[obm-l] Re: [obm-l] Um problema interessante sobre polinômio

[Anderson Torres]

Em 12 de fevereiro de 2017 20:46, Artur Costa Steiner
 escreveu:
> Oi amigos! Acho esse interessante.
>
> Mostre que o polinÃīmio
>
> P(x) = 793 x^(248) + 678 x^(197) - 984 x^(141) - 497 x^(98) + 2546 x^(87) - 
> 3251
>
> nÃĢo tem nenhuma raiz na qual as partes real e imaginÃĄria sejam ambas  
> racionais.
>

Algumas ideias preliminares:
Como este é um polinômio de coeficientes reais, suas raízes complexas
são pareadas. E se p,q são racionais, as raízes de x^2-2px+(p^2+q^2)=0
são os complexos p+qi e p-qi.

Mas, como reduzir?

> Abraços.
>
> Enviado do meu iPad
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =
> Instruįões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Um problema interessante sobre polinômio

[Artur Costa Steiner]

Oi amigos! Acho esse interessante. 

Mostre que o polinômio 

P(x) = 793 x^(248) + 678 x^(197) - 984 x^(141) - 497 x^(98) + 2546 x^(87) - 3251

não tem nenhuma raiz na qual as partes real e imaginária sejam ambas  racionais.

Abraços. 

Enviado do meu iPad
-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.


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[obm-l] RE: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel

[Paulo Santa Rita]

Olá Bouskela e demaiscolegas desta lista ... OBM-L,
Tão simples ! Tão simples quanto afirmar que para todo natural N  2 não existe 
inteiros A, B e C tais que A^N  +  B^N  =  C^N  ? A beleza e a profundida estão 
justamente na simplicidade ... O enunciado é pitoresco e talvez por isso mesmo 
dá origem a diversas interpretações. Vou enunciar aqui os pressupostos que 
entendo estarem contidos no enunciado da questão :
1) a expressão correnteza desprezível significa que se o nadador resolver 
boiar, ele ficará parado. Sem essa hipótese o problema torna-se trivial, pois 
caso a correnteza fosse significativa, bastaria ele boiar e observar a direção 
em que corre o rio. A seguir, tomando qualquer outra direção não paralela, 
bastaria nadar sempre nesta direção que necessariamente chegaria à margem.
2) com escuridão ou peixes vorazes devoram os olhos o criador da questão 
quer dizer que o nadador pode saber que fez uma curva para a direita ou para a 
esquerda EM RELAÇÃO A DIREÇÃO ANTERIOR, mas não é capaz de calcular o valor 
exato do ãngulo que esta nova direção tem com a anterior. Esta hipótese também 
é necessária, sob pena, mais uma vez, do problema tornar-se trivial ...
Acho razoável supor o seguinte :
3) O nadador nada a velocidade constante em cada trecho retilineo, digamos, 1 
braçada/segundo. 4) O nadador, até por ser nadador, sabe o quanto avança em 
cada braçada, digamos, 1 braçada avança 50 cm
Agora considere a seguinte situação :
Ao ficar cego, ele dá um numero arbitrário de braçadas, digamos, K braçadas. 
Toma então uma nova direção. Nesta nova direção ele dá novamente K braçadas e 
para ( bóia ). Temos aqui um triangulo isósceles ( lados : K braçadas, k 
braçadas, distancia ao ponto original fornecido pelo sistema de navegação ).
Se podemos supor que o nadador é também um Matemático não-medíocre, ele esta 
neste momento boiando e analisando o triãngulo acima - do qual conhece as 
medidas dos três lados - e projetando o que deverá fazer para atingir uma 
margem ...

É preciso parar aqui e esperar a próxima manifestação do Bouskela neste 
sentido, pois introduzi muitas hipóteses e bem pode suceder que algumas delas 
não estejam no rol daquelas admitidas pelo criador da questão. De qualquer 
forma, afirmo que gostei da questão e gostaria de pensar um pouco mais sobre 
ela.
Um Abraço a todosPSR, 620051109AA From: bousk...@msn.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel
Date: Thu, 19 May 2011 15:54:18 -0300



Olá a todos, Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) 
permanece em aberto.  Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um 
nadador?) em um ponto qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza 
desprezível, comprimento infinito e largura finita. Subitamente, peixes 
extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado nadador, ou, com menos 
drama, cai a noite absolutamente escura. Qual é a trajetória que o nadador deve 
trilhar, i.e., nadar, para atingir – seguramente – uma das margens, nadando a 
menor distância possível? Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua 
cabeça, um sistema de navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição 
em relação ao ponto inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus 
olhos).  Saudações,Albert bouskelabousk...@msn.com  

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel OFF TOPIC

[Walter Tadeu Nogueira da Silveira]

Nehab

Isso mesmo. LogoWriter
REPETE 4[PF 10 GD 90]  e tínhamos o quadrado...

Boas lembranças...

Abs

Walter





--

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel OFF TOPIC

[rodrigocientista]

acredito que a trajetória parabólica minimize o trajeto, pensando-se no
problema análogo de gravitação

Em 19 de maio de 2011 22:57, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu:

 Hahaha,

 Adorei Bruno!
 Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me
 fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS!
 Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 anos
 atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um interessante
 projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era chancelada para
 apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos professores.  O velho e
 eficaz construtivismo ainda pouco usado nas escolas, mesmo hoje (neguinho
 ainda anda muito conteudista pro meu gosto).

 Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 3.11...
 na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris usual e em uma
 versão tridimensional ótima).

 Caraca!  Que viagem!

 Afetuoso abraço,
 Nehab

 Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu:

 Em aberto?

 Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva
 mínima, e continuar até chegar às margens.

 Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma
 briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos
 devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente
 encontrará a margem, não? O algoritmo seria:

 n- 1
 Enquanto não achar a margem, repita:
  - dar n braçadas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - dar n braçacas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - n- n + 1

 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as
 direções,
 esse algoritmo certamente termina em um tempo finito!

 Tem alguma falha que eu não vi nesse processo?

 Abraço!
 Bruno


 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

 msn: brunoreis...@hotmail.com
 skype: brunoreis666
 tel: +55 11 9961-7732

 http://brunoreis.com
 http://brunoreis.com/tech (en)
 http://brunoreis.com/blog (pt)

 GPG Key: http://brunoreis.com/bruno-public.key

 e^(pi*i)+1=0


 2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com

  Olá a todos,



 Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!)
 permanece
 em aberto.



 Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
 qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
 comprimento infinito e largura finita.



 Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
 nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.



 Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir
 –
 seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?



 Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
 navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao
 ponto
 inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos).



 Saudações,

 Albert Bouskela

 bousk...@msn.com




 =
 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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 =

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel

[Pedro Cardoso]

Opa, Bruno, o processo que você descreveu certamente faz o nadador achar uma
das margens.
Mas o Bouskela quer mais - ele quer saber a melhor maneira (que faz o
nadador nadar menos)
de se achar uma das margens.

Acho que isso cai para uma área da matemática que os matemáticos puros não
estudam muito
- a área de algoritmos. E esse problema tem a maior cara de *busca
exponencial*.

---

Imagine que o nadador está a uma distância N de uma das margens.
Ele deve fazer o seguinte...

x - 1
Enquanto não achar a margem, repita:
[1] Nada x metros pra frente. Volta. Nada 2x metros para trás. Volta.
[2] Nada x metros pra esquerda. Volta. Nada 2x metros pra direita. Volta.
x -  4x

As noções de frente e esquerda estão erradas no máximo 45 graus. Assim,
na pior das hipóteses o nadador vai ter que nadar sqrt(2)*N metros em uma
das direções
(agora, até fazer isso, ele nadou nessa direção várias vezes).

Note que [1] e [2] são processos independentes.

Quanto ele nada em função de N? Pense um pouco pra ver que é C*N, onde C é
uma constante.

Ignorando constantes, essa é a melhor maneira, já que mesno enxergando ele
teria que nadar 1*N
metros.

2011/5/19 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com

 Em aberto?

 Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva
 mínima, e continuar até chegar às margens.

 Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma
 briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos
 devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente
 encontrará a margem, não? O algoritmo seria:

 n - 1
 Enquanto não achar a margem, repita:
  - dar n braçadas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - dar n braçacas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - n - n + 1

 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as
 direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito!

 Tem alguma falha que eu não vi nesse processo?

 Abraço!
 Bruno


 --
 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com

 Olá a todos,



 Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!)
 permanece em aberto.



 Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
 qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
 comprimento infinito e largura finita.



 Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
 nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.



 Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir
 – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?



 Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
 navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto
 inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos).



 Saudações,

 Albert Bouskela

 bousk...@msn.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel

[Bruno França dos Reis]

Ahhh, fato. Só depois de ler sua resposta, e reler o problema do Albert, é
que vi que o problema pergunta a respeito da distância mais curta!

Abraço!
Bruno

--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2011/5/20 Pedro Cardoso pedrolaz...@gmail.com

 Opa, Bruno, o processo que você descreveu certamente faz o nadador achar
 uma das margens.
 Mas o Bouskela quer mais - ele quer saber a melhor maneira (que faz o
 nadador nadar menos)
 de se achar uma das margens.

 Acho que isso cai para uma área da matemática que os matemáticos puros
 não estudam muito
 - a área de algoritmos. E esse problema tem a maior cara de *busca
 exponencial*.

 ---

 Imagine que o nadador está a uma distância N de uma das margens.
 Ele deve fazer o seguinte...


 x - 1
 Enquanto não achar a margem, repita:
 [1] Nada x metros pra frente. Volta. Nada 2x metros para trás. Volta.
 [2] Nada x metros pra esquerda. Volta. Nada 2x metros pra direita. Volta.
 x -  4x

 As noções de frente e esquerda estão erradas no máximo 45 graus. Assim,
 na pior das hipóteses o nadador vai ter que nadar sqrt(2)*N metros em uma
 das direções
 (agora, até fazer isso, ele nadou nessa direção várias vezes).

 Note que [1] e [2] são processos independentes.

 Quanto ele nada em função de N? Pense um pouco pra ver que é C*N, onde C é
 uma constante.

 Ignorando constantes, essa é a melhor maneira, já que mesno enxergando ele
 teria que nadar 1*N
 metros.


 2011/5/19 Bruno França dos Reis bfr...@gmail.com

 Em aberto?

 Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva
 mínima, e continuar até chegar às margens.

 Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma
 briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos
 devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente
 encontrará a margem, não? O algoritmo seria:

 n - 1
 Enquanto não achar a margem, repita:
  - dar n braçadas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - dar n braçacas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - n - n + 1

 Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as
 direções, esse algoritmo certamente termina em um tempo finito!

 Tem alguma falha que eu não vi nesse processo?

 Abraço!
 Bruno


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 Bruno FRANÇA DOS REIS

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 2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com

 Olá a todos,



 Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!)
 permanece em aberto.



 Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
 qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
 comprimento infinito e largura finita.



 Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
 nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.



 Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir
 – seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?



 Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
 navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto
 inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos).



 Saudações,

 Albert Bouskela

 bousk...@msn.com

[obm-l] Um problema curioso e... insolúvel

[Albert Bouskela]

Olá a todos,

 

Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece
em aberto. 

 

Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
comprimento infinito e largura finita.

 

Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.

 

Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir –
seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?

 

Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto
inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos). 

 

Saudações,

Albert Bouskela

 mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com

 

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel

[Bruno França dos Reis]

Em aberto?

Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva
mínima, e continuar até chegar às margens.

Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma
briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos
devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente
encontrará a margem, não? O algoritmo seria:

n - 1
Enquanto não achar a margem, repita:
 - dar n braçadas para frente
 - virar 90 graus para a esquerda
 - dar n braçacas para frente
 - virar 90 graus para a esquerda
 - n - n + 1

Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções,
esse algoritmo certamente termina em um tempo finito!

Tem alguma falha que eu não vi nesse processo?

Abraço!
Bruno


--
Bruno FRANÇA DOS REIS

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2011/5/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com

 Olá a todos,



 Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece
 em aberto.



 Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
 qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
 comprimento infinito e largura finita.



 Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
 nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.



 Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir –
 seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?



 Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
 navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto
 inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos).



 Saudações,

 Albert Bouskela

 bousk...@msn.com

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema curioso e... insolúvel OFF TOPIC

[Carlos Nehab]

Hahaha,

Adorei Bruno!
Este negócio de andar (nadar) prá frente, para trás, girar, etc, etc, me 
fez fazer uma viagem no tempo, pois me lembrei do velho LOGO ainda em DOS!
Como não sei sua idade, posso estar falando japonês, mas há 1 
anos atrás (como diria o Raul Seixas), quando a IBM encampou um 
interessante projeto de Logo nas escolas, minha empresa (na época) era 
chancelada para apresentar treinamentos desta (boa) geringonça aos 
professores.  O velho e eficaz construtivismo ainda pouco usado nas 
escolas, mesmo hoje (neguinho ainda anda muito conteudista pro meu gosto).


Se não estou delirando, acho que na época ainda havia muito Windows 
3.11... na praça (mas certamente eu já era viciado no malditoTetris 
usual e em uma versão tridimensional ótima).


Caraca!  Que viagem!

Afetuoso abraço,
Nehab

Em 19/5/2011 17:23, Bruno França dos Reis escreveu:

Em aberto?

Se o nadador estivesse nadando paralelo ao rio, é só ele fazer uma curva
mínima, e continuar até chegar às margens.

Caso o nadador não saiba a direção em que estava nadando (suponhamos uma
briga com os peixes, que o deixou desorientado, antes de ter seus olhos
devorados), ele poderia nadar seguindo uma espiral, aí certamente
encontrará a margem, não? O algoritmo seria:

n- 1
Enquanto não achar a margem, repita:
  - dar n braçadas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - dar n braçacas para frente
  - virar 90 graus para a esquerda
  - n- n + 1

Como a largura é finita, e a espiral cresce de tamanho em todas as direções,
esse algoritmo certamente termina em um tempo finito!

Tem alguma falha que eu não vi nesse processo?

Abraço!
Bruno


--
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e^(pi*i)+1=0


2011/5/19 Albert Bouskelabousk...@msn.com


Olá a todos,



Uma curiosidade: – Parece-me que o problema abaixo (tão simples!) permanece
em aberto.



Um nadador está nadando (o que mais pode fazer um nadador?) em um ponto
qualquer de um rio horizontal, retilíneo, com correnteza desprezível,
comprimento infinito e largura finita.



Subitamente, peixes extremamente vorazes devoram os olhos do malfadado
nadador, ou, com menos drama, cai a noite absolutamente escura.



Qual é a trajetória que o nadador deve trilhar, i.e., nadar, para atingir –
seguramente – uma das margens, nadando a menor distância possível?



Obs.: – O malfadado nadador tem, implantado em sua cabeça, um sistema de
navegação que lhe informa, continuamente, a sua posição em relação ao ponto
inicial (o ponto no qual os peixes devoraram os seus olhos).



Saudações,

Albert Bouskela

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=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema geométrico

[Luiz Rodrigues]

Olá pessoal!!!
Muito obrigado pela ajuda!!!
Abraço para todos!
Luiz.

2009/10/23 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br

   Sai no braço.

 Imagine um ponto com sendo (0,0, 3). A partir daí, ache as coordenadas dos
 outros pontos. Os quatros pontos estão no mesmo planoAs variáveis
 deverão se cancelar...

 Abs
 Felipe

 --- Em *sex, 23/10/09, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br* escreveu:


 De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br
 Assunto: Re: [obm-l] Um problema geométrico
 Para: obm-l@mat.puc-rio.br
 Data: Sexta-feira, 23 de Outubro de 2009, 9:20


 Bem, Luiz,

 Tente uma saída percebendo que o telhado plano tem que ser um
 paralelogramo.
 (planos paralelos interceptados por plano)...

 Abraços,
 Nehab

 Luiz Rodrigues escreveu:
  Olá pessoal!!!
  Tudo bem???
  Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo?
  Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso...
  Muito obrigado!
  Um abraço para todos.
  Luiz.
 
  Um galpão tem o piso retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B,
  C e D fincam-se quatro estacas verticais. As medidas das estacas são
  3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor de x, de modo que seja possível cobrir o
  galpão com um telhado plano, que se apóie nas quatro extremidades
  superiores das estacas.
 
  =
  Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
  http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
  =
 
 

 =
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 =


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 Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 
 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/-
 Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/-
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 Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/

Re: [obm-l] Um problema geométrico

[Carlos Nehab]

Bem, Luiz,

Tente uma saída percebendo que o telhado plano tem que ser um 
paralelogramo.

(planos paralelos interceptados por plano)...

Abraços,
Nehab

Luiz Rodrigues escreveu:

Olá pessoal!!!
Tudo bem???
Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo?
Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso...
Muito obrigado!
Um abraço para todos.
Luiz.

Um galpão tem o piso retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B,
C e D fincam-se quatro estacas verticais. As medidas das estacas são
3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor de x, de modo que seja possível cobrir o
galpão com um telhado plano, que se apóie nas quatro extremidades
superiores das estacas.

=
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=

  


=
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema geométrico

[Ralph Teixeira]

Eu me lembro de um teorema da Geometria Espacial que dizia que, nestasituação, 
x+5=3+9...
Por quê? Seja A'B'C'D' o teto, com a correspondência natural com opiso ABCD. 
Seja M o centro do retângulo, e M' o ponto correspondenteno teto. No trapézio 
AA'C'C, MM' é base média; no trapézio BB'D'D, MM'é base média de novo. Então 
2.MM'=x+5=3+9.
Abraço,   Ralph
2009/10/23 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Bem, Luiz, Tente uma saída 
percebendo que o telhado plano tem que ser um paralelogramo. (planos 
paralelos interceptados por plano)... Abraços, Nehab Luiz Rodrigues 
escreveu: Olá pessoal!!! Tudo bem??? Será que alguém pode me ajudar com 
o problema abaixo? Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso... 
Muito obrigado! Um abraço para todos. Luiz. Um galpão tem o piso 
retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B, C e D fincam-se quatro 
estacas verticais. As medidas das estacas são 3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor 
de x, de modo que seja possível cobrir o galpão com um telhado plano, que se 
apóie nas quatro extremidades superiores das estacas. 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
!
= 
= 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema geométrico

[Carlos Nehab]

Pô, Ralph,

Deixava o menino ralar...  E a propósito, considerando o ano em que você 
estudou Geometria Espacial, sua memória tá ótima (hahaha)...


Abração,
Nehab

Ralph Teixeira escreveu:

Eu me lembro de um teorema da Geometria Espacial que dizia que, nestasituação, 
x+5=3+9...
Por quê? Seja A'B'C'D' o teto, com a correspondência natural com opiso ABCD. 
Seja M o centro do retângulo, e M' o ponto correspondenteno teto. No trapézio 
AA'C'C, MM' é base média; no trapézio BB'D'D, MM'é base média de novo. Então 
2.MM'=x+5=3+9.
Abraço,   Ralph
2009/10/23 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br: Bem, Luiz, Tente uma saída percebendo que o telhado plano tem que ser um paralelogramo. (planos paralelos interceptados por plano)... Abraços, 
Nehab Luiz Rodrigues escreveu: Olá pessoal!!! Tudo bem??? Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo? Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso... Muito obrigado! Um abraço 
para todos. Luiz. Um galpão tem o piso retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B, C e D fincam-se quatro estacas verticais. As medidas das estacas são 3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor de x, de modo que seja 
possível cobrir o galpão com um telhado plano, que se apóie nas quatro extremidades superiores das estacas. = Instruções para entrar na 
lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ==!

==!

= 
= Instruções para entrar na 
lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html 
=
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

  




=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema geométrico

[luiz silva]

Sai no braço.
 
Imagine um ponto com sendo (0,0, 3). A partir daí, ache as coordenadas dos 
outros pontos. Os quatros pontos estão no mesmo planoAs variáveis deverão 
se cancelar...
 
Abs
Felipe 

--- Em sex, 23/10/09, Carlos Nehab ne...@infolink.com.br escreveu:


De: Carlos Nehab ne...@infolink.com.br
Assunto: Re: [obm-l] Um problema geométrico
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Sexta-feira, 23 de Outubro de 2009, 9:20


Bem, Luiz,

Tente uma saída percebendo que o telhado plano tem que ser um 
paralelogramo.
(planos paralelos interceptados por plano)...

Abraços,
Nehab

Luiz Rodrigues escreveu:
 Olá pessoal!!!
 Tudo bem???
 Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo?
 Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso...
 Muito obrigado!
 Um abraço para todos.
 Luiz.

 Um galpão tem o piso retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B,
 C e D fincam-se quatro estacas verticais. As medidas das estacas são
 3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor de x, de modo que seja possível cobrir o
 galpão com um telhado plano, que se apóie nas quatro extremidades
 superiores das estacas.

 =
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[obm-l] Um problema geométrico

[Luiz Rodrigues]

Olá pessoal!!!
Tudo bem???
Será que alguém pode me ajudar com o problema abaixo?
Já tentei resolvê-lo várias vezes e não tive sucesso...
Muito obrigado!
Um abraço para todos.
Luiz.

Um galpão tem o piso retangular e plano. Nos seus quatro cantos A, B,
C e D fincam-se quatro estacas verticais. As medidas das estacas são
3m, 5m, 9m e xm. Ache o valor de x, de modo que seja possível cobrir o
galpão com um telhado plano, que se apóie nas quatro extremidades
superiores das estacas.

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria d os Números

[Artur Steiner]

Na realidade, o conjunto A = {(x,y) em R^2 : x  0, y  0, x e y irracionais e 
x^y racional} nao eh enumeravel.

 

Para cada transcende x  0 fixo, a função f(t) = x^t, t  0, eh continua e seu 
conjunto imagem eh (1, oo), se x  1, ou (0, 1), se 0  x  1. Fixemos um 
racional r em, digamos, (1, oo), supondo x  1. Pelo teorema do valor 
intermediario, existe um t para o qual f(t) = x^t = r. Assim, t = log r (base 
x), com x  1. Como esta função logaritmica é estritamente decrescente, para 
diferentes valores de x obtemos diferentes valores de t. Verificamos também que 
cada um destes números t eh irracional, pois transcendente elevado a racional 
não nulo é sempre transcendente. Um raciocínio similar vale se x for um 
trannscendente em (0, 1). 

Como todo transcendente é irracional, existe, desta forma, uma bijecao entre um 
subconjunto de B de A e o conjunto dos trannscendentes positivos. Como este 
último não é enumerável, segue-se que B - e, portanto, A - não são enumeráveis.

Vemos, também, que em cada (x,y ) de A, x é transcendente. Se x fosse 
algebrico, o teorema de Gelfond/Scheneider implicaria que x^y, contrariamente 
aa hipotese, fosse irracional.

 

Artur

 


 


Date: Sun, 5 Apr 2009 02:57:26 -0300
From: ne...@infolink.com.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da 
Teoria dos Números

Oi, Bouskela, 

Este é outro Ponce  O que você imaginou é MUTO, mas MUITO mais velho mesmo. 
 Quase tanto quanto eu ...  Hahaha.

Abraços,
Nehab

Albert Bouskela escreveu: 






Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!
 
Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que não 
se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles existem.
 
É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
 
Albert Bouskela
bousk...@gmail.com
bousk...@ymail.com
 



From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf 
Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números
 

Tome x=y=sqrt(2). 

Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é 
irracional. 

Neste caso,

 

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 

 

que é racional, e o problema está resolvido.

 

^^

2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com





Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais que  
x^y  é RACIONAL.

Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 

Saudações,

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com
 



Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - 
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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm -l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema cl ássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Caríssimo Vidal:

 

Agradeço-lhe pelas palavras de consolo (“consolo”? Sou “espada”!), mas,
fortuitamente, estou acorrentado ao fatalismo judaico-cristão e, assim, a
cada uma das muitas vezes em que me descubro em falha de qualquer espécie,
nomeadamente a do conhecimento (ou do xadrez), lanço-me no calvário de meu
próprio martírio, a fim de abrandar a minha vaidade (que é grande!).

 

A propósito, concordo com você: ao homem – ápice da evolução darwinista ou
da criação divina (no chute, fico com a 1ª hipótese!) – deveriam ser dados 3
dons: o da onisciência holística, o da ubiquidade e o da imortalidade. Em
contrapartida, deveríamos ser vítimas das 3 maldições chinesas: “Que os seus
desejos se realizem!”; “Que você viva em uma época de interesse histórico!”;
e, como agora não me lembro da 3ª, fica aí a maldição de Asaverus, o judeu
errante. 

 

Quanto ao convite para o chope, este, é claro, já está aceito. Aproveito
para estendê-lo ao Nehab, Rogério Ponce, Ralph e demais velhinhos (se bem
que não sei se o Ralph é velhinho, contudo vale o convite!). E mais: já
proponho o Guimas, na Praça do Jockey, em alguma 6ª feira, às 19:00h.

 

Lá reunidos, sem dúvida, poderemos resolver, na pequena toalha da mesa,
todos os 6 Problemas do Milênio que ainda estão em aberto e abiscoitar, cada
um, US$ 1 milhão.

 

Saudações,

Albert.

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

 mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Monday, April 06, 2009 2:39 AM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l]
Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

Não se martirize ! Somos todos ignorantes, não no sentido pejorativo da
palavra, mas na acepção de ignorarmos, desconhecermos os milhares, talvez
milhões, de teoremas, conjecturas, problemas abertos e resultados já
existentes, afora os que estão sendo gerados neste exato momento em todo o
mundo, e os que ainda estão por vir até o fim dos nossos dias.

E se, nesta ocasião derradeira, os terroristas suicidas islâmicos são
agraciados com setenta virgens cada, talvez para nós esteja reservada como
prêmio a onisciência matemática, a fim de nos livrar de todo este martírio
terreno.

Em tempo, o Gelfond e o Schneider só fizeram a parte fácil do sétimo
problema de Hilbert, o caso de b (expoente) irracional e algébrico. Ficou
faltando a melhor parte, quando b é irracional, mas não algébrico.

Quem sabe um dia a gente não marca um chope, num destes bares com toalha de
papel na mesa, e termina o trabalho que eles deixaram inacabado?

:)

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

Olá Vidal,

 

Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse
Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir
vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert.

 

Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância.

 

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Sunday, April 05, 2009 2:36 AM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da
Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional !

Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
portanto, irracional).

Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de
Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
Matemática).

Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
(-1)^(-i).

Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.

Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.

Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer
sê-lo).

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

Olá!

 

Hummm... acho que não...

 

2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
Entretanto, é preciso demonstrá-lo.

 

A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.

 

Sds.,

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
To: OBM


Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,



x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

 

 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Carlos Nehab]

Oi, Bouskela, 

Este  outro Ponce O que voc imaginou  MUTO, mas MUITO mais
velho mesmo. Quase tanto quanto eu ... Hahaha.

Abraos,
Nehab

Albert Bouskela escreveu:

  
  

  
  
  Pois
, Ponce,  bom v-lo por aqui, saudaes!
  
  Esta
 a soluo que conheo. Um primor de Lgica Matemtica.  claro que
no se
consegue identificar nem x nem y, apenas se
descobre que eles existem.
  
  
claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...
  
  Albert
Bouskela
  bousk...@gmail.com
  bousk...@ymail.com
  
  
  
  
  From:
owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Gabriel
Ponce
  Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
  To: obm-l@mat.puc-rio.br
  Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clssico da Teoria
dos Nmeros
  
  
  
  
  Tome x=y=sqrt(2). 
  
  
  Se x^y for irracional o problema est resolvido,
caso
contrrio z=x^y  irracional. 
  
  
  Neste caso,
  
  
  
  
  
  z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 
  
  
  
  
  
  que  racional, e o problema est resolvido.
  
  
  
  
  
  ^^
  
  
  2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com
  

  


Mostre que existem pelo menos dois nmeros
IRRACIONAIS, "x" e "y", tais que x^y  RACIONAL.


No se assustem: a soluo  simples 
curta, mas requer criatividade.





Saudaes,


AB


bousk...@gmail.com


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  Veja quais so os assuntos do momento no Yahoo!
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Olá Vidal,

 

Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer esse
Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir
vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert.

 

Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância.

 

AB

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

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From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Sunday, April 05, 2009 2:36 AM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da
Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional !

Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
portanto, irracional).

Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de
Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
Matemática).

Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
(-1)^(-i).

Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.

Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.

Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer
sê-lo).

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

Olá!

 

Hummm... acho que não...

 

2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
Entretanto, é preciso demonstrá-lo.

 

A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.

 

Sds.,

AB

bousk...@gmail.com

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From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
To: OBM


Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,



x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

 

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[*Vidal]

Caro Bouskela,

Não se martirize ! Somos todos ignorantes, não no sentido pejorativo da
palavra, mas na acepção de ignorarmos, desconhecermos os milhares, talvez
milhões, de teoremas, conjecturas, problemas abertos e resultados já
existentes, afora os que estão sendo gerados neste exato momento em todo o
mundo, e os que ainda estão por vir até o fim dos nossos dias.

E se, nesta ocasião derradeira, os terroristas suicidas islâmicos são
agraciados com setenta virgens cada, talvez para nós esteja reservada como
prêmio a onisciência matemática, a fim de nos livrar de todo este martírio
terreno.

Em tempo, o Gelfond e o Schneider só fizeram a parte fácil do sétimo
problema de Hilbert, o caso de b (expoente) irracional e algébrico. Ficou
faltando a melhor parte, quando b é irracional, mas não algébrico.

Quem sabe um dia a gente não marca um chope, num destes bares com toalha de
papel na mesa, e termina o trabalho que eles deixaram inacabado?

:)

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

  Olá Vidal,



 Pois é, vivendo e aprendendo. Fiquei meio envergonhado por não conhecer
 esse Teorema de Gelfond (aliás, bem famoso e recente!). E é mesmo pra sentir
 vergonha, já que ele resolve o 7º Problema de Hilbert.



 Bem, obrigado. Mas admito: fiquei meio chateado pela minha ignorância.



 *AB*

 bousk...@gmail.com

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 *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
 Behalf Of **Vidal
 *Sent:* Sunday, April 05, 2009 2:36 AM
 *To:* OBM
 *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema
 clássico da Teoria dos Números



 Caro Bouskela,

 Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional !

 Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
 de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
 portanto, irracional).

 Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
 independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de
 Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
 Matemática).

 Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
 (-1)^(-i).

 Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
 famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.

 Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.

 Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer
 sê-lo).

 Abraços,
 Vidal.

 :: vi...@mail.com

 ***

 2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

 Olá!



 Hummm... acho que não...



 2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
 Entretanto, é preciso demonstrá-lo.



 A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
 pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
 demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.



 Sds.,

 *AB*

 bousk...@gmail.com

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 *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
 Behalf Of **Vidal
 *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
 *To:* OBM


 *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números



 Caro Bouskela,



 x = 2^sqrt(2)
 y = sqrt(2)

 x^y = 4

 Bom final de semana !

 Abraços,
 Vidal.

 :: vi...@mail.com

[obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais que  
x^y  é RACIONAL.

Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.
 
Saudações,
AB
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[obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Núm eros

[Gabriel Ponce]

Tome x=y=sqrt(2).
Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional.
Neste caso,

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2

que é racional, e o problema está resolvido.

^^

2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

   Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais
 que  x^y  é RACIONAL.
 Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 Saudações,
 AB
 bousk...@gmail.com
 bousk...@ymail.com

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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teo ria dos Números

[Felipe Diniz]

e^(ln2) =  2 ^^

2009/4/4 Gabriel Ponce gabriel.p...@gmail.com

 Tome x=y=sqrt(2).
 Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
 irracional.
 Neste caso,

 z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2

 que é racional, e o problema está resolvido.

 ^^

 2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais
 que  x^y  é RACIONAL.
 Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 Saudações,
 AB
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[obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Núm eros

[*Vidal]

Caro Bouskela,

x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Pois é, Ponce, é bom vê-lo por aqui, saudações!

 

Esta é a solução que conheço. Um primor de Lógica Matemática. É claro que
não se consegue identificar nem “x” nem “y”, apenas se descobre que eles
existem.

 

É claro que sqrt(2)^sqrt(2) leva todo o jeito de ser irracional...

 

Albert Bouskela

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

 mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of Gabriel Ponce
Sent: Saturday, April 04, 2009 4:33 PM
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Tome x=y=sqrt(2). 

Se x^y for irracional o problema está resolvido, caso contrário z=x^y é
irracional. 

Neste caso,

 

z^(sqrt(2)) = sqrt(2)^[sqrt(2)*sqrt(2)] = 2 

 

que é racional, e o problema está resolvido.

 

^^

2009/4/4 Albert Bouskela bousk...@ymail.com


Mostre que existem pelo menos dois números IRRACIONAIS, x e y, tais que
x^y  é RACIONAL.

Não se assustem: a solução é simples é curta, mas requer criatividade.

 

Saudações,

AB

bousk...@gmail.com

bousk...@ymail.com

 

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[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

[Albert Bouskela]

Olá!

 

Hummm... acho que não...

 

2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
Entretanto, é preciso demonstrá-lo.

 

A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.

 

Sds.,

AB

 mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com

 mailto:bousk...@ymail.com bousk...@ymail.com

 

From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On
Behalf Of *Vidal
Sent: Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
To: OBM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números

 

Caro Bouskela,

x = 2^sqrt(2)
y = sqrt(2)

x^y = 4

Bom final de semana !

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clá ssico da Teoria dos Números

[Gabriel Ponce]

Ola Albert.

Talvez vc esteja me confundindo com o Rogério Ponce ^^

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

  Olá!



 Hummm... acho que não...



 2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
 Entretanto, é preciso demonstrá-lo.



 A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
 pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
 demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.



 Sds.,

 *AB*

 bousk...@gmail.com

 bousk...@ymail.com



 *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
 Behalf Of **Vidal
 *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
 *To:* OBM
 *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números



 Caro Bouskela,


 x = 2^sqrt(2)
 y = sqrt(2)

 x^y = 4

 Bom final de semana !

 Abraços,
 Vidal.

 :: vi...@mail.com

[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clá ssico da Teoria dos Números

[*Vidal]

Caro Bouskela,

Mas 2^sqrt(2) parece e é bem irracional !

Aleksander Gelfond provou em 1934 que se *a* é algébrico não nulo diferente
de um e *b* é algébrico e irracional, então *a^b* é transcendente (e
portanto, irracional).

Apesar de Schneider também ter demonstrado a mesma proposição de forma
independente no mesmo ano, o resultado ficou conhecido como Teorema de
Gelfond (em mais uma destas injustiças históricas que grassam na
Matemática).

Assim, 2^sqrt(2) é irracional, assim como também o é e^pi, já que e^pi =
(-1)^(-i).

Desta forma, eles resolveram *parcialmente* o sétimo dos vinte e três
famosos problemas de Hilbert, propostos em 1900.

Mas ainda falta resolver o caso de *b* ser irracional, mas não algébrico.

Não sabemos até hoje, por exemplo, se 2^e é irracional (apesar de parecer
sê-lo).

Abraços,
Vidal.

:: vi...@mail.com

***

2009/4/5 Albert Bouskela bousk...@ymail.com

  Olá!



 Hummm... acho que não...



 2^sqrt(2)  tem, de fato, toda a aparência de um irracional, bem irracional.
 Entretanto, é preciso demonstrá-lo.



 A solução deste problema (pelo menos, a solução que eu conheço) não passa
 pela determinação (identificação) de “x” e “y”, i.e., consegue-se apenas
 demonstrar que “x” e “y” existem, mas não identificá-los.



 Sds.,

 *AB*

 bousk...@gmail.com

 bousk...@ymail.com



 *From:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *On
 Behalf Of **Vidal
 *Sent:* Saturday, April 04, 2009 3:27 PM
 *To:* OBM
 *Subject:* [obm-l] Re: [obm-l] Um problema clássico da Teoria dos Números



 Caro Bouskela,


 x = 2^sqrt(2)
 y = sqrt(2)

 x^y = 4

 Bom final de semana !

 Abraços,
 Vidal.

 :: vi...@mail.com

Re: [obm-l] Um problema de cônicas

[Nicolau C. Saldanha]

On Dec 6, 2007 4:06 PM, João Pedro de Gusmão Silva
[EMAIL PROTECTED] wrote:
 Amigos me ajudem nos seguintes exercícios:

 1) Por um ponto J exterior a uma elipse tracemos as retas tangentes à
 elipse, JM e JN, onde M e N são os pontos de tangência.  Seja P o ponto
 médio de MN, mostre que a reta JP passa pelo centro dessa cônica.

Aplique uma transformação afim para transformar a elipse em um círculo.
Note que retas tangentes são levadas em retas tangentes, centro em centro
e ponto médio em ponto médio. Note também que para um círculo o problema
é trivial.

 2) Análogo ao anterior para hipérbole.

Dá para provar por argumentos abstratos que se a coisa dá certo para toda
elipse deve necessariamente dar certo para uma hipérbole também.
Mas acho que o mais fácil é fazer por analítica. Aplique uma transformação
afim para que a hipérbole seja xy = 1.

Se o ponto J = (a,b) estiver no primeiro quadrante devemos ter ab  1.
Aplique transformação  linear da forma diagonal(c,1/c) para ver que
você pode supor que o ponto J tenha a forma (d,d), 0  d  1.
O resultado segue por simetria em relação à reta y=x.

Se o ponto J estiver no segundo quadrante a transformação linear
diz que podemos supor J = (-d,d) e agora o resultado segue
por simetria em relação à reta y=-x.

O terceiro quadrante é análogo ao primeiro e o quarto é análogo
ao segundo.

Se o ponto J estiver em um dos eixos a situação é um pouco degenerada
pois uma das tangentes vira uma assíntota e o correspondente ponto
de tangência foge para infinito. Mesmo assim dá certo.

 3) O aconteceria se a cônica fosse uma parábola?

 A reta JP fica paralela ao eixo da parábola.

N.

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Um problema de cônicas

[João Pedro de Gusmão Silva]

Amigos me ajudem nos seguintes exercícios:

1) Por um ponto J exterior a uma elipse tracemos as retas tangentes à elipse, 
JM e JN, onde M e N são os pontos de tangência.  Seja P o ponto médio de MN, 
mostre que a reta JP passa pelo centro dessa cônica.

2) Análogo ao anterior para hipérbole.

3) O aconteceria se a cônica fosse uma parábola?

Obrigado.

   
-
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[obm-l] Um problema de Probabilidade

[Anselmo Alves de Sousa]

Colegas,
 
Gostaria de ajuda com o seguinte problema:
 
 
 
Uma caixa contém v bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é selecionada ao 
acaso e sua cor é observada. A bola é recolocada na caixa e k bolas da mesma 
cor são também colocadas na caixa. Uma segunda bola é então selecionada e sua 
cor observada, e novamente, é recolocada na caixa com k bolas da mesma cor.
 
Calcule a probabilidade de que 
 
a) a primeira bola seja vermelha e a segunda branca; 
 
b) uma das bola seja vermelha e a outra branca.
_
Obtenha o novo Windows Live Messenger!
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Re: [obm-l] Um problema de Probabilidade

[ricardo_paixao_santos]

2 situacoes: 

1- 1a bola vermelha: prob: v/(v+b)
2a bola vermelha, dado que a primeira e vermelha: prob: (v+k)/(v+b+k)
2a bola branca, dao que a primeira eh vermelha: prob: b/(b+v+k)

2-1a bola branca: prob b/(b+v)
2a bola branca, dado que a primeria foi branca: prob: (b+k)/(b+k+v)
2a bola vermelha, dado que a primeira foi branca: prob: v/(b+k+v)

a) 1a vermelha e 2a branca:  v(v+b) * b/(b+v+k)
b) v e b|v ou b e v|b
: b/(b+v) * v/(v+b+k) + v/(v+b)*b/(v+b+k)=2*v*b/((b+v)(b+v+k))

Da para aplicar Bayes, mas fazendo a arvore ja resolve :)

Espero ter ajudado
Abracos
Ricarddo


  - Original Message - 
  From: Anselmo Alves de Sousa 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Thursday, April 19, 2007 6:04 PM
  Subject: [obm-l] Um problema de Probabilidade


  Colegas,
   
  Gostaria de ajuda com o seguinte problema:
   
   
   
  Uma caixa contém v bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é selecionada 
ao acaso e sua cor é observada. A bola é recolocada na caixa e k bolas da mesma 
cor são também colocadas na caixa. Uma segunda bola é então selecionada e sua 
cor observada, e novamente, é recolocada na caixa com k bolas da mesma cor.
   
  Calcule a probabilidade de que 
   
  a) a primeira bola seja vermelha e a segunda branca; 
   
  b) uma das bola seja vermelha e a outra branca.


--
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RE: [obm-l] Um problema

[Luís Lopes]

Sauda,c~oes,

Oi Ph,

O resultado vale para i=0 (a soma é igual a 1).
Vamos então considerar ki0.

Usando o resultado
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^n = 0 (i0)
o resultado a provar é
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+k-i} .

Vou mudar a notação para uma mais padrão
e provar que

S_n(m) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k+1} \frac{k}{k+m-n} =
= \frac{1} {\binom{m}{n}} (mn0).

S_n(m)=\sum_{k\geq0} n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}
pois \binom{n}{k}=\frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.

S_n(m)=\sum_{k\geq0} t_k, onde
t_k = n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}.

Então t_0=\frac{n}{m+1-n} e \frac{t_{k+1}}{t_k}=
=\frac {(k+m+1-n)(k-n+1)}{(k+m+2-n)(k+1)} .

Um resultado devido a Gauss (séries hipergeométricas)
diz que S_n(m) = t_0 \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}
{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}

com a=m+1-n ; b=-n+1 ; c=m+2-n .

Sabendo que \Gamma(p+1)=p! (p inteiro) e fazendo as
contas, vem:

S_n(m) = \frac{n}{m+1-n} \frac{(m+1-n)!(n-1)!}{m!} =
=\frac{n!(m-n)!}{m!}=\frac{1}{\binom{m}{n}}, (mn\geq0) \qed

Qual a interpretação combinatória do resultado (o Claudio iria
certamente perguntar)?

[]'s
Luís


From: Paulo Henrique Souza Lima [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm lista obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um problema
Date: Wed, 6 Dec 2006 08:15:35 -0800 (PST)

Oi pessoal,

Um problema:
Prove que

\sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},

para ki.

Este problema surgiu dentro de um problema de probabilidade. Algumas contas 
no computador sugerem que resultado está certo.


Obrigado,
Paulo


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Res: [obm-l] Um problema

[Paulo Henrique Souza Lima]

Oi pessoal,

Se eu tenho U_1,U_2,...,U_{k-i} variáveis aleatórias (v.a.) uniformes no 
intervalo [0,1] e T_1,T_2,...,T_i, v.a. uniformes no intervalo [-1,0] todas 
independentes, o evento de interesse (chamamos de E) é aquele em que a 
distancia entre todos os pontos é menor do que 1.

Para isto, basta que a distancia entre o M_1=max_ j \in{1,...,k-i} U_j e 
M_2=min_j \in{1,...,i} T_j seja menor do que 1. Observe que estas v.a. sao 
independentes e que 

P[M_1u] = u^(k-i), para 0u1. 
P[M_2v] = 1-(1-v)^j, para -1v0. 

Entao, fazendo uma transformacao simples, temos:

P[E] = \int_0^1 \int_0^{1-u} i.v^{i-1} . (k-i) . u^{k-i-1} dvdu.

Fazendo um pouco de contas, finalmente, chega-se que

P[E] = \sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},

Que é o que eu pedi para voces. Curiosamente tem uma forma fechada bonitinha.  
Nao conheco nenhum argumento combinatorio para a resolucao do problema, mas com 
um pouco de imaginacao acho que seja possivel obter. 

Muito obrigado,

Paulo



- Mensagem original 
De: Luís Lopes [EMAIL PROTECTED]
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 7 de Dezembro de 2006 10:31:22
Assunto: RE: [obm-l] Um problema


Sauda,c~oes,

Oi Ph,

O resultado vale para i=0 (a soma é igual a 1).
Vamos então considerar ki0.

Usando o resultado
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^n = 0 (i0)
o resultado a provar é
\sum_{n=0}^i \binom{i}{n} (-1)^{n+1} \frac{n}{n+k-i} .

Vou mudar a notação para uma mais padrão
e provar que

S_n(m) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{k+1} \frac{k}{k+m-n} =
= \frac{1} {\binom{m}{n}} (mn0).

S_n(m)=\sum_{k\geq0} n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}
pois \binom{n}{k}=\frac{n}{k} \binom{n-1}{k-1}.

S_n(m)=\sum_{k\geq0} t_k, onde
t_k = n \binom{n-1}{k} (-1)^k \frac{1}{k+1+m-n}.

Então t_0=\frac{n}{m+1-n} e \frac{t_{k+1}}{t_k}=
=\frac {(k+m+1-n)(k-n+1)}{(k+m+2-n)(k+1)} .

Um resultado devido a Gauss (séries hipergeométricas)
diz que S_n(m) = t_0 \frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}
{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}

com a=m+1-n ; b=-n+1 ; c=m+2-n .

Sabendo que \Gamma(p+1)=p! (p inteiro) e fazendo as
contas, vem:

S_n(m) = \frac{n}{m+1-n} \frac{(m+1-n)!(n-1)!}{m!} =
=\frac{n!(m-n)!}{m!}=\frac{1}{\binom{m}{n}}, (mn\geq0) \qed

Qual a interpretação combinatória do resultado (o Claudio iria
certamente perguntar)?

[]'s
Luís

From: Paulo Henrique Souza Lima [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm lista obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um problema
Date: Wed, 6 Dec 2006 08:15:35 -0800 (PST)

Oi pessoal,

Um problema:
Prove que

\sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},

para ki.

Este problema surgiu dentro de um problema de probabilidade. Algumas contas 
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Obrigado,
Paulo

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[obm-l] Um problema

[Paulo Henrique Souza Lima]

Oi pessoal,
 
Um problema:
Prove que

\sum_{n=0}^i C_{i,n} (-1)^n (k-i)/ (n+k-i) = 1/C_{k,i},
 
para ki.
 
Este problema surgiu dentro de um problema de probabilidade. Algumas contas no 
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Obrigado,
Paulo



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[obm-l] UM PROBLEMA ARDILOSO!

[Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis]

Ok! Marcelo, Eduardo e demais colegas! Sem dúvida, este é um dos problemas 
geométricos mais pegajoso que conheço. Vejam na íntegra a solução de um 
eminente matemático...


Seja SABC a pirâmide com as hipóteses do problema, sendo S o topo e ABC a 
base. Se traçarmos as alturas BD1 e CD2 respectivamente dos triângulos ASB e 
ASC relativos ao lado AS temos que D1=D2=D e o ângulo BDC é igual a 90° 
(ângulo entre as faces laterais). Seja SP a altura do triângulo ASB relativo 
ao lado AB (apótema da pirâmide) e DH a altura do triângulo isósceles BDC. 
Observamos que DH é também bissetriz do ângulo BDC. Temos que AB=2AP. 
Considerando o triângulo SAP, verifica-se que AP=AS cos DAP. Então temos que 
AB=2*2 cos DAP. Considerando agora o triângulo BAD concluimos que sen 
DAP=BD/AB ou DAP=arc sen BD/AB. Finalmente considerando o triângulo BDH 
obtemos sen BDH=sen45°=BH/BD e então BD=BH/sen45°=AB/2sen45°, pois AB=2BH. 
Destas considerações concluimos que AB=4cosDAP=4cos(arc senBD/AB)=4cos(arc 
sen 1/2sen45°)=4cos (arc sen 1/2^(1/2))=4 cos (arc sen 2^(1/2)/2)=4 
cos45°=4*2^(1/2)/2=2*2^(1/2). Então o comprimento do lado da base é 
2*2^(1/2)cm. Bom, agora é só montar o quebra-cabeça (figura).


E para deleite dos colegas, vejam outro problema igualmente espinhoso...

Dados o ponto P e duas circunferências, traçar por P uma reta eqüidistante 
das duas circunferências e que as deixa em semi-planos opostos. Quais são as 
posições relativas do ponto e das circunferências para que o problema tenha 
solução? A solução, quando existe, é única? Se deixarmos de lado a condição: 
que as deixa em semiplanos opostos, o problema terá novas soluções? 
Quantas? Sempre?



Abraços!

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ou e-mail em seu PC. Acesse:  http://desktop.msn.com.br


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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Marcos Martinelli]

   Consegui achar 6 como resposta para este somatório, através de uma
outra solução. Confere?

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[obm-l] Um Problema Interessante

[Marcos Martinelli]

   Segue um problema que eu achei bem legal:

   Seja {T_n} uma seqüência definida por T_0=0, T_1=1 e T_2=2 e ainda
para todo n natural tal que n=2 temos T_(n+1)=T_n+T_(n-1)+T_(n-2).
Pede-se calcular o seguinte somatório(0=n=+ infinito){T_n/(2^n)}.

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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet]

Bem, vou dar as dicas...
Esta sequencia e da forma
A*r1^n+B*r2^n+C*r3^n
em que os erres sao as raizes de 

x^3=x^2+x+1

Entao T(n)/2^n e da forma
A*(r1/2)^n+B*(r2/2)^n+C*(r3/2)^n

Mas o lance e: É posível escrever
T(1)/2^1+...+T(n)/2^n
como uma recursao do mesmo tipo que T(n).
Vou dar um exemplo:

Se X(n)=2^n+3^n, temos

X(n+2)=5X(n+1)-6X(n)

Como seria S(n)=somatorio de X(i) de 1 até n?
Simples:
S(n+1)=S(n)+X(n), certo?
Então,
S(n+1)-S(n)=X(n)

(X(n+3)-X(n+2))=5(X(n+2)-X(n+1))-6(X(n+1)-X(n))
Bem, acho que enrolei demais... Mas e isso ai!


--- Marcos Martinelli [EMAIL PROTECTED]
escreveu:

Segue um problema que eu achei bem legal:
 
Seja {T_n} uma seqüência definida por T_0=0,
 T_1=1 e T_2=2 e ainda
 para todo n natural tal que n=2 temos
 T_(n+1)=T_n+T_(n-1)+T_(n-2).
 Pede-se calcular o seguinte somatório(0=n=+
 infinito){T_n/(2^n)}.
 

=
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 usar a lista em
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muito mais. Instale agora! 
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Re: [obm-l] Um Problema Interessante

[Eduardo Wilner]

  Prezado Paulo

  Poderia dizer a fonte de onde recebeu o problema?
  
  Aguardei algum comentario sobre ele, mas...
  
  A minha solucao eh:
  
  2*area = soma com j=1 a n-1 {sen(j*2*pi/n)*[soma com

i=j a n-1((i+1)*(i-j+1))]}.
 
  Quanto aos valores de n para os quais a area eh
inteira, pareceu-me que o unico eh 4, e que para os
outros ela resulta irracional...

   Gostaria de ouvir, ou melhor, ler sua opiniao.

  P.S. Nao sei se o pessoal da lista nao gosta de
poligonais, pois postei um problema a respeito em 25
May deste ano denominado ' Geometria quase analitica'
e ... nada...
Voce nao viu ?
 
  
--- Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] escreveu:

 Ola Pessoal,
 
 Recebi o problema abaixo, que achei interessante.
 Estou repassando pra voces 
 :
 
 Suppose line segments of lengths proportional to
 1,2,3,...,n taken in that 
 order form a rectilineal figure each of whose
 exterior angle is 2*pi/n and 
 a polygon is formed by joining the endpoint of the
 last segment to the 
 starting point. Find a closed form expression for
 the area of the polygon. 
  For what values of 'n' is the area an integer?
 
 Um Abraco a Todos
 Paulo Santa Rita
 2,0931,130605
 

_
 Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já!
 
 http://www.msn.com.br/discador
 

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[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico

[Cca]

Um problema de raciocínio lógico (parte IV)

Infelizmente, até o  momento apenas cinco (5) membros da lista se interessaram 
em descobrir onde está o erro na questão de Raciocínio Lógico do Teste ANPAD 
que apresentei. Nenhum dos cinco chegou ao resultado por mim esperado, mas 
saibam que estão em boa companhia: os elaboradores do Teste ANPAD também 
erraram. Pior do que isso: esses últimos se recusam a enxergar o erro cometido. 
É curioso que os coordenadores de um teste de Lógica teimem em ignorar 
precisamente aquilo que é o conceito mais importante de toda a Lógica, a saber, 
o de conseqüência lógica. Conforme veremos, esta é a raiz da questão. É a 
dificuldade com este conceito o que mais me interessa neste problema. Nenhum 
treinamento formal em Lógica Matemática deveria ser necessário para um bom 
entendimento intuitivo de uma idéia tão fundamental. Contudo, a intuição tem 
sérios limites, de modo que não vejo como esclarecer o problema senão fazendo 
uma breve incursão preliminar pelo conceito de conseqüência lógica. D!
eixarei
para o próximo e-mail minha análise definitiva da questão original (juntamente 
com as respostas dos organizadores do Teste ANPAD). 

**O CONCEITO DE CONSEQÜÊNCIA

Por consenso universal -- até que me provem o contrário --, a frase pode-se 
concluir que, quando empregada em testes de múltipla escolha, significa: das 
opções abaixo, aquela que é conseqüência lógica das afirmações anteriores é. 
Este é o significado pretendido (ainda que possivelmente inconsciente) de 
pode-se concluir que em todos os testes que conheço, incluindo o Teste ANPAD 
(ver adiante). Em toda parte, concluir significa extrair uma conseqüência 
lógica.

O conceito de conseqüência lógica possui uma história longa e fascinante, 
tendo merecido a atenção de matemáticos e lógicos ilústres, um dos dos quais 
foi Alfred Tarski (1902-1983). Na década de 1930, esse formidável 
lógico-matemático polonês publicou um artigo, hoje famoso, no qual o conceito 
de conseqüência lógica recebeu sua primeira formulação matemática explícita e 
rigorosa. Entretanto, não é preciso conhecer os detalhes técnicos da formulação 
de Tarski (linguagens formais, constantes lógicas, sentença, proposição, 
modelos, verdade, etc.) para vislumbrar a idéia básica, que é a seguinte:

Definição. Seja S um conjunto de sentenças. Uma sentença P é CONSEQÜÊNCIA 
LÓGICA de S quando P é verdadeira em toda situação na qual (todas) as sentenças 
de S são verdadeiras.

Equivalentemente: P é CONSEQÜÊNCIA LÓGICA de S se não existe situação (ou 
mundo possível) na qual as sentenças de S são verdadeiras e P é falsa.

**UM EXEMPLO

A definição acima pressupõe uma explicação precisa dos conceitos de situação 
e verdade. Isto também foi feito por Tarski. Não posso fazer o mesmo aqui, 
mas darei um exemplo simples a partir de uma questão da própria ANPAD. Ei-la:

(ANPAD/Raciocínio Analítico/junho/2003/questão 3) 
O produto A vende mais que o produto B. O produto C vende menos que o produto 
D. O produto B e o produto E vendem a mesma quantidade. O produto E vende mais 
que o produto C.

O que se conclui do enunciado acima?

A) O produto B vende menos que o produto C.
B) O produto A vende mais que o produto C.
C) O produto B vende menos que o produto D.
D) O produto D vende mais que o produto A.
E) O produto D vende mais que o produto E.

Este problema é certamente trivial, mas servirá para ilustrar o significado de 
concluir. Na questão acima, devemos descobrir qual das opções é uma 
conseqüência lógica das premissas contidas no enunciado. Sem maiores delongas, 
podemos formular as premissas como segue:

p1:AB
p2:CD
p3:B=E
p4:EC

Agora, apenas como ilustração, pergunto: é a opção A) a resposta? Podemos 
CONCLUIR BC das premissas acima? É evidente que não. Há várias maneiras de 
REFUTAR BC a partir das premissas, isto é, de encontrar (pelo menos) UMA 
situação na qual as premissas são verdadeiras e BC é falsa. Por exemplo, na 
situação abaixo

A=3, B=2, C=1, D=2, E=2

as 4 premissas p1-p4 são verdadeiras, mas BC é falsa.

Em vez de atribuir valores numéricos às letras A, B, C, D e E, poderíamos 
apresentar um diagrama como o seguinte:

C  B  D  A
   E

no qual nos aproveitamos do familiar isomorfismo entre o conjunto dos reais e a 
reta numérica.

Como quer que imaginemos uma situação, é fácil refutar as opções C), D) e E) 
por este método. Por eliminação, um candidato concluiria que a resposta é a 
opção B).

**O CONCEITO DE DEMONSTRAÇÃO

A opção B) é realmente a resposta: o produto A vende mais que o produto C. 
Seria possível estabelecer este fato sem o método de refutação por modelos ou 
situações? Como concluir efetivamente que AC a partir das premissas? De 
acordo com a nossa definição (intuitiva) de conseqüência lógica, teríamos que 
investigar TODAS as situações possíveis nas quais as premissas são verdadeiras 
e verificar, em cada uma delas, que AC é também verdadeira. Sem dúvida, uma 
tarefa impossível, visto que o número de situações é 

[obm-l] RES: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico

[Artur Costa Steiner]

-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Cca
Enviada em: quinta-feira, 21 de julho de 2005 01:04
Para: obm-l@mat.puc-rio.br


Da afirmacao feita, pode-se concluir x esta no conjunto {2, 4, 6, 8, 10}.
Nao se pode afirmar que x =2.
Eu acho que as respostas em multipla escolha estao mal formuladas, pois
nenhuma delas eh correta. A resposta certa eh x=2, ou x=4..ou x= 10.
Até o pode-se concluir o problema esta ben formulada, mas na lista de
opcoes nao hah a resposta certa.

Artur


Assunto: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico


Denisson,

Primeiro, uma observação terminológica: o problema diz concluir e não
inferir. Na Lógica, o termo inferência tem um significado mais
abrangente do que o de deduzir ou concluir, mas podemos deixar esta
questão de lado por enquanto.

Segundo: na Lógica DEDUTIVA -- e isto se aplica também à Matemática
clássica ou ortodoxa --, concluir significar extrair uma conclusão
NECESSÁRIA (ee não meramente POSSÍVEL ou compatível com as premissas). Na
Matemática, normalmente estabelecemos uma conclusão DEMONSTRANDO-A com base
em regras de dedução. Você é capaz de DEMONSTRAR que, partindo das premissas
do problema, pode-se chegar à conclusão de que o Renault é azul? Eu lhe
darei um PRÊMIO se conseguir isto!!!

Como preparação para o meu próximo e-mail, considere o seguinte problema,
que acabo de formular por analogia com o que está sob discussão:

início problema
 Seja x um número real. Das seguintes informações

I. x é um inteiro no intervalo [1,10];
II. x é par;

pode-se concluir que:

(A) x=2.
(B) x=3.
(C) x=5.
(D) x=7.
(E) x=9.
fim problema

O que você responderia? Imagino (pelo menos) duas respostas possíveis:

(1) O problema está mal-colocado, pois as condições I e II não são
SUFICIENTES para CONCLUIR que x=2. Afinal, os números 4,6 e 8 também
satisfazem as condições do problema.

(2) O problema está bem-colocado e a resposta é (A). De fato, o enunciado
não implica que a solução é única.

Você concordaria com a resposta (2)?

Carlos César de Araújo
Gregos  Troianos Educacional LTDA
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico

[Cca]

Denisson,

Primeiro, uma observação terminológica: o problema diz concluir e não 
inferir. Na Lógica, o termo inferência tem um significado mais abrangente 
do que o de deduzir ou concluir, mas podemos deixar esta questão de lado 
por enquanto.

Segundo: na Lógica DEDUTIVA -- e isto se aplica também à Matemática clássica 
ou ortodoxa --, concluir significar extrair uma conclusão NECESSÁRIA (e não 
meramente POSSÍVEL ou compatível com as premissas). Na Matemática, normalmente 
estabelecemos uma conclusão DEMONSTRANDO-A com base em regras de dedução. Você 
é capaz de DEMONSTRAR que, partindo das premissas do problema, pode-se chegar à 
conclusão de que o Renault é azul? Eu lhe darei um PRÊMIO se conseguir isto!!!

Como preparação para o meu próximo e-mail, considere o seguinte problema, que 
acabo de formular por analogia com o que está sob discussão:

início problema
 Seja x um número real. Das seguintes informações

I. x é um inteiro no intervalo [1,10];
II. x é par;

pode-se concluir que:

(A) x=2.
(B) x=3.
(C) x=5.
(D) x=7.
(E) x=9.
fim problema

O que você responderia? Imagino (pelo menos) duas respostas possíveis:

(1) O problema está mal-colocado, pois as condições I e II não são SUFICIENTES 
para CONCLUIR que x=2. Afinal, os números 4,6 e 8 também satisfazem as 
condições do problema.

(2) O problema está bem-colocado e a resposta é (A). De fato, o enunciado não 
implica que a solução é única.

Você concordaria com a resposta (2)?

Carlos César de Araújo
Gregos  Troianos Educacional LTDA
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=

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico

[Felipe Maion]

Não consegui perceber onde pode estar o erro dessa questão!
Mas mande para a lista para que todos possam analisar!!
Grato
Felipe Maion
- Original Message - 
From: Cca [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, July 19, 2005 1:40 AM
Subject: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico



Caros amigos,

A questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico 
do teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em 
Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema 
bastante simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos 
detalhes que, conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações 
foram relatadas aos elaboradores do teste, os quais, apesar de terem 
reconhecido a procedência das minhas críticas, tentaram defender o 
problema de uma forma que considero falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva --  
visto que todo bom erro é uma oportunidade para um bom aprendizado. 
Portanto, nada mais justo do que submeter o problema a um tribunal mais 
vasto, a fim de que a verdade se apresente objetivamente (como preferem os 
matemáticos). Voltarei a falar sobre a questão após apreciar um número 
suficiente de ataques à mesma. Evidentemente, ou o problema admite solução 
ou não. (Isto é uma tautologia!). No último caso, gostaria que!

os
interessados apresentassem suas justificativas para um confronto 
posterior.


questão
(ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10)

Seis carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, 
para uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da 
primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações,


I.   O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro 
vermelho.
II.  O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro 
preto.

III. O MacLaren está entre os carros azul e preto.
IV. O Carro azul está à direita do Ferrari.
V.  O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari.

Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição 
é

A) azul e Renault.
B) cinza e McLaren.
C) vermelha e Ferrari.
D) preta e Renault.
E) azul e McLaren.
/questão

Carlos César de Araújo
www.gregosetroianos.mat.br
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico

[Denisson]

A resposta é: Renault Azul, letra A
Basta fazer uma tabela cujas colunas são as posições e você vai
seguindo as dicas e à medida que você for tirando conclusões via pondo
na tabela.
Em 19/07/05, Cca [EMAIL PROTECTED] escreveu:
Caros amigos,A
questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico
do teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em
Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema
bastante simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos
detalhes que, conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações
foram relatadas aos elaboradores do teste, os quais, apesar de terem
reconhecido a procedência das minhas críticas, tentaram defender o
problema de uma forma que considero falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva
-- visto que todo bom erro é uma oportunidade para um bom aprendizado.
Portanto, nada mais justo do que submeter o problema a um tribunal
mais vasto, a fim de que a verdade se apresente objetivamente (como
preferem os matemáticos). Voltarei a falar sobre a questão após
apreciar um número suficiente de ataques à mesma. Evidentemente, ou o
problema admite solução ou não. (Isto é uma tautologia!). No último
caso, gostaria que! osinteressados apresentassem suas justificativas para um confronto posterior.questão(ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10)Seis
carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, para
uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da
primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações,I. O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro vermelho.II.O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro preto.
III. O MacLaren está entre os carros azul e preto.IV. O Carro azul está à direita do Ferrari.V.O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari.Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição é
A) azul e Renault.B) cinza e McLaren.C) vermelha e Ferrari.D) preta e Renault.E) azul e McLaren./questãoCarlos César de Araújowww.gregosetroianos.mat.br
=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=-- DenissonOs homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer:É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível aos olhos! (Saint Exupèrry)

[obm-l] Re: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico

[Felipe Maion]

   1º2º3º4º 
5º6º
|  Lotus (I)  |   Ferrari (IV)  |   Renault(V) |   McLaren(III)  | 
| Brabham (II)
| |  Vermelho(I)  |   Azul(III) |  Cinza (V) 
|   Preto (II)  |


Logo alternativa A:= Renault Azul!!


- Original Message - 
From: Cca [EMAIL PROTECTED]

To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, July 19, 2005 1:40 AM
Subject: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico



Caros amigos,

A questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico 
do teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em 
Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema 
bastante simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos 
detalhes que, conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações 
foram relatadas aos elaboradores do teste, os quais, apesar de terem 
reconhecido a procedência das minhas críticas, tentaram defender o 
problema de uma forma que considero falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva --  
visto que todo bom erro é uma oportunidade para um bom aprendizado. 
Portanto, nada mais justo do que submeter o problema a um tribunal mais 
vasto, a fim de que a verdade se apresente objetivamente (como preferem os 
matemáticos). Voltarei a falar sobre a questão após apreciar um número 
suficiente de ataques à mesma. Evidentemente, ou o problema admite solução 
ou não. (Isto é uma tautologia!). No último caso, gostaria que!

os
interessados apresentassem suas justificativas para um confronto 
posterior.


questão
(ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10)

Seis carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, 
para uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da 
primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações,


I.   O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro 
vermelho.
II.  O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro 
preto.

III. O MacLaren está entre os carros azul e preto.
IV. O Carro azul está à direita do Ferrari.
V.  O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari.

Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição 
é

A) azul e Renault.
B) cinza e McLaren.
C) vermelha e Ferrari.
D) preta e Renault.
E) azul e McLaren.
/questão

Carlos César de Araújo
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=
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[obm-l] RE: [obm-l] Um problema de raciocínio lógi co

[Paulo Santa Rita]

Ola Carlos e demais
colegas desta lista ... OBM-L,

A questao e realmente trivial e em qualquer banca de jornal voce encontra 
desafios logicos bem mais elaborados que este Podemos fazer assim :


Da afirmacao I concluo :

C1 : O lotus e o primeiro carro
C2 : O segundo carro e vermelho.

Da afirmacao II concluo :

C3: O Braham e o sexto carro
C4 : O quinto carro e preto.

Da afirmacao III e considerando II, concluo que :

C5: O maclaren e o quarto carro
C6: O terceiro carro e azul

Da afirmacao IV e considerando I, concluo que :

C7 : O segundo carro e uma ferrari vermelha.

Da afirmacao V e considerando C6, concluo que :

C8 : O terceiro carro e um Renault azuil ( RESPOSTA )

Estou supondo que alguem olha os carros pela frente e escuta as afirmacoes 
: TODAS AS AFIRMACOES SAO RELATIVAS A ESTE REFERENCIAL. A afirmacao IV foi 
mal formulada, pois a direita da ferrari pode levar alguem a se imaginar 
dentro do carro e, neste caso, a direita da ferrari significa a esquerda 
de quem olha pela frente.


Todavia, a banca pode objetar dizendo : nao e razoavel mudar o referencial 
... Mas e certo que ela nao escreveu ESTA QUESTAO com suficiente clareza. 
Sera que eles terao a grandeza de reconhecer isso e alterar o gabarito ?


Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,0800,190705


From: Cca [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico
Date: Tue, 19 Jul 2005 01:40:19 -0300

Caros amigos,

A questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico do 
teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em 
Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema 
bastante simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos 
detalhes que, conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações foram 
relatadas aos elaboradores do teste, os quais, apesar de terem reconhecido 
a procedência das minhas críticas, tentaram defender o problema de uma 
forma que considero falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva -- visto que todo 
bom erro é uma oportunidade para um bom aprendizado. Portanto, nada mais 
justo do que submeter o problema a um tribunal mais vasto, a fim de que a 
verdade se apresente objetivamente (como preferem os matemáticos). Voltarei 
a falar sobre a questão após apreciar um número suficiente de ataques à 
mesma. Evidentemente, ou o problema admite solução ou não. (Isto é uma 
tautologia!). No último caso, gostaria que!

 os
interessados apresentassem suas justificativas para um confronto posterior.

questão
(ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10)

Seis carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, 
para uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da 
primeira à sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações,


I.   O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro 
vermelho.
II.  O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro 
preto.

III. O MacLaren está entre os carros azul e preto.
IV. O Carro azul está à direita do Ferrari.
V.  O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari.

Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição 
é

A) azul e Renault.
B) cinza e McLaren.
C) vermelha e Ferrari.
D) preta e Renault.
E) azul e McLaren.
/questão

Carlos César de Araújo


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RE: [obm-l] RE: [obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico

[Qwert Smith]

Caro Paulo,

Ao ler a questao imaginei justamente o ponto de vista do motorista, ou seja,
como se estivesse dentro dos carros e isso em nada afeta o resultado.
O que nao pode, como vc ja corretamente mencionou, e mudar o referencial
entre uma afirmacao e outra.  Eu acho que e um pouco de exageiro exigir que
isso seja parte do enunciado.


From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]

[...]


Estou supondo que alguem olha os carros pela frente e escuta as 
afirmacoes : TODAS AS AFIRMACOES SAO RELATIVAS A ESTE REFERENCIAL. A 
afirmacao IV foi mal formulada, pois a direita da ferrari pode levar 
alguem a se imaginar dentro do carro e, neste caso, a direita da ferrari 
significa a esquerda de quem olha pela frente.


Todavia, a banca pode objetar dizendo : nao e razoavel mudar o 
referencial ... Mas e certo que ela nao escreveu ESTA QUESTAO com 
suficiente clareza. Sera que eles terao a grandeza de reconhecer isso e 
alterar o gabarito ?


Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,0800,190705




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[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico

[Cca]

Denisson,

Você concluiu que o Renaul é azul? Como? Você poderia FORMALIZAR seu argumento 
e efetivamente DEMONSTRAR que o Renaul é azul? O que significa concluir? 
Imagine que você tenha que PROVAR sua conclusão para um computador. Como o 
faria?

Isto posto, observe a situação abaixo:


Lótus   Ferrari [ ]   MacLarenRenault   Brabham

[ ] vermelho   azul[ ]preto  cinza

1   234 5 6


Verifique que TODAS as premissas (condições) da questão são satisfeitas. Certo? 
Contudo, na situação acima, o Renault não é azul: é preto! Examine o enunciado 
da questão novamente. O que você me diz? Afinal, o que é uma conclusão lógica?

Para ilustrar melhor o que estou insinuando, diga-me se você consegue 
concluir:

(1) a marca do carro que está na quinta posição;
(2) a cor do carro que está na primeira posição (o Lótus);
(3) a cor do carro que está na quarta posição (o MacLaren);
(4) a cor do carro que está na sexta posição (o Brabham);


Carlos César de Araújo
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Re: [obm-l] Um problema de raciocínio lógico

[Denisson]

Olha só, ele diz que das afirmações podemos inferir que... Ele não diz que a solução é única.Em 20/07/05, Cca 
[EMAIL PROTECTED] escreveu:Denisson,Você
concluiu que o Renaul é azul? Como? Você poderia FORMALIZAR seu
argumento e efetivamente DEMONSTRAR que o Renaul é azul? O que
significa concluir? Imagine que você tenha que PROVAR sua conclusão
para um computador. Como o faria?Isto posto, observe a situação abaixo:Lótus
Ferrari [ ]
MacLarenRenault Brabham[
] vermelho
azul[
]pretocinza1
234
5
6Verifique que TODAS as premissas (condições) da questão
são satisfeitas. Certo? Contudo, na situação acima, o Renault não é
azul: é preto! Examine o enunciado da questão novamente. O que você me
diz? Afinal, o que é uma conclusão lógica?Para ilustrar melhor o que estou insinuando, diga-me se você consegue concluir:(1) a marca do carro que está na quinta posição;(2) a cor do carro que está na primeira posição (o Lótus);
(3) a cor do carro que está na quarta posição (o MacLaren);(4) a cor do carro que está na sexta posição (o Brabham);Carlos César de Araújo=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
-- DenissonOs homens esqueceram desta verdade; mas tu não a deves esquecer:É só com o coração que se pode ver direito. O essencial é invisível aos olhos! (Saint Exupèrry)

[obm-l] Um problema de racioc�nio l�gico

[Cca]

Caros amigos,

A questão que transcrevo abaixo apareceu na prova de Raciocínio Lógico do 
teste ANPAD (Associação Nacional de Programas de Pós-Graduação em 
Administração) de fevereiro de 2004. Trata-se de um gênero de problema bastante 
simples. Entretanto, neste caso específico, percebi certos detalhes que, 
conforme penso, invalidam a questão. Minhas observações foram relatadas aos 
elaboradores do teste, os quais, apesar de terem reconhecido a procedência das 
minhas críticas, tentaram defender o problema de uma forma que considero 
falaz e, ao mesmo tempo, instrutiva -- visto que todo bom erro é uma 
oportunidade para um bom aprendizado. Portanto, nada mais justo do que submeter 
o problema a um tribunal mais vasto, a fim de que a verdade se apresente 
objetivamente (como preferem os matemáticos). Voltarei a falar sobre a questão 
após apreciar um número suficiente de ataques à mesma. Evidentemente, ou o 
problema admite solução ou não. (Isto é uma tautologia!). No último caso, 
gostaria que!
 os
interessados apresentassem suas justificativas para um confronto posterior.

questão
(ANPAD/Raciocínio Lógico/Fevereiro/2004/questão 10) 

Seis carros de marcas e cores diferentes, estão alinhados, lado a lado, para 
uma corrida. Eles estão ordenados da esquerda para a direita, da primeira à 
sexta posição, respectivamente. Das seguintes informações,

I.   O Lótus não tem carro algum à esquerda e está ao lado do carro vermelho.
II.  O Brabham não tem carro à sua direita e está logo depois do carro preto.
III. O MacLaren está entre os carros azul e preto.
IV. O Carro azul está à direita do Ferrari.
V.  O Renault está entre o carro cinza e o Ferrari.

Pode-se concluir que a cor e a marca do carro que está na terceira posição é
A) azul e Renault.  
B) cinza e McLaren.  
C) vermelha e Ferrari.
D) preta e Renault.  
E) azul e McLaren.
/questão

Carlos César de Araújo
www.gregosetroianos.mat.br
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[obm-l] Um Problema Interessante

[Paulo Santa Rita]

Ola Pessoal,

Recebi o problema abaixo, que achei interessante. Estou repassando pra voces 
:


Suppose line segments of lengths proportional to 1,2,3,...,n taken in that 
order form a rectilineal figure each of whose exterior angle is 2*pi/n and 
a polygon is formed by joining the endpoint of the last segment to the 
starting point. Find a closed form expression for the area of the polygon. 
For what values of 'n' is the area an integer?


Um Abraco a Todos
Paulo Santa Rita
2,0931,130605

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Chegou o que faltava: MSN Acesso Grátis. Instale Já! 
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[obm-l] RE: [obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[Jair Donadelli Junior]

Olá Jorge e colegas da lista!
Consideremos gotas de água e vinho com o volume V. Portanto, temos 1/V gotas 
em cada vaso.

A cada gota de água que sai e cada gota de vinho que entra, a quantidade de 
água no vaso inferior é diminuída (multiplicada) pelo fator (1-V).

Portanto, ao final do escoamento do vinho, a quantidade de água remanescente 
será igual a
Agua= (1-V) ^ (1/V)  , ou seja,   Agua= e^[ln(1-V) / V ]

E por l´Hopital, quando V- 0 , Agua -1/e .
Abraços a todos,
Rogério.
--- from: jorgeluis -
Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok!

Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual 
capacidade
cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o 
vaso
de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho
estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior?
_
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Re: [obm-l] Um problema de Probabilidade

[Domingos Jr.]

Este problema é do The Probabilistic Method - N. Alon e J. Spencer. Eu 
passei pra uma galera e nem eu nem a galera conseguiu resolver...
O máximo que eu consegui foi provar o resultado para uma constante um 
pouco maior que 1 usando algumas cotas exponenciais.

[ ]'s
Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de 
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante 
absoluta c  0.

Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1]  0 para todo 
n = 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.

[ ]'s 
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[obm-l] Um problema de Probabilidade

[Jair Donadelli Junior]

Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de 
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante 
absoluta c  0.

Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1]  0 para todo n 
= 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.

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[obm-l] UM PROBLEMA DIFICÍLIMO!

[jorgeluis]

Ok! Cláudio! Grato pela magnífica resolução do problema famoso, pois já vinha há
décadas tentando resolvê-lo sem obter nenhum sucesso, o que não é grande
novidade. Quanto ao problema abaixo, vale salientar que sua resolução é um
pouco espinhosa e sem querer subestimar nenhum colega da lista, chego a pensar
que foge um pouco do escopo da lista e o pior é que não sei nem mesmo a solução,
quanto mais a resolução.

É possível empilhar n tijolos de tal modo que o tijolo de cima não esteja em
cima de nenhum ponto do tijolo embaixo de todos, mas uma pessoa pesando 100
tijolos pode ficar no meio do tijolo de cima sem derrubar a pilha?

A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados?

Bom Final de Semana para todos!


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Re: [obm-l] UM PROBLEMA DIFICÍLIMO!

[Claudio Buffara]

on 05.11.04 20:42, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 É possível empilhar n tijolos de tal modo que o tijolo de cima não esteja em
 cima de nenhum ponto do tijolo embaixo de todos, mas uma pessoa pesando 100
 tijolos pode ficar no meio do tijolo de cima sem derrubar a pilha?

Sim.
Uma ideia eh maximizar o deslocamento possivel (ou seja, sem que tudo
desabe) de cada tijolo em relacao ao tijolo que estah em cima.
Suponhamos que cada tijolo tenha comprimento 1 e que o centro de massa (cm)
do sistema (pessoa + T1) tenha abscissa x(1) = 0.
A borda esquerda de T2 deve entao ter abscissa 0 e, de fato, a borda
esquerda de cada tijolo deve ter abscissa igual a do centro de massa do
sistema formado pela pessoa e por todos os tijolos acima dele.

O cm do sistema (pessoa + T1 + T2) terah abscissa:
x(2) = (101*x(1) + (x(1)+1/2)*1)/102 = x(1) + (1/2)/102
O cm do sistema (pessoa + T1 + T2 + T3) terah abscissa:
x(3) = (102*x(2) + (x(2)+1/2)*1)/103 = x(2) + (1/2)/103
...
O cm do sistema (pessoa + T1 + ... + Tk) terah abscissa:
x(k) = ((99+k)*x(k-1) + (x(k-1)+1/2)*1)/(100+k) = x(k-1) + 1/2/(100+k).
...

Ou seja, para k = 2, x(k) = (1/2)*(1/102 + 1/103 + ... + 1/(100+k))

Como x(k) = metade de uma serie harmonica que comeca em 1/102, temos que
x(k) - infinito quando k - infinito

Assim, eh soh tomar k tal que x(k)  1/2. A borda esquerda do (k+1)-esimo
tijolo terah abscissa x(k)  1/2 e, portanto, nenhum ponto desse tijolo
estarah abaixo de algum ponto do 1o. tijolo.

De fato, eh possivel (em teoria, claro) que a pessao esteja a uma distancia
horizontal arbitrariamente grande do tijolo na base da pilha.

 A propósito, os números de Mersenne 2^p-1 são todos livres de quadrados?
 
Nao se sabe. O problema estah em aberto.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] UM PROBLEMA FAMOSO!

[Claudio Buffara]

on 03.11.04 21:51, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 A propósito, quantos triângulos podem ser formados ao traçarmos retas ligando
 todos os pontos de um pentágono regular?

30


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Re: [obm-l] UM PROBLEMA FAMOSO!

[Claudio Buffara]

on 03.11.04 21:51, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 Um círculo com 2n - 1 unidades de diâmetro foi desenhado no centro de um
 tabuleiro quadriculado 2n * 2n. Quantas células do tabuleiro contém um
 segmento
 da circunferência?
 
Eu nao sei quanto ao numero exato de celulas, mas sou capaz de apostar que
se, para o tabuleiro 2n x 2n, o numero de celulas for igual a C(n), entao:
lim(n - inf) C(n)/n = 2*Pi.



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[obm-l] UM PROBLEMA FAMOSO!

[jorgeluis]

Ok! Cláudio, tem razão quanto à dubiedade no enunciado, mas vamos para frente!
Grato!

Um círculo com 2n - 1 unidades de diâmetro foi desenhado no centro de um
tabuleiro quadriculado 2n * 2n. Quantas células do tabuleiro contém um segmento
da circunferência?

Nota: Trata-se de um problema famoso em teoria dos números que foi investigado
por Gauss e muitos outros...

A propósito, quantos triângulos podem ser formados ao traçarmos retas ligando
todos os pontos de um pentágono regular?


Um abraço à todos!


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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Josimar Silva]

Por três pontos não-colineares, num plano, passam
quantas circunferências?
Para mim a resposta é: somente uma.

Se duas circunferências de mesmo raio e mesmo centro
são objetos distintos, então a resposta acima está
errada, não é?

[]s, Josimar

 --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED]
escreveu: 
 on 01.11.04 04:49, Fabio Niski at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
  Claudio Buffara wrote:
  on 01.11.04 00:41, Fabio Niski at
 [EMAIL PROTECTED] wrote:
  
  
  Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
  
  
  n circunferências distintas; caso contrário,
 não são n circunferências.
  
  Professor Morgado, n circunferencias de mesmo
 raio e mesmo centro tem o
  grafico identico, mas nao sao objetos
 matematicamente distintos? Não
  estou querendo ser chato mas rigorosamente
 falando, minha interpretacao
  nao esta correta?
  
  
  Sem querer me meter mas jah me metendo: se sao
 objetos matematicamente
  distintos (o que quer que isso signifique), qual
 a distincao entre eles?
  
  Pois é, nao quero começara discutir o sexo dos
 anjos, mas nao vamos
  desviar muito. A pergunta é:
  No máximo quantos pontos de interseção existem
 quando sao desenhadas n
  circunferencias
  Minha duvida se resume a isso: Posso ter n
 circunferencias distintas C1,
  C2, ...Cn com mesmo raio e centro?
 
 Sim. Basta que cada uma pertenca a um plano
 distinto.
 No entanto, se elas forem todas coplanares entao
 teremos, de fato, uma unica
 circunferencia, a qual damos n nomes distintos: C1,
 ..., Cn.
 
  É claro que isso é apenas uma questao
  de nomenclatura. Mas se a resposta for positiva, a
 rigor (e com muita
  chatisse), a resposta é que sao inifinitos pontos!
 
 
 Um outro exemplo: considere os conjuntos A, B e C,
 dados por:
 A = {1,2}, B = {1,2}, C = {1,2}
 Pergunta: Quantos conjuntos voce estah considerando?
 
 O melhor eh refrasear o problema como: Qual o numero
 maximo de pontos de
 interseccao de n circunferencias distintas?
 
 []s,
 Claudio.
 
 

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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Fabio Niski]

Claudio Buffara wrote:
on 31.10.04 05:21, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Na pag. 154, o problema 11 é
No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n
circunferencias
É mais provavel que eu seja um mal leitor do que o autor do livro um mal
escritor. Entao por favor me expliquem o que o problema quer. Uma
interpretacao boba porem correta é tomar n circunferencias iguais
sobrepostas nesse caso teriamos infinitos pontos de interseçao.
Mas nesse caso soh teriamos uma unica circunferencia, certo?
A rigor não necessariamente.
Duas retas concorrentes por exemplo, sao duas retas distintas, que 
concorrem!

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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Fabio Niski]

Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
n circunferências distintas; caso contrário, não são n circunferências.
Professor Morgado, n circunferencias de mesmo raio e mesmo centro tem o 
grafico identico, mas nao sao objetos matematicamente distintos? Não 
estou querendo ser chato mas rigorosamente falando, minha interpretacao 
nao esta correta?

Não quero me absolver, mas esse tipo de observação é uma coisa bem paulista. 
Nos vestibulares de São Paulo, a quantidade de pegadinhas a respeito é 
absurda. Várias já apareceram pela lista, em questões de múltipla escolha que 
deixavam os candidatos sem saber o que marcar.
Pode até ser coisa de paulista mesmo hehehe
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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Claudio Buffara]

on 01.11.04 00:37, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Claudio Buffara wrote:
 
 on 31.10.04 05:21, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 
 Na pag. 154, o problema 11 é
 No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n
 circunferencias
 É mais provavel que eu seja um mal leitor do que o autor do livro um mal
 escritor. Entao por favor me expliquem o que o problema quer. Uma
 interpretacao boba porem correta é tomar n circunferencias iguais
 sobrepostas nesse caso teriamos infinitos pontos de interseçao.
 
 
 Mas nesse caso soh teriamos uma unica circunferencia, certo?
 
 
 A rigor não necessariamente.
 Duas retas concorrentes por exemplo, sao duas retas distintas, que
 concorrem!
 
Sim, mas duas circunferencias coplanares de mesmo centro e raio nao sao duas
circunferencias. Sao uma soh, pois contem precisamente os mesmos pontos.

Voce pode ateh chama-las de C1 e C2, por exemplo, mas nesse caso teremos um
mesmo conjunto com dois nomes.


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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Claudio Buffara]

on 01.11.04 00:41, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
 
 n circunferências distintas; caso contrário, não são n circunferências.
 
 Professor Morgado, n circunferencias de mesmo raio e mesmo centro tem o
 grafico identico, mas nao sao objetos matematicamente distintos? Não
 estou querendo ser chato mas rigorosamente falando, minha interpretacao
 nao esta correta?
 
Sem querer me meter mas jah me metendo: se sao objetos matematicamente
distintos (o que quer que isso signifique), qual a distincao entre eles?



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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Fabio Niski]

Claudio Buffara wrote:
on 01.11.04 00:41, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:

n circunferências distintas; caso contrário, não são n circunferências.
Professor Morgado, n circunferencias de mesmo raio e mesmo centro tem o
grafico identico, mas nao sao objetos matematicamente distintos? Não
estou querendo ser chato mas rigorosamente falando, minha interpretacao
nao esta correta?
Sem querer me meter mas jah me metendo: se sao objetos matematicamente
distintos (o que quer que isso signifique), qual a distincao entre eles?
Pois é, nao quero começara discutir o sexo dos anjos, mas nao vamos 
desviar muito. A pergunta é:
No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n 
circunferencias
Minha duvida se resume a isso: Posso ter n circunferencias distintas C1, 
C2, ...Cn com mesmo raio e centro? É claro que isso é apenas uma questao 
de nomenclatura. Mas se a resposta for positiva, a rigor (e com muita 
chatisse), a resposta é que sao inifinitos pontos!
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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Claudio Buffara]

on 01.11.04 04:49, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Claudio Buffara wrote:
 on 01.11.04 00:41, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 
 Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote:
 
 
 n circunferências distintas; caso contrário, não são n circunferências.
 
 Professor Morgado, n circunferencias de mesmo raio e mesmo centro tem o
 grafico identico, mas nao sao objetos matematicamente distintos? Não
 estou querendo ser chato mas rigorosamente falando, minha interpretacao
 nao esta correta?
 
 
 Sem querer me meter mas jah me metendo: se sao objetos matematicamente
 distintos (o que quer que isso signifique), qual a distincao entre eles?
 
 Pois é, nao quero começara discutir o sexo dos anjos, mas nao vamos
 desviar muito. A pergunta é:
 No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n
 circunferencias
 Minha duvida se resume a isso: Posso ter n circunferencias distintas C1,
 C2, ...Cn com mesmo raio e centro?

Sim. Basta que cada uma pertenca a um plano distinto.
No entanto, se elas forem todas coplanares entao teremos, de fato, uma unica
circunferencia, a qual damos n nomes distintos: C1, ..., Cn.

 É claro que isso é apenas uma questao
 de nomenclatura. Mas se a resposta for positiva, a rigor (e com muita
 chatisse), a resposta é que sao inifinitos pontos!


Um outro exemplo: considere os conjuntos A, B e C, dados por:
A = {1,2}, B = {1,2}, C = {1,2}
Pergunta: Quantos conjuntos voce estah considerando?

O melhor eh refrasear o problema como: Qual o numero maximo de pontos de
interseccao de n circunferencias distintas?

[]s,
Claudio.


=
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[obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Fabio Niski]

Na pag. 154, o problema 11 é
No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n 
circunferencias
É mais provavel que eu seja um mal leitor do que o autor do livro um mal 
escritor. Entao por favor me expliquem o que o problema quer. Uma 
interpretacao boba porem correta é tomar n circunferencias iguais 
sobrepostas nesse caso teriamos infinitos pontos de interseçao.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Claudio Buffara]

on 31.10.04 05:21, Fabio Niski at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 Na pag. 154, o problema 11 é
 No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao desenhadas n
 circunferencias
 É mais provavel que eu seja um mal leitor do que o autor do livro um mal
 escritor. Entao por favor me expliquem o que o problema quer. Uma
 interpretacao boba porem correta é tomar n circunferencias iguais
 sobrepostas nesse caso teriamos infinitos pontos de interseçao.

Mas nesse caso soh teriamos uma unica circunferencia, certo?


=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Re: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

[Augusto Cesar de Oliveira Morgado]

n circunferências distintas; caso contrário, não são n circunferências.
Não quero me absolver, mas esse tipo de observação é uma coisa bem paulista. 
Nos vestibulares de São Paulo, a quantidade de pegadinhas a respeito é 
absurda. Várias já apareceram pela lista, em questões de múltipla escolha que 
deixavam os candidatos sem saber o que marcar.
==
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-- Original Message ---
From: Fabio Niski [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sun, 31 Oct 2004 05:21:24 -0200
Subject: [obm-l] um problema do livro 'A matematica do ensino medio'

 Na pag. 154, o problema 11 é
 No máximo quantos pontos de interseção existem quando sao 
 desenhadas n circunferencias É mais provavel que eu seja um mal 
 leitor do que o autor do livro um mal escritor. Entao por favor me 
 expliquem o que o problema quer. Uma interpretacao boba porem 
 correta é tomar n circunferencias iguais sobrepostas nesse caso 
 teriamos infinitos pontos de interseçao.
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--- End of Original Message ---

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[obm-l] Re: [obm-l] Re:[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Certamente !
nem tinha notado, logo os volumes não são os mesmos. 

[]'s
Osvaldo



 observe que a sua resposta eh impossivel, pois se a densidade da gasolina fosse 
 maior que da agua, e o volume de liquido em ambas as pesagens for o mesmo, o balde 
 com gasolina deveria pesar mais, e nao eh o que ocorre...
 
 On Fri, Oct 22, 2004 at 04:30:21PM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
  Olá !, minha tentativa é:
  
  
  [Adotando g=9,81 m/s^2; p_agua=10^3 kg/m^3]
  
  Frasco: m_frasco.9,81=0,12=m_frasco=12,23g
  Água: P_água=0,52-0,12=0,4N=(10^3.V).9,81=0,4=V=4.10^-5 m^3
  
  Supondo que o volume ocupado pela água e a gasolina seja o MESMO, temos:
  
  P_gasolina=0,42-0,12=0,3N= (p_gas.4.10^-5).9.81=0.3=7,645 . 10^3 kg/m^3, ou seja,
  7,6 vezes mais pesado do que a água.
  
  []'s
  
  
   
   Colegas, me ajudem a tirar um dúvida neste problema:
   
   Um frasco de vidro pesa 0,12N. Este frasco, cheio de gasolina, pesa 0,42N 
   e, cheio d'água pesa 0,52N. Determine a densidade absoluta dessa amostra de 
   gasolina, em kg/m^3.
   
   Depois de fazerem uns cálculos estranhos  me garantiram que a resposta é  
   0,18 x 10^4 kg/m^3.
   E o pior é que era essa a resposta na apostila.
   
   Me ajudem, pois minha resposta é outra.
   
   (^_^)
   
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   Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
   http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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  Atenciosamente,
  
  Osvaldo Mello Sponquiado 
  Engenharia Elétrica, 2ºano 
  UNESP - Ilha Solteira
  
   
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  http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
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[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)

[Rhilbert Rivera]

Colegas, me ajudem a tirar um dúvida neste problema:
Um frasco de vidro pesa 0,12N. Este frasco, cheio de gasolina, pesa 0,42N 
e, cheio d'água pesa 0,52N. Determine a densidade absoluta dessa amostra de 
gasolina, em kg/m^3.

Depois de fazerem uns cálculos estranhos  me garantiram que a resposta é  
0,18 x 10^4 kg/m^3.
E o pior é que era essa a resposta na apostila.

Me ajudem, pois minha resposta é outra.
(^_^)
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[obm-l] Re:[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)

[claudio.buffara]

Eu posso estar muito enganado, mas supondo que a densidade absoluta da água é de 1000 kg/m^3, eu achei que a da gasolinaé de 750 kg/m^3.

A conta que eu fiz foi muito simples. Eu só descontei o peso do frasco:
Densidade da gasolina relativa à da água = (42-12)/(52-12) = 0,75

Que cálculos estranhos fizeram pra você?

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Fri, 22 Oct 2004 11:08:17 +




Assunto:
[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)






 
 Colegas, me ajudem a tirar um dúvida neste problema:
 
 "Um frasco de vidro pesa 0,12N. Este frasco, cheio de gasolina, pesa 0,42N 
 e, cheio d'água pesa 0,52N. Determine a densidade absoluta dessa amostra de 
 gasolina, em kg/m^3."
 
 Depois de fazerem uns cálculos estranhos me garantiram que a resposta é 
 0,18 x 10^4 kg/m^3.
 E o pior é que era essa a resposta na apostila.
 
 Me ajudem, pois minha resposta é outra.
 
 (^_^)
 

[obm-l] Re:[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Olá !, minha tentativa é:


[Adotando g=9,81 m/s^2; p_agua=10^3 kg/m^3]

Frasco: m_frasco.9,81=0,12=m_frasco=12,23g
Água: P_água=0,52-0,12=0,4N=(10^3.V).9,81=0,4=V=4.10^-5 m^3

Supondo que o volume ocupado pela água e a gasolina seja o MESMO, temos:

P_gasolina=0,42-0,12=0,3N= (p_gas.4.10^-5).9.81=0.3=7,645 . 10^3 kg/m^3, ou seja,
7,6 vezes mais pesado do que a água.

[]'s


 
 Colegas, me ajudem a tirar um dúvida neste problema:
 
 Um frasco de vidro pesa 0,12N. Este frasco, cheio de gasolina, pesa 0,42N 
 e, cheio d'água pesa 0,52N. Determine a densidade absoluta dessa amostra de 
 gasolina, em kg/m^3.
 
 Depois de fazerem uns cálculos estranhos  me garantiram que a resposta é  
 0,18 x 10^4 kg/m^3.
 E o pior é que era essa a resposta na apostila.
 
 Me ajudem, pois minha resposta é outra.
 
 (^_^)
 
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Re: [obm-l] Re:[obm-l] Um problema de Física ( Densidade)

[Eduardo Henrique Leitner]

observe que a sua resposta eh impossivel, pois se a densidade da gasolina fosse maior 
que da agua, e o volume de liquido em ambas as pesagens for o mesmo, o balde com 
gasolina deveria pesar mais, e nao eh o que ocorre...

On Fri, Oct 22, 2004 at 04:30:21PM -0300, Osvaldo Mello Sponquiado wrote:
 Olá !, minha tentativa é:
 
 
 [Adotando g=9,81 m/s^2; p_agua=10^3 kg/m^3]
 
 Frasco: m_frasco.9,81=0,12=m_frasco=12,23g
 Água: P_água=0,52-0,12=0,4N=(10^3.V).9,81=0,4=V=4.10^-5 m^3
 
 Supondo que o volume ocupado pela água e a gasolina seja o MESMO, temos:
 
 P_gasolina=0,42-0,12=0,3N= (p_gas.4.10^-5).9.81=0.3=7,645 . 10^3 kg/m^3, ou seja,
 7,6 vezes mais pesado do que a água.
 
 []'s
 
 
  
  Colegas, me ajudem a tirar um dúvida neste problema:
  
  Um frasco de vidro pesa 0,12N. Este frasco, cheio de gasolina, pesa 0,42N 
  e, cheio d'água pesa 0,52N. Determine a densidade absoluta dessa amostra de 
  gasolina, em kg/m^3.
  
  Depois de fazerem uns cálculos estranhos  me garantiram que a resposta é  
  0,18 x 10^4 kg/m^3.
  E o pior é que era essa a resposta na apostila.
  
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Re:[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Angelo Barone Netto]

3^ee^3
Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
=
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Re:[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Osvaldo Mello Sponquiado]

 A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?  


(100-1)^100=
100^99=100^(100-1)

Chamando a=(100-1) e b=100

Devemos comparar a^b com b^a para ba1

Este exercício ja foi provado na revista Eureka em um 
de seus problemas propostos.

Assim temos que b^aa^b sempre que ba1 reais.

Logo 99^100100^99



 
Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
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Re: [obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Nicolau C. Saldanha]

On Wed, Oct 13, 2004 at 08:29:39PM -0300, [EMAIL PROTECTED] wrote:
 A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99? 

Considere f(x) = x^(-1) log(x), que é contínua e derivável para x  0.
Temos f'(x) = - x^(-2) log(x) + x^(-2) = x^(-2) (1 - log(x)).
Assim f é decrescente a partir de x = e, donde f(99)  f(100),
log(99)/99  log(100)/100, 100 log(99)  99 log(100), e finalmente,
tirando a exponencial dos dois lados,
99^100  100^99.

[]s, N.
=
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Re:[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Osvaldo Mello Sponquiado]

Desconsiderar minha mensagem anterior. Que erro brutal !

  A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?  
 
 
 (100-1)^100=
 100^99=100^(100-1)
 
 Chamando a=(100-1) e b=100
 
 Devemos comparar a^b com b^a para ba1
 
 Este exercício ja foi provado na revista Eureka em um 
 de seus problemas propostos.
 
 Assim temos que b^aa^b sempre que ba1 reais.
 
 Logo 99^100100^99
 
 
 
  
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 Osvaldo Mello Sponquiado 
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[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[jorgeluis]

Ok! Felipe e demais colegas!

Considere sobre cada lado de um triângulo equilátero n-1 pontos que, juntamente
com os vértices, dividem cada lado em n segmentos de mesmo comprimento.
Ligando-se todos esses pontos, dois a dois, por meio de segmentos paralelos aos
lados, muitos triângulos equiláteros, de vários tamanhos, são obtidos. Qual é,
em função de n, o número total de tais triângulos?

NOTA: Este trabalhoso problema foi proposto em uma Olimpíada de Matemática da
Unicamp. Sem sombra de dúvidas, deve ter consumido todo o tempo da prova. Será
que existe outra saída mais prática através de figuras evitando assim a enorme
calculeira já que Uma figura vale mil palavras.

A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?   Abraços!



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Re: [obm-l] UM PROBLEMA DE CONTAGEM!

[Claudio Buffara]

Uma ideia eh usar que (1+1/n)^n eh uma sequencia monotona crescente que
converge pra e:

100^99/99^100 = (1/99)*(100/99)^99 = (1/99)*(1 + 1/99)^99  e/99  1 ==
100/99  99^100.

[]s,
Claudio.

on 14.10.04 02:02, Ricardo Bittencourt at [EMAIL PROTECTED] wrote:

 [EMAIL PROTECTED] wrote:
 
 A propósito, qual a maior medida: 99^100 ou 100^99?   Abraços!
 
 Deve ter jeito fácil de fazer, eu naturalmente só sei
 o jeito difícil hehe
 
 Considere o binômio de Newton:
 
 (a+b)^n=sum[1,n]{binomial(n,i).a^(n-i).b^i}
 
 Substituindo a=99, n=99, b=1:
 
 100^99=(99+1)^99=
 sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i).1^99}=
 sum[1,99]{binomial(99,i).99^(99-i)}=
 sum[1,99]{99!/i!/(99-i)! .99^(99-i)}=
 sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)}
 
 Agora basta ver o conteúdo de cada termo do somatório.
 Cada termo é formado de um número de parcelas. Primeiro eu
 tenho (i) parcelas, que vão de 99 a (99-i+1), ou seja, todos
 elas são menores ou igual a 99. Depois eu tenho mais
 (99-i) parcelas iguais a 99, que obviamente são menores
 ou iguais a 99. Ou seja, no total eu tenho (i+99-i)=99 parcelas
 menores ou iguais a 99. Como isso ainda vai dividido por i!,
 então cada termo do somatório é menor que 99^99 (exceto
 quando i=1, mas isso não afeta o raciocínio). Então:
 
 sum[1,99]{prod[1,i]{100-i}/i!.99^(99-i)}  99.(99^99)
 100^99  99(99^99)
 100^99  99^100
 
 
 Ricardo Bittencourt   http://www.mundobizarro.tk
 [EMAIL PROTECTED]  kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita
 -- União contra o forward - crie suas proprias piadas --
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=

[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTEXTUALIZAÇÃO!

[jorgeluis]

Ok! Qwert e demais colegas!

Considere uma classe de 27 alunos e que a nota média de uma prova realizada por
esses alunos tenha sido 1,875. Sabendo que as notas foram dadas de 0,25 em
0,25, qual o número máximo de alunos que podem ter conseguido 3,75, uma vez que
apenas dois alunos conseguiram a nota mais alta, que foi 4,25?

A propósito, com os conhecimentos que você já tem de estatística que número está
faltando na sequência 1, 2, 4, 5, ...?


Abraços!



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[obm-l] Re:[obm-l] UM PROBLEMA DE CONTEXTUALIZAÇÃO!

[Osvaldo Mello Sponquiado]

 A propósito, com os conhecimentos que você já tem de 
estatística que número está
 faltando na sequência 1, 2, 4, 5, ...?

Não se pode determinar.
Há infinitas leis de formação desta sequencia com 
cara de série.

É só considerar, por exemplo, o polinôminio 
interpolador nos pontos dados mais um outro ponto 
generico, de abssissa k (como parâmetro) do polinômio.

Uma possivel lei seria a_n=a_(n-1)+1, se n é par
e a_n=a_(n-1)+2 se n é impar mas a inferência aqui 
seria muito grosseira.

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
Engenharia Elétrica, 2ºano 
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=

[obm-l] RE: [obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[Rogerio Ponce]

Olá Jorge e colegas da lista!
Consideremos gotas de água e vinho com o volume V. Portanto, temos 1/V gotas 
em cada vaso.

A cada gota de água que sai e cada gota de vinho que entra, a quantidade de 
água no vaso inferior é diminuída (multiplicada) pelo fator (1-V).

Portanto, ao final do escoamento do vinho, a quantidade de água remanescente 
será igual a
Agua= (1-V) ^ (1/V)  , ou seja,   Agua= e^[ln(1-V) / V ]

E por l´Hopital, quando V- 0 , Agua -1/e .
Abraços a todos,
Rogério.
--- from: jorgeluis -
Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok!

Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual 
capacidade
cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o 
vaso
de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho
estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior?
_
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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

[obm-l] Re:[obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[Osvaldo Mello Sponquiado]

 No quadrinho Born Loser por Art Sansom, Brutus 
manifesta alegria por um
 aumento de temperatura de 1° para 2°. Ao lhe 
perguntarem a razão, respondeu:
 Está agora duas vezes mais quente que hoje de 
manhâ Por que Brutus errou mais
 uma vez?

Supondo que o calor fornecido seja sensível temos que
Q= m.INT(c.dt)[int = integral definida de de t0 
até tf]

Supondo que o sistema seja fechado temos que m=cte.
logo a capacidade térmica do ar seria dada por C(c)=m.c
(t)
Sei, por hipótese, que na situação final o ar está 
duas vezes mais quente que na situação inicial o que 
equivale a dizer que C_final=2.C_inicial
daí  temos que c_final=2c_inicial
Mas a variação de c deve ser relativamente pequena 
(axo que só visualisando curvas empíricas) logo 
contradizemos o fato de que o aumento de temperatura 
de 1° para 2° pode ser justificado pela sensação 
termica (acho que foi isso que vc quis dizer com 
quente).


Bom, faz mais de um ano e meio que não vejo Química, 
talvez o que eu disse esteja tudo errado, 
mais de qualquer forma valew !


Até mais.





 
 
 __
 WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br.
 
===
==
 Instruções para entrar na lista, sair da lista e 
usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
 
===
==
 

Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado 
2º ano em Engenharia Elétrica 
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=

Re: [obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[kleinad]

Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok!

Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual
capacidade
cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o
vaso
de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho
estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior?

Acreditando que a quantidade de cada espécie de líquido que escoa da mistura
deva ser proporcinal à fração que há deste líquido na mistura, o volume
final (quando cai a última gota de vinho do vaso superior) de água será de
1/e, correto? Mas como resolver isso sem usar derivada?!

[]s,
Daniel

=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re:[obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[kleinad]

Bem, eu acho que era pra dizer apenas que a temperatura não estava sendo
medida em Kelvin, mas em Celsius, e portanto um aumento de 1 para 2 graus
Celsius não é dobrar a temperatura, longe disso...

[]s,
Daniel

Osvaldo Mello Sponquiado ([EMAIL PROTECTED]) escreveu:

 No quadrinho Born Loser por Art Sansom, Brutus
manifesta alegria por um
 aumento de temperatura de 1° para 2°. Ao lhe
perguntarem a razão, respondeu:
 Está agora duas vezes mais quente que hoje de
manhâ Por que Brutus errou mais
 uma vez?

Supondo que o calor fornecido seja sensível temos que
Q= m.INT(c.dt)[int = integral definida de de t0
até tf]

Supondo que o sistema seja fechado temos que m=cte.
logo a capacidade térmica do ar seria dada por C(c)=m.c
(t)
Sei, por hipótese, que na situação final o ar está
duas vezes mais quente que na situação inicial o que
equivale a dizer que C_final=2.C_inicial
daí  temos que c_final=2c_inicial
Mas a variação de c deve ser relativamente pequena
(axo que só visualisando curvas empíricas) logo
contradizemos o fato de que o aumento de temperatura
de 1° para 2° pode ser justificado pela sensação
termica (acho que foi isso que vc quis dizer com
quente).


Bom, faz mais de um ano e meio que não vejo Química,
talvez o que eu disse esteja tudo errado,
mais de qualquer forma valew !


Até mais.







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Atenciosamente,

Osvaldo Mello Sponquiado
2º ano em Engenharia Elétrica
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=

[obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!

[jorgeluis]

Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok!

Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual capacidade
cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o vaso
de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho
estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior?


No quadrinho Born Loser por Art Sansom, Brutus manifesta alegria por um
aumento de temperatura de 1° para 2°. Ao lhe perguntarem a razão, respondeu:
Está agora duas vezes mais quente que hoje de manhâ Por que Brutus errou mais
uma vez?

Abraços!



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=

[obm-l] Um problema de Probabilidade

[Domingos Jr.]

Olá!
Tentem fazer este daqui:
Sejam n = 1 e a_1, ..., a_n reais tais que a_1^2 + ... + a_n^2 = 1.
Sejam e_1, ..., e_n elementos de {-1, 1} escolhidos aleatoriamente de 
forma uniforme e indendente.
Mostre que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1] = c para uma constante 
absoluta c  0.

Obs: note que c não depende de n e a escolha dos a_i's é arbitrária.
Eu consigo provar que Pr[|e_1*a_1 + ... + e_n*a_n| = 1]  0 para todo n 
= 1 e toda escolha de a_i's, mas a asserção é mais forte que isso.

[ ]'s
=
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Re: [obm-l] UM PROBLEMA GENÉRICO!

[Daniel Silva Braz]

Jorge e demais,
Fiz uma analise meio corrida..e não tenho muita
certeza  se ela está correta..mas ai vai..

A e B são verdadeiros e falam o que pensam
C e D são mentirosos e falam o contrário do que pensam
A e C têm idéias corretas sobre as coisas
B e D pensam tudo ao contrário

(1) Quem és tú? O gêmeo respondeu-lhe com um dos
quatro nomes e o prof. soube quem
ele era
(2) Quem acreditas que és? De novo o gêmeo lhe
respondeu com 
um dos quatro nomes e o prof. soube quem ele era

R: O que o gêmeo reponse ; P: O que o gêmeo pensa
V: Responde ou pensa a verdade ; M: Não responde ou
não pensa a verdade

(1) RP R
 A  VV V - Fala sempre a verdade
 B  VM M - Fala sempre mentira
 C  MV M - Fala sempre mentira
 D  MM ? - Nem sempre fala a verdade

.:. A ou D

(2) RP R
 A  VV V - Fala sempre a verdade
 B  VM V - Fala sempre a verdade
 C  MV M - Fala sempre mentira
 D  MM M - Fala sempre mentira

.:. A ou B

(1)(2) - A

[]s
daniel

==

 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: 
 OK! Daniel e demais colegas!
 
 Quatro gêmeos da mesma turma de um colégio,
 vestem-se da mesma maneira. A e B
 são verdadeiros - dizem sempre o que pensam - e os
 outros dois irmãos são
 mentirosos - dizem sempre o contrário do que pensam.
 Outra característica
 destes gêmeos é a seguinte: enquanto A e C têm
 idéias corretas sobre tudo, B e
 D pensam tudo ao contrário. Um dia, o professor de
 matemática encontra um deles
 no recreio e pergunta-lhe: Quem és tú? O gêmeo
 respondeu-lhe com um dos
 quatro nomes e o professor ficou sabendo quem ele
 era. Pouco depois, o
 professor de Física encontrou o mesmo gêmeo e
 perguntou-lhe: Quem acreditas
 que és? De novo o gêmeo lhe respondeu com um dos
 quatro nomes e o professor
 ficou sabendo quem ele era. Afinal, quem era ele?
 
 NOTA: Este problema foi uma adaptação do To Mock a
 Mockingbird, de Raymond
 Smullyan, Oxford University Press, 1985.
 
 Divirtam-se!!!
 
 
 
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[obm-l] UM PROBLEMA DO COTIDIANO!

[jorgeluis]

OK! Pessoal!

Doze candidatos a prefeito participaram de um programa de entrevistas na TV. Em
um certo momento um candidato disse: Antes de mim uma mentira foi dita. Outro
disse: Agora duas mentiras foram contadas. Agora três mentiras, disse um
terceiro. E assim continuou até o décimo segundo dizer: Agora 12 mentiras
foram contadas. Neste momento o mediador terminou a discussão. No mínimo um
dos candidatos armou corretamente o número de mentiras ditas antes dele falar.
Quantas mentiras foram de fato ditas pelos candidatos?


A propósito, qual dos relógios devo comprar: um que marca a hora certa somente
uma vez por ano ou o que marca a hora certa duas vezes por dia? É a nova!


Bom Final de Semana!



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[obm-l] UM PROBLEMA GENÉRICO!

[jorgeluis]

OK! Daniel e demais colegas!

Quatro gêmeos da mesma turma de um colégio, vestem-se da mesma maneira. A e B
são verdadeiros - dizem sempre o que pensam - e os outros dois irmãos são
mentirosos - dizem sempre o contrário do que pensam. Outra característica
destes gêmeos é a seguinte: enquanto A e C têm idéias corretas sobre tudo, B e
D pensam tudo ao contrário. Um dia, o professor de matemática encontra um deles
no recreio e pergunta-lhe: Quem és tú? O gêmeo respondeu-lhe com um dos
quatro nomes e o professor ficou sabendo quem ele era. Pouco depois, o
professor de Física encontrou o mesmo gêmeo e perguntou-lhe: Quem acreditas
que és? De novo o gêmeo lhe respondeu com um dos quatro nomes e o professor
ficou sabendo quem ele era. Afinal, quem era ele?

NOTA: Este problema foi uma adaptação do To Mock a Mockingbird, de Raymond
Smullyan, Oxford University Press, 1985.

Divirtam-se!!!



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[obm-l] UM PROBLEMA PROBLEMÁTICO!

[jorgeluis]

Existem cinco mochilas com 20 moedas cada uma. As moedas deveriam pesar 10
gramas cada uma. Mas só as moedas de três mochilas pesam exatamente 10 gramas
cada uma. As de uma mochila pesam 9 gramas e as de outra pesam 11 gramas cada
uma. Como reconhecer, com uma só pesagem, qual a mochila das moedas mais
pesadas e qual a mochila das moedas mais leves? A pesagem deve ser feita numa
balança de um só prato, com um mostrador no qual há um ponteiro que indica o
peso exato do objeto posto no prato.

NOTA: Gostaria da opinião dos colegas. Grato pela atenção!


A propósito, qual a diferença entre as 53 das 67 partes iguais de um retângulo,
e uma das 67 partes iguais de 53 retângulos, todos do mesmo tamanho?


Um abraço à todos!



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Re: [obm-l] UM PROBLEMA PROBLEMÁTICO!

[Alexandre Freitas]

A pesagem deve ser feita da seguinte maneira:

Coloca-se:
1 moeda da primeira mochila
3 moedas da segunda mochila
9 moedas da terceira mochila
14 moedas da quarta mochila

Não é preciso pesar nenhuma moeda da quinta mochila.
Como foram colocadas 27 moedas no prato da balança, o peso
deve ficar próximo aos 270 gramas, com uma variação possível
de + ou - 14 gramas.
Após fazer a leitura da balança, e obter a diferença em relação
ao peso ideal (270 gramas), basta achar a combinação dos
pesos (só existirá uma possível) que determina a diferença. Ex:

balança = + 8 gramas = + 8 = + 9 - 1 = mochila 3 mais pesada
(sinal positivo) e mochila 1 mais leve (sinal negativo).


balança = - 5 gramas = - 5 = - 14 + 9 = mochila 4 mais leve
(sinal negativo) e mochila 3 mais leve (sinal positivo).


balança = - 9 gramas = - 9 = - 9 (alguma dúvida? ;-) ) = mochila 3
mais leve (sinal negativo) e mochila 5 (não foi pesada) mais pesada.


Até +
Alexandre Freitas
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Existem cinco mochilas com 20 moedas cada uma. As moedas deveriam pesar 10gramas cada uma. Mas só as moedas de três mochilas pesam exatamente 10 gramascada uma. As de uma mochila pesam 9 gramas e as de outra pesam 11 gramas cadauma. Como reconhecer, com uma só pesagem, qual a mochila das moedas maispesadas e qual a mochila das moedas mais leves? A pesagem deve ser feita numabalança de um só prato, com um mostrador no qual há um ponteiro que indica opeso exato do objeto posto no prato.NOTA: Gostaria da opinião dos colegas. Grato pela atenção!A propósito, qual a diferença entre as 53 das 67 partes iguais de um retângulo,e uma das 67 partes iguais de 53 retângulos, todos do mesmo tamanho?Um abraço à todos!__WebMail UNIFOR -
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[obm-l] UM PROBLEMA PECULIAR!

[jorgeluis]

OK! Artur, Rogério e demais colegas! vejam outro problema que tenho dúvidas!!!

Cada um dos três envelopes A, B e C contém duas notas. Ao todo, há três notas de
$5 e três notas de $10, totalizando os $45 da soma das importancias indicadas
nos envelopes. Mas cuidado! Todos os envelopes estão marcados incorretamente.
Sem ver o conteúdo dos envelopes e retirando uma única nota para ler seu valor,
descubra qual o conteúdo de cada envelope.

ABC
   $20  $10  $15


Abraços!



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RES: [obm-l] UM PROBLEMA PECULIAR!

[Guilherme]

Olá, Jorge!

Retire uma nota do envelope C (que marca 15).
Se ela for de 5, então este envelope só pode ter duas notas de 5, pois
não pode ter 15 reais (todos estão errados, lembra?)
Logo, o A só pode ter 15 e o B só pode ter 20.
Se ela for de 10, pelo mesmo raciocínio, o correto é A = 10 , B = 15 , C
= 20

Um grande abraço, 

Guilherme Marques.


-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em
nome de [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: quarta-feira, 14 de julho de 2004 19:20
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] UM PROBLEMA PECULIAR!


OK! Artur, Rogério e demais colegas! vejam outro problema que tenho
dúvidas!!!

Cada um dos três envelopes A, B e C contém duas notas. Ao todo, há três
notas de $5 e três notas de $10, totalizando os $45 da soma das
importancias indicadas nos envelopes. Mas cuidado! Todos os envelopes
estão marcados incorretamente. Sem ver o conteúdo dos envelopes e
retirando uma única nota para ler seu valor, descubra qual o conteúdo de
cada envelope.

ABC
   $20  $10  $15


Abraços!



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=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =
Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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Re: [obm-l] Um problema interessante

[Lista OBM]

Meu caro Cláudio, não entendi a passagem abaixo:

M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2)
Grato.Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
Acho que dah ateh pra dizer mais: se E e F forem espacos vetoriais normados e E tiver dimensao finita (digamos, igual a n) sobre R e T: E - F for uma transformacao linear, entao T eh Lipschitziana e, portanto, uniformemente continua.Seja {a_1, a_2, ..., a_n} uma base ortonormal de E.T eh unicamente determinada pelos valores que assume nos a_i:b_1 = T(a_1), b_2 = T(a_2), ..., b_n = T(a_n).Seja M = max{||b_1||, ||b_2||, ..., ||b_n||}.Sejam x e y pertencentes a E. Podemos escrever:x = x_1*a_1 + ... + x_n*a_n e y = y_1*a_1 + ... + y_n*a_n, onde os x_i's e y_j's sao escalares reais.Teremos:||x - y|| =||(x_1 - y_1)*a_1 + ... + (x_n - y_n)*a_n|| =raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) (pois a base {a_i} eh ortonormal).Alem disso:||T(x) - T(y)|| = ||T(x
 - y)|| = ||(x_1 - y_1)*b_1 + ... + (x_n - y_n)*b_n|| =|x_1 - y_1|*||b_1|| + ... + |x_n - y_n|*||b_n|| =M*(|x_1 - y_1| + ... + |x_n - y_n|) =M*raiz(n)*raiz((x_1 - y_1)^2 + ... + (x_n - y_n)^2) =M*raiz(n)*||x - y||Ou seja, T eh Lipschitziana.Dado eps  0, se tomarmos delta = eps/(M*raiz(n)), teremos:||x - y||  delta == ||T(x) - T(y)|| = (M*raiz(n))*||x - y||  eps.Ou seja, T eh uniformemente continua.A condicao de E ser de dimensao finita eh essencial para a continuidade de T.O contra-exemplo classico eh o espaco vetorial dos reais sobre os racionais, cuja dimensao eh infinita (qualquer base de R sobre Q nao soh eh infinita como tambem eh nao-enumeravel).Dada uma base de R sobre Q, definimos T:R - R por:T(x) = soma das coordenadas de x em relacao a base fixada.Claramente, T eh linear. Soh que T(R) estah contida em Q.Logo, T nao obedece ao teorema do valor
 intermediario e, portanto, nao eh continua (em ponto algum de R).[]s,Claudio.on 15.06.04 16:23, Lista OBM at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Um problema interessante: Sabemos que toda transformação linear T: R^n -- F, onde F é um espaço vetorial normado, é contínua. Será que isso é valido para todo espaço vet. normado E isomorfo ao  R^n, i.e., T: E -- F é contínua. Éder. 

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