Re: [obm-l] Conversão de Números em B ase Negativa
Henrique Rennó wrote: Eu acredito que a função mod implementada em linguagens de programação podem diferir em resultado. Acredito que isso deva ser um assunto bem antigo, pois a função mod deve existir desde que as linguagens começaram a ser implementadas. Sim, isso é verdade. Em C, por exemplo, (-1)%2 = -1. Já em Python, (-1)%2=1. Em Haskell tem os dois jeitos, você pode usar rem ou mod. Nesses casos é bom pegar a referência da linguagem que você está usando. No caso específico da conversão de números, use o módulo dos dois lados pra garantir o resultado não-negativo. A conversão 1001(10) para base (-2) seria o problema de achar os valores de N e A[i] (0 = i = N) para os quais a seguinte igualdade seja verdadeira (na verdade termos com base elevada a valores N seriam 0, ou seja, A[j] = 0 para j N): 1*(10)^3 + 0.(10)^2 + 0.(10)^1 + 1.(10)^0 = A[N]*(-2)^N + A[N-1]*(-2)^(N-1) + A[N-2]*(-2)^(N-2) + ... + A[1]*(-2)^1 + A[0]*(-2)^0 Tá certinho, só faltou dizer que 0=A[i]abs(N) Não é difícil continuar daqui, basta notar que você pode isolar um (-2)^1 no lado direito: x = (A[N]*(-1)^(N-1)+.+A[1]*(-2)^0) * (-2)^1 + A[0]*(-2)^0 x - A[0] = (A[N]*(-1)^(N-1)+.+A[1]*(-2)^0) * (-2) Ou seja (x-A[0]) precisa ser um múltiplo de (-2), o que justifica a passagem na conversão. O algoritmo então fica: 1. Ache A[0] tal que 0=A[0]abs(N) e (x-A[0]) seja múltiplo de (-2) 2. Calcule (x-A[0])/(-2) = A[N]*(-1)^(N-1)+.+A[1]*(-2)^0 3. Você reduziu o problema ao caso anterior, itere até acabar. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Malba Tahan
regis barros wrote: gostaria quem leu o livro, O homem que calculava, que descobrisse como calcular com 4 quatros o número 99. eu encontre uma solução e gostaria de ter outras. Acho que eu já mandei minha solução pra lista no passado: http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg27989.html -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conversão de Números em B ase Negativa
Marcelo Salhab Brogliato wrote: Olá Henrique, isso foi questao de uma competicao de programacao do site TopCoder.. Também tem uma questão assim no site do SPOJ: http://www.spoj.pl/problems/NEG2/ E no site do UVA tem uma mais legal, onde a base é o complexo (i-1): http://acm.uva.es/p/v111/11180.html Não sei se isso é off-topic nessa lista, imagino que não porque envolve matemática. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conversão de Números em B ase Negativa
Henrique Rennó wrote: Olá Ricardo! Por acaso você é o ricbitbr no TopCoder??? Sou eu sim, sempre que dá eu faço uns SRMs por lá. Ainda estou em dúvida com relação a esse problema. Suponha a seguinte conversão: 1001(10) = n(-2) ou seja, passar o número 1001 na base 10 para n na base -2. (resposta: n = 1111001) Qual seria o procedimento para efetuar essa conversão??? Converter de decimal pra binário você sabe né? Se for ímpar, subtrai 1 e divide por 2; se for par, divide por 2; repete até chegar em zero. Com base -2 é exatamente a mesma coisa, só que você divide por -2: 1001 (1) 1001-1=1000/-2=-500 -500 (0) -500/-2=250 250 (0) 250/-2=-125 -125 (1) -125-1=-126/-2=63 63 (1) 63-1=62/-2=-31 -31 (1) -31-1=-32/-2=16 16 (0) 16/-2=-8 -8 (0) -8/-2=4 4 (0) 4/-2=-2 -2 (0) -2/-2 =1 1 (1) 1-1 =0 Lendo os restos de trás para frente, 1111001. Agora é só generalizar para outras bases (negativas ou complexas). -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conversão de Números em B ase Negativa
Henrique Rennó wrote: Não entendi a generalização. Seja o exemplo -123456789(10) para base -7. A resposta é 3031330536(-7). Seguindo a forma que você fez para a base -2 daria o mesmo resultado? Como resolver este exemplo? Qual número não-negativo menor que 7 você precisa subtrair de -123456789 pra ele ficar um múltiplo de 7? É 6 né? Olha só: -123456789-6=-123456795 ; -123456795/-7= 17636685 Repetindo, qual número não-negativo menor que 7 você precisa subtrair de 17636685 pra ele ficar um múltiplo de 7? Nesse caso é 3: 17636685-3=17636682 ; 17636682/-7= -2519526 Se você continuar os outros dígitos vão aparecer, de trás para frente. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Complexos em Geometria e Napoleao
claudio.buffara wrote: Tem um artigo legal na Eureka sobre aplicaoes de complexos em geometria. Estah aqui: http://www.obm.org.br/eureka/artigos/aplicacoes.pdf Aproveitando o tópico: se eu quiser distribuir n pontos ao longo de uma circunferência, de tal modo que a menor distância entre dois pontos seja máxima, eu vou distribuir os pontos de maneira uniforme, particionando a circunferência em n arcos de comprimento igual. Nesse caso, a posição dos pontos pode ser dada por exp(2*pi*i*x/n) pra x=0,n-1. A minha dúvida é: existe resultado análogo pra n pontos em uma superfície esférica? Eu tenho como definir algum tipo de tritenion pra resolver o problema por esse caminho, assim como eu uso complexos na circunferência? -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] cos de racional
Além de cos 0=1, existe outro cosseno de racional cujo resultado é racional? -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] probleminha da en
arkon wrote: Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, bolero e rock? Analisa o pior caso. Primeiro só samba e choro, se 70% gostam de samba, então 30% não gostam; no pior caso, esses 30% que não gostam de samba gostam de choro, então 75-30=45% gostam de samba e choro. Por raciocinio análogo, 20% não gostam de bolero, então o pior caso é que 85-20=65% gostem de bolero e rock. Mais uma vez, se 45% gostam de samba e choro, então 55% não gostam dos dois ao mesmo tempo. Daí, 65-55=10% é total mínimo de pessoas que gostam dos quatro conjuntos. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funcoes
Sao infinitas funcoes ne', se f(x)=0 entao o produto e' zero, o mesmo
vale quando f(x)=x. Entao qualquer combinacao de x e 0 funciona. Voce
pode, por exemplo, fazer f(x)={0 se x e' racional, x se x e'
irracional}, ou entao f(x)={0 se x e' inteiro, x caso contrario}, ou
qualquer outra coisa.
Klaus Ferraz wrote:
(OBM)Se f:R-R é uma funcao tal que para todo x E R, f(x)(f(x)-x)=0,
entao:
a)f é uma funcao nula.
b)f é a funcao identidade, ou seja, f(x)=x para todo x real.
c)f é a funcao nula ou a funcao identidade.
d)Há 4 possibilidades para f.
e)Há infinitas funcoes f.
Meio esquisita essa dai.
Re: [obm-l] Dúvida conceitual ( ou de inglês )
Ramon Gondim wrote: Então, o que vem a ser um número relativamente primo em relação a 6? Ou não quer dizer isso ? A e B são relativamente primos quando não têm divisores comuns. Ou seja, mdc(A,B)=1. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.
Bruno Carvalho wrote: 4) Mostrar que ^+ ^ é divisível por 7. Esse tipo de coisa você resolve com o teorema de fermat: n^(p-1)=1 (mod p). No caso em questão: =3 (mod 7) =4 (mod 7) =2 (mod 6) =5 (mod 6) ^+^ = 3^5+4^2 (mod 7) 3^5+4^2 = 243+16 = 259 = 0 (mod 7) QED -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ajuda em problemas de congruência.
Bruno Carvalho wrote: 2)Mostrar que para todo inteiro positivo /n/: a) 2^n é congruente a 1 (mód. 3). b) 2^4n é congruente a 1(mód.15) c) 2^3n é congruente a 1 ( mód.7) No item (a) acho que você digitou errado, não era pra ser 2^2n? 2^n falha pra n=3, pois 8 não é congruente a 1 (mod 3). Em todos os casos o truque é o mesmo: 2^2n=(2^2)^n=4^n=1^n=1 (mod 3) 2^4n=(2^4)^n=16^n=1^n=1 (mod 15) 2^3n=(2^3)^n=8^n=1^n=1 (mod 7) -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Como se resolve limite?
Washington wrote: Vc chama uma simples fatoração do tipo a^3+b^3=(a+b)(a^2-2ab+b^2) de teorema? Não sei diferenciar teorema de uma fórmula. Isso não é nem um teorema e nem uma fórmula, é uma proposição falsa. O correto seria a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatoriais
Pedro Cardoso wrote: Olá, amigos da lista. Preciso da ajuda de vocês pra resolver essa daqui: Fica óbvio que, para n =1, (n^2)! = (n!)^2 = 1, e que, para n =2 (maior ou igual a 2), depois de fazer alguns testes, (n^2)! (n!)^2. Mas eu queria uma solução mais elegante, que não abusasse de testes. Enfim, uma prova. Você pode fazer infinitos testes; por aqui a gente chama isso de indução. Pro caso n=2 é facil né: (2^2)! = 4! = 24 ; (2!) ^2 = 4^2=16 (2^2)! (2!)^2 Agora suponha que é verdade para n=a, e vamos ver o que acontece pra a+1: I. ((a+1)^2)! = (a^2+2a+1)! = (a^2)! .(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) Como (a^2)!(a!)^2, então (a^2)! .(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) (a!)^2.(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) Eu nem preciso de tantos termos multiplicando, dois pra mim tá bom. Sabemos que a^2+1 a+1 e a^2+2 a+1 , sempre que a1; daí segue que: (a!)^2.(a^2+1).(a^2+2)...(a^2+2a+1) (a!)^2.(a^2+1).(a^2+2) II. (a!)^2.(a+1).(a+1) = ((a+1)!)^2 Comparando I com II: ((a+1)^2)! ((a+1)!)^2, que é o que você queria demonstrar. -- Ricardo Bittencourt = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sequencia basica
Eduardo Soares wrote: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = Acho que o jeito mais fácil é abrir essa somatória numa soma dupla: 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=2) + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=1) + 1/4 + 1/8 + 1/16 + (=1/2) + 1/8 + 1/16 + (=1/4) + etc A soma dos termos na linha n é igual a 2/2^n (soma simples de pg). Por sua vez, a soma de todos os termos da forma 2/2^n é 4. Logo, 1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 ... = 4 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] LIMITES
Marcio Cohen wrote: Oi Marcelo. Você pode multiplicar S por (1-1/2)/(1-1/2) e concluir que S não só converge, mas tem forma fechada simples. Usando que (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 repetidas vezes (ou por indução), S(n) = 2*(1 - 1/2^(n+1)), logo S tende a 2. Na verdade S(3)=3*5*9/(2*4*8)=135/64=2.109375 2, e como S(n)S(n+1) com certeza ela converge pra algo maior que 2. O erro no seu raciocínio é que você gera termos da forma (1+1/2^2^n), e não (1+1/2^n) como você gostaria. Numericamente, esse limite converge para aproximadamente 2.384231. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] ex de complexos
vinicius aleixo wrote: 1)Ache todas as raizes de 32z^5 =(z+1)^5 32z^5=(2z)^5=(z+1)^5 (2z/(z+1))^5=1 Isso é o mesmo que cinco equações, uma pra cada raiz quinta de 1. Sendo n um inteiro de 0 a 4, as equações são: 2z/(z+1)=exp(n*j*2*pi/5) Logo: 2z=(z+1)*exp(n*j*2*pi/5) z(2-exp(n*j*2*pi/5)=exp(n*j*2*pi/5) z= exp(n*j*2*pi/5) / (2-exp(n*j*2*pi/5)) Você pode substituir numa calculadora pra ver o valor numérico: 1. -0.1015 + 0.5054i -0.1015 - 0.5054i -0.3179 + 0.1427i -0.3179 - 0.1427i Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação, somatória e tr iângulo isósceles
J. Renan wrote: 2- Seja a definição [x] a parte inteira do nº real x, use-a para encontrar uma fórmula para somatória de i = 1 até i = (n²-1) de [(i^1/2)] em função de n. (Resposta: n*(n-1)*(4n+1)/6 Inicialmente notamos [i^1/2]=a, sempre que a^2= i =(a+1)^2-1. Isso significa que o termo a aparece na somatória x vezes, onde x = [(a+1)^2-1]-[a^2]+1 = a^2+2a+1-1-a^2+1= 2a+1 Logo a somatória pode ser reescrita como: sum(a=1,n-1) (a*(2a+1)) Isso pode ser aberto como: sum(a=1,n-1) (2a^2) + sum(a=1,n-1) (a) Lembro que: sum(a=1,n)(a^2)=n(n+1)(2n+1)/6 sum(a=1,n)(a)=n(n+1)/2 E então basta substituir: sum(a=1,n-1) (2a^2) + sum(a=1,n-1) (a)= 2(n-1)(n-1+1)(2(n-1)+1)/6 + (n-1)(n-1+1)/2= 2(n-1)(n)(2n-1)/6 + 3(n-1)(n)/6= n(n-1)(4n-2+3)/6= n(n-1)(4n+1)/6 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Equação, somatória e tr iângulo isósceles
J. Renan wrote:
{ Isso significa que o termo a aparece na somatória x vezes, onde x =
[(a+1)^2-1]-[a^2]+1 = a^2+2a+1-1-a^2+1= 2a+ }
Por que ele aparece essas x vezes? Qual o argumento para encontrar esse x?
Analise um caso pequeno que fica simples:
... 3^2 4^2
i ... 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ...
[i^1/2] ... 2 3 3 3 3 3 3 3 4 ...
O 3 aparece 7 vezes, mas 7=15-9+1
sendo que 15=(3+1)^2-1 e 9=3^2
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Re: [obm-l] Somatorios de potencias dos naturais
Bruno Bonagura wrote: Enfim, depois de algumas idéias e algumas observações dos azuleijos do banheiro (rs), criei uma demonstração para tal fórmula. Não sei se já foi feita, mas estou sendo sincero ao dizer que a criei sem consultar algo semelhante já produzido. Gostaria que olhassem, criticassem possíveis erros, etc. Mas, principalmente, me digam se já está na literatura corrente esta demonstração. Ela está disponível no meu blog (http://bbonagura.blog.uol.com.br/) no post com título Empilhando quadrados. Procura um livro chamado Concrete Mathematics, do Knuth, ele tem praticamente um capítulo inteiro só com diferentes demonstrações dessa fórmula, incluindo algumas similares à sua. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] duvida
Marcus wrote: Prove que 1 + 1 = 2 ? Acho que essa pergunta não tem muito sentido tal como foi proposta, você precisaria também falar em qual conjunto de axiomas a resposta deve ser dada. Se for com os axiomas de Peano, a resposta tem pouco menos de 10 linhas, se for direto na teoria de conjuntos, aí a coisa fica muito, muito grande. De curiosidade, na página abaixo tem a dedução completa de 2+2=4 até chegar no cálculo proposicional: http://us.metamath.org/mpegif/mmset.html#trivia Mas, talvez mais interessante, é o mapeamento que ele faz de axiomas em notas musicais, permitindo que você ouça a demonstração do teorema: http://us.metamath.org/mpegif/mmmusic.html Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] numero de partidas de xadrez
Artur Costa Steiner wrote: Eu acho que, formulado desta forma, ha infinitas possibilidades. Eh verdade que, pelas regras, se um dos jogadores ficar soh com o rei, entao o adversario tem, no maximo, 50 lances para dar xeque mate. Mas, mesmo assim acho que eh possivel fazer jogadas ciclicas, de modo que o numero de lances necessario para decidir uma partida eh, ainda assim, ilimitado. Isto eh, cada partida termina em um numero finito de lances, mas para todo M0 existe uma partida que termina em mais de M lances. Eu não sei qual sistema de regras você usa, mas em alguns conjuntos de regras, é proibido visitar a mesma configuração de pedras mais que n vezes, caso aconteça o jogo termina em empate. Isso o torna o número de jogadas possível finito. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: RES: [obm-l] Teste de Automacidade
Demetrio Freitas wrote: Com certeza você precisa restringir o problema. Vc precisa saber que tipo de sistema vc está amostrando. Complementando a resposta, se o sistema for sabidamente linear, então ele é completamente caracterizado pela sua resposta à entrada impulsiva. Neste caso, a resposta em freqüência do sistema é dado pela transformada de Fourier da resposta ao impulso. Para saber mais, pegue qualquer livro de processamento digital de sinais, pode ser o do Oppenheim. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pontos fixos
Artur Costa Steiner wrote: Esta conclusao eh muito simples de demonstrar, mas tem um certo charme: Seja f:R - R diferenciavel em todo o R e seja g = f o f. Se g'(x) 0 para todo real x, entao f nao possui pontos fixos. Se g(x)=f(f(x)), então g'(x)=f'(f(x)).f'(x). Como g'(x)0, então há dois casos: I. f'(f(x))0 e f'(x)0, de onde f(x)x II. f'(f(x))0 e f'(x)0, de onde também f(x)x Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questões olim internacional
mentebrilhante brilhante wrote: valeu para aqueles que me ajudaram resolvendo as 2 questões anteriores . agora quem puder ajuda nessa eu agradeço ! http://img29.imagevenue.com/img.php?loc=loc298image=64fe3_fagner3.JPG Os inteiros a,b,c satisfazem a+b+c=0, prove que 2a^4+2b^4+2c^4 é um quadrado perfeito. É só fazer na unha, c=-a-b, então 2a^4+2b^4+2c^4= 2a^4+2b^4+2(-a-b)^4= 2a^4+2b^4+2(a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4)= 4a^4+8a^3b+12a^2b^2+8ab^3+4b^4= 4(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4)= Aqui eu não sei de cabeça, mas tenho a impressão que é 4(a^2+b^2+C)^2, expandindo dá: 4(a^4+b^4+C^2+2a^2C+2b^2C+2a^2b^2) E depois, subtraindo: C^2+2a^2C+2b^2C=2a^3b+a^2b^2+2ab^3, de onde você vê que C=ab, logo 2a^4+2b^4+2c^4 = (2*(a^2+ab+b^2))^2 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Mais estatística...
Luiz Viola wrote: Se 5 números são escolhidos aleatoriamente no intervalo [0,1], qual a probabilidade de que todos estejam na primeira metade do intervalo? Obs: Não sei se traduzi certo. O problema original é: “If five numbers are chosen ar random in the interval [0,1], what is the probability that they all lie in the middle half of the interval? Middle half of the interval é [0.25,0.75], mas no fim das contas dá na mesma que [0,0.5] ou qualquer outro intervalo contínuo de comprimento 0.5. A probabilidade pedida é 0.5^p, onde p é o número de pontos. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] DÚVIDA CRUEL
Artur Costa Steiner wrote: Bom, nao sei porque 2 peguntas que diferem em uma virgula. Eh alguma pegadinha? Interprtetando que, na primeira, a virgula signfique que se queira ter uma reta com infinitos pontos (toda reta tem infinitos pontos) e, alem desta reta, mais um ponto alem daqueles da reta, entao eh possivel Por exemplo, imagine que num plano tenhamos uma reta r e um ponto adicional P nao pertencente a r. Entao temos a reta r e mais o ponto P! Se o preco de um ponto for positivo, entao ninguem jamais conseguira comprar uma reta, pois nao hah no mundo dinheiro suficiente para paga-la Eu acho que ele está pensando num mapeamento da reta no círculo. Seja um círculo C e um ponto P desse círculo por onde passa uma reta tangente R. Seja ainda Q o ponto de C oposto a P. Se traçarmos uma semi-reta S partindo de Q, nós conseguimos mapear cada ponto da reta num ponto do círculo, exceto Q, que é mapeado no infinito, por assim dizer. Se R tem infinitos pontos, então C tem infinito mais 1 ponto. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desigualdade
Danilo Nascimento wrote: 1) Demonstrar que se a+b=1, entao a^4 + b^4 = 1/ 8 Deve ter jeito mais elegante, mas... Suponha sem perda de generalidade que ab. Se b for negativo, então a será maior que 1, e verifica de imediato. Como b não pode ser maior que 1, então verificamos que 0= a,b =1. Agora fazemos a=0.5+A e por consequência b=0.5-A. É fácil ver que, dentro da suposição inicial ab, então 0=A=1/2. Resta apenas então abrir a expressão: (0.5+A)^4+(0.5-A)^4 Os termos negativos vão cancelar, sobrando apenas: 1/8+ 3A^2+ 2A^4 Como 0=A, então a expressão acima necessariamente é maior ou igual a 1/8. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] funcao
Fabio Niski wrote: Em um curso que estou fazendo é recorrente o seguinte tipo de raciocinio: Descobre-se que uma certa funcao desconhecida u(x,y) - R é constante em cada circunferencia centrada na origem. Deduz-se dai que u(x,y) = f(x^2 + y^2) , onde f é uma funcao generica. Bom, pra mim é bem aceitavel esse fato, afinal se é constante em cada circunferencia o valor de u só varia quando passamos para outra circunferencia assim u é funcao de x^2 + y^2. O problema é que eu acho esse meu argumento pouco preciso matematicamente. Alguem sabe como eu demonstro (se precisar) tal fato? Mude suas variáveis pra coordenadas polares que fica imediato. Se a função, ao invés de u(x,y) for u(r,theta), o enunciado diz que u(r,theta)=f(r). Mas r=x^2+y^2, o que comprova sua constatação. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Magica Matematica
Qwert Smith wrote: Muito interessante a sua solucao. Eu abri a porta quando descrevi o problema :). No problema original como me foi passado o assistente podia escolher qual carta esconder e a ordem de entregar as 4 restantes oa magico/prof. Ou seja so poderia usar a leitura horizontal como vc colocou. Ao invés de deslocamento vertical, você pode rotacionar a carta em 90 graus. Aquela seqüência do email anterior poderia ser descrita assim: - - | - | Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Magica Matematica
Qwert Smith wrote: O assistente pega as cinco escolhidas e arruma elas na mesa do prof. sendo 4 com o valor a mostra e uma virada. O prof entao retorna pra sala e ao bater o olho nas cartas em sua mesa diz o valor e naipe da carta virada pra baixo. Os alunos apludem, cocam a cabeca, procuram marcas nas cartas ate que o prof diz: Vcs vao se dividir em pares e teram que fazer o mesmo truque pra turma. Vai valer 80% da sua nota. E ai? Vai correr e pedir transferencia pra outra turma? Compra um livro de magica pra tentar garantir a nota? Como fazer o truque? Assumindo que o assistente possa ver a carta, e que tenha liberdade de deixar as cartas na mesa do jeito que quiser, é simples. Você cria um código de antemão que numera os naipes. 0=copas, 1=espadas, 2=ouros, 3=paus, por exemplo. Na hora de dispor na mesa, você coloca à esquerda da carta escondida número equivalente de cartas abertas. Com isso o professor sabe de imediato o naipe. Isso é o arranjo na horizontal. Na vertical, o assistente escolhe colocar uma carta na mesma linha da escondida, ou acima dela, e o código é que carta abaixo=0, carta acima=1, e ele codifica o valor da carta em binário. Com 4 cartas, ele faz de 0 a 15, suficiente para todos os valores. Por exemplo, um 5 de espadas ficaria como abaixo. Notação: A=carta aberta, F=carta fechada, use fonte de espaçamento fixo. -- A A -- A F A Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Valor intermeio
Sam Tatao wrote: 2-Dado um polígono convexo e um ponto P no seu interior, demostrar que existem dois pontos A e B nos bordes do polígono, tais que o ponto medio deles é P. Este eu sei resolver. Deve ter jeito mais fácil, mas eu fiz assim: Do ponto P, trace uma semi-reta qualquer, que irá interceptar o polígono em uma distância d. Agora gire a semi-reta, de modo a percorrer todos os outros pontos do polígono (isso é possível porque ele é convexo). A distância d irá variar de acordo com uma função d(theta) que é contínua e periódica de período 2pi. O enunciado é equivalente a dizer que existe um x tal que f(x)=f(x+pi). Mas analisemos f(x) e f(x+pi). Não pode acontecer de sempre f(x)f(x+pi), senão a função seria estritamente decrescente, mas ela é periódica. Também não pode ocorrer de sempre f(x)f(x+pi), pois ela seria estritamente crescente. Então g(x)=f(x)-f(x+pi) assume pelo menos um valor positivo, e pelo menos um valor negativo. Como é contínua, então ela certamente passa pelo zero, e com isso existe o tal x tal que f(x)=f(x+pi). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geom. Plana
junior jr. wrote: ABC é um triangulo isosceles cujo ângulo do vétice B=20º, P e Q são pontos respectivamente dos lados BC e AB, tais que CÂP=50º e ACQ=60º. Calcular o angluo APQ. Esse problema é velhão, tem um monte de resoluções na web. Buscando por triangulo isosceles 50 60 a primeira solução que apareceu foi essa aqui: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/geom-elem/triso00.htm Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Tres Probleminhas
Claudio Buffara wrote: 1. Expressar o numero 19 usando uma unica vez cada um dos numeros 1, 2 e 3 e mais as operacoes matematicas usuais (+, -, *, /, raizes, fatoriais, etc.). Nao vale usar ponto decimal nem a funcao maior inteiro. (essa eh pro Qwert!) Isso me lembra a vez que tentei resolver de maneira genérica não apenas o problema dos quatro quatros, mas também dos cinco cincos e todos os correlatos. Fiz um programinha que associava um custo a cada função, e então fiz a busca exaustiva. Para os custos dados, a tabela abaixo tem o jeito mais simples de resolver cada número: #define P_PLUS 1 #define P_MINUS 3 #define P_TIMES 10 #define P_DIV 30 #define P_FATORIAL 100 #define P_POT 250 #define P_SQRT 500 #define P_BINOMIAL 750 #define P_FALLING 3000 #define P_RISING 3000 #define P_FLOOR 1 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- 0 = (44-44) 1 = (44/44) 2 = (4-((4+4)/4)) 3 = ((4+(4+4))/4) 4 = (4+(4*(4-4))) 5 = ((4+(4*4))/4) 6 = (4+((4+4)/4)) 7 = ((44/4)-4) 8 = ((4+4)+(4-4)) 9 = ((4+4)+(4/4)) 10 = ((44-4)/4) 11 = (4+((4+4!)/4)) 12 = ((4+44)/4) 13 = (4!-(44/4)) 14 = (4+(4+(4!/4))) 15 = (4+(44/4)) 16 = ((4+4)+(4+4)) 17 = ((4*4)+(4/4)) 18 = (4!-((4-(4/4)))!) 19 = (4!-(4+(4/4))) 20 = (4*(4+(4/4))) 21 = ((4/4)+(4!-4)) 22 = (4!-((4+4)/4)) 23 = (((4*4!)-4)/4) 24 = ((4+4)+(4*4)) 25 = ((4+(4*4!))/4) 26 = (4!+((4+4)/4)) 27 = (4+(4!-(4/4))) 28 = (44-(4*4)) 29 = (4+(4!+(4/4))) 30 = (((4+(4/4)))!/4) 31 = (4!+((4+4!)/4)) 32 = ((4*4)+(4*4)) 33 = (binomial((4!/sqrt(4)),sqrt(4))/sqrt(4)) 34 = (4!+(4+(4!/4))) 35 = (4!+(44/4)) 36 = (44-(4+4)) 37 = (4!+((4!+sqrt(4))/sqrt(4))) 38 = (44-(4!/4)) 39 = (4!+binomial((4!/4),4)) 40 = ((4*(4*4))-4!) 41 = floor((44-sqrt((4+4 42 = (4!+(4!-(4!/4))) 43 = (44-(4/4)) 44 = ((4-4)+44) 45 = ((4/4)+44) 46 = (4+(44-sqrt(4))) 47 = (4!+(4!-(4/4))) 48 = (4*(4+(4+4))) 49 = (4!+(4!+(4/4))) 50 = (44+(4!/4)) 51 = ceil((44+sqrt(44))) 52 = ((4+4)+44) 53 = floor(((4+4)*sqrt(44))) 54 = ((4!/4)+(4!+4!)) 55 = binomial((44/4),sqrt(4)) 56 = (4!+(4*(4+4))) 57 = ceil((sqrt((4+4))*(4!-4))) 58 = (((4^4)-4!)/4) 59 = (4!+(rising(4,4)/4!)) 60 = ((4*4)+44) 61 = ((sqrt(4)+rising(sqrt(4),4))/sqrt(4)) 62 = ((4*(4*4))-sqrt(4)) 63 = (((4^4)-4)/4) 64 = ((4+4)*(4+4)) 65 = ((4+(4^4))/4) 66 = (sqrt(4)+(4*(4*4))) 67 = ((4*4!)-ceil((4!+sqrt(4! 68 = (4+(4*(4*4))) 69 = ceil((sqrt(4!)+(4*(4*4 70 = ((4!+(4^4))/4) 71 = ceil4*4!)-4!)-sqrt(sqrt(4 72 = (4+(4!+44)) 73 = ceil((sqrt(4!)+(4!+44))) 74 = (((4*4!)-4!)+sqrt(4)) 75 = ((4*(4!-4))-ceil(sqrt(4!))) 76 = ((4*(4!-4))-4) 77 = ceil4*4!)-4!)+sqrt(4!))) 78 = ((4*(4!-4))-sqrt(4)) 79 = floor((sqrt((4+4))*(4+4!))) 80 = (4*(4+(4*4))) 81 = ((4-(4/4))^4) 82 = (sqrt(4)+(4*(4!-4))) 83 = floor(((sqrt(4)*44)-sqrt(4!))) 84 = (4+(4*(4!-4))) 85 = (ceil(sqrt(4!))+(4*(4!-4))) 86 = ((sqrt(4)*44)-sqrt(4)) 87 = (((4*4!)-4)-ceil(sqrt(4!))) 88 = (44+44) 89 = floor(((4*4!)-sqrt(44))) 90 = ((4*4!)-(4!/4)) 91 = binomial(((4*4)-sqrt(4)),sqrt(4)) 92 = (4*(4!-(4/4))) 93 = floor(((4*4!)-sqrt((4+4 94 = (sqrt(4)+((4*4!)-4)) 95 = ((4*4!)-(4/4)) 96 = (4*(4!+(4-4))) 97 = ((4/4)+(4*4!)) 98 = ((4*4!)+(4-sqrt(4))) 99 = ceil((sqrt((4+4))+(4*4!))) 100 = (4*(4!+(4/4))) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pesagens
O raciocínio tá certinho, mas no problema proposto a bolinha falsa é mais leve que as demais. Então você precisa mudar a solução, onde está descendo, troque por subindo. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- [EMAIL PROTECTED] wrote: Vc pega 6 bolas, coloca 3 em cada prato. Se um prato descer em relação ao outro, no prato que desceu tome 2 bolas e coloque uma em cada prato. Se um descer, é o da bola falsa. Se nenhum desceu, a falsa é a bola que não foi escolhida. Se na primeira pesagem os pratos ficam no mesmo nível, então pese as duas bolas restantes, uma em cada prato. O que descer será o da bola falsa. []s, Daniel Osvaldo Mello Sponquiado ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: Existem 8 bolas de gude, todas visivelmente iguais, das quais 7 possuem o mesmo peso (verdadeiras) e uma possui um peso menor do que as outras (falsa). Utilizando uma balança de prato que não possui graduação (vc consegue distinguir a diferença de peso pela altura dos pratos) e apenas duas pesagens, mostre como encontrar a bolinha falsa. -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] casa de Pombo
Gustavo wrote: # Em uma reunio com *15* pessoas certeza que /a *diferena de idade em anos de duas delas um mltiplo de 14*/ #Agradeo dedse j . Essa uma aplicao bem imediata da casa de pombos. Classifique as pessoas de acordo com o resto da diviso da idade delas por 14. Claramente, esse valor pode variar de 0 a 13, ou seja, so 14 valores distintos. Como voc tem 15 pessoas e 14 valores, ento pelo pcp haver pelo menos duas pessoas com o mesmo valor. Essas duas tem idade que deixam o mesmo resto quando divididas por 14, ento a diferena de idade entre elas mltipla de 14. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- Unio contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Quadrilatero Incritivel
Qwert Smith wrote: Construir um quadrilatero inscritivel ABCD dados AB e os comprimentos de BC, CD e DA. Veja o link: http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html Ele te da a formula das diagonais do quadrilatero incritivel em funcao dos lados. Mas nesse caso você precisa de uma régua graduada, pra poder marcar com precisão o valor da diagonal. O problema fica melhor se a régua não tiver marcação alguma. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] provar desiguladade
Fabio Niski wrote: Dados x,y,z numeros positivos, prove que: ((xyz)^(-1))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz = 8 Esse também sai fácil com médias, pegue oito termos iguais às oito parcelas do lado esquerdo da inequação: ((1/(xyz))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz)/8 = ((xyz)^4)/((xyz)^4) ((1/(xyz))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz)/8=1 (1/(xyz))+(x/yz)+(y/xz)+(xy/z)+(z/xy)+(xz/y)+(yz/x)+xyz=8 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstar Desigualdade
Edward Elric wrote: Vamos direto a desigualdade: Demonstre que se 1/p + 1/q =1 temos (a^p)/p + (b^q)/q = a*b Se 1/p + 1/q =1, então p+q=pq. Além disso: (a^p)/p + (b^q)/q = a*b q(a^p)+p(b^q) = ab(p+q) Agora é só usar as médias. Pegue q vezes o termo a^p, e p vezes o termo b^q. Daí: (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) = (((a^p)^q)((b^q)^p))^(1/(p+q)) (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) = ((a^pq)(b^pq))^(1/(p+q)) Como p+q = pq, mudamos o lado direito: (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) = ((a^pq)(b^pq))^(1/(pq)) (q(a^p)+p(b^q))/(p+q) = ab q(a^p)+p(b^q) = ab(p+q) QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:Demonstrar Desigualdade
Edward Elric wrote: Esqueci de dar as restriçoes: a0 ,b0, p1. A passagem que voce usou medias só é valida se p e q pertencem ao conjunto dos naturais, mas isso não é obrigatoriamente verdade. Ah, tem razão, mas acho que dá pra consertar. Se eu mostrar que vale pra todos p e q racionais, então vale pra todos os reais também, certo? É só tomar no limite intervalos de racionais cada vez mais fechados. Então resta provar que vale pros racionais. Seja p=c/d e q=e/f. Vou usar as médias de novo, dessa vez tomando ed vezes a^p, e fc vezes b^q: (ed(a^p)+fc(b^q))/(ed+fc) = ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ed+fc)) Como 1/p+1/q=1, então d/c+f/e=1 e de+fc=ce. Daí: (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) = ((a^ped)(b^qfc))^(1/(ce)) Mas ped=(c/d)ed=ce, qfc=(e/f)fc=ec, então: (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) = ((a^ec)(b^ec))^(1/(ce)) (ed(a^p)+fc(b^q))/(ce) = ab Agora ed/ce=d/c=1/p, fc/ce=f/e=1/q, por fim: (1/p)(a^p)+(1/q)(b^q) = ab QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O PARADOXO DE CANTOR!
[EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal! Por que surgem paradoxos? Nada há de errado com o raciocínio que acaba nos levando tanto ao paradoxo de Cantor como ao de Russel. Se não há nada de errado, como então fomos chegar a esses paradoxos? Abraços! Se você usou um raciocínio perfeito, que segue todas regras do cálculo proposicional, e chegou em um paradoxo, é porque sua premissa estava errada (ou seja, seus axiomas eram internamente inconsistentes). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raízes Encaixadas
claudio.buffara wrote: Quanto vale raiz(1+raiz(2+raiz(3+raiz(4+raiz(5+ se é que isso converge? Converge sim. Considere a série abaixo: S(1)=sqrt(1) S(2)=sqrt(1+sqrt(2)) S(3)=sqrt(1+sqrt(2+sqrt(3))) ... e assim por diante. Vou mostrar que essa série é crescente e limitada superiormente, e portanto converge pra algum canto. Pra isso vou usar uma série auxíliar A(i,j): ji = A(i,j)=0 j=i = A(i,j)=sqrt(i) ji = A(i,j)=sqrt(j+A(i,j+1)) Desse jeito, A(i,1)=S(i). Vou mostrar agora que A(i,j)A(i+1,j) quando j=i, por indução em j. A base de indução é para j=i. Suponha que A(i,i)=A(i+1,i). Então: A(i,i)=sqrt(i) A(i+1,i+1)=sqrt(i+1) A(i+1,i)=sqrt(i+sqrt(i+1)) sqrt(i)=sqrt(i+sqrt(i+1)) Todos os termos são positivos, então: ii+sqrt(i+1) 0=sqrt(i+1) ...que é falso pra qualquer i. Base de indução provada, agora o caso genérico. Supondo que A(i,n+1)A(i+1,n+1), vamos tentar mostrar que A(i,n)A(i+1,n). Suponha essa última falsa, então teríamos: A(i,n)=A(i+1,n) sqrt(n+A(i,n+1))=sqrt(n+1+A(i+1,n+1)) n+A(i,n+1)=n+1+A(i+1,n+1) A(i,n+1)=1+A(i+1,n+1) ...que também é falsa pela hipótese de indução. Então está fechada a demonstração que A(i,j)A(i+1,j) quando ji. Em especial, quando j=1, então A(i,1)A(i+1,1), portanto S(i)S(i+1) e a série é crescente. Agora vou mostrar que A(i,j)=j+1, por indução em j. A base é pra j=i: A(i,i)=i+1 sqrt(i)=i+1 i = (i+1)^2 i = i^2 + 2i + 1 0 = i^2 + i + 1 Essa parábola está sempre acima do eixo, então a proposição vale pra qualquer i positivo. Agora a indução, suponha A(i,n+1)=n+2, vamos ver A(i,n): A(i,n)=sqrt(n+A(i,n+1)) A(i,n)^2=n+A(i,n+1) A(i,n+1)=A(i,n)^2-n = n+2 A(i,n)^2 = 2n+2 A(i,n) = sqrt(2n+2) Basta mostrar agora que sqrt(2n+2)=n+1: sqrt(2n+2)=n+1 2n+2=(n+1)^2 2n+2=n^2+2n+1 0=n^2-1 Ou seja, a afirmação é verdadeira pra todo n=1, o que completa a indução. Por fim, se vale que A(i,j)=j+1 para todo j=1, então, em especial, pra j=1 temos A(i,1)=2, e daí segue que S(i)=2 pra todo i, e portanto a série é limitada superiormente. Como ela é limitada e crescente, então é convergente. De curiosidade, eu calculei numericamente, o valor da coisa toda é aproximadamente 1.757933. Mas eu não sei explicitar o valor, aliás nem sei se é algébrico. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] inteiros
Tio Cabri st wrote: Se K é um número Natural então K^5 possui o mesmo algarismo das unidades. TEntei fazer por indução empaquei. Tentei demonstrar que k^5-K é múltiplo de dez empaquei novamente Se você quiser fazer por indução, então o mais fácil é quebrar o problema em dois: prove que k^5-k é par, e depois que k^5-k é multiplo de 5. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cubo de cores
Osvaldo Mello Sponquiado wrote: Um amigo meu disse que se eu conseguisse preencher uma face do cubo maior com uma só cor, seria impossíver concluir o problema. Isso é mesmo verdadeiro ? Não, na verdade uma das estratégias pra resolver é justamente resolver uma das faces por completo e continuar a partir daí. Procure no google por cubo de rubik que deve aparecer a solução. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] kimitatino kitiwa subete CATS ga itadaita -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Fatorial
Daniela Yoshikawa wrote: Prove que: 1/2! + 2/3! + 3/4! + + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)! Por indução em n, a base em n=1: 1/2! = 1/2 = 1-1/2 (ok) Suponho válido em n, vamos ver n+1: Assuma que 1/2!++n/(n+1)!=1-1/(n+1)! Então: 1/2!+...+n/(n+1)!+(n+1)/(n+2)!= 1-1/(n+1)!+(n+1)/(n+2)!= 1+ ((-(n+2))+(n+1))/(n+2)!= 1+ (-n-2+n+1)/(n+2)!= 1+ (-1)/(n+2)!= 1-1/(n+2)! E isso encerra a demonstração. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probabilidades
Grupo de Matematica wrote: Nota-se, experimentalmente, que a natureza traduzida para a linguagem matemática nem sempre manifesta uma expressão precisa: as chances de um determinado evento ocorrer é de 1/10, mas não é certo que em 10 tentativas o evento ocorrerá uma vez (é possível que ocorra mais de uma vez ou, mais provavelmente, não ocorra). A chance de que o evento ocorra uma vez na primeira rodada e nenhuma nas outras 9 é de (1/10).(9/10)^9. Da mesma maneira, a chance de que ocorra apenas na segunda rodada e em nenhuma outra também é (1/10).(9/10)^9. Somando tudo, a chance de que o evento ocorra uma vez só em dez experimentos é de 10.(1/10).(9/10)^9 = 38% aproximadamente. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] UM FATO HISTÓRICO!
[EMAIL PROTECTED] wrote: Afinal! porque quando multiplicamos em uma calculadora x.1/x não obtemos 1??? Porque internamente ela armazena os resultados de forma truncada. Por exemplo, 1/3 em binário é uma dízima periódica, fica 0.010101010101... Numa calculadora de oito bits, ela guardaria apenas 0.01010101, que não é 1/3, é apenas a aproximação mais próxima que ela consegue (em decimal, 0.01010101 é 0,33203125). Multiplicando isso aí por 3, o valor que você obtém é 0,99609375. Em calculadoras com mais precisão, você chega mais próximo de 3, mas nunca vai chegar no valor exato. Note que, às vezes, até acontece de aparecer o valor correto, mas é simplesmente porque os erros se acumularam em sentidos opostos, e acabaram se anulando. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjuntos 1
Alexandre Bastos wrote: Probleminha de conjuntos: Seja K um subconjunto próprio do conjunto dos inteiros, gozando da seguinte propriedade: x,y pertencem a K = (x-y) pertencem a K. Então, dados a, b pertencentes a K: a) podemos garantir que a+b pertence a K b) não podemos garantir que zero pertence a K c) não podemos garantir que a+7b pertence a K d) podemos garantir que 1 pertence a K a e a pertencem a K = (a-a)=0 pertence a K 0 e b pertencem a K = (0-b)=-b pertence a K a e -b pertercem a K = (a-(-b))=a+b pertence a K resposta (a) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Probleminha
Alexandre Bastos wrote: Para cada inteiro positivo n 126, seja *qn = p1p2...pn*, onde p1,...pn são inteiros primos positivos e distintos. Se dn é o número de divisores positivos de qn, incluindo 1 e o próprio qn, encontre o valor de dn/d(*n-6*). Um divisor de qn é um número que não tem nenhum primo que não seja aqueles p1...pn, e nenhum desses px com multiplicidade maior que um. Então um divisor pode ser montado ligando ou desligando um primo da representação proposta pra qn, daí o número de divisores é 2^n. Portanto: dn/dn-6 = 2^n/2^(n-6) = 2^(n-(n-6))=2^6=64 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] velocidade
[EMAIL PROTECTED] wrote: (UERJ) Uma estrada recem-asfaltada entre duas cidades eh percorrida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensao do percurso entre as cidades eh de aproximadamente: a) 10^3 b) 10^4 *c) 10^5* d) 10^6 Obs: Achei estranho esta questao, pois nao ha o valor da velocidade ?! Eh assim mesmo ? Sera que nao faltam dados ? Os dados estão aí sim, escondidos. O enunciado fala em percorrida de carro, daí você precisa ter noção de qual é a velocidade típica de um carro. Mas sem a unidade das alternativas fica complicado mesmo, é metros, quilômetros, angstrons? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] velocidade
[EMAIL PROTECTED] wrote: (UERJ) Uma estrada recem-asfaltada entre duas cidades eh percorrida de carro, durante uma hora e meia, sem parada. A extensao do percurso entre as cidades eh de aproximadamente: a) 10^3 b) 10^4 *c) 10^5* d) 10^6 As alternativas estao em metros Nesse caso as alternativas são equivalentes a: a v=10^3/1.5 m/h = 1/1.5 km/h ~ 0.6 km/h b v=10^4/1.5 m/h = 10/1.5 km/h ~ 6 km/h c v=10^5/1.5 m/h = 100/1.5 km/h ~ 60 km/h d v=10^6/1.5 m/h = 1000/1.5 km/h ~ 600 km/h Com a atual tecnologia de fabricação de carros, (c) é o correto. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Polígonos Construtíveis
Vania Ioott wrote: Eu tenho 12 bolinhas idênticas e apenas 1 com peso diferente. Usando uma balança de pratos e fazendo apenas 3 pesagens, quero saber qual delas tem peso diferente e se esta é mais leve ou mais pesada que as outras. Aff, mais difícil do que parece inicialmente: Pesagem 1: separe as bolinhas em três grupos A, B e C com quatro bolinhas cada e faça a pesagem de A e B. Se der igual, a bolinha diferente está em C [caso 1], senão está em A ou B [caso 2] [caso 1] Pesagem 2: pegue três bolinhas de C: C1, C2 e C3, e pese com três bolinhas de B quaisquer. Resultados possíveis: C1,C2,C3 sobem: uma delas é mais leve [1a] C1,C2,C3 descem: uma delas é mais pesada [1b] pratos iguais: C4 é diferente [1c] [caso 1a] Pesagem 3: Pese C1 com C2. Resultados possíveis: C1 sobe: C1 é a mais leve C1 desce: C2 é a mais leve pratos iguais: C3 é a mais leve [caso 1b] Pesagem 3: Pese C1 com C2. Resultados possíveis: C1 sobe: C2 é a mais pesada C1 desce: C1 é a mais pesada pratos iguais: C3 é a mais pesada [caso 1c] Pesagem 3: Pese C4 com uma qualquer de B. C4 sobe: C4 é a mais leve C4 desce: C4 é a mais pesada pratos iguais: o enunciado tá com bug [caso 2] Pesagem 2: Da pesagem 1 você sabe se A é mais pesado ou mais leve que B. Então agora você faz a pesagem D=(A1, A2, B1, B2) com E=(A3, B3, C1, C2), onde C1 e C2 são bolinhas quaisquer de C. Aqui você tira bolinhas possivelmente diferentes pela tabela da verdade: (se a bolinha diferente for mais pesada): D pesadoD leve D igual A pesadoA1, A2 A3 A4 A leve B1, B2 B3 B4 (se a bolinha diferente for mais leve): D pesadoD leve D igual A pesadoB3 B1,B2 B4 A leve A3 A1,A2 A4 Isso deixa nos deixa com três casos distintos: [caso 2a, D pesado] Pesagem 3: Sejam P1, P2 as bolinhas possivelmente mais pesadas e L a bolinha possivelmente mais leve. Pese P1 com P2. Resultados possíveis: P1 sobe: P2 é a mais pesada P1 desce: P1 é a mais pesada pratos iguais: L é a mais leve [caso 2b, D leve] Pesagem 3: Sejam L1, L2 as bolinhas possivelmente mais leves e P a bolinha possivelmente mais pesada. Pese L1 com L2. Resultados possíveis: L1 sobe: L1 é a mais leve L1 desce: L2 é a mais leve pratos iguais: P é a mais pesada [caso 2c, D igual] Pesagem 3: Pese A4 com uma bolinha C qualquer. Os resultados agora dependem também da primeira pesagem: A pesado, A4 desce: A4 é a mais pesada A pesado, A4 sobe: bug A pesado, A4 igual: B4 é a mais leve A leve, A4 desce: bug A leve, A4 sobe: A4 é a mais leve A leve, A4 igual: B4 é a mais pesada E isso encerra todos os casos (uff). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] No conseguir
Pedro Costa wrote: 2) Se Rn=(1/2)*(a^n+b^n) onde a = 3+2sqrt(2), b = 3 2sqrt(2) e n = 0,1,2,3,4.. ento R12345 um inteiro. Seu algarismo das unidades : Deve ter jeito fcil de fazer isso, mas s me veio cabea o jeito difcil. Calcule a soma infinita de potncias de z: sum[Rn*z^n]= sum[(1/2)*z^n*(a^n+b^n)]= (1/2)*sum[(az)^n+(bz)^n]= (1/2)*(1/(1-az) + 1/(1-bz))=(soma da pg infinita) (1/2)*(1-bz+1-az)/((1-az)(1-bz))= (1/2)*(2-(a+b)z)/((1-az)(1-bz)) Da: 2(1-az)(1-bz)sum[Rn*z^n]=(2-(a+b)z) 2(1-(a+b)z+abz^2)sum[Rn*z^n]=(2-(a+b)z) Notando que... a+b=3+2sqrt(2)+3-2sqrt(2)=6 ab=(3+2sqrt(2))(3-2sqrt(2))=3^2-(2sqrt(2))^2=9-8=1 ...chegamos em... 2(1-6z+z^2)sum[Rn*z^n]=2-6z Abrindo a soma infinita e igualando os termos em z^n: 2(1-6z+z^2)(R0+R1z+R2z^2+)=2-6z 2R0 = 2 2R1z+ (-12)R0z = -6z 2R2z^2 + (-12)R1z^2 + 2R0z^2 = 0 2R3z^2 + (-12)R2z^2 + 2R1z^2 = 0 ... Da podemos ver que: 2R0=2 = R0=1 2R1-12R0=-6 = 2R1-12=-6 = 2R1=6 = R1=3 e para n=0: 2(Rn+2)-12(Rn+1)+2(Rn)=0 Rn+2 = 6(Rn+1)-Rn Agora s matar por congruncias. Por induo fcil ver que todos os Rn so mpares (base: R0 e R1 so mpares, passo: suponha todos os Rn menores que k mpares, ento Rk+1=par*mpar-mpar=par-mpar=mpar), de modo que s falta calcular mod 5. Mas a recorrncia mod 5 fica assim: Rn+2=6(Rn+1)-Rn=1(Rn+1)-Rn=Rn+1-Rn Analisando os Rn para achar o perodo (a induo pra mostrar que existe perodo similar que usei pra mostrar que todos so mpares): 1,3,2,4,2,3,1,3 e pronto o perodo 6. Agora 12435=2057*6+3 e portanto temos que pegar o quarto termo do perodo que 4. Portanto R12345 mod 5 = 4, e como R1995 mpar, ento R12345 mod 10 = 9 (argh deu trabalho) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- Unio contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] pares ordenados
[EMAIL PROTECTED] wrote: 2) O numero de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equacao x + y + xy = 120 eh: a)1 b)2 c)3 d)4 e)6 Se x+y+xy=120 então x+y+xy+1=121, e daí x(1+y)+(1+y)=121 = (1+y)(1+x)=121 e temos então seis casos (resposta e): 1+y=1 e 1+x=121 = y=0, x=120 1+y=121 e 1+x=1 = y=120, x=0 1+y=11 e 1+x=11 = y=10, x=10 1+y=-1 e 1+x=-121 = y=-2, x=-122 1+y=-121 e 1+x=-1 = y=-122, x=-2 1+y=-11 e 1+x=-11 = y=-12, x=-12 (a resposta assume que os pares são pares ordenados) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] FUNÇÃO
Andre wrote: Seja f: N* - N* um fç tal que: I) f(1)=1 II)f(2n+1)=f(2n) + 1 III)f(2n)=3f(n) O valor de f(1992) é: Ah, essa aqui é uma função que troca bits por trits! Pra achar o valor da função, você escreve o número em binário, copia pra ternário, e depois desconverte pra decimal 1992 em binário = 1001000 1001000 em ternário = 3^10+3^9+3^8+3^7+3^6+3^3 = 88236 Pra demonstrar é só fazer indução nos bits de n, mas a notação fica complicada: base de indução: f(1)=f(2^0)=3^0=1 ok passo indutivo: Suponha que pra todo n2^(x+1) vale f(ax*2^x+...+a1*2^1+a0*2^0)=ax*3^x+...+a1*3^1+a0*3^0 onde todos os an são 0 ou 1 (n pode ser escrito de uma única maneira desse jeito) Se pegarmos agora um k tal que 2^(x+1)=k2^(x+2), então esse k poderá ser escrito como k=1*2^(x+1)+ax*2^x+...+a1*2^1+a0*2^0. Se a0=0, então k é par e k=2p = f(2p)=3f(p) = 3*f(1*2^x+ax*2^(x-1)+...+a1*2^0). O número aí dentro está na faixa que foi suposta válida, então 3*f(1*2^x+ax*2^(x-1)+...+a1*2^0)= 3*(1*3^x+ax*3^(x-1)+...+a1*3^0)= 1*3(x+1)+ax*3^x+...+a1*3^1 (+a0*2^0 pois a0=0) e isso concluí pra a0=0. Se a0=1, então k é ímpar e k=2p+1 = f(2p+1)=f(2p)+1 = f(2p+1)=3f(p)+1 = 3*f(1*2^x+ax*2^(x-1)+...+a1*2^0)+1. O número aí dentro é o mesmo do caso anterior, então: 3*f(1*2^x+ax*2^(x-1)+...+a1*2^0)+1= 3*(1*3^x+ax*3^(x-1)+...+a1*3^0)+1= 1*3(x+1)+ax*3^x+...+a1*3^1 +a0*3^0 (pois a0*3^0=1) e isso concluí pra a0=1 e completa a indução. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] função de Ackermann
Andre wrote: A fç de Ackermann é definida para inteios não negativos n e K por: I)f(0,n)=n + 1 II)f(k,0)=f(k-1,1) III)f(k+1,n+1)=f(k,f(k+1,n)) O valor de f(2,2) é: Ué faz na raça: f(0,0)=0+1=1 f(0,1)=1+1=2 f(0,2)=1+2=3 f(0,3)=1+3=4 f(0,4)=1+4=5 f(0,5)=1+5=6 f(0,6)=1+6=7 f(1,0)=f(0,1)=2 f(1,1)=f(0,f(1,0))=f(0,2)=3 f(2,0)=f(1,1)=3 f(1,2)=f(0,f(1,1))=f(0,3)=4 f(1,3)=f(0,f(1,2))=f(0,4)=5 f(2,1)=f(1,f(2,0))=f(1,3)=5 f(1,4)=f(0,f(1,3))=f(0,5)=6 f(1,5)=f(0,f(1,4))=f(0,6)=7 f(2,2)=f(1,f(2,1))=f(1,5)=7 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] O mundo é pequeno, resta provar.
Wellington wrote: Certa vez um professor do IMPA disse (logo, é fato) que, dadas quaisquer duas pessoas no mundo existem outras 7 que ligam essas duas. (É como se pudéssemos montar um caminho ligando as duas, passando pelas 7, onde duas pessoas consecutivas se conhecem). Bem, ele já estava indo embora e não falou nada a respeito de qualquer consideração. Alguém tem algo a comentar a respeito? Sim, se você quiser eu te cadastro no Orkut e você confere essa proposição experimentalmente! Meu caminho médio de conexão no Orkut é bem menor, eu chego em qualquer pessoa cadastrada em 2.9 passos. Orkut: http://www.orkut.com/ (mas você só entra com convite) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] O mundo é pequeno, resta provar.
Marcus Alexandre Nunes wrote: Esse caminho médio no Orkut é meio enganação... todo mundo tem 2.9! Se _todo mundo_ tem 2.9, então não é enganação não! Suponha que de fato o caminho médio de todos os integrantes é 2.9. A pessoa só entra por convite, então ela vai estar ligada a um cara que é 2.9, ou seja, pra esse cara o caminho médio é pouco menos de 3.9. Todos os outros integrantes agora estão ligados a pessoas 2.9 e um 3.9. O caminho médio de um integrante agora é: m=(n*2.9 + 3.9)/(n+1)=((n+1)*2.9+1)/(n+1)=2.9+1/(n+1) Para n muito grande (o que é o caso do Orkut), a nova média continua sendo 2.9 se você manter um único digito depois da vírgula. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] En:colegio naval
Rogério Possi Júnior wrote:
Seja S=13/2.4 + 13/4.6 + ... + 13/50.52
- S=(13/2).{ 1/1.2 + 1/2.3 + ... + 1/25.26 }
Uma correçãozinha boba, mas aqui tinha que ser (13/4)
ao invés de (13/2). A resposta correta muda pra C: 25/8
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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Re: [obm-l] RECREAÇÃO !
Artur Costa Steiner wrote: Eu acho que, da maneira como foi formulado, o problema naum deveria ser apresentado numa olimpida ou mesmo em um teste qualquer de matematica. Eh impossivel resolve-lo matematicamente sem adicionar algumas hipoteses que nao estao ditas no enunciado. Na minha época de estudante eu fazia muito aqueles desafios de matemática propostos pelo etapa, não eram uma olímpiada mas tinham uns problemas legais nele. A prova era discursiva (ie não era com alternativas). Uma das questões propostas eu me lembro até hoje, o enunciado dela era o abaixo. Como vocês resolveriam essa? Quantas vezes o ponteiro dos minutos do relógio se encontra com o ponteiro das horas durante um dia? A prova era para nível de vestibulandos, então teorema do valor intermediário não deveria ser assumido como conhecido. Em tempo, eu na época comecei minha resolução assim: assumindo que os ponteiros são discretos, ou seja, que o dos minutos anda 2pi/60 por minuto, e o das horas anda 2pi/3600 por minuto... e montei a equação em inteiros. Mas se eu tivesse suposto ponteiros contínuos provavelmente daria uma solução estilo-Will (e pelo que vejo provavelmente teria perdido os pontos da questão hehe). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Função
Andre wrote: Seja f: R - R uma função tal que 2f(x) + f(1-x)x^2=x^2, f(x) = ? É só calcular a expressão no ponto (1-x): 2f(x)+f(1-x).x^2=x^2 [I] 2f(1-x)+f(x).(1-x)^2=(1-x)^2 2f(1-x)=(1-x)^2.(1-f(x)) f(1-x)=(1/2).(1-x)^2.(1-f(x)) [II] Substituindo [II] em [I]: 2f(x)+(1/2).x^2.(1-x)^2.(1-f(x))=x^2 2f(x)+(1/2).x^2.(1-x)^2-(1/2).x^2.(1-x)^2.f(x)=x^2 f(x).(4-x^2.(1-x)^2)=x^2.(2-(1-x)^2) e portanto f(x)=(x^2(2-(1-x)^2)) / (4-x^2.(1-x)^2) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_RECREAÇÃO!
Artur Costa Steiner wrote: Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Esta prova intuitiva eh sem duvida interessante e engenhosa. Mas a prova matematicamente correta envolve o conceito de continuidade de funcoes em intervalos fechados. Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Ricardo Bittencourt wrote: Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome façanha pra teorema do valor intermediário. Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Aliás deixe eu colocar a dúvida de outra maneira: se fosse essa uma questão de olimpíada, a resposta do Will seria aceita ou não? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RECREAÇÃO!
Artur Costa Steiner wrote: Basta supor que são dois monges (um subindo e outro descendo) andando no mesmo dia. Se o proposto não ocorresse, então os monges conseguiriam a façanha de subir pela mesma trilha sem se encontrar. Por que essa prova não é matematicamente correta? Ela parece perfeita pra mim. Bomnaum podemos provar fatos matematicos apelando apenas para a intuicao, utilizando argumentos do tipo eh claro que tem que se assim, naum hah como os dois monges naum se encontrarem, e por aih afora. A matematica, como ciencia eminentemente logica, exige provas formais e logicamente consistentes. E eh sempre bom lembrar que aas vezes a intuicao falha. Perdoe-me a insistência, mas quando você fez f(t) tal que f(0)=0 e f(24)=L, e também g(0)=L e g(24)=0, você não está só modelando em matematiquês a mesma resposta que ele deu? O raciocínio usado me parece exatamente o mesmo, só muda o nome façanha pra teorema do valor intermediário. Ele pode não ter sido totalmente formal ao descrever a solução, mas eu ainda não consigo ver onde a solução dele é logicamente inconsistente. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] serie urgente
levi queiroz wrote: Pessoal da lista alguém sabe para que valor a série: 1- 1/3 + 1/5 - 1/7 - 1/9 + 1/11 - 1/13 +... converge ? Estou assumindo que você errou um sinal e na verdade quis escrever: 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-... Converge para pi/4, essa é a expansão de Taylor para arctan calculado em x=1. Mas é uma série muuuito lenta, pra calcular pi tem séries melhores. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Frederico Reis Marques de Brito wrote: Ricardo, não sei o que quiz dizer com a 1a parte, mas a segunda está correta e, portanto, a afirmação é FALSA! É que eu por um instante achei que a afirmação fosse verdadeira; mas como triângulos equiláteros eu já sabia que iam dar problema, resolvi ver se tinha outro jeito de dispor três pontos equidistantes no plano sem ser em triângulo equilátero. Mas no final não tinha, o triângulo equilátero é o único jeito mesmo. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RE: [obm-l] Princípio de Dirichlet - variacao
Frederico Reis Marques de Brito wrote:
Considere o conjunto S dos pontos do R^2 que distam, na métrica
euclidiana, 1 unidade da origem do R^2. Se a cada ponto de S
associarmos um elemento do conjunto T={A,B} então existirão sempre três
pontos de S equidistantes ( na métrica euclidiana ) associados a um
mesmo elemento de T.
Mas é verdade isso mesmo? Sejam dois pontos A,B;
então o lugar geométrico dos pontos distantes do ponto A
um comprimento d(AB) é um círculo de raio d(AB) centrado
em A, o mesmo vale pra B. Os dois círculos se encontram
em dois pontos, que determinam as duas únicas possíveis
posições para um ponto C tal que os três sejam equidistantes,
e nessas condições ABC formam um triângulo equilátero.
Agora, se pra resolver o problema você precisa
inscrever um triângulo equilátero no seu conjunto S,
então vai dar zica. Quebre o conjunto S em três intervalos
semi-abertos R=[0,120[ , S=[120,240[ , T=[240,360[
(ângulos em graus). Para um triângulo equilátero estar
inscrito no conjunto S, precisa ter um ponto em cada
um desses intervalos. Mas agora eu pinto de azul os
conjuntos R e S, e de vermelho o conjunto T, e garanto
que não há triângulos equiláteros com vértices de mesma cor.
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet
Ricardo Bittencourt wrote: Considere o círculo z_x=e^(2*pi*x/6). Ai, ai, preciso parar com essas respostas depois da meia-noite, é igual gremlin, elas sempre se voltam contra o dono. Aqui era pra estar escrito: Considere o círculo z_x=e^(2*pi*i*x/6). Faltou o i. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet
Fabiano Sant'Ana wrote: como um simples ponto poderá possuir Duas cores? Desenha um círculo no papel, aí pra cada ponto do círculo você pinta de azul por cima da folha, e de vermelho na parte de baixo. Pronto, agora um simples ponto tem duas cores! Eu aqui estou trabalhando profissionalmente com coisa muito mais bizarra, que é ponto orientado (na verdade, vetor 2D degenerado cuja magnitude foi pra zero, mas preservou a direção e sentido). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] + 1 da sexta série...
Cesar Gomes Miguel wrote: Vc tem certeza sobre essa resposta de 1,5m? Não fiz os cálculos, mas tenho aqui um problema equivalente, cuja resposta é totalmente diferente: Na dúvida, faça as contas ! Seja: C = circunferência da terra R = raio da terra h = altura do anel a partir do solo. Temos então: C=2*pi*R (C+10)=2*pi*(R+h) R+h=(C+10)/(2pi) R=C/(2pi) h=(C+10)/(2pi) - R h=(C+10)/(2pi) - C/(2pi) h=5/pi Surpresa! A altura independe da circunferência da terra! Como a relação entre raio e circunferência é linear, qualquer círculo aumentado de 10 unidades tem seu raio aumentado de 5/pi~1.59 unidades. Acho que a intuição falha porque quando ouvimos terra pensamos em esfera, daí volume, e daí relação cúbica, onde aí sim o bicho ia pegar. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - funçao
João Silva wrote: - Uma função f : A -- B (em que A é o conjunto dos numeros reais positivos não - nulos e B o conjunto dos reais) é estritamente crescente e para x e y pertencentes a A temos: f (x.y) = f(x) + f(y) . Sabe-se ainda que f(1) = 0 e f(2) = 1. Demonstrar que f(3) é irracional. f(sqrt(2)*sqrt(2))=2*f(sqrt(2))=f(2)=1 logo f(sqrt(2))=1/2 Daí fica claro que uma função f é o log na base 2 né? Pois: log2 (1) = 0 log2 (sqrt(2))=1/2 log2 (2) = 1 log2 (ab) = log2 (a) + log2 (b) Então resta provar que log2(3) é irracional. Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros. Mas então 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso é impossível. Hum.. resta provar que log2 é a única função f que satisfaz o enunciado, isso eu não sei fazer. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DUVIDA - funçao
Ricardo Bittencourt wrote: Então resta provar que log2(3) é irracional. Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros. Mas então 3^q=2^p, e com p,q inteiros isso é impossível. Ahn, eu perdi a medalha de ouro na obm de 93 por falta de rigor, pelo jeito não aprendi nada de lá pra cá hehe. deixando mais rigoroso então: Pra isso acontecer, 3=2^(p/q) com p,q inteiros, e q!=0. Mas então 3^q=2^p, e com p,q inteiros a única solução é p=q=0, mas como q!=0 nenhuma solução é válida. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Olimpiada da India
Claudio Buffara wrote: 5. x1, x2, ... , xn are reals 1 such that |xi - x(i+1)| 1 for i n. Show that x1/x2 + x2/x3 + ... + x(n-1)/xn + xn/x1 2n-1. Ninguém fez esse ainda né? Então vamos lá, por indução em n: - base de indução Para n=2, temos que provar que x1/x2 + x2/x1 3 Podemos assumir wlog que x1 x2, logo x1-x2 0 Sabemos que |x1-x2| 1 = x1-x2 1 Como x21, então podemos dividir por x2: x1/x2 - x2/x2 1/x2 x1/x2 - 1 1/x2 x1/x2 1 + 1/x2 Agora, x2 1, logo 1/x2 1 e portanto: x1/x2 1 + 1/x2 2 [I] Por outro lado, fazendo x1=x2+(x1-x2), e notando que x11, podemos dividir por x1 e temos: x1/x1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1 1 = x2/x1 + (x1-x2)/x1 x2/x1 = 1 - (x1-x2)/x1 Como 0 x1-x2 1 e x1 1, então 0 (x1-x2)/x1 1/x1 1 e portanto x2/x1 = 1 - (algo entre 0 e 1) x2/x1 1 [II] somando [I] e [II]: x1/x2 + x2/x1 3 - passo indutivo Seja p=x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/x1 Vamos assumir que p2n-1 [III] Queremos provar que: x1/x2 + x2/x3 + ... + xn-1/xn + xn/xn+1 + xn+1/x1 2(n+1)-1 Mas isso é igual a provar que p - xn/x1 + xn/xn+1 + xn+1/x1 2n+1 [IV] Subtraindo [III] de [IV], resta provar que: (xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 2 Vou quebrar em dois casos: - - Caso A: xn+1 xn Nesse caso 0 xn+1 - xn 1, e como x11 , (xn+1 - xn)/x1 1 [V] Fazendo agora xn+1=xn+(xn+1-xn), e notando que xn+11, podemos dividir e ter: xn+1/xn+1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1 1 = xn/xn+1 + (xn+1-xn)/xn+1 xn/xn+1 = 1 - (xn+1-xn)/xn+1 Como 0 xn+1 - xn 1, e xn1 , então 0 (xn+1-xn)/xn+1 1 e portanto xn/xn+1 = 1 - (algo entre 0 e 1) xn/xn+1 1 [VI] Somando [VI] e [V] concluímos que: (xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 2 - - Caso B: xn xn+1 Agora -1 xn+1 - xn 0, e como x11, -1 (xn+1 - xn)/x1 0 [VII] Fazendo xn=xn+1+(xn-xn+1), e notando que xn+11, podemos dividir e ter: xn/xn+1 = xn+1/xn+1 + (xn-xn+1)/xn+1 xn/xn+1 = 1 + (xn-xn+1)/xn+1 Mas 0(xn-xn+1)1 e xn+11, então 0 (xn-xn+1)/xn+1 1 e portanto: xn/xn+1 = 1 + (algo entre 0 e 1) xn/xn+1 2 [VII] Sabemos de [VII] que (xn+1 - xn)/x1 é um negativo, então podemos somá-lo ao primeiro termo de [VII] sem mudar a desigualdade: (xn+1 - xn)/x1 + xn/xn+1 2 ... e isso conclui a demonstração. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Eureka_18
rickufrj wrote:
83) Seja N = {0,1,2,3, ..}
Determine quantas funções satisfazem f(2003) = 2003,
f(n) = 2003 para todo n = 2003 e f(m + f(n)) = f(f
(m)) + f(n) , para todo m,n pertence N.
Estou tentando resolve-lo e gostaria da ajuda de
vocês .
O que eu fiz :
f(m + f(n)) = f(f(m)) + f(n)
f(m + f(n)) = m + f(n)
Como você concluiu que f(f(m))=m nessa passagem?
Pra mim isso aqui tá bizarro.
O que daria pra fazer é
f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)
f(0+f(0))=f(f(0))+f(0)
f(f(0))=f(f(0))+f(0)
f(0)=0
f(m+f(n))=f(f(m))+f(n)
f(0+f(n))=f(f(0))+f(n)
f(f(n))=f(n)
Mas f(f(n))=f(n) não implica necessariamente em f(n)=n,
por exemplo, pegue f(n) como sendo a menor potência de dois
menor ou igual a n. Nesse caso:
f(f(1))=f(1) pois f(2)=2
f(f(3))=f(3) pois f(4)=4
f(f(7))=f(7) pois f(8)=8
mas
f(1)=2
f(3)=4
f(7)=8
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Re: [obm-l] Teoria dos Numeros
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: (a,b = ab+4 e a^2+4) Mas espere, 6m-1=m-1 mod 5.Logo (6m-1)(6n-1)+4=mn-m-n mod 5.Sera que da para arrancar alguem mod 5? Se mn=m+n mod 5 entao nao da primo Eu já consegui mostrar que todos os elementos do conjunto são da forma 30k+23, mas ainda não cheguei em nenhuma contradição. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] divisibilidade
Gustavo Baggio wrote: Alguem manja provar isso por indução: x + y divide x^(2n - 1) + y^(2n - 1) Eu resolvi isso no dia 29/3, como parte de um outro problema: http://tinyurl.com/2qlqe Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] INduções ....
Gustavo Baggio wrote: 1. Prove por indução em n que (x^n - y^n) eh divisivel por x - y ( x diferente de y) Hoje eu tenho que dormir cedo, então vou fazer só essa aqui: base: obviamente pra n=1, (x-y) é divisível por (x-y) passo indutivo: suponha que é válido para n=p Mas (confira): x^(p+1)+y^(p+1)=(x-y)(x^p+y^p)+xy(x^(p-1)-y^(p-1)) Só que pela hipótese de indução, x^(p-1)-y^(p-1) é divisível por (x-y), e portanto x^(p-1)-y^(p-1)=(x-y).k Logo x^(p+1)+y^(p+1)= (x-y)(x^p+y^p)+xy(x-y)k= (x-y)(x^p+y^p+xyk) QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] INduções ....
Ricardo Bittencourt wrote: x^(p+1)+y^(p+1)=(x-y)(x^p+y^p)+xy(x^(p-1)-y^(p-1)) x^(p+1)+y^(p+1)= É claro, quando eu tenho que dormir cedo e escrever correndo sempre aparece um erro :( Onde está x^(p+1)+y^(p+1) leia-se x^(p+1)-y^(p+1), o resto não muda nada. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Funções
Cláudio (Prática) wrote: 2)SEJA f:[a,b] - [a,b] QUALQUER . MOSTRE QUE EXISTE X PERTENCENTE A [a,b] TAL QUE f(X) = X. Isso não é verdade. Tome f(x) dada por: f(a) = b; f(x) = a, se x a. E se f for bijetora ? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Simplificao Trigonomtria
Douglas Ribeiro Silva wrote: Ol pessoal... estou com um problema para simplificar uma expresso trigonomtrica mas no consegui encontrar relaes para chegar na simplificao. A expresso : tg(80) * [tg(60) tg(50)] / tg(80) [tg(50) * tg(60)] Aqui vai uma soluo incompleta e totalmente deselegante. Eu mandei o resultado pacrial pro Douglas e ele matou o resto, ento coloco aqui a minha parte e depois ele completa com a parte dele! Vou usar uma notao simplificada, e, espero, intuitiva. ...primeiro, substitu todos os tg por sen/cos... (t80t80*(t60-t50))/(t80t80-t50t60)= ((s80s80/c80c80)*(s60/c60-s50/c50))/((s80s80/c80c80)-(s60s50/c60c50))= ...distribu o denominador e cortei c80c80c60c50 da frao... (s80s80(s60c60-s50c60))/(s80s80c60c50-c80c80s60s50)= ...no numerador, s60c60-s50c60 = s10... (s80s80s10)/(s80s80c60c50-c80c80s60s50)= ...no denominador, s80s80=(1-c80c80)... (s80s80s10)/((1-c80c80)*c60c50-c80c80s60s50)= (s80s80s10)/(c60c50-c80c80c60c50-c80c80s60s50)= (s80s80s10)/(c60c50-c80c80(c60c50-s60s50))= ...c60c50-s60s50 = c10... (s80s80s10)/(c60c50-c80c80c10)= ...agora, c60c50 = (c110+c10)/2... (s80s80s10)/(((c110+c10)/2)-c80c80c10)= ...c110=s(90-110)=s(-20)=-s20... (s80s80s10)/(((-s20+c10)/2)-c80c80c10)= ...s20=2s10c10... (s80s80s10)/(((-2s10c10+c10)/2)-c80c80c10)= ...no numerador, s80=c10 e simplifica ... (c10s80s10)/(((-2s10c10+c10)/2)-c80c80c10)= (s80s10)/((1/2)-s10-c80c80)= ... 1/2 = s30 ... (s80s10)/(s30-s10-c80c80)= ... s30-s10 = 2c20s10 ... (s80s10)/(2c20s10-c80c80)= ... c80=s10 e simplifica ... s80/(2c20-c80) ... e aqui eu parei. Douglas, agora voc continua :) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- Unio contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Funcao composta!
Fabio Contreiras wrote: 2 ) Se f ( g ( x ) ) = 4 x^2 - 8x + 6 e g ( x ) = 2x - 1, então f ( 2 ) é igual a: Ué, se você quer calcular f(2) tendo f(g(x)), então você tira o x fazendo g(x)=2 = 2x-1=2 = 2x=3 = x=3/2 Daí f(g(x))=4x^2-8x+6 calculada em x=3/2 dá f(2)=4*(3/2)^2-8*(3/2)+6=9-12+6=3 f(2)=3 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Logaritmos
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Prove que, para todo inteiro n maior que 1 e para todo x diferente de zero,
com x maior que ?1, tem-se:
(1+x)^n (1+nx)
É só usar o binômio de newton:
(1+x)^n=sum (i:0,n) { binomial(n,i)*x^n } =
(n!/(n!0!))*x^0+ (n!/((n-1)!1!))*x^1 + (um monte de termos positivos) =
1*1+n*x + (um monte de termos positivos) 1+nx
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Re: [obm-l] Progressão
Daniel Silva Braz wrote:
Prove que os termos de uma P.A. qq em que 0 não
participa verificam a relação:
1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an =
(n-1)/a1an
Por indução, pra n=1:
1/a1a2=(2-1)/a1a2 (ok)
Supondo válido para an:
{1/a1a2 + 1/a2a3 + 1/a3a4 + ... + 1/(an-1)an} + 1/an(an+1) =
(n-1)/a1an + 1/an(an+1)=
1/an*( (n-1)/a1 + 1/(an+1) )=
1/an*( (n-1)*(an+1)/a1(an+1) + a1/a1(an+1) )=
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(an+1) + a1)
Mas:
a1 = a1+0*k
a2 = a1+1*k
a3 = a1+2*k
...
an = a1+(n-1)*k
an+1 = a1+n*k
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*(a1+n*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* ((n-1)*a1+n(n-1)*k) + a1) =
1/(a1.an.an+1)* (n*a1+n(n-1)*k) =
n/(a1.an.an+1)* (a1+(n-1)*k)=
n/(a1.an.an+1)* an=
n/a1an+1=
((n+1)-1)/a1an+1 (ok)
Tendo a base e passo indutivo ok, então a
proposição é verdadeira.
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Re: [obm-l] Um limite meio chato
Claudio Buffara wrote: xx=-1e-2:1e-6:1e-2; Eu nao conheco o Matlab. Isso quer dizer que voce criou uma amostra de 20001 vetores (xx,sen(xx)) com xx variando de -1/100 a 1/100 em intervalos de 1/10^6? Perfeito, isso mesmo. Ao fazer a aproximacao de sen(x) por um polinomio de grau m no intervalo [-a,a] (a 0) via minimos quadrados, a partir de uma amostra de n pontos igualmente espacados, o que eu acho que acontece eh o seguinte: quando n - infinito, os coeficientes do polinomio tendem aos coeficientes correspondentes dos termos de grau = m da serie de Taylor de sen(x) em torno de x = 0. Alias, acho que isso vale pra qualquer funcao infinitamente diferenciavel e nao apenas sen(x). Concordo contigo! Por outro lado, para todo n finito, acho que os coeficientes do polinomio soh serao exatamente iguais aos da serie de Taylor da funcao se esta for uma funcao polinomial, apesar de se aproximarem destes a medida que n cresce. Eu acho que o que acontece é o seguinte: conforme eu aperto o a da tua definição, os coeficientes chegam mais e mais perto do Taylor, até que quando o o a tende a zero, o polinômio, mesmo de grau finito, tende aos primeiros termos do Taylor, e isso parece indiferente se a função original é polinomial ou não. Pra mostrar isso fiz um programinha no matlab que começa com a=100 e vai apertando o resultado. Tracei o gráfico dos polinômios resultantes, compare as aproximações em azul ao polinômio de Taylor truncado, em vermelho. Todos os polinômios são finitos e de grau 5: a=100; for i=1:6, x=-a:a*1e-3:a; y=sin(x); a=a*0.5; p=polyfit (x,y,5), hold on; t=-1000:1e-2:1000; plot (t,polyval(p,t)); end; plot (t,polyval([1/120 0 -1/3 0 1 0],t),'red'); O lance é que eu lembro de ter feito isso analiticamente, mas já faz tempo tempo que tive aquela aula, que já não lembro mais os detalhes. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- inline: polyval.gif
Re: [obm-l] Um limite meio chato
Claudio Buffara wrote: Ou seja, o que voce quer eh provar que a aproximacao de Taylor de sen(x) eh correta sem apelar pro conceito de limite. Nao acho que isso seja possivel. Dá sim. Quando fiz eu cálculo numérico, me ensinaram a criar polinômios aproximadores em torno de um ponto, e depois você usava o método dos mínimos quadrados pra achar os coeficientes do polinômio. Os coeficientes achados, não por acaso, sempre batiam com a série de Taylor. Mas pra achar o mínimo nos mínimos quadrados tem uma derivada embutida... aí tem que ver se dá pra achar o mínimo sem usar cálculo. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Um limite meio chato
Claudio Buffara wrote: Voce estah dizendo que, se eu quiser aproximar sen(x) em algum intervalo pequeno em torno de x = 0 por meio de um polinomio de grau 5, digamos, uma interpolacao usando minimos quadrados vai resultar no polinomio: p(x) = x - x^3/6 + x^5/120 ? Me desculpe, mas eu acho dificil de acreditar. Fiz o teste no matlab. Os resultados não foram exatos, mas eu não sei dizer se é erro de aproximação do programa ou se o polinômio é aproximado mesmo. Polyfit no matlab implementa os mínimos quadrados: xx=-1e-2:1e-6:1e-2; yy=sin(xx); polyfit(xx,yy,3) ans = -0.16670.1. -0. polyfit(xx,yy,5) ans = 0.0083 -0. -0.16670.1.0. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Simplificação
Fábio Bernardo wrote: Simplifique a fração: (2^31+3^31)/(2^29+3^29) Ao invés de mexer nesse problema, eu resolvi encarar uma generalização: simplificar a fração (a^(n+2)+b^(n+2))/(a^n+b^n), com n ímpar. Vou provar que a^n+b^n, n ímpar, é divisível por a+b, por indução completa. Pra n=1, (a+b)=1.(a+b) e pronto. No caso geral, supondo válido até n-2: a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1))-ab(a^(n-2)+b^(n-2)) Mas pela hipótese de indução (a^(n-2)+b^(n-2))=(a+b)k Logo a^n+b^n=(a+b)(a^(n-1)+b^(n-1)-abk) Com isso eu mostrei que (a+b) divide a fração original no numerador e no denominador, mas alguém sabe como mostrar que o que sobra é irredutível ? Ou seja, que mdc(a^(n+2)+b^(n+2),a^n+b^n)=(a+b) ? Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] POLINOMIO
Warley wrote: Se P(x) eh um polinômio do 5º grau que satisfaz as condições 1=P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5) e P(6)=0, então temos: a)P(0)=4 b)P(0)=3 c)P(0)=9 d)P(0)=2 e)nra Se P(a)=1, então P(a)-1=0, ou seja (x-a) é fator de P(x)-1. Logo, P(x)-1=k.(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Onde k é uma constante real. Se P(6)=0, então P(6)-1=k.(6-1)(6-2)(6-3)(6-4)(6-5) -1=k.5! k=-1/120 Logo, P(x)=1-(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)/120 e portanto P(0)=1-(-1)(-2)(-3)(-4)(-5)/120=1+120/120=2 P(0)=2 e resposta é (d) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] DÚVIDAs
TSD wrote: * 2- * Quando cortamos um cilindro por um plano, a forma quadrática resultante pode ser: (A) circunferência ou elipse;(B) circunferência ou parábola; (C) circunferência ou hipérbole;(D) elipse ou parábola;(E) elipse ou hipérbole. a forma quadrática resultante ( oque quer dizer isso?) Assumindo que o cilindro tem altura infinita, então o corte pode fazer uma circunferência, se o plano for perpendicular ao eixo do cilindro, ou uma elipse caso contrário. Daí (A). Se ao invés de cilindro, fosse um cone, aí podia ser qualquer uma das quatro formas! Forma quadrática é porque a equação descreve a curva vai ter termos quadráticos, por exemplo, a circunferência vai ser algo do tipo (x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Simplificao trigonomtrica
Douglas Ribeiro Silva wrote: tg(80) * [tg(60) tg(50)] / tg(80) [tg(50) * tg(60)] Se isso ajuda em alguma coisa, eu sei que a resposta tg(30) Deve ter alguma coisa errada no enunciado, porque numericamente sua expresso d -1.523, e tan(30)=0.577 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- Unio contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] RES: [obm-l] Simplificao trigonomtrica
Douglas Ribeiro Silva wrote: Acho que vc colocou algo errado na expresso Ricardo, pois pode-se ver facilmente que essa expresso nunca daria um resultado negativo. Tg(80) 32,algumacoisa tg60 - tg50 da um numero positivo tambm. Veja que no denominador isso tambm verdade. No pode ser negativo de jeito nenhum. tg(80) * [tg(60) tg(50)] / tg(80) [tg(50) * tg(60)] Ento o que ele quer calcular isso aqui? (tg(80) * [tg(60) tg(50)]) / (tg(80) [tg(50) * tg(60)]) Como diviso tem prioridade sobre subtrao, eu nem cheguei a colocar o tg(80) na conta e calculei s tg(60) tg(50) tg(50) * tg(60). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- Unio contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Analise Combinatoria - Probleminha...
Fabiano Sant'Ana wrote: o que é um primo absoluto? 1,2,3,5,7? Vale lembrar 1 não é primo; se fosse, não haveria fatoração única dos naturais. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Números complexos como matriz
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet wrote: 2)Como e que se escreve a forma trigonometrica de uma matriz? Eu diria que é (sqrt(a^2+b^2))*| sin(t) -cos(t) | | cos(t) sin(t) | onde t=arctg(b/a) Se você fizer as contas, essa matriz aí é igual à original: | a -b | | b a | Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Pequeno erro
niski wrote: Gente, estou precisando saber o menor valor de i (i = 0,1,2,3...) tal que 2/2^(i+1) = 10^-4 i = 4*Log[2](10) Ora, mas 3 Log[2](10) 4 Isso aqui é falta de manha em cálculo numérico. Se a sua aproximação não foi boa, aumente o número de dígitos significativos! Uma maneira de fazer isso é notando que: log[2](10)=(1/6)*log[2](10^6)=(1/6)*log[2](100) Mas sabemos que 2^20=1048576, então 19 log[2](100) 20 19/6 (1/6)*log[2](100) 20/6 No pior caso, i = 4*20/6 i = 80/6 i = 13 e resta 2 Logo o menor i inteiro que satisfaz tua inequação é 14. Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questao de funcao
Emanuel Valente wrote: Se f: R-R é da forma f(x) = ax+b e verifica (fof)(x) = x+1, para todo x real , entao a e b valem respectivamente: Ué, f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ba+b = x+1 Igualando coeficientes, a^2=1 = a=1 ou -1 ba+b = 1 = -b+b=1 (não vale) b+b=1 = b=1/2 Logo a=1 e b=1/2 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Somatório da função
Nicolau C. Saldanha wrote:
SOMA_{1 = i = n} i^2 = n(n+1)(2n+1)/3
Aqui é n(n+1)(2n+1)/6 né ?
Esse capítulo do Concrete eu conheço de trás pra frente heh.
Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk
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Re: [obm-l] Somatório da função
David M. Cardoso wrote: Soma[i^2] = n(n+1)(2n+1)/6 Na verdade eu só entendi pq abstraí isso... e isso eu não entendi. Acho que a maneira mais fácil de derivar isso é considerar o problema de calcular sum(1,n)[i^3] Quanto dá sum(1,n+1)[i^3]? Certamente vale sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3. Por outro lado, a gente pode mudar o índice sem mudar a soma: sum(1,n+1)[i^3]=sum(0,n)[(i+1)^3]= sum(0,n)[i^3+3*i^2+3*i+1]= sum(0,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*sum(0,n)[i]+n Notando que 3*sum(0,n)[i]=3*n*(n+1)/2, e ainda que sum(0,n)[i^3]=sum(1,n)[i^3], juntando tudo temos: sum(1,n)[i^3]+(n+1)^3=sum(1,n)[i^3]+3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n O sum(1,n)[i^3] morre dos dois lados, então sobra (n+1)^3=3*sum(0,n)[i^2]+3*n*(n+1)/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n^3+3*n^2+3n+1-3n^2/2-3n/2+n 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n-3n/2-3/2+1) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+(6n-3n)/2+(-3/2+2/2)) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n^2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2/2+3n/2-1/2) 3*sum(0,n)[i^2]=n*(2n^2+3n-1)/2 3*sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/2 e por fim sum(0,n)[i^2]=n*(n+1)(2n+1)/6 Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Claudio Buffara wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n = 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Arctg de 1/Fibonacci
Ricardo Bittencourt wrote: Calcule o valor da soma: SOMA(n = 1) arctg(1/F(n)), Não sei se facilita ou complica, mas e se você criasse uma sequencia c(n) onde c(n)=(F(n)+i) ? Nesse caso, o argumento desse número complexo é arctg(1/F(n)), e a somatória de todos eles é igual ao argumento do produtório de todos os c(n). Continuando o raciocínio, vale também pra versão modificada só com os ímpares: Você começa com (1+i), depois multiplica por (1+i), depois por (2+i),(3+i),(5+i), etc. O número resultante na etapa n, vamos chamar de (an+i*bn). Na etapa n+1, vai ser: (an+i*bn)*(F(n+1)+i)= (an*F(n+1)+an*i+bn*F(n+1)-bn) ou seja basta resolver a recorrência dupla: a(n+1)=a(n)*F(n+1)-b(n) b(n+1)=b(n)*F(n+1)+a(n) Nesse caso, sum(1=m=n)arctg(1/F(m))=arctg(b(n)/a(n)) Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] congruencias
[EMAIL PROTECTED] wrote: Ola pessoal, Prove que 2^70 + 3^70 eh divisivel por 13. Como 13 é primo vale o pequeno teorema de Fermat: a^(p-1)=1 (mod p) ou seja a^12 = 1 (mod 13) Agora floor(70/12)=5 e portanto 70 = 5*12+10 = 10 (mod 13) De modo que o problema se reduz a 2^10+3^10 =0 (mod 13) Multiplicando dos dois lados por 4*9: 4*9*(2^10+3^10) = 9*2^12 + 4*3^12 mas 2^12 = 3^12 = 0 (mod 13) portanto 2^70+3^70 = 4+9 = 13 = 0 (mod 13) QED Ricardo Bittencourt http://www.mundobizarro.tk [EMAIL PROTECTED] tenki ga ii kara sanpo shimashou -- União contra o forward - crie suas proprias piadas -- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
