[obm-l] Algebra
Os números naturais a e b, com a>b, são tais que a^2-b^2=7. O valor de a-b é:a)0 b)1 c)3 d)4 e)7
[obm-l] Algebra vetorial - Apostol
Alguem poderia resolver essa pra mim ??? Prove por algebra vetorial que a intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. Obs: Para os Imeanos de plantão, essa é a questão 22 da seção 13.17 do Apostol. _ Ganhe tempo encontrando o arquivo ou e-mail que você precisa com Windows Desktop Search. Instale agora em http://desktop.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra
Para a 1) pode-se fazer 1 = (x^2+y^2+z^2)^2 =A+2B (I) onde B=x^2 y^2 +x^2 z^2 +y^2 z^2,e 0 = (x+y+z)^4 = (1+2(xy + xz + yz))^2 (II). A (II) pode ser usada duas vezes => 0 = 1 + 4B + 4C onde C=xy+xz+yz e 0 = (1+2C)^2 => C = - 1/2 . Daí chega-se em A = 1/2. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Consegui alguma coisa na 2). Mas, pelo trabalho que dá, eu desconfio que alguém aparecerá com uma alternativa mais simples.Enquanto isso, dá um! a olhada no meu "serviço braçal" aí embaixo.a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)Divisores de 602: 1, 2, 7, 14, 43, 86, 301 e 602 Seja a - b = k, k um divisor de 602.(k + b)^2 + (k + b)b + b^2 = 602/k <=><=> k^2 + 2kb + b^2 + kb + b^2 + b^2 = 602/k <=><=> 3b^2 + 3kb + p^2 - 602/k = 0Discriminante = D = 12(602/k) - 3k^2Testando para quais dentre os possíveis valores de k obtemos um D quadrado perfeito, encontramos k = 2, e daí, b = 9 e a = 11.Essa é a única solução inteira e positiva.Abraços,Márcio. On Mar Ene 31 9:29 , 'gustavo' sent: Quem puder ajudar , obrigado !! 1) Se x+y+Z =! 0 e x^2 + y^2 +z^2 = 1 , Calcule A = x^4 + y^4 +z^4 .(m^p é m elevado a p) 2)Qual as soluçôes inteiras e positivas da equação a^3 - b^3 = 602 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Algebra
Consegui alguma coisa na 2). Mas, pelo trabalho que dá, eu desconfio que alguém aparecerá com uma alternativa mais simples.Enquanto isso, dá uma olhada no meu "serviço braçal" aí embaixo.a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)Divisores de 602: 1, 2, 7, 14, 43, 86, 301 e 602 Seja a - b = k, k um divisor de 602.(k + b)^2 + (k + b)b + b^2 = 602/k <=><=> k^2 + 2kb + b^2 + kb + b^2 + b^2 = 602/k <=><=> 3b^2 + 3kb + p^2 - 602/k = 0Discriminante = D = 12(602/k) - 3k^2Testando para quais dentre os possíveis valores de k obtemos um D quadrado perfeito, encontramos k = 2, e daí, b = 9 e a = 11.Essa é a única solução inteira e positiva.Abraços,Márcio. On Mar Ene 31 9:29 , 'gustavo' sent: Quem puder ajudar , obrigado !! 1) Se x+y+Z = 0 e x^2 + y^2 +z^2 = 1 , Calcule A = x^4 + y^4 +z^4 .(m^p é m elevado a p) 2)Qual as soluçôes inteiras e positivas da equação a^3 - b^3 = 602 Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Algebra
Quem puder ajudar , obrigado !! 1) Se x+y+Z = 0 e x^2 + y^2 +z^2 = 1 , Calcule A = x^4 + y^4 +z^4 . (m^p é m elevado a p) 2)Qual as soluçôes inteiras e positivas da equação a^3 - b^3 = 602
Re: [obm-l] Algebra inteiros
Suponha que m é da forma 2k + 1, com k inteiro, logo m^2 - 1 = (2k + 1) ^2 - 1 = 4*k^2 + 4*k + 1- 1 = 4k(K + 1), ou seja, 4 vezes dois inteiros consecutivos , isto é, múltiplo de 8. Suponha agora que m = 2k - 1, com k inteiro, logo m^2 - 1 = (2k - 1)^2 - 1 = 4k^2 - 4k + 1 - 1 = 4k(k - 1), novamente temos quatro vezes dois inteiros consecutivos, isto é, um múltiplo de 8. CQD[EMAIL PROTECTED] escreveu: On Mie Nov 16 23:17 , marcio aparecido <[EMAIL PROTECTED]>sent:>Seja m um número ímpar, prove que m^2 -1 é divisil por 8.>>=>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html>=> FLAGS (\Seen))m = 2k+1 => m^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k(k + 1)* Se k é par, 4k é divisível por 8.* Se k é ímpar, k + 1 é par, e 4(k + 1) é divisível por 8.[]s,Márcio.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html= Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] Algebra inteiros
On Mie Nov 16 23:17 , marcio aparecido <[EMAIL PROTECTED]> sent: >Seja m um número ímpar, prove que m^2 -1 é divisil por 8. > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >= > FLAGS (\Seen)) m = 2k+1 => m^2 - 1 = (4k^2 + 4k + 1) - 1 = 4k(k + 1) * Se k é par, 4k é divisível por 8. * Se k é ímpar, k + 1 é par, e 4(k + 1) é divisível por 8. []s, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra inteiros
Proceda por indução. Para m = 1 a afirmação é trivialmente verdadeira. Suponha que 8 divide n^2 -1, para um certo n ímpar. Então quando m = n + 2 (lembre-se que m tem que ser ímpar) , vem (n + 2)^2 - 1 = n^2 + 4n + 4 - 1 = (n^2 - 1) + 4(n+1). Por hipótese de indução 8 divide n^2 - 1, e além disso, como n é ímpar, 8 divide 4(n+1), concluindo a demonstração Em 16/11/05, marcio aparecido <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Seja m um número ímpar, prove que m^2 -1 é divisil por 8.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- Denisson"Os homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer: É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível aos olhos!" (Saint Exupèrry)
[obm-l] Algebra inteiros
Seja m um número ímpar, prove que m^2 -1 é divisil por 8. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra linear
Muito obrigado Reinaldo Bellini, vc ajudou muito!
Re: [obm-l] Algebra linear
caro colega faça o seguinte : a) 0v = 0 0v = ( 0 + 0 ) v 0v = 0v + ov ( prop distributiva ) somando o inverso aditivo vem : 0v + ( -0v) = 0v + 0v + ( -ov ) 0 = 0v como queriamos b) av = 0 então a =0 ou v= 0 vamos supor a diferente de zero , então como estamos em um corpo, todo elemnto diferente de zero tem um iinverso tq a.a-1 = 1. multiplicando ambos pelo inverso multiplicativo de a vem : a-1a v = 0 a-1 1v =0 v= 0 como queriamos mostrar um abraço , espero ter ajudado Reinaldo Bellini Olá caros colegas da lista, estou estudando álgebra linear e embora tenha entendido as definições de Corpo e Espaço Vetorial, não consigo resolver os exercícios abaixo, alguém pode me ajudar!!! Exercício: Seja V um espaço vetorial sobre um corp K. a) Mostre que 0.v = 0 para todo vetor v pertencente a V e que α.0 = 0 para todo α pertencente a K b) Mostre que se α .v = 0, com α pertencente a K e v pertencente a V, então ou α = 0 ou v = 0. Muito obrigado Dema --
[obm-l] Algebra linear
Olá caros colegas da lista, estou estudando álgebra linear e embora tenha entendido as definições de Corpo e Espaço Vetorial, não consigo resolver os exercícios abaixo, alguém pode me ajudar!!! Exercício: Seja V um espaço vetorial sobre um corp K. a) Mostre que 0.v = 0 para todo vetor v pertencente a V e que α.0 = 0 para todo α pertencente a K b) Mostre que se α .v = 0, com α pertencente a K e v pertencente a V, então ou α = 0 ou v = 0. Muito obrigado Dema Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
[obm-l] Algebra Linear - Teorema
Alguem pode me ajudar a demonstrar esse teorema? (acho que o nome é Schur) Para toda matriz quadrada A existe uma matrix unitária C tal que CAC* é triangular superior.. []´s Igor Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis.Instale o discador agora!
Re: [obm-l] algebra (comutativa)
Olah gente! Acho que resolvi tb o outro item! A = Z e I = 0. Grato, Eder. --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olah gente! > > Acho que o problema consegui fazer a pouco: basta > tomar f:Z-->Q (inclusao dos inteiros nos racionais!) > e > observar que o ideal 0 eh maximal em Q e no entanto > f^(-1)(0) = 0 nao eh maximal em Z. > > Uma pequena corre\cao para a ultima linha do > segundo: > lah estah escrito "para x em I" mas o correto eh > "para > todo x em I". > > Grato,Eder. > > --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > Olah gente! > > > > Gostaria de saber quem poderia me ajudar com os > > probleminhas seguintes. > > > > 1) Dar um exemplo de um homomorfismo de anéis f: A > > --> > > B e de um ideal maximal de B tal que a imagem > > inversa > > de J não seja maximal em A, ou seja, f^(-1)(J) não > é > > um ideal maiximal de A, onde f^(-1)(.) denota a > > imagem > > inversa. > > Obs.: Tal homomorfismo não pode ser sobrejetor! > > > > 2) Diz-se que um anel é local se ele possui um > único > > ideal maximal (Por exemplo: i) todo corpo é um > anel > > local; ii) Z/6Z é um anel local que não é um > corpo.) > > Tem uma proposição (exercício!) que pede pra > provar > > que se um anel A e um ideal I de A são tais que 1 > + > > x > > é uma unidade de A, para todo x em I, então A é > > local. > > Até aí tudo bem! Meu problema consiste em achar um > > exemplo de anel A e um ideal I (não maximal!) tal > > que > > 1 + x é uma unidade para x em I mas A não é local. > > > > Grato desde já, Éder. > > > > __ > > Converse com seus amigos em tempo real com o > Yahoo! > > Messenger > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > = > > > > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > ___ Novo Yahoo! Messenger com voz: ligações, Yahoo! Avatars, novos emoticons e muito mais. Instale agora! www.yahoo.com.br/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algebra (comutativa)
Olah gente! Acho que o problema consegui fazer a pouco: basta tomar f:Z-->Q (inclusao dos inteiros nos racionais!) e observar que o ideal 0 eh maximal em Q e no entanto f^(-1)(0) = 0 nao eh maximal em Z. Uma pequena corre\cao para a ultima linha do segundo: lah estah escrito "para x em I" mas o correto eh "para todo x em I". Grato,Eder. --- Lista OBM <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Olah gente! > > Gostaria de saber quem poderia me ajudar com os > probleminhas seguintes. > > 1) Dar um exemplo de um homomorfismo de anéis f: A > --> > B e de um ideal maximal de B tal que a imagem > inversa > de J não seja maximal em A, ou seja, f^(-1)(J) não é > um ideal maiximal de A, onde f^(-1)(.) denota a > imagem > inversa. > Obs.: Tal homomorfismo não pode ser sobrejetor! > > 2) Diz-se que um anel é local se ele possui um único > ideal maximal (Por exemplo: i) todo corpo é um anel > local; ii) Z/6Z é um anel local que não é um corpo.) > Tem uma proposição (exercício!) que pede pra provar > que se um anel A e um ideal I de A são tais que 1 + > x > é uma unidade de A, para todo x em I, então A é > local. > Até aí tudo bem! Meu problema consiste em achar um > exemplo de anel A e um ideal I (não maximal!) tal > que > 1 + x é uma unidade para x em I mas A não é local. > > Grato desde já, Éder. > > __ > Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! > Messenger > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra (comutativa)
Olah gente! Gostaria de saber quem poderia me ajudar com os probleminhas seguintes. 1) Dar um exemplo de um homomorfismo de anéis f: A --> B e de um ideal maximal de B tal que a imagem inversa de J não seja maximal em A, ou seja, f^(-1)(J) não é um ideal maiximal de A, onde f^(-1)(.) denota a imagem inversa. Obs.: Tal homomorfismo não pode ser sobrejetor! 2) Diz-se que um anel é local se ele possui um único ideal maximal (Por exemplo: i) todo corpo é um anel local; ii) Z/6Z é um anel local que não é um corpo.) Tem uma proposição (exercício!) que pede pra provar que se um anel A e um ideal I de A são tais que 1 + x é uma unidade de A, para todo x em I, então A é local. Até aí tudo bem! Meu problema consiste em achar um exemplo de anel A e um ideal I (não maximal!) tal que 1 + x é uma unidade para x em I mas A não é local. Grato desde já, Éder. __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Algebra Linear -> Múltiplo Escalar
Leandro,
Sim..desculpe a péssima notação..mas o que eu tentei dizer foi exatamente isso..
v1=0 -> v1 = (0,0,0,0)
0*v2 = 0*(x1,x2,x3,x4), onde x1,x2,x3,x4 são as componentes de v2 e 0
é o número zero mesmo.
mas..voltando ao problema..
então quer dizer que 0 é um escalar...ou seja..ele não poderia considerar
o vetor (0,0,0,0) como válido já que disse que v1 e v2 não eram
múltiplos escalares um do outro...é isso?
ou seja...
isso que dizer que (0,0,0,0) é um múltiplo de (1,1,1,1) já que podemos escrever
1*(0,0,0,0) = 0*(1,1,1,1)
[]s
daniel
On Apr 8, 2005 2:06 PM, Leandro Lacorte Recova <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> Quando voce afirma v1=0, entao se v1 esta em R^4, 0 nao e o escalar zero e
> sim o vetor nulo 0 = (0,0,0,0). Voce deveria usar outra notacao para nao
> confundir.
>
> Quando voce faz v1=0*v2, nesse caso voce usa o escalar 0 que nao e igual ao
> vetor nulo 0 usado anteriormente.
>
> Como dizia um politico, "Uma coisa e uma coisa e outra coisa e outra
> coisa..."
>
> Leandro
> Los Angeles, CA.
>
>
> -Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
> Behalf Of Daniel S. Braz
> Sent: Friday, April 08, 2005 8:37 AM
> To: OBM-L
> Subject: [obm-l] Algebra Linear -> Múltiplo Escalar
>
> Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)
>
> Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
> múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
> {v1, v2} é linearmente dependente.
>
> Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
> não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
> ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
> componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:
>
> O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?
>
> Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
> estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
> escalar?)
>
> Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
> a resposta dada pelo livro está errada, certo?
>
> []s
> daniel
>
> --
> "A essência da Matemática reside na sua liberdade." (G. Cantor)
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> =
>
--
"A essência da Matemática reside na sua liberdade." (G. Cantor)
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[obm-l] RE: [obm-l] Algebra Linear -> Múltiplo Escalar
Quando voce afirma v1=0, entao se v1 esta em R^4, 0 nao e o escalar zero e
sim o vetor nulo 0 = (0,0,0,0). Voce deveria usar outra notacao para nao
confundir.
Quando voce faz v1=0*v2, nesse caso voce usa o escalar 0 que nao e igual ao
vetor nulo 0 usado anteriormente.
Como dizia um politico, "Uma coisa e uma coisa e outra coisa e outra
coisa..."
Leandro
Los Angeles, CA.
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Daniel S. Braz
Sent: Friday, April 08, 2005 8:37 AM
To: OBM-L
Subject: [obm-l] Algebra Linear -> Múltiplo Escalar
Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)
Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
{v1, v2} é linearmente dependente.
Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:
O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?
Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
escalar?)
Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
a resposta dada pelo livro está errada, certo?
[]s
daniel
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"A essência da Matemática reside na sua liberdade." (G. Cantor)
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[obm-l] Algebra Linear -> Múltiplo Escalar
Problema retirado do Cap. 1.6 do livro Algebra Linear (David Lay)
Dados os vetores v1 e v2 do R4 e sabendo que nenhum dos dois é
múltiplo escalar um do outro, verifique se o conjunto formado por c =
{v1, v2} é linearmente dependente.
Eu pensei o seguinte: Já que v1 e v2 não são múltiplos o conjunto c
não pode ser L.D. Porém a resposta do livro era que o conjunto poderia
ser L.D. já que v1 ou v2 poderiam ser o vetor nulo (i.e: todas as
componentes iguais a zero). Então...minha dúvida:
O vetor nulo é considerado multiplo de todos os vetores ou de nenhum vetor?
Sendo v1 = 0 e v2 = (qq um não nulo). Se eu fizer 1*v1 = 0*v2, eu
estou dizendo que v2 é múltiplo escalar de v1? (ou seja, zero é um
escalar?)
Se zero foi escalar, então o vetor nulo não poderia ser considerado e
a resposta dada pelo livro está errada, certo?
[]s
daniel
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Re: [obm-l] algebra, ideal, anel
on 20.03.05 16:11, Eric Campos at [EMAIL PROTECTED] wrote:
> A questao eh a seguinte:
>
> Seja A anel e I, J ideais de (A,+,*).
>
> Seja ainda
> IJ = {soma(x_i*y_i):x_i em I, y_i em J)}
> onde a soma acima eh para i de 1 ate n
>
> prove que IJ eh ideal de A.
>
> Minha dificuldade estah em mostrar que
> se x e y estao em IJ entao x-y esta em IJ.
> Sei que x-y esta em I inter J. Bastaria provar
> que I inter J esta contido em IJ, mas IJ eh
> que esta contido em I inter J...
>
> Abrac,os!
>
> Eric.
>
A chave eh reparar que se x e y estao em IJ, entao x e y podem ser escritos
como:
x = a_1*b_1 + a_2*b_2 + ... + a_n*b_n
e
y = a_1*c_1 + a_2*c_2 + ... + a_n*c_n
(a_i em I, b_j e c_k em J)
No limite, dah ateh pra supor que a_i = 0 em x <==> a_i <> 0 em y.
Assim, x - y = a_1*(b_1 - c_1) + ... + a_n*(b_n - c_n).
Como os a_i estao em I e os (b_j - c_j) estao em J, o resultado segue.
[]s,
Claudio.
=
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[obm-l] algebra, ideal, anel
A questao eh a seguinte:
Seja A anel e I, J ideais de (A,+,*).
Seja ainda
IJ = {soma(x_i*y_i):x_i em I, y_i em J)}
onde a soma acima eh para i de 1 ate n
prove que IJ eh ideal de A.
Minha dificuldade estah em mostrar que
se x e y estao em IJ entao x-y esta em IJ.
Sei que x-y esta em I inter J. Bastaria provar
que I inter J esta contido em IJ, mas IJ eh
que esta contido em I inter J...
Abrac,os!
Eric.
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Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
muito boa solução!!!
grato éder.Claudio Buffara <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.) grato desde já, éder. IDA (por contrapositiva):Suponha que J eh infinito.Seja F: V -> K um funcional linear tal que: F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)Suponhamos que existam: um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});e uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,tais que: F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i (**).Seja r um elemento de J - I.Por (*), temos que F(v_r) = 1.Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo q!
ue, por
(**), F(v_r) = 0.Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.[]s,Claudio.__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
grato desde já, éder.
IDA (por contrapositiva):
Suponha que J eh infinito.
Seja F: V -> K um funcional linear tal que:
F(v) = 1 para cada vetor v da base B (*)
Suponhamos que existam:
um subconjunto finito I de J (digamos, com n elementos - s.p.d.g. podemos supor que I = {1,2,...,n});
e
uma-nupla (a_1, a_2, ..., a_n) de elementos de K,
tais que:
F = SOMA(1<=i<=n) a_i*f_i (**).
Seja r um elemento de J - I.
Por (*), temos que F(v_r) = 1.
Entretanto, para cada i em I, f_i(v_r) = 0, de modo que, por (**), F(v_r) = 0.
Essa contradicao mostra que nenhuma combinacao linear finita dos f_j eh igual a F.
Em outras palavras, {f_j | j pertence a J} nao eh uma base de V*.
[]s,
Claudio.
Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Title: Re: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares on 13.01.05 18:33, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote: gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo: 1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K). a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.) *** Isso eh consequencia do fato de termos tr(AB) = tr(BA) para quaisquer A e B em M_n(K), de modo que: B = PAP^(-1) ==> tr(B) = tr(PAP^(-1)) = tr(P^(-1)PA) = tr(IA) = tr(A). b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo A em M_n(K). *** Ponhamos g(M) = SOMA(1<=i, j<=n) c_ij*m_ij. Seja B a matriz cujo unico elemento nao nulo eh b_rs = 1. Entao: AB = matriz cuja unica coluna nao nula eh a s-esima = (a_1r,a_2r,...,a_nr)^t. e BA = matriz cuja unica linha nao nula eh a r-esima = (a_s1,a_s2,...,a_sn) g(AB) = g(BA) ==> c_1r*a_1r + c_2r*a_2r + ... + c_nr*a_nr = c_s1*a_s1 + c_s2*a_s2 + ... + c_sn*a_sn. A fim de determinar os valores dos c_ij, precisamos escolher matrizes A apropriadas: Inicialmente, escolhemos matrizes A com um unico elemento nao nulo a_uv. Fazendo variar u, v, r e s, deduzimos que c_ij = 0 se i <> j. Em seguida, tomamos A = I ==> c_rr = c_ss, quaisquer que sejam r e s ==> c_11 = c_22 = ... = c_nn = b = constante de K Logo, g(M) = b*(m_11 + ... + m_nn) = b*tr(M). []s, Claudio.
RE: [obm-l] algebra linear - funcionais lineares
Essas demonstracoes tem no livro do Lang.
De uma olhada nesse link:
http://mathworld.wolfram.com/MatrixTrace.html
Leandro
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf
Of Lista OBM
Sent: Thursday, January 13, 2005
12:33 PM
To: Lista OBM
Subject: [obm-l] algebra linear -
funcionais lineares
gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) =
tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).
a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço.
(Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)
b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/
todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo
a em M_n(K).
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de
V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina
um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0
se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é
finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
garto desde já, éder.
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[obm-l] algebra linear - funcionais lineares
gostaria de uma ajuda nos dois problemas abaixo:
1) Considere o funcioanl linear f: M_n(K) --> K definido por f(A) = tr A (i.e., f(A) = traço de A), p/ todo A em M_n(K).
a) Mostre que matrizes semelhantes em M_n(K) têm o mesmo traço. (Obs.: Esse naum estah muito longe de eu consegui resolve-lo.)
b) Seja g:M_n(K) --> K um funcional linear t.q. g(AB) = g(BA), p/ todo A, B em M_n(K). Mostre que existe b em K t.q. g(A) = b tr A, p/ todo a em M_n(K).
2) Seja V um K-espaço vetorial qualquer e B = {v _ j} uma base de V (i em um conjunto de índices J qualquer). Para cada j em J, defina um funcional linear f_j em V* t.q. f_ j(v_i) = delta_ij (i.e., 1 se i = j e 0 se i<>0). Prove que {f_ j}, j em J é uma base de V* se, e só se, J é finito. (Obs.: A volta tem qq livro de alg. linear.)
garto desde já, éder.
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[obm-l] algebra linear - cardinalidade
Gostaria de saber se alguém poderia me ajudar com o problema abaixo: Seja V um K-espaço vetorial que admite uma base infinita B. Mostrar que qualquer outra base de V tem a mesma cardinalidade de B. grado desde já, éder. Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador do Yahoo! agora.
[obm-l] algebra linear(Ajuda)
Encontre uma transformação linear F:R^4--->R^3, cujo o nucleo e gerado por (1,2,3,4) e (0,1,1,1).
[obm-l] ALGEBRA
Seja F: R^4 > R^3, a transformação linear definida por F(x,y,z,t)= (x-y+z+t, x+2z-t, x+y+3z-t). Encontre uma base e a dimensão de a) Imagem U de F; b) Nucleo W de F.
[obm-l] algebra linear
Seja F: R^4 > R^3, a transformação linear definida por F(x,y,z,t)= (x-y+z+t, x+2z-t, x+y+3z-t). Encontre uma base e a dimensão de a) Imagem U de F; b) Nucleo W de F.
Re: [obm-l] Algebra Linear
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >c_i1 + ... + c_in = 0 >... >c_ii + ... + c_in = R_i >... >c_in + ... + c_in = 0> Também escrito errado; o certo é c_i1 + ... + c_in = 0 ... c_i1 + ... + c_in = R_i ... c_i1 + ... + c_in = 0> []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
[EMAIL PROTECTED] escreveu: > >Como = c_i1 + ... + c_in = d_ij*R_i Erro de digitação: é em vez de ; o resto está escrito certo. >Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre >a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada >seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são >linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada >sistema nxn tem solução, que será única. Em vez de apelar para o determinante de M, outro argumento (que eu prefiro!) é o seguinte: se os X_i são LI então a transformação linear M:R^n --> R^n é um isomorfismo, logo para qualquer y em R^n existe um único z em R^n tal que y = Mz. []s, Daniel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear
Paulo Santa Rita ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:
>
>Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1,
>..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo
>associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }.
>Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :
>
>= 0 se i # j ( "#" significa "e diferente de" )
>=Ri se i=j
Primeiramente, nenhum R_i pode ser nulo; se R_i é nulo então { a_1, ...,
a_i, b_i, ..., a_n } é um conjunto com n+1 vetores linearmente
independentes, absurdo, a menos que fosse b_i = 0, outro absurdo pois
queremos determinar uma base.
Todo b_i pode ser expresso como combinação linear de vetores da base A = {
a_1, ..., a_n }.
b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n
Como = c_i1 + ... + c_in = d_ij*R_i (onde
d_ij = 1 se i=j e 0 se i # j ), temos n sistemas de n equações, para i
variando de 1 até n:
c_i1 + ... + c_in = 0
...
c_ii + ... + c_in = R_i
...
c_in + ... + c_in = 0
Queremos determinar os c_ij, sendo que a matriz M dos coeficientes é sempre
a mesma para todo i. Seja X_i o vetor de R^n tal que a j-ésima coordenada
seja , ou seja, os vetores coluna de M. Mostremos que os X_i são
linearmente independentes; isso implica que o det(M) não é nulo, logo cada
sistema nxn tem solução, que será única.
Se t_1*X_1 + ... + t_n*X_n = 0, então
t_1* + ... + t_n* = 0 para todo j
==> < t_1*a_1 + .. + t_n*a_n, a_j > = 0 para todo j
==> t_1 = t_2 = ... = t_n = 0 pois do contrário t_1*a_1 + ... + t_n*a_n
seria um vetor perpendicular à todo vetor da base A, absurdo.
Assim, é possível determinar os coeficientes c_ij para todo i,j, logo
encontramos n vetores b_i = c_i1*a_1 + ... + c_in*a_n. Seja B o conjunto
desses b_i. Precisamos mostrar que B é base; sendo um conjunto de n vetores,
basta mostrar que é linearmente independente:
s_1*b_1 + ... + s_n*b_n = 0
==> = 0 para todo i
==> s_i* = 0 para todo i
==> s_i*R_i = 0 para todo i
==> s_1 = s_2 = ... = s_n = 0
Logo, B é a base. A unicidade já havia sido demonstrada.
[]s,
Daniel
=
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[obm-l] Algebra Linear
Ola Pessoal,
Aqui esta um problema de Algebra Linear que alguem ( nao me lembro quem ) me
propos ha alguns anos atras :
Seja V um espaco vetorial de dimensao finita com produto interno e { a1,
..., an } uma base deste espaco. Dados N numeros reais ( image que o corpo
associado a V e o conjunto dos numeros reais ) quaisquer {R1, ..., Rn }.
Mostre que existe UMA UNICA base { b1, ..., bn } de V tais que :
= 0 se i # j ( "#" significa "e diferente de" )
=Ri se i=j
Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
4,0947,241104
_
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Re: [obm-l] algebra
Dando apenas as ideias basicas, jah que isso parece ser um exercício de casa. a) F(k*(x,y))= F(k*x, k*y) = k^2*x*y = k^2*F(x,y) <> k*F(x,y) se k <> 0, k<>1 e x,y<>0. b)A segunda e a terceira componentes da funcao sao lineares, mas a primeira nao eh. Para a funcao g:R->R dada por g(x) = x+1, temos que g(x1+ x2) = x1+ x2+ 1 e g(x1) + g(x2) = x1 + x2 +2 (funcoes deste tipo sao conhecidas por lineares afim) c)para todos reais x e y, |x+y| <= |x| + |y|. Se x e y tiverem sinais contrarios, hah desigualdade estrita. Artur --- "andrey.bg" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Mostre que as seguintes transformações F não são > lineares. > > a)- F: R^2>R, definida como F(x,y)=x*y > > b)- F: R^2>R^3, definida como F(x,y)=(x+1, 2y, > x+y) > > c)- F: R^3---> R^2, definida como > F(x,y,z)=(módulo(x), 0 ) > > __ > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. > AntiPop-up UOL - É grátis! > http://antipopup.uol.com.br/ > > __ Do you Yahoo!? The all-new My Yahoo! - Get yours free! http://my.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra
Mostre que as seguintes transformações F não são lineares. a)- F: R^2>R, definida como F(x,y)=x*y b)- F: R^2>R^3, definida como F(x,y)=(x+1, 2y, x+y) c)- F: R^3---> R^2, definida como F(x,y,z)=(módulo(x), 0 )
Re: [obm-l] algebra linear
a) F(x,y) = (x+y,x) e F(a,b) = (a+b, a) Assim, *F[(x,y)+(a,b)]* = F(x+a,y+b) = (x+a+y+b, x+a) = *F(x,y) + F(a,b)* *F[k.(x,y)]* = F(kx,ky) = (kx+ky,kx) = k.(x+y,x) = *k.F(x)* b) F(x,y,z) = (2x-3y+4z) e F(a,b,c) = (2a-3b+4z) Assim, *F[(x,y,z)+(a,b,c)]* = F(x+a, y+b, z+c) = (2x+2a-3y-3b+4z+4c) = (2x-3y+4z)+(2a-3b+4c) = *F(x,y,z) + F(a,b,c) F[k.(x,y,z)]* = F(kx, ky, kz) = 2kx-3ky+4kz = k.(2x-3y+4z) = *k.F(x,y,z)* andrey.bg wrote: Mostre que as seguintes Tranformações F são Lineares: a)- F: R^2^>R^2, definidas como F(x,y)=(x+y,x) b)-F: R^3--->R, definidas como F(x,y,z)=(2x-3y+4z) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra linear
Mostre que as seguintes Tranformações F são Lineares: a)- F: R^2^>R^2, definidas como F(x,y)=(x+y,x) b)-F: R^3--->R, definidas como F(x,y,z)=(2x-3y+4z)
RES: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
>Na verdade 10 + 10 resulta qualquer numero entre 0 e 20. (teoria dos grupos) Acrescento que 10 + 10 = 100, se a conta for efetuada na base 2... Um abraço, Guilherme. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
> Olá, pessoal! > >(...) > > A propósito, por que 9 + 2 = 11? Afinal, "7" é um número ou numeral? Abraços! Amigo Jorge, Nem sempre 9 + 2 = 11, depende sobre q (estamos) tratando Observe o seguinte exemplo: 10 + 10 eh igual a ... dez, se os entes considerados forem dois recipientes cheios de agua a 10 graus C zero, se os entes considerados forem duas forcas em sentidos opostos. vinte, se for por exemplo uma soma em dinheiro. etc Na verdade 10 + 10 resulta qualquer numero entre 0 e 20. (teoria dos grupos) Abracos __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
Isso faz diferença porque um posto de gasolina enche vários tanques por mês... On Wed, 17 Nov 2004 12:53:01 -0300, Junior <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi Chico, > > Quando compramos um litro de gasolina, por exemplo, essas casas decimais são > deixadas de lado. > Realmente não faria sentido pagar frações de centavo, já que não existe tal > divisão. > Entretanto, quando enchemos o tanque do carro (na verdade, ninguém compra > apenas um litro de gasolina) > as casas decimais a partir da terceira passam a fazer diferença. > Se enchemos o tanque de um carro de 60 litros a R$ 2,2792/litro pagamos R$ > 136,75. > Se os postos usassem apenas 2 casas decimais, R$ 2,27/litro arrecadariam > apenas R$ 136,20. > Não é uma diferença significativa, mas.. > > []´s > > Jr. > > > - Original Message - > From: "Chicao Valadares" <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[EMAIL PROTECTED]> > Sent: Wednesday, November 17, 2004 11:08 AM > Subject: Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE! > > > > > > E por falar em coisas inúteis, algum colega já sabe > > > o motivo dos postos de > > > combustíveis estamparem os preços com três ou mais > > > casas decimais ao invés de > > > duas? > > > > > eu nao sei, se vc souber diga. > > > > = > > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. > > O que há é pouca gente para dar por isso... " > > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos > > > > _ > > As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) > > são > > para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja > > destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. > > Favor > > apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será > > tratado > > conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua > > colaboração. > > > > > > The information mentioned in this message and in the archives attached > > are > > of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not > > the > > addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. > > Please > > delete this information and notify the sender. Inappropriate use will > > be > > tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your > > cooperation. > > > > > > > > > > > > ___ > > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! > http://br.acesso.yahoo.com/ > > = > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > = > > > > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
Oi Chico, Quando compramos um litro de gasolina, por exemplo, essas casas decimais são deixadas de lado. Realmente não faria sentido pagar frações de centavo, já que não existe tal divisão. Entretanto, quando enchemos o tanque do carro (na verdade, ninguém compra apenas um litro de gasolina) as casas decimais a partir da terceira passam a fazer diferença. Se enchemos o tanque de um carro de 60 litros a R$ 2,2792/litro pagamos R$ 136,75. Se os postos usassem apenas 2 casas decimais, R$ 2,27/litro arrecadariam apenas R$ 136,20. Não é uma diferença significativa, mas.. []´s Jr. - Original Message - From: "Chicao Valadares" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Wednesday, November 17, 2004 11:08 AM Subject: Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE! > > > E por falar em coisas inúteis, algum colega já sabe > > o motivo dos postos de > > combustíveis estamparem os preços com três ou mais > > casas decimais ao invés de > > duas? > > > eu nao sei, se vc souber diga. > > = > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. > O que há é pouca gente para dar por isso... " > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos > > _ > As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) > são > para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja > destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. > Favor > apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será > tratado > conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua > colaboração. > > > The information mentioned in this message and in the archives attached > are > of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not > the > addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. > Please > delete this information and notify the sender. Inappropriate use will > be > tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your > cooperation. > > > > > > ___ > Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
> E por falar em coisas inúteis, algum colega já sabe > o motivo dos postos de > combustíveis estamparem os preços com três ou mais > casas decimais ao invés de > duas? > eu nao sei, se vc souber diga. = "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... " Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos _ As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) são para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não seja destinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas. Favor apagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratado conforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos sua colaboração. The information mentioned in this message and in the archives attached are of restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not the addressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden. Please delete this information and notify the sender. Inappropriate use will be tracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation. ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ALGEBRA DE BOOLE!
Olá, pessoal! Você foi contratado para construir os circuitos de controle para uma fábrica de produção de um novo composto químico anticancerígeno que está sendo testado em ratos. O circuito de controle tem que gerenciar a abertura e o fechamento de duas válvulas, A e B, após a saída do tonel de mistura. A válvula A é aberta sempre que a pressão do tonel excede 3,5 atm e a salinidade da mistura excede 45 g/l. A válvula B é aberta sempre que a válvula A está fechada e a temperatura excede 53°C e a acidez está abaixo de 7 pH. Quantas portas lógicas, e de que tipo, serão necessárias no circuito? A resposta desse problema eletrônico está, surpreendentemente, em um ramo da matemática desenvolvido em torno de 1850 por George Boole, um matemático inglês. Boole estava interessado em regras "algébricas" para o raciocínio lógico, semelhantes as regras algébricas para o raciocínio numérico. Ridicularizado na época como inútil, embora não nocivo, o trabalho de Boole forma os fundamentos para a eletrônica de computadores hoje em dia. E por falar em coisas inúteis, algum colega já sabe o motivo dos postos de combustíveis estamparem os preços com três ou mais casas decimais ao invés de duas? A propósito, por que 9 + 2 = 11? Afinal, "7" é um número ou numeral? Abraços! __ WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta)
Title: Re: [obm-l] algebra linear (pergunta correta) on 05.11.04 13:18, andrey.bg at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo, onde I o operador Identidade no R^2, isto é I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2. Certamente I+F eh linear, pois L(R^2) eh um espaco vetorial. No entanto, I+F nao eh uma bijecao pois leva a base canonica do R^2 num subespaco de dimensao 1 gerado pelo vetor (3,5). Logo, I+F nao eh um automorfismo.
[obm-l] algebra linear (pergunta correta)
Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é um automorfismo, onde I o operador Identidade no R^2, isto é I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.
Re: [obm-l] Algebra Linear
Title: Re: [obm-l] Algebra Linear on 05.11.04 09:34, andrey.bg at [EMAIL PROTECTED] wrote: Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é o operador Identidade no R^2, isto é I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2. I + F soh poderah ser igual a I se F = 0, ou seja, F(x,y) = (0,0) para todo (x,y), o que nao eh o caso.
[obm-l] Algebra Linear
Seja F pertencente L(R^2) tal que F(1,0)=(2,5) e F(0,1)=(3,4). Verifique se I+F é o operador Identidade no R^2, isto é I(x,y)=(x,y) para todo (x,y) pertencente R^2.
[obm-l] Algebra linear
Dar um sitema de geradores de M2(R)(isto e, determinar um subconjunto S C M2(R) tal que [S]=M2(R). __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algebra linear
Tb nao entendi direito o 4...no 3 , talvez nao tenha ficado claro, mas a,,b,c esta fixados. Para formar a baseescolha um vetor ortogonal a (a,b,c) por exemplo (b,-a,0) este esta no plano, escolha outro nao paralelo a esse , tipo (0,-c,b)...esses dois formam uma base. Evans <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:> Tenho algumas questões de algebra q n consegui> fazer, são elas: > > 1}Determine uma base para as funções tal que> f(X)=f(-x) Não entendi bem o que foi pedido> > 2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de> W, pode afirmar: > a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial? > b)z (União) v é um sub-espaço vetorial? a) É. Porque: o elemento 0 está contido nestainterseccão; se x pertence a ambos os espaços, então-x também pertence, pois -x, pela definição de espaçovetorial, tem que estar também em z e v. Combinacoeslineraes também pertencem.b) Não.A soma de um vetor de z com um vetor de v podenão estar nem em z nem em v. Exemplo: No R^2, retasdistintas que passem pela origem. Cada uma é umsub-espaço de R^2, mas a soma de um !
vetor não
nulo deuma com um vetor não nulo da outra não está em nenhumadelas. > > 3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/> ax+by+cz=0} > qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais.Isto não implica que W = {0}?> > 4)seja B= > e B'= onde u(k) é o valor de u> na posição k > para mudar a base da matriz de > B para B' > B'para B Não peguei a idéia.Ana__Do you Yahoo!?New and Improved Yahoo! Mail - Send 10MB messages!http://promotions.yahoo.com/new_mail =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
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Re: [obm-l] algebra linear
--- [EMAIL PROTECTED] wrote:
> Tenho algumas questões de algebra q n consegui
> fazer, são elas:
>
> 1}Determine uma base para as funções tal que
> f(X)=f(-x)
Não entendi bem o que foi pedido
>
> 2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de
> W, pode afirmar:
> a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial?
> b)z (União) v é um sub-espaço vetorial?
a) É. Porque: o elemento 0 está contido nesta
interseccão; se x pertence a ambos os espaços, então
-x também pertence, pois -x, pela definição de espaço
vetorial, tem que estar também em z e v. Combinacoes
lineraes também pertencem.
b) Não.A soma de um vetor de z com um vetor de v pode
não estar nem em z nem em v. Exemplo: No R^2, retas
distintas que passem pela origem. Cada uma é um
sub-espaço de R^2, mas a soma de um vetor não nulo de
uma com um vetor não nulo da outra não está em nenhuma
delas.
>
> 3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/
> ax+by+cz=0}
> qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais.
Isto não implica que W = {0}?
>
> 4)seja B=
> e B'= onde u(k) é o valor de u
> na posição k
> para mudar a base da matriz de
> B para B'
> B'para B
Não peguei a idéia.
Ana
__
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[obm-l] algebra linear
Tenho algumas questões de algebra q n consegui fazer, são elas:
1}Determine uma base para as funções tal que f(X)=f(-x)
2)seja W um espaço vetorial e z e v sub-espaços de W, pode afirmar:
a)z (interseção) v é um sub-espaço vetorial?
b)z (União) v é um sub-espaço vetorial?
3)determine uma base para W={(x,y,z)(pertencente)R³/ ax+by+cz=0}
qualquer que seja a,b,c pertencente aos reais.
4)seja B=
e B'= onde u(k) é o valor de u na posição k
para mudar a base da matriz de
B para B'
B'para B
fico de imediato agradecido... obg
_
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Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares
positiva quer dizer que para todo vetor x != 0, temos x* T x > 0? seja v um auto-vetor de T, se Tv = dv, então = = d^2 = d^2 ||v||^2 mas = (Tv)*(Tv) = v*T*Tv = v* I v = ||v||^2 d^2 = 1 como ela é positiva, d = 1. tr(T) = traço(T) = soma dos auto-valores (contando multiplicidades), logo tr(T) = n Mas cada entrada da matriz T tem valor absoluto não superior a 1, pois T é unitária. Logo tr(T) <= n, com igualdade se e somente se cada elemento da diagonal é 1. Isso mostra que T = I. [ ]'s Pessoal, Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V, and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I. Obrigado. []s Daniel S. Braz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares
on 09.09.04 19:27, Leandro Lacorte Recova at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V, > and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I. > > Solution: > > > Seja T* o operador adjunto de T. Entao, dados x,y em V temos = > > > Portanto, como T e positivo, temos 0 < = > > Como T e unitario, temos TT*=I, ou seja, T*=T^(-1) (Operador inverso de T). > > Voltando na equacao temos, > > 0 < == => Isso implica que T=T^(-1). Logo, > Oi, Leandro: Voce poderia explicar melhor esta passagem? Eu nao consegui entender porque = > 0 implica que T = T^(-1). []s, Claudio. > TT^(-1)=I => T^2=I => T=I. > > > Leandro. > > > > > > > > = > Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares
positiva quer dizer que para todo vetor x != 0, temos x* T x > 0? seja v um auto-vetor de T, se Tv = dv, então = = d2 = d2 ||v||^2 mas = (Tv)*(Tv) = v*T*Tv = v* I v = ||v||^2 d2 = 1 como ela é positiva, d = 1. tr(T) = traço(T) = soma dos auto-valores (contando multiplicidades), logo tr(T) = n Mas cada entrada da matriz T tem valor absoluto não superior a 1, pois T é unitária. Logo tr(T) <= n, com igualdade se e somente se cada elemento da diagonal é 1. Isso mostra que T = I. [ ]'s Pessoal, Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V, and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I. Obrigado. []s Daniel S. Braz = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares
Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V, and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I. Solution: Seja T* o operador adjunto de T. Entao, dados x,y em V temos = Portanto, como T e positivo, temos 0 < = Como T e unitario, temos TT*=I, ou seja, T*=T^(-1) (Operador inverso de T). Voltando na equacao temos, 0 < == => Isso implica que T=T^(-1). Logo, TT^(-1)=I => T^2=I => T=I. Leandro. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear - Operadores Lineares
Pessoal, Alguém pode me dar uma ajuda a provar isto aqui Let T be a linear operator on the finite-dimensional inner product space V, and suppose T is both positive and unitary. Prove T = I. Obrigado. []s Daniel S. Braz -- "Uma das coisas notáveis acerca do comportamento do Universo é que ele parece fundamentar-se na Matemática num grau totalmente extraordinário. Quanto mais profundamente entramos nas leis da Natureza, mais parece que o mundo físico quase se evapora e ficamos com a Matemática. Quanto mais profundamente entendemos a Natureza, mais somos conduzidos para dentro desse mundo da Matematica e de conceitos matematicos." (Roger Penrose) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear, Grafos e Análise Real
Oi, Domingos (e quem mais se interessar): Achei uns artigos interessantes que talvez ajudem na sua monografia e também na preparação para a OBM-U: http://www-math.mit.edu/~spielman/AEC/notes.html eu li apenas as duas primeiras notas de aula, mas me parecem ser uma boa introdução à teoria algébrica dos grafos. http://www.axler.net/DwD.html esse artigo tem algumas demonstrações interessantes de alg lin sem usar determinantes e que, de fato (como diz o autor), deixam mais claro o que está acontecendo. E pro pessoal que gosta de análise real: saiu o livro Análise Real - vol. 2, do Elon, que trata de análise no R^n. É uma versão mais "light" do Curso de Análise - vol. 2 do Projeto Euclides e tem duas vantagens: custa apenas R$ 20,00 e tem 170 exercícios RESOLVIDOS. Pro pessoal de SP: ele pode ser adquirido na sala da SBM no IME-USP. http://www.impa.br/Publicacoes/UnivMath/Analise_Real_2/index.html []s, Claudio.
Re:[obm-l] Algebra
Se A_4 tem um subgrupo H de ordem 6, então H será isomorfo a Z_6 ou S_3.
A_4 não tem nenhum elemento de ordem 6 ==>
H não pode ser isomorfo a Z_6 ==>
H ~ S_3 ==>
H = {e, a, a^2, b, ab, a^2b} com a^3 = b^2 = e, ba = a^2b.
o(a) = 3 e o(b) = 2 com a e b em A_4 ==>
a = 3-ciclo e b = produto de 2 transposições.
Suponhamos s.p.d.g. que a = (123) ==> a^2 = (132).
Os candidatos a b são (12)(34), (13)(24) e (14)(23).
Calculando os valores respectivos de ba e a^2b, teremos:
ba: (243), (142), (134)
a^2b: (234), (124), (143).
Ou seja, em todos os casos, a^2b <> ba ==>
H não pode ser isomorfo a S_3.
Como Z_6 e S_3 são os únicos grupos de ordem 6 (a menos de um isomorfismo), concluímos que A_4 não possui nenhum subgrupo de ordem 6.
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
[EMAIL PROTECTED]
Cópia:
Data:
Thu, 1 Jul 2004 07:23:20 -0300 (ART)
Assunto:
Re:[obm-l] Algebra
> Claudio,
>
> tentei provar sua dica (A_4 não tem subgrupos de ordem 6) e não consegui. Como devo proceder?
>
> Grato Éder."claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
>
>
De:
[EMAIL PROTECTED]
>
Para:
[EMAIL PROTECTED]
>
Cópia:
>
Data:
Tue, 29 Jun 2004 09:53:45 -0300 (ART)
>
Assunto:
[obm-l] Algebra
>
> > Gostaria de saber se tem uma forma simples de descrever todas as permutações do grupo A_4 (A_4 = subgrupo das permutações pares de S_3). Consegui descrever, mas foi com muita conta - mais ou menos na base da tentativa.
>
> Usa a notacao de ciclos e lembre-se de que uma permutacao par tem um numero par de ciclos de ordem par. Alias, tenho certeza de que voce quis dizer que A_4 = subgrupo de permutacoes pares de S_4.
> A_4 consiste da identidade, dos oito ciclos de ordem 3 e das tres composicoes de 2 transposicoes.
>
> > Outra dúvida: como calcular todos os subgrupos de D_4, S_3, Z/2Z X Z/2Z, A_4. Tem que ser no "braço"?
> >
> Mais ou menos. Uma ideia eh usar o teorema de Lagrange, pra limitar as possibilidades quanto aos tamanhos dos subgrupos.
> Depois, leve em conta que os unicos grupos de ordem 4 (a menos de isomorfismos) sao o ciclico e o grupo de Klein (onde todos os elementos diferentes da identidade tem ordem 2).
> Finalmente, uma dica: A_4 nao tem subgrupos de ordem 6.
>
> []s,
> Claudio.
>
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Re:[obm-l] Algebra
Claudio, tentei provar sua dica (A_4 não tem subgrupos de ordem 6) e não consegui. Como devo proceder? Grato Éder."claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> wrote: De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Tue, 29 Jun 2004 09:53:45 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Algebra > Gostaria de saber se tem uma forma simples de descrever todas as permutações do grupo A_4 (A_4 = subgrupo das permutações pares de S_3). Consegui descrever, mas foi com muita conta - mais ou menos na base da tentativa. Usa a notacao de ciclos e lembre-se de que uma permutacao par tem um numero par de ciclos de ordem par. Alias, tenho certeza de que voce quis dizer que A_4 = subgrupo de permutacoes pares de S_4. A_4 consiste da identidade, dos oito ciclos de ordem 3 e das tres composicoes de 2 transposicoes. > Outra dúvida: como calcular todos os subgrupos de D_4, S_3, Z/2Z X Z/2Z, A_4. Tem que ser no "braço"? > Mais ou menos. Uma ideia eh usar o teorema de Lagrange, pra limitar as possibilidades quanto aos tamanhos dos subgrupos. Depois, leve em conta que os unicos grupos de ordem 4 (a menos de isomorfismos) sao o ciclico e o grupo de Klein (onde todos os elementos diferentes da identidade tem ordem 2). Finalmente, uma dica: A_4 nao tem subgrupos de ordem 6. []s, Claudio. Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re:[obm-l] Algebra
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Tue, 29 Jun 2004 09:53:45 -0300 (ART) Assunto: [obm-l] Algebra > Gostaria de saber se tem uma forma simples de descrever todas as permutações do grupo A_4 (A_4 = subgrupo das permutações pares de S_3). Consegui descrever, mas foi com muita conta - mais ou menos na base da tentativa. Usa a notacao de ciclos e lembre-se de que uma permutacao par tem um numero par de ciclos de ordem par. Alias, tenho certeza de que voce quis dizer que A_4 = subgrupo de permutacoes pares de S_4. A_4 consiste da identidade, dos oito ciclos de ordem 3 e das tres composicoes de 2 transposicoes. > Outra dúvida: como calcular todos os subgrupos de D_4, S_3, Z/2Z X Z/2Z, A_4. Tem que ser no "braço"? > Mais ou menos. Uma ideia eh usar o teorema de Lagrange, pra limitar as possibilidades quanto aos tamanhos dos subgrupos. Depois, leve em conta que os unicos grupos de ordem 4 (a menos de isomorfismos) sao o ciclico e o grupo de Klein (onde todos os elementos diferentes da identidade tem ordem 2). Finalmente, uma dica: A_4 nao tem subgrupos de ordem 6. []s, Claudio.
[obm-l] Algebra
Gostaria de saber se tem uma forma simples de descrever todas as permutações do grupo A_4 (A_4 = subgrupo das permutações pares de S_3). Consegui descrever, mas foi com muita conta - mais ou menos na base da tentativa. Outra dúvida: como calcular todos os subgrupos de D_4, S_3, Z/2Z X Z/2Z, A_4. Tem que ser no "braço"? Grato, Éder. Yahoo! Mail - Participe da pesquisa global sobre o Yahoo! Mail. Clique aqui!
Re: [obm-l] algebra linear
on 28.04.04 22:27, Carlos bruno Macedo at [EMAIL PROTECTED] wrote: > > > 1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço > nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem > determinante 1. > exp(X) = I + X + X^2/2 + ... + X^n/n! + ... Logo, (exp(X))' = I + X' + (X^2)'/2 + ... + (X^n)'/n! + ... ==> (exp(X))' = I + X' + (X')^2/2 + .. + (X')^n/n! + ... = exp(X') (X' = transposta de X) Alem disso, tambem vale exp(X)*exp(Y) = exp(X+Y). A eh antisimetrica ==> A' = -A ==> A + A' = 0 Logo: exp(tA)*(exp(tA))' = exp(tA)*exp(tA') = exp(t(A+A')) = exp(0) = I ==> exp(tA) eh ortogonal. *** Fixado um real t, sejam k1, k2, ..., kn os autovalores de tB (possivelmente complexos e possivelmente repetidos). traco(B) = 0 ==> traco(tB) = 0 ==> k1 + k2 + ... + kn = 0 ==> exp(k1 + k2 + ... + kn) = 1 ==> exp(k1)*exp(k2)*...*exp(kn) = 1 ==> det(exp(tB)) = 1 []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra linear
1)Sejam A,B pertencentes a R^(n^2), A anti-simétrica e B com traço nulo.Mostre que para todo t real, exp(tA) é ortogonal e exp(tB) tem determinante 1. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples
2) Acho que trocaram 3/5 com 5/3. Mas, essencialmente, voce estah certo (embora o uso de determinante para resolver o problema esteja longe de ser um processo pratico). Se o livro dah apenas duas respostas (e nao 3) eh porque o livro considera lado como segmento e nao como reta e eh impossivel o ponto estar no segmento AC. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Daniel Silva Braz <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 1 Apr 2004 17:13:22 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples > PessoALL, > > Alguém ai pode me ajudar nessas aqui?? Eu sei que são > bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que > diferem das do livro.. > > 1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, > os produtos escalares AB.AC e AB.BC são, > respectivamente? > > Eu usei.. > AB.AC = |AB|.|AC|.cosA > AB.AC = 3.3.cos60 > AB.AC = 9.1/2 > AB.AC = 9/2 > > O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero.. > > No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e > AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ?? > para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso?? > > 2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo > de vértices > A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..? > > AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4) > AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2) > > fazendo pelo método do determinante (det = 0 --> > colineares), eu encontrei > x=3/5 e mais alguns outros valores que não me lembro > agora..mas nenhum > "batia" com o livro. No livro a resposta dada foi > x=3/5 ou x=11/2 > > __ > > Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: > http://br.yahoo.com/info/mail.html > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples
Faça um desenho direito, prolongando os lados, e voce vera que o angulo de AB com BC eh o angulo externo do triangulo e vale 120 graus. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Daniel Silva Braz <[EMAIL PROTECTED]> To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 1 Apr 2004 17:13:22 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples > PessoALL, > > Alguém ai pode me ajudar nessas aqui?? Eu sei que são > bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que > diferem das do livro.. > > 1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, > os produtos escalares AB.AC e AB.BC são, > respectivamente? > > Eu usei.. > AB.AC = |AB|.|AC|.cosA > AB.AC = 3.3.cos60 > AB.AC = 9.1/2 > AB.AC = 9/2 > > O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero.. > > No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e > AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ?? > para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso?? > > 2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo > de vértices > A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..? > > AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4) > AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2) > > fazendo pelo método do determinante (det = 0 --> > colineares), eu encontrei > x=3/5 e mais alguns outros valores que não me lembro > agora..mas nenhum > "batia" com o livro. No livro a resposta dada foi > x=3/5 ou x=11/2 > > __ > > Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: > http://br.yahoo.com/info/mail.html > = > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear - Geometria Analitica - Problemas simples
PessoALL, Alguém ai pode me ajudar nessas aqui?? Eu sei que são bem simples..mas eu resolvi e encontrei respostas que diferem das do livro.. 1)Num triangulo equilatero ABC, de lado igual a 3, os produtos escalares AB.AC e AB.BC são, respectivamente? Eu usei.. AB.AC = |AB|.|AC|.cosA AB.AC = 3.3.cos60 AB.AC = 9.1/2 AB.AC = 9/2 O mesmo para AB.BC já que ABC é equilátero.. No livro a resposta é dada como AB.AC=9/2 e AB.BC=-9/2..de onde veio o -9/2 ?? para ter -9/2 teria que ser cos120..de onde vem isso?? 2)O ponto P(x, 1) pertence a um dos lados do triangulo de vértices A(0,2), B(5,-1) e C(6,3) se x igual a..? AB=(5,-3) ; AC=(6,1) ; BC=(1,4) AP=(x,-1) ; BP=(x-5,2) ; CP=(x-6,-2) fazendo pelo método do determinante (det = 0 --> colineares), eu encontrei x=3/5 e mais alguns outros valores que não me lembro agora..mas nenhum "batia" com o livro. No livro a resposta dada foi x=3/5 ou x=11/2 __ Yahoo! Mail - O melhor e-mail do Brasil! Abra sua conta agora: http://br.yahoo.com/info/mail.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] algebra linear
Muito obrigado From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: "obm-l" <[EMAIL PROTECTED]> Subject: Re:[obm-l] algebra linear Date: Thu, 25 Mar 2004 22:24:15 -0300 De:[EMAIL PROTECTED] Para:[EMAIL PROTECTED] Cópia: Data:Fri, 26 Mar 2004 00:22:20 + Assunto:[obm-l] algebra linear > Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes > invertíveis n x n. > Seja A a matriz dada. Entao existe uma matriz n x n invertivel P tal que T = P*A*P^(-1), onde T é triangular superior (com coeficientes possivelmente complexos - estou supondo que os coeficientes de A pertencem a algum subcorpo dos complexos, apesar do resultado valer em qualquer subcorpo de um corpo algebricamente fechado). Seja (d_1, d_2, ..., d_n) a diagonal de T. Seja r um numero positivo menor do que o valor absoluto de cada d_i nao nulo. Entao, a matriz T_n cuja diagonal eh (d_1 + r/n, d_2 + r/n, ..., d_n + r/n) e cujos outros elementos sao iguais aos elementos correspondentes de T eh inversivel (jah que nenhum elemento da diagonal eh igual a zero) e eh tal que: lim(n -> infinito) T_n = T. Agora, defina a sequencia (A_n) por: A_n = P^(-1)*T_n*P. Como T_n e P sao inversiveis, A_n tambem serah. Alem disso, lim(n -> infinito) A_n = A. []s, Claudio. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] algebra linear
De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Fri, 26 Mar 2004 00:22:20 + Assunto: [obm-l] algebra linear > Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes > invertíveis n x n. > Seja A a matriz dada. Entao existe uma matriz n x n invertivel P tal que T = P*A*P^(-1), onde T é triangular superior (com coeficientes possivelmente complexos - estou supondo que os coeficientes de A pertencem a algum subcorpo dos complexos, apesar do resultado valer em qualquer subcorpo de um corpo algebricamente fechado). Seja (d_1, d_2, ..., d_n) a diagonal de T. Seja r um numero positivo menor do que o valor absoluto de cada d_i nao nulo. Entao, a matriz T_n cuja diagonal eh (d_1 + r/n, d_2 + r/n, ..., d_n + r/n) e cujos outros elementos sao iguais aos elementos correspondentes de T eh inversivel (jah que nenhum elemento da diagonal eh igual a zero) e eh tal que: lim(n -> infinito) T_n = T. Agora, defina a sequencia (A_n) por: A_n = P^(-1)*T_n*P. Como T_n e P sao inversiveis, A_n tambem serah. Alem disso, lim(n -> infinito) A_n = A. []s, Claudio.
[obm-l] algebra linear
Prove que toda matriz n x n é limite de uma seqüência de matrizes invertíveis n x n. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear Olimpica
on 07.03.04 14:24, Nicolau C. Saldanha at [EMAIL PROTECTED] wrote: > On Sun, Mar 07, 2004 at 09:55:53AM -0300, Johann Peter Gustav Lejeune > Dirichlet wrote: >> Sao so umas duvidas mesmo...E como posso arranjar >> material para treinar essas coisas na OBM >> universitaria? > > Na verdade eu também gostaria de ser apresentado a um bom livro > de álgebra linear, algo que fosse além destes livros introdutórios > (como o do Hoffmann e Kunze, o do Lang, o do Elon) que apresentam > a teoria básica de forma satisfatória mas que são, a meu ver, > relativamente pobres em problemas "olímpicos" (nem é a isso que > os autores se propuseram). Quem diz isso é o autor de vários > problemas de álgebra linear em OBMs universitárias. > > []s, N. Que tal o "Problems and Theorems in Linear Algebra" por V.V.Prasolov, editado pela AMS? Eh um que eu pretendo olhar com mais calma tao logo esteja dominando o conteudo do Elon. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Obrigado a todos! A solucao que voces me enviaram sao mais ou menos parecidas (com excessao da que utiliza variaveis complexas, que infelizmente não posso apreciar ainda). Vi outra parecida tambem no livro do Apostol (volume 2). E quem quiser uma direto pelo Wronskiano (identificando uma matriz de Vandermonde) leia no livro do Rabenstein!! mais uma vez obrigado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
Em tempo, este problema está no livro do Elon.
Lá ele dá uma sugestão de como resolver que é basicamente a seguinte.
=
Suponha por absurdo que a coisa seja falsa e tome um contra-exemplo
com n mínimo, isto é, temos a1 < a2 < ... < an, todos os ci diferentes de 0 e
f(x) = c1 e^(a1 x) + ... + cn e^(an x)
identicamente nula. Se f é identicamente nula então g(x) = e^(-a1 x) f(x)
também é donde podemos supor a1 = 0 < a2 < ... < an.
Derivando f temos
f'(x) = a2 c2 e^(a2 x) + ... + an cn e^(an x)
que também é identicamente nula mas tem menos termos, o que é uma contradição.
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, Sep 20, 2003 at 08:49:39AM -0700, niski wrote:
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
>
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então
> seria L.I certo?
Não está errado; há várias soluções.
=
A minha favorita é olhar o comportamento em infinito.
Desculpe mas vou tirar os [] da sua notação.
Suponha sem perda a1 < a2 < ... < an. Suponha por absurdo que
f(x) = c1 * e^(a1 x) + ... + cn * e^(an x) seja identicamente igual a 0
com pelo menos um dos coeficientes não nulo, sem perda cn.
Assim
lim_{x -> infinito} e^(-an x)*f(x) = cn
mas por outro lado como f(x) = 0 temos cn = 0.
=
Outra solução é por variável complexa.
A função f(z) = c1 * e^(a1 z) + ... + cn * e^(an z)
é inteira (holomorfa em C). Vamos observar a função
g(z) = e^(- ak z) * f(z)
= ck + somatório_{j diferente de k} cj * e^((aj - ak) z)
Na reta imaginária (parte real igual a 0) cada um dos termos
do somatório oscila tendo média zero. Assim o valor médio de g(z)
em um grande intervalo nesta reta é ck. Ou seja, se f é identicamente 0
então cada coeficiente é igual a 0, como queríamos provar.
=
[]s, N.
=
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=
Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
Oi, Niski:
Antes de mais nada, apenas uma observacao quanto a precisao:
Ao dizer que a(1) <> a(2) <> a(3) voce nao estah excluindo a possibilidade
de que a(1) = a(3). Assim, talvez seja melhor dizer que os a(i) sao
distintos dois a dois.
Sobre o problema em si, voce pode supor s.p.d.g. que a(1) < a(2) < ... <
a(n).
Assim, se F(x) = c_1*exp(a(1)*x) + ... + c_n*exp(a(n)*x) eh a funcao
identicamente nula, entao:
G(x) = exp(-a(n)*x)*F(x) tambem eh a funcao identicamente nula.
Fazendo x -> + infinito, teremos que G(x) -> c_n (por que?), o que implica
que c_n = 0.
Repetindo o mesmo procedimento mais n-1 vezes voce conclui que cada c_i eh
igual a zero ==>
o conjunta A eh L.I.
Um abraco,
Claudio.
=
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=
RE: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Um livro de Algebra Linear de que gosto muito eh o do Sege Lang. Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Oi Niski,
Acho que podemos provar da seguinte maneira:
Como a funcao e^(a_1*x) jamais se anula, a proposicao eh valida para
n=1.
Suponhamos agora que seja valida para algum natural n e admitamos, por
via de contradicao, que nao seja valida para n+1. Temos entao que
existem c_1,...c_n, c_n+1, nao todos nulos, tais que
c1*e^(a_1*x)...+...c_n*e^(a_n*x) + c_n+1*e^(a_n+1*x) = 0 (1) para todo
real x. Dado que, para n, o conjunto, por hipotese, eh L.I., segue-se
entao, necessariamente, que c_n+1<>0 e que nem todos os c_1,...c_n sao
nulos. Para ver isto, observemos que, se c_n+1=0, entao, como para n o
conjunto eh L.I., a unica forma de satisfazer a (1) seria termos tambem
c_1=...c_n=0, e todos os c1,...c_n+1 seriam nulos. E como c_n+1<>0,
anulando-se todos os c_1,...c_n nao poderiamos satisfazer a (1).
Temos entao que c_n+1*e^(a_n+1)x = -c_1*e*(a_1*x) -c_n*e^(a_n*x)(2)
para todo real x. Diferenciando-se os 2 membros, temos, para todo real
x, que a_n+1*c_n+1*e^(a_n+1*x) = -a_1*c_1*e*(a_1*x)
-a_n*c_n*e*(a_n*x) (3).
Se a_n+1<>0, entao, combinando-se (2) e (3), temos, tambem para todo
real x, que Soma (i=1,n) [(a_i*c_i)/(a_n+1*c_n+1)-(c_i/c_n+1)]e^(a_i)*x
=0 --> Soma (i=1,n) (c_i/c_n+1)*(a_i/a_n+1 -1))*e^(a_i*x) =0 (4). Como
os numeros a_1,...a_n+1 sao distintos 2 a 2, entao a_i/a_n+1 -1 <>0 para
todo i=1,...n; e como os numeros c_i, i=1, 2...n nao sao todos nulos,
segue-se que pelo menos um dos coeficientes das funcoes exponenciais na
soma de (4) nao eh nulo. Isto, porem, contraria a hipotese de que, para
n, o conjunto ek L.I.
Se a_n+1=0, entao nenhum dos a_1,...a_n eh nulo, e (3), cujo primeiro
membro se anula, nos mostra que, para n, o conjunto nao eh L.I, mais uma
vez uma contradicao.
Concluimos assim que, se o conjunto for L.I. para algum natural n,
tambem o serah para n+1. Dado que ele eh L.I, para n=1, a inducao fica
completa, comprovando-se a afirmacao feita.
Abracos
Artur
Logo, (a_n+1-1)c_n+1*e^(a_n+1*x) = c_1(1-a_1)*e^(a_1x)...+..
c_n(1-a_n)*e^(a_nx) (2). Se a_n+1<>1, entao o primeiro membro de (2)
nunca se anula e, para satisfazer a esta igualdade,
Se a_n+1<>0, entao e^(a_n+1*x)=
(1/(a_n+1*c_n+1))*[-a_1*c_1*e^(a_1*x)...- a_n*c_n*e^(a_n*x) e,
consequentemente,
Se a_n+1 <>0, entao, para todo x real, temos que
(1/c_n+1)*[(a_1*c_1/a_n+1*c_n+1 -c1)*e^(a_1*x)
Original Message-
> From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:owner-obm-
> [EMAIL PROTECTED] On Behalf Of niski
> Sent: Saturday, September 20, 2003 12:50 PM
> To: [EMAIL PROTECTED]
> Subject: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
>
> Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
> resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
> Bom estou com o seguinte problema
> Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
> elevado a a indicie n vezes x)
> onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
> Prove que A é L.I.
>
> Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo
então
> seria L.I certo?
> Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios
e
> trocas de sinais malucos...sem resultado..
> Alguem poderia provar por gentileza?
> Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
> algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
> Agradeco antecipadamente.
>
> Niski
>
>
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Oi Niski,
Eu acho que dá pra fazer pelo wronskiano mesmo. Vamos lá:
Derivando e^(a(j).x) i vezes, ficamos com a(j)^i.e^(a(j).x). Logo:
W= W(e^(a(1).x),...,e^(a(n).x))= det((a(j)^(i-1).e^(a(j).x)), onde i representa
a linha e j a coluna. Agora observe que todos os elementos da coluna j têm
e^(a(j).x). Logo podemos colocar esse valor para fora do determinante. Fazendo
isso com todas as colunas, ficamos com
W= e^(a(1).x)...e^(a(n).x).det(a(j)^(i-1))
Mas det(a(j)^(i-1)) é o determinante de Vardemont dos números a(1),...,a(n),que
é igual
Prod(1<=i0, para todo k, segue que W é diferente de zero, como queríamos
demonstrar.
Ateh mais,
Yuri
-- Mensagem original --
>Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
>resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
>Bom estou com o seguinte problema
>Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
>elevado a a indicie n vezes x)
>onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
>Prove que A é L.I.
>
>Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então
>
>seria L.I certo?
>Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios e
>trocas de sinais malucos...sem resultado..
>Alguem poderia provar por gentileza?
>Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
>algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
>Agradeco antecipadamente.
>
>Niski
>
>=
>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>=
>
[]'s, Yuri
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Re: [obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
On Sat, 20 Sep 2003 08:49:39 -0700, niski <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
Bom estou com o seguinte problema
Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
elevado a a indicie n vezes x)
onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
Prove que A é L.I.
Hmmm, acho que indução resolve o problema. Suponha que este conjunto seja
LI quando tem n-1 elementos. Vamos olhar para o caso de n elementos. Se
este conjunto fosse LD, existiriam numeros c_i reais (estou supondo que o
corpo é o corpo dos reais), nem todos nulos, tais que
c_1 * e^(a_1*x) + c_2 * e^(a_2*x) + ... + c_n * e^(a_n*x) = 0
Bom, c_n nao pode ser zero, pois neste caso todos os c_i o seriam (o
conjunto de n-1 elementos é LI por hipotese). Entao podemos isolar a última
parcela desta soma e obter e^(a_n*x) como combinação linear dos outros
vetores. Resumindo, poderíamos escrever e^(a_n*x) como combinação linear
dos outros vetores.
e^(a_n*x) = soma ( -(c_i/c_n) * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) )
ou
e^(a_n*x) = soma ( b_i * e^(a_i*x), 1<=i<=(n-1) ) onde b_i = -(c_i/c_n)
Mas isto é um absurdo porque esta igualdade vale para todo x real. A idéia
é que temos poucos graus de liberdade (os n-1 coeficientes b_i) para
satisfazer muitas igualdades. Escolhendo n valores espertos para x,
descobriremos que não existem os tais coeficientes b_i que satisfaçam todos
os nossos pedidos. Logo, quaisquer que sejam os coeficientes b_i, sempre
existe algum ponto na função e^(a_n*x) que não é atingido pelo lado direito
da igualdade. Então conjunto em questão (de n elementos) deve ser LI.
Resta apenas mostrar que este conjunto é LI para n = 1 (caso base da
indução). Mas
c * e^(a_1*x) = 0 => c = 0 ou e^(a_1*x) = 0 => c = 0.
[]s
Felipe Pina
=
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[obm-l] Algebra linear : Wronkisano e indicacao de livro
Ola pessoal. Inicialmente, agradeco ao incansavel Claudio Bufarra pela
resolucao lá da equacao da involute da circunferencia.
Bom estou com o seguinte problema
Seja A = {e^a[1].x, e^a[2].x, e^a[3].x, ..., e^a[n]x} *(obs lê-se e
elevado a a indicie n vezes x)
onde a[1] != a[2] != ... != a[n] e pertencem a R.
Prove que A é L.I.
Eu pensei em contruir o Wronskiano e se ele for identicamente nulo então
seria L.I certo?
Eu tentei utilizar a definicao de determinante com aqueles somatorios e
trocas de sinais malucos...sem resultado..
Alguem poderia provar por gentileza?
Aproveito o ensejo para pedir aos membros da lista referencias sobre
algebra linear e equacoes diferenciais (lineares).
Agradeco antecipadamente.
Niski
=
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Re: [obm-l] Algebra Linera
> Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um > conjunto X linearmente independente com n vetores desse > espaço. > é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do > espaço vetorial V ? > ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer > conjunto de vetores LI com n vetores será uma base desse > espaço? É sim, quaisquer n vetores LI dentro de um espaço vetorial de dimensão n formam uma base para esse espaço. E, reciprocamente, toda base desse espaço vai ser formada por n vetores LI. Abraço, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linera
Prezado felipe, muito obrigado pela sua atenção.
creio que na minha primeira pergunta eu não fui claro.
Sem problemas. Se me permite vou fazer uma tentativa...
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um conjunto X
linearmente independente com n vetores desse espaço.
é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do espaço vetorial V ?
ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer conjunto de vetores LI
com n vetores será uma base desse espaço?
Seja X o conjunto LI de n vetores(x_i, i=1..n). Como dim(V) = n, sabemos
que qualquer conjunto com mais de n elementos será LD. Seja v um elemento
de (V-X) nao nulo e seja Y = X U {v}. Entao Y é LD.
=> Existem a_i, i=1..(n+1) no corpo (o coitado nao ganhou nem um nome) nao
todos nulos tais que
soma( a_i*x_i, i=1..n ) + a_(n+1)*v = 0
Suponha a_(n+1) = 0, entao a_i = 0 para 1<=i<=n pois X é LI.
Isto contradiz o fato de nem todos os a_i serem nulos. Logo a_(n+1) != 0.
Entao v = (1/a_(n+1)) * (-soma(a_i*x_i,i=1..n)) = soma( -(a_i/a_(n+1)) *
x_i, i=1..n ).
Ou seja, v pertence ao conjunto gerado por X. Obviamente qualquer vetor em
X também pode ser gerado por X. Ah, e o vetor nulo também... Então qualquer
elemento de V pode ser gerado por X.
Isto, juntamente com o fato de X ser LI significa que X é uma base. H,
será que isto vale também para espaços de dimensão infinita ?
Espero ter ajudado e nao ter cometido nenhum engano.
[]s
Felipe
=
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=
Re: [obm-l] Algebra Linera
Prezado felipe, muito obrigado pela sua atenção.
creio que na minha primeira pergunta eu não fui claro.
é o seguinte:
Sendo V um espaço vetorial de dimensão n. Se tomarmos um
conjunto X linearmente independente com n vetores desse
espaço.
é possível afirmar que esse conjunto X é uma base do
espaço vetorial V ?
ou seja num espaço vetorial de dimensão n qualquer
conjunto de vetores LI com n vetores será uma base desse
espaço?
se esta afirmação for falsa,gostaria, se possível, de um
exemplo.
mais uma vez obrigado pela sua ajuda.e desculpe pela
má redação da pergunta feita na primeira vez.
um abraço forte.
joão nakamura.
(se o conjunto X tiver m On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -
0300, nakamuraj <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> > Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que
voces estão me
> > dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Dom
ingos.
> >
> > Gostaria de perguntar o seguinte:
> >
> > Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
> >
> > a)
Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base d
esse espaço?
> > ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse
espaço de dimensão
> > n?.
>
>Nao, pode existir algum vetor em V que não é combina
ção linear dos
> vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (so
bre R) e em {(1,0,0)
> ,
(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera
R^3 pois não
> existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*
(1,0,0) + b*(0,1,0) =
> (0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da fun
ção abaixo :
>
> f : R^m (m-upla de coeficientes reais )-
> R^n (espaco vetorial)
>
> f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio
( r_i * x_i, 1<=i<=m )onde m é a
> cardinalidade de X (m<=n senao X nao seria LI)
>
> mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode se
r escrito como CL
> dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da fun
cao f).
>
> X é base <=> f é bijetora
>
> >
> > b)
É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que
gere um espaço
> > de dimensão n?
>
> Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre exist
e uma base). Entao X
> tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais ve
tores a X e este vai
> continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes
já geravam V. O
> único problema é que X não será mais uma base ( vc perd
e a injetividade
> acima - X passa a ser LD ).
>
>
> > desde agradeço a colaboração de voces.
> >
> > joão Nakamura
> >
> >
> >
> >
> > _
_
> >
> >
> > Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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> >
> >
> > =
> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar
a lista em
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lista em
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Re: [obm-l] Algebra Linera
On Tue, 16 Sep 2003 06:48:21 -0300, nakamuraj <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me
dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos.
Gostaria de perguntar o seguinte:
Seja V um espaço vetorial de dimensão n.
a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço?
ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão
n?.
Nao, pode existir algum vetor em V que não é combinação linear dos
vetores deste conjunto LI. Pense em R^3 com sendo V (sobre R) e em {(1,0,0)
,(0,1,0)} como sendo X. É claro que X é LI, mas X não gera R^3 pois não
existem coeficientes a,b pertencentes a R tais que a*(1,0,0) + b*(0,1,0) =
(0,0,1). A propriedade LI significa injetividade da função abaixo :
f : R^m (m-upla de coeficientes reais )-> R^n (espaco vetorial)
f(r_1,r_2,...,r_m) = Somatorio( r_i * x_i, 1<=i<=m )onde m é a
cardinalidade de X (m<=n senao X nao seria LI)
mas isto nao quer dizer que todo vetor em V pode ser escrito como CL
dos m vetores em X (isto seria a sobrejetividade da funcao f).
X é base <=> f é bijetora
b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espaço
de dimensão n?
Sim. Suponha que X seja uma base para V (sempre existe uma base). Entao X
tem n vetores e X gera V. Voce pode acrescentar mais vetores a X e este vai
continuar gerando V pois aqueles n que estavam lá antes já geravam V. O
único problema é que X não será mais uma base ( vc perde a injetividade
acima - X passa a ser LD ).
desde agradeço a colaboração de voces.
joão Nakamura
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Felipe Pina
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[obm-l] Algebra Linera
Antes de mais nada gostaria de agradecer a ajuda que voces estão me dando.em especial ao Domingos Jr pela ajuda.valeu Domingos. Gostaria de perguntar o seguinte: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. a)Um conjunto LI de vetores será necessariamente uma base desse espaço? ou ainda nem todo conjunto LI de n vetores gera esse espaço de dimensão n?. b)É possível termos um conjunto de m vetores LD ( m>n) que gere um espaço de dimensão n? desde agradeço a colaboração de voces. joão Nakamura __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear [u]
Domingos, > 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v > = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. > > (u*v)*w = [(1/2)u + (1/2)v]*w = 1/2.[(1/2)u + (1/2)v] + 1/2.w = > 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w > > do outro lado: > u*(v*w) = u*[(1/2)v + (1/2)w] = 1/2.u + 1/4v + 1/4w > 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w = 1/2.u + 1/4v + 1/4w > > logo > (u*v)*w = u*(v*w) > <=> > 1/4.u + 1/2.w = 1/2.u + 1/4w > <=> > 1/4.u = 1/4w > <=> u = w Resolvi exatamente dessa forma, mas achei que poderia estar errado. Queria uma opinião. > 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 > (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v > = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações > que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas > e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, > ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . > > é bastante coisa pra mostrar e todas elas são razoavelmente simples! > a definição é bem simples: > > soma: > (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) > mult. por escalar: > lambda*(v1, v2) = (lambda*v1, lambda*v2) É, eu queria realmente se essas definições usuais funcionavam. Eram basicamente essas duvidas, daqui pra frente eu sei que seguir... Agradeço muito. Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Algebra Linear [u]
Pessoal, gostaria de uma ajuda nesses exercícios. 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. (u*v)*w = [(1/2)u + (1/2)v]*w = 1/2.[(1/2)u + (1/2)v] + 1/2.w = 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w do outro lado: u*(v*w) = u*[(1/2)v + (1/2)w] = 1/2.u + 1/4v + 1/4w 1/4.u + 1/4.v + 1/2.w = 1/2.u + 1/4v + 1/4w logo (u*v)*w = u*(v*w) <=> 1/4.u + 1/2.w = 1/2.u + 1/4w <=> 1/4.u = 1/4w <=> u = w 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . é bastante coisa pra mostrar e todas elas são razoavelmente simples! a definição é bem simples: soma: (u1, u2) + (v1, v2) = (u1 + v1, u2 + v2) mult. por escalar: lambda*(v1, v2) = (lambda*v1, lambda*v2) [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra Linear [u]
Pessoal, gostaria de uma ajuda nesses exercícios. 1. Defina a média u*v entre dois vetores u,v no espaço vetorial E pondo u*v = (1/2)u + (1/2)v. Prove que (u*v)*w = u*(v*w) se, e somente se, u = w. 2. Dados os espaços vetoriais E1, E2, considere o conjunto E = E1 x E2 (produto cartesiano de E1 por E2), cujos elementos são os pares ordenados v = (v1, v2), com v1 pertencente a E1 e v2 pertecente a E2. Defina operações que tornem E um espaço vetorial. Verifique a validez de cada um dos axiomas e mostre que sua definição se estende para o caso de n espaços vetoriais E1, ..., En, ou mesmo de uma sequência infinita E1, E2, ..., En, ... . Qualquer ajuda é bem-vinda. Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra
Será que alguem poderia me ajudar com este problema de algebra? Serei grato!! Encontre uma série central para os grupos D4 e S4 Marcos Neves __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] algebra linear II
qual seria um bom livro de algebra linear II jah q estou indo para o 2º período ? obrigado. []´s. Adriano. __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ALGEBRA VETORIAL (Questão)
Caros amigos da lista tentem resolver essa para mim: 1)Uma cônica é descrita pela função vetorial: X(t) = a cosh(t)E1 + b senh(t)E2 Onde a e b são constantes positivas, e senh(t) = e t e t /2 cosh(t) = e t + e t /2 a) Tomando X = (x,y) determine a equação cartesiana da cônica. b) Calcule a curvatura k = ||T´|| / ||X´|| no ponto X = (a,0). Não foi dado na questão mas pressuponho que ||T´|| = X´(t) / ||X´(t)||muito obrigado Felipe GastaldoYahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
> Recomendo _muito_ o "Linear Algebra and its Applications" do Gilbert Strang. Para aprender os conceitos, gostei bastante do "Algebra Linear" do Elon Lages Lima. Excelente com definições, demonstrações e tal. Mas pra aprender a fazer continhas, gostei muito do Algebra Linear, da Coleção Schaum. O autor é o Lipschutz. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Felipe, Recomendo _muito_ o "Linear Algebra and its Applications" do Gilbert Strang. Diego, que adora alcunhas em inglês. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Talvez eu vá repetir algo,mas vamos
lá:
Sejam o espaço vetorial S={u1,u2,u3,...un} e
V={w1,w2,w3,...,wm} um conjunto tal que qualquer uj pertencente a S pode ser
escrito como uma combinação linear dos elementos de V.Assim,V gera S,ou
seja,S=[V].Quando acontecer de V estar contido em S,ou seja, cada
wi for igual a um certo uj,V continuar gerando S e V for um conjunto
linearmente independente,então V é uma base de S.
A grosso modo,diria que V é uma base de S quando
possui os vetores "fundamentais" para a "construção" de qualquer vetor do
conjunto S que vc queira .É como se os vetores de V fossem as "cores
fundamentais" a partir dos quais obtemos todas as outras "cores" (elementos de
S).
Espero ter ajudado.
Eder
- Original Message -
From:
Felipe Gastaldo
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, July 13, 2003 12:07
PM
Subject: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Caros colegas da lista eu estou tendo um curso dealgebra
vetorial e o professor definiu BASE, mas eunaum consigo entender, já
li a definição do livroApostol e tb naum entendi gostaria que alguem
pudesseme dar uma definição clara e simples sobre BASE.muito obrigado
Felipe Gastaldo
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[obm-l] ALGEBRA VETORIAL, 2
Esta questão caiu na minha prova e como meu professor não soltou o gabarito gostaria de ver algumas soluções: 1)Uma conica é descrita pela função vetorial X(t) = a coshE1 + β senh(t)E2 Onde a e β são constantes positivas, e senh = et e -t 2 cosh = et e -t 2 a) Tomando X = (x,y), determine a equação cartesiana da cônica. b) Calcule a curvatura ĸ = ||T´|| / ||X´|| no ponto X = (a , 0) Obrigado Felipe Gastaldo Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
Re: [obm-l] ALGEBRA VETORIAL
> Caros colegas da lista eu estou tendo um curso de > algebra vetorial e o professor definiu BASE, mas eu > naum consigo entender, já li a definição do livro > Apostol e tb naum entendi gostaria que alguem pudesse > me dar uma definição clara e simples sobre BASE. > muito obrigado > Felipe Gastaldo Felipe, A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes. Como o nome indica, é possível escrever todos os outros vetores desse espaço como combinação linear dos vetores da base. Como você deve ter visto no seu livro, a base GERA o espaço vetorial. É um conceito bem simples. Vejamos um exemplo: No R^3, temos a base canônica (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1). Vemos que esse conjunto de vetores claramente é l.i. Agora, peguemos um vetor qualquer no R^3, digamos, (2, 5, 9) e tentemos escrevê-lo como combinação linear dos vetores da base. Precisam existir a, b e c tais que: a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (2,5,9) ==> (a,0,0) + (0,b,0) + (0,0,c) = (2,5,9) ==> (a, b, c) = (2,5,9) Portanto, a = 2, b = 5, c = 9. E, dessa forma, todos os vetores do R^3 podem ser escritos como combinação dos vetores da base canônica. Ou seja, esses três vetores tem a propriedade de "criarem" todo o R^3. Agora, preste atenção numa coisa: a base de um espaço não é única. Você tem um conceito chamado "dimensão de um espaço de vetorial" que nada mais é o número de vetores da base, que te diz que, num espaço de dimensão N, qualquer conjunto l.i. de N vetores pode ser uma base para este espaço. No caso de R^3 (dimensão 3), você percebeu que a base canônica só tem 3 vetores mesmo. Se colocássemos mais um naquele conjunto, ele fatalmente seria combinação linear dos outros. E qualquer conjunto l.i. de 3 vetores será uma base para o R^3, ou seja, pode gerar esse espaço. Espero que tenha entendido bem. Qualquer outra duvida, estamos aí. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ALGEBRA VETORIAL
Caros colegas da lista eu estou tendo um curso de algebra vetorial e o professor definiu BASE, mas eu naum consigo entender, já li a definição do livro Apostol e tb naum entendi gostaria que alguem pudesse me dar uma definição clara e simples sobre BASE. muito obrigado Felipe Gastaldo ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] algebra
1) Ponha y=x-6: (y+5)(y+3)(y+1)(y-1)(y-3)(y-5) = -225 (y^2 - 25)(y^2 - 9)(y^2 - 1) = -225 Ponha agora u=y^2: (u - 25)(u - 9)(u - 1) = -225, i.e, u^3 - 35u^2 + 259u - 225 = -225 Isso da uma solucao u = 0, e as outras sao as solucoes de u^2 - 35u + 259 = 0... Pronto, agora eh facil voltar para encontrar y e x. 2) o 3o eh realmente 6*9?? Acho que nao. Se for 13/6*8, use que 2/[2k*(2k+2)] = [1/(2k) - 1/(2k+2)] Nesse caso, sua soma eh (13/2) * (1/2-1/4+1/4-1/6+1/6-1/8+...+1/50-1/52) = (13/2)*(1/2-1/52) = 13/4 - 1/8 = 25/8 3) Observe que a²+4ab+6ac+4b²+12bc+9c² = (a+2b+3c)^2 4) x^2 - (z-y)^2 + (x+y-z) = (x-z+y)(x+z-y) + (x+y-z) = (x+y-z)(x+z-y+1) t+ - Original Message - From: Daniel Pini To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 01, 2003 10:22 PM Subject: [obm-l] algebra (x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)(x-11)= -225 x pertence a (1,11) Sabendo-se que a identidade (ax+by)/xy = a/y + b/x é verdadeira para quaisquer números reais a, b, x diferente de 0, o valor de 13/2*4 + 13/4*6 + 13/6*9 + ... + 13/50*52? a)25/16 b)25/12 c)25/8 d)25/4 e)25/2 Calcule: (a²+4ab+6ac+4b²+12bc+9c²)^1/2 Fatore: x²-y²-z²+2yz+x+y-z
[obm-l] algebra
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)(x-9)(x-11)= -225 x pertence a (1,11) Sabendo-se que a identidade (ax+by)/xy = a/y + b/x é verdadeira para quaisquer números reais a, b, x diferente de 0, o valor de 13/2*4 + 13/4*6 + 13/6*9 + ... + 13/50*52? a)25/16 b)25/12 c)25/8 d)25/4 e)25/2 Calcule: (a²+4ab+6ac+4b²+12bc+9c²)^1/2 Fatore: x²-y²-z²+2yz+x+y-z
Re: [obm-l] Algebra
[EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Soh nao entendi uma coisa na resolucao abaixo. Por que nao foi considerado na resolucao a parte do enunciado que fala que o colecionador separou as moedas tambem de 6 em 6. Ou seja, por que nao colocou n= 6c + 4 => 3 divide n-4 ? Um colecionador de moedas pretendeu separa-las de 6 em 6; 12 em 12 ou de 18 em 18, mas sempre, sobraram 4 moedas. Contou-as todas e verificou que elas eram mais de 118 e menosde 180. quanto ao numero de moedas, pode-se afirmar que se representamos na base 5 o numero de moedas eh Resp: 1043 n eh o numero de moedas. n = 12a + 4 => 4 divide n-4 n = 18b + 4 => 9 divide n-4 logo 4*9=36 divide n-4. O unico multiplo de 36 no intervalo eh 144, e n = 148. Ai eh soh passar para a base 5. Olá, Rafael. A informação de que irão sobrar 4 moedas se as dividirmos em grupos de 6 é descartável. Se 12 divide n-4, então podemos concluir que 6 também divide n-4. Veja que o contrário não é necessariamente verdadeiro, ou seja, se 6 divide n-4, não se pode concluir que 12 divide n-4. Beleza? Abraço Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
