''Seja P um pto fixo,O o centro de um circulo e AB uma corda variavel paralela
''a OP. mostre q a soma PA^2 + PB^2 é cte.
Olá! Trazendo esse problema para o plano complexo, e supondo que O é a origem,
P está no eixo real e a circunferência tem raio r, seja P = x real e A =
r*e^(ia), B =
''Srs,
''
''Favor criticar (válidar ou não) o reciocínio abaixo
''
''a) para termos o menor perímetro no quadrilátero xyzw significa que
''á área dos quatros triângulos
'' restantes (axw, bxy, cyz e dwz) devem ser máximas. Para isso
as
''hipotenusas devem saer máximas o que ocorre
''Considere um quadrado ABCD e pontos X,Y,Z,Q nos lados AB,BC,CD,DA
respectivamente.
''Determine o menor valor que pode assumir o perímetro do quadrilatero
XYZW.
Olá. A idéia chave é a seguinte: Para X e Z quaisquer, ambos diferentes
de A, B, C, D, temos que Y e W ficam determinados por X e Z
''Considere uma funcao real sobrejetora f tal que f(f(x)+y)=x+f(y) para
todo
''x, y reais. Determine f(0).
Como f é sobrejetora, existe s em R tal que f(s) = 0. Ponto x = s, y = f(s),
temos da relação que
f(f(s) + f(s)) = s + f(f(s)) == f(0) = s + f(0) == s = 0.
Assim, f(0) = 0.
[]s,
Daniel
''Seja ABC um triângulo cujo circuncentro é O.
''Qual a resultante (soma) dos vetores OA, OB e OC?
Que coisa, nunca havia pensado nessa soma e no que ela é!Interessante!
Para facilitar a vida, podemos imaginar a circunferência circunscrita como
o círculo unitário de centro na origem do plano
''Eh verdade que, em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta eh
a bola
''fechada de mesmos centro e raio?
Não. Por exemplo, Z com a métrica vinda do valor absoluto: a bola aberta
unitária de centro em x é {x}, logo ela também é fechada e então coincide
com o fecho. Por outro lado, a
Bacana... Eu cheguei a pensar em coisas como densidade da imagem de d(XxX)
sobre determinados compactos, mas não deu em nada principalmente depois
do contra-exemplo X = {circunferências de raio natural}U{eixo x} contido
em R^2, com a métrica usual.
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original --
''Date:
''Olá Daniel:
''
'' Se a_1, ..., a_k são elementos de V, seja S(a_1, ..., a_k) ...
''
''... Vc não quiz dizer elementos de A? Não?
Sim!!
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
''Se |z-2| = 1, quais os valores máximo e minimo |z+i| pode assumir ?
Pensando nos complexos como R^2 e passando para senos e cossenos, acho que
fica mais padrão. Como |z - 2| = 1, temos que em R^2 z é do tipo (2 + cos(t),
sen(t)), de modo que z + i = (2 + cos(t), 1 + sen(t)). Achar extremos de
Hum... existe também uma maneira elementar (sem cálculo) de se chegar nesse
resultado. É o seguinte: primeiramente, dados uma circunferência C de centro
O e um ponto A fora dela, é fácil provar que os pontos mais próximo e distante
de A em C são aqueles que estão na reta OA.
Que o mais próximo
'' 1) Seja G um grupo e H subgrupo de G de indice n. Provar que g^n! está
em
''H, para todo g em G.
Olá, faz um certo tempo que não mexo com isso, mas lá vai:
Para n 1, sejam k e r inteiros positivos. Se g^(r + k) e g^k estão numa
mesma classe lateral Hx, temos g^(k+r) = h_1*x e g^k = h_2*x
Se f não é contínua, no enunciado nada me impede de fazer f(x) = 1 para
todo x irracional e f(y) = pi para todo y racional, já que não tem nada
exigindo injetividade ou sobrejetividade.
Por outro lado, se quiséssemos f contínua, realmente não é possível. Seja
I um intervalo, f:I -- R satisfazendo
Agora ficou bem claro pra mim... Valeu
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original --
''Date: Tue, 29 Nov 2005 10:26:20 -0200
''From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED]
''To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Subject: Re: [obm-l] probabilidade (ufrj)
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''
''
''On Mon, Nov
'' Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta
ATÉ
'' dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você
perde;
'' caso contrário, você ganha. Calcule a probabilidade de você ganhar
uma
''partida
'' desse jogo.
''
''Não vi o gabarito, vou dar a
Tem razão, agora estou convencido...
[]s,
Daniel
''Usando o mesmo raciocinio que vc apresenta vc tb garante a vitoria com
6
''
''jogadas e raramente teria que lancar 10 moedas. Ou ja teria ganho ou
ja
''
''teria perdido antes. Isso faria, de novo usando a sua ideia, o numero
de
''
Olá... olhando o gabarito da prova da UFRJ deste domingo, tive que discordar
da resposta dada à última questão da prova de matemática. A questão é:
Em um jogo, cada partida consiste no lançamento de uma moeda honesta ATÉ
dez vezes. Se o número de caras obtidas atingir o valor cinco, você perde;
Se vc está pensando no exemplo X que vai embolotando o n-ésimo racional
com intervalos abertos de raio eps/(2^(n+1)) (na verdade, o complementar
desse X), acho que basta pegar esse épsilon irracional; isso garante que
não teremos coisas do tipo (a,b) (b,c). Por outro lado, X é denso em R,
então
''E se, além de medida positiva e interior vazio, exigirmos que o tal
conjunto
''seja fechado?
Se entendi direito, vc quer um conjunto A na reta com interior vazio, medida
positiva (m(A) 0) e que seja fechado. Neste caso, acho que tal conjunto
não existe; vai abaixo a minha tentativa de
O erro crucial foi ignorar o fato de que a união dos fechos pode ser diferente
do fecho da união!
[]s,
Daniel
''Ou seja, você está dizendo que se (R - X) é uma união enumerável de
''intervalos abertos e é denso em R, então X é no máximo enumerável?
''
''Eu tenho certeza de que você conhece
Tem razão, Artur... eu tava tão descontente com essa solução que nem exigi
muito dela. Em todo caso, não sei quase nada deste assunto.
[]s,
Daniel
''Esta solucao foi tambem a unica que me ocorreu. Soh que, na realidade,
o
''problema nao se encerra no ponto em que vc parou. Os multiplicadores
Olá!
Bem, todas as n raízes de p são reais (para que faça sentido falar que todas
são negativas), portanto p(x) = (x + y_1)*(x + y_2)* ... *(x + y_n), onde
y_i 0 para todo i. A idéia é encarar p(1) como função de y_1, ..., y_n
sujeita às condições y_i 0 e y_1*...*y_n = 1, e usar multiplicadores
Qualquer livro razoável de cálculo de várias variáveis, na pior das hipóteses
use o google. No entanto, é muito provável que exista uma resposta mais
elementar, por exemplo usando alguma indução vinda de alguma escolha esperta
dentre as raízes (aliás, foi a minha primeira tentativa, mas não deu em
Olá,
Use A\B = (A U B)\B (analogamente para B\A) e separe os casos mi(A U B)
finita ou infinita.
[]s,
Daniel
''Sejam (X, X_, mi) um espaço de medida. Prove que se A,B pertencem a
X_ e
''mi((A\B) U (B\A)) = 0 , entao mi(A) = mi(B)
''
''Bom,
''como A\B e B\A sao disjuntos
''mi(A\B) +
Tem o Spivakinho, Calculus on Manifolds, que trata da parte do cálculo
de várias variáveis, mas acho que num primeiro contato, o livro do Courant
é mais interessante e mais acessível.
O do Spivak trata a parte de integração em R^n de uma maneira mais abstrata
e concisa, sendo o objetivo do livro
Olá,
Suponha que houvesse uma ordem em C. Comece mostrando que 1 está em C+,
e portanto -1 não está em C+. Como i^2 = -1, i^2 não está em C+, uma contradição
com a ajuda q o enunciado te dá antes da pergunta.
[]s,
Daniel
'' Uma ordem num corpo IK consiste em dar um subconjunto
''IK+ de IK t.q.
Olá!
Seja z = arccos(x). Vale
cos[(n+1)*z] = cos(n*z)*cos(z) - sen(n*z)*sen(z)
cos[(n-1)*z] = cos(n*z)*cos(z) + sen(n*z)*sen(z)
Portanto,
cos[(n+1)*z] = 2*cos(n*z)*cos(z) - cos[(n-1)*z]
Assim vc arruma uma recorrência
f_(n+1) = 2*f_n*x - f_(n-1) para n1,
onde f_1(x) = x e f_2(x) = 2*x^2 - 1.
Oi,
Chame de A a fração de questões de álgebra, isto é, o número de questões
de álgebra dividido pelo total de questões, G a de geometria e L a de lógica.
Se a, g e l (minúsculas) são a fração de questões certas com relação ao
total, o enunciado diz que
a = 0,5*A
g = 0,7*G
l = 0,8*L
a + l =
Olá!
Considere o polinômio f(c) = c^3 - (3ab)c - (a^3 + b^3). Como estamos num
triângulo, a idéia é mostrar que no intervalo (0, a + b) o polinômio é negativo.
Repare que (a + b) é raiz de f. Dividindo f por c - (a + b), você chega
no polinômio g(c) = c^2 + (a + b)c + (a + b)^2 - 3ab. O
f(x) = f((x - 8) + 8) = f((x - 8) + f(2)) = x - 8 + f(f(2)) = x - 8 + f(8).
Assim, 8 = f(2) = -6 + f(8) == f(8) = 14. == f(x) = x + 6.
[]s,
Daniel
''Seja f(x+f(y)) = x + f(f(y)) e f(2) = 8. Calcule f(2005)
=
Instruções
As séries são em 2^(k!) e não 2^k
''-- Mensagem Original --
''Date: Sun, 14 Aug 2005 18:08:53 -0300
''From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
''To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Subject: Re: RES: [obm-l] conjunto de irracionais fechado com relacao
aa
''soma
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''Encontre um conjunto de irracionais que nao seja enumeravel e seja fechado
''com relacao aa soma
Observe que se V é um espaço vetorial de dimensão enumerável sobre Q
(racionais),
então V é isomorfo ao espaço dos polinômios em uma variável sobre Q, e,
portanto, V é enumerável. Em particular,
Mais legal ainda: se K é o corpo dos números algébricos, portanto enumerável,
então a construção abaixo (trocando-se Q por K) dá um conjunto não-enumerável
de transcendentes fechado para a soma, não?
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original --
''Date: Thu, 11 Aug 2005 21:28:31 -0300
''From: [EMAIL
Bem, a sentença
se x é um número NATURAL tal que x^2 + 1 = 0, então x está em {-1, 1}
é verdadeira sim, mas é falsa no caso de x poder ser um número complexo
como o Artur colocou.
A informação de que x era natural é vital, e vc a omitiu no seu primeiro
e-mail, e então cada um supôs o x estando em
Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia me
dar uma maozinha?
Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que V nao
pode ser representado pela reuniao (da teoria dos conjuntos) de um numero
finito de subespacos proprios.
Como observacao, esse
Pessoal, acabei de matar esse (eh um tanto trivial...), valeu
[]s,
Daniel
''Estou apanhando desse problema jah faz algum tempo... Alguem poderia
me
''dar uma maozinha?
''
''Se V eh um espaco vetorial sobre um corpo infinito F, demonstrar que
V nao
''pode ser representado pela reuniao (da
A segunda pergunta foi apenas uma dica para provar o enunciado por
contradição,
ok?
[]s,
Daniel
''Apesar da segunda pergunta ser um pouco incoerente (pois contradiz a
''demonstração), supondo que X seja primo, não existem divisores primos
deste
''(senão ele não seria primo!)
''Não sei se
''Se p_n denota o e-nesimo primo, mostrar q
''p_(n+1) = p_1...p_n + 1.
Oi,
Se p_(n+1) é maior do que X = p_1...p_n + 1, quem seriam os primos divisores
de X?
[]s,
Daniel
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista
Eis um probleminha fácil mas com um resultado cultural:
Suponha que tenhamos vários ladrilhos idênticos com formato de um polígono
regular e queremos juntar todos eles por um vértice comum e de maneira lisa
sobre um plano, de modo a formar um único polígono não necessariamente regular
mas com
Ok!
[]s,
Daniel
'' ''Há uma descrição de como construir um aqui:
'' ''
'' ''http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html
''
'' Não estou conseguindo acessar esta página!!!
''
''Você pode procurar por Steiner System no google.
''Uma outra página boa é a seguinte:
''
Oi,
Eu tenho lá as minhas dúvidas quanto à veracidade do enunciado... Alguém
aqui na lista saberia provar que é possível esta situação: Para todos os
quintetos possíveis dentre 12 pessoas, associar um time de 6 jogadores de
maneira que dois times diferentes tenham no máximo 4 jogadores em comum?
''Há uma descrição de como construir um aqui:
''
''http://web.usna.navy.mil/~wdj/hexad/node2.html
Não estou conseguindo acessar esta página!!!
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
COmbinatória geralmente tem essas controvérsias Eu afirmei que minha
resolução estava errada por não levar em conta o time adversário.
Além disso, estou assumindo que o enunciado seja verdadeiro, isto é, de
que para TODO QUINTETO CORRESPONDE UM TIME e de maneira a não violar a condição
de que
Bem, respondendo especificamente à sua pergunta: se x for raiz de p(a),
então (a - x) divide p(a), e foi o que o Cláudio usou com x = -1.
De uma forma mais geral, se x for raiz de p(a) e q(a) for o polinômio
irredutível
de x sobre o corpo base F (p e q são polinômios em F[a]), então q(a) divide
Maurício,
o resultado só vale para potências de primos. Repare que todos os seus exemplos
são construídos com números compostos. A demonstração do Cláudio está ok.
[]s,
Daniel
'' Cláudio, Daniel, outros,
''
'' Consegui encontrar vários contra-exemplos para esse
''problema. Sendo comb(a,b)
Oi, Maurcio,
possvel resolver essa como aplicao imediata do teorema de lucas, que
o seguinte:
Se m = a_k*p^k + a_(k-1)*p^(k-1) + ... + a_1*p + a_0 e n = b_k*p^k + ...
+ b_0 (representao na base p), denotando B(m,n) a combinao de m elementos
tomados n a n, vale
B(m,n) ==
Oi, Léo,
Chame M = sup u(contorno de B) e k = inf u(contorno de B). Vale 2pi*k =
I(r) = 2pi*M para todo r. Como u é contínua, dado e 0 existe d 0 tal
que se x está no disco de raio d e centro p então |u(x) - u(p)| e/2. Como
r - 0, podemos tomar r d/2, logo certamente |M - k| e pela
A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.
Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
q m(R) é constante), queremos mostrar que m(R) = u(p). Via translações,
pode-se supor que p é a
Não saiu a notação do produto interno Abaixo, corrigido:
''A primeira sai diretamente do teorema de Gauss.
''
''Para a segunda, estou assumindo que B é a bola de raio R. Então chamando
''de m(R) a expressão dada (R é variável aqui; mas como a idéia é mostrar
''q m(R) é constante),
Oi, Éder,
Eu teria feito a mesma coisa, para mim está ok. É fácil ver que X(q,t) está
em M para todo (q,t), e, dado Y em M, ele certamente tem coordenada z em
[0,1], e quanto a x e y, estão no círculo do enunciado, que é parametrizável
por q com t fixo usando a sua função X(q,t).
[]s,
Daniel
Oi,
Não entendi duas coisas: g e f são funções de R^n em R, então o que seria
(f o g)(t)? Mesmo trocando por (f o alfa) (e as contas para a derivada estão
de acordo), vale alfa, alfa = r^2 + sen(2t)*A,B, que não é constante
(r = |A| = |B|). Aliás, alfa, alfa' = cos(2t)*A,B.
[]s,
Daniel
''Lá vai.
Sim, claro Fixado A e fazendo B variar de modo que A e B sejam
perpendiculares,
e finalmente fazendo t variar, temos uma parametrização da esfera... Beleza
[]s,
Daniel
''Mil perdoes.
''de fato, o que eu queria escrever era
''(f o alfa)'(t) = grad(f(alfa(t)).alfa'(t) =
Oi,
Chame de S_k a soma f(1) + ... + f(k). É fácil ver que f(2n + 1) = f(2n),
e também que f(1) = 0. Se B_k = número de múltiplos de 2^k menores ou iguais
a n, vale f(n) = B_1 + B_2 + ... (a partir de um certo x, k=x implica B_k
= 0).
Como B_k é a parte inteira de n/2^k (denota-se [n/2^k]), isto
Na minha resolução anterior, eu acabei confundindo D_x = 1 + 2 + ... + 2^x
por não ter escrito D_x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2^x, e acabei, em vez
de somando de 1 a 2^x, pegando apenas as potências de 2... Por isso o erro!
Espero ter consertado... abaixo, a resolução devidamente alterada. Agora
Hehehe, para variar, eu não acerto nem de segunda... Vc está certo, Bruno,
S_3 = 2 (fiquei com o f(3) na cabeça...), e então basta acrescentar 2^9
ao meu resultado anterior, obtendo S_1023 = 2^19 - 3*2^11 + 2^9 = 518656,
e finalmente nossas respostas coicidem!
[]s,
Daniel
''-- Mensagem Original
Oi, Cláudio
''-- Mensagem Original --
''Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300
''Subject: [obm-l] Quadrado Mágico
''From: claudio.buffara [EMAIL PROTECTED]
''To: obm-l obm-l@mat.puc-rio.br
''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
''
''
''Acho que sei como demonstrar que L_i (1=i=n), C_j
55 matches
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