

Logo, (exp(X))' = I + X' + (X^2)'/2 + ... + (X^n)'/n! + ... ==
(exp(X))' = I + X' + (X')^2/2 + .. + (X')^n/n! + ... = exp(X')

(X' = transposta de X)

Alem disso, tambem vale exp(X)*exp(Y) = exp(X+Y).

A eh antisimetrica == A' = -A == A + A' = 0

Logo:
exp(tA)*(exp(tA))' = exp(tA)*exp(tA') = exp(t(A+A')) = exp(0) = I ==
exp(tA) eh ortogonal.

***

Fixado um real t, sejam k1, k2, ..., kn os autovalores de tB (possivelmente
complexos e possivelmente repetidos).

traco(B) = 0 ==
traco(tB) = 0 ==
k1 + k2 + ... + kn = 0 ==
exp(k1 + k2 + ... + kn) = 1 ==
exp(k1)*exp(k2)*...*exp(kn) = 1 ==
det(exp(tB)) = 1


[]s,
Claudio.


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[obm-l] algebra linear

[Carlos bruno Macedo]

1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço 
nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem 
determinante 1.

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[obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples

[Daniel Silva Braz]

PessoALL,

Alguém ai pode me ajudar nessas aqui?? Eu sei que são
bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que
diferem das do livro..

1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, 
os produtos escalares AB.AC e AB.BC são,
respectivamente? 

Eu usei..
AB.AC = |AB|.|AC|.cosA
AB.AC = 3.3.cos60
AB.AC = 9.1/2
AB.AC = 9/2

O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero..

No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e
AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ??
para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso??

2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo
de vértices
A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..?

AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4)
AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2)

fazendo pelo método do determinante (det = 0 --
colineares), eu encontrei
x=3/5 e mais alguns outros valores que não me lembro
agora..mas nenhum 
batia com o livro. No livro a resposta dada foi
x=3/5 ou x=11/2


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Re: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

Faça um desenho direito, prolongando os lados, e voce vera que o angulo de AB 
com BC eh o angulo externo do triangulo e vale 120 graus.

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-- Original Message ---
From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thu, 1 Apr 2004 17:13:22 -0300 (ART)
Subject: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples

 PessoALL,
 
 Alguém ai pode me ajudar nessas aqui?? Eu sei que são
 bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que
 diferem das do livro..
 
 1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, 
 os produtos escalares AB.AC e AB.BC são,
 respectivamente?
 
 Eu usei..
 AB.AC = |AB|.|AC|.cosA
 AB.AC = 3.3.cos60
 AB.AC = 9.1/2
 AB.AC = 9/2
 
 O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero..
 
 No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e
 AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ??
 para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso??
 
 2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo
 de vértices
 A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..?
 
 AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4)
 AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2)
 
 fazendo pelo método do determinante (det = 0 --
 colineares), eu encontrei
 x=3/5 e mais alguns outros valores que não me lembro
 agora..mas nenhum 
 batia com o livro. No livro a resposta dada foi
 x=3/5 ou x=11/2
 
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Re: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

2) Acho que trocaram 3/5 com 5/3. Mas, essencialmente, voce estah certo 
(embora o uso de determinante para resolver o problema esteja longe de ser um 
processo pratico). Se o livro dah apenas duas respostas (e nao 3) eh porque o 
livro considera lado como segmento e nao como reta e eh impossivel o ponto 
estar no segmento AC.

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-- Original Message ---
From: Daniel Silva Braz [EMAIL PROTECTED]
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Sent: Thu, 1 Apr 2004 17:13:22 -0300 (ART)
Subject: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples

 PessoALL,
 
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 bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que
 diferem das do livro..
 
 1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, 
 os produtos escalares AB.AC e AB.BC são,
 respectivamente?
 
 Eu usei..
 AB.AC = |AB|.|AC|.cosA
 AB.AC = 3.3.cos60
 AB.AC = 9.1/2
 AB.AC = 9/2
 
 O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero..
 
 No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e
 AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ??
 para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso??
 
 2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo
 de vértices
 A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..?
 
 AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4)
 AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2)
 
 fazendo pelo método do determinante (det = 0 --
 colineares), eu encontrei
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[obm-l] algebra linear

[Carlos bruno Macedo]

Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes 
invertíveis n x n.

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Re:[obm-l] algebra linear

[claudio.buffara]

De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Fri, 26 Mar 2004 00:22:20 +




Assunto:
[obm-l] algebra linear






 Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes 
 invertíveis n x n.

Seja A a matriz dada.
Entao existe uma matriz n x n invertivel P tal queT = P*A*P^(-1), onde T é triangular superior(com coeficientes possivelmente complexos - estou supondo que os coeficientes de A pertencem a algum subcorpo dos complexos, apesar do resultado valer em qualquer subcorpo de um corpo algebricamente fechado).
Seja (d_1, d_2, ..., d_n) a diagonal de T.

Seja r um numero positivo menor do que o valor absoluto de cada d_i nao nulo.
Entao, a matriz T_n cuja diagonal eh (d_1 + r/n, d_2 + r/n, ..., d_n + r/n) e cujos outros elementos sao iguais aos elementos correspondentes de T eh inversivel (jah que nenhum elemento da diagonal eh igual a zero) e eh tal que:
lim(n - infinito) T_n = T.

Agora, defina a sequencia (A_n) por:
A_n = P^(-1)*T_n*P.

Como T_n e P sao inversiveis, A_n tambem serah.
Alem disso, lim(n - infinito) A_n= A.

[]s,
Claudio.

Re:[obm-l] algebra linear

[Carlos bruno Macedo]

Muito obrigado


From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re:[obm-l] algebra linear
Date: Thu, 25 Mar 2004 22:24:15 -0300
De:[EMAIL PROTECTED]

Para:[EMAIL PROTECTED]

Cópia:

Data:Fri, 26 Mar 2004 00:22:20 +

Assunto:[obm-l] algebra linear



 Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes
 invertíveis n x n.

Seja A a matriz dada.
Entao existe uma matriz n x n invertivel P tal que T = P*A*P^(-1), onde T é 
triangular superior (com coeficientes possivelmente complexos - estou 
supondo que os coeficientes de A pertencem a algum subcorpo dos complexos, 
apesar do resultado valer em qualquer subcorpo de um corpo algebricamente 
fechado).
Seja (d_1, d_2, ..., d_n) a diagonal de T.

Seja r um numero positivo menor do que o valor absoluto de cada d_i nao 
nulo.
Entao, a matriz T_n cuja diagonal eh (d_1 + r/n, d_2 + r/n, ..., d_n + r/n) 
e cujos outros elementos sao iguais aos elementos correspondentes de T eh 
inversivel (jah que nenhum elemento da diagonal eh igual a zero) e eh tal 
que:
lim(n - infinito) T_n = T.

Agora, defina a sequencia (A_n) por:
A_n = P^(-1)*T_n*P.
Como T_n e P sao inversiveis, A_n tambem serah.
Alem disso, lim(n - infinito) A_n = A.
[]s,
Claudio.
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[obm-l] Algebra Linear Olimpica

[Claudio Buffara]

on 07.03.04 14:24, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 On Sun, Mar 07, 2004 at 09:55:53AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune
 Dirichlet wrote:
 Sao so umas duvidas mesmo...E como posso arranjar
 material para treinar essas coisas na OBM
 universitaria?
 
 Na verdade eu também gostaria de ser apresentado a um bom livro
 de álgebra linear, algo que fosse além destes livros introdutórios
 (como o do Hoffmann e Kunze, o do Lang, o do Elon) que apresentam
 a teoria básica de forma satisfatória mas que são, a meu ver,
 relativamente pobres em problemas olímpicos (nem é a isso que
 os autores se propuseram). Quem diz isso é o autor de vários
 problemas de álgebra linear em OBMs universitárias.
 
 []s, N.

Que tal o Problems and Theorems in Linear Algebra por V.V.Prasolov,
editado pela AMS? Eh um que eu pretendo olhar com mais calma tao logo esteja
dominando o conteudo do Elon.

Um abraco,
Claudio.


=
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Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

[Nicolau C. Saldanha]

On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
 Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela 
 resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
 Bom estou com o seguinte problema
 Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e 
 elevado a a indicie n vezes x)
 onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
 Prove que A é L.I.
 
 Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então 
 seria L.I certo?

Não está errado; há várias soluções.

=

A minha favorita é olhar o comportamento em infinito. 

Desculpe mas vou tirar os [] da sua notação.
Suponha sem perda a1  a2  ...  an. Suponha por absurdo que
f(x) = c1 * e^(a1 x) + ... + cn * e^(an x) seja identicamente igual a 0
com pelo menos um dos coeficientes não nulo, sem perda cn.
Assim

lim_{x - infinito} e^(-an x)*f(x) = cn 

mas por outro lado como f(x) = 0 temos cn = 0.

=

Outra solução é por variável complexa.
A função f(z) = c1 * e^(a1 z) + ... + cn * e^(an z)
é inteira (holomorfa em C). Vamos observar a função

g(z) = e^(- ak z) * f(z)
 = ck + somatório_{j diferente de k} cj * e^((aj - ak) z) 

Na reta imaginária (parte real igual a 0) cada um dos termos
do somatório oscila tendo média zero. Assim o valor médio de g(z)
em um grande intervalo nesta reta é ck. Ou seja, se f é identicamente 0
então cada coeficiente é igual a 0, como queríamos provar.

=

[]s, N.

=
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=

Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

[fabio niski]

Obrigado a todos!
A solucao que voces me enviaram sao mais ou menos parecidas (com 
excessao da que utiliza variaveis complexas, que infelizmente não posso 
apreciar ainda). Vi outra parecida tambem no livro do Apostol (volume 
2). E quem quiser uma direto pelo Wronskiano (identificando uma matriz 
de Vandermonde) leia no livro do Rabenstein!!
mais uma vez obrigado


 

=
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=

Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro

[Claudio Buffara]

 Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
 elevado a a indicie n vezes x)
 onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
 Prove que A é L.I.

Oi, Niski:

Antes de mais nada, apenas uma observacao quanto a precisao:
Ao dizer que a(1)  a(2)  a(3) voce nao estah excluindo a possibilidade
de que a(1) = a(3). Assim, talvez seja melhor dizer que os a(i) sao
distintos dois a dois.

Sobre o problema em si, voce pode supor s.p.d.g. que a(1)  a(2)  ... 
a(n).

Assim, se F(x) = c_1*exp(a(1)*x) + ... + c_n*exp(a(n)*x) eh a funcao
identicamente nula, entao:
G(x) = exp(-a(n)*x)*F(x) tambem eh a funcao identicamente nula.

Fazendo x - + infinito, teremos que G(x) - c_n  (por que?), o que implica
que c_n = 0.

Repetindo o mesmo procedimento mais n-1 vezes voce conclui que cada c_i eh
igual a zero == 
o conjunta A eh L.I.

Um abraco,
Claudio.

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